mod elisation math ematique et simulation de syst emes...

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Universit´ e Pierre et Marie Curie Universit´ e Saint-Joseph UPMC LJLL FS D´ epart. Maths Mod´ elisation math´ ematique et simulation de syst` emes microvasculaires TH ` ESE pr´ esent´ ee et soutenue publiquement le 07 juin 2011 pour l’obtention du grade du Docteur de l’Universit´ e Pierre et Marie Curie - Paris 6 et Docteur de l’Universit´ e Saint-Joseph - Liban (Sp´ ecialit´ e Math´ ematiques) par Noura MORCOS Composition du jury Rapporteur : Marco Picasso Examinateurs : Fr´ ed´ eric Hecht Joanna Bodgi Yvon Maday Toni Sayah Laboratoire Jacques Louis Lions – UMR 7598 Facult´ e des sciences

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Universite Pierre et Marie Curie Universite Saint-Joseph

UPMC LJLL FS Depart. Maths

Modelisation mathematique etsimulation de systemes

microvasculaires

THESE

presentee et soutenue publiquement le 07 juin 2011

pour l’obtention du grade du

Docteur de l’Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6et

Docteur de l’Universite Saint-Joseph - Liban

(Specialite Mathematiques)

par

Noura MORCOS

Composition du jury

Rapporteur : Marco Picasso

Examinateurs : Frederic Hecht

Joanna Bodgi

Directeurs de thèse : Yvon Maday

Toni Sayah

Laboratoire Jacques Louis Lions – UMR 7598 Faculte des sciences

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Table des matières

Introduction 1

Introduction

Partie I Modélisation de l'écoulement capillaire en 2D et 3D 6

Chapitre 1

Loi de Darcy et Homogénéisation 7

1.1 Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Rappel de l'homogénéisation périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Homogénéisation localement périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Notations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Méthode des éléments nis P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 Calcul numérique du problème cellule . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.2 Calcul numérique du problème homogénéisé . . . . . . . . . . . 22

1.8 Méthode des bases réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.1 Principe de la méthode : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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1.8.2 Construction des bases (ξj(y))1≤j≤N : (appelée partie oine) . 24

1.8.3 Estimation d'erreur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.4 Cacul numérique de l'estimation a posteriori : . . . . . . . . . . 28

1.8.5 Calcul des wiN ; i = 1, . . . , n : (appelé partie online) . . . . . . . 31

1.8.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 Résultats numériques 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9.1 Résultats des bases réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.2 Pression et vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10 Résultats numériques 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10.1 Résultats des bases réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10.2 Pression et vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chapitre 2

Modélisation microvasculaire 41

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Milieu poreux aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Application de la méthode des bases réduites . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1 Méthode d'interpolation empirique : . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2 Nouveau produit scalaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3 Calcul de l'estimation a posteriori en 2D : . . . . . . . . . . . . 51

2.3.4 Résultats numériques en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.5 Cacul de l'estimation a posteriori en 3D : . . . . . . . . . . . . 61

2.3.6 Résultats numériques en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Partie II L'étude du comportement des traceurs dans les tissus

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vascularisés 70

Chapitre 3

Etude du comportement du traceur dans un modèle bidimensionnel et

tridimensionnel 71

3.1 Circulation sanguine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Physiologie de la croissance de la tumeur . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Technique d'imagerie : TC et IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Diérents modèles pour la modélisation du sang . . . . . . . . . . . . . 77

3.5 Les hypothèses communes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6 Modèle 1D du capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6.1 Problème de transport unidimensionel du traceur . . . . . . . . 81

3.6.2 EDO et données de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.7 Problème de transport bidirectionel et tridirectionel du traceur . . . . 83

3.8 Comparaison 1D, 2D et 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8.1 Variation de S(t) dans les cas canal, 1D, 2D et 3D . . . . . . . 86

3.8.2 Comparaison entre les cas canal, 1D, 2D et 3D . . . . . . . . . 90

3.8.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.9 Diérents Modèles de modélisation en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Chapitre 4

Problème inverse en 2D 93

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Résolution du problème inverse en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.2 Récupération de cV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.3 Récupération de vp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Résolution du problème inverse en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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4.3.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.2 Récupération de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Résultats numériques de 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.2 Récupération de cV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.3 Récupération de vp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5 Résultats numériques de 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5.2 Récupération de cV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.3 Récupération de vp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.4 Récupération de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Conclusion et perspectives 106

Bibliographie 108

Bibliographie 109

Résumé 119

Abstract and title 120

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Introduction

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Introduction

Contexte médical

Le cancer est l'une des principales causes de décès dans le monde civilisé. C'est une ano-malie, un disfonctionnement qui touche des cellules de notre organisme. Notre corps estcomposé d'une multitude de cellules, dont chacune est spécialisée dans une fonction bienprécise, comme par exemple ltrer les impuretés du sang (cellules rénales) ou transporterl'oxygène dans l'ensemble de l'organisme (cellules sanguines). Ces cellules ont leur cyclede vie : chaque jour, des milliers d'entre elles meurent (on parle d'apoptose, c'est-à-dire demort programmée de la cellule) et sont remplacées par de nouvelles cellules. Les cellulesse renouvellent en se divisant. On parle de cancer quand un type de cellule se multipliede façon anormale et anarchique. Il existe plus d'une centaine de formes de cancers, dontla gravité est variable. Toutes les parties du corps peuvent être atteintes. La recherchemédicale ne cesse de faire évoluer les techniques permettant de traiter le cancer an deles rendre moins agressives, et d'en développer de nouvelles. De nouveaux traitementsconsistent en la réduction ou l'élimination de l'angiogenèse, processus par lequel une tu-meur développe des lits capillaires pour soutenir la croissance rapide de la tumeur. Laprocédure standard pour mesurer l'ecacité de ces traitements consiste à comparer lesrésultats de deux examens d'imagerie, prise à des mois d'intervalle. Pour déterminer latumeur, le patient est soumis à des examens par l'Imagerie par Résonance Magnétique(IRM) ou par CT. Lors de ces examens, un liquide de contraste (traceur) est injecté dansune veine. Pour vérier si la croissance de la tumeur a été susamment arrêtée par letraitement, les tailles des régions marquées par les traceurs sont comparées d'un test àl'autre. Après l'injection du traceur dans l'artère, le traceur est convecté par le ot san-guin dans tout le corps humain et va ainsi passer plusieurs fois dans la partie capillaireétudiée avant d'être dilué uniformément dans le sang et être nalement ltré par les reins.Lorsque la concentration des traceurs dans les capillaires devient plus grande que celleassociée au milieu interstitiel, le traceur va traverser la paroi des capillaires vers le milieuinterstitiel. De même, on observe un déplacement réciproque à travers ces parois si laconcentration des traceurs dans le milieu capillaire devient plus faible que le milieu inter-stitiel. Dans ce cas, le traceur retraverse la paroi vers les capillaires. L'objectif principal demes travaux de recherche porte sur la modélisation de la microcirculation capillaire d'unepart et d'autre part, de la circulation des traceurs dans le corps humain pour comprendre

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l'irrigation des organes ou la détection des tumeurs. Pour cette modélisation, on construitun modèle 3D constitué de deux compartiments placés au contact l'un de l'autre. Le pre-mier compartiment représente le réseau des capillaires (artères, capillaires et veinules) etle second est le liquide interstitiel qui est caractérisé par une composition proche de celledu plasma sanguin. Ce uide remplit l'espace entre les capillaires sanguins et les cellulespour faciliter les échanges de nutriments et de déchets entre ces deux derniers.

Application à la physique

La microcirculation sanguine dans les capillaires peut être modélisée par un écoulementdans un milieux poreux qui est régi par la loi de Darcy, établie par Henri Darcy (1857)à la suite de travaux approfondis sur l'écoulement de l'eau dans une couche ltrante desable. Cette loi est une relation entre le gradient de pression, la perméabilité et la vitessemoyenne d'écoulement.

En considérant que le sang est un uide Newtonien incompressible, on peut construire leproblème nécessaire pour modéliser l'écoulement du sang dans les capillaires en 2D et 3D.En supposant que notre domaine est décomposé en cellules identiques de tailles ε, leproblème à résoudre sera :

(1)

vε = −Aε∇pε

divvε = 0.

avec vε la vitesse, pε la pression et Aε un tenseur symétrique, qui représente le quotientde la perméabilité et la viscosité du sang. On a supposé que la viscosité est constante.Lorsque ε→ 0, on passe de l'échelle microscopique à l'échelle macroscopique, ce qui per-met parfois à Aε d'être explicitement homogénéisé. Pour un écoulement dans un milieuporeux périodique, Aε est supposé périodique, où il est représenté par une fonction pé-riodique Aε(x) = A(x

ε) ([14]),([11]). Dans ce cas, le calcul de l'expression homogénéisée

envisage la résolution d'un seul problème de cellule. Pour présenter un milieu poreux avecune légère modication de structures d'une cellule à l'autre, Aε sera représenté par unefonction Aε(x, x

ε) [19] de deux variables, x

εmicrospique et x macroscopique et qui est pé-

riodique par rapport à la deuxième variable. Dans ce cas, on peut également obtenir lescoecients homogénéisés, en résolvant des problèmes de cellules associées pour chaque x,indépendamment du champ de déplacement macroscopique. Ainsi, le problème macrosco-pique peut être étudié indépendamment en utilisant les grandeurs homogénéisées.De nombreux problèmes d'une importance fondamentale et pratique tels que, les maté-riaux composites, les milieux poreux et le transport turbulent à haut nombre de Reynolds,ont des solutions multi-échelles. Une analyse complète de ces problèmes est extrêmementdicile. Par exemple, la diculté à analyser les eaux souterraines de transport est princi-palement causée par l'hétérogénéité des formations souterraines qui s'étend sur plusieurséchelles. L'hétérogénéité est souvent représentée par les uctuations multi-échelles de la

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perméabilité. Dans ce cadre, les coecients Aε sont supposés osciller très rapidement enraison des nombreuses petites hétérogénéités dans le domaine. De plus, pour certainesapplications où l'hétérogénéité est fortement non périodique, de nombreuses stratégiesnumériques d'homogénéisation ont été développées pour traiter l'homogénéisation numé-rique des coecients Aε oscillant de manière non périodique. La plupart des stratégiesexistantes d'homogénéisation numérique peut être classiées dans l'une des deux catégo-ries suivantes. La première s'appuit plutôt sur diérentes hypothèses d'espace que sur lapériodicité locale pour les coecients oscillants (par exemple, homogénéisation réitérée[41], l'homogénéisation stochastique [18], coecients périodiques déformées [21], coe-cients périodiques stochastique déformés [16]). La deuxième est conçue pour capturerecacement le comportement de la solution à grande échelle en utilisant des fonctions debases calculées à l'échelle ne, comme la méthode des éléments nis multi-échelles ([34],[3]).Dans cette thèse, on s'intéresse à la modélisation de la microcirculation qui consiste à laconstruction d'un milieu poreux aléatoire. Donc, pour qu'on puisse avoir une variationaléatoire de la porosité dans tout le domaine, on varie aléatoirement la structure Aε danschaque cellule, en résolvant les problèmes de cellules associées pour chaque x. Ce travailexige le calcul d'un grand nombre de fonctions cellules paramétrées. An d'apporter del'ecacité dans ces calculs, on va utiliser la méthode des bases réduites ([44],[49]). L'idéeest d'approcher cet ensemble par un espace de dimension nie engendré par des solutionsparticulières de cet ensemble. Cette méthode d'approximation induit une matrice de ri-gidité de petite dimension par rapport à la matrice de la méthode des éléments nis. Larecherche de ces solutions particulières peut se faire soit par une méthode de décomposi-tion propre orthogonale (POD), soit par des algorithmes gloutons qui sont moins coûteuxet qui nécessitent des indicateurs d'erreur a posteriori ([42],[54]). Dans cette méthodeil faut distinguer deux étapes " hors ligne " et " en ligne ", dans la première (la pluscoûteuse), les bases sont construites en utilisant la méthode des éléments nis et dans ladeuxième, les solutions paramétrées sont calculées en utilisant seulement la base réduite.En appliquant l'hypothèse de périodicité locale sur les coecients oscillants, la méthodedes bases réduites est déjà introduite sur les équations aux dérivées partielles elliptiquespar Boyaval S. [19], en utilisant les algorithmes gloutons et en introduisant une estimationa posteriori qui exige que le coecient de coercivité soit strictement positif. Puisque cetteestimation introduite s'adapte au problème traité dans cette thèse et comme ce problèmeexige des valeurs presque nulles de perméabilité, on va suivre les mêmes étapes que Boya-val avec un nouveau produit scalaire pour avoir une nouvelle estimation compatible avecce problème.An de représenter le transport des traceurs dans le modèle 2D et 3D, on utilise les équa-tions de convection et un terme de diusion entre le plasma et le milieu interstitiel quimodélise le transport des traceurs entre ces deux compartiments. La représentation de lacirculation des traceurs et des médicaments dans le sang était déjà étudiée dans un modèlesimplié 1D, par Libertini J. [40], pour identier les paramètres du sang par un problèmeinverse. Pour une représentation plus réaliste, mon travail consiste à généraliser ce qu'ellea fait en 2D et 3D par rapport à son model 1D avec un rapport de coût acceptable.

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Plan de la thèse

Cette thèse est composée de deux parties. La première partie contient les deux pre-miers chapitres, elle est consacrée à la représentation du niveau des capillaires pour com-prendre les échanges sanguins avec les tissus. En eet, la compréhension de ce réseau estimportante pour de nombreuses applications. La deuxième partie contient les deux der-niers chapitres. Elle est consacrée à l'étude et à la compréhension de la transmission destraceurs ou des médicaments dans les tissus vascularisés en 2D ou 3D.

Le premier chapitre rappelle les méthodes d'homogénéisation périodique et localementpériodique pour la résolution des équations aux dérivées partielles ellipiques. Dans ce der-nier, on montre l'ecacité de la méthode des bases réduites pour réduire drastiquementle temps de calcul sans perte de précision et on présente des résultats numériques avecdes perméabilités oscillantes en 2D et 3D.

Dans le deuxième chapitre, on construit un milieu poreux aléatoire en utilisant l'homo-généisation stochastique qui consiste à varier aléatoirement la perméabilité dans chaquecellule. Nous eectuons une estimation a posteriori en introduisant un nouveau produitscalaire mieux adapté à notre cas. On termine ce chapitre avec des résultats numériquesbidimensionnels et tridimensionnels.

Dans le troisième chapitre, on présente les équations de convection avec le terme de dif-fusion pour décrire le comportement des traceurs entre le plasma et le milieu interstitiel.On montre des résultats de simulations en 2D et 3D ainsi que des comparaisons avec lemodel 1D pour mettre en évidence les diérences entre ces modèles.

Dans le quatrième chapitre, on résout le problème inverse dans les cas unidirectionnel etbidirectionnel. Les résultats obtenus seront comparés avec ceux du cas 1D.

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Première partie

Modélisation de l'écoulement capillaire

en 2D et 3D

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Chapitre 1

Loi de Darcy et Homogénéisation

Sommaire

1.1 Loi de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Rappel de l'homogénéisation périodique . . . . . . . . . . 11

1.5 Homogénéisation localement périodique . . . . . . . . . . . 16

1.6 Notations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Méthode des éléments nis P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 Calcul numérique du problème cellule . . . . . . . . . . . . 19

1.7.2 Calcul numérique du problème homogénéisé . . . . . . . . . 22

1.8 Méthode des bases réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.1 Principe de la méthode : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.2 Construction des bases (ξj(y))1≤j≤N : (appelée partie oine) 24

1.8.3 Estimation d'erreur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.4 Cacul numérique de l'estimation a posteriori : . . . . . . . 28

1.8.5 Calcul des wiN ; i = 1, . . . , n : (appelé partie online) . . . . 31

1.8.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 Résultats numériques 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9.1 Résultats des bases réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.2 Pression et vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10 Résultats numériques 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10.1 Résultats des bases réduites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10.2 Pression et vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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1.1. Loi de Darcy

1.1 Loi de Darcy

Un milieu poreux est un matériau qui contient de petits espaces vides, appelés pores,rempli d'un uide (liquide ou gaz) délimités par une matrice. Les pores peuvent êtreconnectés dans un matériau solide ou séparés dans un matériau perméable. Beaucoup desubstances naturelles telles que les roches, les sols, les tissus biologiques (par exemple lesos) peuvent être considérés comme des milieux poreux.La microcirculation cutanée s'eectue des artérioles, des capillaires et des veinules. Le uxsanguin est dirigé à partir des artérioles vers les capillaires et ensuite vers les veinules. Onva considérer la circulation du sang dans le lit des capillaires comme une circulation dansun milieu poreux où les pores se communiquent.En réalité, le sang lorsqu'il passe dans des vaisseaux étroits, se comporte comme un li-quide incompressible et Newtonien. La viscosité du sang n'augmente pas quand le débitcardiaque et la vitesse du ux sanguin, à travers le lit capillaire musculaire, s'élèvent defaçon signicative (par exemple au cours d'un exercice intense).En raison des très petits diamètres des capillaires (entre 10 et 3 µm) et des faibles vitesses

du sang, le nombre de Reynolds Re =ρvd

µ(où ρ est la densité du liquide, d le diamètre

du domaine, v la vitesse et µ désigne la viscosité dynamique du uide ) pour le débit dansles capillaires est extrêmement petit et varie entre 10−3 et 1 ([30]).Dans un milieu poreux isotrope, l'écoulement stationnaire d'un uide visqueux incom-pressible est régi par la loi de Darcy, cette loi est valable uniquement pour des liquidesvisqueux et lents et généralement pour tout ux de faible Re qui ne doit pas dépasser unecertaine valeur entre 1 et 10 ([12]).D'après cette loi, l'écoulement en canalisation est régi d'une part par le gradient de pres-sion et d'autre part, par les frottements visqueux entre le uide et la paroi de la canali-sation. L'eet de la pesanteur sur le débit sanguin des capillaires étant considéré commenégligeable, la loi générale de Darcy, s'écrit :

(1.1)

v = −kη∇u

div v = 0.

où v désigne la vitesse, u la pression, η la viscosité et k la perméabilité du milieu poreux.Les équations de Darcy peuvent être dérivées par le biais de techniques d'homogénéisationà partir du ux de Stokes. Ene et Sanchez-Palencia [28] semblent être les premiers à donnerune telle dérivation, à partir du système de Stokes, en utilisant un développement formelmulti-échelles. Cette dérivation a été faite dans le cas d'un milieu poreux périodiquebidimensionnel par Tartar L. [52]. Ce résultat a été généralisé dans d'autres travaux.Nous mentionnons la généralisation au cas 3D par Allaire G. [2] et dans un milieu poreuxaléatoire et statistiquement homogène par Beliav et Kozlov [13].

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1.2. Homogénéisation

1.2 Homogénéisation

Dans ce paragraphe, on va appliquer l'équation de Darcy à un matériau hétérogèneporeux ayant une structure périodique de période ε. Dans ce type de matériaux, les co-ecients de la perméabilité oscillent entre diérentes valeurs. L'homogénéisation consisteen l'analyse asymptotique des équations aux dérivées partielles décrivant la vitesse et lapression de ces matériaux hétérogènes, lorsque la longueur caractéristique de la périodeε tend vers zéro. Lorsque ε tend vers zéro dans les équations à l'échelle microscopique,on obtient des équations homogénéisées pour lesquelles les structures homogénéisées sontbien dénies.

cellule de taille ε

Milieu heterogene

par

l’homogeneisation

lorsque ε tend vers 0

Milieu homogene

Figure 1.1

1.3 Position du problème

Dans la suite du chapitre, en xant ε, on note uε la pression et on considère un domaineΩ ⊂ Rn de bord Γ = ∂Ω où −→n est la normale sortante sur Γ. On suppose dans la suite,que Ω est de classe C1.Comme on a déjà expliqué dans le paragraphe précédent, l'écoulement du sang est régipar la loi de Darcy donnée par une relation linéaire entre le gradient de la pression uε etla vitesse vε. En raison de l'incompressibilité du sang, l'écoulement sera gouverné par cesystème :

(1.2)

vε(x) = −Aε(x) ∇uε(x)

div(vε(x)) = 0, ∀x ∈ Ω

9

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1.3. Position du problème

où Aε est un tenseur qui désigne le rapport entre la perméabilité et la viscosité.On s'intéresse au calcul des fonctions scalaires uε, où Ω est un ouvert borné de Rn et ε unréel positif. On étudie ensuite uε quand ε→ 0.

Pour tout ε > 0, on considère Aε ∈ L∞(Ω,MαA,γA), où MαA,γA est l'ensemble des ma-trices carrées, uniformément dénies positives ainsi que leurs inverses, c'est-à-dire, Aε

satisfait, ∀x ∈ Ω,

(1.3)0 < αA|ξ|2 ≤< Aε(x)ξ, ξ >,∀ξ ∈ Rn

0 < γA|ξ|2 ≤< Aε(x))−1ξ, ξ >,∀ξ ∈ Rn

On impose à uε les conditions aux bords suivantes :

(1.4) uε|ΓD= 0 et Aε∇uε.−→n |ΓN

= −1;

où ΓD ∪ ΓN = ∂Ω. Ces conditions aux bords, le ux entre de la frontière ΓD et sort deΓN . La composante de la vitesse qui est parallèle au vecteur normal de ΓN est égale à 1.Pour démontrer l'existence et l'unicité de la solution du problème (1.2), on rappelle lelemme suivant :

Lemme 1.3.1. ([19]) Supposons que ΓD est une partie mesurable de ∂Ω avec une di-mension positive (n − 1)(quand n >1), donc l'inégalité de Poincarré est valable dansH1

ΓD(Ω) = u ∈ H1(Ω)/u|ΓD

= 0

Théorème 1.3.2. Sous les conditions de (1.3) et (1.4), le problème (1.2) est bien poséet pour tout ε > 0, il admet une unique solution uε dans H1

ΓD(Ω).

