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Mémoire présenté le : 3 mars 2015
pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA
et l’admission à l’Institut des Actuaires
Par : BERTRAND DESCHAMPS
Titre
Confidentialité : NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)
Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus
Entreprise :
Nom : IRCEM
Signature :
Membre présents du jury de l’Institut
des Actuaires
signature Directeur de mémoire en entreprise :
Nom : Alain KOUTOUAN
Brigitte DUBUS-THIRKELL Signature :
Sylvain CORIAT Invité :
Jean MODRY Nom :
Signature :
Membres présents du jury de l’ISFA
Autorisation de publication et de mise
en ligne sur un site de diffusion de
documents actuariels (après expiration
de l’éventuel délai de confidentialité)
Signature du responsable entreprise
Secrétariat
Signature du candidat
Bibliothèque :
Utilisation des splines dans le lissage d’une table d’expérience x
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M é m o i r e d ’ A c t u a i r e
Utilisation des splines dans le lissage d’une table d’expérience
Bertrand DESCHAMPS
IRCEM Service Actuariat et Finance
T U T E U R
Alain KOUTOUAN, Directeur Actuariat et Finance
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Remerciements
Je remercie tout d’abord Jean-Charles GROLLEMUND, Directeur Général de l’IRCEM, d’avoir mis à ma disposition toutes les données et tous les moyens nécessaires à la réalisation de ce mémoire.
Je tiens à remercier Alain KOUTOUAN, Directeur Actuariat et Finance pour son soutien et la transmission de ses connaissances lors de ce travail.
Je remercie Fabrice IRACI du service Statistiques pour ses précieuses données concernant les assistants maternels.
Je remercie mes collègues Stéphanie AGBONOUGA, Nadoi A OURAGH, Hicham BOUDDOUR, Gauthier DACQUIGNY, Karine DESTOBBELEER et Pierre LOUSTAU pour tous les échanges professionnels et pour leur soutien.
Je tiens à remercier tout particulièrement Jérémy BEGHAIN, responsable du Service Actuariat Inventaire & Process, pour le temps qu’il m’a consacré, pour son aide et ses nombreuses explications ainsi que mon collègue Maxime BERGERON pour l’aide précieuse qu’il m’a apporté tant pour la programmation que pour les échanges dans le domaine actuariel, essentiels à la construction de ce mémoire.
Je remercie Alexis BIENVENUE d’avoir accepté la charge de Tuteur pédagogique.
Je remercie enfin mon épouse pour son avis extérieur, sa patience et le temps consacré à la relecture de ce mémoire.
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Résumé
Avec l’arrivée des normes de Solvabilité II, les sociétés d’assurance sont contraintes
d’évaluer leurs provisions mathématiques au plus proche du risque couvert. Le but de ce
mémoire est la construction d’une table d’expérience pour l’entrée et le maintien en
incapacité des assistants maternels. Cette construction permet en effet de répondre aux
exigences de la directive Solvabilité II : les données nécessaires au calcul du Best Estimate
doivent être de qualité et représenter au mieux le risque de l’entreprise, d’où l’intérêt des
tables d’expérience basées sur le portefeuille particulier des assistants maternels.
Après une phase de retraitement des données brutes, fastidieuse mais indispensable, nous
utiliserons notamment la méthode de Kaplan-Meier pour déterminer les taux de sorties, en
fonction de l’âge des sinistrés et de l’ancienneté en incapacité. De façon à corriger les
imperfections des données brutes, liées à taille du portefeuille, il est nécessaire de lisser la
table.
L’idée de ce travail est ainsi d’introduire et d’utiliser la théorie des splines dans le cadre du
lissage de la table d’expérience. La mise en place d’intervalles de confiance va permettre de
comparer les résultats obtenus par cette méthode avec ceux déduits d’une autre méthode de
lissage ou encore avec la table de référence.
Mots-Clés : Table d’expérience, estimateur de Greenwood, méthode de Kaplan-Meier,
intervalles de confiance, lissage, splines
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Abstract
With the appearance of the Solvency II standards, insurance companies are forced to
estimate their mathematical reserves to the closest to the covered risk. The purpose of this
report is the construction of an experience table for the maintenance in disability of the child-
minders. This construction indeed allows meeting the requirements of the Solvency II
standards: the data necessary for the calculation of the Best Estimate have to be of quality and
represent at best the risk of the company, which is why the experience tables are based on the
particular portfolio of the child-minders.
After a phase of reprocessing of the raw data, we shall use in particular the method of Kaplan-
Meier to determine the exit rates, according to the age of the victims and the seniority in
disability. In order to correct the imperfections of the raw data, due to the size of the
portfolio, it is necessary to smooth the table.
The idea of this work is to introduce and to use the theory of splines within the framework of
the smoothing of the experience table. The implementation of confidence intervals will allow a
comparison of the results obtained by the splines methods with those deducted from another
method of smoothing or with the reference table.
Keywords : experience table, Greenwood’s estimator, method of Kaplan-Meier, confidence
interval, smoothing, splines
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Remerciements .................................................................................................................... 3
Résumé ................................................................................................................................ 5
Abstract ............................................................................................................................... 6
Introduction ......................................................................................................................... 8
1. Présentation générale .................................................................................................... 9
1.1. La notion de Prévoyance ................................................................................................................. 9
1.2. Différents types de contrat de prévoyance ........................................................................... 11
1.3. Assistant maternel : un métier particulier ............................................................................ 12
1.4. Incapacité-Invalidité ...................................................................................................................... 15
1.5. Présentation du groupe IRCEM ................................................................................................. 19
1.6. Tarification ........................................................................................................................................ 21
1.7. Le cadre législatif............................................................................................................................. 23
1.8. Travaux envisagés ........................................................................................................................... 25
2. Les données ................................................................................................................. 26
2.1. Statistiques des données .............................................................................................................. 26
2.2. Mise en forme des données ......................................................................................................... 30
2.3. Tables d’expérience ........................................................................................................................ 40
3. Espace des splines ....................................................................................................... 45
3.1. Notations ............................................................................................................................................ 45
3.2. Splines.................................................................................................................................................. 45
3.3. Interprétation géométrique ........................................................................................................ 46
3.4. Interpolation avec des fonctions splines ................................................................................ 47
4. Splines cubiques naturelles .......................................................................................... 49
4.1. Définition ............................................................................................................................................ 49
4.2. Propriétés ........................................................................................................................................... 49
4.3. Interprétation géométrique ........................................................................................................ 50
4.4. Spline cubique naturelle d’interpolation ............................................................................... 50
4.5. Splines cubiques naturelles d’ajustement ............................................................................. 57
4.6. Lissage par spline bidimensionnelle ........................................................................................ 61
4.7. Lissage par la méthode de Whittaker-Henderson .............................................................. 65
5. Résultats ..................................................................................................................... 67
5.1. Analyse visuelle ............................................................................................................................... 67
5.2. Intervalle de confiance .................................................................................................................. 70
5.3. Calcul des Provisions Mathématiques ..................................................................................... 74
Conclusion .......................................................................................................................... 75
Annexes ............................................................................................................................. 77
Bibliographie .................................................................................................................... 107
8
Introduction
Le secteur des services à la personne fait partie d’un modèle économique fondé sur la
solidarité et le social. Il accompagne les évolutions actuelles de notre société. Avec le
vieillissement, la dépendance, les gardes d’enfants et toutes les formes d’aide à domicile, ce
secteur est en pleine expansion.
L’étude consiste à s’appuyer sur les travaux entrepris les années précédentes sur les CCNSPE1,
à les adapter aux CCNAM2 et à les développer pour le maintien en Incapacité.
Ce mémoire d’Actuaire s’articule en cinq parties. La première partie est une présentation
générale des notions essentielles abordées dans cette étude. Elle comprend les définitions et
les textes législatifs nécessaires pour présenter le cadre général de la problématique, à savoir
la mise en place d’outils spécifiques à l’IRCEM pour le calcul des provisions.
La deuxième partie concerne la réalisation de la table d’expérience. Elle comprend la collecte
et l’analyse des données des années antérieures. Après une phase de retraitement nécessaire,
la question de la comparaison avec la table de référence nationale se pose. Au vu des nouvelles
directives européennes, il semble pertinent de prendre en compte les données particulières de
l’IRCEM.
Les deux chapitres suivants sont plus théoriques et concernent le lissage de la table
d’expérience. Contrairement au cas classique, nous avons décidé d’exposer et d’expérimenter
une méthode de lissage différente : le lissage par splines. La troisième partie met en place les
éléments théoriques nécessaires à la compréhension de cet outil. La quatrième partie est
consacrée plus spécifiquement aux splines cubiques naturelles, qui sont celles utilisées dans
notre étude.
Enfin, la cinquième et dernière partie est consacrée à l’application du lissage par splines dans le
cas de la table d’expérience. Une analyse des résultats obtenus et une comparaison avec le
lissage classique est proposée et permet de conclure quant à l’intérêt de cette méthode.
1 Convention Collective Nationale des Salariés du Particulier Employeur
2 Convention Collective Nationale des Assistants Maternels
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1. Présentation générale
1.1. La notion de Prévoyance
Le but de cette partie est de rappeler ou de préciser les notions utiles pour cette étude.
Nous présenterons également le marché de la prévoyance en France et, notamment, celui de
l’assurance en cas d’incapacité de travail.
1.1.1. Définitions
La protection sociale désigne l’ensemble des mécanismes qui permettent aux individus de
faire face financièrement à certains risques pouvant engendrer soit une hausse des dépenses,
soit une diminution des revenus d’activité.
Quand on parle de prévoyance pour une compagnie d’assurance, on désigne en fait la protection sociale complémentaire qui vient s'ajouter à celle qui intervient dans le cadre d'un régime obligatoire.
Plus précisément, la Prévoyance comprend tout ce qui relève de la couverture de risques liés à la personne (et non aux biens). Il s’agit donc de risques liés pouvant concerner :
la Santé : actes courants, hospitalisation, optique et dentaire, remboursement des
frais médicaux
l’Arrêt de Travail : incapacité, invalidité, maternité (paiement d’indemnités
journalières pour l’incapacité et la maternité et paiement d’une rente pour
l’invalidité)
le Décès : versement d’un capital ou d’une rente aux ayants droits
la Retraite : constitution d’un capital ou d’une rente
la Dépendance : versement d’un capital ou d’une rente
le Chômage : versement d’indemnités de chômage
En cas de réalisation effective du risque, il y a alors versement de prestations en espèces.
Bien que notre étude ne porte que sur le risque incapacité de travail, il nous a semblé utile de présenter au préalable le marché de la prévoyance en France.
1.1.2. Prévoyance en France
En France, les cotisations sociales obligatoires permettent de financer la protection sociale: le paiement de ces cotisations donne droit à une couverture de base. Des versements supplémentaires peuvent venir s’y ajouter.
10
Plusieurs acteurs animent le marché de la Prévoyance. En effet, les couvertures de prévoyance sont assurées d’une part par le régime général de la Sécurité Sociale, d’autre part par les régimes complémentaires des organismes assureurs.
La Sécurité sociale et les organismes de prévoyance complémentaire couvrent, entre autres, les risques associés à une diminution du revenu en cas d'arrêt de travail temporaire ou définitif dû à la maladie, l’incapacité ou à l'invalidité, ou encore en cas de décès. Dans ces cas, des prestations sont versées aux assurés sous la forme d’indemnités journalières, de rentes ou de capitaux.
Plusieurs niveaux de protection existent :
Le régime de base, qui est géré par la Sécurité sociale, Un régime complémentaire obligatoire (par exemple une Convention Collective), Un régime facultatif collectif, souscrit dans le cadre de l'entreprise Des contrats individuels de prévoyance facultatifs.
La sécurité sociale prend en charge le régime général ou régime de base. Elle est le premier
intervenant du marché en France.
Elle offre aux assurés des prestations dans de nombreux domaines mais dont les montants
sont assez faibles. Par exemple, le Capital Décès correspond à environ 3 mois de salaire : il est
au minimum de 375,48 € et au maximum de 9387 € au 1er janvier 2014.
La Sécurité Sociale n’assure pas le remboursement de la totalité des frais de l’assuré. Celui-ci garde notamment à sa charge le ticket modérateur. Des organismes assureurs proposent donc des contrats d’assurance complémentaire. Les organismes agréés pour proposer ces produits d’assurance sont les Sociétés d’assurance (régies par le Code des Assurances), les Mutuelles (régies par le Code de la Mutualité) et les institutions de prévoyance (régies par le Code de la Sécurité Sociale).
Par exemple, l’IRCEM Prévoyance, qui gère entre autres la CCNAM, est un Institut de
Prévoyance, comme son nom l’indique.
En France, les cotisations en assurances de personnes s’établissent à 139,1 milliards
d’euros en 2013, dont 19,5 milliards d’euros3 provenant de l’assurance maladie et accidents.
Les prestations versées au titre des contrats d’assurance maladie et accidents sont restés à un niveau élevé en 2013 : 14,4 milliards d’euros (soit une progression de 4 % par rapport à 2012).
3 Chiffres de la FFSA (Fédération Française des Sociétés d’Assurances)
11
1.2. Différents types de contrat de prévoyance
1.2.1. Définition d’un contrat de prévoyance collective
Un contrat collectif est un contrat d’assurance de personnes passé entre un organisme
assureur et une entreprise. Il est collectif car les clauses du contrat concernent tout ou partie du
personnel employé par l’entreprise. Ce contrat organise la protection sociale complémentaire
du salarié, à savoir la couverture en cas de maladie, d’incapacité de travail, de décès (Article
L141-1 du code des Assurances).
La « Prévoyance Collective » permet de couvrir un groupe de personnes qui ont un lien
objectif entre elles, ce groupe étant représenté par une personne morale qui va signer le
contrat.
Il y a plusieurs intervenants dans un contrat de prévoyance collective :
Le souscripteur : c’est une personne morale qui signe le contrat et paie les cotisations. Il
peut s’agir d’une entreprise, une association, un établissement de crédit.
Les affiliés qui sont les personnes appartenant au groupe assurable (salariés d’une
entreprise, membres d’une association, …).
Les assurés qui sont les personnes soumises au risque. Il peut s’agir des affiliés eux-
mêmes (dans le cas d’un arrêt de travail) mais aussi de leur famille (dans le cas d’une
garantie Frais Médicaux).
Les bénéficiaires sont les personnes susceptibles de recevoir des prestations de la part
de l’assureur. Ils peuvent ne pas être les assurés (par exemple, dans le cas d’une
Garantie Décès).
Les contrats de Prévoyance collective sont à distinguer des contrats de prévoyance individuelle, pour lesquels l’assuré souscrit une garantie directement auprès d’un assureur. On y retrouve également la notion de souscripteur, d’assuré et de bénéficiaire.
1.2.2. Convention Collective Nationale (CCN)
La Convention Collective Nationale est conclue entre organisations patronales et syndicales
de salariés. Elle traite de l’ensemble des relations entre les employeurs et les employés c'est-à-
dire l’ensemble des conditions d’emploi et des garanties sociales. Comme son nom l’indique,
elle est définie au niveau national (quand elle est conclue au niveau régional, on préfère parler
d’accord régional).
La Convention Collective Nationale peut traiter de la mise en place d’un régime de
prévoyance conventionnel. Il s’agit d’un régime de prévoyance minimum que doit souscrire
l’ensemble des entreprises qui relèvent de la CCN.
12
Ce régime de prévoyance conventionnel fournit les garanties minimales, les tarifs ainsi que les
organismes assureurs (qui peuvent être désignés ou recommandés). Dans le cas de la CCNAM4,
l’IRCEM est l’organisme assureur désigné, c'est-à-dire que tous les assistants maternels
déclarés sont systématiquement assurés auprès de l’IRCEM.
Après signature du texte entre les organisations syndicales des salariés et les organisations
patronales, la convention collective ne s’applique, dans un premier temps, qu’aux entreprises
qui sont adhérentes aux organisations patronales signataires du texte.
La CCN fait ensuite l’objet d’un arrêt ministériel d’extension. Le texte s’applique alors à
l’ensemble des entreprises de la branche. Il y a alors obligation pour les entreprises relevant de
la CCN de mettre en place le régime de prévoyance conventionnel.
On peut alors faire face à plusieurs cas de figure :
si l’entreprise n’est pas couverte en prévoyance, elle doit souscrire le régime de
prévoyance conventionnel. Si l’organisme assureur est désigné par la convention,
l’entreprise doit souscrire un contrat auprès des organismes assureurs désignés.
si l’entreprise est couverte en prévoyance à un niveau de garanties inférieur aux
garanties conventionnelles, l’entreprise a un certain délai pour mettre en conformité
son contrat avec les garanties conventionnelles. Passé ce délai, l’entreprise devra
souscrire auprès de l’organisme assureur désigné par la convention.
si l’entreprise est couverte en prévoyance à un niveau de garanties supérieur aux
garanties conventionnelles, l’entreprise peut conserver son contrat auprès de son
assureur actuel.
1.3. Assistant maternel : un métier particulier
Notre étude porte sur les assistants maternels, une population très particulière dont il convient
de préciser les spécificités.
1.3.1. Les différents modes de garde
Les parents peuvent choisir pour la garde de leurs enfants un accueil collectif (crèche,
micro-crèche, halte-garderie, jardin d’enfants) ou individuel (garde à domicile ou assistant
maternel).
Le mode de garde qui nous intéresse au premier chef, dans cette étude, est l’assistant
maternel. L'article L. 421-1 du code de l'action sociale et des familles précise que « l'assistant
maternel est la personne qui, moyennant rémunération, accueille habituellement et de façon
non permanente des mineurs à son domicile ». L’agrément est délivré par le président du
Conseil Général.
4 CCNAM : Convention Collective des Assistantes Maternelles
13
L’assistant maternel ne doit pas être confondu avec l’assistant familial qui accueille de
façon permanente l’enfant, comme le précise la loi du 27 juin 2005.
Depuis quelques années en France, les démarches de déclaration des salaires par le
particulier employeur ont été nettement simplifiées. L’exemple le plus significatif est
Pajemploi: il s’agit d’une offre de service du réseau des Urssaf, destinée à simplifier les
formalités administratives pour les parents employeurs qui font garder leur enfant par une
assistante maternelle agréée.
En parallèle, certaines aides sont versées aux parents. Ainsi, la Prestation d'Accueil du
Jeune Enfant (PAJE) est définie aux articles L531 du code de la Sécurité Sociale. Il s’agit d’une
aide financière versée aux parents d’enfants de moins de 6 ans par la CAF (Caisse d'Allocations
Familiales) depuis le 1er janvier 2004. Toutes ces mesures permettent d’expliquer, en partie,
l’essor de ce secteur.
Les assistants maternels du particulier employeur constituent le premier mode de garde
des enfants de moins de 6 ans. En 2013, en France métropolitaine, on estime à 351 665 le
nombre d’assistants maternels agréés en activité employés par les particuliers.
