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C. Sellier Prépa ECE

Méthodologie : les BASES du LYCEE – 1

Méthodologie : Les bases du lycée à connaître absolument

1. Vocabulaire du calcul algébrique : ................................................................................................................................. 2

2. Ordre dans ℝ : ................................................................................................................................................................. 3

3. Suites, généralités : ......................................................................................................................................................... 4

4. Suites géométriques : ...................................................................................................................................................... 5

5. Fonctions affines : ........................................................................................................................................................... 7

6. L’équation X² = a : .......................................................................................................................................................... 7

7. Polynômes du second degré : .......................................................................................................................................... 8

8. Fonction logarithme népérien (ln) : .............................................................................................................................. 10

9. Fonction exponentielle (exp) : ...................................................................................................................................... 11

10. Fonction : Généralités : ................................................................................................................................................. 13

11. Etude complète d’une fonction : ................................................................................................................................... 15

12. Fonction : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : ............................................................................................. 17

13. Primitives et calcul intégral : ........................................................................................................................................ 18

14. Inégalités : ..................................................................................................................................................................... 20

15. Exercices : ..................................................................................................................................................................... 22



1. Vocabulaire du calcul algébrique : 1. Produit – Factoriser :

Un produit est le résultat d’une ou plusieurs multiplications. Par exemple : 𝑃 = (𝑥 + ln(𝑥))(2𝑥2 + 3)𝑒𝑥

Dans ce produit, 𝑥 + ln(𝑥), 2𝑥2 + 3 et 𝑒𝑥 sont les facteurs.

Factoriser, c’est transformer une expression en produit.

Par exemple : 𝑥2 + 𝑥 − 𝑥 ln(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1 − ln(𝑥))

2. Quotient – Réduire au même dénominateur :

Un quotient est le résultat d’une division. Par exemple : 𝑄 =𝑥+ln(𝑥)

2𝑥2+3

Dans ce quotient, 𝑥 + ln(𝑥) est le numérateur et 2𝑥2 + 3 est le dénominateur (qui doit toujours être non nul).

Réduire au même dénominateur, c’est transformer une expression en quotient.

Par exemple : 2 +1

𝑥−

3

𝑥+4=

2𝑥(𝑥+4)+1(𝑥+4)−3𝑥

𝑥(𝑥+4)=

2𝑥2+6𝑥+4

𝑥(𝑥+4)

3. Somme – Développer : Une somme est le résultat d’une ou plusieurs additions/soustractions. Par exemple : 𝑆 = 𝑥 − ln(𝑥) − 𝑥2 + 3

Dans cette somme, 𝑥, ln(𝑥), 𝑥2 et 3 en sont les termes.

Développer, c’est transformer une expression en somme (où il n’y a plus de « parenthèse »).

Par exemple : (𝑥2 + 1)𝑒𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 + 𝑒𝑥

4. Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire (CL) est le résultat d’une ou plusieurs additions/soustractions avec des

multiplications par des constantes.

Par exemple : un polynôme du second degré 𝑃 = −2𝑥2 + 3𝑥 + 4 est une CL de 𝑥 ⟼ 𝑥2, 𝑥 ⟼ 𝑥, et 𝑥 ⟼ 1.

Par exemple : 𝑆 = 3𝑥 −1

2ln(𝑥) + 5𝑥2 + 3 est une CL de fonctions usuelles.

Par exemple : 𝑆 = 3 × 2𝑛 −1

2× 5𝑛 + 5(

2

3)𝑛

est une CL de suites géométriques.

Dans ce quotient, 𝑥 + ln(𝑥) est le numérateur et 2𝑥2 + 3 est le dénominateur (qui doit toujours être non nul).

5. Composée : Les fonctions 𝑥 ⟼ ln(𝑥), 𝑥 ⟼ 𝑒𝑥, 𝑥 ⟼ 𝑥2, 𝑥 ⟼ √𝑥, etc… sont des fonctions usuelles.

Mais les fonctions 𝑥 ⟼ ln(2𝑥2 + 3), 𝑥 ⟼ 𝑒2𝑥2+3, 𝑥 ⟼ (2𝑥2 + 3)2, 𝑥 ⟼ √2𝑥2 + 3 , etc… sont des

fonctions composées de 2𝑥2 + 3 par les fonctions usuelles ln, exp, carré, racine carrée.

Lorsque par exemple 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3 et 𝑔(𝑥) = ln(𝑥), on note 𝑔 ∘ 𝑓 la composée de f par g la fonction définie

par : 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑙𝑛(2𝑥2 + 3).



2. Ordre dans ℝ : 1. De quoi s’agit-il ?

Il s’agit des règles de calcul qu’il faut respecter lorsqu’on manipule des inégalités.

2. Les opérations :

Additionner membre à membre l’ordre : 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐

Multiplier par un nombre strictement positif l’ordre : si c > 0 alors : 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

Multiplier par un nombre strictement négatif l’ordre : si c < 0 alors : 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

Remarque : Pour la soustraction et la division ? Soustraire, c'est ajouter l’opposé !! Diviser, c'est multiplier par l’inverse !!

