medida de jordan - luis victor dieulefait

5/13/2018 Medida de Jordan - Luis Victor Dieulefait

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MISCELANEA MATEMATICA 37 (2003) 29-63 SMM~

Medida de JordanLuis Victor Dieulefai t

Institut GalileeUniversite de Paris XIII(Villetaneuse, France)

"The will is infinite and the execution confined,the desire is boundless and the act a slave to limit".Cesaro, 1905.

1 Introducci6n.Desde la epoca de esplendor griego los matematicos se han preocupadopor extender los conceptos de longitud, area y volumen a la mayor claseposible de figuras; partiendo de la longitud de un segmento, el area deun rectangulo y el volumen de un paralelepipedo. Asi encontramos yaen Euclides una serie de postulados para la igualdad de areas de poligo-nos, que desarrollan la nocion primordial de que figuras que se puedendescomponer en partes dos ados conqruenies tienen iquol area. Esteprincipio se aplico aiin hasta fines del siglo pasado para la determina-cion de areas. Al ser este concepto insuficiente para la determinaciondel area de ciertas figuras, los mismos griegos introducen el metoda deexhauci6n, con el cual Arquimedes logra medir el area de un circulo y elde la region comprendida entre una parabola y un segmento. Por otraparte, para medir la longitud de la circunferencia tambien introducenel metoda de rectificaci6n de curoos.Para vohimenes 0 superficies curvas tambien los griegos aplicaronel metoda de exhaucion, con el que Arqufmedes midio el volumen y lasuperficie lateral de la esfera.

Este procedimiento para el calculo de areas y de vohimenes fuesistematizado y mejorado en el siglo XVII por Luca Valerio, Kepler,Cavalieri y Toricelli. Con el concepto de integral definida, que impli-caba una concepcion mas fina del concepto de limite y una enorme

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simplificacion de las dificultades antes encontradas mediante la nocionde integral definida y la aplicacion del Teorema de Barrow, se logra elcalculo de longitudes, areas y vohimenes siempre que se cumplan ciertascondiciones de regularidad.

A fines de siglo pasado y principios de este siglo, los matematicos sevieron llevados a generalizar las nociones de area de superficies planas,area de superficies curvas y vohimenes,

G. Cantor en su trabajo "De la puissance des ensembles parfaitsde points" (1884) [Cal da una nocion de volumen n-dimensional paraconjuntos de puntos en En (el espacio euclideo de ti dimensiones).

Como veremos, la definicion de Cantor no es satisfactoria, en par-ticular porque el volumen asf definido no result a aditiva (sin embargorepresent a un avance, y est a ligada a la nocion que desarrollara Jordan).

Camille Jordan, en su trabajo "Remarques sur les integrales defi-nies" (1892) [Jo] final mente introduce 10 que luego se llamarfa medidade Jordan, inspirado por el hecho de que en el calculo de integralesdefinidas el rol de la funcion a integrar estaba totalmente esclareci-do mientras que: Linftuence de la nature du champe paraft pas avoirete etudiee avec le meme soin. Con su procedimiento Jordan logra asig-nar a cualquier dominio una medida interior y una medida exterior, ydefine como medibles a aquellos conjuntos para los cuales estos 2 valorescoinciden, siendo su medida este valor cormin,

Con respecto al area de una superficie curva, el metoda de aproxima-cion por superficies poliedricas aparecia como una generalizacion natu-ral del metoda de rectificacion de curvas. Sin embargo, como quedo enevidencia por la paradoja de Schwarz, la situacion era mas compleja, ynumerosos autores intentaron definir el area imponiendo restriccionessobre las superficies poliedricas a considerar (por ejemplo, que las carassean triangulos cuyos angulos no tiendan a cero). Definiciones basadasen el volumen de solidos que cubren a la superficie cuyo espesor tien-de uniformemente a 0 se encuentran en Borchardt (1854), Minkowski(1901) y Peano (1902) [Mi], [Pe2]. Pero la mas interesante quizas seala definicion de Lebesgue [Le3]. Luego veremos est as definiciones en laseccion 5.

Cabe destacar que la clase de superficies curvas cuya area puedecalcularse mediante una integral es muy restringida. Refiriendose aesta clase de superficies Lebesgue los considera "casos casi banales".

A este panorama de fines del siglo XIX debe agregarse el hecho deque la matematica se encontraba pasando por un periodo de crisis pro-vocado por la aparicion de funciones continuas sin derivada en ninguno


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de sus puntos (el primer ejemplo se debe a Weierstrass en 1872) [We] ylas curvas que llenan toda un tirea plana (la primera, creada por Peanoen 1890) [Pe3] , Si bien una curva que Ilene un area plana, como veremosluego, necesariamente posee puntos multiples, los matematicos empe-zaron a vislumbrar que una curva simple podia ser algo muy lejano a1 0 que la intuicion geometrica, embebida de los Elementos de Euclides,podia imaginar. La sensacion de algunos en ese momento queda refleja-da en las palabras de C. Hermite, quien escribio a Stieltjes en 1893 queestaba "revolviendose en miedo y horror ante esta lamentable plaga defunciones sin derivada" .

Se construyeron curvas simples cerradas tales que las regiones porellas determinadas no poseen medida de Jordan, curvas con "area po-sitiva", como la de Osgood (1903) [Os]. Que tenga "area positiva"significa que su medida exterior de Jordan es positiva; esta curva jamaspodra ser entonces medible Jordan, pues su medida interior de Jordanes necesariamente 0, por ser curva simple (ver seccion 4).

En general, comenzaron a aparecer curvas no-rectificables, es decircurvas de "longitud infinita" , a las cuales, inspirandose en los metodosde Minkowski [Mil, F. Hausdorff logro en 1919 asociar ciertos invarian-tes que lIamaremos medida de Hausdorff y Dimension de Hausdorff 0Dimension Fractal [Ha].

Los conceptos de Dimension Fractal y medida de Hausdorff estanintimamente relacionados con la medida de Jordan. Probaremos eneste trabajo que una region plana cuyo borde es una curva simple esmedible Jordan si y solo si la curva posee Dimension Fractal menor que2 (0 Dimension Fractal 2 con medida de Hausdorff 0) (ver seccion 3).

Respecto a las curvas de Dimension Fractal 2 con medida de Haus-dorff positiva (curvas con area), aplicando un Teorema de Diferencia-cion de Lebesgue y la no cion de punto de densidad, trataremos decomprender un poco mas de su estructura (seccion 4).

Una de las caracteristicas principales de la Medida de Jordan es suinvariancia bajo transformaciones rigidas. En la seccion 2, daremos unaprueba de este hecho (en el plano).

2 Medida de Jordan de conjuntos pIanos.El metoda que expondremos a continuacion, introducido por CamilleJordan en 1892, es una generalizacion del metoda griego de exhaucion,


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Ambos metodos se basan en un postulado fundamental que se im-pone a la nocion de area:

Si A c B, Area(A) ~ Area(B) . (1 )De esta forma definiremos, siguiendo a Jordan, el area de "dominiosfundamentales" y con eso asignaremos una medida (area) a aquellosconjuntos que puedan aproximarse "suficientemente bien" por estosdominios fundamentales.Definicion 2.1. Si el conjunto E puede descomponerse como unionfinita de cuadrados C, de lados paralelos a un par de ejes fijos x, y,

11todos de igual lado r: E =UCidiremos que el area de E es n . r2.~=1Es facil ver que esta area esta bien definida, es decir, no dependede la descomposicion en cuadrados (para probarlo, dadas 2 descompo-

siciones, se considera una tercera que refina a ambas).Un conjunto E que admite una descomposicion de este tipo sera lla-

mado Dominio Fundamental.Observaci6n 2.2. Los resultados de esta seccion valen para conjuntosen n-dimensiones (n ~ 1), definiendo Dominios Fundamentales comodescomponibles en un mimero finito de intervalos, cuadrados, cubos 0hipercubos, dependiendo de la dimension; con 10 cual se construye unamedida de Jordan para n-dimensiones, la cual depende fuertemente den: el cuadrado unitario tiene medida de Jordan plana 1, pero inmersoen E3 su medida de Jordan es O.Definicion 2.3. Diremos que un conjunto F del plano es acotado cuan-do existe algiin circulo que 10 contiene.Definicion 2.4. Sea F un conjunto acotado del plano. Descomponga-mos el plano mediante paralelas a los ejes en cuadrados de lado r,

El conjunto E formado por aquellos cuadrados incluidos en F es undominio fundamental contenido en F.Variando r, obtenemos una familia U de dominios fundamentalescontenidos en F.Como todas sus areas estan uniformemente acotadas (por el area

de un cuadrado que contenga a F) sabemos que existe sup area(E).EEULlamemos a este valor medida interior de Jordan de F y denotemoslomi(F).