1.3.2. Le métier d’assistant maternel
Dans la plupart des cas, l’assistant maternel est employé par un (ou des) particuliers(s).
Cependant, dans de rares cas, il peut l’être directement par la caisse d’allocations familiales,
des collectivités locales ou même des associations5.
Les parents n’emploient généralement qu’un seul assistant maternel alors que 66% des
assistants maternels sont employés par trois familles ou plus.
Les assistants maternels accueillent, en moyenne, environ 3 enfants dont la plupart ont
moins de 3 ans.
L’assistant maternel est un professionnel de la petite enfance. Il peut obtenir un agrément
pour accueillir à son domicile jusqu’à quatre enfants, depuis une loi du 19 décembre 2009.
Toutefois un assistant maternel peut accueillir un nombre d’enfants supérieur à celui de
l’agrément, mais pas simultanément. Un assistant maternel peut ainsi garder plus de cinq
enfants, s’ils sont accueillis à des moments différents.
La durée normale maximale d’accueil d’un enfant est de 45 heures. En cas d’heures
supplémentaires, un enfant ne peut être accueilli au-delà de 48 heures par semaine sans
l’accord de l’assistant maternel. La durée annuelle de travail ne peut pas dépasser 2 250
heures (heures supplémentaires comprises).
L'assistant maternel bénéficie d'un repos hebdomadaire d'au moins 24 heures. Lorsque
l'assistant maternel a plusieurs employeurs, le jour de repos est le même pour tous
(généralement le dimanche).
5 FEPEM [2012]
14
L'assistant maternel accueille normalement l’enfant 9 heures par jour et bénéficie d'un
repos quotidien de 11 heures consécutives minimum. Dans le cas de multiples employeurs, la
plage horaire de travail de l’assistant maternel peut être assez grande.
Les demandes de garde à temps plein se font de plus en plus rares. D’autre part, rien ne
garantit l’enchaînement des contrats et donc la continuité des revenus pour les assistants
maternels. Sur une même année, le niveau de salaire des assistants maternels peut donc être
très changeant selon le nombre et les conditions de contrats signés avec les parents
employeurs.
1.3.3. Niveau d’étude des assistants maternels
Aucun niveau de diplôme n’est exigé pour exercer la profession d’assistant maternel. Seule
une formation de 120 heures est obligatoire. On peut toutefois préciser que certaines
formations de niveau IV sont dispensées telles que le CAP Petite Enfance ou le BEP Carrières
sanitaires et sociales.
On peut noter encore une grande hétérogénéité dans le niveau d’études des assistantes
maternelles selon leur âge. Les plus âgées ont les niveaux d’études les plus faibles (le niveau
moyen correspond à la fin de la classe de troisième, au CAP et au BEP). Les plus jeunes ont une
meilleure formation, en moyenne de niveau baccalauréat, certaines ont même suivi des études
supérieures.
Enfin, les assistantes maternelles peuvent évoluer dans leur carrière professionnelle grâce à
la formation continue ou par concours vers d’autres métiers du secteur de la petite enfance
tels qu’auxiliaire de puériculture ou ATSEM (Agent Territorial Spécialisé Ecoles Maternelle).
1.3.4. Profil des assistants maternels
L’âge moyen des assistants maternels est de 47 ans en 2013. Il s’agit d'une profession exercée presque exclusivement par des femmes (près de 99.6 % en 2013). La féminisation du mot est très courante : on parle le plus souvent d’assistantes maternelles. La plupart d’entre elles ont des enfants et ont exercé d’autres professions auparavant. Elles choisissent souvent ce métier « par défaut » plus que « par vocation ».
Les assistantes maternelles les moins qualifiées ont généralement eu des enfants plus
tôt. Peu diplômées, elles ont eu des difficultés à s’intégrer sur le marché du travail.
Rapidement, la garde d’enfants s’avère, pour elles, la seule possibilité d’améliorer leur
situation sociale et financière, sans qualification particulière. Faute de diplôme, elles ont donc
peu travaillé avant d’exercer ce métier.
Les plus diplômées ont généralement eu des enfants plus tard et ont donc exercé une
autre activité plus longtemps, parfois dans des secteurs difficiles ou peu valorisés (grande
distribution, industrie...). Après la naissance de leurs enfants, certaines ont préféré prendre un
congé parental et ont ensuite opté pour le métier d’assistante maternelle, à titre transitoire ou
définitif.
15
D’autres se sont trouvées contraintes à ce choix d’activité par la survenue d’événements
personnels tels que le chômage, la maladie ou le divorce.
1.3.5. Un secteur qui résiste à la crise
Le secteur des emplois de la famille et des services à la personne est l'un des rares
secteurs qui connaît une réelle croissance. L’IRCEM estime que cette croissance était environ 3
fois plus forte que celle du PIB en 2011. Même si le secteur a connu une crise économique,
celle-ci est sans commune mesure avec celle de l’Economie Française.
Toutefois, comme le rappelle le Directeur Général de l’IRCEM, Jean-Charles
GROLLEMUND, le développement du secteur des emplois de la famille et des services à la
personne est fortement influencé par les mesures fiscales. Or, la loi de Finances de 2011 a
induit une baisse de 15 % des avantages fiscaux pour certains salariés ce qui a provoqué une
baisse de la croissance mais qui reste positive dans ce secteur.
Le secteur des services à la personne résiste encore face à la morosité économique
actuelle.
1.4. Incapacité-Invalidité
Ce mémoire est basé sur la constitution d’une table d’expérience pour les personnes en
arrêt de travail et il semble opportun de préciser cette garantie, qui est une institution en
France.
1.4.1. Définitions
L’incapacité est une incapacité physique d’exercer une activité professionnelle. Elle doit
être constatée par un médecin et faire l’objet d’un arrêt de travail. L’incapacité dure au
maximum 3 ans. Si, à l’issue de ces 3 ans, le salarié n’a pas repris le travail, il sera reconnu par
la Sécurité Sociale en état d’Invalidité.
Un salarié est très rarement placé directement en invalidité ; l’invalidité fait généralement
suite à une période d’incapacité. Il s’agit d’une incapacité prolongée qui se fait dès que
l’incapacité est stabilisée.
On distingue 3 catégories d’invalidité :
- 1ère catégorie : capacité d’exercer une activité rémunérée (soit son ancien travail à temps partiel soit un autre travail).
- 2ème catégorie : incapacité d’exercer une activité professionnelle.
- 3ème catégorie : incapacité de travailler et besoin d’une tierce personne pour les actes quotidiens de la vie.
16
1.4.2. Les différents degrés de couverture en arrêt de travail
Ce paragraphe nous est utile pour préciser quand et à quel niveau intervient l’assureur en
cas d’arrêt de travail du salarié. En effet, dans une entreprise, on peut distinguer trois degrés
de couverture du risque « Arrêt de Travail » :
- Garanties de la Sécurité Sociale - Couverture assurée par l’entreprise : obligation de maintien de salaire par l’employeur - Garantie complémentaire versée par les Organismes Assureurs
La somme de ces trois niveaux permet de définir le salaire de remplacement en cas d’Arrêt de Travail.
1.4.2.1. Prestations de la sécurité sociale
En cas d’arrêt de travail, la Sécurité Sociale verse des indemnités journalières qui varient si le
salarié est en incapacité ou en invalidité mais également selon la catégorie d’invalidité
- Incapacité : 50% du salaire journalier de la Tranche A6
- Invalidité 1ère Catégorie : 30% du salaire journalier de la Tranche A
- Invalidité 2ème Catégorie : 50% du salaire journalier de la Tranche A
- Invalidité 3ème Catégorie : 50% du salaire journalier de la Tranche A auquel s’ajoute une majoration pour une tierce personne (1 096.50 € par mois au 1er avril 2013) Il est important de préciser que le versement de l’indemnité journalière subit un délai de carence de 3 jours c’est-à-dire que la sécurité sociale n’intervient qu’à partir du 4ème jour (figure n°1). Exemple : un salarié de deux ans d’ancienneté et dont le salaire brut est inférieur au PASS7.
6Tranche A : rémunération brute soumise à cotisation limité au plafond de la sécurité sociale (3 086 euros en 2013)
7 PASS : Plafond Annuel de la Sécurité Sociale (37 032 euros en 2013)
Salaire de
remplacement
Durée
de l’Arrêt
de Travail
Sécurité Sociale
4 j 67 j
50 % du salaire
Salaire brut de base
Figure n°1 : répartition du salaire de remplacement
17
En incapacité, on peut noter plusieurs cas particuliers :
si l’assuré a au moins trois enfants à charge, on passe de 50% à 67% du salaire
journalier de la Tranche A à partir du 31ème jour d’indemnisation
dans le cas d’un accident du travail ou d’une maladie professionnelle, il n’y a pas de
délai de carence.
On peut trouver d’autres cas particuliers mais nous décidons de ne pas rentrer dans les
détails pas souci de clarté.
La durée maximale de paiement de la rente d’incapacité est de 3 ans.
Quoi qu’il en soit, les rentes d’incapacité et d’invalidité cessent d’être versées dès lors qu’il y a
liquidation de la pension de retraite.
A ce titre, on peut signaler que les différentes réformes de la retraite (notamment sur la
durée de cotisations) ont une incidence qui est loin d’être négligeable pour les assureurs. En
effet, ces réformes induisent une prolongation du paiement de la rente d’invalidité.
Les deux paragraphes suivants présentent les obligations auxquelles est tenu un employeur « classique », c'est-à-dire dans le cadre d’une entreprise. Nous sommes conscients que notre étude porte sur une catégorie très particulière, le parent employeur. Toutefois, il nous semble nécessaire de connaître les cas général pour apprécier les spécificités de l’exception.
1.4.2.2. Obligation de maintien de salaire par l’employeur
La loi sur la mensualisation du 19 janvier 1978 impose aux employeurs de maintenir, sous certaines conditions, une partie de la rémunération du salarié en arrêt de travail. L’indemnisation de l’employeur intervient en complément des indemnités versées par la Sécurité sociale.
Depuis la loi du 25 juin 2008, l’ancienneté minimum requise pour ces droits est de 1 an avec une carence de 7 jours (le délai de carence est supprimé en cas d’accident de travail ou de maladie professionnelle).
L’employeur complète les indemnités versées par la Sécurité sociale à hauteur de 90 %, puis au 2/3 du salaire brut que le salarié aurait gagné s’il avait continué à travailler.
Les durées d’indemnisation augmentent de 10 jours par tranche de 5 ans d’ancienneté
et sont limitées à 90 jours. Par exemple, un salarié qui a 12 ans d’ancienneté percevra 90% de
son salaire brut pendant les 50 premiers jours puis 66,67% les 50 jours suivants, en cas d’arrêt
de travail (figure n°2).
Les Conventions Collectives Nationales peuvent fixer une obligation de maintien de salaire conventionnelle (ancienneté minimale, montant, durée, …).
18
Exemple : un salarié de deux ans d’ancienneté et dont le salaire brut est inférieur au PASS.
L’entreprise peut financer ce complément d’indemnisation sur sa trésorerie ou grâce à un système d’assurance proposé par une institution de prévoyance. Celle-ci prend alors en charge le complément du salaire. Les cotisations sont dans ce cas à la charge de l'employeur.
1.4.2.3. Prestations complémentaires de l’assureur : cas d’une entreprise
L’assureur verse des indemnités journalières en cas d’incapacité. Il se réfère à la
position de la Sécurité Sociale, notamment pour la reconnaissance de l’incapacité (pas
forcément l’Invalidité). Il peut toutefois mettre en place un contrôle des arrêts de travail
(AMC).
Comme nous l’avons déjà précisé, dans le cadre de contrats collectifs, le montant des
Indemnités Journalières (IJ) s’exprime en pourcentage du salaire brut après déduction des
prestations de la Sécurité Sociale (figure n°3).
Ces indemnités journalières sont versées après une période de franchise qui peut être
de plusieurs types (continue ou discontinue, absolue ou relative, …).
Salaire de
remplacement
Durée
de l’Arrêt
de Travail
Sécurité Sociale
4 j
90 % du salaire
8 j
66 % du salaire
Employeur
67 j 37 j
50 % du salaire brut
Salaire brut de base
Figure n°2 : répartition du salaire de remplacement
19
Exemple :
Un salarié de deux ans d’ancienneté et dont le salaire brut est inférieur au PASS.
L’entreprise a souscrit un contrat d’Incapacité-Invalidité avec une franchise de 50 jours et dont
le montant de la garantie est de 80 % du salaire brut (après déduction des prestations de la
Sécurité Sociale).
Figure n°3 : répartition du salaire de remplacement
Comme nous l’avons précisé précédemment, le parent employeur est un cas particulier
et ne correspond pas au cas précédent. En effet, la protection légale en cas de maladie et
d’accident s’applique pour les salariés ayant 1 an d’ancienneté chez l’employeur (article 5 de
l’ANI8 du 11 janvier 2008 sur la modernisation du marché du travail). Cette condition n’est pas
toujours vérifiée par les assistantes maternelles et plus généralement par des salariés
employés par des particuliers employeurs.
L’IRCEM a donc adapté sa stratégie pour répondre à ces besoins spécifiques.
1.5. Présentation du groupe IRCEM
1.5.1. Le Groupe IRCEM
L’IRCEM (Institut de Retraite Complémentaire des Employés de Maison) est le groupe
de protection sociale des emplois de la famille, salariés de la famille, employeurs et retraités de
ce secteur d’activité en France. Son nombre d'adhérents est d’environ 5 millions.
8 ANI : Accord National Interprofessionnel
Salaire de
remplacement
Durée
de l’Arrêt
de Travail
Sécurité Sociale
4 j
90 % du salaire
8 j
66 % du salaire
Employeur
80 % du salaire
Assureur
67 j 37 j 51 j
50 % du salaire
Salaire de base
20
Il gère la retraite complémentaire, la prévoyance collective, la mutuelle et l’action
sociale des « services à la personne ». Le Groupe IRCEM est composé de 3 institutions qui
sont : IRCEM-Retraite, IRCEM-Prévoyance et IRCEM-Mutuelle.
1.5.2. Les différents produits IRCEM
Même si les travaux réalisés ne concernent qu’un produit de l’IRCEM, il nous a semblé intéressant de préciser succinctement tous les produits proposés par l’IRCEM car cela permet de situer l’étude dans un contexte plus global.
1.5.2.1. IRCEM Mutuelle
Toutes ces garanties sont facultatives.
D’une part, l’IRCEM propose des contrats individuels : Frais médicaux, Obsèques (capital en cas de décès pour frais d’obsèques), Branche Accident (capital décès et forfait Hospitalisation).
D’autre part sont proposés des contrats collectifs : Rupture (indemnités versées au salarié suite au décès de l’employeur), Hospitalisation temporaire de l’employeur, Capital Autonomie (financement d’aménagement de l’habitation en cas de perte d’autonomie).
1.5.2.2. IRCEM Prévoyance
L’IRCEM propose des produits de Prévoyance spécifiques adaptés et répondant aux besoins
des salariés des particuliers employeurs (CCNSPE) et des assistants maternels (CCNAM).
CCNSPE
La Convention Collective Nationale des Salariés du Particulier Employeur est obligatoire pour ces personnes concernées. Elle prévoit une indemnisation complémentaire à celle de la Sécurité Sociale pour les salariés de la profession (employés de maison, gardes d’enfant à domicile…) en cas d’arrêt de travail pour maladie, accident, invalidité. Il s’agit d’un contrat collectif.
CCNAM
Sur le principe de la CCNSPE, la Convention Collective Nationale des Assistantes Maternelles est un contrat collectif obligatoire qui prévoit une indemnisation complémentaire à celle de la Sécurité Sociale pour les assistantes maternelles en cas d’arrêt de travail pour maladie, accident, invalidité.
En cas de décès ou de perte totale et irréversible d’autonomie, une rente éducation est versée au profit de chaque enfant jusqu’à sa majorité.
Dans le cadre de maladie redoutée, comme le cancer, un capital est versé au salarié.
D’autres garanties facultatives sont proposées : Incapacité-Invalidité, Obsèques, Décès du salarié, Rupture du contrat de travail.
21
Les éléments importants de la CCNAM sont donnés en annexe. Des caractéristiques précises telles que le salaire de référence, les bénéficiaires, les conditions d’exclusion y sont décrites. Nous avons volontairement choisi de ne pas les exposer explicitement dans cette étude pour ne pas en alourdir la lecture.
Toutefois, nous avons choisi d’illustrer (figure n°4) le cas d’un salarié placé en arrêt de travail et, plus précisément, placé en incapacité suite à une maladie (délai de carence de 7 jours).
Figure n°4 : répartition du salaire de remplacement
Ce graphique est à comparer avec celui concernant les prestations complémentaires de l’assureur dans le cas d’une entreprise. On peut constater que, dans ce cas, l’IRCEM se substitue complètement au particulier employeur pour le versement des prestations complémentaires aux salariés en arrêt de travail.
1.6. Tarification
1.6.1. Notions générales
Evidemment, pour pouvoir verser les indemnités journalières, l’assureur touche des
cotisations (ou primes) qui doivent correspondre au niveau des prestations estimées.
Il convient de distinguer 3 types de primes :
La prime pure qui correspond à la prime de risque
La prime d’inventaire qui correspond à la prime de risque à laquelle s’ajoutent les frais de gestion
La prime commerciale qui correspond à la prime d’inventaire à laquelle s’ajoutent les frais d’acquisition
Les frais de gestion et d’acquisition s’expriment en pourcentage de la prime commerciale.
Salaire de
remplacement
Durée
de l’Arrêt
de Travail
Sécurité Sociale
4 j 8 j
Assureur
50 % du salaire brut
Salaire brut de base
77 % du salaire brut
22
1.6.2. Eléments prépondérants dans le calcul
Les niveaux de garantie (montant du capital, montant des IJ9, franchise,…) influent
directement sur le tarif tout comme la taille du portefeuille (le risque diminue quand le
nombre d’assurés augmente).
En outre, les probabilités de sortie de portefeuille et notamment les probabilités de décès sont
évidemment à prendre en compte. Toutefois, d’autres éléments essentiels sont à prendre en
compte dans la tarification de la garantie Incapacité-Invalidité. Il s’agit de facteurs liés à la
population spécifique de l’entreprise :
Age : les risques de décès et de passage en Incapacité-Invalidité augmentent avec l’âge
Sexe : les taux de mortalité sont plus élevés chez les hommes ; les femmes sont plus
fréquemment en Incapacité-Invalidité alors que les hommes y restent plus longtemps
CSP (Catégorie Socio Professionnelle) : les risques sont plus élevés pour les non cadres par
rapport aux cadres et plus élevés chez les ouvriers par rapport aux employés
Secteur d’activité : pour les non cadres, les risques sont plus élevés dans le domaine
industriel par rapport au domaine tertiaire
L’ancienneté est également à prendre en compte dans le cas de contrats en relais et
complément.
1.6.3. Calcul de la prime
On considère un risque annuel. La prime pure correspond à la prime de risque.
