MIC7340Chapitre 12

Filtres

Passe-basPasse-bas Passe-hautPasse-haut

Passe-bandePasse-bande Coupe-bandeCoupe-bandefc fc

fc1 fc2fc1 fc2

IdéalRéalisable

• Peuvent être réalisés par des moyens analogiques ou numériques• L’analyse de la réponse en fréquence se fait généralement avec la

transformée de Fourier, la synthèse part de la transformée de Laplace

Quatres types fondamentaux

Série de Fourier

• Permet de représenter tout signal périodique par une combinaison de signaux sinusoïdaux :

où

10

100

kk

kk

)tksin(b

)tkcos(aa)t(s

T

20

Série et transformée de Fourier• L’égalité sin() + j cos()=e jpermet aussi d’écrire :

où

– Chaque terme se distingue par une amplitude ck et un angle de phase k=k0t

• Lorsque s(t) n’est pas périodique ou T est infini, on utilise la transformée de Fourier :

où

– s(t) comprend un nombre infini de composant et F() est une fonction continue

• La transformée de Fourier est aussi applicable aux fonctions de durée finie ou périodiques; F() est alors discontinu

• Dans tous les cas, les paires (ck,k) ou F() décrivent le spectre de fréquences de s(t)

k

tjkk

0ec)t(s T

tjkk dte)t(s

Tc

0

01

deF)t(s tj

2

1

dte)t(sF tj

Transformée de Laplace• Définie par:

où et

• Peut être vue comme une extension de la transformée de Fourier où j est remplacé par s= + j• L’usage de s au lieu de j permet de rendre compte aussi du

comportement transitoire d’un circuit permet d’étudier la réponse transitoire et j la réponse

permanente

• Utile pour déterminer la stabilité d’un circuit pour différente conditions d’opération

• On passe souvent de la transformée de Fourier à la transformée de Laplace en remp;açant j par s dans l’une ou l’autre• En pratique, la transformée de Fourier est plus facile d’usage

dsesFj

)t(s stj

j

2

1 T

stdte)t(ssF0

js

Propriété fondamentale

• Les relations s(t) F()s(t)F(s)

sont bi-univoques• Pour chaque s(t), le F() ou F(s) correspondant est unique

s’il existe, et vice-versa

• Par conséquent l’impact d’un circuit sur un signal s(t) peut se faire de manière équivalente en faisant une analyse dans le temps ou dans l’un des espaces j ou s, dépendant de qui est le plus avantageux

Fonction de transfert

• Définie par H(s)=Y(s)/X(s) ou Y(s) et X(s) sont la sortie et l’entrée du circuit étudié

• Joue un rôle similaire à celui la fonction de réponse en fréquence, mais dans le domaine de Laplace

• Dans tous les cas :

• En pratique, on retrouve aussi souvent l’une que l’autre formulation

Y j X j H j

Y s X s H s

• Filtres numériques : implémentés par microprocesseur, microcontrôleurs, FPGA ou autre moyen numérique• Le filtre calcule directement la fonction de réponse en fréquence en matériel

ou logiciel

• Filtres analogiques : la mise en œuvre est basée sur des composants analogiques qui réalisent la fonction de réponse en fréquence • Les filtres passifs utilisent uniquement R, L et C et ont un gain inférieurs à 1.

• Les filtre analogiques actifs ajoutent des composants actifs (habituellement des amplificateurs operations) pour un gain arbitraire

Moyens de mise en oeuvre des filtres

R

CVI VO

+

_

+

_

1( ) 1

1( ) 1OV jw jwC

V jw jwRCRijwC

Filtre passe-bas de permier ordre

Filtre analogiques passifs

0 dB

1

0

1/RC

1/RC

Diagramme de Bode

Diagramme linéaire

.-3 dB

x0.707

Réponse en amplitude

C

RVi VO

+

_

+

_

( )1( ) 1

OV jw jwRCRV jw jwRCRi

jwC

Filtre passe-haut de premier ordre

Filtre analogiques passifs

0 dB

.