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Analogamente, si consider amos los dominios fundament ales E U E'form ados tomando de un reticulado de lado r aquellos cuadrados quetengan algiin punta en cormin con F, variando r obtenemos una familiaFde dominios fundamentales que contienen a F (fueron escritos de est aforma pues parte de ellos es un E E U).

Por ser las areas no-negativas, existe inf area(E UE'), llamemosEUE'EVa este valor: medida exterior de Jordan de F y denotemoslo mB(F) .Como cada elemento de V contiene a cualquiera de los elementos

de U tenemos:e.EU, E j UE; EV===}-Ei C F c e,UE; = = = > area( E i) :::; area( E jUE;)(2 )En esta afirmacion estamos usando el hecho de que D = (E j U E j) - E,tiene area positiva: pero observemos que D puede no ser un dominiofundamental. De todos modos como D siempre puede descomponerseen rectangulos de lados paralelos a los ejes se llega igual a (2).

Por simplicidad vamos a cambiar la definicion y Hamar dominio fun-damental a aquel que es union finita de rectangulos (de lados paralelosa los ejes). Puede verse sin .mucho trabajo que tomando el supremo yel infimo sobre las familias de dominios fundamentales de este nuevotipo contenidos y que contengan a F, respectivamente, no se alteranlos valores mi(F) y mB(F) , sea cual sea F.

De (2 ) se sigue que:sup area(E):::; inf area(E U E') 0 sea: m i(F) :::;m B(F ) . (3)EEU EUWEV

Tambien puede probarse que el valor mi(F) es exactamente el limi-te cuando r tiende a 0 de las areas de los dominios fundo E; antesconsiderados:

limarea(Er) = suparea(Er) = mi(F).r-+O r>O (4a)Similarmente:

mB(F) = limarea(Er U E;) = inf area(Er U E ;) (4b)r-+O r>O(ver [Jo] y [Le4]).Definicion 2.5. Diremos que un conjunto plano F es Medible Jordancuando

(5 )A este valor cormin 10 llamaremos Medida de Jordan de F y 10 deno-taremos m(F).


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De (4a) y (4b) tenemos que F es medible Jordan si y solo si:lim area( Er) = lim area( E; U E~) = lim area( Er) + lim area( E~)r~O r~O r~O r~O

Es decir que F es medible si y solo si:lim area(E~) = 0r~O (6 )

Por definicion de E; y E; UE~ es claro que E~ es un dominio fun-damental que contiene a la frontera de F: Fr(F). Luego (6) equivale adecir que

mlJ(Fr(F)) =0De (3) concluimos que m(Fr(F)) = O.En resumen: F es medible Jordan si y solo si Fr(F) tiene medidaexterior (y medida) de Jordan cero.Muchos de los ejemplos que veremos a continuacion son de dominios.

Por 10 tanto, definamos:

(7)

Definicion 2.6. Una curva es el conjunto de puntos (x , y ) descrito porlas funciones continuas: x = f(u), y = g ( 7 1 , ) donde u recorre el intervalo[0,1] .

Una curva se dira cerrada si a 0 y lIes corresponde el mismo puntoy abierta en caso contrario.

Cuando no existen dos valores distintos del parametro u (exceptoquizas 0 y 1) a los cuales les corresponde el mismo punto la curva sedice simple 0 de Jordan.Teorema de la Curva de Jordan: Sea'Y una curva simple cerradaen e l plano E2. Luego E2 - 'Y puede ser escriio, y de manera unica,como Launion disjunta de dos regiones I y G tales que I es acotada ysimplemente conexa (0 sea "sin agujeros"), 'Y puede coniraerse a cuol-quier punta de I U 'Y Y la [roniera de I y de G es 'Y . A la region I lallamaremos interior de 'Y .Definicion 2.7. Llamaremos dominio a un conjunto formado por unacurva simple cerrada y su interior.

Veremos luego ejemplos de dominios que no son medibles Jordan, 0sea (por (7)) que la curva simple "(que 10 rodea tiene medida exteriorde Jordan positiva (seccion 4).

El siguiente Teorema se prueba sin gran dificultad partiendo de ladefinicion de Medida de Jordan:


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Teorema 2.8. Sean R y S dos dominios medibles Jordan que se in-tersectan solo en puntos de la frontera de ambos (0 no se intersectan).Entonces R USes medible Jordan y vale:

m(R US) =m(R) + m(S) . (8)Otro resultado fundamental es el siguiente:

Teorema 2.9. Sean ReS dos dominios medibles Jordan. EntoncesS - R es medible Jordan y vale:

m(S - R) =m(S) - m(R).Nota. La definicion de area dada por Cantor (1884) [Cal coincide conla de medida exterior de Jordan, nada mas que cubre la figura concirculos centrados en los puntos de la misma (en lugar de con cuadradoso rcctangulos] y hace que el radio de estes tienda a O . El problemaprincipal de tomar m()como definicion de area es que esta no es aditiva.

Ahora si estamos en condiciones de ver algunos ejemplos de conjun-tos medibles y no medibles Jordan:(i) Rectangulos de lados paralelos a los ejes: Como ya se dijo consi-

derar a los dominios fundamentales compuestos por rectangulos 0por cuadrados no altera el valor de la medida de Jordan. De hechoes facil ver que si consideramos solo cuadrados, los rectangulos re-sultan medibles y su area da el valor esperado (base por altura).Esta identificacion sera utilizada de ahora en adelante sin mascomentario.

(ii) Poligonos: Para probar que un poligono cualquiera es medibleJordan alcanza con verlo para triangulos, pues todo poligono estriangulable y se aplica el teorema 2.8 (generalizado a mas de 2dominios por induccion).A su vez para probarlo para un triangulo arbitrario alcanza converlo para triangulos rectangulos de catetos paralelos a ambosejes. Esto sale de aplicar el teorema 2.9 al triangulo dado y alminimo rectangulo de lados paralelos a los ejes que 10 contenga: enefecto un tal rectangulo es medible Jordan y la diferencia entreeste rectangulo y el triangulo dado es union de tres triangulosrectangulos de catetos paralelos a los ejes (esta union sera medibleJordan por el teorema 2.8).Sea ABC triangulo rectangulo en B, con catetos paralelos a losejes. Considerando dominios fundamentales E y EuE' contenidos


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y continentes, de tal forma que los lados AB y BC formen partede ambos, vemos que para probar que el triangulo es mediblebasta con ver que el segmento AC posee medida exterior nula.Sea la longitud de AC. Dado e > 0, tenemos que cubrir ACcon k cuadrados de lado 6 tales que el area total sea menor quec.Cada cuadrado cubre un segmento de AC de longitud Ik, luegoel lado verifica 6 < 1 k y el area total verifica: 62 k < _ 2 I k.Tomando k > _ 2 Ie obtenemos: area total = 62 k < 2 Ik < c.Luego el triangulo ABC es medible Jordan, y vamos a calcularsu medida. Para ella consideramos el rectangulo ABC D y pro-bemos que m(ABC) =m(ADC). Como m(ABC) +m(ADC) =m(ABCD) =b h, donde by h son las longitudes de los catetosde ABC, queda m(ABC) = b - h12.La igualdad m(ABC) = m(ADC) surge simplemente del hechode que si E es un dominio fundamental contenido en ABC (con-tinente), aplicandole una simetria axial sobre el eje AC obtene-mos un dominio fundamental contenido en ADC (continente), yreciprocamente. Por 10 tanto m(ABC) = m(ADC) = b- h12.

(iii) Un conjunto no medible Jordan: Consideremos el conjunto G delos punt os del cuadrado unitario con ambas coordenadas raciona-les.

La medida interior de este conjunto es 0 pues no contiene ningunrectangulo.

Por otro lado, todo dominio fundamental E que contenga a G con-tendra al cuadrado unitario I, pues si no fuera as! 1- E seria un dominiofundamental y dentro de los rectangulos que 10 forman habria puntoscon ambas coordenadas racionales que no estarian cubiertos por E.

