méthode matricielle des déplacements – concepts de base

M.E.F :

T.Tison 2004

1Méthode matricielle des déplacements – Concepts de base

l'analyse des structures

L'objectif de l'analyse des structures est de déterminer les deux champs inconnus : champ de déplacements et de contraintes pour une structure quelconque.

On appelle structure, tout système mécanique en équilibre sous l'action de forces de surface ou de volume (en régime élastique).

Structure Mécanisme

Déformations Contraintes (création d'énergie de déformation)

La théorie de l'élasticité permet d'exprimer les relations qu'il existe entre les différents champs inconnus.

M.E.F :

T.Tison 2004


Classification des systèmes physiques

Un système physique est caractérisé par un ensemble de variables qui peuvent dépendre des coordonnées d'espace et du temps.

Certaines variables (d) sont connues, d'autres variables (u) sont inconnues

propriétés physiques dimensions du système sollicitations conditions aux limites …

Un modèle mathématique du système permet d'écrire des relations entre u et d en utilisant des lois physiques. Ces relations constituent un système d'équations en u qu'il s'agit de résoudre.

Le nombre de degrés de liberté (d.d.l) du système est le nombre de variables nécessaires pour définir u à un instant t donné.

? déplacements? vitesses? températures? contraintes? …

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T.Tison 2004


Le système est dit :

discret si il possède un nombre fini de degrés de liberté,

continu si il possède un nombre infini de degrés de liberté.

L'analyse d'une structure (qu'il s'agisse d'un système discret ou continu) peut-être menée de la façon suivante :

1- Idéalisation du système pour le rendre analysable (discrétisation)

2- Formulation des équations constitutives (équations d'équilibre)

3- Résolution des équations

4- Interprétation des résultats

M.E.F :

T.Tison 2004


Pour certains problèmes, la première étape (idéalisation) est (presque) évidente.

Hangar construit à partir d’éléments préfabriqués

en béton armé pour l’aviation italienne, 1940

Centre Georges Pompidou à Paris, 1977

Théâtre national de Mannheim, 1953

Structure réelle Structure discrétisée

Le comportement du système discret est représenté par un système d'équations algébriques. Résolution exacte (au sens de la discrétisation)

M.E.F :

T.Tison 2004


Pour d'autres structures, l'idéalisation n'est pas aussi immédiate (assemblage de plaques ou de coques. On est alors amené à exploiter des techniques d'approximation appropriées. Dans le cas de la M.E.F, le modèle est basé sur une subdivision du domaine continu en sous domaines de formes géométriques simples appelés éléments. Les éléments sont interconnectés entre eux par des points appelés nœuds.

Structure réelle

Structure discrétisée

élémentnœud

Transformation des équations pour obtenir un système d'équations algébriques solution approchée

M.E.F :

T.Tison 2004


Démarche d'analyse d'un système discret (méth. matricielle des déplacements)

IdéalisationIdéalisation

Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément en fonction des

déplacements

Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément en fonction des

déplacements

Assemblage des caractéristiques

élémentaires

Assemblage des caractéristiques

élémentaires

Calcul de la solutionCalcul de la solution

Calcul élémentaire

Calcul global

Cette étape est menée en utilisant des conditions de continuité des déplacements et d'équilibre des forces aux nœuds des éléments

étape 1

étape 2

étape 3

étape 4

M.E.F :

T.Tison 2004

7Méthode matricielle des déplacements – Exemple 1

Analyse statique d'un système constitué de 3 chariots rigides

1 2 3

k1

k2

k3

k4

k5

P1 P2 P3

M.E.F :

T.Tison 2004


Etape 1 : idéalisation

k2

k3

k4

k5k1

P1 u1 P2 u2 P3 u3

1 2 3

Bilan : 3 nœuds 3 ddl : 1 ddl/nœud (u1,u2,u3) 5 éléments

Système de 3 équations à 3

inconnues

M.E.F :

T.Tison 2004


Etape 2 : Ecriture des équations d'équilibre pour chaque élément

Elément n°1

k1

F1(1) u1

(1)

1 k1u1(1)=F1

(1)

