م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

1

(Measures of dispersion) مقاييس التشتت

(:Absolute measures of dispersionأوال: مقاس التشتت المطلقة )

إحصرررة تس خدرررخياس درترررةت ا درررس دخالة رررا يرررخ مؤشررر

اررررة رررراو رررر دظررررةا و د حرررراو ( الررررتر مترررر ا مدددددت الت ددددا س)

اــــة:

(: الدررررري مررررررةتتت دخشرررررخ دمي،ررررررس ، رررررة ا رررررس Range دمررررا )

اررر الرررة و رررر دتررر ي الرررتر قالررر تمرررس صررر تمرررس د،التة رررة د تررر

مال الرررس مرررة د،التة رررة دمال الرررس ررر الرررة و رررر دتررر ي الرررتر دحرررا ،ررر

د د،ت س أليت و دحا ا د،ت س أل

: دما حتث ر

: قال تمس

: ص تمس

(: ارررر الررررة و ررررر Quartile Deviation) حرررر د الت ررررة ب

ي ر د التع دثةدث د التع أل ل دت ي الترمخ دي

: ح د الت ة حتث ر

: د التع ل

: د التع دثةدث

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

2

. حساب اال حراف الربع للبا ات الغر مبوبة1

مخ تررررر شررررر ة دخرررررة خمثرررررل رررررتس دخقر

( ،حدررررةب حرررر د الت ررررة د رررر درررررتس n تةدررررة ت ررررس م ررررة )

خالع مة ت،ة:

حدررررةب تمررررس د التررررع أل ل د التررررع دثةدررررث ال ررررا خ ختررررب درررررتس

خصة اتة خ ةزدتة حتث ر:

: درتمس دخة خ ختال ة

: درتمس دخة خ ختال ة

حدةب ح د الت ة ي دصت س ب

ب شرررريةو دمي،رررر(: دالتة ررررة دخةدتررررس خمثررررل ز ر ثمة تررررس 1مثررررةل )

شيةو الةدخيا س ء حدةب ا دس دخشخ التر ز ر اؤ

ح د الت ة 2 دما 1

62 69 71 68 63 72 68 56

دما : 1

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

3

ح د الت ة: 2

خ خب درتس خصة اتة

72 71 69 68 68 63 62 56

=

ترتب الربع االول

=

ترتب الربع الثالث

)التوزعات التكرارة(: مبوبةحساب اال حراف الربع لبا ات .2

حدةب تمس د التع أل ل قةآلخة:

مخدمع صة ا مل خ زتع خق ي 1

حدةب خ ختب د التع ل د ي تدة ي 2

= ∑

ترتب الربع االول

خحاتررا ررس د التررع ل اررة دت ررس دخررة خرةالررل دخقرر دمخدمررع 3

دصة ا د حي دخ ختب د التع ل

رررررمر تمرررررس د الترررررع أل ل متقطدددددع قرررررةر دخ زترررررع دخقررررر ي 4

خدة ي م قز س د التع أل ل

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

4

قةر دخ زتع دخق ي مدخم مر د التع أل ل تدة ي 5

∑

: د التع ل حتث ر

: دحا ا دت س د التع أل ل

∑

: خ ختب د التع أل ل

: دخق دمخدمع دصة ا ددةالي دخ ختب د التع أل ل

: خق س د التع أل ل

: ي ل س د التع أل ل

حدررررةب تمررررس د التررررع دثةدررررث الةخالررررة تررررت ييرررر حدررررةب ب

د التع أل ل مع م حظس ر خ ختب د التع دثةدث تدة ي

= ∑

ترتب الربع الثالث

دـ يت مر ح د الت ة تحدب ي دصت س

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

5

( 124(: آلخررررة خ زتررررع خقرررر ي د ت ررررس مررررر ألدرررر م ررررة )2مثررررةل )

