modelisation des mecanismes...modelisation d'un mecanisme existant : un mécanisme réel étant...

Spé

ATS COURS

Lycée P. Mendès France Epinal Modélisation des Mécanismes - Etudiant.docx 1/38

MODELISATION DES

MECANISMES

Spé

ATS COURS


SOMMAIRE

MODELISATION DES MECANISMES ................................................................................................................................................................... 4

Introduction : ................................................................................................................................................................ 4

1. Modélisation d'un mécanisme existant : .............................................................................................................. 4

a. Modélisation des pièces mécaniques : .................................................................................................. 5

b. Classes d'équivalences : ......................................................................................................................... 5

c. Modélisation des contacts : ................................................................................................................... 7

2. Etude des liaisons : ............................................................................................................................................... 7

a. Liaisons simples ou élémentaires .......................................................................................................... 7

b. Liaisons composées : ............................................................................................................................. 8

c. Torseur cinématique : ............................................................................................................................ 8

d. Torseur transmissible par une liaison parfaite : .................................................................................... 9

e. Liaison parfaite : .................................................................................................................................... 9

3. Torseurs associés aux liaisons classiques : .......................................................................................................... 11

a. Réciprocité du torseur d'action mécanique transmissible et du torseur cinématique : ..................... 12

b. Forme particulière des torseurs cinématiques : .................................................................................. 14

4. Liaisons obtenues par l'ajout de composants : ................................................................................................... 16

a. Les coussinets : .................................................................................................................................... 16

b. Les roulements à billes, à rouleaux ou à aiguilles : .............................................................................. 16

c. Les butées à billes et à rouleaux : ........................................................................................................ 16

d. Les douilles à billes ou à rouleaux : ..................................................................................................... 16

e. Les vis à billes : ..................................................................................................................................... 16

f. Les guidages à billes ou à rouleaux sur rails : ...................................................................................... 17

g. Les rotules lisses : ................................................................................................................................ 17

5. Représentations schématiques complémentaires : ............................................................................................ 17

a. Transmission par adhérence : roues à friction. ................................................................................... 17

b. Transmission par obstacles : Engrenages. ........................................................................................... 17

c. Transmission par obstacles : Pignon crémaillère. ................................................................................ 18

d. Transmission par obstacles : Roue et vis sans fin. ............................................................................... 18

e. Transmissions par lien flexible : pignons-chaîne. ................................................................................ 18

f. Transmissions par lien flexible : poulies-courroie. .............................................................................. 19

6. Schématisation : ................................................................................................................................................ 19

a. Graphe des contacts, des liaisons : ...................................................................................................... 19

b. Graphe de structure ou graphe des liaisons élémentaires : ................................................................ 21

c. Schéma cinématique minimal : ........................................................................................................... 21

d. Méthode pour représenter un schéma cinématique : ........................................................................ 22

7. Relation fondamentale de la théorie des mécanismes : ...................................................................................... 23

a. Mobilité (Principe de Maxwell et Kelvin) : ........................................................................................... 23

b. Relation fondamentale de la théorie des mécanismes : ..................................................................... 23

c. Système hyperstatique : ...................................................................................................................... 26

d. Application à la clé étau : ..................................................................................................................... 27

Spé

ATS COURS


8. Chaînes de solides - Structure des mécanismes : ................................................................................................ 27

a. Chaînes ouvertes : ............................................................................................................................... 28

b. Chaîne fermée simple : ........................................................................................................................ 29

c. Chaîne cinématiques complexes : ....................................................................................................... 30

9. Liaisons cinématiquement équivalentes : ........................................................................................................... 31

a. Liaisons en parallèle : .......................................................................................................................... 31

b. Liaison en série : .................................................................................................................................. 35

Spé

ATS COURS


MODELISATION DES MECANISMES

Problématique : Comment obtenir un modèle du mécanisme représenté sous forme de schéma (image symbolique simplifiée) permettant différentes études :

Cinématique : - relations entrées-sorties en position et vitesse - étude des mouvements

Statique : - relations entrées-sorties en efforts - efforts de liaisons entre solides - efforts dans les liaisons

Combinés : - Dynamique - Energétique

Exemple : Nacelle élévatrice

INTRODUCTION :

Nous limiterons notre étude aux ensembles mécaniques constitués d’éléments rigides (solides) qui sont en contact entre eux (assemblages). Afin de permettre une bonne approche du mécanisme réel, on associe les pièces mécaniques à des solides indéformables et, les liens entre elles, à des modèles de liaisons technologiques. Mécanisme : - Un mécanisme est un agencement de pièces mécaniques reliées entre elles et conçu en vue de

réaliser une fonction déterminée. - Un mécanisme est généralement conçu pour établir une relation particulière entre des

informations d’entrée qui sont des informations exercées par le milieu extérieur sur le mécanisme, et des informations de sortie qui sont des informations exercées par le système sur le milieu extérieur.

1. MODELISATION D'UN MECANISME EXISTANT :

Un mécanisme réel étant toujours très complexe, il est nécessaire, pour le comprendre et l’améliorer, d’élaborer des modèles, afin de pouvoir lui appliquer les lois de la mathématique ou de la mécanique. Cette modélisation permet de comprendre de façon fine le fonctionnement réel, d’en voir les limites et de proposer des modifications sur le modèle afin de l’améliorer.

Spé

ATS COURS


Lors de l'étude d'un mécanisme, la modélisation des pièces, des liaisons et des actions mécaniques va permettre de déterminer les performances de ce mécanisme et son dimensionnement. La modélisation et la schématisation cinématiques sont des moyens privilégiés pour expliquer le fonctionnement d’un mécanisme et pour exprimer certaines caractéristiques grâce à un paramétrage adéquat.

a. Modélisation des pièces mécaniques :

Solides parfaits, indéformables ayant une géométrie bien définie. Cette modélisation exclut naturellement les fluides, ainsi que les pièces qui subissent de grandes déformations, comme les ressorts ou les courroies de transmission.

b. Classes d'équivalences :

Un mécanisme est un agencement de pièces mécaniques reliées entre elles par des liaisons. Ces pièces liées entre elles par des assemblages permettent :

- une transmission d’effort avec mouvement c’est le cas des systèmes de transformation de mouvement (système bielle manivelle, réducteur, came….)

- une transmission d’effort sans mouvement c’est le cas de mécanisme de positionnement (montages d’usinage…)

Afin de simplifier la représentation du mécanisme et la schématisation qui en résulte, il faut commencer par regrouper tous les éléments en contact n'ayant aucun mouvement relatif pendant l'usage du mécanisme à l'exception des pièces déformables. Chaque groupe constitue une classe d'équivalence selon la relation "pas de mouvement relatif" et sera affecté d'un même repère (celui de la pièce la plus représentative du groupe de par sa forme ou sa fonction). L'intitulé "groupe cinématiquement lié" pourra également être utilisé pour définir ces groupes. En principe on commence par repérer tous les éléments qui sont liés au bâti et qui serviront de référence pour l’étude du mécanisme.