Ui(j), Fi

(j) n° élément

n° nœud

Elément n°2

k2

21

F2(2) u2

(2)F1(2) u1

(2)

/ u1 k2u1(2) - k2u2

(2) = F1(2)

/ u2 k2u2(2) - k2u1

(2) = F2(2)

ou sous forme matricielle :

)2(

2

)2(1

)2(2

)2(1

2 11

11

F

F

u

uk

M.E.F :

T.Tison 2004


Elément n°3

k3

21

F2(3) u2

(3)F1(3) u1

(3)

)3(

2

)3(1

)3(2

)3(1

3 11

11

F

F

u

uk

Elément n°4

k4

31

F3(4) u3

(4)F1(4) u1

(4)

Elément n°5

k5

32

F3(5) u3

(5)F2(5) u2

(5)

)4(

3

)4(1

)4(3

)4(1

4 11

11

F

F

u

uk

)5(

3

)5(2

)5(3

)5(2

5 11

11

F

F

u

uk

M.E.F :

T.Tison 2004


Etape 3 : Assemblage des caractéristiques élémentaires

k2

k3

k4

k5k1

P1 u1 P2 u2 P3 u3

1 2 3

F1(1) F1

(2)

F1(3) F1

(4)

F2(2) F2

(3)

F2(5)

F3(4) F3

(5)

1.Equilibre des forces aux nœuds(équilibre statique de l'ensemble)

3)5(

3)4(

3

2)5(

2)3(

2)2(

2

1)4(

1)3(

1)2(

1)1(

1

PFF

PFFF

PFFFF

M.E.F :

T.Tison 2004


En substituant les équations d'équilibre élémentaires

2.Continuité des déplacements :

3)5(

3)4(

3

2)5(

2)3(

2)2(

2

1)4(

1)3(

1)2(

1)1(

1

PFF

PFFF

PFFFF

3)5(

35)5(

25)4(

34)4(

14

2)5(

35)5(

25)3(

23)3(

13)2(

22)2(

12

1)4(

34)4(

14)3(

23)3(

13)2(

22)2(

12)1(

11

Pukukukuk

Pukukukukukuk

Pukukukukukukuk

3)5(

3)4(

3

2)5(

2)3(

2)2(

2

1)4(

1)3(

1)2(

1)1(

1

uuu

uuuu

uuuuu

M.E.F :

T.Tison 2004


On obtient donc le système d'équations recherché

3)5(

35)5(

25)4(

34)4(

14

2)5(

35)5(

25)3(

23)3(

13)2(

22)2(

12

1)4(

34)4(

14)3(

23)3(

13)2(

22)2(

12)1(

11

Pukukukuk

Pukukukukukuk

Pukukukukukukuk

33542514

2352532132

13423214321

Pukkukuk

Pukukkkukk

Pukukkukkkk

3

2

1

3

2

1

5454

553232

4324321

P

P

P

u

u

u

kkkk

kkkkkk

kkkkkkk

M.E.F :

T.Tison 2004


Autre solution : écriture des matrices élémentaires avec l'ensemble des ddl.

3

2

1

22

22

000

0

0

u

u

u

kk

kk

3

2

1

44

44

0

000

0

u

u

u

kk

kk

3

2

11

000

000

00

u

u

uk

élément 1élément 2

3

2

1

33

33

000

0

0

u

u

u

kk

kk

élément 3élément 4

3

2

1

55

55

0

0

000

u

u

u

kk

kk

élément 5

5454

553232

4324321

kkkk

kkkkkk

kkkkkkk

M.E.F :

T.Tison 2004


Dans ce cas, on obtient la matrice de rigidité globale à partir de l'expression :

5

1

)(

e

eG KK

matrice de rigidité élémentairetenant compte de la connectivité

Cette expression est valable quel que soit le problème et le nombre d'éléments (à condition de travailler avec des ddl compatibles au niveau des matrices de rigidité élémentaires)

Etape 4 : Résolution du problème

Les rigidités et les forces externes étant connues, il suffit de résoudre le système linéaire obtenu.Remarque : lorsque les déplacements sont connus, on peut éventuellement calculer les efforts internes à partir des équations d'équilibre élémentaires.

