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MODELES FINANCIERSMODELES FINANCIERS DE L'ASSURANCE DE L'ASSURANCE

Institut des Actuaires Français Pierre DEVOLDER

28 mai 2003 AXA Belgium

UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN

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BUT DE L'EXPOSE

MODELES ACTUARIELS CLASSIQUES DE L'ASSURANCE

• Calcul viager des primes en assurance-vie• Principes de tarification en assurance non-vie

MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE MODERNE

• Méthodologie risque neutre

UN MARIAGE EST-IL POSSIBLE ?UNE DESCENDANCE EST-ELLE ENVISAGEABLE ?

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CADRE THEORIQUE COMMUN

ELEMENTS CONSTITUTIFS EN FINANCE ETEN ASSURANCE : temps incertitude

PROBLEME ELEMENTAIRE :

PRIX EN t = 0 D'UN CASH FLOW FUTUR PAYE EN t = T

MONDE DETERMINISTE : THINGS ARE DESPERATELY SIMPLE !

Mi1

10

T

4

CADRE THEORIQUE COMMUN (2)

QUID si : M est aléatoire

i est aléatoire

T est aléatoire

MODELISATION DE L'INCERTAIN PAR :

UN ENSEMBLE D'ETATS DU MONDE

UNE MESURE QUANTIFIANT LES CHANCES DE REALISATION

LE CADRE EST-IL EXACTEMENT IDENTIQUE EN ASSURANCE ET EN FINANCE ?

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MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE

TAUX D'ACTUALISATION CONSTANT (Assurance Vie) OU IGNORE (Assurance Non Vie)

PHENOMENE ALEATOIRE :

OBEISSANT A UNE LOGIQUE DE LOI DES GRANDS NOMBRES NON CORRELE AVEC LES MARCHES FINANCIERS

2 EXEMPLES SIMPLES :

ASSURANCE TEMPORAIRE DECES 1 AN CONTRAT DE REASSURANCE EXCESS OF LOSS

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ASSURANCE VIE

EN CAS DE DECES EN t = 1 : 1 (1) EN CAS DE SURVIE en t = 1 : 0 (2)

= PRIME EN t = 0

1 (1)

= ?

t = 0 t = 1

PRINCIPE D'ESPERANCE MATHEMATIQUE

CHARGEMENT DE SECURITE :

i = déterministeT = déterministeM = aléatoire

0 (2)

x

1xxx

xP

l

llq

MEi1

1q

i1

1

'xx ll

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REASSURANCE EXCESS OF LOSS (1)

X = MONTANT DE SINISTRE AVANT REASSURANCE

= VARIABLE ALEATOIRE DE FONCTION DE REPARTITION FIXEE F

CONTRAT XL :

PAIEMENT PAR LE REASSUREUR DE LA PARTIEDU SINISTRE EXCEDANT UN MONTANT FIXE K :

Y = ( X – K) +

PRIME DE REASSURANCE :

?y

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REASSURANCE EXCESS OF LOSS (2)

PRIME PURE :

KP xFdKxKXEEY

CHARGEMENT DE SECURITE :

Ycy

y

y

eEc

1

YEY

1EY

log

var

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MODELES CLASSIQUES DE L'ASSURANCE - CONCLUSION

ALEA RISQUE COMPENSATION PAR LA LOI DES GRANDS NOMBRES

1 . ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A LA MESURE DE PROBABILITE REELLE

2. HEDGING IMPARFAIT

3. CHARGEMENT DE SECURITE ET PRICING VARIABLEFONCTION DE L'AVERSION AU RISQUE

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MODELES D'ARBITRAGE DE LA FINANCE

INCERTITUDE LIEE A L'EVOLUTION D'ACTIFS FINANCIERS (Taux d'intérêt / Cours d'action) Loi des grands nombres ?

