memoire de fin d’etude theme : modelisation de breches
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MODELISATION DE BRECHES HYDROTHERMALES PAR AUTOMATE S CELLULAIRES DANS LA REGION DE GAOUA
SUD
MEMOIRE POUR L’OBTENSPECIALISE EN METHODES DE MODELISA
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Présenté et soutenu publiquement le
MEMOIRE DE FIN D’ETUDE THEME :
MODELISATION DE BRECHES HYDROTHERMALES PAR AUTOMATE S CELLULAIRES DANS LA REGION DE GAOUA
SUD-OUEST DU BURKINA FASO
MEMOIRE POUR L’OBTEN TION DU DIPLOME DE M ASTER / MASTER METHODES DE MODELISA TION ET SIMULATION DES
SYSTEMES COMPLEXES
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Présenté et soutenu publiquement le 24 Septembre 2010
par
Boukaré GUIGMA
MODELISATION DE BRECHES HYDROTHERMALES PAR AUTOMATE S
ASTER / MASTER SIMULATION DES
24 Septembre 2010
Travaux dirigés par : Hadiza MOUSSA-SALEY
Enseignante, Chercheure, Dr
UTER Mathématiques Appliqués
Jury d’évaluation du stage :
Président : Dr Eric S Traoré
Membres et correcteurs : Dr Angelbert BIAOU
Dr Hadiza M SALEY
Dr Siaka Eugène ZONOU (ACC)
Dr Joseph SAWADOGO (Voltaresources)
Promotion [2009/2010]
CITATIONS
« Dans la mesure où les lois mathématiques ont à voir avec la réalité,
elles ne sont pas certaines,
et dans la mesure où elles sont certaines,
elles n'ont rien à voir avec la réalité ».
Albert Einstein, La géométrie et l'expérience.
REMERCIEMENTS/ DEDICACES
Je tiens tout d'abord à exprimer ma profonde gratitude et ma sincère reconnaissance à
Dr Hadiza Moussa SALEY qui m'a encadré pendant ce mémoire. Je la remercie pour sa
grande disponibilité, sa rigueur, sa patience, ses précieux conseils et son courage contagieux.
A tous mes enseignants du 2ie sans lesquels rien n’aurait été possible. Merci
particulièrement à Mr Henri TONNANG pour le sujet passionnant vers lequel il m’a orienté.
Merci Dr Eric TRAORE pour tous ces sacrifices consentis rien que pour l’amour de
notre formation.
J’exprime toute ma gratitude à Dr Seta Naba, Dr Urbain Wimemga, département de
Géologie de l’Université de Ouagadougou, pour leur soutien inconditionnel. Pour leur appui
en documentation, leurs remarques constructives et leurs précieux conseils.
Dr Siaka E ZONOU merci pour les articles qui vous m’avez fourni, vos
encouragements et vos remarques utiles. Vous avez toujours su raviver cette flamme de la
persévérance en moi. Encore merci pour tout.
A la société Voltaresources pour l’accueil, le soutien moral et financier lors de mon
stage à Gaoua. Merci à Mr Raphaël G ZOUNGRANA, Mr Joseph SAWADOGO, Mr
Athanase NARE, Mr Guy FRANCESCHI et tous les géologues pour leur disponibilité et
l’intérêt qu’ils ont accordé à mon stage. Merci à Henri YILI et tous ceux qui ont travaillé avec
moi.
Merci à tous mes camarades de promotion pour leur camaraderie et leur bonne humeur
tout au long de l’année. Le grand frère Guy MEHOU pour ses discussions et remarques qu’il
a eu avec moi.
Mes derniers remerciements vont à mes parents, ma famille, mes amis et
connaissances pour leurs soutiens inestimables.
MERCI A TOUS !
RESUME
Une brèche hydrothermale est un ensemble de fragments de roches résultant du
morcellement d’une roche en subsurface par suite une activité magmatique sous-jacente.
L’objectif de ce travail est de modéliser les processus géologiques qui interviennent dans la
formation des brèches hydrothermales. Le travail de terrain nécessaire à l’élaboration du
modèle que nous proposons est le résultat d’un stage pratique d’un (01) mois, dans la région
de Gaoua, au sein de la société Voltaresources Ltd. La société désire accroître ses ressources
estimées importantes en 2009 mais connait d’énormes difficultés dans la maîtrise de toute la
géométrie complexe du corps bréchique dont on estime l’étendue potentielle à plus de sept
(07) kilomètres.
Le modèle proposé dans ce mémoire utilisera la méthode des automates cellulaires
qui sont des outils efficaces pour simuler la dynamique de fragmentation des roches en place,
retracer la morphologie du corps béchique jusque là connu pour enfin prédire ses extensions
potentielles. Un tel modèle a déjà été proposé dans le contexte canadien mais basé sur les
processus chimiques. Notre modèle est plutôt basé sur les processus physiques responsables
de la mise en pièces des massifs rocheux.
Un automate cellulaire est un moyen discret pour décrire les phénomènes physiques. Il peut
donc être décrit comme un ensemble de « cellules » arrangées en une grille régulière. Chaque
élément ou « cellule » prend un état discret dans un ensemble fini d’état et à chaque évolution
temporelle l’état suivant d’une cellule dépend de son état actuel et l’état des cellules du
voisinage.
Un programme codé en Matlab a été développé pour simuler ce modèle inspiré de la
théorie de rupture fragile des roches proposée par Griffith. Celui-ci décrit de façon
élémentaire le comportement des roches lors des ruptures fragiles.
Mots Clés :
1 – Brèche hydrothermale
2 – Automate cellulaire
3 - Fragmentation
4 – Rupture fragile
5 - Modélisation
SUMMARY:
Hydrothermal breccia is a bloc of rock fragments result to subsurface rock
fragmentation release to the underlying magma activity.
The aim of this work is of modeling geological processes which generate a spectrum of
breccias. The fieldwork necessary to the model we propose development is the result of one
(01) month training period at Gaoua area within Voltaresources Ltd society. The society
wants to increase it mineral resources, estimated important in 2009, but collides with the high
complexity of breccias body morphology which is potentially estimated at about 07km large.
The model we suggest in this memoir will use the cellular automata techniques which
are best tools to simulate rock fragmentation, to follow the breccias body known at date and
expect to predict its probable extensions.
Such a model base on chemical processes is already been proposed in the Canada context.
Our model is rather base on physical processes responsible for stock rock destruction.
A cellular automaton is a natural discrete means to describe physical phenomenon behaviors.
It seems to be seeing such as cells distrusted in a regular lattice. Each component or cell
involved in a discrete state within a whole finite states. The state of each cell at next time
(t+1) depends on its current state (t) and current states of its neighborhood cells.
A Matlab program code is been develop to simulate this model base on Griffith rock
brittle deformation theory. This one describes in simply way the behavior of rock during
brittle deformation.
Key words:
1 – Hydrothermal breccia
2 – Cellular automaton
3 - Fragmentation
4 – Brittle deformation
5 –modeling
LISTE DES ABREVIATIONS
Cu: cuivre
Au: Or
Mo: molybdène
W: tungstène
Ag: argent
Sn: étain
Zn: zinc
Re: rhénium
PGE: platine group elements (éléments du groupe du platine)
PNUD: programme des nations unies pour le développement
CEM: Compagnie Equatoriale des Mines
Ma: millions d'années
dEel: variation de l’énergie élastique
dEext: variation de l’énergie potentielle des forces extérieures
dEs: variation d’énergie de surface
dEcin: variation de l’énergie cinétique
G: énergie de déformation
Gc: énergie critique de déformation
E: énergie cinétique
Ec: seuil critique de stabilité de l'énergie cinétique
edp:équations aux dérivés partielles
ode:équations différentielles ordinaires
FEM : Finite Element Method
FVM : Finite Volume Method
FDM : Finite Difference Method
8
SOMMAIRE
I. Introduction ..................................................................................................................... 11
II. Hypothèse de travail et/ou Objectifs du travail .............................................................. 14
III. Matériels et Méthodes ................................................................................................. 25
IV. Résultats ....................................................................................................................... 32
V. Discussion et Analyses .................................................................................................... 41
VI. Conclusions ................................................................................................................. 43
VII. Recommandations et Perspectives .............................................................................. 44
VIII. Bibliographie ............................................................................................................... 45
IX. Annexes ........................................................................................................................ 48
9
LISTE DES TABLEAUX
Tableau 1 : Récapitulatif des règles de passage d’un type de propagation à un autre lors de la simulation
10
LISTE DES FIGURES
Figure 1: Distribution de cuivre porphyrique (points rouges) dans le monde, d'après W.D
Sinclair
Figure 2: Schéma d’un système de porphyre cuprifère à la base d’un stratovolcan montrant la
zonation minérale et les relations possibles avec différents types de gisements
périphériques possibles) d’après Kirkham et Sinclair 1996 « in Sinclair RW 2006 »
Figure 3: Courbe de déformation d'une roche.
Figure 4: Essais de déformation en compression triaxiale
Figure 5: Modèle de propagation de rupture de Griffith.
Figure 6:Types de connexions élémentaires pour les mécanismes de base dans la formation
des bandes de cisaillement. La direction verticale correspond à la direction du
chargement uniaxial (d’après Tillard, 1992, et Haïed, 1995).
Figure 7: Essai de compression simple et schéma de départ d’une fissure pouvant se propager
(d’après Mitaim et Detournay, 2004).
Figure 8:Voisinage : (a) de Von Neumann, (b) de Moore, (c) de Moore étendu.
Figure 1:Géologie de la région de Gaoua, d'après Zonou SE
Figure 10: Exemple de propagation de rupture rencontré à Dienemera.
Figure11: Distribution granulométrique au Sud-est de la brèche de Gongondy
Figure 12: Dimensions fractales de fragments de la brèche de Gongondy
Figure 13: dimensions fractales de fragments de la brèche de Dienemera
Figure 14: Arbre d'évolution des types de propagation
Figure 15: présentation du réseau cellulaire (le voisinage ici est celui de Von Neumann)
Figure 16: Exemples de simulation (t→t+1) ; a) propagation instable1, G=8, E=7
b) propagation stable1, G=5
Figure17: Exemples de simulation (t→t+1) ; a) bifurcation stable1→stable2, G=5 b) bifurcation stable2→stable1, G=5 c) bifurcation instable1→instable2, G=8, E=7
Figure 18: brèche de Dienemera obtenue par simulation
Figure 19: Brèche de Dienemera interpolée sous Micromine sur la base des descriptions
géologiques (la face de couleur claire est celle qui a été modélisée).
11
I. INTRODUCTION
« Une brèche hydrothermale est une le produit d’une roche fragmentée sous l’effet de
fluides hydrothermaux provenant d’une chambre magmatique et/ou d’un magma »
(R.H.Sillitoe, 1985). Les brèches hydrothermales sont le plus souvent, sinon toujours,
associées aux gisements de type « complexe système porphyrique », autrement dit des
gisements polymétalliques constitués de : cuivre (Cu), or (Au), molybdène (Mo), tungstène
(W), argent (Ag), étain (Sn), zinc (Zn), rhénium (Re) ainsi que de nombreux éléments du
groupe du platine (PGE). Notons que l’essentiel de la minéralisation est porté par les brèches
d’où l’intérêt de leur étude.
