8/2/2019 MEF_Poutre

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Universit A. Mira, Bjaa

Facult des Sciences & Sciences de lIngnieur

Dpartement de GnieCivil, 5me Anne.

Module : Mthode des Elments Finis (MEF)

A. SEGHIR

Llment poutre est utilis pour reprendre, en plus de leffort axial comme llment barre, un chargement

perpendiculaire son axe. On retrouve les poutres dans beaucoup de structures de gnie civil et de constructions

mcaniques. Les cas les plus frquents sont les portiques constituant les btiment dhabitation, les ponts etc.

On considre comme poutres les pices lances (en bton arm ou en acier), qui ont une dimension trs grande

par rapport aux deux autres et qui travaillent gnralement en flexion.

La formulation de llment poutre peut tre obtenue en se basant sur le thorie de la rsistance des matriaux ;

on considre une poutre de sectionA et de longueurL soumise un chargement q(x) variant le long de son axe

longitudinal tel que montre sur la figure 3.1 ci-dessous :

Sous leffet du chargement la poutre flchie et se dplace verticalement dun dplacement v(x). On suppose

quaprs cette dformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne ; elles

subissent de ce fait une petite rotation dangle dans le plan (oxy). Considrons un lment dx de la poutredlimit par deux sections voisines, lune droite et lautre incline.

La rotation de la section dforme est la tangente de la ligne moyenne courbe :

x

v

= (3.1)

A cause de la rotation, les points de la section subissent un dplacement horizontal u variant linairement de la

fibre infrieure la fibre suprieure. En un point de la section ce dplacement vaut :

xvyyu

== (3.2)

oy dsigne la distance partir de la ligne moyenne (centre de la section)

x

y

q(x)

Fig. 3.1 : poutre charge

Fig. 3.2 : dformation dune section

x

yn

v(x)

dxx

xvxv

+

)()(dx

u

y

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2

Dans le cadre de lhypothse des petites dformations, la dformation axiale suivantx le long de la section est :

x

ux

= (3.3)

Si on dsigne par E le module dlasticit du matriau de la poutre, la loi de Hooke donne la rpartition des

contraintes le long de la section :

2

2

x

vyEx

uEE xx=

== (3.4)

Le moment cr par ces contraintes doit quilibrer le moment de flexionMcr par le chargement extrieur :

=ss

dsyx

vEdsyM

2

2

2

0..

=s

dsyx

vEM

2

2

2

(3.5)

avec s dsigne laire de la section droite. En posant Iz le moment dinertie par rapport laxe z perpendiculaire

au plan (xy) = s dsyI2 , lexpression du moment devient :

2

2

x

v

EIM

= (3.6)

Considrons maintenant lquilibre statique dun lment dx.

La somme des moments par rapport son centre de gravit donne :

0)(2

)(2

=+++++ dMMdx

dTTdx

TM

02

=++ dMdx

dTTdx

En ngligeant les termes du second ordre, on obtient la relation entre leffort tranchant et le moment flchissant :

)(2

2

x

vEI

xdx

dMT

== (3.7)

Equilibre des forces verticales pour un chargement positif dans le sens de laxey (figure 3.3):

0=++ TdxqdTT (3.8)

donne la relation entre le chargement q et leffort tranchant Tet relie le chargement au dplacement v par :

)(2

2

2

2

x

vEI

xdx

dTq

== (3.9)

Cette quation traduit lquilibre statique de la poutre. Dans le cas dun mouvement dynamique, il faut ajouter

dans lquation (3.8) un terme traduisant les forces dinertie :

2

2

t

udxAmFi

== (3.10)

avec est la masse volumique du matriau,A la section de la poutre et t reprsente le temps.

Les quations (3.8) et (3.9) deviennent :

FiTdxqdTT =++ (3.11)

)()(2

2

22

2

xqx

vEI

xt

vA =

+

(3.12)

Lquation (3.12) est lquation dEuler-Bernoulli pour la flexion des poutres. Le dplacement v est fonction dela coordonnex le long de laxe de la poutre et du temps t.

Fig. 3.3 : Equilibre statique

T+dT

M+dM

T

Mq

dx

y

x

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3

!"## En dsignant parL la longueur de la poutre et en prenant v la fonction poids, la formulation variationnelle forteassocie lquation (3.12) scrit :

=

+

LLL

dxxqvdx

x

vEI

x

vdx

t

vAv

00 2

2

2

2

0 2

2

)()( (3.13)

La forme intgrale faible sobtient avec deux intgrations par parties du second terme.