Démonstration : Pour ε xé, on va considérer la formulation variationnelle du problèmean de montrer l'unicité et l'existence. Soient uε une solution du problème et oε ∈ H1

ΓD(Ω).

Le problème variationnel associé à (1.2) :

(1.5)

∫Ω

Aε∇uε∇oε =

∫ΓN

Posons aε(uε, oε) =

∫Ω

Aε∇uε∇oε et b(oε) =

∫ΓN

On a :• aε est une forme bilinéaire et continue, d'après (1.3).• aε est une forme coercive, d'après le lemme 1.3.1 et (1.3).• b est une forme linéaire et continue, d'après le théorème de trace.En appliquant le théorème de Lax-Milgram, on conclut que le problème admet une uniquesolution.

2.Dans la suite, on va supposer que Aε est symétrique.

10

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1.4. Rappel de l'homogénéisation périodique

1.4 Rappel de l'homogénéisation périodique

Dans ce paragraphe, on va présenter un rappel de l'homogénéisation périodique quiest décrite avec plus de détails dans ([14]),([11]). Le domaine est considéré comme unmatériau périodique dans toutes les directions et de periode ε.

De plus, Aε(x) = A(x

ε) = (aij(

x

ε))i,j qui est 1-périodique.

Lorsque ε est très petit, l'homogénéisation fournit un moyen pour approcher la solutionde (1.2) par le biais d'une fonction u0 qui est la solution du problème homogénéisé, qu'onva obtenir grâce à notre calcul.On va commencer par postuler une forme de uε (en analyse numérique comme en physique,un tel postulat s'appelle parfois un Ansatz ). Il s'agit d'écrire uε comme le développementen ε suivant :

(1.6) uε(x) =+∞∑i=0

εiui(x,x

ε) = u0(x,

x

ε) + εu1(x,

x

ε) + ε2u2(x,

x

ε) + .......

avec ui(x, y) une fonction Y-périodique (périodique de période 1 dans toutes les directionsprincipales (ei)1 ≤ i ≤ n de l'espace suivant la variable y) pour tout x dans Ω et onsuppose l'existence des fonctions régulières ui(x, y) dénies dans Ω × Rn. Dans cette

équation, deux échelles sont utilisées ; x la variable macroscopique et y =x

εla variable

microscopique. Ensuite, on va utiliser une méthode qui nous permettra d'expliciter lesfonctions périodiques qui nous aident à étudier le comportement de la limite des solutionsuε.

Proposition 1.4.1. En remplaçant l'équation (1.6) dans (1.2), on obtient :

(1.7)

− ε−2[divy(A∇yu0)](x, y)

− ε−1[divy(A(∇xu0 +∇yu1)) + divx(A∇yu0)](x, y)

−+∞∑i=0

εi[divx(A(∇xui +∇yui+1)) + divy(A(∇xui+1 +∇yui+2))](x, y)

= 0

11

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1.4. Rappel de l'homogénéisation périodique

Par la suite, notons par :

B1uk =n∑

ij=1

(− ∂

∂yi(aij(y))

∂uk∂yj

(x, y));

B2uk =n∑

ij=1

(− ∂

∂xiaij(y)

uk∂yi

(x, y)− ∂

∂yi(aij(y)

∂uk∂xj

));

B3uk =n∑

ij=1

(− ∂

∂xi(aij(y)

uk∂xj

(x, y))).

Dans la suite, on suppose que les deux variables x et y sont indépendantes. En identiantle terme à gauche de l'équation (1.7) avec 0, on aura ces trois équations :

(1.8) B1u0 = 0

(1.9) B1u1 +B2u0 = 0

(1.10) B1u2 +B2u1 +B3u0 = 0

•Calcul de u0 :L'équation (1.8) nous permet d'écrire :

−n∑

i,j=1

∂yi(aij(y))

∂u0

∂yj(x, y) = 0

Dans la suite, on note X = H1] (Y )/R,

où H1] (Y ) = l'espace des fonctions périodiques appartenant àH1(Y ) .

Lemme 1.4.2.

Le problème :

(1.11)

−divy(A(y)∇yφ(y)) = f dans Y = [0, 1]n

φ ∈ H1] (Y )/R

admet une unique solution à une constante près si et seulement si

∫Y

f = 0.

12

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1.4. Rappel de l'homogénéisation périodique

Preuve du Lemme :

Condition nécessaire : Nous allons eectuer la démonstration en dimensions 2. Elles'applique de la même manière en dimension 3. Le problème variationnel associé à (1.11),∀v ∈ H1

] (Y )/R, est :∫Y

A∇φ∇v −∫

Γ1

∇φ.−→n1.v −∫

Γ2

∇φ.−→n2.v −∫

Γ3

∇φ.−→n3.v −∫

Γ4

∇φ.−→n4.v =

∫Y

f.v

Comme −→n1 = −−→n3,−→n2 = −−→n4 et φ est 1-périodique (φ|Γ1 = φ|Γ3 et φ|Γ2 = φ|Γ4), la

Γ

n

n

n

Γ1

n1

Γ2

2

3

3

40

1

1

formule sera : ∫Y

A∇φ∇v =

∫Y

f.v ∀v

Pour v constante, on obtient

∫Y

f = 0.

Condition susante : Dans H1] (Y )/R, l'équation du système (1.11) sera :∫Y

A∇φ∇v =

∫Y

f.v ∀v

Comme on a la coercivité et la linéarité de

∫Y

A∇φ∇v et la linéarité de∫Yf.v, donc on

aura l'unicité d'après Lax-Milgram.2.

D'où l'équation (1.8) admet une solution u0(x, y) = u(x) constante par rapport à y .

•Calcul de u1 :

L'équation (1.9) nous donne :

n∑i,j=1

− ∂

∂yi(aij(y)

∂u1

∂yj(x, y)) =

n∑i,j=1

(∂

∂xi(aij(y)

∂u0

∂yj(x)) +

∂yi(aij(y)

∂u0

∂xj(x)))

Comme u0(x) est constante par rapport à y on obtient :

n∑i,j=1

− ∂

∂yi(aij(y)

∂u1

∂yj(x, y)) =

n∑i,j=1

∂yiaij(y)

∂u0

∂xj(x)

13

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1.4. Rappel de l'homogénéisation périodique

On cherche la solution de la forme :

(1.12) u1 =n∑k=1

χk(y)∂

∂xku0(x)

où χk sont des fonctions périodiques.

Théorème 1.4.3. Pour tout k = 1..n, χk doit vérier ce problème :

(1.13)

−divyA(y)(∇yχk(y) + ei) = 0 dans Y

χk ∈ X

où (ei) est la base canonique.

Démonstration : Si on remplace l'expression proposée de u1 dans

n∑i,j=1

− ∂

∂yi(aij(y)

∂u1

∂yj(x, y))

on aura :n∑

i,j,k=1

− ∂

∂yi(aij(y)

∂χk

∂yj(y))

∂xku0(x)

Pour que l'expression proposée de u1 soit une solution, il faut que :

n∑i,j,k=1

− ∂

∂yi(aij(y)

∂χk

∂yj(y)) =

n∑i,k=1

∂yiaik(y) dans Y

Alors on obtient l'équation

n∑i=1

− ∂

∂yi(n∑j=1

aij(y)∂

∂yj

n∑k=1

χk(y)) =n∑i=1

∂yi

n∑k=1

aik(y)

qui peut s'écrire de la forme suivante :

n∑i=1

− ∂

∂yi(n∑k=1

aik(y)(∂

∂yk

n∑j=1

χj(y)) + 1) = 0

ou alorsn∑i=1

− ∂

∂yi(n∑k=1

aik(y)∂

∂yk

n∑j=1

(χj(y) + yj) = 0

14

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1.4. Rappel de l'homogénéisation périodique

2.

Comme A(y) est Y -périodique, on a alors

∫Y

(divy(A(y).ei)) = 0. Le système (1.13)

admet une unique solution à une constante près d'après le lemme 1.4.1.

D'où on a :

u1 =n∑k=1

χk(y)∂

∂xku0(x).

•Calcul de u2 :

L'équation (1.10) nous donne :

B1u2 = −B2u1 −B3u0 = g.

An d'avoir une unique solution, on doit supposer que

∫Y

g = 0, ce qui donne :

0 =

∫Y

(B2u1 +B3u0).

On obtient :

0 = −n∑

i,j=1

∫Y

∂yi(aij

∂u1

∂xj)−

n∑i,j=1

∫Y

∂xi(aij

∂2u1

∂xi∂yj)−

n∑i,j=1

∫Y

(aij∂2u0

∂xj∂xj).

De plus,

∫Y

∂yi(aij

∂u1

∂xj) = 0, ∀i, j car aij

∂u1

∂xjest Y -périodique.

En remplaçant u1 par (1.12) on obtient :

0 = −n∑

i,j=1

∫Y

aij∂2u0

∂xj∂xj+

n∑i,j,k=1

∫Y

(aik∂χj

∂yk)∂2u0

∂xi∂xj.

En résumé, pour que u2 existe, il faut que u0 vérie le problème suivant :

(1.14)

−div(A∗(x) ∇u0(x)) = 0, ∀x ∈ Ω

u0|ΓD= 0

A∗(x) ∇u0.−→n |ΓN

= −1

avec

(1.15) A∗ij(x) =

∫Y

A(y)(ei +∇yχi(y))ejdy,

15

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1.5. Homogénéisation localement périodique

et (ei)1≤i≤n est la base canonique de Rn

Enn, après le calcul de u0 et u1, on peut approcher uε par :

(1.16) uε(x) ≈ u0(x) + ε

n∑i=0

∂u0

∂xi(x)χi(

x

ε),

en annulant dans

uε(x) =+∞∑i=0

εiui(x,x

ε),

les termes en εi avec i > 1 et en remplaçant u1 par sa valeur.Pour la n, on va rappeler un théorème, qui va nous permettre de trouver la solution uε

et la convergence faible de la solution.

Théorème 1.4.4. Soient uε et u0 les solutions des (1.2) et (1.14) respectivement et ε réelpositif donc :

(1.17) uε u0 lorsque ε→ 0 dans H1ΓD

(Ω)

Pour la démonstration de ce théorème voir ([14])

Voici un algorithme qui résume les étapes des calculs de uε.

Algorithme1 :

1. On résout le problème (1.13) dans la cellule Y .

2. On remplace les solutions χi, ∀i ∈ 1, .., n dans (1.15).

3. On résout le problème homogénéisé (1.14) avec les coecients de la matrice homo-généisée (A∗ij),.

4. Ayant trouvé χi et la solution homogénéisée u0, on prolonge les fonctions χi danstout Ω puis on approche la solution uε par l'équation (1.16).

1.5 Homogénéisation localement périodique

Dans cette section, on va traiter le problème (1.2) dans un milieu poreux, de taille ca-ractéristique des pores ε, où chaque période a une structure diérente comme l'indique lagure 1.1. Ce travail est détaillé dans ([19]).

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1.5. Homogénéisation localement périodique

Dans ce cas le tenseur de perméabilité peut s'écrire de la manière suivante :

Aε(x) = A(x,x

ε), où A(x, .) est Y-périodique, x ∈ Ω et A ∈ L∞(Ω,MαA,βA).

On note y =x

εet on appelle x la variable macroscopique et y la variable microscopique.

On suppose que les deux variables sont indépendantes. Le fait que Aε est périodique parrapport à la variable y justie l'appellation localement périodique.

En suivant les mêmes étapes de l'homogénéisation décrites précédemment, le problème decellule sera pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n :

(1.18)

−divy(A(x, y)(ei +∇ywi(x, y))) = 0 ∀y ∈ Y =]0, 1[n

wi(x, .) ∈ X ,

où les solutions wi(x, y) sont calculées pour tout x ∈ Ω.Les coecients de la matrice homogénéisée A∗ij auront l'expression suivante :

(1.19) A∗ij(x) =

∫Y

A(x, y)(ei +∇ywi(x, y))ejdy

Par conséquent, le problème homogénéisé sera :

(1.20)

−div(A∗(x) ∇u0(x)) = 0, ∀x ∈ Ω

u0|ΓD= 0

A∗(x) ∇u0.−→n |ΓN

= −1

On termine cette section en rappelant ce théorème :

Théorème 1.5.1. Soient uε et u0 les solutions des (1.2) et (1.20) respectivement et ε estréel positive donc :

(1.21) uε u0 lorsque ε→ 0 dans H1ΓD

(Ω)

Pour la démonstration de ce théorème voir ([36])

Donc pour résoudre le problème (1.2) dans ce cas localement périodique, on doit suivreles étapes suivantes :

Algorithme 2 :

1. Pour chaque point x ∈ Ω, on résout le problème (1.13).

2. On remplace les fonctions wi dans (1.15) an d'avoir une matrice homogénéisée dontles coecients dépendent de x.

3. On résout le problème (1.14).

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1.6. Notations :

1.6 Notations :

L'espace d'Hilbert X est muni de la norme suivante :

||u||X = (

∫Y

∇u.∇u)12 .

induite par le produit scalaire :

(u, v)X =

∫Y

∇u.∇v pour tout (u, v) ∈ X × X .

L'espace dual X ′ de X est muni de la norme suivante :

||u||X ′ = supv∈X

g(v)

||v||X.

On considère la forme bilinéaire, continue et coercive a dénie sur X ×X et paramétriséepar x ∈ Ω,

a(u, v;x) =

∫Y

A(x, y)∇u(y).∇v(y)dy, ∀(u, v) ∈ X × X

ayant αA et γ−1A comme constantes de coercivité et de continuité :

a(u, u, x) ≥ αA||u||2X ∀u ∈ X et x ∈ Ω,

a(u, v, x) ≤ γ−1A ||u||X ||v||X ∀u, v ∈ X et x ∈ Ω.

On considère les n formes linéaires et continues dans X paramétrisées par x ∈ Ω de lamanière suivante :

fi(v;x) = −∫Y

A(x, y)ei.∇v(y)dy, ∀v ∈ X , 1 ≤ i ≤ n.

Soit s une matrice carrée et symétrique d'ordre n, dont les éléments (sij)1≤i,j≤n sontdénis par :

(1.22) sij(x) = −fj(wi(x, .);x) =

∫Y

A(x, y)∇wi(x, y).ejdy,

où wi est la solution du problème (1.18). La matrice s représente la partie qui nous inté-resse dans le tenseur homogénéisé A∗(x).

Pour tout 1 ≤ i ≤ n, le problème variationnel associé à (1.18) sera :

(1.23)

Trouver wi(x, .) ∈ X solution de :

a(wi(x, .), v;x) = fi(v;x), ∀v ∈ X

où x représente le paramètre.

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1.7. Méthode des éléments nis P1

1.7 Méthode des éléments nis P1

An d'approcher numériquement la solution de (1.23), on va utiliser la méthode deséléments nis qui consiste tout d'abord à construire un maillage sur le domaine ; en 2dimensions, le maillage peut être triangulaire lorsque toutes les faces sont des triangles,quadrilatères lorsque toutes les faces sont des rectangles. Pour plus détail voir [35].

Figure 1.2 Exemples de maillage

1.7.1 Calcul numérique du problème cellule

Dans notre cas, le domaine macroscopique Ω et le domaine microscopique Y sont mailléspar des triangles et on a remplacé les x de Ω par les points d'intégration des triangles dudomaine macroscopique. Pour chaque point d'intégration x, on a ce problème pour tout1 ≤ i ≤ n :

(1.24) a(wi(x, .), v; x) = fi(v; x)

à résoudre dans X .Ce problème admet une solution unique à une constante près. Pour xer une constante, onva dénir un autre problème en ajoutant ce terme 10−4wi(x, .)v qui a un eet négligeablesur la solution.

Posons V = H1] (Y ) et on va considérer ce nouveau problème variationnel :

Trouver wi(x, .) ∈ V , tel que :

aw(wi(x, .), v; x) = a(wi(x, .), v; x) + 10−4wi(x, .)v = fi(v; x) pour tout v ∈ V.

où aw(., .,x) est une forme bilinéaire continue et coercive sur V × V et fi(.; x) est uneforme linéaire continue sur V

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1.7. Méthode des éléments nis P1

La méthode des éléments nis utilisée est basée sur la méthode de Galerkin. L'idée decette méthode est de se ramener à une famille d'espace de dimension nie Vh ⊂ V et derésoudre :Pour tout 1 ≤ i ≤ n, trouver whi ∈ Vh tel que :

(1.25) aw(whi(x, .), vh; x) = fi(vh; x) pour tout vh ∈ Vh.

Par application du théorème de Lax-Milgram dont les hypothèses sont vériées puisqueVh ⊂ V , le problème (1.25) admet une solution unique.

Une triangulation d'un espace polyédrique W est un ensemble de triangles (Ki)1≤i≤nt ,où nt est le nombre de triangles, vériant :

a) Ki ⊂ W et W = ∪1≤i≤ntKi ;

b) Ki ∩Kj est soit vide soit réduite à un sommet commun, soit la totalité d'une arètecommune.

Soit Yh une triangulation de Y , avec Nt et Ns respectivement le nombre des triangles etle nombre des sommets de Yh, on dénit l'espace Vh par :

Vh = vh ∈ C0(Y ) ∩H1] (Y ), vh|κ = a1x+ b1y + c1, ∀κ ∈ Yh et a1, b1, c1 ∈ R.

Sur chaque triangle κ, il existe un unique polynôme d'ordre 1 en deux variables prenantdes valeurs xées aux sommets de κ. Soit (ϕi)i une base particulière de Vh, pour toutsommet ai de Vh, elle est dénie par :

ϕi(aj) = δij

La fonction ϕi est un élément de Vh et l'ensemble (ϕi)i forme une base de Vh. Puisque le

Figure 1.3 Fonction de base ϕi pour l'élément ni P1

problème approché (1.25) est en dimension nie, il est équivalent à un système linéaire

20

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1.7. Méthode des éléments nis P1

matriciel. Nous pouvons développer la solution approchée discrète whi approximation dewi pour tout 1 ≤ i ≤ n sur la base choisie :

whi =Ns∑j=1

xijϕj.

Dans la formulation variationnelle (1.25), il est susant de prendre vh = ϕk, pour k =1, ....,Ns. Le système approché se met sous la forme suivante :

aw(Ns∑j=1

xijϕj, ϕk; x) = fi(ϕk; x)), k = 1, ..,Ns.

En développant par linéarité, pour chaque point d'intégration x et 1 ≤ i ≤ n (n = 2 ou 3),on obtient le système linéaire :

(1.26) Dxi = bi,

où les éléments de la matrice D et du second membre b sont donnés par

Djk = aw(ϕj, ϕk; x), bik = fi(ϕk; x)

et xi le vecteur inconnu de composantes xik, k = 1, ....,Ns.

La forme bilinéaire aw est symétrique, donc la matrice de rigidité D l'est aussi. Alors Dest dénie positive. Comme pour tout 1 ≤ i ≤ n on a :

xTi Dxi =Ns∑k,j=1

xikxijaw(ϕj, ϕk; x) = aw(Ns∑j=1

xijϕj,Ns∑k=1

xikϕk; x) = aw(wih(x, .), wih(x, .); x) > 0

on en déduit que D est inversible, donc le système linéaire (1.26) admet une solutionunique. On va maintenant donner une estimation d'erreur entre wh et w.

Lemme 1.7.1. ([35]) Soit w la solution exacte de (1.24) et wh la solution approchée de(1.26). On a l'inégalité

(1.27) ||w − wh||V ≤γ−1

αAinfvh∈Vh

||w − vh||V ,

où γ−1 et αA sont les constantes de continuité et de coercivité.

Ce résultat montre que la distance entre w et wh est du même ordre que la distance de wà Vh.

Pour ce calcul numérique, la méthode des élément nis consiste à résoudre n systèmeslinéaires sur chaque point d'intégration Dx = b, avec D une matrice carrée creuse qui acomme dimension Ns ×Ns .La résolution des équations du problème (1.13) par cette méthode est trop coûteuse enterme de temps de calcul. Pour cela, nous allons proposer dans la prochaine section uneméthode qui nous fait gagner en temps de calcul en réduisant la dimension de la matricedu système linéaire.

21

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1.7. Méthode des éléments nis P1

1.7.2 Calcul numérique du problème homogénéisé

Les variables macroscopiques x des n problèmes cellules sont remplacées par les pointsd'intégration des triangles de Ω, sur ces points on calculera les valeurs de la matrice ho-mogénéisée (A∗ij)0≤i,j≤n d'après (1.19) :

(1.28) A∗ij(x) =

∫Y

A(x, y)(ei +∇ywih(x, y))ejdy,

où wi(x, .) est la fonction cellule, solution du système linéaire ((1.26))Pour tout v ∈ H1

ΓD(Ω), le problème variationnel associé à (1.14) est :

(1.29)

∫Ω

A∗∇u∗∇v =

∫Ω

fv −∫

ΓN

v.