M.E.F :

T.Tison 2004


Analyse d'un élément de tuyauterie

L 2L

0.5L

La tuyauterie doit être capable de résister à une charge importante P lorsque celle-ci est appliquée accidentellement.

Analysez le problème

p

M.E.F :

T.Tison 2004


Etude simplifiée : on s'intéresse au calcul du déplacement transverse au point d'application de la force. Cette force est supposée quasi-statique.

modélisation par des éléments de type poutre / barre / ressort. analyse statique.

Etape 1 : idéalisation

L 2L

0.5L

e1 : E I e2 : 8E I e3 : kt

e4 : E S

M.E.F :

T.Tison 2004

18Méthode matricielle des déplacements – Matrices élémentaires

Matrice de rigidité élémentaire d'une barre en traction - compression dans le plan

E:module d'Young (N/m2) – S:section (m2) – L:longueur(m)

Matrice de rigidité élémentaire d'une poutre en flexion dans le plan (type Bernoulli : pas de cisaillement transverse)

E:module d'Young (N/m2) – I:inertie de flexion (m4) – L:longueur(m)

11

11

L

ESK

j

i

u

uU

vii

vjjE, I

L x

y

22

22

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIK

j

j

i

i

v

v

U

ui ujE, S

L x

y

M.E.F :

T.Tison 2004


Le modèle devient :

u1u2u3u4 u5u6

u7

1 2 3

4

Bilan :4 éléments : 2 poutres, 1 ressort de torsion, 1 barre4 nœuds7 ddl

M.E.F :

T.Tison 2004


Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément

Elément 1 : poutre – (EI,L)

22

22

3)1(

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIK

4

3

2

1

)1(

u

u

u

u

U

Elément 2 : poutre – (8EI,2L)

22

22

3)2(

1612812

12121212

8121612

12121212

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIK

6

5

4

3

)2(

u

u

u

u

U

M.E.F :

T.Tison 2004


Etape 2 : Ecriture des matrices de rigidité élémentaires pour chaque élément (suite)

Elément 3 : ressort de torsion – (kt)

tkK )3( 6)3( uU

Elément 4 : barre – (E,S,0.5L)

22

22)4( L

ESK

7

5)4( u

uU

M.E.F :

T.Tison 2004


Etape 3 : Assemblage des matrices élémentaires

L

ES

L

ES

kL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

ES

L

EI

L

ES

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EI

K

t

G

20

20000

01612812

00

212212121200

081220626

01212624612

0002646

000612612

22

2323

222

232223

22

2323

7654321 uuuuuuuU TG

4

1)(

eeG KK

M.E.F :

T.Tison 2004


Etape 4 : Résolution du problème

La solution est obtenue en résolvant le système d'équations linéaires :

avec

après avoir appliqué les conditions aux limites (conditions de déplacements imposés) :

u1u2u3u4 u5u6

u7

1 2 3

4

GGG PUK

000000

7654321

PP

uuuuuuuUTG

TG

0721 uuu

M.E.F :

T.Tison 2004

24Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K

On appelle matrice de rigidité d'une structure, la matrice K permettant d'exprimer l'énergie de déformation sous une forme quadratique des déplacements.

Les valeurs propres de la matrice de rigidité sont obtenues en résolvant le problème :

On peut écrire :

i : ième valeur proprei : ième vecteur propre

si i est tel que :

Les valeurs propres d'une matrice de rigidité représentent à un coefficient près l'énergie de déformation mise en jeu par les modes de déformation propres de la structure.

KUUE Tdef

2

1

iiiK

iTi

iTi

i

K

defiTii EK 2

1 iTi

M.E.F :

T.Tison 2004

25Méthode matricielle des déplacements – Propriétés matrice K

Cas des structures libres (ou avec mécanisme)

Dans ce cas, il existe un certain nombre (3 pour les problèmes 2D, 6 pour les problèmes 3D) de valeurs propres nulles. Elles correspondent à des modes de déplacement d'ensemble pour lesquels l'énergie de déformation est nulle.On les appelle des modes de corps rigide ou modes rigides.