(*) Exemple de manipulation d’inégalités à l’aide des opérations :

Montrer que pour tout 𝑡 ∈ [0; 1], 0 ≤1−𝑡

(1+𝑡)𝑛≤

1

(1+𝑡)𝑛.

3. Composition par une fonction :

Composer par une fonction strictement croissante l’ordre : 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏)

Par exemple :

exp est strictement croissante sur ℝ donc : 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑒𝑎 < 𝑒𝑏

ln est strictement croissante sur ℝ+∗ donc : 0 < 𝑎 < 𝑏 ⇔ ln(𝑎) < ln(𝑏) La fonction carré est strictement croissante sur ℝ+ donc : 0 < 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎2 < 𝑏2

Les fonctions puissances sont strictement croissantes sur ℝ+ donc : 0 < 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛

La fonction racine carrée est strictement croissante sur ℝ+ donc : 0 < 𝑎 < 𝑏 ⇔ √𝑎 < √𝑏

Composer par une fonction strictement décroissante l’ordre : 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏)

Par exemple :

La fonction carré est strictement décroissante sur ℝ− donc : 𝑎 < 𝑏 < 0 ⇔ 𝑎2 > 𝑏2

La fonction inverse est strictement décroissante sur ℝ+∗ donc : 0 < 𝑎 < 𝑏 ⇔ 1

𝑎>

1

𝑏

La fonction inverse est strictement décroissante sur ℝ−∗ donc : 𝑎 < 𝑏 < 0 ⇔ 1

𝑎>

1

𝑏

(*) Exemple de manipulation d’inégalités à l’aide des variations des fonctions usuelles :

Montrer que pour tout 𝑡 ∈ [0; 1], 1

(𝑒+1)2≤

1

(𝑒𝑡+1)2≤

1

4.



3. Suites, généralités : 1. Suites croissantes, suites décroissantes :

Une suite (un) est croissante si, pour tout entier naturel n :

Avec les quantificateurs :

Une suite (un) est décroissante si, pour tout entier naturel n :


Une suite (un) est monotone si elle est croissante ou bien décroissante.

On définit de même

ces notions strictement.

Remarque :

Si pour tout entier naturel n, un = un+1, on dit que la suite est constante.

Toutes les suites ne sont pas croissantes ou décroissantes … (exemple : )

Comment fait-on dans la pratique ?

On étudie le signe de la différence ou bien on raisonne par récurrence.

2. Suites bornées :

Une suite (un) est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, on ait :


Une suite (un) est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, on ait :


Une suite (un) est bornée si elle est à la fois


Comme pour les fonctions, on dit que M (resp. m) est un majorant (resp. minorant) de la suite.



4. Suites géométriques : 1. Formulaire sur les puissances :

Définition : fois le facteur

...n

n a

a a a a . Par la suite, on suppose a et b réels strictement positifs et m et n entiers naturels.

1. Cas de 0 :

2. Produit de puissances : m na a

3. Inverse de puissance : 1

na

4. Quotient de puissances : m

n

a

a

5. Puissance de puissances : n

ma

6. Puissance de produit : n

a b

7. Puissance de quotient :

na

b

8. La racine carrée : a

(*) Exemple de calcul avec des puissances :

Simplifier le nombre suivant en utilisant les règles de calculs sur les puissances : 𝐴 =2×(103)

5×5−4

10×255×85

2. Définition par récurrence :

On dit qu’une suite (un) est une suite géométrique, s’il existe un réel q tel que pour tout

entier naturel n, on ait :

Le réel q est appelé de la suite (un) .

q peut-être positif ou

négatif mais non nul

(car sans intérêt)

3. Définition par une formule explicite :

Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q.

Alors, pour tout entier naturel n, on a :

Plus généralement :

Soit (un) une suite géométrique de raison q.

Pour tous entier naturel m et n, on a :

Intérêts :

Cette formule permet de calculer n’importe quel terme d’une suite géométrique dès que l’on connaît la raison

et un terme quelconque (il n’est pas nécessaire de connaître 0u ).

u0 u1 u2 u3 u4 u5

q q q q q

On passe d’un terme de la suite au

terme suivant, en multipliant par q .



Cette formule permet aussi de calculer la raison d’une suite géométrique dont on connaît deux termes.

4. Comment démontrer qu’une suite est géométrique ? En revenant à la définition :

5. Limites :

Si 1 1q , alors la suite nu tend vers : lim n

nq

ou plus simplement lim nq

Si 1q , alors la suite nu tend vers : lim n

nq

ou plus simplement lim nq

Remarque : Dans les autres cas, soit c’est évident (pour q = 1), soit on ne peut pas conclure (il n’y a pas de limite).

