mecanique de fluide

Filtration sur support

Aspects thoriquespar Dominique LECLERC

Ingnieur de lcole nationale suprieure de chimie de Lille. Docteur s sciencesProfesseur lUniversit Henri Poincar de NancyLaboratoire des sciences du gnie chimique CNRS - ENSIC - Institut National Polytechniquede Lorraine

Mise jour de larticle de Dominique LECLERC et Pierre LE LEC = , paru en 1981 dans le trait Gnralits.

1. quation diffrentielle de base............................................................. J 3 501 - 21.1 Loi de Darcy .................................................................................................. 21.2 Remarques .................................................................................................... 21.3 Masse de gteau dpose ........................................................................... 31.4 Rsistance spcifique................................................................................... 3

2. Calculs ......................................................................................................... 42.1 Filtration idale ............................................................................................. 4

2.1.1 Dbit de filtration................................................................................. 42.1.2 Filtration dbit constant ................................................................... 52.1.3 Filtration sous pression constante ..................................................... 52.1.4 Filtres continus sous vide ................................................................... 72.1.5 Filtration sous pression et dbit variables ..................................... 8

2.2 Gteaux compressibles................................................................................ 92.2.1 Rpartition des pressions dans le gteau ......................................... 92.2.2 Rsistance spcifique moyenne......................................................... 10

3. Essais. Prcautions prendre ............................................................... 113.1 Gnralits .................................................................................................... 113.2 Influence de la viscosit du filtrat ............................................................... 113.3 Migration des particules fines ..................................................................... 113.4 Dimensions des particules........................................................................... 123.5 Floculants ...................................................................................................... 12Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 3 501 - 1

n filtration sur support, la suspension filtrer est introduite sous pressiondans une capacit ferme par une toile (support) sur laquelle les particules

vont se dposer, tandis que le filtrat sera rcupr au-del.On connat (ou on peut connatre) les caractristiques des particules de la sus-

pension (granulomtrie, surfaces spcifiques, diamtres quivalents), la concen-tration (taux en masse ou en volume) des particules dans la suspension, latemprature de la suspension (donc la viscosit de la phase liquide). Il sagitalors de calculer avec une prcision acceptable le volume de filtrat et la massede gteau recueillis en fonction du temps suivant les conditions adoptes : typedalimentation, surface filtrante, etc.

Dans le prsent article sont donnes successivement les quations de basepermettant les calculs et la prvision de la filtration dune suspension donne partir dessais simples.

3.6 Dsarage ..................................................................................................... 12

4. Exemples dapplication ........................................................................... 13

E

FILTRATION SUR SUPPORT _______________________________________________________________________________________________________________

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dJ 3 501 - 2 Techniques de lIngnieur,

1. quation diffrentielle de base

1.1 Loi de Darcy

Les lois de la filtration sur support sont obtenues partir delquation de Darcy que lon applique une couche lmentaire degteau dpaisseur dz (figure 1) :

(1)

avec uz dbit unitaire instantan en ft vide dans lacouche considre (ou vitesse dapproche), cest--dire dbit que lon aurait en labsence degteau :,

Bz permabilit de la couche,

dp chute de pression du filtrat,

viscosit dynamique du filtrat.

(2)

o dV est le volume de filtrat coul pendant letemps dt travers une aire de section ..

(Le signe - rappelle que la pression p diminue dans le sens gnralde lcoulement.)

Posons dz/Bz = dRz , qui est la rsistance lcoulement, par unitde surface de la couche dz.

On a :

La rsistance par unit de surface dRz peut tre dfinie par rap-port la masse dMz / de gteau dpose dans la couche par unitde surface, sous la forme :

(3)

dfinissant ainsi z qui est appel rsistance spcifique de la couchedz de gteau.

On a donc :

(4)

De plus, lobtention de la masse dMz de gteau correspond ladisparition dun certain volume de suspension, donc lcoulementdun certain volume de filtrat dV. On peut ainsi poser :

(5)

Wz apparaissant ainsi comme la masse de gteau dpose lacote z par unit de volume de filtrat.

On aboutit donc finalement la relation :

(6)

Pour pouvoir intgrer cette relation, il est ncessaire de connatreles termes qui restent constants tout au long de la filtration, et ceuxqui varient ou peuvent varier.

1.2 Remarques

n Section W : dans de nombreux cas, la section droite W dugteau peut, rigoureusement ou en premire approximation, treconsidre comme constante, ce qui sera admis ici. Notons simple-ment que la filtration sur surface cylindrique par exemple (tambour,bougie) conduit des dbits lgrement suprieurs ceux que lonobtiendrait, toutes choses gales par ailleurs, avec un filtre plan demme surface initiale que le cylindre, lcart ne devenant sensibleque pour un gteau dassez forte paisseur.

n Viscosit : on supposera galement que la suspension est temprature sensiblement constante, cest--dire que la viscositdu filtrat ne varie pas au cours de lopration. Il faut pourtant avoir

uz Bzh

------ dpdz-------=

uz1W

---- dVdt--------=

uz 1h

---= dpdRz----------

dRz a z dMz

W

------------=

uz 1h

--- dpa z dMz/ W( )--------------------------------=

dMz Wz dV=

uz1

W

---- dVdt-------- 1

h

--- W dpa zWz dV-------------------------= =

Figure 1 Filtration sur support : schma de principe

Prcisons que les aspects thoriques de la filtration tangen-tielle ne seront pas abords dans ce qui suit. Le lecteur devra sereporter aux articles spcialiss du prsent trait (J 2 790 et sui-vants), ainsi qu la rfrence bibliographique [16].

Suspension

V

dz

uz

z

Z

p1

p2p0

Gteau

Support

Filtrat

pexploitation du droit de copie est strictement interdite.trait Gnie des procds

en mmoire que la viscosit de leau par exemple varie de plus de2,5 % par degr aux environs de la temprature ambiante. Si lesvariations de temprature sont importantes, les calculs devront treeffectus par paliers en considrant la viscosit comme constante lintrieur de chacun deux.

n Grosses particules : lcriture dMz = Wz dV, ou plus gnrale-ment la proportionnalit entre la masse de gteau dpose et levolume de filtrat coul, suppose essentiellement que les phnom-nes de sdimentation sont ngligeables.

En effet, si certaines des particules de la suspension sont denseset volumineuses (elles seront appeles grosses particules), et si lavitesse globale dcoulement de la suspension vers le support estfaible, la vitesse naturelle de dplacement des grosses particulespourra tre du mme ordre de grandeur que celle de la suspensionou lui tre suprieure.

Ds lors, si la suspension a un mouvement vertical ascendant, lesgrosses particules ne seront pas entranes vers le support. Lamasse de gteau dpose dMz (ou M) sera infrieure Wz dV (ouWV). De plus, le gteau, contenant une moins grande proportion degrosses particules, sera plus rsistant que ne le laissait prvoir unetude reposant sur lanalyse granulomtrique pralable des particu-les solides. Enfin la suspension ira en senrichissant en grosses par-ticules.

______________________________________________________________________________________________________________ FILTRATION SUR SUPPORT

Les conclusions sont inverses si la suspension a un mouvementvertical descendant.

Si, au lieu dtre horizontal, le support est vertical, le gteau formsera parfois htrogne, car plus riche en grosses particules sabase, et parfois aussi plus pais. Ce phnomne est pourtant assezpeu frquent, le systme tant partiellement autorgulateur : si,localement, son paisseur est plus faible, sa rsistance lcoule-ment est plus rduite dans cette zone, qui bnficie donc dunapport de suspension plus important, tendant ainsi galiserlpaisseur du gteau en tout point.

1.3 Masse de gteau dpose

La teneur massique s de la suspension en matires solides peutsexprimer par les trois relations suivantes :

si, ayant prlev une masse Mp de suspension, on en retire(par filtration sur bchner par exemple) une masse Ms de produitsec, on a, par dfinition :

(7)

si cest un volume Vp de suspension que lon a prlev, il estncessaire de connatre les masses volumiques du filtrat et s dusolide pour en dduire :

(8)

si la suspension est obtenue en mlangeant une masse Ms desolide un volume V de liquide propre, on a :

(9)

La masse du gteau dpos (Wz) peut tre explicite en fonctionde s et du rapport mz de la masse du gteau humide (pores remplisde filtrat) la masse du gteau sch, dans une couche dpaisseurdz.

En effet, une masse dMz = Wz dV de gteau sch a t obtenue partir dune masse (Wz dV )/s de suspension. Celle-ci donne nais-sance une masse dV de filtrat et une masse mz dMz de gteauhumide.