درر و حدررب رراا رر ا دمي،رر ب حدررةب ا دررس دخشررخ الررتر رراا

ا ألد و الةدخيا س

ح د الت ة 2 دما 1

الفئات

4 4

ترتب الربع االول

19 15

41 22 فئة الربع

األول

الربع ترتب الثالث

77 36

105 28 فئة الربع

الثالث

119 14

124 5

124

دما : 1

ح د الت ة: 2

= ∑

ترتب الربع االول

ررررمر تمررررس د التررررع أل ل متقطددددع دخ زتررررع دخقرررر ي حررررظ الررررمر

خدة ي م قز س د التع أل ل

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

6

= ∑

ترتب الربع الثالث

دثةدررررث ررررمر تمررررس د التررررع متقطددددع دخ زتررررع دخقرررر ي حررررظ الررررمر

خدة ي م قز س د التع دثةدث

(: آلخررررة خ زتررررع خقرررر ي أل مررررة خ مترررر حررررا دمررررا ت 3مثررررةل )

دمي،ررررر ب خررررررات ا درررررس دخشرررررخ الرررررتر مرررررة ارررررؤ ء الخا ترررررس

دخ مت الةدخيا س ح د الت ة

الفئات

6أقل من 16 16

ترتب الربع االول

136 120

267 131 فئة الربع

األول

412 145

الربع ترتب الثالث

534 122

649 115

فئة الربع الثالث

750 101

772 22

772

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

7

ح د الت ة:

ررررمر تمررررس د التررررع أل ل سددددتمرم دخ زتررررع دخقرررر ي حررررظ الررررمر

خحدب رة دآلخة: د التع دثةدث

= ∑

الربع االولترتب

∑

= ∑

ترتب الربع الثالث

∑

مالحظات حول االنحراف الربيعي

ت خالرررر حرررر د الت ررررة كررررل مررررر دمررررا ق رررر تدررررخياس

( مررررر دالتة ررررة دمخةحررررس ررررري ت مررررل دالررررة ة ر ارررر دمرتررررةت 50%)

،تررل دررخيا س ررة حررتر رر ى تمخررةز ،رر الرتررس مرررةتتت دخشررخ دمي،رررس

التوزعدددات التكراردددة المفتوحدددةمرررر حترررث مقة ترررس حدرررةال رررة حةدرررس

ة حتر تخ دحص ل ، الرتس مرةتتت دخشخ

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

8

(: Mean Deviation) ح دمخ دي دـ

ت رررر حرررر دمخ درررري الم رررر ى مدمرررر ح ررررة دمي،رررررس

( مردرررر مة ،رررر Aدررررتس دمخ ترررر د شررر ة ررررر ريرررس يختة تررررس مثرررل )

ر خقرررر ر حررررا ( A) درتمررررس( رررراا ارررر درررررتس ةدالررررة يخررررة د ريررررس )

مررررررةتتت د ز رررررس دم قزترررررس درررررث ث ) د دررررري دحدرررررةالة د درررررتي

درررر خ ة ل حرررر دمخ درررري الة خمررررةا ،رررر د درررري دم رررر ل (

دحدةالة

:غر مبوبة. حساب اال حراف المتوسط لبا ات 1

مخ تررررر شررررر ة دخرررررة خمثرررررل رررررتس دخقر

د درررررري دحدررررررةالة دخ،رررررر ( دررررررتقر n تةدررررررة ت ررررررس م ررررررة )

تحدررررب ( دخ،رررر درتةدررررة.M.D درتةدررررة ررررمر حرررر دمخ درررري )

ي دصت س آلختس:

∑| |

∑| |

| | | | | |

(: د،التة ة دخةدتس دا ح دمخ دي4مثةل )

19 14 13 10 7 6 5 5 4 3 2

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

9

| |

6 2 5 3

4 4

3 5

3 5

2 6

1 7

2 10

5 13

6 14

11 19

48 88

دا د دي دحدةالة 1

∑

دا ح دمخ دي 2

∑| |

| | | | | |

| | | | | |

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

11

)التوزعات التكرارة(: مبوبةلبا ات متوسطحساب اال حراف ال .2

م قرررررررز دت رررررررة دخ زترررررررع خقررررررر ي دخقر

دخقررررررر دمرةال،رررررررس د ررررررر ( ر m ررررررراا ةخررررررر )