Soit NS le nombre de sommets des triangles du maillage de Ω, Th sa triangulation et(ψi)0≤i,j≤NS

la base assiociée au maillage. Le paramètre h qui intervient dans la notationTh peut être compris max

K∈ThdiamK (où diamK est le diamètre de l'élément, c'est-à-dire la

plus grande distance entre deux éléments de K). h est destiné à tendre vers 0, de sorteque nous avons en théorie une famille de maillages indexée par h. Pour ce calcul, on doitavoir ε <<< h, pour que les points x dans chaque triangle soient répartis sur plusieurspériodes, puisque chaque période qui est de taille ε est liée à une cellule diérente Y .D'après la méthode des éléments nis, la solution homogénéisée u∗ peut être approchée àune solution sur la base (ψi)0≤i,j≤NS

:

(1.30) u∗h =

NS∑k=0

x∗kψk,

où x∗k ∈ R sont les coordonnées de u∗ dans cette base.Le problème variationnel (1.29) se transforme à un système linéaire MX = F où

Mij =

∫Ω

A∗(x)∇ψi(x)∇ψj(x)dx

et

Fi =

∫Ω

f(x)ψi(x)−∫

ΓN

ψi(x)

et X∗ est le vecteur inconnu de composantes x∗k.En eectuant l'intégration numérique, on peut calculer les coecients de la matrice Mcomme les valeurs de la matrice homogénéisée sur les points d'intégration connus.

Mij ≈NI∑i=1

A∗(xi)∇ψi(xi)∇ψj(xi)pi,

22

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1.8. Méthode des bases réduites

où NI est le nombre des points d'intégration du maillage de Ω, xi sont les points d'inté-gration et pi sont les poids.On remarque que M est symétrique et comme A∗ est symétrique, dénie et positive doncM est inversible. On trouve u∗ d'après (1.30) et uε d'après (1.16).

1.8 Méthode des bases réduites

La méthode des Bases Réduites est une méthode générale qui, pour la simulation d'uneclasse de problèmes paramétrés, a pour but de réduire notablement la taille du système àrésoudre et par conséquent le temps de résolution. Son principe consiste à remplacer la basede Galerkin du type Elément Fini par une base de Galerkin formée de solutions issues dela résolution de problèmes des éléments nis similaires. Comme ces solutions contiennentles informations physiques de la solution cherchée, un petit nombre de ces solutions sutpour dénir un calcul dit base réduite susamment précis. La construction des baseset le calcul de l'estimation d'erreur a posteriori ont été soulevés et illustrés dans [19].

1.8.1 Principe de la méthode :

Pour qu'on puisse utiliser la méthode des bases réduites, il est intéressant d'introduire lanotion de l'épaisseur de Kolmogorov ([43]).

Dénition 1.8.1. Soit O un espace vectoriel normé, A est un sous-ensemble de O et Onun sous-espace de O. La distance entre A et On est :

E(A,On) = supx∈A

infy∈On

||x− y||O,

l'épaisseur de Kolmogorov de A dans O est donnée par :

(1.31)dn(A,O) = infE(A,On) : On est un sous espace de O

= infOn

supx∈A

infy∈On

||x− y||O.

On considère l'ensemble M = wi(x, .),∀x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n. M peut être approchépar un sous-espace ni XN = spanξj, 1 ≤ i ≤ N de X si M a une petite épaisseur deKolmogorov. An de vérier numériquement que dn(A,O) converge rapidement vers 0, oncommence à dénirMp = wi(xk, .), xk ∈ D, 1 ≤ i ≤ n où D = xk ∈ Ω, 1 ≤ k ≤ p unéchantillon discret de cardinal très grand dont les éléments sont distribués uniformémentdans l'espace. On suppose tout d'abord quelques solutions wk = w(xk, .) de (1.23) eton peut utiliser ensuite l'approche SVD qui consiste à calculer les valeurs propres dela matrice de corrélation (wi, wj). Cette matrice qui est symétrique, dénie et positivepeut être réduite à ses valeurs propres positives. Ses valeurs propres classées par ordre

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1.8. Méthode des bases réduites

décroissant, convergent vers zéro. La haute vitesse de convergence vers zéro des valeurspropres classées en ordre décroissant soutiendra l'intuition que l' de Kolmogorov est petite,ce qui implique que la méthode de bases réduites pourra fonctionner,(voir [43]).

1.8.2 Construction des bases (ξj(y))1≤j≤N : (appelée partie oine)

La méthode des bases réduites est basée sur la résolution de la forme variationelle (1.23)par la méthode de Galerkin qui consiste à construire le sous-espace ni XN ⊂ X avecune base hilbertienne adaptée à l'équation (1.23). Comme les méthodes de décompositionpropre orthogonale et SVD sont coûteuses, on a construit les bases selon un algorithmeglouton.L'algorithme consiste à construire les bases en choisissant aléatoirement les éléments deD et en eectuant le calcul dans Mp. On choisit aléatoirement la première base ξ1 del'ensemble Mp, ensuite on projette tous les éléments de Mp sur X1 =< ξ1 > l'espaceengendré par ξ1 pour obtenir un espace qui est le plus large possible an qu'il puissecontenir le plus grand nombre des éléments de Mp. On choisit l'élément le plus distantde X1.Enn, on transforme cette base en une base orthonormale en utilisant le processus deGram-Schmidt [17]. Pour chaque 0 ≤ i ≤ n, l'algorithme est déni par :

Algorithme 3 :

1. Pour k′1 choisi aléatoirement, on calcule l'approximation par les éléments nis wiN (xk′1 , y)de wi(xk′1 , y) solution (1.18).

2. On pose l = 1, et ξ1(y) =wiN (xk′1 , y)

‖ wiN (xk′1 , y) ‖X, la première base réduite.

3. on calcule pour tout xk ∈ D ; p éléments approchés par la méthode des éléments niswiN (xk, y) ∈ X de wi(xk, y).

4. Tant que l < N :(a) Pour k′

l+1 = argmax1≤k≤p

‖ wiN (xk, y) − PXl(wiN (xk, y)) ‖X où PXl

(wiN (xk, y)) est la

projection de wiN (xk, y) sur Xl. On calcule après l'approximation par les élémentsnis wiN (xk′

l+1, y) de wi(xk′

l+1, y).

(b) On pose ξl+1(y) =Rl+1(y)

‖ Rl+1(y) ‖X, la (l + 1)ième base réduite, où :

Rl+1(y) = wi(xk′l+1, y)−

l∑k=1

(wi(xk′l+1, .), ξk)X ξk(y).

24

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1.8. Méthode des bases réduites

(e) On fait l = l + 1 et puis on revient à (a) ;

On remarque dans la troisième étape partie a), le calcul de (n× p) problèmes cellules parla méthode des éléments nis, Cette partie coûte cher en calcul, donc on va remplacercette norme ‖ wiN (xk, y) − PXl

(wiN (xk, y)) ‖X par une estimation a posteriori, dont lecalcul numérique ne sera pas coûteux en mémoire et temps de calcul et ne perd pas deprécision. Dans la section suivante, on va dénir cette estimation en expliquant après sonaspect numérique.

1.8.3 Estimation d'erreur :

Dénissons les approximations de Galerkin suivantes :

(1.32) A∗Nij(x) =

∫Y

A(x, y)(ei +∇ywiN(x, y)).ejdy,

(1.33) sNij(x) =

∫Y

A(x, y)∇wiN(x, y).ejdy.

avec wiN la solution du problème cellule calculé par la méthode des bases réduites.

Puisque la matrice s est la partie qui nous intéresse dans notre calcul de la matricehomogénéisée, on va énoncer deux théorèmes qui nous permettent de dénir les bornes aposteriori de l'erreur de cette matrice. Ces estimations a posteriori sont ecaces pour laconstruction de ces bases et permettent de abiliser les résultats.Pour 1 ≤ i ≤ n, on dénit ∆N(wi(x, .)) par :

∆N(wi(x, .)) =‖ a(wi(x, .)− wiN(x, .), .;x) ‖X ′

αA.

Théorème 1.8.2. La fonction d'eectivité ηi(x) qui est dénie par :

(1.34) ηi(x) =∆N(wi(x, .))

‖ wi(x, .)− wiN(x, .)) ‖X

satisfait l'inégalité suivante :

(1.35) 1 ≤ ηi(x) ≤ γ−1A

αA.

Démonstration : Tout d'abord on s'intéresse à borner l'estimation d'erreur de Galerkin :

(1.36) ||wi(x, .)− wiN(x, .)||X .

25

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1.8. Méthode des bases réduites

l'équation (1.23) nous donne :

(1.37) a(wi(x, .)− wiN(x, .), v;x) = fi(v;x)− a(wiN(x, .), v;x) ∀v ∈ X .

Dénissons une forme bilinéaire et paramétrisée gi dans X ×X , tel que pour tout x dansΩ et 1 ≤ i ≤ n

(1.38) gi(u, v;x) = a(u, v;x)− fi(v;x) ∀(u, v) ∈ (X × X ).

D'après (1.37) et en remplaçant v par wi(x, .)− wiN , nous pourrons obtenir l'estimationvoulue avec la norme duale de l'application :

v → gi(wiN(x, .), v;x).

La coercivité de a nous permet d'écrire :

(1.39)

αA||wi(x, .)− wiN(x, .)||X ≤ |a(wi(x, .)− wiN(x, .), wi(x, .)− wiN(x, .);x)|||wi(x, .)− wiN(x, .)||X

≤ |gi(wiN(x, .), wi(x, .)− wiN(x, .);x)|||wi(x, .)− wiN(x, .)||X

≤ supv∈X

|g(wiN(x, .), v;x)|||v||X

.

D'où

(1.40) αA||wi(x, .)− wiN(x, .)||X ≤ ||gi(wiN , .;x)||X ′ .

Ensuite, la continuité de a nous donne :

(1.41)

Pour tout v ∈ X on a :

|gi(wiN(x, .), v;x)| = |a(wiN(x, .)− wi(x, .), v;x)|

≤ γ−1A ||wi(x, .)− wiN(x, .)||X ||v||X .

D'où||gi(wiN(x, .), .;x)||X ′ ≤ γ−1

A ||wi(x, .)− wiN(x, .)||X .

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1.8. Méthode des bases réduites

De même :

(1.42) ηi(x) =∆N(wi(x, .))

‖ wi(x, .)− wiN(x, .)) ‖X=

‖ gi(wiN , .;x) ‖X ′αA ‖ wi(x, .)− wiN(x, .)) ‖X

.

D'après (1.40) et (1.41), ηi(x) satisfait l'inégalité suivante :

(1.43) 1 ≤ ηi(x) ≤ γ−1A

αA

qui traduit la stabilité de ∆N(wi(x, .)). 2.

Théorème 1.8.3. Soient wi(x, .) et wj(x, .) deux solutions du problème (1.23) et wiN(x, .)et wjN(x, .) deux solutions du problème (1.47) avec i 6= j, on a :

(1.44)

| sij(x)− sNij(x) |≤ ∆sij,N(x),

avec :

∆sij,N(x) =

‖ a(wi(x, .)− wiN(x, .), .;x) ‖X ′‖ a(wj(x, .)− wjN(x, .), .;x) ‖X ′αA

.

Démonstration : D'après la dénition de la matrice s, (1.18) et la linéarité de la fonctionf on a :

(1.45)|sij(x)− sNij (x)| = |a(wj(x, .), wi(x, .)− wiN(x, .);x)|

= |fj(wi(x, .)− wiN(x, .);x)|.

La matrice A(x, y) est symétrique, d'où la forme bilinéaire a l'est aussi et on obtient :

(1.46) |a(wj(x, .), wi(x, .)− wiN(x, .);x)| = |a(wi(x, .)− wiN(x, .), wj(x, .);x)|.

De plus, d'après wjN(x, .) ∈ XN , l'équation (1.23) et comme ∀x ∈ Ω et 1 ≤ i ≤ n , leswiN ∈ XN satisfont :

(1.47) a(wiN(x, .), v;x) = fi(v;x), ∀v ∈ XN

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1.8. Méthode des bases réduites

|a(wi(x, .)− wiN(x, .), wjN(x, .);x)| = 0.

Ce qui donne :(1.48)

|a(wi(x, .)− wiN(x, .), wj(x, .);x)| = |a(wi(x, .)− wiN(x, .), wj(x, .)− wjN(x, .);x)|

et par suite :

(1.49) |sij(x)− sNij (x)| = |a(wi(x, .)− wiN(x, .), wj(x, .)− wjN(x, .);x)|.

Ensuite, on a :

(1.50)|a(wi(x, .)− wiN(x, .), wj(x, .)− wjN(x, .);x)| ≤

‖ a(wi(x, .)− wiN(x, .), .;x) ‖X ′‖ wj(x, .)− wjN(x, .) ‖X

et(1.51)

‖ a(wj(x, .)− wjN(x, .), .;x) ‖X ′ ≥|a(wj(x, .)− wjN(x, .), wj(x, .)− wjN(x, .);x)|

‖ wj(x, .)− wjN(x, .) ‖X

≥ αA ‖ wj(x, .)− wjN(x, .) ‖X .

On obtient enn :

(1.52) ‖ wj(x, .)− wjN(x, .) ‖X≤1

αA‖ a(wj(x, .)− wjN(x, .), .;x) ‖X ′ .

Les deux inégalités (1.50) et (1.52) nous permettent d'écrire :(1.53)

|a(wi(x, .)− wiN(x, .), wj(x, .)− wjN(x, .);x)| ≤‖ a(wi(x, .)− wiN(x, .), .;x) ‖X ′ ∆N(wj(x, .))

≤ αA∆N(wi(x, .))∆N(wj(x, .))

et d'après (1.49), on obtient le résultat qu'on cherche :

|sij(x)− sNij (x)| ≤ αA∆N(wi(x, .))∆N(wj(x, .)).

2.

1.8.4 Cacul numérique de l'estimation a posteriori :

Ce paragraphe est consacré au calcul numérique de l'estimation a posteriori, en xant i,qui majore l'expression suivante :

‖ a(wi(x, .)− wiN(x, .), .;x) ‖X ′

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1.8. Méthode des bases réduites

Cette dernière majoration peut être calculée numériquement en évitant le calcul des pro-blèmes cellules par la méthode des éléments nis qui d'habitude coûte cher en temps decalcul. Ici, nous allons exprimer cette dernière erreur par une autre qui sera plus facile etmoins couteûse à calculer.

Soit g ∈ X , on introduit le problème suivant :

(1.54)

chercher wg ∈ X telle que :

−∆wg = g dans Y ; ∀v ∈ X

Ce problème admet une unique solution wg. On a de plus ,

‖g‖X ′ = maxv∈X

∫Y

g.v

‖v‖X= max

v∈X

∫Y

∇wg.∇v

(

∫Y

∇v.∇v)1/2

avec la majoration suivante :∫Y

∇wg.∇v

(

∫Y

∇v.∇v)1/2

≤ ‖wg‖X pour tout v ∈ X .

D'où, le maximum est atteint lorsque v = wg et on a alors :

‖g‖X ′ = ‖wg‖X .

De plus, notons par (ξj(y))1≤j≤N les bases réduites, donc les wiN(x, y) s'expriment danscette base par

wiN(x, y) =∑s

λs(x).ξs(y).

Alors d'après (1.23), on a :

a(wi(x, .)− wiN(x, .), v;x) = fi(v;x)− a(wiN(x, y), v;x)

= fi(v;x)−∑s

λs(x)a(ξs(y), v;x).

Pour faciliter les exemples numériques et rendre le calcul moins coûteux, on va considérerdans ce chapitre que a est une description anée.Donc supposons qu'on a :

(1.55) a(ξs(y), v(y);x) =∑k

tk(x).ak(ξs(y), v(y))

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1.8. Méthode des bases réduites

avec tk une fonction qui dépend seulement de x et ak qui dépend de y. On aura :

(1.56)a(wi(x, .)− wiN(x, .), v;x) = fi(v;x)− a(wiN(x, y), v;x)

= fi(v;x)−∑k

∑s

λs(x)tk(x)ak(ξs(y), v).

Enn, pour majorer a(wi(x, .)−wiN(x, .), v;x), on est amené à résoudre les deux problèmessuivants :

(1.57)

chercher ef ∈ X tel que :∫Y

∇ef∇v = fi(v;x) ∀v ∈ X ,

(1.58)

Chercher ek ∈ X tel que :∫Y

∇ek∇v = ak(ξs(y), v) ∀v ∈ X .

Par suite, on obtient :

‖ a(wi(x, .)− wiN(x, .), .;x) ‖X ′ ' ‖ef −∑k

∑s

λs(x)tk(x)ek‖X .

En résumé, les étapes à suivre pour calculer l'estimation précédente consistent à calculertout d'abord les bases (ξj(y))1≤j≤N et ensuite résoudre les deux théorèmes précédents.La construction des bases réduites (ξj(y))1≤j≤N avec cet estimation a posteriori et pour0 ≤ i ≤ n s'eectue selon cet algorithme :

Algorithme 4 :

1. Pour k′1 choisi aléatoirement, on calcule l'approximation par les éléments nis wiN (xk′1 , y)de wi(xk′1 , y) en utilisant (1.18).

2. On pose l = 1, et ξ1(y) =wiN (xk′1 , y)

‖ wiN (xk′1 , y) ‖X, la première base réduite.

3. Tant que l < N :(a) on calcule pour tout xk ∈ D ; p éléments approchés par les bases réduites wiB(xk, y) ∈Xl = spanξj, 1 ≤ j ≤ l de wi(xk, y) .

(b) Pour (k′l+1) = argmax

1≤k≤p

∆sii,l(x)

‖ wi(xk, .) ‖X, on calcule l'approximation par l'élément ni

wiN (xk′l+1, y) de wi(xk′

l+1, y) en utilisant (1.18).

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1.9. Résultats numériques 2D

(c) On pose ξl+1(y) =Rl+1(y)

‖ Rl+1(y) ‖X, la (l + 1)ième base réduite, où :

Rl+1(y) = wi(xk′l+1, y)−

l∑k=1

(wi(xk′l+1, .), ξk)X ξk(y).

(e) On fait l = l + 1 et puis on revient à (a).

En utilisant l'estimation a posteriori (1.44) les erreurs de la matrice s (1.22) ne perdentpas de précision et le calcul numérique est plus rapide

1.8.5 Calcul des wiN ; i = 1, . . . , n : (appelé partie online)

On calcule l'approximation wiN(x, y) de wi(x, y) en utilisant les bases de XN déjà calculées.Ensuite, on écrit wiN dans la base précédente :

(1.59) wiN(x, y) =N∑j=1

wiNj(x)ξj(y) où wiNj(x) est à calculer

On calcule les wiNj en remplaçant (1.59) dans le problème (1.47). La dimension étantnie, on obtient un système matriciel de dimension N à résoudre. Dans la pratique, onprend N entre 10 et 20 qu'on juge susant pour obtenir la précision voulue.

1.8.6 Conclusion

C'est à ce niveau qu'on peut remarquer l'avantage de la méthode des bases réduites. Eneet, dans ce cas, le système matriciel à résoudre est de dimension beaucoup plus petiteque celui obtenu en utilisant une méthode directe des éléments nis.

1.9 Résultats numériques 2D

Dans ce paragraphe, on valide notre méthode de calcul en dimension 2 avec un exemplenumérique particulier.On considère un domaine Ω =]0, 1[2 où la perméabilité est symétrique et diagonale telleque Aε(x) = (aij)i,j∈1,2,

a11 = a22 = 3 + cos(2πx

ε)x+ cos(2π

y

ε)y.

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1.9. Résultats numériques 2D

On applique les conditions aux bords suivantes :

∂Ω = ΓD ∪ ΓN , uε|ΓD

= 0 et Aε(x) ∇uε.−→n |ΓN= −1.

Le maillage associé au problème microscopique contient 800 triangles, le nombre de som-mets associés est N = 400. On a utilisé le même maillage pour les problèmes macrosco-pique et microscopique. Le calcul est eectué avec le Logiciel FreeFem++ (voir [32]) enchoisissant les éléments nis P1.

0 1

1

Ω

Figure 1.4 Domaine Ω

32

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1.9. Résultats numériques 2D

1.9.1 Résultats des bases réduites

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Figure 1.5 Les 40 plus grandes valeurs propres des matrices de corrélation((w1(xi, .), w1(xj, .))X )ij et de ((w2(xi, .), w2(xj, .))X )ij , 1 ≤ i, j ≤ 2

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Figure 1.6 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique, max16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

‖ wi(xk, .) ‖Xen fonction du nombre de bases, avec p = 50 , wi(xk, .) calculée par la méthode des élémentsnis

33

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1.9. Résultats numériques 2D

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Figure 1.7 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i62,xk∈D

‖ wi(xk, .)− wiN(xk, .) ‖X‖ wi(xk, .) ‖X

(gure gauche) et max16i62,xk∈D

|sij(xk)− sNij (xk)||sij(xk)|

(gure droite) en fonction du nombre de bases, où wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées parla méthode des éléments nis

NB hY NY partie oine N hhom NI BR pour A∗ EF pour A∗

10 0.1 100 0.76s 121 0.1 320 0.15s 2.24s

10 0.05 400 2.84s 121 0.1 320 0.15s 9.14s

10 0.1 100 0.76s 10201 0.01 30200 13.74s 207.13s

10 0.05 400 2.86s 10201 0.01 30200 13.74s 822.22s

Table 1.1 Tableau des vitesses

La gure 1.6 décrit la variation en échelle logarithmique de l'erreur relative maximale

max16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

‖ wi(xk, .) ‖Xpar rapport à la variation de N(nombre de bases). On remarque

que l'erreur décroit avec N . De même pour la gure 1.7 qui décrit la variation en échelle

logarithmique de‖ wi(xk, .)− wiN(xk, .) ‖X

‖ wi(xk, .) ‖Xet|sij(xk)− sNij (xk)|

|sij(xk)|par rapport à la varia-

tion de N(nombre de bases), les deux erreurs décroissent considérablement avec N . Maisl'erreur de la matrice s décroit 2 fois plus rapidement d'après (1.41) et (1.44).

