maths méthodes et astuces en terminale...

I. TEMBINE

MathsMéthodes et astuces

en terminale S

Toutes les méthodes et astuces à connaître pour résoudre les exercices.

Table des matières

1. ALGORITHMES............................................................15A) LES PRINCIPAUX ALGORITHMES À SAVOIR CONSTRUIRE ET MANIPULER.........................................................................................................15

1. Comment écrire un algorithme qui calcule un terme un

d'une suite numérique définie par récurrence ?..............................152. Comment écrire un algorithme qui génère les N premiers termes d'une suite numérique définie par récurrence ?..............................153. Comment écrire un algorithme qui détermine le plus petit entier n tel que un > c ?...............................................164. Comment écrire un algorithme qui détermine un encadrement à p près de la solution d'une équation f ( x)= 0 sur un intervalle [a;b] (méthode de dichotomie) ?..............................................................175. Comment écrire un algorithme qui détermine par la méthode des rectangles un encadrement de l'intégrale d'une fonction monotone positive f donnée ?.........................................................18

B) QUELQUES EXEMPLES DE QUESTIONS POSÉES SUR LES ALGORITHMES DANS UN SUJET DE BAC ?.................................19

2. LES SUITES NUMÉRIQUES........................................21A) GÉNÉRALITÉ SUR LES SUITES : calcul de termes, représentation graphique, sens de variations............................................................................................21

1. Comment calculer un terme uk d'une suite u, k∈ℕ ?.....................212. Comment déterminer le sens de variation d'une suite ?..................233. Comment représenter les termes d'une suite de la formeun + 1 = f (un)

sur l'axe des abscisses ?..................................................................30B) SUITES ARITHMÉTIQUES..............................................................................31

4. Comment montrer qu'une suite u est arithmétique ?.......................315. Comment montrer qu'une suite u n'est pas arithmétique ?..............326. Comment exprimer le terme un en fonction de n après avoir montré que la suite u est arithmétique ?.....................................................337. Comment compter le nombre de termes dans une somme de termes consécutifs d'une suite ?.................................................................348. Comment calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique?.....................................................................................35

C) SUITES GÉOMÉTRIQUES..............................................................................359. Comment montrer qu'une suite u est géométrique ?.......................3510. Comment montrer qu'une suite u n'est pas géométrique ?............3711. Comment exprimer un en fonction de n après avoir montré que la suite est géométrique ?......................................................3813. Comment calculer une somme de termes consécutifs d'une

suite géométrique ?......................................................................4014. Comment traiter les exercices sur les pourcentages successifs (capital, intérêt composé, évolution de population, probabilité ...) ?. .42

D) DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE.......................................................4315. Comment démontrer par récurrence qu'une proposition donnée est vraie ?................................................................................................43

E) LIMITES DE SUITES.......................................................................................4716. Comment calculer la limite d'une suite ?......................................4717. Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?...........................................................................................................5118. Comment montrer qu'une suite converge ou comment étudier la convergence d'une suite ?.........................................................5519. Comment faire une conjecture ou comment conjecturer ?...........5820. Comment montrer qu'une suite est constante ?.............................59

21. Comment comprendre et bien utiliser la notation ∑k =0

n

f ( k ) ?........60

3. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS.................63A) ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION...........................................63

1. Comment déterminer l'ensemble de définition Df d'une fonction ?...........................................................................................................63

B) PARITÉ ET PÉRIODICITÉ D'UNE FONCTION...............................................652. Comment montrer qu'une fonction f est paire ?..............................653. Comment montrer qu'une fonction f est impaire ?.........................654. Comment étudier la parité d'une fonction f ?.................................665. Comment montrer qu'une fonction f est périodique de période p ? 666. Comment interpréter graphiquement la parité d'une fonction f ?. . .677. Comment interpréter graphiquement la périodicité d'une fonction f ?...........................................................................................................678. Comment montrer qu'un point A(a;b) est centre de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ?.............................689. Comment montrer qu'une droite d'équation x = a est axe de symétrie de la courbe représentative d'une fonction f ?................................70

C) INTERSECTION DE Cf ET LES AXES D'UN REPÈRE...................................7110. Comment déterminer les coordonnées du ou des points d'intersection de Cf et l'axe des abscisses ?...................................7111. Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf et l'axe des ordonnées ?.......................................................72

4. LIMITES ET ASYMPTOTES.....................................73A) CALCUL DE LIMITES......................................................................................73

1. Comment retenir les limites des fonctions de référence ?..............732. Comment lire graphiquement lim

x→ af (x) ?.......................................74

3. Comment calculer une limite, limx→ a

f (x) , avec a un réel ou ±∞ ?. 74

B) DROITES ASYMPTOTES................................................................................884. Comment interpréter graphiquement une limite ?..........................885. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote verticale ?....................................................896. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote horizontale ?................................................907. Comment montrer que la courbe représentative d'une fonction f admet une asymptote oblique ?......................................................928. Comment étudier la position relative de Cf et d'une droite (D) qui lui est asymptote ?....................................................................93

5. CONTINUITÉ ET THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES.....................................................95

A) CONTINUITÉ DE FONCTION..........................................................................951. Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a ?∈ ℝ...........................................................................................................952. Comment montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle I ?...........................................................................................................97

B) APPLICATION DE LA CONTINIUITÉ : le théorème des valeurs intermédiaires..............................................................................................................................98

3. Comment montrer que l'équation f ( x)= k admet au moins une solution sur un intervalle [a;b] ?..................................................................984. Comment montrer que l'équation f ( x)= k admet une unique solution sur un intervalle [a;b] ?..................................................................995. Comment déterminer une valeur approchée ou un encadrement de la solution ?..........................................................................1016. Comment déduire le signe d'une fonction g sur un intervalle I après avoir montré que l'équation g( x)= 0 y admet une unique solution ? 1017. Comment montrer que g( x)⩾0 ou g( x)⩽0 sur I = [α ; + ∞[ , où est l'unique solution de l'équation g( x)= 0 sur un intervalle J contenant I ?.....................................................................................103

6. DÉRIVATION..............................................................105A) DÉRIVABILTÉ................................................................................................105

1. Comment montrer qu'une fonction f est dérivable en a ∈ ℝ ?.....1052. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f en a ?∈ ℝ ........1063. Comment étudier la dérivabilité d'une fonction f sur un intervalle I donné ?.............................................................................................1074. Comment interpréter graphiquement le résultat suivant :

limh→ 0

f (a + h)− f (a)h

=± ∞ ou quelle conséquence graphique ce résultat

a-t-il pour Cf ?.............................................................................1085. Comment interpréter graphiquement les résultats suivants :

limh→ 0h>0

f (a+h)− f (a)h

=α et ∈ ℝ limh→ 0h<0

f (a+h)− f (a)h

= β , avec ∈ ℝ α≠β

ou quelle conséquence graphique ces résultats ont-ils pour Cf ?......108B) CALCUL DE DÉRIVÉES................................................................................109

6. Comment calculer f ' (a) , où a ?∈ ℝ ...........................................1097. Comment lire graphiquement f '(a) ?............................................1098. Comment interpréter graphiquement f '(a) ?.................................1109. Comment déterminer, parmi des courbes données, celle de f ' à partir de la courbe de f ?.........................................................11010. Comment justifier que f est dérivable sur un intervalle I avant de calculer f ' ( x) ?.........................................................................11211. Comment calculer f ' ( x) ?.........................................................11212. Comment calculer f ' ' , la dérivée seconde de f ?..................11713. Comment calculer la dérivée d'une fonction définie à l'aide de la valeur absolue ?.................................................................117

C) ÉTUDE DE FONCTIONS...............................................................................11814. Comment étudier le signe d'une dérivée ?..................................11815. Comment déterminer (ou étudier) le sens de variation d'une fonction f définie sur un intervalle I ?.........................................................12716. Comment montrer qu'une fonction f est encadrée par deux autres sur un intervalle donné (soit g( x)⩽ f ( x)⩽h( x) sur I) ?...............13017. Comment montrer qu'une fonction f est constante sur un intervalle I ?.....................................................................................................131

D) DROITES TANGENTES À UNE COURBE....................................................13218. Comment déterminer une équation de la droite tangente à Cf au point d'abscisse a ?................................................................13219. Comment étudier la position relative d'une courbe Cf par rapport à une tangente T d'équation y = mx + p ?...................................13220. Comment montrer qu'il existe une ou des tangentes à Cf passant par un point du plan ?.................................................................13321. Comment montrer qu'il existe une ou des droites tangentes à Cf parallèles à une droite (D) donnée d'équation y = mx + p ?.......135

7. FONCTIONS SINUS ET COSINUS.........................137A) QUELQUES RÉSULTATS DE TRIGONOMÉTRIE UTILES EN EXERCICE..137B) COMPÉTENCES À MAÎTRISER EN TRIGONOMÉTRIE..............................138