Les gisements de type « complexe système porphyrique » représentent environ 50 à
60% de la production mondiale de cuivre, 99% de molybdène et d’importantes sources de
production d’or ; il s’agit de gisements géants allant des dizaines de millions de tonnes à des
milliards de tonnes de minerais avec des teneurs en différents métaux variant
considérablement mais inférieures à 1% en moyenne. La plupart de ces gisements sont d’âge
« récent », associés aux ceintures orogéniques allant du Mésozoïque au Cénozoïque entre 240
à 180 millions années avant Jésus-Christ (240 Ma-180 Ma avant J.-C.) dans les iles du
pacifique (Nouvelle Guinée en Indonésie etc.), du Nord au Sud de la côte Ouest de
l’Amérique (Chili, Etats Unis etc.). Cependant, on trouve d’importants gisements d’âge
Paléozoïque (540 Ma- 250 M avant J.-C.) notamment en Asie central, au Nord-Est de
l’Amérique et dans une moindre mesure, des gisements datant du Précambrien (3800 Ma-540
Ma avant J.-C.) au Canada et en Australie (voir figure 1).
Quelques gisements de cuivres porphyriques associés à des brèches hydrothermales
ont été identifiés en Afrique et essentiellement en Afrique du Sud, en Namibie, au Burkina
Faso, en Ethiopie, en Zambie, en Mauritanie et en Lybie.
Les brèches hydrothermales de Gaoua, localité située dans la partie Sud-Ouest du
Burkina Faso (Afrique de l’Ouest), ont été découvertes il y a un peu plus de trois quart de
siècle (1929) par les missions coloniales européennes. Elles sont associées à un gisement de
type porphyre cuprifère d’âge inclut dans le Précambrien (2240Ma-2170Ma). Un petit
gisement (lentille cupro-aurifère) de 5000 tonnes de minerais riche de 8,4% de cuivre et 4-
7g/t d’or a fait l’objet d’exploitation coloniale entre 1931 et 1938 (PNUD, 1970). Depuis lors,
cette zone n’a cessé d’être, avec des temps de pause, la cible de grandes sociétés minières
12
étrangères notamment française, américaine et canadienne (cf. tableau historique des travaux
en annexe) avec des objectifs bien divers.
Cependant, il est important de noter que la nature bréchique du gisement de Gaoua a
été longtemps ignorée ,sinon réfutée par les experts des sociétés minières exploitantes , en
dépit des avis de scientifiques renommés tels Gansoré (1970) et Sillitoe (1973) ( Zonou,
2006). En effet, exception faite des gisements recensés au Canada et en Australie, il est assez
inhabituel de trouver des brèches hydrothermales dans des formations géologiques aussi
anciennes que celles de Gaoua (Précambrien). Soulignons par ailleurs que dans le craton ouest
africain, seules deux brèches hydrothermales, toutes situées au Burkina Faso (Gaoua
et Zogyon à l’Ouest de Dano), ont été découvertes. La société Voltaresources est depuis 2002
le récent détenteur du permis de recherche du cuivre de porphyrique de Gaoua. Elle a fait
d’énormes progrès dans ses recherches et a procédé en 2009 à une estimation des ressources
en cuivre et or du gîte. Ces ressources ont été jugées importantes mais économiquement
l’exploitation ne serait pas rentable à cause de l’enclavement du pays. La société désire
accroître ses ressources mais connait d’énormes difficultés dans la maîtrise de toute la
géométrie complexe du corps bréchique dont on estime l’étendue potentielle à plus de sept
(07) kilomètres. Elle fut d’ailleurs la première société minière à avoir eut recours au modèle
de brèche hydrothermale dès 2002 dans l’exploration du gite de Gaoua. L’utilisation du
modèle de brèche hydrothermale a permis à la société minière d’engranger d’excellents
résultats et l’unanimité autour de la nature de brèche hydrothermale de la minéralisation
semble être désormais acquise.
Néanmoins, dû à la complexité de la géométrie de l’enveloppe brèchique et celle de
la distribution de la minéralisation à l’intérieur de la brèche l’efficacité opérationnelle du
modèle initialement utilisé tend à s’affaiblir, d’où la nécessité de concevoir un modèle plus
réaliste qui intègre des données plus actuelles. L’objectif de ce mémoire est de proposer à la
société Voltaressources, un modèle numérique capable de simuler la morphologie et
l’architecture extrêmement variées des gisements de type porphyre cuprifère (allant des
formes irrégulières, ovales, cylindriques à celles d’une tasse renversée (Sinclair, 2006)).
Le modèle que nous proposons est basé sur les automates cellulaires. Un tel modèle a
déjà été proposé dans le contexte canadien (Lalonde, 2006) mais basé sur les processus
chimiques (réactions entre les fluides hydrothermaux et les fragments rocheux). Le but est de
comprendre l’évolution morphologique des fragments dans les processus chimiques qui
surviennent généralement juste après la fragmentation dans les systèmes de brèche
13
hydrothermale. Notre modèle est plutôt basé sur les processus physiques responsables de la
mise en pièces des massifs rocheux. Notre but est de comprendre les différentes morphologies
que prennent cette fois-ci les corps des brèches (hydrothermales) elles-mêmes lors des
processus physiques (explosion, implosion, effondrement, tectonique) conduisant à leur
formation. L’approche des automates cellulaires consiste en des éléments de bases très
simples qui vont interagir entre eux au cours du temps sur la base de règles simples pour
aboutir à l’émergence de la complexité du phénomène que l’on étudie. Les automates
cellulaires sont en effet construits à l’aide de règles structurelles et fonctionnelles. Les
premières concernent l’aspect topologique du réseau cellulaire, les secondes concernent
l’aspect dynamique de l’évolution du réseau au cours du temps.
Un automate cellulaire peut donc être décrit comme un ensemble de « cellules » arrangées en
une grille régulière. Le temps aussi y est discrétisé. Chaque élément ou « cellule » prend un
état discret dans un ensemble fini d’état et à chaque évolution temporelle l’état suivant d’une
cellule dépend de son état actuel et l’état des cellules du voisinage.
Dans la première partie du mémoire nous présenterons d’abord une brève revue
bibliographique des modèles de brèches hydrothermales associés à des porphyres cuprifères
existants dans la littérature. La suite sera consacrée à l’étude géologique de la brèche
hydrothermale de Gaoua : Il s’agira pour nous de revenir sur les fondements génétiques à
l’origine de la mise en place du gîte ainsi qu’une étude géométrique et physique sur le corps
brèchique, puis nous tenterons de mettre en évidence la pertinence de la méthodologie que
nous envisageons d’adopter dans le cadre de notre étude.
La deuxième partie servira à la mise en place du modèle inspiré des automates
cellulaires. Nous tenterons d’intégrer le modèle théorique, sa géométrie et ses propriétés
physiques dans les méthodes de modélisation.
Dans la troisième partie nous présenterons les résultats suivis de discussions.
Enfin nous terminerons par partie conclusions et recommandations.
14
II. HYPOTHESE DE TRAVAIL ET OBJECTIFS DU TRAVAIL
Les morphologies des corps de brèches hydrothermales sont caractérisées par leur
extrême variété. Cela est sans doute la conséquence de la diversité des mécanismes
responsable de leurs formations. Dans le cadre de ce mémoire, nous avons pour objectif de
construire un modèle de simulation de formation de brèche hydrothermale d’explosion.
II.1. Contexte général de mise en place de cuivre porphyrique
Les gisements de type porphyres sont des gisements à grand tonnage, de teneurs
faibles à moyennes dans lesquelles les minéralisations primaires, hypogènes, (Cu, Mo, W, Sn,
Au, Ag, Re, PGE) sont en grande partie structuralement contrôlées, spatialement et
génétiquement liées à des intrusions porphyriques de composition intermédiaire à felsique
(Sinclair, 2006).
Les ceintures orogéniques d’âge Jurassique, Crétacé, Eocène, et Miocène sont
en date les plus prolifiques en gisements de type porphyre. Ils se mettent en place
généralement à la base des stratovolcans dans les zones de subduction entre plaque
continentale et arc insulaire à volcanisme de type intermédiaire.
Cependant les gisements porphyres cuprifères peuvent se mettre en place dans des
contextes divers et souvent sous des paramètres assez uniques comme le gisement Cu-Mo de
Tribag et Jogran en Ontario apparemment liés à un rift continental (Norman and Sawkins,
1985). Le gisement porphyrique Cu-Au, comme ceux associés au Triassique et Jurassique
inférieur saturé en silice, les intrusions alcalines de British Columbia, mis en place dans un
contexte d’arc insulaire quoique lors de périodes de croûte en extension (Sinclair, 2006).
Les corps minéralisés peuvent être isolés, se chevaucher ou s’empiler les uns sur les autres
(intrusions multiples). Pris individuellement ces corps minéralisés peuvent mesurer plusieurs
centaines à quelques milliers de mètres. La minéralisation y est communément distribuée de
manière erratique et zonée avec schématiquement le minerai concentré au cœur, entouré d’un
halo pyriteux.
La grande taille et le contrôle structural (veines, stockworks, fractures, craquelures, et
cheminées de brèches…) de ces gisements sont des critères qui les distinguent d’une variété
de gisements qui se sont mis en place à leur périphérie (skarns, mantos, filons mésothermaux,
gisements épithermaux de métaux précieux) (voir figure 2).
Les cheminées de brèches sont le plus souvent sinon toujours associées aux porphyres
cuprifères.
Leur morphologie est plus souvent complexe et elles se mettent en pace dans les systèmes
plutoniques de faible profondeur (1 à 5
multiples. Toutes les intrusions ne sont pas minéralisées. Le pluton minéralisé est
généralement la dernière intrusion la plus différenciée.
Figure 2: Distribution de cuivre porphyr
Sinclair
Sillitoe a défini six (06)
subsurface. On peut y noter l’explosion par surpression et l’implosion due à une brusque
décompression pressenties dans le contexte de Gaoua
Leur morphologie est plus souvent complexe et elles se mettent en pace dans les systèmes
plutoniques de faible profondeur (1 à 5 km) polyphasés constitués de petites intrusions
multiples. Toutes les intrusions ne sont pas minéralisées. Le pluton minéralisé est
intrusion la plus différenciée.
: Distribution de cuivre porphyrique (points rouges) dans le monde, d'après W
six (06) mécanismes possibles de brèchification
noter l’explosion par surpression et l’implosion due à une brusque
pressenties dans le contexte de Gaoua.
