modelisation de l’ etude des distributions des …

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

———o0o——–

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO———o0o———

DEPARTEMENT SCIENCES DES MATERIAUX ET METALLURGIE——o0o——

MODELISATION DE L’ ETUDE DES DISTRIBUTIONSDES CONTRAINTES ET DEFORMATION

D’UN VOILE AVEC FLEXION(COQUE DEMIE SPHERIQUE- COQUE DEMIE CYLINDRIQUE)

Présenté par:RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix

2005

MEMOIRE DE FIN D’ETUDES EN VUE DE L’OBTENTION DUDIPLOME D’ETUDES APPROFONDIES

EN SCIENCES DES MATERIAUX——o0o——

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO———o0o——–

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE D’ANTANANARIVO

———-o0o——— DEPARTEMENT SCIENCES DES MATERIAUX ET METALLURGIE

——-o0o——-MEMOIRE DE FIN D’ETUDES EN VUE DE L’OBTENTION DU

DIPLOME D’ETUDES APPROFONDIESEN SCIENCES DES MATERIAUX

MODELISATION DE L’ ETUDE DES DISTRIBUTIONSDES CONTRAINTES ET DEFORMATION

D’UN VOILE AVEC FLEXION(COQUE DEMIE SPHERIQUE- COQUE DEMIE CYLINDRIQUE)

ELEMENTS FINIS ET MATLAB

MEMBREs DE JURY ———-0———-

Président de JURY : M Ramanantsizehena Pascal Directeur de l’ ESPA Professeur titulaire

Examinateurs:M Ranaivoniarivo Velomanantsoa Gabriely Professeur Responsable Scientifique de la formation en 3e Cycle du Departement SMM M Rakotomaria Etienne Professeur titulaire

M Randrianja Roger Professeur Chef de Département Mines

M Ranarivelo Michel Chef de Departement SMM Maître de Conférence

Rapporteur : M Randriantsimbazafy Andrianirina Maître de ConférenceDate de soutenance : 09 Septembre 2006

2005

Présenté par RANDRIAHARIMINAJean De La Croix

COQUES – Sciences des Matériaux SMM - ESPA

MODELISATION DE L’ETUDE DES DISTRIBUTIONS DES CONTRAINTES ET

DEFORMATIONS D’UN VOILE AVEC FLEXION

(coque demie sphérique et coque demie cylindrique)

REMERCIEMENTS _ AVANT-PROPOS _ PREFACE _ INTRODUCTION

I – DEFINITIONS . Caractéristique de la voile. Caractéristique de la surface

II – HYPOTHESESIII - SCIENCES DES MATERIAUX A UTILISER

- Caractéristique des matériaux constituant le béton- Les contraintes des matériaux- Mise en oeuvre

IV –SYSTEME DE CHARGE - Les forces Résultantes- Les Moments de Flexion et de Torsion- Appuis

V – EQUILIBRE GENERALE OU DE FLEXION . Principe de l’étude

. Equilibre de membraneVI -EQUATIONS GENERALES -Solutions des équations -Conditions limites -Détermination des Constantes d’IntégrationVII – EXEMPLES D’APPLICATIONS :

- Coque sphérique (hémisphérique) .Détermination des tensions de Membrane en tout point de la calotte sphérique .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes-Coque cylindrique (hémicylindrique) .Détermination des tensions de Membrane en tout point du voile .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes

VIII- LA METHODE DES ELEMENTS FINIS- Introduction- Etude du modèle- Equilibre de la facette

IX –L’UTILISATION DE L’OUTIL MATLAB - Présentation de Matlab - Les calculs matriciels dans Matlab - Les opérations matricielles dans Matlab - Les sous programmes : . de calculs des différents caractéristiques d’un élément . de montage des graphismes

REMERCIEMENTS

MEMO DEA RANDRIAHARIMINA Jean De La Croix - 1 -


Nous tenons à remercier DIEU, notre créateur et notre sauveur, qui nous a conduit à ce chemin de la clartéde ses mains miraculeuses et pleines de pouvoir .

Nous remercions Monsieur RAPARSON RICHARD, Directeur général de la DINIKA INTERNATIONAL, qui nous a autorisé à poursuivre notre étude jusqu’à ce niveau.

Nous remercions aussi tous les enseignants qui étaient chargés de notre formation durant la période de l’année scolaire : -Monsieur RAMANANTSIZEHENA Pascal : Directeur de l’ESPA , Professeur titulaire à l’ESPA -Monsieur RANAIVONIARIVO Velomanantsoa Gabriely :Professeur Responsable Scientifique de la Formation en 3e Cycle du Département SMM -Monsieur RAKOTOMARIA Etienne : Professeur titulaire à l’ESPA -Monsieur RAKOTONIRINA Solonjatovo Emmanuel Volahanta : Professeur titulaire

-Monsieur RAKOTOMIRAHO Soloniaina : Professeur à l’ESPA

-Monsieur RAKOTONINDRAINY : Professeur à l’ESPA

-Monsieur RANDRIANJA Roger : Professeur Chef de Département Mines à l’ESPA

-Monsieur RANDRIANARY Philippe : Professeur Chef de Département Génie Chimique à l’ESPA

-Monsieur RAZAFIMAHEFA Alexandre : Professeur titulaire à la faculté des sciences

-Monsieur RANARIVELO Michel Dieudonné : Chef département SMM (sciences des matériaux et métallurgie ) à l’ESPA : Maître de Conférence

-Monsieur RANDRIAMANDRANTO Daniel : Maître de Conférence -Monsieur RABE CHRISTIAN : Maître de conférence

-Monsieur RIVONIRINA Rakotoarivelo : Maître de Conférence

-Monsieur RANDRIANTSIMBAZAFY Andrianirina : Maître de Conférence Nous remercions aussi les amis du labo des Maths – Physiques à la faculté des sciences à Ankatso pour leurs aides et conseils pour la réalisation de ce travail. En particulier nos anciens enseignants à la faculté des sciences : - Monsieur RATIARISON Adolphe : Professeur - Monsieur RABEMANOTRONA : Maître de conférence

Nous tenons aussi à remercier les personnels de la scolarité et de la bibliothèque de l’ ESPA de leur aimable collaboration et information.



PREFACE

Dieu est géométrie

Platon

Un Calculateur, ingénieur, ne doit modifier aucune forme donnée par l’architecte pour la

mettre en équation, c’est qu’il n’est pas un chercheur et qu’il utilise ce qu’il sait sans plus, or le danger

est d’affirmer qu’il n’y a que ce que je sais qui existe.

Car toute forme a une expression géométrique et peut se mettre en équation.

La géométrie, comme les mathématiques, est un langage.

Tout ce qui se conçoit peut donc s’exprimer par le dessin ou par le calcul.

On sait que, même ce qui est inconcevable à l’esprit humain, peut se représenter

mathématiquement. C’est bien à cette recherche que nous voulons aboutir.



AVANT-PROPOS

Les voiles minces ne constituent qu’un cas particulier de la mécanique des milieux

continus et de même leurs exemples d’application comme les coques hémisphériques et

hémicylindriques. Nous présentons ici, sous forme de mémoire, leur théorie générale en quelques pages,

pour ces quelques applications citées ultérieurement seulement, par manque d’intérêt pratique sans doute

dans mon domaine de spécialité. On trouve en effet un système d’équations différentielles sans

solutions évidentes de sorte qu’on est tout naturellement conduit dans un but de simplification, à tenir

compte des particularités géométriques de chaque surface.

Cela explique pourquoi il n’existe toujours pas le livre traitant totalement et efficacement des

voiles minces et pourquoi chaque auteur est conduit à faire un choix :

- certains étudient en détail une surface particulière

- d’autres étudient en détail une méthode approchée en l’appliquant à plusieurs surfaces.

Plusieurs ouvrages s’arrêtent à la formulation des systèmes d’équations différentielles et à

l’étude théorique des solutions.



INTRODUCTION Les propriétés de flexion d’une plaque dépendent, en grande partie, de son épaisseur, en fonction de ses autres dimensions. On ne peut pas traiter la théorie des résistances des matériaux dans les plaques minces ou voiles ou coques. L’étude des plaques minces n’est jusqu’à présent que théorique et les chercheurs ont axé leur recherche dans la méthode appliquée pour les calculs des contraintes et déformations relatives aux plaques minces. La théorie approchée des plaques minces considère le problème des plaques comme un problème d’élasticité à trois dimensions. Cette théorie n’a jusqu’à présent pas été résolue. A Madagascar les recherches concernant les méthodes de calcul des plaques minces ne sont qu’au stade embryonnaire et nous pensons que nous sommes le pionnier de ces chercheurs. Les plaques très minces avec une résistance négligeable à la flexion, se comportent comme des membranes, à l’exception d’une zone étroite près des bords où la flexion peut exister à cause des conditions aux limites imposées aux plaques. Il existe plusieurs méthodes pratiques de résolution des équations différentielles partielles qui relient les contraintes et les déformations.Le but de ces recherches est de pouvoir dimensionner les plaques selon les sollicitations et les charges qui lui sont appliquées. Le problème de méthode de différences finies réside sur le fait que, des fois la convergence des solutions par la méthode itérative est difficile. C’est pour cela que les chercheurs n’ont pas utilisé ces méthodes. Dans notre cas nous allons essayer d’appliquer la méthode des éléments finis pour la résolution des problèmes. En essayant de cerner les problèmes de sollicitations des plaques minces, et en posant les Equations à résoudre nous allons appliquer les principes généraux des modélisations et de discrétisation du problème pour la méthode des éléments finis. La résolution consiste à maîtriser la fameuse matrice de rigidité qui relie les contraintes et déformation des plaques minces. Par la méthode des éléments finis on devrait faire le maillage de la plaque mince. Ensuite on devrait chercher les fonctions polynomiales relatives aux mailles de références. La solution de la méthode des éléments finis réside sur le faite de poser un élément de référence et de considérer toutes les sollicitations sur celui-ci avec les équations. En essayant les solutions approchées par interpolation, on essaie de faire l’assemblage du système. Après avoir appliqué la méthode des éléments finis nous allons essayer de traiter des cas particuliers de problèmes de coques par le logiciel MATLAB. Le principe du logiciel MATLAB consiste à ramener tout problème sous forme d’équations matricielles et de résoudre ces problèmes. Ainsi , en guise de mémoire de fin d’études à l’ESPA pour obtenir le diplôme d’ETUDESAPPROFONDIES (DEA) en Sciences des Matériaux et Métallurgie , nous pensons qu’il est opportun de faire ces études. D’où le présent mémoire intitulé : « Modélisation de l’étude des distribution des contraintes et déformations d’un voile avec flexion ».Nous avons divisé notre étude en trois parties : Première partie :Généralité sur les coques : Dans cette partie , nous établirons , les caractéristiques des coques ,Les caractéristiques des plaques , les équations différentielles y afférentes . Deuxième partie :La méthode des éléments finis : Dans cette partie, nous évoquerons le principe des éléments finis, la discrétisation et la modélisation des coques , nous essaierons d’établir la matrice de rigidité et de faire l’assemblage. Troisième partie :L’outil MATLAB : Dans cette partie , nous évoquerons le principe de l’outil MATLAB.Nous établirons des programmes de quelques cas particuliers des coques.



CARACTERISTIQUES DES PLAQUES

Les propriétés de flexion d'une plaque dépendent, en grande partie, de son épaisseur en

fonction de ses autres dimensions. Dans l'exposé qui suivra, nous distinguerons trois sortes de plaques:

les plaques minces avec faibles flèches, les plaques minces avec grandes flèches et les plaques épaisses.

Plaques minces avec faibles flèches. — Si les flèches w d'une plaque sont faibles par rapport

à son épaisseur h, on peut alors énoncer une théorie approximative, très satisfaisante, sur la flexion

d'une plaque soumise à des charges transversales, en émettant les hypothèses suivantes :

1. Il n'y a pas de déformation dans le plan moyen d'une plaque. Ce plan reste neutre pendant la

flexion.

2. Les points de la plaque situés initialement sur une normale au plan moyen de la plaque

demeurent sur celle-ci après la flexion.

3. Les contraintes normales suivant une direction transversale à la plaque peuvent être négligées.

En tenant compte de ces hypothèses, toutes les composantes de la contrainte peuvent

s'exprimer par la flèche w de la plaque, qui est une fonction à deux dimensions dans le plan de cette

dernière. Cette fonction doit satisfaire à une équation linéaire aux dérivées partielles, qui, avec les

conditions aux limites, définit complètement w. Ainsi donc, la solution de cette équation donne

toute information nécessaire au calcul des contraintes en n'importe quel point de la plaque.

La seconde hypothèse équivaut à négliger l'effet des efforts tranchants sur la flèche des

plaques. Cette hypothèse est généralement satisfaisante, mais dans certains cas (par exemple, dans le

cas de trous dans une plaque) l'influence du cisaillement devient importante et quelques corrections

doivent être apportées à la théorie des plaques minces.

Si des forces externes viennent s'ajouter aux charges transversales agissant dans le plan

moyen de la plaque, la première hypothèse ne doit plus être prise en considération, et il est

nécessaire de tenir compte de l'effet des contraintes agissant dans le plan moyen de la plaque sur la

flexion de celle-ci. Il suffit pour cela d'introduire quelques termes correctifs dans l'équation aux

dérivées partielles mentionnée plus haut.



Plaques minces avec grandes flèches. — La première hypothèse n'est complètement

satisfaite que si une plaque est fléchie en une surface développable. Dans les autres cas, la flexion d'une

plaque est accompagnée d'une déformation dans le plan moyen mais les calculs montrent que les

contraintes correspondantes dans ce plan moyen sont négligeables si les flèches de la plaque sont petites

par rapport à son épaisseur. Si les flèches ne sont pas petites, ces contraintes supplémentaires doivent

être prises en considération, en résolvant l'équation aux dérivées partielles des plaques. Dans ce cas nous

obtenons des équations non linéaires et la solution du problème devient plus compliquée. Dans le cas de

grandes flèches nous devons aussi faire la distinction entre les bords fixes et les bords libres de se

déplacer dans le plan de la plaque, qui peuvent avoir de grandes conséquences sur la grandeur des

flèches et sur les contraintes de la plaque. Du fait de la courbure du plan moyen déformé de la plaque,

les efforts de traction supplémentaires qui prédominent, agissent en opposition à la charge transversale

initiale; ainsi, la charge donnée est alors transmise en partie par la rigidité à la flexion et en partie par

une action de la membrane de la plaque. Par conséquent, les plaques très minces avec une résistance

négligeable à la flexion, se comportent comme des membranes, à l'exception, peut-être, d'une zone

étroite près des bords où la flexion peut exister à cause des conditions aux limites imposées à la plaque.

Le cas d'une plaque fléchie en une surface développable, en particulier en une surface

cylindrique, peut être considéré comme une exception. Les flèches d'une telle plaque peuvent être de

l'ordre de son épaisseur sans nécessairement produire des contraintes de membrane et sans affecter le

caractère linéaire de la théorie de la flexion. De toute manière, les contraintes de membrane devraient

apparaître dans une telle plaque, si ses bords sont fixes dans son plan et si les flèches sont suffisamment

grandes. Donc, dans les « plaques avec faibles flèches » les forces de membrane produites par les bords

fixes dans le plan de la plaque peuvent être pratiquement négligées.

Plaques épaisses. — Les théories approchées des plaques minces, exposées plus haut, sont

inutilisables dans le cas des plaques de grande épaisseur, spécialement dans le cas de charges très

élevées. On doit alors utiliser la théorie de plaques épaisses. Cette théorie considère le problème des

plaques comme un problème d'élasticité à trois dimensions. Par conséquent, l'analyse de la contrainte se

complique, et jusqu'à présent, le problème n'a été complètement résolu que pour quelques cas

particuliers. Utilisant cette analyse, on peut apporter les corrections nécessaires à la théorie des plaques

minces aux points à charges élevées,



Les principales hypothèses de la théorie des plaques minces servent de base à la théorie

usuelle des coques minces. De toute manière, il existe une importante différence dans le comportement

des plaques et des coques sous l'action de charges extérieures. L’équilibre statique d’un élément de

plaque soumis à une charge transversale n’est seulement possible que par l’action des moments de

flexion et de torsion, habituellement accompagnés d’efforts tranchants : tandis qu’une coque, en général,

est capable de transmettre la surface de charge par contraintes de « membrane » qui agissent

parallèlement au plan tangent en un point donné de la surface moyenne et sont distribuées uniformément

à travers l'épaisseur de la coque. En règle générale, cette propriété des coques fait qu'elles sont d'une

structure plus rigide et plus économique qu'une plaque placée dans les mêmes conditions de contraintes.

En principe, les forces de membrane sont indépendantes de la flexion et sont entièrement

définies par les conditions de l'équilibre statique. Les méthodes de détermination de ces forces

représentent la théorie dite « théorie des membranes des coques ». De toute manière, les forces

de réaction et de déformation obtenues par l'utilisation de la théorie de la membrane, pour les limites de

la coque, sont habituellement incompatibles avec les conditions aux limites réelles. On doit tenir

compte de la flexion de la coque dans la zone des contours pour faire disparaître cette divergence qui

peut affecter légèrement la valeur des forces de membrane calculées initialement. De toute façon, cette

flexion a habituellement, un caractère très localisé et peut être calculée sur la base des mêmes

hypothèses que celles utilisées dans le cas de faibles flèches des plaques minces. Mais il existe des

problèmes, spécialement ceux concernant la stabilité élastique des coques, dans lesquels la théorie des

faibles flèches peut être abandonnée au profit de la « théorie des grandes flèches ».

Nous utiliserons une théorie plus rigoureuse, semblable à celle des plaques épaisses, si

l'épaisseur d'une coque est directement proportionnelle aux rayons de courbure ou si nous considérons

des contraintes proches de forces concentrées.



COQUES

Voiles mincesI – DEFINITION

Considérons un volume compris entre deux surfaces Σ’ et Σ’’

Appelons Σ la surface située à égale distance de Σ’ et Σ ‘’. C’est à dire la surface moyenne

La normale Mz en une point M de la surface Σ coupe les surface Σ’ et Σ’’ en P’ et P’’

Figure 1

On appelle ce volume : voile mince ou membrane car nous considérons les hypothèses suivantes :

*



II – HYPOTHESES :

• La surface de bissectrice Σ est la surface moyenne

• La longueur P’P’’ est l’épaisseur h de la coque avec 5 cm < h < 20 cm

• h est petite par rapport aux autres dimensions de la coque et par rapport à son rayon de

courbures

Pour analyser les forces internes :

On découpe dans la coque un élément infiniment petit délimité par deux paires de plans adjacents

Perpendiculairement à la surface moyenne de la coque

Cette surface moyenne étant rapportée à un repère rectiligne orthonormé

• On prend les axes des coordonnées x tgtes en O

y

aux fibres des courbures principales de l’axe z Normal à la surface moyenne de la coque

• Les principaux rayons de courbures

- dans le plan x o z :rx

- dans le plan y o z : ry

• Les contraintes agissant sur les faces planes ont :

pour directions les axes des coordonnées

pour composantes

σx , σy

τ xy = τ yz

τ xy



III- SCIENCES DES MATERIAUX A UTILISER La science des matériaux nous permette d’utiliser, pour ces genres de constructions, des matériaux

modulables, légers, faciles à manipuler tel le BETON ARME coulé dans le coffrage.

On a aussi utilisé, le céramique, le bois, les plastiques, l’amiante-ciment, le verre et même l’argile crue

selon le choix de l’architecte et le pouvoir d’achat du maître de l’ouvrage.

Ce qui nous intéresse ici c’est le BETON ARME qui se prête bien à la construction des voiles et qui est

le plus employé à cet usage dans le bâtiment ou les ouvrages d’art.

Lorsqu’il est exécuté avec soin, sa résistance aux intempéries est presque illimitée, sa fatigue sous

charges, ne crée pas de vieillissement remarquable tant que les conditions aux limites élastiques sont

respectées et il est, le voile, isolé des vibrations ou de nombreuses variations de charges avec changement

de signe ; même dans ce cas le béton armé n’est pas défavorisé par rapport aux autres matériaux.

A – CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX

Constituant le BETON

a) CIMENTS

Le ciment est le LIANT HYDRAULIQUE du B.A .

Tous les ciments employés pour le B.A. conviennent pour la construction des voiles.

Mais il est préférable, par conseils des grands géants des MATERIAUX et VOILE durant les cours

de liant hydraulique, uniquement :

• LES CPA 45 (ciment portland artificiel) qui est dans l’ancienne NORME NFP

15 301 1981 et dans la NOUVELLE NORME EUROPEENNE EN 197-1 et qui

contiennent au moins :

- 95% de Klinker

- 3 à 5 % de Gypse

- Au plus 5 % d’autres additions de constituants secondaires

(généralement sous forme de Filler)

- Et de classe de Résistance CPA 45 qui est sûr d’avoir une résistance moyenne

du mortier de 45 MPa à 28 jours .Ceci aussi est caractérisé par

leur couleur très variable d’une fabrication à une autre.

• LES CPA 55R équivalent des SUPERS 315/400, permettront des décoffrages

rapides mais seront plus onéreux. Leurs vitesses de durcissement permettront à un

moindre degré, l’adaptation aux charges pendant la phase semi plastique précédente

le durcissement définitif puisque la durée de cette phase sera beaucoup plus courte.

Ces ciments sont les seuls employés lorsqu’on est en présence de précontrainte.



Pour sa classe de RESISTANCE , celle-ci est élevée dès le jeune âge d’où la lettre

R (prise Rapide)

LES CIMENTS ALUMINEUX FONDUS (CA) sont aussi à conseiller dans des

milieux agressifs mais leur emploi demande une grande précaution. C’est un

LIANT HYDRAULIQUE qui résulte de la montée après cuisson jusqu’à fusion

d’un mélange composé principalement :

-d’Alumine )( 32OAl

-Chaux

-Oxyde de Fer

-Silice

Dans des proportions tel que le ciment obtenu renferme au moins 30% d’Alumine

( )32OAl .