6. Somme de termes consécutifs : Pour calculer la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q,

on applique la formule suivante :

S = "premier terme"



5. Fonctions affines : 1. Définition, variations et représentation graphique : Il s’agit des fonctions du type : 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏 où a et b sont des réels.

Si a > 0, la fonction est strictement croissante, si a < 0, la fonction est strictement décroissante.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

2. Signe de ax + b, avec a ≠ 0 : Si a > 0

Si a < 0

6. L’équation X² = a : 1. Remarque importante :

Au concours, une erreur sur ce type d’équation enlèvera tous les points de la question…

C’est un résultat à connaître depuis le collège, vous ne pouvez pas dire que vous ne l’avez jamais vu…

2. Résolution : Si a < 0 :

Si a = 0 :

Si a > 0 :



7. Polynômes du second degré : 1. Discriminant, équations, factorisations :

Le discriminant de l’équation 2ax bx c = 0 est le nombre noté tel que :

Pour l’équation 2 ² 4 3 0, x x

Résolution :

Si > 0, alors l’équation 2ax bx c = 0 a deux solutions réelles : 1

2

bx

a

et

2

2

bx

a

.

Si = 0, alors l’équation 2ax bx c = 0 a une seule solution réelle : 0

2

bx

a

appelée “solution ”.

Si < 0, alors l’équation 2ax bx c = 0

Remarque : Toute solution de l’équation 2ax bx c = 0 est appelée du polynôme 2ax bx c .

Factorisation :

Si > 0, alors l’expression 2ax bx c avec 1

2

bx

a

et

22

bx

a

.

Si = 0, alors l’expression 2ax bx c avec 02

bx

a

.

Si < 0, alors l’expression 2ax bx c dans ℝ.

2. Résumé graphique : La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré 2:f x ax bx c , où a est non nul, est une

parabole de sommet ;2 4

bS

a a

. Voici suivant le signe de a et celui de ∆, l’allure de la parabole :



3. Variations :

Si a > 0 Si a < 0

4. Signe :

Si ∆ > 0 Si ∆ = 0 Si ∆ < 0



8. Fonction logarithme népérien (ln) : 1. Définitions et propriétés immédiates : La fonction Logarithme Népérien est la primitive sur ℝ+∗ de la fonction inverse (continue sur ℝ+∗ )

1t

t et qui s’annule en 1 : ∀𝑥 ∈ ℝ+∗, ln(𝑥) = ∫

1

𝑡

𝑥

1𝑑𝑡.

ln étant strictement croissante (puisque sa dérivée la fonction inverse est strictement positive), alors

on en déduit que : ln 0 1x x , ln 0 1x x , ln 0 1x x .

2. Règles de calcul : Relation fondamentale : ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+∗, ln(𝑥𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦).

Conséquences :

∀𝑥 ∈ ℝ+∗, ln(1

𝑥) = ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+∗, ln(

𝑥

𝑦) =

∀𝑥 ∈ ℝ+∗, ∀𝑟 ∈ ℚ+∗, 𝑙𝑛(𝑥𝑟) =

∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+∗, ln(𝑥) ≤ ln(𝑦) ⟺ 𝑥 ≤ 𝑦.

3. Étude de la fonction ln : 𝐷𝑙𝑛 = ℝ+∗ et ln est strictement croissante.

Comme primitive sur ℝ+∗ d’une fonction continue, ln est

continue.

0

lim lnx

x

et lim lnx

x

.

𝑙𝑛(1) = 0 et 𝑙𝑛(2) ≅ 0,69

Comme primitive, ln est dérivable avec :

∀𝑥 ∈ ℝ+∗, ln′(𝑥) =1

𝑥.

Le nombre dérivé en 1 :

1

lnlim 1

1x

x

x

.

Rappel :

1

1' 1 lim

1x

f x ff

x

.

La fonction logarithme est concave sur ]0; +∞[, donc :

∀𝑥 ∈ ]0;+∞[, ln(𝑥) ≤ 𝑥 − 1.

Courbe représentative :

e est le nombre réel tel que ln 1e . Une valeur approchée en est : 𝑒 ≅ 2,718.

x 0

ln x

4. Composée et dérivée :

La fonction lnx u x est définie lorsque 0u x et dans ce cas, lorsque u est dérivable, on a :

'ln '

u xu x

u x . De même,

'ln '

u xu x

u x .



9. Fonction exponentielle (exp) : La fonction ln étant continue, strictement croissante sur ℝ+∗ et vérifiant

0lim lnx

x

et lim lnx

x

,

est une bijection de ℝ+∗ sur ℝ.

Elle admet donc une fonction réciproque qui est une bijection de ℝ sur ℝ+∗ cette fonction est notée : xx e

(ou exp x ).

1. Définition : La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction ln :

∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑦 ∈ ℝ+∗, 𝑦 = 𝑒𝑥 ⟺ 𝑥 = ln(𝑦). Remarque :

∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑥 > 0 .

∀𝑥 ∈ ℝ, ln(𝑒𝑥) = 𝑥 et ∀𝑥 ∈ ℝ+∗, 𝑒ln(𝑥) = 𝑥.

2. Règles de calcul : Relation fondamentale : ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑒𝑥+𝑦 = 𝑒𝑥 × 𝑒𝑦.

Conséquences :

0 1e et 1e e .

∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒−𝑥 =1

𝑒𝑥.

∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑒𝑥−𝑦 =𝑒𝑥

𝑒𝑦.

∀𝑥 ∈ ℝ, ∀𝑟 ∈ ℝ, (𝑒𝑥)𝑟 = 𝑒𝑟𝑥.

∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, {𝑒𝑥 =𝑒𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦𝑒𝑥 <𝑒𝑦 ⟺ 𝑥 < 𝑦

Remarques : C’est parce que cette fonction a les mêmes propriétés que les exposants, que la fonction

exponentielle est notée sous forme de puissance.

3. Étude de la fonction exp :

𝐷𝑒𝑥𝑝 = ℝ et exp est strictement croissante.

Comme réciproque d’une fonction continue, exp est continue.

lim 0x

xe

et lim x

xe

.

𝑒 ≅ 2,718

Comme réciproque d’une fonction dérivable,

exp est dérivable avec : ∀𝑥 ∈ ℝ, (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥.

Le nombre dérivé en 0 : 0

1lim 1

x

x

e

x

.

Rappel :

0

0' 0 lim

0x

f x ff

x

.

On en déduit que : 𝑒𝑥~1 + 𝑥.

La fonction exponentielle est convexe sur ℝ,

donc : ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑒𝑥 ≥ 𝑥 + 1.

Courbe représentative :

x

xe

0



Remarque :

Le repère étant orthonormé, les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

4. Composée et dérivée :

La fonction u x

x e a le même ensemble de définition que la fonction u et lorsque u est dérivable, on a : ' '

u x u xe e u x

. Cela implique que cette fonction a les mêmes variations que u.

(*) Exemple d’étude d’une fonction composée d’exp et ln :

Étude de la fonction : ln 2x xf x e e puis

tracé de sa courbe.

On pourra :

1. Déterminer l’ensemble de définition de f.

2. Établir les variations de f et tracer sa courbe.

3. Montrer que les coordonnées du sommet de la

courbe de f a pour coordonnées (𝑙𝑛2

2;3𝑙𝑛2

2).

Donner des valeurs approchées de ses

coordonnées.



10. Fonctions : Généralités : 1. Définitions :

Soit f une fonction numérique d’une variable réelle : 𝑓:ℝ → ℝ.

Les réels admettant une image par f constituent l’ensemble de définition de f, noté fD .

Les réels admettant au moins un antécédent par f constituent l’ensemble image de f, ff D .

L’ensemble des points de coordonnées ;x f x dans le plan rapporté à un repère cartésien , où x est

élément de fD , est la courbe représentative de f.

A désignant une partie de fD , on appelle restriction de f à A la fonction g d’ensemble de définition

fA D définie par : ,x A g x f x .

2. Maximum, Minimum (= extremum) :

Soit 0 fx D . On dit que f atteint un maximum absolu (resp. un minimum absolu) en 0x lorsque :

0,fx D f x f x (resp. 0,fx D f x f x ).

Lorsque, cette propriété n’est pas vérifiée sur fD tout entier, mais simplement sur un intervalle I contenu dans

fD , on parle d’extremum local.

(*) Exemple de recherche d’extrema : Déterminer tous les extrema locaux des fonctions :

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +1

𝑥 sur ℝ∗. b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥(𝑥2 − 6𝑥 + 6) sur ℝ. c) 𝑓(𝑥) =

1+ln(𝑥)

𝑥2 sur ]0; +∞[.

3. Opérations : Si f et g sont des fonctions numériques et si est une constante réelle alors on définit les fonctions suivantes :

la fonction somme notée f g et définie par : f g x f x g x

la fonction produit notée fg et définie par : fg x f x g x

la fonction produit par la constante notée f et définie par : f x f x

la fonction composée de f par g notée g f et définie par : g f x g f x

4. Fonctions monotones : Soit I un intervalle sur lequel f est définie, on dit que :

f est croissante (resp. décroissante) sur I lorsque :

2

1 2 1 2, ,x x I x x 2

1 2 1 2. , ,resp x x I x x

Pour la stricte monotonie, on a des inégalités strictes.

Une fonction croissante est une fonction qui

Une fonction décroissante est une fonction qui



5. Bien faire la différence entre les trois registres qui coexistent !!! Lorsqu’on parle de f, on parle de la fonction.

Par exemple, « f est croissante », « f est dérivable », …

Lorsqu’on parle de f(x), on parle de l’image de x la fonction f. Il s’agit d’un nombre réel.

Par exemple, « f(x) est négatif », « 𝑓(𝑥) ∈ [0; 1] », « 𝑓(𝑥) ≥ 3 », …

Lorsqu’on parle de 𝑪𝒇, on parle de la courbe représentant la fonction f. Il s’agit d’un dessin.