Figure 3: Schéma d’un système de porphyre cuprifère à la base d’un stratovolcan montrant la zonation minérale et les relations possibles avec différents types de gisements périphériques possibles) d’après Kirkham et Sinclair 1996 « in Sinclair RW 2006 »
15
Leur morphologie est plus souvent complexe et elles se mettent en pace dans les systèmes
km) polyphasés constitués de petites intrusions
multiples. Toutes les intrusions ne sont pas minéralisées. Le pluton minéralisé est
dans le monde, d'après W.D
de brèchification de roches en
noter l’explosion par surpression et l’implosion due à une brusque
: Schéma d’un système de porphyre cuprifère à la base d’un stratovolcan montrant la zonation minérale et les relations possibles avec différents types de
périphériques possibles) d’après Kirkham et Sinclair 1996 « in Sinclair RW
16
II.2. Hypothèses des mécanismes de la déformation cassante (fragmentation)
Le comportement mécanique d’une roche naturelle est de toute évidence très complexe
par rapport à la plupart des matériaux. Cette complexité vient d’une part du grand nombre de
paramètres intervenants dans le mécanisme et d’autre part de la diversité de comportements
que cela engendre. Les roches peuvent présenter des déformations élastiques, plastiques
pouvant conduire à une rupture (voir figure n°3). Une rupture se manifeste par l’apparition
d’une discontinuité au sein de la roche indépendamment de l’échelle. Cependant les
microstructures (réseau cristallin, propagation de fissures, plasticité par saut de dislocation,
par glissement sur des discontinuités…) interagissent entre elles sous l’effet des contraintes et
il est difficile de prévoir le comportement macroscopique.
Les matériaux rocheux sont des milieux hétérogènes qui se déforment sous l'effet de
contrainte. La contrainte est une propriété ponctuelle. L'état de contrainte correspond aux
forces surfaciques mises en jeu entre les portions déformées du milieu. Elle est le rapport
d'une force divisée par une surface, et est donc homogène a une pression et exprimée en
pascals. Il existe deux types de contraintes : les contraintes normales (�) et tangentielles(�).
En géologie, la déformation est une transformation géométrique qui affecte l'aspect, la
texture, les propriétés des roches. Elle peut être continue où discontinue comme dans le cas
d’une déformation fragile où on assiste à une rupture des liaisons atomiques (voir figure n°4).
La rupture se produit dans le matériau lorsque les contraintes appliquées conduisent au
dépassement d’un critère, considéré comme une propriété intrinsèque du matériau : contrainte
critique.
Figure 4: Courbe de déformation d'une roche.
17
Plusieurs méthodes ont été proposées après des tests au laboratoire pour expliquer le
comportement fragile des roches : modèle de Mohr-Coulomb, modèle de Hoek-Brown et celui
de Griffith. Nous nous intéresserons à ce dernier dans notre étude.
1. Modèle de rupture d’une roche de Griffith (modèle géologique)
La théorie de Griffith est l’une des plus classiques. Elle se fonde sur la mécanique des
ruptures fragiles, utilisant les concepts d’énergie de déformations élastiques. Ce modèle
semble nous intéressé plus par le simple fait qu’il décrit le comportement de la propagation de
fissures de forme elliptique en considérant l’énergie mise en jeu.
Le modèle pose que lorsqu’une fissure est capable de se propager suffisamment pour
fracturer le matériau, l’énergie de surface obtenue est égale à l’énergie de déformation perdue.
dEs = 2γ. ds
Avec dEs = énergie de déformation perdue
= énergie de surface, caractéristique du matériau
ds = surface de fissure créée
Pour un solide élastique contenant une fissure, lorsque la fissure se propage d’une surface
élémentaire ds la conservation de l’énergie totale du système s’écrit :
dEt = dEel + dEext + dEs + dEcin = 0
Avec dEel = variation de l’énergie élastique
dEext = variation de l’énergie potentielle des forces extérieures
dEs = variation d’énergie de surface
dEcin = variation de l’énergie cinétique
Lorsque dEcin > 0 la propagation dévient instable. C'est-à-dire si :
∂∂�
(dEel + dEext) + 2γ < 0
On définit � comme étant le taux de restitution d’énergie :
Figure 5: Essais de déformation en compression triaxiale
=contrainte principale maximale
(majeure).
=Contrainte principale
intermédiaire.
=contrainte principale minimale
(mineure).
18
� = −∂∂�
(dEel + dEext)
Cette relation montre que � est à la fois fonction de la nature de la roche et des conditions de
chargement. On en déduit le critère de Griffith, la fissure se propage si :
� ≥ 2� �� � ≥ �
Avec � = 2�, l’énergie critique de propagation. La propagation peut être stable ou instable
en fonction de � :
• Pour � = 2� la propagation est dite stable
• Pour � > 2�la propagation devient instable, car elle ne peut plus à elle seule
consommer toute l’énergie restituée par le système de chargement.
Figure 6: Modèle de propagation de rupture de Griffith.
Le modèle proposé par Griffith donne une description complète du comportement des
roches fragiles.
Des auteurs à la suite de Griffith ont monté le rôle déterminant des
discontinuités ou microstructures dans les comportements des roches lors des sollicitations
mécaniques. Les expériences tendent à montrer que la complexité de ces comportements
résulte en grande partie des discontinuités préexistantes. Les relations entre les discontinuités
et la résistance des roches ont été établies :
(σ! − σ") =2(c# + σ"tanΦ#)
(1 − tanΦ#cotβ)sin2β
Avec c# = cohésion du plan de faiblesse ;
Φ# = angle de frottement du plan ;
β = inclinaison du plan ;
Pour β = 45 + 12) Φ# la résistance de la roche est minimale. Pour les roches Φ# se situe
généralement entre 30° et 50° et donc β se situe entre 60° et 70°. Lors des essais la roche se
rompt généralement en formant un plan cisaillé orienté d’un angle compris dans ce même
19
intervalle. Si la roche contient un plan de faiblesse préexistant, ce dernier deviendra fort
probablement le plan de rupture, car la résistance de la roche y est encore plus faible.
D’autres auteurs ont mis en place un modèle de cisaillement provenant de l’interaction
des microfissures parallèles à la contrainte principales nées dans la zone de faible résistance
(Reches et Lockner, 1994).
Leur modèle montre que la microfissuration s’initialise parallèlement à la contrainte
principale et se propage de manière diffuse dans la direction du plan rupture (voir figure n°6).
On parle de modèle de nucléation de macro-discontinuité à partir de l’interaction de fissures
parallèles à la contrainte principale.
La propagation du cette macro-rupture est cependant irrégulière la plus part du temps
en compression (voir figure n°7).
La trajectoire de la rupture des matériaux rocheux lors des sollicitations mécaniques
dépend de leur discontinuité (Barton et Choubey, 1977). Beaucoup de théories s’appuyant sur le
modèle de Griffith, que nous avons développé plus haut, sur la propagation des ruptures ont été
proposées. Leurs expériences montrent que plus les surfaces de discontinuités sont rugueuses
plus on a un glissement stable, si le déplacement est imposé. Pour une surface de faible rugosité
on peut observer des glissements marqués par des instabilités successives appelées « stick-slip »
(voir figure n°20 en annexe). Ce comportement est normalement précédé d’un glissement stable
mais pas systématiquement. Cependant certains soulignent que la notion de glissement stable ou
encore cisaillement stable est plus une question d’échelle.
(a) (b)(c) (d)
Figure 7:Types de connexions élémentaires pour les mécanismes de base dans la formation des bandes de cisaillement. La direction verticale correspond à la direction du chargement uniaxial (d’après Tillard, 1992, et Haïed, 1995).
20
Figure 8: Essai de compression simple et schéma de départ d’une fissure pouvant se propager
(d’après Mitaim et Detournay, 2004).
L’instabilité étant causée par le glissement simultané sur des sites d’égale résistance
d’après leur modèle. Lors des sollicitations mécaniques des roches, lorsqu’un point de contact
atteint sa résistance maximale il existe un certain nombre de points de contact voisins qui sont
également proche de la rupture. Ce phénomène est désigné sous le terme d’avalanche.
Une rupture peut engendrer facilement une avalanche de ruptures concernant un grand
nombre de contacts et le processus de fissuration se poursuit après la macro-rupture (D.
Amitrano, 1999). Les avalanches de taille maximale sont observées lors des phases « stick-
slip ». En plus des conditions de chargement la cohésion interne (c) est aussi determinant sur
la taille des avalanches (voir figure n°21 en annexe).
La taille des avalanches a tendance à croitre avec la déformation mais la première
avalanche est généralement de taille supérieure ou égale au reste des avalanches et est
généralement suivi d’une chute temporaire de contraintes (D. Amitrano, 1999).
2. Modèle mathématique
Dans ce travail notre souci principal est trouvé un modèle de simulation nous
permettant de retracer par itérations les morphologies des corps bréchiques existant à Gaoua
jusqu’à leurs dimensions actuelles et puis prédire leurs extensions possibles.
Pendant bien longtemps seuls les modèles mathématiques usuels tels les équations aux
dérivés partielles (edp) ou équations différentielles ordinaires (ode) étaient utilisés dans la
modélisation des systèmes complexes. C’est une approche descendante consistant à partir des
équations complexes du système pour aboutir à une solution plus simple et plus
compréhensible. Toutefois la plupart plus de ces équations (les edp surtout) ne possèdent pas
21
de solutions analytiques. Pour cela on fait appel aux méthodes numériques pour venir à bout
de celles-ci. Ces méthodes procèdent par itérations.
Comme exemples de méthodes numériques on peut citer :
• La méthode des éléments finis (FEM : Finite Element Method)
• La méthode des volumes finis (FVM : Finite Volume Method)
• Et la méthode des différences finies (FDM : Finite Difference Method)
Cette dernière méthode consiste à solutionner l'équation par approximation en calculant un
nombre fini de points et en utilisant une méthode itérative, Le plus grand défi consiste à
trouver une équation qui soit une bonne approximation de l'équation étudiée et qui soit
numériquement stable. Par numériquement stable, on entend que l'erreur combinée des
données en entrée et des calculs intermédiaires ne s'accumulent pas de manière à rendre le
résultat final très erroné.
Dernièrement de nouvelles méthodes de modélisation, tels les automates cellulaires
beaucoup plus souples, permettant la modélisation de systèmes dynamiques très complexes
particulièrement difficiles à représenter en termes d’équations mathématiques ont fait leur
apparition. Cette dernière méthode consiste à simuler les interactions concomitantes de
plusieurs paramètres à la fois générant un dynamisme original. C’est une approche ascendante
qui par du simple pour laisser émerger le complexe.
Les automates cellulaires ne donnent peut être pas de solution analytique mais
décrivent la dynamique du phénomène étudié à l’aide des paramètres pris en compte. Dans la
plus part des processus géologiques le dynamisme est très déterminant. La formation des
brèches hydrothermales nécessite des variations extrêmes de pression et de température, des
mouvements de magma en subsurface ou dans certains cas des mouvements de plaques
lithosphériques (A. Snelling, 2008), à cela il faut ajouter les microstructures du matériau
rocheux (réseau cristallin, distribution des fissures, cohésion, angle de frottement interne,
plasticité par saut de dislocation, par glissement sur des discontinuités…) interagissant
ensemble.