La matrice de rigidité d'une structure libre est donc semi définie positive

Exemple : barre en traction - compression0det

L

ES

L

ESL

ES

L

ES

mode de corps rigide mode de compression pure

1

1 0

1-

1

2

L

ES

M.E.F :

T.Tison 2004

26Méthode matricielle des déplacements – Conditions sur U

Prise en compte des conditions de déplacements imposés, 3 possibilités :

Méthode de pénalisationMéthode de pénalisation

Multiplicateurs de Lagrange

Multiplicateurs de Lagrange

Méthode de la partitionMéthode de la partition

application d'un "poids" numérique sur lescoefficients de la matrice de rigidité

Le système d'équation (KU=P) est complété par des équations de contrainte

M.E.F :

T.Tison 2004

27Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition

Principe :

Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés. On obtient un système de la forme :

Le vecteur des déplacements est décomposé (partition) suivant :

On applique cette partition sur le vecteur chargement et la matrice de rigidité

: déplacements libres (inconnus)

: déplacements imposés (connus)

: forces correspondant aux déplacements libres (connues)

: forces correspondant aux déplacements imposés (inconnues) réactions

GGG FUK

b

aG U

UU

b

aG F

FF

bbba

abaaG KK

KKK

M.E.F :

T.Tison 2004

28

En développant les équations d'équilibre, on obtient :

Le premier système d'équations permet d'obtenir les déplacements libres (Ua) :

Les déplacements libres étant connus, on obtient les réactions avec le second système d'équations :

Cas particulier : TOUS les déplacements imposés sont nuls (Ub=0)

Méthode matricielle des déplacements – Méthode de partition

ou

RUKUK

FUKUK

bbbaba

ababaaa

ou

RF

F

U

U

KK

KK

b

a

b

a

bbba

abaa

babaaaa UKFUK babaaaa UKFKU 1

bbbaba UKUKR

aaaa FUK aaaa FKU 1 abaUKR

M.E.F :

T.Tison 2004

29Méthode matricielle des déplacements – Application partition

Illustration sur une structure de type "poutre en flexion"

Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés.

On utilise le modèle :

Bilan :

1 élément "poutre en flexion"2 nœuds avec 2 ddl/nœud4 ddl

L

E,I

P

1 2

1v1 v2

12

2

2

1

1

v

v

UG

2

2

1

1

M

F

M

F

FG

M.E.F :

T.Tison 2004

30Méthode matricielle des déplacements – Application partition 1

12 6L -12 6L

6L 4L2 -6L 2L2

-12 -6L 12 -6L

6L 2L2 -6L 4L22

2

1

1

v

v

3L

EIKG

Assemblage de la matrice de rigidité globale : 1 élément immédiat

Partition entre déplacements libres (Ua) et déplacements imposés (Ub).

Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions.

v1 v2

1 2

P

2

2

v

U a

0

0

1

1

v

Ub

02

2 -P

M

FFa

1

1

M

FRFb

M.E.F :

T.Tison 2004


Partition de la matrice de rigidité globale

12 6L -12 6L

6L 4L2 -6L 2L2

-12 -6L 12 -6L

6L 2L2 -6L 4L2

2v

1v

2

13L

EIKG

2v1v 21

Kaa Kab

Kba Kbb

KG

12 6L

6L 4L2

-12 6L

-6L 2L2

-12 -6L

6L 2L2

12 -6L

-6L 4L2

2v

1v

2

1

3L

EIKG

2v 1v2 1

M.E.F :

T.Tison 2004


Calcul des déplacements libres (ici tous les déplacements imposés sont nuls)

aaaa FUK

12

-6L

-6L

4L2

0

-P

2

2

v

3L

EI

Calcul des réactions.

abaUKR

3L

EI

0126

64

12

1 2

2

3

2

2 -P

L

LL

LEI

Lv

EI

-PLEI

-PLv

2

32

3

2

2

EI

-PLEI

-PL

2

32

3

-12 6L

-6L 2L2

1

1

M

FR

PL

P

M

FL

LL

L

L

P

M

F

1

12

1

1

2

13

26

612

M.E.F :

T.Tison 2004


Vérification des résultats

Visualisation des résultats

Efforts Moments

0 PP

action réaction

0 PLPL

action réaction

P

EI

PL

3

3

EI

PL

2

2

0

0

1

1

v

DéplacementsEffort tranchant

Moment fléchissant

-PP

0PL

M.E.F :

T.Tison 2004


L

E,IM

LStructure de type "poutre en flexion"

1 2 3

1 2v1 v2 v3

1 2 3

Le système d'équations d'équilibre est constitué sans tenir compte des conditions de déplacements imposés.

