matlab

Caractérisation de la fiabilité des systèmessoumis à des sollicitations variables

Olivier Basile* Pierre Dehombreux* Fouad Riane**

*Faculté Polytechnique de Mons, Service de Génie MécaniqueRue du Joncquois, 53 à B-7000 Mons (Belgique)[email protected]

**Facultés Universitaires Catholiques de Mons, CREGIChaussée de Binche, 151 à B-7000 Mons (Belgique)[email protected]

RÉSUMÉ. Cette communication fait état de la théorie des tests accélérés afin demodéliser la fiabilité des systèmes soumis à des sollicitations variables. Les lois de fiabilitépour des systèmes série et parallèle sont établies et comparées au modèle à risquesproportionnels de Cox. Une méthodologie de suivi de fiabilité au cours du temps estprésentée. Finalement, cette étude est illustrée à l’aide de deux exemples mécaniques traitésà l’aide de Reliabilitix.

ABSTRAC. This communication presents the accelerated life testing theory inorder to model the reliability of complex systems subjected to variable solicitations.The reliability models of series and parallel systems are established and comparedwith the proportional hazards model of Cox. A methodology of reliabilitydetermination when the solicitations vary with time is presented. This study isillustrated on the basis of two mechanical examples treated with Reliabilitix.

MOTS-CLÉS : Fiabilité, Sollicitations variables, Fiabilité mécanique, Tests accélérés,Modèle à risques proportionnels

KEYWORDS : Reliability, Variable solicitations, Mechanical Reliability, AcceleratedLife Testing, Proportional Hazards Model

Olivier Basile, Pierre Dehombreux, Fouad Riane

1. Introduction

Par définition, la fiabilité d’un système est la probabilité qu’il puisse accomplir safonction pendant un temps donné et dans des conditions données ; une loi defiabilité n’a de sens que si les conditions de fonctionnement sont fixées. L’objet decet article est de proposer une méthodologie d’estimation de la fiabilité pour lessystèmes multicomposants soumis à des sollicitations variables. Selon les conditionsde fonctionnement décrites au travers de variables telles que le débit, la puissance, lacharge mécanique, la température, ..., nous observerons un ou plusieurs modes dedégradation, citons par exemple la fatigue (Ang et al, 2001 ; Tovo, 2001 ; Wei,1997), la fatigue superficielle, l’usure ou encore la corrosion (Sheik et al, 1995 ; Shiet al, 2003).

De la littérature, nous pouvons dégager deux méthodes pour caractériser cesmécanismes physiques de dégradation. La première s’intéresse à caractériser lesphénomènes physiques qui sont à l’origine des modes de défaillance comme lespropagations de fissures (Harlow et al, 1998 ; Harlow et al, 2002 ; Mao et al, 2000).La deuxième méthode consiste à élaborer, sur base de tests en laboratoire, desmodèles statistiques en fonction des modes de dégradation et des sollicitations(Tebbi et al, 2003 ; Sheik et al, 1995) ; le modèle de fatigue de Wöhler appartient àcette deuxième catégorie. Un premier lien entre ces modèles statistiques dedégradation et la fiabilité sera établi grâce à la théorie relative aux tests accélérésdont nous rappellerons les éléments théoriques nécessaires au calcul de la fiabilité enfonction des sollicitations variables. Ensuite, nous nous intéresserons aux modèlesutilisés pour déterminer la fiabilité des systèmes complexes, c’est-à-dire associant ensérie ou en parallèle divers composants, soumis à des sollicitations variables.

Nous introduirons le modèle à risques proportionnels de Cox (Ansell, 1997 ;Jardine et al, 2001, Jóźwiak, 1997 ; Mazzuchi, 1989 ; Pham, 2003) et établirons leslois de fiabilité d’un système série et d’un système parallèle composés decomposants identiques et soumis à des charges différentes.

Ensuite, nous montrerons comment déterminer en pratique la loi de fiabilité enfonction de la charge. Nous présenterons Reliabilitix, une librairie MATLAB quenous avons développée pour permettre la détermination de la fiabilité de systèmessoumis à des sollicitations variables.