Le ciment est un ciment à prise très rapide et c’est aussi un ciment réfractaire.

b) LES ACIERS

Les aciers employés sont les fers à béton du commerce .Etant donné les faibles épaisseurs de paroi ,

les petits diamètres utilisés sont principalement :

Ǿ6 , Ǿ8

Avec limite d’élasticité : 24 kgf/cm2

Limite de rupture : 42kgf/cm2

Allongement de rupture : 20%

Les aciers pour précontraintes sont des tréfilés à haute limite élastique, 140 kgf par mm2 . rupture

pour un allongement de 10 %

c) AGREGATS

Caractéristiques exigées :

Les sables :

- Sables calcaires ou siliceux

Exempts de schistes, ou matières organiques, ils seront lavés

- Les sables très fins sont à rejeter de même les échantillons à trop grosses dimensions

car nous avons un ouvrage de faible épaisseur

- Donc ceux qui nous conviennent donc ce sont les dimensions moyennes : de 0.3 à 1.5 mm



Les graviers :

Les graviers seront siliceux ou calcaires. Comme les sables, leur résistance sera de 700 à 800

kg/cm3 . on aura intérêt à utiliser les 5/15 et 15/25

dont minima 5

et maxima 25

d) BETONS COURANTS

Le dosage Normal du BA à adopter par m3 est :

Ciment : 350 kg

Sable : 0,400 m3

Gravier : 0,800 m3

Cette proportion de ciment est une moyenne mais celle – ci peut être modifiée en fonction du

granulométrie , car il ne sera pas nécessaire de surcharger en ciment un mélange sable - gravier ,

comportant peu de vide . Cette modification de la proportion en ciment en fonction de la granulométrie

améliorera le coefficient de retrait.

B- LES CONTRAINTES des MATERIAUX

Le taux de résistance du béton dosé à 350 kg :

Cette résistance du Béton à tous les essais expérimentaux doit être respectée suivant l’âge du Béton

même si la Granulométrie de celui-ci ou la proportion en ciment varie.

La résistance mesurée à 28jours sert de base pour les calculs (Recommandations Internationales

CEB-FIP).Toutefois, s’il est nécessaire d’évaluer la résistance à un age différent, on pourra, à défaut de

données expérimentales, utiliser, pour une température comprise entre 15° et 20° et pour un béton

à base de ciment Portland, le tableau suivant sert pour correspondance des Recommandations CEB-FIP

Les contraintes admissibles que nous allons définir, correspondent à des ouvrages où l’on peut tenir

compte de l’adaptation tout en conservant un coefficient de sécurité raisonnable. Il est bien entendu que

pour certains ouvrages de type particulier tels que : réfrigérant, cheminées Voiles etc…cet appel à

l’adaptation n’est possible que dans des limites très étroites .Il y a donc lieu de considéré les valeurs

des contraintes ci-dessous qui sont fondées sur l’expérience tirée du comportement des ouvrages. La

contrainte de compression admissible 'bσ du béton à 28 jours d’âge(résistance nominale) est en

fonction de 5 facteurs sans dimension :



'28

' ..... σεδγβασ =b

α dépend de la classe du ciment utilisé,donc de la vitesse de durcissement

β dépend de l’efficacité du contrôle exercé sur la qualité du béton mis en œuvre

γ dépend de l’épaisseur de l’ouvrage et des dimensions des granulats

δ dépend de la nature des sollicitations

ε dépend de la forme des sections et de la position de l’axe neutre

Classe 325 1

α Classe 400 0.90

Classe 500 0.833

Contrôle atténué 0.833

β Contrôle stricte 1

γ gCh 4> 1

gCh 4< gCh 4/

δ Compression simple Sollicitation totale pondérée

Ou pour toutes sollicitations 1er genre 2emegenre

non visées par les règles 0.30 x1.5 Tableau 1

Age du Béton (jours) 3 7 14 21 28 90 360

Béton de CPA

normal 0.40 0.65 0.88 0.95 1 1.20 1.35

Béton à haute

résistance initiale 0.55 0.75 1 1.10 1.20 Tableau 2

La Contrainte de traction de référence bσ

La contrainte de traction de référence bσ est une fraction

θγβαρ ...=b de la résistance à la compression à 28 jours d’âge '28σ

'28σρσ bb =

Avec γβα ,, sont des facteurs sans dimension et de mêmes significations et

valeurs que pour la contrainte de compression admissible.

Et pour θ :

'28/1.2018.0 σθ +=



Résistance à la traction

Age du BETON (jours) 3 7 28 90 360

Ciment Portland normal 0.40 0.70 1 1.05 1.10 Tableau 3

Valeurs pratiques pour les contraintes admissibles

Pour une exécution normale avec un ciment de la classe 325, la résistance à la compression '28σ

en fonction du dosage peut prendre les valeurs suivantes :

Dosage(kg/m3) ( )bars'28σ ( )bars28σ

350 270 23.2

400 300 25 Tableau 4

- à l’écrasement à 90 jours c-à-d en compression de 235 kgf/cm2 au moins

- à la résistance à la traction : 151

de celle-ci soit 16 kgf/cm2.

- La rupture en traction se produit pour un allongement de 100

1 de mm par mètre et 6 kgf/cm2

- ces éprouvettes étant non armé. Et l’armature modifie ce taux à 1

10

Le module d’élasticité ou module d’ YOUNG E = 330000kgf/cm2

Le coefficient de dilatation est 11x10-6 soit :

- un allongement de 1000

11mm pour 1m de longueur

- un élévation de température de 1°. Lorsque des résistances supérieures seront nécessaires, on améliorera la qualité de l’agrégat et

on prendra LES CPA 55R équivalent d’un SUPER CIMENT 315/400 ou 400/500

Ce sera le cas des bétons devant être soumis à une précontrainte.

Mais lors du cas de la précontrainte, nous conviendrons de ne pas faire travailler le béton à plus de

50kg/cm2, lorsque les efforts sont bien connus, pour éviter les flambements locaux ou cloquage et à

un taux moindre lorsqu’il y aura quelque indécision par simple mesure de prudence .

Mais il est certain que lorsqu’une expérimentation suffisante des voiles de formes diverses aura été

réalisée , on pourra ,pour des volumes bien connus atteindre des fatigues très grandes, génératrice

d’importantes économies de matière.



C- MISE EN OEUVRE 1- Généralités

La mise en œuvre dépend des matériaux employés et elle ne diffère du traditionnel que par les

points suivants, qui sont caractéristiques des voiles :

-Faible épaisseur

-Forme courbe

a) -Matériaux

Tous les matériaux actuellement utilisés sur chantier peuvent servir à la construction

des voiles comme il est indiqué auparavant.

b) - Béton Armé

A première vue le béton armé paraît le plus employé.

Exécuté par coulage à froid, toutes les formes sont possibles, ce n’est qu’une

question de coffrage.

2- Les coffrages

a) - Poids total des bois de coffrages

- On considère le bois de coffrage supporté par une poutre chargée uniformément

et appuis libres

L

hJP2 100=

Avec

cmenportéeLcmenhauteurh

cmeneurLJtotaleechP

arg

arg

====

ceux-ci utilisés pour une fatigue de 2/60 cmkgf≈

- Poteaux

R = taux de travail, en kgf/cm2 pour un rapport bh

( )pilierduépetitbhauteurh cot ; ==

A) ( )imumbh max extrémités libres

B) Extrémités demi – encastrés

C) Extrémités encastrés



R A B C

80 10 15 20

50 20 30 40

30 30 45 60

20 40 60 80

15 50 75 100 Tableau 5

Exemple : un madrier de 8/22 et 240cm de h , libres aux extrémités pourra supporter :

)

kgfxxRbaP

RAcolonnebh

525030822..

30 308

240

===

=⇒==

b) – Type de coffrage :

Nous avons vu précédemment qu’il existe au moins 3 types de coffrage.

c)- Coffrages continus :

C’est ce qui nous intéressent le plus pour mettre en place tous les matériaux de

consistance plastique à l’emploi,tel le béton, le coffrage sera une réplique exacte de

voile à construire

Le coffrage est divisé en 2 parties :

- l’aire de coulée ou platelage

- la charpente ou support du platelage

d)- Charges :

Les charges sur la charpente seront :

-celle du vent

-celle du poids de la platelage

-celle du béton et de son armature

-et au fur et à mesure de son avancement on pourra avoir une charge excentrée.


IV- LES SYSTEMES DE CHARGES 1- Les forces résultantes :

Par unité de longueur des sections normales sont :

dzryzNx

h

hx 1

2

2

∫+

−

−= σ

dzrzzNy

h

hy∫

+

−

−=

2

2

1σ

dzryzNxy

h

hxy∫

+

−

−=

2

2

1τ

dzrxzNyz

h

hyz∫

+

−

−=

2

2

1τ

dzryzQ

h

hxzx ∫

+

−

−=

2

2

1τ

dzrxzQ

h

hyzy ∫

+

−

−=

2

2

1τ

2- Les Moments de flexion et de Torsion

Par unités de longueur des sections normales

dzryzMx

h

hxz∫

+

−

−=

2

2

1σ

dzrxzMy

h

hyz∫

+

−

−=

2

2

1σ

dzryzMxy

h

hxyz∫

+

−

−=

2

2

1τ

dzrxzMyx

h

hxyz∫

+

−

−=

2

2

1τ

COQUES – Les Equations SMM - ESPA

V- EQUILIBRE GENERAL OU DE FLEXION

1- Principe de l’étude

Le solide isolé au voisinage du point M est soumis

• d’une part aux forces extérieures que l’on suppose appliquées sur la surface moyenne Σ• d’autre part aux contraintes s’exerçant sur les quatre facettes latérales et traduisant l’action du

reste du voile supprimé

Les paragraphes antécédents :

- les forces résultantes- les Moments de flexion et de la Torsion

avec schémas

Figure 2

Comme les surfaces extrados et intrados sont libres :

On peut dire alors que tout point P’’ ou P’ de ces surfaces :

Les contraintes σ3β = 0, ∀ β

et h petite on admet que

Ρ∀ ε (S), σ3β = 0

Les quantités z et z sont faibles à cause des côtés latéraux de l’élément ayant une forme trapézoïdale



rx ry

due à la courbure de la coque.

Ce qui entraîne que les Forces de cisaillement

N xyne sont pas égales en général

Nyz

τ xy = τ yx

avec h << rx

h << ry

Et aussi, dans notre étude :

On néglige z et z par rapport à l’unité.rx ry

On peut dire donc, en négligeant Mij que les hypothèses de l’équilibre de membrane conduisent uniquement pour toute facette à l’existence de tensions normales et de cisaillements situées dans le plan tangent correspondant et nous appelons :

Ni = Nii (Nx)Nj = Njj (Ny)

jiNjiNij ≠== τ



2- Equilibre de membrane

2-1 Définition

On appelle équilibre de membrane l’équilibre du voile lorsqu’on suppose que pour toute facette les contraintes sont parallèles au plan tangent à la surface Σ et sont conformes suivant l’épaisseur.

Nous avons donc :

σ i 3 = 0

σ i j indépendant de u3 ∀u j

avec : σ i j = λ θ δ i j + µ εij M = σ11 + σ 22 + σ33

θ = ε11 + ε 22 + ε33

On peut, en négligeant les moments Mij, dire que les hypothèses de l’équilibre de membrane conduisent uniquement pour toute facette à l’existence de tensions normales et de cisaillement situées dans le plan tangent correspondant et nous le rappellerons

Ni = NiiNj = Njj

jiNjiNij ≠== τ

• Nous appellerons maintenant équilibre de membrane, l’équilibre du voile lorsque pour toute facette les éléments de réduction se réduisent à des tensions situées dans le plan correspondant au voile ∑



2-2 Hypothèses

• Les hypothèses de l’équilibre de membrane doivent également être satisfaites pour les points M

situés au voisinage des appuis de voile.

Ainsi les réactions d’appuis doivent être situées dans le plan tangent à la surface aux points

correspondants, ce qui suppose l’existence d’une possibilité de glissement suivant les

normales.

• Les conditions imposées aux appuis qui correspondent aux hypothèses de l’équilibre de

membrane ne sont pas toujours satisfaites. On admet alors souvent de maintenir les résultats de

l’équilibre de membrane pour la zone courante du voile et d’envisager les perturbations

apportées localement à la périphérie du voile par la non réalisation des conditions d’appuis.

Cette façon de procéder peut être représentée de façon imagée pour un voile de révolution par

les schémas suivantes :

Figure 3



2-3 Voiles de REVOLUTION

2-3-1 Caractéristique de la voile :

Un tel voile peut être caractérisé par : • Le diamètre Ø de sa base• La flèche f traduisant l’altitude du Sommet par rapport à la base et l’épaisseur h

Figure 4

Les efforts en tout point sont déterminés par la considération de l’équilibre de flexions qui fait intervenir 5 éléments de réductions par facette

1 er cas : f très petit

• on considère l’équilibre de flexion l’effet de membrane est négligeable

2 e cas : f très important

• f > Ø avec h ~ Ø10 200

L’équilibre de membrane est considéré pour déterminer les efforts L’équilibre de flexion permet d’évaluer les efforts secondaires principalement au

voisinage des appuis



Ces efforts sont tels que :

. Les charges appliquées qui provoquent instabilité

. La charge critique uniformément répartie - et normale à la surface - et en fonction de l’épaisseur h - et du rayon de courbure minimal de la surface

2 P critique = 2 E h

√3 (1 - σ 2) R

Les résultats expérimentaux conduisent à des valeurs inférieures et on adopte habituellement pour les voiles en béton :

2

P critique = 0,365 E h R



Les coques hémi sphérique et hémi cylindrique que nous considérons sont les suivants :

Figure 6 Et nous considérons dans ce qui suit, un élément de chacun des deux milieux continus à étudier,et voir leur équilibre respectif en considérant un point A de l’élément soumis à des efforts de tensions et bien définis dans un repère local ou global .



2-3-2 Caractéristique de la surface

Un point A est tel que :

θ angle repérant le méridien passant par A ϕ angle repérant l’inclinaison de la normale en A à la méridienne / à l’axe de la surface

d θ d ϕ Variations de courbure principale des lignes passant par A

R ϕ R θ Les rayons de courbure principaux

Figure 7



Figure 8

VI- EQUATIONS D’EQUILIBRE

Conformément aux hypothèses de l’équilibre de membrane, les actions élastiques sur une facette du petit élément isolé deviennent :

- tension normale - tension de cisaillement

Et les forces extérieures dans le trièdre A, tϕ , tθ, n sont :

FϕFθ

Fn

1- Projections :

1- Projection suivant l’axe A tθ

( ) ϕϕθθ

ϕ

θτϕϕτϕϕ

θτϕϕθθ

θ dRdrFrddRddrdRd

cos

=+∂

∂+∂Ν∂

2- Projection suivant l’axe A tϕ

( ) ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθ

θτ

ϕθϕ dRdrFdRddRddr cos =Ν−

∂∂+

∂Ν∂

3- Projection suivant l’axe A n

ϕϕθϕθϕϕϕϕθθ dRdrFnddrdRd sin sin =Ν+Ν



2- Expressions simplifiées :

En simplifiant par dϕ dθ :

(1)ϕϕθθ

ϕ

θϕϕτϕθϕ

τϕϕθθ

θ dRdrFrdrdRddrdRd

cos

) ( =+∂

∂+∂Ν∂⇔

( ) ϕθϕτϕϕτ

θθϕ RrFrRR cos =

∂∂++

∂Ν∂⇒

(2) ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθθτ

ϕθϕ dRdrFdRddRd

dddr cos ) ( =Ν−+

∂Ν∂⇔

( ) ϕϕ

ϕϕϕ

θτϕϕθ RrFrR

ddR cos =

∂Ν∂++Ν−⇒

(3) ϕϕθϕθϕϕϕϕθθ dRdrFnddrdRd sin sin =Ν+Ν⇔

ϕϕ

ϕϕϕϕθ RrFnd

drR sin sin =Ν+Ν⇒

ϕϕ dd sin = ϕϕ dRds =

ϕcos ds dr =

ϕϕθϕθϕϕϕϕθθ dRdrFnddrdRd sin sin =Ν+Ν

sin ϕθϕθϕϕϕϕθθ ddrFnddrdRd =Ν+Ν

En simplifiant par dθ dφ :

ϕϕϕϕθ RrFnrR sin =Ν+Ν

FnrRr

rRR =Ν+Ν

sin

ϕϕ

ϕϕϕθ


ϕϕϕ

cos Rddr =


En simplifiant on obtient :

FnRr

=Ν+Νϕϕϕθ sin

on a aussi :

θ

ϕRr1sin = donc Fn

RR=Ν+Ν

ϕϕ

θθ

compte tenu des relations :

ϕϕ dRds =

ϕcosdsdr =

(1) ( ) ϕϕθθ

ϕ

ϕϕϕτϕθϕ

τϕϕθθ

θ dRdrFrdrdRddrdRd

cos

=+∂

∂+∂Ν∂

( ) ϕθ

ϕτϕϕτ

θθϕ Rr r cos FRR =

∂∂++

∂Ν∂

(2) ( ) ϕϕ

ϕϕϕ

θτϕϕθ Rr r cos R FR =

∂Ν∂+

∂∂+Ν−

En simplifiant par Rφ :

( ) ϕ

ϕϕϕ

θτϕθ rF

R=

∂Ν∂+

∂∂+Ν−

r cos

(2) ( ) ϕ

ϕτϕτ

θθ rFr =

∂∂++

∂Ν∂ cos

ϕϕ

τϕτϕτ

θθ rFrr =

∂∂+

∂∂++

∂Ν∂ cos

ϕϕ dRds = dsRd =ϕϕ


ϕcosdsdr =


ϕϕθθ

ϕ

θϕϕτϕθϕ

τϕϕθθ

θ dRdrFr

rddRddrdRd

cos

) ( =+∂

∂+∂Ν∂

1 - on simplifie par dӨdφ

ϕθϕϕτϕ

τθ

θϕ rRFRrR cos ) ( =+∂

∂+∂Ν∂

2 - on simplifie par Rφ

θϕτϕ

τϕθ

θ rFrR

=+∂

∂+∂Ν∂ cos) (1

θϕτϕ

τϕτ

ϕθθ rFrr

R=+

∂∂+

∂∂+

∂Ν∂ cos1

θϕτϕϕ

τϕτ

ϕθθ rFr

RRr =+

∂∂+

∂∂+

∂Ν∂ cos

θϕτϕϕϕ

τϕτ

ϕθθ rFR

RRr =++

∂∂+

∂Ν∂ coscos

θϕτϕττθ

θ rFs

r =++∂∂+

∂Ν∂ coscos

θϕττθ

θ rFs

r =+∂∂+

∂Ν∂ cos2

θτϕτθ

θ rFs

r =∂∂++

∂Ν∂ cos2

ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθθτ

ϕθϕ dRdrFdRddRd


∂Ν∂

ϕϕθϕϕϕϕθθϕϕθθτθ

ϕϕ dRdrFdRddRd


∂Ν∂

1) on simplifie par dӨ dφ



ϕϕϕϕθθτϕ

ϕϕ

ϕrRFR

ddRr

d cos ) (1 =Ν−+

∂Ν∂

ϕϕϕϕθθτϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕrRFR

ddRrr

d cos 1 =Ν−+

∂∂Ν+

∂Ν∂

ϕϕϕϕθθτϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕrRFR

ddRRr

d cos cos 1 =Ν−+

Ν+∂Ν∂

ϕϕϕϕθθτϕϕϕϕ

ϕϕ rRFR

ddRRr cos cos =Ν−+Ν+

∂Ν∂

en simplifiant par Rφ :

rFdd

Rr coscos

ϕϕθ

θτϕϕ

ϕϕϕ =Ν−+Ν+

∂Ν∂

Or on a : ϕcosdsdr = ϕϕ dRds = dsRd =ϕϕ d’où on a :

rFdd

sr coscos ϕϕθ

θτϕϕϕ =Ν−+Ν+

∂Ν∂

rFdd

dsdr cos)( ϕ

θτϕθϕϕ =+Ν−Ν+Ν

FnRR

=Ν+Νϕϕ

θθ

ϕθτϕθϕϕ rF

dd

dsdr =+Ν+Ν−Ν )(cos



VII- a Exemples d’ application A - Coupole sphérique

Détermination des Tensions de membrane en tout point d’une calotte sphérique

- Limitée par l’angle φ

- soumise aux charges normales réparties

Fn = p sin φ cos φ avec p = constante

- R = Rφ = RӨ = rayon de calotte

r = R sinφ

ds = R dφ

Figure 9

1-Mise en Equations :



0sincos2 =∂∂++

∂Ν∂

ϕτϕϕτ

θθ

0sin)(cos =∂∂+

∂∂+Ν−Ν

θτ

ϕτϕθϕϕ

θϕϕθ cossinp=Ν+Ν 2-Les solutions générales de ces Equations : Elles sont de la forme : θϕθθ cos)(Ν=N

θϕϕϕ cos)(Ν=N θϕτ sin)(Τ= Les Equations différentielles deviennent :

(1) 0sincos2 =++Ν−ϕ

ϕϕθddTT

(2) ( ) 0sincos =+Ν+Ν−Ν Td

dϕ

ϕϕθϕϕ

(3) ϕϕθ sinp=Ν+Ν

L’Equation (1) donne :

ϕϕϕθ

ddTT sincos2 +=Ν

L’ Equation (3) devient :

ϕϕϕ

ϕϕ sinsincos2 pddTT =Ν++

ϕϕ

ϕϕϕ sinsincos2 pddTTN =++

Toujours de l’équation (3) qui est : ϕϕθ sin p=Ν+Ν

On multiplie les 2 membres par cosφ :

Cos ϕϕϕθϕ cossin)( pNN =+

L’équation (2) est : 0sin)(cos =++− Td

dNNNϕ

ϕϕθϕϕ



On additionne membre à membre :

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ cossinsin cos2 pTd

dNN =++

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ cossinsincos2 pTd

dNN =++

Donc après avoir éliminé NӨ entre les expressions précédentes on a :

ϕϕ

ϕϕϕ sinsincos2 pddTTN =++

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ cossinsincos2 pTd

dNN =++

Nous définissons les variables auxiliaires :

TNFTNF

−=+=

ϕϕ

21

Considérons d’abord TFNTNF

−=+=

11ϕ

ϕ

En remplaçant Nφ alors par son équivalence ce sera :

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

sinsincos2)1(

cossin)1(sincos)1(2

pddTTTF

pTd

TFdTF

=++−

=+−+−

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ cossinsin1sincos2cos12 pTddT

ddFTF =+−+−

ϕϕ

ϕϕ sinsincos21 pTddTTF =−++

En additionnant membre à membre :

)cos1(sin1sin)cos21(1 ϕϕϕ

ϕϕ +=++ pddFF

En divisant par sinφ :