On a donc :

Or :

masse du gteau humide = masse du gteau sch + masse de la phase liquide interstitielle.

Donc :

Sachant que la phase liquide a une masse :

dMz = dz z (11)

et que la masse du gteau sch est :

dMz = dz (1 z) s (12)

on en dduit :

(13)

Plus ce terme est proche de lunit, plus les frais de schage ult-rieurs du gteau sont rduits.

1.4 Rsistance spcifique

La filtration sur support consistant en lcoulement dun liquide(le filtrat) lintrieur dune masse poreuse et permable (le gteau),les lois classiques de la permamtrie (lois de Darcy) lui sont ais-ment extrapolables.

Rappelons en effet lquation de Darcy (1) :

s Ms/Mp=

s Ms / Vp r Ms+ 1 r / r s( )[ ]{ }=

s Ms / r V Ms+( )=

Si la suspension est suffisamment peu charge en matiressolides (s 10- 3 10- 2 cest--dire 1 10 g de matire solide parkg de suspension), si la porosit du gteau nest pas trop leve(< 0,8), et si le rapport /s des masses volumiques est nette-ment infrieur 1, toutes ces conditions tant souventrassembles, on vrifie aisment que le terme mzs est ngli-geable devant 1; on crit alors la relation (10) :

W = s (14)

sans avoir faire entrer en ligne de compte la porosit dugteau.

mz 1masse de la phase liquide interstitielle

masse du gteau sch------------------------------------------------------------------------------------------------------------+=

mz 1e z r

1 e z( ) r s-------------------------+=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 3 501 - 3

do lon tire :

(10)

Pour expliciter le coefficient dhumidit mz , il est ncessaire defaire appel la notion de porosit du gteau. Rappelons que la poro-sit est le pourcentage de vide du gteau, ou plus exactement lafraction du volume global accessible lcoulement du filtrat. Il fautsouligner que la valeur de faire entrer en ligne de compte est laporosit correspondant aux interstices o circule le liquide, cest--dire aux vides entre les particules dposes ainsi quaux orifices quitraversent de part en part les particules : sil existe une porosit fer-me des particules, du liquide peut sy infiltrer initialement, maisreste ensuite sensiblement immobile au cours de lcoulement dufiltrat dans les pores du gteau.

Par dfinition du coefficient dhumidit, on a :

Des quations (1) et (6), on dduit :

(15)

do, daprs (3) et (12)[1] :

(16)

Wz d V ( ) / s r d V m z W z d V +=

Wzr s

1 mzs--------------------=

mzmasse du gteau humidemasse du gteau sch

-----------------------------------------------------------------------=

La

permabilit

B

a la dimension L

2

et devrait donc se mesu-rer en unit de surface. Pratiquement, on utilise de prfrence le

darcy

(1 darcy = 9,8

10

-

13

m

2

). Cest la permabilit dun cubeporeux de 1 cm de ct, travers par un liquide de viscosit10

-

3

Pas (cest--dire sensiblement la viscosit de leau 20

o

C)avec une vitesse de 1 cms

-

1

(cest--dire un dbit de 1 cm

3

s

-

1

),la perte de charge correspondante tant voisine de 1 bar(

10

5

Pa).

uz Bzh

------ dpdz

-------=

BzW

d z a

z

W

z d V -------------------------=

Bz1

a z 1 e z ( ) r s ------------------------------------=



Il serait souhaitable de pouvoir calculer B (donc ) en fonction descaractristiques du gteau : rpartition granulomtrique et formedes particules, porosit, etc. La complexit de la structure interne detoute masse poreuse est cependant telle quune tude mathmati-que rigoureuse des conditions dcoulement est pratiquementimpossible.

Le problme a t simplifi en assimilant le milieu rel un fais-ceau de pores cylindriques, droits, indpendants, tous identiques etpareillement inclins par rapport la direction gnrale delcoulement .

Il est possible dappliquer chacun de ces pores, de diamtre dp ,la loi de Poiseuille qui exprime la vitesse moyenne du fluide sous laforme :

(17)

avec coefficient de circularit : terme correctif qui tientcompte de la non-circularit relle des pores; il variede 0,83 pour un pore section en triangle quilatral 1,5 pour un pore section en rectangle infinimentallong.

On fait galement intervenir dans le calcul la tortuosit rapportde la longueur des pores inclins du modle lpaisseur du modle(ou du milieu rel, puisquelles sont identiques).

Enfin on impose au modle davoir mme porosit z et mmesurface spcifique ag que le milieu rel.

Dans ces conditions, le calcul conduit la loi de Kozeny-Carman :

(18)

avec constante de Kozeny.

Kozeny a en effet vrifi que, pour des particules sensiblementisomtriques (dont les dimensions, prises suivant trois directionsarbitraires, sont du mme ordre de grandeur), pour lesquelles onrencontre des porosits variant de 0,3 0,6, hK gardait une valeursensiblement constante, de lordre de 4 5.

Avec les relations (16) et (18), on aboutit finalement :

(19)

et en faisant ag = 6/dg on obtient :

(20)

Le produit 36hK pouvant, suivant les valeurs adoptes pour hK,varier de 150 180 et mme, pour les produits fibreux, atteindrequelques centaines.

Il est vident que le modle de Kozeny-Carman est, du fait de sasimplicit extrme compare la complexit relle des gteaux,aisment critiquable. Lexprience prouve cependant que, dans detrs nombreux cas, des quations comme (19) conduisent desrsultats plus quacceptables ( condition davoir effectu une ana-lyse suffisamment soigne et critique des matriaux pour treassur des valeurs de la surface spcifique et de la porosit).

Il sera en particulier ncessaire, lors dune analyse granulomtri-que par tamisage, de dterminer avec beaucoup de soin les quanti-ts de fines incluses dans le lot. Ces fines, bien que reprsentant unemasse faible, ont par contre une influence considrable sur la valeurde la surface spcifique, comme le montre la relation :

2. Calculs

Pour intgrer une quation diffrentielle comme (4), il est nces-saire de connatre les termes que lon peut considrer comme cons-tants (en toute rigueur ou en premire approximation), et ceux quisont susceptibles de varier de faon sensible.

Cela conduit examiner dune part le cas idal des gteauxincompressibles (qui pourra tre, au mieux, considr comme uneapproche acceptable de certaines filtrations), et dautre part le casgnral des gteaux compressibles.

2.1 Filtration idale

2.1.1 Dbit de filtration

La surface spcifique est dfinie comme le rapport de la sur-face des particules leur volume. On vrifie aisment que, pourdes particules sphriques de diamtre dg , on a ag = 6/dg . Cestdailleurs l une dfinition du diamtre moyen en surface dunlot de particules de granulomtrie tale. Il ne faut pas confon-dre ce diamtre moyen en surface avec le diamtre moyen ennombre, le diamtre moyen en masse (ou en poids) ou le dia-mtre le plus probable (sommet de lhistogramme diffrentiel).

Pour des porosits suprieures, comme on en rencontre fr-quemment dans les milieux fibreux, hK prend des valeurs nette-ment plus leves.

u d p

2

32 g h---------------- d p

d z -------=

t

Bze z

3

hKag2 1 e z( )2

--------------------------------------=

hK 2 g t2

=

a zhKag

2 1 e z ( ) e

z

3 r s -----------------------------------=

a z36hK 1 e z( )

dg2

e

z 3

r

s ---------------------------------=

Quoi quil en soit, ces relations mettent en videncelinfluence, dune part, de la porosit

et, dautre part, du diam-tre moyen en surface

d

g

des particules (ou de la surface spci-fique

a

g

= 6/

d

g

) sur la rsistance spcifique, cest--dire sur lesconditions de filtration de la suspension.

ag2 36/ dg

2=

exploitation du droit de copie est strictement interdite.

trait Gnie des procds

Supposons que les particules du gteau soient parfaitement rigi-des et ne puissent tre tasses, quels que soient les efforts appli-qus au gteau.

Dans ce cas, z est constant dans toute lpaisseur du gteau,quelle que soit la pression de filtration applique. Daprs lesquations (7), (14) et (19), il en est de mme pour Wz , mz et z.

On crit donc simplement :

De plus, le gteau ayant une structure constante en tout point et tout instant, le dbit dV/dt est constant un instant donn sur toutela hauteur du gteau.