Application à la clé étau :

La clé étau est un outil très polyvalent. Légère et facile à manier, elle est très appréciée des différents corps de métiers (mécanicien, carrossier, …). On la caractérise par sa capacité maximale d’ouverture des mors : 23 mm. Cet outillage peut intervenir sur de la boulonnerie détériorée ou mal calibrée grâce à une force de serrage de 6000 N, mais peut servir également pour maintenir en pression afin de coller, riveter, souder… Dotée de mors doux (lisse), la clé peut être utilisée sur une boulonnerie fragile, par exemple en plastique.

Modélisation

Modèle

amélioré

Mécanisme réel amélioré

Mécanisme

réel

Concepts simplificateurs

Etude critique du modèle

Modifications des dispositions constructives

Spé

ATS COURS


𝑥Ԧ

𝑦Ԧ

⨀ 𝑧Ԧ

𝑥1ሬሬሬԦ

𝑦1

ሬሬሬԦ

A +

+ B

+ C

+ D

+ E

+ F

Numéro d'article Nom de la pièce Quantité

1 Mors 1

2 Chape 1

3 Corps 1

4 Vis à droite 1

5 Poignée 1

6 Vis à gauche 1

7 Ecrou double 1

8 Rivet poignée 2

9 Rivet chape 2

10 Rivet corps 1

Cas particulier des éléments interposés roulants ou glissants : exemple du roulement.

Si on observe la constitution d'un roulement on se rend assez vite compte qu'au lieu de simplifier le mécanisme on risque plutôt d'en compliquer la compréhension. En effet, ces composants sont présents en grand nombre dans les mécanismes et on peut difficilement imaginer d'affecter une classe d'équivalence à chacun des constituants du roulement (bague intérieure, extérieure, billes, cage et parfois flasques). Afin d'éviter le phénomène de corrosion sous charge, on monte toujours serrée la bague qui tourne par rapport à la direction de la charge. Par conséquent la totalité du roulement sera considéré comme faisant partie de la classe d'équivalence sur laquelle la bague est montée serrée. Corrosion sous charge : Quand un roulement est mis en charge, les forces résistantes des billes ont tendance à

freiner la bague qui tourne par rapport à la direction de la charge. S'il existe un jeu entre cette bague et l'arbre ou le logement correspondant et qu'un mouvement relatif apparaît, il y a décollement de la couche d'oxydation. Les particules d'oxydes de fer (ou d'aluminium dans le cas de carter en alu) très abrasives viennent user l'arbre d'où destruction rapide par prise de jeu.

Corrosion sous charge dû à la rotation d'une charge Fr par rapport à une bague :

Identifiez les classes d'équivalence qui composent la clé étau :

3D

https://configurator360.autodesk.com/229074866649490494/vdj6411b6bjb











Spé

ATS COURS


c. Modélisation des contacts :

Les contacts mécaniques entre pièces sont parfaits, sans jeu, les surfaces fonctionnelles sont géométriquement exactes, sans frottement ni adhérence et sans déformations sous charge. La modélisation des liaisons est basée sur l'analyse des surfaces de contact entre les groupes cinématiquement liés.

2. ETUDE DES LIAISONS :

En construction mécanique pour étudier les mouvements d’un mécanisme, on construit des modèles qui mettent en évidence les relations cinématiques entre ses constituants. C’est pourquoi il est intéressant de modéliser les liaisons mécaniques, c’est à dire les possibilités de mouvements compatibles avec les surfaces de contact. Hypothèses: La modélisation est faite sous les hypothèses suivantes :

- solides indéformables en mouvement relatif - surfaces géométriquement parfaites et positionnement géométrique relatif parfait des

surfaces - contact sans jeu et sans adhérence pour les pièces en mouvement relatif - liaisons considérées comme permanentes: bilatéralité

Une liaison est bilatérale si elle peut transmettre au même point deux torseurs statiques opposés, liaisons ponctuelles, linéaire rectiligne, appui plan sont bilatérales.

a. Liaisons simples ou élémentaires

On appelle liaison élémentaire de deux solides S1 et S2, tout contact mécanique de S1 et S2 s’effectuant suivant deux surfaces parmi les surfaces élémentaires suivantes: surface plane, surface cylindrique, surface sphérique. Les différentes combinaisons donnent naissance à 6 liaisons simples.

Surface S1

Surface S2

Contact :

Liaison :

Contact :

Liaison :

Contact :

Liaison :

Contact :

Liaison :

Contact :

Liaison :

Contact :

Liaison :

Spé

ATS COURS


b. Liaisons composées :

On appelle liaison composée, toute liaison entre deux solides S1 et S2 s’effectuant au moyen d’au moins deux liaisons élémentaires. Essentiellement à cause des problèmes de fabrication, il est très rare de trouver des liaisons pivot, glissière, hélicoïdale et sphérique à doigt réalisées de façon élémentaire. Exemple de combinaisons possibles :

Appui-plan

Pivot

Pivot glissant

Appui-plan

Glissière

Appui-plan

Pivot glissant

Hélicoïdale

Ponctuelle

Sphérique

Sphérique à doigt

Linéaire rectiligne

D'autres combinaisons existent, celles présentées sont parmi les plus répandues.

c. Torseur cinématique :

On appelle torseur cinématique associé à la liaison de S1 et S2, le torseur noté 12 S/S représentatif de

tout mouvement de S2 par rapport à S1 compatible avec la liaison des solides S1 et S2.

z.Vy.Vx.V

z.y.x.

V

V

V

V zyx

zyx

Az,y,xzz

yy

xx

AS/S,A

S/S

A

S/S

12

12

12

Si entre les deux solides n'existe aucune liaison, les six grandeurs ωx, ωy, ωz, Vx, Vy et Vz sont quelconques. On dit que S2 possède six degrés de liberté par rapport à S1. Si entre les solides existe une liaison mécanique, celle-ci va imposer "n" relations entre les grandeurs ωx, ωy, ωz, Vx, Vy et Vz. On dit que S2 possède (6-n) degrés de liberté par rapport à S1. Les relations les plus simples et les plus fréquentes correspondent à la nullité de certaines grandeurs cinématiques ou à des proportionnalités ente ces grandeurs. Définition : Le nombre de degrés de liberté entre deux solides liés est le nombre de paramètres cinématiques

indépendants à définir pour spécifier le torseur cinématique relatif entre ces deux solides. Pour plus de simplicité, on appellera ce nombre Nc. (Tableau des liaisons)

Spé

ATS COURS


d. Torseur transmissible par une liaison parfaite :

On appelle torseur transmissible par une liaison parfaite le torseur des actions de contact exercées par le solide S1 sur le solide S2 dont la puissance est nulle dans tout mouvement de S2 par rapport à S1 compatible avec la liaison des solides S1 et S2.

z.Ny.Mx.L

z.Zy.Yx.X

NZ

MY

LX

M

RT

121212

121212

Az,y,x1212

1212

1212

ASSA

SS

A

SS

21

21

21

Définition : Le nombre de degrés de liaison entre deux solides liés est le nombre de paramètres statiques

indépendants à définir pour spécifier le torseur statiques relatif entre ces deux solides. Pour plus de simplicité, on appellera ce nombre Ns.

e. Liaison parfaite :