Dans le tableau 1.1, on dénit :

a) NB : le nombre de bases.

b) hY : le pas de maillage correspondant à la cellule microscopique.

c) NY : le nombre de degré de liberté dans la cellule.

d) partie oine : le temps du calcul des bases.

34

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1.9. Résultats numériques 2D

e) N : le nombre de degréS de liberté dans Ω.

f) hhom : le pas du maillage du problème macroscorique.

g) NI : le nombre des points d'intégration.

h) BR pour A∗ : le temps calcul du problème macroscopique en utilisant la méthodedes bases réduites.

i) EF pour A∗ : le temps de calcul en utilisant la méthode directe des éléments nis.

D'après ce tableau, on remarque bien que la méthode des bases réduites est largement plusrapide que la méthode des éléments nis, d'où l'avantage de cette méthode. A remarquerde plus que la partie oine dépend seulement du maillage microscopique tandis que lapartie online dépend la partie macroscopique.

Enn, pour valider les résultats, on a calculé en chaque point d'intégration la fonctiond'eectivité :

ηi(x) =∆N(wi(x, .))

‖ wi(x, .)− wiN(x, .)) ‖X ′

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Figure 1.8 max16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge, en fonction

du nombre de bases

On voit bien, d'après la gure 1.8 qu'on a : 1 ≤ ηi(x) ≤ 3 avec αA = minx(a11) =1 et γ−1

A = maxx(a11) = 3 qui vérie l'inégalité (1.43).

35

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1.10. Résultats numériques 3D

1.9.2 Pression et vitesse

Figure 1.9 Champs de pression Figure 1.10 Champs de vitesse

La gure 1.9 représente la solution du problème (1.14) pour n = 2 et on remarque quele ux de la vitesse dans la gure 1.10 est dirigé des hautes pressions vers les bassespressions.

1.10 Résultats numériques 3D

Dans ce paragraphe, on valide notre méthode de calcul en dimension 3 avec un exemplenumérique particulier . On considère un domaine Ω =]0, 1[3 où la perméabilité est symé-trique et diagonale telle que Aε(x) = (aij)i,j∈1,3,

a11 = a22 = a33 = 4 + cos(2πx

ε)x+ cos(2π

y

ε)y + cos(2π

z

ε)z

On applique les conditions aux limites de Neumann Aε(x) ∇uε.−→n |ΓN= −1, sur la face

(x=1) et de Dirichlet uε|ΓD= 0 sur les autres faces .

1.10.1 Résultats des bases réduites

Dans cette section, on a suivi les mêmes étapes que dans la section précédente. Le maillageassocié au problème microscopique contient 48000 triangles, le nombre de sommets associéest N = 9261. Pour le calcul, on utilise le Logiciel FreeFem++ en choisissant les élémentsnis P1.

36

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1.10. Résultats numériques 3D

1e-12

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Figure 1.11 Les 40 plus grandes valeurs propres des matrices de corrélation((w1(xi, .), w1(xj, .))X )ij et de ((w2(xi, .), w2(xj, .))X )ij , 1 ≤ i, j ≤ n.

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 5 10 15 20 25

Figure 1.12 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique,

max16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

‖ wi(xk, .) ‖Xen fonction du nombre de bases, avec p = 50 , wi(xk, .)

calculée par la méthode des éléments nis.

37

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1.10. Résultats numériques 3D

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 5 10 15 20 25-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 5 10 15 20 25

Figure 1.13 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i63,xk∈D

‖ wi(xk, .)− wiN(xk, .) ‖X‖ wi(xk, .) ‖X

(gure gauche) et max16i63,xk∈D

|sij(xk)− sNij (xk)||sij(xk)|

(gure droite) en fonction du nombre de bases, où wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées parla méthode des éléments nis.

NB hY NY partie oine N hhom NI BR pour A∗ EF pour A∗

10 0.2 125 20.6 s 216 0.2 3000 1.505 s 137.706 s

10 0.1 1000 161.747 s 216 0.2 3000 1.502 s 1098.5 s

10 0.2 125 20.44 s 9261 0.05 192000 95.493 s 8794.78 s

10 0.1 1000 161.272 s 9261 0.05 192000 95.415s 70037.2 s

Table 1.2 Tableau des vitesses

La gure 1.12 décrit la variation en échelle logarithmique de l'erreur relative maximale

max16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

‖ wi(xk, .) ‖Xpar rapport à la variation de N(nombre de bases). On remarque

que l'erreur décroit avec N .De même pour la gure 1.13 qui décrit la variation en échelle logarithmique de‖ wi(xk, .)− wiN(xk, .) ‖X

‖ wi(xk, .) ‖Xet|sij(xk)− sNij (xk)|

|sij(xk)|par rapport à la variation de N(nombre

de bases), les deux erreurs décroissent considérablement avec N . De même l'erreur de lamatrice s décroit 2 fois plus rapidement.

Les éléments de la première ligne du tableau 1.2 sont dénis dans la sous-section 1.9.1Enn, pour garantir les résultats, on a calculé en chaque point d'intégration la fonction

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1.10. Résultats numériques 3D

d'eectivité :

ηi(x) =∆N(wi(x, .))

‖ wi(x, .)− wiN(x, .)) ‖X ′

On remarque bien, d'après la gure 1.14 qu'on a : 1 ≤ ηi(x) ≤ 4 avec αA = minx(a11) =1 et γ−1

A = maxx(a11) = 4 qui vérie l'inégalité (1.43)

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20

Figure 1.14 max16i63,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i63,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge, en fonc-

tion du nombre de bases

1.10.2 Pression et vitesse

La gure 1.15 représente la solution du problème (1.14) pour n = 3 et la gure 1.16représente la vitesse correspondante.

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1.10. Résultats numériques 3D

Figure 1.15 Champs de pression homogénéisée

Figure 1.16 Vecteurs de vitesse

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Chapitre 2

Modélisation microvasculaire

Sommaire

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2 Milieu poreux aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Application de la méthode des bases réduites . . . . . . . 47

2.3.1 Méthode d'interpolation empirique : . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2 Nouveau produit scalaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3 Calcul de l'estimation a posteriori en 2D : . . . . . . . . . 51

2.3.4 Résultats numériques en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.5 Cacul de l'estimation a posteriori en 3D : . . . . . . . . . . 61

2.3.6 Résultats numériques en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

41

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2.1. Introduction

2.1 Introduction

L'objectif de ce chapitre est de modéliser l'écoulement du sang dans les capillaires montrésdans la gure ci-dessous, en appliquant l'homogénéisation aléatoire.

Tout d'abord, on modélise l'écoulement par un milieu poreux aléatoire, où l'obligationd'utiliser des valeurs de perméabilité presque nulle, dans certaines zones du domaine im-plique que la constante de coercivité αA est presque nulle et dans ce cas l'estimation a pos-teriori dénie dans le théorème 1.8.3 n'est plus pertinente. Pour remédier à ce problème,nous introduisons un nouveau produit scalaire qui nous permet de rendre la méthode desbases réduites plus pertinente.Une des dicultés rencontrées est de ne pas pouvoir utiliser les relations (1.55) à causede la non anité de la perméabilité, on utilise donc la méthode d'interpolation empiriquepour étendre l'approche à la résolution de ce problème.A la n du chapitre, nous présentons des résultats des simulations numériques où onmontre l'ecacité des changements introduits.

2.2 Milieu poreux aléatoire

Comme on l'a déjà expliqué dans le chapitre 1, les homogénéisations périodique et lo-calement périodique sont utilisées pour déterminer des caractéristiques mécaniques d'unmatériau homogène équivalent à un matériau considéré comme réunion de cellules toutestranslatées d'une même cellule de base Y . Tandis que dans l'homogénéisation périodiqueles caractéristiques mécaniques restent les mêmes dans toutes les cellules, dans l'homo-généisation localement périodique celles ci varient légèrement d'une manière périodiqued'une cellule à l'autre. Dans ce chapitre, le but est de construire un milieu poreux où lesvolumes des pores varient aléatoirement dans chaque cellule. Pour cela, on va se servirdes problèmes cellules qui permettent de dénir une perméabilité creuse diérente danschaque cellule. Cette perméabilité est construite comme la somme des fonctions normales

42

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2.2. Milieu poreux aléatoire

(2.1). En la faisant varier de manière microscopique, ceci nous permet d'obtenir un do-maine poreux macroscopique .

Soit Λ = [0, 1]n la cellule dans laquelle la perméabilité K est diagonale. Dans ce chapitre,nous considérons le modèle suivant :

(2.1) Kii(y1, y2..., yn) =1

σ√

∑1≤k≤n

e−

1

2(yk − µσ

)2

+ ς ∀1 ≤ i ≤ n

qui traduit le fait que la perméabilité est représentée par une loi normale de moyenne µ etd'écart type σ. Dans ce cas, l'écoulement du uide sera réprésenté par les gures 2.1 et 2.2où les parties colorées indiquent les pores (perméabilité diérente de 0) dans lesquels il y aun écoulement contrairement aux parties blanches où la perméabilité est proche de 0. Eneet, le choix de σ conditionne les dimensions du pore qui s'élargit avec l'augmentationde σ. De plus, ς est un réel très petit qui représente les parties de la cellule où il n'y apas d'écoulement. Pour illustrer numériquement ce choix, on considère le cas particulieroù (y1, y2, ..., yn) ∈ [0, 1]n,σ = 0.07, µ = 0.5 ,0 < ς << 1.

Figure 2.1 Variation de K dans la cellule Λ en 2D

Pour se rapprocher des lits capillaires, il reste à rendre ce milieu aléatoire. Il sut de fairevarier K dans chaque cellule en introduisant la fonction φθy dénie dans (2.2)

(2.2) φθy(y) = −2θy3 + 3θy2 + (1− θ)y

avec θ un réel aléatoire appartenant à l'intervalle ]− 2.1[.A remarquer que cette dernière fonction est à valeurs dans [0, 1], d'où, pour chaque θ xé,elle envoie [0, 1] sur [0, 1].

Lemme 2.2.1. La fonction φθy est bijective pour θ appartenant à ]-2.1[.

43

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2.2. Milieu poreux aléatoire

Figure 2.2 Variation de K dans la cellule Λ en 3D

Preuve :

Il sut de remarquer que la dérivée de la fonction φθy :

φ′

θy = −6θy2 + 6θy + (1− θ)

est positive pour tout θ ∈]− 2.1[ et pour tout y ∈ [0, 1] comme l'indique la gure 2.3.

-2

-1

0

1

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

θ

y

Ф’θy

Figure 2.3 La fonction φ′θy en fonction de y et θ

2.

On note ψθ(y1, y2, ...., yn) = (φθy(y1), φθy(y2), ......, φθy(yn)).Pour avoir la solution uε du problème (1.2), on doit tout d'abord calculer ces problèmescellules (1.18) en appliquant la méthode des bases reduites (décrite au chapitre 1 para-graphe 1.8) :

44

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2.2. Milieu poreux aléatoire

Pour tout i ∈ 1, .., n

(2.3)

−div(Kθ(y)(ei +∇ywi(θ, y))) = 0 ∀y ∈ Y = [0, 1]n

wi ∈ H1] /R,

avec

Kθ(y) = K ψθ(y), (Kθ)ii(y) =1

σ√

∑1≤k≤n

e−

1

2(φθy(yk)− µ

σ)2

+ ς.

Figure 2.4

Dans ce cas, comme l'indique la gure 2.4 (en dimension 2), à chaque point d'intégrationde Ω, on choisit aléatoirement une valeur de θ comprise dans ] − 2, 1[, pour avoir un Kdiérent. Ceci se traduit par le fait que dans chaque cellule, la dimension des pores estdiérente. Si θ est proche de −2, les pores se dilatent et par conséquent le débit devientplus fort. Lorsque θ est proche de 1, les pores se rétrécissent et le débit devient faible.Avec cette construction de perméabilité, le débit sera réparti diéremment dans chaquecellule représentant l'ecoulemnet sanguin dans un lit capillaire.Les gures 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, et 2.10 montrent la variation de la vitesse dans des cellulesdiérentes ayant chacune une porosité diérente.

45

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2.2. Milieu poreux aléatoire

Figure 2.5 K−2Figure 2.6 Vitesse dans une cel-lule de perméabilité K−2

Figure 2.7 K−0.5Figure 2.8 Vitesse dans une cel-lule de perméabilité K−0.5

Figure 2.9 K1Figure 2.10 Vitesse dans une cel-lule de perméabilité K1

46

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

2.3 Application de la méthode des bases réduites

2.3.1 Méthode d'interpolation empirique :

Soient N un entier plus grand que 1, (ζk)1≤k≤N les bases réduites construites d'aprèsl'algorithme 4 du chapitre 1 avec une estimation a posteriori qu'on va calculer dans lasous-section prochaine, XN l'espace engendré par les bases réduites (ζk)1≤k≤N et wiN lasolution de ce problème variationnel de l'équation (2.3), pour tout 1 ≤ i, j ≤ n :

(2.4)

∫Y

Kθ(y)∇ywi(θ, y)∇v = −∫Y

Kθ(y)ei∇v ∀v ∈ XN

et

(2.5) A∗Nij(x) =

∫Y

Kθ(y)(ei +∇ywiN(x, y)).ejdy

où A∗Nij sont les coecients de la matrice homogénéisée.

Malheureusement, le fait que Kθ(y) n'est pas ane, ne permet pas d'appliquer une procé-dure ecace dans les parties oine et online de la construction des bases. Par conséquent,bien que la dimension du système (2.4) soit de petite taille, le calcul de (2.4) et (2.5) esteectivement coûteux.Pour remédier à cela, on va introduire pour tout y ∈ Y l'ensemble U = Kθ(y), θ ∈]−2, 1[et on va appliquer la méthode d'interpolation empirique sur U (voir [45]). L'interpolationconsiste à approcher Kθ(y) par une fonction ane en θ qui dépend de la valeur K en uncertain nombre de points (θj, yi) ∈]− 2, 1[×[0, 1], 1 ≤ i, j ≤Mmax, qu'on dénira dans lasuite. Ceci nous permettera de pré-calculer les parties indépendantes des paramètres θkpour gagner en temps de calcul dans la partie online.Pour qu'on puisse appliquer cette méthode numériquement, on commence par introduirel'ensemble Up = Kθk(y), θk ∈ T avec1 ≤ k ≤ p avec p un entier donné susammentgrand et T est un échantillon discret des paramètres distribués uniformément dans ]−2, 1[.Ensuite, on extrait à partir de ces points θk des points θi, 1 ≤ i ≤Mmax ≤ p tels que pourchaque θk, on cherche à approcher Kθk(y) par la connaissance de θi et yj, où yj ∈ TM unensemble ni de points d'interpolation dans Y .

La construction des paramètres θi et yj se fait de la manière suivante :on commence par calculer

θ1 = arg max1≤k≤p

||Kθk(.)||L∞(Y ),

puis, on dénit le premier point d'interpolation y1 = arg maxy∈Y|Kθ1

(y)| et on pose :

q1(y) =Kθ1

(y)

Kθ1(y1)

∀y ∈ Y.

47

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Maintenant, on va construire l'ensemble des points d'interpolation TM = y1, y2, y3, ...yMet l'ensemble des bases q1, q2, ...qM avec M ∈ [1,Mmax].

Ensuite, pour chaqueM = 2, ...,Mmax, en supposant que la matrice d'éléments qj(yi) estinversible, on résout pour chaque 1 ≤ k ≤ p le système linéaire :

M−1∑j=1

qj(yi)αkM−1,j = Kθk(yi), pour tout i=1,...,M-1

et on calcule

IM−1[Kθk(.)] =M−1∑j=1

αkM−1,jqj(.).

PosonsEM−1(θk)) = ||Kθk(.)− IM−1[Kθk(.)]||L∞(Y ).

Pour tout 1 ≤ k ≤ p, on dénit :

θM = arg maxθk∈TEM−1(θk).

etyM = arg max

y∈Y|KθM

(y)− IM−1[KθM(y)]|.

Finalement, posons rM(y) = KθM(y)− IM−1[KθM

(y)] et qM =rM

rM(yM)et introduisons la

matrice :

BMij = qj(xi), 1 ≤ i, j ≤M.

Les fonctions Langrangiennes sont utilisées pour construire l'opérateur d'interpolation IMdans XM = spanqi, 1 ≤ i ≤ M de la manière suivante : pour tout M donné et pourchaque 1 ≤ k ≤ p,

IM−1[Kθk(.)] =M∑i=1

Kθk(yi)hMi (.)

hMi (.) =M∑j=1

qj(.)[BM ]−1

ji .

D'où IM [Kθk(.)] est la fonction ane qui est l'approximation de Kθk(.).

48

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Lemme 2.3.1. Supposons que Mmax <M, donc pour tout M ≤ Mmax , l'espace XM =vectq1, q2, ..qM est de dimension M . En plus, la matrice BM est triangulaire inférieureet avec des 1 sur la diagonale donc elle est inversible.

Pour la démonstration, voir [45].Le tableau suivant illustre l'erreur maximale entre la perméabilité exacte et la pérméabi-lité approchée par la méthode d'interpolation empirique suivant les valeurs de M .

M EM−1(K(θM , yM)) dans 2D EM−1(K(θM , yM)) dans 3D

2 1.612× 10−1 2.418× 10−1

3 9.122× 10−3 1.368× 10−2

4 1.356× 10−3 2.033× 10−3

5 1.219× 10−4 1.828× 10−4

6 41.281× 10−5 1.922× 10−5

7 3.410× 10−7 5.115× 10−7

8 1.295× 10−8 1.942× 10−8

9 1.611× 10−9 2.416× 10−9

10 9.016× 10−11 1.352× 10−10

11 1.118× 10−12 1.668× 10−12

12 1.472× 10−13 2.204× 10−13

13 4.263× 10−14 4.796× 10−14

2.3.2 Nouveau produit scalaire :

Dans ce paragraphe, on va chercher le coecient de coercivité αA an de pouvoir calculerl'estimation a posteriori correspondante à la méthode des bases réduites.

D'après la dernière forme introduite de K11, on a :

miny∈[0,1]n

K11(y) = ς

On déduit l'inégalité suivante :

(2.6)

∫Ω

K∇v∇v = |∫

Ω

n∑ij

Kij∂v

∂xj

∂v

∂xi| ≥ ς||∇v||2L2(Ω) ≥ Cp.ς||v||2X

49

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Où Cp est la constante de Poincaré. Ce qui nous permet de calculer le coecient de coer-civité αA = ς.Cp, avec 0 < ς << 1.

Puisque αA est assez petit, l'utilisation de l'estimation du Théorème 1.8.3 va nous donnerdes résultats non pertinents. Pour remedier à ce problème, on va introduire un nouveauproduit scalaire :

(2.7)

Pour tout u, v ∈ X = H1

] (Λ)/R,

[[u, v]]X =

∫Λ

(K∇u∇v)

On verra par la suite que la nouvelle forme bilinéaire introduite a(u, v, θ), pour toutu, v ∈ X et θ ∈]−2, 1[, peut être écrite sous la forme de l'intégrale du produit des fonctionsdans la cellule de référence et que la constante de coercivité, avec ce nouveau produit sca-laire est indépendante de ς. Il en résulte que la norme duale de gi(wiN(θ, .), .; θ), ∀1 ≤ i ≤ n(1.38) est uniforme par rapport à la norme associée au nouveau produit scalaire. Par consé-quent, on peut introduire une estimation a posteriori de la sortie (s) uniforme par rapportà [[.]]X .

Lemme 2.3.2. Pour tout u et v ∈ X ,on pose u = u ψ−1θ et v = v ψ−1

θ , avec ψθ =

(φθy, φθy2) et on dénit a(u, v; θ) =

∫Y

K∇u.∇v. Pout tout θ, on a :

En 2D :

a(u, v; θ) =

∫Λ

K11 dy1(u).dy1(v).((φ−1θy )′(y1))3.(φ−1

θy )′(y2)

+

∫Λ

K22 dy2(u).dy2(v).(φ−1θy )′(y1).((φ−1

θy )′(y2))3

En 3D :

a(u, v; θ) =

∫Λ

K11 dy1(u).dy1(v).((φ−1θy )′(y1))3.(φ−1

θy )′(y2).(φ−1θy )′(y3)

+

∫Λ

K22 dy2(u).dy2(v).(φ−1θy )′(y1).((φ−1

θy )′(y2))3.(φ−1θy )′(y3)

+

∫Λ

K33 dy2(u).dy2(v).(φ−1θy )′(y1).(φ−1

θy )′(y2).((φ−1θy )′(y3))3.

50

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Démonstration : Pour n = 2,

a(u, v; θ) =

∫Y

Kθ(y)∇u.∇v =

∫Y

(K ψθ).∇u.∇v

=

∫Λ

(K ψθ ψ−1θ ). ((∇u) ψ−1

θ ).((∇v) ψ−1θ ).|J |

=

∫Λ

K.((∇u) ψ−1θ ).((∇v) ψ−1

θ )(φ−1θy )′(y1)(φ−1

θy )′(y2)

=

∫Λ

K J .∇ψ−1(u ψ−1θ ).J .∇ψ−1(v ψ−1

θ ).(φ−1θy )′(y1).(φ−1

θy )′(y2)

=

∫Λ

KJ .∇u.J .∇v.(φ−1θy )′(y1)(φ−1

θy )′(y2)

=

∫Λ

K11 dy1(u).dy1(v).((φ−1θy )′(y1))3.(φ−1

θy )′(y2)

+

∫Λ

K22 dy2(u).dy2(v).(φ−1θy )′(y1).((φ−1

θy )′(y2))3

avec J la matrice jacobienne de ψ−1θ , |J | = (φ−1

θy )′(y1).(φ−1θy )′(y2) , ∇ψ−1 le gradient par

rapport ψ−1θ , u et v ∈ X .

