mise à jour le 1er janvier 2007 1 mesures de performance •formules d’erlang –erlang-c et ses...

Mise à jour le 1er janvier 2007

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Mesures de performanceMesures de performance• Formules d’ErlangFormules d’Erlang

– Erlang-C et ses propriétésErlang-C et ses propriétés

• RobustesseRobustesse

– Elle est très sensible à la variation des entrées Elle est très sensible à la variation des entrées , , et et ss

= 1 et = 1 et = s = 8 donne un ASA de 17 secondes; = s = 8 donne un ASA de 17 secondes;

= 1.1 et = 1.1 et = s = 8 donne un ASA de = s = 8 donne un ASA de 30 secondes30 secondes..

• Étirement du tempsÉtirement du temps

– aa = = Intensité du trafic (nombre erlang); Intensité du trafic (nombre erlang);

– Si on double Si on double (ou (ou ) alors il faut diviser ) alors il faut diviser (ou (ou ) par 2 pour maintenant ) par 2 pour maintenant aa constant; constant;

– Or Or ss, le nombre d’agents, n’est pas nécessairement le même., le nombre d’agents, n’est pas nécessairement le même.

Source:Source:Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007.Ger Koole, Call Center Mathematics, 2007.


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– Erlang-C et ses propriétésErlang-C et ses propriétés

• Économie d’échelleÉconomie d’échelle

– En doublant s, le nombre d’agents, on peut plus que doubler En doublant s, le nombre d’agents, on peut plus que doubler tout en maintenant le même SL tout en maintenant le même SL

– C’est pour cette raison que l’on dit:C’est pour cette raison que l’on dit:

» Un grand centre d’appels est plus efficace qu’un petit;Un grand centre d’appels est plus efficace qu’un petit;

» Cette affirmation est à considérer avec des lunettes de technocrate! Cette affirmation est à considérer avec des lunettes de technocrate!

• Temps d’attente variableTemps d’attente variable

– Deux centres d’appels:Deux centres d’appels:

= 1, = 1, = 5, AWT = 20 et = 5, AWT = 20 et ss = 8 = 8 TSF ~ 86%; TSF ~ 86%;

= 20, = 20, = 0.333, AWT = 20 et = 0.333, AWT = 20 et ss = 8 = 8 TSF ~ 86%; TSF ~ 86%;

» Ils n’ont pas le même temps moyen d’attente!Ils n’ont pas le même temps moyen d’attente!



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– Erlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectifErlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectif

• Une règle empiriqueUne règle empirique

– surcapacité en % surcapacité en % ( (ss))1/21/2 = = cc

» cc est une constante reliée à SL est une constante reliée à SL

– La surcapacité est donnée:La surcapacité est donnée:

» 100 100 (1 – (1 – aa / / ss))

» aa = =

– ss = 4, = 4, = 1, = 1, = 2 = 2 AWT ~ 10 sec et surcapacité = 50% et AWT ~ 10 sec et surcapacité = 50% et cc = 100. = 100.

– ss = = ss 4 alors (s)1/2 double. Pour maintenir 4 alors (s)1/2 double. Pour maintenir cc à 100, on doit réduire la surcapacité à 25% à 100, on doit réduire la surcapacité à 25% AWT ~ 6 sec. AWT ~ 6 sec.

– ss = = ss 4 4 4 4 AWT ~ 3,2 sec. AWT ~ 3,2 sec.



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– Erlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectifErlang-C et la règle « racine carrée » de l’effectif

• Une règle empiriqueUne règle empirique

– ss = (( = ((cc + ( + (cc22 + 4 + 4aa))1/21/2) / 2)) / 2)22

» cc est une constante reliée à SL mais divisée par 100 est une constante reliée à SL mais divisée par 100

– c c = 1, = 1, = 1, = 1, = 2 = 2 s = 4. s = 4.

– Doubler Doubler aa passant de passant de aa =2 à =2 à aa = 4 = 4

» ss ~ 6.6 ~ 6.6

– Donc, c’est une bonne approximation…Donc, c’est une bonne approximation…

• Attention! La règle empirique est seulement utile en relation avec Attention! La règle empirique est seulement utile en relation avec et et ss

– mais c’est empirique!mais c’est empirique!



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– Extension d’Erlang C pour tenir compteExtension d’Erlang C pour tenir compte

• AbandonsAbandons

• Nombre limité de circuits téléphoniquesNombre limité de circuits téléphoniques

– Implique le calcul du processus « naissance-décès » (birth-death)Implique le calcul du processus « naissance-décès » (birth-death)

• C’est une chaîne de MarkovC’est une chaîne de Markov

– La prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du passé;La prédiction du futur à partir du présent ne nécessite pas la connaissance du passé;

– Une chaîne de Markov en temps discret est une séquence X(tUne chaîne de Markov en temps discret est une séquence X(t11), X(t), X(t22), X(t), X(t33), ... de variables aléatoires;), ... de variables aléatoires;

– L'ensemble de leurs valeurs possibles est appelé l’espace d'états, la valeur X(tL'ensemble de leurs valeurs possibles est appelé l’espace d'états, la valeur X(tnn) étant l'état du processus au moment t=) étant l'état du processus au moment t=nn..