Par exemple, « 𝐶𝑓 est une parabole », « 𝐶𝑓 est située au-dessus de… », « 𝐶𝑓 est symétrique par rapport à

l’origine du repère », …

Ainsi les formulations suivantes, trop souvent vues dans les copies, sont du pur « charabia » et sont

pénalisées dans les copies :

« f (x) est dérivable », « 𝐶𝑓 ≥ 3 », « f est située au-dessus de l’axe des abscisses »,…

6. Positions relatives de courbes : Lorsqu’on dit « positions relatives de deux courbes », on parle de leurs positions l’une par rapport à l’autre, à

savoir laquelle est au-dessus, laquelle est en-dessous, ou bien si elles s’interceptent. Ces notions sont valables

sur des ensembles à préciser.

Point de vue graphique Point de vue numérique

Cf est au-dessus de Cg sur E signifie que :

pour tout ,x E ( ) ( )f x g x

Cf intercepte Cg sur E signifie :


Cf est en-dessous de Cg sur E signifie :


Dans la pratique, pour étudier la position relative de deux courbes, on étudie le signe de la différence :

(*) Exemple de recherche de positions relatives de courbes : Comparer les positions relatives des courbes représentant les fonctions suivantes définies sur ]0; +∞[ :

𝑓(𝑥) = 1 −1

𝑥 et 𝑔(𝑥) =

ln(𝑥)

𝑥 .



11. Etude complète d’une fonction : Voici les différentes étapes (pas toutes demandées) pour étudier une fonction :

1. S’il n’est pas donné, on doit déterminer l’ensemble de définition : De manière générale, 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑓(𝑥)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒}. Les seules fonctions avec lesquelles il faut être « attentif »

sont celles avec les dénominateurs, les racines carrées et les logarithmes.

2. Etudier la continuité : On le verra plus tard dans un chapitre consacré à cette notion… Mais on sait déjà d’une part que :

Les fonctions polynômes et la fonction exponentielle sont continues sur ℝ.

Les fractions rationnelles sont continues sur leurs ensembles de définition.

La fonction logarithme népérien est continue sur ℝ+∗.

De manière générale, toutes ces fonctions sont continues sur leurs ensembles de définition.

D’autre part, toute fonction définie sur un intervalle ouvert I qui est la somme, le produit, le quotient (où le

dénominateur ne s’annule pas) et/ou la composée de fonctions continues est elle-même continue sur I.

3. Etudier la dérivabilité : On le verra plus tard dans un chapitre consacré à cette notion… Mais on sait déjà d’une part que :

Les fonctions polynômes et la fonction exponentielle sont dérivables sur ℝ.

Les fractions rationnelles sont dérivables sur leurs ensembles de définition.

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ℝ+∗.

De manière générale, toutes ces fonctions sont dérivables sur leurs ensembles de définition.

D’autre part, toute fonction définie sur un intervalle ouvert I qui est la somme, le produit, le quotient (où le

dénominateur ne s’annule pas) et/ou la composée de fonctions dérivables est elle-même dérivable sur I.

4. Etudier les variations : On étudie, le plus souvent, le signe de la dérivée, il faudra donc s’attacher tant que possible à la factoriser et/ou

à la réduire au même dénominateur.

Attention, avant de dériver une fonction, on doit justifier que celle-ci est dérivable !!!

Et même si ça n’est pas demandé !!!

On peut justement utiliser le fait que la fonction est la somme, le produit, le quotient (où le dénominateur ne

s’annule pas) et/ou la composée de fonctions dérivables et donc qu’elle est elle-même dérivable.

Remarques :

Il peut arriver parfois que le signe de la dérivée ne soit pas facile à déterminer, on est alors amené à

dériver une seconde fois ou à étudier une fonction auxiliaire.

Si la dérivée s’écrit comme un quotient, dans presque tous les cas elle est du signe du numérateur car le

dénominateur est positif.

Dérivées des fonctions usuelles : fonction f fonction dérivée f ‘ ensemble de définition de f ’

x a ; (𝑎 ∈ ℝ) 0x c

x 𝑥𝑛 ; (𝑛 ∈ ℕ∗) 1nx nx ℝ

x 𝑥𝑛 ; (𝑛 ∈ ℤ∗, 𝑛 < 0) 1nx nx ℝ∗

1x

x

1

²x

x ℝ∗

x x 1

2x

x 0 ;



Dérivées et opérations :

Equation de la tangente au point d’abscisse a :

Son équation est : 𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 𝑓′(𝑎) est appelé le nombre dérivé de f en a, c’est son coefficient

directeur. C’ est la limite du taux de variation…

lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎 et limℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ

5. Etudier les limites aux bornes de D : On le verra plus tard… Mais on connait déjà les limites des fonctions

usuelles vues plus haut.