On appelle liaison parfaite entre deux solides S1 et S2, toute liaison pour laquelle la puissance des efforts

intérieurs au système S1 S2 est nulle dans tout mouvement de S2 par rapport à S1 compatible avec la liaison. On appelle puissance développée par les efforts exercés par S1 sur S2 dans le mouvement de S2 par rapport à S1, le scalaire :

122121 S/SASSASS TP

torseurs exprimés au même point

Soit :

12211221

12

12

21

21

21 S/SSSAS/S,ASSS/S,A

S/S

ASSA

SS

A

SS .MV.RVM

RP

La puissance des efforts intérieurs au système S1 S2 est nulle lorsque le facteur de frottement des surfaces en contact est nul. Exemple du stylo à bille :

𝑥Ԧ

𝑦Ԧ

𝑧Ԧ

A

O

𝑉𝐴,𝑆2 𝑆1ΤሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ

S2

S1

𝑥Ԧ

𝑦Ԧ

𝑧Ԧ

A

O

𝑉𝐴,𝑆2 𝑆1ΤሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ

S2

S1

Modèle équivalent

Spé

ATS COURS


On donne le torseur statique de la liaison ponctuelle de normale (𝐴, 𝑧Ԧ) avec frottement (f coefficient de frottement, la liaison est donc non parfaite) :

{𝑇𝑆1→𝑆2} = {

−𝑓. 𝑍12 00 0

𝑍12 0}

𝐴,𝑅

définir le torseur cinématique de la liaison puis définir les inconnues cinématiques

correspondants au problème.

Calculer la puissance développée par la liaison, à quoi correspond-elle ?

A quelle condition cette puissance est nulle ?

Spé

ATS COURS


3. TORSEURS ASSOCIES AUX LIAISONS CLASSIQUES :

LIAISON MOUVEMENTS POSSIBLES TORSEUR CINEMATIQUE

TORSEUR TRANSMISSIBLE

REPRESENTATION PLANE REPRESENTATION EN

PERSPECTIVE FORME

PARTICULIERE

ENCASTREMENT

TX = 0 RX = 0

z,y,xA

S/S 12

z,y,xA

SS 21T

conservée en :

TY = 0 RY = 0

TZ = 0 RZ = 0

Rotations = 0 Translations = 0 D.d.l. = 0

PIVOT

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =

Rotations = Translations = D.d.l. =

GLISSIERE

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


HELICOIDALE

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


PIVOT-GLISSANT

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


SPHERIQUE A DOIGT

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


APPUI-PLAN

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


SPHERIQUE

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


LINEAIRE RECTILIGNE

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


LINEAIRE-ANNULAIRE

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


PONCTUELLE

TX = RX =

z,y,xA

S/S 12

Nc =

z,y,xA

SS 21T

Ns =

conservée en :

TY = RY =

TZ = RZ =


Navigation : Torseur statique Liaison hélicoïdale Forme particulière Liaisons avec composant

https://youtu.be/gMxaMo4ON8g

https://youtu.be/bI5XFiVfBM4

https://youtu.be/1vhdmypGYoc

https://youtu.be/-9hn_3Fyqg8

https://youtu.be/VixmZFxK4hI

https://youtu.be/5XrLZD0lFIs

https://youtu.be/DcOy-hbVu8o

https://youtu.be/xE1P0U0rhog

https://youtu.be/J5uuvBRncYo

https://youtu.be/yH05UzCupD0

Spé

ATS COURS


a. Réciprocité du torseur d'action mécanique transmissible et du torseur cinématique :

Lorsqu’une liaison est parfaite, nous avons vu qu’il n’y a pas de phénomène de frottement entre les surfaces de liaison; ceci implique notamment que la puissance développée par les actions mécaniques de liaison est nulle et donc que le comoment des torseurs

21 SST et

12 S/S est nul.

(Comoment = produit scalaire de deux torseurs)

21

21

21

SSA

SS

A

SSM

RT

12

12

12

S/S,A

S/S

A

S/SV

Exprimons la puissance développée par les actions mécaniques transmissibles de la liaison 12 SS :

0.MV.R12211221 S/SSSAS/S,ASS soit :

1/2z211/2y211/2x211/2z211/2y211/2x21 .N.M.LV.ZV.YV.X0 (a)

Comme les inconnues de liaison NS et les degrés de liberté de cette liaison NC sont indépendants, il résulte de l’équation (a) que chacun des six monômes du premier membre doit être nul. D’autre part, on observe que les deux termes qui composent un monôme ne peuvent pas être nuls simultanément. En effet considérons le monôme 1/2x21 V.X

. Si 0X 21 cela signifie que la résultante

21 SSR a une composante non nulle sur x,A et donc que le degré de liberté en translation suivant x n’existe

pas: par conséquent 0V 1/2x .

Réciproquement, si 0V 1/2x alors le degré de liberté en translation suivant x existe et compte tenu

du fait que la liaison est parfaite, il ne peut y avoir d’effort transmis suivant x , par conséquent 0X 21 .

Conclusion: il y a dans l’équation (a) un terme nul par monôme. Les deux torseurs 21 SST

et 12 S/S

sont réciproques et NS + NC = 6.

Exemple 1 : Liaison pivot d'axe 𝒙ሬሬԦ :

Nous avions trouvé la forme particulière en A xA du torseur cinématique :

z,y,x

x

AS/S,A

S/S

A

S/S

00

00

0

V12

12

12

Nc = 1

Exprimons au même point A et dans la même base z,y,x le torseur d'action mécanique transmissible

et ce de façon que le comoment de ces deux torseurs soit nul.

z,y,x1212

1212

12

ASSA

SS

A

SS

NZ

MY

0X

M

RT

21

21

21

Ns =5

Spé

ATS COURS


Exemple 2 : Liaison rotule (ou sphérique) de centre A : La forme particulière en A du torseur cinématique s'écrit :

z,y,xA

S/S,A

S/S

A

S/S

12

12

12 V

Nc =

Exprimons au même point A et dans la même base z,y,x le torseur d'action mécanique transmissible

et ce de façon que le comoment de ces deux torseurs soit nul.

z,y,xA

SSA

SS

A

SS

21

21

21 M

RT

Ns =

Retour sur les torseurs associés aux liaisons (Tableau des liaisons) Retour sur la liaison hélicoïdale :

On a défini le torseur cinématique de cette liaison par :

z,y,x

xx

A

S/S

00

00

V

12

Quelle est la relation entre ωx et Vx ? Posons-nous la question en déplacement (on déroule l'hélice) :

Relation en x et θ : x translation θ rotation On applique le théorème de Thalès :

R2

p

R.

x

donc

2

px

Relation que l'on dérive par rapport au temps qui nous donne la relation entre ωx et Vx :

dt

d

2

p

dt

dx

soit xx

2

pV

Le torseur cinématique s'écrit donc :

z,y,x

xx

A

S/S

00

002

p

12

p le pas de l'hélice. NC = 1

Qu'en est-il du torseur des efforts transmissibles : z,y,xA

SS

NZ

MY

LX

T21

Pour une liaison parfaite, la puissance des efforts intérieurs est nulle : 0TP211212 SSS/SS/S

Soit : 121212 S/SAS/S,AS/S .MV.RP

θ.R

2π.R

x

p

1

2

Spé

ATS COURS


Le torseur des efforts transmissibles s'écrit donc :

z,y,xA

SS

NZ

MY

X2

pX

T21

NS = 5

Retour sur les torseurs associés aux liaisons (Tableau des liaisons)

b. Forme particulière des torseurs cinématiques :

La forme particulière d’un torseur cinématique ou autre, est définie à partir des zéros des coordonnées

de ce torseur en un point, exprimées dans . Considérons le torseur cinématique de la liaison pivot d’axe x,A .

z,y,x

x

AS/S,A

S/S

A

S/S

00

00

0

V12

12

12

En quels autres points de l’espace, ce torseur peut-il s’exprimer sous cette forme, c’est à dire avec ces cinq zéros à cette place ? Soit B(xB, yB, zB) un point, s’il existe, qui répond à cette question. Ecrivons le torseur

12 S/S en B sachant

que z.zy.yx.xBA BBB

.