Même calcul pour le cas 3D. 2.

2.3.3 Calcul de l'estimation a posteriori en 2D :

On dénit l'estimateur a postériori suivant :

∆β(θ) =‖ a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ) ‖X ′

(βA)4

Théorème 2.3.3. La fonction d'eectivité dénie par :

(2.8) ηiβ(θ) =∆β(wi(θ, .))

‖ wi(θ, .)− wiN(θ, .))|||Xsatisfait l'inégalité suivante :

(2.9) 1 ≤ ηiβ(θ) ≤ (ζA)4

(βA)4

51

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

où ζA = maxy1∈[0,1]

φ−1′θy(y1) = max

y2∈[0,1]φ−1′

θy(y2) et βA = miny1∈[0,1]

φ−1′θy(y1) = min

y2∈[0,1]φ−1′

θy(y2)

Démonstration :Tout d'abord, on a :

(2.10) a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), v; θ) = fi(v; θ)− a(wiN(θ, y), v; θ) ∀v ∈ X

Rappelons la dénition de la forme bilinéaire paramétrisée gi dans X × X , tel que pourtout θ dans ]− 2, 1[ et 1 ≤ i ≤ 2

gi(u, v; θ) = a(u, v; θ)− fi(v; θ) ∀(u, v) ∈ (X × X )

(2.11)gi(wiN(θ, .), v; θ) = a(wiN(θ, .), v; θ)− a(wi(θ, .), v; θ)

= a(wiN(θ, .)− wi(θ, .), v; θ)

D'après le lemme 2.3.2, la coércivité de la forme linéaire a nous permet d'obtenir cetteinégalité :

(βA)4[[u]]2X ≤ a(u, u; θ).

Remplaçons u par wi(θ, .) − wiN(θ, .) et pour simplier les notations, posons [[u]]2X ≡|||u|||2X . On aura :

(βA)4|||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||2X ≤ |a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wi(θ, .)− wiN(θ, .); θ)|

D'où

(βA)4|||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||X ≤ |a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wi(θ, .)− wiN(θ, .); θ)||||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||X

≤ |gi(wiN(θ, .), wi(θ, .)− wiN(θ, .); θ)||||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||X

≤ supv∈X

|g(wiN(θ, .), v; θ)||||v|||X

≤ |||gi(wiN , .; θ)|||X ′ .

Nous obtenons alors la relation suivante :

(2.12) (βA)4|||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||X ≤ |||gi(wiN , .; θ)|||X ′ .

52

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

La continuité de la forme linéaire a nous permet d'obtenir cette inégalité :Pour tout u ∈ X , v ∈ X ,

a(u, v; θ) ≤ (ζA)4|||u|||X |||v|||Xd'où

|gi(wiN(θ, .), v; θ)| = |a(wiN(θ, .)− wi(θ, .), v; θ)|

≤ (ζA)4|||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||X |||v|||XNous obtenons alors :

|gi(wiN(θ, .), v; θ)||||v|||X

≤ (ζA)4|||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||X

et ensuite

(2.13) |||gi(wiN , .; θ)|||X ′ ≤ (ζA)4|||wi(θ, .)− wiN(θ, .)|||X .

De plus

(2.14) ηiβ(θ) =∆β(wi(θ, .))

‖ wi(θ, .)− wiN(θ, .))|||X=

‖ gi(wiN , .; θ)|||X ′(βA)4|||wi(θ, .)− wiN(θ, .))|||X

.

Donc d'après (2.12) et (2.13), on a :

1 ≤ ηiβ(θ) ≤ (ζA)4

(βA)4

2.

Théorème 2.3.4. Avec ce nouveau produit scalaire, l'estimation (1.22) devient :

(2.15)

| sij(θ)− sNij(θ) |≤ ∆βij,N(θ)

avec :

∆βij,N(θ) =

|||a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ)|||X ′|||a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ)|||X ′(βA)4

.

Démonstration : D'après la dénition de la matrice s et la linéarité de la fonction fon a :

(2.16)|sij(θ)− sNij (θ)| = |fj(wi(θ, .)− wiN(θ, .))|

= |a(wj(θ, .), wi(θ, .)− wiN(θ, .); θ)|.

53

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Or la matrice A(θ, y) est symétrique d'où a est symétrique.

On a

(2.17) |a(wj(θ, .), wi(θ, .)− wiN(θ, .); θ)| = |a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wj(θ, .); θ)|.

De plus, comme wjN(θ, .) ∈ XN|a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wjN(θ, .); θ)| = 0

D'où(2.18)

|a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wj(θ, .); θ)| = |a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wj(θ, .)− wjN(θ, .); θ)|

D'aprés les équations (2.16), (2.17) et (2.18), on obtient :

(2.19) |sij(θ)− sNij (θ)| = |a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wj(θ, .)− wjN(θ, .); θ)|

Ensuite on a :

(2.20)|a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wj(θ, .)− wjN(θ, .); θ)|

≤ |||a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ)|||X ′|||wj(θ, .)− wjN(θ, .)|||Xet(2.21)

|||a(wj(θ, .)− wjN(θ, .), .; θ)|||X ′ ≥|a(wj(θ, .)− wjN(θ, .), wj(θ, .)− wjN(θ, .); θ)|

|||wj(θ, .)− wjN(θ, .)|||X

≥ (βA)4|||wj(θ, .)− wjN(θ, .)|||X .

Cela implique que

(2.22) |||wj(θ, .)− wjN(θ, .)|||X ≤1

(βA)4|||a(wj(θ, .)− wjN(θ, .), .; θ)|||X ′ .

D'après (2.20) et (2.22), on a :(2.23)

|a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), wj(θ, .)− wjN(θ, .); θ)| ≤ |||a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ)||||X ′∆N(wj(θ, .))

≤ (βA)4∆N(wi(θ, .))∆N(wj(θ, .)).

Enn, on obtient le résultat qu'on cherchait :

|sij(θ)− sNij (θ)| ≤ (βA)4∆N(wi(θ, .))∆N(wj(θ, .)).

2.

54

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

2.3.4 Résultats numériques en 2D

Pour la validation numérique, on prend Ω =]0, 1[2, θ ∈ [−0.4, 0.4] (à l'intérieur du cercle),

on obtient (ζAβA

)4 = 26 et la répartition de la perméabilité est expliquée dans la gure

2.11.

Figure 2.11 Domaine Ω

Les conditions aux bords utilisées sont :uε = 0 sur Γ1, Kθ∇uε.−→n = 0 sur Γ3 et Kθ∇uε.−→n = 1 sur Γ2. On utilise le logicielFreeFem++ pour la simulation numérique avec la méthode des éléments nis P1.Ensuite, on va comparer les valeurs des erreurs, en échelle logarithmique, de l'estimation a

posteriori de la solution avec le nouveau produit scalaire max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xet l'es-

timation a posteriori de la solution avec l'ancien produit scalaire max16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X.En plus, on va présenter les 40 plus grandes valeurs propres de la matrice de correla-tion des solutions cellules pour vérier la convergence rapide, puis on va acher dansun tableau le temps de calcul de la matrice homogénéisée eectué par la méthode desbases réduites et la méthode des éléments nis et ensuite on va présenter des gures quireprésentent la pression homogénéisée, la vitesse dans un milieu poreux pour ε petit etles valeurs maximales et minimales de la fonction d'eectivité en fonction du nombre debases, pour conrmer l'inégalité (2.25).

55

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

100

10000

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Figure 2.12 Valeurs propres de la matrice de corrélation de w1 et w2

Figures des erreurs pour ς = 10−10 :

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.13 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique,

max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e − 10, wi(θk, .)

calculé par la méthode des éléments nis

56

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.14 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure gauche) et max16i62,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure

droite), en fonction du nombre de bases où ς = 10−10, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculés parla méthode des éléments nis

Figures des erreurs pour ς = 10−14 :

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.15 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique,

max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e − 14, wi(θk, .)

calculé par la méthode des éléments nis

57

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.16 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure gauche) et max16i62,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure

droite), en fonction du nombre de bases où ς = 10−14, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculés parla méthode des éléments nis

Comparaison entre les résultats obtenus en utilisant les deux produits scalaires

dénis dans ce chapitre

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.17 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure droite) et max

16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure gauche),

en fonction du nombre de bases où ς = 1e − 10, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculés par laméthode des éléments nis

58

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.18 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure droite) et max

16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure gauche),en

fonction du nombre de bases où ς = 1e − 14, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculés par laméthode des éléments nis

Comme dans le précédent chapitre, les gures 2.13 à 2.15 montrent que les erreurs dé-croissent considérablement en fonction du nombre de bases N et elles ne sont pas inuen-cées par la valeur de ς .

De même, les gures 2.13 à 2.15 représentent chacune les deux erreurs max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xet max

16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||Xpour des diérentes valeurs de ς, on observe que ses courbes

décroissent en fonction du nombre de bases N . On remarque aussi que les valeurs, enéchelle logarithmique, de l'erreur de la matrice décroissent 2 fois plus rapidement quel'erreur de la solution.

Les gures 2.17 et 2.18 comparent les erreurs des solutions en utilisant les 2 produitsscalaires. Pour ς = 10−10, l'erreur des solutions bidimensionnelles calculées par le nouveauproduit scalaire converge vers 10−4.5 tandis qu'avec l'autre produit scalaire, elle convergevers 105. Pour ς = 10−14, l'erreur des solutions calculées par le nouveau produit scalaireconverge vers 10−4.5 tandis qu'avec l'autre produit scalaire, elle converge vers 108.5. D'oùl'avantage de cette méthode.

59

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Pression et vitesse

Figure 2.19 Pression Figure 2.20 Vitesse

La gure 2.19 représente la solution du problème homogénéisé en 2D dont la perméabilitéest dénie par (2.5) et la gure 2.20 représente la vitesse correspondante.

Tableau des vitesses :

NB hY NY partie oine N hhom NI BR pour A∗ EF pour A∗

5 0.1 100 1.17 s 121 0.1 148 0.017s 0.764s

5 0.05 400 5.62 s 121 0.1 148 0.018s 3.011s

5 0.1 100 1.476 s 10201 0.01 15056 1.810s 64.604s

5 0.05 400 5.93s 10201 0.01 15056 1.816s 263.945s

Dans ce tableau, on compare le temps CPU de la méthode des éléments nis et la méthodedes bases réduites en 2D et on remarque bien que la méthode des bases réduites est lar-gement plus rapide que la méthode des éléments nis, d'où l'avantage de cette méthode.A remarquer de plus que la partie oine dépend seulement du maillage microscopiquetandis que la partie online dépend seulement de la partie macroscopique.

Enn, pour la fonction d'eectivité calculée en chaque point d'intégration

ηiβ(θ) =∆β(wi(θ, .))

‖ wi(θ, .)− wiN(θ, .))|||X ′

60

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

et vériant l'inégalité (2.3.6), on remarque bien qu'on a :

1 ≤ ηi(x) ≤ 26

0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.21 max16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge

2.3.5 Cacul de l'estimation a posteriori en 3D :

Avec ce nouveau produit scalaire, dénissons l'estimateur a posteriori :

∆β(θ) =‖ a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ) ‖X ′

(βA)5

Théorème 2.3.5. La fonction d'eectivité dénie par :

(2.24) ηiβ(θ) =∆β(wi(θ, .))

‖ wi(θ, .)− wiN(θ, .))|||X

satisfait l'inégalité suivante :

(2.25) 1 ≤ ηiβ(θ) ≤ (ζA)5

(βA)5,

où ζA = maxy1∈[0,1]

φ−1′θy(y1) = max

y2∈[0,1]φ−1′

θy(y2) et βA = miny1∈[0,1]

φ−1′θy(y1) = min

y2∈[0,1]φ−1′

θy(y2)

61

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Théorème 2.3.6. Avec le nouveau produit scalaire (2.7), l'estimation (1.22) devient :

(2.26)

| sij(θ)− sNij(θ) |≤ ∆βij,N(θ)

avec :

∆βij,N(θ) =

|||a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ)|||X ′|||a(wi(θ, .)− wiN(θ, .), .; θ)|||X ′(βA)5

.

2.3.6 Résultats numériques en 3D

Pour la validation numérique, on prend Ω =]0, 1[3, θ ∈ [−0.4, 0.4], on obtient (ζAβA

)5 = 60.

En suivant les mêmes étapes que dans le cas bidimensionnel, on a varié la pérméabilité àl'intérieur d'une sphère de centre (0.5,0.5,0.5) et de rayon 0.4 qui sera le milieu poreux.Cette dernière est liée à deux cylindres représentant une artère et une veine. Concernantles conditions aux bords, on a appliqué sur une section (de surface S = 0.3) du planx = 1, la condition de Neumann : Kθ∇uε.−→n = 1, sur une autre section sur le plan x = 0la condition de Dirichlet : uε = 0 et sur la partie qui reste :Kθ∇uε.−→n = 0.

On utilise le logiciel FreeFem++ pour la simulation numérique avec la méthode des élé-ments nis P1.

Dans ce paragraphe, on va présenter les mêmes gures des erreurs que la section précédente(les gures 2.12 à 2.18), les 40 plus grandes valeurs propres de la matrice de correlationdes solutions cellules et les valeurs maximales et minimales de la fonction d'eectivité enfonction du nombre de bases en 3D. En plus, on va présenter un tableau de temps de calculde la matrice homogénéisée eectué par la méthode des bases réduites et la méthode deséléments nis ainsi les gures qui représentent la pression et la vitesse dans un milieuporeux de 3D pour ε petit.

62

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

1e-10

1e-08

1e-06

0.0001

0.01

1

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Figure 2.22 Valeurs propres de la matrice de corrélation de w1, w2 et w3

Figures des erreurs pour ς = 10−10 :

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.23 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique,

max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e − 10, wi(θk, .)

calculée par la méthode des éléments nis

63

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.24 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure gauche) et max16i63,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure

droite), en fonction du nombre de bases où ς = 10−10, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculés parla méthode des éléments nis

Figures des erreurs pour ς = 10−14 :

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.25 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique,

max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e − 14, wi(θk, .)

calculée par la méthode des éléments nis

64

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.26 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure gauche) et max16i63,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure

droite), en fonction du nombre de bases où ς = 10−14, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculéespar la méthode des éléments nis

Comparaison entre les résultats obtenus en utilisant les deux produits scalaires

dénis dans le chapitre

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.27 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure gauche) et max

16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure droite),

en fonction du nombre de bases où ς = 1e − 10, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées par laméthode des éléments nis

65

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.28 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique,

max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure gauche) et max

16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure droite),

en fonction du nombre de bases où ς = 1e − 14, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées par laméthode des éléments nis

Comme dans le cas bidimensionnel, les gures 2.23 et 2.25 montrent que les erreurs dé-croissent considérablement en fonction du nombre de bases N et elles ne sont pas inuen-cées par la valeur de ς .

De plus, les gures 2.24 et 2.26 représentent chacune les deux erreurs max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xet max

16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||Xpour des valeurs diérentes de ς, on observe que ces courbes

décroissent en fonction du nombre de bases N . On remarque aussi que les valeurs, enéchelle logarithmique, de l'erreur de la matrice décroissent 2 fois plus rapidement ue l'er-reur de la solution. De plus, ces erreurs ne dépendent pas de ς.

Les gures 2.27 et 2.28 comparent les erreurs des solutions en utilisant les 2 produitsscalaires, on peut constater la grande diérence entre les deux. Pour ς = 10−10, l'erreurdes solutions tridimensionnelles calculées par le nouveau produit scalaire converge vers10−4.5 tandis qu'avec l'autre produit scalaire, elle converge vers 105 et pour ς = 10−14,l'erreur des solutions calculées par le nouveau produit scalaire converge vers 10−4.5 et avecl'autre produit scalaire, elle converge vers 108.5. D'où l'avantage de cette méthode.

Tableau des vitesses :

Dans ce tableau, on compare le temps CPU de la méthode des éléments nis et la méthodedes bases réduites en 3D et On remarque bien que la méthode des bases réduites est lar-gement plus rapide que la méthode des éléments nis, d'où l'avantage de cette méthode.A remarquer de plus que la partie oine dépend seulement du maillage microscopique

66

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

tandis que la partie online dépend de la partie macroscopique.

NB hY NY partie oine N hhom NI BR pour A∗ EF pour A∗

5 0.2 125 9.471 s 216 0.2 828 0.129s 40.948 s

5 0.1 1000 75.408 s 216 0.2 828 0.129 s 325.634 s

5 0.2 125 9.48 s 9261 0.05 51492 8.0454 s 2536.15 s

5 0.1 1000 75.41 s 9261 0.05 51492 8.0587 s 20222.8 s

la fonction d'eectivité calculée en chaque point d'intégration

ηiβ(θ) =∆β(wi(θ, .))

‖ wi(θ, .)− wiN(θ, .))|||Xet vériant l'inégalité (2.3.6), on remarque bien qu'on a :

1 ≤ ηi(x) ≤ 60

0

10

20

30

40

50

60

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figure 2.29 max16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge

Pression et vitesse

La gure 2.30 représente la solution du problème homogénéisé en 3D dont la perméabilitéest dénie par (2.5) pour n = 3 et la gure 2.31 représente la vitesse correspondante.

-

67

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Figure 2.30 Pression 68

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2.3. Application de la méthode des bases réduites

Figure 2.31 Vitesse

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Deuxième partie

L'étude du comportement des traceurs

dans les tissus vascularisés

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Chapitre 3

Etude du comportement du traceur

dans un modèle bidimensionnel et

tridimensionnel

Sommaire

3.1 Circulation sanguine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Physiologie de la croissance de la tumeur . . . . . . . . . 73

3.3 Technique d'imagerie : TC et IRM . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4 Diérents modèles pour la modélisation du sang . . . . . 77

3.5 Les hypothèses communes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.6 Modèle 1D du capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.6.1 Problème de transport unidimensionel du traceur . . . . . 81

3.6.2 EDO et données de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.7 Problème de transport bidirectionel et tridirectionel du

traceur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.8 Comparaison 1D, 2D et 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8.1 Variation de S(t) dans les cas canal, 1D, 2D et 3D . . . . . 86

3.8.2 Comparaison entre les cas canal, 1D, 2D et 3D . . . . . . . 90

3.8.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.9 Diérents Modèles de modélisation en 2D . . . . . . . . . 91

71

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3.1. Circulation sanguine

3.1 Circulation sanguine

La circulation sanguine apporte à toutes les cellules de l'organisme la chaleur, l'oxygène etles nutriments dont elles ont besoin. Elle permet également d'éliminer les déchets qu'ellesproduisent. Le sang suit un double trajet dans l'organisme. La circulation pulmonaire,issue du coeur droit, permet les échanges respiratoires avec les poumons. Le sang quittele coeur par l'artère pulmonaire, passe dans les réseaux des capillaires pulmonaires, oùs'eectuent les échanges gazeux avec l'air contenu dans les alvéoles pulmonaires puisretourne au coeur gauche par 4 veines pulmonaires. La circulation générale, issue ducoeur gauche, permet les échanges avec tous les autres organes. Le sang quitte le coeurpar l'aorte, il est conduit dans les capillaires de tous les organes du corps, puis retourneau coeur droit par les veines caves [29].

Figure 3.1 Circulation sanguine

Les artères sont de plus en plus nes en s'éloignant du coeur. Au niveau terminal, dans lesdiérents organes elles deviennent des capillaires sanguins. Les capillaires se regroupenten veinules, puis en veines de plus en plus grosses qui remontent le sang jusqu'au coeur.

Pour atteindre les cellules, les substances nutritives contenues dans le sang doivent d'abordtraverser la paroi des capillaires puis pénétrer dans le liquide interstitiel où les cellulesbaignent. Constituée d'une seule couche de cellules épithéliales, la paroi des capillaires esttrès mince et de ce fait hautement perméable. Ces cellules minces et aplaties permettent letransfert rapide des substances entre le sang et le liquide interstitiel. Le liquide interstitiel aune composition proche de celle du plasma sanguin. Il remplit l'espace entre les capillaires

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3.2. Physiologie de la croissance de la tumeur

sanguins et les cellules. Il facilite les échanges de nutriments et de déchets entre ceux-ci. Lesurplus de liquide interstitiel est drainé par les capillaires lymphatiques où il prend le nomde lymphe qui est un liquide biologique blanchâtre circulant dans le système lymphatiqueavant de rejoindre le sang veineux près du coeur.

3.2 Physiologie de la croissance de la tumeur

Le cancer est une maladie caractérisée par une prolifération cellulaire anormale au seind'un tissu normal de l'organisme. Il désigne toute maladie pour lesquelles certaines cellulesdu corps humain se divisent d'une manière incontrôlée. Les nouvelles cellules résultantespeuvent former une tumeur maligne. An de maintenir ce taux de croissance, la tumeura un besoin plus élevé en oxygène et métabolites délivrés par le sang que les tissus sains.An de s'approvisionner en oxygène et en nutriments, la tumeur imite le mécanisme na-turel de l'organisme pour la création de nouveaux lits capillaires. Le processus décrivantla croissance de nouveaux vaisseaux sanguins à partir de vaisseaux préexistants s'ap-pelle l'angiogénèse. Lorsque le corps a besoin de nouvelles structures microvasculaires,par exemple lors de la cicatrisation d'une blessure, la régénération d'une blessure, la régé-nération des tissus émet le VEGF ([31]) (Vascular endothelial growth factor ), facteur decroissance de l'endothélium vasculaire. Le VEGF sert comme un signal pour le systèmecirculatoire pour débiter plus de sang.Le VEGF est capturé par des récepteurs spéciaux présents sur la membrane des artères àproximité et un nouveau réseau de vaisseaux sanguins commence à croître vers la sourcedu VEGF. Dans le tissu sain, une fois la demande du sang est atteinte et la productiondu VEGF est arrêtée.Le VEGF joue ainsi un rôle important dans la croissance et l'alimentation des tumeurs,par la stimulation du processus de l'angiogenèse ([23]).