1. Comment montrer qu'une fonction trigonométrique f est paire ou impaire ?..........................................................................................1382. Comment montrer qu'une fonction trigonométrique f est périodique de période p ?...............................................................................139

3. Comment montrer que l'on peut ramener l'étude d'une fonction trigonométrique à l'intervalle [0 ; π] ?.........................................1394. Comment étudier le signe de la dérivée d'une fonction trigonométrique pour déterminer son sens de variation ?.................140

8. FONCTIONS EXPONENTIELLES.........................143A) CALCUL SUR LES EXPONENTIELLES........................................................143

1. Comment faire des calculs avec les exponentielles ?...................1432. Comment montrer une égalité de quotients contenant des exponentielles ?................................................................................144

B) ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS AVEC EXPONENTIELLE..........................1453. Comment résoudre une équation exponentielle ?.........................1454. Comment résoudre une inéquation exponentielle ?......................146

C) CALCULS DE LIMITES.................................................................................1475. Comment calculer les limites de fonction contenant des exponentielles ?................................................................................147

D) ÉTUDE DE FONCTIONS EXPONENTIELLES..............................................1516. Comment calculer des dérivées de fonctions contenant des exponentielles ?................................................................................1517. Comment étudier le signe de fonctions dérivées contenant des exponentielles ?.....................................................................152

9. FONCTIONS LOGARITHMES...............................155A) CALCULS SUR LES LOGARITHMES...........................................................155

1. Comment faire des calculs avec les logarithmes ?.......................1552. Comment déterminer le plus petit entier n tel que A n⩽B ou An

⩾B ?.......................................................................................................156

B) ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS AVEC DES LOGARITHMES.....................1573. Comment résoudre une équation avec logarithme ?.....................1574. Comment résoudre des inéquations logarithmiques ?..................160

C) CALCULS DE LIMITES.................................................................................1615. Comment calculer des limites de fonctions contenant ln ?...........161

D) ÉTUDE DE FONCTION.................................................................................1666. Comment calculer les dérivées de fonctions contenant ln ?.........1667. Comment étudier le signe de ?.....................................................167

10. LES PRIMITIVES....................................................1691. Comment montrer qu'une fonction f est une primitive d'une autre fonction g sur un intervalle I ?.....................................................1692. Comment montrer qu'une fonction admet une primitive sur I ?. . .1703. Comment déterminer une primitive d'une fonction f ?.................1704. Comment déterminer LES primitives d'une fonction f ?..............1785. Comment déterminer LA primitive F d'une fonction f, vérifiant la condition F (x0)= y0 ?..................................................................179

6. Comment, à partir de Cf, déterminer parmi des courbes données, celle de la primitive F de f ?.........................................................181

7. Comment calculer la dérivée de la fonction F : x ∫a

x

f (x )d x ,

définie sur un intervalle I tel que a I ?∈ ........................................182

11. INTÉGRATION........................................................183A) QUELQUES PROPRIÉTÉS UTILES EN EXERCICE....................................183B) CALCUL D'INTÉGRALES..............................................................................183

1. Comment calculer l'intégrale ∫a

b

f (x )d x ?......................................183

2. Comment déterminer le signe d'une intégrale ?............................1853. Comment déterminer un encadrement d'une intégrale ?...............1874. Comment traiter les exercices où interviennent intégrales et suites ?.........................................................................................................1905. Comment calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a;b] ?...........................................................................192

6. Comment calculer ∫a

b

f (x )d x à l'aide d'une "intégration par partie" ?

.........................................................................................................193C) INTÉGRALES ET CALCULS D'AIRES..........................................................195

7. Comment calculer l'aire a du domaine du plan délimité par Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x =α et x = β ?.....195

8. Comment interpréter graphiquement l'intégrale ∫a

b

f (x )d x ?........197

9. Comment interpréter graphiquement l'intégrale ∫a

b

( f ( x)− g (x))d x ?

.........................................................................................................19710. Comment donner la valeur d'une aire en m2 , cm2 … ?..............19811. Comment calculer l'aire a de la surface entre deux courbes Cf et Cg

délimitée par les droites d'équations x =α et x = β ?...............199

12. LES NOMBRES COMPLEXES..............................201

A) CALCULER AVEC LES NOMBRES COMPLEXES.......................................2011. Comment faire des calculs avec les nombres complexes ?...........2012. Comment déterminer la forme algébrique d'un complexe écrit comme quotient de deux autres ?..............................................................202

B) NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS..................................................2043. Comment résoudre une équation complexe contenant un ou deux quotients ?..........................................................................2044. Comment résoudre une équation complexe contenant z et (z ) ?. 2055. Comment résoudre une équation complexe du second degré à coefficients réels ?........................................................................206

6. Comment déterminer des réels a, b et c tels quep(z )= (z − z ' )(az 2

+ bz + c) , P étant un polynôme donné ?.................207C) MODULES ET ARGUMENTS........................................................................209

7. Comment déterminer graphiquement le module d'un complexe zM

?......................................................................................................2098. Comment lire graphiquement un argument d'un complexe zM ?. 2109. Comment déterminer le module d'un complexe donné sous sa forme algébrique z = a + ib ?.................................................................21010. Comment déterminer un argument d'un complexe donné sous sa forme algébrique z = a + ib ?..........................................21111. Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que |...|=k ou plus généralement |...|=|...| ?....................................................21412. Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels que arg( z − zA) = θ? ...........................................................................215

D) FORMES ALGÉBRIQUE, TRIGONOMÉTRIQUE ET EXPONENTIELLE D'UN COMPLEXE........................................................................................................216

13. Comment passer de la forme algébrique z = a + ib d'un complexe àsa forme trigonométrique ou exponentielle ?............................................21614. Comment passer de la forme trigonométrique z = r (cosθ + isin θ) ou exponentielle z = r eiθ à la forme algébrique z = a + ib ?............21715. Comment déterminer le module d'un complexe donné sous la forme R e iθ , avec R ∈ ℂ..............................................................21716. Comment déterminer un argument d'un complexe donné sous la forme R e iθ , avec R ?∈ℂ ................................................218

E) APPLICATION DES COMPLEXES À LA GÉOMÉTRIE.................................21917. Comment placer dans un repère orthonormé un point dont on connaît l'affixe ?............................................................21918. Comment calculer l'affixe zM⃗N d'un vecteur M⃗N ......................21919. Comment calculer l'affixe zI du milieu I d'un segment [AB] ?. 22020. Comment montrer qu'un point M(z) appartient à un cercle C de centre A ( zA) et de rayon r ?........................................................22021. Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un réel ?..........................................22122. Comment déterminer l'ensemble des points M(z) tels qu'un complexe Z donné en fonction de z soit un imaginaire pur ?.........................22223. Comment déterminer la mesure d'un angle orienté ( u⃗ ; A⃗B)? ou(⃗AM ; B⃗N ) ?.....................................................................................224

24. Comment calculer la distance AB ?............................................226

25. Comment interpréter géométriquement ∣z A − zB

z C − z D∣ ?....................227

26. Comment interpréter géométriquement arg( z A − zB

z C − z D) ?..............227

27. Comment déterminer le ou les points invariants d'une application f donnée ?...................................................................................22728. Comment calculer l'affixe de l'image d'un point A d'affixe zA

par une application f ?................................................................22829. Comment montrer que l'image, par une application donnée, d'un point pris sur un cercle appartient à un autre cercle ? (Plus généralement, comment déterminer l'image d'un cercle par une application donnée ?)..........................................................................................22930. Comment montrer que 3 points A, B et C sont alignés ?............23031. Comment montrer qu'un triangle est isocèle en F ?....................23032. Comment montrer qu'un triangle est équilatéral ?......................23133. Comment montrer qu'un triangle IJK est rectangle en J ?..........23134. Comment montrer que deux vecteurs u⃗( z) et v⃗ ( z ' ) sont colinéaires ?.....................................................................................23235. Comment montrer que deux vecteurs u⃗( z) et v⃗ ( z ' ) sont orthogonaux ?..................................................................................23236. Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un parallélogramme ?............................................................................23337. Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un losange ?....23338. Comment montrer qu'un quadrilatère DEFG est un carré ?........234

13. PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE............235A) LE PRODUIT SCALAIRE...............................................................................235

1. Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?.............2352. Comment montrer que deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont orthogonaux ?.........................................................................................................239

B) APPLICATION DU PRODUIT SCALAIRE: équation cartésienne d'un plan - vecteur normal à un plan....................................................................................240

3. Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan p ?......2404. Comment montrer qu'un vecteur u⃗ est normal à un plan p ?......2415. Comment déterminer un vecteur normal à un plan p d'équation ?.........................................................................................................2426. Comment montrer qu'un point A ( xA ; yA ; z A) appartient à un plan p d'équation ax + by + cz + d = 0 ?...................................2437. Comment obtenir un point d'un plan p d'équation connue ?........2438. Comment vérifier si trois points A, B et C définissent un plan ?. .2449. Comment déterminer un vecteur normal au plan (ABC) défini par les points A, B et C ?....................................................24510. Comment calculer la distance AB dans un repère orthonormal ?.........................................................................................................24611. Comment montrer que 4 points A, B, C, D sont coplanaires ?. . .247

