Modèle des jeux et des mécanismes

Michel de Rougemont, LRI , University Paris II

1. Modèle de calculs, adapté à un nombre important d’agents, suivant une fonction d’utilité. WEB.

2. Jeux: N joueurs suivant chacun un but. Quels sont les Equilibres?

3. Mécanismes: observons un équilibre, de quel jeu sommes nous l’équilibre?

Jeux et Mécanismes

1. Dilemme des PrisonniersDeux décisions C (collaborer), T (Trahir)

1. Version répétée.

3. Jeux de vérification. Graphes d’accessibilité.

4. MaxSAT, MaxCUT: jeux à N joueurs

4. Jeux logiques: Nord-Est, dames, Echecs.

Exemples de Jeux

3,31,4

4,12,2

Mécanisme pour réduire le SPAM

1. Comment faire la différence entre un vrai mail et un SPAM?

2. Modifications au protocole de mail (pop, smtp)

3. Valeur d’un Email?

Valeur proportionnelle aux calculs demandés à A (Alice) par B (Bob)

Modifications au protocole de mail (pop, smtp)

1. A prend un ticket sur la page Web de B. (Entrée x d’un problème)2. A calcule f(x)=y3. A envoie y et l’Email4. B vérifie y

A B1. ticket

3. Résultat et Email

A calcule une fonction polynomiale

A prend un ticket sur la page Web de B. B : génère un polynôme aléatoire de degré n

B: choisit n+1 valeurs aléatoires

Ticket=

A doit trouver P(x) à partir du ticket.

Interpolation ou Inversion matricielle

nnxaxaxaxP .....)( 221

)(),...,(),( 112211 nn xPyxPyxPy

)(),...,,(),,( 112211 nn yxyxyx

B vérifie le calcul

B garde P(x) lorsqu’il génère le ticket.Vérifier consiste à comparer les coefficients de P(x) avec ceux envoyés par A.

On peut paramétrer:le degré, la précision des valeurs aléatoires pour forcer A à calculer 10 minutes 30 minutes….

Interpolation est polynomiale

La vérification est triviale

nnxaxaxaxP .....)( 221

Jeux à somme nulle

Deux joueurs I et II:

Gain de II = - Gain de I

Jeu Morra: chaque joueur cache 1 ou 2 Euros et cherche à deviner le choix de l’autre joueur. Il gagne s’il devine correctement. Si 1 seul joueur gagne, son gain est le montant caché total, payé par l’autre joueur, sinon le gain est de 0

04304003

30020320

Gain du Jeu

Gain du jeu :

Joueur I : x.A.yMiny

txaMinx.A.yMin iji

n

ijy

. ,

1

jiji

n

j

n

i

yxa . ,11

Réponse de II peut être pure

Toute solution pure doit satisfaire

ttyxayx.A.yn

jjiji

n

i

n

jj

1,

11

. ). (

txaMinx.A.yMin iji

n

ijy

. ,

1

tx.A.yMiny : Donc

Stratégie optimale

Conclusion

Joueur II peut jouer une stratégie pure

1

.

1

,1

i

n

i

iji

n

ij

x

xaMinMax

t x.A.yMint y

t x.A.yMiny

1

0.

1

,1

i

n

i

iji

n

i

x

xaz

zMax

Stratégie optimale

Conclusion

1043043032032

4321

32

41

41

32

xxxxxxz

xxzxxz

xxzzMax

Solution x*= [0,3/5,2/5,0]

Résolution par simplex.

Trouver une solution initiale

Théorème Minimax

Situation pour le joueur II

1

.

1

,1

j

n

j

jji

n

ji

y

yaMaxMin

1

0.

1

,1

j

n

j

jji

n

j

y

yaw

wMin

Problème dual du précédent. Par dualité:

Théorème (Von Neuman) : Max Min = Min Max

Dualité: Simplex

Résolution d’un système linéaire de maximisation:

•Introduction de variables d’écart•Solution initiale•Itération pour augmenter la valeur de la solution.•Terminaison

0,...,

.

.cMax

21

t

nxxx

bxA

x

Bases de la Dualité

0,,,3532

5583513

35 4Max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Estimation de z > az>5 avec (0,0,1,0)z>22 avec (3,0,2,0)….

Estimation de z <b ?Quel est le témoin?

Dualité : z < b

0,,,3532

5583513

35 4Max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Montrons que z <275/3

2nd contrainte . 5/33/2753/4053/53/25 4321 xxxx

3/2753/4053/53/25354 43214321 xxxxxxxx

Donc z <275/3

Dualité

0,,,3532

5583513

35 4Max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2nd contrainte +3ème contrainte

583634 4321 xxxx

Donc z <58

Méthode systématique.