On utilise le modèle :

Bilan :

2 éléments "poutre en flexion"3 nœuds avec 2 ddl/nœud6 ddl

3

3

2

2

1

1

v

v

v

UG

3

3

2

2

1

1

M

F

M

F

M

F

FG

M.E.F :

T.Tison 2004


Assemblage de la matrice de rigidité globale :

1 2 3

1 2v1 v2 v3

1 2 3

12 6L -12 6L

6L 4L2 -6L 2L2

-12 -6L 24 0

6L 2L2 0 8L2

0 0 -12 -6L

0 0 6L 2L2

0 0

0 0

-12 6L

-6L 2L2

12 -6L

-6L 4L23

3

2

2

1

1

v

v

v

3L

EIKG

12 6L -12 6L

6L 4L2 -6L 2L2

-12 -6L 12 -6L

6L 2L2 -6L 4L22

2

1

1

v

v

3L

EIK (1)

12 6L -12 6L

6L 4L2 -6L 2L2

-12 -6L 12 -6L

6L 2L2 -6L 4L23

3

2

2

v

v

3L

EIK (2)

M.E.F :

T.Tison 2004


Partition entre déplacements libres (Ua) et déplacements imposés (Ub).

v1 v2 v3

1 2 3

3

2

aU

0

0

0

0

3

2

1

1

v

v

v

Ub

Partition du vecteur second membre en efforts appliqués et réactions.

3

3

2

2

1

1

v

v

v

UG

3

3

2

2

1

1

M

F

M

F

M

F

FG

MM

MFa

0

3

2

3

2

1

1

F

F

M

F

RFb

M.E.F :

T.Tison 2004


Et finalement, partition de la matrice de rigidité globale.

Kaa Kab

Kba Kbb

KG

0 0 -12

12 6L -12

6L 4L2 -6L

-12 -6L 24

0

0

-12

12

6L

2L2

0

-6L

0

0

6L

-6L

6L 2L2 0

0 0 6L

-6L

-6L

8L2

2L2

2L2

4L2

32

3v2v

1v

1

32 3v2v1v 1

12 6L -12 6L

6L 4L2 -6L 2L2

-12 -6L 24 0

6L 2L2 0 8L2

0 0 -12 -6L

0 0 6L 2L2

0 0

0 0

-12 6L

-6L 2L2

12 -6L

-6L 4L2

3v

2v

1v

3

2

1

3v2v1v 321

3L

EIKG

3L

EIKG

M.E.F :

T.Tison 2004


Calcul des déplacements libres (tous les déplacements imposés sont nuls).

aaaa FUK

8L2

2L2

2L2

4L2

4

1

1

2

M

0

3

2

3L

EI

L

2EI

M

0

3

2

4

1

143

2

EI

ML

Calcul des réactions.

6L

2L2

0

-6L

0

0

6L

-6L

abaUKR

3L

EI

3

2

1

1

F

F

M

F

R

4

1

14EI

ML

9

12

3

7

3

2

1

1

L

L

M

F

F

M

F

M.E.F :

T.Tison 2004


07

18

7

12

72 321

MMMM

MLFLFM

Réactions Action

F3

Visualisation des résultats (déplacements)

Vérification des résultats

9

12

3

7

3

2

1

1

L

L

M

F

F

M

F

On peut vérifier, pour les forces et les moments que :

RéactionsAction

00321 FFF

4

1

143

2

EI

ML

-M7

F1

F2

M

M

7EI

2ML

14EI

-ML

M.E.F :

T.Tison 2004


Visualisation des résultats (diagrammes)

Effort Tranchant

Moment Fléchissant

F1

F2

F39M7L

-3M7L

M-M7

F1

F2

F3

2M7

-M

9

12

3

7

3

2

1

1

L

L

M

F

F

M

F

M.E.F :

T.Tison 2004

41Méthode matricielle des déplacements – Transformation des matrices

L'objectif est d'établir la matrice de rigidité élémentaire d'un élément lorsque son orientation est différente de celle définie dans le repère de référence. La démarche est illustrée sur un élément de type barre.