Les automates cellulaires apparaissent comme étant des moyens naturels pour réaliser
de tels modèles dynamismes. Leur solution étant de l’ordre de la simulation dans le temps et
l’espace discrétisés ils pourraient être vus comme les plus dynamiques des modèles
dynamiques.
Les automates cellulaires sont vus comme des machines de cellules régis
essentiellement par deux types de règles : règles structurelles et fonctionnelles. Les premières
renvoient à l’aspect topologique du réseau cellulaire (la dimension, le type de voisinage et les
états) tandis que les secondes concernent l’aspect dynamique de l’évolution du réseau au
cours du temps (les règles de transitions).
On dit d’un automate cellulaire qu’il est un quadruplet
• d * + la dimension de l’automate
• ζ un ensemble fini dont les éléments sont les états de l’automate
• f: ζ/ 0 ζ est la fonction de transition locale de l’automate
• V est le type de voisinage.
a.
Le réseau cellulaire peut être construite dans des espaces différent
trois dimensions ; l’arrangement des cellules en réseau pouvant aussi être variable
(orthogonal, hexagonal). L’ensemble des états d’un automate est noté
plus courants sont construits en deux dimensions.
b.
Les cellules sont les éléments de base d’un automate cellulaire. L’ensemble de ce que
chaque cellule est ou ce qu’il peut devenir est appelé les états. Les cellules peuvent avoir
plusieurs états. Mais dans le cas le plus simple
c.
Le voisinage est définit comme l’ensemble des cellules situé dans un rayon donné dont
chaque cellule doit considérer les états avant de changer son état à chaque intervalle de temps.
Il s’agit tout simplement des cellules pouvant agir sur l’état d’une cellule donnée à travers les
règles fonctionnelles.
Les voisinages les plus connus sont
a.
Figure 9:Voisinage : (a) de Von
d.
états) tandis que les secondes concernent l’aspect dynamique de l’évolution du réseau au
cours du temps (les règles de transitions).
On dit d’un automate cellulaire qu’il est un quadruplet A � �d, ζ, f, V� avec
de l’automate ;
un ensemble fini dont les éléments sont les états de l’automate ;
est la fonction de transition locale de l’automate ;
est le type de voisinage.
a. La dimension
Le réseau cellulaire peut être construite dans des espaces différents, ayant une, deux ou
; l’arrangement des cellules en réseau pouvant aussi être variable
(orthogonal, hexagonal). L’ensemble des états d’un automate est noté 45 . Les automates les
plus courants sont construits en deux dimensions.
b. Les états
Les cellules sont les éléments de base d’un automate cellulaire. L’ensemble de ce que
chaque cellule est ou ce qu’il peut devenir est appelé les états. Les cellules peuvent avoir
plusieurs états. Mais dans le cas le plus simple, chaque cellule peut avoir l’état binaire 1 ou 0.
c. Le voisinage
Le voisinage est définit comme l’ensemble des cellules situé dans un rayon donné dont
chaque cellule doit considérer les états avant de changer son état à chaque intervalle de temps.
cellules pouvant agir sur l’état d’une cellule donnée à travers les
Les voisinages les plus connus sont : le voisinage de Von Neumann et celui de Moore.
b.
: (a) de Von Neumann, (b) de Moore, (c) de Moore étendu.
d. Les règles de transition
22
états) tandis que les secondes concernent l’aspect dynamique de l’évolution du réseau au
avec
s, ayant une, deux ou
; l’arrangement des cellules en réseau pouvant aussi être variable
. Les automates les
Les cellules sont les éléments de base d’un automate cellulaire. L’ensemble de ce que
chaque cellule est ou ce qu’il peut devenir est appelé les états. Les cellules peuvent avoir
avoir l’état binaire 1 ou 0.
Le voisinage est définit comme l’ensemble des cellules situé dans un rayon donné dont
chaque cellule doit considérer les états avant de changer son état à chaque intervalle de temps.
cellules pouvant agir sur l’état d’une cellule donnée à travers les
: le voisinage de Von Neumann et celui de Moore.
c.
Neumann, (b) de Moore, (c) de Moore étendu.
23
Il s’agit des règles responsables du dynamisme de l’automate encore appelées fonction
de transition. Elles définissent les états suivants des cellules sur la base de leur état actuel et
ceux des cellules du voisinage. La fonction notée 6 peut être définie de manière à ce que
chaque élément ait un successeur unique, dans ce cas, on parlera d’automates déterministes ou
une fonction faisant intervenir des variables aléatoires, on parlera dans ce cas d’automates
probabilistes ou stochastiques.
II.3. Objectif du travail
Dans le cadre de l’exploration minière des techniques comme la géochimie, la
géophysique et les images satellitaires sont utilisées pour aider les géologues à avoir une idée
sur l’évolution spatiale des corps minéralisés. Ces techniques sont extrêmement couteuses et
souvent indirectes. Le plus souvent il faut en combiner plusieurs pour augmenter les chances
de succès. Dans cette même optique les modèles numériques de simulations peuvent êtres des
moyens de plus qui ont l’avantage d’être moins chers.
De manière générale les modèles de simulation sont générés principalement pour les
objectifs suivants :
• On aspire à comprendre un phénomène et on construit un modèle pour l’expliquer.
• Deuxièmement on s’intéresse à faire des prédictions, que le phénomène soit compris
ou non. Notons qu’il existe des systèmes chaotiques qui sont bien compris mais
impossibles à prévoir à long terme. En revanche on peut prédire certains phénomènes
à l’aide d’algorithmes d’apprentissage automatique dont les paramètres n’ont pas de
sens concret facile à exprimer.
• En outre certains modèles sont conçus dans le but de contrôler un système en agissant
sur certains de ses paramètres.
• Enfin on trouve des modèles conçus sur la base de logiques abstraites et qui n’ont ou
pas encore de domaines d’application.
Depuis quelques décennies de nouveaux paradigmes de modélisation sont arrivés avec
l’explosion des puissances de calcul des ordinateurs. Ces méthodes permettent d’expliquer les
phénomènes à base de règles simples aux dépends des équations mathématiques. En effet il
apparait de moins en moins évident de réduire la complexité du dynamisme de certains
phénomènes à quelques équations préétablies (Rouquier, 2008). Les processus géologiques
s’avèrent être des plus complexes. La genèse des brèches hydrothermales par exemple fait
appel à une multitude de paramètres intriqués, certains variant de façon extrêmes et leur
mesurabilité ne semble pas envisageable. Les modèles mathématiques conçus pour expliquer
24
les comportements des roches ont tous montré leurs limites. Les paramètres utilisés expliquent
les comportements sous certaines conditions limites de contraintes même au laboratoire. La
complexité des comportements mécaniques des roches peut être exprimée par des modèles
intégrant l’ensemble des paramètres jugés pertinent dans le comportement élémentaire et
procéder à des simulations à grande échelle.
Le modèle des automates cellulaires consiste à simuler les interactions concomitantes
de plusieurs éléments à la fois générant un dynamisme original.
De nombreux travaux récents ont montré la pertinence de l’utilisation des automates
cellulaires dans des domaines aussi variés que la physique fondamentale, la croissance des
cristaux, le trafique routier, l’urbanisme, l’environnement, la dynamique des fluides, etc.
L’objectif du présent mémoire est de trouver un model de simulation basé sur les
automates cellulaires du mécanisme de bréchification survenu dans le contexte de la zone de
Gaoua. Malgré l’intérêt économique gigantesque des brèches hydrothermales on rencontre
dans la littérature peu de travaux consacrés à la simulation de celles-ci. Des approches par
analyse fractale (An et Sammis, 1994), code géomécanique (Ord et Hobbs, 2002), ou
automates cellulaires (Jébrak et Lalonde, 2006) ont été utilisées pour modéliser certains
processus de brèches hydrothermales comme la diffusion, la précipitation et la dissolution.
Ces travaux ont abouti à des résultats intéressants surtout dans le domaine de la recherche
fondamentale. Les travaux de l’équipe conduit par M. Jébrak ont en outre mis au point des
outils de prospection : modèle de simulation de dissolution et de reconnaissance de brèches «
Breccia Digital Recognition » (BDR) (Pouradier et Jébrak, 2007). La mis en place de notre
modèle sera guidée par les réalités du problème que nous envisageons résoudre. D’emblé
nous allons construire un modèle basé sur les lois générales qui régissent la fragmentation des
roches en compression. Ensuite nous allons tenter de l’adapter au contexte spécifique d’une
des brèches de Gaoua (Dienemera) qui s’est mise en place dans les conditions similaires.
Le modèle numérique du processus de fragmentation proposé vise à prédire à la fois
la morphologie des corps brèchiques que leur localisation spatiale.
Pour cela nous procéderons, dans un premier temps à une étude de la géologie, du contexte
génétique ainsi que de quelques propriétés des brèches existant Gaoua.
En second lieu, nous tenterons de construire un modèle numérique de simulation adapté.
25
III. MATERIELS ET METHODES
III.1. Zone d’étude : cadre géologique
Le Burkina Faso repose en grande partie sur une portion du craton ouest-africain,
formations d’âge Précambrien. Il s’agit essentiellement de ceintures d’âge Paléoprotérozoïque
constituées de roches volcano-sédimentaires et plutoniques dites « Birimiennes » (d’âges
variant de 2 240Ma à 2 170Ma) entrecoupées par de vastes massifs de granitoïdes éburnéens
(2 150 à 2095Ma).
Elles sont bordées au nord et à l’ouest par la couverture sédimentaire Néoprotérozoïque
(1000Ma à 540Ma) à cénozoïque (65Ma), (Le Continental Terminal) du bassin de Taoudeni
tandis qu’à l’Est, il est limité par le bassin sédimentaire du Voltaien d’âge Néoprotérozoïque.
La région de Gaoua est localisée au Sud de la ceinture de Boromo, orientée N-S à
NNE-SSW, une des plus importantes (400km de long sur 35km de large) et des plus
prolifiques en termes de minéralisations, parmi la dizaine de ceintures qui parcourent le pays.
La géologie est constituée de formations volcano-sédimentaires recoupées par des intrusions
diverses le tout bordé à l’Est et à l’Ouest par les granitoïdes.
Le projet porphyre cuprifère de Gaoua est vieux de plus de 80 ans. Les indices de
minéralisations Cu-Au ont été mis en évidence en 1929 lors d’une excusions de recherche
minière par la Compagnie Equatoriale des Mines (CEM), une des compagnies minières
coloniales qui s’intéressaient au potentiel minier de la région à l’époque. Cela va même
conduire à la découverte et l’exploitation (1931-1938) d’un petit gisement (lentille cupro-
aurifère) de 5000 tonnes de minerai à 8,4% de Cu avec 4 à 7g/t de Au.
La géologie de la zone minéralisée de Gaoua (projet Gaoua) consiste en des basaltes,
dolérites et tufs andésitiques recoupés par des intrusions complexes polyphasées de diorites à
diorites porphyriques ± à quartz. La minéralisation est portée par une brèche hydrothermale
associée et génétiquement liée à une diorite porphyrique à hornblende au Sud à Gongondy et a
une diorite porphyrique ± à quartz au Nord à Dienemera.