. -3 dB

0

1/RC

1/RC

1/RC

10.707

Bode

Linéaire

x

C L

RViVO

+

_

+

_

Filtre passe-bande du second-ordre

2

( )1( )

O

i

R sV s LRV s s sL LC

Filtre analogiques passifs

0

0 dB-3 dB

lo

hi

.

. .

.10.707

Bode

Linéaire

lo

hi

RL

C

+

_

VO

+

_Vi

Filtre coupe-bande de second-ordre :

)(sGv

LCs

L

Rs

LCs

sGv 1

1

)(2

2

Filtre analogiques passifs

3000003100

3000002

2

ss

s

Example

Matlab:

num = [1 0 300000];den = [1 3100 300000];w = 1 : 5 : 10000;Bode(num,den,w)

Bode

Matlab

V i nV O

C

R fb

+

_

+

_

R in

Filtre analogiques actifs

Filtre passe-bas du 1er ordre

R i nC

V in

R fb

V O

+

_

+

_

Filtre passe-haut du 1er ordre

V in

R 1

R 1

C 1

C 2

R 2

R 2

R fb

R i

V O

+

+

_

_

V i n

R 1

R 1

C 1

C 2

R 2R i

R fb

V O

+

_

+

_

Filtre coupe-bande du 2nd ordre

Filtre passe-bande du 2nd ordre

Rappel :

Pour un ampli-op inverseur : G=-Zf/Zi

Filtres numériques

• Deux types fondamentaux– À réponse impulsionnelle de durée finie (RIF)– À réponse impulsionnelle de durée infinie (RII)

• Analysés et conçus à l’aide de la transformée z– Adaptation de la transformée de Laplace aux systèmes à temps

échantillonnés avec le changement de variable z = eTs

– Permet donc de :• Déterminer la réponse d’un filtre numérique à un signal d’entrée• Étudier sa réponse en fréquence • Étudier sa stabilité

Transformée Z

• La transformée z d’un signal à temps échantillonné quelconque x[n] est définie par

où z = esTe, s étant la variable de Laplace et Te la période d’échantillonnage ; pour un signal causal k0=0.

• Il existe une relation biunivoque entre le signal et sa transformée z :

0][)(

kk

kzkxzX

x n Z X z

Fonctions de transfert numériques

• Si x[n] est l’excitation, h[n] la fonction de réponse du filtre á une impulsion et y [n] sa sortie, alors

et H( ) est la fonction de transfert du système.• Résultat similaire à ceux trouvés pour les transformée de

Fourier et Laplace :

Y z X z H z

Y j X j H j

Y s X s H s

Ex. : donne

• L’effet du numérateur et du dénominateur peut être représenté par des vecteurs qui partent de pôles ou zéros et se rejoignent en un point commun sur le cercle unité.

• Les rapports d’amplitudes et les angles des vecteurs définissent la réponse en fréquence.

Diagrammes de placement des pôles-zéros et réponse en fréquence

31

z

z3)z(H

31

e

e3)e(H

j

jj

Re

Im

1

pôle

zérocercle unité

-1/3

31

e

e3)e(H

j

j

j

3

1ee3)e(H jjj

Comparaison entre RII et RIFRIFRIF RIIRII

Stable par défaut Demande n>> 1 pour une bonne

performance Peut demander un temps de calcul

escessif La gamme dynamique se calcule

facilement Réponse en phase linéaire si filtre

causal Ne possède pas d’équivalent

analogique stable

La stabilité dépend de la position des pôles de H(z)

Peut donner une performance adéquate pour n=1 ou 2

La gamme dynamique se calcule difficilement

Peut nuire à la performance Réponse en phase non linéaire en

général Effets de quantification et d’arrondi

plus prononcés que pour RIF. Possède un équivalent analogique

1N

0n

nz]n[hzH

1M

1k

kk

1N

0k

kk

za1

zbzH

Propriétés d’un filtre RIF• Équation d’e/s :

1

0

N

kk knxbny

x[n] représente les valeurs successives du signal d’entrée,

bk représente les coefficients de la fonction de transfert du filtres,

y[n] représente les valeurs successives du signal de sortie,

N est le nombre de coefficients du filtre(l’ordre).