10
Il s’agit d’une formule générale que nous allons préciser dans le cas qui nous intéresse, à savoir
l’incapacité. Il convient tout d’abord de définir les notations utilisées. On note ainsi :
: Âge de l’assuré : Montant mensualisé des IJ (qui correspondent aux prestations) : Franchise
: Probabilité d’avoir un arrêt de travail d’une durée supérieure à la franchise pour
un assuré d’âge
La prime pure est proportionnelle au capital constitutif de la garantie Incapacité :
9 IJ : Indemnité Journalière
10 VAP : Valeur Actuelle Probable
23
Nous pouvons préciser le calcul du capital constitutif de la garantie Incapacité.
Pour cela, introduisons 2 nouvelles notations :
: Probabilité que le salarié soit encore en arrêt au -ième mois sachant qu’il était en
arrêt au -ième mois
: Nombre de personnes restant en incapacité au bout de mois en étant entrées en
incapacité à l’âge
On a :
[ ]
[ ]
[ ]
⁄
⁄
Ainsi le capital constitutif est donné par :
∑
Et la prime pure est donnée par :
∑
1.7. Le cadre législatif
Toute société d’assurance est soumise à une réglementation stricte qui permet de limiter les risques de faillite et ainsi de protéger les assurés. Depuis 1990, le législateur a cherché à protéger et sécuriser les opérations de prévoyance en instaurant des règles de plus en plus exigeantes pour le provisionnement du risque incapacité / invalidité.
En effet, avant la loi Evin du 31 décembre 1989, les organismes assureurs n’étaient soumis à aucune obligation en matière de provisions. Le principe de répartition imposait simplement que les primes de l’année couvrent les sinistres de l’année.
En principe, les organismes assureurs utilisaient les méthodes proposées par le guide de l’assurance de groupe du Bureau Commun des Assurances Collectives (BCAC).
Ce guide définit les trois provisions suivantes :
provision pour incapacité (pour couvrir les indemnités à verser à l’incapable)
provision pour rente en attente (lorsque l’assuré est en incapacité il y a un risque de passage en invalidité)
provision pour invalidité (pour couvrir la rente totale à verser à l’invalide).
Auparavant, ces provisions étaient calculées sur la base des travaux réalisés par Wetzel dans les années 1960 et la différenciation par âge était imprécise (loi de maintien des invalides entrés à 50 ans uniquement). Cependant rien n’obligeait réellement l’assureur à utiliser cette méthode ni même à provisionner ces risques.
24
Dans un souci de protection de l’assuré, le législateur a donc imposé, par la loi Evin, certaines règles concernant les opérations de prévoyance complémentaire.
Plus récemment, l’intérêt porté par les normes IFRS et le projet Solvabilité II conduit les
assureurs à rechercher une prise en compte aussi large que possible de l’expérience du
portefeuille pour lesquelles les hypothèses « réglementaires » étaient largement utilisées
jusqu’alors (par exemple, pour l’arrêt de travail).11
1.7.1. La loi Evin : des provisions forfaitaires
Cette loi est le premier texte qui vise l’ensemble des organismes autorisés à pratiquer la prévoyance collective complémentaire. L’article 7 de cette loi introduit notamment une obligation de provisionnement puisque « l’engagement doit être couvert à tout moment pour tous les contrats ou conventions souscrits, par des provisions représentées par des actifs équivalents ».
Le décret n°90-768 du 30 août 1990 pour l’application de cet article précise que le montant
minimum à provisionner correspond à :
deux fois le montant annuel des prestations d’incapacité servies au cours de l’exercice
« pour les prestations dues au titre du risque incapacité, lorsque les versements peuvent
s’échelonner sur plus de 365 jours et peuvent se poursuivre par des prestations d’invalidité »
six fois le montant annuel des prestations d’invalidité servies au cours de l’exercice
pour les prestations dues au titre du risque invalidité.
L’article 29-V de la loi précise cependant qu’il s’agit d’une mesure transitoire en attendant la mise au point de tables de provisions plus précises.
1.7.2. Arrêté du 28 mars 1996 : l’utilisation de tables
Cet arrêté a créé l’article A 331-22 du Code des Assurances sur les provisions de prestations
d’incapacité et d’invalidité. Contrairement à la loi Evin, cet article s’applique aussi bien aux
opérations individuelles que collectives.
Il introduit :
Les tables « officielles » de maintien en incapacité de travail et invalidité, servant de
base au calcul des provisions
La possibilité d’utiliser une loi de maintien certifiée
Le taux d’actualisation à appliquer.
11
Article de Frédéric Planchet dans La Tribune de l’assurance n°117 de novembre 2007
25
« Le calcul des provisions techniques de prestations d’incapacité et d’invalidité est effectué à partir des éléments suivants :
1° les lois de maintien en incapacité de travail et en invalidité indiquées en annexe (de l’article ou de la note du BCAC du 27 août 1993). Toutefois, il est possible pour une entreprise d’assurances d’utiliser une loi de maintien établie par ses soins et certifiée par un actuaire indépendant de cette entreprise, agréé à cet effet par l’une des associations d’actuaires reconnues par la commission de contrôle des assurances
2° un taux d’actualisation qui ne peut excéder 75% du taux moyen des emprunts de l’Etat français calculé sur base semestrielle, sans pouvoir dépasser 4,5%. »
Par ailleurs, il ne faut pas oublier que les assureurs sont tenus à des principes de base de provisionnement rappelés dans les articles L331-1 et R 331-1 relatifs à la constitution des tables d’expérience.
1.7.3. Solvabilité II
Solvabilité II est une réforme réglementaire européenne du monde de l'assurance qui cherche à adapter les fonds propres des compagnies d'assurances et de réassurance aux risques courus dans leur activité.
Dans le dispositif Solvabilité II, le principe de calcul des provisions techniques repose sur la distinction entre les risques couvrables (par des instruments financiers) et les risques non couvrables. Dans le second cas, la provision technique est évaluée par la somme du Best Estimate et de la marge pour risque.
L’EIOPA12 définit le Best Estimate comme « la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l’argent, estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinents ».
En assurance de personne, le calcul du Best Estimate nécessite de prendre en compte l’expérience du portefeuille lorsqu’il s’agit d’évaluer la probabilité de versement de flux futurs, d’où l’importance et la pertinence des tables d’expérience que nous sommes en train de construire.
1.8. Travaux envisagés
Au sein des différents produits proposés par l’IRCEM, celui qui nous intéresse pour notre étude est la CCNAM. Il s’agit d’un produit de Prévoyance qui correspond à une Convention Collective pour les Assistantes Maternelles. La garantie étudiée est l’Incapacité/Invalidité, et plus particulièrement l’Incapacité.
En regard des différents arguments présentés dans le volet législatif précédent (c’est-à-dire la nécessité de calculer une provision donnant l’image la plus fidèle possible du portefeuille), la question se pose de la pertinence de la construction d’une table d’expérience basée sur le portefeuille des assurés de l’IRCEM ayant souscrit un contrat comportant au moins une garantie complémentaire en cas d’incapacité.
12
EIOPA (European Insurance and Occupational Pensions Authority ) est l’autorité européenne des assurances et
des pensions professionnelles qui regroupe les autorités de contrôles dans le cadre de Solvabilité II
26
Nous nous limiterons à l’entrée et au maintien en incapacité uniquement. En effet, les données concernant le passage de l’incapacité à l’invalidité ainsi que celles concernant le maintien en invalidité ne sont pas assez nombreuses actuellement pour permettre de mettre en place des tables d’expérience fiables.
2. Les données
2.1. Statistiques des données
A ce stade des travaux, il nous semble important de faire un point sur les composantes du
portefeuille : les assurés. Même si l’essentiel de notre travail est une approche mathématique
des données, il ne faut pas oublier que derrière chaque dossier se trouvent des hommes et des
femmes qui ont leur particularité. C’est d’ailleurs la singularité de notre portefeuille qui nous
amène à créer notre propre table d’expérience.
Une bonne connaissance des données peut nous permettre également de justifier nos
choix, voire d’orienter nos décisions. Certaines statistiques fournies dans ce paragraphe ne
sont pas utiles directement dans la mise en place de la table d’expérience mais donnent une
image réaliste et du portefeuille des sinistrés pour la CCNAM, et de son évolution au cours des
années.
2.1.1. Répartition par sexe
Figure n°5 : répartition des Assistants Maternels par sexe
Au regard de la figure n°5, une caractéristique forte saute immédiatement aux yeux : la faible part des hommes dans les arrêts de travail. En effet, ils ne représentent que 0,1 % des sinistres. Cette anomalie s’explique par la particularité du portefeuille des assurés pour cette garantie. La Convention Collective s’adresse aux Assistants Maternels qui ne sont presque exclusivement que des femmes.
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
80.0%
100.0%
Femmes Hommes
Répartition par sexe
27
2.1.2. Répartition par tranches d’âge
Figure n°6 : répartition des sinistrés par tranche d’âges
On peut constater (figure n°6) que la plupart des sinistrés sont âgés entre 36 et 60 ans. En effet, cette tranche d’âge regroupe environ 84,5 % des arrêts de travail. Plus précisément, la tranche d’âge 41-56 ans représente plus de la moitié des sinistres (environ 58,6 %).
2.1.3. Répartition des coûts des sinistres
Figure n°7 : répartition des prestations versées
D’après l’histogramme précédent (figure n°7), la majorité des sinistres coûte à l’IRCEM entre 150 et 1000 euros mais on peut remarquer que les coûts extrêmes (moins de 50 € et plus de 5000 €) sont loin d’être négligeables puisqu’ils représentent à eux deux près de 12 % des sinistres.
0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
Sinistrés par tranche d'âges
0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
Répartition des coûts des sinistres cloturés
28
2.1.4. Répartition géographique
Figure n°8 : Répartition géographique des sinistres par région13
Cette carte (figure n°8) permet de mettre en évidence certaines régions où le nombre
d’arrêts de travail est le plus élevé (Rhône-Alpes ainsi que l’ouest de la France). En revanche la
Corse et les DOM TOM (qui ne sont pas représentés sur ce graphique) présentent un nombre
de sinistres assez faible, aux alentours de 0,1 %. Il pourrait être intéressant d’étudier plus
précisément ces phénomènes régionaux mais nous sortons du cadre de cette étude.
13
Graphique réalisé grâce au site http://www.drawmeagraph.com
29
2.1.5. Répartition des durées des sinistres
Figure n°9 : répartition des durées d’incapacité
La garantie Incapacité ne peut être versée que durant 3 ans (figure n°9). A compter du
1096ème jour, l’assuré réintègre son emploi ou passe en Invalidité s’il est reconnu comme tel
par la Sécurité Sociale.
Le paiement des IJ s’effectue généralement pendant moins de 2 mois (65,9 % des sinistres) et
81.1% des sinistres durent moins de 4 mois. A contrario, 7,5% des sinistres provoquent une
Incapacité de longue durée (plus d’un an d’arrêt de travail).
La durée de l’arrêt de travail est primordiale pour une société d’assurance. En effet, il est
essentiel d’estimer non seulement le montant versé chaque jour à l’assuré en Incapacité mais
également le nombre de jours durant lesquels ces indemnités seront versées.
2.1.6. Age moyen de sortie de l’Incapacité
On peut rappeler que les sorties de l’Incapacité peuvent être de plusieurs types : reprise du
travail, passage en Invalidité, retraite ou décès.
Les données de l’IRCEM montrent que l’âge moyen de sortie de l’Incapacité est en progression
depuis 2005 : il est de 46,79 ans en 2011 (contre 46,39 ans en 2005). Cette différence est
minime et n’influence pas le calcul des provisions.
0.0%
5.0%
10.0%
15.0%
20.0%
25.0%
30.0%
35.0%
40.0%
45.0%
Répartition des durées des sinistres
Clôturés
Ouverts
30
2.2. Mise en forme des données
Dans cette partie, nous allons détailler les différentes requêtes utilisées nous permettant
de stocker et de retraiter les données correspondant aux assurés de la garantie Arrêt de Travail
Incapacité/Invalidité pour la Convention Collective Nationale des Assistantes Maternelles.
Le logiciel utilisé est Microsoft SQL Server.
Il s’agit d’un système de gestion de base de données, développé et commercialisé par la
société Microsoft. Les bases de données sont contenues physiquement dans des fichiers. Les
tables sont les objets qui contiennent effectivement les données dans la base.
2.2.1. Stockage des données
Nous travaillons sur une base de 83 101 dossiers. Nous utilisons les données de l’IRCEM
entre le 1er janvier 1999 au 30 juin 2012. Cependant nous ne retiendrons que les dossiers non
clôturés au 31 décembre 2011 de façon à disposer de données propres et complètement
exploitables.
Il semble intéressant de présenter le contenu des tables de façon à se faire une idée plus
précise du travail effectué sur la base de données dans le cadre de notre étude.
Les données transmises par le Service Informatique de l’IRCEM sont stockées dans la table
TableExperienceRR_Extract et plus particulièrement dans la table Tab_Parametre qui nous
fournit l’ensemble des paramètres utilisés. C’est celle-ci que nous allons détailler.
En effet, la connaissance du contenu de ces différents champs (figure n°10) est la base même
du travail de retraitement des données qui est developpé dans la partie suivante.
Figure n°10 : champs de la table
31
Il convient de détailler les notations pour comprendre l’intérêt des différents champs de la
Table :
IdTab : Identifiant permettant de marquer et de retrouver les données au sein de la table
TabLoiMaintienEnIncapArchive
DateEtude : Date à laquelle les données sont arrêtées
Les champs AgeNaiValDeb et AgeNaiValFin sont des champs fixes qui donnent une fourchette
d’âges minimal et maximal ; on suppose, dans notre étude, que les salariés ont plus de 16 ans
et moins de 75 ans.
Archive : valeur binaire qui associe le chiffre 1 à la donnée si celle-ci est également présente
dans la table TabLoiMaintienEnIncapArchive c’est-à-dire à une donnée archivée
Encours : valeur binaire qui associe le chiffre 1 à la donnée si celle-ci est également présente
dans la table TabLoiMaintienEnIncap
SourceDeDonnees : les données peuvent être issues de deux sources différentes à savoir
Gaspard pour les dossiers les plus anciens et Pi pour les dossiers les plus récents (depuis 2008).
DateLance : Date à laquelle l’étude a été faite
MoisIncap : Nombre de mois retenu pour clôturer l’incapacité
Population : Cette table contient tous les dossiers exploitables des CCNSPE et CCNAM.
Time_Id : Ce champ n’est pas exploité dans notre étude.
Nous obtenons ainsi une base de données fiable et utilisable (figure n°11) :
Figure n°11 : base données des sinistrés
Cette table de données est utilisée aussi bien pour construire une table d’expérience pour les
CCNSPE que pour les CCNAM. Il convient donc de créer une requête sql fournissant une table
spécifique aux CCNAM :
Reqûete :
32
Le but de cette première requête est de récupérer les données stockées sur la base
R_Table_Experience et de les intégrer dans la base TableExperience dans la Table
TabLoiMaitienEnIncap.
Il convient de s’assurer avant toute chose que la table TabLoiMaitienEnIncap est vide pour
éviter de stocker des données inutiles ou erronnées.
2.2.2. Retraitement des données
Tous les dossiers concernant les arrêts de travail, sur la période 1998-2011 pour les
CCNAM, sont désormais stockés dans une seule et même table de données. Malheureusement
les données informatiques stockées présentent inévitablement des erreurs de saisie.
Certaines anomalies ou erreurs ont pu être corrigées dans les cas suivants :
La catégorie Sexe n’est pas renseignée alors que l’on connait le numéro de sécurité
Sociale
La date de naissance n’est pas renseignée ou mal complétée alors que l’on connait le
numéro de sécurité Sociale
Il existe des doublons c’est-à-dire des dossiers enregistrés plusieurs fois
Les dates de clôture sont manquantes ou erronées
L’âge de l’assuré n’est pas précisé ou est erroné
On s’assure également que le nombre de jours d’indemnisation est correctement renseigné.
D’autres retraitements spécifiques à notre étude sont appliqués également. En effet,
comme nous l’avons dit précédemment, nous nous limitons aux dossiers en cours entre le 1er
janvier 1998 et le 31 décembre 2011. Ainsi, les événements postérieurs à cette date doivent
être retraités si on veut faire une photographie réaliste des dossiers à cette date.
C’est pour cette raison que l’on décide des opérations suivantes :
On supprime les dates de reprises ou de décès supérieures au 31 décembre 2011
On supprime la notion d’invalidité si celle-ci ne porte uniquement que sur 2012
On exclut les sinistres de survenance 1998 et antérieurs
Par contre, nous en avons volontairement exclu d’autres données. Il s’agit d’anomalies ou de
données manquantes que nous ne pouvions pas compléter ou corriger :
Le dernier jour d’indemnisation est antérieur au premier jour d’indemnisation
Carences différentes de 10 jours pour les sinistres survenus avant le 20 juillet 2008 et différentes de 7 jours pour les sinistres survenus après le 20 juillet 2008
Les sinistres pour les assurés dont l'âge est supérieur à 65 ans au moment de l'arrêt.
33
2.2.3. Requêtes
Il est nécessaire d’établir des requêtes pour assurer l’alimentation et le retraitement des
données. Cette partie assez longue et peut-être fastidieuse est néanmoins nécessaire pour
comprendre les difficultés et la complexité du retraitement.
La totalité du code informatique correspondant est détaillée en annexe.
La première requête concerne l’alimentation de la table.
Etape 1 : Alimentation de la table TabLoiMaitienEnIncap sous l’identifiant 17.
Nous fixons systématiquement un identifiant qui nous permet fixer la date d’étude. La
difficulté de cette étape réside en la mise en correspondance des données issues de Gaspard
et celles issues de Pi. Tous les champs nécessaires pour notre étude sont intégrés dans notre
fichier (numéro de Sécurité Sociale, sexe, …).
La suite des requêtes concerne le retraitement des données et s’articule en plusieurs étapes.
La mise à jour de la Table se fait pour chacune des requêtes suivantes et par le code suivant :
Pour comprendre la démarche qui amène aux données finales, nous avons extrait, si
nécessaire, les parties de code informatique essentielles à chacune des étapes.
Etape 2 : Complément du champ Sexe
Lors de cette étape, nous mettons à jour le champ sexe. En effet, si celui-ci est renseigné à
« Inconnu », il nous est facile de corriger cette anomalie grâce au numéro de Sécurité Sociale
de l’assuré. Celui-ci commence par 1 pour les hommes et 2 pour les femmes.
Etape 3 : élimination de doublons
Il s’agit de tenir compte des doublons sur la notion de numéro de sinistre. En effet, suite au
passage de Gaspard à Pi, certains sinistres peuvent avoir le même numéro d’enregistrement
mais correspondre pourtant à des sinistres différents.
Nous ciblons les numéros de sinistres qui apparaissent plusieurs fois :
34
Parmi les deux sinistres différents mais qui ont la même référence, nous ajoutons
arbitrairement 8 000 000 à celui dont la date de survenance est la plus faible.