( دخ،ررر دالتة رررة تحدرررب ررري .M.D دت رررة رررمر حررر دمخ دررري )

دصت س آلختس:

∑| |

∑

| | | | | |

حتث ر:

∑

∑

(: آلخررررة خ زتررررع خقرررر ي دررررا دة مدم ررررس مررررر ي،الررررس ررررة 5مثررررةل )

مخحررررةر م ررررتر تي،ررررب حدررررةب ا دررررس دخشررررخ الررررتر ا دررررة اررررؤ ء

دي،الس الةدخيا س ح دمخ دي

| | الفئات

109 10 5 2 178 60 15 4 276 200 25 8

392 560 35 16

362.5 1125 45 25

270 3300 55 60

231 2730 65 42 542.5 2625 75 35

459 1530 85 18 355 950 95 10

3175 13090 220

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

11

دا د دي دحدةالة 1

∑

∑

دا ح دمخ دي 2

∑| |

∑

| | | | | |

| | | | | |

ا دس

مز تة ح دمخ دي:

، قة س دالتة ة دمخةحس ر حدةال ت خما 1

ى مرتةت د ل دت س دحدةب 2

يك د، م،تة ددال تس 3

ر تمخ خق ر ل مة تمقر امة تحدب الةدخيا س د دتي 4

ت ب ح دمخ دي:

I امةل شة ددةدالس د،ت ي ا م،تس حدةال

II حس تمقر حدةال ة حةدس دخ زت ة دخق تس دمتخ

III تمقر حدةال ة حةدس دالتة ة د صتتس

IV خخمث تمخ ة حةدس د ا تس شة و مخي س

V تخمث ، ح قالت المييةء دم ةت س

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

12

(: Standard Deviation) ح دم تة ي ا

ت خالررر اررر دمرترررةت كرررل مررررةتتت دخشرررخ دمي،ررررس ت ررر الم ررر ى

( الرررررة و Variance) التبددددداند،خالرررررةتر ددررررر دخ الت رررررة دم درررررب

رررر مخ دررري مدمررر م ال رررة ح رررة رررتس دمخ تررر د شررر ة رررر

دي ة دحدةالة

:غر مبوبة. حساب اال حراف المعاري لبا ات 1

مخ تررررر شررررر ة دخرررررة خمثرررررل رررررتس دخقر

د درررررري دحدررررررةالة دخ،رررررر ( دررررررتقر n تةدررررررة ت ررررررس م ررررررة )

( دخ،ررر درتةدرررة تحدرررب ررري S درتةدرررة رررمر حررر دم ترررة ي )

دصت س آلختس:

√∑

√

مة دخالةتر د درتةدة تدة ي

∑

ا ت ة ر:

√

دخالرررةتر رررا خقررر ر ر دصرررت س ددرررةالرس دحدرررةب حررر دم ترررة ي

مي درررررس د ررررر ع خدررررر تل د م،ترررررة دحدرررررةالتس تمقرررررر خالرررررة حرررررا

:الة خمةا ، شخرةي آلخة آلختختر دصت ختر

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

13

: مدم م ال ة ح رة دررتس ∑ مر ي ل د ظ د،صت س

ر دي ة دحدةالة ة حل ألمث،س خق ر مي درس در ترخس يخصرة اة قمرة

ت،ة:

∑ ∑( ) ∑

∑

∑

∑

∑ ∑

√∑

√∑

(

∑

)

ي ر دخالةتر

∑

∑

(

∑

)

مالحظات:

( خ تمس د دي دحدةالة 3خدخياس دصت س س ) 1

( دس خخ تمس د دي دحدةالة 4 س )خدخياس دصت س 2

تمقر حدةب دخالةتر ثس ي دد دخ الت ة د ى د حصل ، تمس 3

ح دم تة ي

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

14

مرررر دي،الرررس م رررة شررر و (: دالتة رررة دخةدترررس خمثرررل ز ر ت رررس 6مثرررةل )

يرررررر ب ررررررا ا دررررررس دخشررررررخ الررررررتر ز ررررررس الةدررررررخيا س حرررررر

دم تة ي

3136 56

3844 62

4761 69

5041 71

4624 68

4225 65

3969 63

5184 72

4624 68

3136 56

42544 650

√∑

(

∑

)

√

(

)

√

√

م حظس : إ تا حدةب دخالةتر مر دخالةتر ا :

∑

(

∑

)

(

)

( دصررت س 4( دررخيام دصررت س ررس )6 ررة دمثررةل ررس )م حظررس :

( دحدةب ح دم تة ي دخالةتر د اس د ا د دي دحدةالة 5 س )

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

15

دخالرررةتر د،التة رررة دررر او رررة حررر دم ترررة ي حدرررب(: 7مثرررةل )

،مة ر د دي دحدةالة ا (4 دمثةل س )

4 2 9 3

16 4

25 5

25 5

36 6

49 7

100 10

169 13

196 14

361 19

990 88

√∑

√

√

√

√

∑

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

16

) التوزعات التكرارة(: مبوبة. حساب اال حراف المعاري للبا ات ال2

م قرررررررز دت رررررررة دخ زترررررررع خقررررررر ي دخقر

دخقررررررر دمرةال،رررررررس د ررررررر ( ر m ررررررراا ةخررررررر )

( د رررر دالتة ررررة تحدررررب رررري S دت ررررة ررررمر حرررر دم تررررة ي )

دصت س آلختس:

√∑

∑

√

مة دخالةتر د درتةدة تدة ي

∑

∑

ا ت ة ر:

√

(2( )1 قمرررررة ا رررررة رررررة دالتة رررررة د تررررر مال الرررررس ر دصرررررت ختر )

ددرررررةالرس دحدررررررةب حرررررر دم تررررررة ي دخالررررررةتر خقرررررر ر مي دررررررس

د رررر ع خدرررر تل د م،تررررة دحدررررةالتس تمقررررر خالررررة حررررا دصررررت ختر

آلختختر الة خمةا ، شخرةي آلخة:

حل ألمث،س خقر ر مي درس ة ∑ مر ي ل د ظ د،صت س

د تخس يخصة اة قمة ت،ة:

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

17

∑ ∑( ) ∑

∑ ∑

∑

∑ ∑ (∑ )

∑ ∑ (∑ )

√∑

∑

∑

√∑

∑

(∑

∑ )

ي ر دخالةتر

∑

∑

∑

∑

∑

(∑

∑ )

مالحظات:

خ تمس د دي دحدةالة ( 3خدخياس دصت س س ) 1

( دس خخ تمس د دي دحدةالة 4خدخياس دصت س س ) 2

تمقر حدةب دخالةتر ثس ي دد دخ الت ة د ى د حصل ، تمس 3

ح دم تة ي

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

18

(: آلخررررة خ زتررررع خقرررر ي دررررا دة مدم ررررس مررررر ي،الررررس ررررة 8مثررررةل )

دخشررررخ الررررتر ا دررررة اررررؤ ء مخحررررةر م ررررتر تي،ررررب حدررررةب ا دررررس

دي،الس الةدخيا س ح دم تة ي ثس حدةب دخالةتر

الفئات

50 10 5 2 900 60 15 4

5000 200 25 8

19600 560 35 16

50625 1125 45 25

181500 3300 55 60

177450 2730 65 42 196875 2625 75 35

130050 1530 85 18 90250 950 95 10

852300 13090 220

√∑

∑

(∑

∑ )

√

(

)

√ √

∑

∑

(∑

∑ )

(

)

دمرررر ظتترمدم ررررس مررررر (: آلخررررة خ زتررررع خقرررر ي د خررررب9مثررررةل )

