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Mécanique: chapitre 2
Forces; MomentsForces; Moments
INTRODUCTION
Toute action mécanique s'exerçant sur un objet a pour effet soit:de modifier son mouvement ou de le mettre en mouvement,de le maintenir en équilibre,de le déformer.
Toute action mécanique exercée sur un objet est décrite par quatre caractéristiques:le point d'application,la droite d'action,le sens,la valeur: son intensité.
Caractéristiques d’un VECTEUR
Une FORCE est une grandeur vectorielle
Poids
Portance
Une action sur un solide se décrit en général par PLUSIEURS FORCES.
ATTENTION !!
Il est souvent insuffisant de ne connaître que la somme vectorielle de toutes les forces pour décrirele mouvement d’un solide.
Il est nécessaire de connaître une grandeur supplémentaire, le MOMENT total des forces(somme vectorielle des moments des forces) s'exerçant sur le solide.
1F
2F
021 =+ FF
Somme vectorielle des forces
+ = TORSEUR FORCESomme vectorielle des moments des forces
Une somme des forces nulle peut mettre en mouvement un solide (cas d'un couple de forces).
1. LES FORCES
son point d'application, Asa droite d'action, Δson sens,son intensité, F.
Fr
A
ΔCaractéristiques d’une force
Les forces suivent donc les lois de l'algèbre des vecteurs,
21 FFF +=
1F
2F
1F
2F
xeye
ze
Pour les composantes
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
z
y
x
f
ff
F
1
1
1
1⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
z
y
x
f
ff
F
2
2
2
2⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
++
=
zz
yy
xx
ff
ffff
F
21
21
21
1F
2F
21 FFF +=
FP −=
021 =++ FFP
Exemple: solide ponctuel suspendu à 2 ressorts
Les forces peuvent être regroupées en trois familles:
les forces de champ: force de gravitation, force électrostatique, force magnétique,les forces de contact: force de frottement,les forces nucléaires assurant la cohésion du noyau atomique.
Les forces s'expriment en Newton, noté N
Exemple:
Le poids appartient à la première famille.
Défini par les caractéristiques suivantes:son point d'application: le centre d'inertie
(centre de gravité) du solidesa droite d'action: la verticale,son sens: du haut vers le bas,son intensité: gmP ⋅=
m, masse en kg du solideg, accélération de la pesanteur (g = 9,81 m/s2 sur la terre).
G
gmP =
x
z
y
m1
m2 m3
m4A1
A2 A3
A4
O
G
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
=
Mzmzmzmzmz
Mymymymymy
Mxmxmxmxmx
OG
G
G
G
44332211
44332211
44332211
Centre de gravité d’un ensemble de points
Définition: moyenne pondérée
Exemple: 4 points, A1, A2, A3, A4, demasses m1, m2, m3, m4
Soit M la masse totale des 4 points
4321 mmmmM +++=
Chaque point intervient proportionnellement à sa masse
44332211 OAmOAmOAmOAmOGM +++=
MOAmOAmOAmOAmOG 44332211 +++
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
1
1
1
1zyx
A⎪⎩
⎪⎨
⎧
2
2
2
2zyx
A⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
3
3
3zyx
A⎪⎩
⎪⎨
⎧
4
4
4
4zyx
A
Exemple: 2 sphères reliées par une tige de masse négligeable. Les rayons des sphères sont supposéssuffisamment petits pour pouvoir être négligés.
Par symétrie: xG = 0 et yG = 0
⎪⎩
⎪⎨
⎧−0
0
1 aA⎪⎩
⎪⎨
⎧
0
0
2 aA
21 mmM +=
MammayG
21)( +−=
Application numérique: a = 50 cm, m1 = 100 g, m2 = 300 g
aMma
MmyG
21 +−=
cm 255040030050
400100
=+−=Gy
x y
zA1 A2O
a a
m1 m2
G
Remarque:11 GAOGOA +=
( )
2211
2211
221121
2211
0
)(
)(
GAmGAm
GAmGAmOGMOGM
GAmGAmOGmmOGM
GAOGmGAOGmOGM
+=
++=
+++=
+++=
02211 =+ GAmGAm
22 GAOGOA +=
02211 =+ GAmGAm
x y
zA1 A2O
a a
m1 m2
G
Application au cas de 2 masses
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
−=
=
=
0
0
12
G
G
G
z
aM
mmy
x
OG
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=
==
0
0
1
1
1
1z
ayx
OA⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
=0
0
2
2
2
2z
ayx
OA
aMma
Mmmmma
Mmmayy G
21221121
2−=
−++−=
−−−=−
aMma
Mmmmma
Mmmayy G
11221122
2=
+−+=
−−=−
022)()( 21212211 =+−=−+− a
Mmma
Mmmyymyym GG
∑=
=N
iiiOAm
MOG
1
1
∑=
=N
iimM
1
Masse totale
Cas général d’un ensemble de N points
Exemple: N points, A1, A2,……. AN, de masses m1, m2, ……, mN
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
∑
∑
∑
=
=
=
N
iiiG
N
iiiG
N
iiiG
zmM
z
ymM
y
xmM
x
1
1
1
1
1
1
x
z
y
m1
m2 m3
m4
mN
A1
A2 A3
A4
AN
O
G
∑=
=N
iiiGAm
1
0
Centre de gravité
Coordonnées
Cas d'un solide quelconque: distribution continue de points. PRINCIPE DU CALCUL
∫∫ ρ⋅=⋅=
VolumeVolume
dOAM
dmOAM
OG v11
Chaque volume contient une masse élémentaire égale àdxdydzd =v
vddm ρ=
∫∫ ρ==