SUR CES SOUS-JACENTS ALEATOIRES, DEVELOPPEMENT DE PRODUITS A TARIFER

2 EXEMPLES :

OPTION SUR ACTION OPTION SUR ZERO COUPON

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OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (1)

SOUS-JACENT

d.S (d < 1) (1)S

t = 0 u.S (u > 1) (2)

t = 1

PRODUIT A TARIFER

1 (1)

= ?

t = 0 0 (2)

t = 1

q

1 - q

i = déterministeT = déterministeM = aléatoire

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OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (2)

TARIFICATION

PRINCIPE ACTUARIEL : ?

+ chargement de sécurité …

THEORIE FINANCIERE DE L'ARBITRAGE

LA PROBABILITE RELLE q N'INTERVIENT PAS DANS LE PRIX

LE PRIX EST UNIQUE POUR TOUS LES OPERATEURS

qi1

1ME

i1

1P

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OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (3)

TARIFICATION EN MESURE RISQUE NEUTRE

PRINCIPE DE DUPLICATION :

DUPLICATION DES CASH FLOWS DU PRODUIT A TARIFER PAR UNE COMBINAISON LINEAIRE D'ACTIFS CONNUS (actif sans risque i + actif risqué S)

t = 1

(et non pas :

t = 0 M1Sxi1x A0

)ME1ESxi1x A0

0Sxx A0

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OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (4)

RESOLUTION

du

1

S

1x

du

1

i1

ux

0Suxi1x

1Sdxi1x

A

0

A02

A01

)(:

:

PRIX INITIAL :

du

i1u

i1

1Sxx A0

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OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (5)

pi1

1

du

i1u

i1

1

- LE NOMBRE EST APPELE

PROBABILITE RISQUE NEUTRE

a) Condition pour être un candidat probabilité : 0 p 1

du

i1up

ui1d

1du

i1u0

Condition d'équilibre naturel de marché

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OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (6)

b) Interprétation financière de cette probabilité :

Dans un nombre virtuel où la vraie probabilité q serait remplacée par le nombre p, le rendement moyen de l'actif risqué correspondrait au taux sans risque i :

p . d + (1 – p) . u = 1 + i

c) Lien entre la probabilité réelle q et le nombre p :

? p > < q ?

Equilibre économique naturel rendement / risque E (rendement actif risqué) > taux sans risque

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OPTION DE VENTE SUR ACTIONS (7)

q . d + (1 – q) . u > 1 + i

Or 1 + i = p . d + (1 – p) . u

Donc q . d + (1 – q) . u > p . d + (1 – p) . u

⇓ p > q

d) Chargement de sécurité :

qi1

1p

i1

1p ..

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MODELE D'ARBITRAGE DE LA FINANCE - CONCLUSION

ALEA RISQUE PRINCIPE DE DUPLICATION

1. ESPERANCE MATHEMATIQUE PAR RAPPORT A UNE MESURE DE PROBABILITE MODIFIEE

2. HEDGING PARFAIT

3. PRIX UNIQUE DE MARCHE

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OPTION SUR ZERO COUPONS

Modèles déterministes

i = déterministe i = déterministeM = déterministe M = aléatoire

Tarification des Tarification des options zéros-coupons sur zéro-coupons

i = aléatoire i = aléatoire M = déterministe M = aléatoire

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TARIFICATION DES ZERO-COUPONS

DETERMINISTE :

STOCHASTIQUE : incertitude sur M = 1

le taux i (zéro coupon)

M

i1

1T

;,;, T0ttr = taux spot futur à l'instant t

P (t, s) = Prix à l'instant t d'un zéro coupon d'échéance s

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TARIFICATION DES ZERO-COUPONS (2)

1ère IDEE :

2e IDEE :

MODELE D'ARBITRAGE :

st duurstP ,exp,

Non mesurable en t

st duurEstP ,exp,

stQ duurEstP ,exp,

où Q est une mesure de probabilité modifiée(mesure neutre risque)

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MODELE GENERAL

M

i1

1T

risque financier

Monde stochastique : incertitude sur cash flow les taux futur aléatoire risque d'assurance

corrélation entre les 2 aléas ?