Es decir que: mi(G) = 0 y m 8(G ) = 1, por 10 que G no es medibleJordan.Invariancia de laMedida de Jordan respecto a las trans formacionesrigidas.Es sabido que en el plano 2 figuras son congruentes si y solo si puedensuperponerse mediante la aplicacion de una transformacion rigida; quesera siempre composicion de a 10 sumo una rotacion respecto a unpunto prefijado, una traslacion y una simetria axial. Nos proponemosdemostrar el:


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Teorema 2.10. Sea Tuna transformaci6n riqida del plano que trans-forma un conjunto medible Jordan R en T(R). Entonces: T(R) esmedible Jordan y vale m(R) =m(T(R)).Demostracion: Para el caso de traslaciones no hay nada que demostrarpues la imagen de un dominio fundamental es un dominio fundamental.

Consideremos el caso de una rotacion, que puede suponerse respec-to al origen de coordenadas. Como rotar la figura a grados equivale arotar los ejes -agrados, el problema equivale a demostrar que si con-sidero una figura R medible Jordan respecto a los ejes (x , y ) , tambiensera medi ble Jordan respecto a otro par de ejes (z , w ), coincidiendoambas medidas.

Llamemos ml a la medida respecto a (x , y ) Y m2 a la medida res-pecto a ( z , w ).

Necesitamos el siguiente:Lema 2.11. Dado un dominio fundamental E respecto a los ejes (x, y),es medible respecto a La medida de Jordan m2 Y tenemos: ml (E) =m2(E).

Como un dominio fundamental puede descomponerse en rectangulosy tanto ml como m2 son aditivas (teorema 2.8)' basta probar ellemapara rectangulos de lados paralelos a los ejes (x , y ) .

Para un tal rectangulo G de base by, altura h tenemos: ml (G ) = b - h .Respecto a la medida m2, como fue visto en el ejemplo 2, G es

medible.Para calcular m2 (G), 1 0 expresamos como union y diferencia de

triangulos como se ve en la figura (1), donde BF es paralelo al eje w.De esta forma queda:

G =ABE U BFC - EFD (9 )Para probar que ml(G) = m2(G) basta probar que ml Y m2 coincidenpara estes 3 triangulos, en virtud de los teoremas 2.8 y 2.9.

Probemoslo para ABE (para los otros 2 triangulos se prueba igual).Sea N el pie de la altura relativa a la hipotenusa, Como fue visto en elejemplo 2: ml(ABE) = AE AB/2.

Para calcular m2(ABE) descompongamos ABE =ABN uAEN.Estos 2 triangulos tienen sus catetos paralelos a los ejes (z , w ), luegoaplicando el ejemplo 2:

m2(ABN) = BNNA/2 y m2(AEN) = ENNA/2. Por aditividad:


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~ v :" ,,,,,,,,, ,, ,, ," /

Figura 1

m2(ABE) = NA (BN + EN)/2 = NA BE/2.l.Como prohamos que ml(ABE) =m2(ABE)?La igualdad de ambas medidas se reduce por 10 ya hecho a: AE

AB = N A . BE y esta igualdad se demuestra sin apelar a ningunanocion de area: Escrita como AE IBE =N AI AB vemos que se deducede la semejanza de ABE y NAB: El hecho de que estes dos triangulosposeen angulos iguales es trivial, de donde la proporcion entre sus ladoses, si se quiere, consecuencia del Teorema de Thales, como muestra laFigura (2).

Por 10 tanto ml(ABE) = m2(ABE), Ycomo 10 mismo sale para losotros triangulos en (9) queda: ml(G) =m2(G), Y luego las medidascoinciden para cualquier dominio fundamental respecto a los ejes (x , y) .

AE _ n _ ANBE - m- AB

BN

Figura 2

Prosigamos la prueha del teorema 2.10. De ahora en mas, dadoun dominio fundamental H respecto a ml 0 a m2, aplicando el lema,denotemos al valor comiin de amhas medidas m12(H).


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Sea R un conjunto medible respecto a mI'Sea e > 0 y sean E y D dominios fundamentales respecto a mi

contenido y que contiene a R tales que:(lOa)(lOb)

Como E y D son medibles segun m2 existe F dominio fundamentalsegun m2 contenido en E con:

(lla)y un dominio fundamental L segtin m2 que contiene a D con:

emI2(D) < m2(L) < mI2(D) + 4 (llb)De (lOa), (lOb), (lla) y (llb): 0 ~ m2(L) - m2(F) < c, como F cR c L esto prueba que Res medible segun m2.

Ademas tambien sale de las formulas anteriores que: 0 ~ mi (R ) -m2(F) < ~.

Aplicando la definicion de medida interior de Jordan m~ tenemos:ml(R) = m~(R) y como R es medible m2: m l(R ) = m2(R) .

Esto concluye la prueba para el caso de rotaciones. Faltan solo lassimetrias axiales, pero toda simetria axial puede descomponerse comouna respecto a un eje a 45 grados compuesta con una rototraslacion.

Luego solo debe probarse para este caso, en el cualla invariancia dela medida se deduce trivialmente de que esta simetria axial transform adomini os fundamentales en dominios fundamentales.

En virtud del result ado mencionado al comienzo de est a seccion, sedesprende que:Corolario 2.12. Si A es un conjunto medible Jordan y B es congruentecon A, entonces B tambien es medible Jordan y vale: m(A) =m(B).Nota. Como ya fue mencionado en la introduccion, el enunciado deeste corolario (para areas) junto con la aditividad del area (teorema2.8) fueron usados como principios basicos para el calculo de areas atraves de los siglos (junto con el metoda de exhaucion). Partiendo deest os y otros principios basicos puede calcularse el area de una figuracomparandola con otra de area ya conocida y probando qu ~son equiva-lentes, es decir que pueden descomponerse en partes 2 a 2 congruentes.


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Combinancio los principios "el area del todo es mayor (0 igual) que lade sus partes" (aqui se funden aditividad y no-negatividad del area) y"dadas 2 figuras sus areas son 0 una mayor que la otra 0 iguales" losgriegos introducen el metoda de exhaucion, con el que calculan el areade un circulo aproximandose a este por poligonos regulares inscritosy circunscritos. En realidad el proceso de asignarle un area consistiapara ellos en decir que "un circulo posee igual area que un triangulocuya base mide como el radio del circulo y su altura 10 mismo que lacircunferencia rectificada". Esta equivalencia se basaba en que el areade ambas figuras funcionaban como elementi di separazione di una me-desima partizione deftinsieme defte superficie poligonali, -, sana limitidi poligoni equivalenti (U. Amaldi, Su11ateoria della equivalenza, 1925[Am]), expresando por 10 tanto la continuidad de la clase de magni-tudes consideradas. Observese la enorme similitud entre el metoda deexhaucion y el de Jordan.Entre los postulados para la igualdad de figuras (significando con

iguales que poseen igual area), Euclides incluye, ademas de los ya men-cionados, el siguiente: "Si a figuras iguales se le extraen figuras iguales,los restos son iguales" (teorema 2.9). Creyendo este postulado innece-sario y deducible de los demas Bolyai quiso probar que "Dadas 2 figurascongruentes con una parte en cormin, al quitar dicha parte se obtienen 2figuras equivalentes", pero el procedimiento de subdivisiones sucesivasque ideara en general no termina y se prolonga indefinidamente.Para poligonos, sin embargo, fue probado por diversos autores afines del siglo pasado que "Dos poligonos de igual area siempre sonequivalentes". 0 sea: "Dados 2 poligonos, 0 son equivalentes, 0 unode ellos es equivalente a una parte del otro" (una parte propia, esdecir que deja algun sub-poligono sin incluir). Mencionemos que elresultado analogo para poliedros no es cierto. (Para consultar sobreestas cuestiones ver [Am]). 0

2bis-Medida de un conjunto segtin Borel y LebesgueEn esta seccion daremos una breve idea de las nociones de Medida deBorel y Medida de Lebesgue. Nos interesa la nocion de conjunto demedida nul-apara aplicarla en secciones posteriores.

Como ya fue dicho, la Medida de Jordan se define para cualquiermimero de dimensiones en forma analoga a la expuesta.

