microéconomiemicroéconomie sébastien rouillon 2011 (1-ière version 2008)

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  • MicroconomieMicroconomie Sbastien Rouillon 2011 (1-ire version 2008)
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  • 1. Th. du choix rationnel On note : A = {a, b, } = lens. des choix possibles ; R = une relation de prfrence, df. sur A. La proposition : a R b se lit : "Le choix a est au moins aussi bon que le choix b".
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  • 1. Th. du choix rationnel On dit que la relation de prfrence R est rationnelle si : elle est complte : pour tout x et y de A, on a x R y ou y R x ; elle est transitive : pour tout x, y et z de A, si x R y et y R z, alors x R z.
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  • 1. Th. du choix rationnel On dduit de R une relation : de prfrence stricte, note P : a P b quivaut : a R b et non b R a. dindiffrence, note I : a I b quivaut : a R b et b R a.
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  • 1. Th. du choix rationnel La fonction U(x), dfinie sur A, reprsente R si, pour tout x et y dans A, x R y quivaut U(x) U(y). On dit alors que U est une fonction dutilit reprsentant la relation de prfrence R.
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  • 2. Le consommateur Le problme du consommateur est de choisir quelles quantits acheter des biens disponibles dans lconomie. Notons : K = le nombre de biens disponibles ; x = (x 1, , x K ) IR K = un plan de consommation du consommateur.
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  • 2.1 Lensemble de consommation Les choix du consommateur sont limits par des contraintes physiques et/ou lgales. Par ex. : le temps de loisir est au plus gal 24h/j ; en Europe, le temps de travail ne peut pas dpasser 48h par semaine.
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  • 2.1 Lensemble de consommation On dfinit lensemble de consommation, not X, comme tous les plans de consommation compatibles avec ces contraintes. Sauf mention contraire, on supposera que : X = {x IR K ; x k 0, pour k = 1, , K}
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  • 2.2 Lensemble de budget Les choix du consommateur sont aussi limits par les prix des biens et son revenu. On note : p = (p 1, , p K ) = le vecteur de prix (p >> 0) ; R = le revenu du consommateur (R > 0).
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  • 2.2 Lensemble de budget On dfinit lensemble de budget, not B, comme tous les plans de consommation cotant au plus le revenu du consommateur : B = {x IR K ; px = k p k x k R}
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  • 2.3 Reprsentation graphique x1x1 x2x2 B Le consommateur doit choisir un plan de consommation dans X (contraintes physiques et/ou lgales) et dans B (contraintes conomiques). X Droite de budget X B
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  • 2.4 Les prfrences du consommateur On note R la relation de prfrence du consommateur, dfinie sur son ensemble de consommation X. Pour la suite, on suppose (sauf mention contraire) que R est rationnelle, monotone, strictement convexe et continue.
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  • 2.4 Les prfrences du consommateur Pour tout panier de consommation x dans X, on peut dfinir trois sous-ensembles de X : lens. des paniers au moins aussi bon que x : (+) = {x X ; x R x} ; lens. des paniers quivalents x : (~) = {x X ; x I x} ; lens. des paniers au plus aussi bon que x : (-) = {x X ; x R x}.
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  • 2.4.1 Prfrences monotones x x1x1 x2x2 x On dit que R est monotone si, pour tout x et x dans X, x >> x implique x P x. Donc, lens. (+) des points au moins aussi bien que x contient tous les points au NE de x.
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  • 2.4.2 Prfrences strictement convexes x x1x1 x2x2 x On dit que R est strict. convexe si, pour tout x, x R x et x R x impliquent que (t x + (1t) x) P x, pour tout 0 < t < 1. Cela implique que lens. (+) des points au moins aussi bien que x est convexe. x
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  • 2.4.3 Prfrences continues x1x1 x2x2 On dit que R est continue si, pour tout x, lens. (+) des points au moins aussi bien que x et lens. (-) des points au plus aussi bien que x sont tous les deux ferms (ils contiennent leur frontire). (+) (-) x (~) Courbe dindiffrence
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  • 2.5 Fonction dutilit La proposition suivante justifie lintrt de supposer la continuit de R : Si la relation de prfrences R du consommateur est rationnelle et continue, il existe une fonction dutilit U(x) continue reprsentant R.
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  • 2.5 Fonction dutilit Il convient de comprendre quainsi construite, une fonction dutilit nest quune autre manire (plus commode mathmatiquement) de reprsenter les prfrences du consommateur. Cest un indice, construit pour reprsenter un classement des paniers de biens.
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  • 2.5 Fonction dutilit La proprit suivante peut aider y voir plus clair : Si U(x) est une fonction dutilit reprsentant R, toute fonction f(U(x)), o f : IR IR est strictement croissante, est aussi une fonction dutilit reprsentant R. On dit que la fonction dutilit U(x) est ordinale.