2. Théorie des tests accélérés

Dans le cadre des essais accélérés, ont été développés de nombreux modèlesstatistiques corrélant les durées de vie aux modes de défaillance (Nelson, 1990 ;Pham, 2003 ; Sheik et al, 1995 ; Tebbi et al, 2003). Dans ce paragraphe, nousprésenterons quelques notions de la théorie des tests accélérés et leur applicationdans le domaine mécanique.

Fiabilité des systèmes soumis à des sollicitations variables

2.1. Notions théoriques

Lors de tests accélérés, les composants sont soumis à différents niveaux decontraintes nsss ,,, 21 généralement supérieurs aux niveaux de contraintesnominaux. Les résultats de ces essais sont des temps de défaillance en fonction dessollicitations subies qui permettent d’établir les lois de fiabilité en fonction descontraintes. Qui plus est, dans la plupart des cas, les résultats des tests accélérésmontrent que (1) pour deux niveaux de sollicitations donnés, le rapport entre lestemps de défaillance est constant quel que soit le niveau de fiabilité et que (2) lestemps de défaillance suivent la même distribution quel que soit le niveau desollicitations. Dans la suite de cette étude, nous maintiendrons ces deux hypothèses ;nous affecterons l’indice ref aux contraintes de référence et l’indice s aux niveauxde sollicitations en test.

2.1.1. Hypothèse n°1

Supposons deux niveaux de sollicitations différents. Appelons reft le temps dedéfaillance aux sollicitations de référence et st le temps de défaillance auxsollicitations de l’essai. Quelle que soit la valeur de la fiabilité R , la relation deproportionnalité entre reft et st est définie par la relation suivante :

RsFRref tAt ,, [ 1 ]

où FA est le facteur d’accélération qui est fonction du mode de défaillance et dessollicitations associées.

2.1.2. Hypothèse n°2

La deuxième hypothèse postule que les temps de défaillance suivent la mêmedistribution et cela quel que soit le niveau de contrainte. Par conséquent, il est trèssimple de déduire la fonction de défaillance ss tF (notée tF ) à différentsniveaux de sollicitations (la loi de fiabilité tFtR 1 ) :

Fref

Fref A

tRtR

A

tFtF [ 2 ]

Pour notre étude, c’est la relation inverse qui nous intéresse :

Fref AtFtF [ 3 ]

Si on dérive la fonction de défaillance par rapport au temps, nous obtenons lafonction de densité en fonction du facteur d’accélération :


FrefF AtfAtf [ 4 ]

La fonction de densité divisée par la fonction de fiabilité nous donne le taux dedéfaillance :

FrefF AtAt [ 5 ]

2.2. Facteur d’accélération et modes de défaillance

Afin de calculer le facteur d’accélération, il faut connaître les relations quicorrèlent les durées de vie et les modes de défaillance. Parmi ces relations, nouspouvons citer le modèle d’Arrhenius et la loi de puissance inverse. Nousconsidérerons que ces lois sont exactes pour toute valeur de fiabilité.

2.2.1. Modèle d’Arrhenius

Le modèle d’Arrhenius corrèle température et durée de vie ; son expression est lasuivante :

T

BAt exp [ 6 ]

où T est la température absolue, A et B sont des constantes déterminéesexpérimentalement. Le facteur d’accélération correspondant à ce modèle a pourexpression :

srefF TT

BA11

exp [ 7 ]

2.2.2. Loi de puissance inverse

La loi de puissance inverse est un modèle générique utilisé notamment pourcorréler les sollicitations mécaniques (pression ou contrainte) et les durées de vie ;son expression est la suivante :

bS

At [ 8 ]

avec S la contrainte, A et b sont des grandeurs déterminées expérimentalement. Lefacteur d’accélération relatif à la loi de puissance inverse a pour expression :


b

ref

sF S

SA

[ 9 ]

Par exemple, nous retrouvons cette expression pour le mode de dégradation parfatigue caractérisé par la courbe de Wöhler dont l’équation est :

b

a

D

D

r

N

N

[ 10 ]

avec rN , le nombre de cycles jusqu’à rupture ; DN le nombre de cycles à la limited’endurance et b est une constante déterminée expérimentalement.