)cos1(1cot2

sin11

)cos1(sinsin1

sinsin

sincos2

sin11

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

+=+

+

+=+

+

pddFgF

pddFF

)cos1(sin

1cot211 ϕϕ

ϕϕ

+=

++ pgFddF

Considérons ensuite :

TFNTNF

−=⇒+=

22

ϕϕ

En remplaçant Nφ par son équivalence on a :

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

cossin)2(sincos)2(2

sinsincos2)2(

pTd

TFdTF

pddTTTF

=++++

=+++

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

cossinsin2sincos2cos22

sinsincos22

pTddT

ddFTF

pddTTTF

=++++

=+++

En retranchant membre à membre :

)cos1(sin2sin)cos21(2 ϕϕϕ

ϕϕ −=−− pd

dFF

En divisant par sinφ :

)cos1(2cot2sin

12

)cos1(sinsin2

sinsin

sincos2

sin12

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

−=−

−

−=−

−

pd

dFgF

pd

dFF

)cos1(cot2sin

122 ϕϕϕϕ

−=

−+− pgFddF

)cos1(sin

1cot222 ϕϕ

ϕϕ

−−=

−+⇒ pgFd

dF

D’où :

3- Les équations différentielles à considérer :



)cos1(sin

1cot222

)cos1(sin

1cot211

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

−−=

−+

+=

++

pgFd

dF

pgFddF

dont 4- Les solutions de ces équations sont :

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

2

3

3

2

3

3

sin2

3coscos

sincos12

sin2

cot

3coscos

sincos11

tgDpRF

gCpRF

+

−−=

+

−+−=

C et D étant deux constantes avec :

)(sin

sin)(

)(cos

cos)(

)(cos

cos)(

ϕθ

τθϕτ

ϕϕθ

ϕθϕϕϕ

ϕθθ

θθϕθθ

Τ=⇒Τ=

Ν=⇒Ν=

Ν=⇒Ν=

NN

NN

Et

Τ−Ν=Τ+Ν=

ϕϕ

21

FF

ϕΝ=+⇒ 221 FF

Calcul de Nφ et ϕN

Or ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

2

3

3 sin2

cot

3coscos

sincos11

gCpRF +

−+−=

E t ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

2

3

3 sin2

3coscos

sincos12

tgDpRF +

−−=

En additionnant membre à membre :



ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ 2

3

3 sin2

cot

3coscos

sincos1212

gCpRFF +

−+−=+=Ν

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

2

3

3 sin2

3coscos

sincos1 tg

DpR +

−−+

⇒

++

+−−

−=Ν

22cot

sin1

sincos1

sincos1

3coscos2 233

3 ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ DtggCpR

++

−−−

−=Ν⇒

22cot

sin1

sincos1cos1

3coscos2 23

3 ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ DtggCpR

−+++

−−=

++

−=

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕ

ϕϕϕϕ

ϕ

33

42

3

23

sin)cos1(

sin)cos1(

3coscos

sin2

22cot

sin1

sincos2

DCpR

DtggCpR

En factorisant ϕ3sin1

dans le second terme entre crochet :

[ ])cos1()cos1(sin

13

coscossin22 3

42

3 ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕ −+++

−−=Ν DCpR

En effectuant on trouve :

[ ]ϕϕ

ϕϕϕ

ϕ cos)()(sin

13

coscossin22 3

42

3 DCDCpR −+++

−−=Ν

−+++

−−=Ν⇒ ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ cos

2)(

2)(

sin1

3coscos

sin 3

42

3

DCDCpR

Or θ

ϕϕ

θϕϕϕ

cos

cos)(N

N

=Ν⇒

Ν=


on a :

−+

++

−−=Ν ϕϕϕ

ϕϕ cos

223coscos

sin1 4

23

DCDCpR

Donc



−+

++

−−= ϕϕϕ

ϕϕϕ cos

223coscos

sin1

cos

42

3

DCDCpRN

−+

++

−−=⇒ ϕϕϕ

ϕθϕ cos

223coscos

sincos 4

23

DCDCpRN

D’où l’expression de ϕN :

−−

−+

+=⇒

3coscoscos

22sincos 4

23

ϕϕϕϕ

θϕ pRDCDCN

Calcul de τ : En partant toujours de :

TFTF

−Ν=+Ν=

ϕϕ

21

Avec

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

2

3

3

2

3

3

sin2

3coscos

sincos12

sin2

cot

3coscos

sincos11

tgDpRF

gCpRF

+

−−=

+

−+−=

TFTF

−Ν=+Ν=

ϕϕ

21

TFF 221 =−⇒

D’où ++

−+−=

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

2

3

3 sin2

cot

3coscos

sincos12

gCpRT

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

2

3

3 sin2

3coscos

sincos1 tg

DpR −

−−−

L’expression de 2T est alors :



−+

−++

−−=

22cot

sin1

sin)cos1()cos1(

3coscos2 23

3 ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ DtggCpRT


−+

−−=

22cot

sin1

sin2

3coscos2 23

3 ϕϕϕϕ

ϕϕ DtggCpRT

−+

−−=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ 223

3

sin2

sin2

cot

sin2

3coscos2

tgD

gCpRT

On sait que :

∗ ϕ

ϕϕ

ϕ

32 sincos1

sin2

cot +=g

∗ ϕ

ϕϕ

ϕ

32 sincos1

sin2 −=

tg

D’où :

−−

++

−−=

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ 333

3

sincos1

sincos1

sin2

3coscos2 DCpRT


dans le deuxième terme entre crochet on a :

[ ])cos1()cos1(sin

1sin

23

coscos2 33

3

ϕϕϕϕ

ϕϕ −−++

−−= DCpRT


[ ]ϕϕϕ

ϕϕ cos)()(sin

1sin

23

coscos2 33

3

DCDCpRT ++−+

−−=

++−+

−−=⇒ ϕ

ϕϕϕϕ cos

2)(

2)(

sin1

sin1

3coscos 33

3 DCDCpRT

=

++−+

−− ϕϕϕ

ϕcos

2)(

2)(

3coscos

sin1 3

3

DCDCpR

Or θ

τθϕτ

sin

sin)(

=Τ⇒

Τ=



T =

++−+

−−= ϕϕϕ

ϕθτ cos

2)(

2)(

3coscos

sin1

sin

3

3

DCDCpR

++−+

−−=⇒ ϕϕϕ

ϕθτ cos

2)(

2)(

3coscos

sinsin 3

3

DCDCpR

D’où l’expression de τ :

−−++−=

3coscoscos

2)(

2)(

sinsin 3

3

ϕϕϕϕ

θτ pRDCDC

5- DETERMINATION DES CONSTANTES D’INTEGRATION C ET D :

Les constantes C et D sont déterminées par les conditions aux limites le long du parallèle .Pour se faire, définissons

• La somme des composantes horizontales des charges normales appliquées est égale à la traînée Q :

∫ ∫ ==π ϕ ο θϕθϕϕϕϕ

2

0

0 sin cossincossin dRpdRQ

)coscos32(3

22

οο ϕϕπ +−= Rp

• La somme des composantes verticales de charges appliquées est nulle par antisymétrie nous écrivons que : la somme des projections suivant l’axe θ = 0 des Tensions

τ

pour φ = φ0 est égale à la traînée Q puisque la calotte est en équilibre Nφ

C’est-à-dire :

∫ ∫ =−=π π

οοοοοο θϕθϕϕθθϕϕτ

2

0

2

sin coscossinsin dRNdRQ

( )

−+−+−= 0

40

200

2

02 coscos43

3cos

sin2sin

ϕϕϕ

ϕϕ

π pRDCR

6- CONDITIONS LIMITES

Pour les expressions de Nφ et τ trouvées :



−−−++=

3coscoscos

22sincos 4

23

ϕϕϕϕ

θϕ pRDCDCN

−−++−=

3coscoscos

22sinsin 3

3

ϕϕϕϕ

θτ pRDCDC

Aux conditions limites :

(1)

θτ

θϕ

πϕϕ

sin2

cos2

20

DC

DCN

+=

+=

==

(2) La pression en chaque point de la sphère est radiale (3) Le moment des forces crée par le vent par rapport aux diamètres des sphères

perpendiculaire au plan 0=θ est nul.

∫∫ =+=ππ

θθθθϕ2

22

0

22 0 cos 2

cos a

dDCadaN

DCDC −=⇒=+⇒ 02

La traînée Q à la condition limite :

2

0 0πϕϕθ ===

( )02

0

2

0

2

0

232 coscos32

3 coscossin

2

0

ϕϕπθϕθϕϕπ ππϕ

+−==

∫ ∫

=RpddpRQ

3 2

2Rpπ=

- La somme des projections suivant l’ axe θ = 0 des tensions τ et Nϕ pour 20πϕϕ == était égale à la

traînée Q puisque la calotte est en équilibre donc :



∫ ∫ =−=π π

θϕθϕϕθθτ ϕ2

0

2

00000 sin coscossin dRNdQ

= ( )

−+−+−

04

020

02

02 coscos43

3cos

sin2sin

ϕϕϕ

ϕϕ

π pRDCR

=

−

21 DCRπ

Donc on a :

DCet

DCpR

−=

−=⇒

23

2

pRC

pRD

DDDDpR

3232

22

232

=⇒

−=⇒

−=−=−−=⇒

Donc en général d’après les valeurs de ces constantes on trouve :

( )ϕϕϕ

ϕθϕ 33 coscos32

sincoscos

3+−−= pRN

( )ϕϕϕϕ

θθ 423 cos2sin3cos2

sincos

3−−= pRN

( )ϕϕϕ

θτ 33 coscos32

sinsin

3+−−= pR

D’après ces expressions, on calcule facilement les contraintes dues au vent en tout point de la coque ou de la calotte, abstractions faites de soulèvement donc dans le cas d’une calotte ou demi sphère

• Les forces normales sont nulles, le long du bord de la coque car 02

0=

=πϕN

• Les efforts tranchants τ le long du bord sont différents de 0 ( ≠ 0 )

- Ils sont égaux et opposés à la résultante horizontale de la pression du vent- Le valeur numérique max de (τ ) des forces se développe aux extrémités du diamètre

perpendiculaire au plan θ = 0

où ces forces ( τ ) sont égales à 3

2 pa±



7- Coupole sphérique sous quelques chargements courants

Considérons toujours le coupole sphérique à axe vertical de rayon R ; tout le parallèle ϕ0 (ou τ0) est un bord libre.

Pb : Détermination, dans les hypothèses de l’équilibre de membrane, des TENSIONS en tout point pour les systèmes de charges de résolutions suivantes :

Figure 10

Charge p verticale uniforme par élément de surface unité de la coupole

Charge q verticale uniforme par élément de surface unité du plan horizontal

Charge répartie P1 par unité de longueur de circonférence le long d’une parallèle

compte tenu de la symétrie de révolutions, les lignes isostatiques sont les parallèles et les méridiens donc :τ = 0

RFnNN =+ ϕθ ϕπφϕsin 2 r

N =



CHARGE P

ϕcospFn = ( ) PR ϕϕπφ coscos2 0

2 −=

D’où :

( )

( )ϕ

ϕϕϕ

ϕπϕϕπ

ϕ

sincoscos

sin2coscos2

0

02

−=⇒

−=

pRN

RpR

N

−−=

−=⇒==+⇒

ϕϕϕϕ

ϕϕθϕϕθ

sincoscos

cos

coscos

0pRpR

NpRNpRFnRNN

−−=

ϕϕϕ

ϕθsin

coscoscos 0pRN

Figure 11



CHARGE q

ϕ2cosqFn =

−=

ϕϕ

ϕπφ 20

222

sinsin

1sinRq

ϕπ

ϕϕϕπ

ϕπφϕ

sin2sinsin

1sin

sin 2

20

222

R

Rq

rN

−

==

−=

ϕϕϕϕ 2

02

sinsin

12sinqRN

RFnNN =+ ϕθ

+ −=

−

−=

−−=

−=

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕθ

sin2sin

2sincos

sinsin

12

sincos

sinsin

12sincos

02

2

20

22

20

22

Rq

Rq

qRRq

NFnRN

On a : ϕϕϕϕϕϕ

22

22

sin2coscossincos2cos

+=−=

+ −+⇒ =

ϕϕϕϕϕ

sin2sin

2sinsin2cos 0

22Rq

Figure 12CHARGE REPARTIE P1

0=Fn 0=φ

si 1ϕϕ <



11 sin 2 ϕπφ pR= si 1ϕϕ >

Dans le cas : 1rr <

===+

00

φϕθ

etRFnNN

Dans le cas : 1rr >

=

=−=⇒=+

11 sin 2 sin 2

0

ϕπφϕπ

φϕθϕθ

pRetr

NNNN

ϕϕ

θϕsinsin 1

1pNN =−=

Figure 13

8- APPUIS Coupole sphérique à surface sur appuis en des points isolés localisés

Considérons une surface de révolution reposant le long de son parallèle r = r0

• La réaction est située dans le plan tangent à la surface



• Les forces n’agissent que sur le bord de la coquec-à-d : X = Y = Z = 0

Pb : Détermination, dans les hypothèses de l’équilibre de membrane, des TENSIONS suivants les méridiens et les parallèles

1 ère cas

Nous supposons la surface appuyée tout le long de son parallèle r0

Il en résulte des Tensions : (Nθ)1 = Sθn (ϕ)cos n θ(Nϕ)1 = Sϕn (ϕ)cos n θ(τ)1 = τn (ϕ)sin n θ

qui sont solutions des équations :

( )

( )

=+

=+∂

∂+∂

∂

=−∂∂+

∂∂

0sin

0cos

0cos

10

110

110

ϕθϕ

ϕτθ

θϕ

τ

ϕθθτ

ϕϕ

rNrN

rrNr

rNrNr

en particulier (τ)1 = 0et Ø est la résultante verticale de toutes les charges appliquées à la surface avec :

( )ϕπ

φϕsin2 0

01 r

N =

2 ème cas

Nous supposons la surface non chargée latéralement mais soumise le long de son parallèle r = r0

à des Forces de bordure :

0r0 Nϕ

2

par unité d’angle au centre

0 0Et la Somme r0 Nϕ + r0 Nϕ , dans les 2 cas, dans le long du parallèle r0

2 1par unité d’angle au centre, des Forces caractérisées par le cas de la 2ème figure



• Ces forces correspondent à la répartition des Tensions Nϕ respectant les conditions d’appuis de la surface bord libre de tout effort Nϕ entre les appuis,

Somme des réactions d’appuis égale à Ø :

( ) φϕπϕ =sin 2 010 de

dCNr

Et dans notre cas qui est une coque sphérique avec r1 = r2 et r0 = a sin ϕ

ϕϕ

ϕτ

θϕϕ

θϕ

ntgtC

ntgtC

NN

nn

nn

sin2sin2

cos2sin2

22

22

−=

=−=

Substituant à ϕ l’angle ϕ0 correspondant au bord de la coque sphérique, on obtient les forces normales et de cisaillement distribuées le long du bord afin de créer les forces dans cette coque.

En prenant ϕ0 = π c’est – à - dire que la coque est une demie sphère, on obtient les expressions : 2

( )

( ) θτ

θϕ

πϕ

πϕ

nC

nCN

n

n

sin2

cos2

2

2

2

2

=

=

=

=

Les contraintes produites dans une coque sphérique par les Forces normales et de cisaillement appliquées au bord et respectivement proportionnelle à

cos n θet sin n θ

Et on peut traiter le problème d’une distribution quelconque de forces normales le long du bord ; prenons toujours le cas d’un dôme hémisphérique :

- de rayon a- de son poids propre Q- en appui sur ses bords soit ponctuellement soit continues

* si le dôme repose sur une fondation continue,• Les Forces Nϕ sont uniformément réparties le long du bord



1ère figure

Figure 14* si le dôme se repose sur quatre colonnes identiques,

• Les Forces Nϕ sont réparties comme des réactions

2èrm figure

Figure 15

Avec 2e = angle correspondant à la longueur de circonférence en appuis sur chaque colonne

• En soustrayant la distribution de force de la 1ère figure de la distribution de force de la 2ème figure on obtient la distribution suivante

On obtient la 3eme figure :

Figure 16En poursuivant les calculs dans le cas de sphère, les coefficients Nθn , Nϕn et Tn qui sont fonctions de ϕ sont déterminés à partir des équations d’équilibre.Compte tenu des relations

r = R sin ϕds = R dϕ

On obtient les équations suivantes

Nθn + N ϕ n = 0



(Nθ)2 + (Nϕ)2 = 0

0sincos2

sin

0sinsin

cos2

=Τ+Τ+Ν

=Τ+Ν

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

dndnn

nn

n

n

Nous poserons :

nn

nn

nFnF

Τ+Ν=Τ+Ν=

ϕϕ

21

La somme : 2

21221 nFnFnnFnF n+=Ν⇒Ν=+ ϕϕ

La différence : 2

21221 nFnFnnnFnF −=Τ⇒Τ=−

En rapportant ces expressions de Nφn et Tn aux Equations différentielles ci-dessus On obtient :

02

sincot22

01sin

cot21

=

−+

=

++

nFngd

ndF

nFngd

ndF

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ

La solution de ces équations est

n

n

tgDnnF

gCnnF

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

sin22

sin2

cot1

=

=

On a : 2

21 nFnFn +=Ν ϕ 2

21 nFnFn −=Τ

−

=−=Τ

+

=+=Ν

nn

nn

DngCnnFnF

tgDngCnnFnF

22cot

sin21

221

22cot

sin21

221

2

2

ϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕ



Hypothèses :

- coque sans ouverture au Sommet- Nϕ et T sont finies pour ϕ = 0- Ceci exige que Cn = 0

D’où l’on trouve : ( ) θφϕ

φ ntgDnNn

cos2sin2 22

=

et

( ) ( ) θϕθϕ

ϕϕ n

neneNntgDnN

n

cossin2cos2sin2

01

0

02

02 =

=

Or

( )

=n

tgne

neNDn

2

sin2sin20

02

01

ϕ

ϕϕ

Par suite :

( ) ( ) ( )

,......3 ,2 , 2

2sincossinsin

20

00122

dddnavec

tg

tg

nenenNNN

n

=

=−=ϕ

ϕ

θϕ

ϕϕϕ

( )

,...3 ,2 , 2

2sinsinsinsin

20

200

12

dddnavec

tg

tg

nenenN

n

=

−=ϕ

ϕ

θϕ

ϕϕτ

En substituant à ϕ l’angle ϕ0 correspondant au bord de la coque sphérique- on obtient les forces normales

et de cisaillementdistribuées le long du bord afin de créer les forces dans cette coque

le cas ϕ0 = π correspond au coque demi sphère 2

on obtient :



θτ

θϕ

nDn

nDn

sin2

cos2

−=

=Ν

Les tensions en tout point ont pour valeur :

( ) ( )( ) ( )

0 1

221

21

21

==+=

+=+=

τττττ

ϕϕϕθθθ

car

NNNNNN

On constate en particulier τ ≠ 0 le long du parallèle r = r0

Ceci suppose donc qu’il existe une poutre bordant le voile et capable d’équilibrer les efforts de cisaillement

La méthode de calcul précédente permet d’étudier les coupoles sphériques reposant sur certain nombre de piédroits qui peuvent être inclinés ou non.

Figure 17 VII-b Exemples d’Application B - coques cylindriquesDétermination des Tensions de Membranes en tout point d’une coque demie cylindrique MISE EN EQUATIONS :



L’isolation de l’élément de surface dx ds et son équilibre nous donnent les équations différentielles suivantes ; les 3 équations de projections des forces suivant les axes Ax , At, An s’écrivent alors d’après la figure :

0 : =+

∂∂+

∂∂ Fxdxdsdsdx

sdxds

xNxAxaxe τ

0cos2

cos: =+−

∂∂++

∂∂ FtdxdsNtdxddxds

sNtNtddxds

xAtaxe ϕϕτ

0sin2

sin: =+

∂∂++

∂∂ Fndxdsddxds

sNtNtddxds

xaxeAn ϕϕτ

Soit Fxdsdx

Nx =∂+∂ τ Ft

dsNt

dx=∂+∂ τ

FnRNt =

Ces trois équations peuvent s’écrire :

FxdRdx

Nx =∂+∂ϕτ1

FtdRdx

=∂+∂ϕττ 1

FnRNt =

Nous allons étudier une surface cylindrique à génératrice horizontale dont la direction verticale est constituée par un demi cercle de rayon r :

- Cette surface, limitée par deux directrices distantes de l, est soumise à une charge VERTICALE P uniforme par unité de longueur de directrice- On va déterminer les TENSIONS DE MEMBRANE en tout point et nous en

déduisons les conditions d’ appui à réaliser à la périphérie

A est repéré par : - l’abscisse x - l’angle ψ On a de plus : R= - r ds=R dφ= r dψ



Figure 18 Les équations différentielles s’écrivent alors :

Fnr

Nt

FtNtrx

Fxrx

Nx

−=

=∂∂+

∂∂

=∂∂+

∂∂

ψτ

ψτ

1

1

Figure 19



Figure 20

Pour tout point A : Fx = 0

Ft = psinψ Fn = - pcosψ

SOLUTIONS DES EQUATIONS

La résolution du système d’équations différentielles donne la solution générale :

ψcos rprFnNt =−=

( )

ψτ

ψϕ

ψψ

ψψ

∂∂−=

∂∂

=∂

∂−⇒

−=∂

∂=∂∂⇒

Ntr

Ftx

pNtr

prprNt

1

sin1

sincos

Or ϕsinpFt +=

Et ψψ

sin1 pNtr

=∂∂−

Donc :

ψψψ

ψτ

sin2sinsin

1

ppp

Ntr

Ftx

=+=

∂∂−=

∂∂

xppx

∂=∂⇒=∂∂ sin2sin2 ψτψτ

En intégrant : ∫ ∫ ∂=∂ xp sin2 ψτ



( )ψψτ Cpx +=⇒ sin2 avec ( ) steCC =ψ d’intégration en Fonction de ψ

( )( )

( )ψψψτ

ψψψ

ψτ

'cos2

sin2

Cpx

Cpx

+=∂∂⇒

=∂

+∂=∂∂

On a :

Fxrx

Nx

Fxrx

Nx

+∂∂−=

∂∂⇒

=∂∂+

∂∂

ψτ

ψτ

1

1

Et ( )r

Cxrp

rψψ

ψτ 'cos21 −−=

∂∂−

( )ψψ

ψτ

'1cos20

1

Crr

pxr

Fxx

Nx

−−=

∂∂−=

∂∂⇒

( )ψψ '1cos2 C

rrpx

xNx −−=∂

∂

En intégrant : ( ) xCr

xrpxNx ∂−+∂−=∂ ∫∫ ∫ '1 cos2 ψψ

( ) ( )