La typologie des minéralisations de Gongondy et Dienemera a très tôt suscité
beaucoup d’hypothèses. Aujourd’hui ceux qui soutiennent l’appartenance de ces
minéralisations au type porphyre cuprifère semblent prendre le dessus. Les experts qui les
reliaient aux systèmes des « shear zones » ont fini par se convaincre que ces « shear zones »
étaient postérieures à la minéralisation.
26
Figure 10:Géologie de la région de Gaoua, d'après Zonou SE
Les minéralisations Cu-Au de Gongondy et Dienemera sont sans ambiguïté des types
porphyres cuprifères génétiquement liés aux complexes polyphasiques diorite porphyrique,
diorite à quartz datant du Birimien portées par une brèche d’origine hydrothermale
magmatique. Les fluides en surpression responsable de la fragmentation des roches provenant
directement du même magma que ces complexes porphyriques (R.H. Sillitoe, 2007).
L’idée de la présence de pipes brèchiques d’explosion (Dienemera) et de brèches
d’implosion (Gongondy) est admise (Zonou, 2006 ; Sillitoe, 2007).
27
L’étude de certaines propriétés géométriques a été réalisée dans le cadre de ce
mémoire juste de façon illustrative.
La complexité morphologique permet de montrer le degré d’irrégularité des bordures
des fragments constituants les brèches. Cela permet de les faire classifier et surtout d’avoir
une conception sur leurs origines et les mécanismes de leur mise en place tels les flux
hydrothermaux. Il existe plusieurs méthodes de calcul de la complexité morphologique d’un
objet. Le rapport surface/volume de l’objet et la dimension fractale de bordure sont des
exemples. C’est cette dernière que nous allons utiliser dans notre étude.
La morphologie de bordure des fragments a été caractérisée sous Fractalyse, un logiciel libre
conçu à cet effet.
Les fragments de la brèche de Gongondy contrairement à ce qui était admis ont une
forme rectangulaire et non triangulaire. Nous avons relevé une invariance d’échelle liée à
cette géométrie au cours de notre étude. Les résultats ont montré la très grande complexité
morphologique des fragments de la brèche de Gongondy. Bien que la fragmentation ait été
« régulière » la dimension de bordure des fragmentations se montre très complexe (voir figure
n°11).
La brèche de Dienemera est constituée de fragments particulièrement irréguliers.
Cependant nous avons remarqué la fréquence des formes triangulaires dans les sondages que
nous avons observés. La complexité morphologique des fragments provient à la fois de la
fragmentation que de leurs interactions avec les fluides hydrothermaux. Cela semble conforter
la thèse de brèche d’explosion attribuée à la brèche observée à Dienemera. L’explosion est
sans doute la première cause de l’énorme complexité morphologique de ces fragments (voir
figure n°12).
Figure 11: Exemple de propagation de rupture rencontré à Dienemera.
28
Des zonalités granulométriques ont été mises en évidence sur la brèche de Gongondy
particulièrement. La taille des fragments croient du Sud vers le Nord et d’Ouest vers l’Est.
D’une manière générale il apparait un cœur d’intense fragmentation, composé de fragments
de petites tailles, et que l’intensité diminue au fur et à mesure qu’on s’en éloigne (voir figure
n°10). Cela est beaucoup plus perceptible au Sud. Le Nord est la zone des fragments de
grande taille.
Figure12: Distribution granulométrique au Sud-est de la brèche de Gongondy
0 50 100 150 200 2500
50
100
150
200
250
Profondeur
rapp
ort
(pet
its f
ragm
ents
/gro
s fr
agm
ents
)
Courbe de distribution granulométriquede la brèche à S19GON
29
Fragments
Gongondy
Dimension
de bordure
1,723 1,727 1,878 1,729 1,807 1,779 1,750
Figure 13: Dimensions fractales de fragments de la brèche de Gongondy
Fragments
Dienemera
Dimension de
bordure
1,701 1,682 1,717 1,758 1,849
Figure 14: dimensions fractales de fragments de la brèche de Dienemera
30
III.2. Méthodologie
Pour la conception de notre modèle nous avons élaboré une méthodologie de travail
qui sera présenté dans cette partie. Nous soulignons d’emblée que les circonstances réelles qui
ont prévalu à la formation des brèches à Gaoua ne sont guère maitrisées. Nous partirons sur la
base des principes généraux de formation de brèche hydrothermale.
1. Choix du modèle de base
Le modèle de base de notre travail est choisi parmi les modèles de rupture de
matériaux rocheux classiques existant dans le domaine de la géologie décrits plus haut. Le
choix a été essentiellement guidé par les exigences de la méthode de simulation que nous
avons choisie. Nous avons besoin d’un modèle de rupture qui décrit le comportement du
matériau rocheux lors des ruptures. C’est le cas du modèle de Griffith.
Le matériau rocheux constitue l’élément de base du modèle que nous envisageons
mettre en place. Dans le cas spécifique de la brèche de Dienemera nous savons qu’elle est
portée par un stock de diorite. Dans les profondeurs où génèrent les brèches hydrothermales
(entre 01 à 05km) la diorite a essentiellement un comportement fragile due à la pression et à la
température qui y règne. La théorie proposée par Griffith tient compte de la rhéologie du
matériau rocheux en présence. L’idée n’est pas de construire une roche virtuelle comme cela a
été le cas dans d’autres modèles (cf. mémoire Lalonde) mais plutôt d’intégrer le
comportement spécifique des types de roche en présence.
Dans notre modèle nous avons opéré un certain nombre de choix que nous assumons.
Nous considérerons délibérément le massif rocheux homogène en termes de discontinuités.
En ce qui concerne les choix des constantes propres aux types de roches définis dans la
théorie de Griffith nous n’avons pas fait d’essais au laboratoire sur la diorite de Dienemera
pour les trouver. Nous les prendrons juste dans la littérature. Il s’agit entre autre de l’énergie
critique de propagation G8 , l’énergie de surface γ, angle de frottement du plan de
cisaillement ϕw, cohésion interne c, coefficient de friction interne ϕ.
Il faut toutefois noter qu’à un certain ordre de grandeur des forces de déformation
(chargements) les propriétés intrinsèques des roches (cohésion interne, coefficient de friction
interne…) deviennent négligeables devant les forces de déformation (Amitrano, 1999). De
toute évidence c’est le cas lors des processus pouvant générer les brèches. La suppression des
fluides hydrothermaux responsable de la fragmentation des centaines de millions voir des
milliards de tonnes de masse rocheuse en quelques temps devrait sans aucun doute être d’une
intensité exceptionnelle.
31
2. Energies de déformation
Notre source d’énergie principale est la pression exercée par les fluides
hydrothermaux. Elle varie de façon extrême, allant des surpressions (hautes intensités de
pression) à une décompression brusque, conséquence des différentes interactions entre la
température d’une chambre magmatique et/ou d’un magma et les eaux « météoriques ». Pour
notre modèle nous envisageons adapter cette fluctuation dans le temps de la pression des
fluides à la variation spatiale du corps de la brèche que nous disposons. Le massif rocheux
étant supposé homogène dans son ensemble les parties les plus épaisses du corps brèchique
correspondent au moment de propagation des hautes pressions d’endommagement.
Une autre source d’énergie qui elle, est secondaire est l’énergie cause par la
propagation de la rupture appelée énergie cinétique. Elle a un seuil ; au-delà de laquelle elle
influx sur la propagation que nous voudrions fixer en tenant compte des réalités
morphologiques de notre brèche d’étude.
3. Propagation des ruptures
En observant le modèle proposé par Griffith ainsi que des modèles dérivés de ce
dernier d’autres auteurs comme Reches et Lockner nous tenterons d’adapter leurs théories sur
la propagation des ruptures au cas spécifique de Gaoua (voir figure n°9). Nous avons aussi
lors de notre stage à Gaoua minutieusement observé le style de propagation des ruptures et
nous en tiendrons bien sûr compte. Pour arriver à simuler le comportement d’une
macrorupture qui se propage comme observé dans le modèle de Griffith nous avons identifié
quatre styles de propagation regroupés en deux classes. Il est possible de passer d’un style à
un autre dépendamment des énergies de déformation.
Le choix de la taille des avalanches sera essentiellement guidé par la morphologie de
la brèche que nous entendant modéliser d’une part et les énergies de déformations d’autre
part. Ceci est en conformité avec notre modèle de base et les différentes théories sur la
distribution de la taille des avalanches que nous avons rencontrées dans nos recherches.
La distribution des tailles d’avalanche est une fonction de ϕ , ϕw et de la déformation et donc
de �. Cependant nous comptons pour notre part faire ressortir une loi de distribution de tailles
d’avalanche guidée par les conditions réelles du problème que nous posons sans toutefois
s’écarter de la théorie.
En pratique nous avons utilisé un papier millimétré transparent que nous avons superposé sur
une copie (en papier A4) de l’interpolation de la brèche de Dienemera à l’échelle de
1/7690ième réalisé par la société en 2008 sur la base des descriptions des sondages carottés
qu’elle a réalisé. Ce travail a pour but de déterminer la taille des avalanches dans l’espace
32
bidimensionnelle au millimètre près que nous utiliserons dans la modélisation proprement
dite. La taille des avalanches correspond ici à l’étendue spatiale du corps brèchique autour
d’une macrorupture.
4. Méthode de modélisation
Le modèle est essentiellement basé sur le modèle des automates cellulaires. De ce fait
nous devons procédés à l’élaboration des caractéristiques d’un automate cellulaire en nous
inspirant des fondements du processus géologiques que nous comptons modéliser. Un
automate cellulaire à une dimension, des états, un voisinage et des règles de transition. Dans
le cadre de l’étude de la morphologie de la brèche, nous avons utilisé un papier millimétré
pour quadriller la brèche et nous avons choisi de travailler sur des cellules de 01mm2 de
surface. Par conséquence toutes les autres caractéristiques de notre automate seront définies
en fonction du choix de notre modèle de base toute en respectant ce principe. Les cellules
évoluent dans une matrice [= >].
Pour la propagation des macroruptures nous avons conçu un automate 2D à deux
voisins variable dans le plan selon le style de propagation suivant le voisinage de Moore. Au
sein de celui-ci se trouve un autre automate 2D utilisant le voisinage de Moore susceptible de
simuler la propagation des brèches au sein des avalanches prédéfinies lors de la propagation
des macroruptures.
Le temps de propagation des macroruptures est plus réduit que celui des brèches.
Les règles de passage d’un style de propagation à un autre varient selon la direction de
propagation (gauche ou droite).
Pour retrouver la morphologie de notre brèche d’étude nous avons été amenés à construire un
arbre de succession des styles de propagation des macroruptures en fonction des classes.
Enfin nous avons développé pour la simulation nos codes en Matlab et une interface
de simulation codée en java.