Etape 4 : Ano_001
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres dont le dernier jour indemnisé en incapacité est
supérieur au dernier jour indemnisé en invalidité.
Etape 5 : Ano_003
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres dont le dernier état est l'invalidité alors qu’il n’y
aucune indemnisation en incapacité. Aucun salarié n’étant censé passer directement en
invalidité, il ne peut s’agir que d’une anomalie qu’il convient de corriger.
Etape 6 : Ano_004
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres dont le montant des prestations est négatif.
Etape 7 : W10_GestDatNai
Lors de cette étape, nous mettons à zéro les dates de naissance pour les assurés dont le
numéro de Sécurité Sociale est valide mais dont le mois ou l'année de naissance ne correspond
pas.
35
Puis nous excluons les sinistres dont l’âge à la date d'arrêt n’est pas compris entre 16 à 75 ans
inclus.
Ensuite, nous recréons artificiellement les dates de naissance à partir des numéros de Sécurité
Sociale validés (à partir de la clef Sécurité Sociale). Les troisième et quatrième chiffres du
numéro de Sécurité Sociale fournissent l’année de naissance. Les deux numéros suivants
fournissent le mois de naissance. Enfin le jour de naissance est fixé arbitrairement au milieu du
mois (le 15).
Etape 8 : Ano_002
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres qui restent sans date de naissance.
Etape 9 :
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres dont la date de survenance est supérieure au
24 décembre 2011.
Etape 10 :
Lors de cette étape, nous supprimons les dates suivantes :
On supprime la date de reprise si celle-ci est supérieure à la date d’étude
36
On supprime la date de reprise si celle-ci est antérieure à la date de dernier jour indemnisé en incapacité
On supprime la date de décès si celle-ci est postérieure à la date d'étude
On supprime la date de décès si celle-ci est antérieure au dernier jour indemnisé en incapacité
On supprime la date de décès si celle-ci est antérieure au dernier jour indemnisé en invalidité
On crée une date de clôture pour les salariés décédés (si nécessaire)
On supprime la date de clôture si celle-ci est postérieure à la date d’étude
On crée une date de clôture pour les salariés en Incapacité et dont le dernier jour indemnisé en incapacité est antérieur ou égal à la date d’étude
37
On retraite les dates de façon à se repositionner à la date d’étude.
On positionne le dernier jour indemnisé en incapacité à la date d’étude pour les sinistres dont le dernier jour indemnisé en incapacité est postérieur à la date d’étude.
On supprime les informations concernant l’invalidité pour les sinistres dont l’invalidité commence après la date d’étude
On positionne le dernier jour indemnisé en invalidité à la date d’étude pour les sinistres dont le dernier jour indemnisé en invalidité est postérieur à la date d’étude.
Etape 11 : Ano_013
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres dont le premier jour indemnisé en incapacité
est postérieur au dernier jour en incapacité. Il est à noter que ces anomalies peuvent
apparaître suite au traitement précédent.
Etape 12 :
Lors de cette étape, nous positionnons certains indicateurs sur le champ Etude :
ACC : pour tous les sinistres en accident
XXX : Les sinistres non clôturés en incapacité
38
OUI : Les sinistres clôturés en incapacité par une date de clôture positionnée
OUI : Les sinistres clôturés en incapacité par un passage en invalidité
Etape 13 : Ano_007
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres suivants :
- Ceux dont la date de survenance est antérieure au 20 juillet 2008 et dont le nombre de jours de carence est inférieur à 10.
- Ceux dont la date de survenance est postérieure ou égale au 20 juillet 2008 et dont le nombre de jours de carence est inférieur à 7.
En effet, à partir du 20 juillet 2008 inclus, le nombre de jours de carence est passé de 10 à 7
jours ; nous considérons donc les sinistres avec un nombre de jours inférieur comme des
anomalies.
Etape 14 : Ano_011
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres suivants dont l’année de survenance est
inférieure à 2005. En effet, les sinistres d’année de survenance 2004 et moins sont des reprises
des maladies en cours, ils ont donc une indemnisation spécifique.
Etape 15 :
Lors de cette étape, nous calculons différents âges qui nous serons utiles pour notre étude :
L’âge à la date d’observation
39
L’âge au dernier jour indemnisé en incapacité
L’âge au dernier jour indemnisé en invalidité
L’âge à la date de survenance
Etape 16 : Ano_008
Lors de cette étape, nous excluons les sinistres pour les assurés dont l’âge à la date d’arrêt est
supérieur à 65 ans.
En effet, la convention prévoit une indemnisation différente pour les personnes de plus de 65
ans à la date d’arrêt (Indemnisation de 180 jours par année).
Etape 17 :
Lors de cette étape, nous calculons les nombres de jours suivants :
Nombre de jours indemnisés en incapacité
Nombre de jours indemnisés en invalidité
Nombre de jours d’arrêt en incapacité
Nombre de jours indemnisés au total
40
Nombre de jours d’arrêt total
Rappelons que le nombre de jours d’arrêt correspond au nombre de jours indemnisés auquel
s’ajoute la carence.
Etape 18 :
Lors de cette étape, nous créons les identifiants pour l’ensemble des sinistres.
Pour cela on crée d’abord une table de données temporaires :
Les sinistres dont le champ étude est identifié par 'OUI' ou 'XXX' sont classés par âge à la date
de survenance du risque puis par date de survenance.
Nous disposons maintenant de données complètes et cohérentes qui sont directement
exploitables pour la construction de la table d’expérience.
2.3. Tables d’expérience
2.3.1. Idée générale
2.3.1.1. Intérêt des tables d’expérience
Les tables réglementaires du Bureau Commun des Assurances Collectives (BCAC) ont été construites sur une population qui présentait des particularités (les assurés collectifs des principales compagnies Françaises d’assurance) et certaines caractéristiques précises (catégorie socioprofessionnelle, sur-représentation de certaines tranches d’âge par rapport à d’autres, répartition hommes/femmes).
Or, comme nous l’avons précisé précédemment, ces facteurs ont un impact direct sur le risque incapacité (fréquence et durée). La population couverte par la garantie incapacité d’une compagnie d’assurance ne présente pas forcément les mêmes caractéristiques que celle utilisée pour la table BCAC.
41
On peut donc parfois observer des écarts significatifs entre le niveau de sinistralité observé sur la population propre de l’assureur et celle correspondant aux tables réglementaires. En utilisant les tables réglementaires, l’organisme assureur présente alors un risque de sur-provisionnement ou de sous-provisionnement. Une table d’expérience construite en fonction de la population couverte et de la sinistralité observée sur cette population permet alors d’apprécier de manière satisfaisante le risque supporté.
Par ailleurs, les tables du BCAC ont été construites selon certaines définitions de l’état d’incapacité. Or les garanties proposées par l’assureur ne correspondent pas toujours exactement à ces définitions (périodicité des garanties différente ou garanties qui se poursuivent au-delà de l’âge limite des tables du BCAC : 60 ans). Dans ces cas de figure, les tables réglementaires ne sont pas adaptées aux garanties et donc non utilisables telles quelles pour le calcul des provisions.
D’où l’avantage de construire une table d’expérience à partir d’observations menées sur le portefeuille de l’assureur.
2.3.1.2. Construction des tables d’expérience
L’assureur peut donc être amené à construire une table d’expérience et à la positionner par
rapport à une référence externe. Cela consiste donc à exploiter les données disponibles de
manière à élaborer une loi de maintien aussi fidèle que possible du comportement des assurés
par rapport au risque étudié14.
La construction de la table d’expérience est proposée et détaillée dans la suite de ce
mémoire.
2.3.1.3. Certification
La certification de la table d’expérience est à différencier de sa construction. En effet, le
certificateur est un actuaire habilité à certifier les tables de maintien en incapacité de travail et
indépendant de l’entreprise mandataire. La provenance des données importe peu lors de la
phase de certification. L’essentiel de la mission du certificateur est de s’assurer que les
données brutes sont cohérentes avec la réalité15.
La première étape de la certification consiste à vérifier que les données utilisées pour
l’étude sont cohérentes et non biaisées ; en effet, il faut s’assurer que le nécessaire
retraitement des données (que nous étudions dans la deuxième partie) fournit des résultats
conformes à la réalité.
14
PLANCHET [2007]
15 BLATTNER [2001]
42
La deuxième étape consiste à rapprocher les observations passées avec des prédictions a
posteriori : que se serait-il passé si la population étudiée avait suivi le comportement prévu par
la table d’expérience ?
La certification d’une table d’expérience peut très bien se faire sans connaître la manière
dont la table a été construite.
2.3.2. Estimation de Kaplan Meier
Comme nous l’avons précisé précédemment, le but de ce mémoire est de construire une
table d’expérience, à partir des données retraitées dont nous disposons. L’estimation de
Kaplan Meier permet d’obtenir la fonction de « survie », à partir de données tronquées. Les
taux de maintien en incapacité sont fournis à un âge donné et pour une ancienneté dans l’état
donné.
2.3.2.1. Censures
Les arrêts de travail ayant débuté avant la date d’observation ne sont pas pris en compte :
nous n’avons donc pas de censure à gauche. Par contre, on peut observer une censure à
droite : certains arrêts ne sont toujours pas clôturés à la date d’observation.
2.3.2.2. Troncature
Un délai de carence de 10 jours est prévu dans la Convention Collective16. Les assurés sont
donc couverts à partir du 11ème jour : il s’agit donc d’une troncature gauche. On rappelle
également que la durée d’incapacité ne peut excéder 3 ans pour le portefeuille étudié. Nous
disposons donc de données entre le 11ème et le 1095ème jour d’arrêt de travail.
Dans le cas d’une estimation de la fonction de survie par la méthode de Kaplan Meier, le
pas utilisé est journalier.
A partir de l’estimation de la fonction de survie journalière, nous sommes passés à une
fonction de survie mensuelle qui servira de base pour la table d’expérience (taux de sortie
pour un arrêt de travail d’une durée de 1 à 36 mois).
2.3.2.3. Estimation
On note la probabilité qu’un membre d’une population donnée ait une durée de vie
supérieure à . Pour un échantillon de taille de cette population, on note les durées
observées jusqu’à chaque décès des membres de l’échantillon sont : On
note le nombre de personnes présentes dans l’échantillon juste avant l’instant et le
nombre de décès au temps .
16
Article 1-5 de la CCNAM (voir annexes)
43
L’estimateur de Kaplan-Meier est l’estimation du maximum de vraisemblance non-
paramétrique de de la forme :
∏
Remarque : Lorsqu’il n’y aucune censure, est égal au nombre d’assurés encore présents
juste avant le temps . Lorsqu’il y a censure, est égal au nombre d’assurés encore présents
moins le nombre de cas censurés. Seuls les assurés présents continuent à être observés et sont
« à risque ».
On se propose de formaliser correctement la définition précédente.
Soient l’âge à l’entrée (en mois) et l’ancienneté en incapacité. On note un
échantillon de taille censuré à droite par et on observe les variables
suivantes . Pour tout ⟦ ⟧, on a :
{
L’échantillon sous risque est noté et correspond au nombre d’assurés encore présents à
l’instant (juste avant l’instant ). On a :
∑ ( )
Le nombre de sorties observées en est noté ( ) et on a :
( ) ∑
L’estimateur de Kaplan Meier, calculé âge par âge, est noté et on a :
{ } ∏ ( ( )
( ))
En pratique, on utilise la formule approchée suivante :
{ } ∏ (
)
On obtient ainsi une estimation de la fonction de survie journalière pour tous les âges.
44
2.3.3. Tables brutes
A partir des propriétés précédentes, on obtient un graphique (figure n°12) des taux de
sortie que l’on peut représenter aisément par un logiciel tel que Matlab :
On peut remarquer une grande disparité des données et certains résultats semblent
aberrants.
Ces irrégularités peuvent être dues à la taille du portefeuille, voire à des erreurs de
gestion. Il convient donc de lisser ces données de façon à obtenir des résultats plus
harmonieux et cohérents.
Pour ce faire, nous avons décidé d’appliquer une méthode de lissage par spline. Tout
d’abord, il convient de développer une partie théorique sur les splines de façon à les
comprendre et les utiliser convenablement.
Figure n°12 : taux de sortie par âge (de 25 à 65 ans) et ancienneté (de 0 à 40 mois)
45
3. Espace des splines
3.1. Notations
Dans toute la suite de ce mémoire, nous utiliserons les notations suivantes : on note ou
la dérivée première d’une fonction et la dérivée d’ordre i d’une fonction . L’ensemble des polynômes réels de degré est noté [ ].
Soient et deux réels tels que , un réel. Soit l et n deux entiers naturels non nuls.
Soient des polynômes de degré définis sur l’intervalle [ ].
Dans toute la suite du mémoire, les démonstrations des différentes propriétés énoncées sont fournies en annexe, par souci de clarté et pour la facilité de la lecture.
3.2. Splines
3.2.1. Motivation
L’une des premières idées pour approximer une fonction (discrète ou continue) est d’utiliser un polynôme. En effet, il s’agit d’un outil simple qui permet de modéliser toute fonction continue.
Malheureusement, les polynômes ont tendance à osciller beaucoup, ce qui pose des problèmes pour représenter des parties plates, comme nous nous en rendrons compte ultérieurement. Pour ces raisons, les polynômes conviennent mal pour approximer dans les cas pratiques.
Ainsi on propose une approche du type « polynômes par morceaux », c’est-à-dire qu’on utilise une fonction qui est une succession de polynômes et dérivable pour pouvoir approcher les dérivées du « processus ».
3.2.2. Définition
Soit une subdivision de l’intervalle [ ] c’est-à-dire que sont des réels de l’intervalle [ ] tels que :
{
Les réels sont appelés les nœuds de la subdivision.
On dit que est une fonction spline de degré si est une fonction de[ ] dans vérifiant les propriétés suivantes :
s admet des dérivées continues jusqu’à l’ordre l −1, c’est-à-dire [ ]
s restreint à chaque intervalle de la subdivision est un polynôme de degré inférieur ou égal à l, c’est-à-dire [ ] pour ⟦ ⟧.
46
L’ensemble des splines de degré l est noté ou encore dans notre cas. Dans la suite de notre exposé, nous utiliserons la notation par souci de clarté.
3.2.3. Propriétés
Le théorème suivant est fondamental dans la recherche du nombre de paramètres à
déterminer dans le lissage de la table d’expérience par splines.
L’ensemble des splines de degré l sur est un -espace vectoriel de dimension .
Sa démonstration est donnée en annexe. Elle s’appuie sur les propriétés suivantes
(démontrées en annexe) et dont l’expression nous sera utile dans la suite de ce mémoire.
Propriété 1
Toute fonction spline peut s’écrire sous la forme :
∑
∑
où { [ ]
( ) [ ]
Propriété 2
Les fonctions définies par sont linéairement indépendantes.
3.3. Interprétation géométrique
3.3.1. Notations
On note l’ensemble des fonctions réelles de carré intégrable et l’espace vectoriel
des fonctions réelles dont la dérivée seconde est dans . On dote la semi-norme
définie, pour toute fonction de , par :
√∫
On note l’ensemble des fonctions de interpolant les données et l’ensemble des
fonctions de qui s’annulent en tous les nœuds de la subdivision c’est-à-dire que :
{ ⟦ ⟧ }
{ ⟦ ⟧ }
47
3.3.2. Propriétés
De façon à obtenir une interprétation géométrique de l’espace des splines, il est
essentiel de démontrer les deux propriétés suivantes :
Propriété 1 : est un espace vectoriel
Propriété 2 : est une espace affine, translaté de l’espace vectoriel .
On peut donc représenter (figure n°13) ces propriétés de la façon suivante : dans l’espace
euclidien , est une droite qui passe par l’origine et est une droite qui lui est parallèle.
3.4. Interpolation avec des fonctions splines
L’enjeu de cette partie est de mettre en place des fonctions splines, de façon à lisser les
données brutes obtenues dans le chapitre précédent. A chaque âge et chaque mois
d’ancienneté, on associe une valeur de taux de sortie c’est-à-dire un point.
Une première étape dans la compréhension et l’application de la méthode de lissage est de
déterminer l’expression d’une fonction permettant de joindre les points.
Soit une fonction (qui peut être discrète) définie sur l’intervalle en chacun des points
de l’intervalle [ ]. On cherche à interpoler une fonction sur par une fonction spline de
degré .
Une contrainte évidente est de faire passer la fonction spline par les points de
coordonnées ( ), pour ⟦ ⟧, ce qui correspond à conditions aux nœuds de
la subdivision. Il reste donc degrés de liberté. On impose conditions
supplémentaires sur les dérivées de la fonction en et .
Figure n°13 : représentation de l’espace vectoriel
48
On retrouve généralement trois types d’interpolation qui sont obtenus en rajoutant ces
types de contraintes aux bornes de l’intervalle. On peut montrer que pour chacun de ces
types d’interpolation la solution au problème d’interpolation est unique.
Pour chacune des définitions suivantes, il faut distinguer le cas où est pair ou impair.
Si est impair alors il existe un entier non nul tel que et donc
contraintes.
i. Interpolation d’Hermite
⟦ ⟧ {
ii. Interpolation naturelle
⟦ ⟧ {
Une spline naturelle de degré donné passant par des points donnés est une fonction spline
vérifiant l’interpolation naturelle.
iii. Interpolation périodique
⟦ ⟧
Une spline périodique de degré donné passant par des points donnés est une fonction spline
vérifiant l’interpolation périodique.
Si est pair alors il existe un entier non nul tel que et donc contraintes.
i. Interpolation d’Hermite
⟦ ⟧ {
ii. Interpolation naturelle
⟦ ⟧ {
iii. Interpolation périodique
⟦ ⟧
49
Pour le lissage des données, nous avons décidé d’utiliser des splines cubiques
naturelles. Il convient donc de développer une partie théorique spécifique à cette catégorie.
4. Splines cubiques naturelles
4.1. Définition
Le cas le plus courant des splines est la spline cubique, qui est définie par des polynômes
de degré 3. Sur chaque intervalle [ ], la restriction de est un polynôme qui peut
s’exprimer sous la forme :
D’après ce qui précède, une spline cubique naturelle est une fonction spline cubique vérifiant :
{
Ces conditions amènent à la propriété de minimisation suivante, qui explique en partie la
terminologie de « spline naturelle ».
4.2. Propriétés
Les splines ont été introduites vers la fin des années 1970 par Carl de Boor17, à qui l’on doit
le théorème suivant :
4.2.1. Théorème sur l’intervalle [ a , b ]
Si est une fonction deux fois dérivable, telle que [ ] , et qui interpole les points ⟦ ⟧, la spline cubique naturelle est celle qui minimise :
∫
4.2.2. Remarques
Le théorème précédent revêt une importance toute particulière. En effet, la quantité
∫
intervient dans l’oscillation de la fonction sur l’intervalle [ ] .