12. Comment montrer qu'un point D appartient à un plan (ABC) ?. 24813. Comment montrer que deux plans dont on connaît des équations sont parallèles ?..........................................................................24814. Comment montrer que deux plans dont on connaît des équations sont perpendiculaires ?...............................................................24815. Comment déterminer l'intersection de deux plans dont on connaît des équations ?...........................................................................24916. Comment déterminer l'intersection de 3 plans dont on connaît des équations ?...........................................................................25017. Comment lire les coordonnées d'un point dans l'espace muni d'un repère (O ; i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ) ?........................................................25418. Comment calculer le volume d'un tétraèdre ?.............................25519. Comment montrer qu'un point A appartient au plan médiateur d'un segment [B;C] ?..................................................................25520. Comment faire la différence entre "orthogonal" et "perpendiculaire" ?...........................................................................255

14. DROITES, PLANS ET VECTEURS DE L'ESPACE...........................................................................................257

A) VECTEURS ET REPÉRAGE DANS L'ESPACE............................................2571. Comment lire les coordonnées d'un point dans l'espace muni d'un repère (O ; i⃗ ; j⃗ ; k⃗ ) ?...........................................................2572. Comment calculer les coordonnées d'un vecteur A⃗B dans un repère de l'espace ?.......................................................................2583. Comment calculer les coordonnées du milieu I d'un segment [AB] ?.........................................................................................................2584. Comment déterminer les coordonnées du centre de gravité d'un triangle ABC ?......................................................................2585. Comment montrer que deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires ?. 2596. Comment montrer que trois points M, N et P sont alignés ?........2597. Comment montrer que trois vecteurs u⃗ , v⃗ et w⃗ sont coplanaires ?.........................................................................................................2598. Comment montrer que quatre points M, N, P et Q sont coplanaires ?.........................................................................................................260

B) REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE D'UNE DROITE DANS L'ESPACE..2609. Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite dans l'espace ?..........................................................26010. Comment montrer qu'un point A appartient à une droite d dont on connaît une représentation paramétrique ?.................................26311. Comment déterminer un vecteur directeur d'une droite de représentation paramétrique connue ?...............................................................26412. Comment trouver un point d'une droite dont on connaît une représentation

paramétrique ?............................................................................265C) POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET DE PLANS................................265

13. Comment déterminer l'intersection d'une droite et d'un plan à partir de leurs équations?.........................................................26514. Comment montrer qu'une droite d est parallèle à un plan p ?....26715. Comment montrer qu'une droite d est perpendiculaire à un plan ?.........................................................................................................26716. Comment déterminer l'intersection de deux droites ?.................26817. Comment montrer que deux droites sont parallèles dans l'espace ?.........................................................................................................27018. Comment montrer que deux droites sont orthogonales dans l'espace ?..........................................................................................27119. Comment montrer que deux plans sont perpendiculaires ?........27120. Comment montrer que deux plans sont parallèles ?...................271

15. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES..............273A) BASES DES PROBABILITÉS........................................................................273Rappel de propriétés utiles en exercice :............................................................273

1. Comment calculer des probabilités quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (événements élémentaires équiprobables) ?...............................................................................2732. Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X (discrète)?..................................................................2743. Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X ?. 2754. Comment calculer la variance V(X) et l'écart type d'une variable aléatoire ?..............................................................275

B) PROBABILITÉS CONDITIONNELLES..........................................................2765. Comment déterminer pB(A) ?.....................................................2766. Comment déterminer p(A∩B) ?.................................................2787. Comment déterminer p(A) ? .....................................................2808. Comment savoir s'il faut utiliser un arbre ?..................................2839. Comment savoir s'il faut utiliser un tableau ?...............................28310. Comment traiter les sujets contenant probabilités et suites ?......284

C) INDÉPENDANCE..........................................................................................28711. Comment montrer que deux événements A et B sont indépendants ?..................................................................................28712. Comment utiliser l'indépendance de deux événements ?............289

16. LOIS BINOMIALE, EXPONENTIELLE ET UNIFORME....................................................................291

A) LA LOI BINOMIALE (Rappel de 1ère)............................................................2911. Comment montrer qu'une variable aléatoire X suit une loi binomiale?.......................................................................................................2912. Comment savoir qu'il faut utiliser une variable aléatoire

qui suit une loi binomiale ?..........................................................2923. Comment calculer p(X = k ) lorsque X suit une loi binomiale de paramètres n et p ?.......................................................................2924. Comment calculer la probabilité d'obtenir au moins un "succès" ?.........................................................................................................2935. Comment calculer p(X⩾k ) ?.......................................................2936. Comment calculer l'espérance E (X) d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p ?......................................2947. Comment calculer la variance V(X) et l'écart-type d'une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres n et p ?.......295

B) LES LOIS CONTINUES.................................................................................2958. Comment montrer qu'une fonction f, définie sur un intervalle[a ; b ] ,

est une densité de probabilité ?.....................................................2959. Comment calculer p(c⩽X⩽d ) lorsque la variable X a pour densité de probabilité une fonction f définie sur I ?......................................29610. Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire X qui a pour densité de probabilité une fonction f définie sur [a ; b] ?..........296

C) LA LOI EXPONENTIELLE.............................................................................29711. Comment calculer la probabilité qu'une variable aléatoire X, suivant la loi exponentielle de paramètre , soit comprise entre et ∈ℝ (c'est-à-dire p(α⩽X⩽β) ) ?...........................................29712. Comment calculer p(X⩽t) , p(X⩾t ) , avec t⩾0 ?.......................29713. Comment calculer la probabilité qu'un appareil qui n'est pas tombé en panne au bout de x années ne tombe pas en panne durant les h années suivantes, soit p(X⩾ x )(X⩾x + h) ? (On suppose que la durée de vie de l'appareil est modélisée par une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle).......................................................................29814. Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle ?...............................................................299

D) LA LOI UNIFORME........................................................................................30015. Comment calculer p(c⩽X⩽d ) lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a ; b ] ?.....................................................30016. Comment calculer p(X<c), p(X>c) et p(X=c) lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a ; b] ?............................30017. Comment calculer E(X), l'espérance de X, lorsqu'une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a;b] ?.................................................301

17. LOI NORMALE, ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION...........................................................303

A) LA LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE n (0 ; 1)........................................303

1. Comment calculer p(a⩽Z⩽b) lorsque la variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite n(0;1) ?................................................3032. Comment calculer p(Z = a) , p(Z⩽a) , p(Z⩾a) et p(∣Z∣⩽a) lorsque la variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite n (0;1) ?. 3043. Étant donné un réel p∈ ]0 ; 1[ , comment déterminer le réel x tel que p(Z⩽x) = p où Z est la variable aléatoire suivant la loi n(0;1) ?...........................................................................................306

B) LOI NORMALE n (μ ; σ 2) ....................................................................................307

4. Comment calculer p(a⩽Z⩽b) lorsque X suit une loi normale n (μ ; σ 2) ?......................................................................3075. Comment calculer p(Z = a) , p(Z⩽a) , p(Z⩾a) lorsque la variable aléatoire Z suit une loi normale n (μ ; σ 2) ?.....................................3086. Comment centrer et réduire une variable aléatoire X qui suit une loi normale n (μ ; σ 2) ? (ou comment passer de n(0;1) à n (μ ; σ 2)

?).....................................................................................................3097. Comment approcher une loi binomiale par une loi normale ?......3108. Comment déterminer l'un des deux paramètres ou d'une loi normale pour qu'une probabilité soit égale à une valeur donnée ?...........................................................................................311

C) ÉCHANTILLONNAGE ET PRISE DE DÉCISIONS........................................3139. Comment déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence d'un caractère dans un échantillon?.........................................................................................................31310. Comment utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique pour rejeter ou accepter l'hypothèse faite sur une proportion p ?.....................314

D) ESTIMATION DU PARAMETRE p D'UNE LOI BINOMIALE b(n ; p).............31511. Comment, à partir d'un échantillon, estimer une proportion inconnue p par un intervalle de confiance au niveau 0,95 ?............................31512. Comment déterminer la taille n d'un échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance à 95 % soit inférieure ou égale à c ?..................................................................................................315

Enseignement de Spécialité

18. ARITHMÉTIQUE....................................................317A) DIVISION EUCLIDIENNE / DIVISIBILITÉ DANS ℤ.......................................317

1. Comment déterminer le reste de la division euclidienne de a par b, où a et b∈ℤ ∈ℤ∗ ?.........................................................................3172. Comment montrer qu'un entier naturel r est le reste de la division euclidienne de a par b ?................................................................3193. Comment montrer que b divise a, avec a et b ? ∈ ℤ ∈ℤ∗ (ou que b est un diviseur de a ou encore que a est un multiple de b)