Champ des vecteurs vitesse : 121212 S/SS/S,AS/S,B BAVV

y..zz..yx.)z.zy.yx.x(V xBxBxBBBS/S,B 12

Le torseur 12 S/S au point B s’écrit :

z,y,xxB

xB

x

BS/S,B

S/S

B

S/S

.y0

.z0

0

V12

12

12

Pour que la forme particulière de 12 S/S soit conservée en B, il faut et il suffit que :

0.z xB et 0.y xB x donc il faut que zB = 0 et yB = 0

Donc le point B à x,A .

Conclusion :

La forme particulière du torseur cinématique d’une liaison pivot d’axe x,A est conservée pour tout point B

x,A .

La recherche de la conservation de la forme particulière du torseur

12 S/S peut se conduire de la même

façon pour les torseurs cinématiques ou statiques de toutes les liaisons. Remarque : L’étude d’un système mécanique nécessite le choix d’un repère général dans lequel on peut

situer toutes les liaisons. On lie par ailleurs à chaque liaison un repère local que l’on appelle également repère idéal.

L’origine A du repère idéal est le centre géométrique de la liaison. La notion de centre géométrique désigne en fait un lieu des centres admissibles.

Ex : pour une liaison pivot d’axe y,A , ce lieu est la droite yA

Dans ce repère local ou repère idéal, les torseurs d’efforts et cinématiques admettent leur forme canonique. Ils ont un nombre de composantes non nulles minimal, c’est ce qui fait l’intérêt de ce choix pour le calcul.

• x

y

z,A

Forme particulière d'une pivot d'axe x

Spé

ATS COURS


Exemple : Liaison ponctuelle de normale x,A :

Considérons le torseur cinématique de la liaison ponctuelle de normale x,A

➢ Déterminer le lieu des points B ou la forme particulière du torseur cinématique est conservée.

Retour sur les torseurs associés aux liaisons (Tableau des liaisons)

•

x

y z,A

Spé

ATS COURS


4. LIAISONS OBTENUES PAR L'AJOUT DE COMPOSANTS :

Certaines liaisons dans les mécanismes n’utilisent pas le principe de contact direct entre les deux solides. Grâce à l’interposition d’éléments glissants ou roulants entre les solides, il est possible d’obtenir des mouvements relatifs plus performants d’un point de vue énergétique.

a. Les coussinets :

Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot ou pivot glissant.

b. Les roulements à billes, à rouleaux ou à aiguilles :

La modélisation du roulement seul sera développé plus tard, pour le moment nous considérerons que lorsque les roulements sont au moins au nombre de deux entre les deux solides qu'ils sont modélisables par une liaison pivot.

Exemple d'éléments roulants :

c. Les butées à billes et à rouleaux :

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot.

d. Les douilles à billes ou à rouleaux :

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot glissant.

e. Les vis à billes :

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison hélicoïdale.

Spé

ATS COURS


f. Les guidages à billes ou à rouleaux sur rails :

Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison glissière.

g. Les rotules lisses :

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison sphérique.

5. REPRESENTATIONS SCHEMATIQUES COMPLEMENTAIRES :

a. Transmission par adhérence : roues à friction.

Schémas normalisés :

Principe : Deux roues cylindriques ou coniques sont en contact linéique. L’adhérence au contact des deux roues permet de transmettre le mouvement d’entrée (roue menante 1) à la roue de sortie (roue menée 2). Pour un bon fonctionnement, il faut assurer un roulement sans glissement en utilisant : - un couple de matériaux avec un fort coefficient d’adhérence ; - un effort presseur entre les deux roues. Utilisation : Transmissions de faible puissance (petits appareils portables comme des baladeurs), ou dans des variateurs de vitesse. Caractéristiques géométriques : Les rayons des roues : R1 et R2.

b. Transmission par obstacles : Engrenages.

Utilisation : Transmissions de faible et forte puissances. Applications : de la montre à la boite de vitesse

automobile. Caractéristiques géométriques : Les rayons primitifs des roues dentées : R1 et R2.


Spé

ATS COURS


c. Transmission par obstacles : Pignon crémaillère.

Utilisation : Transmissions de faible et forte puissances. Applications : direction de voiture. Caractéristiques géométriques : Le rayon primitif de la roue dentée : R.

d. Transmission par obstacles : Roue et vis sans fin.

Utilisation : Transmission entre arbres à axes non concourants. Irréversibilité possible → sécurité anti-retour

(utile quand le récepteur peut devenir moteur : exemple : appareils de levage). Grand rapport de réduction (entre 5 et 150).

Inconvénient : L’engrènement se fait avec beaucoup de glissement entre les dentures, donc usure, et rendement faible (60%). La vis supporte un effort axial important.

Pour déterminer le rapport de transmission, on prendra le nombre de filets pour la vis.

e. Transmissions par lien flexible : pignons-chaîne.

Les liens flexibles sont particulièrement avantageux lorsqu’il s’agit de transmettre un mouvement de rotation entre deux axes parallèles très distants. Attention les roues ou poulies tournent dans le même sens (contrairement aux engrenages à contact extérieur).

Avantages : Transmission de couples très importants. Aucun glissement. Inconvénients : Bruyant et nécessite une lubrification.

Schéma normalisé :


Spé

ATS COURS


f. Transmissions par lien flexible : poulies-courroie.

La transmission de puissance par poulies-courroie se fait par l’intermédiaire de l’adhérence entre la courroie et les poulies.

Avantages: Rigidité en torsion assez faible, ceci permet leur utilisation lorsque les axes des poulies ne sont pas parallèles (possibilité d’utiliser des galets intermédiaires). Solution économique. Fonctionnement silencieux. Amortissement des à-coups grâce à l'élasticité des courroies. Inconvénients : Matériaux des courroies non adaptés à des conditions difficiles (température élevée par exemple). Durée de vie limitée. Nécessite une surveillance périodique en vue du remplacement de la courroie. Glissement (sauf pour courroie crantée).