( ) ( )ψψψ

ψψψ

DCrx

rpxNx

DCrxx

rpNx

+−−=

+−−=

'cos

'cos2

2

2

2

ψ

ψ

cos

cos

prNt

pFnr

Nt

=⇒

=−=

( )

( ) ( )ψψψ

ψψτψ

DCrx

rpxNx

CpxprNt

+−−=

+==

'cos

sin2cos

2



APPUIS Au niveau du contour bas de l’hémi cylindre les tensions correspondent à la réaction des appuis sur le voile L’action du voile sur ses appuis sont bien les tensions précédentes mais de signes contraires

Figure 21 CONDITIONS LIMITES En considérant le cas où les Tensions sont tous deux nulles aux 2 extrémités c-à-d aux pointsd’abscisses x = l x = 0 à cause de la symétrie c-à-d les valeurs de ces tensions correspondantes à x = 0

( ) ( )( ) 0

0'cos2

0

==

=+−−==

ψ

ψψψ

D

DCrx

rpxNNx

à x = l

( ) ( )

( ) ( ) 0'cos

0'cos0

2

2

=+−−=

=+−−===

ψψψ

ψψψ

DCrl

rpl

DCrx

rpxNlNx

0

( )( ) ψψ

ψψ

cos'

0'cos2

plC

Crl

rpl

=⇒

=−−⇒

En intégrant ceci on trouve :

( ) KplC +−= ψψ sin

Du fait de la symétrie imposée aux 2 extrémités on doit avoir aussi :



( ) ( )ψττ ,00, ≡l

ψ∀

c-à-d :

( ) ( )( ) ( )ψτ

ψψτC

Cpll=

+=0

sin2

DETERMINATION DES CONSTANTES D’INTEGRATION

CplCplpl −+=+−⇒ ψψψ sinsinsin2En résolvant ceci on trouve : C = 0

Et finalement : ( ) ψψ sinplC −=

D’où : En portant ( )ψC dans les expressions de :

NxNt , , τ On trouve : ψcos rpNt =

Et ( )

( ) ( )( ) ( ) ψτ

ψψψψψψτ

sin22sin22sin

sinsin2sin2

lxplxplxplxp

plpxCpx

−=−=−=−=

−=+=

Pour ( ) ( )ψψψ DCrx

rpxNx +−−= 'cos

2

0

Avec ( )

( )( ) 0

cos'sin

=−=⇒

−=

ψψψ

ψψ

DetplC

plC

ψψ

ψψ

coscos

coscos

2

2

plrx

rxp

plrx

rpxNx

+−=

−−−=⇒

( ) ψcosxlrpxNx −=

Donc , finalement, on a :



( )

( ) ψ

ψτψ

cos

sin2cos

xlrpxNx

lxpprNt

−=

−==

Les appuis ont pour rôle d’équilibrer et transmettre les tensions qui ne sont pas nulles au niveaude ces appuis ; à savoir les tensions de cisaillement

( ) ( )

−

2 ,

2 , ,0 πτπτττ l

Il suffit *de prévoir :

- des raidisseurs d’extrémités fonctionnant comme des arcs et reposant sur 4 poteaux pour des toitures et sur des raidisseurs ou semelles filantes pour des tunnels

- des tirants reliant ces poteaux pour les toitures le long des génératrices de rive

• de faire les calculs de ces raidisseurs d’extrémités ou tympan• Les REACTIONS D’APPUIS sur les poteaux ont pour valeur

∫ ∫= =

==2

0

2

0

2sinsin

πψ πψ

ψψψτ drpldrV

longueurlarlongueurdeunitéparecontra

sin int

==

ψτ

4

22cos12

0

rldrplV πψψπψ

=−= ∫=

Figure 22

La demie couronne jouant le rôle de tirant reliant les poteaux aux 2 extrémités transversales de l’hémi cylindre est soumise à une force de traction maximale :



( )∫ ∫==π π

ψψτ0 0

dCdxN

Avec ( ) ψψ sinplC =

( )

( ) ( )

( )2

sin2

22

22

22

0 0

πψψτ

τ

=−=

−=−=−=

−=−== ∫ ∫ ∫ ∫

àxlpavec

xlpxpxplxpxplx

pxdxpldxdxxlpdxNx x

( )

4max

42.

22222

2

plN

plllplllplx

xlpxN

=

==

−⇒=

−=

VERIFICATION D’EQUILIBRE

• Surface latérale du voile rlrl 2 2 ππ =

• Surcharge totale rlp π

( )

ψ

ψψ

ψ

cos44

2

cos42

cos22

cos

22

2

2

−=

−=

−=

−=

rpl

rpl

rpl

rpllll

rlpN

rxlpxNx

l

ψcos4

2

2 rplNx lx

=

=

ψψψψψ

ππ π

dpldrr

pldrNx cos4

cos4

2

0

22

0

2

0

2

∫∫ ∫ ==

[ ] TIRANTledansTRACTIONplpl 4

sin4

220

2

===π

ψ



Figure 23



METHODES DES ELEMENTS FINIS

Exposée de la démarche : La méthode consiste à rechercher une solution approchée de la solution exacte défini par morceauxsur des sous domaines du milieu continu V .Les n sous domaines Vi doivent être tels que

n

ijii jiVVetVV

1

=

≠∀Φ==

où les Vi désignent une partition de V.

Des fonctions ou des polynômes sont choisis pour définir ces sous domaines .*D’autres de ces fonctions ou polynômes sont appropriées seulement aux sous domaines : d’où ilssont locaux. Ce sont des fonctions d’interpolation de l’élément Vi

*Et d’autres pourront définir l’ensemble : d’où ils sont globaux et sont aussi obtenus par juxtaposition des fonctions ou polynômes locaux . Ce sont des fonctions d’interpolation du grand domaine V, c ‘est à dire du milieu continu V .

La fonction ou le polynôme de chaque sous domaine Vi est déterminé par un nombre fini de valeursde la fonction ou des valeurs de ses dérivées en des points choisis arbitrairement dans le sous domaineet ces points sont appelés nœuds .

Ces fonctions d’interpolation du sous domaine Vi sont des fonctions qui caractérisent les approximations entre les valeurs des nœuds . Et le sous domaine qui est muni de son interpolationest appelé élément .

Chercher une solution par ELEMENTS FINIS consiste donc à déterminer quelle fonction localeon attribue à chaque sous domaine ou élément : c’est à dire quelle valeur faut il attribuer à chaque élément pour que la fonction globale obtenue par juxtaposition de ces éléments soit proche de la solution du problème .

Des contraintes existent à propos des solutions approchées cherchées lors de la juxtaposition des des fonctions locales .

Parmi les contraintes imposées à ces solutions approchées cherchées, il y a la continuité simple 0C à la frontière entre les sous domaines (entre les éléments).La qualité de la solution approchée dépend donc :

- De la division en sous domaines ou éléments - Du choix des fonctions d’interpolation dans chaque élément ou sous domaine - Des conditions de continuité qu’on impose aux frontières des sous domaines

Quand ces choix sont faits, il reste à chercher une combinaison des fonctions locales qui satisfait approximativement les équations.



Figure 24

» n = 20 » [x y z] = sphere (n) ; » z (1 : n/2 + 1 , : ) = 0 ; » surf ( x , y , z)

Discrétisation par éléments finis :

Introduction – ObjectifsLe but est de présenter la méthode des éléments finis pour obtenir les solutions des problèmes d’élasticité linéaire décrits précédemment .Nous poserons des informations sur les aspects théoriques de la méthode sur ceux relatifs à la mise en œuvre ( organisation matricielle et programmation).



Aspects généraux de la méthode des élément finis :

La méthode des éléments finis est une technique particulière d’ approximation des fonctions solutions par sous- domaine . Les valeurs de ces fonctions correspondent à certains points ou nœudsde chaque sous domaine . La forme quelconque définie sur le milieu continu est représentée par une forme particulière dite discrétisée qui fait intervenir les inconnues nodales.

Milieu Continu De Approximation Milieu DiscrétiséForme quelconque ⇒ par ⇒ en Ou Eléments finis Eléments Finis particulière

Figure 25



DEMARCHE DES ELEMENTS FINIS

- 1- Représentation du domaine de volume V par éléments finis ou maille de volume Ve : eVV Σ=

Figure 26- 2- Représentation de la géométrie de chaque élément Ve c- à - d la position [ ]x d’un

point de l’élément * les coordonnées des nœuds }{ nx de l’élément Ve n étant le numéro des noeuds * leurs coordonnées paramétriques ληξ ,, pour les nœuds * les fonctions d’interpolation [ ]N en variable paramétrique

Figure 27

- 3- Représentation isoparamétrique de la fonction solution [ ]u sur chaque élément ( )[ ] ( )[ ] }{ nUNu ξξ = [ ] =u fonction solution

}{ nU = Variables nodales caractérisant la fonction solution



- 4-Représentation de la discrétisation : Un élément est caractérisé par sa forme de discrétisation qui possède son caractéristique propre à lui :

Figure 28 comme la quantité We qui s’exprime en fonction de [ ]nU et [ ]*

nU

[ ] } [ ] }{{ nnne fUkUW −= *

[ ] =k matrice élémentaire dite de rigidité

}{ nf = vecteur élémentaire des sollicitations donc propre à un élément seulement L’ensemble des éléments est donc caractérisé par : [ ]k et [ ]F quand on réalise l’assemblage

[ ] } [ ]{{ }∑∑ −== nnne

fUkUWW

W = [ ] } [ ]{( ) FUKU − = 0

[ ] } { }{ FUK =⇒



RESOLUTION PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

Pour résoudre un problème par la méthode des éléments finis on procède donc par étapes successives :1- On se propose un problème physique sous la forme d’ une équation différentielle ou aux dérivés

partielles à satisfaire en tout point d’un domaine V,avec des conditions aux limites sur le bord .

2- On construit une formulation intégrale du système différentielle à résoudre et de ses conditions aux limites : c’est la formulation variationnelle du problème

3- On divise V en sous domaines : c’est le maillage .Les points intersections des limites des sous domaines ,ou mailles , sont appelés Nœuds.

4- On choisit les fonctions locales c’est à dire à la fois la position des nœuds dans les sous domaines et les polynômes ou autres fonctions qui définissent le sous domaine local par l’aide des valeurs des noeuds et éventuellement des dérivées.

La maille complétée par ces informations est appelée Eléments. 5- On ramène le problème à un problème discret : C’est la discrétisation . En effet , toute solution

approchée est complètement déterminée par les valeurs aux nœuds des éléments .

-Il suffit donc de trouver les valeurs à attribuer aux nœuds pour décrire une solution approchée .6- On résout le problème discret : c’est la résolution

7- On peut alors construire la solution approchée à partir des valeurs trouvées aux nœuds et en déduire d’autres grandeurs : c’est le post-traitement .

8- On visualise et on exploite la solution pour juger de sa qualité numérique et juger si elle satisfaitles caractères du cahier de charges : c’est l’exploitation des résultats.

CHOIX DU MAILLAGE- CHOIX DES NŒUDS- CHOIX DES FONCTIONS LOCALES L’étude des distributions des contraintes et déformations d’un voile avec flexion qui est du milieu continu (coque demi sphérique - coque demi cylindrique ) peut être complétée par l’exposé de méthodes qui sont à la base des programmes de traitement sur ordinateur et la géométrie d’une coque de forme quelconque peut toujours être représentée par un ensemble de facettes planes triangulaires en général .

Et nous allons ,en particulier , étudier plus en détails une de ces méthodes : la méthode de ces élémentsfinis en l’exposant dans le cas des milieux continus subdivisés en éléments finis qui sont des

ELEMENTS TRIANGULAIRES, les seules à pouvoir représenter toutes surfaces sphériques et qui sont à 3 nœuds et de ddl 3 chacun . ELEMENTS QUADRILATERALES pour les surfaces cylindriques qui sont à quatre nœuds



DEFINITION DU MODELELE MAILLAGE L’opération du maillage consiste à diviser le domaine V qui est du milieu continu en sous domaines appelés mailles ou plus précisement éléments :

• DISCRETISATION DU MILIEU CONTINU : Comme nous l’avons toujours considéré auparavant , nous allons prendre donc une surface polyédrique qui est une facette plane triangulaire dont les sommets ont été sélectionnés arbitrairement et qui est un élément maille de la structure en treillis On définit ainsi des surfaces polyédriques inscrites ,circonscrites ou intermédiaires

Figure 29• HYPOTHESES :

- les facettes (mailles) sont libres sur leurs périphéries- les facettes sont connectées par des nœuds communs placés aux sommets- les charges extérieures sont supposées directement appliquées aux nœuds : les forces

nodales pour l’élément triangulaire.• CONSEQUENCES :

- les faces extrados et intrados des facettes sont supposées libres- une facette se trouve ainsi soumise uniquement aux actions des 3 nœuds qui la relient au

reste de la structure - les facettes sont articulées sur les nœuds - les actions des nœuds se réduisent à des forces passant par les sommets.- Les conditions d’ équilibre des facettes ,soumises à trois forces imposent que les 3 forces

soient coplanaires, c-à-d dans le plan de surface.



Figure 30• CONCLUSIONS :

- Nous avons ainsi les hypothèses de l’ EQUILIBRE DE MEMBRANE et de flexion- Dans le cas contraire de facettes encastrées sur les nœuds comportent en plus des couples

et on retrouve alors les hypothèses de l’ EQUILIBRE GENERAL de flexion .

ETUDE D’UNE FACETTE DANS SON REPERE

Notre élément est classé dans les BIDIMENSIONNELS ( 2D ) 1-REPERE :

Figure 31* Le repère O, x1, x2, x3 est le repère ou le système de référence local attaché au système* Le système de référence naturel : qui sert à localiser les points par rapport au système considéré.

Par exemple le point M du triangle d’une maille est positionné par rapport aux 3 cotés comme le montre la figure précédente avec



Figure 32

<=

<=

<=

=

1

1

1

33

22

11

SSL

SSL

SSL

M 321 SSSS ++=

• Donc dans ce système de référence naturel : les coordonnées d’un point ne dépasse jamais de l’unité .

1321 =++ LLL

• Et la somme des coordonnées d’un point dans un tel repère est toujours égale à 1

31 1 1

àiL i

=+≤≤−

schémas

Figure 33



LES ELEMENTS-LES FONCTIONS D’INTERPOLATION

On choisit arbitrairement des nœuds dans la maille qui devient un élément : (1,2,3)On choisit arbitrairement des fonctions locales destinées à donner une valeur approchée aux nœuds de l’élément .

Les fonctions d’interpolation sur un élément seront construites en deux temps : 1-on construit une fonction d’interpolation sur une maille de référence standard de forme équivalente à la maille réelle 2-on transforme cette fonction d’interpolation pour qu’elle soit appropriée aux mailles réelles. Ce procédé a l’avantage de faire gagner du temps.D’autres logiciels proposent des bibliothèques d’éléments dans lesquels les interpolations dans les mailles de référence sont déjà définies et non plus à être recalculées. *- LES MAILLES DE REFERENCES : Dans un maillage toutes les mailles ont des formes et des dimensions différentes . on trouve des mailles linéiques , des mailles surfaciques et des mailles volumiques de toutes formes et de toutes tailles. Dans le but de d’uniformiser et d’automatiser les calculs , on introduit la notion de maille de référence. Nous allons énumérer ici les mailles les plus utilisées et les plus classiques qui sont , par convention généralement admises. La maille de référence linéique est le segment [ ].1 , 11 −∈x

La maille de référence surfacique triangulaire est le triangle 1 ; 0 ; 0 2121 ≤+≥≥ xxxx

La maille de référence surfacique quadrangulaire est le carré [ ] [ ]1,1;1,1 21 −∈−∈ xx La maille de référence volumique tétraédrique est le tétraèdre 1;0;0;0 321321 ≤++≥≥≥ xxxxxx

La maille de référence volumique pentaédrique est le pentaèdre(prisme à base triangulaire) ]1,1[;1;0;0 32121 −∈≤+≥≥ xxxxx La maille de référence volumique hexaédrique est le cube [ ] [ ] [ ]1;1;1,1;1;1 221 −∈−∈−∈ xxx

Où x1, x2, x3 sont les coordonnées d’un point courant m de la maille de référence

Figure 34



*- INTERPOLATION POLYNOMIALE SUR LES MAILLES DE REFERENCELes fonctions d’interpolations utilisées dans les logiciels sont pratiquement toujours des polynômes. Si la fonction à interpoler est vectorielle ou tensorielle, on interpole de la même manière chacune des composantes. On est donc ramené à des interpolations de fonctions scalaires. Dans la suite, N représente donc soit l’interpolation d’une fonction Scalaire soit l’interpolation d’une composante de fonction vectorielle ou tensorielle.

- Pour les mailles linéiques, N est un polynôme de 1x - Pour les mailles surfaciques, N est un polynôme de 21 xetx

- Pour les mailles volumiques, N est un polynôme de 321 , , xetxx

Rappels sur les bases de polynômes L’espace des polynômes de degré d est un espace vectoriel dont la dimension dépend du degré des polynômes et du nombre de variables. Cet espace possède une base canonique constituée de tous les monômes de degré non négatif inférieur ou égal à d.- La base canonique des polynômes à une variable x1 de degré 3 est constituée des

monômes : { }. , , , 1 31

211 xxx

- La base canonique des polynômes à deux variables x1 et x2 de degré 2 est constituée des monômes : { }21

22

2121 ,,,,,1 xxxxxx

- La base canonique des polynômes à trois variables x1, x2, et x3 de degré 2 est constituée monômes : { }133221

23

22

21321 ,,,,,,,,,1 xxxxxxxxxxxx

Le tableau qui suit donne les dimensions des espaces de polynômes pour des degrés de 1 à 5 pour les polynômes à 1,2 ou 3 variables .

degré 1 variable 2 variables 3variables1 2 3 42 3 6 103 4 10 204 5 15 355 6 21 56

Tableau 6A partir de la base canonique, on peut engendrer une infinité de bases : Si n est la dimension de l’espace de polynômes , toute matrice régulière n x n définit une autre base .Par exemple les 6 polynômes P1, P2, P3, P4, P5, P6 forment une base de l’espace des polynômes de degré 2 à 2 variables :

P1 P11 P12 P13 P14 P15 P16 1

P2 P21 P22 P23 P24 P25 P26 1x

P3 = P31 P32 P33 P34 P35 P36 2x

P4 P41 P42 P43 P44 P45 P46 21x

P5 P51 P52 P53 P54 P55 P56 22x

P6 P61 P62 P63 P64 P65 P66 21xx

En résumé, une interpolation N, sur une maille de référence est caractérisée par :- la dimension de l’espace de référence (linéique, surfacique, volumique) c’est à dire



le nombre de coordonnées dans l’espace de référence. - le choix de n nœuds par leurs coordonnées dans l’espace de référence- le choix de la base

On en déduit la matrice des coefficients des polynômes de base de l’interpolation.Les polynômes Pi (polynômes de base de l’interpolation) sont appelés fonction de forme

Nous considérons alors ici les éléments de référence surfaciques triangle et quadrangle.

1 - ELEMENT TRIANGLE A TROIS NŒUDS

1 2

3( 0 , 1 )

( 0 , 0 ) ( 1 , 0 )

G

3

2

1

x

y

TU

Elément de référence 2D Elément réel 3D

Figure 35

{ }{ }{ }.

;

;

n

n

n

zNz

yNy

xNx

=

=

=

Ce sont les coordonnées d’un point par rapport aux points nodaux Avec

ηξηξ ; ; 1 −−=N N étant une fonction d’interpolation



Et

{ }

{ }

{ }

=

=

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

zzz

z

yyy

y

xxx

x

n

n

n

Et les vecteurs de base 21 aeta sont : ηξ dadadx 21 +=

Avec

{ } { }

{ } { }

==

==

31

31

31

2

21

21

21

1

,

,

zyx

a

zyx

a

ξη

ξη

Figure 36 L’élément d’aire est : nddAddaandS 2 21 ηξηξ =∧= Avec 3 2 1 triangleduaireA =

( ) ( ) ( )[ ] 21

221313121

221313121

2213131212 yxyxzxzxzyzyA −+−+−=

Et n la normale au plan du triangle : 2121 aaA

n ∧=

Une base locale en un point du triangle est définie par .,, 21 naaUne intégrale sur l’élément s’écrit :

( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ ∫−−

==ξη

ξηηξ1

0

1

0

1

0

1

0 2 ... 2 ... ... ddAddAdS

eV

Et si 0 ≡z car on est en BIDIMENSIONNEL

On a : [ ]

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

y

xJ

η

ξ



Le déterminant de [ ]J est : 213131212 yxyxAJ −==

La matrice jacobienne est :

[ ]

=

3131

2121

yxyx

J

L’inverse de [ ]J est [ ]

−

−=

2131

2131

21

xxyy

Aj

2 - ELEMENT QUADRANGLE A QUATRE NŒUDS

Fonctions de forme dans l’espace unitaire : Elément de référence (2D) Elément réel (3D)

( - 1 , 1 ) ( 1 , 1 )

( 1 , - 1 )( - 1 , - 1 )

4U3

21

y

x1

2

3

4

G

G

T

Figure 37

1111

≤≤−≤≤−

ηξ

Soit un point P de l’élément défini par ces coordonnées dans l’espace unitaire U :

ηξ

P

Le vecteur de déplacement Ue = ( )

ηξηξ

,(,

vu

de P est donné par la matrice N des fonctions de forme et le

vecteur Xe des degrés de liberté dans l’élément : X Te : [ ]4 4 3 3 2 2 1 1 vuvuvuvu :



( )

=

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321 0 0 0 0

0 0 0 0 ,

),(

vuvuvuvu

vu

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ηξηξ

Avec ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )11

41,

01,1 , 01,1 , 01,1 , 11,1

11111

1111

++=+++=

=−=−−=−=

ηξηξξ ηηξϕ

ϕϕϕϕ

dcba

Les fonctions de forme sont des fonctions biquadratiques auxquelles on a élevé les termes en 2ξ et .2η

D’une façon générale, en notant ( )ii ηξ , les coordonnées du nœud i (i = 1,4) , on obtient : ( )iii ηξϕ , = ( )iiiN ηξ , . Les fonctions d’interpolation sont notées :

4,1 == iNN i avec ( )ηξϕ ,i = )1)(1(41 ηηξξ iiiN ++=

Où ii ηξ , sont les coordonnées paramétriques du nœud i

Expression de la transformation τ :

La transformation τ permet de passer de l’élément de référence ou espace unitaire U à l’élément réel ou espace géométrique G par les fonctions d’interpolation .En considérant un point P de l’élément / P=

ηξ

dans l’espace U ou l’élément de référence,

ces coordonnées dans l’élément réel ou l’espace G sont telles que , à partir des fonctions de forme N et du vecteur défini par les positions (xi , yi) de chaque nœud i dans l’élément réel :

=

4

4

3

3

2

2

1

1

4321

4321 0 0 0 0

0 0 0 0

yxyxyxyx

yx

ϕϕϕϕϕϕϕϕ



{ }

=

4

3

2

1

xxxx

xn ; { }

=

4

3

2

1

yyyy

yn ; { }

=

4

3

2

1

zzzz

zn

Les vecteurs de base 1a et 2a sont :

{ } { }

++−++−++−

==)1()1()1()1()1()1(

41,

3421

3421

3421

1

ηηηηηη

ξχzzyyxx

a { } { }

++−++−++−

==)1()1()1()1()1()1(

41,

3241

3241

3241

2

ξξξξξξ

ηχzzyyxx

a

L’intégrale : ( ) ( )∫ ∫ ∫− −∧=

eVddaadS

1

1

1

121 ... ... ηξ

Si z 0 ≡ , la matrice jacobienne de transformation devient :

[ ]

( )( )

+++−+−

+++−+−

=

)1( )1()1( )1(

1 )1(1 )1(

41

3232

4141

3434

2121

ξξξξ

ηηηη

yxyx

yxyx

J ; ηξ ddJdS =

[ ] ηξ 210det AAAJJ ++==

Avec )(81

423131420 xyxyA −= où 04A est l’aire du quadrilatère

)(81

342121341 xyxyA −= ; )(81

413232412 xyxyA −=

ELEMENTS DKT ET DKQ



Les éléments DKT et DKQ ont chacun 3 nœuds et 4 nœuds et 3ddl par nœud : Un élément DKT isocèle rectangle a pour coté l’unité Un élément DKQ carré a pour côté L = 2.