حدررررب حرررر دم تررررة ي د،مرررر ظتتر ،رررر ررررة د خررررب ألدررررمة

إ ،مررررر خرررررب ارررررؤ ء دمررررر ظتترا درررررس دخشرررررخ الرررررتر درترررررةت

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

19

الفئات

30246 71 6

55502.5 74.5 10

122512.5 82.5 18

216225 93 25

132300 105 12

103335.75 121.5 7

660121.75 78

√∑

∑

∑ √

√

√

√

ي ر دخالةتر تدة ي

∑

∑

∑

مزايا و عيوب االنحراف المعياري

ممتز ح دم تة ي:

حدةال ت خما ، قة س دالتة ة (1

ى مرتةت د ل دت س دحدةب (2

يك د، م،تة ددال تس (3

ةال،تخ د،خدز س امةج (4

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

21

ح دم تة ي: ت ب ب

تمقر حدةال د،خ زت ة دخق تس دمتخ حس (1

تمقر حدةال د،مخ ت د صتتس (2

خخمث تمخ ة حةدس د ا تس شة و مخي س (3

تخمث ، ح قالت المييةء دم ةت س (4

اررررة تدرررر ة مز تررررة التبددددان ر مز تررررة ترررر ب : )م مررررس( م حظررررس

ت ب ح دم تة ي

االنحراف المعياري خصائص

( ح دم تة ي ا مة م دالس ي رS ر تمس )

تمررررس حرررر دم تررررة ي خدررررة ي صررررت إ قة رررر تمررررس خقرررر ر

مت ا د ت س مخدة تس ي ر د ت س تس ثةالخس

خمثررررررل ررررررتس دمخ ترررررر د شرررررر ة إ قة رررررر ب

( Constant( ثةالرررررر )a درررررر ي تمثررررررل تةدررررررة د ت ررررررس ر )

ا مخ ت ش ة حتث ر: ر

ت يررررر ررررري رررررمر حررررر دم ترررررة ي د،مخ تررررر د شررررر ة

دصت س آلختس:

| |

مر : ( قمتس ثةالخس ر aإ قة ) ج

كررررررتت ي حرررررر تمررررررس ثةالخررررررس درررررررتس د ت ررررررس ررررررمر الم رررررر إ

ح دم تة ي تمخ خخ ت

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

21

( مترررر ا د ررررة درتةدررررة 5(: إ قة رررر دررررات ة ت ررررس الحدررررس )10مثررررةل )

( مثال حدةالتة ر:a=-3( الة خ ع ر )6,1,4,2,5 آلختس )

1) | |

إ ،م ر

2)

إ ،م ر

دحل:

9 6+(-3)=3 324 -3*6=-18 36 6 4 1+(-3)=-2 9 -3*1=-3 1 1 1 4+(-3)=1 144 -3*4=-12 16 4 1 2+(-3)=-1 36 -3*2=-6 4 2 4 5+(-3)=2 225 -3*5=-15 25 5

19 3 738 -54 82 18

√∑

(

∑

)

√

(

)

√ √

√∑

(

∑

)

ة ديةصتس د :

√

(

)

√ √

| | | |

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

22

ة ديةصتس دثة تس:

√

(

)

√ √

ثالة ر ( إل10خم تر: دخياس التة ة دمثةل س )

| |

إ ،م ر

التباين خصائص

ا مة م دالس ي ر دخالةتر( ر تمس )

تمرررس دخالرررةتر خدرررة ي صرررت إ قة ررر تمرررس متررر ا د ت رررس خقررر ر

ثةالخس مخدة تس ي ر د ت س تس

خمثررررررل ررررررتس دمخ ترررررر د شرررررر ة إ قة رررررر ب

( Constant( ثةالرررررر )a درررررر ي تمثررررررل تةدررررررة د ت ررررررس ر )