Dans le repère local R1, la matrice de rigidité de l'élément est donnée par :

x*

ui* uj

*

On souhaite formuler la matrice de rigidité de cet élément dans le cas où la barre à une orientation quelconque dans le plan (repère global R2)

x*

x

y

ui*

ui

vi

uj*

uj

vj

11

111 L

ESKR

j

i

u

uU *

?2

RK

j

j

i

i

v

uv

u

U

M.E.F :

T.Tison 2004


On peut écrire les relations entre les déplacements dans les 2 systèmes d'axes par :

ou encore sous forme matricielle :

x*

x

y

ui*

ui

vi

uj*

uj

vj

U* = T U

Dans le repère local, l'énergie de déformation est donnée par :

Dans le repère global, l'énergie (identique) est donnée par :

sincos

sincos*

*

jjj

iii

vuu

vuu

j

j

i

i

j

i

v

u

v

u

u

u

sincos00

00sincos*

*

**

12

1UKUE R

tp

UKUE Rt

p 22

1

M.E.F :

T.Tison 2004


En substituant l'expression de U* en fonction de U dans

Expression que l'on compare à

On en déduit TKTK Rt

R 12

ttt TUU * TUU *

**

12

1UKUE R

tp

TUKTUE Rtt

p 12

1

UKUE Rt

p 22

1

M.E.F :

T.Tison 2004


Pour l'élément barre, on obtient :

ou encore :

avec

x

y

ui

vi

uj

vj

Attention : pas de ddl de rotation donc liaison pivot aux nœuds implicite

11

111 L

ESKR

sincos00

00sincosT

22

22

22

22

sinsincossinsincos

sincoscossincoscos

sinsincossinsincos

sincoscossincoscos

L

ESK

j

j

i

i

v

uv

u

U

AA

AA

L

ESK

2

2

sinsincos

sincoscosA

M.E.F :

T.Tison 2004

45Méthode matricielle des déplacements – Application synthèse

On considère le treillis plan représenté ci-dessous. Il est modélisé par des éléments de type "barre". Les caractéristiques matérielles sont identiques pour toutes les barres (E, S). Les nœuds 1 et 2 sont encastrés.

1. Établir la matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements sans tenir compte de la barre n°4

2. Calculer le déterminant de cette matrice, conclusions.3. Calculer et représenter la déformée de la structure complète (barre

4 prise en compte).4. Calculer et représenter les réactions aux encastrements.5. Calculer les contraintes dans chaque élément.

45°

1 4

2 3

barre 1

barre 4

barre 3

barre 2

X

Y

04

33

302

001

L

LL

L

YXNoeuds

M.E.F :

T.Tison 2004


Calcul des matrices de rigidité élémentaires

4

4

1

1

)1()1(

0000

0101

0000

0101

v

u

v

u

UL

ESK

4

4

3

3

)2()2(

3030

0000

3030

0000

v

u

v

u

UL

ESK

Élément 1 : L,S,E,0 Élément 2 : 3L,S,E,90

3

3

2

2

)3()3(

0000

0101

0000

0101

v

u

v

u

UL

ESK

Élément 3 : L,S,E,0

3

3

1

1

)4()4(

3333

333333

3333

333333

8

v

u

v

u

UL

ESK

Élément 4 : 3L2,S,E,30

1 4

2 3

1

4

3

2

M.E.F :

T.Tison 2004


Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (SANS barre n°4)

4

4

3

3

v

u

v

u

U a

0

0

0

0

2

2

1

1

v

u

v

u

Ubddl imposés : ddl libres :