33
IV. RESULTATS
IV.1. Automates cellulaires
Le modèle que nous proposons est essentiellement basé sur les automates cellulaires.
1. Concepts de base de notre modèle
Nous voulons simuler le processus de fragmentation qui a conduit à la formation de la
brèche de Dienemera. Rappelons qu’elle s’est produite à la suite d’une explosion provoquée par
une surpression des fluides hydrothermaux des chambres magmatiques sous-jacentes. Pour y
parvenir nous optons d’utiliser les automates cellulaires comme modèle de modélisation. De toutes
les théories de déformations cassantes que nous avons étudiées celle de Griffith nous semble plus
appropriée à la construction d’un modèle de simulation basé sur les automates cellulaires.
Rappelons ici qu’une déformation cassante encore appelée fragile est une déformation dans
laquelle se produit une rupture. Le modèle de Griffith décrit de façon élémentaire ces mécanismes
en se basant sur une relation linéaire entre l’énergie reçue pour la propagation d’une fissure et
l’aire de fissure créée lors de la propagation. Bien sur nous allons tenir comme compte des
suggestions que les différents auteurs ont apporté dans le domaine pour l’améliorer.
2. Adaptation de la théorie de Griffith sur la déformation cassante des roches
S’agissant du modèle que nous vous proposons, nous supposons que nous sommes dans le
cas où les propriétés intrinsèques sont négligeables devant les forces de déformation. Cela nous
paraît logique quand on connait les conditions de formation d’une brèche d’explosion.
Ce faisant nous prendrons en compte dans le modèle que G, G8et E (G étant liée à Eext) où :
• G détermine le type ou classe de propagation (pour � = G8 la propagation est dite stable et
pour � > G8 la propagation est dite instable)
• E est responsable des bifurcations ou changements de type de voisinage dans une même
classe lors des propagations des macroruptures.
Avec G qui prime sur E, cela signifie que lorsqu’on doit avoir un changement de type de
propagation il ne peut y avoir bifurcation en même temps.
En effet nous supposons la diorite homogène en termes de discontinuités et par conséquent l’angle
de glissement est fixe mais proche des valeurs généralement observées sur ce type de roche lors
des essais de laboratoire et des observations sur les carottes à Gaoua.
Nous considérons notre source d’énergie G en réalité infinie mais variable dans le temps. Elle est
périodique avec des périodes non réguliers. Du fait que la source est unique (la chambre
magmatique par l’intermédiaire de la pipe) plus l’étendue importante du corps bréchique
34
(plusieurs centaines à quelques milliers de mètres) nous supposons que G varie différemment
selon les directions (gauche ou droite du point de départ).
L’énergie cinétique augmente d’une unité pour chaque propagation d’une macrorupture (passage
d’une cellule à une autre) et s’annule lorsqu’il se produit une bifurcation.
Tableau 1 : Récapitulatif des règles de passage d’un type de propagation à un autre lors de la simulation : les mêmes couleurs équivalent aux règles passages identiques. (∀ E =quelque soit E)
Lors de l’étape (i+2) si l’étape (i) et l’étape (i+1) sont de classes différentes on ne peut plus
retrouver le type de propagation de l’étape (i) (voir figure n°13).
i+1 i
Stable1 Stable2 Instable1 Instable2
Stable1 G=Gc E<seuil (Ec)
G=Gc Ec>=seui (Ec)
G>Gc ∀ E
G>Gc ∀ E
Stable2 G=Gc E>=seui (Ec)
G=Gc E<seuil (Ec)
G>Gc ∀ E
G>Gc ∀ E
Instable1 G=Gc ∀ E
G=Gc ∀ E
G>Gc E<seuil (Ec)
G>Gc E>=seuil (Ec)
Instable2 G=Gc ∀ E
G=Gc ∀ E
G>Gc E>=seuil (Ec)
G>Gc E<seuil (Ec)
35
Figure 15: Arbre d'évolution des types de propagation
L’idée est que lorsque la propagation passe d’une classe stable à une classe instable, à la
fin du dernier type de propagation instable on ne peut plus retrouver la dernière propagation de
type stable qui a juste précédé la propagation de type instable. Ceci est aussi valable lorsque la
propagation passe d’une classe instable vers une classe stable.
En dehors de ces cas le passage d’un type de propagation à un autre se fait uniquement si les
conditions énergétiques sont remplies.
Nous considérons en outre notre matériau (roche) purement fragile dont les paramètres
sans dimensions sous réserve d’invariance d’échelle sont les suivants :
- Energie critique de propagation Gc= 5
- Seuil de stabilité de l’énergie cinétique Ec=27
- Angle de glissement φ=90
L’invariance d’échelle stipule que les matériaux rocheux se comportent de la même façon
indépendamment de la taille de l’échantillon (D. Amitrano, 1999).
L’algorithme d’évolution des énergies de déformation est le suivant :
EDE!FE! � G
H �DIJI
KLME! �D KNO
GPQJDFR � GS8 �DIJITS8 �D UVF
GWXY8ZR � GS8 �DIJI[S8 �D [H
3. Initialisation et
La propagation des macroruptures s’initie où se concentre
Pour l’initiation nous allons juste prendre une cellule
macrorupture. Elle est suivie par une ch
Pour la distribution de la taille des avalanches elle dépend de
plan perpendiculaire à la direction
En mode de propagation instable
déformation G dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation
dans le plan parallèle à la direction de propagation.
Quant à l’avalanche initiale elle est définit sur
Ecin initiale.
4. Mise en place du modèle
Nous allons tout d’abord énumérer les éléments constitutifs de notre automate cellulaires.
Ces éléments devront respecter les exigences du paradigme des automates cellulaires sans pour
autant sortir des réalités des processus géologiques.
organisées dans un quadrillage type «
↑i-
j-← ↓i+
Figure 16: présentation du réseau cellulaire (le voisinage
a.
Une cellule peut prendre les états suivants
• vide : équivaut à la roche saine
• macro : cellule affectée par une
• micro : cellule affectée par une microrupture
FN[T \] [^ _` aHV]NbH
[HVFNbH
Initialisation et choix de la taille des avalanches
La propagation des macroruptures s’initie où se concentrent les forces de déformation.
Pour l’initiation nous allons juste prendre une cellule �c, d� comme étant le début d’une
Elle est suivie par une chute importante de l’énergie de déformation
Pour la distribution de la taille des avalanches elle dépend de l’énergie de déformation
à la direction de la classe de propagation de type stable
instable (type instable1et type instable2) elle dépend de
dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation et de l’énergie cinéti
dans le plan parallèle à la direction de propagation.
Quant à l’avalanche initiale elle est définit sur d en fonction de G initiale et sur
Mise en place du modèle d’automate
Nous allons tout d’abord énumérer les éléments constitutifs de notre automate cellulaires.
Ces éléments devront respecter les exigences du paradigme des automates cellulaires sans pour
autant sortir des réalités des processus géologiques. L’automate est de 2D e
organisées dans un quadrillage type « orthogonal » (voir figure n°14).
→j+
: présentation du réseau cellulaire (le voisinage ici est celui de Von Neumann)
a. Les états
Une cellule peut prendre les états suivants :
: équivaut à la roche saine
: cellule affectée par une macrorupture
: cellule affectée par une microrupture
36
les forces de déformation.
comme étant le début d’une
ute importante de l’énergie de déformation G .
l’énergie de déformation G dans le
stable (stable1et stable2).
elle dépend de l’énergie de
et de l’énergie cinétique
initiale et sur c en fonction de
Nous allons tout d’abord énumérer les éléments constitutifs de notre automate cellulaires.
Ces éléments devront respecter les exigences du paradigme des automates cellulaires sans pour
2D et les cellules sont
ici est celui de Von Neumann)
37
• breccia : cellule à l’état final de brèche
b. Voisinage
On distingue :
- Pour la propagation de la rupture (on a 04 types de voisinage):
- stable1
Voisinage : xD,ef gLhi,jki gLki,jhi l
x(i-1,j+1)
x(i,j)
x(i+1,j-1)
- stable2
Voisinage: xD,ef gLki,jki gLhi,jhil
x(i-1,j-1)
x(i,j)
x(i+1,j+1)
- instable1
Voisinage : xD,efgL,jki gL,jhi l
x(i,j-1) x(i,j) x(i,j+1)
- instable2
Voisinage : xD,efgLki,j gLhi,j l
x(i-1,j)
x(i,j)
x(i+1,j)
- Pour la propagation des brèches
Voisinage de Moore: xD,efgLki,jki gL,jki gLhi,jki gLki,j gLhi,j gLki,jhi gL,jhi gLhi,jhil
38
Ou encore voisinage(x(i, j)) = {x(k, l)\ |k − i| ≤ 1 et |l − j| ≤ 1}
x(i-1,j-1) x(i-1,j) x(i-1,j+1)
x(i,j-1) x(i,j) x(i,j+1)
x(i+1,j-1) x(i+1,j) x(i+1,j+1)
c. Les règles de transition
Une cellule vide ou micro devient macro au temps t+1 si elle a au moins une voisine
macro au temps t. Le voisinage dépend du type de propagation activé qui dépend de l’énergie de
déformation et de l’énergie cinétique tel décrit ci-dessus. Le passage d’un type de propagation à
un autre est défini en fonction de la direction de propagation (gauche ou droite).
La « bifurcation » et le « changetype » permettent de passez d’un type de propagation à un autre
en utilisant les mêmes voisinages décrits ci-dessus en tenant compte de la direction de propagation
(voir figure n°15 et 16).
Une cellule macro au temps t devient breccia au temps t+1.
Une cellule micro devient breccia au temps t+1 si elle a au moins une voisine breccia au
temps t.
Figure 17: Exemples de simulation (t→t+1) ; a) propagation instable1, G=8, E=7 b) propagation stable2, G=5
cellule breccia, cellule macro, cellule micro, cellule vide
EDE!FE! = {H �DIJI
KLME! �D K8NO
a) b)
39
GPQJDFR = {S8 �DIJITS8 �D UVFN[T \] [^ _` aHV]NbH
GWXY8ZR = {S8 �DIJI[S8 �D [HVFNTH
5. Algorithme de simulation de l’automate
L’algorithme de simulation de l’automate est le suivant (voir annexe pour le code matlab):
Procédure SimBreccia ( )
temps de simulation�0
TANTQUE temps de simulation<=fin de simulation FAIRE
SI cellule (i,j) = macro ALORS
SI propagationtype=instable et G=Gc ou propagationtype=stable et G>Gc ALORS
changetype ( )
//instable=instable1 ou instable2 et stable=stable1 ou stable2 ; Gc=constant
//changetype permet de passer d’une classe de propagation à une autre (stable à instable et vis versa)
SINON SI propagationtype=stable et G=Gc ou propagationtype=instable et G>Gc ALORS
SI E=Ec ALORS
bifurcation ( )
FIN SI
// Ec=seuil de stabilité de l’énergie cinétique
//bifurcation permet de changer de type de propagation au sein d’une même classe de propagation
SINON
propagation ( )
// propagation propage les ruptures
FIN SI
SI temps de simulation=temps de fin de simulation ALORS
TANTQUE cellule (i,j) = micro FAIRE
brecciation ( )
FIN TANTQUE
// brecciation propage les brèches
FIN SI
FIN TANT QUE
FIN procédure SimBreccia
40
Figure 18 : Exemples de simulation (t→t+1) ; a) bifurcation stable1→stable2, G=5 b) bifurcation stable2→stable1, G=5 c) bifurcation instable1→instable2, G=8, E=7
cellule breccia, cellule macro, cellule micro, cellule vide
a b
c
41
6. Présentation des résultats de simulation
Figure 19: Brèche de Dienemera obtenue par simulation
42
Figure 20: Brèche de Dienemera interpolée sous Micromine sur la base des descriptions géologiques (la face de couleur claire est celle qui a été modélisée).