3. Modèle à risques proportionnels de Cox

Afin de prendre en compte l’environnement dans les analyses de survie, le modèleà risques proportionnels ou Proportional Hazards Model a été développé par Cox.Ce modèle a tout d’abord été utilisé dans le champ médical et ensuite pour ladétermination de la fiabilité de systèmes électroniques. Dans le PHM, le taux dedéfaillance dépend du temps mais également de covariables nzzzZ ,,, 21 relatives à l’environnement c’est-à-dire Zt, . Plus précisément, on faitl’hypothèse que le taux de défaillance est égal au produit d’un taux de défaillance deréférence tref , qui ne dépend pas des covariables, et d’une fonction de risque Zg , fonction uniquement des covariables Z . Dans un formalisme mathématique,

nous avons :

tZgtZt ref , [ 11 ]

Par conséquent, la loi de fiabilité sera calculée par la relation suivante :

tZgref tRZtR , [ 12 ]

Généralement, la fonction de risque est de la forme exponentielle :

tWZtZg exp [ 13 ]

avec W un vecteur nwww ,,, 21 de pondérateurs associés à chaque covariable

iz .

Pour cette étude, nous ne retiendrons que l’expression générale des équations[ 12 ] et [ 13 ].


4. Modèles de fiabilité pour les systèmes complexes

Intéressons-nous à la fiabilité des systèmes complexes. La théorie des testsaccélérés nous a montré comment évaluer une fonction de fiabilité en fonction duniveau de sollicitations. Existe-t-il un modèle global qui puisse modéliser la fiabilitéd’un système complexe combinant plusieurs fonctions de fiabilité en fonction dessollicitations auxquelles il est soumis? Pour répondre à cette question, nousconsidérerons un système série et un système parallèle de composants identiques eten identifierons les lois de fiabilité.

4.1. Système série

Considérons un système série à n blocs caractérisés par une même loi deréférence mais subissant différents niveaux de sollicitations, c’est-à-dire présentantdes facteurs d’accélération différents. Dans le cas où la loi de référence est une loi deWeibull, la loi de fiabilité du système a pour expression :

n

i iF

i

An

i F

t

A

ttR

1

1

exp/

exp

[ 14 ]

Nous remarquons que la loi de fiabilité a la forme du modèle à risquesproportionnels de Cox : gref tRtR . La différence majeure avec le PHM est quela fonction de risque dépend de la loi de référence par le biais du paramètre . Deplus, l’expression de la fonction de risque g(AF)=i(AFi)

n’est pas du typeexponentiel comme définie dans le modèle de Cox [ 13 ].

4.2. Système parallèle

Considérons un système constitué de deux composants en parallèle et quiprésentent une même loi de fiabilité de référence. Dans ce cas, la loi de fiabilité dusystème aura pour expression :

21

21

exp

/exp

/exp

FF AA

FF

t

A

t

A

ttR

[ 15 ]


Contrairement au système série du paragraphe précédent, l’expression de la loi defiabilité n’est plus équivalente au modèle à risques proportionnels.

5. Synthèse de la loi de fiabilité en fonction de la charge

Il est évident que la loi de fiabilité d’un système va dépendre de l’historique dessollicitations qu’il a subies. La théorie des tests accélérés nous permet de ramener laloi de fiabilité sous contraintes à la loi de référence par la relation : Fsref Att . Ens’inspirant de la loi de Weibull, nous pouvons établir une relation plus générale entre

reft et st :

Fsref Att [ 16 ]

avec un paramètre « historique ». En effet, supposons qu’à l’instant *tts il y aitun changement de contrainte. Affectons l’indice 1i à l’état du système avant lechangement de charge et l’indice i après (figure 1). A l’instant *t du changement,nous pouvons écrire :

ii FiiFii AtRAtR

*

1*

1 1[ 17 ]