3030

0100

3030

0001

L

ESKaa

003

103

30

013det

L

ESKaa

La structure n'est pas statiquement stable (présence de pivots implicites aux nœuds). La représentation devrait être :

1 4

2 3

1

3

2

M.E.F :

T.Tison 2004


Matrice de rigidité utile pour le calcul des déplacements (AVEC barre n°4)

4

4

3

3

a

v

u

v

u

U

0

0

0

0

v

u

v

u

U

2

2

1

1

bddl imposés : ddl libres :

1 4

2 3

1

4

3

2

45°

0

0

707.0

707.0

0

02

22

2

PPFa

73.1073.10

0100

73.1095.138.0

0038.065.1

3030

0100

308

33

8

3

008

3

8

331

L

ES

L

ESKaa

M.E.F :

T.Tison 2004


La résolution du système linéaire donne les déplacements recherchés

33

3

34

4

04.8

52.0

0

uvES

PLu

vv

u

0

0

707.0

707.0

73.1073.10

0100

73.1095.138.0

0038.065.1

4

4

3

3

P

v

u

v

u

L

ES

aaaa FUK

16.4

0

16.4

52.0

3

4

3

3

ES

PL

v

u

v

u

M.E.F :

T.Tison 2004


nœuds 1- 4

nœuds 2- 3

nœuds 1- 3

0000

0101

0000

0101

)1(

L

ESK

0000

0101

0000

0101

)3(

L

ESK

3333

333333

3333

333333

8)4(

L

ESK

0000

0001

008

3

8

3

018

3

8

33

L

ESKba

Calcul des réactions aux encastrements

abaUKR

4v4u3v3u

2v

2u

1v

1u

M.E.F :

T.Tison 2004


La résolution R=KbaUa donne :

0

52.0

71.0

22.1

16.4

0

16.4

52.0

0000

0001

0022.038.0

0138.065.0

2

2

1

1

PES

PL

L

ES

R

R

R

R

R

y

x

y

x

02

252.022.1 PPP forces suivant x

02

271.0 PP forces suivant y

(aux erreurs d'arrondi près)

Vérification

M.E.F :

T.Tison 2004


Calcul des contraintes

D'après la théorie de l'élasticité, on sait que et D31;31

2

1

jii

j

j

iij x

U

x

U

Dans le cas de la barre, on a : D=E et x

xUxx

La déformation locale étant identique sur toute la longueur de la barre, on peut l'assimiler à la déformation moyenne soit :

L

uu ijxx

** Dans le repère local : où sous forme matricielle :

*

*

111

j

ixx u

u

L

Dans le repère global :

j

j

i

i

j

i

v

u

v

u

u

u

sincos00

00sincos*

*

j

j

i

i

v

u

v

u

sincossincos1

xx L

M.E.F :

T.Tison 2004


Élément 1 :

ES

PLvuvuLSE

16.4000,,,,0 4411

0

16.4

0

0

0

01011

ES

P

Élément 2 :

ES

PLvu

ES

PLv

ES

PLuLSE

16.40

16.452.0,

3,,,90 4433

0

16.4

0

16.4

52.0

10102

ES

P

01

02

M.E.F :

T.Tison 2004


Élément 3 :

Élément 4 :

ES

PLv

ES

PLuvuLSE

16.452.000,,,,0 3322

52.0

16.4

52.0

0

0

01013

ES

P

ES

P

ES

PLv

ES

PLuvuLSE

16.452.000,

32,,,30 3311

63.1

16.4

52.0

0

0

2

1

2

3

2

1

2

34

ES

P

ES

P

S

52.03 P

63.14

S

P

M.E.F :

T.Tison 2004


Visualisation des résultats : déformée et réactions

-4.16

-4.16

0.52

1.22

0.71

-0.52

1

2

4

3

16.4

0

16.4

52.0

4

4

3

3

ES

PL

v

u

v

u

0

52.0

71.0

22.1

2

2

1

1

P

R

R

R

R

y

x

y

x

M.E.F :

T.Tison 2004


Visualisation des résultats : contraintes

63.1

52.0

0

0

4

3

2

1

S

P

1

2

3

4

méthode matricielle des déplacements – concepts de base

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