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  • 2.5 Fonction dutilit Ainsi, le terme "utilit" ne renvoie aucune ide de mesure du bien-tre, puisque le nombre U(x), associ au panier de consommation x, na aucune signification.
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  • 2.5 Fonction dutilit Pour tout plan de consommation x dans X, on peut redfinir les ensembles (~), (+) et (-), en utilisant U(x) : (+) = {x X ; U(x) U(x)} ; (~) = {x X ; U(x) = U(x)} ; (-) = {x X ; U(x) U(x)}. > x, alors U(x) > U(x). (Car R e">
  • 2.5.1 Proprits Les proprits suivantes de U(x) dcoulent des hypothses poses sur R : Elle est croissante : si x >> x, alors U(x) > U(x). (Car R est monotone.) Elle est strictement quasi-concave : pour tout x et x, U(t x + (1 t) x) > min{U(x), U(x)}, pour tout 0 < t < 1. (Car R est strictement convexe.)
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  • 2.5.2 Reprsentation graphique x1x1 x2x2 Les courbes dindif. ne se croisent pas. Elles tournent leur concavit vers lorigine. Lindice dutilit asso- cie crot mesure quon sloigne de lori- gine. Utilit croissante
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  • 2.5 Exercices On considre le cas K = 2 et la fonction dutilit U(x) = x 1 a x 2 1a, avec 0 < a < 1. (Famille des fonctions dutilit dites Cobb- Douglas.) On prendra le cas o a = 1/2. Tracer les courbes dindiffrence U(x) = u, pour u = 0, 1, 2. Reprsenter les ensembles (+) et (-) associs au panier de bien x = (1, 1).
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  • 2.6 Hypothses Ci-dessous, on admet lhypothse de concurrence pure et parfaite. On suppose donc que le consommateur considre les prix comme des donnes et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du march toute quantit quil dsire.
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  • 2.6 Hypothses Les hypothses suivantes sont implicites dans toute la thorie suivre : Information parfaite : Le consommateur connat ses prfrences, les prix et son revenu ; Rationalit parfaite : Le consommateur peut rsoudre, sans cot et sans erreur, nimporte quel problme doptimisation sous contrainte.
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  • 2.7 Lquilibre du consommateur Le problme du consommateur est de choisir, dans son ensemble de consommation X et dans son ensemble de budget B, un panier de consommation x, pour obtenir une utilit U(x) la plus grande possible.
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  • 2.7 Lquilibre du consommateur On dfinit un quilibre du consommateur comme toute solution x* du problme de maximisation de lutilit suivant : Max U(x), sous les contraintes : x X, k p k x k R.
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  • 2.7.1 Questions techniques Sous les hypothses retenues, il existe un unique quilibre du consommateur. Lexistence dcoule du fait quon maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, ferm et born. Lunicit dcoule de la quasi-concavit stricte de la fonction dutilit (ou, de faon quivalente, de la convexit stricte de R ).
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  • 2.7.2 Dtermination graphique x1x1 x2x2 Le pb revient trouver x dans X et B, qui soit sur une courbe dindif. la plus loigne possible de lorigine. Lquilibre x* se situe au point de tangence entre cette courbe dindif. et la droite de budget (pour une sol intrieure). X B x* R/p 1 R/p 2
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  • 2.7.3 Conditions marginales On suppose ici que la fonction dutilit U(x) est continment diffrentiable. On dfinit le taux marginal de substitution en x du bien 1 par le bien k, not TMS 1k, par : TMS 1k = U 1 (x)/U k (x).
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  • 2.7.3 Conditions marginales Le TMS 1k en x mesure le nombre dunits du bien k qui, compte tenu des prfrences du consommateur, sont ncessaires pour compenser la perte dune unit (infiniment petite) du bien 1, partir du panier de consommation x. Graphiquement, cest la pente, au point x, de la courbe dindiffrence passant par x (en valeur absolue), dans le plan (O, x 1, x k ).
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  • 2.7.3 Conditions marginales x1x1 x2x2 Si lq. x* du conso. est intrieur X, la courbe dindif. passant par x* et la droite de budget sont tangentes en x*. Donc, elles ont mme pente : TMS 12 = p 1 /p 2, et x* appartient la droite de budget. X B x* R/p 1 R/p 2 TMS 12 p 1 /p 2 NB : Les pentes sont donnes en v.a.
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  • 2.7.3 Conditions marginales En gnralisant, on obtient limportante proprit : Sil est intrieur X, un quilibre du consommateur x* vrifie les conditions : TMS 1k = p 1 /p k, pour k = 1, , K, k p k x k * = R, o les TMS 1k sont calculs en x*.
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  • 2.7.3 Conditions marginales On peut la retrouver laide du Th. du Lagrangien. Si x* est une solution intrieure du problme de maximisation de lutilit, il existe un nombre a (appel multiplicateur de Lagrange) et une fonction (appele fonction Lagrangienne) : L(x) = U(x) a ( k p k x k R), tels que x* vrifie les condit