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Mémoire d’actuariatPrix SCOR – France 2008Mémoire d’actuariatPrix SCOR – France 2008

Conférence Scientifique de l’Institut des Actuaires

23 Janvier 2009

Réassurance & techniques financières de transfert de risque– l’exemple du « mortality bond » : une obligation indexée au risque de (sur)mortalité –

Conférence Scientifique de l’Institut des Actuaires

23 Janvier 2009

Réassurance & techniques financières de transfert de risque– l’exemple du « mortality bond » : une obligation indexée au risque de (sur)mortalité –

Blaise Bourgeois & Gwendal Pougnet

2

Présentation des intervenants

Gwendal Pougnet (31 ans)

Dans le groupe AXA depuis Mars 2005, après une expérience de 2 ans chez un réassureur

Mar 2005 – Dec 2008 : Actuaire IARD au sein d’AXA Cessions

Depuis Jan 2009: Actuaire tarification / réserve à la Direction Technique IARD chez Direct Assurance

Blaise Bourgeois (34 ans)

Dans le groupe AXA depuis Jan 2003, après une expérience de 3 ans en banque à Londres

Jan 2003 – Jan 2008 : chargé d’affaires senior à la Direction Financière du Groupe AXA

Depuis Jan 2008: Head of Risk Management d’AXA Hedging Services (plateforme de valorisation et de couverture des produits « Variable Annuities / GMxBs » pour l’Europe & l’Asie)

A partir de Mars 2009: Head of Life Product Risks & Models au sein du Group Risk Management, rattaché au deputy CRO-Vie du Groupe AXA

3

Incipit

Paul Valéry (Mauvaises pensées et autres [1941])

« Le simple est toujours faux. Ce qui n'est l'est pas est inutilisable »

Denis Kessler (à la cérémonie de remise du prix Scor 2008)

« La crise nous a appris que l’extrême était possible : nous ne vivons pas dans un monde gaussien, mais dans un espace de Dirac »

4

Sommaire

1. Introduction

2. Pourquoi le « Mortality Bond » ?

3. Construction & évaluation d’une obligation indexée au risque de (sur)mortalité

4. Valorisation du risque sur les marchés de capitaux par les opérateurs de distorsion

5. Conclusion

5

Sommaire

1. Introduction




5. Conclusion

6

1. Introduction (1/2)

Contexte du mémoire

Projet réel mené au sein du Groupe AXA (2005 – 2006)

• Quantification risque surmortalité liée à un scénario type grippe aviaire / grippe espagnole 1918 (+50% mortalité) perte nette estimée à € 1,4 milliards sur périmètre Groupe (1/3 résultat annuel 2005) Business mix: France, Japon, USA particulièrement exposés

• Vision choc au Passif uniquement (Résultat annuel + Marge de solvabilité), même si Actif impacté également

• Enjeu: absence de réassurance traditionnelle a conduit le Groupe AXA à analyser l’intérêt d’une solution de marché

Démarche de réflexion

Principe d’une couverture naturelle pas évidente (même si bénéfice diversification reconnu dans Solvency II)

Développement modèle d’estimation du risque pour le transférer aux marchés financiers (opérations précédentes - Swiss Re & Scottish Re) – mesure a priori de la « juste valeur » du risque (probabilité historique)

Marchés d’assurance incomplets – problème de la définition du « juste prix » à payer pour porter le risque

• Incomplets: pas de couverture / réplication possible pour investisseur – absence de prix unique (pas cadre AOA) Prix de marché dépend de la fonction d’aversion au risque des agents – vision collective possible ?