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OPTION SUR ZERO COUPONS (1)

M = Risque financier avec corrélation avec la structure de taux

OPTION SUR ZERO COUPON :DROIT D'ACHETER A UN INSTANT f ANTERIEUR ALA MATURITE s, LE ZERO COUPON A UN PRIX FIXE D'AVANCE A L'INSTANT t (t < f < s)

MODELE D'ARBITRAGE :

avec

Q = mesure risque neutre

tMduurE ftQ ,exp

KsfPM ,

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OPTION SUR ZERO COUPONS (2)

Calcul explicite :

tMduurE ftQ ,exp

MEduurE QftQ ,exp

MEftP Q ,

actualisation espérance risque neutre du cash flow

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OPTION SUR ZERO COUPONS (3)

Mesure Forward neutre :

Nouveau changement de mesure de probabilité

P Q Qf

monde monde risque monde forward réel neutre neutre

MEftPfQ ,

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ASSURANCE ET FINANCE (1)

MduurE ftQ ,exp

avec M = flux lié à des risques financiers et d'assurance

TITRISATION DE RISQUES D'ASSURANCE

INTEGRATION, A COTE DES RISQUES CLASSIQUESDE MARCHE, DES RISQUES TECHNIQUES D'ASSURANCE, DANS DES PRODUITS FINANCIERS

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ASSURANCE ET FINANCE (2)

Exemple type : CAT BOND

OBLIGATION DONT LES COUPONS ET / OU LE PRINCIPAL SONT MODIFIES EN CAS DE SURVENANCE D'EVENEMENTS ALEATOIRES RELEVANT DE LA SPHERE DE L'ASSURANCE GENERALEMENT DU DOMAINE DES CATASTROPHES (Tremblement de terre / Inondation /…..)

(cf. Loi des Grands Nombres ???)

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CAT BONDS Exemples

MODELE SUR UNE PERIODE :

108 si pas de catastrophe 100

0 si catastrophe

MODELE SUR 2 PERIODES :

108 8

100 100 108 0 100

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CAT BONDS

MECANISMES D'ATOMISATION DU RISQUE

Réassurance RéassureurClassique

Assureur

Marchéfinancier Cat Bond

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CAT BONDS

ALTERNATIVE AUX SCHEMAS TRADITIONNELS DE REASSURANCE

APPEL AU MARCHE DES CAPITAUX POUR MIEUX DILUER LE RISQUE

augmentation ces dernières années des risques de nature cat

modifications climatiques concentration de population dans des zones à risque

concentration dans le monde de la réassurance / capital limité

POINT DE VUE DE L'EMETTEUR

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CAT BONDS

INTERET D'UN INVESTISSEUR POUR ACHETER CE TYPE DE PRODUIT ?

2 ELEMENTS :

1. Hedging naturel dans des secteurs influencés favorablement par l'occurrence de catastrophes

2. Elément de diversification : risques non corrélés avec les risques traditionnels des marchés financiers

POINT DE VUE DE L'ACHETEUR

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CAT BONDS

PROBLEME DE LA THEORIE DU PORTEFEUILLE maximiser l'espérance de rendement tout en minimisant sa variance(équilibre rendement / risque)

M titres risqués de rendement aléatoire (R1,R2,..,RN)

E(Ri) = i

COV (Ri, Rj) = ij

+ 1 titre non risqué de rendement certain RO

E(R0) = r0

COV (R0, Rj) = 0

Diversification / MODÈLE DE MARKOWITZ

)...,,( N0j

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MODELE DE MARKOWITZ (2)

PORTEFEUILLE : X = (x0, x1…,xN)

xi = part investie dans l'actif i

CRITÈRE D'OPTIMISATION : rendement moyen du portefeuille :

variance du portefeuille :