LLL

x

vEI

xvdx

x

vEI

xx

vdx

x

vEI

xv

0

2

2

0 2

2

0 2

2

2

2

)()()(

+

=

(3.14a)

LLL

x

vEI

x

vdx

x

vEI

x

vdx

x

vEI

xx

v

0

2

2

0 2

2

2

2

0 2

2

)(

+

=

(3.14b)

Compte tenu des expressions (3.6) et (3.7), les seconds termes reprsentent la diffrence des chargements en

forces (T0

et TL

) et en moments (M0

etML

) appliqus aux extrmits de la poutre. De plus, en peut remplacer la

drive des perturbations des dplacements par une perturbation des rotions (quation 3.1) : = xv .

On crit ainsi les conditions aux limites comme suit :

LLxx

L

MMx

vEI

x

v==

=

00

0

2

2

(3.15a)

00

0

2

2

)( TvTvx

vEI

xv

xLLx

L

===

(3.15b)

En substituant maintenant (3.15) dans (3.14) et le rsultat dans (3.13) on obtient lexpression de la forme

variationnelle faible :

=++

+

====

L

xxLLxLLx

LL

dxxqvMTvTvMdxx

vIE

x

vdx

t

vAv

000000 2

2

2

2

0 2

2

)( (3.16)

$%%Pour la discrtisation de cette quation on considre un lment deux nuds : un nud chaque extrmit de

la poutre. La prsence de drives dordre deux impose lutilisation de polynmes quadratiques ou plus. En

outre, on voit que lexpression des conditions aux limites fait intervenir la rotation aux extrmit, il est donc

plus intressant de prendre deux degrs de libert par nuds dans le but dassurer en mme temps la continuit

des dplacements et de leurs drives qui sont les rotations. Le nombre de degrs de libert atteint ainsi quatre et

le polynme dinterpolation doit tre cubique (quatre constantes). Le vecteur des dplacements et rotations

lmentaires scrit donc comme suit :T

n vvU >=< 2211 (3.17)

Les dplacements et les rotations le long de la poutres sont approxims par :

3

3

2

210)( xaxaxaaxv +++= (3.18a)

2321 32)( xaxaax ++= (3.18b)

Fig. 3.4 : Elment poutre deux nuds

v2 (F2)v1 (F1)

1 (M1) 2

x1= 0

1 2

x2=L

(M2)

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4

Lvaluation de ces polynmes aux nuds donne :

10)0( vav == ; 11)0( == a (3.19a)

33

22112)( LaLaLvvLv +++== ;

23212 32)( LaLaL ++== (3.19b)

La rsolution de (3.19b) pour a2 et a3 donne :

)2(1)(3 211222 = Lvv

La ; )(1)(2 2122133 ++= L

vvL

a (3.20)

En remplace ces paramtres dans lquation (3.18) et aprs arrangement des termes on crit linterpolation

nodale des dplacements sous la forme :

24231211 )()()()()( +++= xNvxNxNvxNxv (3.21)

Les fonctions de formeNi sont appeles polynmes dHermite, leurs expressions sont :

3

3

2

2

1

231)(

L

x

L

xxN += ;

2

32

2

2)(

L

x

L

xxxN += ;

3

3

2

2

3

23)(

L

x

L

xxN = ;

L

x

L

xxN

2

2

3

4 )( = (3.22)

On peut vrifier que la somme des fonctions de forme associes aux dplacements est gale lunit : N1+N3=1.Elles prennent aussi des valeurs gales un aux nuds qui leurs correspondent et des valeurs nulles aux nudsopposs. Cette remarque nest pas valable pour les fonctions associes aux rotations puisque les rotations sont

elles mmes des drives des dplacements. Le programme MATLAB qui permet de calculer et de tracer les

fonctions forme dHermite est le suivant :

clear, clc % effacer les variables et la fentre

syms x L real % dclarer x et L symboliques rels

P = inline('[1 x x^2 x^3]') % polynme du 3me degr

dP = inline(diff(P(x))) % drive du polynme

Pn = [ P(0); dP(0); P(L) ; dP(L) ] % valuation au noeuds

N = inline(( P(x) * inv(Pn))) % fonctions de forme et

dN = inline((dP(x) * inv(Pn))) % leurs drives

% graphes des N et des dN

t = 0:0.01:1;

subplot(2,1,1), plot(t, N(1,t')), title(' Fonctions de forme N1 N2 N3 N4 ')

subplot(2,1,2), plot(t,dN(1,t')), title(' Drives dN1 dN2 dN3 dN4 ')

La figure ci-dessous montre les courbes des fonctions de forme et de leurs drives pour un lment poutre de

longueur unitaire (L= 1) :

Fig. 3.5 : Fonctions de forme dun lment poutre et leurs drives

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5

&%##%On remplace maintenant dans la forme variationnelle (3.16) le dplacement v par son approximation (3.21), on

obtient pour les perturbations :

TTn NUv = ;

TTn

dx

dNU= ; avec >

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6

Si la poutre est faite dun mme matriau homogne et de mme section (E, Iet sont constantes), alors lesexpressions explicites des matrices lmentaires peuvent tre obtenues et scrivent comme suit :