.........................................................................................................3204. Comment montrer que si d divise a et b alors d divise c ?............3225. Comment déterminer tous les diviseurs positifs d'un entier naturel a ?.....................................................................................................3236. Comment montrer qu'un entier relatif n est pair ou impair ?........324

B) NOMBRES PREMIERS / PGCD DE DEUX ENTIERS..................................3257. Comment vérifier qu'un nombre entier n est premier ?................3258. Comment décomposer un entier n en produit de facteurs premiers.........................................................................................................3269. Comment déterminer PGCD(a ; b) ?............................................32710. Comment montrer que deux nombres a et b sont premiers entre eux ?.................................................................................................33011. Comment montrer que PGCD(a ; b)= PGCD(m ; n) ?..................33312. Comment montrer qu'une équation diophantienne ax + by = c admet ou non des solutions dans ℤ2 (des couples d'entiers)?..........33413. Comment déterminer une solution particulière d'une équation diophantienne ax + by = c ?................................33514. Comment résoudre une équation diophantienne ax + by = c ?. . .338

C) CONGRUENCES...........................................................................................34215. Comment trouver b tel que a ≡b[n ] , a et n étant des entiers relatifs donnés ?.........................................................................34216. Comment montrer que a ≡b[n ] ?...............................................34417. Comment calculer an modulo b ? (ou comment trouver c tel que a ≡ c [ b ] ?).....................................................................34518. Comment utiliser les congruences pour déterminer le reste de la division euclidienne de a par b ?..............................................................34619. Comment déterminer, suivant les valeurs d'un entier n, le reste de la division euclidienne de an par b ?...........................................................34720. Comment montrer que b divise a en utilisant les congruences ? 34921. Comment résoudre une équation donnée avec la congruence ?..351

22. Comment résoudre un système d'équations de la forme {x ≡ b [n]x ≡ c[m ]

?

.........................................................................................................356D) ÉCRITURE EN BASE b / CHANGEMENT DE BASE....................................357

23. Comment écrire un entier naturel n en base b ?..........................35724. Comment passer d'une base b à une autre b' ?............................358

19. MATRICES ET SUITES..........................................359A) PROPRIÉTÉS UTILES EN EXERCICES :.....................................................359B) MATRICE ET SUITE......................................................................................359

1. Comment montrer que deux matrices sont égales ?......................3592. Comment faire des calculs sur les matrices à l'aide de la calculatrice?.......................................................................................................360

3.Comment additionner deux matrices de même ordre ?.................3614. Comment multiplier une matrice par un réel k ?..........................3625. Comment multiplier deux matrices carrées de même ordre ?.......3636. Comment montrer qu'une matrice carrée B est l'inverse d'une matrice carrée A ?...............................................................3647. Comment résoudre un système d'équations en utilisant les matrices ?.........................................................................................3658. Comment déterminer la puissance n-ième d'une matrice ?...........3669. Comment étudier une suite de matrices définie par U n + 1 = Au n ouU n + 1 = AUn + B , où n ?∈ℕ ...............................................................368

20. OUTILS POUR CALCULER PLUS EFFICACEMENT....................................................371

"En mathématiques, on ne comprend pas leschoses, on s'y habitue."

John Von Neumann, savant mathématicien.

" Les chercheurs se sont rendus compte quel'intelligence humaine dépend essentiellement

des connaissances. L'intelligence crée des connaissances, les

utilise, en génère de nouvelles ... "

Patrick Brézillon, chercheur au CNRS.

Salutmaths.com devenirbonenmaths.fr

Chapitre1 -

ALGORITHMES

A) LES PRINCIPAUX ALGORITHMES À SAVOIR CONSTRUIRE ET MANIPULER.

Compétence 1 ***Comment écrire un algorithme qui calcule un terme d'une suite numérique définie par récurrence ?

MéthodeVoir exemple.

ExempleSoit la suite u définie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ,un + 1 =− 7un + 4.

Écrire un algorithme qui permet de calculer un terme quelconque de la suite u.

Solution

Algorithme Commentaire

Variables : N est un entier ; U est un réel.Début Saisir N ; 1 U ;

Pour i variant de 1 à N -7U+4 U Fin PourAfficher U.

On nomme U et N deux espaces mémoires où desdonnées vont être stockées et utilisées.

On entre l'indice N du terme désiré (par ex. 10 pour u10 ).

L'espace mémoire U reçoit la valeur 1=u0 .

le contenu de U est écrasé N fois par de nouvellesvaleurs obtenues successivement en ajoutant 4 au produit de -7 par l'ancienne valeur. Arrêt après N itérations. La dernière valeur contenue dans l'espace mémoire U est affichée. C'est u N .

Compétence 2 ***Comment écrire un algorithme qui génère lesN premiers termes d'une suite numérique définie par récurrence ?

17


Chapitre2 -

LES SUITES NUMÉRIQUESRemarques :- Une suite u se note (un)n ∈ ℕ , (un) ou tout simplement u.- Ne pas confondre la suite (un) et son terme de rang n, un (ils sont comme f et f ( x) ).- À l'écrit, mettre suffisamment bas les indices pour ne pas confondre un + 1 et un + 1 .

A) GÉNÉRALITÉ SUR LES SUITES : calcul de termes, représentation graphique, sens de variations.

Compétence 1 ***Comment calculer un terme uk d'une suite u,

k∈ℕ ?

Méthode- Si la suite u est définie de façon explicite, soit un= f (n) , onremplace tous les indices n par k et on effectue les calculs.- Si u est définie par récurrence, soit u n+1= f (un) , on remplace n par k−1 pour obtenir uk .

Pourquoi ?Parce qu'une suite est une fonction qui ne transforme que des entiers naturelsen nombres réels. Ses termes peuvent donc se calculer comme les images par une fonction : on remplace les n par le nombre donné.

ExemplesSoit (un) , (vn) , wn et zn quatre suites définies, pour tout entier naturel

n, par : un =− 4n + 5 , vn =6n2

− 4n + 155 + n

,

w0 =− 2 et wn + 1 = 2 wn2− 7n − 4 ,

z0 = 1 , z1 = − 3 et zn + 2 = 2 zn + 1 + 3 z n − 5 .Calculer :a) u0 , u1 , uβ (β∈ ℕ) , un + 1 , un + 1 , un− 1 , un − 1 , un + 2 et un + 2 ; b) v0 , v1 , vα (α∈ ℕ) , vn + 1 , vn + 1, vn − 1 , vn − 1 ;c) w1 , w2 , wn et wn + 2 ;d) z2 , z3 et zn + 1 .

19


Solutionsa) un =− 4 n + 5 , n . On a :∈ℕu0 =− 4×0 + 5 = 5 ;u1 = − 4×1 + 5= 1 ; uβ =− 4×β + 5 ; un + 1 =− 4(n + 1) + 5 =− 4n − 4 + 5=− 4n + 1 (attention, pour faire apparaître

n+1, on ne met pas 1 à côté de n, mais on remplace n par (n + 1) comme on l'a fait avec ) ;un + 1 =(− 4n + 5) + 1=− 4n + 6 (ne pas confondre un + 1 et un + 1 : d'où la

précaution d'écrire les indices assez bas) ;un −1 =− 4 (n − 1) + 5=− 4 n + 4 + 5 =− 4n + 9 (on a remplacé n par

(n− 1) ) ;un − 1=( − 4n + 5)− 1 =− 4n + 4 ;un + 2 =− 4 (n + 2) + 5=− 4n − 3 ;un + 2 =− 4n + 5 + 2 =− 4 n + 7 .

b) v n =6n2 − 4n + 15

5 + n, n .∈ℕ

En remplaçant tous les n par 0 dans l'expression de v n , on obtient :

v0 =6×02 − 4×0 + 15

5 + 0=

155

= 3 .

En procédant de la même façon avec 1, on a :

v1 =6×12 − 4×1 + 15

5 + 1=

176

.

On remplace n par α ; ce qui donne :

vα =6×α2 − 4×α + 15

5 + α.

On a : v n + 1 =6 (n + 1)2 − 4(n + 1) + 15

5 + (n + 1) (mettre toujours (n+1) entre parenthèses).

=6n2 + 8n + 17

6 + n.

Mais v n + 1=6n2 − 4n + 15

5 + n+ 1= ... =

6n2 − 3n + 205 + n

.

De même : v n− 1 =6(n − 1)2 − 4 (n− 1) + 15

5 + (n − 1)

=6n2 − 16 n + 25

4 + n ;

alors que v n − 1 =6n2 − 4n + 15

5 + n− 1=…=

6 n2 − 5n + 105 + n

.

c) w0 = − 2 et wn + 1 = 2wn2 − 7 n− 4 , n .∈ ℕ

20


Pour obtenir w1 , on remplace n par 0 dans wn + 1 :

w0 + 1 = 2w02 − 7×0 − 4

w1 = 2×(− 2)2 − 4 w1 = 4 .Dans la formule wn + 1 = 2wn

2 − 7 n− 4 , on remplace tous les n par 1 pour obtenir :w2 = 2w1

2 − 7×1 − 4 = 2×(4)2 − 7 − 4 = 21 .

