methode des forces en theorie des poutres et des

'N°d'ordre 1.1.C.1-7902

....... ,.'.. ~ - '

r INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

pour obtenir

LE DIPLOME DE DOCTEUR DE TROISIEME CYCLE

Spécialité: GENIE CIVIL

. ,'par

Féliêién MÈNDENE M'FKWA. j - \

Ma'&Et~-:Séeryc~s et Techniques/ '

METHODE DES FORCESEN THEORIE DES POUTRES ET DES PLAQUES

Soutenue le 2 Juillet 1979 devant la Commission d'Examen

Jury MM le Professeur J.C. CUBAUD

J. F. JULLIEN

M. LEMAIRE

K.DYDUCH

E. ABSI

"

Président

Examinateurs

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON

-------------------------------------------------

DIRECTEUR R. HAMELIN

CHEFS DE DEPARTEMENTS

Premier Cycle

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Génie Electrique et Ferroélectricité



Chimie Organique

~

[

\r

2.

P. GOBIN

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,\

1,, '

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Physique (Université Claude BernardLyon 1)

Chimie Appliquée

Génie Civil et Urbanisme (Méthodes)

A. JUT~

C. LESUEUR


Vibrations-Acoustique

j

1

A V A N T - PRO P 0 S

Nos recherches ont été effectuées au laboratoire

du Groupe de Recherche Génie-Civil de l'Université de Cler-

mont Ferrand II.

Qu'il nous soit permis d'exprimer notre resepctueu-

se gratitude à Monsieur le Professeur CUBAUD, Directeur de

Recherche au laboratoire des Bétons et structures de l'Ins-

titut National des Sciences Appliquées de Lyon, qui nous a

fait le grand honneur de Présider notre Jury de thèse.

Monsieur LEMAIRE, Maître de Conférence, Responsable

du Groupe de Recherche Génie-Civil de l'Université de Cler-

mont Ferrand II nous a enseigné la théorie des éléments fi-

nis. Il nous a proposé ce sujet et en a assumé entièrement la

direction. Son aide et ses encouragements tout au long de

nos recherches nous ont été précieux. Nous lui adressons l'ex-

pression de notre très sincère gratitude.

Monsieur JULLIEN, Maître de Conférence à L'Insti-

tut National des Sciences Appliquées de Lyon a bien voulu

examiner notre travail et a accepté de faire partie de no-

tre jury de thèse. Nous lui exprimons nos très vifs remercie-

ments.

il '

1 .

1t! ~t '

r

l1 i

1

1

i

J

Monsieur DYDUCH, ~!aître de Conférence à l'Ecole

Polytechnique de Cracovie en Pologne s'est intéressé à no

tre travail. Nous lui exprimons notre plus vive reconnais

sance.

Malgré ses nombreuses activités, Monsieur ABSI, Dé

légué Général Scientifique du Centre Expérimental des Recher

ches et d'Etudes du Bâtiment et des Travaux Publics a exa

miné notre travail et nous fait le grand honneur d'être mem

bre de notre jury. Nous le remercions très respectueusement.

Nous avons beaucoup apprécié l'aide cordiale et

l'esprit coopératif de notre camarade de laboratoire Bernard

PEUCHOT. Il nous a fait profiter de ses connaissances dans

le domaine de l'informatique. Nous tenons à le remercier sin

cèrement.

Enfin, nous adressons nos remerciements les plus

sincères à tous ceux qui ont apporté leur collaboration à

notre travail.

RES UME

Ce travail est consacré à la méthode des forces en

théorie des poutres et des plaques. Le principe variationnel

des forces virtuelles est à la base de la formulation qui est

appliquée aux éléments linéiques de poutres et aux éléments

surfaciques de plaques. Il est divisé en quatre chapitres.

Le premier rappelle les aspects classiques de la mé-

thode des forces et présente une technique de sélection auto-

matique des inconnues hyperstatiques qui est fondée sur l'al-

gorithme de GAUSS-JORDAN.

Le choix automatique d'un système isostatique de

base permet l'application, dans un deuxième chapitre, de la

méthode des forces à l'analyse limite. Le calcul de la vérifi-

cation ou de dimensionnement plastique optimal par la méthode

statique est alors entièrement automatisé.

Le troisième chapitre décrit la construction d'un

modèle équilibre pur dans le cas d'un élément triangulaire de

plaque fléchie. La procédure utilisée en théorie des poutres est

étendue au cas envisagé.

Les applications numériques font l'objet du dernier

1i

chapitre. Elles présentent les possibilités de la méthode

des forces et ouvrent la voie à son application en théorie

des plaques.

ABSTRACT

This paper treats about the force method in the.'

theory of beams and plates. The variational principle of

virtual forces is on the basis of the formulation which is

applied to the linear elements of beams and surface elements

of plates. It is subdivised in four chapters.

The first one reminds of the classical aspects of

the force method and present an automatic selection technique

of unknown hyperstatics which is founded on the GAUSS-JORDAN

algorithm

The automatic choice of a basic isostatic system

permits to apply, in a second chapter, the force method to

the limit analysis. The weight design and the minimum weight

design by the static method is thus entirely automised.

The third chapter describes the construction of a

pure equilibrium model for a bent triangular plate elernent.

The procedure used in theory of beams is extended ta this

case which is going ta be studied.

The subjet of the last chapter are the numerical

applications. They show the possibilities of the force method

and open the way for its application in theory of plates.

SOM MAI R E

CHAPITRE 2. - APPLICATION DE LA METHODE DES FORCES A L'ANALYSEET AU DIMENSIONNEMENT LIMITE. 48

4

3

6

7

1

9

77

2425

Il

1315

24

49

1922

46

Pages

- Introduction- Présentation de la méthode- Relations forces de pou t r e-vfo roc s intérieures

aux noeuds 27- Construction des équations d'équilibre 31- Etude de l'équilibre d'une structure 35- Equations "canoniques" de la méthode des for-

ces automatique. 37- Application de l'Algorithme de Gauss-Jordan

à la matrice élargie des équations d'équilibrt 4 0- Méthodologie 451.4.8.

1.4.1.1.4.2.1.4.3.

1.3.1. - Introduction ,~_

1.3.2. - Définitions .',~ 0 ... : ; ....-,-,

1.3.3. - Principe fon~mentar·'~~<).,.améthode desforces r;' ; \ . ,

1.3.4. - Relati?ns fq~C€§~~~~o~tre_~'déplacementsdepoutre \ 0.0 /'

\ ~ / s1.3.5. - Rela tions fo~ées',ge ~û.:g.re"",·forces aux noeuds1.3.6. - Théo:èrne~ énebq~~~9g~~~For~ulat~o~ forc:1.3.7. - Appllcatlon des~êbr~mes energetlques a la

méthode des forces1.3.8. - Méthodologie

1.4.7.

1.4.4.1.4.5.1.4.6.

1 .2. - HYPOTHESES DE CALCUL

2.1. - INTRODUCTION

1.1. - INTRODUCTION

1.3. - METHODE DES FORCES SEMI-AUTOMATIQUE

INTRODUCTION

1.4. - METHODE DES FORCES AUTOMATIQUE

CHAPITRE 1. - METHODE DES FORCES EN THEORIE DES POUTRES

1.5. - CONCLUSION

2.2. - CALCUL DE LA CHARGE LIMITE PAR LA METHODE STATIQUE. 52

2.3.1. - Formulation du problème 662.3.2. - Détermination de la fonction à optimaliser 672.3.3. - Dimensionnement limite par la prograwmation

linéaire 682.3.4. - Appréciation du dimensionnement limite 71

3.2.1. - Hypothèses de calcul 773.2.2. - Equations différentielles d'équilibre 783.2.3. - Relations entre les efforts dans les systèmes

d'axes x - y et n - t 823.2.4. - Détermination des conditions aux limites 86

72

77

66

73

101

74

88

103

8893

106

105

9699

3.3.1. - Construction d'un champ de moments3.3.2. - Relations moments-Forces intérieures

inconnues3.3.3. - Relation forces intérieures inconnues~forces

verticales aux noeuds.3.3.4. - Matrice de connexion et conditions limites

2.2.1. - Domaine d'étude du calcul de la charge li-mite-Définitions 52

2.2.2. - Formulation du problème 552.2.3. - Théorème statique 562.2.4. - Méthode statique 58

-2.2.5. - Conclusion 65

CHAPITRE 3. - MODELE EQUILIBRE DE FLEXION DE PLAQUE

2.4. - CONCLUSION

2.3. - DIMENSIONNEMENT LIMITE

3.1. - INTRODUCTION

3.2. - THEORIE DES PLAQUES

3.3. - SOLUTION PAR ELEMENTS FINIS EQUILIBRE

3.5. - METHODES DE RESOLUTION

3.4. - MATRICE DE SOUPLESSE ELEMENTAIRE

4.1. - THEORIE DES POUTRES

CHAPITRE 4. - APPLICATIONS NUMERIQUES

,t,

J


CONCLUSION

ANNEXES

ANNEXES 1. - CONVENTIONS DE SIGNE

ANNEXES 2. - FOID1ULES DETAILLEES DES EQUATIONS D'EQUILIBRE

ANNEXES 3. - NOTATIONS

BIBLIOGRAPHIE

III

118

121

122

128

131

132

l .

l N T R 0 DUC T ION

Les théories et méthodes de calcul des structures

s'appuient sur des procédés qui conduisent à des volumes de

calcul plus ou moins importants selon leurs principes de ba-

se. A l'origine, la méthode des forces est apparue bien adap-

tée au traitement "manuel" des ossatures. Plus simple dans-sa

logique, mais exigeant plus de calculs numériques, la méthode

des déplacements a été facilement automatisée dans le cas des

réseaux de poutres et elle a servi de modèle aux développements

liés à la méthode des éléments finis dans sa formulation clas-

sique.

Si de nombreuses recherches ont permis au modèle

déplacement d'atteindre un haut niveau dans le calcul élasti-

que, il n'en est pas de même pour le modèle équilibre, plus

difficile à mettre à oeuvre, qui n'a pas fait l'objet de dé-

veloppements aussi poussés.

Le présent travail se propose d'analyser les possi-

bilités de la méthode de type "force" et de chercher une auto-

matisation complète des processus en calcul élastique et plas-

tique. Il vise également à transcrire au niveau d'un milieu

continu; les résultats acquis en théorie des poutres.

\-~

2.

Avant d'aborder le modèle équilibre de la méthode

des éléments finis, nous consacrons le premier chapitre sui

vant les perspectives ouvertes par P.obinson (1) pour la résolu

tionautomatique des inconnues hyperstatiques.

La résolution des problèmes de vérification et de

dimensionnement des ossatures à l'état limite fait l'objet d'un

deuxième chapitre. L'application de la programmation linéaire

après la sélection automatique des inconnues hyperstatiques

permet d'envisager l'analyse automatique aussi bien en régime

élastique que plastique parfait.

Dans un troisième chapitre, nous développons la

construction d'un élément fini triangulaire de plaque fléchie

en utilisant une formulation dérivée de celle de la théorie

des poutres.

Enfin, des applications numériques font l'objet

du dernier chapitre. Elles présentent les possibilités de la

méthode des forces et ouvrent la voie à son application en

théorie des plaques. Les résultats obtenus sont comparés à des

solutions proposées par d'autres m§thodes.

3.

~------------------------------------------------------ - - - - - t1 1

: CHAP ITRE 1. - HETHODE DES FORCES EN THEORIE DES POUTRES l1 11 1~-----------------------------------------------------------~

4 .

1.1. - INTRODUCTION

Depuis 25 ans, les méthodes numériques ont été

considérablement développées et c'est essentiellement la mé

thode des déplacements qui a été concernée par les recherches.

La méthode des forces d'un emploi manuel fréquent, n'a fait

l'objet que de peu de travaux d'automatisation.

Ces deux méthodes, générales dans leur applica-

tion peuvent être classées comme des méthodes algébriques

(1), (2). La méthode des déplacements apparaît co~me étant la

plus utilisée et le manque de popularité de la méthode des

forces est dû au fait que les inconnues hyperstatiques sont

sélectionnées manuellement. Le choix est fait par l'ingénieur

sur les bases de son intuition et de son expérience. Par con-

tre, la logique beaucoup plus élémentaire de la méthode des

déplacements a permis la grande diffusion de celle-ci.

Quoi qu'il en soit, la méthode des forces a été

appliquée de préférence à la méthode des déplacements pour cer-

taines structures. En effet, lorsqu'on a réussi à définir une

structure isostatique de base et à déterminer les matrices de

coefficients, le programme de calcul par la méthode à forces

inconnues ne demande que l'inversion d'une matrice dont la di

mension est égale au nombre d'inconnues hyperstatiques et l'exé-

5 .

cution de quelques produits matriciels. La méthode des dépla

cements par contre exige la résolution d'un système d'équa

tions de dimension égale au nombre de degrés d'indétermina

tion cinématique de la structure.

Cet avantage de la méthode des forces demeure

aussi longtemps que la détermination des systèmes de référen

ce peut être réalisée manuellement et constitue une donnée du

programme de calcul. Pour pallier cet inconvénient, la métho

de des forces a été perfectionnée il est maintenant possi

ble de transférer à l'ordinateur le choix des inconnues hypers

tatiques.

6.

1.2. - HYPOTHESES DE CALCUL

Dans ce paragraphe, nous définissons le domaine

d'étude de notre travail (3).

Les hypothèses de calcul sont celles de la théo-

rie de l'élasticité linéaire et de la théorie des poutres.

En particulier

- Il existe une relation linéaire entre les déplacements et les

déformations.

- Il existe une relation linéaire entre les déformations et

les contraintes. C'est la loi de Hooke.

- Les déplacements et les déformations sont infiniment petits.

- Les poutres possèdent une fibre moyenne et les sections

restent droites après déformation.

Nous supposons en outre que

L'effet énergétique de l'effort tranchant est né-

gligeable, les poutres ont une section constante et une ligne

moyenne rectiligne et nous limitons notre étude au système

plan.

7 •

Enfin, nous considérons que le système de forces

extérieures est constitué par un ensemble de forces appliquées

aux points nodaux choisis. Dans le cas où les forces sont

appliquées en travée, il faut les remplacer par les actions

de la poutre sur ses noeuds parfaitement encastrés.

1.3. - METHODE DES FORCES SEMI-AUTO~ATIQUE

1.3.1. - Introduction

Nous nous proposons ici de développer la méthode

des forces "manuelle". Dans cette méthode, nous disposons d'un

schéma unique de résolution : les inconnues du problème sont

les forces généralisées localisées aux noeuds choisis - for-

ces internes et réactions d'appuis.

1.3.2. - Défirtitions

Dans l'étude d'une structure hyperstatique, il

faut utiliser en plus des équations d'équilibre, les équa-

tions de compatibilité des déplacements. Les équations d'équi-

libre traduisent d'une part que la structure est globale-

ment en équilibre (autrement dit qu'elle ne se déplace pas)

et d'autre part que chaque élément est également en' équili-

bre. Les conditions decanpatihilité des déplacements tradui-

sent la continuité de la structure après déformation. Il ne

doit exister ni fissure, ni recouvrement (3).

8.

1.3.2.1 . ...;. Coupure simple

On pratique une coupure simple chaque fois qu'il

existe un effort intérieur inconnu. Les trois coupures sim

ples sont: la coupure d'effort normal, la coupure d'effort

tranchant et la coupure de moment. Elles doivent être telles

que les diagrammes d'efforts que les inconnues libérées in

duisent, interfèrent le moins possible.

1. 3.2.2. - Degré d' hyperstaticité

Le degré d'hyperstaticité est le nombre total

de coupures simples à effectuer dans une structure pour la

ramener à une structure isostatique. Il est égal à la diffé

rence entre le nombre d'inconnues et le nombre d'équations

d'équilibre aux noeuds.

1.3.2.3. - Système isostatique dé référence

c'est le système isostatique obtenu par suppres

sion des liaisons surabondantes~ leur action étant remplacée

par des forces correspondantes.

D'une façon générale, pour une structure hypersta

tique donnée, on peut choisir plusieurs systèmes isostatiques

de base. Il faut cependant remarquer qu'un système obtenu en

supprimant arbitrairement un nombre suffisant de liaisons

n'est pas forcément un système isostatique de base.

9.

1.3.3. - Pri"ncipe" fondamental de la méthode des forces

Dans ce paragraphe, nous établissons les équa-

tions "canoniques" de la méthode des forces. Ce système d'é-

quations linéaires aux inconnues hyperstatiques constitue

l'élément de base de la méthode des forces.

Etant donné une structure hyperstatique d'ordre

n, soumis à m forces extérieures, n coupures simples sont alors

nécessaires pour rendre le système isostatique.

On note (3) :

1xlT = [Kl' .•• ' xnJ Le vecteur des inconnues hyperstatiques.

Les X. sont soit des forces, soit desl

moments.

Ip }T = [p p ]s l'··" -n Le vecteur des forces extérieures appli-

quées.

Dans le système isostatique de référence, nous

désignons par lU 1, le vecteur des déplacements relatifsxx

des lèvres des coupures sous l'action des forces inconnues IX}.