6. Dresser le tableau de variations complet de la fonction : Attention, il ne doit contenir que des valeurs exactes et « tous les bouts des flèches » doivent être complétés.

Bien penser également aux doubles-barres pour les valeurs interdites.

7. Etudier les branches infinies : On le verra plus tard dans un chapitre consacré à cette notion… c’est une amélioration du calcul des limites…

8. Etudier la convexité : On le verra plus tard aussi… On étudie, le plus souvent, le signe de la dérivée seconde…

9. Tracer le graphe : On utilise toutes les informations recueillies lors de l’étude : variations, limites, interprétations graphiques. On

trace au préalable les asymptotes, les tangentes déterminées plus tôt et on termine par le tracé du graphe.

(*) Exemple d’étude d’une fonction :

On considère la fonction 𝑓(𝑥) =𝑥𝑙𝑛(𝑥)

𝑥+1.

1. Déterminer son ensemble de définition D.

2. Justifier que f est dérivable sur D et calculer f ’(x).

3. a. On définit alors la fonction 𝑔(𝑥) = ln(𝑥) + 𝑥 + 1 définie sur D. Etudier ses variations sur D.

b. Déterminer ses limites aux bornes de D.

c. En déduire que g s’annule une fois et une seule puis déterminer le signe de g sur D.

d. En déduire les variations de la fonction f (on ne cherchera pas à déterminer ses limites).

4. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 1.

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors ,

• La fonction ( u v ) est dérivable sur I , et ' ' 'u v u v .

• La fonction u v est dérivable sur l’intervalle I , et ' ' 'u v u v u v .

• Pour tout réel k, la fonction ku est dérivable sur I , et . ' . 'k u k u .

• Les fonctions 1

etu

v v sont dérivables en tout x de I tel que 0v x , et

1 ' ' ';

² ²

v u u v uv

v v v v

.

• La fonction composée est dérivable sur l’intervalle I et :



12. Fonction : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : 1. Théorème des valeurs intermédiaires = TVI :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I d’images respectives f a et f b .

Alors tout nombre compris entre f a et f b (valeur intermédiaire) admet au moins un antécédent par f

compris entre a et b.

Remarques :

Autrement dit : Toute valeur intermédiaire aux images

de deux points d’un intervalle sur lequel f est continue

est elle-même une image et admet un antécédent

intermédiaire à ces deux points.

Graphiquement ci-contre…

;a b , ;f a f b ,

Toute valeur comprise entre et est bien une

image et admet au moins compris

entre et .

De manière concrète, par exemple, si à 8h00 la

température est de 10°C et à 20h00 de 13°C, alors il

existe au moins un instant où la température est de 12°C (de même pour 11°C)…

2. Corollaire du TVI = TVI + stricte monotonie : Avec les mêmes hypothèses que pour le TVI, si de plus f est strictement monotone alors tout nombre

compris entre f a et f b (valeur intermédiaire) admet un unique antécédent par f compris entre a et b.

On dit que f réalise une bijection de ;a b sur ;f a b .

Remarques :

Cette fois-ci l’antécédent est unique. La monotonie de f empêche « le retour en

arrière »…

Graphiquement ci-contre…

0 et 0,5 admettent chacun un unique antécédent.

(*) Exemple d’utilisation du Corollaire du TVI :

On considère l’application 2: 0 ; , lng x x x R .

1. Montrer que g est continue et strictement croissante sur 0 ; et

déterminer les limites de g en 0 et en .

2. Montrer que l’équation 0g x , d’inconnue x, admet une solution et une

seule. On note l’unique solution de cette équation.

3. Montrer : 1

12

.



13. Primitives et calcul intégral : On le verra plus tard dans un chapitre consacré à cette notion… Mais on sait déjà que :

1. Définition : On dit que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I lorsque :

F est dérivable sur I et : , 'x I F x f(x)

Exemples :

2

: 52

xF x est une primitive sur ℝ de :f x x

: lnG x x est une primitive sur ℝ+∗ de 𝑔: 𝑥 ⟼1

𝑥

2. Théorème fondamental : « Existence de primitives » : Toute fonction continue sur un intervalle I admet au moins une infinité de primitives sur cet intervalle. Elles

sont toutes égales à une constante près.

3. Calculs : Si F et G sont des primitives respectives de f et de g alors F G est une primitive de f g .

Toutes les formules connues des dérivées donnent les formules des primitives par lecture inverse.

Si F est une primitive de f alors la fonction 𝐹 ∘ 𝑢 est une primitive de (𝑓 ∘ 𝑢) × 𝑢′.

Fonction Primitives

a Ax

(𝑟 ∈ ℝ\{−1}) 1

1

rxC

r

1

x ln(x)

xe xe

'

2

u

u √𝑢

𝑢′ × 𝑢𝑟(𝑟 ∈ ℝ\{−1}) 1

1

ruC

r

'u

u ln(u)

' uu e 𝑒𝑢

(*) Exemples de calculs de primitives : Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitives des fonctions suivantes :

1. 1 6

1f x

x .