Posons aussi uz = u.Lquation (4) peut scrire :

(21)

En dsignant par p1 la pression du liquide dans la suspension(donc lentre du gteau) et par p2 la pression du liquide dans le

e z e , W z W, a z a , m z m = = = =

dp h a W

W

2--------------

d V d

t -------- d V =


gteau au contact du support (figure 1), on a, par intgration delquation (21) un instant donn, sur toute la hauteur du gteau :

(22)

avec V volume total de filtrat.

Une nouvelle intgration de cette quation, cette fois dans letemps (du dbut la fin de la filtration) ncessite la connaissance dumode dalimentation adopt : dbit constant, pression constante,dbit et pression variables.

2.1.2 Filtration dbit constant

Soit q = dV/dt = V/t ce dbit. Lquation (22) est directementutilisable :

(23)

Mais ce que lon peut effectivement contrler au cours dune fil-tration, cest la perte de charge totale D p au travers de lensemblegteau + support (figure 1) :

(24)

La loi de Darcy ( 1.1) applique au support seul scrit :

(25)

avec Rs rsistance du support par unit de surface.

Puisque on a, daprs la relation (25) :

(26)

et (24) scrit :

(27)

ou, sachant que V = qt :

(28)

La filtration est arrte soit quand la pression a atteint la valeurmaximale que peut supporter le filtre, soit quand la capacit o seforme le gteau (cadres dun filtre-presse par exemple) est entire-ment remplie.

Lpaisseur Z du gteau est obtenue en galant deux expressionsde la masse M de gteau (sch) dpose :

dune part M = Z (1 - )s [comme relation (12)],dautre part M = WV.

On trouve :

(29)

V est donn par lquation (27) dans laquelle q est remplac par

V

/

t

et lon obtient :

(30)

2.1.3 Filtration sous pression constante

2.1.3.1 Loi thorique

La pression dalimentation

p

1

tant constante, on a aussi

D

p

=

p

1

-

p

0

=

Cte

.

Considrons lquation (24) dans laquelle

p

1

-

p

2

est donn par(22) et

p

2

-

p

0

par (25).

Le terme

support

est pris ici dans un sens trs large. Il peut eneffet correspondre soit au seul support (membrane, toile, feutre,grille, fritt, etc.), soit lensemble support + prcouche dadju-vant.

Une analyse trs fine de la rsistance du support et de celle dugteau peut montrer que la ou les premires couches de gteaudposes ont souvent une structure particulire lie la confi-guration gomtrique superficielle du support. Cest ce quiexplique lappellation de rsistance initiale, utilise par certainsauteurs, et qui fait intervenir la rsistance du support propre-ment dit et celle des premires couches de gteau. Lcart entre

p2 p1 h a W

W

2--------------

d V d

t -------- V =

p1 p2h a W

W

2-------------- qV =

pD p1 p0 p1 p2( ) p2 p0( )+= =

up2 p0

h Rs------------------=

u qW

----=

p2 p0h Rsq

W

--------------=

pD h a Wq

W

2------------------= V

h Rsq

W

--------------+

pD h a Wq2

W

2---------------------= t

h Rsq

W

--------------+

Z WVW 1 e( ) r s--------------------------------=

Z 11 e( ) r s

------------------------- Rs2 a-------

2 pWDh a

------------- t +Rs2 a-------

=

Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds

J 3 501

-

5

Comme , on a :

soit :

(31)

En intgrant cette relation de linstant initial (t = 0, V = 0) linstant(t, V), on obtient :

(32)

dont la reprsentation dans un diagramme (V, t) est une parabole.

Lquation (32) est souvent crite sous la forme :

(33)

la rsistance du support et la rsistance initiale peut presquetoujours tre nglig.

On vrifie aisment que Rs a la dimension L- 1, tandis que a

la dimension LM- 1. On ne peut comparer Rs et quen crivantque le support a une rsistance par unit de surface Rs gale celle dun gteau de rsistance spcifique connue et dune cer-taine paisseur. Pratiquement, la rsistance Rs est gnralementla mme que celle dun gteau dont lpaisseur peut varier dequelques 1/10 de mm, dans le cas dun support lche (tissage mailles carres, par exemple), 1 ou 2 mm dans le cas dun sup-port texture serre (reps, par exemple).

Si les valeurs de Rs dpassent ces chiffres, cest que le sup-port est mal choisi, ou quil est fortement colmat.

On admettra que Rs garde une valeur sensiblement constanteau cours dune ou de quelques filtrations.

Lors de la formation dun gteau, la rsistance Rs devient rapi-dement ngligeable devant celle du gteau ds que ce dernieratteint une certaine paisseur. Cette approximation [Rs 0,cest--dire p2 - p0 0 daprs la relation (25) ou D p p1 - p2daprs (24)] nest pas acceptable si le support (seul ou avec pr-couche) a une rsistance leve ou si le gteau est mince (filtra-tion de courte dure).

u 1W

----= dVdt--------

pD h a W

W

2-------------- dV

dt-------- V h Rs+

1

W

---- dVdt--------=

dt h a W

p W 2D--------------- V dV

h Rsp WD

------------ dV+=

t h a W

2 p W 2D------------------ V2

h Rsp WD

------------ V+=

tV ------

h a W

2 p W 2D------------------ V

h Rsp WD

------------+=



dont la reprsentation dans un diagramme (t/V, V) est une droite(figure 2).

Le volume recueilli est donn en fonction du temps par la solutionde lquation (32) :

(34)

Lpaisseur du gteau est dtermine par la formule (29) danslaquelle on peut ventuellement remplacer V par sa valeur donnepar la relation (34).

2.1.3.2 Trac exprimental de la droite (t /V, V)

Le trac de la droite de la figure 2 partir de relevs exprimen-taux (V et t) conduit frquemment des ordonnes lorigine plusou moins aberrantes. Ces anomalies proviennent, dune part de ladifficult de dfinition prcise du temps zro de lessai, et dautrepart des variations de D p dont la valeur est rarement stable ds lespremiers instants de la filtration.

La pente des droites nest cependant pratiquement pas affectepar ces variations (mis part les tout premiers points et relevs).

2.1.3.3 quation de Ruth

Lquation (32) est parfois prsente sous la forme de lquationde Ruth :

(35)

avec a ,

V0 ,

t0 .

V0 est le volume thorique de filtrat recueilli au bout du temps t0 etqui aurait conduit lobtention dune couche de gteau de rsis-tance gale celle du support.

2.1.3.4 Optimisation des filtrations discontinues

Le dbit instantan de filtrat, obtenu en calculant dV/dt[quation (34)], diminue de faon continue.

Si lon tient rcuprer le maximum de produit (filtrat ou gteau),on pousse lopration jusqu ce que ce dbit soit devenu peu prsngligeable, ou jusqu ce que les capacits dans lesquelles se

forme le gteau (cadres dun filtre-presse par exemple) soient rem-plies. Mais il est en gnral plus intressant doptimiser le fonction-nement du filtre. On peut par exemple chercher obtenir un dbitmoyen maximal de produit (filtrat ou gteau). Ce dbit moyen estrelatif la dure dun cycle, cest--dire en tenant compte du tempsde filtration et du temps mort (dmontage du filtre, enlvement dugteau, nettoyage des toiles, remontage).

Sur la figure 3, on a port en abscisse le temps et en ordonne levolume de filtrat recueilli (ou la masse de gteau dpose, ces deuxgrandeurs tant lies par M = WV). Lorigine des temps tant ledbut du dmontage du filtre, il y a tout dabord le temps mort, puisla filtration proprement dite est reprsente par un arc de parabole[quation (34)].

Si lopration est arrte en M, le dbit moyen de produit obtenuest donn par la pente de la droite OM. Il sera maximal au point decontact T de la tangente la parabole mene depuis lorigine, et gal Vopt /topt.

Loptimisation en production du cycle de filtration peut galementtre rsolue analytiquement. On crit que le dbit moyen de filtratest :

(36)

Figure 2 Filtration sous pression constante : expression des rsultats par la relation (33)

tV

V

psR

p

W

tan =22

V W= Rs

a W----------

2 2 pDh a W-------------- t+

Rsa W----------

V V0+( )2 a t t0+( )=

= 2 p W 2

D

h a

W ------------------

= W

R

s

a

W -----------

= h

R

s

2

2

p

a

W

D

---------------------

Figure 3 Optimisation dun cycle discontinu de filtration sous pression constante

T

M

t topt

Vopt

TempsTemps de filtration

Dure du cycle optimal

Tempsmort

O

Volume de filtrat

qmV

t t+----------------------=exploitation du droit de copie est strictement interdite.trait Gnie des procds

avec t temps de filtration effectif donn par lquation (32).On cherche ensuite la valeur de V qui annule ladrive dqm/dV.