• Démarche exploratoire par les opérateurs de distorsion: mesure a posteriori du prix de marché ajusté du risque Prime de risque exigée par investisseurs reflète réalité multiforme du risque (perception, liquidité, diversification…)

7

1. Introduction (2/2)

Thèmes traités dans le mémoire

Rappel de la théorie standard de tarification sous l’hypothèse de risques homogènes et indépendants (« i.i.d. ») Limites de la démarche classique Spécificité du risque de surmortalité Constat d’absence de réassurance traditionnelle

1ère piste: la couverture « naturelle » entre risques de mortalité et de longévité Démarche adaptée de Cox & Lin [2005] Asymétrie de la couverture (plus de risque sur un excès de mortalité)

2ème piste: la solution du transfert de risque aux marchés de capitaux Aperçu du marché des ILS (« Insurance Linked Securities ») Structuration d’une obligation indexée au risque de surmortalité Calibration du modèle et mesure des probabilités de survenance des sinistres (fréquence / coût)

Analyse de l’équilibre du marché des « Mortality Bonds » par les opérateurs de distorsion Evaluation a priori du risque (proba historique) et prix a posteriori de marché (proba « risque-neutre » ?) Les opérateurs de distorsion: transformée de Wang à 1 ou 2 facteurs et PH-transform Analyse du degré d’aversion au risque du marché des « Mortality Bonds » comparé aux « Nat Cat Bonds »

Peut-on justifier la prime de risque des « Cat Bonds » en général ? Oui : Méthode alternative de quantification du risque – approche par les valeurs extrêmes

Changement de loi et point de raccordement pour la queue de distribution (Pareto / Exponentielle) Limites de l’approche et difficulté pratique d’implémentation

Non : La prime de risque des « Cat Bonds » dans une approche CAPM Intégration de Cat Bonds dans un portefeuille d’actifs Bénéfice de la diversification et amélioration du ratio Sharpe

Présenté aujourd’hui

8

Sommaire

1. Introduction




5. Conclusion

9

2. Pourquoi le Mortality Bond ? (1/3)

Réassurance traditionnelle et risque de (sur)-mortalité

En théorie le risque décès semble mutualisable et le risque de ruine évitable• Principe de mutualisation des « risques homogènes et indépendants »

• Montant de chargement permettant de couvrir une déviation de mortalité • Le risque de ruine peut alors être évité en maximisant le coefficient de sécurité :

Augmenter les fonds propres et/ou le tarif

Maximiser le nombre de police n et/ou cibler les petites affaires

Réduire les capitaux sous risque par transfert de risque proportionnel et/ou en excédent de sinistre

Incertitude du résultat d’une assurance décès: pas le coût de la prestation, mais intensité des décès

Nature spécifique d’une pandémie ou d’un risque terroriste• Choc instantané (singularité vs. régularité)

• Homogène (général vs. granulaire)

• Systémique (globalisé vs. localisé)

invalide en pratique l’efficacité du principe de partage des risques vers des tiers réassureurs

Risque de mortalité extrême (pandémie ou acte terroriste) est exclu du champs de la réassurance traditionnelle• Pandémie envisagée par réassureurs comme phénomène de masse (décès indépendants ayant la même cause): pas de

nature à activer couverture XL par évènement (pas de dépendance manifeste à un même évènement)

• Risque terroriste (émeute, guerre, NBC) exclu de la couverture des traites XL par tête ou par évènement

10


L’essor du marché des « Insurance-Linked Securities » (ILS) Quelques repères:

• inexistant il y a 10 ans, près de $33 milliards d’encours à fin 2007 (prévision à $90 – 150 milliards à horizon 2010)

• rythme annuelle de croissance +46% à raison de +25% d’émissions nouvelles tous les ans depuis 2003 (jusqu’à 2007)

• 1er réassureur du monde en concentrant près du tiers du marché de la réassurance (primes annuelles)

• capacité d’absorption (était) en hausse :

• > 30 émissions en 2005 (vs. < 10 par an avant)

• taille moyenne des transactions: $100 millions avant 2000, plus de $300 millions en 2006

11


Extrême concentration des risques et des acteurs du marché de la (ré)assurance

Etudes et modèles connus pour mesurer l’impact d’un scénario de pandémie (grippe aviaire ou 1918)

Etude Méthode d’estimation Mesure du risque de déviation

Lazzari & Stohr [2004] (OMS) Modèle épidémiologique & sévérité Surmortalité de +3,75 à 25‰ en fonction taux d’infection retenu