De même, les déplacements relatifs des livres

des coupures sous l'action des forces appliquées IPs} sont

notés 1Uxol •

Les deux matrices qui lient respectivement les

10.

forces inconnues et les forces appliquées aux déplacements

dans les coupures sont telles que :

(1 la)

Cl - lb)

Dans la relation (1 - la), S " est le déplace-XJl -

ment dans la coupure j sous l'action d'une force unitaire

placée dans la coupure i, ce coefficient peut par exemple

être déterminé par application du théorème de la force uni-

taire.

La symétrie de la matrice [sxJ est d êmont.r.êecpe.r

application du théorème de Maxwell-Betti.

En effet,

s " ~ (X .) = S ., (X.)XJl l X1J J

pour X.= X. = ll J

et la matrice [SxJ est symétrique.

-, --'-. - _..-

/ -.. ;

. ':\ ".

. -r :c '~., ".

On démontre de la même façon que le coe~ficient

S .. est le déplacement dans la coupure j sous l'action d'uneOJl

force unité P = l dans la coupure i.

Au paragraphe 1.3.2. nous avons noté que pour une

structure hyperstatique, il faut utiliser en plus des équa

tions d'équilibre, les équations decompatibilitê des dépla

cements. Cette condition de compatibilité de déplacement se

Il.

traduit par le fait que la structure initiale, statiquement

indéterminée, est une entité (4), cela signifie qu'il n'y a

aucun déplacement relatif des lèvres des coupures. Nous de-

vons donc avoir toutes les extrémités sectionnées fermées.

Il vient

soit

: uxx 1 + 1Uxo 1 = 10 1

[ SxJ1 X 1 + [S0] IP si = 1 0 1

D'où Cl. 2. )

Ce système d'équations constitue la relation fon-

damentale de la méthode des forces. Il permet de calculer les

inconnues hyperstatiques 1xl. Le problème est donc de déter

miner les matrices [Sol, [sJ .

1.3.4. - Relation forces de poutre - "déplacements de poutre"

Cette relation lie les efforts indépendants carac-

térisant l'état de contrainte aux déplacements correspondants.

Il convient pour cela de préciser auoaravant les

forces généralisées indépendantes sélectionnées.

Considérons un élément de poutre, non chargé, en

équilibre sous l'action des efforts aux noeuds.

12.

T.. M .. Ti! M ..1) 1)

))1eN .. (n) j N ..)1

- X1) w- 1 ..i j

f- a -1

y

+Fig. 1-1 Elément de poutre non chargé, soumis aux

forces nodales.

Nous pouvons écrire les 3 équations de la stati-

que avec les efforts aux noeuds i et j. Seuls (6 - 3) efforts

sont indépendants, les 3 autres étant des combinaisons linéai-

res.

Les efforts tranchants à chaque extrémité sont

le résultat des moments de flexion, nous ne pouvons pas les

considérer cowme des forces indépendants (4). Les efforts nor-

maux sont tels que N ~ N.. == - N ..1) )1.

Nous pouvons dès lors définir le vecteur [Q 1·n

des forces généralisées indépendantes appelé également vecteur

de~ forces dé poutre. Ce vecteur caractérise l'état de contrain-

te de la poutre n.

Aux efforts N, M.. , M..1) )1 correspondent les quanti-

13.

tés u, f3i, f3;j qui représentent respectivement : la variation

de la longueur de la poutre n sous l'effet de N, la rotation

de la section i par rapport à la ligne moyenne ij, la rotation

de la section j par rapport à la ligne moyenne ij.

Les trois quantités u, f3i' f3j regroupées dans le

vecteur [Dn ) caractérisent l'état de déformation de la poutre

ij.

Soit

Et la relation liant les forces de poutre aux

déformations de poutre s'écrit:

(1-3 )

où [Sn] est la matrice de souplesse de l'élément n, son expres

sion est donnée en (1.3.6.).

1.3.5. - Relation forces de poutre - forces aux noeuds

Considérons une structure composée de k éléments

de poutre, soumise à n forces extérieures.

La relation liant les forces de poutre aux for-

ces aux noeuds est de la forme

(1-4)

oü ~ Qs1est le vecteur rassemblant les vecteurs forces de poutre

LB~J est la matrice des coefficients d'influence

tPs ) est le vecteur des forces appliquées aux noeuds

14.

Pour une structure isostatique, la force de pou-

tre Qsj est égale à

QSJ' = rB. B. ,L- sJl... SJl B . J• • • sJm

(1-5 )

Pm

Supposons la force appliquée au noeud i égale à

l'unité et la force appliquée au noeud j nulle c'est-à-dire

P = 1si

et P = 0 vj ~ isj

Qsj = Bsji

B " est la force de poutre j lorsqu'une force uniSJl

té est appliquée au noeud i. Les coefficients B " sont appelésSJl

coefficients d'influence. Chaque colonne de la matrice LBs] re-

présente ainsi les efforts qui existent dans les poutres pour

une force unité P = 1.

Dans une structure hyperstatique, le vecteur des

forces de poutre {Qs) est la somme de deux vecteurs: le vecteur

des forces de poutre dans le système isostatique de base et le

vecteur des forces de poutre dérivant des forces hyperstatiques

inconnues.

Les vecteurs [QsoJ et (Qsx) sont reliés aux forces aux noeuds

par les matrices d'influence [Bà] et [Bx]

tQso\ = [Ba] tPs )

tQsx) = [BxJ ~ X ~

15.

d'où la relation entre les forces de poutre et les forces aux

noeuds.

(1-6 )

Remarque Il est bien évident que le calcul des réactions

d'appuis peut être obtenu par un raisonnement analogue, la re

lation liant les réactions d'appuis aux forces extérieures

s'écrit:

(1-7)

1.3.6. - Théorèmes énergétiques

L'importance des principes énergétiques utilisés

en théorie des structures est considérable. Ils sont à la base

des principales méthodes de calcul. Leur emploi en facilite la

représentation.

Les plus importants sont le principe des déplace

ments virtuels et le principe des forces virtuelles. En ce qui

concerne notre travail, c'est le dernier qui nous sert de base

pour développer la méthode des forces. Il constitue le fonde

ment du principe du minimum de l'énergie complémentaire, qui à

son tour est un moyen de formulation des équations de coœpatibi

lité des déplacements.

16.

1.3.6.1. - Travail complémentaire

Dans le cas de l'élasticité linéaire le travail

complémentaire d'une force appliquée Pi = kUi est égale à :

l-2 Pv u .

l. l.(1-8)

1.3.6.2. - Energie complémentaire de déformation

L'énergie complémentaire de déformation J~ est

égale

En substituant respectivement au vectecc, con-

trainte [u~ et au vecteur déformation {E}, le vecteur efforts

de poutre [Qn~ et le vecteur déformation [Dn},

on obtient le

long d'un élément de poutre n

or

il vient :

J~ == i {.Qn l"T {D n ~

tDn) == [Snl tQnJJ~ = i {Qn)T [sn] {Qn}

L'énergie complémentaire de déformation pour un ~lément de pou-

tre s'écrit: J1:: - 1 fa 1T

[sJ f o }z:l: - 2 "ri J n l-n

Et pour une structure de k éléments, l'énergie globale est la

somme des énergies de ces k éléments.

17.

1.3.6.3. - Théorème des forces virtuelles

La relation qui traduit le théorème des forces

virtuelles s'écrit:

dépendent du

ce cas

Supposons que les forces extérieures appliquées

~'potentiel complémentaire T tel que

<5Tx '= _ <5Tx

Le théorème des forces virtuelles s'écrit dans

ss x = <5 TX'

soit(1-10)

La variation s'applique aux forces de poutre.

La quantité E* = JX' est l'énergie potentielle

totale complémentaire. Puisque la variation de cette énergie

est nulle il est possible d'écrire : "parmi tous les champs

de contrainte statiquement admissible, celui qui satisfait aux

équations de éanpatibilité rend stationnaire l' énerg ie complé-

*"mentaire E •

1.3.6.4. - Matrice de souplesse

A partir de l'expression de l'énergie de déforma-

tion, il est possible de construire la matrice de souplesse

[~J d'un élément de poutre. Cette matrice n'est pas unique

pour un élément, elle dépend du choix opéré pour sélectionner

18.

les forces indépendantes.

Calculons l'énergie de déformation de l'effort

normal et celle de flexion. On néglige l'effet énergétique de

l'effort tranchant.

Pour un élément de poutre n de longueur a, le po-

tentiel de l'effort normal est (3).

Jn

l a= - J2 0

dx

et celui de flexion est

avec

Jn

M(x) = M ..1J

= l l,a M2

(x) dx'2 '0 EI

Mj i + Mi j xa [M .. :M.~= 1J: J 1

1

l - ~a

xa

l'énergie de déformation totale est:

l aJ = - f

n 2 0 {

N2ES

a0 NES 0

soit J = ~ [N M..Mj.iJ

a a M..0 3EI 6EIn 1J 1Ja a

M ..0 - 6EI 3EI J1

Et l'expression de la matrice de souplesse relative aux forces

de poutres [N ,Mi j , Mj .] est

19.

a0 0ES

[Sn]a a (1-11)= 0 3EI-6EI

a a0 6EI 3EI

1.3.7. - Application des théorèmes énergétiques àla méthode

des forces

Il est observé dans le paragraphe (1.3.2.) que

dans une structure hyperstatique, les équations d'équilibre

sont insuffisantes pour déterminer les inconnues hyperstatiques.

Il convient de les compléter d'un nombre d'équations égal au

nombre d'inconnues hyperstatiques.

c'est le principe du minimum de l'énergie complé-

mentaire qui va servir de base à la formulation de ces équations

supplémentaires. En effet, on écrit que les inconnues hypersta-

tiques minimisent l'énergie potentielle totale complémentaire.

Le processus à suivre est le suivant

1° - Développement de l'énergie complémentaire de déformation de

toute la structure.

2° - Formation du système d'équations linéaires pour le calcul

des inconnues hyperstatiques.

3° - Calcul des forces de poutre par la relation liant les for-

ces de poutre aux forces au noeuds.

4° - Calcul des déplacements sous les forces appliquées par ap

plication du deuxième théorème de Castigliano.

20.

1 0- Développement de l'énergie complémentaire de déformation

de toute la strUctUre

L'expression de l'énergie complémentaire de dé-

formation de toute la structure en fonction des forces de pou-

tre s'écrit:

1Q 1 =s

=.![IP IT~2 s 1

Or

alors J%s

J %s 1

= "2

On pose

Alors

[S ] =0

[ Sx.J =

[s J =P

J%s =

2 0- Calcul des inconnues hyperstatiques

Pour cela, nous écrivons que les inconnues hypers-

tatiques x. minimisent l'énergie potentielle totale complémen1

taire E%. Or dans l'expression de E%, le travail complémentai

%'re T ne dépend pas des inconnues hyperstatiques, cela re-

vient simplement à minimiser le terme J%.s

Soit

11

21.

àJX[S ] {P } + [s ] 1X}dX = a s x

ld'où l 1XI =-[Sxr1 [Sa] {.PsI U .13 )

3° - Calcul des forces de poutre

Le vecteur des forces de poutre s'obtient par la

relation (1-6)

4° - Calcul des déplacements sous les forces appliquées

Pour parvenir à la valeur stationnaire de E*,

nous considérons cette fois-ci les variations par rapport aux

forces extérieures appliquées.

Ecrivons que la variation de E* par rapport aux

forces appliquées est nulle

soit

àJ*8E*=dP~8Pi

1.~-------_._----"'I

1 ~Jx 1lOS 11 -u 11 ~- i 11 aPi 1'- 1

-bU. 8F. = 0 pour tout1. 1.

8P.1.

( 1-14)

22.

Cette relation traduit le deuxième théorème de

Castigliano. Le vecteur déplacement sous les forces est égal

à :

d'où

Remarque

t u , =s =[S]T{XI+[S){Plo p s

= [s ]T {X, + [S ] 1 P 1o p s (1-15 )

Pour calculer les déplacements aux noeuds où

n'agissent pas les forces appliquées, il suffit de placer en

ces points des forces unitaires dans la direction du déplace-

ment cherché.

1.3.8. - Méthodologie

Les différentes étapes de calcul sont les sui-

vantes

1° - Choisir un système isostatique de base et définir le vec-

teur Ixl des inconnues hyperstatiques.

2° - Déterminer les charges équivalentes et le vecteur Ip Js

des forces appliquées aux noeuds.

3° - Définir le vecteur des forces de poutre {Qs' = {Q }+IQ 1so . sx

23.

4° - Calculer les matrices des coefficients [Bo ] et [Bx ] tel-

les que

= [Bo]{Psl

= [B l{XIx

5° - Former la matrice de souplesse [ss]

6° - Calculer les expressions

[ ~], = [B lT [ s s] [ Bo]x

[ sxl = [B lT [s ][B ]x s x

7° - Résoudre le système linéaire [S ]IXI = -[S ] IP 1x 0 s

8° - Calculer le vecteur forces de poutre {Qs! = [ Ba: Bx 1 t~êJ

9° - Calculer les efforts réels tels que :

Efforts réels du=

Effort calculé du Action de la

noeud sur la poutre noeud sur la poutre poutre sur le

noeud bloqué

10° - Calculer les expressions

{Us o1 = [Bo] T [ss] [Bo] lPs \

{Usxl = [BoJT [Ss] [BxJ tX' )

11° - Calculer le vecteur déplacement t Us ~ tel que

fUs} = tUs o\ + rU \l. sx

24.

1.4. - METHODE DES FORCES AUTOMATIQUE------------------------------

1.4.1. - Introduction

L'analyse statique d'une structure par la méthode

des forces semi-automatique exige :

- la réalisation de la stabilité de la structure.

- la détermination du degré d'hyperstaticité

- le choix des inconnues hyperstatiques.

Cette démarche convient à des structures faible-

ment hyperstatiques. Elle s'avère longue et compliquée lors-

qu'il slagit de traiter des problèmes de grande dimension. Ces

difficultés qui ne sont pas d'ordre logique, se situent dans

l'analyse de la structure isostatique de base. En effet, opé-

rée manuellement, cette partie constitue une gêne en calcul

automatique. Tant que ce handicap n'est pas levé, le calcul

automatique dans la méthode des forces ne peut être que le pro-

longement du calcul manuel.

L'objet du présent paragraphe est de présenter

une formulation automatique de la méthode des forces. La mé-

thode que nous exposons à cet effet est une méthode de déter-

mination automatique du système isostatique et par conséquent

des inconnues hyperstatiques. Le calcul automatique a pour

objet d'effectuer toutes les opérations à partir des proprié-

25.

tés géométriques et élastiques de la structure.

Cette technique détermine non seulement le degré

d'hyperstaticité du système, mais isole aussi automatiquement

un groupe compatible d'efforts surabondants.

1.4.2. - Présentation de la méthode

La méthode des forces automatique (en anglais

The Rank Technique), présentée pour la première fois par J.

ROBINSON (5) a été mise au point pour conférer à la méthode

des forces"manuelle"un certain nombre d'automatismes nécessai

res au traitement sur ordinateur de la méthode des forces, en

particulier la génération et le traitement automatique des

équations d'équilibre nodales. Cette technique est surtout fon

dée sur une procédure algébrique (1).

Le jeu des trois équations d'équilibre en chaque

noeud permet d'écrire l'équilibre des forces internes et exter

nes dans les trois directions ox, oy et oz.

Ces équations sont soit compatibles soit incompa

tibles. Lorsqu'elles sont compatibles, elles peuvent être suf

fisantes ou insuffisantes pour la détermination des inconnues.

Dans le premier cas, la structure est statiquement déterminée

et dans le second elle est hyperstatique. Par contre, lorsque

les équations sont incompatibles, cela signifie que la struc

ture est instable pour un système de forces appliquées donnés (1).

26.

Pour déterminer si un système d'équations est

compatible ou incompatible, nous faisons appel au théorème

fondamental des équations linéaires, à savoir : "un système

d'équations linéaires est compatible si et seulement si la

matrice de coefficients et la matrice élargie ont le même rang",

le rang d'une matrice étant la dimension de la plus grande sous

matrice extraite de la matrice d'origine, dont le déterminant

est non nul (6).

Cependant, il n'est pas nécessaire de calculer

directement le rang de la matrice des coefficients. Il nous

suffit d'appliquer la procédure d'élimination de GAUSS-JORDAN

uniquement à la matrice élargie des équations d'équilibre (6).

Ce procédé, que nous avons déjà développé (7)

consiste à chercher en premier lieu le plus grand coefficient

en valeur absolue (pivot) sur la première ligne de la matrice

restante. Dans la seconde étape, tous les éléments de la pre-

mière ligne sont divisés par la valeur de cet élément. La troi-

sième étape consiste à réduire les autres lignes. Pour cela,

la première ligne est multipliée par le premier coefficient

de la deuxième ligne, le résultat obtenu est ensuite soustrait

de la deuxième ligne. Cette opération est répétée pour chaque

ligne.

Si le pivot est systématiquement choisi sur la

première colonne de la matrice restante, nous obtenons bien

la transformation de la matrice amplifiée, mais il n'y a pas

27.

sélection des inconnues hyperstatiques puisque l'ordre des

termes du vecteur des forces inconnues reste inchangé.

L'interprétation physique de cette technique est

la suivante : nous passons en revue tous les degrés de liberté

dans l'ordre où ils sont définis dans la structure et nous éli-

minons chaque fois la force qui contribue le plus à l'équilibre

de la structure.