On vrifie aisment, en se servant de la relation (35), que :

Si la rsistance du support peut tre considre comme ngli-geable, cest--dire si lquation de Ruth scrit simplement :

V 2 = at (37)

la dure optimale de la filtration proprement dite est gale la duredu temps mort : topt = tmort.

Il faut cependant bien noter que loptimum en production est sou-vent fort loign de loptimum en cot de fabrication.

Si, comme cest en gnral le cas, on cherche optimiser le prixde revient, un calcul analogue devra tre refait, mais en faisant inter-venir le cot moyen du produit au lieu du dbit moyen. Ce cotmoyen tiendra compte des tarifs de lnergie, des matires, de lamain-duvre, de lamortissement, etc.

mort

Vopt atmort=


2.1.4 Filtres continus sous vide

Nota : la description de ces filtres se trouve dans larticle J 3 510 Filtration : technologie.

Les filtres continus sous vide (filtres tambour, disques, tablecirculaire, bande sans fin) peuvent tre classs dans la catgoriedes filtres travaillant sous pression constante, celle-ci tant en ra-lit une diffrence de pression par rapport latmosphre. Comptetenu de leur importance pratique, ils sont cependant traits dans ceparagraphe distinct du prcdent.

On raisonnera essentiellement sur le cas du classique filtre tam-bour, mais des raisonnements identiques seront aisment extrapo-lables aux autres types dappareils.

Les quations de base sont tablies partir de deux hypothses : lpaisseur du gteau tant gnralement faible vis--vis du

diamtre du tambour, on prend comme surface filtrante celle dutambour, alors que, en toute rigueur, il faudrait se baser sur la sur-face lgrement suprieure du gteau. Cette approximation nepeut conduire qu une lgre sous-estimation de la capacit dufiltre;

on nglige la pression hydrostatique correspondant lenfon-cement du tambour dans la suspension. Cette pression vient en ra-lit sajouter (de faon variable, suivant la position dans lauge dusecteur considr) au vide existant dans le secteur correspondant.Le fait de ne pas en tenir compte ne peut conduire qu des rsultatsthoriques trs lgrement pessimistes.

Supposons que les secteurs du filtre soient tels que le vide estappliqu uniquement suivant langle dimmersion (figure 4).

En pratique, le vide nest gnralement appliqu qu partir dupoint B, ce qui permet dtre assur que, quelle que soit lagitationde la suspension, le vide ne sexerce pas sur une portion momenta-nment non immerge du tambour. On dfalque ventuellement deq la quantit correspondant larc AB.

Il arrive frquemment que, au lieu darrter lapplication du videen C, on la poursuive jusquen D. On peut ainsi aspirer une partie duliquide interstitiel du gteau, facilitant dautant le ou les lavagesultrieurs. Mais, dans ce cas, une quantit supplmentaire deliquide, correspondant une fraction plus ou moins importante dela porosit du gteau, vient sajouter au volume de filtrat recueilli,faussant les ventuelles mesures de volumes correspondantes.

Soit = /(2pi) la fraction de la surface totale du tambourimmerge dans lauge de suspension.

Si N est la vitesse de rotation du tambour (nombre de tours parunit de temps), un point quelconque de la priphrie du tambourreste immerg pendant un temps t = /N. Lpaisseur du gteau

Le volume de filtrat V, recueilli par la tranche i est donn par (34),relation dans laquelle on prend comme aire /n et comme temps /N.

Le volume de filtrat recueilli par tour est Vtr = nVi soit :

(38)

On retrouve donc les quations classiques de la filtration souspression constante, en y remplaant simplement le temps t par letemps effectif de la filtration /N.

On raisonnera plus souvent sur le volume de filtrat recueilli parunit de temps, cest--dire sur un dbit q. Sachant que q = NVtr, onen dduit par exemple une reprsentation linaire analogue cellede lquation (33) :

(39)

n Remarque

Il a t signal que le vide pouvait tre appliqu au gteau au-delde la zone dimmersion, apportant ainsi une quantit supplmen-taire de liquide clair au filtrat, quantit qui nest videmment pasprise en compte dans le calcul prcdent.

Par ailleurs, il se peut galement que certaines eaux de lavagesoient mlanges au filtrat dans un bac commun de rcupration.

Il est alors prfrable, si lon veut contrler la bonne marche delinstallation par application des quations donnes, de se baser surle volume de suspension coul par unit de temps qp plutt quesur q effectivement fourni pendant la phase dimmersion du tam-bour.

Soit p la masse volumique de la suspension.

s tant dfini par la relation (7), on a :

(40)

Le dbit-masse de solide est soit qp r ps, soit Wq puisque un dbitqp de suspension donne naissance un dbit q de filtrat.

On a donc .

Vtr W Rs

a W----------

2 2 pDh a W-------------- y

N----+

Rsa W----------

=

1

q---

h a W

2 p W 2 yD----------------------- q

N----

h Rsp W yD

-----------------+=

r pr r s

r s r s 1 s( )( )+ ---------------------------------------------=

qr ps--------- qp=


J 3 501

-

7

crot, pendant ce temps, de zro (en A) son maximum (en C).

Divisons la surface totale

du tambour en

n

petites tranchesdaire filtrante,

/

n

. Pendant la priode dimmersion, chaque petitetranche se comporte comme un support sur lequel se dpose ungteau dpaisseur croissante, cette tranche

travaillant

effective-ment pendant le temps

t

=

/

N

.

En reportant cette valeur dans lquation (39), on obtient :

(41)

reprsentation linaire de 1/

q

p

en fonction de

q

p

/

N

.

n Influence de la vitesse de rotation et de la rsistance du support De lquation (39) on tire :

(42)

n

Un exemple numrique va permettre dexaminer, dans un casparticulier, linfluence de la vitesse de rotation sur le dbit de filtrat,et cela pour diverses valeurs de la rsistance

R

s

(figure

5

).

On peut noter que si le gain de volume de filtrat recueilli est int-ressant pour les supports de faibles rsistances lorsque lon accrotla vitesse de rotation, il devient de plus en plus rduit quand

R

s

aug-mente.

Figure 4 Schma dun filtre tambour sous vide

Gteaude filtration

Solution filtrer

D

C A

B

angle d'immersion

Pour le fonctionnement de ce filtre, cf. article J 3510

W

1

qp------

h a r p2s2

2 p W 2W yD------------------------------

qpN------

h Rs r ps

p W y WD-----------------------+=

q W= RsN

a W-----------

2 2 p yDh a W--------------- N+

Rsa W---------- N( )



n Remarque

En effet, si tel est le cas, il est probable que sa texture est relative-ment lche. Or, dans une filtration sur support, les premiers volu-mes de filtrat recueillis contiennent une partie non ngligeable defines particules qui ont travers ce support.

Ds que quelques couches de particules de dimensions un peusuprieures se sont dposes sur le support, elles forment cranpour les fines et le filtrat retrouve une clart normale. Dans un filtre-presse, on a ainsi souvent intrt utiliser des toiles de faible rsis-tance lcoulement, quitte recycler les premiers volumes defiltrat recueillis.

Comme on ne peut en faire autant sur un filtre rotatif, il faut doncsorienter vers des supports texture plus serre, ce qui nempchecependant jamais les trs fines particules de traverser le support,conduisant ainsi un filtrat de puret moins grande que pour unfiltre discontinu dont on a recycl les premiers volumes passs.

2.1.5 Filtration sous pression et dbit variables

Considrons un filtre aliment par une pompe centrifuge dont onconnat la courbe caractristique (figure 6 a) (les hauteurs manom-triques ont t traduites en D p).

Supposons galement connue la rsistance du support. On a,comme on la vu [relations (2) et (25)] :

soit :

reprsent par une droite sur la figure 6 a.

Lintersection A de la droite et de la courbe caractristique corres-pond au dbut de la filtration.

Figure 5 Filtration sur filtre tambour sous vide : influence de la vitesse de rotation et de la rsistance du support sur le dbit du filtrat

Exemple : considrons des rsistances de support quivalentes des paisseurs de gteau de 0; 0,1; 0,5; 1; 1,7; 3,3; 5; 10; 50 mm, cequi correspond des toiles de textures plus ou moins serres, une fai-ble prcouche laisse par le rcleur, une forte prcouche, etc.