Il s’agit d’une photo d’image 3D, les parties noires foncées ne font pas parties du plan de
vue modélisé.
Nous avons réalisé quelques figures fréquemment produites par les roches lors des sollicitations
mécaniques telles que les « kink band » (voir annexe).
43
V. DISCUSSION ET ANALYSES
L’objectif principal de ce mémoire a consisté à simuler le comportement fragile d’une
roche lors des sollicitations mécaniques par automate cellulaire.
Nous nous sommes appuyés sur la théorie de Griffith pour concevoir notre modèle. Rappelons ici
qu’elle décrit de façon élémentaire ce comportement en se basant sur une relation linéaire entre
l’énergie reçue pour la propagation d’une fissure et l’aire de fissure créée lors de la propagation.
Le but de ce modèle est d’arrivé à simuler la formation de la brèche hydrothermale de Dienemera
à Gaoua mis en place dans des conditions de compression de fluides hydrothermaux.
V.1. Mise en plase du modèle
Nous avons pu définir les états et les voisinages dépendamment des types de propagation.
L’automate que nous avons mis en place peut simuler n’importe quelle rupture se propageant sur
un matériau rocheux. Le modèle prend ainsi en compte la propagation de la rupture et l’avalanche
de rupture créé par sa propagation.
La distribution de la taille des avalanches n’a cependant pas été aussi simple à maitriser.
Les différents essais au laboratoire menés dans ce sens que nous avons rencontré dans la littérature
montrent qu’elle est suffisamment irrégulière (D. Amitrano, 1999).
Nous pensons que cette insuffisance n’est pas exclusivement liée au modèle de Griffith qui est
notre modèle de base mais imputable à la grande hétérogénéité des roches naturelles.
Dans le cadre de la conception de notre modèle nous avons fait certaines suppositions pour rendre
notre modèle plus simple dont le faite de considérer notre matériel rocheux homogène en terme de
discontinuités. Par conséquent nous trainons avec nous cette même insuffisance qui s’est
manifestée par la difficulté de trouver une loi de distribution de la taille des avalanches. Nous
n’avons pas aussi fait d’essai au laboratoire vu le temps et les moyens que nous disposons pour
approcher le problème de manière plus pratique.
Notons toutes fois que des auteurs ont très récemment montré quelques lacunes du modèle
de Griffith. Francfort et Marigo présentent une description détaillée des insuffisances de la théorie
dans le cadre de la rupture fragile. Ils postulent que la loi d'évolution de la fissure consiste à
chercher le champ de déplacement qui minimise, à chaque instant et parmi tous les états de
fissuration possibles, l'énergie totale de la structure que l'on force de ce fait à se trouver dans un
état d'équilibre stable (H Amor, 2008).
Ils proposent de remplacer l'énergie de surface de type Griffith par une énergie dépendant du saut
de déplacement sur les lèvres de la fissure et en introduisant une condition d'irréversibilité.
44
Le modèle de Griffith est de moins en moins apte à décrire la géométrie exacte des fissures
lorsque les discontinuités au sein de la roche deviennent de plus en plus importantes.
V.2. Adaptation du modèle au cas de la brèche de Dienemera
Lorsqu’il s’est agit d’adapter notre modèle au cas de la brèche de Dienemera nous nous
sommes rendu compte de l’énorme difficulté de trouver une fonction mathématique qui régit
l’évolution temporelle de l’énergie de déformation dans les processus de formations des brèches
hydrothermales. Elle est pourtant indispensable pour une prédiction de la morphologie des corps
bréchiques par simulation.
Sous réserve d’invariance d’échelle nous avons pu obtenir les différentes constantes dans
la littérature. Cependant l’énergie de déformation varie de façon non linéaire si on se réfère à la
morphologie de la brèche.
Pour une étude comparative nous ne disposons d’aucun modèle d’automate précédent sur
le processus de fragmentation des roches dans la littérature. Le modèle d’automate cellulaire sur
les brèches hydrothermales que nous avons rencontré est basé sur les processus chimiques
(dissolution, précipitation, métasomatose).
A notre connaissance, notre expérience constitue une première sur la problématique de
modélisation des brèches hydrothermales. Le projet à notre avis a été concluant en se sens qu’on
arrive à simuler n’importe quelle comportement fragile de matériau rocheux. Nous avons aussi
voulu proposé un outil recherche minière capable de retracer les morphologies complexes des
corps brèchiques. Sur ce dernier objectif nous nous sommes heurtés à la problématique de la
maitrise l’évolution de l’énergie de déformation. Cet obstacle n’est cependant guère
insurmontable.
45
VI. CONCLUSIONS
Au début de ce mémoire nous avons présenté les brèches de Gaoua et nous avons abordé
leur hypothèse de mise en place. Nous nous sommes intéressés à la brèche de Dienemera qui s’est
mise en place suite à une compression de fluides hydrothermaux.
Le modèle de rupture fragile de Griffith a été utilisé pour concevoir un modèle de
fragmentation des roches base sur les automates cellulaires. Ce modèle décrit de façon simple le
comportement cassant des roches en considérant que l’énergie perdue lors de la propagation est
proportionnelle l’aire d’endommagement créée.
Nous avons réussi à mettre en place un modèle simulant la propagation des ruptures en
compression dans un matériau rocheux et montrant une surface endommagée par la propagation
proportionnelle à l’énergie mise en jeu. S’agissant d’un phénomène dont on maitrise l’évolution
de l’énergie d’endommagement notre modèle peut bien aider à comprendre la morphologie des
aires endommagées.
Sur le plan fondamental le modèle présente des résultats assez satisfaisants.
L’outil de prospection minière que nous avons voulu proposer à la société Voltaresources
est donc tout a fait un projet réel et réalisable.
Cependant il important de noter certaines insuffisances du modèle liées à la théorie de
base, celle de Griffith en particulier. Elle a été le point de départ des modèles décrivant le
comportement fragile des roches mais elle est incapable rendre compte la géométrie d’une rupture.
La théorie de Griffith nous semble plus adapter à rendre compte la fissuration sous chargement
monotone. Elle tient compte des discontinuités préexistantes dans la roche pour déterminer le
début de propagation des ruptures en fonction de l’énergie mais est inapte à prédire leur direction
de propagation en fonction des mêmes conditions. Les ruptures se propagent en effet en
conservant le principe de moindre énergie.
On pourra à l’avenir intégrer ce principe dans notre projet pour un modèle de simulation plus
adapté au comportement fragile des roches.
46
VII. RECOMMANDATIONS -PERSPECTIVES
Il serait très judicieux d’utilisé ce présent modèle avec toutes les vues planes possibles du
corps bréchiques. Cela augmenterait sans doute les chances de succès quant à la maitrise de la
distribution de la taille des avalanches de rupture.
L’objectif suivant reste éventuellement la conception d’un modèle 3D qui prendrait en
compte tous les développements morphologiques possibles du corps bréchiques. Nous restons
cependant conscients que ce passage au 3D poserait aussi les mêmes difficultés.
La mise en place d’une roche virtuelle reste un élément capital qui viendrait apporter un
grand plus à notre modèle de simulation. Une roche virtuelle serait capable d’intégrer des
discontinuités d’une roche et permettrait ainsi de réaliser une simulation beaucoup plus proche de
la réalité en intégrant les données des nouvelles approches.
L’utilisation d’une roche virtuelle dans le modèle nous ouvrirait la possibilité d’intégrer la
circulation des fluides hydrothermaux dans les brèches qui déterminerait la teneur des minerais.
Nous n’avons pas intégré ce volet dans le présent modèle, ce qui était pourtant prévu, par faute de
temps.
En pratique nous avons vue que le modèle relève un certain nombre d’interrogation quant
au choix des constantes inhérentes au type de roche sur le principe d’invariance d’échelle à cause
du faite que ce principe n’est pas systématiquement vérifié. Nous devons à l’avenir les compléter
pour mieux comprendre le processus en jeu.
Pour finir il serait intéressant pour des simulations futures de pouvoir comparer nos
résultats numériques obtenus directement avec des essais au laboratoire.
47
VIII. BIBLIOGRAPHIE
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50
IX. ANNEXES
Summaries des annexes
Annexe A: Présentation du glissement de type « stick slip »
Annexe B : Présentation d’une distribution de taille des avalanches
Annexe C : Code de simulation de la propagation
Annexe D : Code de simulation de la Brecciation
Annexe E : Simulation de quelques figures produites par les roches lors des déformations
51
Annexe A: Présentation du glissement de type « stick slip »
La trajectoire de la rupture des matériaux rocheux lors des sollicitations mécaniques dépend de leur
discontinuité (Barton et Choubey, 1977). Beaucoup de théories s’appuyant sur le modèle de Griffith,
que nous avons développé plus haut, sur la propagation des ruptures ont été proposées. Leurs
expériences montrent que plus les surfaces de discontinuités sont rugueuses plus on a un glissement
stable, si le déplacement est imposé. Pour une surface de faible rugosité on peut observer des
glissements marqués par des instabilités successives appelées « stick-slip ». Ce comportement est
normalement précédé d’un glissement stable mais pas systématiquement. Cependant certains
soulignent que la notion de glissement stable ou encore cisaillement stable est plus une question
d’échelle.
Figure 21: Différents comportements observés lors du cisaillement de discontinuités rocheuses en
laboratoire, selon la rugosité de la discontinuité. a) Rugosité forte et imbrication initiale, b)
Rugosité moyenne ou forte sans imbrication initiale, c) Rugosité faible (Barton et Choubey,
1977).
L’instabilité étant causée par le glissement simultané sur des sites d’égale résistance d’après
leur modèle. Lors des sollicitations mécaniques des roches, lorsqu’un point de contact atteint sa
résistance maximale il existe un certain nombre de points de contact voisins qui sont également proche
de la rupture. Ce phénomène est désigné sous le terme d’avalanche.
52
Annexe B : Présentation d’une distribution de taille des avalanches
Figure 22: a) Courbes contrainte et taille d’avalanche en fonction de la déformation. b) Modèle
constitué de 528 éléments, (d’après D. Amitrano, 1999).