Si à la fin de l'exploration de toutes les lignes,

le pivot a toujours été localisé dans la matrice restante cor-

respondant aux inconnues du problème, alors, la matrice élar-

gie et la matrice des coefficients ont le même rang, le système

est dit compatible. Si au contraire le pivot a été sélectionné

dans la partie de la matrice restante correspondant aux for-

ces appliquées, alors, la matrice élargie et la matrice de

coefficients n'ont pas le même rang, le système d'équations

est dit incompatible (5).

1.4.3. - Relations entre forces de poutre et forces aux noeuds.

N ..~J

i

T ..~J

a

T ..J~

j

M ..J~

N ..J~

x'•

Fig.1-2

~ ,y

Elément de poutre non chargé dans son systèmed'axes local.

28.

Considérons un élément de poutre rapporté à son

système d'axes local x'iy'. En l'absence des forces extérieu-

res, cet élément est en équilibre sous l'action des forces in-

térieures aux noeuds i et j.

est le vecteur desAu noeud i, le vecteur {p.~]l)J

actions du noeud i sur l'élément de poutre ij. L'indice' in-

dique qu'il est exprimé dans le repère x'y' lié à l'élément ij.

[~I,} =l.J

N. '1l.J

T. ,l.J

M. 'Jl.J

( 1-16)

De même en j

N, .Jl.

{p,'. }Jl.

T, ,Jl. (l-li)

M, .Jl.

Ecrivons l'équilibre de l'élément

+ N .. =: 0Jl.

+ T.. 0Jl.

dans la direction x N. ,l.J

dans la direction y T, ,l.J

équilibre des moments en j M .. + M .. - T .. x a 0l.J Jl. l.J

ces équations s'écrivent encore sous la forme:

N. , = N = N ..l.J Jl.M.. + M, .

T. , = l.J Jl. =l.J aT ..

Jl.

29.

Ce qui permet d'écrire les relations entre les

forces de poutre [N Mi j ML:}] et les forces aux noeuds

iN .. 1 0 0 N1)

en i lT

i j = 0 lia lia M..1)

M .. 0 1 0 M"Jl)J )1

soit sous forme condensée {p.'.} [v~J {OnJ1)

N .. 1 0 0 N1) -

en j T .. 0 -lia -lia M ..)1 = 1)

M .. 0 0 1 M ..)1 )1

(1-18 )

(1-19)

(1-20 )

soit sous forme condensée (1-21 )

Posons

1.4.3.2. - Système global d'axes

Les vecteurs [p~ .} et \P.'.. J. sont définis pour1J '- J1

chaque élément dans le système local de celui-ci, [Pi j} et

tPji} sont leur expression dans un repère oxy global.

Pour une rotation d'angle Cl' , le vecteur [p ij}

est lié au vecteur IP!.} par la relation:l 1)

tPij} = [p JT[PjiJ (1-22)

30.

où Cp] est la matrice des cosinus directeurs du changement

d'axes.

r P,'.}\. 1JAvec

alors

En posant

= [viJ {Qn}tPi j 1= [pJT [vin] {Qn 1[vin.1 = [p ]T [v{j

La relation entre les forces au noeud i et les forces de pou-

tre de l'élément n s'écrit alors

Par définition, la matrice [Vin] est la matrice

de transformation des forces de poutre de l'élément n en for-

ces au noeud i. Elle est la contribution du noeud i (relatif

à l'élément de poutre ij) à la construction de la matrice de

coefficients relative aux forces de poutre {On1

De même au noeud j on a

En posant

tP ij1 =

lPnlT

[VnJT =

[vnjJ tOnJ

[p i j1T: {PjJT ]

[vin] T : l VjnJ~ JLa relation entre les forces de poutre et les forces aux noeuds

i et j s'écrit:

Lorsque la poutre est soumise à des conditions

d'extrémités différentes, on obtient des expressions parti-

31.

culières de la matrice [Vli J (3).

1.4.4. - Construction des équations d'équilibre

1.4.4.1. - Equilibre d'un noeud

Considérons un noeud i de la structure et la pou-

tre ij Y aboutissant.

R.~ lX n

j

____ X

Fig- 1-3 Forces appliquées en un noeud i

En toute généralité, nous pouvons écrire que le

noeud i est soumis d'une part à des forces extérieures qui

comprennent (8), (9) _ Les forces appliquées représentées par

le vecteur tP i J 'p.

lX

P.lY (1-25 )

32.

Les réactions d'appuis ~Ri} tels que,

R.lX

R.lY 1-26 )

et d'autre part à des forces intérieures notées {PijJ

P ..lJX

= P ...lJY

M..lJ

(1-27)

Le noeud i doit être en équilibre sous l'action

de ce système de forces. L'équilibre du noeud écrit dans les

trois directions x, y et z donne :

or

alors

L t P i j } + tRi) = tPi}n

tP i j} = [Vin] {Qn}

L [Vin] {Qn3 + tRi} [pi1n

(1- 2 8 )

Afin de préserver l'homogénéité de la relation

(1-28), il convient de transformer les vecteurs tRi 1 et tPi1.

Nous savons que pour un noeud i soumis à trois

forces appliquées P. ,P. et C., et à trois réactions d'appuis.1X lY 1

R. , R. et R. , nous pouvons écrirelX lY lZ

et

tPi1 = [I 3J tpd{Ri} = [I3J tRi}

33.

[I 3J est une matrice unité d'ordre 3.

Lorsque certaines composantes des vecteurs [Pi}

ou tRi} sont absentes, par exemple P i x = 0 et Riz = 0, nous

introduisons à la place de la matrice unité [I3J, deux matri

ces booléennes quelconques que nous notons [Np i] et [Nr i].

Nous pouvons donc écrire d'une façon générale

les relations (1-29a) et (1-29b) sous la forme :

où

tPiJ

tRi ~

[NpiJ et [NrJ

(1-30a)

(1-30b)

sont les matrices de coefficients booléens.

Compte tenu de ces adaptations, l'expression

(1-32) devient

Cette relation représente le système d'équations

d'équilibre au noeud i entre les forces de poutre, les réac-

tions d'appuis et les forces appliquées.

1.4.4.2. - Equilibre d'une structure

Si la structure possède p éléments de poutre, n

noeuds, r réactions d'appuis et c charges appliquées (10),

(8) Parmi les p poutres :

34.

Pl sont liées rigidement aux noeuds

P2 sont articulées à une extrémité

P3 sont articulées aux deux extrémités

Le nombre de forces intérieures inconnues est égal à

3PI dans le premier cas

2P2 dans le second

P3 dans le troisième cas

Soit au total (3PI + 2P2 + P 3) forces intérieures inconnues.

Parmi les n noeuds

nI sont rigides

n 2 sont articulées

Le nombre d'équations d'équilibre nodales est égal

à

3n1 dans le premier cas

2n2 dans le deuxième

équations d'équilibre nodales.

Ainsi la relation (1-31) écrite en chacun des n

noeuds de la structure permet d'établir un système de (3nl + n 2)

équations à

Soient

(3P1 + 2P2 + P3 + r) inconnues.

le vecteur des forces de poutre de la structure

35.

R 1

Le vecteur des réactions d'appuis de la structure

Rr

P -i

Le vecteur des forces appliquées aux noeuds

Pc

L'équilibre des noeuds de la structure se traduit par

N

(1-32)

Il faut considérer [vikJ = [oJ si le noeud i n'est pas lié à

l'élément k.

Sous forme condensée cette relation devient

(1-33)

1.4.5. - Etude de l'équilibre d'une structure

A partir du système d'équations d'équilibre d'une

structure, il est possible de déterminer si la structure est

stable ou instable.

36.

Le système d'équations (1-33) peut encore se met-

tre sous la forme

[ NO NRJ [-~~=rp] [ps l ( 1-34)

Posons n = 3n1 + 2n2e

n i nc = 3P1 + 2P2 + P3 + r

n = N. - nx lnc e

l'expression (1-34) est un système de n 2 équations à n i nc in-

connues.

Trois cas sont envisageables

1 0- n. < n Il y a plus d'équations que d'inconnues. Le syslnc e

tème d'équations d'équilibre n'admet aucune so-

lution. La structure ne peut rester stable sous

les charges qui lui sont appliquées. Toutefois

si nx équations sont compatibles avec le systè

me des n équations d'équilibre, le système ade

met une solution unique qui est solution du sys-

tème des n équations d'équilibre.e

2 0- n = ninc e

c'est le cas des structures isostatiques. Le sys-

tème a une solution unique, sa résolution s'effec

tue en inversant la matrice [NQ

i NRJ. Cette opé

ration n'est possible que dans le cas oü le dé

terminant de la matrice [NO: NRJ est différent

37.

de zéro. ~inon la structure est un mécanisme (cas

précédent) .

3 0- n. > nelnc Nous sommes en présence d'une structure hypersta-

tique. Un tel système d'équations linéaires admet

une infinité de solutions d'ordre nx.

Algébriquement, il y a un nombre limité de solu-

tians linéairement indépendantes. Si nous nous

fixons arbitrairement n inconnues, le système desx

n équations restantes est résolvable. Ce derniere

système admet une solution unique en fonction

des n inconnues fixées et considérées comme parax

mètres.

1.4.6. - Equations "canoniques" de la méthode des forces automa

tique

Ces équations sont formées à partir du système

d'équations d'équilibre nodales (1-34).

En effet, en toute généralité nous pouvons symbo-

liquement considérer le vecteur des forces intérieures inconnues

~Qs} Conune la composition de deux vecteurs, à savoir:

38.

le vecteur des forces intérieures isostatiques que nous notons

(Oo} , et le vecteur des forces intérieuress hyperstatiques dési

gné par [Qx} (8), ( 9) •

Soit ( 1-35)

De même, nous distinguons le vecteur des réactions

d'appuis isostatiques tRo} du vecteur des réactions d'appuis

hyperstatiques tRx).

Soit (1-36)

Dans ce cas, la matrice des coefficients [NO]

relative aux forces intérieures inconnues se trouve divisée

en deux parties : la première partie [NQoJ est relative aux

forces intérieures isostatiques et la seconde [NQx]

correspond

aux forces inté~ieures hyperstatiques.

Soit[NQ J = [ NQo !NQ X ] (1-37 )

De la même manière la matrice des coefficients

[NRJ prend la forme

[ N~ ] [N NQx ] (1-38)Qo

Dans le but de simplifier l'écriture, représen

tons par tIo} le vecteur de toutes les forces inconnues du sys

tème isostatique, et par tX} le vecteur de toutes les forces

inconnues du système hyperstatique.

39.

( 1-39 )

De la même façon nous regroupons dans une matrice

les coefficients correspondant au système isostatique, et ceux

relatifs au système hyperstatique dans une autre matrice.

Soit [NO] = [NOO: NROJ[ Nx ] = [NOXi NRXJ

( 1-40a )

( 1-40b )

Compte tenu de ces modifications, le système dré-

quations dréquilibre devient:

°0°x

[ Noo:NOx ;NRo : NRx J Ro

= [NpJtp s1~x

( 1-41 )

[N 1 NR, 1 K - 1 N ]00 ~ Q. : Qx : Rx

( 1-42 )

ou encore ( 1-43 )

Résolvons drabord ce système par rapport aux incon

nues isostatiques tlo). Il vient:

40.

Formons à présent le vecteur des inconnues (isos-

tatiques et hyperstatiques)

1-45 )

Ce système d'équations constitue les équations

"canoniques" de la méthode des forces automatique.

La détermination des deux matrices

et

pour le calcul des inconnues de la structure est l'étape envisa~

gée dans le paragraphe suivant.

1.4.7. -Application de l'algorit~e de Gauss-Jordan à la

matrice élargie des équations d'équilibre

La résolution du système (1-45) n'est pas immé-

diate. Pour parvenir à notre but, nous allons appliquer l'al-

gorithme de Gauss-Jordan à la matrice d'équilibre élargie

N 1R:

Concrètement, le problème est d'arriver à obtenir

le meilleur système isostatique de base, et par conséquent

41.

à isoler un groupe compatible de n inconnues. A la fin de lax

procédure, il faut"identifier les quatre matrices de eoeffi-

cients d'influence définies au paragraphe 1-3, à savoir [BoJ,

Comme nous l'avons déjà développé (7), le procé-

dé d'élimination de GAUSS-JORDAN consiste à effectuer sur la

matrice amplifiée un certain nombre de transformations égal

au nombre d'équations d'équilibre nodales de façon à obtenir

à la fin de l'opération une matrice de la forme.

A chaque sous-matrice correspond un vecteur. Ainsi,

aux matrices [ In -J' [A} [-EJ correspondent respectivemente

les vecteurs tVll, ~V2\' tV31. Ces vecteurs ne sont autres que

les vecteurs lIo}' LXJ et ~psJ définis au paragraphe 1.3.6.

Où

(re x n~ .

[In e]

est une matrice unité d'ordre ne.

[AJ est une matrice rectangulaire de dimensions

Chaque colonne de la matrice représente les ef-

forts dans les éléments de la structure isostatique sous l'ac-

tion des forces hyperstatiques sélectionnées Xi = 1. Ces ef

forts sont disposés dans un ordre quelconque à cause de la

recherche du pivot.

42.

[BJ est une matrice rectangulaire de dimensions

(ri x ml. m étant le nombre de forces extérieures appliquées.e

Chaque colonne représente les efforts dans les

éléments de la structure isostatique sous l'action des for-

ces appliquées P. = 1. Pour des raisons déjà observées, ces1

forces sont placées dans un ordre quelconque.

Il est néanmoins nécessaire d'avoir les efforts

dans les éléments de la structure toute entière, c'est-à-dire,

les efforts de la structure isostatique que nous avons déjà

et les efforts de la structure hyperstatique dont nous de-

vons tenïr compte. Il convient donc à cet effet de rajouter

aux matrices [A] et [B] les coefficients complémentaires cor-

respondant aux efforts dans les éléments de la structure hy-

perstatïque.

Les matrices [A] et [B] deviennent alors

et

où [c] est une matrice carrée de dimensions (nx

* n ). Chax

que colonne représente les efforts de la structure hY~~3ta

tique sous l'action des forces hyperstatiques retenues Xi = 1.

Il faut noter que la matrice [c] ne peut être dans

ce cas qu'une matrice unité d'ordre nx.

43.

Nous posons

[ 0] est également une matrice rectangulaire de dimension

(n ~ m). Chaque colonne représente les efforts dans les éléx

ments de la structure hyperstatique sous l'action des forces

appliquées Pi = 1

Or, il n'y a pas de forces appliquées dans la

structure hyperstatique. Par conséquent, il n'y a pas d'ef

forts dans les éléments. Doric , la matrice [OJ est nulle.

Finalement nous avons

[OJ=[oJSoit

Ces deux matrices ont respectivement pour dimen-

A ce stade, il est facile de s'apercevoir que les

matrices CA] et [No] -1 [Nx] d'une part, les matrices [B ] et

[NoJ-1 [ Np] d'autre part sont équivalentes.

Nous pouvons dès lors établir les égalités

(1-4Ga)

44.

( 1-4Gb)

Après application de la procédure d'élimination

de GAUSS-JORDAN à la matrice amplifiée [NO i NF. i Np1, nous

avons bien déterminé les vecteurs {loS et lX} définissant

respectivement les inconnues isostatiques et les inconnues

hyperstatiques. La résolution du système (1-45) apparaît im-

médiate.

Il faut noter que lors de l'élimination de Gauss

Jordan la matrice amplifiée [NQ : NR i Np] a subi des transfor

mations. Au cours de chaque transformation, les colonnes de la

matrice ont été interverties. Cette opération entraîne à son

tour un certain "désordre" au niveau des efforts. En vue de

mettre en évidence chaque type d'inconnues (forces intérieures

et réactions d'appuis), il convient de remettre les lignes

correspondant à ces colonnes à leur place.

Nous avons les transformations suivantes

r°0 o0

l-:~R l~:] °x0 se transforme =

R

°xen 0

RR x

x

-1

~NoJ .[N~~---------

[ 0J se transforme en

45.

Le système d'équations "canoniques" (1-50) devient

+

Il est évident que en comparant ces deux expres-

ou encore :

iQs} = [Jo] [Ps}+ [Jx] Ix}

{Rs ) = [Ko ] Ip s } + [KxJ tXJ

sions avec les expressions (1-6) et (1-7).

et

(1-48)

par identification des termes nous obtenons les matrices cher-

chées.

[BOJ = [Jo] et [Bx ]::: [Jx ]

(1-50)

[ AoJ:::

[Ko] et [Ax]:::

[Kx]

1.4.8. - Méthodologie

La marche à suivre pour calculer une structure-

par la méthode des forces automatique est la suivante :

46.

1° - Construire les équations d'équilibre nodales de la struc-

ture.

2° - Former la matrice amplifiée des équations d'équilibre.

3° - Déterminer les matrices de coefficients [Bo]' [Bx]' [AoJ,

rA lJ' en appliquant l'algorithme de Gauss-Jordan à la matriceL x

amplifiée.

Une fois ces matrices déterminées, poursuivre les

calculs comme dans la méthode des forces semi-automatique .

1.5. - CONCLUSION

Tous les aspects de la méthode des forces ont été

abordés. En particulier, il a été montré que l'application de

la méthode des forces ne comportant pas une sélection automa-

tique des inconnues hyperstatiques est presque impraticable

pour le calcul des structures de configurations diverses.