3.3 Technique d'imagerie : TC et IRM

Le traitement du cancer repose principalement sur la chirurgie, la radiothérapie et lachimiothérapie. Tous les malades ne vont pas forcément subir ces trois techniques, toutdépend du cancer et du stade auquel il a été découvert.Si la tumeur est maligne, il faut en arrêter la croissance et soigner le patient avant que sonétat de santé ne s'aggrave. En eet, elle produit alors, des métastases qui se propagentdans l'organisme tout entier et altèrent son fonctionnement, provoquant parfois même samort.Ces tumeurs ont une croissance rapide et présentent une forte concentration de cellulestrès endommagées. Dès lors, l'apparition d'un cancer peut prendre très peu de temps et ilfaut alors agir rapidement. Ainsi, lorsque l'on diagnostique un cancer chez un patient, ilest traité immédiatement par chimiothérapie ou radiothérapie, par exemple. On peut aussi

73

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3.3. Technique d'imagerie : TC et IRM

Figure 3.2 VEGF

Figure 3.3 Microcirculation tumorale

74

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3.3. Technique d'imagerie : TC et IRM

procéder à l'ablation de la zone contaminée, an d'éliminer toutes les cellules infectéesprésentes dans l'organisme. Les traitements administrés pour venir en aide aux maladessont souvent lourds et entraînent des eets secondaires indésirables qu'il faut égalementprendre en charge.Certains chercheurs ont découvert de nouvelles cibles pour traiter le cancer en bloquantune étape dans la progression des tumeurs. Cette étape est la création de nouveaux vais-seaux sanguins qui permettent aux tumeurs de se développer et à terme de se propagervers d'autres parties du corps. Cibler la formation des vaisseaux sanguins, l'angiogenèse,promet d'être moins toxique que la chimiothérapie standard qui tue les cellules cancéreusesainsi que les cellules normales. Cette nouvelle tactique est ecace dans le traitement ducancer du sein et dans le cancer du colon avec un médicament, qui inhibe le VEGF .

Pour la découverte et la classication d'une tumeur cancéreuse, le patient doit subircertains examens soit par l' Imagerie par Résonance Magnétique(IRM) soit par La tomo-densitométrie ou (CT). L'IRM est une technique d'imagerie médicale d'apparition récente(début des années 1980) permettant d'avoir une vue 2D ou 3D d'une partie du corps, no-tamment du cerveau. En appliquant une combinaison d'ondes électromagnétiques à hautefréquence sur une partie du corps et en mesurant le signal réémis par certains atomes(comme l'hydrogène), il est possible de déterminer la composition chimique et donc lanature des tissus biologiques en chaque point du volume imagé.Pour les examens par IRM, il sera nécessaire d'avoir un liquide de contraste injecté dansune veine qui permettra de montrer la zone d'intérêt plus clairement et d'aider le radio-logue pour voir comment cette partie du corps fonctionne.Cet agent de contraste a la propriété de réduire les temps de relaxation longitudinale(T1) et transversale (par eet T2*) des tissus avoisinants, permettant ainsi la créationd'un signal plus important en T1. Ce signal récupéré et traité par un logiciel informatiquedonnera une image plus contrastée. Ces produits sont injectés par voie intra-veineuse etpermettent en se répartissant dans le réseau veineux et interstitiel, d'imager l'ensemble ducorps humain. Ils sont plus rarement injectés par voie intra-articulaire à haute dilution.

La tomodensitométrie est une technique d'imagerie médicale qui consiste à calculer unereconstruction 3D des tissus à partir d'une analyse tomographique obtenue en soumettantle patient au balayage d'un faisceau de rayons X. Dans les appareils modernes, l'émetteurde rayons X tourne autour du patient en même temps que les récepteurs chargés de me-surer l'intensité des rayons après leur passage dans le corps. Les données obtenues sontensuite traitées par ordinateur, ce qui permet de recomposer des vues en coupe des organesou des vues en trois dimensions. On peut faire ressortir certains tissus, en particulier lesvaisseaux sanguins. Au cours de cet examen, un technicien injecte un traceur radiophar-maceutique qui a la propriété de fortement absorber les rayons X et donc de rendre trèsvisibles les tissus où ce produit est présent (qui apparaissent alors hyperdenses) dans lesang. Ce scan est alors utilisé pour détecter ces signaux et de créer une image des fonc-tions chimiques de la zone ciblée. Cette substance est injectée dans une veine du bras.Une fois le traceur radioactif est injecté dans la circulation sanguine, une caméra gammaest utilisée pour acher la quantité de traceur qui atteint le muscle cardiaque. Comme le

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3.3. Technique d'imagerie : TC et IRM

Figure 3.4 L'imagerie par résonance magnétique (IRM) (www.clinique-agdal.com)

marqueur se déplace à travers le muscle cardiaque, les zones qui ont une bonne circulationsanguine absorbent le traceur. Si par exemple on trouvera une grande concentration detraceur cela signie l'existence d'une angiogenèse.

Dans les deux examens, un agent de contraste est injecté par voie veineuse ou artérielle.Après injection, il passe rapidement du secteur vasculaire vers l'espace interstitiel. Ils sontensuite excrétés par le rein par ltration glomérulaire. Dans la région d'intérêt,une sé-quence d'images capture l'écoulement du traceur. Le radiologue examine ces images dansun sens statique et il essaie ensuite d'estimer la grandeur de la tumeur. La diculté estque tandis que les régions de l'angiogenèse sont présentées avec une concentration fortede l'agent de contraste, le traceur s'initre également dans les tissus voisins. En pratique,la détermination de la taille est souvent fondée sur une image choisie de la séquence. Sil'image choisie était parmi les premières, la région entière de la tumeur ne peut pas êtrecouverte, ce qui sous-estime la taille de la tumeur. Inversement si l'image sélectionnéeétait à la n de la séquence, l'agent de contraste aurait eu le temps de se diuser à tra-vers la région de tumeur ainsi que de s'inltrer dans les tissus sains nourris par des litscapillaires. Par conséquent, il serait dicile de trouver la taille exacte de la tumeur. Surla recommandation de l'oncologiste, le patient commence un traitement et après trois àsix mois, le radiologue répète le test.

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3.4. Diérents modèles pour la modélisation du sang

Figure 3.5 L'imagerie par résonance magnétique (IRM) : angioIRM et IRM cérébralet de la colonne cervicale (www.clinique-agdal.com)

3.4 Diérents modèles pour la modélisation du sang

De nombreuses équipes de recherche (regroupant mathématiciens, physiciens et méde-cins) s'intéressent à la modélisation mathématique du sang. Diérents modèles ont décritla circulation sanguine. Braakman et al.[20] ont représenté la circulation sanguine par unmodèle discret, contenant quatre compartiments : artères, artérioles, capillaires et veinules,veines. Le comportement mécanique de chaque compartiment est déni par sa résistanceet sa compliance. Schreiner et Buxbaum [51] ont construit des arbres vasculaires an demodéliser la circulation cardiaque en utilisant la méthode d'optimisation contrainte et enappliquant la loi de puissance dans chaque bifurcation pour dénir une relation entre lesdiamètres des segments vasculaires. Vankan et Van Donkelaar [53] décrivent la circulationsanguine dans les muscles par un modèle composé de cinq couches (artères, artérioles,capillaires, veinules et veines). Chaque couche est dénie comme un milieu poreux. Ainsi,les ux horizontaux sont décrits par la loi Darcy.An de modéliser l'eet de l'irritation sur la microcirculation, Baeur D. et al([5] à [8])ont décrit un réseau vasculaire par un modèle à trois couches. La première et la der-nière couches, considérées comme des milieux poreux horizontaux et à deux dimensions,décrivent l'irrigation et le drainage du système, respectivement. La couche intermédiaire,

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3.5. Les hypothèses communes

décrit la couche microcirculatoire dans laquelle le ux dans la zone intermédiaire est censéêtre verticale. De même, Baeur D. et al. ([9],[10]) ont eectué d'autres recherches concer-nant l'injection des grosses particules des médicaments, permettant un meilleur ciblagevers les tissus tumoraux. Ces tissus ont été considérés comme des milieux poreux et repré-senté par un réseau interconnecté par des segments cylindriques dont les rayons varientaléatoirement entre 0 et 1 . Ce réseau est construit par des triangles obtenus en appliquantla méthode de triangulation de Delaunay sur un ensemble des points aléatoires disperséssur une surface à deux dimensions. A l'intérieur de chaque segment, l'écoulement a étémodélisé par les équations de Poiseuille.Brix G. et al.([23]) ont utilisé un modèle simplié 1D (Fig 3.7) an de modéliser la circu-lation des traceurs et des médicaments dans le sang. Ceci en appliquant la simplicationde Morales et Smith [47] (qui est une relation entre la concentration du traceur à l'entréeet à la sortie du capillaire et la concentration moyenne à l'intérieur), cette recherche sepropose d'utiliser tous les données chronologiques de la séquence d'image pour identierdes paramètres indiquant comment le sang coule dans la région de la tumeur qui sont laperfusion, le produit de la perméabilité par la surface de la membrane poreuse des ca-pillaires, les volumes relatifs aux plasma et l'espace extracellulaire-extravasculaire (EES).Ainsi, la tumeur peut être traitée ecacement avec moins de risque de sur-traitement ousous-traitement et sans perte de temps avec un traitement inecace.De plus, Libertini J. a utilisé le même modèle 1D sans la simplication de Morales etSmith [47]. Elle a identié deux des quatre paramètres cités ci haut. Ma thèse consisteà généraliser ce modèle 1D en deux et trois dimensions permettant le calage de notremodèle vers une représentation plus réaliste. Tout d'abord, on va commencer à présenterles hypothèses et les conditions limites communes entre ces modèles dénir le modèle sim-plié. Dans la section suivante, on va détailler le modèle 1D ainsi que le problème inverseet ensuite les modèles bidimensionnel et tridimensionnel avec les équations qui décriventla circulation du traceur injecté et on termine par la comparaison du comportement dutraceur dans ces 3 modèles.

3.5 Les hypothèses communes

Chaque modèle est formé de deux compartiments placés l'un sur l'autre, Le premiercompartiment, appelé le compartiment plasmatique, représente la région à l'intérieur ducapillaire. Le traceur pénètre dans le capillaire par l'intermédiaire de l'artériole avec undébit de perfusion constant F . La concentration du traceur entrant dans le capillaire, notéecA(t), est une grandeur mesurable, puisque le traceur est injecté en amont du capillaire etles vaisseaux sanguins sont largement imperméables à l'exception des capillaires. Le sangmarqué coule dans le capillaire et en raison de la diérence de la concentration entre lesdeux compartiments, la pression osmotique (ou oncotique) pousse le traceur du capillairevers le second compartiment le milieu interstitiel ; ce compartiment est également appelél'espace interstitiel. L'écoulement entre les deux compartiments est bidirectionnel : quand

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3.6. Modèle 1D du capillaire

il y a plus de traceur dans le compartiment de EEE que dans le capillaire, la pressiononcotique sera inversée et le capillaire va réabsorber une partie du traceur. En d'autrestermes, le ux à travers la paroi capillaire est bidirectionnel. La vitesse à laquelle le traceurtraverse cette membrane dépend à la fois de la surface de la paroi des capillaires et de laperméabilité de cette paroi. Comme ces deux caractéristiques agissent pour promouvoirou limiter le ux sanguin à travers la membrane, ils sont combinés en une seule valeur, leproduit de la surface et de la perméabilité de la membrane, notée P . Il est supposé que ceproduit, P , est une constante, comme il est censé ne pas changer dans le temps durant uneséance d'imagerie. De même, il est considéré que la perméabilité est la même dans les deuxdirections. Pour que cela soit vrai, le transport doit être passif, la viscosité et la pressionhydrostatique doivent être les mêmes dans les deux côtés de la membrane. Les principessous-jacents pour justier cette simplication sont que les traceurs utilisés ne doivent pasinduire un transport actif, satisfaisant ainsi la première condition : le transport passif. Ladeuxième exigence de l'adéquation des viscosité et pression hydrostatique est plus dicile.La viscosité du sang et le liquide interstitiel sont assez complexes et peuvent couvrirune thèse entière, mais il est susant de dire que l'on suppose qu'ils sont localementsimilaires. La pression dans les capillaires est habituellement entre 15-30 mmHg de plusque celle de l'espace interstitiel [29], cependant, il est dicile de savoir comment serontinuencés les résultats. De plus, il est supposé que le traceur est également soluble dansle milieu interstitiel et dans le plasma. Cette hypothèse est raisonnable, comme les deuxsolvants sont principalement de l'eau avec des compositions physiologiques similaires. Pourimiter la forme parabolique qui se produit naturellement dans les données d'un patientla condition à la limite, (3.1), a été sélectionné ( Fig 3.6)[27], le temps de référence estmesuré de telle sorte que l'agent de contraste est injecté sur une période de 1.

(3.1) cA(t) =

−(t− 0.5)2 + 0.25, pour t < 1;

0 pour t > 1.

3.6 Modèle 1D du capillaire

Le modèle simplié (Fig 3.7) a deux compartiments représentant l'écoulement du traceurà l'intérieur et à travers d'un capillaire.

Le volume relatif au premier compartiment (plasma) est constant noté vp. De même levolume relatif au deuxième compartiment (milieu interstitiel) ve est censé rester constantpendant la durée de la IRM ou CT. Ce modèle est un modèle très simplié par rapport àla complexité réelle du corps humain. Ce modèle ne porte qu'un capillaire unique, mais lesrésultats sont utilisés pour eectuer l'analyse sur les tissus humains très complexes rem-plis de micro-vaisseaux nombreux (artérioles, capillaires, veinules). Cela suppose que tousles capillaires de la région d'intérêt sont identiques. Ce qui n'est pas vrai. Un capillaire

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3.6. Modèle 1D du capillaire

Figure 3.6 Les courbes en ligne représentent S(t) et celles en points représentent cA(t).La gure à gauche représente les données d'un patient et celle à droite représente lesdonnées de base où S(t) est obtenue par Libertini [40] dans le cas 1D.

Figure 3.7 Le modèle simplié 1D au travers duquel un traceur coule en fonction dutemps et l'espace : "plasma compartment" représente l'intérieur du capillaire, "EES" l'es-pace extracellulaire-extravasculaire, F désigne la perfusion, CA(t) désiqne la concentrationdu traceur à la paroi du capillaire, cp(x, t) et ce(x, t) représentent respectivement la concen-tration du traceur dans le plasma et la concentration du traceur dans le milieu interstitiel(EES), vp et ve désignent les volume du plasma et EES

humain est de moyenne 8 microns de diamètre et varie entre 4 et 20 microns de diamètre,et la longueur varie typiquement entre 750 microns à 1 mm [55]. Cependant, cette sim-plication réduit le comportement global à un modèle moyen d'un capillaire unique.

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3.6. Modèle 1D du capillaire

3.6.1 Problème de transport unidimensionel du traceur

Ce phénomène physique est représenté mathématiquement en utilisant les équations deconservation de masse, et par conséquent, on aura un système linéaire de deux équationsdiérentielles partielles (EDP) :

(3.2)vp∂cp(x, t)

∂t= −FL∂cp(x, t)

∂x− P (cp(x, t)− ce(x, t))

ve∂ce(x, t)

∂t= P (cp(x, t)− ce(x, t))

où x ∈ [0, L] avec L est la longueur du capillaire, t ∈ R+, cp est la concentration dutraceur dans le plasma, ce est la concentration du traceur dans le milieu interstitiel,veest le volume dans le milieu interstitiel par unité du volume d'un tissu, vp est le volumedans le plasma par unite du volume d'un tissu, F est le coecient du perfusion, et Preprésente le produit de la perméabilité et de la surface de la membrane poreuse ducapillaire. En prenant comme conditions initiales : cp(x, t = 0) = 0 et ce(x, t = 0) = 0 etcomme conditions aux bords cp(x = 0, t) = cA(t). Dans la suite du travail la longueur ducapillaire est considérée égale à 1,(L = 1).

Durant la phase d'imagerie, il est supposé que les coecients F , P , vp et ve sont constants.En utilisant la premiere loi de Ficks, le taux de changement du marqueur dans le com-partiment plasmatique dépend de la quantité de traceur qui entre dans le capillaire del'artériole, qui sort du capillaire vers les veinules, et la quantité transférée à l'extérieur ducapillaire à travers la membrane poreuse vers le milieu interstitiel.Le terme P (cp(x, t)− ce(x, t)) représente le transport passif à travers la membrane capil-laire dans l'espace interstitiel. Ce terme est le terme de diusion, le sens de l'écoulementest ainsi dicté par les concentrations des deux compartiments ; lorsque la concentration

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3.6. Modèle 1D du capillaire

est plus élevée dans le plasma, le traceur sortira du capillaire, et vice versa. P représentele produit de la surface de la zone et sa perméabilité ; Cette valeur dénit comment faci-lement le traceur peut passer par la membrane endothelial du capillaire ; si P est élevé, lamembrane du capillaire sera plus ecace à libérer et à accepter des particules telles quel'oxygène ou le traceur.

3.6.2 EDO et données de base

Pour pouvoir eectuer une comparaison entre les données extraites des images et indepen-dantes des composantes spaciales et le modèle 1D (3.7), on intègre sur toute la longueurdu capillaire. Pour les données d'image, l'intensité de chaque pixel est additionnée surl'image entière pour chaque pas de temps pour donner l'intensité du signal.En intégrant les deux équations du système (3.2) le long de la longueur du capillaire, onaboutit à ce système d'équations diérentielles ordinaire :

(3.3)vp∂cp(t)

∂t= −F (cA(t)− cV (t))− P (cp(t)− ce(t))

ve∂ce(t)

∂t= P (cp(t)− ce(t))

où les barres indiquent des moyennes spatiales, cA(t) = cp(x = 0, t) et cV (t) = cp(x = L, t)et pour les conditions initiales ce(0) = 0 et cp(0) = 0

Comme l'intensité du signal de l'image entière est donnée par la somme de l'agent contrastédans chacun des deux compartiments, ces équations peuvent être rapprochées à l'intensitédu signal S(t) de la séquence des images à travers la relation suivante :

(3.4)

Se(t) = vece(t).

Sp(t) = vpcp(t).

S(t) = Se(t) + Sp(t).

où Se et Sp représentent la quantité moyenne du traceur dans le milieu intertitiel et leplasma respectivement et S(t) représente la quantité moyenne dans tout le système. Leproblème de l'imagerie médicale en question est un problème inverse, c'est à dire en plusdes conditions initiales et de la condition limite, quelques informations sur la solution sontconnues, mais les coecients sont inconnus. Dans cette application, l'agent de contrasteentrant dans le capillaire par l'artériole peut être mesuré à chaque étape. En outre, lesintensités du signal de chaque pixel d'une seule image dans la séquence peuvent êtreadditionnées pour calculer l'intensité totale du signal à chaque pas de temps.

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3.7. Problème de transport bidirectionel et tridirectionel du traceur

3.7 Problème de transport bidirectionel et tridirectio-

nel du traceur

Le but de ce travail est de décrire la circulation sanguine d'une manière plus réaliste. On vautiliser les modèles construits dans les chapitres précédents et introduire les modicationssuivantes :

a) Le capillaire est remplacé par un lit de capillaires représenté par un milieu poreux.L'écoulement est soit bidirectionnel (Fig 2.20 ) soit tridirectionnel (Fig 2.31).

b) Les deux volumes du plasma (vp) et du milieu interstitiel (ve) ne sont plus constantsmais dépendent de l'espace. Notons que vp est le volume des pores totalement occupépar le plasma et ve le volume du milieu interstitiel (solide), calculé dans chaquecellule par ve = 1− vp car ces deux compartiments sont disjoints.

c) La vitesse n'est plus constante mais varie selon la dimension des pores.

Dans la section suivante, on va étudier le comportement des traceurs en 1D, 2D et 3D. Letransport des traceurs est gouverné mathématiquement par le système linéaire de deuxéquations aux dérivées partielles suivantes :

(3.5)

∂Cp(Z, t)∂t

= −V∇Cp(Z, t)− P(Cp(Z, t)vp(Z)

− Ce(Z, t)ve(Z)

)∂Ce(Z, t)

∂t= P

(Cp(Z, t)vp(Z)

− Ce(Z, t)ve(Z)

)où

a) Les indices p et e correspondent respectivement aux plasmas et au milieu interstitiel.

b) Cp(Z, t) = vp(Z)cp(Z, t) et Ce(Z, t) = ve(Z)ce(Z, t) sont les solutions de (3.5),représentant les quantités de matière.

c) cp et ce sont les concentrations du traceur .

d) vp et ve représentent les volumes qui varient en espace.

e) Z ∈ [0, 1]n (pour n = 2,Z = (x, y) et pour n = 3,Z = (x, y, z)), t ∈ R+.

f) V est la solution de l'équation de Darcy qui est résolue par la méthode d'homogé-néisation aléatoire, expliquée dans le chapitre 3. Par exemple, V est représentée parla gure 2.20, dans le cas d'un modèle bidimensionnel et la gure 2.31, dans le casd'un modèle tridimensionnel. Pour assurer la divergence nulle de la vitesse (ce quitraduit le fait que le uide est incompressible), V sera projeté dans l'ensemble desfonctions L2 à divergence nulle.

g) P représente le produit de la perméabilité et de la surface de la membrane poreusedu capillaire.

h) Les conditions initiales sont cp(Z, t = 0) = 0 et ce(Z, t = 0) = 0 et les conditionsaux bords et aux limites sont cp(x = 1, 0.35 ≤ y < 0.65, t) = cA(t).