Réponse en fréquence d’un filtre FIR• La transformée z de

La fonction de réponse en fréquence du filtre est obtenue en remplaçant z by ejTe :

1

0

N

k

kzkhzH

1

0

N

k

Tjk

eze

eTj enhHzH

1

0

N

k

kn]k[hnh

est:

La similarité de H() avec une série de Fourier suggère une méthode pour trouver h[n] !

Propriétés d’un filtre RII

• Équation d’e/s :

1M

1k

1N

0k

knykaknxkbny

x[n] représente les valeurs successives du signal d’entrée,ak, bk représentent les coefficients de la fonction de transfert du

filtres,y[n] représente les valeurs successives du signal de sortie,N, M représentent les ordres du numérateur et du dénominateur

de H(Z) (M est souvent appelé l’ordre du filtre).

Réponse en fréquence d’un filtre RII La transformée z de

La fonction de réponse en fréquence du filtre est obtenue en remplaçant z by ejTe :

est :

1M

1kk

1N

0kk knyaknxbny

1M

1k

kk

1N

0k

kk

za1

zbzH

1M

1k

Tjkk

1N

0k

Tjkk

eze

e

eTj

ea1

ebzH)(H

Puisque e-j2k = 1, on a :

La réponse en fréquence est périodique avec période 2/Te dans le cercle de rayon unité. Si on normalise Te à 1, on a

Propriétes de la réponse en fréquence numérique

HT

k2H

e

Hk2H

Conception d’un filtre numérique

Cinq étapes requises :

1. Spécification du filtre

2. Calcul des coefficients.

3. Choix d’une architecture de mise en oeuvre.

4. Simulation (option).

5. Implémentation.

Dans la suite, on discute les filtres RII

(a)

1

f(norm)fc : cut-off frequency

pass-band stop-band

pass-band stop-bandtransition band

1

s

pass-bandripple

stop-bandripple

fpb : pass-band frequency

fsb : stop-band frequency

f(norm)

(b)

p1

s

p0

-3

p1

fs/2

fc : cut-off frequency

fs/2

|H(f)|(dB)

|H(f)|(linear)

|H(f)|

Étape 1 : spécification du filtre

• Il existe deux approches :– Placement direct des pôles et zeros dans la plan z– Conversion d’un filtre analogique :

• Par transformation bilinéaire• En utilisant le principe de l’invariance de la réponse

impulsionnelle

• Dans le cas de la transformation d’un filtre analogique, on part souvent de l’équation d’un filtre passe bas normalisé que l’on adapte au type désiré (passe haut, passe bande, etc.) avant la conversion.

Étape 2 : calcul des coefficients

Méthode du placement des pôles et zéros

• Basée sur le principe que, dans le plan z :– Le placement d’un zéros ~ |z|=1 minimise la fonction de

réponse en fréquence du filtre à cet endroit.– Le placement d’un pôle ~ |z|=1 maximise la fonction de

réponse en fréquence du filtre à cet endroit.– Pour obtenir un filtre avec des coefficients réels (donc

réalisable), il faut que les pôles et zéros soient à valeurs réelles ou qu’ils apparaissent pas paires conjuguées.