En particular en la recta se obtiene un result ado similar al del ejem-plo 3: El conjunto T de puntos racionales del intervalo [0 , 1] tiene


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m (T) = 0, m()(T) = 1 y 10 mismo vale para Y = [0,1]- T, punt os irra-cionales del [0,1]. Basandose en la Teoria de Cardinales Transfinitos deCantor, por ser T un conjunto numerable y Y uno con la potencia delcontinuo, E. Borel se ve conducido a definir la Medida de Borel (Leoonssur la theorie des fonctions, 1898) en la cual logra que esta diferenciade cardinales se yea reflejada en el valor de la medida. En su construe-cion, Borel muestra que es natural asignar al conjunto T (ya cualquierotro conjunto numerable) medida nula. Su procedimiento difiere del deJordan en el hecho de que ahora se consideran los cubrimientos del con-junto mediante una cantidad numerable de intervalos (0 de cuadradosen el caso del plano) en vez de tomar solo una cantidad finita de estosen cada cubrimiento. Asi se lograra medir mas conjuntos no solo por elsimple hecho de haber ampliado la clase de "dominios fundamentales"a uniones numerables de intervalos sino porque esta nueva clase permi-te una adaptabilidad al conjunto a medir que no existe en el metodade Jordan: Pour la mesure J (Jordan) on precede de la meme manierepour tous les ensembles, ., .Au eontraire, pour la mesure B (Borel) onehoisit une infinite denombrable dintervalles qui sddaptent a Iensembledonne, cest-a-dire que Ion ehoisit ees intervalles ddpres les renseigne-ments que ron a sur eet ensemble [B01] .Asi en el caso del conjunto T definimos los cubrimientos numera-

bles de la siguiente forma. Numeremos los elementos de T de algunmodo: (sabemos que es un conjunto numerable, luego puede ponerseen biyeccion con los mimeros naturales, 0 sea escribirse como sucesi6n)rI, r2, r3,.. Dado e > 0, cubramos T por los siguientes intervalos:al elemento rk 10 cubrimos por un intervalo centrado en el de longitude / 2 k , Luego T queda cubierto por una cantidad numerable de intervalos

00tal que la suma de sus longitudes es: 2:(c/2i) =c. De aqui concluimosi=Ique, como T puede cubrirse por intervalos tales que la suma de sus

longitudes es arbitrariamente pequefia, su medida no puede valer otracosa que 0.

Este es, como dice Borel "El razonamiento intuitivo que da origen ala definicion de la medida Borel". Un punto critico a considerar es quehemos asumido que, dada una cantidad numerable de intervalos, quetienen posiblemente puntos interiores en cormin, la medida de la unionde todos ellos es menor 0 igual que la suma de las medidas individuales.Este hecho es de facil dernostracion para el caso de un mirnero finito deintervalos, pero en el caso de infinitos intervalos nos vemos obligados aenunciar el siguiente:


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Postulado. La medida de un conjunto formado por una infinidadnumerable de intervalos sin punt os comunes es igual a la sum a de laslongitudes de estes intervalos.

De aquf surge que, en general, la medida de una cantidad numerablede conjuntos medibles disjuntos es igual a la sum a de las medidas deestos. Una medida con est a propiedad se llama a-aditiva. A partir deest a propiedad es evidente que todo conjunto numerable tiene medidanula. La reciproca no es cierta ni siquiera en la recta, como puede versedescomponiendo trivialmente el complemento del conjunto ternario deCantor en intervalos cuya sum a de longitudes es 1, a pesar de 10 cualpuede verse que el conjunto ternario de Cantor tiene el cardinal delcontinuo (el conjunto ternario de Cantor es 10 que queda del intervalo[0, 1] despues de extraerle el tercio central, y los tercios centrales de losintervalos que quedan, y asi sucesivamente. El conjunto extraido tienemedida: 1/3+2/9+4/27+ = 1). De est a forma Borellogra extendersu medida a los llamados Conjuntos Borelianos, que son aquellos quepueden obtenerse por aplicacion reiterada un mimero finito 0 infinitonumerable de veces de las operaciones de union, interseccion 0 com-plemento a partir de intervalos. Puede verse que todos los conjuntosabiertos (tales que todos sus puntos son interiores) y cerrados (talesque contienen a su Frontera) son borelianos.

Es de fundamental importancia dentro de la teoria de la medida,la validez del Teorema de Heine-Borel-Lebesque. Sea E un conjuntocerrado y acotado en En y sea {) una familia de abiertos que cubren E.Entonces puede extraerse de {) una sub-familia jinita V tal que E escubierto por los abiertos de esta.

La propiedad establecida por este teorema se llama compacidad.Consideremos dominios fundament ales con el agregado de que los

rectangulos que los forman (siempre una cantidacl finita) puedan serabiertos, cerrados 0 semiabiertos (que incluyen solo algunos de sus 4lados): con el teorema anterior sale facilmente que:Teorema 2.13. Si A es un dominio fundamental y (An) es una familiajinita 0 numerable de dominios fundamentales tales que: A C uAn,entonces:

m(A)


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propiedades que son triviales en el caso finito.

Medida de Lebesgue de un conjunto acotado en EnDaremos la definicion para el plano, siendo identica en otras dimensio-nes.

Como trabajaremos con conjuntos acotados puede suponerse sinperdida de generalidad que el conjunto a medir est a contenido en elcuadrado unitario.

Nuevamente, cuando digamos rectangulo, el mismo podra ser cerra-do, abierto 0 semiabierto.

Retomando la idea de cubrir un conjunto mediante una familia finitao numerable de rectangulos definamos:Definicion 2.14. Se llama m edida su perior de Lebesgue {l*(A ) del con-junto A al numero

donde el infimo se toma respecto a todos los cubrimientos de A pormedio de familias finitas 0 numerables de rectangulos,Definicion 2.15. Se llama m edida inferior de Lebesgue {l*(A ) del con-junto A al numero:

1- {l*(I - A)donde Ies el cuadrado unitario.

Aplicando el teorema 2.13 (y la definicion de supremo) se pruebafacilmente queProposicion 2.16. Para todo conjunto A se tiene {l*(A) :::;{l*(A) .Definicion 2.17. Un conjunto A se dice Medib le L eb es gu e cuando:J1*(A) = {l*(A) . El valor com tin {l(A) de las medidas superior e inferiorse llamara m edida de Lebesgue de A.

Se sigue por 10 tanto que un conjunto posee Medida de Lebesque nu-la, cuando su medida exterior de Lebesgue es cero, 0 sea que podemoscubrirlo con una familia numerable de rectangulos tal que la sum a delas areas de los mismos sea tan pequeiia como se desee (como en el ejem-plo de los puntos racionales). Los conjuntos medibles Lebesgue formanuna c1ase mas amplia que los medibles Borel, siendo para estes ultimos


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4 4 LUIS ViCTOR DIEULEFAIT

amhas nociones de medida equivalentes. Ademas "Dado cualquier con-junto A medible Lebesgue existen 2 borelianos Go :J AsupsetF(T) talesque estos 3 conjuntos tienen igual medida".Es decir que los conjuntos medihles Lebesgue tambien son cerra-dos bajo la aplicacion reiterada en mimero finito 0 infinito numerablede uniones, intersecciones 0 complementos, pero, mientras que la apli-cacion de estas operaciones a partir de interval os da por definicion latotalidad de los conjuntos borelianos, estas operaciones no permit enagotar la clase de los conjuntos medibles Lebesgue.

El caracter constructivo de la definicion de Borella hace muy titildel punta de vista practice, mientras que la generalidad de la definicionde Lebesgue hace que esta tenga un gran interes teorico,

Remarquemos que todo conjunto medible Jordan es medible Lebes-gue, y ambas medidas coinciden. La reciproca es evidentemente falsa.Sin embargo, aiin en la recta, existen conjuntos acotados no medi-

bles Lebesgue. Los ejemplos que se conocen dependen de la utilizaciondel Axioma de Eleccion (0 alguno de los postulados que le son equi-valentes). Las propiedades de estas medidas pueden consultarse en[KF, RP] y [Ru].

3 Curvas Rectificables, Fractales y Medi-da de Jordan.

Dada una curva plana veremos que, atin siendo acotada, la misma puedeo no tener "longitud finita". Para precisar definamos 10 que entendemospor longitud de una curva:Definicion 3.1. Sea a una curva acotada de extremos A y B (los cualescoinciden en el caso de una curva cerrada). Consideremos la familia Fde todas las poligonales que van de A a B y estan inscriptas en la curva.Cuando existe el mimero: sup longitudf P), decimos que la curva a es

PEF

rectificable, y llamamos longitud de a al valor de dicho supremo.Tomando las poligonales Po, las cuales se forman uniendo con seg-mentos a partir de A puntos sobre la curva cada uno a distancia 0 delanterior, y tomando el limite cuando 0 tiende a 0, puede verse que paracurvas rectificables dicho limite nos da la longitud de la curva. (vel'[RP]).