Les adaptations apportées à la méthode des forces

semi-automatique nous ont conduit à mettre au point un program-

me général de calcul automatique permettant d'étudier des sys-

tèmes fortement hyperstatiques. Sa version actuelle fournit

des résultats intéressants.

47.

Si la sélection automatique des inconnues hypers

tatiques constitue une étape décisive dans l'analyse élasti

que des structures par la méthode des forces, elle est en

outre le point de départ du calcul de la charge limite et

du dimensionnement optimal par la méthode statique.

48.

------------------------------------------------------- - - - - - - - - - - - - - - - - - ~1 1

: CHAPITRE 2. : APPLICATION DE LA METHODE DES FORCES A L'ANALYSE LIMITE:1 1f------------------------------------ l

49.

2.1. - INTRODUCTION

Jusqu'au début de ce siècle, les recherches théori

ques et expérimentales sur la résolution des problèmes de struc

tures portaient principalement sur la théorie de l'élasticité,

c'est-à-dire sur l'assimilation du matériau à un corps naturel

élastique. Ces recherches ont atteint un haut niveau de perfec-

tionnement.

Dès la fin de la Première Guerre Mondiale, un inté-

rêt particulier est porté à la plasticité pour la raison suivan-

te : les structures rencontrées en Génie-civil et en mécanique

présentent une résistance plastique au-delà de la limite élas

tique. L'image idéalisée des matériaux est alors le comportement

élasto-plastique parfait. Cette nouvelle doctrine montre que le

modèle élastique est simpliste voire insuffisant dans l'analyse

des structures et a conduit les projetteurs à une déviation du

concept de sécurité.

Depuis, les recherches sur le comportement des ma

tériaux en régime plastique ont atteint leur maturité. Les ré

sultats de ces réflexions ont permis la mise au point des métho

des de calcul en plasticité (11).

Nous pouvons donc affirmer qu'il existe mainte-

50.

nant deux possibilités dans le calcul des structures : le cal

cul en contrainte admissible et le calcul en plasticité. Il faut

remarquer toutefois que l'avènement du calcul plastique ne signi

fie pas abandon total du calcul élastique car tous les pays

qui disposent actuellement d'un règlement de calcul élastique

continuent d'appliquer dans certains cas leurs anciennes métho

des de calcul élastique.

Ces deux méthodes diffèrent essentiellement par

leurs principes de base. En effet dans le calcul élastique, un

état limite admissible est un état pour lequel, sous les char

ges pondérées, un point de la structure atteint la contrainte

admissible. Dans le calcul plastique, un état limite admissible

est un état pour lequel sous les charges pondérées multipliées

par un certain coefficient de sécurité donné, la structure at

teint la ruine, c'est-à-dire devient hors d'usage. Les deux

méthodes reposent donc sur des principes différents; lorsqu'un

point de la structure atteint sa contrainte admissible la struc

ture n'est pas, en général, hors d'usage: elle peut supporter

des charges supplémentaires. La ruine est atteinte lorsqu'un

des phénomènes suivants se produit :

- perte d'équilibre de la structure

- transformation de tout ou d'une partie de la structure en un

mécanismej

- instabilité de formej

- rupture d'un élément;

déformations plastiques excessives j

51.

Nous orientons spécialement notre travail vers

l'analyse limite c'est-à-dire la partie de la théorie de la

plasticité qui donne les méthodes de calcul de la charge limite

ou charge d'effondrement et du dimensionnement limite. Dans ce

nouveau mode de calcul, il existe deux méthodes fondamentales :

la méthode incrémentale ou pas à pas et les méthodes aux états

ultimes. Ces dernières font appel aux deux théorèmes fondamen

taux en plasticité : le théorème cinématique et le théorème

statique. Le premier porte sur l'ensemble des mécanismes de

ruine cinématiquement admissibles, l'autre sur l'ensemble des

distributions des moments statiquement admissibles.

Dans ces deux méthodes, la méthode incrémentale se

rapproche plus des méthodes traditionnelles de calcul élastique.

En effet, elle permet de déterminer la charge de ruine en sui

vant l'histoire du chargement. En d'autres termes, on se fixe

le trajet de la charge de la valeur zéro à une valeur corres

pondant à l'état de ruine. Les efforts et les déplacements sont

alors connus à chaque instant. Cette méthode se révèle d'un

emploi peu aisé dans le cas d'un traitement manuel. Elle est

par contre três pratique pour une résolution automatique. Un

programme a été développé au C.T.l.C.M. à partir de cette tech

nique (12).

Les méthodes cinématique et statique sont très vi

te limitées pour les applications manuelles lorsqu'il s'agit

de traiter des structures complexes. La possibilité de résou

dre les problèmes d'Analyse et de Dimensionnement limite par

52.

la programmation linéaire a tourné en partie la difficulté. La

recherche automatique d'un système complet de mécanisme indé-

pendant dans le cas de la méthode cinématique (13) a rendu cel-

le-ci entièrement automatique.

Il a fallu attendre l'introduction de la sélection

automatique des inconnues hyperstatiques dans la méthode des

forces pour que la foemulation statique du problème devienne

complètement automatique. Il est désormais possible d'étudier

l'évolution élastoplastique d'une structure depuis le régime

élastique jusqu'à l'état de ruine à l'aide d'une méthode géné-

raIe de type "force". C'est cette dernière approche que nous

nous proposons de traiter dans ce chapitre. Nous développons

surtout, par le biais du théorème statique, les divees aspects

de la détermination de la charge limite et du dimensionnement

limite.

~.2. - CALCUL DE LA CHARGE LIMITE PAR LA METHODE STATIQUE

2.2.1. - Domaine_d'étude du calcul de la charge limite - défi-

nitions

La théorie du calcul de la charge limite est vala-

ble sous les hypothèses suivantes

1 0- Chaque élément de la structure possède un moment fléchis-

sant maximum, le moment plastique M . Il correspond à lap

plastification de sa section droite ;

53.

2° - La valeur de l'effort normal, de l'effort tranchant et

l'effet des surtensions locales dues à une charge concen-

trée appliquée dans une section n'influent pas sur la valeur

du moment plastique d'un élément;

3° - Le matériau a un comportement ductile, c'est-à-dire qu'il

n'e~ ~ pas menacé d'une rupture fragile ou par fatique ;

4° - Au voisinage des sections oa M = M , il se forme à causep

de la ductilité du métal, des zones à forte courbure qu'on

peut supposer concentrées dans une section (rotule plasti-

que)

5° - Malgré les importantes déformations plastiques localisées,

la structure ne manifeste aucun phénomène d'instabilité

avant que la rotule ccmplètant le mécanisme articulé ne

se for~e ;

6° - Au moment où la dernière rotule apparaît, les déformations

sont encore acceptables, c'est-~-dire assez faibles pour

ne pas modifier le jeu des forces dans la structure

7° - Les charges appliquées à la structure sont supposées toutes

grandir proprotionn~llement

8° - Les assemblages de la structure sont capables de transmet-

tre le plein moment plastique ;

9° - Le principe de superposition des effets des forces n'est

plus applicable car le système n'obéit plus à la loi de

Hooke.

54.

Les dispositions constructives à adopter en vue

de satisfaire ces hypothèses de calcul ainsi que toutes les

notions de base de la théorie de la plasticité ne sont pas abor

dées dans le cadre de notre étude (14), (15), (16), (17), (18) •

Il n'est pas exagéré d'affirmer que la théorie sur

le comportement plastique des matériaux est en partie élucidée

et défrichée. Elle est maintenant bien connue des spécialistes.

Nous rappelons cependant brièvement les notions de sections po

tentiellement critiques, de rotules plastiques et de mécanismes

de ruine.

- Sections potentiellement critiques : ce sont les sections

susceptibles de se déformer lors de l'effondrement de la struc

ture. Elles se situent :

- aux points d'application des charges concentrées

- aux extrémités des barres

- aux points encastrés ;

- aux points où le moment peut présenter un extremum

en pleine barre dans le cas des barres chargées de forces

uniformément réparties.

- Dans les structures pour lesquelles on peut admettre que le

seul effort interne déterminant au point de vue de la plastifica

tïon est le moment fléchissant, la plastification d'une section

entraîne la formation d'une rotule plastique. Cette section se

comporte comme si elle était articulée, la rotule oppose cepen

dant à la rotation un moment résistant constant M •P

55.

On appelle mécanisme de ruine une disposition de

sections dans lesquelles le moment est égal au moment plastique

Mp.

Nous pouvons également le définir comme un système de dé

placements compatibles entre eux. Le nombre de mécanismes pos-

sibles dans une structure est infini. Si nous nous fixons un

nombre de sections potentiellement critiques, ce nombre est fini.

2.2.2. - Formulation du problème

D'une façon générale, le problème de recherche de

la charge limite est un problème de vérification. Il est formu-

lé de la façon suivante : "une structure supporte un système

de charges appliquées [p j } et un ensemble de forces internes

en équilibre avec ces charges c'est-à-dire statiquement admissi-

ble i trouver un coefficient À tel que le système de chargesr

extérieures À J. P j J provoque l'effondrement de la structure".

Le multiplicateur~est appelé le facteur de charge de ruine.

Pour la résolution de ce problème, nous connaissons

- les caractéristiques géométriques et élastiques de la struc-

ture i

- les moments plastiques des éléments de la structure i

le système de forces extérieureS pondérées •.

Nous sommes conduits à déterminer

- le facteur de charge de ruine À ri

56.

_ la valeur des inconnues hyperstatiques à la ruine

- le diagramme des moments à la ruine.

2.2.3. - Théorème statique

Dans la théorie de la plasticité, comme dans celle

de l'élasticité, les théorèmes généraux ont une grande impor-

tance. Ils constituent le fondement des principales méthodes

de calcul.

Comme nous l'avons déjà remarqué dans l'introduc-

tion, les plus importants en calcul plastique sont le théorème

statique et le théorème cinématique. Nous nous basons sur le

premier pour calculer la charge de ruine d'une structure.

Pour clarifier le problème, considérons une struc-

ture soumise à un système de forces extérieures {Pj}. La ruine

plastique est obtenue pour la valeur de la charge Àr{P j}.

Le théorème statique permet de déterminer la va-

leur du facteur de charge As . Il s'énonce "si pour un charge-

ment Às{PjJ, il est possible de trouver une distribution d'ef-

forts internes en équilibre avec les forces extérieures, donc

statiquement admissibles et respectant le critère de plasticité,

donc plastiquement admissibles", alors

( 2-1)

57.

En théorie des poutres, cela signifie que les

efforts normaux, tranchants et les moments de flexion doivent

être en équilibre statique avec les forces extérieures et que le

moment de flexion M vérifie la condition IMI ( Mp•

Notons que la distribution licite d'efforts inter-

nes ne satisfait pas nécessairement les conditions de mécanis-

me dont dépend le théorème cinématique. Si toutefois il en était

ainsi, la seule valeur du multiplicateur de charge qui correspond

simultanément à des efforts internes Statiquement et Plastique-

ment Admissibles et à un mécanisme Cinématiquement Admissible

est la valeur limite réelle. En d'autres termes, si nous appli-

quons successivement les deux théorèmes statique et cinématique

à une même structure et que nous obtenons à la fin À =À (Àc s c

étant le facteur de charge calculé à partir des conditions ci-

nématiques) alors À = À = À •r c s

En conséquence, l'application du théorème stati-

que au calcul des structures va dans le sens de la sécurité,

car le facteur de charge calculé sur la base du respect des

conditions d'équilibre et des conditions de plasticité en tous

points de la structure est inférieur ou au mieux égal au fac-

teur réel de ruine. Cela signifie que la structure est en mesu-

re de résister à une charge supérieure ou, à la rigueur, égale

à celle pour laquelle elle a été calculée.

58.

2.2.4. - Méthode statique

Dans l'approche statique de détermination de la

charge de ruine, nous distinguons deux méthodes de base : la

méthode semi-graph~que et la méthode directe. Elles peuvent

être formulées aussi bien manuellement qu'automatiquement.

2.2.4.1. - Application manuelle de la méthode

semi-graphique

Le processus à suivre est le suivant

1° - Déterminer le degré d'hyperstaticité h de la structure et

définir les s sections potentiellement critiques.

2° - Transformer la structure hyperstatique en une structure

isostatique associée .

3° - Déterminer sur cette structure isostatique associée, le

diagramme des moments fléchissants da aux forces extérieu-

res.

5° - Additionner les deux diagrammes de moments fléchissants

obtenus précédemment pour obtenir le diagramme des moments

réels dans la structure.

6° - Faire l'hypothèse d'un certain nombre de rotules plastiques

(h + 1) aux sections potentiellement critiques et calculer

la charge de ruine sur la base du mécanisme de ruine ainsi

choisi. Cela revient à écrire que dans les sections poten-

tentiellement.critiques, 1~LI = M i = 1,5.l P

59.

7° - Vérifier par résolution graphique qu'en aucun point de

la structure la valeur des moments fléchissants M ne dé

passe la valeur du moment plastique Mp• Cette condition

se traduit mathématiquement par IMI ( Mp•

Cette méthode, simple dans sa logique, est pour

tant limitée dans ses applications. Il y a deux raisons à

cela : la première est liée à la structure isostatique de base

qui doit être obtenue manuellement. Nous avons évoqué à plu

sieurs reprises dans le premier chapitre cette "entorse" faite

à la méthode des forces. Le remède qui a été apporté est la

sélection automatique des inconnues hyperstatiques. La seconde

raison se situe au niveau du mode de ruine. En effet, la métho

de semi-graphique convient mieux à des structures dont la rui

ne est complète. La représentation du diagramme des m@ments

fléchissants correspondants est ensuite facile. Par contre, le

tracé du diagramme des moments fléchissants à la ruine dans une

structure dont le mode de ruine est partiel ou surabondant

n'est pas évident. Le premier mode de ruine correspond à un

système mis hors service par la ruine plastique d'une partie du

système. Il se forme dans ce cas un nombre de rotules plasti

ques inférieur à h + 1. Le second se produit lorsque la mise

hors service entraine la formation à la ruine de plus de h+1

rotules.

2.2.4.2. - Méthode pseudo-statique

Cette méthode est une formulation analytique de

60.

la méthode semi-graphique.

Considérons une structure de degré hyperstatique h

nées toutes variant proportionnellement.

Exprimons le moment de flexion dans les sections

(i = i , 2, ••• , s) (2 - 2 )X.J

pour X. = 1.J

h

+ .LJ

appliquées. Ce moment est proportionnel au facteur

hyperstatique Xj

moment isostatique dans la section i dU aux charges

de charge .il.

M~ moment isostatique dans la section i dU à l'inconnue

M~1

appliquées et des inconnues hyperstatiques Xj considérés d'ail

leurs comme des forces extérieures. Dans une section i de la

potentiellement critiques en fonction des forces extérieures

structure, il se met sous la forme :

avec

dans laquelle nous définissons s sections potentiellement criti

ques. Elle est soumise à un système de charges extérieures don-

Choisissons un mécanisme de ruine qui possède des

rotules plastiques dans ( h + 1) sections. Cela revient à im-

poser la plastification de (h + 1) sections. Ce qui s'écrit

mathématiquement

M. = + M . (j = 1,2, ••• , h + 1)J PJ

2-3

61.

Si nous remplaçons M. par sa valeur dans la relation (2-2),J

nous obtenons un système d'équations linéaires

hM~ + L M~ x. =

1 j=l 1 J+ M .

PJ

dont les inconnues sont Xl' X2, aaa, Xh et À.

la méthode

te :

Pour déterminer le facteur de charge à l'aide de

pseudo-statique, nous opérons de la façon suivan-

Choisir dans un premier temps les signes + ou - des moments

plastiques tel que le diagramme des moments à la ruine soit

plastiquement admissible, c'est-à-dire que le moment de fle-

xion IMjl ne dépasse nulle part le moment plastique Mp j de

la barre correspondante ;

- Résoudre ensuite le système d'équations linéaires (2-4). Après

résolution nous obtenons les inconnues hyperstatiques X. etJ

le facteur de charge À ;

- Calculer au cours de cette étape les efforts réels dans les

sections à l'aide des formules (2-2) ;

.... Vérifier ensuite que le diagramme des moments est plastique-

ment admissible. Si la condition de plasticité est violée en

certaines sections, il suffit d'un ajustement de la position

des rotules plastiques. Pour cela, il faut introduire des

rotules dans ces sections et supprimer celles imposées dès

62.

le départ, puis recommencer la procédure.

Il faut remarquer qu'à chaque étape de calcul,

nous obtenons une valeur de À qui constitue une borne supérieu-

re de là charge de ruine. Cette méthode apparaît dans ce cas

comme une forme déguisée de la méthode cinématique.

Enfin, lorsque le diagramme des moments est rendu

plastiquement admissible, la solution correcte du problème est

obtenue.

Nous venons de développer une méthode statique as

sez incommode à employer dans le cas des grandes structures.

Bien qu'elle soit partiellement automatique, cette méthode exi-

ge nénamoins une certaine habileté. Ainsi, trouver une méthode

conduisant systématiquement à la bonne solution devient une

nécessité. C'est le but que nous visons dans le paragraphe qui

suit.