En remplaçant tous les n par (n− 1) dans wn + 1 = 2wn2 − 7 n− 4 , on a :

wn = 2wn− 12 − 7(n − 1)− 4 = 2 wn− 1

2 − 7 n + 3 .Pour un + 2 , on met (n + 1) à la place de tous les n ; ce qui donne :

wn + 2 = 2wn + 12 − 7(n + 1) − 4 = 2wn + 1

2 − 7n − 11 .

d) z 0 = 1 , z1 =− 3 et z n + 2 = 2 zn + 1 + 3 z n − 5 , n .∈ ℕEn substituant 0 à n dans z n + 2 = 2 z n + 1 + 3 z n − 5 , on a:z2 = 2 z1 + 3 z0 − 5 = 2×( − 3) + 3×1 − 5 =− 8 .

On procède de la même façon pour obtenir :z 3 = 2 z2 + 3z 1 − 5 = 2×(− 8) + 3×(− 3)− 5 =− 30 .

Pour trouver z n+ 1 , il suffit de remplacer tous les n par (n− 1) :z n + 1 = 2 zn + 3 zn − 1 − 5 .

Compétence 2 ***Comment déterminer le sens de variation d'une suite ?

Méthode 1 *** ("méthode de la différence", la plus utilisée)

- On calcule un+1−un pour tout entier n.- On détermine ensuite le signe du résultat obtenu (grâce aux

mêmes méthodes qui permettent d'étudier le signe d'une fonction dérivée).- Si un+1 – un≥0 , on conclut que la suite (un) est croissanteet si un+1– un≤0 , (un) est décroissante.

Pourquoi ?Définition du cours : une suite u est croissante ⇔ un+1⩾u n pour tout n . ∈ ℕOr cette inégalité est équivalente à un+1−un⩾0 ; d'où la méthode.De la même façon, u décroissante ⇔ u n+1⩽un pour tout n ∈ ℕ ⇔un+1−un⩽0 .

Ainsi, pour montrer qu'une suite est croissante (ou décroissante), il suffit de montrer que un+1−un⩾0 (ou un+1−un⩽0 ).

Exemple 1Déterminer le sens de variation de la suite u définie, pour tout n , par∈ ℕun=−3n2+5 .

21


SolutionDéterminons la valeur de un+1−un , puis son signe :

on a un+1−un=−3(n+1)2+5−(−3n2+5)

=−3n2−6n−3+5+3n2−5 =−6 n−3 .Comme n⩾0 , alors −6 n−3<0 .La suite u est donc décroissante.

Exemple 2Déterminer le sens de variation de la suite suivante :

un =5 n− 2n + 1

, n∈ ℕ .

SolutionPour déterminer le sens de variation de la suite (un) , étudions le signe deun+1−un .

Pour tout n , on a : ∈ℕ

un + 1 − un =5(n + 1) − 2(n + 1) + 1

−5 n− 2n + 1

=5n + 3n + 2

−5n − 2n + 1

=(5n + 3)(n + 1) − (5n− 2)(n + 2)

(n + 2)(n + 1)

=(5n2 + 8n + 3)− (5n2 + 8 n − 4)

(n + 2)(n + 1)

=7

(n + 2)(n + 1).

Comme n⩾0 , (n + 2) > 0 et (n + 1) > 0 ; donc (n + 2)(n + 1) > 0 . On en déduit que un+1−un>0 pour tout n . ∈ℕLa suite (un) est donc croissante.

Exemple 3

On considère la suite u définie par : {u0 = 2

un+ 1 =3un + 2

un + 4

, n ∈ .ℕ

On suppose que un⩾1 pour tout n .∈ ℕDéterminer le sens de variation de u.

SolutionSoit n . ∈ ℕ

On a un+1−un=3un+2

u n+4−u n

22


un+1 =3un+2

un+4−

un(un+4)

un+4

un+1 =−un

2−u n+2

un+4Comme un⩾1 , alors un+4⩾0 ; un+1−un est donc du signe du numérateur

−un2−un+2 , un trinôme du second degré qui a pour racines -2 et 1.

On en déduit son tableau de signe :

un −∞ -2 1 +∞

−un2−un+2 - 0 + 0 -

Par hypothèse, pour tout n ,∈ ℕ un⩾1 . On a donc −un2−un+2⩽0 pour tout n ∈

et donc ℕ un+1−un⩽0 .Ce qui permet de conclure que la suite u est décroissante.

Exemple 4Déterminer le sens de variation des suites définies par :

a) un = (34)

n

, n .∈ℕ

b) wn = 2,5n , n .∈ℕ

Solution

a) Pour n , ∈ℕ un + 1 − un = (34 )

n + 1

− (34)

n

= (34 )

n

×(34)

1

−(3/4)n

= (34 )

n

(34− 1) .

= (34 )

n

(− 14)<0 .

La suite u est donc décroissante.

b) Pour n∈ , on a ℕ wn + 1 − wn = 2,5n + 1 − 2,5n = 2,5n(2,5 − 1) = 2,5n(1,5) .

Comme 2,5n > 0 pour n et ∈ℕ 1,5 > 0 , on a wn + 1 − wn > 0 pour tout n . ∈ℕOn en déduit que la suite w est croissante.

Méthode 2 ***Si la suite est définie par récurrence, c'est-à-direun+1= f (un) , et que l'énoncé demande explicitement de

montrer que la suite u est croissante (ou décroissante), alors,

23


grâce à une démonstration par récurrence, on montre que l'on a un + 1⩾un (ou u n + 1⩽un ).Dans certains cas (f donnée sous forme de quotient), on exploite la croissance de f sur un intervalle contenant tous les un pour démontrer l'hypothèse de récurrence.

Pourquoi ?Définition du cours : la suite u est croissante ⇔ u n+1⩾un pour tout n .∈ ℕEt u décroissante ⇔ un+1⩽un pour tout n .∈ ℕ

Exemple 1Soit (un) la suite définie pour tout n⩾2 par un + 1 = 5 un − 2 et u1 =−3 . Montrer que la suite u est décroissante.

SolutionMontrer que la suite (un) est décroissante revient à montrer que la proposition " un + 1⩽un " est vraie pour tout entier n⩾1 .Démontrons cette proposition par récurrence :

a) Rédaction longue (pour mieux comprendre) :- Montrons que la proposition est vraie lorsque n = 1 , c'est-à-dire u2⩽u1 :on a u1=−3 et u2 = 5u1 + 2 = 5×(−3) + 2 =− 13 (on a remplacé tous les n par 1

dans un + 1 =−5un + 2 ). Comme − 13 <−3 , on a bien u2 < u1 .La proposition est donc vraie pour n = 1 .

- Montrons que si la proposition est vraie pour un entier k⩾1 , alors elle l'est aussi pour l'entier suivant (k + 1) :Supposons que la proposition est vraie pour un entier k⩾1 , c'est-à-direuk + 1⩽uk , et montrons qu'elle l'est aussi pour (k + 1) , soit uk + 2⩽uk + 1 .

Pour traiter cette partie nous disposons de deux techniques :

Technique 1 : On obtient uk + 2 , en remplaçant n par k + 1 dans un + 1 = 5 un − 2 ; ce qui donne uk + 2 = 5uk + 1 − 2 . Par hypothèse, on a uk + 1⩽uk ; donc 5uk + 1≤5uk et 5uk + 1 − 2⩽5uk − 2 , soit uk + 2⩽uk + 1 .

Technique 2 :On remarque que un + 1 = f (un) avec f (x ) = 5 x − 2 , une fonction affine de coefficient directeur a = 5 > 0 , donc croissante sur .ℝComme uk + 1⩽uk par hypothèse, et f croissante sur , on en déduit queℝf (u k + 1)⩽ f (uk ) (la croissance garde l'ordre).

24


Mais, par définition, f (u k)=uk+1 et f (u k+1)=uk +2 .On a donc uk + 2⩽uk + 1 .

- La proposition étant vraie pour n = 1 et vraie pour (k + 1) lorsqu'elle est supposée vraie pour un entier k, on peut conclure qu'elle l'est pour tous les entiers n⩾1 .La suite (un) est donc bien croissante.

b) Rédaction courte :Montrons par récurrence que la proposition " un + 1⩽un ", est vraie pour tout n . ∈ℕ- Initialisation : on a u1 = − 3 et u2 = 5u1 + 2 = 5×(−3) + 2 =− 13 ; doncu2⩽u1 .