En remarquant que sur ] ]et sur[ [ , on peut démontrer que :
∫ ( )
et donc on peut démontrer le théorème précédent sur .
17
DE BOOR [1978]
50
4.3. Interprétation géométrique
On rappelle que est l’espace vectoriel des fonctions réelles dont la dérivée seconde est
dans . En reprenant les notations précédentes, pour toute fonction de , par :
√∫( )
On note le produit scalaire associé à la semi-norme , c’est-à-dire que, pour toute
fonction et de , on a :
∫
D’après ce qui précède, la spline cubique naturelle minimise sur l’ensemble des
fonctions de : c’est donc la projection orthogonale de au sens de la semi-norme
sur (figure n°14).
4.4. Spline cubique naturelle d’interpolation
Quelques essais préalables ont été réalisés dans le cadre de cette étude avec des
polynômes de degré 2 mais ils donnent des interpolations très grossières, qui n’ont pas été
retenues dans ce mémoire.
Nous avons décidé de retenir les splines cubiques, définies par des polynômes de degré 3,
et qui sont les plus utilisées.
Figure n°14 : représentation géométrique d’une spline
51
4.4.1. Système linéaire de base
La méthode la plus évidente pour déterminer une expression de la spline cubique d’interpolation consiste à utiliser l’expression de la propriété 1 du 1.3.3.1 :
∑
∑
Dans le cas d’un spline cubique, il convient donc de déterminer coefficients :
Comme nous l’avons indiqué précédemment, les points d’interpolation nous
fournissent équations ( ) ⟦ ⟧ . En y ajoutant les deux conditions
supplémentaires des splines naturelles , on obtient un système de
équations à inconnues ou encore une équation matricielle .
Cette méthode n’est généralement pas utilisée car la matrice est mal conditionnée et
engendre parfois des résultats aberrants.
On préfère la détermination de la spline par la méthode suivante, plus rapide et plus efficace.
4.4.2. Expression des splines cubiques
4.4.2.1. Notations
Dans la suite de ce paragraphe, on utilise les notations suivantes, pour tout ⟦ ⟧ :
On rappelle que la spline est une fonction de classe (mais pas de classe ). Les dérivées
troisièmes ne sont pas continues : en chaque nœud, les dérivées troisièmes à droite et à
gauche sont distinctes. On note la dérivée troisième à droite en :
Par convention, on pose .
Par souci de simplification, on note la distance entre deux nœuds , pour
tout ⟦ ⟧.
52
4.4.2.2. Expression
Sur chaque intervalle [ ], d’après la propriété 1 des polynômes, peut également
s’écrire sous la forme : ( ) ( ) ( )
i. On a : ( ) .
Or, comme nous l’avons vu précédemment, une contrainte évidente est de faire passer la
fonction spline par les points de coordonnées ( ), pour ⟦ ⟧.
Donc .
ii. ( ) ( )
Donc ( )
iii. ( )
On a : ( ) et
iv.
On a :
et
Ainsi, [ ] on a :
( )
( )
( )
On peut remarquer également que [ ] :
( )
( )
( )
4.4.3. Système linéaire en sj’’
L’idée pour déterminer l’expression de la spline est d’utiliser l’expression précédente : il
faut donc déterminer les vecteurs ⟦ ⟧ ⟦ ⟧
⟦ ⟧ et ⟦ ⟧.
Le théorème suivant, démontré en annexe, nous permet d’exprimer des relations simples
entre les différents vecteurs et ainsi d’obtenir une expression directe de la spline.
53
4.4.3.1. Théorème
On rappelle la notation , pour tout ⟦ ⟧.
Les vecteurs ⟦ ⟧ ⟦ ⟧
⟦ ⟧ et ⟦ ⟧vérifient les relations suivantes :
i. ⟦ ⟧
ii. {
⟦ ⟧
iii. {
⟦ ⟧
iv. {
⟦ ⟧
4.4.3.2. Méthode de détermination de la spline d’interpolation
On cherche à déterminer la spline d’interpolation des points ⟦ ⟧. A partir des
relations données par le théorème précédent, on calcule les composantes du
vecteur ⟦ ⟧ dans l’ordre suivant :
i. Détermination des
ii. Détermination des
iii. Détermination des et
à partir des valeurs des .
Remarque :
La détermination de la spline est basée sur celle des ⟦ ⟧.
La relation
peut se traduire sous forme
matricielle par avec :
(
)
54
et
(
)
(
)
Ce système matriciel peut se résoudre aisément à l’aide d’outil informatique.
4.4.3.3. Cas d’intervalles de même longueur
Dans le cas où les intervalles [ ] ont tous la même longueur ( pour tout
⟦ ⟧) les vecteurs ⟦ ⟧ ⟦ ⟧
⟦ ⟧ et ⟦ ⟧vérifient des relations
qui s’expriment très simplement :
i. ⟦ ⟧
ii. {
⟦ ⟧
iii. {
⟦ ⟧
iv. {
⟦ ⟧
Cette dernière équation revient donc à résoudre le système matriciel :
(
)
(
)
(
)
55
4.4.4. Exemples
Pour illustrer les propriétés précédentes, nous allons expliciter de façon détaillée un
exemple et tracer la spline naturelle d’interpolation correspondante.
Nous avons choisi volontairement un exemple très simple mais qui présente deux
avantages : effectuer des calculs simples et obtenir des résultats particuliers, résolument utiles
dans le cas du lissage d’une table d’expérience.
Nous cherchons à déterminer la spline naturelle d’interpolation passant par les quatre points
de coordonnées respectives (0,0), (1,1), (2,0) et (3,0).
Nous sommes dans le cas de nœuds équidistants :
i. Détermination des
Par définition, on a :
ii. Détermination des
Par définition d’une spline naturelle, on a : et
.
De plus, on a :
.
Il faut donc résoudre le système : {
.
Les solutions uniques de ce système sont :
et
.
iii. Détermination des à partir des valeurs des
.
De plus, par convention, .
iv. Détermination des à partir des valeurs des
.
De la même manière, on a :
et
.
Enfin,
On rappelle que, [ ] on a : ( )
( )
( )
56
On a donc :
{
[ ]
[ ]
[ ]
On peut vérifier facilement que la spline interpole les points considérés :
De plus, on a :
{
[ ]
[ ]
[ ]
On peut ainsi vérifier que la dérivée seconde est continue en 1(
) et continue
en 2 (
).
De plus, on a les caractéristiques d’une spline naturelle : . Le graphique suivant (figure n°15) illustre la fonction précédente.
Remarque importante : on peut observer (figure n°15) que sur l’intervalle [ ], la fonction d’interpolation est négative ou nulle. Dans l’absolu, cette situation ne pose aucun problème. En revanche, dans le cas du lissage d’une table d’expérience, ce cas méritera un traitement particulier - en effet les taux de sortie ne peuvent être négatifs.
Figure n°15 : exemple d’une spline d’interpolation
57
4.5. Splines cubiques naturelles d’ajustement
L’intérêt du lissage dans notre étude est de trouver une fonction qui passe par un certain
nombre de points donnés mais pas par tous les points (sinon le lissage ne présente aucun
intérêt) comme le montre la figure n°16 :
La difficulté réside dans le choix du lissage : cherche-t-on une courbe très lisse (mais qui
s’éloigne a fortiori des données brutes) ou une courbe moins lisse (mais qui colle plus aux
données). Il s’agit donc de mettre en place un paramètre de lissage (noté dans la suite) qui
illustre cette situation.
4.5.1. Critères
Deux critères sont à prendre en compte dans le lissage : l’oscillation de la spline et la
fidélité par rapport aux données d’origine.
Comme nous l’avons vu précédemment, le critère d’oscillation est noté et donné par
l’expression :
∫ ( )
D’autre part, la fidélité aux données est fournie par une méthode des moindres carrés. On peut
même donner des poids différents à certains points. Pour cela, on associe un paramètre
à chaque point ⟦ ⟧.
Figure n°16 : lissage par spline passant par tous les points
58
La fidélité s’exprime sous la forme suivante :
∑ ( ( ) )
En notant le paramètre de lissage explicité en introduction de ce paragraphe, on
regroupe les deux critères dans l’expression suivante :
∫ ( )
∑ ( ( ) )
Comme dans les études précédentes, on peut également travailler non pas sur
l’intervalle [ ] mais sur l’ensemble .
Remarque : si , la spline d’ajustement est en fait une spline d’interpolation (comme dans
le graphique précédent). Dans ce cas, on conserve l’intégralité des données brutes et on
n’effectue aucun lissage.
4.5.2. Propriétés admises
On admet les deux propriétés suivantes :
i. Il existe une unique fonction deux fois dérivables, dont la dérivée seconde est
dans qui minimise cette quantité, pour des valeurs et fixées.
ii. Soit la fonction précédente. On note ( ) ⟦ ⟧.
Avec la convention , la fonction vérifie la relation suivante :
⟦ ⟧
4.5.3. Propriété fondamentale
Soit une fonction deux fois dérivables, telle que .
La fonction qui minimise la quantité est une spline cubique naturelle de
nœuds( ) ⟦ ⟧.
4.5.4. Définition
La fonction qui minimise la quantité est appelée spline d’ajustement des
points ( ) ⟦ ⟧affectés des coefficients ( ) ⟦ ⟧
.
59
Nous avons vu précédemment que la spline cubique d’ajustement est également une spline
cubique d’interpolation. On peut donc la déterminer par un système linéaire en
4.5.5. Système linéaire en sj’’
4.5.5.1. Propriété
Comme pour la détermination d’une spline d’interpolation, les vecteurs
⟦ ⟧ ⟦ ⟧
⟦ ⟧ et ⟦ ⟧ s’obtiennent par résolution d’un système
linéaire. De plus, dans le cas d’une spline d’ajustement, ⟦ ⟧, on a :
avec
( )
La démonstration de cette propriété est simple mais très fastidieuse. Elle est donc fournie en
annexe.
4.5.5.2. Cas de nœuds équidistants et de poids constant
On suppose et ⟦ ⟧.
En posant
, ⟦ ⟧, on a :
En effet, en utilisant les notations précédentes, on a :
( )
60
Dans ce cas, le système linéaire en peut s’exprimer de façon simple sous forme matricielle :
(
)
(
)
(
)
4.5.6. Exemples
Le logiciel permet de tracer directement les splines cubiques naturelles d’ajustement par la
commande smooth.spline. On donne quatre exemples de lissage d’ajustement figure n°17) en
faisant varier le paramètre de lissage (nommé spar pour le logiciel ). On se place dans le cas
de nœuds équidistants ( et de poids constant (égaux à 1).
Comme nous l’avons déjà précisé, plus est proche de 0 et plus la spline d’ajustement est
proche des points (mais irrégulière). A l’inverse, plus est grand et plus la spline d’ajustement
est régulière (mais éloignée des points).
4.5.7. Choix du paramètre de lissage
Le choix du paramètre de lissage est souvent délicat et arbitraire. On peut toutefois citer la
méthode de validation croisée.
On note [ ] la spline d’ajustement des points( ) pour tout ⟦ ⟧et . La méthode
de validation croisée consiste à minimiser la quantité définie par :
∑( [ ] )
Cette méthode est très intéressante mais la théorie dépasse le cadre de notre étude.
Figure n°17 : exemples de splines d’ajustement
61
4.6. Lissage par spline bidimensionnelle
4.6.1. Motivation
A partir de la théorie des splines, l’idée est de mettre en place une méthode de lissage
horizontal ou vertical par spline. On rappelle que, dans le tableau de données brutes, les
valeurs qui sont sur une même ligne correspondent aux taux de sortie des incapables ayant le
même âge (pour des durées d’incapacité allant de 1 à 36 mois) et les valeurs qui sont sur une
même colonne correspondent aux taux de sortie des incapables ayant la même durée
d’incapacité (pour des âges de 25 à 64 ans).
Le terme de lissage vertical signifie que l’on effectue un lissage colonne par colonne ; pour
une colonne donnée, le lissage est indépendant du lissage effectué sur les autres colonnes.
Pour chacune des colonnes, on découpe l’intervalle d’étude (de 25 à 64 ans) en sous-intervalles
sur lesquels on fait une approximation de la courbe des points par une spline cubique
d’ajustement.
Le terme de lissage horizontal signifie que l’on effectue un lissage ligne par ligne ; pour une
ligne donnée, le lissage est indépendant du lissage effectué sur les autres lignes. Pour chacune
des lignes, on découpe l’intervalle d’étude (de 1 à 36 mois) en sous-intervalles sur lesquels on
fait une approximation de la courbe des points par une spline cubique d’ajustement.
L’inconvénient du lissage horizontal (respectivement vertical) est l’indépendance entre les
lignes (respectivement colonnes). Par exemple, il semble naturel d’obtenir des taux de sorties
relativement proches pour des âges consécutifs, ce que ne prennent pas forcément en compte
les lissages verticaux et horizontaux.
Pour prendre en compte ce problème, l’idée est de mettre en place un lissage par splines
bidimensionnelles18 . Le principe de base est le même qu’en dimension 1 : on choisit
arbitrairement des nœuds et on détermine des polynômes cubiques de classe sur les
intervalles constitués par ces nœuds.
L’une des différences (de taille) est que, en dimension 2, le choix des nœuds se fait sur une
surface et non plus sur un intervalle [ ] comme en dimension 1.
L’autre différence est que le polynôme que l’on cherche dépend de deux variables que sont
l’âge des incapables et l’ancienneté en incapacité.
18
WINTER [2005]
62
4.6.2. Notation
On note l’âge des incapables : ⟦ ⟧ et l’ancienneté en incapacité : ⟦ ⟧. Le
polynôme de degré 3 est défini par :
∑
⟦ ⟧
En dimension 2, il est beaucoup plus simple d’exprimer les paramètres sous forme de matrices.
Ainsi, on note :
⟦ ⟧ (
) (
) et les vecteurs dérivés (
) (
)
On a ainsi : .
4.6.3. Dérivées partielles
On vérifie facilement les dérivées partielles du polynôme suivantes :
∑
⟦ ⟧ ⟦ ⟧
∑
⟦ ⟧ ⟦ ⟧
∑
⟦ ⟧ ⟦ ⟧
∑
⟦ ⟧ ⟦ ⟧
∑
⟦ ⟧ ⟦ ⟧
4.6.4. Maillage
A chaque nœud, les splines sont de classe , ce qui induit certaines contraintes.
Comme dans le cas de la dimension 1, le choix des nœuds est déterminant. Plus le nombre de
nœuds est élevé, plus la courbe est fidèle mais irrégulière. A l’inverse, plus le nombre de
nœuds est faible, plus la courbe est régulière mais distante des points. La difficulté consiste
donc à trouver le bon compromis en fidélité et régularité.
63
4.6.4.1. Choix des nœuds
Par facilité, on choisit droites horizontales et droites verticales dont les intersections
constituent les nœuds. Ce choix est arbitraire néanmoins. D’autres méthodes sont
envisageables mais nous nous contentons de cette approche plus simple.
La table d’expérience est découpée en parties. Sur chacune d’entre elles,
un polynôme est à déterminer selon diverses contraintes.
4.6.4.2. Contraintes
Soient ⟦ ⟧ et ⟦ ⟧.
Contraintes horizontales
On suppose fixé .
On rappelle qu’une spline est une fonction de classe en un nœud. Si on note ( )
et ( ) les paramètres de deux splines adjacentes horizontalement, on a alors :
Par continuité de la fonction, on a :
∑∑
∑∑
∑ ∑(
)
∑(
)
⟦ ⟧
Par continuité de la dérivée première, on a :
∑∑
∑∑
∑ ∑(
)
∑(
)
⟦ ⟧
Par continuité de la dérivée seconde, on a :
∑∑
∑∑
∑ ∑(
)
∑(
)
⟦ ⟧
64
Contraintes verticales
On suppose fixé . Si on note ( ) et (
) les paramètres de deux
splines adjacentes verticalement, on a alors :
En chaque nœud, quatre polynômes sont adjacents : on cumule les contraintes horizontales et
verticales.
4.6.4.3. Critères
En dimension 2, on retrouve les critères de fidélité et de régularité développés dans le cas
unidimensionnel.
On note S la surface des splines raccordées. Pour chaque point , on associe le poids . Le
critère de fidélité se traduit par un critère des moindres carrés sur chaque spline :
∑∑ ( )
On note la matrice Hessienne de la fonction polynômiale par morceau calculé
au point et une fonction continue par morceau, qui correspond à la force de la
régularité au point . Le critère de régularité est donné par :
∬
On regroupe ces deux critères en sommant les deux critères précédents. On introduit
un paramètre [ ] qui permet de privilégier la régularité ou la fidélité :
∑∑ ( )
∬
Si est proche de 0, la surface est régulière, au détriment de la fidélité aux données. Si est
proche de 1, la surface est irrégulière mais plus proches des données.
4.6.4.4. Ajustement
On utilise le logiciel Matlab pour obtenir un ajustement des données par splines. Grâce à la
commande interp2 du logiciel Matlab, il est possible d’obtenir un lissage bidimensionnel. Les
réglages sur les choix des nœuds sont très délicats et assez difficiles à doser.
65
Les résultats sont résumés dans le graphique suivant (figure n°18) :
Les résultats ne semblent pas à la hauteur de nos attentes pour notre exemple. Tout
d’abord, nous pouvons constater de nombreuses « vaguelettes » mais surtout le lissage par
splines bidimensionnel nécessite des réglages assez complexes sur le nombre et la position des
nœuds.
Nous décidons donc de concentrer notre étude sur les lissages unidimensionnels.
A titre de comparaison, nous allons développer le lissage de la table de données par la
méthode de Whittaker-Henderson. Cette méthode est certainement l’une des plus utilisée sur
le marché : c’est pour cette raison que nous avons décidé de l’utiliser à titre indicatif, de façon
à valider la cohérence de nos résultats ultérieurs avec la méthode de lissage par spline.
4.7. Lissage par la méthode de Whittaker-Henderson
4.7.1. Différences avant
Soit une fonction. Les différences avant d’ordre 1 à sont définies, pour un pas de 1,
par :
( )
De même, est définie par récurrence par
Figure n°18 : lissage par spline bidimensionnel
66
4.7.2. Moyenne de Whittaker-Henderson
Dans la suite, on note les valeurs observées et les valeurs ajustées pour un âge . On
note l’âge de fin de l’étude. La moyenne de Whittaker-Henderson est basée sur 2 critères :
un critère de fidélité et un critère de régularité.
Le critère de fidélité est donné par la distance euclidienne entre les valeurs observées et les valeurs ajustées :
∑
correspond aux poids que l’on veut affecter aux valeurs observées (par rapport aux effectifs
présents).
Le critère de régularité mesure la distance entre les valeurs lissées par différences avant :
∑
est un entier positif (on prend en général un entier compris entre 2 et 5).