Lebesgue da ([Le3]) una definicion equivalente, pero que le sirvepara poder definir POl' analogia el area de una superficie curva (como


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veremos mas adeiante), que consiste en la siguiente observacion: Sise toma una sucesion de poligonales que tienden uniformemente a unacurva a, no necesariamente inscritas, el limite inferior de sus longitudesda un valor s no necesariamente igual a la longitud de la curva (comoen la famosa paradoja de que la diagonal de un cuadrado mide el dobledel lado), pero siempre se tendra: s ~ longitud(a). Luego define lalongitud de la curva como el infimo de todos los limites inferiores de laslongitudes de sucesiones de poligonales uniformemente convergentes ala curva.

Una curva sera rectificable en particular si es regular, es decir queadmite una parametrizacion con funciones continuas con derivadas par-cialmente continuas, y su longitud puede expresarse como la integraldel diferencial de arco. Mas generalmente, una curva sera rectificablesi y solo si cualquiera de sus representaciones analiticas es de variacionacotada (criterio de Jordan, ver [RP)).

Otra forma de calcular la longitud de una curva rectificable apareceen los trabajos de Minkowski: Consideremos la superficie S, formadapor todos los circulos de radio e centrados en puntos de la curva, la cuales una franja de espesor 2c alrededor de la misma. Minkowski define([Mi]) la longitud de la curva como:

lim area( Se) /2ce - t O

(Una definicion simplificada para curvas con normal en todos sus puntosse encuentra en [Ch]).Dada una curva, consideremos, como hicimos para la definicion demedida de Jordan, un cuadriculado del plano en cuadrados de lado 6

y llamemos Eo a la union de aquellos cuadrados que tocan a la curva,formado por N(6) cuadrados de lado 6. Eli puede pensarse tambiencomo una franja que rodea a la curva, de espesor 6, y si calculamosel valor: lim area( Eli) /6 (#), obtenemos, analogamente a 10 hecho porMinkowski, la longitud de la curva.

El limite anterior puede expresarse, usando area (Eli) = N (6) . 62 ,como:lim N (6) . c 5 , que no es otra cosa que el limite de las longitudes de

I i - t Olas poligonales inscritas de lado c 5 cuando c 5 tiende a 0 y luego coincidecon la primera definicion dada. Esto es asf si asumimos el hecho in-tuitivamente evidente de que para 6 suficientemente pequefio el valorN (6) (cantidad de cuadrados de lado c 5 necesarios para cubrir la curva)se asemeja a la cantidad de lados del poligono inscrito de lado c 5 (los 2valores se relacionan debido a que un cuadrado de lado c 5 tiene diametro


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21/2 b).Por otro lado, si a es una curva rectificable ellimite (#) sera finito

y en consecuencia tendremos: lim area(E8) = lim N (O ') . 0 '2 = 0, y este8-+0 8-+0limite, como ya fue visto en la seccion 2, es la medida exterior de Jordande a. Es decir que tenemos que:Teorema 3.2. Toda curva rectificable tiene medida de Jordan nula. ypor 1 0 tanto: Todo dominio cuya frontera es una curua rectificoble esmedible Jordan.Curvas fractales.

Como recien mostramos, escribiendo los correspondientes limites, delhecho de que una curva tenga longitud finita se deduce que su "area" escero. ;,Podemos obtener resultados similares para (algunas) curvas norectificables? Para ello precisamos definir la Dimension de Hausdorff-Besicovitch 0 Dimension Fractal de una curva. Para simplificar la no-tacion, usaremos el simbolo - - - + para indicar que se esta tomando ellimite de una expresi6n cuando la variable 0 ' tiende a O . Para una curvarectificable N (b) . 0 ' - - - + Lo es su longi tud.

Por 10 tanto si intentamos asociar un area a est a curva ten emosN ( O ' ) . 0 '2 - - - + A = O . Mas aiin, la iinica medida significativa de unacurva rectificable es su longitud, ellimite de N ( O ') O 'k sera 0 para todoexponente mayor que 1 e infinito para todo exponente men or que 1.

Similarmente para una superficie suficientemente regular calculamosel area como:

N (O ') . 0 '2 - - - + A D , donde A D es el "area" (medida exterior de Jordan)de la superficie. Si intentamos asociar un volumen a est a superficiecubriendola con cubos tenemos: N ( O ' ) 0 '3 - - - + V = 0, como era deesperarse. Por ultimo, al menos formalmente, podemos asociar unalongitud a la superficie con la formula:

N (b) . 0 ' - - - + L =0 0El unico valor util que obtuvimos para una superficie es su area.

En general, una curva que no sea rectificable cumplira un rol inter-medio entre una curva y una superficie.

Por un lado N ( O ' ) . 0 ' diverge por no ser rectificable. POl' otro lado(en la mayoria de los casos) la curva no tendra area por 10 cual N (b) . 0 '2tendera a O . En general exist ira un exponente D entre 1 y 2 (que es facilver que es tinico) tal que N ( O ' ) O 'D converja cuando 0 ' - - - + 0 a un valor no


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nulo (por simplicidad suponemos que siempre existe un tal D ), donderecordemos que N (6) representa la cantidad de cuadrados de lado 6necesarios para cubrir la curva (0 de lados del poligono inscripto delado 6).

Llamaremos a este exponente D Dimension de Hausdorff-Besicovitcho Dimension Fractal de la curva.

En algunos casos puede valer D = 2; que seran los casos donde lacurva tiene "area".

En realidad la definicion formal considera, para cada 6 la familia Fode todos los cubrimientos finitos tales que estan form ados por cuadradosde lado no mayor que 6 (no necesariamente todos del mismo tamaiio). Siun tal cubrimiento esta dado por los cuadrados C1, C2, , C, de lados:61, 62, ... ,6 t todos menores 0 iguales que 6, el valor a considerar es:tI:p y se toma el Infimo de estes val ores sobre todo Fo; llamemosloi=1lV o . Este mimero pasa a reemplazar al antes considerado N (6 ) 6D("area D-dimensional" del cubrimiento estandar en cuadrados de lado6). Finalmente se considera el limite al tender 6 a 0 de Wo , el cualsera finito y no nulo cuando D sea la Dimension Fractal de la curva.En este caso al valor de este limite se le llama medida de Hausdorff.

(D es el primer valor para el que el limite es no nulo, siendo el limiteo para d > D e infinito para d < D ).La dimension topologica de un conjunto es 10 que intuitivamente

llamamos dimension: un segmento tiene dimension topologica 1, uncuadrado 2, etc. Este concepto es un "invariante topologico", es decirque si aplico una biyeccion continua a un conjunto, su imagen tendra lamisma dimension que este (este es un importantisimo resultado probadopor Brouwer). Una consecuencia de esto es que una curva simple, porser imagen continua biyectiva de un segmento (y luego, de dimension1), no puede llenar un area plana (de dimension 2). Es decir que dadoun circulo, por pequefio que sea, una curva simple no puede cubrirlo.

La "Curva de Peano" ([Pe3]), que llena todo un cuadrado, no esuna curva simple, y no podria serlo, por este resultado.

La Dimension Fractal que definimos antes para curvas, puede de-finirse para conjuntos de mas dimensiones, y comparando ambos con-ceptos de dimension puede verse que: Dimension Topologica (A ) ~Dimension Fractal (A).Definicion 3.3. Una figura se dice fractal si su Dimension Topologicaes estrictamente menor que su Dimension Fractal.


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Para el caso de curvas queda entonces que una; curva es fractal si suDimension Fractal es mayor que 1.Ejemplo de Curva Fractal. Frontera de la Isla Triadica de Koch (vonKoch, 1904). Para construir la Isla de Koch comenzamos con untriangulo equilatero de perimetro 1. La construccion prosigue divi-diendo en tres partes cada lado, quitando el tercio central de cada unoy poniendo en su Iugar los dos segmentos de longitud 1/9 que formantriangulo equilatero con cada segmento extraido. Asi obtenemos unacurva de 3 . 4 = 12 lados de longitud 1/9. La longitud de la mismaes L(1/9) = 12/9 = 4/3. EI paso siguiente consiste en aplicar el mis-mo procedimiento (en escala de 1 : 3) a cada uno de los 12 lados (esdecir quitarles su tercio central y sustituirlo por un triangulo equilate-ro), ver figura 3. Nos queda una curva de N = 3 . 42 = 48 ladoscada uno de longitud 8 = 1/33 = 1/27 y la longitud de la curva esL(1/27) = 3.42/33 = (4/3)2. Continuando este procedimiento inde-finidamente queda definida en el limite de estas finitas iteraciones lacurva front era de la Isla Triadica de Koch (Ia interseccion de la curvacon cada lado del triangulo da el conjunto de Cantor).