6. SCHEMATISATION :

a. Graphe des contacts, des liaisons :

Le graphe des contacts est un outil descriptif qui permet de faire le bilan des solides et des contacts entre les solides d’un mécanisme. Etant donné que les liaisons sont déterminées par les possibilités de mouvements compatibles avec les surfaces de contact, ces contacts vont donc être modélisés par des liaisons. D'où l'appellation graphe des liaisons. Les solides sont placés aux sommets du polygone et les liaisons en sont les côtés. Les pièces en liaison fixe sont regroupées sous un même solide numéroté (classe d'équivalence).

2

1 4

3 ...

L1-2

L1-4

L2-3

L3-4

Spé

ATS COURS


𝑥Ԧ

𝑦Ԧ

⨀ 𝑧Ԧ

𝑥1ሬሬሬԦ

𝑦1

ሬሬሬԦ

A +

+ B

+ C

+ D

+ E

+ F


A l'aide des classes d'équivalence déterminées précédemment tracer le graphe des contacts (graphe ou seuls des liens représentants un contact entre les groupes sont tracés) :

Nous allons à présent étudier les surfaces en contact pour déterminer les liaisons, une fois fait, le graphe précédent deviendra un graphe des liaisons.

Liaisons Surface(s) Composant n°1 Surface(s) Composant n°2 Nature du ou des contacts Définition

ℓ1−3

ℓ1−5

ℓ5−6

ℓ6−7

ℓ7−4

ℓ3−4

3D








Spé

ATS COURS


b. Graphe de structure ou graphe des liaisons élémentaires :

Le graphe de structure met en évidence les liaisons en série ou en parallèle.

c. Schéma cinématique minimal :

Le schéma cinématique est un outil de représentation fonctionnelle. Il met en évidence l’agencement des différentes liaisons mécaniques d’un mécanisme. Le schéma cinématique d'un mécanisme est une représentation géométrique plane ou spatiale du graphe des liaisons. Pour construire ce schéma, on dessine les symboles normalisés des liaisons en respectant les caractéristiques géométriques relatives des différentes liaisons (parallélisme, orthogonalité, perpendicularité, coaxialité, contenant et contenu.). Les solides sont représentés par des traits continus qui relient les symboles normalisés des liaisons. En fonction des objectifs de l'étude, on pourra définir :

- Un graphe des liaisons et un schéma cinématique dans le cas d'une étude géométrique, cinématique.

M

8

6

21

13

Schéma cinématique Graphe des liaisons

2

1 4

3 ...

L1-2 L3-4

L2-3

L’1-4

L"1-4

Modélisation cinématique d’un mécanisme

Schéma cinématique minimal (représentation graphique du

modèle cinématique)

Spé

ATS COURS


Maintien de la liaison unilatérale

Décomposition de liaisons en parallèle

Décomposition de liaisons en série

Schéma d'architecture Graphe de structure

𝑥Ԧ

𝑦Ԧ

⨀ 𝑧Ԧ

𝑥1ሬሬሬԦ

𝑦1

ሬሬሬԦ

A +

+ B

+ C

+ D

+ E

+ F

- Un graphe de structure ou graphe des liaisons et efforts et un schéma d'architecture dans le cas d'une étude des efforts dans les liaisons, en statique ou dynamique.

d. Méthode pour représenter un schéma cinématique :

1. Choisir une représentation (spatiale ou plane) et l'orientation la plus représentative (si elle n'est pas imposée).

2. Mettre en place le(s) repère(s) en respectant l'orientation choisie. 3. Placer les centres des liaisons en respectant la géométrie du mécanisme et ses proportions. 4. Représenter en leur centre chaque liaison en respectant son orientation et les contenant-contenu. 5. Relier les classes d'équivalences. 6. Ajouter la symbolique à la classe d'équivalence fixe.

Remarque : Afin d'améliorer la lecture (et la représentation) du schéma cinématique il est fortement

recommandé d'utiliser une couleur par classe d'équivalence.


3

1

5

6 7 4

Glissière (𝐴, 𝑥Ԧ)

Pivot (𝐵, 𝑧Ԧ)

Pivot (𝐷, 𝑧Ԧ)

Schéma

https://youtu.be/P0ljL6QLxC4









Spé

ATS COURS


y

A O

z

x 3

1 2

0

7. RELATION FONDAMENTALE DE LA THEORIE DES MECANISMES :

a. Mobilité (Principe de Maxwell et Kelvin) :

Un solide supposé libre dans l’espace, a par rapport à un repère, 6 mobilités ou 6 degrés de liberté qui sont : - 3 translations TX, TY, TZ (ces translations sont appelées : longitudinale, transversale, verticale)

- 3 rotations RX, RY, RZ (roulis, tangage, lacet). Si l’on supprime, par des liaisons, les 6 degrés de liberté d’une pièce, celle-ci occupe alors une position bien précise et le repérage de la pièce est dit isostatique. Nous savons que les 6 degrés de liberté peuvent être définis par les coordonnées d’un point plus trois angles d’Euler. Définition : On appelle degré de mobilité d’un mécanisme quelconque, le nombre de paramètres qui

décrivent le mouvement et qui sont indépendants. Notations : mu = degré de mobilité utile du mécanisme. Il correspond au nombre de paramètres

indépendants servant à définir le mécanisme. - Pour un mécanisme de positionnement comme par exemple un montage d’usinage, mu = 0 - Pour un mécanisme de transformation de mouvement, mu = 1. - Pour un mécanisme de transformation de mouvement avec réglage, mu = 2.

mi = mobilités internes ne modifiant pas le fonctionnement du mécanisme. Exemple : Mécanisme de transformation de mouvement :

• Si OA = cte le déplacement de la pièce 3 est fonction de θ uniquement mu = 1

• Supposons OA = r réglable le déplacement de la pièce 3 est fonction de θ et r mu = 2

b. Relation fondamentale de la théorie des mécanismes :

Cette relation permet de déterminer si un mécanisme est isostatique ou non mais ne permet pas de déterminer les actions dans les liaisons. Remarque : Cette relation peut s’appliquer à une liaison particulière, a une partie de mécanisme ou à

l’ensemble d’un mécanisme que l’on a modélisé. Notations : p = nombre de pièces sans compter le bâti. nij = nombre de degré de liaison (nombre de composantes non nulles et indépendantes du

torseur des actions transmissibles de la liaison Lij). CG = conditions géométriques. Chaque condition géométrique correspond à une translation ou

à une rotation par rapport au bâti ou référentiel. h = représente le degré d’hyperstatisme du mécanisme.

- Si h = 0 le mécanisme est isostatique - Si h > 0 le mécanisme est hyperstatique d’ordre h.

Spé

ATS COURS


z,y,xO

1Ext

N

M

L

Z

Y

X

T

Exemple 1 : Guidage en rotation surabondant : Liaison pivot d’axe x,O1

+ liaison pivot glissant d'axe x,O2

.

p = 1 , nij = 5 + 4 h = 4 Ce système est hyperstatique d’ordre 4. Solutions pour rendre le système isostatique :

- rendre 4 mobilités sans modifier la cinématique du système :

Conserver la liaison pivot glissant et remplacer la pivot par une ponctuelle de normale x,O1

- ou introduire des conditions géométriques CG (démonstration page suivante)

La liaison en O2 doit avoir son axe i,O2 confondu avec l’axe de la liaison O1 qui est x,O1

. Pour cela il

faut partant de la position i,O2 effectuer deux rotations RZ et RY et deux translations TY et TZ pour que i,O2

soit

confondu avec l’axe x,O1

.