Adoptons par ailleurs les valeurs suivantes.Viscosit dynamique de leau 20 oC : = 103 Pas. = 1 000 kg/m3.s = 2 000 kg/m

3.s = 0,26 (260 g de matires solides par kg de suspension). = 0,4. = 5 109 m/kg (ce qui correspond un gteau de particules de

diamtre moyen en surface de lordre de 13 m, en prenant hK 5).Daprs lquation (13), m = 1,33.Daprs lquation (10), W = 400 kg/m3 [W est videmment ici trs

diffrent de s, relation (14), qui vaudrait 260 kg/m3, cette approxima-tion ne peut tre adopte que pour les suspensions faiblement char-ges en matires solides].

Vide : 255 mm Hg (soit 34 kPa), soit p = 3,4 104 N/m2.Surface de tambour = 2 m2.Angle dimmersion = 90o, do = 0,25.Les valeurs de Rs sont calcules en crivant les relations (3) et (12)

sous la forme :

Pour un support de rsistance quivalente celle dun gteau de0,1 mm dpaisseur, on trouve par exemple Rs = 6 10

8 m1; pour50 mm, on a Rs = 3 10

11 m1, etc.

Il nest cependant pas toujours souhaitable dutiliser sur unfiltre rotatif un support de faible rsistance lcoulement.

0 1

500 100 150 200

2 3 4 5 6

1,6

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

1

0

2

3

4

5

q (10 3 m3/s)q (m3 /h)

Z =0 mm

0,10,51

1,7

3,3

10

5

50

N (102 tr /s)

N ( tr /h)

Rs est ici mesure en paisseur quivalente Z (mm) de gteauet Rs (m1) = 6 x 109 x Z (mm)

Rs M------ Z 1 ( ) s= =

u 1W

---- dVdt--------

p2 p0

h Rs------------------= =

p2 p0h RsW

---------- dVdt--------=

CB

Pression

p

aexploitation du droit de copie est strictement interdite.trait Gnie des procds

Figure 6 Alimentation dun filtre par pompe centrifuge : dtermination du volume de filtrat et du temps de filtration

A

DbitDbit initial

p2 p0

p1 p2

p = (p1 p2) + (p2 p0) [relation (24)] : courbe caractristique de la pompe

p0 , p1 , p2 sont dfinis sur la figure 1

dtdV

O V1 V

b


tout instant, la diffrence des ordonnes entre la courbe et ladroite mesure la chute de pression p1 - p2 travers le gteau.

Lquation (22) est valable tout instant et permet dcrire :

Le volume de filtrat recueilli peut donc tre dtermin en faisant,pour diverses positions de B comprises entre A et C, le rapport de ladiffrence dordonnes p1 - p2 labscisse correspondante dV/dt eten multipliant ce rapport par le facteur constant 2/(W).

Le temps ncessaire pour obtenir ce volume V est donn par :

On calcule graphiquement cette intgrale en portant 1/(dV/dt)(cest--dire dt/dV, inverse de labscisse du point B), en fonction dela valeur V correspondante (figure 6 b). Le temps au bout duquel ona recueilli un volume V1 de filtrat est donn par laire bleute de lafigure.

2.2 Gteaux compressibles

2.2.1 Rpartition des pressions dans le gteau

On conoit aisment que la pression applique la suspensioninflue, de faon plus ou moins importante, sur la structure du

pousse par la section du gteau. Un bilan des forces en prsencemontre que, chaque profondeur, on a :

p + pg = Cte

la limite gteau-suspension (z = Z ), on a p = p1 et pg = 0, laconstante est donc gale p1 et :

(43)

pg varie donc de la valeur 0 lentre du gteau (ct suspension)jusqu la valeur p1 - p2 au contact du support (figure 7 b). Legteau est ainsi progressivement comprim et sa structure varieavec la profondeur. Ces variations de structure se traduisent par desvariations de la rsistance spcifique locale z et de la porosit z[donc aussi de Wz daprs les quations (10) et (13)].

Dans la majorit des cas pratiques, la rsistance du support parunit de surface (Rs) est faible (ou le devient rapidement), compare la rsistance du gteau. Dans ces conditions p2 - p0 sera ngligea-ble devant p1 - p2 et on peut admettre, sans risque derreurs impor-tantes, que la perte de charge D p est localise dans le gteau seul,cest--dire que D p = p1 - p2. La pression pg sur les particules peutalors tre considre comme variant de 0 D p de lentre du gteau

Remarquesa) On constate que, pratiquement, le point figuratif B dcrit

larc AC de la courbe caractristique de faon trs rapide dansles premiers instants de la filtration, lessentiel de lopration sedroulant prs du point C de la caractristique. Il est vident quele rendement de la pompe est trs faible dans cette zone.

b) Si la caractristique de la pompe est relativement platepour ces faibles dbits, il est possible, sans trop derreur, dassi-miler cette opration une filtration D p constant, en adoptantpour D p la valeur du palier initial de la caractristique.

V W2

h a W--------------

p1 p2

dV / dt------------------=

t0

V

dVdV / dt-----------------=

Figure 7 Pression dans un gteau compressible

z z

Z

p0p1 pg

p1 p2

p1 p0

p2 pO O

Suspension

Gteau

Support

a pression du filtratdans le gteau

b pressionsur les particulesdu gteau

p pg+ p1=Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 3 501 - 9

gteau. Mme si les particules lmentaires prsentent une certainerigidit, que lon peut raisonnablement considrer comme infiniepour certains matriaux, le gteau quelles forment est toujours plusou moins tassable; cest--dire que sa structure, donc sa rsistance lcoulement et donc sa rsistance spcifique, dpendent desconditions de pression utilises. La compressibilit est encore plussensible si lon a affaire soit des particules prsentant une certainelasticit ou plasticit, soit des agglomrats de particules (flo-cons), que des pressions, mme assez faibles, peuvent dformer oubriser.

Considrons en effet un gteau de filtration en cours de formation(figure 7). Sur la figure 7 a est prsente la courbe de variation de lapression p du filtrat dans le gteau. Cette pression part de la valeurp1 lentre du gteau et, par suite de la perte de charge subie parle filtrat au fur et mesure de son coulement dans les pores dugteau, elle dcrot progressivement jusqu atteindre la valeur p2 la sortie du gteau et p0 la sortie du support.

Cette perte de charge tant due aux frottements du liquide contreles particules du gteau, celles-ci sont soumises des forces de frot-tement (donc une pousse) globalement orientes dans la direc-tion gnrale de lcoulement. Les pousses se cumulant au fur et mesure que lon senfonce dans le gteau, il en rsulte une certainepression pg sur les particules du gteau, gale au rapport de cette

au support. On admet dsormais cette hypothse simplificatrice, quine peut conduire qu une lgre sous-estimation des rsultats.

Considrons lquation diffrentielle de base (6) :

Daprs les quations (10) et (13), on sait que Wz dpend de z et,daprs ce que lon vient de voir, est une fonction de la pression pgsur le gteau. Cependant, et mme pour des gteaux fortementcompressibles, la porosit ne varie pas de faon trs importante delentre la sortie du gteau : des variations de porosit dans le rap-port de 1 1,5 ou 2 caractrisent dj un matriau extrmementcompressible. Dans la grande majorit des cas, il est donc normal dese baser sur une valeur moyenne de la porosit, ce qui permet decalculer un coefficient dhumidit m moyen, donc un W moyen quelon considre comme constant pour une filtration dans des condi-tions donnes.

Daprs la relation (43), un instant donn, on a :

uz 1

h

--- W dpa zWz dV-------------------------=

dp dpg+ 0= soit d p d p g =



De lquation (6) on tire alors :

En intgrant cette relation, un instant donn, sur toute la hauteurdu gteau, cest--dire entre les pressions pg = 0 lentre et pg = D p la sortie, nous avons :

(44)

On dfinit alors une rsistance spcifique :

(45)

et la relation (44) devient analogue lquation (22) de la filtrationidale, quation dans laquelle est remplac par .

Cette rsistance spcifique moyenne apparat donc comme unefonction de la pression de filtration D p.

2.2.2 Rsistance spcifique moyenne

n Cellule de compression-permabilit

Daprs lquation (45), si lon connat les variations de z avec pg,une intgration graphique de la fonction 1/z porte en fonction depg, entre les valeurs 0 et D p, donne le dnominateur delquation (45) do lon dduit la valeur de .

Ces variations de z en fonction de pg peuvent tre obtenues aulaboratoire laide dune cellule de compression-permabilit. Ontrouve dans la littrature un certain nombre de remarques sur la ra-lisation et lutilisation dune telle cellule, cf. rfrences bibliogra-phiques [2] [13].