83

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3.8. Comparaison 1D, 2D et 3D

i) Le terme

P (Cp(Z, t)vp(Z)

− Ce(Z, t)ve(Z)

)

représente le transport passif à travers la membrane capillaire dans l'espace inter-stitiel présenté dans la paragraphe 1.6.

j) La résolution du système (3.5) est eectué, en utilisant le logiciel FreeFem++ eten appliquant la méthode des éléments nis pour la discretization en espace et unshéma d'Euler explicite pour la résolution en temps.

Une fois les solutions Cp(t) et Ce(t) sont obtenues, on dénit l'intensité du signal S(t) par :

(3.6)

Se(t) = Ce(t) =

∫Ω

Ce(Z)dZ.

Sp(t) = Cp(t) =

∫Ω

Cp(Z)dZ.

S(t) = Se(t) + Sp(t)

Avec Se et Sp représentent la quantité moyenne du traceur et S(t) représente la quantitémoyenne dans tout le système.

3.8 Comparaison 1D, 2D et 3D

Dans cette section, on présente les résultats numériques an de décrire le comportementdes traceurs dans les deux modèles bidimensionnels et tridimensionnels. L'eet de la va-riation de l'intensité du signal du traceur est montré dans le plasma, le milieu interstitielet les deux à la fois. Ces résultats sont ensuite comparés au cas du calcul dans un canalavec l'hypothèse d'une vitesse constante à l'intérieur de la partie noire montrée dans lagure 3.8 en 2D.

Nous avons utilisé, pour les quatre cas présentés, les hypothèses et les remarques suivantes :

a) vp étant la moyenne des pores dans chaque cellule, varie dans l'espace dans les cas2D et 3D et moyennée en espace dans le cas 1D.

b) ve = 1 − vp dans chaque cellule, variant dans l'espace dans les cas 2D et 3D etmoyennée en espace dans le cas 1D.

c) Dans le cas 1D, la condition aux bords du traceur à l'entrée CA(t) est dénie parl'équation (3.1) et est montrée par la gure 3.6.

d) Dans les trois cas (canal, 2D et 3D), la condition aux bords du traceur à l'entrée(Γ2 ) est dénie par CA(t) ∗ vp

e) On note l = 0.3 la longueur de la frontière Γ2 dans les deux cas canal et modèlebidirectionel, et F la perfusion. On impose à l'entrée Γ2, la condition de Neumann

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3.8. Comparaison 1D, 2D et 3D

Figure 3.8 Canal

∂u∗

∂n|Γ2 = F/0.3 et à la sortie Γ1 la condition de Dirichlet u∗ = 0. Dans le cas 3D,

on impose les mêmes conditions mais en considérant la section à l entrée S = 0.3.

f) La résolution du système (3.5) est eectué par FreeFem++ pour un pas de temps∆t = 0.001, un pas d'espace h = 0.05 (h le pas du maillage grossier).

g) Le signal d'intensité en 1D est calculé sur Matlab en utilisant la méthode des dié-rences nies explicite d'Euler suivante :

(3.7)

ck+1pj

= ckpj +∆t

vp(− F

∆x(ckpj − c

kpj−1

)− P (ckpj − ckej

)

ck+1ej

= ckej +P∆t

ve(ckpj − c

kej

)

Où ckpj est la concentration de l'agent de contraste dans le plasma et ckej est la concen-tration de l'agent de contraste dans le compartiment interstitiel au temps tk = k.∆tet au point xj = j.∆x. Pour le calcul, nous avons pris ∆t = 0.001 avec T = 1, et∆x = 0.05 avec L = 1.

En notant ckp et cke les moyennes en espace de ckp et c

ke , on dénit le signal d'intensité

Sk par :

(3.8) Sk = vpckp + vec

ke

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3.8. Comparaison 1D, 2D et 3D

3.8.1 Variation de S(t) dans les cas canal, 1D, 2D et 3D

Intensité de signal S(t) en variant la perfusion F avec P = 0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.9 S(t) en variant F avecP = 0 en 1D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.10 S(t) en variant Favec P = 0 dans un canal

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.11 S(t) en variant Favec P = 0 en 2D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.12 S(t) en variant Favec P = 0 en 3D

Les gures 3.9, 3.10, 3.11 et 3.12 montrent l'évolution en temps de la quantité du traceurdans le plasma pour les cas 1D, canal (où l'écoulement est unidirectionel), 2D (où l'écoule-ment est bidirectionel) et 3D (où l'écoulement est tridirectionel), pour diérentes valeursde la perfusion F allant de 1 jusqu'à 4. Toute la quantité du traceur reste dans le plasmaen raison de la valeur nulle de la perméabilité de la membrane poreuse des capillaires. Lescourbes de S(t) suivent la même tendance que la condition aux bords cA(t) (voir g 3.6).On observe que la quantité de traceur S(t) augmente en fonction du temps en partantd'une valeur nulle jusqu'à atteindre une valeur maximale en un temps t∗ > 1

2, ensuite elle

diminue jusqu'à s'annuler (ou être négligeable) à un temps t∗∗ > 1. On obtient des évolu-tions similaires en fonction de F pour les diérents cas. Une augmentation de la perfusionentraîne une augmentation de la vitesse à laquelle le traceur entre dans le système et parconséquent une augmentation de la valeur maximale de S(t). En plus, on peut remarquer

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3.8. Comparaison 1D, 2D et 3D

le départ rapide du traceur par l'intermédiaire des veinules pour une grande valeur de F ,ceci se traduit par la chute rapide de la courbe.

L'intensité du signal S(t) en variant la perfusion F avec P = 5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.13 S(t) en variant Favec P = 5 en 1D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.14 S(t) en variant Favec P = 5 dans un canal

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.15 S(t) en variant Favec P = 5 en 1D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

F=1F=2F=3F=4

Figure 3.16 S(t) en variant Favec P = 5 dans un canal

Les gures 3.13, 3.14, 3.15 et 3.16 représentent la variation de S(t) en fonction du tempspour diérentes valeurs de F et pour P = 5 dans les cas 1D, canal, 2D et 3D. Pour lesdiérents cas, on remarque que les évolutions en fonction de F pour P = 5 et P = 0 sontsimilaires. Par contre, pour F grand, on observe une grande diérence entre les valeursmaximales (pour P = 5 et P = 0) et les courbes pour P = 5 sont plus élongées en fonctiondu temps. Ce comportement sera mieux expliqué dans la section suivante.

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3.8. Comparaison 1D, 2D et 3D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Temps

Sp et F=1Se et F=1Sp et F=2Se et F=2Sp et F=3Se et F=3Sp et F=4Se et F=4

Figure 3.17 Sp et Se en variantF avec P = 5 en 1D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Temps

Sp et F=1Se et F=1Sp et F=2Se et F=2Sp et F=3Se et F=3Sp et F=4Se et F=4

Figure 3.18 Sp et Se en variantF avec P = 5 dans un canal

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Temps

Sp et F=1Se et F=1Sp et F=2Se et F=2Sp et F=3Se et F=3Sp et F=4Se et F=4

Figure 3.19 Sp et Se en variantF avec P = 5 en 2D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Temps

Sp et F=1Se et F=1Sp et F=2Se et F=2Sp et F=3Se et F=3Sp et F=4Se et F=4

Figure 3.20 Sp et Se en variantF avec P = 5 en 3D

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3.8. Comparaison 1D, 2D et 3D

La quantité du traceur dans le plasma Sp et le milieu interstitiel Se en variant

F avec P = 5

Les gures 3.17, 3.18, 3.19 et 3.20 représentent la variation de Sp (les lignes continues) etde Se (les lignes pointillées) en fonction du temps pour diérentes valeurs de F et pourP = 5 dans les cas 1D, canal, 2D et 3D. Comme on avait déjà expliqué précédemment, uneaugmentation de la perfusion entraîne une augmentation de la vitesse à laquelle le traceurentre dans le plasma (Sp) et par conséquent une augmentation de la valeur maximalede S(t). Les sommets des courbes Se sont décalés vers la gauche et ceci est dû au faitque, pour F assez grande, une grande quantité du traceur sort rapidement vers les veines.Donc à un instant donné la concentration du traceur dans le plasma va être plus petiteque celle dans le milieu interstitiel. Par conséquent une grande quantité du traceur vaquitter le milieu interstitiel vers le plasma en raison de la grande valeur de la perméabilitéet la diérence importante entre les deux concentrations (Ce et Cp), ceci explique encorela chute et la convergence rapide de la courbe de Se .

L'intensité du signal S(t) en variant la perméabilité P avec F = 2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

P=0.5P=1P=5

P=10

Figure 3.21 S(t) en variant Pavec F = 2 en 1D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

P=0.5P=1P=5

P=10

Figure 3.22 S(t) en variant Pavec F = 2 dans un canal

Les gures 3.21, 3.22, 3.23 et 3.24 montrent l'évolution en temps de l'intensité du signal,c'est à dire la variation de la quantité du traceur existant dans le plasma et dans lemilieu interstitiel (à la fois) en fonction du temps, pour les cas 1D, canal, 2D et 3D, pourdiérentes valeurs de perfusion P allant de 0.5 jusqu'à 10.Le coecient P représente le produit de la perméabilité et de la surface de la membraneporeuse des capillaires. A l'entrée, l'intensité du signal ne varie pas, comme la quantitédu traceur dans le milieu entier (plasma et milieu interstitiel) est la même pour tous lesvaleurs de P . On commence à avoir une diérence lorsque le traceur commence à sortirdu capillaire vers les veines. Dans les quatre cas, on remarque que l'augmentation de laperméabilité entraîne l'augmentation de l'amplitude maximale de la courbe et le décalagedes sommets vers la droite. Ceci est dû au fait que plus la perméabilité est petite, plus

89

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3.8. Comparaison 1D, 2D et 3D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

P=0.5P=1P=5

P=10

Figure 3.23 S(t) en variant Pavec F = 2 en 2D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

S(t)

Temps

P=0.5P=1P=5

P=10

Figure 3.24 S(t) en variant Pavec F = 2 en 3D

il y a de traceur dans le plasma. Ceci entraîne la sortie d'une quantité plus importantedu traceur vers les veines. Par conséquent la quantité de traceur qui reste dans tout lesystème diminue. Pour une grande valeur de P , quand la concentration dans le plasmadevient plus petite que celle dans le milieu interstiel, une grande quantité de traceur varetraverser la membrane poreuse vers le plasma. Il en résulte que le traceur quitte plusrapidement le système vers les veines, ce qui explique la convergence rapide du signald'intensité vers zéro.

3.8.2 Comparaison entre les cas canal, 1D, 2D et 3D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5

S(t)

Temps

1DCanal

2D3D

Figure 3.25 S(t) pour F = 1 etP = 0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5

S(t)

Temps

1DCanal

2D3D

Figure 3.26 S(t) pour F = 3 etP = 0

Les gures 3.25 et 3.26 comparent la variation de l'intensité du signal sans aucun trans-port vers le milieu interstiel pour les cas 1D, canal, 2D et 3D en xant la perfusion (F = 1et 3). Tandis que les gures 3.27 et 3.28 comparent la variation de l'intensité du signalavec une perméabilité égale à 5.On peut remarquer que les courbes 1D et le canal sont semblables. Donc l'écoulement 1D

90

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3.9. Diérents Modèles de modélisation en 2D

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5

S(t)

Temps

1DCanal

2D3D

Figure 3.27 S(t) pour F = 1 etP = 5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.5 1 1.5 2 2.5

S(t)

Temps

1DCanal

2D3D

Figure 3.28 S(t) pour F = 3 etP = 5

peut être comparable avec un écoulement monodirectionel dans un canal. Ceci peut êtreexpliqué par le fait que la vitesse, calculée dans le cas canal, est semblable à la vitessedans le cas 1D.

Dans les trois cas (1D, l'écoulement bidirectionel et l'écoulement tridirectionel), on observeque jusqu'à un instant donné les courbes sont semblables. Ceci est dû au fait que laquantité du traceur dans le système entier est la même dans les trois cas, jusqu'à ceque le traceur commence à sortir à travers les veines. On remarque bien, que dans le casmonodirectionel, le traceur sort plus rapidement que dans les autres cas. Ce comportementpeut être expliqué par le fait que, dans les cas bidirectionel et tridirectionel, le traceurprend plus de temps pour occuper tout le système, sans oublier la vitesse aléatoire àl'intérieur.

3.8.3 Conclusion

On remarque que l'écoulement en 1D est proche de celui dans un canal. Donc, le modèleintroduit par Libertini J. représente un écoulement unidirectionnel. Tandis que, dans lesautres cas (écoulements bidirectionnel et tridirectionnel), l'écoulement est diérent. A re-marquer que les deux derniers cas sont plus réalistes et pratiques.

3.9 Diérents Modèles de modélisation en 2D

En changeant les conditions aux bords et la variation de la perméabilité dans le domainemacroscopique, on peut présenter la microcirculation avec plusieurs modèles comme l'in-dique les gures 3.29, 3.30, 3.31 et 3.32.

91

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3.9. Diérents Modèles de modélisation en 2D

Figure 3.29 Figure 3.30

Figure 3.31 Figure 3.32

92

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Chapitre 4

Problème inverse en 2D

Sommaire

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 Résolution du problème inverse en 1D . . . . . . . . . . . 94

4.2.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.2 Récupération de cV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.3 Récupération de vp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Résolution du problème inverse en 2D . . . . . . . . . . . . 95

4.3.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3.2 Récupération de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.4 Résultats numériques de 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.4.2 Récupération de cV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4.3 Récupération de vp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5 Résultats numériques de 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5.1 Récupération de F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.5.2 Récupération de cV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.3 Récupération de vp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.4 Récupération de P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

93

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4.1. Introduction

4.1 Introduction

Dans ce chapitre, on introduit un problème inverse dans l'objectif de déterminer quelquesparamètres qui caractérisent l'écoulement du sang dans la région : la perfusion, le produitde la perméabilité par la surface des capillaires et le volume du plasma.En revenant au système d'équations diérentielles ordinaires (3.7), étant donné cA(t) etl'intensité du signal S(t), l'objectif est de déterminer les coecients constants F et P etle volume du plasma pour chaque ensemble de données de test d'un patient particulier.

Bien que l'objectif de cette recherche est de développer des méthodes pour déterminerles paramètres du ux sanguin pour les patients atteints du cancer, il n'y a pas moyen detester la validité de la méthode numérique proposée sur des données réelles des patients,car dans ce cas, on connait seulement la condition aux limites cA(t) et l'intensité de signalS(t), les autres paramètres ne sont pas connus (à déterminer). Ainsi, des données de basede calcul sont utilisées au lieu des données expérimentales. En utilisant des coecients,des conditions initiales et conditions aux limites connus, les équations diérentielles ordi-naires (3.7) peuvent être résolues numériquement pour obtenir la concentration moyennede l'agent de contraste dans chaque compartiment et à chaque pas de temps, cp(t) et ce(t).Ainsi, l'intensité du signal S(t) peut alors être calculée à l'aide de (3.8).

4.2 Résolution du problème inverse en 1D

Cette section décrit les méthodes de calcul utilisées par Libertini [40] pour déterminerdeux des quatres paramètres du ux sanguin, avec une méthode de détermination decv(t). Deux ensembles de données A et B ont été utilisés avec la relation (3.1) commecondition aux limites et cp(x, t = 0) = ce(x, t = 0) = 0 comme conditions initiales.

4.2.1 Récupération de F

Dans cette partie, on va résoudre un problème inverse an d'identier la perfusion F . Enadditionnant les deux équations du système (3.7), on obtient l'équation suivante :

(4.1) vp∂cp(t)

∂t+ ve

∂ce(t)

∂t= −F (cV (t)− cA(t))

La partie gauche de cette dernière équation n'est autre que S ′(t). On aura alors :

(4.2) F =S ′(t)

cA(t)− cV (t)

où cA(t) est connue à chaque pas de temps et S ′(t) peut être calculée à chaque pasde temps. Comme cV (t) n'est pas connue, il est supposé nul jusqu'à ce que le traceur

94

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4.3. Résolution du problème inverse en 2D

commence à sortir du capillaire. Durant cette dernière période de temps, on a :

(4.3) F =S ′(t)

cA(t)

Ceci nous permettra de calculer le paramètre F , d'après la gure suivante, qui sera leseuil de convergence de la courbe juste avant l'apparition des traceurs dans les veines.

4.2.2 Récupération de cV

Ayant la valeur de F , on peut calculer cV (t) à chaque pas de temps à travers la formule :

(4.4) cV (t) = cA(t)− S ′(t)

F

4.2.3 Récupération de vp

Avant de calculer le volume vp du plasma, il nous faut calculer le temps t∗ au bout duquel,le traceur traverse tout le capillaire. La valeur de t∗ est obtenue en examinant les valeurscalculées de cV (t) an de trouver le temps qui correspond à la première valeur de cV (t)supérieure à un seuil positif noté epsilon (par exemple ε = 5 × 10−3). On tire alors levolume du plasma grâce à la formule :

(4.5) vp = Ft∗

4.3 Résolution du problème inverse en 2D

Dans cette section, nous décrivons des méthodes de calcul en dimesion deux de la perfusionF et la constante P .

4.3.1 Récupération de F

En ajoutant les 2 équations du système (3.5)on aura :

(4.6)∂Cp(Z, t)

∂t+∂Ce(Z, t)

∂t= −V∇Cp(Z, t).

Si on intègre dans le domaine S, on aura :

∂Cp(t)∂t

+∂Ce(t)∂t

= −∫S

(V∇Cp(Z, t)).

95

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4.3. Résolution du problème inverse en 2D

D'où on obtient :

(4.7)

S ′(t) = −∫S

(V∇Cp(Z, t))dS

=

∫S

divV .vp(Z)cp(Z, t)dS −∫∂S

((V .−→n ).vp(Z)cp(Z, t))

Comme le uide est incompressible (div V = 0), on déduit :

S ′(t) = −∫d:x=0

((V .−→n ).vp(Z)cp(Z, t)) +

∫d:x=1

((V .−→n ).vp(Z).cp(Z, t))

La condition initiale de la solution cp pour x = 1 est dénie par cA(t) et pour x = 0est dénie par cV (t). De plus, le ux qui entre est égal au ux qui sort ( V .−→n |d:x=0 =−V .−→n |d:x=1), alors

S ′(t) = (cA(t)− cV (t)).

∫∂S

((V .−→n ).vp(Z))

On note F =

∫∂S

((V .−→n ).vp(Z)) et on obtient la formule suivante :

(4.8) F =S ′(t)

cA(t)− cV (t)

On remarque bien que cette dernière formule est la même que celle utilisée en une dimen-sion.

4.3.2 Récupération de P

Pour identier la valeur de P , on va utiliser une méthode de moindre carrés. L'idée estde résoudre le problème suivant :

(4.9) J(S) = inf0≤P≤10

J(SP ).

avec J(SP ) =

∫ T

t=0

(SP (t) − S∗(t))2, où SP est la solution de (3.5) pour un certain P

compris entre 0 et 10 (cette limitation de P provient de l'interprétation physique de laperfusion), et S∗ est la valeur à approcher qui normalement doit être expérimentale, maispour les tests numériques, elle correspond à un certain P ∗ xé à l'avance, en résolvantle système (3.5). Pour cette raison, on va utilser la méthode de gradient pour minimiserJ . L'idée est de partir d'une certaine valeur initiale S0, solution du problème (3.5), quicorrespond à une valeur arbitraire P0 comprise entre 0 et 10. A l'étape k, connaisant SPk

,on cherche Spk+1

de la manière suivante :

96

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4.3. Résolution du problème inverse en 2D

Soit

(4.10) J(SP (t)) = (SP (t)− S∗(t))2

alors son gradient est donné par la formule :

(4.11) ∇PJ(SP (t)) = 2(SP (t)− S∗(t))∇P (SP (t))

et son intégrale sera J(SP ).D'où le gradient de cette dernière formule est donné par :

(4.12) ∇P J(SP ) =

∫ T

0

∇PJ(SP (t))dt = 2

∫ T

0

(SP (t)− S∗(t))∇PSP (t)dt

A partir de SPk, on cherche SPk+1

de la manière suivante :

(4.13) SPk+1(t) = SPk

(t)− ρPk∇PSPk

(t)

Où on approche ∇PSPk(t) par la dérivée à gauche suivante :

(4.14) ∇PSPk(t) =

SPk(t)− SPk−1

(t)

Pk − Pk−1

et on calcule ρPkde façon à minimiser la fonction :∫ T

0

(SPk(t)− S∗(t)− ρk∇PSPk

(t))2dt =∫ T

0

(SPk(t)− S∗(t))2dt− 2ρk

∫ T

0

(SPk(t)− S∗(t))∇PSPk

(t)dt+ ρ2k

∫ T

0

(∇PSPk(t))2dt

par rapport ρk, ce qui donne la relation suivante :

(4.15) ρPk=

∫ T

0

(SPk(t)− S∗(t))∇PSPk

(t)dt∫ T

0

(∇PSPk(t))2dt

Ainsi, on tire SPk+1à partir de la formule (4.13) et ensuite SPk+1

en intégrant en temps.En approchant le gradient avec une dérivée à droite, on obtient :

(4.16) ∇P SPk=SPk+1

− SPk

Pk+1 − Pkoù on tire la valeur de Pk+1 par la formule suivante :

(4.17) Pk+1 = Pk +SPk+1

− SPk

∇P SPk

et on corrige la valeur de SPk+1par l'équation (3.5) où on termine l'étape k.