2. 𝑓2(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥2.

3. 𝑓3(𝑥) =𝑥2

√1+2𝑥3 .

4. 𝑓4(𝑥) =1

𝑥𝑙𝑛(𝑥).



4. Intégration sur un segment :

Définition : Soit f une fonction continue sur le segment ;a b . On appelle intégrale de a à b de la

fonction f le nombre réel F b F a où F désigne une primitive quelconque de f sur ;a b .

Elle se note : b

af t dt , ce qui se dit « somme (ou intégrale) de a à b de f t dt ».

Théorème : Soit un intervalle I et a I . Lorsque la fonction f est continue sur I, l’application :

x

ax f t dt est la primitive de f sur I qui s’annule en a.

Exemple : La fonction ln est la primitive sur ℝ+∗ de la fonction inverse et qui s’annule en 1 :

∀𝑥 ∈ ℝ+∗, ln(𝑥) = ∫1

𝑡

𝑥

1𝑑𝑡.

5. Propriétés des intégrales : On suppose les fonctions f et g suivantes continues ou continues par morceaux sur l’intervalle I.

Relation de Chasles : Quels que soient les réels a, b et c de I, on a :

b c b

a a cf t dt f t dt f t dt .

Conséquences : 0a

af t dt et

b a

a bf t dt f t dt .

Linéarité : Pour tout et réels : b b b

a a af t g t dt f t dt g t dt .

6. Intégrales et ordre :

On suppose a < b et les fonctions f et g suivantes continues ou continues par morceaux sur l’intervalle ;a b .

Positivité : Si f est positive sur ;a b , alors : b

af t dt ≥ 0

Si f est positive sur ;a b et si 0b

af t dt . alors la fonction f est sur ;a b .

Croissance : Si f et g vérifient : ; ,t a b f t g t , alors : ∫ 𝑓(𝑡)𝑏

𝑎𝑑𝑡 ≤ ∫ 𝑔(𝑡)

𝑏

𝑎𝑑𝑡

Inégalité triangulaire : b b

a af t dt f t dt .

Inégalité de la moyenne : S’il existe deux réels m et M tels que : ; ,t a b m f t M , alors :

b

am b a f t dt M b a .



14. Inégalités : Phrase extraite du Programme Officiel :

« L’analyse reposant largement sur la pratique des inégalités, on s’assurera que celle-ci est acquise à

l’occasion d’exercices. »

En maths en général et dans le sujets de concours, on établit des inégalités (voire des encadrements) dans des

buts bien précis. C’est pourquoi ces inégalités seront toujours suivies de questions du type « En déduire… ».

Les buts d’une inégalité ou d’un encadrement sont très nombreux :

Il peut s’agir du signe d’une expression : signe de la dérivée de la dérivée de f qui donne les variations

de f, signe de la dérivée seconde qui donne la convexité de f, signe de 1n nu u qui donne les variations

de la suite nu .

Il peut s’agir d’une majoration/minoration qui permet d’établir la limite d’une fonction ou d’une suite

(en 2ème

année, la convergence d’une série), limite permettant à son tour d’établir par exemple la

continuité ou la dérivabilité d’une fonction en un point.

Il peut s’agir d’une comparaison entre deux expressions f x et g x , permettant de déterminer les

positions relatives des courbes de f et de g (ou position relative d’une courbe avec une asymptote).

1. Règles de base : Les premières règles que l’on connaît depuis le secondaire sont les règles des signes… Ce n’est pas difficile

mais il faut être capable de les reconnaître et de les citer dès qu’il y en a besoin, cela peut faire gagner beaucoup

de temps. En général pour ce faire, on a tout intérêt à factoriser et/ou à réduire au même dénominateur.

La somme de termes positifs (resp. négatifs) est positive (resp. négative).

Le produit (quotient) de deux facteurs de même signe est positif.

Le produit (quotient) de deux facteurs de signes contraires est négatif.

Ces trois propriétés peuvent aussi être considérées au sens strict.

Lorsque le signe d’une expression change, on est amené à utiliser un tableau de signe.

Un carré est toujours positif (ou nul) : 2, 0x x .

Une valeur absolue est toujours positive (ou nulle) : , 0x x .

Une racine carrée est toujours positive (ou nulle) : , 0x x .

Une exponentielle est toujours strictement positive : , 0xx e .

(*) Exemple d’inégalité établie par une ou des règles de base :

ECRICOME 2002 (exercice 2 - extrait) :

Soit n N*. Étudier le sens de variation des fonctions hn définies sur ]1, +[ par ln 11

n

xh x n x

x

.



2. Signe de la différence : De la même manière que précédemment, on étudie le signe de la différence sauf que dans ces cas, on peut

utiliser directement des règles de calcul (produit de facteurs de signes connus, somme de positifs, de négatifs,

identité remarquable) qui permettent de trouver le signe aisément.