La longitud en cada paso de la construccion est a dada por: L(8) =(4/3)n donde 8 = 1/3 n+1 es la longitud de cada lado. Queda entoncesN(ldelta) = L(8)/8 = 4n 3.

Figura 3

Para determinar la Dimension Fractal debemos encontrar D tal que:N (8) 8D converga a un valor no nulo cuando 8 ~ 0 (0 sea cuandon ~ 00). Esto equivale a pedir que: lim 4n . 3 /3 (n+1)D sea finiton-+ooy no nulo. Sacando el factor constante 31 -D queda: lim (4/3D)n , el11,-+00eual sera finito y no nulo si y solo si: 4/3 D = 1, 0 sea D = log34 =In 4/ In 3 = 1,2628 ....


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As! queda probado que la frontera de la Isla Triadica de Koch esun fractal de dimension Hausdorff 1, 2628 .... y luego no es rectificable(por 10 ya visto las curvas rectificables son exactamente aquellas deDim. Hausdorff = 1).

Observese que como L(8) = (4j3)n, vemos en forma direct a como lalongitud es infinita. Por otra parte calculando el area de cada poligonoen cada iteracion y pasando al limite obtenemos la medida interior deJordan de la Isla: mi(I) = A (1 + ~+ l~+ ...) = A . ~, donde A es elarea de triangulo original.

Esta sera la medida de Jordan de la Isla pues mostraremos que tododominio rodeado por una curva de Dimension Fractal men or que 2 esmedible Jordan, 0 sea que las curvas de Dimension Fractal menor que2 tienen medida de Jordan nula.Teorema 3.4. Una curva plana tiene medida de Jordan si y s6lo sisu Dimensi6n Fractal es menor que 2.Demostraci6n: Sea a una curva plana con Dimension Fractal D < 2. Esdecir que si la cubro con N(8) cuadrados de lado 8, N(8) 8D convergea un valor no nulo m. Entonces N(8) .82 = (N(8) .8D) . (82-D ) -tm . =0, es decir que la medida exterior de Jordan de la curva es 0,y luego su medida de Jordan tambien . Reciprocamente si tengo unacurva a de Dimension Fractal 2, por definicion: N(8) .82 -tm > 0, esdecir que la medida exterior de Jordan de a es positiva. Cabe aclararque si ademas supongo que a es simple, no puede ser medible Jordan,pues su medida interior es necesariamente 0, debido a que por tenerdimension topologica 1 no puede contener a ningiin cuadrado.

En un dominio delimitado por una curva fractal con dimension frac-tal menor que 2, las areas aproximadas A(8) del dominio, obtenidastomando los cuadrados de un cuadriculado de lado 8 que cortan a lafigura, y las longitudes aproximadas L(8) de la curva, obtenidas con lapoligonal de lado 8 inscripta en la curva, satisfacen una relacion quedepende solo de la forma y no de el tamafio, es decir que es igual pa-ra figuras semejantes. Esta relacion serfa la contraparte fractal de larelacion de Euclides para figuras semejantes: "las areas son propor-cionales a los cuadrados de los perfrnetros" y es la siguiente: (ver lademostracion en [Fe]).

Relacion Perimetro-Area: La razon: PD = [ L(8 )P /D j[A(8 )P /2 dael mismo valor para 2 dominios semejantes con frontera de dimensionfractal D < 2.


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Es decir que este valor no depende del tamafio de la figura (peroS 1 de b). Para una exposicion detallada de la teoria de fractales, verlos libros de Mandelbrot (Fractals: form, chance and dimension; 1977),Feder y Gleick ([Mal, [Fe] y [GI]). Mandelbrot fue quien acufiara eltermino "fractal" y enfatizo la gran posibilidad de aplicaciones a di-ferentes disciplinas cientificas. La filosofia de Mandelbrot es que enmuch os casos la geometria fractal explica mejor el mundo que nos ro-dea que la de Euclides, debido a que, si se los estudia en detalle, seve que en realidad costas, nubes, el sistema circulatorio humano 0 lasfluctuaciones del precio del algodon son ejemplos de fractales.

Tanto en los fractales que aparecen en la teoria (como la Isla Triadi-ca de Koch) como en los recien mencionados ejemplos de la practica,Mandelbrot hace hincapie en la propiedad de autosimilaridad. D

4 Dos ejemplos de dominios no mediblesJordan.

Construiremos dominios cuyas front eras tengan medida exterior de Jor-dan positiva (curvas de dimension fractal 2, con medida de Hausdorffpositiva). Esta curva frontera, por ser simple y de dimension topologica1, tendra medida interior de Jordan 0; con 10 cual no solo el dominiosera no medible Jordan sino que su curva front era tambien.En terminos de las medidas de Borel y Lebesgue sin embargo, tantola curva como el dominio resultaran medibles. De hecho, ambos soncerrados y por 10 tanto borelianos (ver seccion 2 bis) y vale el siguienteteorema: (ver [RP]).Teorema. En EN La medida de Borel de uri cerrado coincide con sumedida exterior de Jordan, y La de un abierio con su medida interiorde Jordan.

Por 10 tanto nuestras curvas no medibles Jordan tendran medidade Borel no nula igual a su medida exterior de Jordan. Dicho valor estambien la medida de Lebesgue de la curva pues las medidas de Borely Lebesgue coincide sobre los borelianos (la segunda es una extensionde la primera).

De ahora en mas diremos que una curva con medida exterior deJordan no nula tiene area, reflejando la no anulacion de sus medidasBorel 0 Lebesgue.


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Primer ejemplo (ver [RP]). La curva de Peano-Schoenflies es una curvano-simple (con infinitos puntos multiples) que llena un cuadrado. Mo-dificando su construccion vamos a obtener una curva simple que tienearea.

Describiremos a continuacion una sucesion de poligonales cuyo limi-te uniforme sera nuestra curva. Para comenzar tomemos un cuadradode lado unitario y dividarnoslo en 9 cuadrados iguales de lado 1/3.

Distanciemoslos 1/32 y formemos la poligonal1 con una diagonal decada cuadrado escogidas alternadamente, uniendolas entre si mediantesegmentos, como muestra la figura 4a. En un segundo paso, dividamosa su vez cada uno de estes 9 cuadrados en 9 cuadrados de lado 1/32,y separemoslos analogamente una distancia 1/34. Reemplazando cadadiagonal que cornponia la poligonal1 por una "reproduccion en escala1 : 3" de la poligonall, 0 por una tal reproduccion pero de cabeza(dependiendo de la orientacion de la diagonal) obtenemos la poligonal2 (ver figura 4b).

Figura 4a Figura 4b

Prosiguiendo de esta forma, los cuadrados subsiguientes los separa-mos 1/36, etc. De esta forma en ellimite estas poligonales determinanuna curva Q, que tiene por extremos 2 vertices de una misma diagonalde un cuadrado cuyo lado, por el proceso de construccion visto, sera:


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Para formar una curva simple cerrada, unimos los extremos A y Bde la curva result ante por una quebrada isoceles AP B, con P en laprolongacion de la diagonal del cuadrado que no contiene a A y B.En cada etapa, los cuadrados necesarios para obtener un cubrimien-to de a forman una particion del cuadrado original, pBF-loque el areatotal del cubrimiento optimo tiende a 1 a medida que el lado de loscuadrados considerados tiende a 0 (recorriendo las potencias negativasde 3). Vemos entonces que la medida exterior de Jordan de la curva es1. Como ya se dijo la medida interior de Jordan de la curva es 0 y esmedible Borel-Lebesgue con medida 1, es decir que la curva tiene area.

Resulta finalmente que el dominio bordeado por esta curva y laquebrada AP B es no medible Jordan.

Segundo ejemplo (ver [Os]). Este ejemplo se debe a W. Osgood (1903)y por ser la primer curva simple con area conocida suele lIamarse aestas curvas de Osgood en su honor.