IVS [2005] (France) Modèle épidémiologique & sévérité Surmortalité de +0,925 à 6,25‰ pour un taux d’infection à 25%

Fitch [2006] (Europe) Recensement études d’experts 0.2 – 0.4 millions décès

S&P [2006] (USA & Europe) Modèle épidémiologique & sévérité Mesure impact réserves des (ré)assureurs : 12.5 - 30% primes

RMS/Imperial/Harvard [2006] (USA) Modèle épidémiologique & sévérité 20% déviation : 2.9m décès (1% population dans pire scénario)

Moody’s [2007] (USA & Europe) Analyse par scénario HHS 0.2 – 1,9 millions décès (+0,5 à 1,5‰)

Swiss Re [2007] (Monde) Modèle épidémiologique & sévérité Période retour (200 ans): surmortalité de +1 à 1,5‰ (4 ‰ PVD)

Marché % des primes assurance vie % des primes de réassurance vie

Amérique du Nord 30% 66%

Europe 35% 25%

Asie 31% 3%

Amérique Latine 1% 1%

Reste du monde 3% 4%

Top 10 du secteur détient 85% du marché

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Sommaire

1. Introduction


3. Construction & évaluation d’une obligation indexée au risque de (sur)-mortalité


5. Conclusion

13

3. Construction & évaluation d’une obligation indexée au risque de (sur)mortalité (1/5)

Intérêt d’une solution faisant appel aux marchés de capitaux

Type de transfert de risque envisageable : couverture indemnitaire, index de marché, modèle paramétrique

Eliminer risque de contrepartie sur investisseur : principe de réassurance collatéralisée

Profondeur des marchés financiers et attrait des investisseurs pour des risques nouveaux et diversifiant

Rappel de la structuration juridique, fiscal, comptable et réglementaire

Principe de fonctionnement d’un véhicule de titrisation

Fait générateur mettant en jeu capital / coupons par tranche: la déviation de mortalité dans des bornes

prédéfinies (+12%, +20%, +28%, +50% par an) sur période de temps fixe (4 ans) – indice de mortalité

SPV (déconsolidation, fiscalité, « cell protection ») ; traitement de la couverture en dérivé / réassurance (IFRS)

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Calibration du modèle et construction de l’indice de mortalité de référence

Choix du portefeuille : France (60%), Japon (25%) et USA (15%); indice base 100 par âge / sexe / poids pays

Rappel de la formule pour l’indice de mortalité composite (moyenne sur 2 ans)

Modèle tendance/fréquence/sévérité construit à partir de données publiques (INSEE, MHLW Japon, CDC US)• Module de tendance (séries temporelles) ; fréquence / sévérité (calibration historique) ; terroriste (calibration historique)

• Suppose corrélation à 100% du risque de mortalité entre les trois pays (hypothèse conservatrice)

• Suppose distribution uniforme et proportionnelle des décès sur ventilation du portefeuille retenu

• Pas une approche épidémiologique (taux d’infection) ; analyse « purement » statistique (sans effet de mémoire)

Détermination de la tendance

Analyse par séries temporelles

x

ctxf

cxf

ctxm

cxm

ct qqq ,,,,,, c

tct

ct qqq 12

1

c

ctc

t q

qIM

2003

ct

cct IMICM

tcptp

ct

ct

ct xaxaxaax ...22110

Pays a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 France 0,0333 -0,0584 -0,1839 0,1111 -0,2859 -0,2834 -0,4260 Japon 0,0270 -0,1219 USA 0,0159 -0.0337

avec basec

t

basectc

t q

qx

,1

,

1

et t le terme d’erreur tel que 2, Nt avec 0

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Calibration en fréquence / sévérité du modèle

Difficultés opérationnelles : constitution de bases de données « propres » et complètes ; analyse des causes

Estimation de la fréquence : étude Lazarri & Stohr [2004] – sur 420 dernières années, 31 pandémies (7,4%)