Dualité : méthode

0,,,3532 .

55835 . 13 .

35 4Max

4321

43213

43212

43211

4321

xxxxxxxxyxxxxyxxxxyxxxx

332123211321 ).33().2().5( xyyyxyyyxyyy

Conditions pour que le membre gauche >

)355().583( 3214321 yyyxyyy

4321 354 xxxx

358353312 45

321

321

321

321

yyyyyyyyyyyy

Dualité: exemple

On obtient donc le système dual:

358353312 45

3 55 Min

321

321

321

321

321

yyyyyyyyyyyyyyy

3114321 355354 yyyzxxxx

Remarques générales

Problème Primal de Maximisation donne un problème Dual de minimisation.

3114321 355354 yyyzxxxx

jijim

i

n

jjjn

jxyaxc ,111

iim

iijjin

j

m

iybyxa

1,11

*1

*1 ii

m

ijjn

jybxc

A l’optimum:

Démonstration Minimax

Considérons la dernière ligne du dernier système du primal:

kkmn

kxczz .'

1*

*1

* . jjn

jxcz

mipourcy nii ...1'*

Posons:

Vérifions que y* satisfait :*

1*

1.. ii

m

ijjn

jybxc

Démonstration Minimax

Les variables d’écart sont définies comme:

kkmn

kjn

j j xczxc .. '1

*1

*1

*1

.. iim

ijjn

jybxc

mixabx jjin

jiin ...1.,1

mipourcy nii ...1'*

inim

ikkn

kjn

j j xyxczxc ... *1

'1

*1

jjin

jiim

ikkn

kjn

j j xabyxczxc .... ,1*

1'

1*

1

kjjin

jkn

kiim

ijn

j j xyacbyzxc .)(. *,1'

1*

1*

1

iim

ibyz *

1* Comparant les coefficients

de xj

Et on conclut:

Complémentarité

0*4*3 xx

Contraintes saturées du dual (m=3) et variables nulles du primal (n=2)

1,2,2 *5*2*1 xxx

0,0,0,1,2 *5*4*2*3*1 yyyyy

1 2

22

32

21

321

yyyy

yyyMin2*1x2*2x

Soit xi=0 soit contrainte duale est saturée

Complémentarité

0*4*3 xx

Contraintes saturées du primal (n=2) et variables nulles du dual (m=3)

1,2,2 *5*2*1 xxx

0,0,0,1,2 *5*4*2*3*1 yyyyy

2*1y0*2y

Soit yi=0 soit contrainte primale est saturée

Théorème : Ces deux conditions caractérisent une solution x*,y* optimum.

2 1 2

2

2

21

1

21

xxx

xxxMax

1*3y

Interprétation économique

Exemple de fabrication de produits en quantité x1, x2, x3.

Chaque produit utilise des composants e1,e2,e3,e4 et contribue à un profit ci ($ par unité de xi)

Contraintes du primal : Ax < b

Contraintes du dual A’ y >c yj = $ par unité de composant ej

Min y.b : coût minimum des composants

Exemple simple

Exemple: Matrice

Programme linéaire10033

21

21

21

xxxxzxxz

zMax

Solution x*= [1/2, 1/2]Interprétation graphique: Sommet de l’enveloppe inférieure

13

13

1

Jeux matriciels

Deux joueurs: les gains des I et II sont définies par deux matrices A,B de même dimension. Pour n joueurs, n hypercubes.

Solution possible: x*= [2/3,1/3] , y*= [1/3,2/3]

Solution (x*,y*) est un équilibre de Nash.

314

231

132

312BA

exE

yAxMax T

.

..

yAuE

ueMin

T

T

..

.

Jeux matriciels

Par dualité: DualPrimal ... ueyAx TT

tt ExexE .e . t

.... uExyAx ttT 0)...( yAuEx tT

0.. yAuEt

Pour le joueur II:

fxF

yBxMax T

.

..

0)...( xBvFy ttT

dualitépar 0)..( xBvF tt

C.N.S. pour être un équilibre de Nash

Un couple (x,y) est un équilibre de Nash ssi il existe u,v tel que:

. exE

0)...( yAuEx tT

0.. yAuEt

Programme linéaire + contraintes quadratiques de complémentarité.

Simplex + complémentarité= Lemke-Howson

fyF .

0)...( xBvFy ttT

0.. xBvF tt

Algorithmique des Jeux

1. Etant donné deux matrices A,B, trouver un équilibre.

2. Généralisation à N joueurs: représentation compacte de l’hypercube.

3. Approximation.

4. Vérification approchée.