Al igual que en el ejemplo anterior esta curva une los extremos dela diagonal de un cuadrado en el que esta contenida, pero la diferenciaprincipal es que consideraremos un cuadrado Ide lado 1 y no hara falta"expandirlo": la curva quedara dentro de este cuadrado.Llamemos A y B a los extremos de la curva. AB es una diagonaldel cuadrado, prolongandola se divide el exterior del cuadrado en dosregiones que lIamaremos C y D y pensaremos en elIas como agua y

tierra.Dividamos el cuadrado mediante canales y diques de ancho uniformeen 9 cuadrados iguales, estando los canales conectados con C y losdiques con D, como muestra la figura 5a. Las fronteras comunes entrecanales y diques (que en la figura aparecen remarcadas), a las que

lIamaremos puentes, constituyen 8 segmentos que pasaran a ser partede la curva que estamos construyendo, la cual recorrera los 9 cuadradospasando de un extremo al "diametralmente" opuesto de una forma quequedara clara al final de la construccion, y saltando de un cuadrado alotro utilizando los puentes.

Para explicar como recorre la curva los 9 cuadrados procedemos enforma recursiva: cada uno de los cuadrados se divide a su vez mediantecanales y diques de ancho constante de igual forma a como se dividio elcuadrado inicial en el paso anterior, pero en escala (en realidad la formaes la misma pero el ancho de canales y diques no debe reducirse en escalasino que sera especificado mas adelante), y cabeza para abajo cuandocorresponda, como se ve en la figura 5b. Los puentes que aparecen


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los anexamos a la curva, quien en su recorrido va alternando crucesdiametrales de cada uno de los 81 cuadrados con cruces de los 80 =8 + 8 . 9 puentes. De las siguientes iteraciones del procedimiento severa en que forma realiza la curva los mencionados cruces diametrales.

Los pasos siguientes de la construccion son completamente analogosa los 2 primeros: en cada paso se dividen todos los cuadrados que apa-recen en 9 cuadrados mediante nuevos canales y diques, y los puentes(fronteras entre diques y canales) que conectan entre s f a estos cuadra-dos pasan a ser parte de la curva. Antes de seguir debemos especificarcual es el ancho de los canales y diques que aparecen en cada paso delprocedimiento.

Para ello fijemos un mimero menor que 1/2, digamos 1/5, y conven-gamos que el ancho de los canales y diques en el primer paso debe sertal que su area total sea 1/5: es decir que el area total de los canaleses 1/10 y la de los diques tarnbien 1/10. En el segundo paso el anchose elige de tal forma que el area total de los nuevos canales y diquessea 1/10 (de nuevo, la mitad de esta area es canales y la mitad diques).En general, en cada paso el aneho se elige de tal forma que los cana-les y diques agregados tengan area total igual a la mitad de la de losagregados en el paso previo.

Iterando el procedimiento, en el n-esimo paso la curva debe cruzardiametralmente cada uno de los gn cuadrados para ir de un puente alsiguiente y no sabemos como se comport a la curva durante ese cruce.Pero a medida que n tiende a infinito el diametro de estes gn cuadradostiende a 0, con 10 cual la "zona de incertidumbre" del recorrido de lacurva se transforma en una coleccion de puntos especiales los cualestienen la caracteristica de que tan cerca de enos como se desee haypuentes (y son los tinicos puntos del plano con esta caracteristica, salvopor los propios puntos de los puentes): estes puntos son por 10 tantopuntos de acumulacion del conjunto formado por todos los puentes.

Notese que la union de todos los puentes no es una curva, en par-ticular porque este conjunto no es un cerrado (topologicamcnte). Ahorabien, si agregamos a este conjunto sus puntos de acumulacion logramosque sea cerrado, y como estos son exactamente los punt os especiales dela curva ( 1 0 que queda de la "zona de incertidumbre") obtenemos unacompleta informacion de como esta compuesta la curva y de como deberecorrerse. El procedimiento mediante el cual completamos la curva seasemeja a la completacion de la recta numerica mediante la adjuncionde los irracionales.


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Se concluye as! (ver [Os)) que la curva obtenida es una curva conti-nua (por construcci6n) simple.

--; 0 - "A, -} (

C

B ~

Figura 5a

Llamemosla 'Y Y llamemos A y B a las regiones que son la uni6n delos infinitos canales y de los infinitos diques, respectivamente. Comopara todo dominio fundamental E que contiene a 'Y , I - E es un dominiofundamental contenido en Au B, y reciprocamente, tenemos:

Pero mi(A) y mi(B) podemos calcularlos directamente. Recordandocomo fueron elegidos los anchos de canales y diques en los distintospasos tenemos:

mi(A) = mi(B) = 1/10+ 1/20+ 1/40+ ... = 1/5.Nos queda entonces que m8( ' Y ) = 1 - 2/5 = 3/5, con 1 0 cual hemosobtenido otro ejemplo de curva simple con area. Uniendo los extremosde la curva con una quebrada se tiene un dominio no medible Jordan.


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Figura 5b

Estructura de la frontera de un Dominio no medible Jordan.Las curvas con area, 0 curvas de Osgood, recien expuestas, escapanun poco a nuestra "intuicion geometrica", porque tienen medida deLebesgue positiva a pesar de no llenar ninguna superficie debido a quetienen dimension topologica 1. Mas aiin, vale el resultado mas fuerte:Teorema 4.1. Sea a una curva simple y C un circulo del plano. En-tonces no solo C - a = N es no uacio, si no que: J - t { N ) > 0 ( J - t denotamedida de Lebesgue).Demosiracion: Razonando por el absurdo, supongamos que fueraJ1{N) = O . Tomemos un punta cualquiera x E N . Cualquier circulocentrado en x, por tener medida positiva, no puede ser llenado por N,y por 1 0 tanto contiene puntos de a: si tomamos una familia de circuloscentrados en x cuyos radios tiendan a 0 vemos entonces que tan cercade x como se desee hay punt os de a, es decir que x es un punta deacumulacion de a. Pero como a es un cerrado debe contener a sus


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puntos de acumulacion, de donde x EQ De esta contradiccion resultaque J - L ( N ) > O . 0

Es decir que dado cualquier circulo del plano, por pequefio que sea,el area con que la curva 10 intersecta es una fraccion estrictamentemenor que 1 del area del circulo. Pero eso no quita que dicha fraccionpuede tender a 1 a medida que el radio del circulo tiende a O . De hechoesto es 10 que ocurre en (muchos de) los puntos de una curva de Osgood.En general, para cualquier conjunto con medida de Lebesgue positiva,vale el siguiente resultado (que es un caso particular de un teorema dediferenciaclon para integrales de Lebesgue):Teorema 4.2. Sea E un conjunto con J - L ( E ) > O . Existe un subconjuntoN de E con J - L ( N ) =0 tal que para todo x E E - N vale:

(12)(donde C; es el circulo de radio r con centro en x).

Observaciones. Una propiedad que vale en todos los puntos de unconjunto de medida positiva salvo en un subconjunto de medida nulase dice que vale en caso todo punto (c.t.p.). Un punto que verifica laformula (12) se llama punta de densidad del conjunto, EL teorema diceentonces: Casi todos los punt os de un conjunto son puntos de densidaddel mismo. Para ver una prueba de este teorema y su relacion con ladescomposicion de Calderon-Zygmund, ver [St], [GR] y [Ru].

Para casi todo punta de una curva Q con area la situacion es entoncesla siguiente: Para cada r, tenemos (teorema 4.1): J - L (QnC r) / J - L ( C r) < 1,pero en el limite est os cocientes tienden a 1 (teorema 4.2). Como enuna curva simple todos sus punt os son punt os frontera, para explicar unpoco mas este fenomeno veamos un ejemplo de puntos que son a la vezpuntos de la frontera y puntos de densidad de un conjunto. Probemosprimero el:Lema 4.3. Sea E un dominio cuya frontera es una curva derivable QEntonces para los puntos de la frontera de E el limite (12) es igual a1/2.Demostraci6n: Sea w un punto de la curva Q Tomemos un circulo C;centrado en el y llamemos a; y b; a los puntos donde la circunferenciaborde de C; corta a la curva Q La superficie EnCr es bien aproximada


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si cambiamos el arco de Q que la compone por la quebrada ar wbr,porque las secantes a la curva convergen. Adernas como por dato lacurva es derivable, ambas secantes (por izquierda una, por derecha laotra) tienden a la tangente en w, con 10 cual para r suficientementepequeiio el angulo que forman tiende a un llano, con 10cual el area deEn C; tiende a ser la de un semicfrculo, quedando el valor deseado 1/2para el limite (12).