La proposition est donc vraie pour n = 1 .- Hérédité : supposons que pour un entier k⩾1 , uk + 1⩽uk ; montrons alors que uk + 2⩽uk + 1 .Technique 1 (valable pour des cas simples)On a: uk + 1⩽uk ⇔ 5uk + 1⩽5uk ⇔ 5uk + 1 − 2⩽5uk − 2 ⇔ uk + 2⩽uk + 1 ; d'où le résultat.

Technique 2 (valable pour tous les cas)On a un + 1 = f (un) avec f (x ) = 5 x − 2 sur . ℝLa fonction affine f de coefficient directeur positif est croissante sur ℝ.Comme uk + 1⩽uk , on a f (u k + 1)⩽ f (uk ) et donc uk + 2⩽uk + 1 .

- Conclusion : La proposition étant vraie pour n = 1 et héréditaire, elle l'est aussi pour tout n .∈ℕLa suite (un) est donc décroissante.

Remarques :- Garder en tête que un + 1 = f (un) signifie "un terme de la suite (un) est l'image par f du terme précédent" ; ainsi u 40= f (u39) , uk + 2 = f (uk + 1) , u k = f (uk − 1) …- La technique 2 qui consiste à utiliser la croissance de f est plus générale que la technique 1 qui ne marche que pour des cas simples (fonctions affines, racines carrées...). - Il arrive que l'on note Pn la proposition " un + 1⩽un " (ou toute autre proposition).Un avantage de cette présentation est qu'au lieu d'écrire "La proposition est vraie pour n = 1 " il suffit de dire " P1 est vraie" ou encore " Pk est vraie" à la place de "la proposition est vraie pour un entier k".Vous n'êtes cependant pas obligés d'adopter cette façon de procéder, source de confusion chez pas mal d'élèves.

Exemple 2

Soit u la suite définie par : {u0 = 2

un+ 1 =3un + 2

un + 4

, n .∈ ℕ

25


On considère la fonction f définie sur [0 ;+∞[ par f (x )=3 x+2x+4

On suppose 1⩽un⩽2 pour tout n .∈ ℕMontrer que la suite u est décroissante.

SolutionLa suite u est décroissante signifie, par définition, que pour tout tout n on a∈ ℕun+1⩽un .

Montrons par récurrence qu'on a bien " un+1⩽un " pour tout n .∈ ℕ

- On a u0=2 et u1=3u0+2

u0+4=

43⩽2 donc u1⩽u0 .

La proposition " un+1⩽un " est ainsi vérifiée pour n=0 .

- Supposons que uk+1⩽uk pour un entier k .∈ ℕMontrons que uk+2⩽uk+1 .A cause du quotient, l'encadrement membre à membre ne marche pas.Essayons : on a uk+1⩽uk donc 3u k+1+2⩽3u k+2 mais aussi uk+1+4⩽uk+4 .

On pourrait être tenté d'écrire3uk+1+2uk +1+4

⩽3uk+2u k+4

en divisant membre à membre.

Malheureusement, aucun résultat ne le permet.

Voici pourquoi : on a 5>4 et 10>1 mais, en divisant membre à membre, on obtient 510

>41

soit

0,5>4 qui est faux).

Comme un+1= f (un) , la bonne piste consiste à montrer que la fonction f est croissante (ce sera toujours le cas) sur [0;1 ] , l'intervalle qui contient tous les un . On utilise ensuite cette croissance pour prouver que uk+2⩽uk+1 .La fonction f est dérivable sur [0;1 ] et, après calcul, obtient

f ' (x )=10

( x+4)2 >0 car ( x+4)2>0 sur [0 ;1 ] et 10>0 .

La fonction f est donc croissante sur [0;1 ] .Revenons à l'étape hérédité de notre démonstration par récurrence.Par hypothèse, on a uk+1⩽uk . Comme pour tout n , ∈ ℕ un∈ [0 ;1 ] et f croissante sur l'intervalle [0 ;1 ] , on aalors f (u k+1)⩽ f (uk) (la croissance garde l'ordre : raison pour laquelle f sera toujours

croissante dans ce type d'exercice).Or f (u k+1)=uk +2 et f (u k)=uk+1 . Donc uk+2⩽uk+1 .

- La proposition " un+1⩽un " étant vraie pour n=0 et héréditaire, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier n . ∈ℕ

Méthode 3 ***Si la suite (un) s'écrit comme une fonction, c'est-à-direun = f (n) pour tout n, alors :

26


- On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;+∞[ .- Si f est croissante sur [0 ;+∞[ , on conclut que la suite(un) l'est aussi.

- Si f est décroissante sur [0 ;+∞[ , on conclut que la suite(un) l'est aussi.

Pourquoi ?- Graphiquement, si un= f (n) , alors la représentation graphique de la suite u est constituée de points parcourant la courbe de f. D'où le lien entre leurs variations.- Plus rigoureusement, f est croissante sur I= [0;+∞[ ⇔ si a et b I et ∈ a⩽balors f (a)⩽ f (b) . Comme n+1⩾n alors f (n+1)⩾ f (n) , soit un+1⩾un ; donc u croissante. Idem pour f décroissante.

Exemple

Soit un =5n − 2n + 1

, n∈ℕ. Déterminer le sens de variation de (un).

Solution

On remarque que pour tout n , ∈ℕ un = f (n ) avec f (x) =5 x − 2x + 1

.

Étudions le sens de variation de f sur [0 ; + ∞[ :

f , fonction rationnelle, est dérivable sur [0 ; + ∞[ et f ' (x ) =7

( x + 1)2 pour

tout x ∈ [0 ; + ∞[ .Comme pour x ∈ [0 ; + ∞[ ( x + 1)2 > 0 , on en déduit que f ' (x ) > 0 sur[0 ; + ∞[ .

Ce qui signifie que f est croissante sur [0 ; + ∞[ . La suite (un) aussi est donc croissante.

Méthode 3 ("méthode des quotients" quasiment jamais utilisée en Terminale S)Si tous les termes un sont strictement positifs, alors :

- On calcule un+1

un

.

- On compare le résultat obtenu à 1.

- On conclut que la suite (un) est croissante si un+1

un

⩾1

et décroissante si un+1

un

⩽1 .

27


Pourquoi ? Définition du cours : u croissante ⇔ un+1⩾u n pour tout n .∈ ℕ

Si un≠0 , alors un+1⩾u n ⇔u n+1

un

⩾1 , pour tout n .∈ ℕ

Même raisonnement pour u décroissante.

Exemple Déterminer le sens de variation des suites définies pour tout n∈ ℕ par

v n =6

7n .

SolutionRemarquons tout d'abord que pour tout n∈ ℕ , v n>0 .

D'autre part, vn + 1

vn

=

6

7n + 1

67n

=6

7n + 1×

7n

6=

7n

7n+1×

66=

17

.

Comme 17< 1 , on en déduit

vn + 1

vn

< 1 pour tout n . ∈ℕ

Ce qui signifie que la suite (vn) est décroissante.

Compétence 3 ***Comment représenter les termes d'une suite de la forme un + 1 = f (un) sur l'axe des abscisses ?

Méthode - On place le premier terme sur l'axe des abscisses ( u0 par

exemple).- Grâce à la courbe de f, on lit graphiquement u1 = f (u0) sur l'axe des ordonnées.- Pour pouvoir lire u2= f (u1) , on replace u1 sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y = x .- On procède de la même façon pour obtenir u3 , u4 … sur l'axe des abscisses.

Pourquoi ?La relation un + 1 = f (un) donne u1= f (u0) , u2= f (u1) , etc … autrement, un terme est l'image par f du précédent. La courbe de f permet donc de déterminer progressivement les termes de la suite u.

28


ExempleSoit (un) la suitedéfinie par : u0 = 1 etpour tout n∈ℕ,un + 1 = √2 + 4un .

Dans un repèreorthonormal, on donnela courbe C f de lafonctionf (x ) = √2 + 4 x et

celle de la droite (D)d'équation y = x .Construire, grâce à Cf

et (D) , les termesu0 , u1 , u2 et u3 .

SolutionOn remarque que pour tout n , ∈ℕ un + 1 = f (un) .On a donc u1= f (u0) , u2= f (u1) , u3= f (u2) …C f et la droite (D) permettent donc d'obtenir les termes de la suite (un) sur

l'axe des abscisses du graphique ci-dessus.

B) SUITES ARITHMÉTIQUES

Compétence 4 ***Comment montrer qu'une suite (un) est arithmétique ?

29


Chapitre3 -

LES PRIMITIVES

Compétence 1 ***Comment montrer qu'une fonction f est une primitive d'une autre fonction g sur un intervalle I ?

MéthodeOn montre que pour tout x ∈ I , f est dérivable et queg ' ( x )= f ( x ) (on calcule g ' ( x) pour obtenir g(x)).

Pourquoi ?Définition du cours : On appelle primitive d'une fonction f sur un intervalle I,toute fonction F dérivable sur I telle que F ' = f .