Détermination de la sévérité à partir des pandémies du XXè siècle exclusivement• Grippe « espagnole » de 1918-1920 (monde)

• Grippe violente en 1957-58 (Asie), 1968 et 1977-78

• SARS en 2003 et qqs syndromes en 2005 & 2006

Construction d’une courbe de distribution de la sévérité non bornée

Unique source: CDCtransposée / adaptéeà portefeuille retenu

18090

dPercentileTANDéviation

Période de retour (ans)

Percentile Déviation

"historique" Déviation estimée

Déviation asymptotique

Taux de surmortalité

27 096,8 0,05% 864,69% 43,6967%

13 548,4 0,10% 426,57% 21,5561%

6 774,2 0,20% 201,56% 10,1857%

4 516,1 0,30% 120,96% 6,1127%

3 387,1 0,40% 75,97% 3,8393%

3 010,8 0,45% 60,48% 59,21% 2,9920%

2 709,7 0,50% 44,59% 44,59% 2,2533%

420,0 3,23% 32,29% 27,89% 1,4096%

49,4 27,42% 1,11% 6,33% 0,3201%

26,3 51,61% 0,86% 2,74% 0,1383%

17,9 75,81% 0,72% 1,42% 0,0718%

13,5 100,00% 0,62% 0,81% 0,0411%

c

PercentilebExpaDéviation

16


Démarche de la simulation numérique

Enjeu: simuler l’impact d’une pandémie sur les taux de mortalité de base du portefeuille – recherche par tranche

émise de la valeur des probabilités d’attachement et de perte moyenne (sur 2 années glissantes et adjacentes)

Technique de simulation mise en œuvre (350,000 tirages):

• Prolongement aléatoire de la tendance (naturelle) sur N(0,2):

• Conditionnelle à la fréquence d’apparition (7,4%), les chocs de mortalité sont obtenus par tirage aléatoire (loi uniforme)

dans la distribution des pandémies (calibration historique)

• Combinaison des chocs et moyenne sur 2 ans:

Calcul des probabilités théoriques de perte par tranche

Principe de réduction effectif et cumulé du principal de l’obligation sur une tranche « n »

Probabilité d’attachement et perte moyenne pour X tirages aléatoires

ctbasect

basect xqq 1,

1,

005,0180

64.193,1390

005,000505.0

30885,4exp003056,0

rsirTAN

rsir

st

tbasect

ct sqq 1, c

tct

ct qqq 12

1

nn

ntnt TE

TICMR

,

1

1

,1,

,, tsiCRMax

tsiRC

ntnt

ntnt

XTP x

C

n

nt

0,

)(

00

01

,

,0,

nt

ntC Csi

Csint

X

CEL x t

ntx

n

,,

XEP x

C

n

nt

1,

)(

00

11

,

,1,

nt

ntC Csi

Csint

17


Résultats obtenus

Percentiles de distribution de l’indice composite

Mesures de risque estimées (base annualisée)

Percentile Année 1 Année 2 Année 3 Année 4 10% 98.12 95.63 93.24 90.89 25% 98.38 96.22 94.02 91.83 50% 98.68 96.88 94.91 92.87 75% 98.98 97.54 95.78 93.91 90% 99.25 98.13 96.57 94.86 95% 99.93 100.81 99.34 97.69 99% 105.95 109.16 107.79 106.16

99.95% 120.73 162.75 154.91 148.10 99.99% 279.91 546.11 412.93 348.63

99.999% 3,558.51 4,960.72 3,035.96 1,323.83

Moyenne 98.68 97.06 95.05 93.05 Ecart-Type 0.26 0.60 1.03 1.45 Minimum 96.65 92.37 88.47 85.60 Maximum 33,124.58 33,371.63 46,391.60 46,242.91

Mesures de Risque (bps)

Tranche A Tranche B Tranche C Tranche D

P(T) 4.6 11.7 25.5 52.6

P(E) 3.8 4.6 11.7 25.5

EL 4.0 7.3 17.8 37.4

Nombre de décès supplémentaires sur portefeuille

Ventilation Proba Attach par sous-périodes (total)