=

22

22

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIKe ;

=

22

22

422313

221561354

313422

135422156

420

LLLL

LL

LLLL

LL

ALMe (4.31)

La mme remarque concernant la matrice masse de llment barre peut tre faite pour llment poutre. On

peut associer la moiti de la masse totale de llment aux degrs de translation de chaque nud. On prends

uniquement les translations parce que les rotations ne produisent pas de forces dinertie. La matrice masse

concentre scrit donc comme suit :

=

0000

0100

0000

0001

2

ALMe (4.32)

Il est noter que les deux matrices concentre et rpartie donnent la mme masse totale avec la somme descomposantes associes aux degrs de libert de translation :M(1, 1) +M(1, 3) +M(3, 1) +M(3, 3) =AL.

'(!"(&% %!"&)&*"'##+Une poutre en bton arm de masse volumique = 2.5 tonnes/m3 et de module dlasticit E= 32000MPa estencastre lune de ses extrmits et charge lautre extrmit dune charge concentre Fy=90 KNet dunmomentM= 60 KN m

Les caractristiques gomtriques de la poutre sont :

- longueurL= 150 cm- largeur b = 30cm- hauteur h= 40 cm

Linertie de la poutre est : I= 3 43 / 12 = 16 104cm4 ;

La matrice de rigidit scrit :

=

6636

6868

3666

6868

2

3

5.1

162.33e

K MN/m

Le vecteur force selon lquation (3.26) est :

T

F >

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7

=

=

=

60

90

75

90

1010

2197.0

6592.0

0

0

6636

6868

3666

6868

1027556.23

2

2

1

1

37

M

F

M

F

K

La deux premires composantes sont les ractions lappuis :Ry = 90 KN;Mz= 90 1.5 60 = 75 KN m.

Le moment est positif cause de la convention de signe adopte la figure 3.4 : Au nud 1, le moment positiftend la fibre suprieure pour avoir une rotation dans le sens trigonomtrique. Les deux dernires composantes

correspondent aux efforts nodaux appliqus lextrmit libre.

Il est remarquer que la solution obtenue que ce soit pour la flche ou les ractions est une solution exacte. Ceci

est du au fait que la flche est une fonction en x3

et les fonctions de forme sont des polynmes du troisime

degr. Il en rsulte que les polynmes dHermite permettent dobtenir la solution exacte.

%!"&)#(On considre maintenant la mme charge prcdente rpartie uniformment le long de la poutre, soit :

q= 90/1.5 = 60 KN/. ;

et on garde le mme moment lextrmit libre.

Le vecteur force du au chargement q, scrit, selon lquation (3.28),

(avec q0=q1=q=60 KN/m) :

TqF >

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8

Remarque : Dans le cas dune charge trapzodale (expression 3.28a), il faut remplacer q x2

par la somme du

moment dune charge uniforme q0 et celui dune la charge triangulaire (qLq0)x/L soit :

L

xqqxqM Lq

6)(

3

02

021 +=

La matrice masse concentre et la masse rpartie de la poutre sont :

=

0000

022500

0000

000225

cM ;

=

361322778

13262478216

277836132

78216132624

1680

450rM

Les priodes propres de la poutres sont donnes par T= 2/ avec solution de lquation : det(K2M) = 0.

Pour une matrice masse concentre : T1= 0.01397 s ; T2= 0.0 s

Pour une matrice masse cohrente : T1= 0.00968 s ; T2= 0.00098 s

,Si on veut faire ces calcules avec MATLAB, on peut prvoir un script semblable celui-ci :

%-------------------------------------------------------------------

% console.m

% script pour rsoudre le problme d'une poutre console

%-------------------------------------------------------------------

clear, clc % efface les variables et la fentre

L = 1.5; % Longueur de la console

b = 0.3; % Largeur de section

h = 0.4; % Hauteur de section

E = 3.2e10; % Module d'lasticit

rho = 2.5e03; % Masse volumique

A = b*h; % Section

I = b*h^3/12; % Inertie

q = -60000; % Charge rpartie

P = -90000; % Charge concentre

Mz= 60000; % Moment concentr

Fq = q*L/60*[30 5*L 30 -5*L]'; % Vecteur force associ q

Fm = [0 0 0 Mz]'; % Vecteur force associ Mz

Fp = [0 0 P 0 ]'; % Vecteur force associ P

F1 = Fm + Fp; % Premier cas de chargement

F2 = Fm + Fq; % Deuxime cas de chargement

K = E*I/L^3 * [ 12 6*L -12 6*L % Matrice de rigidit

6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2

-12 -6*L 12 -6*L

6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2];