Une cellule de compression-permabilit (figure 8) est constituedun cylindre vertical creux, daire , ouvert sa partie suprieure etferm sa partie infrieure par une plaque poreuse. Dans ce cylin-dre peut coulisser un piston creux, termin sa base par un poreuxidentique au prcdent. Des charges variables peuvent tre appli-ques la partie suprieure de ce piston.

On forme dans le cylindre un gteau de particules solides demasse M. Le piston vient alors, sous leffet de son propre poids,craser le gteau sous une certaine pression pg aisment calculable.

Si lon fait scouler du liquide propre au travers de ce gteau (celiquide tant amen sous charge constante D p dans le piston creux),une mesure du dbit constant q du liquide de viscosit permettraden dduire la rsistance Rz de la couche de gteau soumise lapression pg , par application de la loi de Darcy ( 1.1) mise sous laforme :

(Une mesure avec poreux et gteau et une mesure avec poreuxseul sont ncessaires pour obtenir, par diffrence, la valeur de Rz).

La rsistance spcifique de ce gteau soumis une pression pgest donne par :

[daprs la relation (3)]

En notant, laide dun cathtomtre ou dun comparateur mon-tre, la hauteur Z du gteau, on pourra calculer la porosit z, sachantque M = Z (1 - z) s [daprs la relation (12)].

On fait dautres essais en chargeant chaque fois un peu plus lepiston, cest--dire en y crant de nouvelles pressions pg, ce quidonne finalement les variations de z et de z avec la pression pgdans le gteau.

Bien que le principe des mesures en cellule de compression-per-mabilit soit trs simple, sa mise en uvre est dlicate et peut con-duire des rsultats assez discutables si des prcautions trssvres ne sont pas prises (dsarage et filtration de leau, prcau-tions contre lapparition dalgues, planit des surfaces et desporeux ainsi que paralllisme rigoureux, absence de particules entrele piston et les parois de la cellule, etc.).

On pourra donc utiliser nouveau toutes les relations tabliespour la filtration idale, sous rserve dy remplacer par .

dpga z

----------h W

W

2---------- dV

dt-------- dV=

0

pD

dpga z

---------- h W

W

2---------- dV

dt--------= V

a

pD

0

pD

dpga z

----------

-------------------------=

a

a

a

qW

----pD

h Rz----------=

a zRz W

M-----------=

Figure 8 Cellule de compression-permabilit

H

GC

J

F

E

D

BA

alimentation sous chargeconstante

A

purge d'airBpiston creuxCporeuxDcylindrevertical creux

E

gteauFmicromtreGhauteur de charge constante, avec p = gH(g tant l'acclration due la pesanteur)

H

charges appliques sur le pistonJ

exploitation du droit de copie est strictement interdite.

trait Gnie des procds

n Cellule de filtration

Il est galement possible de dterminer directement les valeursde en fonction de D p en effectuant des sries dessais, soit sur unpetit filtre pilote, soit en cellule de filtration spcialement tudiepour cet usage.

Des essais, sous pression constante par exemple, permettentdobtenir, conformment lquation (33), un trac linaire dont lapente donne la valeur de .

La figure 9 prsente le schma dune installation dessais prco-nise par Tiller [14] et Shirato [6].

Cest une cellule cylindrique de 20 30 cm de diamtre (desdimensions trop rduites peuvent tre lorigine de frottementsimportants du gteau contre les parois de la cellule), o circulecontinuellement la suspension. On supprime ainsi les risques desdimentation des particules de la suspension dans la cellule. Pourviter que cette circulation continue ne vienne dtruire ou perturberla surface du gteau form sur le support, une grille mobile (ou uneplaque perfore) est dispose prs de la surface du gteau et soule-ve au fur et mesure de son augmentation dpaisseur.

La pompe dalimentation est une pompe vitesse variable, defaon permettre une gamme de mesures aussi tendue que pos-sible.

a


n Expression empirique de la rsistance spcifique moyenne

Dans de nombreux cas, le report des valeurs de en fonction deD p sur papier logarithmique se traduit, au moins dans certains inter-valles de pressions, par une reprsentation linaire laquelle cor-respond une relation de la forme :

le premier terme tant souvent ngligeable devant le second, ce quipermet dcrire :

(46)

n tant parfois appel coefficient de compressibilit du matriau. Ilest de lordre de 0,1 pour des matriaux peu compressibles comme

3. Essais. Prcautions prendre

3.1 Gnralits

Il est donc possible sous rserve de quelques hypothses gn-ralement peu restrictives de prvoir la filtration dune suspensiondonne partir dessais relativement simples.

n On peut en effet, par lquation (19), calculer au moins un ordrede grandeur acceptable de la rsistance spcifique du gteau : lasurface spcifique ag est dduite dune analyse granulomtriquedes particules de la suspension, la porosit moyenne (dans lesconditions de pression envisages) tant obtenue par un essai surbchner, cellule de filtration ou filtre pilote, partir dun examen dugteau recueilli.

n Il est galement possible dutiliser lquation (45) pour dtermi-ner la rsistance spcifique moyenne dun gteau form sous unepression D p; il suffit deffectuer une srie dessais dans une cellulede compression-permabilit et les calculs correspondants.

n On peut enfin, par des essais sous pression constante dans unecellule de filtration, et en passant par lintermdiaire de la reprsen-tation graphique de lquation (33), en dduire les valeurs de larsistance spcifique moyenne pour chacune des valeurs de lapression dessai.

Lapplication des diffrentes lois gnrales de la filtration permetalors de prvoir les rsultats dune filtration dans diverses condi-tions de pression, viscosit, surface filtrante, teneur de la suspen-sion en matires solides, etc.

Encore faut-il entre autres que lchantillon test soit aussireprsentatif que possible de la suspension, dans son ensemble. Orcertains facteurs ou phnomnes, non vidents a priori, peuventconduire des rsultats grande chelle trs diffrents de ceux ini-tialement prvus.

3.2 Influence de la viscosit du filtrat

On sait quun accroissement de temprature se traduit par une

Figure 9 Cellule de filtration daprs [6] et [14]

A

BC

DAlimentation

Recirculation

E

F

G

Filtrat

H

A rservoir de suspensionB moteur vitesse variableC pompeD enregistreur de pression

E plaque perfore mobileF gteauG supportH convertisseur poids-pression

a

a a 0

a 0 pn

D+=

a a 0 pn

D=

a

aToute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 3 501 - 11

les kieselguhrs, mais peut atteindre des valeurs de lordre de 1 ousuprieures 1 pour des produits trs compressibles (certains latexfloculs, hydroxydes glatineux, etc.).

diminution de la viscosit du filtrat liquide, donc par un accroisse-ment de son dbit, toutes choses gales par ailleurs. (Pour un gaz, lephnomne est invers puisque la viscosit crot quand la tempra-ture crot.)

Mais il faut aussi noter que les variations de temprature peuventavoir une influence non ngligeable sur le degr de floculation de lasuspension, en gnral dans le sens dune augmentation de la tailledes flocons avec la temprature, cest--dire dans le sens duneamlioration de la filtration.

Notons enfin que les quations de filtration ont t tablies ensupposant, dune part que le rgime dcoulement du filtrat dans lespores est laminaire (ce qui est gnralement le cas pour les liquides)et dautre part que le filtrat est un liquide newtonien (viscosit ind-pendante du gradient de vitesses, ce qui peut ne pas tre vrifipour certaines huiles organiques, colles, etc.).

3.3 Migration des particules fines

Si lchantillon a t prlev sans respecter les rgles classiquesde lchantillonnage, sa rpartition granulomtrique peut tre diff-

Exemple : considrons la filtration sous pression constante dunesuspension donnant naissance un gteau compressible et, pour sim-plifier le calcul, supposons que le support a une rsistance lcoule-ment (Rs) ngligeable.

Daprs lquation (34), on peut crire :

Si lon reporte la valeur de donne par lquation (46), il vient :

On voit donc que : pour n < 1, p1 n est une fonction croissante de p et toute aug-

mentation de la pression de filtration se traduit par une augmentationdu volume de filtrat recueilli ;

par contre, pour n > 1, un accroissement de pression se traduitpar une diminution de ce volume.

V = 2 D p

W----------------- t

a

V = 2 D p1 n

0W------------------------- t



rente de celle du stock moyen, en particulier par sa teneur en finesparticules.