ExempleMontrer, dans les quatre cas suivants, que la fonction f est une primitive de g :

a) f (x ) =x − 1

2 − x2 , x ∈ [2 ; + ∞[ et g ( x )=x2 − 2 x + 2

2− x 2 ,

x ∈ [2 ; + ∞[ .

b) f (x) = −4

1 − x, x ∈ ] − ∞ ; 1 [ et g ( x)=−

4

(1−x)2 ,

x ∈ ] − ∞ ; 1 [ .

c) f (x ) = xe− x2 + 3 , x∈ ℝ et g ( x)= e− x2 + 3 − 2 x2 e− x2 + 3 , x ∈ ℝ .d) f (x ) = x ln x − x , x∈ ]0 ; + ∞[ et g ( x)= ln x , x∈ ]0 ; + ∞[ .

Solutiona) f , fonction rationnelle définie sur [2 ; + ∞[ , est dérivable sur cet intervalle.

De plus, pour tout x ∈ [2 ; + ∞[ , f ' (x ) =2 − x2 −( x − 1)(− 2 x )

2 − x2 , ou

encore f ' (x ) =x 2 − 2 x + 2

2 − x2 =g (x) .

Comme f ' (x ) = g ( x) sur [2 ; + ∞[ , on peut conclure que f est une primitivede g.Attention : f n'est pas LA primitive de g mais UNE parmi une infinité. h( x)= f (x ) + 2 est aussi une primitive de g. Plus généralement, toutes les fonctions f ( x) + k sont des primitives deg.

31


b) La fonction f est dérivable sur ] − ∞ ; 1[ et pour tout x ∈ ] − ∞ ; 1 [

f ' (x ) =−4

1− x 2=g ( x ) .

On peut donc affirmer qu'une primitive de g est f .

c) f est dérivable sur ℝ et pour tout réel x ,f ' (x ) = e− x2 + 3 − 2 xe − x 2+ 3= g ( x) . f est bien une primitive de g.

d) f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et f ' (x) = ln x +x×1

x− 1 = ln x = g ( x) .

La fonction g a donc pour primitive f .

Compétence 2 ***Comment montrer qu'une fonction f admet uneprimitive sur I ?

MéthodeIl suffit de montrer que f est continue sur I .

Pourquoi ?Théorème du cours : toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Compétence 3 ***Comment déterminer une primitive d'une fonction f ?

32


Chapitre4 -

LES NOMBRES COMPLEXESCe chapitre contient un assez grand nombre de résultats à connaître. Sans être particulièrement difficile, sa maîtrise nécessite tout de même pas mal d'entraînement (il faudra traiter au moins 4 sujets type bac pour consolider les compétences acquises).

A) CALCULER AVEC LES NOMBRESCOMPLEXES

Compétence 1 ***Comment faire des calculs avec les nombres complexes ?

Méthode On calcule comme d'habitude tout en se rappelant quei2 =− 1 .

Pourquoi ?- Les nombres complexes sont par définition les nombres de la forme a + ib où a et b sont deux nombres réels et i le nombre imaginaire vérifianti2=− 1 .

- Les calculs dans sont réalisés avec les mêmes règles que dans . La ℂ ℝpetite nouveauté à prendre en compte, c'est i2

=− 1 .- Si z = a + ib , alors, son conjugué, z̄ = a − ib vérifiant : z + z ' = z + z ' ,

zz ' = z×z ' , ( zz ' )= z

z ' et (z n

)= z n .

Exemple 1 Soit z=2−5i , z '=−7+3 i et Z = i deux nombres complexes. Calculer : a) z+ z ' ; b) z−z ' ; c) z2 ; d) zz ' ; e) z ; f) z ' ; g)Z3 ; h) Z4 ; j) Z5 .

SolutionOn calcule comme au collège :a) z + z ' = 2 − 5i + (− 7 + 3i) = 2 − 5i − 7 + 3 i =− 5 − 2 i ;

b) z − z ' = 2 − 5i −(− 7 + 3 i)= 2 − 5i + 7 − 3 i = 9− 8i ;

c) z 2 = (2− 5i)2 = 4− 20i + 25i2 = 4 − 20i − 25 =− 21 − 20 i ;

33


d) zz ' = (2− 5 i)(− 7 + 3i) = 2×(− 7) + 2×3i − 5i×(− 7)− 5 i×3 i = − 14 + 6i + 35i − 15 i2

= − 14 + 41 i + 15 = 1 + 41i .

e) Par définition, on a z = 2 + 5 i .

f) De même, z ' =− 7 − 3 i .

g) Z3 = i3 = i×i2 = i×(− 1) = − i .

h) Z4 = i× i3 = i×(− i) = − i2 = −(− 1)= 1 .

j) Z5 = i×i4 = i×1 = i .

Exemple 2Déterminer le conjugué Z du nombre complexe Z dans les cas suivants :a) Z=−4−9 i ; b) Z=6 i−5 ; c) Z=z+3i où z .∈ℂ

Solutiona) Par définition, si z=a+i b alors son conjugué z vaut a− i b .On a donc Z=−4+9 i .

b) Mettons d'abord Z sous la forme correcte a+i b ; ce qui donne Z=−5+6 i .On en déduit Z=−5−6i .

c) Attention : Z≠ z−3 i .En effet, comme z , alors ∈ ℂ Z=z+3i = z + 3 i = z − 3 i .

Compétence 2 ***Comment déterminer la forme algébrique d'un complexe écrit comme quotient de deux autres ?

MéthodeOn multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.

34


Pourquoi ?- D'une part, par définition, la forme algébrique d'un complexe est a + ib oùa et b .∈ ℝ- D'autre part, d'après le cours, si z = a + ib alors z = a − ib etz z = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 (identité remarquable). On transforme ∈ℝ

donc le dénominateur en un nombre réel en le multipliant par son conjugué.

- Enfin, AB=

AB×

CC

(car CC

= 1 ).

Exemplesa) Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants :

z1 =8− i4 + 3 i

; z2 =2 − 5ii − 1

; z 3=−6+5 i

7.

b) Donner l'inverse des nombres complexes suivants :z 4 =− i ; z5 = 1 + i ; z6 = 5i − 4 .

Solutiona)

On a z1=8−i4+3i

×4−3i4−3i

=32−4i−24 i−3

16+9=

29−28i25

=2925

−2825

i .

Remarque : pour calculer (4+3 i)(4−3 i) , on peut développer directement ou, pour être plus

rapide et pour éviter les erreurs de calcul, utiliser le résultat du cours : si z=a+i b alors

z×z=a2+b2.

Comme 4 + 3 i = 4 − 3 i alors (4+3 i)(4−3 i)=(4+3i )(4 + 3i )= 42 + 32.

- Avant de calculer z 2 , remarquons que le conjugué de i−1 n'est pas i+1 mais −i−1 . En effet, i−1=−1+ i .

On a donc z2 =2 − 5ii − 1

×− i − 1− i − 1

=− 2 i − 2 − 5 + 5i

2=−

72+

32

i

(on a encore utilisé le résultat z z=a2+b2 ).

- Ici, nul besoin de multiplier par le conjugué du dénominateur. On a directement :

z 3=−6+5i

7=−

67+

57

i .

b) L'inverse d'un complexe non nul Z est, par définition, 1Z

.

- L'inverse de z 4 est donc 1z4

=1− i

=1− i

×ii=

i1= i .

- z5 a pour inverse 1z 5

=1

1 + i=

11 + i

×1− i1− i

=1− i

2=

12−

12

i .

- On a1z 6

=1

5 i − 4=

15i − 4

×− 5 i − 4− 5 i − 4

=− 5 i − 4

(− 5)2 + (− 4)2=

− 5 i − 441

=−4

41−

541

i .

35


B) NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS

Compétence 3 ***Comment résoudre une équation complexe contenant un ou deux quotients ?

MéthodeOn applique un produit en croix pour faire disparaître les fractions puis on résout l'équation comme d'habitude.

Pourquoi ?

- Pour B≠0 et D≠0, on a AB=

CD

⇔ AD = BC .

ExempleRésoudre les équations suivantes dans ℂ :

a) 5 z + 1=3− z

z ; b)

−z−4z

=3 z+18−3z

.

Solutiona) Valeurs interdites : z≠0 .

Pour tout z≠0 , on a 5 z + 1=3− z

z ⇔ z(5 z + 1) = 3− z

⇔ 5 z2 + 2 z − 3= 0 .Cette dernière équation admet pour discriminant Δ = 64.

On en déduit les deux solutions z1 =− 1 et z 2 =35

.

L'ensemble S des solutions de l'équation 5 z + 1=3− z

z est donc

S = {− 1 ; 35} .

b) Valeurs interdites : z≠0 et 8− 3 z≠0 , soit z≠0 et z≠83

.

Pour z≠0 et z≠83

, −z−4

z=

3 z+18−3z

⇔ (−z−4)(8−3 z)=(3 z+1)( z)

⇔ −8 z+3 z2−32+12 z=3z2+ z ⇔ 3 z=32 ⇔ z=323

.