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– Extension d’Erlang C pour tenir compteExtension d’Erlang C pour tenir compte

• Abandons et rappelsAbandons et rappels

• Nombre limité de circuits téléphoniquesNombre limité de circuits téléphoniques

– Chaîne de Markov Chaîne de Markov

• Distribution conditionnelle – probabilité de transition d’un pasDistribution conditionnelle – probabilité de transition d’un pas

– P{X(tP{X(tnn+1+1) = j | X(t) = j | X(tnn) = ) = iinn} où n = 1, 2, 3… et t} où n = 1, 2, 3… et t11 < t < t22 < … < t < … < tnn

• Le processus peut demeurer dans un état X(tLe processus peut demeurer dans un état X(tnn) = ) = iinn

– Il peut changer d’état seulement à des temps discrets – chaîne de Markov discrèteIl peut changer d’état seulement à des temps discrets – chaîne de Markov discrète

– Il peut changer d’état en un temps arbitaire – chaîne de Markov continueIl peut changer d’état en un temps arbitaire – chaîne de Markov continue


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• Étant donné une probabilité initiale et la probabilité de transition d’un pasÉtant donné une probabilité initiale et la probabilité de transition d’un pas

– On peut déterminer la probabilité d’être dans différents états au temps t = On peut déterminer la probabilité d’être dans différents états au temps t = nn..

• Quel est le lien entre une chaîne de Markov et l’extension d’Erlang C pour tenir compte des abandons et la finitude des circuits téléphoniques?Quel est le lien entre une chaîne de Markov et l’extension d’Erlang C pour tenir compte des abandons et la finitude des circuits téléphoniques?

– Le processus est dans un état comprenant une population de Le processus est dans un état comprenant une population de kk appels; appels;

– La population augmente de 1 d’une façon probabilistique – naissance;La population augmente de 1 d’une façon probabilistique – naissance;

– La population diminue de 1 d’une façon probabilistique – décès.La population diminue de 1 d’une façon probabilistique – décès.

Naissance: un appel Naissance: un appel arrive dans la file arrive dans la file d’attente + rappel.d’attente + rappel.Décès: un appel quitte Décès: un appel quitte la file d’attente – un la file d’attente – un abandon.abandon.


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• Le processus continu est donc plus approprié pour modéliser les abandonsLe processus continu est donc plus approprié pour modéliser les abandons

– P{système dans l’état i au temps T | système présentement dans l’état P{système dans l’état i au temps T | système présentement dans l’état ii}}

– = (1 – = (1 – t)t)T/T/tt

– = e= ett lorsque lorsque t t 0 0

= taux de d= taux de décès (abandon) dans un étatécès (abandon) dans un état

• Donc, le temps passé dans un état est de distribution exponentielle – même distribution que Erlang-C.Donc, le temps passé dans un état est de distribution exponentielle – même distribution que Erlang-C.

Source:Source:Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.Anan Phonphoem, Birth-Death Processes, 2003.


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• Si Si ii = taux de naissance dans l’état = taux de naissance dans l’état ii, , ii = taux de décès dans l’état = taux de décès dans l’état ii alors alors

– PP{état i à état i – 1 en {état i à état i – 1 en t} = t} = iitt

– PP{état i à état i + 1 en {état i à état i + 1 en t} = t} = iitt

– PP{état i à état i en {état i à état i en t} = 1 – (t} = 1 – (i i + + ii) ) tt

– PP{état i à un autre état en {état i à un autre état en t} = t} = 00



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• Diagramme de transitionDiagramme de transition

– X(t) = population dans le système au temps t (naissance – décès)X(t) = population dans le système au temps t (naissance – décès)

– ppii(t) = P{X(t) = (t) = P{X(t) = ii}, probabilité que le système se trouve dans l’état }, probabilité que le système se trouve dans l’état ii au temps t au temps t

• Comment calculer ces probabilités?Comment calculer ces probabilités?