(*) Exemple d’inégalité établie grâce à la différence :

EDHEC 2013 (exercice 1 - extrait) :

On se propose d’étudier la suite n nu

définie par la donnée de

0 0u et par la relation valable pour tout

entier naturel n : 2

1

1

2

nn

uu

. Étudier les variations de la suite nu .

3. Par le calcul à la main : C’est comme lorsqu’on était au collège mais sans calculatrice… On calcule, en se contentant parfois d’utiliser

des valeurs approchées qui sont toujours données dans l’énoncé…

(*) Exemple d’inégalités établies grâce au calcul à la main :

EML 2007 (exercice 2 - extrait) :

On donne : 0,69 ln 2 0,70 , on note 1

;12

I

et on considère l’application f strictement croissante sur I :

21 1: , ln

4 4f I x f x x x x .

a. Montrer : 1 1

1 12 2

f f

.

b. En déduire : ,x I f x I .

4. Signe de la fonction différence :

Une inégalité du type 𝐴(𝑥) ≤ 𝐵(𝑥) est équivalente à 𝐵(𝑥) − 𝐴(𝑥) ≥ 0. On peut donc poser la fonction

𝜑(𝑥) = 𝐵(𝑥) − 𝐴(𝑥) et étudier son signe, ainsi on arrive au résultat souhaité.

(*) Exemple d’inégalité établie grâce à l’étude de la fonction différence :

« Inégalité classique » :

Montrer que : 2

0, 12

x xx e x et

2

0, 12

x xx e x .

5. Utilisation de la convexité : On établit la convexité ou la concavité d’une fonction puis on utilise l’un des résultats suivants :

La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa courbe représentative est au-dessus de toutes ses

tangentes sur I.

La fonction f est concave sur I si et seulement si sa courbe représentative est en-dessous de toutes ses

tangentes sur I.

(*) Exemple d’inégalité établie grâce à la notion de convexité :

EDHEC 2010 (exercice 2 - extrait) :

Établir que, pour tout réel x strictement supérieur à -1, on a : ln 1 x x .



15. Exercices :

Exercice 1 :

On considère la fonction f définie sur [0; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 −𝑥2

2.

1. Calculer 𝑓′(𝑥) puis 𝑓"(𝑥) où 𝑓" désigne la dérivée seconde de f.

2. a. Déterminer le signe de 𝑓"(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ [0;+∞[ et déterminer le sens de variation de la fonction

dérivée 𝑓′.

b. En déduire le signe de 𝑓′, puis le tableau de variation de la fonction f.

3. a. Démontrer que pour tout réel 𝑥 ∈ [0;+∞[, 𝑓(𝑥) ≥ 0.

b. En déduire que pour tout réel x > 0, on a : 𝑒𝑥

𝑥≥

𝑥

2.

c. En déduire une limite connue (croissance comparée).

Exercice 2 :

1. a. Montrer que pour tout réel x de [0; +∞[ : 𝑒𝑥—𝑥 − 1 ≥ 0.

b. En déduire l’ensemble de définition de la fonction𝑓(𝑥) =𝑒𝑥−1

𝑒𝑥—𝑥.

2. a. Montrer que pour tout x de [0; 1], 𝑓(𝑥) ∈ [0; 1].

b. Factoriser 𝑓(𝑥) − 𝑥 par (1 − 𝑥).

3. On considère la suite (𝑢𝑛) définie par : 𝑢0 =1

2 et 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛).

a. Montrer que pour tout entier naturel n : 1

2≤ 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 1.

b. En déduire que la suite (𝑢𝑛) converge et déterminer sa limite.

Exercice 3 :


b. En déduire l’ensemble de définition de la fonction𝑓(𝑥) =𝑥

𝑒𝑥—𝑥.

2. a. Etudier les variations de f.

b. Calculer ses limites aux bornes de son ensemble de définition.

c. Quelles déductions graphiques peut-on en tirer ?

3. a. Déterminer l’équation de la tangente 𝑇0 à 𝐶𝑓 au point d’abscisse 0.

b. Etudier les positions relatives de 𝑇0 et 𝐶𝑓.

c. Tracer la courbe 𝐶𝑓 après avoir tracé les asymptotes et la tangente 𝑇0.

Exercice 4 :


b. En déduire que pour tout réel x < 1, 𝑒𝑥 ≤1

1—𝑥.

2. a. A l’aide l’inégalité de 1.a., démontrer que pour tout entier n non nul, (1 +1

𝑛)𝑛

≤ 𝑒.

b. En posant 𝑥 =1

𝑛+1 dans l’inégalité de 1.b., démontrer que : 𝑒 ≤ (1 +

1

𝑛)𝑛+1

.

3. Soit la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier n > 0, par : 𝑢𝑛 = (1 +1

𝑛)𝑛

a. Démontrer que pour tout entier n > 0, 0≤ 𝑒 − 𝑢𝑛 ≤3

𝑛.

b. En déduire que la suite (𝑢𝑛) converge vers e.

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