2.2.4.3. - Réduction de la méthode statique en un

programme linéaire

Notre ambition ici n'est pas de faire une étude

détaillée et approfondie de la programmation linéaire. Notre

but est de résoudre les problèmes de l'analyse limite par voie

statique en utilisant l'analogie qui existe entre les théorèmes·

généraux de l'analyse limite et la programmation linéaire. Ainsi,

au lieu de programmer directement les équations du type (2-4),

64.

voie statique est le suivant

- Maximiser À

- avec les contraintes

hjMiÀ + L x.( M ( 2-6)M.

j=1 1 J pi

MP.A fM~ X. c M- - pi1 j=1 1 J

Transposons ce problème sur un tableau "Simplexe".

Pour cela, nous transformons la formulation ci-dessus en utili-

sant des variables auxiliaires :

soit

= M . + M1. ) 0

p1

= M . - M.p1 1

) o( 2-7)

L'énoncé du problème (2-6) devient

Maximiser À

avec les contraintesh

Y21-1 = M=l.\ ~ M~ X. + Mp i) 0

1 J=1 1 J

r-fl.~ tM~ (2-10 )Y2 i = + X. + Mpi) D1 j=1 1 J

Cette dernière formulation nous permet de former

un premier tableau "Simplexe" avec (h + 1) variables (les in-

connues hyperstatiques X. et la fonction À à maximiser). CeJ

tableau comporte 2.:; lignes et ( h + 1) colonnes. Soit [ T ] ce

tableau.

Posons À = Xo

X. = Z.J J

65.

( j = 0, 1, ••• , h+1) (2-j i )

Le tableau final "Simplexe" prend Lacforme

[T 1- TJ. Il porte sur les 2(h + 1) variables Zj' la fonction

à maximiser se réduit toujours à la seule variable À.

2.2. - Conclusion

Le calcul de la charge de ruine par la méthode

statique n'a d'intérêt que par les techniques modernes de ré-

solution qu'elle utilise à savoir la sélection automatique des

inconnues hyperstatiques et la programmation linéaire. Grâce

à ces nouvelles adaptations, la méthode statique connaît un

regain de faveur vis-à-vis de la méthode cinématique.

Les informations que cette approche nous fournit

sont intéressantes. Ce sont : le facteur de charges À, les

inconnues hyperstatiques Xj, les sections plastifiées et par

conséquent le diagramme des moments à la ruine, même lorsaue

le mode ruine est partiel. Il est d'ailleurs facile de répérer

ce dernier car le nombre de rotules plastiques est inférieur à

(h + 1), une partie de la structure restant par conséquent hy

perstatique. Par une méthode classique de la résistance des

matériaux nous pouvons lever l'hyperstaticité et compléter le

diagramme des moments à la ruine.

66.

2.3. - DIMENSIONNEMENT LIMITE----------------------

2.3.1. - Formulation du problème

Nous nous sommes proposés dans ce deuxième chapi-

tre de traiter deux des grands problèmes de la théorie de la

plasticité : le calcul de la charge limite et le dimensionne-

ment limite. Dans la première partie, nous avons développé une

méthode de recherche de la charge limite ; la méthode statique.

Dans le présent paragraphe, nous exposons la doctrine du dimen-

sionnement limite basé sur les mêmes hypothèses de calcul que

celles de l'analyse limite.

Le premier problème est un problème de vérifica-

tion tandis que le second concerne le dimensionnement. Si le

premier concept est complet dans sa forme, le deuxième doit

être basé sur un code de construction (11) qui considère comme

état limite de résistance la formation d'un mécanisme de ruine.

c'est ce code établi par la Convention Européenne de la Cons-

truction Métallique qui prescrit les règles générales garantis-

sant une sécurité suffisante.

Le problème de dimensionnement limite se pose de

la façon suivante :

- la structure est connue par :

• ses caractéristiques géométriques

67.

• les charges réelles pondérées appliquées. Les charges de

calcul sont ces charges pondérées multipliées par un coef-

ficient de sécurité donné

- Il s'agit de déterminer:

• la valeur de la fonction à optimaliser

• La valeur à donner aux moments de plastification des pou-

tres ce qui revient à choisir les poutres dans la gamme

des profilés disponibles. Par mesure de sécurité, il con-

vient de choisir pour chaque barre le profilé dont le mo-

ment plastique est immédiatement supérieur à celui calculé.

Après cette opération, il est indispensable de

procéder à un calcul d'analyse limite pour vérifier la structu-

re ainsi dimensionnée vis-à-vis de la sécurité.

2 ..3 .. 2. ~ Détertnin'ation de la' . fonction à optimaliser

Il. s'agit de trouver une fonction économique li-

néaire optimalisant le coût de la structure. Comme le coût d'une

structure est sensiblement proportionnel à son poids, le cri-

tère adopté pour réaliser la structure de moindre coût est le

poids de celle-ci (16), (17), (19).

On posem

C = L 11_ 'Mpkk=l K( 2-12)

oil m est le nombre de poutrep de la structure. La fonction ob

jective C s'appelle la fonction de poids.

68.

Le problème du dimensionnement limite réalisant

le poids minimum peut donc être défini comme suit : déterminer

les sections d'une structure de dimensions générales données,

devant résister à des charges limites données, et telle que

sa fonction de poids soit minimale.

Le problême est de chercher quelles valeurs il

faut donner aux moments plastiques Mp k

(k = l, 2, .•• , m) pour

que la fonction de poids C soit minimale sous les charges de

ruine. Nous pouvons encore restreindre cette formulation. En

effet, si nous choisissons un moment plastique de référence Mp

d'une poutre k, le moment plastique d'une poutre quelconque j

différente de k de la structure peut se mettre sous la forme

M . = a. M oü a. est une constante donnée de chaque barre J'.PJ J P J .

Le problème se réduit donc à la détermination du seul moment

Mp• Il faut remarquer que cette dernière façon de formuler le

problème de dimensionnement est. équivalente au problème de dé-

termination de la charge limite.

2.3.3. -- Dimensionnementlimite par la progranunationlinéaire

Pour la résolution du problême de dimensionnement

limite il existe deux approches: l'approche cinématique et

l'approche statique. Comme dans le calcul de la charge limite,

il est possible d'assimiler ce problême à un programme linéaire

en adoptant comme fonction économique la fonction de poids don

née par la formule (2-12) et comme contraintes les équations

d'équilibre transformées en inéquations.

69.

Dans ce paragraphe nous abordons le problème par

l'approche statique. En fait deux méthodes statiques ont été

mises au point, celle qui fait appel aux mécanismes simples in-

dépendants, développée par Massonnet (15) et une deuxième, éla-

borée au C.T.I.C.M. (17) qui dérive directement du théorème

statique. En ce qui concerne notre travail, nous exploitons la

formulation qui est une application du théorème statique.

D'après le théorème statique, nous écrivons que

la répartition d'efforts internes dans une structure de degré

d'hyperstaticité h est statiquement et plastiquement admissible.

Alors À • Icir À est un coefficient de sécurité donnéo

par les recommandations. De telles structures résistent aux

charges appliquées Ào CP j1. Parmi donc ces structures, nous

cherchons celle pour laquelle la fonction de poidsl'fi

C = l lk M k est minimale.Jë=1 p

Nous énonçons le problème de dimensionnement limi-

te de la façon suivante :

- Minimiser

mC = - l lk Mac

k = l

- avec les contraintes (2-13 )

~Ài 0 +j

h .~ I Mi Xj (Mp i

i = 1, .... , s

-~i

h j" M.X- c . M

j ~ 1 ~ J . pi

Toutes les données et les inconnues de ce problè-

70.

me ont été définies au paragraphe 2.3.1. Sa résolution est fai-

te comme lors du calcul de la charge de ruine par le "Simplexe".

Les relations (2-13) peuvent être transposées en

un tableau "Simplexe". Pour cela nous procédons comme au para-

graphe 2.2.4. en posant:

o

y 2 i = Mp i + Mi) 0

le problème (2-13)devient

1

- Minimiser C = 1k=1

- avec les contraintesh

Y2i-i= -M?'.,\ l M~ X. + Mp i ) 0 (2-14 )10 j=1 1 J

hY2i = M?À + L M~ X. + Mp i ) 0

1 0 j=1 1 J

Ce problème de programmation comporte (h + m) va-

riables indépendantes. Ce sont les h inconnues hyperstatiques

Xj et les moments plastiques Mp des 'm barres. Le tableau "Sim

plexe" correspondant a pour dimension (2s x (h + m) ). Soient

2s lignes et (h + m) colonnes.

Pour former le tableau "Simplexe" final, faisons

encore un changement de variables.

Xi = Zi - Zi +h + m(i =1,2, ••• , h+m) (2-15)

Les Xi sont soit des inconnues hyperstatiques soit des moments

71.

plastiques. Nous obtenons finalement un programme linéaire com

portant 2 (h+m) variables Zi dont la fonction à minimiser est:

m

" l1~ ~C = k ~ l

2.3.5. .,.: Apprécï:ation du dimensionnemeontlimite

Il est évident que pour une structure isostatique

i.l n'y a aucun intérêt à faire du dimensionnement plastique

puisque le mécanisme de ruine est obtenu dès l'apparition de

la première rotule plastique. Par contre, pour des structures

hyperstatiques le calcul plastique présente des avantages. Non

seulement il nous supprime la notion de contrainte admissible

tant condamnée, mais il nous évite éga~ement d'introduire des

complications dans le dimensionnement des structu~es hypersta-

tiques.

Les deux approches utilisées dans le dimensionne-

ment limite conduisent au même résultat. Bien que la méthode

statique exige plus de variables dans son programme linéaire

que la méthode cinématique, elle apparaît néanmoins plus per-

formante que cette dernière. Ce paradoxe est da au fait que le

nombre de mécanisme~ de ruine croît en même temps que le nombre

de sections potentiellement critiques pour les structures de

° grandes tailles. Il est donc difficile de recenser tous les

mécanismes de ruine sans risquer d'en oublier.

72.

D'un autre côté, le dimensionnement préconisé par

la méthode statique n'est pas complet. En effet, il ne prend

pas en compte tous les facteurs (17) affectant le moment plas

tique.

2~4. - CONCLUSION

La plupart des études portant sur le calcul des

structures reposent essentiellement sur les deux théorèmes sui

vants' :le théorème des déplacements virtuels et le théorème

cinématique. Le premier est relatif au calcul élastique des

structures par la méthode des déplacements et le second au cal

cul plastique des structures par la méthode cinématique. Les

deux chapitres précédents ont été élaborés dans le but de don

ner à la formulation de typ~ "force" un regain d'application

vis-à-vis de la formulation déplacement. Nous avons donc établi

à ces fins un programme général de calcul automatique qui étu

die une structure aussi bien en régime é'lastique" qu'en régime

plastique. Ce programme nous fournit des résultats encourageants.

Il s'adresse uniquement aux structures planes et nous n'avons

pas tenu compte de tous les effets secondaires de la plastioi

té. La méthodologie développée en calcul d'ossatures est appli

cable à n'importe quel type de structure, nous l'étudions main

tenant dans le cas des plaques fléchies.

73.

r-------------------------------------------------------11 1

l CHAPITRE 3. : MODELE EQUILIBRE DE FLEXION DE PLAQUE l1 1- t-:_o..:_. ._._o o . .J.

74.

3.1. - INTRODUCTION

Bien que l'analyse des structures par la méthode

des Eléments Finis soit maintenant bien connue des spécialites,

il est toujours nécessaire de rappeler les principaux modèles

de cette théorie. Ce sont : le modèle déplacement, le modèle

équilibre et le modèle hybride. Dans un modèle déplacement,

les hypothèses portent sur le champ de déplacements. Dans un

modèle équilibre, les hypothèses sont faites sur le champ de

contraintes. Dans un modèle hybride, les hypothèses portent à

la fois sur les champs de déplacement et de contrainte. La plu-

part des méthodes utilisées pour la résolution des problèmes en

théorie des poutres sont des cas particuliers d'une procédure

générale par Eléments Finis.

Nous nous proposons dans ce chapitre de dévelop-

per une procédure capable de résoudre les problèmes de pla-

ques fléchies en utilisant le modèle équilibre de la théorie

des Eléments Finis. Le principe variationnel dont ce modèle

dérive opère sur des variables inconnues dont l'interprétation

physique n'est pas évidente, c'est en partie à cause de cet

attachement à la représentation concrète du phénomène physique

"déplacement" que le modèle déplacement a été le plus sollici

té. A la limite, la méthode des Eléments Finis a été assimilée

au modèle déplacement. Cependant, plusieurs publications et

mémoires donnant des solutions "équilibre" approximatives ou

75.

exactes ont été présentées. Les difficultés pour obtenir la

bonne solution, proviennent d'une part de l'idéalisation de

la structure et d'autre part de la représentation de la varia

tion du champ de contraintes à l'intérieur de l'élément. Le

choix de celui-ci est donc fondamental car il doit remplir

certaines conditions pour qu'il soit licite. En effet, il doit

vérifier les équations d'équilibre et la continuité des moments

à l'intérieur et aux interfaces des éléments - la valeur du mo

ment doit être identique de chaque côté d'un interface.

Ainsi

- MORLEY (20), (21) utilise les fonction U(x,y)

et V(x,y) de SOUTHWELL (22) pour obtenir une solution équili

bre. Son modèle satisfait les conditions d'équilibre. Il faut

préciser que SOUTHWELL a obtenu un élément en flexion .de pla

que à partir d'un élément à l'état membranaire pour lequel le

champ de déplacements est du type U(x,y) et V(x,y). Inverse

ment, à un élément équilibre en flexion, il est possible de

faire correspondre de manière univoque un élément en état mem

branaire.

- A la faculté des Sciences de Liège, SANDER (23)

reprend une formulation semblable. Il exploite l'analogie exis

tant entre les fonctions de contraintes pour les plaques flé

chies et les déplacements u et v en contraintes planes bien

connues.

76.

Avec FRAEIJS DE VEUBEKE (24) ils utilisent les fonc-

tions de contraintes équilibre· en vue d'évaluer les matrices

de rigidité des éléments. Mais les paramètres inconnus du

problème de la structure assemblée sont des déplacements géné

ralisés~ Ils sont choisis telles que les équations d'équilibre

soient satisfaites.

- Léonard R. HERRMAN(25} de son côté a étudié un

modèle formé de deux champs : un champ de déplacement w linéai

re et un champ de moments ~ , M et M constants. Ce modèlex y xy

hybride viole le plus souvent les équations d'équilibre, les

équations de compatibilité, la continuité des contraintes ou

la continuité des déplacements aux interfaces.

- Edoardo ANDERHEGGEN (26) a analysé un modèle

avec un champ de moments paraboliques. Il l'a résolu par la

méthode de de Lagrange.

- A l'tnstitùt National des Sciences Appliquées de

Lyon, deux mémoires de fin d'études (27), (28) ont été élaborés

dans les perspectives ouvertes par le cours d'Eléments Finis

dispensé par M. LEMAIRE (29) en D.E.A. Ces mémoires montrent

que la notion de fonction de tension introduite dans l'analyse

des structures par le modèle équilibre des éléments finis per

met de réaliser une synthèse des formulations disponibles. Ils

ont établi à la fin un programme général de résolution à partir

77.

d'un algorithme simple. J. ROBINSON (30) dans son livre

"Integrated Theory of Finite Element Method" tait une analyse

détaillée de cette notion de fonction de tension.

Toutes les solutions sugérées ci-dessus ont été

limitées à des éléments bien définis. Le but de notre travail

est de développer un élément triangulaire de plaque fléchie. Le

champ de moments est choisi tels que les équations d'équilibre

soient satisfaites et que la continuité des moments à l'inté-

rieur d'un élément et entre les éléments adjacents soit véri-

fiée. Le champ de déplacements qui en découle ne satisfait pas

obligatoirement les conditions de compatibilité et la continui-

té des déplacements. La résolution est faite à partir du prin-

cipe variationnel des forces virtuelles qui n'est qu'un aspect

particulier d'une formulation générale par Eléments Finis. Cet-

te méthode exige un grand effort de programmation.

Nous rappelons brièvement la théorie des plaques.

Toutes les formules sont développées en termes de "force". En-

suite, nous introduisons le concept d'Eléments Finis "équili-

bren pour la résolution.


3.2.1. - Hypothè"ses de calcul

Les hypothèses de calcul sont celles d'un solide

qui possède un plan moyen et dont l'épaisseur t est faible vis-

78.

à-vis des deux autres dimensions. Celles qui sont vérifiées

dans cette étude sont les suivantes :

1° - Les contraintes a normales au plan moyen sont négligeables.z

2° L'effet des contraintes de cisaillement transversal est

négligeable.

3° - Les points situés sur une normale au plan moyen avant dé-

formation restent sur une droite normale à la surface dé-

formée. La distance entre deux de ces points reste cons-

tantes.

4° Les sections planes restent planes après déformation.

5° Il n'y a pas de déformation du plan moyen.

6~ Les propriétés élastiques de la matière composant la pla-

ques sont les mêmes dans toutes les directions. Cependant,

il est possible d'étudier un matériau anisotrope dont les

caractéristiques élastiques sont connues.

3.2.2. -Equatio"ns différentielles d'équilibre

3.2.2.1. - Relation moments-courbures

Considérons un élément de plaque fléchie soumis à

une charge répartie agissant sur sa face supérieure (Fig. 3-1)

Les directions positives sont indiquées sur la Fig. 3-2.