N

0ii 1x

ijjiji

2 xxXR

N

0iiixXER

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MODELE DE MARKOWITZ (3)

PORTEFEUILLE EFFICIENT X*:

Il n'existe pas un autre portefeuille tel que

PROBLEME D'OPTIMISATION : minimisation du risque sous contrainte :

sous contraintes :

X

XERXER XRXR varvar

i j

jijix

2

xxxXR minmin

ii

ii

i

1x

fixérxxRE

et

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MODELE DE MARKOWITZ (4)

FRONTIERE EFFICIENTE :

sans actif avec introduction denon risqué l'actif non risqué

rendement

écart type

r0

droite de marchéefficiente

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MODELE DE MARKOWITZ (5)

INTRODUCTION D'UN ACTIF COMPLEMENTAIRE DE RENDEMENT R N+ 1 ALEATOIRE risque élevé rendement moyen élevé non corrélation avec les N titres risqués

déplacement vers le haut de la frontière

efficiente

21N1Ni1Ni RRCOV ,

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MODELE DE MARKOWITZ (6)

meilleur rendement moyen à risque fixé

r0

rendement

. CAT

risque

sans actif avec actif CAT CAT

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TARIFICATION DES CAT BONDS (1)

t

0Q MdssrE .,exp

Application aux cat-bonds

c(k) = coupon / principal = cash flow aléatoire payé en k, contingent à un risque d'assurance (k = 1, …., T)

kcdssrE

k

0

T

1kQ ,exp

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TARIFICATION DES CAT BONDS (2)

EXEMPLE DE FORMULE CONTINGENTE• Dès qu'une catastrophe se produit durant la vie de l'obligation, les coupons et le principal sont réduits d'un facteur 1 – f (0 < f < 1) et il n'y a plus paiement après.

Tk1cf1c

1T21kcfckc

kk

kk

.

,,

= instant d'arrivée de la catastrophe = threshold time = premier instant d'un processus ponctuel de Poisson

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TARIFICATION DES CAT BONDS (3)

HYPOTHÈSE DE NON CORRÉLATION• Indépendance entre le processus des taux spot

{ r } et le processus ponctuel de Poisson

kQ1cfkQ1cT0P

kQfckQck0P

kcEdssrE

1T

1k

T

1kQ

k

0Q

,

.,

,exp

où Q = probabilité de survenance de la CAT sous la mesure neutre risque

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TARIFICATION DES CAT BONDS (4)

• COTATION AU PAIR expression du coupon du CAT Bond

= 1

T

1k

T

1kkQk0PfkQk0P

TQT0PfTQT0P1c

,,

,,

si f = 0 :

T

1k

0T

1kk0P

T0P1c

kQk0P

TQT0P1c

,

,

,

),(

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TARIFICATION DES CATS BONDS (5)

Q = MESURE RISQUE NEUTRE = ? APPLICATION DES RAISONNEMENTS D'ARBITRAGE AU RISQUE CONTINGENT ?

MODÈLE INCOMPLET : L'ENSEMBLE DES CASHFLOWS POSSIBLES NE PEUT ETRE

DUPLIQUE A L'AIDE D'ACTIFS DE BASE.

NON UNICITE DE LA MESURE RISQUE NEUTRE NON UNICITE DU PRIX BORNES SUR LE PRIX EN VUE D'EVITER LES

OPPORTUNITES D'ARBITRAGE

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TARIFICATION DES CAT BONDS (6)

PRIX PUR (cf Prime pure en assurance) :PRENDRE POUR Q = PROBABILITÉ RÉELLE DE SURVENANCE DE CAT

CHARGEMENT POSSIBLE …. VU LA NON UNICITE THEORIQUE DU PRIX D'ARBITRAGE

ESTIMER LE PRIX A L'AIDE D'UNE PROBABILITE DE SURVENANCE SUPERIEURE A LA PROBABILITE REELLE (Processus de Poisson : > réel)