* yixiin wU ββ = i =1,n n=3 pour DKT

n=4 pour DKQ

* Les approximations C0 de ( )( )ηξβ

ηξβ,,

y

x sont telles que :

La ROTATION sβ (dans le plan sz où s est la coordonnée le long des côtés) est Quadratique en s La ROTATION nβ (dans le plan nz où n est la direction normale aux côtés) est Linéaire en s n est dirigé vers l’extérieur de l’élément

{ } { }αββ xnxx PN +=

{ } { }αββ ynyy PN +=

avec niNN i ,1 ==

niiyny ,1 == ββ

et niixnx ,1 == ββ

nnkk 2 ,1 +== αα

( ) nnkCPP kkx 2 ,1 +==

( ) nnkSPP kky 2 ,1 +==

Et k

jik L

xC = ;

k

jik L

yS = ; ( )22

jijik yxL +=

* - INTERPOLATION POLYNOMIALE SUR LES MAILLES DE REFERENCE



Les fonctions d’interpolations utilisées dans les logiciels sont pratiquement toujours des polynômes. Si la fonction à interpoler est vectorielle ou tensorielle, on interpole de la même manièrechacune des composantes . On est donc ramené à des interpolations de fonctions scalaires.

Dans la suite N et P représentent donc :

Soit l’interpolation d’une fonction scalaire Soit l’interpolation d’une composante de fonction vectorielle ou tensorielle.

En ce qui nous concerne, car nous considérons des mailles surfaciques de référence :

a)- Pour DKT

* Les fonctions ki PetN sont :

Les valeurs de iN fonctions d’approximation ou d’interpolation sont : ( )3 1 ài =

ηξ

ηξλ

==

−−==

3

2

1 1

NNN

Les valeurs de nnkPk 2 ,1 += , fonctions de forme sont :

( )6 4 àk =

η λξ ηξ λ

444

6

5

4

===

PPP

Les expressions explicites des ROTATIONS

y

x

ββ

en fonction des 9 (ou 12)

variables nodales { }nU

( )( ) { }nniy

iy

iy

i

xi

xi

xi

y

x UNNN

NNN

, 1

321

321

=

=ββ

Avec



mmm

kkk

xi CP

LCP

LN

23

23

1 −=

222 4

343

mmkkixi CPCPNN −−=

mmmkkkxi SCPSCPN

43

43

3 −−=

xi

yi

mmm

kkk

yi

NN

SPL

SPL

N

32

1 23

23

=

−=

223 4

343

mmkkiy

i SPSPNN −−=

mki PPN ,, sont définis antérieurement tandis que les indices k et m sont relatifs aux cotés issus du même sommet i

nœuds sommets côté k (i-j) côté m (i-j) i 1 4(1-2) 6(3-1) DKT 2 5(2-3) 4(1-2) 3 6(3-1) 5(2-3) 1 5(1-2) 8(4-1) 2 6(2-3) 5(1-2) DKQ 3 7(3-4) 6(2-3) 4 8(4-1) 7(3-4) Tableau 7

* La matrice de rigidité [ ]K est définie par :



[ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV

T ddJBHBK ηξ

1- Pour déterminer [B] On applique la relation :

[ ]

−++−

+−

−

=

yyxx

yy

xx

NJNJNJNJ

NJNJ

NJNJ

JB

ηξηξ

ηξ

ηξ

12221121

1121

1222

1

Où jiJ sont les termes du Jacobien de la Transformation géométrique/

∑∑

=

=

=

=

niii

niii

yNy

xNx

,1

,1

Les fonctions N sont définies précédemment et les xN ξ signifient « dérivée de xN par rapport à ξ ».

Les termes de [ ]JJetJ det = sont :

DKT DKQ

11J 21x ( )[ ]2134342141 xxxx −++ η

12J 21y ( )[ ]2134342141 yyyy −++ η

21J 31x ( )[ ]4132413241 xxxx −++ ξ

22J 31y ( )[ ]4132413241 yyyy −++ ξ Tableau 8

21122211 JJJJJ −= c’est le déterminant de [ ]J jiij xxx −= Donc d’après les équivalences citées dans le tableau On a :

[ ]

=

3131

2121

yxyx

J [ ]

−

−=

2131

2131

21

xxyy

Aj

Les fonctions d’interpolation sont 1N et 2N : 21 NNN =

Les vecteurs de coordonnées nodales sont :

η



{ }

{ }

{ }

=

=

=

2

1

2

1

2

1

zz

z

yy

y

xx

x

n

n

n

(0,1) 3 η

1221

1221

1221

zzzyyyxxx

−=−=−=

(0,0) 1 2 (1,0) ξ

Figure 38

1 00 10 0

33

22

11

======

yxyxyx

[ ]

−++−

+−

−

=yyxx

yy

xx

NJNJNJNJ

NJNJ

NJNJ

JB

ηξηξ

ηξ

ηξ

12221121

1121

1222 1

Avec

3133122

133121

122112

2122111

101000000

101

yyyyJxxxJyyyJ

xxxxJ

==−=−===−=−===−=−==

==−=−==

[ ]

−++−

+−

−

=

ηξηξ

ηξ

ηξ

,2,3,2,3

,2,3

,2,3

21

vvuu

vv

uu

NyNyNxNx

NxNx

NyNy

AB

[ ]

−++−

+−

−

=⇒yyxx

yy

xx

NNNN

NN

NN

JB

ηξηξ

ηξ

ηξ

0110

10

01 1

+

=yx

y

x

NN

N

N

Jξη

η

ξ

1

et J = J11J22 - J12J21 = x21 y31 - y21 x31 = 1 x 1 - 0 x 0 = 1

donc J =1



et [ ]

+

=yx

y

x

NN

N

N

B

ξη

η

ξ

[ ]

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂

=⇒

ξη

η

ξ

yx

y

x

NN

N

N

B

x = ξ y = η

[ ]

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂

=⇒

xN

yN

yN

xN

B

yx

y

x

D’où quand on a trouvé les Bi on forme B ou directement B et la matrice de rigidité telle que :

2- on forme la transposée de B = B T

La matrice de rigidité est : [ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV

T ddJBHBk ηξ dont l’opération est à effectuer

par l’aide du MATLAB que nous verrons au plus tard le sous – programme mais pour la transposée

d’abord :



%transformation des variables x y en objet Syms x y real %citation de la matrice B B = [……. ] %création de la matrice transposée BT = B’ ; %disp BT(présentation de résultat) Les hypothèses considérées pour DKT et DKQ étant :

Les rotations nodales ix β et iy β sont :

( )( ) ixyiy

iyxix

ii

,

,

θωβθωβ−=−=

=−=

Des techniques utilisés consistent à introduire des fonctions bulles pour

y

s

ββ

Avec 7 fonctions iN pour DKT 9 fonctions iN pour DKQ

Les hypothèses considérées sont :

00

==

zy

zx

γγ

c-à-d : Les déformations dues aux CONTRAINTES DE CISAILLEMENT TRANSVERSALES (CCT)

aux nœuds et au centre sont NULLES.

Rappelons que :

Les expressions explicites des rotations

y

x

ββ

en fonctions des

9 (ou 12) variables nodales { }nU étant :

( )( ) { }nniy

iy

iy

i

xi

xi

xi

y

x UNNNNNN

,1

321

321

=

=ββ

{ } { }

{ } { }

+=

+=

αββ

αββ

yyny

xxnx

PN

PN



Avec

ijédumilieuknnk

ni

ni

niNN

k

iyny

ixnx

i

cot 2 , 1

, 1

, 1

, 1

+==

==

==

==

αα

ββ

ββ

( )( ) { }nniy

iy

iy

i

xi

xi

xi

y

x UNNNNNN

,1

321

321

=

=ββ

Pour le calcul de [Bi] on procède aux dérivées des yji

xji NetN ci-dessous par rapport à x et y

successivement pour les deux premières lignes et par rapport à y et x encore et considérer la somme de ces deux derniers pour la troisième ligne .

On obtient des matrices Bi de 3x3

Avec

223

32

1

3

222

1

43

43

23

23

43

23

43

43

23

23

mmkkiy

i

xi

yi

mmm

kkk

yi

mmmkkkk

xi

mmkkixi

mmm

kkk

xi

SPSPNN

NN

SPL

SPL

N

SCPSCPL

N

CPCPNN

CPL

CPL

N

−−=

=

−=

−−=

−−=

−=

[ ]

∂∂

+∂

∂

∂∂

∂∂

=⇒

xN

yN

yN

xN

B

yij

xij

yij

xij

i

Avec k

jik L

xC =

k

jik L

yS = ( ) 2

122jijik yxL +=



Pour DKT élément de référence (triangle rectangle isocèle) que nous appliquons sur le coque hémi sphérique on aura :

η y ( )

( )

−−==

−−=

yxyPxyP

yxxP

144

14

6

5

4

(0,1) 3

6 5

==

−−=

yNxN

yxN

3

2

1 1

(0,0) 1 4 2 x

Figure 39 (1,0) ξ { }{ }n

yiy

nxix

UN

UN

1

1

=

=

β

β { }nU étant les 9 coordonnées

variables nodales

55355452454141 83 ;

83 ;

43 ;

83 ;

43

83 ;

23

43 ; 0 ;

43 ;

23 PPNPPPPNPPPNPN x

i −−−−−−=

56355652556161 83

43 ;

83 ;

43

23 ;

83 ;

83 ;

43 ;

43 ; 0 ;

23 PPNPPPPNPPPNPN y

i −−−−−−=

D’ après ces valeurs de P4 , P5 , P6 on peut maintenant former la matrice [ ]B telle que :

[ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV

T ddJBHBk ηξ

[ ]k étant la matrice de rigidité d’un élément . [ ]H est , puisque le matériau est élastique , homogène et isotrope,PRESENTATION DE L’ELEMENT DKT (Discrete Kirchhoff Triangle)

Figure 40



De la forme : [ ]

−−

=

21 0 0

0 1 0 1

1 2

νν

ν

νEH

Nous avons, dans la relation DEFORMATION et DEPLACEMENTS NODAUX aussi { } [ ] { }nqB =ε 332211 vuvuvuqn =

[ ]

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂

=⇒

xN

yN

yN

xN

B

yx

y

x

Donc le calcul de [ ]B nécessite la dérivation de la fonction de déplacement par rapport aux coordonnées globales des fonctions u et v qui sont exprimées plus facilement à l’aide des coordonnées naturelles Li .

55355452454141 83 ;

83 ;

43 ;

83 ;

43

83 ;

23

43 ; 0 ;

43 ;

23 PPNPPPPNPPPNPN x

i −−−−−−=

56355652556161 83

43 ;

83 ;

43

23 ;

83 ;

83 ;

43 ;

43 ; 0 ;

23 PPNPPPPNPPPNPN y

i −−−−−−=

Dans notre cas on crée directement [B] tel que :

[ ]

∂

∂+

∂

∂

∂

∂∂

∂

=

x

N

yN

y

Nx

N

B

yx

y

x

{ }{ }n

yiy

nxix

UN

UN

1

1

=

=

β

β



LyLx

=

=

−−=

η

ξ

ηξλ 1

55355452454141 83 ;

83 ;

43 ;

83 ;

43

83 ;

23

43 ; 0 ;

43 ;

23 PPNPPPPNPPPNPN x

i −−−−−−=

56355652556161 83

43 ;

83 ;

43

23 ;

83 ;

83 ;

43 ;

43 ; 0 ;

23 PPNPPPPNPPPNPN y

i −−−−−−=

Nous procédons aux calculs des dérivées alors et nous représenterons les résultats sous forme de Tableau après avoir compléter les expressions de y

ixi NetN 11 avec leurs différentes composantes

comme suit :

( )

( )

−−==

−−=

yxyPxyP

yxxP

144

14

6

5

4

==

−−=

yNxN

yxN

3

2

1 1



En remplaçant les Pi par leur équivalence alors on aura :le tableau récapitulatif suivant :

xiN 1 KP ( )yxP ,

xN x

i

∂∂ 1

yN x

i

∂∂ 1

423 P xyxx 666 2 −− ( )yx −− 216 x6−

41 43 PN − xyxyx 3341 2 ++−− yx 364 ++− x31 +−

0

45 23

43 PP −− 2663 xxxy +− xy 1263 +−+ x3

452 43

83 PPN −− 23

232 xxyx ++− xy 6

232 ++− x

23+

583 P xy

23

y23

x23

543 P xy3 y3 x3

53 83 PN − xyy

23− y

23− x

231 −

583 P xy

23

y23

x23

yiN 1 KP ( )yxP ,

yN y

i

∂∂ 1

xN y

i

∂∂ 1

623 P 2666 yxyy −− ( )yx 216 −− y6−

0

61 43 PN − 23341 yxyyx ++−− yx 634 ++− y31 +−

543 P xy3 x3 y3

583 P xy

23

x23

y23

52 83 PN − xyx

23− x

23− y

231 −

56 43

23 PP −− 2636 yxyy ++− yx 1236 ++− y3

583 P xy

23

x23

y23

563 83

43 PPN −− 23

232 yxyy ++− yx 6

232 ++− y

23

Tableau 9



Donc N x est :

xyxyyxyxyxyxxxyxyxxyxx

PPNPPPPNPPPNPN x

23 ;

23 ; 3 ;xy

23;

233x2x- ; 366 ; 0 ; 3341 ; 666

83 ;

83 ;

43 ;

83 ;

43

83 ;

23

43 ; 0 ;

43 ;

23

2222

5535545245414

−++++−++−−−−=

−−−−−−=

Calcul des dérivées :

yyyyyxxyyxyxx

N x

23 ;

23 ; 3 ;

23 ;

2362; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126 −++−+−++−−−=

∂∂

xxxxxxxxy

N x

23;

231 ; 3;

23 ;

23 ; 3 ; 0 ; 31 ; 6 −+−−=

∂∂

Et N y

2222

5635565255616

3232;

23;636;

23;

23;3;3341;0;666

83

43;

83;

43

23;

83;

83;

43;

43;0;

23

yxyyxyyxyyxyxxyxyyxyyxyxyy

PPNPPPPNPPPNPN y

++−++−−++−−−−=

−−−−−−=

Calcul des dérivées

yxxyxxxxyxyxy

N y

6232 ;

23 ; 1236 ;

23 ;

23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 1266 ++−++−−++−−−=

∂∂

yyyyyyyxx

N y

23 ;

23 ; 3 ;

231 ;

23 ; 3 ; 31 ; 0 ; 6 −+−−=

∂∂

xxxxxxxxy

N x

23;

231 ; 3;

23 ;

23 ; 3 ; 0 ; 31 ; 6 −+−−=

∂∂

yyyyyyyxx

N y

23 ;

23 ; 3 ;

231 ;

23 ; 3 ; 31 ; 0 ; 6 −+−−=

∂∂

On forme maintenant la somme de ces deux derniers :

( ) )(23);(

231);(3);(

231);(

23);(3;31;31;6 yxxyyxyxyxyxyxyx

xN

yN yx

+−++−++++−+−+−=∂

∂+∂

∂



Figure 41D’où on forme [ ]B :

[ ]

+

=yx

xy

yy

xx

NN

N

N

B

,,

,

,

[ ]

−+−−

+−+−−=+

++−++−−++−−−=

−++−+−++−−−=

=

yyyyyyyy

xxxxxxxxNN

xyxyxxxxyxxyN

yyyyxxyyxyxN

Byx

xy

yy

xx

23 ;

23 ; 3 ;

231 ;

23 ; 3 ; 31 ; 0 ; 6

23 ;

231 ; 3 ;

23;

23 ; 3 ; 0 ; 31 ; 6

2362;

23; 1236 ;

23 ;

23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126

23 ;

23; 3 y;

23;

2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126

,,

,

,

[ ]

+−++−++++−+−+−=+

++−++−−++−−−=

−++−+−++−−−=

=

)(23 ; )(

231 ; )(3 ; )(

231; )(

23 ; )(3 ; 31; 31 ; )(6

2362;

23; 1236 ;

23 ;

23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126

23 ;

23; 3 y;

23;

2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126

,,

,

,

yxxyyxyxyxyxyxyxNN

xyxyxxxxyxxyN

yyyyxxyyxyxN

B

yx

xy

yy

xx



[ ]

−−

=

21 0 0

0 1 0 1

1 2

νν

ν

νEH avec E = 33000 kgf/cm3 et ν = 0.3

La matrice [ ]H est une Matrice de 3 x 3 La matrice [ ]TB est une Matrice de 9 x 3 La matrice [ ]B est une Matrice de 3 x 9

[ ] ( )

+++

−−

+++

−+

+++−

++−++++++−

+−−

=

)(23

236y2-

23

)(23-1

23

23

y)3(x 12y 3x6- 3

)(231

23-

23

23

23

2362

y)3(x 3x 1263y31- 6y 3x4- 0

3x1- 0 364 y)6(x- 6x -12y-6 6126

yxxy

yxxy

y

yxxy

yxxyx

xy

yxyx

B T et [ ]

−−

=

21 0 0

0 1 0 1

1 2

νν

ν

νEH

[ ]

+−−++++++−+−=+

++−++−−++−−−=

−++−+−++−−−=

=

(23 ; )(

231 ; )(3 y);-(x

231; )(

23 ; )(3 ;3y 1- ; 31 ; )(6

2362;

23; 1236 ;

23 ;

23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126

23 ;

23; 3 ;

23 ;

2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126

,,

,

,

yxyxyxyxyxxyxNN

xyxyxxxxyxxyN

yyyyyxxyyxyxN

B

yx

xy

yy

xx

3- Calcul de [k] e matrice de rigidité d’un élément :

Donc le produit matriciel est bien compatible ;de même son intégration est aussi compatible pourla détermination de la Matrice de rigidité [ ]k qui est une matrice de 9 x 9 pour DKT.Tout ceci est effectué dans MATLAB.

[ ] [ ] [ ] [ ]∫=V

Te dydxBHBk [ ] [ ] [ ]∫ ∫=1

0

1

0

dydxBHB t



1- clear all 2- clc 3- E =…. 4- nu =…0.3 ; ( pour notre cas) 5- coef = E / ( 1 – nu^2 ) 6- syms x y real (transformation des variables x et y en objet ) 7- H = coef * [ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] ; 8- B = […(on énumère B qui est en fonction des 2 variables) ] ; 9- [ ] [ ] [ ] ; ' BHBBHB T = 10- k = int ( int ( [ ] [ ] [ ] BHB T , x , 0 , 1 ) , y , 0, 1) ; 11- k = eval ( k ) / 8.9913 ; 12- disp ( k )

Figure 42 Le domaine d’intégration V e est l’élément DKT donc les bornes d’intégration sont, en

considérant le repère de référence , [ ] [ ] [ ]∫ ∫1

0

1

0

dydxBHB T c-à-d : [ ] 1 , 0

Figure 43

Pour l’ensemble, c-à-d pour le Milieu continu entier, ( A ), on aura : [ ] [ ]∑=)( A

ekK qui est une somme

particulière encore à définir. yixiin wU ββ =

( ordre des variables : 3 , 1 =iw iyixi ββ )

{ }{ }n

yiy

nxix

UN

UN

1

1

=

=

β

β et { }nU étant les 9 coordonnées variables nodales

D’où la matrice de rigidité de DKT : [ ] =

10

3Ehk



(isocèle rectangle avec ν = 0.3) 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301

-1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226

-1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461

-4.602 1.837 -0.177 5.048 2.204 -0.366 -0.446 1.007 0.097 -2.301 0.461 -0.226 2.204 -1.399 -0.023 0.097 0.343 0.346

-0.641 -0.152 0.152 -0.366 -0.023 0.512 1.007 -0.192 0.343

-4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048 -0.366 2.204

-0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366 0.512 -0.023

-2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.023 1.399

Elément triangulaire DKT1-Définition du repère localLa surface de référence de l’élément est définie par :

{ }

ηξηξλ ==−−==

=

= ∑=

321

3

1

;;1 NNNZYX

NZYX

xi

i

i

i

ip

Les vecteurs de base a1 et a2 sont :

{ } { }

{ } { }

==

==

31

31

31

,2

21

21

21

,1 ;

ZYX

xa

ZYX

xa

p

p

η

ξ

On peut définir un repère [ ] [ ]nttQ :: 21=



AaatntLat

aaaan 2 : : : 2112

21

11

21

21 =ΛΛ==ΛΛ

=

Où A est l’aire du triangle et ( ) ;....; 122121

221

221

22121 xxxZYXL −=++=

{ } { } { }

−−

−

=

=

−−

−=

xyyx

zxxz

yzzy

tntntntntntn

tZYX

Lt

YXYXXZXZ

ZYZY

An 2

21

21

21

211

21313121

21313121

21313121

;1;21

( )O

[ ( ) ( ) ( ) ] 212

213131212

213131212

213131212 YXYXXZXZZYZYA −++−+−=

Dans le programme , le repère [ ]Q est défini en utilisant la relation

Pour le membrane : { } [ ]{ } [ ] { } globnglobmrunm

yx

y

x

iirun

UBUBvu

vu

e

ivuU

==

+

=

==

,,

,

,

3,1......