79.

q

y

tl2

V2x

z

Fig. 3-1 Elément de plaque chargé

o

qL

z

M:;c M + âM.x.d.x-"C ô:x.

--~ M (1M:t.a- dx:J:d+ ô.:x:.

~+~iJ M(jX+ ô!j:eodd Q.x+~ d->:

Qo +ôG

(1 d'fô d <J

.-.-------------------x

y

Fig. 3-2 Efforts sur le plan moyen d'un élément de plaque

Sur cet élément s'exercent les contraintes norma-

u et les contraintes tangentiellesy Tyz.

L'effet de flexion est représenté par les efforts Mx' My' Mx y,

Qx' Qy. Ce sont respectivement : les deux moments de flexion

par unité de longueur agissant sur les cOtés parallèles aux

ao.

axes oy et ox, le moment de torsion et les efforts tranchants

par unité de longueur le long des côtés parallèles à oy et ox.

t/2

T dzxz

t/2

T dzyz

(3-1 )

- t/2

Nous admettons que les forces Qx et Qy sont sans influence sur

les flèches. Les moments forment un tenseur (M} appelé tenseur

moment.

Les déformations correspondantes sont caractérisées par les

courbures

x = 2l·wx dX2

X = d2w

( 3-2)Y dy2

X = d2wxy dxdy

où w'èst le déplacement vertical d'un point de l'élément de pla

que. Les courbures forment le tenseur courbure {XJ

81.

( 3-3)

Les relations qui lient les moments aux courbures

s'écrivent sous forme matricielle :

û 0 1-v

v

1

o

o

Xx

xxy

(3-4)

- -Et3.où D = 2 est la rigidité flexionnelle de la plaque et v

12 (l- V )

le coefficient de Poisson.

Soit sous forme condensée

( 3-5 )

3.2.2.2. - Relations entre moments

Considérons la Fig. 3-2. L'équilibre de l'élément

exige d'une part que la somme des forces parallèles à oz soit

nulle soit

+ q = 0, ( 3-6 )

d'autre part, que la somme des moments de toutes les forces par

rapport aux axes ox et oy soit nulle.

82.

Soit

(3-7 )

OMy +

Oy

relations qui s'écrivent sous forme matricielle

( 3-8)

La combinaison des équations (3-6) et (3-7) nous

donne l'équation différentielle d'équilibre

+ + q = 0(3-10)

3.2.3. - Relations entre les efforts dans le système d'axes x-yet les efforts dans le système d'axe n-t

Pour fixer les idées, étudions l'équilibre d'un

prisme élémentaire découpé dans une plaque suivant un plan pa-

rallèle à l'axe oz. Sa section droite est un triangle dont les

cOtés ont pour longueur dx, dy et dt. Le côté de longueur dt

supporte une contrainte normale qn et une contrainte tangen

tielle 'Tnt. Soit a l'angle que fait la normale n avec l'axe ox.

83.

0X

a - Qèld.:x:

dxf7Aa

y

t

Fig. 3-3: Equilibre d'un prisme élémentaire

Les contraintes normales an et tangentielle Tnt

sont de la forme :

(3-11)

= [-Sina 1cosaJ ["X1S"xy

1fx y

( 3-12)

La contrainte normale an équilibre un moment flé-

chissant Mn et la contrainte tangentielle Tnt équilibre un

moment de torsion Mn t"

Mnt

- (t/~nt zdz

)-t/2

84.

soit

ttn M J~y

MY

[ c~sa JSlna

Alors

M = [sina :cos;] [ Mx MXY]nt 1 J M M

xy y[

c~saJSlna

sirfu 2cosasina] ( 13-13 )

Mx

t : .: 2-. 4l McosaS na,cosaslna,cosa -sm~l , Y

Mxy

(3-14)

En regroupant les deux expressions (3-13) et (3-14)

nous obtenons les relations qui lient les moments Mn et Mn t aux

moments M , M et Mx y xy

Mn =

2cos a

-cosasina cosasina

2 cosasina

2 ..!)cosa-sln"lk

M .x

MyMxy

( 3-15 )

Ecrivons maintenant l'équilibre des forces sui-

vant la direction oz.

Ondt = ° dy + Qydxx

avec ~ = cosadt

dx sinadt =

85.

Alors

compte tenu de la relation (3-8), l'expression de Qn devient

a 0 -ô Mx

[cosa lsina]ôx dY

Qn = My

0 fy ~ Môx xy

Cette relation lie l'effort tranchant Qn aux moments Mx' Mv

et

Mxy

Le moment de torsion Mn t

et l'effort tranchant

Qn le long d'un bord produisent une réaction par unité de lon

gueur Vn telle que :

(3-17)

Les formules de changement d'axes nous permettent

d'écrire que

[n] [cosa .: [X ]t = -sina cosa y

et par dérivation

~] [cosa s ina] 1- Ô ]

l~ -sina casa [;:

( 3-18)

( 3-19)

86.

l'expression (3-17) devient

V [cosa: s Lno ] [~0 tx][:x + [casa: Si{ ~ ][~ ]=n

t dX MY 0 -~ Mnt

= [cosa !s Ln« ] [~0 ~] {Ml + [casœ;sin{ ~Vn

~ di () -d;{

~2

1,2 1 2 'Jcos« 1 s i nc 1 cosœsano { J1 1 2 M

-cososdne : cosasinqcosa -sina .

3.2.4. - Détermination des conditions aux limites

(3-20)

Nous précisons dans cette partie les conditions aux

limites les plus courantes dans la théorie des plaques. Ces

conditions sont exprimées en terme de "force", car cette sélec-

tion va dans le sens du concept que nous développons.

3.2.4.1. - Bord encastré

Si le bord de la plaque est entièrement encastré,

il subit l'effet d'un moment de flexion M et de torsion M etn nt

celui d'une réaction d'appui Vn

Soit analytiquement

( 3-21)

87.

3.2.4.2. - Bord simplement appuvé

Un bord simplement appuyé peut tourner librement.

Cette propriété s'exprime en écrivant que le moment de flexion

M est nul le long de ce bord. Par contre, il est soumis aun

moment de torsion M t et à la réaction d'appui V •n n

Soit sous forme analytique

( 3-22)

3.2.4.3. - Bord libre

Si le bord de la plaque est libre, il n'existe

ni moment de flexion M , ni moment de torsion M t' ni réactionn n

d'appui Vn le long de celui-ci. Il a été démontré (31), (32) que

ces trois conditions se ramènent à deux qui ne font intervenir

que le moment de flexion M et la réaction d'appui V •n n

Sous forme condensée

( 3-23 )

3.2.4.4. - Bord de symétrie

Pour un bord de symétrie, la réaction verticale

et le moment de torsion sont nuls.

soit v = 0n

88.

(3-24)

3.3. - SOLUTION PAR ELEMENTS FINIS EQUILIBRE

3.3..1. - Construction d'un champ de moments

3.3.1.1. - Présentation de l'élément

Comme l'indique la Fig. 3-4, l'étude d'une plaque

fléchie se réduit à l'étude des éléments triangulaires de di-

mensions finies obtenus en considérant la plaque comme l'assem-

b1age de ceux-ci. Ils sont reliés entre eux par un nombre fini

de noeuds.

zy

Fig. 3-4

x

Discrétisation d'une plaque

,.},

Le système idéalisé est dès lors analysé par

l'approche équilibre dès que nous connaissons la matrice de

souplesse de chaque élément discret. L'élément triangulaire à

considérer est représenté sur la Fig. 3-4.

o

z

x

j (x., y.)J J

89.

y

Fig. 3-5 : Elément triangulaire discret

Cet élément est caractérisé par les trois noeuds

i, j et k repérés par leurs coordonnées. Les forces inconnues

en ces noeuds sont représentatives du champ de moments.

3.3.1.2. - Choix du champ de moments

Le champ de moments est choisi de façon à déter-

miner les forces en un point intérieur d'un élément en fonction

des forces nodales de l'élément. Ce champ doit respecter les

conditions d'équilibre à l'intérieur des éléments et assurer la

continuité des moments entre les éléments adjacents. Notons

que la distribution des déplacements qui en résulte n'est pas

cinématiquement admissible c'est-à-dire qu'il n'assure pas la

compatibilitédes déplacements à l'intérieur des éléments et en-

tre les éléments. En particulier, il peut y avoir chevauchement

ou vide entre deux éléments.

Le champ de moments peut être constant, linéaire

90.

ou quadratique :

- Le champ de moments constant c'est le champ le plus sim-

pIe. Il a été testé par ALLMAN (33). Il vérifie les équations

d'équilibre mais viole celle des déplacements.

- Le champ de moments linéaire : Ce champ a été décrit par

FRAEIJS DE VEUBEKE et SANDER (24). La particularité de l'élêment

triangulaire qu'ils ont développé est que les axes ox et oy coin-

cident avec deux côtés du triangle. L'équation d'équilibre des

plaques n'est pas vérifiée. En tournant la difficulté, nous

observons que ce champ satisfait les équations d'équilibre en

l'absence des forces extérieures. Cet inconvénient est remédié

(24) en introduisant un terme quadratique au champ de moments

sans augmenter le nombre des forces généralisées inconnues de

l'élément. Les inconnues du problème adoptées dans ces travaux

sont: le moment normal M et l'effort tranchant de Kirchoffn

Vn le long d'un interface et la force verticale Zi en un noeud

i. Cette dernière force est le résultat du ~oment de torsion

Mn t , elle est telle que Zi = (M) - (M )nt i+O nt i-O

- Le champ de moments quadratique: Le champ de moments quadra-

tique complet compte 18 paramètres parmi lesquels 3 contribuent

à l'équilibre des charges appliquées. Par contre, il y a 19

forces généralisées inconnues (34).

Compte tenu des possibilités qui nous sont offer

tes, le choix du champ de moments devient délicat. Il est d'ail-

leurs fondamental pour la convergence des résultats du problè-

91.

me. Les spécialistes s'accordent à construire des champs com

plexes pour approcher la solution exacte. Dans notre étude,

nous adoptons un champ de moments linéaire.

Pour ce champ, trois cas se présentent

1° - Le nombre de forces intérieures inconnues est inférieur

au nombre de paramètres du champ de moments. Ce cas nous con

duit à une solution qui n'est pas admissible. En effet, comme

le note M. LEMAIRE (29) les matrices obtenues sont singulières,

il faut donc éliminer à la résolution les modes d'auto contra in-

tes.

2° - Le nombre de forces intérieures inconnues est égal au nom

bre de paramètres du champ de moments. Les champs d'autocontrain

tes sont éliminés au niveau des éléments. Il est alors facile

d'établir les relations entre le champ de moments et les for-

ces intérieures inconnues d'une part, entre les forces inté

rieures inconnues et les forces nodales d'autre part. En même

temps les expressions des matrices de souplesse élémentaires

deviennent faciles à calculer.

3° - Le nombre de forces intérieures inconnues est suoérieurL

au nombre de paramètres. Ce cas se présente lorsqu'il existe

des relations entre les forces inconnues. Ainsi si nous avons

n forces nodales, seuls n-3 forces sont indépendantes, les

3 autres sont des combinaisons des équations d'équilibre.

92.

En ce qui concerne notre travail, le champ de mo-

ments comporte systématiquement autant de paramètres que d'ef

forts inconnus. Avant de l'établir, définissons auparavant le

vecteur des inconnues du problème.

En un noeud i d'un élément, le vecteur des forces

intérieures inconnues est :

n, le vecteur des forces intérieures incon-

Mxi

lQn1. = Myi1

M .XYl

Pour tout l'élément

nues s'écrit ..[Qn\ i

tQn l = tOn1 j

tQn1 k

i = i, j, k ( 3-25 )

( 3-26)

Les moments en un point quelconque de l'élément

n sont parfaitement déterminés par le vecteur {M).

{M} = [:~J~l

Q2M l x y 0 0 0 0 0 0 9-3x

MQ.4

= 0 0 0 l x y 0 0 0 ~5 ( 3-27)Y

&6Mx y 0 0 0 0 0 0 l x y &7

&8

6'9

93.

soit sous forme condensée :

( 3-28 )

Comme nous l'avons déjà observé, ce champ doit

être licite, c'est-à-dire statiquement admissible. En d'autres

termes, il doit satisfaire les équations d'équilibre et assu-

rer la continuité des moments aux interfaces.

La première condition est vérifiée en l'absence

des charges appliquées. En effet

+àr-ixy

2àxày

+ = a

La continuité des moments est automatiquement satisfaite puisque

les valeurs des trois moments M , M et M . sont parfaitementx y xy

définis le long de chaque bord (23).

3.3.2 - Relation entre Moments {M,} - forces intérieures inconnues

Calculons le moment M au noeud i en fonction dex

ses coordonnées xi et Yi· Il vient

M = [1 xi Yi] [:~]xi i =i, j, k ( 3-29 )

Aux trois noeuds de l'élément, nous obtenons sous

forme matricielle condensée :

94.

Mx i1 x. Y. 9 11 1

M . = 1 x. y. 9 2 ( 3-30) .XJ J J

Mxk 1 xk Yk 9 3

Dans la relation (3-30), exprimons les paramètres

91,. en fonction des moments M .. Nous obtenons:

Xl

9 1 xjYk - xkYj xkYi - xiYk x.y. - x.y. Mxi1 J J 1

1 y. Yk Yk - Yi9 2 = J - Yi - y. M2A J xY

9 3 x k - x. xi - x k x· - x.J J 1 Mxk

Avec1 xi y.

1

2A = 1 x. y. l'aire de l'élément triangu-J J A est

1 x k Yklaire.

Nous posons

ai = xjYk - xkYj

b i = y. - YkJ i = i, j, k

ci = x k - x.J

En reportant ces valeurs dans le vecteur des paramètres 9 ..1

95.

9 1 ai a. a kMxiJ

9 21 b i b. b k M (3-31 )= 2A xjJ

9 3 ci c. c k Mxl<J

93

Dans ce cas, le moment Mx = [1 x y ] 9 2 prend la forme;

9 3M'.

XlM .. XJ.M .x~

Nous posons

Le moment M devientx

t.J

M .xaM.

XJ

Mxk

(3-32)

Les valeurs des moments My et MXY

sont obtenus par permuta

tion circulaire. Sous forme matricielle, la relation entre

les moments [Ml et les forces intérieures inconnues s'écrit

(3-33)

avec

t. 0 0 t. 0 0 t k 0 01 J

[TnJ = 0 t i 0 0 t. 0 0 t k 0 (3-34)J

0 0 t. 0 0 t j 0 0 t k1

96.

3.3.3. - Relation forces intérieures inconnues {Qfil.~orces

verticales au noeud i P~a

Dans cette partie, nous étudions la mise en équa

tion de la relation liant la force verticaleP~ au noeud i eta

le vecteur des forces intérieures inconnues

nous exprimons P~ en fonction de Qn.

Q . Pour cela,n

Considérons le noeud i d'un élément n. La force

verticale P~ définissant l'action du noeud i sur l'élémenta

n est représentée sur la figure 3-6.

x

z

y

Force verticale au noeud i

La répartition des forces intérieures verticales

sur un élément n nous est donnée sur la Fig. 3-7.

97.

k

z

r----------------~xo

y

Fig. 3-7 Forces intérieures verticales sur unélément n.

Soient lij la longueur du côté ij et lik celle

du côté ik. La force intérieure verticale au noeud i est éga-

le à :

P~ =1

l2 (V " l,. + V 'kl.k)n1) 1) n1 1 ( 3-35 )

Les relations (3-20) et (3-33) combinées nous

donnent la valeur de Vn .

soit

o'n = [cosa/sinaJ

o

ô

oY [Tnl{Qnl + [cosa: sina ]

..Q. -aôy dx

o

o - aâx

[

2cosa

-sinacosa

... ' 2Q1na

cosasina

Posons

c.-b.cosasina 2b.sin&1 1 1

Alors

b.-c.cosasina1 1

b. cosasina1

C. COSa sina1

98.

22c.cosa1

i=i,j,k

Vn = ~A [cosa sinaJ

Il faut noter que V est constant le long d'un côté.n

Posons encore

. 2 2 ..C.cosa .. Slna... c r cos a-..1 1) 1) 1 ;L)

b1. - C. cosa . . s Lnc,.

1 1)1D

b .i cosa . . slna ..1) 1)

i =i, j, k.

c.-b.cosa .. sina ..1 1 1) 1)

2b .. 2. s~n a ..1 1)

(a . .>J= [T.( 1: •• i: TJ. (a ..>

1) 1 1) ~ 1)

i = i, j, k.

Finalement, l'expression donnant la force inté-

rieure verticale au noeud i en fonction du vecteur des forces in-

térieures inconnues se met sous la forme

, ~-

i = i, j, k (3-37>

Soit {Pn1le vecteur des actions des noeuds i, j

et k sur l'élément n.

99.

La relation constituant les équations d'équilibre

aux noeuds de l'élément n s'écrit:

( 3-38 )

où [~QJ est la matrice qui lie les forces intérieures vertica

les aux forces intérieures inconnues de l'élément n.

3.3.4. - Matrice de connexion et conditions limites

Dans ce paragraphe nous résumons les transforrna-

tions qui sont apportées au système d'équations d'équilibre

(3-38) .