Ce qui implique :

ii FiFi AtAt

*

1*

1[ 18 ]

Par conséquent, nous avons :

i

i

i

i

F

Fi

F

Fi A

A

A

At 11

1* 1

[ 19 ]

Cette relation de récurrence, nous montre que tout l’historique va être condensédans les paramètres i . Ce qui implique qu’à chaque changement de charge, ilsuffira de calculer et de garder en mémoire la nouvelle valeur du paramètre i .


Figure 1. Evolution de la charge P et du facteur d’accélération AF en fonction dutemps

6. Librairie MATLAB de calcul de fiabilité : Reliabilitix

Reliabilitix (figure 2) est une librairie MATLAB utilisée pour calculer la fiabilitéde systèmes complexes, c’est-à-dire des systèmes dont la description fonctionnellepeut être traduite par un schéma-blocs qui associe, en série ou en parallèle, descomposants (ou des modes de défaillance) pour lesquels la loi de fiabilité doit êtreconnue a priori. La figure 3 nous montre le schéma simplifié d’un arbre monté surdeux paliers ainsi que le schéma-blocs associé. Pour l’heure, Reliabilitix contientdeux types de composants dont les caractéristiques sont spécifiées dans un fichiertexte. Le premier est un composant générique caractérisé par un nom ou unidentificateur et une loi de fiabilité. Au niveau de ce composant, d’autres paramètrespeuvent être intégrés dans le calcul de la fiabilité ; citons le temps de travail que lecomposant a déjà accompli, un contrôle de bon état de marche avant la nouvellemission du système et son remplacement par un composant identique en cas dedéfaillance qui lui-même est soumis à une loi de défaillance en stock.


Figure 2. Reliabilitix

Figure 3. Arbre sur deux roulements etschéma-blocs associé

Le deuxième composant, modélisant la loi de puissance inverse, est caractérisépar un nom ou identificateur, une loi de référence, une charge de référence, la valeurde l’exposant b et l’historique des charges en fonction du temps.

L’algorithme implémenté dans cette libraire pour l’analyse du schéma-blocs estissu de la théorie des graphes ; il s’agit de la méthode de « composition latine » etpermet de générer de manière numérique la fonction de fiabilité résultante dusystème (Kaufmann et al, 1975). Cette méthode associe au schéma-blocs un réseaude fiabilité dont on recherche les liens minima. Les liens du système sont obtenus parle biais d’un calcul matriciel spécifique faisant appel aux matrices « latines ».Ensuite, on génère la fonction de fiabilité sur base des liens trouvés.

7. Applications

7.1. Fiabilité d’un composant soumis à une charge variable

Considérons un système à un composant dont la loi de fiabilité est la loi deWeibull, loi dont l’expression en fonction du facteur d’accélération est :

FA

ttR

/exp [ 20 ]

avec le paramètre de forme, le paramètre d’échelle et le décalage à l’origine.Nous remarquons que le facteur de forme est indépendant de la valeur ducoefficient d’accélération ; seul le paramètre d’échelle va varier FA/ .


Figure 4. Fiabilité en fonction de l’odred’application des charges

Figure 5. Fiabilité d’un système complexe

Connaissant la loi de fiabilité en fonction du facteur d’accélération, nous pouvonsla calculer pour différentes valeurs du coefficient d’accélération et étudier soncomportement. A des fins d’illustration, considérons le cas des roulements dontl’expression de la longévité en fonction de la charge reprise est la suivante :

n

P

CaaaN

321 [ 21 ]

avec 3n pour les roulements à billes et 3/10n pour les roulements à rouleauxet butées à aiguilles ; 1a est le facteur de correction de fiabilité ; 2a est le facteur decorrection de matière ; 3a est le facteur de correction de lubrification ; C est lacharge dynamique de base ; P est la charge reprise par le roulement.