VolumeVolume
ddmM v
∑ ⋅=
esélémentair volumesles Tous
1 dmOAM
OG
On divise le volume en un un très grand nombre (infinité) de petits volumes élémentaires (cubiques),entourant chacun un point Ai. Chaque volume élémentaire vaut
dxdy
dz
xy
z
O
A1
A4
A3
A2
On est ramené au cas de n points matériels; les points matériels sont les volumes infiniment petits
Puisque la taille des volumes élémentaires est infinimentpetite, l’expression précédente devient une intégrale
M est la masse totale du solide
∑=
esélémentair volumesles Tous
dmM
ρ = masse volumique = masse de l’unité de volume
dzrdm 2π⋅ρ=
z
x
dz
y
H
R
r
α
O
z
Hz
Rr=
dzH
zRdm 2
22π⋅ρ=
∫ ⋅=H
G dzAzzM
z0
21
∫=H
dzAzM0
2
441 4
0
4
0
3 HMAz
MAdzzA
Mz
HH
G =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== ∫
33
3
0
3
0
2 AHzAdzzAMHH
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡== ∫
HAH
AHzG 433
4 3
4== HzG 4
3=
Relation de proportionnalité:
dzrd 2π=vVolume du disque élémentaire
Masse du disque élémentaire
ρ = masse volumique (masse de l’unité de volume)
Masse totale du cône
Coordonnée du centre de gravité:
Exemple: centre de gravité d’un cône
dzAzdm 2=2
2
HRA π⋅ρ=
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
2. ROTATION AUTOUR D’UN AXE: MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE
dFFM .)( =Δr
(Δ)
Fd
)(FMr
Δ
On se limite au cas d’une force perpendiculaire à l’axe
Le moment vectoriel de la force par rapport à l’axe Δest un vecteur:
perpendiculaire au plan déterminé par AB etla droite d’action de F donc porté par l’axe Δdont le sens indique le sens de rotationimposé par la force (règle de la main droite)de module égal à:
AB
Soit d la distance entre l’axe Δ et la droite d’action de la force (d = AB)
Remarque: si la droite d’action de la force passe par l’axe de rotation,le moment de la force par rapport à l’axe est nul (d = 0)
(Δ)
F
0)( =Δ FMr
Exemple: serrage d’un boulon
x
z
y
1F
d
O
)( 1FMOxdFFMOx 11)( =
)( 1FMOx dirigé suivant – Ox
CAS N° 1: F1 suivant - Oz
x
z
y
2F0)( 2 =FMOx
2F passe par l’axe
CAS N° 2: F2 suivant Oy
O
x
z
y
3F
0)( 3 =FMOx
3F n’est pas perpendiculaireà l’axe mais parallèle à l’axe
CAS N° 3: F3 suivant Ox
O
x
y
z
4F
α=
=
cos
)(
4
44
dF
aFFMOx
CAS N° 4: F4 avec:une composante suivant – Ozune composante suivant Oy
O
zF4
yF4
d
a
)( 4FMOx
α
α
dFFM zOx 44)( =
Seule la composante suivant –Oz intervient
zy FFF 444 +=
)()()( 444 zOxyOxOx FMFMFM +=
= 0(Cas n°2) Cas n°1
)()( 44 zOxOx FMFM =
x
y
z
FF =1
O
)( 1FMOx
22)( 11
LFLFFMOx ==
)( 1FMOx
dirigé suivant Ox
FF −=2
)( 2FMOx2L
2L
BA
22)( 22
LFLFFMOx ==
)( 2FMOx
dirigé suivant Ox
Résultante des forces
021 =+ FFMoment résultant (COUPLE)
LFFMFM OxOx ⋅=+ )()( 21
COUPLE DE FORCES
L’application d’un couple à un solide a généralement pour effet de le mettre en rotation
4321
44332211mmmm
OAmOAmOAmOAmOG+++
+++=
044332211 =+++ GAmGAmGAmGAm
x
z
y
m1
m2 m3
m4
A2 A3
A4
O
A1
G
44
33
22
11
GAOGOA
GAOGOA
GAOGOA
GAOGOA
+=
+=
+=
+=
4321
44332211 )()()()(mmmm
OAOGmOAOGmOAOGmOAOGmOG+++
+++++++=
4321
44332211
4321
4321 )(mmmm
GAmGAmGAmGAmmmmm
OGmmmmOG+++
++++
++++++
=
4321
44332211 )mmmm
GAmGAmGAmGAmOGOG+++
++++=
4321
44332211 )0mmmm
GAmGAmGAmGAm+++
+++=
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
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E
3. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT
Force F Point d’application: B.
Moment vectoriel par rapport à un point A: Produit vectorielFABFM Arr
∧=)(
)(FM Ar
A
B
P
αF
)(FM Ar
perpendiculaire au plan (P) déterminé par le vecteur AB et la force Fr
Sa direction est donnée par la règle des trois doigts de la main droite. Elle permet de connaître le sens dans lequel va s’effectuer la rotation du solide
α⋅⋅= sin)( FABFM Arr
Module UNITE: Newton.mètre (N.m)
ANNEX
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E
ANNEX
E
ANNEX
E
ANNEX
E
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Le module du moment s’écrit aussi
)(FM Ar
A
B
P
H
d
Fr
α
α⋅⋅= sin)( ABFFM Arr
dFFM A .)( =r
Le module du moment vectoriel est égal au produit du module de la force par la distance du point Aà la droite d’action de la force.
(Δ)AHFFM A ⋅=rr
)(
Expression analytique du vecteur moment
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
z
y
x
r
rr
AB⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
z
y
x
F
FF
F⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
−
=
xyyx
zxxz
yzzy
AFrFrFrFr
FrFr
FM )(r
ANNEX
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