Sous-période Tranche A Tranche B Tranche C Tranche D

1 0.0 0.0 0.0 0.0

2 10.4 30.0 63.5 129.4

3 14.5 40.1 85.7 176.2

4 18.3 46.9 101.9 210.5

France Japon USA Total

Population (2003) 60,200,000 126,000,000 289,400,000 475,600,000

qx normalisé portefeuille (‰)

2.78 4.53 8.53 6.74

Mortalité "naturelle" attendue

167,500 570,400 2,469,000 3,206,900

Tranche Déviation

A 63,700 216,800 938,200 1,218,700 +38%

B 46,900 159,800 691,400 898,100 +28%

C 33,500 114,100 493,900 641,500 +20%

D 20,100 68,500 296,300 384,900 +12%

18

Sommaire

1. Introduction




5. Conclusion

19

4. Valorisation du risque sur les marchés de capitaux par les opérateurs de distorsion (1/6)

De la mesure du risque sous proba historique à la tarification du risque sous proba « risque-neutre »

Démarche de construction du « mortality bond » fondée sur une estimation historique des pertes probables

Incertitude liée à la robustesse du modèle lui-même: 7 points de calibration; risque non-borné > 0,5%tile

Incertitude intrinsèque liée au caractère « prédictif » de statistiques reflétant des scénarios extrêmes

L’appréciation du risque par les marchés met en évidence une prime de risque ou « risk loading »

Le marché tarifie le risque dans un multiple compris entre 10 et 15x la perte moyenne attendue (EL)

Le risque de mortalité est-il assimilable à un risque « CAT » de nature à justifier une telle prime de risque ?

Causes possibles de cette « sur » tarification :

• Asymétrie d’information

• Prime de nouveauté / liquidité

• Prime de non-diversification des actifs en cas de choc

² Prime de risque R

rRE

20


Frontière efficiente du marché des « mortality bonds » émis (juin 2007) – une cherté apparente

Peut-on définir une relation structurelle entre les paramètres de risque et les spreads ?

Approche développée par Lane [2000] (marché Nat Cat Bonds)

Relation économétrique structurelle Cobb-Douglas

Caractère compartimenté des tranches émises

Une demande de rémunération en apparence

croissante avec le risque pris (relation croissante

entre Expected Loss et spread)

Déplacement de la frontière en fonction des

émissions nouvelles

Mise en évidence d’une marge de manœuvre au

resserrement des spreads après l’émission

CELPFLEER

21


Cadre théorique des opérateurs de distorsion

But – trouver base homogène de comparaison des prix de marché et méthode de réconciliation entre probabilités

historiques (métriques de risque calculées via démarche exposée précédemment) et valorisation du risque par le

marché (spreads) : permet d’inférer une distorsion de probabilité pour réconcilier ces deux univers

Principe de construction d’un opérateur de distorsion (tarification à l’espérance de perte « ajustée » du risque)

• Tarification élaborée à partir de l’Exceedance curve

• En pratique, les prix de marché observés sont tels que

• Il existe donc une mesure de distorsion (fonctionnelle) telle que

Wang [2000] & [2004] propose deux « transformées »

F(x) = P[X x] = 1 – P[X > x] G(x) = P[X > x] dxxGXE

0

Xhasih

haXasiaX

aXsi

X haa

0

, et dxxGE

ha

ahaaX

, E[X(a, a + h]] h * G(a)

E*[X(a, a + h]] > E[X(a, a + h]]

X haaE

haG

,*

1* avec notamment aGaG *

G*(x) = g [G(x)]

g continue et g[0,1] [0,1] avec notamment g(0) = 0 et g(1) = 1 1][0

dxxGg

)(* 1 xGxG

),()(* 1 kxStudentoùxGxG

22


Mise en œuvre pratique des opérateurs de distorsion

Programme de minimisation des erreurs quadratiques – recherche d’un minimum global et stable