654333222111 θθθWVUWVUWVUUglobn = z,w

n y,v

,,,, yxvu sont des variables et coordonnées locales suivant 21 tett 2t 3 1 6 5

nuWnVnUnw

tuWtVtUtvtuWtVtUtu

pzyx

pzyx

pzyx

.

.

.

2222

1111

=++=

=++=

=++=

1t 4 2 x,u

Figure 44Les composantes cartésiennes de nettt , 21 sont définies par ( )O et les coordonnées locales

ii yx , s’obtiennent par , ( un point q dans l’épaisseur est défini par { } { } { }nzxx pq += ),



b)- Pour DKQ élément de référence (carré de coté L=2) que nous appliquons sur le coque hémi cylindrique

η y - Les fonctions de formes sont :

4 7 3(1,1)

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

+−−=−−=

−−+=+−=

−−+=+−=

+−−=−−=

)1(2111

21

)1(2111

21

)1(2111

21

)1(2111

21

2228

2227

2226

2225

xyyxxyP

yxxyyxP

xyyxxyP

yxxyyxP

x ξ 1 5 2 (-1,-1) - Les fonctions d’interpolations sont : Figure 45

( )( ) 4,1 1141 =++= iyyxxN iii

{ }{ }n

yy

nx

x

UN

UN

=

=

β

β { }nU étant les 12 coordonnées

variables nodales

0;43;

43;0;

43;

43;0;

43;

43;0;

43;

43

747737525515 PNPPNPPNPPNPN x −−−−−−=

848636626818 43;0;

43;

43;0;

43;

43;0;

43;

43;0;

43 PNPPNPPNPPNPN y −−−−−−=

On forme maintenant la MATRICE [ ]B qui est un opérateur de déformation :

( ) ( ) 4,1 1 141 =++= iyyxxN iii

Donc :

( ) ( )yyxxN 111 1141 ++= → ( )1;1 11 −=−= yx ⇒ ( ) )1(1

41

1 yxN −−= 4444

1 xyxy+−−=

( ) ( )yyxxN 222 1141 ++= → ( )1;1 22 −== yx ⇒ ( )( )yxN −+= 11

41

2 4444

1 xyxy−+−=

( )( )yyxxN 333 1141 ++= → ( )1;1 33 == yx ⇒ ( )( )yxN ++= 11

41

3 4444

1 xyxy+++=

( ) ( )yyxxN 444 1141 ++= → ( )1;1 44 =−= yx ⇒ ( ) )1( 1

41

4 yxN +−= 4444

1 xyxy−−+=



[ ]k est de la forme :

[ ]10

3Ehk =

Avec [ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV

T ddJBHBk ηξ

Et [ ]

−−

=

21 0 0

0 1 0 1

1 2

νν

ν

νEH

PRESENTATION DE L’ELEMENT DKQ (Discrete Kirchhoff Quadrilatéral)

Figure 46



MODE D’ASSEMBLAGE

Nous n’avons jusqu’à présent, considéré que des éléments de référence dont DKT pour le demi coquesphérique et DKQ pour le demi coque cylindrique .Pour chacun de ces coques, nous allons maintenant résoudre le problème d’assemblage.

Pour DKT Par hypothèse, dans tout le milieu continu considéré, c’est à dire le demicoque sphérique, l’élément de référence appliqué est le même . Le milieu continu est aussi constitué de matériaux homogène, isotrope, élastique. Donc les propriétés sont invariantes d’un élément à un autre :

- les fonctions d’interpolation sont les mêmes- les fonctions de forme sont les mêmes - de plus il n’y a pas de force volumique .

Pour cela il suffit d’assembler les matrices de rigidité correspondantes « convenablement ».

L’assemblage convenable des matrices de rigidité revient donc à monter la matrice globale,de même l’obtention du vecteur des efforts à partir du vecteur des efforts élémentaires .

Et on appelle MATRICE GLOBALE la matrice correspondant à l’assemblage de toutes les matricesélémentaires aussi bien de rigidité que des efforts appliqués si ceux-ci en existent , c’est à dire le milieu continu considéré tout entier . Lors de la construction du maillage que sont formés les éléments et les nœuds, un exemple de maillage a été représenté. La numérotation des nœuds peut se faire de façon globale (numérotation relative aux mailles entières ) ou locale (numérotation relative à un élément particulier). La correspondance entre les numérotations locale et globale se fait par la méthode de la matrice de connectivité habituellement notée L . Le numéro global du i ème nœud du j ème élément est L (i,j)

Numérotation globale Numérotation locale Figure 47Dans l’exemple précédent les numéros des nœuds de l’élément 5 sont : L(1,5) = 6 ; L(2,5) = 4 ; L(3,5) = 7



La matrice de rigidité globale s’obtient en faisant la somme, pour chaque nœud (numérotation globale), des termes correspondants dans les matrices élémentaires des éléments connectés au nœud.

Pour l’ensemble, c-à-d pour le Milieu continu entier, ( A ), on aura : [ ] [ ]∑=)( A

ekK .

Avant de montrer le processus d’assemblage pour l’obtention de la MATRICE GLOBALE rappelons d’abord les différentes composantes d’ une matrice de RIGIDITE d’ un élément triangulaire:

En général, l’élément triangulaire est représenté dans le plan c’est à dire en deux dimensionsEt ses nœuds ou ses sommets sont notés i , j , k . Et à chaque nœud les déplacements ont deux composantes chacun :

Figure 48

La matrice de rigidité relative à ceci est :

=

2

1

2

1

2

1

2 2

2 1 1 1

2 2 1 2 2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 j

2 2 1 2 2 2 1 2 2 2

2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1

2

1

2

1

2

1

k

k

j

j

i

i

kk

kkkk

kjkjjj

kjkjjjj

kikijijiii

kikijijiiiii

k

k

j

j

i

i

xxx

xxx

aaa

aaa

aaaa

aaaaa

aaaaaa

yyy

yyy

pour des nœuds à deux degrés de liberté .

Et l’on peut écrire :

=

k

j

i

kk

jkjj

ikijii

k

j

i

x

xx

a

aa

aaa

y

yy

avec

=

22

1211

pq

pqpqpq a

aaa

Ou bien, en une courte notation de vecteur : mmm xay = avec

=

kk

jkjj

ikijii

m

a

aa

aaa

a

Où ma a des sous- matrices 3 x 3 correspondant aux 3 noeuds i , j , k et chacun des 9 sous- matricessont 2 x 2 et correspond aux deux degrés de liberté de chaque nœud . Le domaine d’intégration V e est l’élément DKT donc les bornes d’intégration sont, en



considérant le repère de référence , [ ] [ ] [ ]∫ ∫1

0

1

0

dydxBHB T c-à-d : [ ] 1 , 0 pour un élément

Figure 49Pour l’assemblage des 2 éléments on aura donc :

Ceci pour extensions à des nœuds à trois degrés de liberté :Par analogie on aura alors : Figure 50 i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3

j

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3 3

3 2 2 2

3 1 2 1 1 1

33 2 3 1 3 3 3

32 2 2 1 2 3 2 2 2

3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 j

3 3 2 3 1 3 33 32 1 3 33

3 2 2 2 1 2 23 22 1 2 23 2 2

3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 1 1 1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

k

k

k

j

j

j

i

i

i

kk

kkkk

kkkkkk

kjkjkjjj

kjkjkjjjjj

kjkjkjjjjjj

kikikijijijiii

kikikijijijiiiii

kikikijijijiiiiiii

k

k

k

j

j

j

i

i

i

xxx

x

x

xxxx

aaa

aaa

aaaa

aaaaa

aaaaaa

aaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaaa

yyy

y

y

yyyy



La structure de la matrice de rigidité est donc pour l’élément V1 : [ R1 ]= i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R1

11 R112 R1

13

1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13

i 2 a iiI 21 a i i 22 a i i 23 a i j21 a ij 22 a i j 23 a i k21 a ik 22 a i k 23

3 a i i31 a i i32 a i i 33 a i j31 a ij 32 a i j 33 a i k31 a ik 32 a i k 33

R121=R

112

T R1

22 R123

1 aji11 aj i12 a ji13 a j j11 a jj 12 a j j 13 a j k11 a j k 12 a j k 13

j 2 aji 21 ajj 22 ajj 23 a jj 21 a jj 22 a j j 23 a j k21 a jk 22 a j k 23

3 aji 31 aj ij 32 a j j 33 a j j 31 aji32 aji 33 a j k31 a j k 32 a j k 33

R131=R

113

T R1

32 = R123

T R1

33

1 aki31 akj 32 a ki 33 akj11 akj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 aki 21 aki22 a ki 23 akj21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33

Pour l’élément V2 : [R2] = i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R2

44 R243 R2

42

1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13



R234=R

243

T R2

33 R232




R224=R2

42 T

R223= R2

32 T

R222

1 ak i 31 aki32 ak i 33 akj11 a kj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 ak i 21 ak i22 aki 23 a kj 21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33

Figure 51L’assemblage de l’élément 1 et 2 s’effectue alors de la façon suivante : [ R1] U [ R2] = [R]

[ R ] = i j k h 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R11 = R1

11 R12= R112 R13 = R1

13 R14

1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13 0 0 0



i 2 a iiI 21 a i i 22 a i i 23 a i j21 a ij 22 a i j 23 a i k21 a ik 22 a i k 23 0 0 0

3 a i i31 a i i32 a i i 33 a i j31 a ij 32 a i j 33 a i k31 a ik 32 a i k 33 0 0 0

R21= R121=R1

12 R22= R122+ R2

22 R23=R123+R2

23 R24= R224




R31=R113

T R3 =R1

32+R232= R23

T R33= R1

33+ R233 R34 = R1

12T=R2

43T

1 ak i31 ak i 32 ak i 33 akj11 a kj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 aki21 aki22 a ki 23 akj21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33

R41 R42= R224

T R43 = R1

12 =R2

43 R44 = R11=R2

11

1 0 0 0

h 2 0 0 0

3 0 0 0

« C’est la matrice de rigidité globale relative à deux éléments assemblés et on peut généraliser pour le milieu continu ».

Figure 52 Pour l’élément V3 : [R3] est : i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 a i i 11 a i i 12 a i i 13 a i j11 a ij 12 a i j 13 a i k11 a ik 12 a i k 13






1 ak i31 ak i 32 ak i 33 akj11 a kj 12 akj13 a k k11 ak k 12 a k k 13 k 2 aki21 aki22 a ki 23 akj21 akj22 ak j23 ak k 21 a k k 22 a k k 23 3 a ki31 aki 32 ak i 33 akj31 akj 32 akj33 a k k 31 a k k 32 a k k 33

Numériquement on aura les matrices de rigidité de chaque élément :

[ R1] = Figure 53



i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R1

11 R112 R1

13 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301

-1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226

-1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461

R121=R1

12 T

R122 R1

23

-4.602 1.837 -0.177 5.048 2.204 -0.366 -0.446 1.007 0.097

-2.301 0.461 -0.226 2.204 -1.399 -0.023 0.09-7 0.343 0.346

-0.641 -0.152 0.152 -0.366 -0.023 0.512 1.007 -0.192 0.343

R131=R1

13 T

R132 = R1

23 T

R133

-4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048 -0.366 2.204

-0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366 0.512 -0.023

-2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.023 1.399

[ R2] =

i j k 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R2

44 R243 R2

42 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301

-1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226

-1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461

R234=R

243

T R2

33 R232

-4.602 1.837 -0.177 5.048 2.204 -0.366 -0.446 1.007 0.097 -2.301 0.461 -0.226 2.204 -1.399 -0.023 0.09-7 0.343 0.346

-0.641 -0.152 0.152 -0.366 -0.023 0.512 1.007 -0.192 0.343

R224=R2

42 T

R223 = R2

32 T

R222

-4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048 -0.366 2.204

-0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366 0.512 -0.023

-2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.023 1.399

Et en suivant la formule de combinaison pour l’assemblage on aura

la matrice de rigidité globale [ ] =

10

3EhK

(isocèle rectangle avec ν = 0.3) [ R ] = i j k h 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R11 = R1

11 R12= R112 R13 = R1

13 R14

1 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301 0 0 0



i 2 -1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226 0 0 0

3 -1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461 0 0 0

R21= R121=R1

12 T

R22= R122+ R2

22 R23=R123+ R2

23 R24= R224

1 -4.602 1.837 -0.177 5.048 +5..048 2.204-0.366 -0.366+2.304 -0.446 -0.446 1.007+ 0.097 0.097+ 1.007 -4.602 -0.641 -2.301

j 2 -2.301 0.461 -0.226 2.204-0366 -1.399+0.512 -0.023-0.023 0.097+ 1.007 0.343+ 0.343 0.346 -0.192 -0.177 0.152 -0226

3 -0.641 -0.152 0.152 -0.366+2.204-0.023-0.023 0.512+1.399 1.007 + 0.097-0.192+ 0.346 0.343 + 0.343 1.837 -0.152 0.461

R31=R113

T R32 = R1

32 R33= R133+ R2

33 R34 = R112

T

1 -4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 5.048+ 5.048 -0.366+ 2.2042.204 -0.366 -4.602 1.837 -0.177 k 2 -0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 -0.366+ 2.204 0.512 -1.399 -0.023 -0.023 -2.301 0.461 -0.226 3 -2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 2.204 -0.366 -0.023 -0.023 1.399 + 0.512 -0.641 -0.152 0.152

R41 R42= R224

T R43 = R1

12 R44 = R11=R1

11

1 0 0 0 -4.602 -0.177 1.837 -4602 -2301 -0.641 9.203 -1.660 -1660

h 2 0 0 0 -0.641 0.152 -0.152 1.837 0.461 -0.152 -1.660 1.250 0.200

3 0 0 0 -2.301 -0.226 0.461 -0.177 -0.226 0.152 -1.660 0.200 1.225

[ R ] = i j k h 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 R11 = R1

11 R12= R112 R13 = R1

13 R14

1 9.203 -1.660 -1660 -4602 -2301 -0.641 -4.602 -0.641 -2.301 0 0 0

i 2 -1.660 1.250 0.200 1.837 0.461 -0.152 -0.177 0.152 -0226 0 0 0

3 -1.660 0.200 1.225 -0.177 -0.226 0.152 1.837 -0.152 0.461 0 0 0

R21= R121=R1

12 T

R22= R122+ R2

22 R23=R123+ R2

23 R24= R224

1 -4.602 1.837 -0.177 10.096 2.570 1.938 0.892 1.104 1.104 -4.602 -0.641 -2.301

j 2 -2.301 0.461 -0.226 2.570 -0.887 0.046 1.104 0.686 0.154 -0.177 0.152 -0226

3 -0.641 -0.152 0.152 1.838 -0.046 1.742 1.104 0.154 0.686 1.837 -0.152 0.461

R31=R113

T R32 = R1

32 R33= R133+ R2

33 R34 = R112

T

1 -4.602 -0.177 1.837 -0.446 0.097 1.007 10.096 1.838 1.838 -4.602 1.837 -0.177 k 2 -0.641 0.152 -0.152 1.007 0.343 -0.192 1.838 -0.887 -0.046 -2.301 0.461 -0.226 3 -2.301 -0.226 0.461 0.097 0.346 0.343 1.838 -0.046 1.911 -0.641 -0.152 0.152

R41 R42= R224

T R43 = R1

12 R44 = R11=R1

11

1 0 0 0 -4.602 -0.177 1.837 -4602 -2301 -0.641 9.203 -1.660 -1660

h 2 0 0 0 -0.641 0.152 -0.152 1.837 0.461 -0.152 -1.660 1.250 0.200

3 0 0 0 -2.301 -0.226 0.461 -0.177 -0.226 0.152 -1.660 0.200 1.225

C’est une Matrice de 12 x12

Explication de l’assemblage des matrices de rigidité de chaque élément(DKT) : Soit [R1] la matrice de rigidité de l’élément 1 :

R111 R1

12 R113 0 R1

14

1

[ R1] = R121 R1

22 1 R123 2 0 R1

24

1 2

R131 R1

32 R133 0 R1

34 2 3

0 0 0 0 R144

Et [R2] la matrice de rigidité de l’élément 2 :



R244 R2

43 R242 0 R2

41

3

[ R2] = R234 R2

33 R232 0 R2

31

2

R224 2 R2

23 1 R222 0 R2

21 1

0 0 0 0 R211

[ R ] = [ R1] + [ R2] ζ , ζ étant une transformation de rotation d’angle π

R111 R1

12 R113 0

1

[ R ] = R121 R1

22+R222 1 R1

23+R223 2 R2

24 1 2

R131 R1

32 +R232 R1

33+R233 R2

34

2 3

0 R242 R2

43 R244

0 0 0 0 0 R1

11 + R211 R1

12 + R212 R1

31 + R213 R1

14+ R214

R233 R2

32 R231

0 0 R1

21 + R221 R1

22 + R222 R1

23 + R223 R1

24 + R224

[ R] = R223 R2

22 R221

0 0 R1

31 + R231 R1

32 + R232 R1

33 + R233 R1

34 + R234

R213 R2

12 R211

0 R1

41 + R241 R1

42 + R242 R1

43 + R243 R1

44 + R244

0 0 0 0



Une transformation par programmation en Matlab est présentée comme suit :

R111 R1

12 R113 R1

33 R132 R1

31

ζ [ R1] = R1

21 R122 R1

23 R1 23 R1

22 R121

R131 R1

32 R133 R1

13 R112 R1

11

ζ G D = fliplr

R113 R1

12 R111 R1

33 R132 R1

31

ζ H B R1

23 R122 R1

21 R123 R1

22 R121

flipud R1

33 R132 R1

21 R113 R1

12 R111

R1 R2

R111 R1

12 R113 0 R1

11 R112 R1

13 0

R10 = R1

21 R122 R1

23 0 R20 = R1

21 R122 R1

23 0

R131 R1

32 R133 0 R1

31 R132 R1

33 0

0 0 0 0 0 0 0 0

R1 = k ;

R2 = k ;

R01 = [ R1 zero(9,3)] ; - R01 = [ R01 ; zero(3,12)] ;

R02 = [ R2 zero(9,3)] ; - R02 = [ R02 ; zero(3,12)] ;

RT02 = fliplr (flipud (R02 )) ; R = R01 + R02 ;



Tableau 10


xiN 1 KP ( )yxP ,

xN x

i

∂∂ 1

yN x

i

∂∂ 1

54

3 P ( )yxxy 22183 +−− ( )xyx +−

43 ( )21

83 x+−

51 43 PN −

83

83

44881 22 yxxxyxy

−++−+− xyx43

43 −

83

481 2xx −+

0

543 P− ( )yxxy 221

83 +−−− ( )xyx −

43 ( )21

83 x−

52 43 PN −

83

83

44881 22 yxxxyxy

−+−++− 43

43

441 xyxy

−+−8

388

1 2xx −−

0

743 P− ( )yxxy 221

83 −−+− ( )xyx +

43 ( )21

83 x−−

73 43 PN −

83

83

44881 22 yxxxyxy

++++−− 43

43

441 xyxy

+++8

348

1 2xx ++−

0

743 P ( )yxxy 221

83 −−+ ( )xyx +−

43 ( )21

83 x−

74 43 PN −

83

83

48481 22 yxxxyyx ++−−−− 4

34

344

1 xyxy++−−

83

481 2xx +−−

0y

iN 1 KP ( )yxP ,y

N yi

∂∂ 1

xN y

i

∂∂ 1

843 P ( )221

83 xyyx +−− ( )xyy −−

43 ( )21

83 y+−

0

81 43 PN −

83

83

48481 22 xyyxyxy

−+++−− 43

43

441 xyyx +++−

83

481 2yy

−+

643 P ( )221

83 xyyx −−+ ( )xyy +−

43 ( )21

83 y−

0

62 43 PN −

83

83

48481 22 xyyxyxy

++−−−− 43

43

441 xyyx −−−−

83

481 2yy

+−−

643 P− ( )221

83 xyyx −−+− ( )xyy +

43 ( )21

83 y−−

0

63 43 PN −

83

83

44881 22 xyyxyyx ++++−− 4

34

344

1 xyyx +++8

348

1 2yy++−

843 P− ( )221

83 xyyx +−−− ( )xyy −

43 ( )21

83 y−

0

84 43 PN −

83

83

48481 22 xyyxyxy

−+−++− 43

43

441 xyyx −+−

83

481 2yy

−−


Les fonctions de forme étant :

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

+−−=−−=

−−+=+−=

−−+=+−=

+−−=−−=

)1(2111

21

)1(2111

21

)1(2111

21

)1(2111

21

2228

2227

2226

2225

xyyxxyP

yxxyyxP

xyyxxyP

yxxyyxP

Et les fonctions d’interpolation :

( )( ) 4,1 1141 =++= iyyxxN iii

( ) ( )yyxxN 111 1141 ++= → ( )1;1 11 −=−= yx ⇒ ( ) )1(1

41

1 yxN −−= 4444

1 xyxy+−−=

( ) ( )yyxxN 222 1141 ++= → ( )1;1 22 −== yx ⇒ ( )( )yxN −+= 11

41

2 4444

1 xyxy−+−=

( )( )yyxxN 333 1141 ++= → ( )1;1 33 == yx ⇒ ( )( )yxN ++= 11

41

3 4444

1 xyxy+++=

( ) ( )yyxxN 444 1141 ++= → ( )1;1 44 =−= yx ⇒ ( ) )1( 1

41

4 yxN +−= 4444

1 xyxy−−+=

Formation de Nx et Ny :

0;43;

43;0;

43;

43;0;

43;

43;0;

43;

43

747737525515 PNPPNPPNPPNPN x −−−−−−=

848636626818 43;0;

43;

43;0;

43;

43;0;

43;

43;0;

43 PNPPNPPNPPNPN y −−−−−−=

D’où N x:xiN 1 = ( )yxxy 221

83 +−− ;