(Puede verse analogamente que en un punto donde existen derivadaslaterales el limite (12) esta dado por el angulo entre las 2 tangentes,por ejemplo si estas 2 fueran perpendiculares el limite da 1/4 0 3/4dependiendo de si el dominio E esta a uno u otro lado de la curva).

E

Figura 6

Construyamos ahora el ejemplo buscado tomando 2 curvas deriva-bles, tangentes mutuamente en un punta x, en el cual una es concavahacia arriba y la otra hacia abajo. La superficie E que se obtiene remo-viendo del plano 1aregion comprendida entre ambas curvas (ver figura6) tiene a x como punto frontera y en el e1limite (12) vale, en virtuddel lema, 1/2 + 1/2 = 1, es decir que x es un punto de densidad de E.

Aplicando estas ideas a 1a curva de Osgood antes vista, observeseque los puntos de los puentes no son puntos de densidad de la curva:para un punto extremo de un puente, las 3/4 partes de su "vecindad"son canales 0 diques donde no hay mas puntos de 1a curva, y luego e1limite (12) da como mucho 1/4. Para los puntos de los puentes que noson extremos este limite es obviamente O. Por 10tanto (teorema 4.2)el conjunto formado por todos los puentes es un conjunto de medidanula. Es decir que e1area que tiene 1acurva de Osgood 1a debe puray exclusivamente a los puntos de acumulacion que se adicionaron enla fase final, de hecho aiin demo1iendo todos los puentes resu1ta que el


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conjunto de estos puntos de acumulacion conserva la misma area quela curva: 3/5. De nuevo aparece la analogia con la recta numerica:los racionales entre 0 y 1 tienen medida nula y sus puntos limite, losirracionales, son los que tienen la totalidad del area del segmento uni-tario: 1. La unica utilidad de los puentes es la de conectar entre s f esteconjunto de puntos con medida positrva sin cortarse unos a otros, ypermiten asf obtener una curva simple de area positiva. 0

,5 Area de una superficie curva segun Min-kowski y Lebesgue.

([Mi], [Ch], [RP], [Le2] y [Le3]). Las definiciones de area dadas porambos pensadores son enteramente simi lares a sus respectivas defini-ciones de longitud de curva (seccion 3). La definicion de Minkowski esla siguiente:Definicion 5.1. Dada una superficie curva S la cubrimos con esferas deradio r centradas en cada punta de la misma y llamamos Vr al volumendel solido formado. Llamaremos area de S allimite: lim Vr/2r.

r-+O

Esta definicion se basa en que para r pequefio, para superficies cal-culables mediante integrales puede verse que el volumen de una "franjade ancho constante" 2r que envuelve a S difiere poco (en un infinitesi-mo de segundo orden) del valor de la superficie de S multiplicado porel espesor de la franja.

La definicion de Lebesgue ataca en forma direct a al problema creadopor la paradoja de Schwarz. Este ultimo habia mostrado como construiruna serie de triangulaciones de un cilindro (superficies poliedricas decaras triangulares inscritas en el cilindro) que convergen uniformementea este pero cuyas areas no tienden al area del cilindro, incluso hayejemplos tales que a medida que nos aproximamos al cilindro el areade las triangulaciones diverge (ver [FeD. Por 10 tanto una definicionanaloga a la definicion clasica de longitud de curva es en este casoinaceptable.

Por eso da Lebesgue su nueva definicion para la longitud de curva(seccion 3) la cual generaliza al caso de superficies curvas del siguientemodo:Definicion 5.2. Considerese la familia F de todas las sucesiones depoliedrales que convergen uniformemente a una superficie curva S (no


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necesariamente inscritas), y para cada tal sucesion F E F tomemos elvalor A(F) igual allimite inferior de las areas de las poliedrales en F.De esta forma definimos el area de S como: A (S ) = inf (A (F) ).FEF

z . de Geocze habia dado una definicion similar (Comptes Rendus,1907) pero restringiendose a las poliedrales inscritas. iPorque el interesde Lebesgue, tanto en el caso de curvas como en el de superficies, por in-cluir las aproximaciones mediante sucesiones no inscritas de poligonalesy poliedrales?

Por un lado ciertas demostraciones le resultaban mas faciles peropor otro lado habia un motivo de fondo que es que en la practica, enexperiencias concretas de medicion, un point ne peut etre distingue deceux qui en sont suffisamment voisins, ([Le3J)de donde result a experi-mentalmente imposible considerar poligonales exactamente inscritas, ysin embargo trabajando con un apropiado orden de precision las varia-ciones de los resultados pueden controlarse, por eso Lebesgue opta poruna definicion que nous donne des valeurs approchees uoisines quandon ltipplique en utilisant les points voisins ("estabilidad").Criterios para la existencia del area segun Lebesgue (finita) de una

superficie curva en termino de su representacion explicita 0parametrica(como el Criterio de Jordan para curvas, seccion 3) fueron dados porTonelli, Rado y Cesari (ver [RPJ).

6 Comentarios finales.En terminos de medida de Jordan pueden darse condiciones necesariasy suficientes para que una funcion sea integrable Riemann. Ademas,introduciendo el concepto de funcion medible Jordan y de particionesadmisibles puede definirse la integral de una funcion en terrninos de lamedida de Jordan. Veanse para mas detalle los articulos [Fr] y [G].

Tambien fueron estudiadas caracterizaciones de la medida de Jor-dan. La caracterizacion mas cormin la da el teorema: "Una funcionde conjunto m definida sobre todos los conjuntos medibles Jordan quees: no negativa, a-aditiva, vale 1 sobre el cuadrado (cubo, hipercubo)unitario, y vale 10 mismo sobre cualquier par de conjuntos congruen-tes (imagen uno del otro por una transformacion rigida) , es igual a lamedida de Jordan".

En el articulo [JL] se prueba una version mas fuerte: El result adosubsiste si se exige a m solo que sea no-negativa, a-aditiva y que valga


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1 sobre cualquier conjunto congruente al cuadrado (cubo, hipercubo)unitario.

Hoy en dia son escasos los articulos que se escriben sobre la me-dida de Jordan pues la misma esta considerada "mainly of historicalinterest" (ed. comment, Encyclopaedia of Math., 1988), pues es s610una restriccion de la medida de Lebesgue, la cual la ha "opacado consu brillo". Pero no por eso debemos pensar que las ideas detras de laconstruccion efectuada por Jordan son hoy obsoletas: en algunos as-pectos (como vimos en la seccion 2bis) la idea de cubrimientos finitoses insuficiente e inadecuada y se ve superada por la de los cubrimientosinfinitos mas maleables que propone Borel. Pero esa misma idea decubrimientos finitos de Jordan es la que, como se vio en la seccion 3,luego de unos cuantos aiios de asimilacion, le permitio a los matemati-cos llegar a la nocion de Dimension de Hausdorff y de figuras fractales,temas actuales que son objeto de profundas investigaciones.

Es curiosa ver como teorias mas modernas y refinadas a veces pue-den arrojar luz sobre otras que les anteceden. Asi, como hicimos al finalde la seccion 4, resulto fructifero utilizar sin reparos tecnicas avanzadasde la teoria de la integral de Lebesgue para intentar mejorar nuestracomprension de figuras no medibles Jordan (las curvas con area de Os-good). En este sentido podemos decir que a veces en la maternatica seproduce un proceso de retroalimentacion.

Hay un ultimo motivo que justifica que aun se estudie la medida deJordan, que es en realidad una observacion de caracter universal dentrode la maternatica: EI estudio de las ideas a traves del proceso historicode creacion y generalizacion es tremendamente instructivo; en muchoscasos solo yendo a las raices y viendo de cerca el nacimiento de lasideas, ubicadas en su contexto, logra uno captar a fondo el verdaderosignificado de las mismas. La fratemizacion de historia y matematicano obedece a fines solo recreativos 0 divulgativos sino a la busqueda deuna comprension mas profunda de los temas estudiados.

AgradecimientosDeseo agradecer a Virginia Balzano por la ayuda en el tipeado de estetrabajo y a Juan Pablo Bauer por las ilustraciones.


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