Etude statique :

1. Isolons l’arbre 1 : Le torseur des actions extérieures agissant sur l’arbre 1 supposé connu s'écrit :

Le torseur transmissible par la liaison pivot en O1 s’écrit :

z,y,x01

01

01

01

01

O

10

N

M

0

Z

Y

X

T

1

Le torseur transmissible par la liaison pivot glissant en O2 s’écrit :

z,y,x02

02

02

02

O

10

N

M

0

Z

Y

0

T

2

2. L’équilibre de l’arbre 1 se traduit par (d'après le Principe Fondamental de la Statique) :

0TTT 1Ext1O101O101O

0ZZZ)3(

0YYY)2(

0XX)1(

0102

0102

01

0NNN)6(

0MMM)5(

0L)4(

0201

0201

O z

x

y

O2

O1

1

1 degré de mobilité = rotation d’axe x,O1

Spé

ATS COURS


On a 4 équations (2), (3), (5) et (6) pour 8 inconnues système hyperstatique d’ordre 4 ! Les conditions géométriques sont données par : - les équations (2) et (3) : translations Ty et Tz - les équations (5) et (6) : rotations Ry et Rz.

La liaison en O2 doit avoir son axe confondu avec x pour cela il faut 4 C.G. : Ry+Rz+Ty+Tz

Exemple 2 : Guidage d’un arbre sur 3 paliers de façon à obtenir une liaison pivot : On se propose de déterminer le degré d'hyperstatisme par une étude statique et de proposer deux types de solutions pour rendre le système isostatique.

y y O2

x

O1

O

z

Tz

Ty

Ry

Rz

x

O1

O

z

A

B

x

z

y

O

Spé

ATS COURS


Interprétation et conclusion : En extrapolant les conclusions faites sur l'étude d'un solide à un mécanisme complet, on obtient, avec les notations que l'on vient de voir, la relation fondamentale de la théorie des mécanismes (relation de Tchebichev) :

➢ Dans le cas où aucune condition géométrique n'est donnée, on utilise la relation simplifiée :

hmmp.6n iuij

➢ Dans le cas où des conditions géométriques sont définies sur le système :

hmmp.6CGn iuij

c. Système hyperstatique :

Si l’on veut s’assurer qu’un mécanisme est isostatique il ne faut pas se contenter de vérifier que h = 0 pour tout le mécanisme (c’est une condition nécessaire mais pas suffisante). Il faut que h=0 pour toutes les parties du mécanisme ou sous ensemble ainsi que pour les liaisons complexes du mécanisme. D’un point de vue mathématique, un mécanisme est hyperstatique si l’on ne peut pas calculer toutes les inconnues de liaison à partir de l’écriture du Principe Fondamental de la Statique. Ceci implique qu'en statique il est important de le déterminer avant de faire l'étude du système. Pour le résoudre il faut imposer ces inconnues hyperstatiques. D’un point de vue mécanique, on impose souvent à zéro ces inconnues hyperstatiques, ce qui revient à rajouter des degrés de liberté au mécanisme. Pour rendre un mécanisme isostatique on peut : réduire l’amplitude des contacts c’est à dire par exemple passer d’un contact surfacique à un contact

linéique voire ponctuel. (autrement dit remplacer la liaison par une autre ayant plus de mobilités). Exemple : contact plan (liaison appui-plan, Ns=3) réduit à un contact linéique (linéaire rectiligne, Ns=2)

rajouter des liaisons et donc des pièces. Ceci augmente les jeux potentiels et les possibilités de déformation des pièces. Exemple : Le joint d'Oldham sur le Maxpid.

Les Conditions Géométriques permettent de définir les tolérances géométriques sur les surfaces

fonctionnelles afin de conserver le système étudié tel quel. Au niveau de la relation de Tchebichev, l'hyperstatisme peut se ramener à zéro, mais le système conserve en fait son hyperstatisme !

c

Spé

ATS COURS


Exemples de conditions géométriques :

Tolérances de forme Tolérances d'orientation Tolérances de position Tolérances de

battement R

ecti

tud

e

Pla

néi

té

Cir

cula

rité

Cyl

ind

rici

té

Par

allé

lism

e

Per

pen

dic

ula

rité

Incl

inai

son

Loca

lisat

ion

Co

nce

ntr

icit

é et

coax

ialit

é

Sym

étri

e

Bat

tem

ent

sim

ple

Bat

tem

ent

tota

l

En conséquence, l’hyperstatisme, très souvent, coûte cher. A notre époque de compétition industrielle, il faut être en mesure de choisir à coup sûr les assemblages, les surfaces de liaison en les optimisant. Pour cela une analyse est indispensable.

d. Application à la clé étau :

Déterminer si le système est isostatique ou non ?

Proposer une solution pour rendre le système isostatique :

8. CHAINES DE SOLIDES - STRUCTURE DES MECANISMES :

Les graphes des liaisons, qui représentent la structure des mécanismes, peuvent se classer en trois catégories, suivant qu'ils constituent entre les différents solides :

Chaîne ouverte Une chaîne de solides 0, 1, 2… est ouverte si les solides des extrêmes sont différents.

Exemple : le robot : Le premier solide étant le bâti et le dernier, la pince.

Chaîne fermée Une chaîne de solides 0, 1, 2… est fermée si le solide initial est le même que le solide final.

Exemple : lève-barrière

Chaîne complexe Une chaîne de solides 0, 1, 2… est complexe si elle comporte plusieurs chaînes ouvertes ou fermées.

Exemple : plate forme élévatrice

https://youtu.be/gNxvI7Y-LBM

Spé

ATS COURS


C a

B D

A

F

4

3

x 4

b

x 1 , x 2 z 0 , z 1 , z 2

x 3

z 4 z 3

y 3 , y 4

y 1

y 0

x 1

x O

O

2

1

0

E

a. Chaînes ouvertes :

Une chaîne ouverte est constituée de solides assemblés en série. Les chaînes ouvertes permettent de concevoir une liaison non réalisable directement. Elles permettent également de réaliser des liaisons ponctuelles et linéaires en contacts surfaciques. Exemple : Manipulateur pneumatique. A l'aide de la composition des torseurs cinématiques, déterminer le

torseur cinématique {𝜐2/0}𝑂

et déduire la liaison équivalente

correspondante :

Loi entrée-sortie d'une chaîne ouverte : En général il suffira de connaître l'état des différents paramètres de positions pour trouver cette relation.

Spé

ATS COURS


b. Chaîne fermée simple :

Une chaîne fermée simple est une chaîne ouverte dont les solides extrêmes ont une liaison. Exemples: réducteurs à un étage, mécanisme de transformation de mouvement... Application : attelle de rééducation L46-53 : Liaison glissière L53-41 : Liaison pivot L41-55 : Liaison pivot L55-46 : Liaison pivot Calculer le degré d'hyperstatisme du mécanisme :

Proposez une solution pour rendre le mécanisme isostatique :

Loi entrée-sortie d'une chaîne fermée : Les paramètres des liaisons étant liés les uns aux autres cette loi sera plus difficile à déterminer que pour une chaîne ouverte. La méthode la plus répandue est l'utilisation de la fermeture géométrique qui traduit, en s'appuyant sur la géométrie du mécanisme, une somme vectorielle nulle. Voir cours Cinématique du Solide.