Une rupture peut engendrer facilement une avalanche de ruptures concernant un grand
nombre de contacts et le processus de fissuration se poursuit après la macro-rupture (D. Amitrano,
1999). Les avalanches de taille maximale sont observées lors des phases « stick-slip ». En plus des
conditions de chargement la cohésion interne �c) est aussi determinant sur la taille des avalanches.
En outre l’angle de bifurcation de la progression de l’endommagement dépend de l’angle
de frottement interne ϕ . (Pour figure illustrative confère annexe). Cet angle a aussi une influence
sur la taille des avalanches. La taille des avalanches a tendance à croitre avec la déformation mais
la première avalanche est généralement de taille supérieure ou égale au reste des avalanches et est
généralement suivi d’une chute temporaire de contraintes (D. Amitrano, 1999).
53
Annexe C : Code de simulation de la propagation
function [x E1 G1 E0 G0 proptype1 proptype0]=propagation(proptype1,proptype0,G1,G0,E1 ,E0,x,jcentre,Gc,Ec) %x est la matrice de depart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % proptype prend 1=stable 1, 2=stable 2, 3=instale 1, 4=instable 2 % x(i,j) est l''état d''une quelconque de x %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if nargin<8, error( 'huit arguments au moins' ); end if nargin==8, Gc=5; Ec=27; end ; if nargin==9, Ec=27; end vide=0;micro= 1; macro=2; breccia=3; stable1=1; stable2=2; instable1=3; instable2=4; %droite=1;gauche=0; %[q1]=divide(E1,2);[q0]=divide(E0,2); [ci cj]=find(x==macro); A=[ci cj]; %trouve les indices des cellules macro if length(A)>2 || isempty(A) , error( 'Trop de cellules à l''état macro ou vide' ); end [m n]=size(x); for c=1:size(A,1) ci=A(c,1); cj=A(c,2); etat=x(ci, cj); % minmaxindice(valeur, limite,pas)calcule le voisin age [imin imax]=minmaxindice(ci, m, 1); [jmin jmax] =minmaxindice(cj, n, 1); [q1]=divide(E1,2);[q0]=divide(E0,2); % if direction==droite; if cj>=jcentre switch proptype1 case stable1 if G1<=Gc && E1<Ec x(imin, jmax)=nouveletat(x(imin , jmax), etat, breccia,E1) ; elseif G1>Gc && E1 <=Ec x(ci, jmax)=nouveletat(x(ci, jm ax), etat, breccia,E1) ; %change detype de propagation proptype1=instable1; elseif E1>=Ec && G1<=Gc % seuil atteint x(imax, jmax)=nouveletat( x(ima x, jmax), etat, breccia,E1) ; %change de voisinage bifurcation E1=0; proptype1=stable2; end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G1) ; % avalanche vertical i=find(x(:,cj)==vide); i=i(i>=imin & i<=imax);x(i , cj)=micro; E1=E1+1; case stable2 % x(imin, jmin)=etat; x(imax, jmax)=etat; if G1<=Gc && E1<Ec x(imax, jmax)=nouveletat( x(ima x, jmax), etat, breccia,E1) ; %propagation elseif G1>Gc && E1 <=Ec x(ci, jmax)=nouveletat(x(ci, jm ax), etat, breccia,E1) ; %change type de propagation proptype1=instable1; elseif E1>=Ec && G1<=Gc % seuil atteint
54
x(imin, jmax)=nouveletat(x(imin , jmax), etat, breccia,E1) ; %change de voisinage E1=0; proptype1=stable1; end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G1) ; % avalanche vertical i=find(x(:,cj)==vide); i=i(i>=imin & i<=imax);x(i , cj)=micro; E1=E1+1; case instable1 % x(ci, jmin)=etat; x(ci, jmax)=etat; if G1>Gc && E1<Ec x(ci, jmax)=nouveletat(x(ci, jm ax), etat, breccia,E1) ; %propagation elseif G1<=Gc&& E1 <=Ec x(ci, jmax)=nouveletat(x(ci, jm ax), etat, breccia,E1) ; %change detype de propagation proptype1=stable1; end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G1) ;[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, q1); % avalanche vertical for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, 1); [jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, 1); %%%%%%%% if E1>=Ec && G1>Gc % seuil atteint x(imin,cj)=nouveletat(x(imin,cj ), etat, breccia,E1) ; %change de voisinage,bifurcation (icii) [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G1);[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, q1); % avalanche vertical for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end E1=0; proptype1=instable2; end E1=E1+1; case instable2 % x(imin,cj)=etat; x(imax, cj)=etat; if G1>Gc && E1<Ec x(imin,cj)=nouveletat(x(imin,cj ), etat, breccia,E1); %propagation%%% %x(imax,cj)=nouveletat(x(imax,cj), etat, breccia,E1 ) ;%propagation elseif G1<=Gc&& E1 <=Ec x(ci, jmax)=nouveletat(x(ci, jm ax), etat, breccia,E1) ; %change detype de propagation proptype1=stable1; end
55
[imin imax]=minmaxindice(ci, m, q1) ;[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, G1); % % rayon horizontal for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, 1); [jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, 1); %%%%%%%%%%%%% if E1>=Ec && G1>Gc % seuil atteint x(ci, jmax)=nouveletat(x(ci, jm ax), etat, breccia,E1) ; %change de voisinage [imin imax]=minmaxindice(ci, m, q1);[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, G1); % % rayon horizontal for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end E1=0; proptype1=instable1; end E1=E1+1; end end % if direction==gauche; if cj<jcentre switch proptype0 case stable1 if G0<=Gc && E0<Ec x(imax, jmin)=nouveletat( x(ima x, jmin), etat, breccia,E0) ; %propagation elseif G0>Gc && E0 <=Ec x(ci, jmin)=nouveletat(x(ci, jm in), etat, breccia,E0) ; %change detype de propagation proptype0=instable1; elseif E0>=Ec && G0<=Gc % seuil atteint x(imin, jmin)=nouveletat(x(imin , jmin), etat, breccia,E0) ; %change de voisinage proptype0=stable2; E0=0; end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G0) ; % avalanche vertical i=find(x(:,cj)==vide); i=i(i>=imin & i<=imax);x(i , cj)=micro; E0=E0+1; case stable2 % x(imin, jmin)=etat; x(imax, jmax)=etat; if G0<=Gc && E0<Ec x(imin, jmin)=nouveletat(x(imin , jmin), etat, breccia,E0) ; %propagation elseif G0>Gc && E0 <=Ec % x(imin,cj)=etat; x(imax, cj)=etat;
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x(ci, jmin)=nouveletat(x(ci, jm in), etat, breccia,E0) ; %change detype de propagation proptype0=instable1; elseif E0>=Ec && G0<=Gc % seuil atteint x(imax, jmin)=nouveletat( x(ima x, jmin), etat, breccia,E0) ; %change de voisinage proptype0=stable1; E0=0; end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G0) ; % avalanche vertical i=find(x(:,cj)==vide); i=i(i>=imin & i<=imax);x(i , cj)=micro; E0=E0+1; case instable1 % x(ci, jmin)=etat; x(ci, jmax)=etat if G0>Gc && E0<Ec x(ci, jmin)=nouveletat(x(ci, jm in), etat, breccia,E0) ; %propagation elseif G0<=Gc && E0 <=Ec % x(imin,cj)=etat; x(imax, cj)=etat; x(ci, jmin)=nouveletat(x(ci, jm in), etat, breccia,E0) ; %change detype de propagation proptype0=stable1; end % minmaxindice(valeur, limite,pas)calcule le voisin age [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G0) ;[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, q0); % avalanche vertical for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, 1) ; %[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, 1); if E0>=Ec && G0>Gc % seuil atteint x(imin, cj)=nouveletat(x(imin, cj), etat, breccia,E0) ; %change de voisinage, pour Gaoaua ici [imin imax]=minmaxindice(ci, m, G0);[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, q0); % avalanche vertical for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end E0=0; proptype0=instable2; end E0=E0+1; case instable2 % x(imin,cj)=etat; x(imax, cj)=etat; if G0>Gc && E0<Ec %x(imax, cj)=nouveletat(x(imax, cj), etat, breccia, E0) ; x(imin, cj)=nouveletat(x(imin, cj), etat, breccia,E0) ; elseif G0<=Gc && E0 <=Ec
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x(ci, jmin)=nouveletat(x(ci, jm in), etat, breccia,E0) ; %change detype de propagation proptype0=stable1; end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, q0) ;[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, G0); % % rayon horizontal for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end [imin imax]=minmaxindice(ci, m, 1);[jmin jmax]=minm axindice(cj, n, 1); if E0>=Ec && G0>Gc % seuil atteint x(ci, jmin)=nouveletat(x(ci, jm in), etat, breccia,E0) ; %change de voisinage [imin imax]=minmaxindice(ci, m, q0);[jmin jmax]=minmaxindice(cj, n, G0); % % rayon horizontal for i=imin:imax for j=jmin:jmax if x(i, j)==vide x(i, j)=micro; end end end E0=0; proptype0=instable1; end E0=E0+1; end end x(ci,cj)=breccia; % la cellule passe à breccia end [i j]=find(x==micro); xmicro=x([i j]); [i j]=find(x==macro); xmacro=x([i j]); [i j]=find(x==breccia); xbreccia=x([i j]); end function [vmin vmax]=minmaxindice(valeur, limite,pas) vmin=max(1, valeur-pas); vmax=min(limite, valeur+pa s); end function [etat2 E]=nouveletat(etatcellule, etat, breccia,E) if etatcellule ~=breccia, etat2=etat; else etat2=breccia; end end
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Annexe D : Code de simulation de la Brecciation
function [x xmicro xmacro xbreccia]=brecciation(x) %x est la matrice de depart %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % proptype prend 1=stable 1, 2=stable 2, 3=instale 1, 4=instable 2 % x(i,j) est l''état d''une quelconque de x %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% micro= 1; macro=2; breccia=3; [m n]=size(x); [ci cj]=find(x==micro); A=[ci cj]; for c=1:size(A,1) ci=A(c,1); cj=A(c,2); %etat=x(ci, cj); % minmaxindice(valeur, limite,pas)calcule le voisin age [imin imax]=minmaxindice(ci, m, 1); [jmin jmax] =minmaxindice(cj, n, 1); %brecciation if x(ci,cj)==micro if any([x(imin, jmax) x(imax, jmin) x(imin, jmin) x(i max, jmax) x(ci, jmin) x(ci, jmax) x(imin,cj) x(imax, cj)]==breccia) x(ci,cj)=breccia; end end [i j]=find(x==micro); xmicro=x([i j]); [i j]=find(x==macro); xmacro=x([i j]); [i j]=find(x==breccia); xbreccia=x([i j]); end end function [vmin vmax]=minmaxindice(valeur, limite,pas) vmin=max(1, valeur-pas); vmax=min(limite, valeur+pa s); end
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Annexe E : Simulation de quelques figures produites par les roches lors des déformations
Figure 23: KINK BAND
0 100 200 300 400 500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
nz = 2203
STICK SLIP
0
100
200
300
400
5000
100
200
300
400
500
KINK BAND
nz = 4999