La moyenne de Whittaker-Henderson s’obtient en combinant ces deux critères avec un
paramètre :
∑
∑
Le but est de minimiser la quantité précédente . En utilisant une écriture matricielle,
on montre assez facilement que ce problème revient à résoudre une équation qui peut s’écrire
sous la forme : où est le vecteur des valeurs lissées, est la matrice des
poids et est le vecteur des valeurs observées. Le détail de l’expression de la matrice est
fourni dans la plupart des ouvrages de référence.
67
5. Résultats
Nous disposons maintenant de plusieurs méthodes de lissage que nous allons mettre en
parallèle. Après avoir développé différents aspects de la théorie des splines, le but de cette
dernière partie est de donner les résultats obtenus par différents types de lissages
(unidimensionnel, bidimensionnel ou par la méthode de Whittaker-Henderson).
Après une première approche visuelle des résultats, nous allons mettre en place des intervalles
de confiance pour sélectionner un modèle de lissage. Enfin nous observerons l’impact du choix
de la méthode sur les provisions mathématiques.
5.1. Analyse visuelle
Dans cette partie, nous nous contentons de donner les résultats sous forme graphique.
Ce premier travail mérite évidemment un complément calculatoire pour valider nos résultats.
Toutefois, cette approche visuelle permet de tirer les premières conclusions quant au choix des
méthodes de lissage. Les méthodes de lissage sont appliquées sur les taux de sortie .
5.1.1. Lissage par spline horizontal
Arbitrairement, nous proposons la représentation (figure n°19) des taux de sortie avec
le paramètre , ce qui correspond à un bon compromis entre régularité de la fonction
et fidélité aux données.
Nous pouvons constater que certaines valeurs ne semblent pas satisfaisantes après le
lissage horizontal (notamment pour les anciennetés faibles (de 1 à 6 mois et pour les âges
assez élevés). Ce problème est lié à la taille du portefeuille pour ces tranches d’âge et
d’ancienneté et lié également au défaut du lissage par splines (figure n°25). Cet inconvénient
sera observé dans la suite de ce mémoire, lors de la comparaison avec la table de référence.
Figure n°19 : lissage par spline horizontal
68
5.1.2. Lissage par spline vertical
Par souci de comparaison, nous avons décidé de retenir le même paramètre de lissage, à
savoir .
Cette méthode de lissage semble peu satisfaisante car très lissée. La surface semble
présenter trop peu d’aspérités pour être convaincante. Par curiosité, nous décidons tout de
même de tenter de croiser les lissages (lissage vertical puis lissage horizontal des données).
Pour ce faire nous commençons par utiliser un lissage horizontal puis nous lissons les résultats
obtenus par un lissage vertical On peut se poser la question de l’importance de l’ordre des
lissages (horizontal puis vertical ou bien vertical puis horizontal) mais nous verrons dans la
suite que les résultats sont similaires quel que soit l’ordre choisi.
5.1.3. Lissage combiné
Le résultat est très décevant car beaucoup trop lissé. On peut légitimement se poser la
question de la fidélité aux données brutes.
Figure n°20 : lissage par spline vertical
Figure n°21 : lissage par spline combiné
69
5.1.4. Lissage par Whittaker-Henderson
A partir de la table construite grâce aux données de l’IRCEM, les données lissées avec la
méthode de Whittaker-Henderson est utilisée par le biais d’un fichier Excel. Pour cela,
plusieurs paramètres sont à prendre en compte :
Taille de la matrice (nb de lignes × nb de colonnes) Paramètre de régularité Paramètre de lissage horizontal Paramètre de lissage vertical
La taille de la matrice est toujours fixée à 40 ×36. En effet, l’étude porte sur les âges de 25 à 64
ans (soit 40 lignes) et sur une période de 36 mois (durée maximale de maintien en Incapacité).
Après plusieurs essais, les paramètres retenus sont les suivants : 3 – 1 – 1 (régularité – lissage
horizontal – lissage vertical).
Les résultats semblent peu satisfaisants et, visuellement, assez proches de ceux obtenus par le
lissage vertical. De plus, la question de la pertinence du choix des paramètres se pose.
5.1.5. Premières conclusions
Cette première approche visuelle est utile à double titre. Tout d’abord, elle nous
permet de comparer graphiquement les différentes méthodes de lissage par splines à notre
disposition. D’autre part, nous pouvons constater une ressemblance assez forte entre le lissage
vertical et le lissage par la méthode de Whittaker-Henderson qui est la plus utilisée sur le
marché. Enfin, a priori, la méthode par lissage horizontal semble la plus satisfaisante.
Figure n°22 : lissage par la méthode de Whittaker-Henderson
70
5.1.6. Irrégularité de la surface
Avant de continuer notre analyse, un problème retient notre attention. En effet, nous
avons constaté des valeurs aberrantes pour les âges 25 et 26 ans, qui présentent un pic de taux
de sortie de 100%, ce qui peut apparaître comme une anomalie. En fait, cette caractéristique
est due au nombre insuffisant de données dans le portefeuille pour ces deux âges.
Ainsi, dans notre portefeuille, il n’y a plus qu’une seule personne âgée de 25 ans qui demeure
en incapacité après 730 jours d’arrêt de travail, comme on peut le constater dans les données
journalières suivantes (figure n°23) :
Nous avons alors le choix entre trois options :
ignorer cette « anomalie »
la corriger manuellement en observant les caractéristiques des âges supérieurs
réduire le champ d’étude et n’utiliser les données que pour des âges de 27 à 64 ans. Quelle que soit la méthode choisie, elle présente des inconvénients de cohérence ou de prolongement de la table et nous choisissons de conserver les données brutes par souci de cohérence. Dans la suite de cette étude, nous cherchons un moyen de comparaison des résultats entre les différentes méthodes de lissage unidimensionnel, et selon les différents paramètres choisis. Pour ce faire, une méthode consiste à mettre en place des intervalles de confiance sur le nombre de personnes restant en incapacité, noté habituellement .
5.2. Intervalle de confiance
Tout d’abord, la notion d’intervalles de confiance est basée sur des estimateurs de variance,
appelé estimateurs de Greenwood.
5.2.1 Estimateur de Greenwood
Comme nous l’avons vu précédemment19, l’estimateur de Kaplan-Meier est l’estimation
non-paramétrique de de la forme :
∏
19
Cf page 40
jours NbSinistre
728 0 728 1 0,00% 0,21%
729 0 729 1 0,00% 0,21%
730 0 730 1 0,00% 0,21%
731 1 731 0 100,00% 0,00%
732 0 732 0 0,00% 0,00%
t Expo(t) q(t) S(t)
Figure n°23 : extrait de la table journalière brute
71
On rappelle les notations utilisées : est le nombre de personnes présentes dans l’échantillon
juste avant l’instant et le nombre de décès au temps .
On cherche à estimer la variance de l’estimateur de Kaplan-Meier :
( ) (∏
) ∑ (
)
∑
∑
On suppose que suit une loi binomiale de paramètres ( c’est-à-dire que la variance
est donnée par :
On utilise la méthode Delta avec la fonction définie par .
( ) (
( ))
( ) (
( ))
( ( ))
( )
( ) (∑
) ∑
L’estimateur de Greenwood est donc donné par :
( ) ∑
5.2.2 Intervalle de confiance
On fait une hypothèse de normalité sur la distribution de l’estimateur de Kaplan-Meier
(théorème central limite) :
√ ( )
On obtient ainsi un intervalle de confiance pour un seuil :
[
√ ( )
√ ( )]
72
5.2.3 Hypothèses de travail
Tout d’abord, comme nous l’avons dit précédemment, les méthodes de lissage sont
appliquées sur les 20. De ce qui précède, on déduit immédiatement un intervalle de
confiance pour : [
√ ( )
√ ( )]
Ensuite, nous faisons le choix, classique, de déterminer des intervalles de confiance à 95%.
Enfin, il peut arriver, dans de très rares cas pour nos données, que les bornes inférieures de
l’intervalle de confiance déterminé soient négatives ou que les bornes supérieures soient
supérieures à 10 000. Nous avons fait le choix de limiter les bornes à un minimum de 0 et un
maximum de 10 000.
5.2.4 Résultats des simulations
A partir des données brutes, nous avons déterminé un intervalle de confiance, pour
chaque âge (de 25 à 64 ans) et chaque mois d’ancienneté (de 0 à 36 mois).
Ensuite, nous avons lissé les données brutes de différentes manières (horizontal,
vertical, combiné des deux) et nous avons également changé le paramètre de lissage. Pour
chacun des lissages ainsi obtenu, nous avons déterminé le pourcentage des valeurs qui se
trouvent dans l’intervalle de confiance correspondant. Les résultats sont synthétisés dans le
tableau suivant :
Plusieurs remarques s’imposent au vu de ces résultats.
20
: nombre de personnes restant en incapacité à un instant
rho lissage pourcentage dans intervalle de confiance
0,7 horizontal 84,80%
0,7 vertical 60,00%
0,7 combine H-V 54,73%
0,7 combine V-H 54,73%
0,5 horizontal 95,95%
0,5 vertical 85,41%
0,5 combine H-V 81,49%
0,5 combine V-H 81,49%
0,4 horizontal 97,57%
0,4 vertical 93,45%
0,4 combine H-V 93,04%
0,4 combine V-H 93,04%
0,3 horizontal 98,85%
0,3 vertical 95,68%
0,3 combine H-V 95,27%
0,3 combine V-H 95,27%
Figure n°24 : tableau de présence des données lissées dans les intervalles de confiance
73
Tout d’abord, plus on choisit un paramètre proche de 0 et plus les données lissées se trouvent
dans les intervalles de confiance. Ceci est tout à fait logique car plus le paramètre est proche
de 0 et plus le lissage est fidèle aux données brutes (au détriment de la régularité).
A l’inverse, plus on choisit un paramètre proche de 1 et moins les données lissées se trouvent
dans les intervalles de confiance. En effet, plus le paramètre est proche de 1 et plus le lissage
est régulier (au détriment de la fidélité).
De plus, quel que soit le paramètre choisi, les résultats sont identiques dans le cas d’un lissage
combiné, quel que soit l’ordre de la combinaison (vertical puis horizontal ou l’inverse).
Enfin, dans le cas particulier de nos données, et quel que soit le paramètre choisi, les résultats
sont plus satisfaisants pour un lissage horizontal que pour un lissage vertical.
Au vu de toutes ces remarques, dans notre cas, il semble judicieux de choisir un lissage
horizontal de paramètre . Ce paramètre est un bon compromis entre régularité et
fidélité. Dans le cas du lissage horizontal, plus de 95% des valeurs lissées se situent dans
l’intervalle de confiance, ce qui est très satisfaisant.
5.2.5 Comparaison du lissage choisi avec la table BCAC
Tout d’abord, nous cherchons à comparer les données lissées par la méthode par splines
retenue (lissage horizontal de paramètre ) avec la table de référence BCAC. Pour cela,
nous effectuons les différences entre les de la table lissée et ceux de la table BCAC. Elles
sont représentées sur le graphique suivant (figure n°25) :
On peut constater que dans plus de 87% des cas la table BCAC présente un supérieur à celui
de la table lissée. Ce pourcentage atteint même 95% des cas au-delà de 6 mois d’ancienneté.
Figure n°25 : position de la table d’expérience par rapport à la table BCAC
74
De tels écarts nous confortent quant à la question de l’intérêt et la légitimité de la mise en
place d’une table d’expérience pour le maintien en incapacité. Toutefois, on ne pourra mesurer
l’impact réel de cette différence que sur le calcul des provisions mathématiques, dans le
paragraphe suivant.
5.3. Calcul des Provisions Mathématiques
On rappelle que la table d’expérience est constituée pour les assurés âgés de 25 à 64 ans.
Par simplicité, nous avons fait le choix de l’étendre pour les assurés de 20 à 67 ans en
reprenant les lignes des âges extrêmes. Ainsi nous conservons les mêmes pour les assurés
de 20 à 24 ans que pour ceux de 25 ans, et pour les assurés de 65 à 67 ans que pour les assurés
de 64 ans. Ce prolongement de table peut paraitre inadapté mais n’a, en fait, que peu d’impact
sur les calculs car il ne concerne que 0,39% de la population étudiée.
Pour le calcul des provisions mathématiques, nous disposons de trois tables distinctes : la
table BCAC et deux tables d’expérience (obtenues par lissage par la méthode de Whittaker-
Henderson et par splines). A partir du portefeuille des assistants maternels, nous utilisons
l’outil PM’Expert développé par Actuaris pour calculer les provisions mathématiques
correspondantes à chacune des méthodes :
D’une part, on peut constater (figure n°26) que les provisions sont plus faibles lorsque
l’on utilise une table d’expérience plutôt que la table BCAC. Cette tendance vient étayer les
remarques du paragraphe précédent quant à la comparaison des selon le modèle choisi.
L’utilisation d’une table d’expérience entraîne donc un sous-provisionnement par rapport à la
table de référence. Ces résultats mettent en évidence l’utilité et l’intérêt des tables
d’expérience. Les provisions mathématiques sont plus en adéquation avec le portefeuille
particulier de l’IRCEM.
D’autre part, les résultats entre les deux méthodes de lissage sont assez voisins, ce qui
est plutôt rassurant. En effet, l’influence du modèle choisi doit être relative et en cohérence
avec les données brutes. Quoi qu’il en soit, la question du choix des paramètres reste un
problème délicat.
Année de survenance BCAC Whittaker-Henderson Splines
2010 - € - € - €
2011 490 698,79 € 396 281,61 € 389 278,89 €
2012 4 611 971,27 € 3 995 256,47 € 3 928 937,92 €
2013 15 789 173,97 € 13 407 743,12 € 13 197 331,58 €
2014 2 328 337,89 € 1 697 353,71 € 1 623 539,42 €
Total 23 220 181,92 € 19 496 634,92 € 19 139 087,81 €
Figure n°26 : calcul des PM par méthode de lissage
75
Conclusion
Dans le cadre des directives européennes, telles que Solvabilité 2, il est demandé aux
assureurs et aux institutions de Prévoyance d’identifier et de quantifier les risques propres à
l’entreprise, notamment dans le calcul des provisions techniques. Ainsi, ce mémoire d’Actuaire
expose la mise en place d’une table d’expérience pour les CCNAM en utilisant un lissage par
splines.
Tout d’abord, nous avons pu constater la difficulté de récupérer puis de retraiter les
données brutes de façon à les rendre exploitables. Les premières conclusions montrent la
faiblesse de la sinistralité par rapport à la table BCAC. On peut donc se poser la question de la
robustesse des résultats. L’une des questions qui se pose est de savoir si on utilise la table
d’expérience brute, la table BCAC ou un mixte entre les deux.
Dans ce mémoire, nous avons volontairement choisi de détailler les programmes
permettant la création de la table d’expérience. Cette démarche a pour but, non seulement, de
montrer la complexité et le temps nécessaire au retraitement des données, mais encore, de
donner un aspect concret et pratique à ce mémoire d’actuaire.
Les parties suivantes, plus mathématiques, nous ont permis de mieux comprendre la
théorie des splines, de mieux l’appréhender dans l’utilisation du lissage. Plusieurs pistes ont
été explorées (lissages vertical, horizontal, bidimensionnel, …) et nous ont permis de faire un
choix empirique, spécifique à nos données : le lissage unidimensionnel, pour sa simplicité et sa
cohérence. Toutefois, nous avons pu tout de même constater que la taille du portefeuille nous
amenait à nous poser des questions de cohérence des résultats.
La dernière partie concerne le choix de la méthode de lissage et le calcul des provisions
mathématiques (qui est le but de la mise en place d’une table d’expérience). La mise en place
d’intervalles de confiance nous a permis d’orienter notre choix de paramètres pour le lissage
par splines. En utilisant différentes méthodes de lissage et différentes tables (BCAC ou
d’expérience), nous avons pu obtenir des résultats relativement stables et satisfaisants.
Tout d’abord, nous avons pu constater que la table BCAC a tendance à sur-provisionner
par rapport à une table d’expérience. Le choix entre la table d’expérience et la table
d’expérience revêt donc un caractère de prudence qui est à prendre en compte.
Ensuite, l’inconvénient de la méthode de Whittaker-Henderson tient essentiellement
dans le choix des paramètres : trois sont à déterminer de façon empirique - ce qui peut
paraitre parfois obscur.
76
D’un autre côté, on peut se dire qu’il est possible de n’utiliser qu’un seul et même
paramètre de lissage par splines. Toutefois, le choix de la position des nœuds reste arbitraire.
En effet, nous avons pris le parti d’un maillage régulier (égale distance entre les nœuds) mais
cette option reste discutable.
Pourtant, on peut constater que les provisions mathématiques calculées selon les deux
méthodes de lissage (par splines ou par Whittaker-Henderson) sont globalement du même
ordre de grandeur.
Nous avons ainsi choisi comme paramètre le compromis moyen entre régularité de la
courbe et fidélité aux données brutes. Toutefois, ce choix reste arbitraire et l’option du lissage
horizontal semble correct pour les données précises utilisées mais peut être inadapté dans
d’autres cas. Il pourrait être intéressant de creuser la question de la détermination du
paramètre.
Enfin, le lissage bidimensionnel reste a priori le plus adapté à la situation même s’il n’a
pas donné de résultats concluants pour l’exemple traité. Ce sujet mériterait certainement une
étude plus approfondie.
Les différentes dimensions de cette étude – du traitement de données brutes à leur
exploitation – permettent d’allier plusieurs domaines de compétence spécifiques (législation,
programmation, connaissances techniques) à une dimension humaine.
77
Annexes
1. CCNAM : La Convention Collective Nationale des assistants maternels du particulier
employeur
Chapitre I. Garantie en cas d’incapacité de travail
Article 1-1. Objet de la garantie
Une indemnité complémentaire d’incapacité de travail est versée aux salariés en arrêt maladie,
accident de la vie privée, accident de travail et assimilé en complément aux indemnités
journalières versées par la sécurité sociale.
Article 1-2. Bénéficiaires
Peut bénéficier de cette indemnisation tout salarié, à condition :
• d’avoir un agrément permettant l’exercice de la profession, en cours de validité le
premier jour d’arrêt de travail ;
• d’être immatriculé à la sécurité sociale depuis au moins 12 mois au premier jour du
mois où est survenue l’interruption de travail ;
• d’avoir cotisé sur une période globale des 4 trimestres civils précédant l’interruption de
travail sur un salaire cumulé dans la profession d’assistant maternel au moins égal à 40 % du
montant minimum de vieillesse et d’invalidité, dans les conditions fixées par la sécurité sociale
pour l’ouverture des droits aux prestations en espèces ;
• de justifier, sauf impossibilité absolue, de son incapacité de travail dans les 48 heures,
en adressant à l’employeur un avis d’arrêt de travail ;
• d’être soigné sur le territoire de l’Union Européenne ;
• de se soumettre à une contre visite s’il y a lieu.
Article 1-3. Salaire de référence
Pour ces salariés, le salaire de référence servant de base au calcul des "indemnités
d’incapacité" est le salaire mensuel brut moyen, limité au plafond mensuel de la sécurité
sociale perçu, par le salarié dans la profession d’assistant maternel (c’est à dire le salaire
soumis à cotisations, hors frais d’entretien, de nourriture,…) au cours des trois derniers mois
précédant le premier jour d’arrêt de travail.