En théorie des poutres, les équations d'équili-

bre et les conditions de continuité des efforts de chaque côté

d'un noeud sont automatiquement vérifiées car l'interface entre

deux éléments de poutre est réduit à leur extrémité commune qui

est le noeud. Ce n'est pas le cas pour vérifier les conditions

de continuité d'un élément de plaque fléchie. En effet, en ana-

lyse par éléments finis, ces conditions doivent être satisfaites

non seulement à l'intérieur de l'élément et aux frontières ex-

térieures mais aussi aux interfaces. La continuité des efforts

à l'intérieur de l'élément est immédiate en raison de la continui-

té du champ de moments linéaire choisi. Les problèmes de discon-

tinuité apparaissent au passage des interfaces et en particulier

aux trois noeuds extrêmes. Il suffit d'imposer la valeur des mo-

100.

ments pour restituer la continuité des efforts au passage des

frontières de l'élément.

La matrice de connexion que nous définissons ici

est composée des coefficients des équations de continuité et

des conditions limites. Les premières sont de la forme :

( 3-39 a)

où i est le noeud commun aux éléments k et 1. Les équations des

conditions limites sont obtenues en imposant par exemple

M_ . = 0XYl

pour un noeud i placé le long d'un bord de symétrie.

( 3-39 b j

Nous obtenons ainsi un système d'équations sup-

plémentaires dont les coefficients forment la matrice de con-

nexion. . Chaque équation élimine une force intérieure inconnue

et le degré d'hyperstaticité se trouve réduit. Dans le même

temps, le nombre total des équations d'équilibre augmente. Autre-

ment dit, le système d'équations d'équilibre de la structure est

maintenant formé des équations (3-38) augmentées des équations

(3-39). La matrice obtenue à partir de ce système constitue la

matrice de coefficients relative aux forces intérieures inconnues.

Comme en théorie des poutres, cette matrice est indispensable pour

le procédé d'élimination de' 'GAUSS-JORDAN.

101.

3.4. - MATRICE PE ~OUPLESSE ELEMENTAIRE

Le modèle équilibre dans le calcul des structures

exige la connaissance de la matrice de souplesse de chaque élément

n. Comme nous l'avons observé au paragraphe 1.3.6., cette matri-

ce n'est pas unique. En effet, à chaque distribution de forces

intérieures ou de paramètres inconnus correspond une matrice de

souplesse. Dans cette étude, la matrice de souplesse est relative

aux forces intérieures {On! et non au~ paramètres 9 t .

Pour un élément, le potentiel interne compléme~-

taire est

Ici, les vecteurs {M} et fx} jouent respective-:

ment les rôles que jouent les vecteurs contraintes {a} et défor

mation {€} en contraintes planes. Le potentiel devient alors:

= f {8M}T[ Ef] -1 {"M} ds.

(s)D'après la relation (3-33)

8J~n

Alors

JJ~ = {JOn lT!([TnJT[Efr 1[Tn ] )dS {On}

(s)

102.

soit (3-40 )

où

avec

v

1

o~ ]

I-v

et

o o t. 0J

o

o

oo

t. 0J

oo

oo

t.1

o

t~1

o

0 t.t. -vt~t. 0 titk -vtitk 01 J 1 J

0 -vt.t. t.t. 0 -vtitk titk 01 J 1 J

t~(l+V) 0 0 t.t.(l-V) 0 0 t i t k (l+V)1 1 J

t~ 2 0 tjtk - tjtk 0-vt.J J

t~ 0 -vtjtk tjtk 0SYMETRIQUE J

2t j (l+v) 0 0 t

jt

k(l+v)

t2 2

0-vtk k

t 20k

t 2(l+V)k

['rnJ= 0

Pour calculer la matrice de souplesse [Sn]' nous

intégrons chaque coefficient de la matrice établie ci-dessus

= 2!p!q!r!(p+q+r+2) !

103.

par rapport à la même variable. Ces intégrales sont de la

forme

.!.ftJ? t~ tr

d sA 1·1 k

(s)

Nous obtenons la matrice de. souplesse élémentai-

re [Sn] à calculer pour chaque élément.

2 -2v 0 1 -v 0 1 -v 0

2 0 -v 1 0 -v 1 0

2 (1+v) 0 0 (1+v)O 0 - (l+ v)

2 -2v 0 1 -v 0 (3-41)

[Sn]A SYMETRIQUE=

Et3 2 0 1 0-v

2 (1+v) 0 0 (1+v)

2 -2v 0

2 0

2 (l+ V )

3.5. - METHODE DE RESOLUTION

Nous venons de développer les principes de cons-

truction d'un élément triangulaire de plaque fléchie. Il s'agit

maintenant de mettre au point ou plutôt de choisir une métho-

de de résolution par éléments finis pour un programme de cal-

cul automatique. La méthode retenue est la méthode des forces

automatique exposée au paragraphe 1-4. En particulier, elle

104.

permet la détermination automatique d'un groupe compatible

d'inconnues hyperstatiques qui rend minimum l'énergie totale

complémentaire. Ainsi, la méthode développée au chapitre l

pour les ossatures est applicable à un problème de flexion

de plaque.

.--------------------------------------------11· 1

: CHAPITRE 4. : APPLICATIONS Nm1ERIQUES :1 • 1._-------------------------------------------.

105 .

lOG.

A partir de la théorie des poutres et de celle

des plaques nous avons mis au point deux programmes de cal

cul sur ordinateur. Ce chapitre est consacré aux applications

numériques. Elles sont réalisées dans un double but : vérifier

la précision et la qualité de convergence des résultats obte-

nus, comparer ces résultats aux solutions connues fournies

par d'autres méthodes. Les calculs ont été effectués sur l'or-

dinateur POP-ID du Centre Interuniversitaire de calcul de

l'Université de Clermont-Ferrand.

4.1 ... THEORIE DES POUTRES------------_._------

Plusieurs exemples ont été testés pour prouver

la tiabilité du programme élasto-plastique. Nous portons ici

deux exemples en théorie des poutres pour illustrer ce cha-

pitre. Le premier correspond à un problème de vérification

alors que le second est un problème de dimensionnement.

4 • l . 1. -' Problème de vérification

Le problème consiste à calculer le facteur de

charge À du portique présenté Fig. 4-1 (1'7).

107.

ÀP6 7

85 P

a Mp ÀP MP

4 3 10 9 16Àp

2Mp 2Mp M 172 14 13 Il 12 P

a 2M 2Mp MP P

1 15 18

l- a -1" a ·1 .. 2a ·1

. Yig.4-1 Calcul du facteur de charge À

Cette structure comporte 18 sections potentielle

ment critiques. Les valeurs numériques des caractéristiques

adoptées sont les suivantes

a = 3m

p = 2500 daN

M = 2400 daN mp

E = 21.10 9 daN/m2

Le programme de calcul nous donne les résultats

suivants

La valeur du facteur de charge À est de 1,088

La valeur des inconnues hyperstatiques à la ruine sont les

suivantes :

Xl = 2880 daN.m X4 = 4800 daN.In X7 = 2400 daN.m

X2 = 2400 daN.m X5=-4800 daN.m X8

=-1920 daN.In

X3 =-4800 daN.m X6 =-4800 daN.m X9

=-2400 déiL'1 •m

108.

Ces inconnues ont été sélectionnées automatique-

ment et le syst~me isostatique de base est celui représenté

sur la Fig. 4-2.

34

26 5

8

l 7

Fig.· 4-2 : Syst~me isostatique de base

Le diagramme des moments à la ruine est présenté

sur la fig. 4-3.

2400

24002400

480lf----n';"

2400

2400

u-E~roïi.----+--""7"'-m~F=::;;:;;-:r=-:::;:"--==:::::::'__---J1--t 2 40 0

4800 l---"77:m

Fig. 4-3 Diagramme des moments fléchissants à la ruine.

109.

Sur cet exemple emprunté au C.T.I.C.M. (17), nous

obtenons le même facteur de chargeA. Par contre, les valeurs

prises par les inconnues hyperstatiques à la ruine ainsi que

le diagramme des moments fléchissants à la ruine sont diffé-

rents. Cette différence provient du faite que les deux solu-

tions partent sur deux systèmes isostatiques de base diffé-

rents. En effet, nous procédons à un choix automatique des in-

connues hyperstatiques alors que dans le cas de la figure 3

pages 338 (17), la sélection des inconnues hyperstatiques a

été opérée "manuellement". Il est donc norinal q\le les valeurs

des inconnues hyperstatiques à la ruine soient différents.

4.1.2. - Problème de dimensionnement

Pour compléter notre étude en théorie des pou-

tres, nous nous proposons de dimensionner le portique de la

fig. 4.4.

P--....-----.4--__----...

a

... a/21~

al-1

Fi·g'.4-4 : Dimensionnement optimal

Les valeurs des caractéristiques sont :

110.

a = 3 m

P = 2000 daN

A = 10

2400 daN/cm2a =e

Nous imposons à priori que les poteaux ont les

mêmes sections et qu'il en est de même pour les poutres, ce

ci pour répondre à un souci de simplification de la construc

tion.

Le problème est donc de maximiser la fonction C = -6Mp 1- 3Mp 2

Les résultats fournit par le programme sont

La valeur de la fonction à minimiser C = 20250 daN.m2

La valeur des moments plastiques Mp 1 = 1500 daN.m

Mp 2 = 3750 daN.m

A partir des valeurs des moments plastiques, nous

pouvons choisir les profilés métalliques correspondants, dans

la gamme des produits fabriqués. Nous choisissons de préfé

rence des profils de type HEA pour les poteaux et des profils

de type IPE pour les poutres.

Si Mp = Z a le moment plastiquee

Z = 2S~ le module de flexion plastique

S : le moment statique de la moitié de la sec-X·

tion droite par rapport à l'axe de symé-

trie horizontal.

Ill.

Le tableau 4-5 donne les profils adoptés.

----------------l---------------r-------------l-------:---lr Sx 1 Sx 1 Prof~ls 11 Mp 1

1 1 1 1(calcul) (ca~cul) (O.T")U.A.) 1 1

1 daN. m 1 cm- 1 cm-

~----------------,---------------~-------------~-----------~1 1500 1 31 , 2 1 4 1 , 5 1 HEA 1 0 0 1

1 1 1 1 11 37 50 1 78 , 1 1 8 3 , 2 1 IPE 180 1L ~ J L 1 -----~

Tableau 4-5 Résultats du dimensionnement

Il est alors possible de conduire un calcul de

vérification et de déterminer le coefficient de charge qui

doit être supérieur à 1.

4.2. - THEORIE DES PLAqUES

Le système considéré est une plaque carrée de

côté a et appuyée simplement sur tout le contour. Elle est

soumise à une charge Q répartie sur un carré de côté u en son

centre (Fig. 4-5). Pour des raisons de symétrie nous n'étu-

dions que le quart de la plaque.

-~----:::::;:~t--_x

y

Fig.· 4-5 Plaque carrée sur appuis linéiques simples

112.

Le coefficient de poisson est pris égal à v = 0,3

4.2.1. - Maillages

Trois maillages différents ont été testés, ils

comportent 2,8 et 18 éléments.

5 1L-----lJ.,,IL-----L.,joL---jJ

91'---:fL---+---J

31

(a)

~-------'3 7 IL-_----=:-....I<..-__-;!

1

Yig.4-6 Maillages de calcul

4.2.2. ...: Résultats et discussion

Nous donnons sur les Fig. 4-7 et 4-8 quelques

résultats significatifs des différentes subdivisions. Ces

schémas représentent respectivement la flèche et le moment

de flexion au centre de la plaque en fonction du nombre d'élé

~ents des maillages utilisés.

113.

Moment de flexion pour Q = 1~

u/a = 1/6 i 0, 2 3 5

(maillage c)

u/a = 1/4 ; 0, 19 1

(maillage b)

u/a = 1/2;0,116

(maillage a)

u/a = 1;0,048

../

.x (0.232J/

//

"lX (0,213)

//

/i

ii

.;. (0,120)/

1

2 81

18

Fig. 4-7 Valeurs du moment de flexion au centre de la plaque

114.

Le coefficient indiqué est la valeur du moment

de flexion pour Q = 1. La valeur de u correspond à la diffu-

sion de la charge sur 1/2 maille.

Flèche pour Qtotale = 1 (concentrée)

2 Flèche charge concentrée Q0,0116 ;

2a0,00406 0

_._.-'1<-')1<-'-'

.K·-·-·-·-· (0,0089),.,-

-: (0,0077)

Flèche

(0,0090)

artie Q/a2

Eléments

2 8 18

Fig. 4-8 : Valeurs de la flèche au centre de la plaque

Dans l'~stimation de la valeur des moments, pré

cisions que la plaque étudiée est soumise à une charge unifor-

mément répartie sur un rectangle de côté u et v (<32), page

135, Fig. 69). Dans notre cas, cette zone est réduite à un

carré de côté u = v.

Ainsi, pour un maillage composé de deux éléments,

115.

u v / d" d 1 d' "Ille rapport est a = a = 1 2 tan 1S que ans e cas un ma1 a-

ge à huit éléments, il est égal à 1/4. Pour un maillage de dix

huit éléments ce rapport est égal à 1/6. Dans le premier cas,

le moment de flexion au centre de la plaque est égal à 0,116 Q

et de 0,191 Q dans le second. Il vaut 0,235 Q dans le troi

sième cas «(32), page 139, tableau 20). Pour. les mêmes mail

lages nous obtenons les trois valeurs 0,120,Q, 0,213 Q et

0,237 Qque nous portons également sur le Fig. 4-7. Les écarts

sont respectivement de 3 %, 12 % et 1 %. La progression irré-

gulière de l'erreur vient de l'incertitude sur la zône de dif-

fusion de la charge.

Considérons maintenant la Fig. 4-8, la Flèche

au centre d'une plaque carrée uniformément chargée est égale

2à 0,00406 a /D «32), page 120, tableau 8). Pour une plaque car-

rée chargée au centre elle devient 0,0116 a 2/D «32), page 143,

tableau 23). Notre étude a été effectuée sur une plaque carrée

soumise à une charge ponctuelle au centre. La flèche que nous

ohtenons pour trois maillages à deux, à huit et à dix huit élé

ments est respectivement égale à 0,077 a 2/D, à 0,.0089a2/ D et à

0,0090 a 2/D. Les écarts sont respectivement de - 34 %, - 23 %

et - 22 %.

L'intérêt de ces deux courbes est de mettre en

évidence l'évolution de nos résultats. Sans être parfaits, ils

sont satisfaisants. Néanmoins, des écarts entre les solutions

exactes et nos résultats subsistent, plus importants sur les

flèches que sur les moments ce qui est conforme à ce qu'on

pouvait atteindre.

116.

La vérification des conditions d'équilibre mon-

tre que ce dernier est partout satisfait. En particulier il

existe des réactions concentrées en angle, de signe positif,

égale à deux fois le moment de torsion M _.xy

L'exemple présenté met en évidence la possibili-

té d'obtenir des résultats satisfaisants en construisant un

élément équilibre de plaque exactement selon le processus re-

quis en théorie des poutres. La solution n'est évidemment pas

exacte mais le champ de moments est mieux approché que le

champ de flexion ce qui est l'inverse en modèle,déplacement.

Un effort informatique est nécessaire pour or-

ganiser les programmes de façon à traiter des exemples de

plus grande ampleur.

4.2.3. -: Bilan

Afin de mieux situer le modèle"équilibre" de la

méthode des éléments finis par rapport aux autres techniques,

nous récapitulons sur ces tableaux les principaux résultats

obtenus. Notre base de comparaison est la solution proposée

par TIMOSHENKO (32) et celle fournie par l'élément triangulai-

re TRIFX inclus dans le code d'éléments finis élaboré par

M. LEMAIRE (35).

117.

1 1 1 1 1 l1 Maillage 1 Moment 1 Ecart 1 Flèche 1 Ecart 1

-----------t----------~--------t------~--------4--------l1 1 1 1 1 11TIMOSHENKO: a 1 0 116 1 1 0 0116 1 11 , 1 l' 1 1

~----------~----------~--------r------1--------;--------r1 1 1 1 1 1 1IELEFINI 1 a 10,186 '160 % 110,130 : 12 % :1 1 1 .l , 1 1 1 1 1t----------t---------~~--------~------i-----~--~--------{1 1 1 1 1 1 1'EQUILIBRE 1 a 10,120 1 3 % : 0,0077 1 - 34 % l1 1 : : 1 1 1

1 1 11 1 1 1 1 11 Maillage 1 Moment 1 Ecart 1 Flèche 1 Ecart Il1 1 1 1 1

ï----------1r---------~--------~------~--------i--------l1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11TIMOSHENKO 1 b 1 0 , 191 1 1 0 , 0116 1 11 1· 1 1 1 1 1~ ~ ~ L ~ J 1

1 1 1 . 1 1 - 1 1

lELEFINI 1 b 1 0,228 l. 19 % 1 0,0117: 1 % :1 1· 1 1 1 1. 1

r----------~---------f--------r------l--------l--------t1 1 1 1 1 1 11 EQUILIBRE 1 b 1 0,213 1 12 % 1 0,0089 1 -23 %11· . 1 1 . 1· 1 1 . 1i 1 1 1 1 J. 1

1 1 11. 1 1 1 _ 1 11 Ma~llage 1 Momentl Ecart 1 Fleche 1 Ecartl1 1 1 1 1 1j------------r---------,-------r--------r-------,-------T

1 1 1 1 1 1 11TIMOSHENKO 1 c 1 0,235 1 Il 0,0116 1

1'1

1 1 1 1r------------r---------,-------r--------~-------~-------t1 1 1 1 1 .1 1:ELEFINI : c : 0,256: 8 % : 0,0116: 0 % :1 1 1 1 1·1 1r------------r---------1-------r--------~-------~-------t1 1 1 1 1 1 11EQUILIBRE.: c : 0, 237:' 1- % 1 0, 0090: - 23 %11 1 1 1 1 1 1

Il est facile de constater que les écarts sont

plus importants pour le calcul de la flèche avec le modèle

éqüilibre qu'avec l'élément TRIFX de ELEFINI (35). Par con-

t.re., lors du calcul du moment de flexion, nous obtenons

l'inverse. Ces résultats sont conformes aux principes varia-

tionnels dont découlent le modèle "déplacement" et le modèle

"équilibre".

r-----------------------~1 1

: CONCLUSION:1 1I . J

118.