83

83

44881 22 yxxxyxy

−++−+− ; 0 ; ( )yxxy 22183 +−−− ;

83

83

44881 22 yxxxyxy

−+−++− ; 0 ; ( )yxxy 22183 −−+− ;

83

83

44881 22 yxxxyxy

++++−− ; 0 ; ( )yxxy 22183 −−+

; 8

38

34848

1 22 yxxxyyx ++−−−− ; 0

Calcul des dérivées de N x:

xN x

i

∂∂ 1 = ( )xyx +−

43

; xyx43

43 − ; 0 ; ( )xyx −

43

; 4

34

344

1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +

43

; 4

34

344

1 xyxy+++

;

;0 ; ( )xyx +−43

; 4

34

344

1 xyxy++−− ; 0

yN x

i

∂∂ 1 = ( )21

83 x+− ;

83

481 2xx −+ ; 0 ; ( )21

83 x− ;

83

881 2xx −− ; 0 ; ( )21

83 x−− ;

83

481 2xx ++− ; 0 ;

( )2183 x− ;

83

481 2xx +−− ; 0



Et N y

yiN 1 = ( )221

83 xyyx +−− ; 0 ;

83

83

48481 22 xyyxyxy

−+++−− ; ( )22183 xyyx −−+ ; 0 ;

83

83

48481 22 xyyxyxy

++−−−− ; ( )22183 xyyx −−+− ; 0 ;

83

83

44881 22 xyyxyyx ++++−− ;

( )22183 xyyx +−−− ; 0 ;

83

83

48481 22 xyyxyxy

−+−++−

Les dérivées de N y sont :

y

N yi

∂∂ 1 = ( )xyy −−

43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43

;

0 ; 4

34

344

1 xyyx +++ ; ( )xyy −43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −+−

x

N yi

∂∂ 1 = ( )21

83 y+− ; 0 ;

83

481 2yy

−+ ; ( )2183 y− ; 0 ;

83

481 2yy

+−− ; ( )2183 y−− ;0 ;

8

348

1 2yy++− ; ( )21

83 y− ; 0 ;

83

481 2yy

−−

Nous assemblons maintenant les composantes de la matrice B :

xN x

i

∂∂ 1 = ( )xyx +−

43

; xyx43

43 − ; 0 ; ( )xyx −

43

; 4

34

344

1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +

43

; 4

34

344

1 xyxy+++

;

;0 ; ( )xyx +−43

; 4

34

344

1 xyxy++−− ; 0

yN y

i

∂∂ 1 = ( )xyy −−

43

; 0; 4

34

344

1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43

;

0 ; 4

34

344

1 xyyx +++ ; ( )xyy −43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −+−

yN x

i

∂∂ 1 +

xN y

i

∂∂ 1 = ( )21

83 x+− ;

83

481 2xx −+ ; 0 ; ( )21

83 x− ;

83

881 2xx −− ; 0 ; ( )21

83 x−− ;

83

481 2xx ++− ; 0 ; ( )21

83 x− ; 8

348

1 2xx +−− ; 0 +

+ ( )2183 y+− ; 0 ;

83

481 2yy

−+ ; ( )2183 y− ; 0 ;

83

481 2yy

+−− ; ( )2183 y−− ; 0 ;

8

348

1 2yy++− ; ( )21

83 y− ; 0 ;

83

481 2yy

−−



D’où la matrice B (3 x12) et on calcule par le Matlab sa transposée :

( )xyx +−43

; xyx43

43 − ; 0 ; ( )xyx −

43

; 4

34

344

1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +

43

; 4

34

344

1 xyxy+++ ;

; 0 ; ( )xyx +−43

; 4

34

344

1 xyxy++−− ; 0

( )xyy −−43

; 0; 4

34

344

1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43

;

[ ] =B 0 ; 4

34

344

1 xyyx +++ ; ( )xyy −43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −+−

( )2183 x+− ;

83

481 2xx −+ ; 0 ; ( )21

83 x− ;

83

881 2xx −− ; 0 ; ( )21

83 x−− ;

83

481 2xx ++− ; 0 ;

( )2183 x− ; 8

348

1 2xx +−− ; 0 + ( )2183 y+− ; 0 ; 8

348

1 2yy−+ ; ( )21

83 y− ; 0 ; 8

348

1 2yy+−− ;

( )2183 y−− ; 0 ; 8

348

1 2yy++− ; ( )21

83 y− ; 0 ; 8

348

1 2yy−−

Le sous programme que nous utilisons pour la détermination de la transposée de [ ]B est :

Clear all clc syms x y real (transformation des variables x y en objet ) [ ] [ ]....=B (on cite les composantes de [B]) [ ] [ ]' BBT = disp ‘ [ ]BT



Figure 56Quand on a fini de calculer B alors on calcule la Matrice de rigidité relative à l’élément DKQ qui est :

[ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫− −=

1

1

1

1 dydxBHBk Te

On utilise toujours le fameux bloc opératoire MATLAB en respectant le programme

1 clear all 2 clc 3 E =…. 4 nu =…0.3 ; ( pour notre cas) 5 coef = E / ( 1 – nu^2 ) 6 syms x y real (%transformation des variables x et y en objet ) 7 H = coef * [ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] ; 8 B = [..(%on énumère B qui est en fonction des 2 variables) ] ; 9 [ ] [ ] [ ] ; ' BHBBHB T = 10 k = int ( int ( [ ] [ ] [ ] BHB T , x , -1 , 1 ) , y ,-1, 1 ) ; 11 k = eval ( k ) / 8.9913 ; 12 disp ( k )

Figure 56



( )xyx +−43

; xyx43

43 − ; 0 ; ( )xyx −

43

; 4

34

344

1 xyxy−+− ; 0 ; ( )xyx +

43

; 4

34

344

1 xyxy+++ ;

; 0 ; ( )xyx +−43

; 4

34

344

1 xyxy++−− ; 0

( )xyy −−43

; 0; 4

34

344

1 xyyx +++− ; ( )xyy +−43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −−−− ; ( )xyy +43

;

[ ] =B 0 ; 4

34

344

1 xyyx +++ ; ( )xyy −43

; 0 ; 4

34

344

1 xyyx −+−

)(83

43 22 yx −+− ;

83

481 2xx −+ ;

83

481 2yy

−+ ; )(83

43 22 yx +− ;

83

881 2xx −− ; )(

83

21 22 yx ++−

)(83

43 22 yx ++− ;

83

481 2xx ++− ;

83

481 2yy

++− ; ( )22

83

43 yx +− ;

83

481 2xx +−− ;

83

481 2yy

−−

)(43 xyx +− )(

43 xyy −− )(

83

43 22 yx −+−

xyx43

43 − 0

83

481 2xx −+

0 4

34

344

1 xyyx +++− 8

348

1 2yy−+

)(43 xyx − )(

43 xyy +− )(

83

43 22 yx +−

4

34

344

1 xyxy−+− 0

83

881 2xx −−

[ ] =TB 0 4

34

344

1 xyyx −−−− )(83

21 22 yx ++−

)(43 xyx + )(

43 xyy + )(

83

43 22 yx ++−

4

34

344

1 xyxy+++ 0

83

481 2xx ++−

0 4

34

344

1 xyyx +++ 8

348

1 2yy++−

- )(43 xyx + )(

43 xyy − )(

83

43 22 yx +−

4

34

344

1 xyxy++−− 0

83

481 2xx +−−

0 4

34

344

1 xyyx −+− 8

348

1 2yy−−



D’après le résultat de cette opération d’intégrale du produit des trois matrices. HBB ' , on peut se fier alors à la matrice de rigidité [ ]ek trouvée ci dessous pour un élément quadrangle. Cette matrice obtenue, sa forme, est bien la forme d’une matrice de rigidité car elle est symétrique par rapport à la diagonale.

D’où la matrice de rigidité de DKQ [ ] =

10

3Ehk

(carré avec ν = 0.3)

9.286 -2.138 -2.138 -3.791 -1.864 -0.609 -1.703 -0.884 -0.884 -3.791 -0.609 -1.864

-2.138 1.264 0.275 1.864 0.600 0.000 0.884 0.316 0.000 -0.609 0.568 0.000

-2.138 0.275 1.264 -0.609 0.000 0.568 0.884 0.000 0.316 1.864 0.000 0.600

-3.791 1.864 -0.609 9.286 2.138 -2.138 -3.791 0.605 -1.864 -1.703 0.884 -0.884

-1.864 0.600 0.000 2.138 1.264 -0.275 0.609 0.568 0.000 -0.884 0.316 0.000

-0.609 0.000 0.568 -2.138 -0.275 1.264 1.864 0.000 0.600 0.884 0.000 0.316

-1.703 0.884 0.884 -3.791 0.609 1.864 9.286 2.138 2.138 -3.791 1.864 0.609

-0.884 0.316 0.000 0.609 0.568 0.000 2.138 1.264 0.275 -1.864 0.600 0.000

-0.884 0.000 0.316 -1.864 0.000 0.600 2.138 0.275 1.264 0.609 0.000 0.568

-3.791 -0.609 1.864 -1.703 -0.884 0.884 -3.791 -1.864 0.609 9.286 -2.138 2.138

-0.609 0.568 0.000 0.884 0.316 0.000 1.864 0.600 0.000 -2.138 1.264 -0.275

-1.864 0.000 0.600 -0.884 0.000 0.316 0.609 0.000 0.568 2.138 -0.275 1.264



STRUCTURE DE BASE D’UN PROGRAMME DE CALCUL PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

Il existe plusieurs programmations par la méthode des éléments finis qui dépende des problèmes à étudier ,de la grandeur de ceux-ci et à l’ordinateur à disposition. Mais il existe, quand même,une structure de base commune. 1 – Modules classiques et programme principale :

Les modules typiques d’un tel programme sont : *Entrée des Données *Calcul de la Matrice [ ]( )K du système algébrique *Calcul du second membre [ ]( )F du système algébrique *Résolution du système algébrique …etc..

Ces modules interviennent au niveau de la programmation comme des sous-programmes.Le programme principal est aussi donc composé de sous programmes et d’appels à ceux-ci.

2-Introduction des Données : Préparation des 4 groupes de données fondamentaux pour les opérations dans le déroulement d’un programme d’éléments finis : *Introduction des coordonnées des nœuds du maillage et des caractéristiques des éléments *Propriétés des matériaux pour chaque élément. *Appuis (Sources) *Conditions aux limites.

L’introduction de ces données est assez longue et en général on développe un certain nombre de sous programme.

2-1 Introduction des coordonnées des nœuds du maillage et des caractéristiques des éléments

La Matrice [ ]( )K du système algébrique final est indépendante de la position de l’origine des coordonnées (cette origine sera donc choisie arbitrairement). La façon habituelle d’ introduire les coordonnées ii yx , des points nodaux , est , de le faire dans un ordre séquentiel .

Les caractéristiques de l’élément doivent , d’une part , indiquer les numéros des points nodaux qui lui sont relatifs, d’autre part , attribuer un indice caractérisant les propriétés du matériau le constituant .



2-2 Propriétés des matériaux

Le domaine d’étude est formé de certains nombres de sous domaines parfois.Chacun de ces sous domaines peut être aussi constitué par un matériau différent et subdivisé en un nombre élevé d’éléments finis.

2-3 Les appuis (sources)

Les types d’appuis utilisés sont ceux définis précédemment. *Appuis sur semelles filantes sur les deux bords *Encastrées aux deux extrémités 2-4 Conditions aux limites Voir les CL énumérées auparavant.

Parallèles extrémités (r ≠ 0)

Figure 57



MODELISATION DES CONTRAINTES-DEFORMATION-DEPLACEMENT

Quand on est arrivé à établir la Matrice de RIGIDITE d’un élément, la matrice [B] et sa transposée, alors on est ramené à établir les relations entre : 1° - CONTRAINTE – DEFORMATION une relation qui régit la loi de comportement :

( ){ } [ ] ( ){ } eyxHyx , , e εσ =

[ ] = H Matrice de comportement, d’élasticité, elle contient les propriétés élastiques de l’élément c-à-d des quantités tel que le module d’young et l’élasticité transversale Eet le coefficient de poisson ν . Elle est déterminée à partir de la loi de Hook . La déformation :

[ ] ( ){ }

( )

( )

( )

∂∂

+

∂∂=

∂∂

=

∂∂=

==

xyxv

yyxu

yyxv

xyxu

yx

,),( 2

,

,

,

12

22

11

ε

ε

ε

εε =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

vu

xy

y

x

0

0

Le déplacement U ou eδ étant

vu

, soit un point quelconque M (x,y) Є Ve

Et u(x,y) =

k

j

i

kujuiu

u

uu

NNN = { }enu UN y k

v(x,y) =

k

j

i

kvjviv

v

vv

NNN = { }env VN M (Ve)

i j

=

k

kk

j

jj

i

ii

vkvjvi

ukujui

vUu

vUu

vUu

NNNNNN

vu

0 0 0

0 0 0 0 Figure 58 x

Par une autre forme on aura :

{ } [ ] [ ] [ ][ ] { }enkji

e UNNNMU )( ==δ où Ni , Nj , Nk sont les fonctions d’interpolation à

chaque nœud

Et enU les paramètres des n points nodaux



Alors { } [ ] [ ] [ ] [ ][ ] { }enkji UNNN αε =

[ ] [ ] [ ][ ] { }enkji UNNN ααα=

[ ] [ ] [ ][ ] { }enkji UBBB =

Avec [ ] [ ]ii NB α=

( ){ } [ ]

=⇒

eByx δε ,

( ){ } [ ] [ ]

=⇒

eBHyx δσ ,

{ }eδ = Matrice de déplacements nodaux { }

=vueδ

On prend ici une interpolation linéaire des déplacements sur un élément :

On rappelle que [B] est la suivante :

[ ]

+−−++++++−+−=+

++−++−−++−−−=

−++−+−++−−−=

=

(23 ; )(

231 ; )(3 y);-(x

231; )(

23 ; )(3 ;3y 1- ; 31 ; )(6

2362;

23; 1236 ;

23 ;

23 ; 3 ; 634 ; 0 ; 6126

23 ;

23; 3 ;

23 ;

2362 ; 1263 ; 0 ; 364 ; 6126

,,

,

,

yxyxyxyxyxxyxNN

xyxyxxxxyxxyN

yyyyyxxyyxyxN

B

yx

xy

yy

xx

Et [H] :

[ ]

−−

=

21 0 0

0 1 0 1

1 2

νν

ν

νEH

Et pour {δe} :

{ }

=vueδ



Avec Figure 59

[ ]

=

=

6

5

4

3

2

1

1 0 0 0

0 0 0 1),(),(

aaaaaa

yxyx

yxvyxu

U

( )yx, sont les coordonnées d’un point de l’élément considéré . On peut le réécrire comme suit : [ ] ( )[ ] [ ] ee ayxPU , = . Ceci étant toujours relatif à un élément.

On exprime les déplacements d’un élément à partir des déplacements des sommets appelés nœuds. Ces déplacements de nœuds sont appelés variables nodales ou degré de liberté (ddl). Nous noterons [ ] [ ] [ ]..... 321321321 WWWVVVUUUqQ i ==

On peut relier ces ddl aux coefficients des polynômes d’interpolation : ii yaxaaq 3211 ++= pour un nœud i , on écrit de même pour les autres nœuds

[ ]

=

3

2

1

1 1aaa

yxq ii C’est l’équation de déplacement d’un nœud .

Matriciellement on écrit pour les 3 nœuds i,j, k :

[ ]

=

6

5

4

3

2

1

1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

aaaaaa

yx

yxyx

yx

yxyx

Q

kk

jj

ii

kk

jj

ii

t

Noté : [ ] [ ] [ ]aPQ nt = [ ] [ ] [ ]QPa t

n 1−=⇒ Avec [ ]nP la matrice nodale et [ ] { } e

t Q δ=

Et on a ultérieurement : [ ] ( )[ ] [ ] ee ayxPU , =



En introduisant cette notation dans l’interpolation des déplacements, nous obtenons :

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] et

y

xe

t

et

ne

QNN

QyxN

QPyxPU

),(

),( 1

==

= −

où [ ]),( yxN est la matrice

d’interpolation ou fonction de forme .

De même la déformation [ ]ε peut se décomposer sous la forme suivante :

[ ] ( ){ }

( )

( )

( )

∂∂

+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

==

xyxv

yyxu

yyxv

xyxu

yx

,),( 2

,

,

,

12

22

11

ε

ε

ε

εε =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

yyxv

xyxv

yyxu

xyxu

),(

),(

),(

),(

0 1 1 01 0 0 0

0 0 0 1

=

[ ]

=

6

5

4

3

2

1

1 0 0 0

1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 1

aaaaaa

yx

yxyx

yx

yxyx

Q

kk

jj

ii

kk

jj

ii

t et en rappelant que :

++=++=

yaxaayxvyaxaayxu

654

321

),(),(

C’est à dire :

[ ]

=

=

6

5

4

3

2

1

1 0 0 0

0 0 0 1),(),(

aaaaaa

yxyx

yxvyxu

U et puis [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] et

y

xe

t

et

ne

QNN

QyxN

QPyxPU

),(

),( 1

==

= −

Donc [ ]

=

),(),(

yxvyxu

U [ ] [ ] [ ] et

y

xe

t QNN

QyxN ),(

== ⇒ [ ] e

t

y

xQ

N

N

yxv

yxu

),(

),(

∂∂∂∂

=

∂∂∂∂



[ ] =ε

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

yyxv

xyxv

yyxu

xyxu

),(

),(

),(

),(

0 1 1 01 0 0 00 0 0 1

= [ ] [ ] et

yy

xy

yx

xx

Q

N

N

NN

C

,

,

,

,

= 0 1 1 01 0 0 00 0 0 1

[ ] e

t

yy

xy

yx

xx

Q

N

N

NN

,

,

,

,

= [ ] [ ] et

e QB

Nous rappelons : N x,x c’est la dérivée de Nx par rapport à x

[ ] =ε 0 1 1 01 0 0 00 0 0 1

[ ] e

t

yy

xy

yx

xx

Q

N

N

NN

,

,

,

,

= [ ] =

+++

+++

+++

et

yyxyyxxx

yyxyyxxx

yyxyyxxx

Q

NNNN

NNNN

NNNN

.0.1.1.0

.1.0.0.0

.0.0.0.1

,,,,

,,,,

,,,,

[ ] et

xyyx

yy

xx

Q

NN

NN

+ ,,

,

,

.1.1

.1

.1 = [ ] [ ] e

te QB

[ ] =ε [ ] [ ] et

e QB = [ ] { } eB δ

[ ]B = Matrice déjà formée précédemment par [ ] [ ] [ ] ... 321 BBB par nœud ou directement, estappelée : opérateur de déformation .

D’où l’on forme la contrainte ( ){ }yx,σ par le produit matriciel effectué dans MATLAB des 3 matrices [ ] [ ]{ }eBH δ :

( ){ }yx,σ = [ ] [ ]{ }eBH δ

Rappels : [ ]

∂∂+

∂∂

∂∂∂

∂

=

xN

yN

yNx

N

B

yx

y

x

l’expression de B est déjà trouvée dans chaque cas.

[H] déjà énuméré auparavant De même δe

Avec les fonctions N x et N y , fonctions d’interpolation déjà considérées ultérieurement.



2° - DEPLACEMENT – DEFORMATION :

Dont la déformation est : ( ){ }yx,ε = [ ] { }eB δ

Et le déplacement est : { } [ ] [ ] [ ][ ] { }enkji

e UNNN =δ avec les Ni fonctions d’interpolation

( )

( )

−−==

−−=

yxyPxyP

yxxP

144

14

6

5

4

==

−−=

yNxN

yxN

3

2

1 1

et les { }enU sont des paramètres nodaux ou variables

Avec [ ] [ ] [ ] [ ]∫=eV

T ddJBHBk ηξ

Et [ ]

−−

=

21 0 0

0 1 0 1

1 2

νν

ν

νEH et { }

=

kvu

jvu

ivu

U

k

k

j

j

i

i

en

avec E = module d’Young et ν = 0.3 ( coef. de poisson )

( ){ } [ ]

=⇒

eByx δε , }{ { }

==

kvu

jvu

ivu

U

i

i

en

e

3

3

2

2δ

( ){ } [ ] [ ]

=⇒

eBHyx δσ ,

Donc : { }

=

3

2

1

]]][][[[

3

3

2

2

1

1

321

vu

vu

vu

NNNeδ = [ ][ ][ ] [ ] ] [

]][ ][[

332211

332211

vNvNvNuNuNuN

++++

=



Figure 60

Les différentes couleurs sur ce coque montrent les différentes répartitions des contraintes agissant sur ce coque, vue l’expression de la contrainte σ(x,y). De bas vers le haut la couleur s’éclaircit, ce qui montre que, plus on monte, plus la contrainte s’affaiblit.

( ){ } [ ] [ ] [ ] [ ] { }en

eUBHBHyx , =

=⇒ δσ

Un diagramme des contraintes fera partie du thème d’une thèse de troisième cycle dans les programmes à venir.Les détails plus étendus et plus explicités concernant les ELEMENTS FINIS seront présentés plusdavantage dans les années qui suivent et avec leur logiciel approprié , le MATLAB, appliqué plus profondément dans ce sujet.D’autres démonstrations et présentations étaient aussi avancées dans ce mémo du fait que l’on aurait plus de précisions et de solutions à établir et non des répétitions inutiles à la thèse.Aussi des études à distances reçues par télé – chargement ou par Internet seront plus complètes etbeaucoup plus nombreuses pour la réalisation de cette future thèse. Ainsi nous nous résignons donc au peu de choses que nous avons pu présenter dans le livre de mémoire de DEA que nous avons élaboré.



A la modernisation et le développement de nos recherches s’assemble l’usage des atouts de l’informatique utilisant des différents logiciels capables de traiter des données extrêmementdifficiles. L’un de ces logiciels est le MATLAB que nous présentons ci-joint ses aspects et facultés de traiter les éléments finis .

UTILISATION DE L’OUTIL MATLAB

PRESENTATION DE MATLAB : L’opération sur les matrices de rang assez grand nous afflige des difficultés presque insurmontables et des problèmes irrésolubles surtout à propos des intégrales des produits matriciels, alors nous sommes attirés à utiliser un outil de simulation qui est le MATLAB.Pour obtenir plus de détails sur ce fameux logiciel il faut se référer à la liste de livres et de visiter des Sites web de MathWorks renseignant plus profondément sur ce sujet .On peut aussi utiliser le système d’aides de Matlab.