Or on conoit aisment que si la suspension contient, ct degrosses particules, des fines en proportion non ngligeable et si lespores entre les grosses particules ont des dimensions suffisantes,les fines peuvent se dplacer dans la masse du gteau pralable-ment dpos.

Or, pour un gteau compressible, les dimensions des pores entreles grosses particules dpendent de la pression de filtration.

Par suite, si la pression de filtration est faible (pores de grandedimension), la migration des fines est effective, et ces fines parti-cules viennent saccumuler au niveau du support en y formant unecouche trs rsistante. Le gteau htrogne ainsi form est globa-lement caractris par une forte rsistance spcifique.

Pour une pression plus leve, les pores entre les grosses particu-les sont trop rduits pour permettre la migration des fines qui, unefois dposes, se maintiennent alors in situ. Labsence dune couchedense particulire au contact du support se traduit par une rsis-tance spcifique moyenne du gteau plus faible que dans le cas pr-cdent, alors que la pression de filtration est plus leve.

Il est vident que, si lon continue faire crotre la pression de fil-tration, on retrouve laccroissement habituel de rsistance spcifi-que.

3.4 Dimensions des particules

On sait que les particules de certains sels, initialement obtenussous forme trs divise, ont tendance sagglomrer plus ou moinsrapidement dans le temps par une sorte de floculation naturellelente, de simples examens au microscope permettant de contrler larapidit de cette agglomration.

Si celle-ci se produit dans des dlais raisonnables, on a intrt stocker la suspension un certain temps avant filtration.

Par ailleurs, si la suspension contient des particules de grandesdimensions, il faudra viter dalimenter le filtre laide dun piquagelatral sur une canalisation principale o circule la suspension : si ledbit vers le filtre est rduit (en fin de filtration sous pression cons-tante, par exemple), on risque de voir les grosses particules passerpar inertie devant le piquage vers le filtre sans y entrer. Le gteaucontenant moins de grosses particules est alors plus rsistant quene le laissait prvoir un essai ou une analyse granulomtrique duproduit.

3.5 Floculants

Ces produits ont t sommairement dcrits dans lintroductionJ 3 500. Rappelons que leur dosage doit tre trs soign, leur effica-cit passant souvent par un maximum pour une certaineconcentration [15].

Par ailleurs, les flocons sont gnralement trs sensibles lapression : sur la figure 10 par exemple, on peut voir que la surfacespcifique est multiplie par environ 2,7 lorsque la pression sur lesflocons passe de 0,1 1 bar (104 105 Pa) : les flocons sont progres-sivement crass donc dtruits jusqu ce que toutes les particu-les de latex aient retrouv leur individualit.

Les suspensions flocules doivent donc tre, dans la majorit descas, filtres sous basse pression [quelques diximes de bar (quel-ques 104 Pa) au maximum].

Une floculation spectaculaire, avec une importante vitesse desdimentation des flocons, ne conduira donc pas obligatoirement une bonne filtrabilit de la suspension.

Par ailleurs, les flocons sont galement trs sensibles aux actionsmcaniques : une suspension soigneusement flocule risque devoir ses flocons dtruits par un agitateur trop grande vitesse oupar une pompe centrifuge dalimentation.

Comme les flocons ne se reforment gnralement pas spontan-ment, il faudra donc choisir des agitateurs lents et remplacer lespompes centrifuges par des monte-jus , pompes pistons plon-geurs ou membranes, etc.

Un contrle de la suspension juste lentre du filtre sera le plussouvent souhaitable.

Figure 10 Variations de la surface spcifique dun gteau de flocons avec la pression exerce sur les particules du gteau

1,6 x 107

1,4 x 107

1,2 x 107

1,0 x 107

0,8 x 107

0,6 x 107

0,4 x 107

0,2 x 107

00,05 0,1 0,2 0,5 1,0 2 5 10 20 50

Surface ag (m2 / m3)

1 bar = 105 Pa

Latex de polystyrne : 50 g / L dans Al2 (SO4)3 0,01 M.

Pression Pg (bar)exploitation du droit de copie est strictement interdite.trait Gnie des procds

3.6 Dsarage

Pour maintenir lhomognit de la suspension avant son arrivedans le filtre, il est ncessaire de lagiter, cette agitation tant parfoiseffectue par injection dair comprim sous pression par exemple. Ilen rsulte alors une dissolution plus ou moins importante dair dansla phase liquide.

Lors de la filtration, la pression du liquide baissant au fur et mesure de sa progression dans le gteau, on peut observer un dga-zage progressif du filtrat avec apparition de microbulles dair. Lapression du liquide une cote donne au-dessus du support dimi-nuant dans le temps, les bulles vont grossir et freiner lcoulement,cest--dire accrotre la rsistance spcifique du gteau.

Ainsi, des rsistances spcifiques multiplies par 2 ont t rele-ves lors de filtrations identiques en tous points, si ce nest que,dans le premier cas, la suspension tait dsare avant filtration, etvolontairement are sous pression dans le second.

Ce phnomne peut galement se manifester dans les filtrationssous vide.


4. Exemples dapplication

4.1 Premier cas

n Donnes

Une fabrication fournit une suspension contenant, par kilo-gramme, 15 g de cristaux, dans un liquide de masse volumique1 020 kg m- 3 et de viscosit 1,2 10- 3 Pa s (1,2 cP).

Un examen des cristaux au microscope a montr que leur formetait approximativement isomtrique ; des essais de tamisage ontpermis de calculer que leur diamtre moyen en surface tait de85 10-6 m (85 m m). Leur masse volumique vraie, releve dans unetable des constantes, est de 2 630 kg m- 3.

En filtrant sur bchner un chantillon de suspension, on obtientun gteau de 145 10-6 m3 (145 cm3) qui, aprs schage, accuseune masse de 0,236 kg. Des essais de tassement sur ce gteau ontmontr quil tait sensiblement incompressible.

n Problme

On voudrait estimer les caractristiques dune filtration disconti-nue sous pression constante, qui permettrait de rcuprer cegteau.

n Solution

Il faut commencer par dterminer la rsistance spcifique , quiest donne par la formule (20) dans laquelle on prend hK = 5.

Pour avoir la porosit on crit :

Masse de gteau sch = volume apparent du gteau

(1 - ) masse volumique des cristaux

soit : 0,236 = 145 10- 6 (1 - ) 2 630.On en tire = 0,38.On a donc :

Il faut galement connatre la valeur de W [quation (10)], o entoute rigueur, intervient le coefficient dhumidit m [quation (13)].

Cette relation permet de connatre le volume de filtrat recueilli aubout dun temps t sur un filtre de surface travaillant sous pressionD p donne.

Par exemple pour = 0,5 m2 et D p = 0,8 bar (soit 0,8 105 Pa), onaura :

relation qui donne V en m3 si t est exprim en s.

Au bout de 5 min de filtration (300 s), on a rcupr

de filtrat et une masse de gteau :

M = WV soit M = 15,3 2,4 37 kg

Ce gteau a une paisseur Z que lon peut calculer par larelation (29), ce qui donne :

4.2 Deuxime cas

n Donnes

On dispose dun filtre pilote de 0,1 m2 de surface filtrante, ali-ment par une pompe centrifuge dont la courbe caractristique eneau prsente, du ct des faibles dbits, un palier horizontal corres-pondant 0,8 bar (0,8 105 Pa).

On passe, au travers de ce filtre, une suspension dans de leau 20 oC de 8 g de matires solides par kg de suspension.

Les essais ont conduit aux rsultats ci-dessous (on a not que lapression ne stait stabilise quau bout de 20 s environ), avec vvolume de filtrat recueilli et t temps.

a

36 5 1 0 38,( )85 10 6( )2 0 38,( )3 2 630

---------------------------------------------------------------------------------

1 07 10

8

, m kg 1 = =

v (102 m3) t (s) v (102 m3) t (s)

0,2 2 4 100

0,5 5,5 4,5 123,5

1 11,5 5 148,5

1,5 20 6 206,5

V 0 5, 10 3 0 8, 105t 0 14 t,= =

0 14 300, 2 4m3,=

Z 370,5 1 0,38( ) 2 630 -------------------------------------------------------------

0,045 m 4,5 cm = = =Toute reproduction sans autorisation du Centre franais dexploitation du droit de copie est strictement interdite. Techniques de lIngnieur, trait Gnie des procds J 3 501 - 13

On a ici

ce qui rappelle que, aprs dbtissage, le gteau devra tre dbar-rass de 24 % dhumidit pour rcuprer un produit sec.