119.

Le but de notre travail est d'étendre la méthode

des forces, de formulation classique dans le cas de poutres, à

l'étude d'éléments de plaque fléchie.

Comme la plupart des méthodes de calcul utilisées

en analyse des structures, la formulation de la méthode des

forces nécessite l'établissement des équations d'équilibre et

de compatibilité et la résolution de ce système. Pour former

ces équations, nous écrivons que l'énergie potentielle totale

~omplémentaire appliquée à des champs de moments reste station-~

naire. En d'autres termes, la méthode revient à minimiser l'é-

nergie potentielle totale complémentaire par rapport a~ champ

de moments. Ce principe n'est respecté que si le champ de mo-

ments est licite, sinon, les éléments étudiés ne réalisent

qu'une approximation du principe de minimisation de l'énergie

potentielle totale complémentaire.

L'application aux réseaux de poutre est bien con-

nue et la méthode de sélection des inconnues hyperstatiques

permet de rendre entièrement automatique le processus de cal-

cul, aussi bien dans le cas élastique que dans le cas élasto-

plastique.

Les résultats obtenus mettent en évidence la puis

sance de la méthode dans le cas d'éléments linéiques et il a

été envisagé de l'étendre aux cas des plaques bien que les

conditions de formulation du modèle "équilibre" des éléments

120.

finis soient difficiles à satisfaire.

Les qualités du modèle ont été mises en évidence'

IT est possible d'apporter une amélioration aux solutions trou

vées par l'introduction dans le champ de moments du terme qua-

dratique qui équilibre les charges uniformément réparties.

En dépit des procédures mathématiques et de l'uti-

lisation de méthodes d'intégration numérique élaborées que

cette opération implique, la modification du champ ne pose

aucun problème particulier. Le calcul des charges équivalentes

est alors possible.

Ainsi donc, le modèle "équilibre" de la méthode

des éléments finis est fiable. Un vaste domaine d'application

est ouvert pour l'analyse des plaques dans le domaine plasti-

que.

D'une-formulation plus délicate et de calculs plus

complexes que le modèle "déplacement", le modèle "équilibre"

apparaît comme un outil efficace de calcul des structures qui

devait bénéficier d'un effort de recherche et de programmation

plus important.

r----------------------~1 11 A N N E X E S 11 11 1L-------- J

121.

122.

A N N E X E I: CONVENTIONS DES SIGNES

---------------------------------------

Pour éviter l'écueil d'erreurs dont nous sommes

souvent victimes dans le calcul des structures et compte tenu

du fait qu'il n'existe pas de conventions de signes universel~

les adaptables à tous les types de problèmes, il nous est ap-

paru nécessaire de préciser ici celles que nous avons retenues

d~ns notre travail. La représentation des actions extérieures

des sollicitations et des déplacements nous semblent proche

de la réalité physique.

1.1. - THEORIE DES POUTRES

Le système de référence général est choisi de tel-

le manière que le repère oxyz soit orthonormé direct chaque

élément de poutre de la structure a un système de référence

propre o'x'y'z'. Nous retenons la convention du produit vectoriel.

o rc-.f-'~-----~------ x

y

Fig. 1-1 Convention du produit vectoriel

123.

1.1.1. - Effort normal

L'effort normal N est porté par l'axe o'x'. Il

est positif lorsqu'il provoque une compression et négatif en

traction.

• 1

i

y'

N -----. x'

Fig. 1-2 Représentation de l'effort normal

Il faut noter que l'effort de gauche est repré~

senté avec son signe positif d'action, tandis que celui de

dro~te avec son signe négatif de façon à établir l'équilibre

de l'élément.

1.1.2. - Moroentfléchissant

Nous ne considérons que le cas du moment porté

par l'axe oz.

o

y

(1 + \)x

Fig. 1-3 Représentation du moment fléchissant

124.

Le moment Mz est positif si son action à gauche

de la section est positive. Dans ce cas, la fibre inférieure

est tendue. Le moment Mz de droite est dessiné avec son signe

négatif.

1.1.3. ~ Effort tranchant.

L'effort tranchant est considéré comme positif

s'il a la direction transversale positive lorsqu'il est calcu

lé à partir des forces situées à gauche de la section considé

rée.

o....----------------x

+

y

T > 0y

Fi"g • 1-4 : Représentation de l'effort tranchant

Ici encore, l'effort de droite est représenté

avec son signe négatif d'action.

L1.4. ..; Forces appliquées et Réactions d'appuis

Les forces appliquées et les réactions d'appuis

125.

sont positives avec les sens définis positifs sur le système

de référence général de la Fig. 1-1.

1.1.5. -: Déplacements associés aux forces appliquées

La convention de signes choisie pour les dépla-

cements est liée à celle des actions correspondantes.

1.2. - THEORIE DES PLAQUES.....-------------_._--

Comme en théorie des poutres, il n'existe pas

en théorie des plaques une convention de signes utilisable dans

tous les cas. Nous donnons ici une solution proposé par LEMAIRE

(3 ) c'est la convention de symétrie qui est retenue.

y z

x

Fiq.· 1'-5 : Convention de symétrie

Le trièdre xyz est orthonormé. Comme l'indique

la Fig. 1-6, le plan moyen est confondu avec xoy.

126.

i

k

y z

Fig". 1-.6 Plan moyen de la plaque

Les moments M et 'M résultant des contraintesx y

normales Ux et u y sont positifs si la fibre située sur la face

tz = 2 est tendue.

.----------------;~yox

0.-- _

\j (1 + \jM > 0x

z z

Fi"g".1-7 : Représentation des moments ,Mx et~y

127.

Les efforts tranchants Q et Qy sont positifsx

comme l'indique la Fig. 1-8.

0..-- x

+

o

+

y

zQ > 0x

z o

A N N E X E II : EXPRESSIONS DETAILLEES DES EQUATIONS

D'EQUILIBRE

. -aM t=Q + __n_-n '2)t

avec :

128.

[ COSot : s in~ [lx 0.'0

o Ôy

Mn t =[- cos « sin.. : cos 0< si"" i cos~ - s in~ [~J

2COSO(

'ôMn ta-t=

alors:

[ COSDI : sin~ ]

o• 2. J1 s i.n« 12cos 0( s Lnee

1 11 11 11 :

• 1 • 1 2 2-COSOIS1.na'ICOSOI'S1.MqCOS 0( -sin [::J

cm 0ôy t i 0 0 1 t; . 0 0 1 t k 0 o -

1 J[ coaee 1si~J

1 1Vn = 0 t. 0 ;0 t. 0 1 0 t k 0 { On}f 11

~--'Q.l. Ji 10 0 0 tit 0 0 t. 1 0 0 t kL- Ôy ôx_

'- J

129.

"

0 ~ê) [ 2 i i 2 :2cos"< sin .. t. 0 0 t. a 0 t k 0 0cos~ 3 n~ , 1. J1

+ [COS"" :s Ln«J1 11 1

0 t. 0 0 t. 0 0 tkO1 11 1 2 2 1. J

0 - -cos'\'sinar.cosll(sinll('coso< -sin D( 0 0 t i 0 a t. 0 o t kJ

{Qn 1

1= 2A [

b .

[cos<> i sln~ 0a

o C.1. b.J

o

o

c.J

c.J

b.J

o

o

c.cosocsino< 2- . 2)

[ ci cos 0( s Ln« c. (cos a( S1.nO(- '1 1. 1.

+ 2A [cosO( s Ln« JbicoSlXSiThX -bicOS 0(

2 .2)sinOl -bi. (cos~ s a.n«

c.cosotsinOl. s Ln« (cos~ .2)c .cos 0( C, S1.n0(

J J J

bjcosotsinOl. -b .cos Cl( -b. 2 • 2)s Ln « ( cos C( S1.n 0(

J J

ckcoso(sillO< sinD( ( 2 • 2) ]- ckcos 0(, c k COSD. SI.n 0(

· 2) ~lOn\bkcosOl,sinO( -bkcos 0( s Lnc- -bk (cos~ Sl.nC( .

Posons

alors

[

bi - ci cosos Lno

b i cos 0( s Ln«

cicos 0( s Ln«

c - b.coso<sini 1.

2c i cos~ J2b. - sin~1.

i ai, j, k

1=U\ [ COSCll s Ln« ] T.

J

L'équilibre du noeud i s'écrit

+ Vi) = 0n i k ik

1'2"+

•

130 .

nP.a

avec

V ~._- l

[ COSO(ij1

sin 0( •• ] [ (T .. k (O(.. ) ] {°n-)~1

n1.J 1 1.J - ~J 1.J

où [Ti j k (o< • . ) J = [ Ti ( 0( •• ) : T. (O(• • ) Tk (CC.)]~J ~J 1 J ~J 1.J

l'équation d'équilibre s'écrit

?~ +ril [COS"'i.j! sin"'d [Tijk <"'i.d +l~aCOS"'ik! Si.n':'i.k] [Tijk ("'ik)]~

131.

A N N E X E III: PRINCIPALES NOTATIONS------------"""-----------------_.-....-.---.-:--

{x)

{ps1

{Uxxl

[Ux o l

{On 1

tDn1[sn]

[Bx]

Cao]

{Rs 1{pn1

~

Mp

Mx, My' Mx y

°x' Qy

Mn' Mn t

an

vn

tx}Ce}A

Vecteur des inconnues hyperstatiques

Vecteur des forces appliquées

Vecteur des déplacements relatifs des lèvres

des coupures sous l'action de tX)Vecteur des déplacements relatifs des lèvres

des coupures sous l'action de tPs}

Vecteur des forces intérieures inconnues d'un

élément.

Vecteur des déformations de poutre

Matrice de souplesse élementaire

Matrice de coefficients d'influence relatifs

au vecteur {x1

Matrice de coefficients d'influence relatifs

au vecteur {ps J

Vecteur des réactions d'appuis

Vecteur des actions du noeud sur l'élément n.

Facteur de charge limite

Moment plastique

Moments dans le système d'axes x - y

Efforts tranchants dans le système d' axes X - Y

Moments dans le système d'axes n- t.

Effort tranchant dans l~ système d'axes n-t

Effort tranchant effectif

Vecteur courbure

Vecteur des paramètres

Aire de l'élément triangulaire

132.

BIBLIOGRAPHIE

(1) R. ROBINSON "A general Note on the Selection ofRedundanci~sin Structural Analysis"

The Aeronautical Journal of the RoyalAeronautical Society July 1968.

(2) J.B. BESSELING "The Force Method ~nd its Application inPlasticity Problems"Laboratory for TechnicalMechanics, TechnicalUniversity, Mekelweg 2,DELFT, The Netherlands : January 1978

0) M. LEMAIRE

(4) PIN CHUN WANG

(5) J. ROBINSON

(6Y J. ROBINSON

0'> r , MENDENEM'EKWA

"Mécanique des solides" - Cours E.N.T.P.E.Lyon, 1976

"Calcul des structures par les méthodes numériques et matricielles - Applications sur calculateur" - Dunod, 1969.

"Dissertation on "The Rank Technique" andits Application" - Journal Of the Royal

Aeronautical Society, April 1965.

"Structural Matrix Analysis for the Engineer"John-Wiley and Sons, New-York, 1966.

"Méthode des forces automatique" - Mémoirede D.E.A., I.N.S.A., Lyon 1977

( 9')

J.S. PRZEMIENIECKI "Theory of Matrix Structural Analysis"Mc Graw-hill.

Ch. MASSONNET,G. DEPREZ, R. MARQUOI, R. MULLER, G. FONDER

"Calcul des structures sur ordinateur" - Tomes1 et 2 Eyrolles, Masson et Cie 1972.

(10) M. LEMAIRE

(11) C.T.LC.M.

"Ossatures planes chargées dans leur plan.Méthode d'étude" Cours E.N.T.P.E. Lyon 1977.

"Recommandations pour le calcul en plasticitédes constructions en acier" - C.M., nO 4Décembre 1975.

(12) Y. LESCOUARC' H "Programme de calcul en élasto-plasticité desstructures planes", nO 1 Mars 1976.

(13) Y. LESCOUARC'H,B. SHOULER "Recherche automatique d'un système complet

de mécanismes indépendants, CM, nO 3 sept. 1973.

(13) M. LEMAIRE

(14) Ch. MASSONNET,M. SAVE

(16) Ch. MASSONNET,M. SAVE

(17) C.T.I.C.M.

(18) M. Z. CORN

(19) G. MEN{)ET,.S. VERbIER

(20) L.S.D. MORLEY

133.

"Introduction au calcul plasti.ques des.ossatures" C.U.S.T. Clermont-Ferrand, Octobre 1977.

"Calcul Plastique des constructions. - Structure dépendant d'un paramètre" - Volume 1, Troisième édition, Edition Nellisen-Liège-Belgique1976.

"Calcul Plastique des constructi.ons" - Tome 1Centre Belgo-Luxembourgeois d'Information del'Acier. Bruxelles 1967.

"Méthode de calcul aux états limites des structures à barres" - Séminaire organisé par leC.T.I.C.M., Paris 14-17 Novembre 1972.

"Analysis and design of Inelastic structures"Waterloo University ~ Canada.

"Etude aux états limites des réseaux de poutresà l'aide de la programmation linéaire" =- Projet de fin d'études, I.N.S.A., Lyon, 1978.

"The triangular· Equilibrium.Element with,Linearly varlitnq Bending Problems". Jourr.alof Royal Aeronautical Society October, 1957.

(21) L.S.D. MORLEY "The triangular Equilibrium Element in the solution of Plate Bendinq Problems". RoyalAircraft Establishment; farnborough, May 1969

(22) R.V. SOUTHWELL "On the Analogues Relating Flexure and Extension of Flat plates" - Qu. Journal of AppliedMathematics, 1950.

(23) G. SANDER "Application de la méthode des Eléments Finisà la Flexion des Plaques", Faculté des Sciences - Liège, Collection des Publications,1969, nO 15.

(24) B. FRAEIJS DE VEUBEKE, G. SANDER

"An Equilibrium Model For Plate Bending" - International Journal for solids and structuresVol. 4, nO 4, April 1968.

(25) LEONARD R. HERRMANN

"Finite Element Bending Analysis for Plates"Journal of Engineering Mechanics Division

134.

Proceeding of the Arnerican Society of CivilEngineers, october 1967.

(26) EDOARDO ANDERHEGGEN

IIFinite Element Plate Bending EquilibriumAnalyst.s" - Journal of Engineering MechanicsDivision Proceeding of the American Societyof Civil Engineers, August, 1969.

(27) S. PETIT, P. VIEILLEIIConstruction d'un code de calcul par ElémentsFinis .... Modèle Equilibre" - Projet de find'etudes I.N.S.A~, Lyon, juin 1977.

(28) G. COQUARD, B. DUGELAY

"CaLcuL des structures-Mét;hQd'é 1!esi ElémentsFinis.-Modèle Equilibre"":"-Pr'oJet d~~ind'études I.N.S.A., Lyon, Jllin 1978'.'

.' / ._____..- r" .• '

(29) M. LEMAIRE

(30)J. ROBINSON

"në ttiode des Elémemts Finis-Mod'èle Equilibre"Cours de D.E.A., I~N.S.A., Lyon, 1976.

"Integrated Theory of Finite Element Method"Wiley.

(31) .M, LEMAIRE

(33) D.J. ALLMAN

"Mécanique des solides - Calcul des Plaques"Cours E.N.T.P.E., Lyon, 1976.

(32) s. TIMOSHENKO, .S. WOINOWKY-KRIEGER

"Théorie des plaques et coques" - Dunod 1961.

"Trianqular Finite Elements For Plate Bendingwith constant and Linearly varying BendingMoments" - Hight speed cornputing of Elasticstructures (I.U.T.A.M. symposium), 1971, Université de Liège.

(34) IoJ. SOMERVAILLE "A family of Equilibrium Plate BendingElements ll

- School of Civil Engineering. TheUniversity of New South Nales, Australia, 1971.

(35) M. LEMAIRE "Etude des structures dans le domaine du GénieCivil. Construction d'un code de calcul paréléments finis. Elaboration d'un modèle de lafissuration et de la plastification de piècesen béton" - Thèse de Docteur ès Sciences Phy- 1s iques , Lyon, Septembre 1975_1

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