Mc = rho*A*L/2 * diag([1 0 1 0]); % Matrice masse concentre

Mr = rho*A*L/420 * [ 156 22*L 54 -13*L % Matrice masse cohrente

22*L 4*L^2 13*L -3*L^2

54 13*L 156 -22*L

-13*L -3*L^2 -22*L 4*L^2];

U1 = K([3 4],[3 4])\F1([3 4]) % solution pour le 1er cas

U2 = K([3 4],[3 4])\F2([3 4]) % solution pour le 2em cas

R1 = K*[0;0;U1] % Ractions pour le 1er cas

R2 = K*[0;0;U2]-Fq % Ractions pour le 1er cas

syms x real; % Moment en fionction de x

Mzx = inline(-R2(2) + R2(1) * x + 0.5* q * x.^2)Mzx([0 0.5 1 1.5]')

% priodes propres

Tc = 2*pi*eig(K([3 4],[3 4]),Mc([3 4],[3 4])).^-0.5 % cas d'une masse concentre

Tr = 2*pi*eig(K([3 4],[3 4]),Mr([3 4],[3 4])).^-0.5 % cas d'un masse rpartie

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- !./Le modle SAP de cette poutre console peut tre ralis de la manire suivantes :

1) Crer un lment Frame entre les points (X0.0,Y0.0) et (X1.5,Y0.0). Voir les tapes 1 6 dcrites pourlexemple 2.5. Encastrer le nud au point (0,0)

2) Dans la fentre de dfinition du matriau, mettre 3.2e10 pour Elasticity Modulus, 2500 pour Mass perUniteVolume et 0 dans tous les autres champ de saisie.

3) Pour la section, il faut mettre 0.3 pour Depth (t3) et 0.4 pour Width (t2) puisque les le modle est planet la hauteur de la poutre est dans le sens Y au lieu du sens Z.

4) Dfinir les trois cas de charges statiques FP, FQ et FM dans la fentre Define Static Load Case Names ;choisir le type Live et saisir 0 pour Self Weight Multiplier.

5) Une fois les charge dfinies, on peut faire les combinaisons FM+FQ et FM+FP avec le menu Define/LoadCombinations. Cliquer sur le bouton Add New Combo. Dans la fentre Load Combination Data, saisir FQM

pour les deux champs Load Combination Name et Title, laisser ADD pour Load Combination Type. Dans

le volet Define Combination, choisir FQ Load Case pour Case Name et garder 1 comme Sccale Factor

puis appuyer sur le bouton Add. Ajouter de la mme manire FM et valider avec OK. Dfinir maintenant de la

mme faon la combinaison FPM. Utiliser le bouton Delete pour effacer les charges prcdentes ou le

bouton Modify pour les modifies. Fermer les deux fentres en validant dans les deux cas avec OK.

6) Slectionner llment pour lui assigner la charge rpartie avec le menu Assign/Frame StaticLoads/Point and Uniform. Choisir FQ pour Load Case Name, Forces et GlobalY pour Load Type and

Direction et saisir la valeur -60000 dans le champs Uniforme Load.

7) Slectionner maintenant le nud de lextrmit libre pour lui affecter la charge P avec le menuAssign/Joint Static Loads/Forces. Choisir FQ pour Load Case Name et saisir -90000 pour Force

GlobalY. Slectionner une autre fois le nud pour lui affecter le moment M. choisir maintenant FM pour Load

Case Name et saisir 60000 pour Moment GlobalZZ. Le moment nest visible dans la fentre de dessin que si

elle est en mode 3D ou dans le plan X-Z, changer de vue si ncessaire.

8) Dans la fentre Analysis Options cocher uniquement UY et RZ pour Available DOFs, activer aussiloption Dynamic Analysis et appuyer sur Set Dynamic Parameters pour mettre Number of Modes 1.

9) Lancer lanalyse. Avant de ferme la fentre davancement des calculs, on peut lire : Period = 0.014265, lesecond mode de vibration est supprim par le SAP puisquil est priodes nulle.10)Les rsultats peuvent tre affichs selon les combinaisons dfinies ou selon les charges seules.Remarque :

Remarquer la dfinition des charges et leurs combinaisons dans les tapes 4 6 et comparer avec le script

console.m. Au fait cette remarque se gnralise pour toutes les dclarations de donnes, linterface graphique

de SAP2000 cre un fichier de donnes qui est sauvegard avant lanalyse du modle pour tre charg et lu par

les modules du logiciel. Une version au format ASCII peut tre cre avec le menu File/Export/SAP2000.S2K.

Il est intressant de faire cette opration et dappeler le fichier par exemple console.s2k pour le charger avec

un diteur de textes comme WordPad ou NotePad afin de ltudier.

- $01Retrouver les expressions des matrices de rigidit et de masse de llment poutre (quations : 4.31)

Force F dans le cas dune charge repartie triangulaire