ا مخ ت ش ة حتث ر: ر

ت ي ي دصت س آلختس: مر دخالةتر د،مخ ت د ش ة

مر : ( قمتس ثةالخس ر aإ قة ) ج

مر : ( قمتس ثةالخس ر aإ قة ) ا

ثالررررررة ( إل10خمرررررر تر: دررررررخياس التة ررررررة دمثررررررةل ررررررس )(:11مثررررررةل )

)ب( )ج( )ا( ( دي و )

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

23

اررررـ دررررخقر

دخالةت ررررة دمحدرررر الس دد،درررر،س خمثررررل

دخرررة ررر س قرررل م رررة ،ررر Xمرررر د ت رررة دمخ ة الرررس رررر دمخ تررر

ا رررررر دخالررررررةتر دق،ررررررة دحةصررررررل امرررررر دخخررررررةالع

تةدرررة اررر د ت رررة م رررة دررر ي ةدالرررة مرررة تصررري، ،تررر المحصررر،س

( ا Pooled Variance دخالةتر )

∑

∑

مرررع م حظرررس ررر ى إ قرررةر ررراا متررر ا قة رررس اررر د ت رررة مخدرررة ي ي

ا رررررر رررررررمر محصررررررر،س دخالرررررررةتر ر

خدة ي د دي دحدةالة دخالةت ة ا د ت ة ي ر:

∑

ر خالررررةتر مررررة ي،الررررس دصرررر أل ل إحصررررةء (: إ ،مرررر 12مثررررةل )

( ر خالرررررةتر مرررررة ي،الرررررس 2.5( تدرررررة ي )52( ررررراااس )أ دشررررر الس )

( درررررا خالرررررةتر مرررررة 2.1( تدرررررة ي )63( دالرررررةده ررررراااس )ب دشررررر الس )

دي،الس ة ا دم ح،س

∑

∑

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

24

(: إ ،مرررر ر خالررررةتر مررررة ي،الررررس دصرررر أل ل إحصررررةء 13مثررررةل )

( ر خالرررررةتر مرررررة ي،الرررررس 2.5( تدرررررة ي )50( ررررراااس )أ دشررررر الس )

( درررررا خالرررررةتر 2.1( تكرررررة تدرررررة ي )50( دالرررررةده ررررراااس )ب دشررررر الس )

مة دي،الس ة ا دم ح،س

∑

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

25

تمارن عن مقاس التشتت المطلقة:

لم امع البا ات التالة د كافة مقاس التشتت المطلقة. .1

I.

11 8 3 2 6 4 1 3 2 10 9 5 6 7 6 4 3 1 2

II.

-5 -6 -4.5 -2 1.5 0 -4 -2.5 -3 -1

III.

فرد. د: 542اآلت توزع تكراري ألعمار ع ة من األفراد قوامها .2

. التبان.3. اال حراف المعاري. 2. اال حراف المتوسط. 1

الفئات

3

61

132

153

140

51

2

ي ألوزان م موعة من األطفال. طلب إ اد مقاس التشتت المالئم. اآلت توزع تكرار .3

الفئات

4أقل من 1025

36

32

فأكثر 10 17

م.م. لث فاضل سد حسن مبادئ اإلحصاء

26

شددددركة للغددددزل وال سددددال م لفددددة مددددن ثالثددددة مصددددا ع. فدددد ا علمددددت أن متوسددددط األ ددددر .4

المعاري لأل ر ف كل مص ع كان على ال حو اآلت : واال حرافالشهري

) اال حراف المعاري متوسط األ ر تسلسل المص ع ( ) اا د ةم،تر (

107 4.62 122 1 103 5.53 157 2 111 6.32 198 3

متوسط األ ر والتبان لأل ر ف ه ه الشركة. د

(.4الم موعة التالة ساوي )( الت ت عل التبان لقم Z د قمة ). 5

Z 7 8 3 4 5 2

( ، د تبان األ ر للشركة بافتراض أن عدد العاملن 4للبا ات الواردة ف التمرن رقم ) .6

متساوي ف كل مص ع.