Résultats obtenus

Conclusions

• Les prix de marché reflètent une distorsion très forte de la distribution théorique des probabilités de pertes estimées

• Le paramètre est très supérieur à celui trouvé par Wang sur les « Nat Cat Bonds » (0.45 – 0.53)

sobligation

réelSpdSpdArgMin 2** sobligation

réelSpdSpdArgMink 2**)*,(

Transformée de Wang 1-facteur

= 1,07475

Transformée de Wang 2-facteurs

k = 9 = 0,8270

23


Approche complémentaire par les « PH-transform » – Christofides [2001]

Une vision simplifiée de la mesure d’aversion au risque du marché via la fonction de survie

Démarche : extraction des coefficients d’aversion au risque propre à chaque tranche émise implicites dans les

spreads sur EL exigés par le marché

Conclusion : vision « micro » de l’aversion du marché permettant de refléter un équilibre instantané du risque par

tranche émise (coefficients compris entre [1.6 – 2.0] vs. [1.2 – 1.7] sur les « Nat Cat Bonds »)

PESetPFLSavecxxS )1()0()exp()(

dxxSXEX

0

/1)()()(

S(X) = Prob [X > x]

111 CELPFLELSpread

][

exp1][1

exp1 ][/1

1

0

][/1][/1][ i

Tc

c

iPFL

TdxxcPFL

TEER iii

itranche

2][][][][][ iréelitrancheitrancheitranche SpreadEERELArgMini

T

CEL

TPE

PFLc

lnln

• Prime ajustée du risque

24


Quel pouvoir prédictif pour ces modèles de tarification au risque du marché ?

Résultat des estimations numériques des paramètres exprimé sous forme de spreads par tranche émise

Constat hétérogénéité des primes de risque qui peut être fonction de plusieurs causes

Niveau du point d’attachement du risque de déviation / perte

Longueur de l’intervalle du risque sous-jacent et maturité de la tranche

Nature des investisseurs différente en fonction des tranches de risque

Le « Rho » de Christofides semble donner une

indication précieuse du niveau théorique auquel la

tranche devrait être émise / acceptée par le marché

La transformée de Wang offre une perspective à

moyen / long terme des spreads en postulant un

principe de tarification à la moyenne du marché, à

des niveaux toutefois relativement plus

conservateurs pour les risques « hauts » (EL faible)

25

Sommaire

1. Introduction




5. Conclusion

26

5. Conclusion

Résumé des travaux développés dans le mémoire Le risque de (sur)mortalité : un risque non mutualisable qui fait courir un risque de perte / ruine au (ré)assureur

Asymétrie du principe de couverture « naturelle » pour de fortes variations de mortalité (décalage temporel / population assurée)

Construction d’une obligation indexée à la (sur)mortalité : une ingénierie financière complexe pour une protection efficace

La tarification du risque par le marché reflète une distorsion de sa valeur historique estimée

Autres techniques de mesure du risque (modèle épidémiologiques, valeurs extrêmes) plus difficiles à calibrer

Avantages de recourir aux solutions de transfert de risque aux marchés de capitaux Profondeur des marchés : une source potentiellement infini de capacité de couverture

Une couverture collatéralisée (sans risque de contrepartie) et sécurisée sur une période pluriannuelle

Les risques d’assurance complètent les marchés financiers (recherche rendement / risque / diversification)

Evolution du “business model” de la (ré)assurance (Ré)assureurs évoluent de « risk carriers » à des « risk transformers » (meilleure allocation des fonds propres)

Vers une « fair market value » des risques de passif de la (ré)assurance (enjeu phase 2 des IFRS) ?

Des régulateurs plus ouverts à l’intérêt des techniques de transfert de risque (Solvency II) ?

Pistes de réflexion possibles Vision dynamique (k, ) en fonction du temps et des transferts au marché (saisonnalité, évolution de la structure de risque…)

Impact du risque de surmortalité à l’actif et au passif dans un cadre ALM (cf. Swiss Solvency Test)

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