46

53 41

55

L14-2

L2-16

L7-16

L7-14

41 55

46

53

https://youtu.be/k5M35xibh9E

Spé

ATS COURS


c. Chaîne cinématiques complexes :

Une chaîne complexe est un mécanisme dont le graphe des liaisons est constitué de plusieurs chaînes fermées imbriquées appelées cycles. Exemples: réducteurs à plusieurs étages, trains épicycloidaux, pompes à pistons axiaux.

Application : Pompe à pistons axiaux

Graphe des liaisons et schéma cinématique pour 1 piston

Le mécanisme est composé de 7 classes d’équivalence {1}, {18}, {23}, {3}, {4}, {5} et {9} d'où :

n = p+1 avec p = nombre de pièces sans compter le bâti. Le nombre de cycles indépendants dans un graphe de structure est donné par la relation :

1n

= nombre de cycles indépendants (correspond au nombre d’études à faire)

= nombre de liaisons

n = nombre de pièces avec le bâti. Définition d’un cycle: Un cycle est une suite de classes d’équivalence et de liaisons en chaîne fermée telle

qu’on ne rencontre pas deux fois la même classe (sauf bien sur la classe début et la classe fin qui sont identiques).

C’est un chemin fermé du graphe, ne passant pas deux fois par le même sommet. La connaissance du nombre cyclomatique est intéressante car elle permet de définir le nombre minimal de chaînes à étudier pour décrire le mécanisme. Application : Pompe à pistons axiaux. Cas avec un piston :

23

18

3

4 5 9

1

C

D

A

G

B

E

F

Spé

ATS COURS


Cas avec cinq pistons :

9. LIAISONS CINEMATIQUEMENT EQUIVALENTES :

On appelle liaison cinématiquement équivalente entre deux pièces, la liaison qui se substituerait à l’ensemble des liaisons réalisées entre ces pièces ou sans pièce intermédiaire. La liaison équivalente est la liaison qui a le même comportement que cette association de liaisons, c'est-à-dire qui transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement.

a. Liaisons en parallèle :

Il est fréquent dans un mécanisme qu’une pièce soit liée à une autre pièce de ce mécanisme par l’intermédiaire de plusieurs liaisons simples. Le but de l’étude qui suit est d’examiner l’isostatisme ou l’hyperstatisme ainsi que la mobilité qui vont résulter de ces liaisons " en parallèle " et de définir, dans ce cas, la structure des torseurs statique et cinématique résultants. Exemple : Réducteur

• Schéma cinématique :

M

8

6

21

13

Spé

ATS COURS


• Etude fonctionnelle : La fonction du sous-ensemble (arbre intermédiaire 6) est de transmettre la puissance de la roue 3 vers

le pignon 15, de telle façon que la fréquence de rotation 15 soit la même que la fréquence de rotation 3.

La loi d’entrée-sortie du mécanisme s’écrit: 15 = 3

Si le rendement du système est = 1, alors la loi d’entrée-sortie peut également se traduire par l’égalité des couples: C15 = C3 Le graphe fonctionnel du mécanisme est :

• Etude mécanique : Classes d’équivalence cinématiques :

{6} = { 1, 3, 5, 6, 2 (bague intérieure), 15, 16 (bague intérieure), 18 } {13} = { 2 (bague extérieure), 13, 14, 16 (bague extérieure), 18 }

• Graphe des liaisons :

L6-13 = liaison pivot d’axe x,O

• Schéma cinématique minimal :

• Torseur cinématique associé à la liaison L6-13 :

z,y,x

136x

O

13/6

00

00

0

• Torseur d’action mécanique transmissible de la liaison L6-13 :

z,y,x613613

613613

613

O

613

NZ

MY

0X

T

• Equilibre de 6 : ( 6 est supposé en mouvement de rotation en uniforme ) L’arbre 6 est en équilibre sous l’action :

- du torseur d’action mécanique transmissible par la liaison (13- 6) : 613T

- d’un torseur d’action mécanique extérieure associé aux forces exercées sur la roue 3 par 8 et sur le pignon 15 par 23, que nous noterons au point O par : 6ExtT

Nous pouvons donc écrire, d'après le principe fondamental de la dynamique pour un solide en mouvement de rotation uniforme :

0TT 6ExtO613O (1)

15 3

13

6 y

x

O

L 6-13

13 6

Entrée roue 3

3 Sortie pignon 15

Transmission de Puissance sans changement de

fréquence

Spé

ATS COURS


Modélisation du roulement seul :

Nous avons vu précédemment que, lorsqu'ils étaient par paire, les roulements seraient associés à une liaison pivot. C'est généralement vrai mais ce modèle ne nous permet de déterminer avec précision les efforts dans les paliers qui sont utiles aux calculs de durée de vie de roulement. Le rotulage : Il existe toujours un jeu, aussi minime soit-il, entre les billes et les bagues.

Ce jeu a pour conséquence de permettre une rotation relative des bagues, autour des axes perpendiculaires à l'axe principal du roulement. Ces rotations sont appelées « rotulage ».

Roulement à une rangée de billes

Le plus souvent le rotulage > 5’

Roulement à deux rangées de billes

Le plus souvent le rotulage <5'

Roulement à aiguilles ou à rouleaux

Le plus souvent le rotulage <5'

Roulement à rotule (billes ou rouleaux)

Rotule entre 2 et 4°

Remarques : Si l’angle maximal de rotulage (fourni par le constructeur) est >5’, alors les mouvements de

rotation autour des axes secondaires sont considérés possibles. De plus, si les bagues du roulement ne sont pas arrêtées transversalement, alors le mouvement

de translation suivant la direction de l’axe principal est possible.

Exemple 1 : Angle de rotulage du roulement <5’ Les deux bagues sont arrêtées en translation

→ modélisable par une liaison pivot

Exemple 2 : Angle de rotulage du roulement <5’ Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation

→ modélisable par une liaison pivot glissant

Exemple 3 : Angle de rotulage du roulement >5’ Les deux bagues sont arrêtées en translation

→ modélisable par une liaison sphérique ou rotule

Exemple 4 : Angle de rotulage du roulement >5’ Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation

→ modélisable par une liaison linéaire annulaire

Spé

ATS COURS


x.OC

• Etude technologique : La liaison pivot L6-13 d’axe x,O est réalisée par l’intermédiaire de deux roulements à billes. D’après le

montage du dessin d’ensemble et en supposant que les angles de rotulage des roulements 2 et 16 sont suffisants pour encaisser les déformations de flexion de l’arbre 6, nous pourrons modéliser le guidage en rotation de l’arbre 6 dans le carter 13 par deux liaisons élémentaires. La liaison LC, réalisée par le roulement 16 dont les deux bagues sont épaulées, est une liaison rotule de centre B. La liaison LO, réalisée par le roulement 2 dont la bague intérieure est épaulée et la bague extérieure est libre, est une liaison linéaire annulaire d’axe x,O .