Sachant que 1a est commun à tous les roulements et en considérant 132 aa , decette équation, nous pouvons déduire l’expression du facteur d’accélération d’unroulement :

n

ss

refrefF PC

PCA

/

/[ 22 ]

A partir des valeurs de fiabilité en fonction du paramètre 1a fournies dans lescatalogues, on peut montrer que la loi de fiabilité des roulements est une loi deWeibull. Le paramètre de forme étant indépendant du facteur d’accélération, ilest constant et unique pour tout type de roulement et vaut 1,5. Pour déterminer lavaleur du paramètre , nous devons faire choix d’un roulement de référence etd’une charge de référence ; nous corrigerons par le facteur d’accélération FA .Choisissons comme roulement de référence, le roulement caractérisé par 3n ,


132 aa et 55,4 refCC kN et prenons comme charge de référence CPref ,alors 470,4 Mc.

L’évolution temporelle de la fiabilité dépend de l’ordre d’application des charges.In fine, la fiabilité converge vers une même valeur conformément à l’hypothèsed’indépendance de l’ordre d’application des charges dans la détermination del’endommagement. Pour illustration, considérons les cas de charge du tableau ci-dessous et appliqués à notre roulement de référence.

Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3

N (MCycles) P (kN) P (kN) P (kN)

0-5 1 0 2,5 0 1 0

5-10 1,5 3,52 2,0 -4,76 2,5 4,68

10-15 2,0 7,27 1,5 -25 1,5 -14,63

15-20 2,5 11,04 1 -120 2,0 2,5

Nous obtenons la loi de fiabilité représentée à la figure 4. Nous remarquons que lafiabilité à 20t MCycles a la même valeur quel que soit l’ordre d’application descharges, conformément à la théorie du cumul du dommage. Nous remarquonségalement que l’évolution du paramètre est totalement différente entre les cas n°1,n°2 et n°3.

7.2. Fiabilité d’un système complexe

Considérons le système de l’arbre sur deux paliers représenté à la figure 3. Nousfaisons l’hypothèse que la durée de vie de l’arbre est très grande par rapport auxroulements et nous considérons que sa fiabilité est unitaire. La charge dynamique duroulement 1 vaut 29 kN et celle du roulement 2 vaut 14 kN. Considérons les cyclesde charge suivants :

N (cycles) 1P (kN) 2P (kN)

0-2000 0,225 0,121

2000-10000 3,5 1,88

10000-15000 5,35 2,88

15000-17000 0,225 0,121

17000-25000 3,5 1,88


Reliabilitix nous permet de déduire les lois de fiabilité représentées à la figure 5.Cette figure nous permet de comparer l’évolution de la fiabilité de chaquecomposant entre eux et par rapport au système. Nous remarquons que le roulement 2est plus faible du point de vue de la fiabilité que le roulement 1 et cela bien qu’ilreprenne une charge plus faible. Une voie d’amélioration pour cet exemple serait defaire choix d’un roulement 2 plus robuste.

8. Conclusion

L’objet de cet article est la détermination de la fiabilité des systèmes complexessoumis à des sollicitations variables. La théorie des tests accélérés permet, dans unpremier temps, de déterminer la fiabilité des composants du système par le biais dufacteur d’accélération AF. Ce paramètre va dépendre de la charge et du mode dedéfaillance. Dans cet article, nous nous sommes intéressés au modèle puissanceinverse classiquement utilisé pour modéliser le phénomène de fatigue.

Dans un second temps, nous avons cherché à établir les expressions des modèlesde fiabilité pour des systèmes complexes à partir des lois de fiabilité de sescomposants. Pour ce faire, nous avons considéré un système série et un systèmeparallèle dont les composants ont une même loi de référence. En ce qui concerne lesystème série, la loi résultante a la forme du modèle à risques proportionnels de Cox(PHM) aux différences que (1) la fonction de risque dépend de la fonction deréférence et que (2) l’expression n’est pas exponentielle. Quant au système parallèle,le modèle n’est plus du type PHM.

