Mcanique Analytique

1

THEOREMES GENERAUX

THEOREME DE LA RESULTANTE CINETIQUE

THEOREME DU MOMENT CINETIQUE

THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE

Mcanique Analytique

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INTRODUCTION (1)

Pour un point P, on a :

quantit de mouvement

moment en un point O de la quantit du mouvement :

l'nergie cintique

l'quation du mouvement

vm

vmxOP

2v2m

Fdtvdm =

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INTRODUCTION (2)

Pour un solide, il y a une infinit de points, donc une infinitd'quations de Newton : les quations doivent tre remplaces par les thormes de la rsultante cintique et du moment cintique.

Dans la suite, on considre un point quelconque du systme :

masse

position

vitesse

acclration

soumis la rsultante h,ih,ih,eh,eh RFRFF +++=

hP

hm

hr

hv

haO

Ph(mh)

systme

kr

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THEOREME DE LA RESULTANTE CINETIQUE

Pour un systme de points :

Le centre de masse se meut comme un point matriel muni de la masse totale du systme et soumis la rsultante des forces extrieures.

=

=N

1hhFRdt

d

= =

+=N

1h

N

1hh,eh,eG RFaM

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EXEMPLE

Nous avons :

Thorme de la rsultante cintique :

)1sin1(cos2lr yxG +=

)1cos1sin(2lv yxG += &&

[ ])1sin1cos()1cos1sin(2la yx2yxG ++= &&&

B2 R)cossin(

2ml

=+ &&&

mgR)sincos(2

mlA

2 = &&&

O A

B

G

x

y

I

AR

BR

gm

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EXEMPLE

Thorme du moment cintique :

zI 1cos2lmgM

dtd

=

zGGI 13mlvxIGmMM =+= &

O A

B

G

x

y

I

AR

BR

gm

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THEOREME DU MOMENT CINETIQUE

La drive par rapport au temps du moment cintique en un point A est gale la somme vectorielle du moment total, en A, des forces extrieures et du produit vectoriel de la quantit de mouvement du centre de masse par la vitesse du point A considr.

)am(xAPvmx)APdtd(M

dtd

hh

N

1hhhh

N

1hhA

==

+=

hh

hhhh

OPAOAP

RFam avec

+=

+=

)RF(xAPvmx)OPdtd(vmx)AO

dtd(M

dtd

h,eh,e

N

1hhhhh

N

1hhh

N

1hA +++=

===

A,eAGA mvxvMMdtd

+=

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THEOREME DU MOMENT CINETIQUE APPLIQUE A UN SOLIDE

Au cdm du solide :

Equations d'Euler : dans les axes principaux GXYZ

G,eG mMdtd

= = .IM avec GG

G,eG mMdtd

=ZYXG 1Cr1Bq1ApM avec ++=

GZYXG Mx1rC1qB1pAMdtd

+++= &&&

ZYXZYX 1pq)AB(1pr)CA(1qr)BC(1rC1qB1pA +++++= &&&

Z,G,e

Y,G,e

X,G,e

mpq)AB(rCmpr)CA(qBmqr)BC(pA

=+

=+

=+

&

&

&

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THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE (1)

Pour un systme de points :

La drive par rapport au temps de l'nergie cintique du systme est gale la puissance totale dveloppe par toutes les forcesappliques au systme.

hhh Fvmdtd

=

hhhhh F.vvmdtd.v =

h

N

1hh v.FTdt

d=

=

h

N

1hh rd.FdT

=

=

h

N

1hPP0

F.rdTThoh h

=

=

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THEOREME DE L'ENERGIE CINETIQUE (2)

Liaisons fixes et polies :

Si, de plus, les forces extrieures et intrieures drivent d'unpotentiel :

Pour un solide, la puissance des forces intrieures est nulle :

0v.Rv.R hh,ihh,e ==

000 EVTVT =+=+ h,iN

1hPP hh,e

N

1hPP hie

F.rdF.rdVVV ohohhoh

==

=+=

solide)(A )APxv.(Fv.F hAN

1hh,ih

N

1hh,i +=

==

0)FxAP.()F.(v h,iN

1hh

N

1hh,iA =+=

==

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EXEMPLE

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G2G 6

ml.I.21mv

21T =+= &

= sin2lmgV

02

2

Esin2lmg

6ml

=+ &

O A

B

G

x

y

I

AR

BR

gm