Matlab est très excellent en calculs numériques et peut effectuer des visualisations graphiques à cause de ses fonctions pré-programmées et directement utilisables par une simple instruction . Matlab est l’amélioration des vieux langages Cobol, Fortran , Pascal,Basic. Matlab peut modifier chacun des éléments d’une matrice sans programmer des boucleset il traite aussi une matrice comme une seule variable. Matlab est donc extrêmement performant quant au traitement des Matrices à cause de ses multiples facultés :

• visualisation rapide des données en toutes dimensions (1D,2D,3D)• tracer des expérimentations• réalisation facile des programmes complexes sans ré-organiser des programmes des

fonctions classiques.

De ces facultés à propos des Matrices traitées dans divers étapes de calculs et d’expérience que vienne son nom MATLAB qui est la composition des mots < Matrix Laboratory >. Matlab a aussi : ---------------------------une interface graphique puissante ---------------------------une multitude d’algorithmes scientifiques très variées---------------------------une possibilité d’accueillir des <boîtes à outils>pour s’enrichir et de multiplier ses capacités .

INTRODUCTION A MATLAB

En résumé MATLAB est un logiciel de calcul numérique, utilisé dans de nombreux domaines d’application . Il est basé sur le calcul matriciel . Matlab est d’ailleurs un raccourci pour « Matrix Laboratory » . Le but de ce document est de présenter le Matlab en introduisant les commandes les plus courantes.

1- L’ACCES

Pour lancer le logiciel Matlab cliquez deux fois sur l’icône ,qui se trouve sur le bureau de l’ordinateur



L’interface graphique de Matlab apparaît alors :

- A droite , la partie où l’on entre les commandes.

Le caractère » signifie que Matlab attend une instruction .

A gauche , en haut, les variables d’environnement ,en bas , les dernières commandes tapées.

intro lance une introduction à Matlab help produit une liste de toutes les commandes demo démonstration donnant une représentation des fonctionnalités de bases de Matlab info information sur la boîte à outils disponibles

2- L’AIDE DANS MATLABMieux vaut apprendre à se repérer tout seul que de demander en permanence à son voisin comment faire .Ne serait-ce qu’au cas où il faudrait utiliser dans l’examen une fonction dont on ne se souvient que vaguement quelle est sa syntaxe…



helpwin ouvre une fenêtre contenant la liste des commandes Matlab ainsi que leurs documentations help donne la liste de toutes les commandes par thèmes help nom décrit la fonction nom.m lookfor nom recherche une instruction à partir du mot clé nom

3- COMMANDES GENERALES3-1 Gestion des fichiers : on peut utiliser la petite fenêtre en haut à droite, ou à défaut

pwd affiche le nom du répertoire courant pour Matlab cd rep change le répertoire courant pour Matlab qui devient rep dir fournit le catalogue d’ un répertoire delete efface des fichiers ou des objets graphiques

3-2 Calculs élémentaires : Dans la partie commande de l’interface,

Addition » 5+8 Résultat : » 13 Pour conserver le résultat, il faut l’assigner dans un objet : » a=5+8 » a Pour ne pas faire afficher le résultat, mettez ; à la fin de la commande : » a=5+8 ; » %instruction direct = interactive direct % ce signe pourcentage indique qu’il s’agit seulement d’un commentaire et non d’une commande » a=7 » b=8 » c=b/a » c=1.1429 3-3 Constantes prédéfinies %variable spéciale : pi , eps , exp(1) » pi ans = 3.14 »eps ans= 2.2204e-016 »exp(1) ans= 2.7183



pi 3.1415… eps 2.2204e-016 Inf nombre infini NaN n’est pas un nombre ; exprime parfois une indétermination Pour obtenir plus de précision on peut demander à Matlab des chiffres décimales un peu plus long en introduisant la commande suivante : » format long » pi ans = 3.141592653558979

» eps ans = 2.220446049250313e-016

» exp(1) ans = 2.71828182845905

4- LES TYPES DE DONNEES

MATLAB traite un seul type d’objet : les matrices ! Les scalaires sont des matrices 1x1,Les vecteurs lignes des matrices 1xn, Les vecteurs colonnes des matrices nx1

MATRICES

Size (A) nombre de lignes et de colonnes de A A ( i , j ) coefficient d’ordre i ,j de A A (i1 : i2, :) lignes i1 à i2 de A A ( i1 : i2, :) = [ ] supprimer les lignes i1 à i2 de A A ( : , j1 :j2 ) colonnes j1 à j2 de A A( : , j1 : j2 ) = [ ] supprimer les colonnes j1 à j2 A( : ) concaténer les vecteurs colonnes de A diag (A) coefficients diagonaux de A



MATRICES PARTICULIERES Zéros (m,n) matrice nulle de taille m,n Ones (m,n) matrice de taille m,n dont tous les coefficients valent 1 eye (n) matrice identité de taille n diag (x) matrice diagonale dont la diagonale est le vecteur x magi c (n) carré magique de taille n rand (m,n) matrice de taille m,n à coefficients i.i.d. de loi uniforme sur [ ]1,0 randn (m,n) matrice de taille m,n à coefficients i.i.d. de loi normale ( )1,0N

LES OPERATIONS MATRICIELLES

A’ transposée de A rank (A) rang de A inv (A) inverse de A expm (A) exponentielle de A det (A) déterminant de A trace (A) trace de A poly(A) polynôme caractéristique de A eig (A) valeurs propres de A [U,D] = eig(A) vecteurs propres et valeurs propres de A + - addition , soustraction * ^ multiplication , puissance (matricielles) ,* , ^ multiplication , puissance terme à terme A\b solution de bAx = b/A solution de bxA = , / division terme à terme

OPERATIONS ENTRE MATRICES

Ce qui nous intéresse le plus ce sont les opérations entre Matrices :%tout d’abord pour afficher un texte : disp(‘text’) a) Multiplications - Le produit matriciel n’est possible que lorsque les dimensions sont cohérentes : bac *= produit matriciel bad *. = produit par élément

b) Divisions- Division matricielle à droite /

- Division matricielle à gauche \



c) %initiation aux vecteurs %définition d’un vecteur v1=[a1 a2 a3 …an] v1 =[1 3 5] v2 =[2 4 6] %produit vectoriel : cross disp ( ‘le produit vecteur de v1 et de v2 est’ ) ceci affiche le résultat cross (v1 , v2) %produit scalaire : dot disp (‘ le produit scalaire de v1 et v2 est’ ) ceci affiche le résultat dot (v1 , v2) ; ce signe point virgule noté à la fin d’un commande n’affiche pas le résultat %pour afficher les variables récemment utilisés : whos

MATRICES CLAIRSEMEES Matrice avec quelques éléments non nuls : SparseLorsque seulement quelques éléments d’ une matrice sont non nuls, on peut la définir comme une sparse matrix. Sa description contient seulement les éléments non nuls . » sparse est utilisé pour créer directement une matrice clairseméeLe gain de place dans le workspace est d’ autant plus significatif que la matrice est grande » full a converti la matrice clairsemée en matrice complète. Graphe pour matrices clairsemées : Spy , gplot » Spy donne un schéma des composantes non nulles de buckyLes matrices clairsemées sont parfois utilisées pour décrire les connections dans les graphes. » gplot permet de dessiner ces connections : » [B, v] = bucky ;

gplot (B,v) ; axis equal Nous ne faisons ici que rappeler les différentes opérations mais les faits et les descriptions sont à faire en application si besoin.



Graphiques par programmation en MATLAB

Figure 61 Pour le calcul des intégrales dans la détermination de la matrice de rigidité [k] on procède au sous programme suivant :

» Clear all »Clc E = 33000kgf/cm2

nu =0,3 coef = E /(1-nu^2) »syms x y real (%variables x y à transformer en objet ) H = coef*[ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] B = [ . . . ; … ; …] BTHB =B’HB ; K = int ( int (BTHB , x ,0 , 1 ) y , 0 , 1 ) ; K = eval (k) /8.9913 Disp (k)



La construction de B est réalisée par la dérivation des fonctions d’interpolation et des fonctions de forme combinées ; ceci avant toute opération Nous procédons à une petite programmation qui nous servira de vérification pour le calcul de ces dérivées et transposées .



Nous arrivons même ici jusqu’à calculer le produit matriciel B’*H*B et aussi son intégral double pour la matrice de rigidité d’un élément de la coque hémisphérique .



PROGRAMMER EN MATLAB

Structure de base d’un programme de calcul basé sur la méthode des éléments fin i s :La multiplicité des programmations par la méthode des éléments finis, liée d’une part à la nature des problèmes à étudier, d’autre part à la dimension de ceux-ci (nombre de variables nodales ) et à l’ordinateur à disposition , mène à des structures de programmes variées.Il existe, néanmoins, une structure de base commune. C’est cette dernière qui sera décrite.

Modules classiques et programme principal : Un programme d’éléments finis a un aspect modulaire. Les modules typiques d’un telprogramme sont les suivants : -Entrée des données. -Calcul de la matrice [ ]( )K du système algébrique. -Calcul du second membre [ ]( )F du système algébrique (si ceci existe) -Résolution du système algébrique -Graphisme ou dessin -Calcul des grandeurs physiques (M t ,F, σ , τ) Ces modules interviennent au niveau de la programmation comme des sous-programmes.Le programme principal est alors composé, principalement, d’un certain nombre d’appels àceux-ci . Introduction des données : Afin de pouvoir effectuer toutes les opérations que constitue le déroulement d’un programme d’éléments finis, il faut préparer quatre groupes de données fondamentaux (en plus des informations diverses de commandes) :

- Introduction des coordonnées des nœuds du maillage - Introduction des caractéristiques des éléments - Propriétés des matériaux pour chaque élément.- Conditions aux limites

Introduction des coordonnées des nœuds du maillage : La matrice [ ]( )K du système algébrique final est indépendant de la position de l’origine des coordonnées (cette origine sera donc choisie arbitrairement). La façon habituelle d’introduire les coordonnées ii yx , des points nodaux, est, de le faire dans un ordre séquentiel.Introduction des caractéristiques des éléments : Les caractéristiques de l’élément doivent , d’une part , indiquer les numéros des points nodaux qui lui sont relatifs , d’autre part, attribuer un indice caractérisant les propriétés du matériau le constituant.Propriétés des matériaux : Fréquemment, le domaine d’étude est formé d’ un certain nombre de sous domaines .Chacun de ces sous domaines est constitué par un matériau différent et subdivisé en un nombre élevé d’éléments finis .Il est alors, judicieux d’attribuer une indice caractérisant lematériau,à chaque élément fini , et de fournir de façons séparées les informations concernant les diverses propriétés des matériaux . Il est ainsi, par exemple, aisé d’opérer à des changements de matériaux. Conditions aux limites : Il est recommandé d’imposer les conditions aux limites par modification du système algébrique juste avant la résolution sans modifier son ordre (sa dimension).Une façon d’introduire les conditions limites c’est de leur affecter des indices à chacun des points nodaux .



Figure 62



%Formation de la Matrice opérateur [B] 1-clc 2-syms x y real 3-nu = 0.3 4-N( i ) = (1-x-y) ; N( j ) = x ; N( k ) = y ; 5-P4 = 4*x*(1-x-y) ; P5 = 4*x*y ; P6 = 4*y*( 1-x-y) ; 6-Nx = [3*P4 /2 N( 1 )-3*P4 /4 0 … ] 7-Ny = [3*P6 /2 0 N( 1 )-3*P6 /4…] 8-derivxx = diff (Nx , x) ; 9-derivxy = diff (Nx , y) ; 10-derivyx = diff (Ny , x) ; 11-derivyy = diff (Ny , y) ; 12-B = [derivxx ; derivyy ; derivxy + derivyx ] ; 13-BT = B’ 14-disp(B) %transformation des variables x y en objet Syms x y real %citation de la matrice B B = [……. ] %création de la matrice transposée de [B] : BT = B’ ; disp BT(présentation de résultat) %Calcul de [k] 1- clear all 2- clc 3- E = 1…. 4- nu =…0.3 ; ( pour notre cas) 5- coef = E / ( 1 – nu^2 ) 6- syms x y real (%transformation des variables x et y en objet ) 7- H = coef * [ 1 nu 0 ; nu 1 0 ; 0 0 (1-nu)/2 ] ; 8- B = […(on énumère B qui est en fonction des 2 variables) ] ; 9- [ ] [ ] [ ] ; ' BHBBHB T = 10- k = int ( int ( [ ] [ ] [ ] BHB T , x , 0 , 1 ) , y , 0, 1 ) ; 11- k = eval ( k ) ; 12- disp ( k )

% L’ assemblage % k étant la matrice de rigidité

13- R1 = k ; 14- R2 = k ; 15- R01 = [ R1 zero(9,3)] ; 16- R01 = [ R01 ; zero(3,12)] ; 17- R02 = [ R2 zero(9,3)] ; 18- R02 = [ R02 ; zero(3,12)] ; 19- RT02 = fliplr (flipud (R02 )) ; 20- R = R01 + RT02 ;% Pour application à ce sous programme d’assemblage nous prenons comme matrice k une très simple matrice :



%prenons une matrice k très facile>> k = [1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9]

k =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

>> R1 = k ;>> R2 = k ;>> R01 = [R1 zeros(3 ,1)]

R01 =

1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0

>> R01 = [R01 ; zeros(1 ,4)]

R01 =

1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 0 0 0 0> R02 = [R2 zeros(3 ,1)]

R02 =

1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0>> R01 = [R02 ; zeros(1 ,4)]

R01 =

1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 0 0 0 0

>> RT02 = fliplr(flipud(R02))

RT02 =

0 9 8 7 0 6 5 4 0 3 2 1

>> R02 = [R02 ; zeros(1 ,4)]



R02 =

1 2 3 0 4 5 6 0 7 8 9 0 0 0 0 0

>> RT02 = fliplr(flipud(R02))

RT02 =

0 0 0 0 0 9 8 7 0 6 5 4 0 3 2 1

>> R = R01 + RT02

R =

1 2 3 0 4 14 14 7 7 14 14 4 0 3 2 1

>> 0

D’où nous appliquons notre assemblage de cette façon à notre MATRICE de rigidité élémentaire [ k ] pour former notre matrice globale.



ORGANIGRAMME relatif à l’application de la méthode des éléments finis pour l’étude d‘un milieu continu discrétisé à traduire en programmation de Matlab .

Lecture du nombre d’études

Appel du sous programmePour la lecture des données

Discrétisation en ElEMENTS FINIS

Appel du sous programme pour le tracé du maillage

Caractéristique de l’ELEMENT FINIAppel du sous programme

Pour la constitution de [ ]eB et [ ]TeB

Appel du sous programmepour le calcul de [k]e

Résolution pour un élément (locale) Appel du sous programme

pour les conditions aux limites

Solution Globale

Appel du sous programmepour l’assemblage

Affichage des Résultats

Figure 63



CONCLUSIONEn principe, les coques sont très difficiles à étudier, vu leur structure assez compliquée que ce soit en génie mécanique ou en génie civil. Alors qu’il est très important de déterminer les déformations de ces coques vue les sollicitations qui lui sont appliquées. Après avoir mis en équation le problème avec les sollicitations, nous avons essayé de letraiter par la méthode des éléments finis Ainsi nous avons essayé de discrétiser la coque enplusieurs zones : - Les zones sont appelées mailles - Les sommets des mailles sont appelés nœuds. Après avoir défini les fonctions d’interprétation polynomiales nous avons choisi une maille de référence pour pouvoir calculer la matrice de rigidité . Nous avons traité des problèmes particuliers des coques tout en faisant l’assemblage des mailles du système et en appliquant le logiciel MATLAB. Nous avons présenté des programmes de calcul de quelques cas particuliers dans notre projet futur pour la thèse de DOCTORAT nous allons essayer de traiter le problème de cas général des coques en sortant les courbes des contraintes et déformations pendant l’élaboration de ce mémoire nous avons pu maîtriser les problèmes environnant les coques, la méthode des éléments finis et le logiciel MATLAB. Nous pensons que ce mémoire servira de document de bases pour les futurs chercheurs.L’essentiel est de pouvoir maîtriser la matrice de rigidité qui relie les contraintes et déformations des plaques minces, sur la maille de référence considérée.Par suite, il faut faire l’assemblage de toutes les mailles du système.



BIBLIOGRAPHIE

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MATLABAlfred A. Manuel -Eléments de Matlab. Département de la physique de la nature condenséeUniversité de Genève ,15 octobre 2004.Steven Dufour – Guide Matlab. Ecole Polytechnique de Montréal mathappl.polymtl.Ca/Steven/ le27 août 2002.

COQUES.Timoshenko S.Woinovsky-Krieger -Théorie des plaques et coquesAndré Coin avec la collaboration de Henri Journet –Cours de voiles Minces.P. Conil –Voile Autoportant.



TABLE DES MATIERES REMERCIEMENTS........................................................................................................ 02 MEMBRE DE JURY...................................................................................................... 03 PREFACE.......................................................................................................................... 04 AVANT-PROPOS............................................................................................................ 05 INTRODUCTION............................................................................................................... 06 DEFINITIONS................................................................................................................... 09

. Caractéristique de la voile

. Caractéristique de la surface HYPOTHESES.................................................................................................................. 10 SCIENCES DES MATERIAUX A UTILISER..................................................................... 11

- Caractéristique des matériaux constituant le béton a) Ciments.................................................................................................. 11 b) Les Aciers.............................................................................................. 12 c) Agrégats................................................................................................. 12 d) Bétons courants............................................................................. 13 - Les contraintes des matériaux........................................................................... 13- Mise en œuvre................................................................................................. 16

SYSTEME DE CHARGE.................................................................................................... 18- Les forces Résultantes- Les Moments de Flexion et de Torsion

EQUILIBRE GENERALE OU DE FLEXION....................................................................... 19 . Principe de l’étude

. Equilibre de membrane........................................................................................... 21 EQUATIONS GENERALES.............................................................................................. 27 -Solutions des équations -Conditions limites -Détermination des Constantes d’ Intégration

. EXEMPLES D’APPLICATIONS :....................................................................................... 32

-A- Coque sphérique (hémisphérique)...................................................................... 32 .Détermination des tensions de Membrane en tout point de la calotte sphérique .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes-B -Coque cylindrique (hémicylindrique)................................................................... 53 .Détermination des tensions de Membrane en tout point du voile .Détermination des constantes d’intégration C et D correspondantes

LA METHODE DES ELEMENTS FINIS - Exposé de la démarche...........................................................................................62

- Discrétisation par Eléments finis........................................................................... 63- Aspects généraux de la méthode des Eléments finis...............................................64- Résolution par la méthode des Eléments finis........................................................67- Définition du modèle.............................................................................................. 68- Etude d’une facette dans son repère...................................................................... 69- Les Eléments –les fonctions d’interpolation 1-Eléments triangles à trois nœuds.................................................................73 2-Eléments quadrangles à quatre nœuds........................................................ 75- Eléments DKT et DKQ.......................................................................................... 78



a) DKT élément de référence.......................................................................79 Coque hémisphérique -matrice de rigidité [k]................................................................................ 81 1-Détermination de [B].................................................................... 81 2-Formation de la transposée de [B] .............................................. 83 3- Calcul de [k]e ...............................................................................92 b) DKQ élément de référence...................................................................... 96 Coque hémicylindrique Mode d’ assemblage ................................................................................... 98-Structure de base d’ un programme de calcul par la méthode des éléments finis.. 114Contrainte - Déformation........................................................................................ 116Déplacement – Déformation....................................................................................120

L’UTILISATION DE L’ OUTIL MATLAB - Présentation de Matlab.................................................................................. 121 - Introduction à MATLAB................................................................. 121 1- L’Accès............................................................................... 121 2- L ‘Aide dans MATLAB.................................................... 122 3- Commandes Générales..................................................... 123 4- Les types de données ...................................................... 124 Matrices - Matrices particulières

- Les opérations Matricielles ................................................................................. 125 Matrices clairsemées....................................................................... 126- Graphiques par programmation en MATLAB ...................................................... 126- Programmer en MATLAB.................................................................................... 129

. de calculs des différents caractéristiques d’un élément . de montage des graphismes

- Organigramme.................................................................................................... 131 - Conclusions......................................................................................................... 132 - Bibliographie 133


Nom :RANDRIAHARIMINAPrénom : Jean De La Croix

Titre :MODELISATION DE L’ETUDE DES DISTRIBUTIONS DES CONTRAINTES ET DEFORMATION D’UN VOILE AVEC

FLEXIONNombre de pages : 142Nombre de tableaux : 10Nombre de figures : 65 Mots clés : Equations générales, Elément fini , Discrétisation,maille, Triangle quadrangle, Matrice de rigidité , Assemblage,MATLAB,coque. RESUMEL’étude présentée dans ce livre réside sur la résolution du problème des plaques minces ou coques surtout la détermination des contraintes et déformation par la méthode des éléments finis. La méthode des éléments finis est très efficace pour n’importe quelle structure surtout que les calculs et les résolutions sont faits par le logiciel MATLAB.Nous montrons là aussi les différentes caractéristiques des matériaux à utiliser, propres aux voiles minces et aux coques, sciences des matériaux, à savoir le CIMENT, ses composantes,sa composition spéciale, sa classe exigée dans cette construction … son mode d’utilisationdictés dans le cours de LIANT HYDRAULIQUE par les géants des sciences des matériauxmême si l’exposé à propos de l’élément fini n’était qu’un préliminaire, nous considérons suffisant ce que nous avons eu et nous pensons continuer de développer notre étude pour la future thèse.

Rapporteur : Mr.RANDRIANTSIMBAZAFY Andrianirina

SUMMARYThe survey presented in this book especially resides on the resolution of the problem of the thin plates or cockles the determination of the constraints and distortion by the method of the finite elements. The method of the finite elements is very efficient for any structure especially as the calculations and the resolutions are made by the software MATLAB. We also show there the different features of the materials to use, clean to the thin veils and to the cockles, sciences of the materials, to know the CEMENT, its components, its special composition ,its class required in this construction… its fashion of use dictated in the HYDRAULIC BINDER course by the giants of the sciences of the materials even though the exposition about the finite element was only one preliminary, we consider sufficient what we had and we think to continue to develop our analysis for the future thesis.

Keys concept : Finite Element ,Diskretisation ,maille, Triangle, Quadrangle,Stiffness Matrix ,Assemblage , MATLAB, cockle. .

modelisation de l’ etude des distributions des …

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