Troisièmement, nous avons montré comment tenir compte de l’historique descharges dans le calcul de la loi de fiabilité. Nous avons défini un paramètre« historique » dans lequel est condensée toute l’histoire du système. Cetteméthode nous permet de suivre l’évolution de la fiabilité lorsque la charge varie enfonction du temps. Cette méthode a été implémentée dans une librairie MATLABReliabilitix qui nous a permis d’illustrer nos propos sur base de deux exemples.

La modélisation proposée présente néanmoins certaines limitations. En effet, lescharges sur les composants d’un système complexe ne sont pas indépendantes lesunes des autres. En fonction des incidents, les sollicitations agissant sur lescomposants d’un système vont se redistribuer. Une voie pour résoudre ce problèmeserait de munir Reliabilitix d’un module de répartition des charges internes ausystème en fonction des circonstances.

9. Remerciements

Cette recherche est soutenue par le Ministère de la Région Wallonne, DGTRE,sous les contrats 215206 (FUCaM) et 215362 (FPMs).


10. Bibliographie

Ang A.H.-S, Cheung M.C., Shugar T.A , Fernie J.D., « Reliability-based fatigue analysis anddesign of floating structures », Marine Structures, vol. 14, 2001, p. 25-36.

Ansell J.I., « Practical aspects of modelling of repairable systems data using proportionalhazards models », Reliability Engineering and System Safety, vol. 58, 1997, p. 165-171.

Harlow D.G., Wei R.P., « Probabilistic aspects of aging of airframe materials : DamageVersus Detection », The Third Pacific Rim International Conference on AdvancedMaterials and Processing, 1998.

Harlow D. Gary, Wei Robert P., « A critical comparison between mechanistically basedprobability and statistically based modeling for materials aging », Materials Science andEngineering, vol. A323, 2002, p. 278-284.

Jardine A. K. S., Banjevic D., Wiseman M., Buck S., Joseph T., « Optimizing a minehaultruck wheel motors’ condition monitoring program. Use of proportional hazardsmodeling », Journal of Quality in Maintenance Engineering, vol. 7, 2001, p. 286-301.

Jóźwiak Ireneusz J., « An introduction to the studies of reliability of systems using theWeibull proportional hazards model », Micoreletronic Reliability, vol. 37, 1997, p. 915-918.

Kaufmann A., Grouchko D., Cruon R., Modèles mathématiques pour l’étude de la fiabilitédes systèmes, Masson, 1975.

Mao Hongyin, Mahadevan Sankaran, « Reliability analysis of creep-fatigue failure »,International Journal of Fatigue, vol. 22, 2000, p. 789-797.

Mazzuchi Thomas A, « The Proportional Hazards Model in Reliability », IEEE Proceedingsannual Reliability and Maintainability Symposium, 1989.

Nelson Wayne , Accelerated testing - Statistical Models, Test Plans, and Data Analysis,Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics,1990.

Pham Hoang , Handbook of Reliability Engineering, Londres, Springer, 2003.

Sheik A. K., Ahmed M., Badar M. A., « Fatigue life prediction of assemblies of rotatingparts », International Journal of Fatigue, vol. 17, 1995, p.35-41.

Shi P., Mahadevan S., « Corrosion fatigue and multiple site damage reliability analysis »,International Journal of Fatigue,vol. 25, 2003, p. 457-469.

Tebbi Ouahiba, Guérin Fabrice, Dumon Bernard, « Statistical analysis of acceleratedexperiments in mechanics using a mechanical accelerated life model », IEEE Proceedingsannual Reliability and Maintainability Symposium, 2003, p. 124-131.

Tovo R., « On the fatigue reliability evaluation of structural components under serviceloading », International Journal of Fatigue, vol. 23, 2001, p. 587-598.

Wei R. P., « Life Prediction : A Case for Multidisciplinary Research », Fatigue and FractureMechanics, vol. 27, 1997, p. 3-24.

matlab

Documents