• Méthode intuitive mais qui demande un réglage fin

Méthode du placement des pôles et zéros

• Exemple :

Méthode du placement des pôles et zéros% Conception et simulation d’un filtre par placement de pôles et zéros

pole1 = 0.5+0.5i; % création de deux paires de pôles conjuguéspole2 = 0.8 +0.25i;pole3 = conj(pole1); pole4 = conj(pole2);poles = [pole1 pole2 pole3 pole4];

zero1 = -0.5 + 0.8i; % création de deux paires de zéros conjuguészero2 = -0.2 + 0.9i;zero3 = conj(zero1); zero4 = conj(zero2);zeros = [zero1 zero2 zero3 zero4];

denz=poly(poles); % conversion des pôles en dénominateur de H(z)numz=poly(zeros); % numérateur de H(z) = 1zplane(numz, denz); % affichage des pôles et zérosfigure(2); freqz(numz,denz,256); % affichage de la réponse en fréquence

t=[0:1:127]; % test avec 128 valeurs d’un sinus corrompux=sin(2*pi*t/24);x=x+rand(1,128)-0.5;y=filter(numz,denz,x);figure(3); plot(t,500*x,'b',t,y,'k');axis([0 128 -1000 1000]);axis('normal');

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Ima

gin

ary

Pa

rt

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-300

-200

-100

0

100

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pha

se (

de

gre

es)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40

-20

0

20

40

60

Normalized Frequency ( rad/sample)

Mag

nitu

de

(dB

)

0 20 40 60 80 100 120-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

Méthode du placement des pôles et zéros

% Autre exemple en utilisant des coordonnées polaires

angl=[0.2: 0.1: 0.5]*pi/2; % création de 4 paires conjuguées de pôles

poles=0.85*exp(j*angl);

poles=[poles 0.85*exp(-j*angl)];

denz=poly(poles) % conversion des pôles en dénominateur de H(z)

numz=[1]; % numérateur de H(z) = 1

zplane(numz, denz); % affichage des pôles et zéros

figure(2); freqz(numz,denz,256); % affichage de la réponse en fréquence

t=[0:1:127]; % test avec 128 valeurs d’un sinus bruité

x=sin(2*pi*t/24);

x=x+rand(1,128)-0.5;

y=filter(numz,denz,x);

figure(3); plot(t,500*x,'b',t,y,'k');axis([0 128 -1000 1000]);axis('normal');

Méthode du placement des pôles et zéros

0 20 40 60 80 100 120-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-400

-300

-200

-100

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pha

se (

de

gre

es)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40

-20

0

20

40

60

Normalized Frequency ( rad/sample)

Mag

nitu

de

(dB

)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

8

Real Part

Ima

gin

ary

Pa

rtMéthode du placement des pôles et zéros

Conversion d’un filtre analogique • Méthode la plus « simple »• Exploite le fait qu’il existe des méthodes établies de

conception de filtres analogiques.• Consiste à concevoir un filtre analogique et à le convertir

en filtre numérique.• Les deux méthodes les plus utilisés sont :

– L’invariance de la réponse impulsionnelle :

– La transformation bilinéaire :

enTtth]n[h

...s)s(H)z(H

Méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle

% Conception d’un filtre par la méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle

[num,den]=butter(15,2*pi,'s'); % Filtre Passe Bas de Butterworth dans le domaine s avec N=15, fc=1 Hz

[a,p,K] = residue(num,den); % Décomposition en fractions élémentaires par la méthode des résidus :

figure(1); plot(p,'xk'); % digramme des pôles maqués par des x noirs

figure(2); freqs(num,den); % réponse en fréquence analogique

% dans s donne dans t, ce qui donne dans z :

%

%

Te=0.05; % fe=20Hz (=> fc normalisé = 1Hz/(fe/2) =0.1)

pz=exp(p*Te); % conversion des pôles dans s en des pôles dans z

az=-a.*pz; % détermination des coefficients des fractions élémentaires correspondantes

K=K*sum(a); % Terme continu

[numz,denz] = residue(az,pz,K); % détermination de H(z) à partir des fractions élementaires dans z

figure(3); zplane(numz, denz); % digramme des pôles et zéros dans le plan z

figure(4); freqz(numz,denz); % réponse en fréquence numérique

enTtth]n[h

i i

i

ps

aKsH )(

21 ps

B

ps

A

tptp 21 BeAe

e2

e2

e1

e1

e2e1 Tp

Tp

Tp

Tp

TpTp ez

Be

ez

AeBA

ez

zB

ez

zA

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10-1

100

101

102

-200

-100

0

100

200

Frequency (rad/s)