• Schéma technologique de l'arbre intermédiaire 6 :

• Relation entre les torseurs statiques : Exprimons l’équilibre de 6 :

- 6 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique extérieure 6ExtT

- du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison LO 613O'T

- du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison LC 613C"T .

L’équilibre de 6 se traduit par:

0"T'TT 613CO613OO6ExtO (2)

En identifiant les relations (1) et (2), il vient:

613CO613OO613O "T'TT

Cette relation traduit que les composantes d’action mécanique transmissibles entre 13 et 6 sont celles qui sont transmissibles par les liaisons LO et LC.

Cette relation peut être généralisée et s’appliquer dans le cas ou entre les deux pièces il existe n liaisons simples en parallèle.

A

B

O

C

B

A

O

y y

z x

Spé

ATS COURS


• Etude de la compatibilité cinématique : Le torseur cinématique 13/6 associé à la liaison équivalente L6-13 est à priori quelconque et on le

notera en O dans la base z,y,x :

z,y,xzz

yy

xx

O

13/6

V

V

V

Le torseur cinématique 13/6O' associé à la liaison linéaire annulaire d’axe x,O est :

z,y,xOz

Oy

OxOx

O

13/6O

0

0

V

'

Le torseur cinématique 13/6C" associé à la liaison rotule de centre C est :

z,y,xCz

Cy

Cx

C

13/6C

0

0

0

"

• Condition de compatibilité cinématique

Pour que la liaison équivalente L6-13 soit compatible avec les liaisons simples en parallèle qui la composent, il faut que le torseur cinématique de la liaison équivalente, réduit au centre de chaque liaison simple autorise la même mobilité que cette dernière.

Ceci implique que le torseur cinématique de la liaison équivalente est égal au torseur cinématique de chaque liaison simple.

13/6CO13/6OO13/6O"'

En réduisant les torseurs en O, on obtient :

CzOzz

CyOyy

CxOxx

0.0V

0.0V

0VV

CyCyz

CzCzy

Oxx

Le torseur équivalent s'écrit alors :

z,y,x

x

O

13/6

00

00

0

qui est le torseur d'une liaison pivot d'axe x,O

b. Liaison en série :

Définition: Si une pièce n est liée à un bâti 0 par l’intermédiaire de n-1 pièces placées en série, et si ces n

pièces sont liées 2 à 2 par une liaison simple, alors ces n pièces et ces n liaisons constituent une chaîne continue ouverte.

0 1 n-1 n

Ln L3 Ln-1 L2 L1

2

Spé

ATS COURS


Exemple :

L1-0 : liaison pivot d’axe z,O

L2-1 : liaison rotule de centre A

• Relation entre les torseurs statiques : Exprimons l’équilibre de 2 :

Le solide 2 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique extérieure 2ExtT et du torseur

d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-2 21T on peut écrire:

0TT 21A2ExtA ou 21A2ExtA TT (a)

Exprimons l’équilibre de 1 :

Le solide 1 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-2 12T et du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-0 10T , on peut écrire

:

0TT 10A12A ou 10A12A TT (b)

Exprimons l’équilibre de l’ensemble 1+2 :

Le système 1+2 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique extérieure 21ExtT et du

torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-0 210T , on peut écrire :

0TT 210A21ExtA ou 210A21ExtA

TT (c)

Sachant que 2ExtA21A12A TTT et 2ExtA21ExtATT , les 3 équations a, b et c permettent donc

d’écrire :

210A10A12A2ExtA TTTT soit :

02A01A12A2ExtA TTTT

Le torseur d’action mécanique transmissible par la liaison équivalente L2-0 à l’ensemble des liaisons en série L1 et L2 est égal au torseur d’action extérieure qui s’exerce sur la pièce d’extrémité 2.

Plus simplement on peut dire que si une composante d’un torseur statique d’une liaison Li est nulle, la composante correspondante du torseur statique de la liaison équivalente est nulle. Les composantes d’action mécanique transmissibles entre 0 et 2 sont donc celles qui sont transmissibles simultanément par les liaisons L1 et L2. Nous obtenons donc pour notre exemple :

000 z,y,x10

1010

1010

A

01

0Z

MY

LX

T

et

000 z,y,x21

21

21

A

12

0Z

0Y

0X

T

soit :

000 z,y,x20

20

20

A

02

0Z

0Y

0X

T

Qui est le torseur d'une liaison rotule de centre A.

0 1

L2-1 L1-0

2

z0, z1

S2 x2

x1

y2

y1 A

S1

O

S0

x0 y0

z2

Spé

ATS COURS


• Etude de la compatibilité cinématique :

On note :

000 z,y,xzz

yy

xx

A

0/2

V

V

V

le torseur associée à la liaison

équivalente L2-0

La loi de composition des torseurs cinématiques des mouvements relatifs permis par chacune des liaisons simples permet d’écrire:

0/1A1/2A0/2A

Liaison L1-0 : pivot d’axe 0z,O ou 1z,O

0z01zO

0/1

0

00

00

le point de réduction )z,O( 0

Liaison L2-1 : rotule de centre A.

000 z,y,x12z

12y

12x

A

0/2

0

0

0

Les équations algébriques tirées de la composition des torseurs cinématiques sont au nombre de six. Il y a quatre inconnues cinématiques indépendantes. ( 12x , 12y , 12z et 01z ).

12z01zz

12yy

12xx

0

0

00V

00V

00V

z

y

x

donc :

000 z,y,xz

y

x

A

0/2

0

0

0

On retrouve le torseur d'une liaison rotule de centre A. La mobilité cinématique utile mcu de la liaison équivalente est égale à 3 car il n’existe que 3 inconnues

cinématiques indépendantes dans l’expression de 0/2 , ce sont x, y, z.

• Mobilité cinématique mc de la chaîne ouverte Définition: La mobilité cinématique mc de la chaîne continue ouverte est égale au nombre total d’inconnues

cinématiques Nc relatif à l’ensemble des liaisons simples de la chaîne.

Ncmc

z0, z1

S2 x2

x1

y2

y1 A

S1

O

S0

x0 y0

z2

0 1

L2-1 L1-0

2

L0-2

Spé

ATS COURS


Pour le système que nous étudions: mc = Nc = NcL1 + NcL2 = 3 + 1 Mobilité cinématique interne mci s’obtient par la relation

cicuc mmm

donc mci = mc - mcu = 4 - 3 = 1 Les mobilités internes mci d’une chaîne continue ouverte sont les degrés de liberté qui existent entre les différentes pièces de la chaîne lorsque la pièce d’extrémité n est immobilisée par rapport au bâti 0. Dans l’exemple qui nous concerne, la mobilité interne correspond à la rotation 01z .

En effet on avait: 12z01zz supposons 0z 12z01z

Application : Pompe hydraulique à piston axiaux.

➢ Déterminer la liaison équivalente L3-5.

➢ Déterminer les différentes mobilités :

https://youtu.be/qdVLKf9GZqo

modelisation des mecanismes...modelisation d'un mecanisme existant : un mécanisme réel étant...

Documents