Le salaire de référence se reconstitue à partir de l’indemnité journalière versée par la sécurité
sociale sur la part des salaires perçus en tant qu’assistant maternel.
78
1.3.1. Période incomplète hors congés payés
En cas de période incomplète (pour embauche en cours de trimestre ou absence pour maladie
ou accident), le salaire de référence est reconstitué au prorata temporis à partir des périodes
connues, conformément au mode de calcul effectué par la sécurité sociale.
1.3.2. Congés payés
Si l’assistant maternel n’a aucun salaire versé pendant au moins un mois, pour raison de
congés payés, le salaire de référence se calcule sur les 12 derniers mois précédant le premier
jour d’arrêt de travail.
1.3.3. Rechute
En cas de rechute, le salaire de référence retenu est celui utilisé pour l’indemnisation de la
période d’arrêt précédente.
Les salaires déclarés pour le calcul des "indemnités d’incapacité" seront ultérieurement vérifiés
avec les salaires qui ont servi de base au calcul de cotisations, avec régularisation s’il y a lieu.
Article 1-4. Montant des indemnités d’incapacité
Le montant de l’indemnité journalière d’incapacité est calculé dans les conditions suivantes :
a. La garantie de base totale mensuelle est égale à 76 % du salaire brut de référence,
plafonné à 100 % du salaire net de référence ;
b. La garantie de base totale journalière est égale au 1/30ème de la garantie mensuelle ;
c. L’indemnité journalière d’incapacité complémentaire due au salarié pour tous les jours
calendaires indemnisables, est égale à la garantie de base totale journalière définie ci-dessus
moins l’indemnité journalière de sécurité sociale, prise en compte avant déduction des
prélèvements sociaux appliqués aux prestations en espèces de la sécurité sociale.
Toutefois, pour tenir compte du fait que l’intéressé peut percevoir des indemnités de la
sécurité sociale pour des salaires perçus en dehors de la profession d’assistant maternel, cette
indemnité journalière sera recalculée à partir du salaire de référence ayant servi à calculer la
garantie de base totale journalière.
Article 1-5. Délai de carence
L’indemnité d’incapacité prend effet à compter du :
• 1er jour indemnisable par la sécurité sociale en cas d’arrêt pour accident du travail,
maladie professionnelle ou accident de trajet, reconnu comme accident de travail par la
sécurité sociale ;
79
• 11ème jour d’absence dans les autres cas ; cette carence est appliquée à chaque arrêt,
sauf en cas de rechute pour laquelle la sécurité sociale n’applique aucune carence.
Article 1-6. Durée de l’indemnisation
L’indemnisation au titre de l’incapacité prend fin, pour un assistant maternel en activité au 1er
jour d’arrêt :
• à la cessation du paiement des indemnités journalières par la sécurité sociale ;
• ou à la date d’effet d’une rente d’invalidité ;
• ou au premier jour d’effet de la retraite ;
Dans le cas particulier où l’agrément de l’assistant maternel est suspendu, l’indemnisation au
titre de l’incapacité prend fin :
• à la cessation du paiement des indemnités journalières par la sécurité sociale au terme
de l’arrêt, si l’agrément n’est pas retiré ;
• à la cessation du paiement des indemnités journalières par la sécurité sociale limité au
dernier jour d’une période de suspension qui ne peut excéder 90 jours.
Article 1-7. Salariés de plus de 65 ans
Si un salarié en activité au-delà de 65 ans se trouve en arrêt de travail justifiant l’indemnisation
prévue au présent chapitre, la durée d’indemnisation s’arrête au 90ème jour d’arrêt continu.
Chapitre II. Garantie en cas d’invalidité
Article 2-1. Définition de la garantie
Une rente d’invalidité 2ème ou 3ème catégorie complémentaire à celle de la sécurité sociale
est versée aux salariés définis ci-dessous.
Article 2-2. Bénéficiaires
Peut bénéficier de cette rente d’invalidité tout salarié, à condition :
• d’avoir un agrément permettant l’exercice de la profession, en cours de validité le
premier jour d’arrêt de travail ;
• d’être immatriculé à la sécurité sociale depuis au moins 12 mois au premier jour du
mois où est survenu l’interruption de travail ;
• d’avoir cotisé au cours des 4 trimestres civils précédant l’interruption de travail sur un
salaire d’assistant maternel au moins égal à 40 % du montant minimum de vieillesse et
80
d’invalidité dans les conditions fixées par la sécurité sociale pour l’ouverture des droits en
rente d’invalidité ;
• de percevoir une pension pour une invalidité de 2ème ou 3ème catégorie, ou une rente
accident de travail pour une invalidité égale ou supérieure à 66 % ;
• d’être soigné sur le territoire de l’Union Européenne ;
• de se soumettre à une contre visite s’il y a lieu.
Article 2-3. Salaire de référence
Pour ces salariés, le salaire de référence servant de base au calcul de la rente d’invalidité est le
salaire annuel brut moyen limité au plafond annuel de la sécurité sociale perçu par le salarié
dans la profession d’assistant maternel (c’est à dire le salaire soumis à cotisation, hors frais
d’entretien, de nourriture,…) au cours des quatre derniers trimestres civils précédant l’arrêt de
travail initial.
Article 2-4. Montant de la rente d’invalidité
Le montant de la rente annuelle d’invalidité est égal à 90 % du salaire de référence net de
charges sociales annuel moins la pension ou rente annuelle réelle de la sécurité sociale avant
déduction des prélèvements sociaux appliqués à ce revenu de remplacement. Toutefois, pour
tenir compte du fait que l’intéressé peut percevoir une pension ou une rente pour des salaires
perçus en dehors de la profession d’assistant maternel, elle sera recalculée sur la base du
salaire de référence défini dans l’article 2-3.
Article 2-5. Durée de l’indemnisation
L’indemnisation au titre de l’invalidité prend fin :
• en cas d’arrêt du versement de la pension ou de la rente de la sécurité sociale ;
• ou à la date d’effet de la retraite ;
• ou au plus tard au 60ème anniversaire de l’intéressé.
Chapitre III. Clauses communes
Article 3-1. Prise en charge des arrêts de travail
En application du 1er alinéa de l’article 2 de la loi n°89-1009 du 31/12/1989, sont pris en
charge tous les arrêts de travail survenus à compter de la date d’application de la présente
convention collective, quel que soit l’état de santé antérieur du salarié.
81
Sont également pris en charge les arrêts de travail en cours à la date d’application de la
présente convention collective si le salarié à cette date est en cours d’indemnisation à ce titre,
en application d’une obligation légale ou contractuelle, avec paiement des charges sociales sur
les compléments de salaire versés justifiant le maintien de salaire du contrat de travail du
salarié.
Dans ce cadre le salarié sera indemnisé par l’employeur ou l’organisme assureur jusqu’à la fin
de ses droits légaux ou contractuels, l’institution de prévoyance prendra le relais après cette
période.
Article 3-2. Exclusions
Sont exclus des indemnisations complémentaires à celles prévues par l’article 7 de l’accord
national interprofessionnel du 10/12/1977 annexé à la loi n°78-49 du 19/01/1978, les arrêts de
travail qui sont la conséquence :
• de blessures et mutilations volontaires ;
• d’accidents ou maladies dus à des faits de guerre étrangère ou civile lorsque la France
est partie belligérante ;
• de l’usage d’engin à moteur à l’occasion de compétitions ou de rallyes de vitesse ;
• d’accidents et maladies dus à un tremblement de terre ou à la désintégration du noyau
atomique.
Article 3-3. Paiement des indemnités et rentes complémentaires
Les indemnités et rentes complémentaires nettes de charges sociales sont versées directement
au salarié par l’institution gestionnaire.
Article 3-4. Revalorisation des indemnités et rentes complémentaires
Les salaires de référence définis ci-dessus, servant de base au calcul des indemnités et rentes
complémentaires, sont revalorisés dans les mêmes proportions et aux mêmes dates que le
salaire horaire minimum brut de base tel que défini à l’article 7.1 de la présente convention
collective nationale (1/8ème du salaire statutaire brut journalier).
Article 3-5. Charges sociales
Les charges sociales, patronales et salariales, correspondant aux indemnités d’incapacité
complémentaires versées au salarié avant rupture de son contrat de travail, sont calculées et
prises en charge par l’institution gestionnaire et versées par elle à l’URSSAF compétente.
82
Les prélèvements sociaux applicables aux indemnités d’incapacité (versées après rupture du
contrat de travail du salarié) et aux rentes d’invalidité, sont déduits des garanties définies ci-
dessus, conformément à la législation en vigueur, et versés par l’institution à l’URSSAF
compétente.
Article 3-6. Montant des cotisations
1. Assiette des cotisations
L’assiette des cotisations est l’assiette retenue pour les cotisations de sécurité sociale limitée
au plafond mensuel de la sécurité sociale.
2. Montant des cotisations
2,30 % de l’assiette des cotisations :
1,15 % à la charge des employeurs ;
1,15 % à la charge des salariés.
Article 3-7. Demande de versement des indemnités et rentes complémentaires
1. Déclaration de l’arrêt de travail
L’arrêt de travail est à déclarer à l’organisme gestionnaire, au moyen d’un document fourni par
celui-ci et accompagné des justificatifs précisés dans ce document.
Cette déclaration est faite :
• par le particulier employeur si le salarié n’a qu’un seul employeur ;
• par le salarié lui-même s’il a plusieurs particuliers employeurs ; ceux-ci fourniront au
salarié tous les documents utiles à cette déclaration, dans les quinze jours qui suivent la
demande.
2. Prolongation de l’arrêt de travail
Les demandes de remboursement pour prolongation de l’arrêt de travail pourront être faites
par l’intéressé lui-même.
Article 3-8. Contrôle médical
Tous les salariés indemnisés sont tenus de se soumettre aux contrôles médicaux que
l’institution jugera utile de pratiquer, dans les conditions définies au règlement intérieur de
l’institution gestionnaire.
83
Chapitre IV. Dispositions Générales
Article 4-1. Institution gestionnaire
Les signataires de cet accord collectif, fidèles à leur démarche de structuration de la
profession, désignent l’organisme chargé de la gestion du présent accord.
La mutualisation des risques au sein d’un même organisme gestionnaire permet de garantir
l’accès aux prestations à tous les salariés, quel que soit leur état de santé dès la date d’effet du
présent accord.
Article 4-2. Salariés couverts antérieurement par un autre régime de prévoyance
Lorsque les salariés étaient garantis antérieurement :
a. A un niveau au moins égal au présent accord
Pour les salariés en cours d’arrêt de travail à la date d’effet de cet accord, indemnisés par un
autre régime de prévoyance et dont l’employeur relève désormais du présent accord,
l’institution gestionnaire ne prendra en compte que le montant des revalorisations
additionnelles des prestations versées en complément des indemnités de la sécurité sociale.
Les particuliers employeurs et les salariés qui auraient conclu antérieurement auprès d’un
autre assureur un contrat de prévoyance comportant des garanties plus importantes pourront,
s’ils le désirent, conclure un contrat complémentaire avec l’organisme désigné pour maintenir
les garanties précédentes.
Cette adhésion sera acceptée sans questionnaire médical, ni stage, si elle est réalisée dans les
trois mois qui suivent la date d’effet de la résiliation du contrat antérieur, réalisée dans les
conditions définies à l’article 4-1 ci-dessus.
b. A un niveau inférieur au présent accord
Les employeurs qui auraient souscrit un contrat de prévoyance comportant des garanties ayant
le même niveau de prestations que celles instituées par le présent accord disposeront d’un
délai pour résilier le contrat antérieurement souscrit. Ce délai expire à la première échéance
susceptible d’intervenir (en respectant le préavis contractuel), postérieure à la date à laquelle
les intéressés auront été informés de leurs nouvelles obligations, à défaut à la date d’effet du
présent accord.
Article 4-3. Paiement des cotisations
Les cotisations "prévoyance" sont appelées par l’intermédiaire des URSSAF. Elles sont versées
par celles-ci à l’organisme gestionnaire.
84
Article 4-4. Commission de suivi
N.B. : L'alinéa suivant est étendu sous réserve de l’application des dispositions de la première
phrase de l’article L.132-15 du code du travail.
Une commission paritaire composée des signataires de cet accord est chargée de suivre les
résultats techniques engendrés par son application.
Chaque année cette commission prendra connaissance des bilans et comptes de résultats de
l’année civile précédente présentés par la direction de l’organisme gestionnaire.
Toute modification qu’il serait utile d’apporter à la présente annexe sera présentée à la
commission paritaire signataire de cet accord.
Article 4-5. Réexamen de l’accord
Conformément à la loi n° 94-678 du 8 août 1994, avant la fin de la cinquième année de
fonctionnement, les signataires examineront les résultats techniques, financiers et la qualité de
service du gestionnaire et renouvelleront ou non la désignation de l’institution gestionnaire.
En cas de modification ou de dénonciation du présent accord entraînant changement
d’organisme gestionnaire, les prestations en cours seront maintenues à leur niveau atteint à la
date de changement d’organisme. Les nouvelles revalorisations seront prises en charge par le
nouvel assureur. Cette revalorisation sera au moins aussi favorable que celle du régime géré
par l'ancien gestionnaire.
Article 4-6. Dispositions d’ordre général
Les conditions générales non incluses dans le présent accord sont celles définies par la
législation en vigueur et par le règlement de l'organisme gestionnaire.