La teneur de la suspension en matires solides tant s = 15 10- 3,on a ms = 0,019, que lon peut ngliger devant 1 danslquation (10). On a donc simplement :

W = s = 1 020 15 10- 3 = 15,3 kg m- 3

Dans un calcul prvisionnel il est logique de ngliger la rsistancede la toile support. La relation (34) donne alors :

soit :

n Problme

On voudrait connatre le volume de filtrat recueilli, en fonction dutemps, au cours dun cycle pour un filtre-presse comprenant6 cadres de 800 800 mm et de 50 mm dpaisseur, quip de toilesidentiques celle du filtre pilote et aliment avec la mme suspen-sion sous pression constante de 0,7 bar (0,7 105 Pa).

n Solution

Il sagit dextrapoler une filtration industrielle les rsultats obte-nus sur filtre pilote. Cette extrapolation est ici possible car les deuxpressions (0,8 bar sur le filtre pilote, mis part les premiers instantsde lessai, et 0,7 bar sur le filtre-presse) sont peu diffrentes. Desvaleurs plus loignes lune de lautre ncessiteraient des essais surfiltre pilote sous une pression gale (ou voisine) celle prvue sur lefiltre-presse : si cette prcaution nest pas observe, des erreursimportantes peuvent intervenir si le gteau est compressible.

m 1 0 38, 1 020

1 0 38

,

( )

2 630 ------------------------------------------------+

1 24

,

= =

V W 2 pDh a W-------------- t=

V W= 2 pD

1 2, 10 3 1 07, 108 15 3,---------------------------------------------------------------------------------- t

V W 10 3 pt D=

2 31 7 273

3 60,5 8 349,5

3,5 79



Lextrapolation ncessite la connaissance de la rsistance spcifi-que (ou mme ici du produit W puisquil sagit de la mme sus-pension, donc du mme W) et celle de la rsistance Rs du support.

Ces deux valeurs peuvent tre obtenues partir du trac de t/V enfonction de V [formule (33)] dont la reprsentation doit tre linaire.La pente de la droite obtenue permet datteindre (ou a W) etlordonne lorigine permet dobtenir Rs.

Le graphique de la figure 11 montre que, sauf pour les premierspoints, la pression ntant pas stabilise, la reprsentation du ph-nomne est bien linaire. On relve sur le graphique une ordonne lorigine de 600 s m- 3

et une pente de

On a donc daprs la formule (33) :

Sachant que :

D p = 0,8 105 Pa,

= 10- 1 m2,

(viscosit dynamique de leau 20 oC) = 10- 3 Pa s.

On en dduit :

et

Dans le cas prsent, la teneur relativement faible de la suspensionen matires solides permet dcrire, sans risque derreur sensible :

On en dduit donc :

Le volume de filtrat recueilli (en fonction du temps) sur le filtre-presse sera donn par lquation (34).

On dispose de 6 cadres, avec chacun deux surfaces filtrantes de0,8 0,8 = 0,64 m2. La surface filtrante totale est donc :

= 6 2 0,64 = 7,68 m2

La pression de filtration est de 0,7 bar, soit D p = 7 104 Pa.Nous avons par ailleurs Rs = 4,8 10

9 m- 1, = 10- 3 Pa s etW = 7,6 1010 m- 2. Do :

avec V en m3 si t en s.

Figure 11 Essai sur filtre pilote (cas du 4.1)

5 000

4 000

3 000

2 000

1 000

00 10 20 30 40 50 60 70 80

t / V (s.m3)

V (dm3)V volume de filtrat t temps

4 400 600

80 10

3

------------------------------- 4,75 10 4 s m 6 =

h a W

2 p W 2D------------------ 4,75 104 s m 6 et

h

R

s

p

W

D

------------

600 s m 3 = =

a W 4,75 104 2 0,8 105 10 2

10 3---------------------------------------------------

7,6 1010 m 2= =

Rs 6000 8, 105 10 1

10 3-------------------------------------------

4,8 109 m 1= =

Figure 12 Essai sur filtre pilote : volume de filtrat en fonction du temps (cas du

4.2

)

25

20

15

10

5

00 60 120

Temps (min) 5 10 20 30 60 120Temps (s) 300 600 1 200 1 800 3 600 7 200Volume (m3) 5,2 7,6 10,9 13,5 19,2 27,4

t (min)10 30

V (m3)

W r s , soit ici W 1 000 0,008 8 kg m 3 = = =

a

7,6 1010

8-------------------------- 9,5 109 m kg 1= =

V 7,68 4 10 3 1,84 10 3 t + 6,3 10 2( ) =exploitation du droit de copie est strictement interdite.trait Gnie des procds

Les rsultats sont donns sur la figure 12.

n Remarquesl Il est par ailleurs ncessaire de vrifier quel moment les deux

gteaux forms dans chaque cadre arrivent se rejoindre en rem-plissant entirement ce cadre (ce sera la dure maximale de la filtra-tion). Pour ce faire, on utilise la formule (29), avec Z = 0,025 m(cadres de 50 mm dpaisseur). Supposons que, en fin dun essaisur filtre pilote, on prlve un chantillon de gteau. Aprs mesurede son volume apparent, de sa masse sche et de la masse volumi-que des matires en suspension, on peut dduire la porosit, par lamme mthode que celle voque dans le paragraphe 4.1. Suppo-sons que lon trouve ainsi = 0,39 avec s = 2 300 kg m- 3.

De la formule (29) on tire :

soit un volume maximal :

recueilli en 3 h environ.

VW 1 e( ) r sZ

W------------------------------------=

VM7,68 1 0,39( ) 2 300 2,5 10 2

8

------------------------------------------------------------------------------------------------- 33,7 m 3 = =


Dans le cas prsent, le risque de remplissage complet des cadres(27,4 m3 en 2 h) na donc pas tre envisag.

l Mme si les cadres ne sont pas entirement remplis, on peutavoir intrt arrter lopration parce que le dbit de filtrat devienttrop rduit. Pour connatre ce dbit (en m3 s- 1 ou en litres parminute), il suffit de diffrentier lquation gnrale (32), ce quidonne :

Dans le cas prsent, on a :

soit :

Dans cet exemple, il apparat donc que le dbit de filtrat reste rela-tivement important, mme aprs plus de 2 h de filtration. Une tuderigoureuse de la rentabilit de la poursuite de lopration devrait sefaire par optimisation (cf. 2.1.3).

l Il faut noter que lessai doit tre effectu sous une pressiongale ou au moins trs voisine de celle qui est applique sur le filtre-presse car la rsistance spcifique dpend, pour les matriaux com-pressibles, de la pression de filtration.

dVdt-------- 1

h a W

p W 2D--------------- V

h Rsp WD

------------+

-----------------------------------------=

dVdt-------- 1

10 3 7,6 1010

7 104 7,68( )2-------------------------------------------- V 10

3 4,8 109

7 104 7,68------------------------------------------+

----------------------------------------------------------------------------------------------------=

dVdt-------- 1

18,4V 8,93+----------------------------------=

V

m3 m3 s- 1 L min- 1

2 0,022 1 312

5 0,009 9 595

10 0,005 2 310

15 0,003 5 210

20 0,002 6 160

25 0,002 1 128

30 0,001 8 107

dVdt-------- dV

dt--------

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Filtration sur support1. quation diffrentielle de base1.1 Loi de Darcy1.2 Remarques1.3 Masse de gteau dpose1.4 Rsistance spcifique

2. Calculs2.1 Filtration idale2.1.1 Dbit de filtration2.1.2 Filtration dbit constant2.1.3 Filtration sous pression constante2.1.3.1 Loi thorique2.1.3.2 Trac exprimental de la droite (2.1.3.3 quation de Ruth2.1.3.4 Optimisation des filtrations discontinues

2.1.4 Filtres continus sous videRemarqueInfluence de la vitesse de rotation et de la rsis...Remarque

2.1.5 Filtration sous pression et dbit variable...

2.2 Gteaux compressibles2.2.1 Rpartition des pressions dans le gteau2.2.2 Rsistance spcifique moyenneCellule de compression-permabilitCellule de filtrationExpression empirique de la rsistance spcifique m...

3. Essais. Prcautions prendre3.1 Gnralits3.2 Influence de la viscosit du filtrat3.3 Migration des particules fines3.4 Dimensions des particules3.5 Floculants3.6 Dsarage

4. Exemples dapplication4.1 Premier casDonnesProblmeSolution

4.2 Deuxime casDonnesProblmeSolutionRemarquesRfrences bibliographiques

mecanique de fluide

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