Pha

se (

de

gre

es)

10-1

100

101

102

10-20

10-10

100

Frequency (rad/s)

Mag

nitu

de

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Real Part

Ima

gin

ary

Pa

rt

10-2

10-1

100

-1500

-1000

-500

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Pha

se (

de

gre

es)

10-2

10-1

100

-200

-150

-100

-50

0

50

Normalized Frequency ( rad/sample)

Mag

nitu

de

(dB

)

ffcc==cc/2/2=1 Hz=1 Hz

ffcc==((cc/2/2))fe=1 Hz=1 Hz

Méthode de l’invariance de la réponse impulsionnelle

Normalement

On peut donc dériver H(z) de H(s) par la transformation

Cette transformation donne des équations compliquées

La transformation bilinéaire utilise l’approximation d’une surface continue par un ensemble de surfaces trapézoïdales.

Méthode de la transformation bilinéaire

)zln(T

1s

e

)s(H)z(H

)zln(T

1sez

e

sTe

Si , alors et jouent le même rôle

dans les domaines s et z

On peut donc dériver H(z) de H(s) par la transformation

)z(Y

z

zT)z(A

)z(YTz

)z(Az)z(A

T)T)k((y)kT(y)T)k((A)kT(A

)s(Ys

)s(Ad)(y)t(A

e

e

eeeee

t

1

1

11

1

1

2

2

12

11

1

Méthode de la transformation bilinéaire

k-1 k t=kTe

y(t)

y((k-1)Te )

y(kTe )

A((k-1)Te )

s

11

1e

z1

z1

2

T

)kT(A)t(A e

1

1

e z1

z1

T

2s

)s(H)z(H

/*/*IIR.c IIR filter using cascaded Direct Form II. y(n)=S ax(n-k)-by(n-j)*/

Void IIR_Isr(void) {short a1 = 0x0; // coefficients du filtreshort a2 = 0x15f6; short b0 = 0x257d;short b1 = 0x4afd;short b2 = 0x257d;

static short p1=0, p2=0; // variables persistentes short xn, p0, y0; // variables d’e/sint prod1, prod2, prod3, prod4, prod5; // termes intermédiaires

xn = input_sample();pn=xn-((b0*p1)>>15)-((b1*p2)>>15);yn=((a0*pn)>>15) + ((a1*p1)>>15) + ((a2*p2)>>15);p2 = p1;p1 = p0;

output_sample(y0); // Envoyer le signal au port de sortie sériel }

>>15 non requis si calculs fait en virgule flottante>>15 non requis si calculs fait en virgule flottante Noter l’absence de boucles for.Noter l’absence de boucles for.

Étape 5 : mise en oeuvre

Étape 5 : mise en oeuvreCode c plus rapideCode c plus rapidevoid IIR_Isr (void)

{short a1 = 0x0; // coefficients du filtreshort a2 = 0x15f6; short b0 = 0x257d;short b1 = 0x4afd;short b2 = 0x257d;

static short p1=0, p2=0; // variables persistentes short xn, p0, y0; // variables d’e/sint prod1, prod2, prod3, prod4, prod5; // termes intermédiaires

xn = input_sample();prod1 = _mpy(p2,a2);prod2 = _mpy(p1,a1);p0 = xn + (short)((prod1 + prod2)>>15);prod3 = _mpy(p1,b1);prod4 = _mpy(p2,b2);prod5 = _mpy(p0,b0);y0 = (short)((prod3+prod4+prod5)>>15);p2 = p1;p1 = p0;

output_sample(y0); // Envoyer le signal au port de sortie sériel }

>>15 non requis si calculs fait en virgule flottante>>15 non requis si calculs fait en virgule flottante