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• De t à (t + De t à (t + t)t)

– pp00(t+(t+t) = pt) = p00(t)[1 – (t)[1 – 00t] + pt] + p11(t)(t)11tt

• GénéraliserGénéraliser

– ppii(t+(t+t) = pt) = pii(t)[1 – ((t)[1 – (ii ++ ii)) t] + pt] + pii+1+1(t)(t)ii+1+1t pt pii+1+1(t)(t)ii+1+1tt

• Lorsque Lorsque t t 0 0

– dpdp00(t) / dt = – (t) / dt = – 00pp00(t) + (t) + 11pp11(t)(t)

– dpdpii(t) / dt = – ((t) / dt = – (00++ii)p)pii(t) + (t) + ii+1+1ppii+1+1(t) + (t) + ii+1+1ppii+1+1(t)(t)

• Finalement la somme des pFinalement la somme des pii(t) = 1 pour t = 0 à (t) = 1 pour t = 0 à



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• La solution d’équilibre – pas d’anéantissement ou explosiion de la populationLa solution d’équilibre – pas d’anéantissement ou explosiion de la population

– dpdpii(t) / dt = 0(t) / dt = 0

• On obtient donc les probabilités de la solution d’équilibre par la solution des équations suivantes:On obtient donc les probabilités de la solution d’équilibre par la solution des équations suivantes:

00pp00(t) = (t) = 11pp11(t)(t)

ii-1-1ppii-1-1(t) + (t) + ii+1+1ppii+1+1(t) = ((t) = (ii + + ii)p)pii(t)(t)

– la somme des pla somme des pii(t) = 1 pour t = 0 à (t) = 1 pour t = 0 à

• Le calcul des probabilités pLe calcul des probabilités p00(t) et p(t) et p ii(t) peut se faire simplement par la méthode d’équilibre de flux.(t) peut se faire simplement par la méthode d’équilibre de flux.



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• Flux entrant = flux sortantFlux entrant = flux sortant


1

00

1

1

0

0

1

11

1

i

ki

i

i

k

k

k

k

k

pp

p


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Mesures de performanceMesures de performance

• Formules d’ErlangFormules d’Erlang

– Extension dExtension d’Erlang-C ’Erlang-C Erlang-X Erlang-X

• Le calculateur Erlang-X solutionne ces équations …Le calculateur Erlang-X solutionne ces équations …



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– Extension d’Erlang-C Extension d’Erlang-C Erlang-X Erlang-X

• Exemple numérique:Exemple numérique:

= 1, = 1, = 5, AWT = 20, = 5, AWT = 20, ss = 6, temps d’attente moyen avant abandon = 6 minutes, 5% de rappel et 10 circuits téléphoniques: = 6, temps d’attente moyen avant abandon = 6 minutes, 5% de rappel et 10 circuits téléphoniques:

» SL ~ 68%, ASA ~ 35 sec, 8.5% abandons et 2.2% des appels sont bloqués.SL ~ 68%, ASA ~ 35 sec, 8.5% abandons et 2.2% des appels sont bloqués.

– Diminuons le temps moyen avant abandon de 6 à 4 minutesDiminuons le temps moyen avant abandon de 6 à 4 minutes

» SL ~ 70%, ASA ~ 31 sec, 10% abandons et ~ 1.5% des appels sont bloqués.SL ~ 70%, ASA ~ 31 sec, 10% abandons et ~ 1.5% des appels sont bloqués.

– Augmenter l’effectif de Augmenter l’effectif de ss = 6 à = 6 à ss = 7 agents = 7 agents

» SL ~ 84%, ASA ~ 13 sec, 5.2% abandons et ~ 1.6% des appels sont bloqués.SL ~ 84%, ASA ~ 13 sec, 5.2% abandons et ~ 1.6% des appels sont bloqués.



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– Extension d’Erlang-C Extension d’Erlang-C Erlang-X Erlang-X

• Exemple numérique:Exemple numérique:

– Diminuons le nombre de circuits disponible à 8Diminuons le nombre de circuits disponible à 8

» SL ~ 92%, ASA ~ 5.2 sec, 3.4% abandons et ~ 6.9% des appels sont bloqués.SL ~ 92%, ASA ~ 5.2 sec, 3.4% abandons et ~ 6.9% des appels sont bloqués.

– Augmenter le temps traitement de 5 minutes Augmenter le temps traitement de 5 minutes à 6 minutesà 6 minutes

» SL ~ 87%, ASA ~ 9.6 sec, SL ~ 87%, ASA ~ 9.6 sec, ~ ~ 6% abandons et ~ 11.7% des appels sont bloqués.6% abandons et ~ 11.7% des appels sont bloqués.

• On voit donc que le niveau de service en présence d’abandon, rappels et finitude de circuits téléphoniques est fortement non linéaire.On voit donc que le niveau de service en présence d’abandon, rappels et finitude de circuits téléphoniques est fortement non linéaire.

• Un problème très difficile à optimiser.Un problème très difficile à optimiser.


mise à jour le 1er janvier 2007 1 mesures de performance •formules d’erlang –erlang-c et ses...

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