L'algoritme sera résumé par les étapes suivantes :

97

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4.4. Résultats numériques de 1D

a) On choisit les données initiales P−1 et P0 = P−1+10−3 pour calculer∇PS0(t) d'aprèsl'équation (4.14). La formule (4.15) nous permet de calculer ρP0 et ensuite on tireSP1 . Enn on tire P1 grâce à la formule (4.17) et après on corrige SP1 par l'équation(3.5).

b) . . .

c) Ayant les données à l'étapes k, on calcule à l'étape k+ 1 les valeurs de Pk+1 et Sk+1

comme déjà expliqué en haut.

d) On itère jusqu'à la convergence de la suite Pk.

Nous signalons que cet algorithme peut être appliqué aux cas 1D et 3D, mais nous pré-sentons seulement le cas 2D dans ce chapitre.

4.4 Résultats numériques de 1D

Dans cette section, nous montrons des résultats numériques du problème inverse corres-pondant aux cas 1D et 2D.

4.4.1 Récupération de F

Dans cette partie, on va présenter les résultats obtenus en 1D par Libertini([40]) pouridentier la perfusion F , comme on a déjà expliqué avant, en résolvant l'équation (4.2)avec CV (t) = 0. S(t) est obtenu en résolvant le système (3.2) avec la méthode des dié-rences nis avec un pas de temps ∆t = 10−3 et un pas d'espace h = 0.00625. On a obtenules courbes suivantes : dans chaque cas, on remarque que la courbe converge vers une

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figure 4.1 La perfusion théorique est F = 1. Ces courbes représentent la perfusionnumérique en utilisant la formule (4.8) avec cV (t) = 0, en fonction du temps. A gaucheavec P = 0 et à droite avec P = 1

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4.4. Résultats numériques de 1D

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figure 4.2 La perfusion théorique est F = 2. Ces courbes représentent la perfusionnumérique en utilisant la formule (4.8) avec cV (t) = 0, en fonction du temps. A gaucheavec P = 0 et à droite avec P = 1

P Valeur actuelle de F Valeur calculée de F L'erreur relative

0 1 1.00384 3.8× 10−3

1 1 1.0051 5.1× 10−3

0 2 2.0092 4.6× 10−3

1 2 2.0097 4.8× 10−3

Table 4.1

limite qui correspond bien à la valeur de la perfusion F avant que cV (t) soit diérent dezéro (le temps où le traceur commence à sortie du plasma). La valeur approchée de F estobtenue en moyennant les valeurs de la partie horizontale de la courbe.La valeur de F peut être calculée en moyennant les valeurs de la partie convergente. Lesvaleurs moyennées des gures précédentes se trouvent dans le tableau 4.1, avec ∆t = 10−3.

4.4.2 Récupération de cV

Ayant la valeur de la perfusion F , on peut tirer la concentration des traceurs sortants (cV )d'après l'équation (4.4). Les gures 4.3 et 4.4 représentent la variation de cV en fonctiondu temps dans le cas où F=1 et F=2 avec P=0 et 1.

Les quatres courbes de cV (4.3,4.4), représentent la concentration du traceur qui sort àtravers les veines en fonction du temps. On remarque qu'au debut les courbes sont nulles

99

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4.4. Résultats numériques de 1D

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure 4.3 cV (t) dans le cas où F = 1 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure 4.4 cV (t) dans le cas où F = 2 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite)

100

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4.5. Résultats numériques de 2D

P V C de t∗ V C de F V C de vp Valeur actuelle de vp L'erreur relative de vp

0 0.435 1.00384 0.4366 0.44 7.7× 10−3

1 0.435 1.0051 0.4372 0.44 6.3× 10−3

0 0.22 2.0092 0.442 0.44 4.5× 10−3

1 0.224 2.0097 0.45 0.44 2.2× 10−2

Table 4.2

jusqu'à ce que le traceur commence à sortir . D'où on peut tirer t∗, le temps où le traceurcommence à sortir pour qu'on puisse tirer le volume de plasma d'après (4.5)

4.4.3 Récupération de vp

La valeur de t∗ correspond au temps où la première valeur de cV (t) est supérieure à unseuil positif noté epsilon ( ε = 5× 10−3). Les valeurs du temps t∗ calculées sont tirées desquatre courbes de cV (4.3,4.4) et présentées dans le tableau 4.2. On a calculé le volumedu plasma vp d'après l'équation (4.5), avec ∆t = 10−3.

4.5 Résultats numériques de 2D

Dans cette partie, nous présentons des résultats numériques en dimension deux. Ce calculest fait dans le domaine de [0, 1]2 avec un pas de maillage h = 0.00625 .On commence paridentier la perfusion F ensuite on termine par le calcul de P .

4.5.1 Récupération de F

Comme dans le cas 1D, les gures 4.5 et 4.6 représentent les courbes de la perfusion.Chaque courbe converge vers la valeur de la perfusion avant de décroître rapidementlorsque les traceurs commencent à sortir de la région.La valeur de F peut être calculée en moyennant les valeurs de la partie convergente. Lesvaleurs moyennées de ces gures se trouvent dans le tableau 4.3.

101

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4.5. Résultats numériques de 2D

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figure 4.5 Dans les deux gures, la ligne continue représente la valeur exacte de F = 1,la courbe rouge représente (4.8) avec cV (t) = 0 et P = 0 (dans la gure à gauche) et P = 1( dans la gure à droite)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figure 4.6 Dans les deux gures, a ligne continue représente la valeur exacte de F = 2,la courbe rouge représente (4.8) avec cV (t) = 0 et P = 0 (dans la gure à gauche) etP = 1 ( dans la gure à droite)

∆t P Valeur actuelle de F Valeur calculée de F L'erreur relative

10−3 0 1 0.999 10−3

10−3 1 1 0.9989 1.1× 10−3

10−3 0 2 1.9980 10−3

10−3 1 2 1.9982 2.5× 10−3

Table 4.3

102

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4.5. Résultats numériques de 2D

4.5.2 Récupération de cV

Ayant la valeur de la perfusion F , on peut tirer la concentration des traceurs sortants(cV ) d'après cette équation :

(4.18) cV = cA(t)− S ′(t)

F

Les gures 4.7 et 4.8 représentent la variation de cV en fonction du temps dans le cas oùF=1 et F=2 avec P=0 et 1.

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure 4.7 cV (t) dans le cas où F = 1 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite)

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figure 4.8 cV (t) dans le cas où F = 2 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite)

103

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4.5. Résultats numériques de 2D

P V C de t∗ V C de F V C de vp Valeur actuelle de vp L'erreur relative de vp

0 0.464 0.999 0.4635 0.44 5.3× 10−2

1 0.444 0.9989 0.4435 0.44 7.95× 10−3

0 0.236 1.9980 0.4715 0.44 7.16× 10−2

1 0.239 1.9982 0.47757 0.44 8.53× 10−2

Table 4.4 V C désigne la valeur calculée

4.5.3 Récupération de vp

Comme dans le cas 1D, on a tiré t∗ des quatres courbes de cV (4.7,4.8) qui sont présentéesdans le tableau suivant. On a calculé le volume du plasma vp d'après l'équation (4.5), avec∆t = 10−3. Ces valeurs sont présentées dans le tableau 4.4Dans ce cas on remarque bien que l'erreur relative du volume est du même ordre que dansle cas 1D.A signaler que la valeur actuelle de vp (voir tableau 4.4) est en fait une approximation duvolume du plasma obtenue en sommant les volumes des pores dans chacunes des cellulesdu domaine. Cette valeur n'est pas une valeur de référence mais plutôt une approximationde vp.

4.5.4 Récupération de P

Pour l'identication de P , on va utiliser l'algorithme de la sous-section 1.3.2. Pour l'ap-pliquer, on a besoin du signal d'intensité S∗(t), de la concentration initial cA(t), de laperfusion F et du volume vp déjà calculé dans le tableau 4.4 et d'une donnée initialealéatoire P0 variant entre 0 et 10. A chaque itération, le calcul de Spk à partir de pk sefait en résolvant le problème (3.5) avec la méthode des éléments nis P1 avec ∆t = 10−3

et h = 0.025.Les gures 4.9 et 4.10 montrent la convergence de l'algorithme dans deux cas diérents.Dans la gure 4.9, on corrige la valeur de SPk+1

par l'équation (3.5) en utilisant F = 0.9989et vp = 0.4435 (tableau 4.4). On remarque bien que la perméabilité converge vers 1.01 quiest proche de la valeur exacte d'où l'ecacité de notre algorithme.Dans la gure 4.10, on a utilisé F = 1.9982 et vp = 0.47757 et dans ce cas la perméabilitéconverge vers 1.18 avec une erreur relative de 18% qui provient du fait qu'on a considérédans l'algorithme la valeur calculée de vp et non pas la valeur actuelle.

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4.5. Résultats numériques de 2D

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14

Figure 4.9 P0 = 5 et P ∗ = 1

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14

Figure 4.10 P0 = 10 et P ∗ = 1

105

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Conclusion et perspectives

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Au cours de cette thèse, on a proposé une méthode d'homogénéisation aléatoire pourla résolution de l'équation décrivant la loi de Darcy, an d'étudier la microcirculationdans un milieu poreux bidimensionnel et tridimensionnel. Le but de cette étude est deprésenter la circulation sanguine d'une manière plus réaliste.La résolution de la matrice homogénéisée par la méthode des éléments nis, nécessite unerésolution d'un système linéaire AU = B où A est la matrice de rigidité de dimensionN × N , N étant le nombre des degrés de liberté. Pour réduire le temps de calcul, onremplace la méthode des éléments nis par la méthode des bases réduites en utilisant desalgorithmes gloutons et en introduisant une estimation a posteriori.

Plusieurs modèles ont été utilisés pour modéliser la circulation sanguine. Ces modéli-sations sont utilisées pour faire convecter un marqueur an d'identier les paramètres dusang. Libertini ([40]) a utilisé en particulier, un modèle 1D formé de deux compartimentsle plasma et le milieu interstitiel, de telle sorte que lorsque la concentration du traceurdans le plasma est plus grande que celle du milieu interstitiel une quantité va traverser lamembrane poreuse et vise versa. Dans cette thèse, on a généralisé ce modèle en 2D et 3D.En comparant le comportement des traceurs dans des plusieurs cas, on peut remarquerque leur comportement dans les cas 1D et monodirectionnel sont semblable. Par contre,dans les cas bidirectionnel et tridirectionel, les variations sont diérentes. En eet, lorsquel'écoulement est bidirectionnel ou tridirectionnel, le traceur reste plus longtemps dans lesystème poreux avant de sortir. Le calcul 3D nous semble plus réaliste.

Concernant l'identication des paramètres du sang, Libertini ([40]) a pu identier deuxparamètres en 1D. Le fait de considérer le sang comme étant un uide incompressible,nous a aidé à obtenir une équation semblable à celle obtenu par Libertini en 1D pour lecalcul de la perfusion. Dans cette thèse, on a identié un paramètre de plus, le produitde la perméabilité et de la surface de la membrane poreuse, en utilisant la méthode desmoindres carrés. Tandis que l'équation pour calculer le volume du plasma en 1D, n'estpas pertinente dans le cas bidirectionnel ou tridirectionel.

Concernant les perspectives de notre travail et comme la valeur de la perméabilité Pnous donne une information riche concernant la vascularisation, il est intéressant de varierP en espace pour détecter la partie de la géométrie où P est grande ce qui donne uneinformation sur l'état cancéreux de la région.

De plus, il est intéressant de refaire le problème inverse, avec des données pratiques despatients. Cela permet, entre autres, de diminuer la durée du temps pour découvrir etclassier une tumeur cancéreuse. Dans une autre direction, il est intéressant de faire uneétude et simulation de la circulation du sang dans le corps humain.

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Table des gures

1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Exemples de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Fonction de base ϕi pour l'élément ni P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Domaine Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5 Les 40 plus grandes valeurs propres des matrices de corrélation ((w1(xi, .), w1(xj, .))X )ijet de ((w2(xi, .), w2(xj, .))X )ij , 1 ≤ i, j ≤ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.6 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique, max16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

‖ wi(xk, .) ‖Xen fonction du nombre de bases, avec p = 50 , wi(xk, .) calculée par laméthode des éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.7 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i62,xk∈D

‖ wi(xk, .)− wiN(xk, .) ‖X‖ wi(xk, .) ‖X

(gure

gauche) et max16i62,xk∈D

|sij(xk)− sNij (xk)||sij(xk)|

(gure droite) en fonction du nombre

de bases, où wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées par la méthode des élémentsnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.8 max16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge, en fonc-

tion du nombre de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.9 Champs de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.10 Champs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.11 Les 40 plus grandes valeurs propres des matrices de corrélation ((w1(xi, .), w1(xj, .))X )ijet de ((w2(xi, .), w2(xj, .))X )ij , 1 ≤ i, j ≤ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.12 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique, max16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

‖ wi(xk, .) ‖Xen fonction du nombre de bases, avec p = 50 , wi(xk, .) calculée par laméthode des éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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1.13 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i63,xk∈D

‖ wi(xk, .)− wiN(xk, .) ‖X‖ wi(xk, .) ‖X

(gure

gauche) et max16i63,xk∈D

|sij(xk)− sNij (xk)||sij(xk)|

(gure droite) en fonction du nombre

de bases, où wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées par la méthode des élémentsnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.14 max16i63,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i63,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge, en fonction

du nombre de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.15 Champs de pression homogénéisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.16 Vecteurs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1 Variation de K dans la cellule Λ en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Variation de K dans la cellule Λ en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 La fonction φ′θy en fonction de y et θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.5 K−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Vitesse dans une cellule de perméabilité K−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 K−0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.8 Vitesse dans une cellule de perméabilité K−0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.9 K1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.10 Vitesse dans une cellule de perméabilité K1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.11 Domaine Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.12 Valeurs propres de la matrice de corrélation de w1 et w2 . . . . . . . . . . . 56

2.13 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique, max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e − 10, wi(θk, .) calculé par laméthode des éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.14 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure

gauche) et max16i62,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure droite), en fonction du nombre

de bases où ς = 10−10, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculés par la méthode deséléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.15 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique, max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e − 14, wi(θk, .) calculé par laméthode des éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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2.16 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure

gauche) et max16i62,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure droite), en fonction du nombre

de bases où ς = 10−14, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculés par la méthode deséléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.17 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure

droite) et max16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure gauche), en fonction du nombre

de bases où ς = 1e − 10, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculés par la méthodedes éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.18 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i62,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure

droite) et max16i62,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure gauche),en fonction du nombre de

bases où ς = 1e − 14, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculés par la méthode deséléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.19 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.20 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.21 max16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge . . . . . . 61

2.22 Valeurs propres de la matrice de corrélation de w1, w2 et w3 . . . . . . . . 63

2.23 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique, max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e− 10, wi(θk, .) calculée par laméthode des éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.24 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure

gauche) et max16i63,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure droite), en fonction du nombre

de bases où ς = 10−10, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculés par la méthode deséléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.25 Erreur relative maximale, en échelle logarithmique, max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||Xen fonction du nombre de bases, avec ς = 1e− 14, wi(θk, .) calculée par laméthode des éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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2.26 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i62

|||wi(θk, .)− wiN(θk, .)|||X|||wi(θk, .)|||X

(gure

gauche) et max16i63,xk∈D

|sij(θk)− sNij (θk)||sij(θk)|

(gure droite), en fonction du nombre

de bases où ς = 10−14, wi(θk, .) et sij(θk) sont calculées par la méthode deséléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.27 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure

gauche) et max16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure droite), en fonction du nombre

de bases où ς = 1e − 10, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées par la méthodedes éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.28 Les erreurs relatives maximales, en échelle logarithmique, max16i63,θk∈]−2,1[

∆β(wi(θk, .))

|||wi(θk, .)|||X(gure

gauche) et max16i63,xk∈D

∆N(wi(xk, .))

||wi(xk, .)||X(gure droite), en fonction du nombre

de bases où ς = 1e − 14, wi(xk, .) et sij(xk) sont calculées par la méthodedes éléments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.29 max16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe verte min16i62,xk∈D

ηi(xk) la courbe rouge . . . . . . 67

2.30 Pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.31 Vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.1 Circulation sanguine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 VEGF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.3 Microcirculation tumorale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 L'imagerie par résonance magnétique (IRM) (www.clinique-agdal.com) . . 76

3.5 L'imagerie par résonance magnétique (IRM) : angioIRM et IRM cérébralet de la colonne cervicale (www.clinique-agdal.com) . . . . . . . . . . . . . 77

3.6 Les courbes en ligne représentent S(t) et celles en points représentent cA(t).La gure à gauche représente les données d'un patient et celle à droitereprésente les données de base où S(t) est obtenue par Libertini [40] dansle cas 1D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.7 Le modèle simplié 1D au travers duquel un traceur coule en fonction dutemps et l'espace : "plasma compartment" représente l'intérieur du capil-laire, "EES" l'espace extracellulaire-extravasculaire, F désigne la perfusion,CA(t) désiqne la concentration du traceur à la paroi du capillaire, cp(x, t)et ce(x, t) représentent respectivement la concentration du traceur dans leplasma et la concentration du traceur dans le milieu interstitiel (EES), vpet ve désignent les volume du plasma et EES . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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3.8 Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.9 S(t) en variant F avec P = 0 en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.10 S(t) en variant F avec P = 0 dans un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.11 S(t) en variant F avec P = 0 en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.12 S(t) en variant F avec P = 0 en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.13 S(t) en variant F avec P = 5 en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.14 S(t) en variant F avec P = 5 dans un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.15 S(t) en variant F avec P = 5 en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.16 S(t) en variant F avec P = 5 dans un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.17 Sp et Se en variant F avec P = 5 en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.18 Sp et Se en variant F avec P = 5 dans un canal . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.19 Sp et Se en variant F avec P = 5 en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.20 Sp et Se en variant F avec P = 5 en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.21 S(t) en variant P avec F = 2 en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.22 S(t) en variant P avec F = 2 dans un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.23 S(t) en variant P avec F = 2 en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.24 S(t) en variant P avec F = 2 en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.25 S(t) pour F = 1 et P = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.26 S(t) pour F = 3 et P = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.27 S(t) pour F = 1 et P = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.28 S(t) pour F = 3 et P = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1 La perfusion théorique est F = 1. Ces courbes représentent la perfusionnumérique en utilisant la formule (4.8) avec cV (t) = 0, en fonction dutemps. A gauche avec P = 0 et à droite avec P = 1 . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 La perfusion théorique est F = 2. Ces courbes représentent la perfusionnumérique en utilisant la formule (4.8) avec cV (t) = 0, en fonction dutemps. A gauche avec P = 0 et à droite avec P = 1 . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 cV (t) dans le cas où F = 1 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

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4.4 cV (t) dans le cas où F = 2 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.5 Dans les deux gures, la ligne continue représente la valeur exacte de F = 1,la courbe rouge représente (4.8) avec cV (t) = 0 et P = 0 (dans la gure àgauche) et P = 1 ( dans la gure à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.6 Dans les deux gures, a ligne continue représente la valeur exacte de F = 2,la courbe rouge représente (4.8) avec cV (t) = 0 et P = 0 (dans la gure àgauche) et P = 1 ( dans la gure à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.7 cV (t) dans le cas où F = 1 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.8 cV (t) dans le cas où F = 2 avec P = 0 (la gure à gauche) et P = 1 (lagure à droite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.9 P0 = 5 et P ∗ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.10 P0 = 10 et P ∗ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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Résumé

Actuellement, de nombreuses équipes de recherche (regroupant mathématiciens, physi-ciens et médecins) dans le monde s'intéressent à la modélisation mathématique du mondevivant. Notre projet s'inscrit dans cette direction ; nous nous intéressons en particulier àla modélisation de la vascularisation des tissus et l'écoulement des uides dans les réseauxde conduits ns.La première partie de notre travail a été de représenter le niveau des capillaires pourcomprendre les échanges sanguins avec les tissus. La compréhension de ce réseau est im-portante pour de nombreuses applications. Celle que nous avons en vue est la détectionet le traitement des tumeurs.Nous nous intéressons dans la suite à comprendre comment des traceurs ou des médica-ments sont transportés dans ces tissus vascularisés, an de modéliser ce mouvement en2D et 3D et de déterminer les paramètres du sang par la résolution d'un problème inverse.

Mots clés : homogénéisation, loi de Darcy, estimation a posteriori, bases réduites,milieu poreux, problème inverse.

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Abstract and title

Currently, many research teams (mathematicians, physicists and doctors) in the worldare interested in mathematical modeling of the living world. Our project is in this direc-tion, we are particularly interested in the modeling of the vascular tissue and uid owin microvascular networks.The rst part of our job was to represent the level of the capillaries to understand theblood exchange with tissues. Understanding this network is important for the detectionand treatment of tumors.Next, we are interested how the tracers or drugs are transported in these vascularizedtissues, to model the movement in 2D and 3D and to determine blood parameters bysolving an inverse problem.

Title : Mathematical modeling and simulation of microvascular systems.

KeyWords : homogenization, Darcy law, a posteriori estimation, reduced basis, porousmedia, inverse problem.

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