85
2. Retraitement des données
Etape 1 : Requête DECLARE @ExpIdTraitement AS INTEGER DECLARE @ExpIdTraitementBis AS INTEGER /* Voir documentation pour les variables */ SET @ExpIdTraitement = 19 SET @ExpIdTraitementBis = 17 TRUNCATE TABLE [TableExperience].[dbo].[TabLoiMaitienEnIncap] INSERT INTO [TableExperience].[dbo].[TabLoiMaitienEnIncap] ([Etude] ,[NumSS] ,[NomAss] ,[PrenomAss] ,[Sexe] ,[DatNai] ,[DatDC] ,[Cat] ,[DepAss] ,[NumSin] ,[SinInit] ,[DatRealRisq] ,[TypeArret] ,[CarMaladie] ,[PJIIncap] ,[DJIIncap] ,[NbreJourIndemIncap] ,[NbreJourArretIncap] ,[PJIInval] ,[DJIInval] ,[NbreJourIndemInval] ,[NbreJourIndemTotal] ,[NbreJourArretTotal] ,[DernierEtat] ,[DatReprise] ,[DatCloture] ,[AgeDatObser] ,[AgeDJIIncap] ,[AgeDJIInval] ,[AgeDatRealRisq] ,[MontantPrestNet] ,[MontantCharg] ,[MontantPrestBrut] ,[InvalMontantPrestNet] ,[InvalMontantCharg] ,[InvalMontantPrestBrut] ,[IdTab] ,[Identifiant] ,[IdentifiantAsso] ,[IdentifiantEmp]) SELECT NULL , [ExpNumSS]
86
, [ExpSalNom] , [ExpSalPrenom] , [ExpSalSexe] , [ExpSalDatNai] , [ExpSalDatDeces] , CASE WHEN [ExpIndAsso] = 'HORSASSO' THEN 'EMP' ELSE 'ASS' END , LEFT([ExpSalDpt],2) , CASE WHEN LEFT(ExpOrigineSinistre,1) <> 'P' THEN ExpSinIdFonc ELSE 9000000+ExpSinIdFonc END , NULL , [ExpSinDatSurv] , [ExpSinTypAr] , CASE WHEN [ExpNbJourCarObl] = 0 THEN 'NON' ELSE 'OUI' END , [ExpPJIIncap] , [ExpDJIIncap] , [ExpNbJourIndIncap] , [ExpNbJourArretIncap] , [ExpPJIInval] , [ExpDJIInval] , [ExpNbJourIndemInval] , [ExpNbJourIndemTot] , [ExpNbArretTot] , [ExpDerEtat] , [ExpDatReprise] , [ExpDatClot] -- Si DC de la personne -- , [ExpAgeDatObs] , [ExpAgeDJIncap] , [ExpAgeDJInval] , [ExpAgeDatSurv] , [ExpTotMntPrestNet] , [ExpTotMntCharge] , [ExpTotMntGlobal] , [ExpInvalMntPrestNet] , [ExpInvalMntCharge] , [ExpInvalMntGlobal] , @ExpIdTraitementBis , NULL , NULL , NULL FROM [RR_Table_Experience].[dbo].[TableExperienceRR_Extract] WHERE [ExpGprCSP] = 'SPE' AND ExpIdTraitement = @ExpIdTraitement AND ExpSinIdFonc <> 'GReprise_bdd' Etape 2 : Requête UPDATE [TableExperience].[dbo].[TabLoiMaitienEnIncap] SET Sexe = 'FEMININ' WHERE
87
Sexe = 'INCONNU' AND LEFT(NumSS,1) = '2' UPDATE [TableExperience].[dbo].[TabLoiMaitienEnIncap] SET Sexe = 'MASCULIN' WHERE Sexe = 'INCONNU' AND LEFT(NumSS,1) = '1' Etape 3 : Requête UPDATE [TableExperience].[dbo].[TabLoiMaitienEnIncap] SET NumSin = SsReq.NumSin + 8000000 FROM (SELECT MIN(DatRealRisq) AS DateRisque ,NumSin FROM [TableExperience].[dbo].[TabLoiMaitienEnIncap] WHERE NumSin IN (SELECT NumSin FROM [TableExperience].[dbo].[TabLoiMaitienEnIncap] GROUP BY NumSin HAVING COUNT(NumSin) <> 1) GROUP BY NumSin) AS SsReq WHERE TabLoiMaitienEnIncap.NumSin = SsReq.NumSin AND TabLoiMaitienEnIncap.DatRealRisq = SsReq.DateRisque Etape 4 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '001' WHERE DJIIncap > DJIInval AND Etude IS NULL Etape 5 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '003' WHERE DernierEtat = 'INVAL' AND PJIIncap IS NULL AND Etude IS NULL
88
Etape 6 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '004' WHERE MontantPrestBrut <- 0 AND Etude IS NULL Etape 7 : Requête -- On supprime les dates de naissances dont le numero de secu est valide -- -- si le mois ou l'annee du numero secu ne correspond pas a cette date -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatNai = NULL FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE LEFT(NumSS,1) IN ('1','2') AND (YEAR(DatNai)-1900 <> SUBSTRING(NumSS,2,2) OR MONTH(DatNai)<> SUBSTRING(NumSS,4,2)) AND LEN(NumSS) = 15 AND SUBSTRING(NumSS,4,2) < 13 AND SUBSTRING(NumSS,4,2) > 0 AND DatNai IS NOT NULL AND RIGHT(NumSS,2) = (97-((CAST(LEFT(NumSS,13) AS BIGINT))-((CAST(LEFT(NumSS,13) AS BIGINT)/97)*97))) --Age Valide a la date d'arrêt 16 à 75 ans inclus -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatNai = NULL FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE DATEDIFF(YEAR,DatNai,DatRealRisq) NOT BETWEEN @AgeNaiValDeb AND @AgeNaiValFin -- Mise a jour de la date de naissance -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatNai = CAST(('15/'+ SUBSTRING(NumSS,4,2)+'/19'+SUBSTRING(NumSS,2,2))AS SMALLDATETIME) FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE LEFT(NumSS,1) IN ('1','2') AND LEN(NumSS) = 15 AND SUBSTRING(NumSS,4,2) < 13 AND SUBSTRING(NumSS,4,2) > 0
89
AND DatNai IS NULL AND RIGHT(NumSS,2) = (97-((CAST(LEFT(NumSS,13) AS BIGINT))-((CAST(LEFT(NumSS,13) AS BIGINT)/97)*97))) Etape 8 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '002' WHERE DatNai IS NULL AND Etude IS NULL Etape 9 : Requête UPDATE [TableExperience].[dbo].TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '012' WHERE DatRealRisq > '24/12/2011' AND Etude IS NULL Etape 10 : Requête /*Gestion de la Date de Reprise*/ UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatReprise = Null FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE DatReprise > @DateEtude AND Etude IS NULL UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatReprise = Null FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE DatReprise < DJIIncap AND Etude IS NULL /*Gestion de la Date de DC*/ -- On Supprime les dates de DC supérieures à la date d'étude -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatDC = NULL WHERE
90
DatDC > @DateEtude AND Etude IS NULL -- On Supprime les dates de DC non valides quand le sinistre est indemnisé en INCAP -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatDC = NULL WHERE DatDC IS NOT NULL AND DJIIncap IS NOT NULL AND DJIInval IS NULL AND DJIIncap > DatDC AND Etude IS NULL -- On Supprime les dates de DC non valides quand le sinistre est indemnisé en INVAL -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatDC = NULL WHERE DatDC IS NOT NULL AND DJIInval IS NOT NULL AND DJIInval > DatDC AND Etude IS NULL /*Gestion de la Date de Cloture*/ -- Mise a jour de la date de cloture quand le salarié est DCD -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatCloture = DatDC WHERE DatDC IS NOT NULL AND DatCloture IS NULL AND DATEDIFF(DAY,DJIIncap,DatDC) BETWEEN 0 AND 1 AND Etude IS NULL -- Mise a jour de la date de cloture Uniquement si indemnisation après date d'étude -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatCloture = Null FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE DatCloture > @DateEtude AND Etude IS NULL UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DatCloture = DATEADD(DAY,1,DJIIncap) FROM
91
TabLoiMaitienEnIncap WHERE DatCloture IS NULL AND DernierEtat = 'INCAP' AND DJIIncap <= @DateEtude AND Etude IS NULL -- Retraitement Dates INCAP -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DJIIncap = @DateEtude FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE DJIIncap > @DateEtude AND Etude IS NULL -- Retraitement Dates INVAL -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET PJIInval = Null ,DJIInval = Null ,DernierEtat = 'INCAP' FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE PJIInval > @DateEtude AND Etude IS NULL UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET DJIInval = @DateEtude FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE PJIInval <= @DateEtude AND DJIInval > @DateEtude AND Etude IS NULL Etape 11 : Requête UPDATE [TableExperience].[dbo].TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '013' WHERE PJIIncap > DJIIncap AND Etude IS NULL Etape 12 : Requête -- On etudie pas les sinistres en accident --
92
UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = 'ACC' WHERE TypeArret = 'ACCIDENT' AND Etude IS NULL -- On etudie pas les sinistres dont le dernier etat est l'incap sans date de cloture -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = 'XXX' WHERE DernierEtat = 'INCAP' AND DatCloture IS NULL AND Etude IS NULL -- On etudie les sinistres dont le dernier etat est l'incap avec date de cloture -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = 'OUI' WHERE DernierEtat = 'INCAP' AND DatCloture IS NOT NULL AND Etude IS NULL -- On etudie les sinistres dont le dernier etat est l'inval UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = 'OUI' WHERE DernierEtat = 'INVAL' AND Etude IS NULL Etape 13 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '007' FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE (Etude IN ('OUI','XXX') AND PJIIncap - DatRealRisq <= 9 AND DatRealRisq < '20/07/2008') OR (Etude IN ('OUI','XXX') AND PJIIncap - DatRealRisq <= 6 AND DatRealRisq >= '20/07/2008')
93
Etape 14 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '011' FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE Etude IN ('OUI','OUR','XXX','XXR','ACC') AND YEAR(DatRealRisq) < 2005 Etape 15 : Requête -- Age a la Date d'Observation -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET AgeDatObser = CONVERT(FLOAT,ROUND(CONVERT(FLOAT, DATEDIFF(DAY,DatNai,@DateEtude))/365,5)) -- Age au DJI Incap -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET AgeDJIIncap= CONVERT(FLOAT,ROUND(CONVERT(FLOAT, DATEDIFF(DAY,DatNai,DJIIncap))/365,5)) -- Age au DJI INVAL -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET AgeDJIInval = CONVERT(FLOAT,ROUND(CONVERT(FLOAT, DATEDIFF(DAY,DatNai,DJIInval))/365,5)) -- Age a la Date de Survenance -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET AgeDatRealRisq = CONVERT(FLOAT,ROUND(CONVERT(FLOAT, DATEDIFF(DAY,DatNai,DatRealRisq))/365,5)) Etape 16 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET Etude = '008' FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE Etude IN ('OUI','XXX') AND AgeDatRealRisq >= 65 Etape 17 : Requête
94
-- cette requette determine le Nbre de jours Indemnise en INCAP -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourIndemIncap = DATEDIFF(DAY,PJIIncap,DJIIncap) + 1 WHERE Etude IN ('OUI','XXX','ACC') UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourIndemIncap = 0 WHERE NbreJourIndemIncap IS NULL AND Etude IN ('OUI','XXX','ACC') -- cette requette determine le Nbre de jours Indemnise en INVAL -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourIndemInval = DATEDIFF(DAY,PJIInval,DJIInval) + 1 WHERE Etude IN ('OUI','XXX','ACC') UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourIndemInval = 0 WHERE NbreJourIndemInval IS NULL AND Etude IN ('OUI','XXX','ACC') -- Cette requette determine le Nbre de jours d'arrêt en INCAP -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourArretIncap = DATEDIFF(DAY,DatRealRisq,DJIIncap) + 1 WHERE Etude IN ('OUI','XXX','ACC') UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourArretIncap = 0 WHERE NbreJourArretIncap IS NULL AND Etude IN ('OUI','XXX','ACC') -- Cette requette détermine le Nbre de jours indemnise Total -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourIndemTotal = NbreJourIndemInval + NbreJourIndemIncap WHERE
95
Etude IN ('OUI','XXX','ACC') -- Cette requette détermine le Nbre de jour d'arret Total -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET NbreJourArretTotal = NbreJourArretIncap + NbreJourIndemInval WHERE Etude IN ('OUI','XXX','ACC') Etape 18 : Requête UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET TabLoiMaitienEnIncap.Identifiant = NULL ,TabLoiMaitienEnIncap.IdentifiantAsso = NULL ,TabLoiMaitienEnIncap.IdentifiantEmp = NULL CREATE TABLE #TempTabLoiMaitienEnIncap ( [Identifiant] [int] IDENTITY (1, 1) NOT NULL , [NumSin] [numeric](18, 0) NULL ,) -- CREATION DE L'IDENTIFIANT -- INSERT INTO #TempTabLoiMaitienEnIncap (NumSin) SELECT NumSin FROM TabLoiMaitienEnIncap WHERE Etude IN ('OUI','XXX') ORDER BY AgeDatRealRisq,DatRealRisq -- MISE A JOUR DES IDENTIFIANTS DANS LA TABLE -- UPDATE TabLoiMaitienEnIncap SET TabLoiMaitienEnIncap.Identifiant = TEM.Identifiant FROM TabLoiMaitienEnIncap TAB INNER JOIN #TempTabLoiMaitienEnIncap TEM ON TEM.NumSin = TAB.NumSin -- SUPPRESSION DES DONNEES TEMP -- TRUNCATE TABLE #TempTabLoiMaitienEnIncap
96
3. Démonstrations des propriétés
3.1 Propriété :
, la dérivée d’ordre du polynôme , peut s’écrire sous la forme :
∑
Démonstration :
La formule se démontre de façon très simple par récurrence sur l’ordre .
i. pour , on a :
∑
∑
ii. On suppose la formule vraie pour un rang quelconque
iii. On démontre la formule au rang suivant :
( )
(∑
)
∑
∑
La formule est donc vraie pour un rang quelconque.
3.2 Propriété :
Tout polynôme de degré et dont les dérivées successives sont nulles en un point
jusqu’à l’ordre peut s’écrire sous la forme d’un monôme de degré :
Démonstration :
est un polynôme de degré donc il peut s’écrire sous la forme :
∑
Montrons par récurrence forte que pour tout ⟦ ⟧ .
i.
Or, par hypothèse, donc et on a :
∑
97
ii. Supposons que, pour un certain rang , ⟦ ⟧ on ait : pour tous les entiers .
iii. Montrons la propriété au rang suivant
D’après la propriété 1, on a :
∑
d’où
Or, par hypothèse, donc .
Ainsi, pour tout ⟦ ⟧ , et donc .
3.3 Propriété :
Toute fonction spline peut s’écrire sous la forme :
∑
∑
où { [ ]
( ) [ ]
Démonstration
Tout d’abord, sur l’intervalle [ ], est un polynôme de degré inférieur ou égal à donc
s’écrit comme une combinaison linéaire de :
Montrons ensuite par récurrence la propriété suivante pour ⟦ ⟧ :
Sur l’intervalle [ ], on a :
∑
∑
i. On montre d’abord la propriété pour .
Sur l’intervalle [ ], est un polynôme de degré inférieur ou égal à donc s’écrit comme
une combinaison linéaire de :
De plus, est un polynôme de degré donc il peut s’écrire sous la forme :
∑
98
Or, par définition, s admet des dérivées continues en jusqu’à l’ordre l −1 donc :
⟦ ⟧
ou encore
⟦ ⟧
D’après la propriété 2 des rappels sur les polynômes, peut s’exprimer sous la forme :
Ainsi, sur l’intervalle [ ],
On a donc :
{ [ ]
[ ]
Ainsi, sur l’intervalle [ ],
∑
ii. On suppose la propriété vraie à un rang quelconque
Sur l’intervalle [ ], on a :
∑
∑
iii. On démontre la propriété au rang suivant :
Sur l’intervalle [ ], est un polynôme de degré inférieur ou égal à .
De plus, est un polynôme de degré .
Or, par définition, s admet des dérivées continues en jusqu’à l’ordre l −1 donc :
⟦ ⟧
D’après la propriété 2 des rappels sur les polynômes, peut s’écrire sous la forme :
Ainsi, sur l’intervalle [ ],
On a donc :
{ [ ]
[ ]
Ainsi, sur l’intervalle [ ],
∑
∑
C’est-à-dire
99
∑
∑
La propriété est donc vérifiée pour tout entier naturel ⟦ ⟧
3.4 Propriété :
Les fonctions définies par sont linéairement indépendantes.
Démonstration
i. D’après la propriété 1 des polynômes, forme une base de [ ] donc les fonctions définies par sont linéairement indépendantes.
ii. Montrons que les fonctions sont linéairement indépendantes.
Soient et deux entiers tels que . Supposons qu’il existe deux réels et
tels que
Ainsi pour tout [ ] . En particulier, pour
tout [ ].
Or, pour tout [ ], donc .
Si alors est un polynôme non nul de degré possédant une infinité de racines, ce
qui est impossible. Donc On en déduit que pour tout [ ].
De même que précédemment, si alors est un polynôme non nul de degré
possédant une infinité de racines, ce qui est impossible. Donc
Les fonctions sont donc linéairement indépendantes.
iii. Montrons que les fonctions définies par sont linéairement indépendantes
(avec ).
Supposons qu’il existe deux réels et tels que pour tout [ ].
En particulier, pour tout [ ].
Or, pour tout [ ], donc .
Si alors est un polynôme non nul de degré possédant une infinité de racines, ce qui
est impossible. Donc
On en déduit que pour tout [ ].
De même que précédemment, si alors est un polynôme non nul de degré
possédant une infinité de racines, ce qui est impossible. Donc
100
On peut en conclure que les fonctions définies par
sont linéairement indépendantes.
3.5 Propriété :
L’ensemble des splines de degré l sur est un -espace vectoriel de dimension .
Démonstration
Vérifions tout d’abord que est un -espace vectoriel.
On rappelle que l’ensemble [ ] des fonctions de [ ] dans est un espace vectoriel.
Montrons que est un sous-espace vectoriel de [ ] .
i. [ ]
ii. La fonction nulle, qui à tout élément de l’intervalle [ ] associe la valeur 0, est une
fonction spline car :
elle admet des dérivées continues (nulles) jusqu’à l’ordre l −1
restreinte à chaque intervalle de la subdivision, elle est un polynôme de degré inférieur
ou égal à l (le polynôme nul)
iii.
En effet, soient et deux fonctions de et un réel.
⟦ ⟧ donc admet des dérivées
continues jusqu’à l’ordre l −1
restreintes à chaque intervalle de la subdivision, et peuvent s’écrire sous la forme :
∑ ∑
∑ ∑
∑
Restreint à chaque intervalle de la subdivision, est un polynôme de degré inférieur ou
égal à l
Montrons que est de dimension
D’après les propriétés 1 et 2, est une famille
génératrice de et une famille libre de .
Ainsi est une base de l’espace vectoriel , de
dimension c’est-à-dire .
101
3.6 Propriété :
est un espace vectoriel
Démonstration :
Montrons que est un sous-espace vectoriel de .
On note l’élément neutre de l’espace vectoriel : est la fonction nulle qui, à tout réel ,
associe la valeur 0.
Par définition,
car ⟦ ⟧
Soient et deux fonctions de et un réel alors .
En effet, ⟦ ⟧
3.7 Propriété :
est un espace affine, translaté de l’espace vectoriel
Démonstration :
Soit une fonction de .
Pour toute fonction de , on note la fonction définie par .
Par définition, et donc .
De plus, ⟦ ⟧ donc .
Ainsi toute fonction de peut s’écrire sous la forme où est une fonction de (fixée
arbitrairement) et est une fonction de .
3.8 Propriété :
Si est une fonction deux fois dérivable, telle que [ ] , et qui interpole les points ⟦ ⟧, la spline cubique naturelle est celle qui minimise :
∫
Démonstration
On note la spline cubique naturelle associée à la fonction . On a :
∫ ( )
∫
∫
∫
102
∫
∫ ( )
∫ ( )
∫
∫
∫ ( )
∫ [ ]
On utilise les notations suivantes :
∫ [ ]
∫ [ ]
⟦ ⟧
∫ [ ]
∑ ∫ [ ]
∑
D’autre part, par intégration par parties sur , on pose :
d’où et d’où
[ ]
∫ [ ]
∫ [ ]
On sait que [ ] et ⟦ ⟧ ( ) ( ) donc :
∫ [ ]
∫ [ ]
[ ]
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
[ ]
( ( ) ) ( ) ( ( ) )
( )
∑
( )
Par définition d’une spline cubique naturelle, donc .
103
∫
∫
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
3.9 Propriété :
On rappelle la notation , pour tout ⟦ ⟧.
Les vecteurs ⟦ ⟧ ⟦ ⟧
⟦ ⟧ et ⟦ ⟧vérifient les relations suivantes :
v. ⟦ ⟧
vi. {
⟦ ⟧
vii. {
⟦ ⟧
viii. {
⟦ ⟧
Démonstration :
i. Par définition, ⟦ ⟧
ii. Soit ⟦ ⟧.
D’après les remarques du 3.2.2, on a : ( )
[ ].
Donc, par continuité de en , on a :
( )
D’où ⟦ ⟧
. De plus, par convention,
iii. Soit ⟦ ⟧.
D’après les remarques du 3.2.2, on a :
( )
( )
( )
Donc, par continuité de en , on a :
( )
( )
( )
104
(
)
Ainsi
D’où
⟦ ⟧.
De plus, d’après les remarques du 3.2.2, [ ] , on a :
( )
( )
donc
.
iv. Soit ⟦ ⟧. D’après ce qui précède [ ] , on a :
( )
( )
Donc, par continuité de en , on a :
( )
( )
Or, d’après l’iii. ,
.
D’où ⟦ ⟧
ou encore ⟦ ⟧
.
De plus, par définition d’une spline naturelle, on a :
3.10 Propriété :
Soit une fonction deux fois dérivables, telle que .
La fonction qui minimise la quantité est une spline cubique naturelle de
nœuds( ) ⟦ ⟧.
105
Démonstration
On suppose fixés les points ( ) ⟦ ⟧et les réels . On note .
Soit la fonction qui minimise la quantité .
Pour toute fonction deux fois dérivables, telle que , et qui passe par les mêmes
points que la fonction (c’est-à-dire , pour tout ⟦ ⟧), on a :
∑ ( ( ) )
∑ ( )
∑ ( ( ) )
De plus, par hypothèse, c’est-à-dire .
Ainsi .
D’après les propriétés du 4.2.1., la fonction est donc la spline cubique naturelle pour les
points considérés.
3.11 Propriété :
Comme pour la détermination d’une spline d’interpolation, les vecteurs
⟦ ⟧ ⟦ ⟧
⟦ ⟧ et ⟦ ⟧ s’obtiennent par résolution d’un système
linéaire. De plus, dans le cas d’une spline d’ajustement, ⟦ ⟧, on a :
avec
( )
Démonstration
D’après la propriété (admise) du 4.5.2., on a ⟦ ⟧
Or, d’après le 4.4.3.1., on a :
donc
.
De plus, d’après le 4.4.3.1., on a :
106
⟦ ⟧
( )
( )
(
)
(
)
Soit
(
)
(
)
Ce qui équivaut à:
On peut l’écrire sous la forme :
avec
( )
107
Bibliographie
BLATTNER C. (2001) Construction et certification de tables d’expérience en Arrêt de travail, publication Actuaris CLEMENT O. (2003) Elaboration d’une table d’expérience : comparaison de méthodes de lissage analytique et d’ajustement statistique, Mémoire d’Actuaire
DE BOOR C. (1978) A Practical Guide to Splines, Springer-Verlag
FEPEM (2012) Rapport de la Branche – Assistants maternels du particulier employeur
GAUMET A. (2001) Construction de tables d’expérience pour l’entrée et le maintien en incapacité, Mémoire d’Actuaire PLANCHET F. (2007) Les tables d’expérience , la Tribune de l’Assurance n°110 WINTER P. (2005) Méthodes bidimensionnelles pour l’ajustement de lois de maintien d’expérience en arrêt de travail, Mémoire d’Actuaire