L'équation −z−4

z=

3 z+18−3 z

admet donc une unique solution : 323

.

Compétence 4 ***Comment résoudre une équation complexe contenant z et z ?

36


Chapitre5 -

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

A) BASES DES PROBABILITÉS Rappel de propriétés utiles en exercice :P1: si p est la probabilité d'un événement, alors0⩽ p⩽1 .P2 : p (A)= 1−p(A) , où A est l'événement

contraire de A.P3 : p (A∪B)= p (A) + p (B) − p (A∩B) .P4 : A et B incompatibles ⇔ A∩B =∅ ⇔p (A∩B)= 0 .P5 : En situation d’équiprobabilité des événements

élémentaires, p (A)=nombre d ' éléments de Anombre d ' éléments total

.

P6 : Si l'univers est composé des événements

élémentaires e1 , e2 ,... ,en , alors p (ei) =1n

et

p (e1) + p (e2) + … + p (en) = 1 .

Compétence 1 ***Comment calculer des probabilités quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (événements élémentaires équiprobables) ?

MéthodeOn utilise la formule :

p(A)=nombre d ' issues donnant A

nombretotal d ' issues=

nombre de cas favorables à Anombre de cas possibles

.

Pourquoi ?Propriété du cours.

ExempleOn tire une boule dans une urne contenant 5 boules noires et 7 boules blanches, indiscernables au toucher. Quel est la probabilité d'obtenir une boule noire ? Une boule blanche ?

37


SolutionLes boules étant indiscernables au toucher, elles ont les mêmes chances d'être tirées. En notant N l'événement : "tirer une boule noire" et B: "tirer une boule blanche", on obtient :

p (N )=nombre de résultatsdonnant N

nombre de résultats total=

512

et p (B) =7

12.

Compétence 2 ***Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X (discrète)?

MéthodeDans un tableau, on écrit toutes les valeurs prises par X, puisles probabilités que X prenne ces valeurs. Ce tableau constitue la loi de probabilité de X (la somme des probabilités vaut toujours 1).

Pourquoi ?Définition du cours.

ExempleUne urne contient 4 boules blanches, 7 rouges et 11 noires. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. Un joueur tire une boule. Une boule noire rapporte 10€. Une rouge 2€. Et une blanche fait perdre 5€.On considère la variable aléatoire X qui à tout tirage associe le gain correspondant. Sachant que le joueur mise 1€ avant de jouer, déterminer la loi de probabilité de X.

SolutionSachant que le joueur mise 1€, ses gains possibles sont 9, 1 ou -6€. Ce sont les valeurs prises par X. Notons B l'événement "Tirer une boule blanche", R "Tirer une boule rouge" et

N "Tirer une boule noire". On a p (X =− 6)= p(B)=4

22,

p (X = 1) = p (R) =7

22 et p (X = 9)= p (N )=

1122

.

La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :

x -6 1 9

p (X = x) 422

722

1122

38


Remarque : p(X = x) signifie "la probabilité que X prenne la valeur x. Dans notre exemple, c'est la probabilité que le gain X soit égal à x.

Compétence 3 ***Comment calculer l'espérance E(X) d'une variable aléatoire X ?

MéthodeOn applique le résultat du cours :

E (X )=∑i =1

n

pi xi= p1 x1 + p2 x 2 + p3 x3 + … + pn xn où les

xi sont les valeurs prises par la variable aléatoire X et lespi les probabilités que X prenne ces valeurs.

Remarque : se rappeler que l'espérance se calcule de la même façon qu'une moyenne dans une matière : les xi représentent les notes et les

probabilités les coefficients.


Exemple (exemple précédant)

a) Calculer E(X), l'espérance de gain du joueur. Interpréter.b) Le jeu est-il favorable au joueur ?

Solution

a) On a E (X ) = − 6×4

22+ 1×

722

+ 9×1122

=8222

=4111

.

En jouant plusieurs fois, le joueur gagnera en moyenne 4111

€ , soit environ 3,72 €.

b) Comme E (X ) > 0 , le jeu est favorable au joueur (donc défavorable à l'organisateur).Remarque : on dit que le jeu est équilibré lorsque E (X)=0 .

Compétence 4 ***Comment calculer la variance V(X) et l'écart type d'une variable aléatoire ?

MéthodeOn applique les formules du cours :

V (X ) = E (X 2) − (E( X ))2 = ∑i= 1

n

pi( xi )2−(E (X ))

2 et

σ( X )= √V ( X ) .

39


Pourquoi ?Propriétés du cours.

Exemple (exemple de la compétence 2)

Calculer la variance, puis l'écart-type.

Solution

V (X ) =422

×(− 6)2+

722

×12+

1122

×92=

104222

.

On en déduit que σ( X )= √104222

.

B) PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Compétence 5 ***Comment déterminer pB (A) ?

Méthode 1 ***On la lit dans l'énoncé. Des phrases contenant : "Sachant que...", "Parmi...", " x % des...", "On choisit..." sont de bons indicateurs.Attention : Ne pas confondre pB (A) et p(A et B)=p(A∩B ) ; pour le premier , on a B, c'est certain ; on veut alors connaître la probabilité d'obtenir A. Pour le second, on a ni B ni A ; on veut la probabilité d'obtenir B et A simultanément.

Pourquoi ?pB(A) est la probabilité d'obtenir A sachant que l'événement B est réalisé.

Comparer "La probabilité qu'il neige." et "La probabilité qu'il neige sachant qu'on est en janvier." L'information "On est en janvier" change tout.

ExempleOn s'intéresse aux élèves d'un lycée. L'événement A signifie : "Faire allemand" et S : "Être en première S". Traduire les affirmations suivantes en langage des probabilités : a) Sachant qu'un élève est en première S, la probabilité qu'il fasse allemand est égale à 0,42. b) Parmi les élèves de première S, 42% font allemand.c) Thomas est en première S. La probabilité qu'il fasse allemand est de 0,42.d) On choisit un élève de première S. La probabilité qu'il fasse allemand est égale à 0,42.e) 42% des élèves de première S font allemand.

40


SolutionToutes ces informations se traduisent par pS (A)= 0,42 .

Méthode 2 ***On la lit directement sur un arbre.

Pourquoi ?Par convention, les nombres situés sur les branches d'un arbre représentent les probabilités des événements écrits juste après. Sur les deuxièmes branches on retrouve des probabilités conditionnelles.

Exemple À partir de l'arbre ci-contre, déterminerpM (N ) , pM (N ) et pM (N ) .

SolutionPar lecture sur l'arbre, on a pM (N )=0,18 ,pM (N )=0,25 et pM (N )=0,75 .

Attention : p(N) n'est pas égale à 0,18. De plus, l'arbre nepermet pas de lire pN (M ) .

Méthode 3 ***On la calcule directement

grâce à la formule : pB (A)=p (A∩B)

p (B).


ExempleDans un club sportif, 47% des adhérents pratiquent le judo, 12% à la fois le judo et la boxe.Thomas est un judoka du club. Quelle est la probabilité qu'il soit aussi boxeur ?

SolutionNotons J l'événement : "Pratiquer le judo" et B : "Pratiquer la boxe".On a, d'après l'énoncé : p(J)=0,47 et p(J∩B)=0,12. La probabilité demandée est la probabilité que Thomas soit boxeur sachant qu'il

est judoka. Elle est donnée par p J (B) =p (J ∩B)

p(J )=

0,120,47

=1247

.

Méthode 4 ***pB( A) se déduit de toute formule où elle apparaît et dans

laquelle les autres éléments sont connus. En particulier de la formule de probabilité totalep (A)= p (A∩B)+ p (A∩B) , soit

41


p (A)= pB(A)× p (B) + pB(A)× p (B ) .

Pourquoi ?Propriété du cours.

Compétence 6 ***Comment déterminer p (A∩B) ?

42


Chapitre6 -

ARITHMÉTIQUEDe tous les chapitres, l'arithmétique est celui qui possède le plus de caractéristiques des maths du supérieur : clarté, rigueur, élégance, concision, niveau d'abstraction assez élevé. Sa maîtrise requiert donc pas mal d'entraînement. Les compétences qui suivent doivent être maîtrisées. Mais cela ne représente que la moitié du chemin.Il faudra en plus retravailler les différentes démonstrations du cours pour s’imprégner du mode de raisonnement en arithmétique,faire suffisamment d'exercices variés et, malgré leurs énoncés parfois effrayantes, se frotter à plusieurs sujets de type bac.

A) DIVISION EUCLIDIENNE / DIVISIBILITÉ DANS ℤPropriétés utiles en exercice : a, b et c sont trois entiers relatifs non nuls.- Si c divise b et b divise a, alors c divise a.- Si a divise b et b divise a, alors a et b sont égaux ou opposés.- Si c divise et b, alors, pour tous entiers u et v, c divise ua+vb (appelé combinaison linéaire de a et b).

Compétence 1 *** Comment déterminer le reste de la division euclidienne de a par b, où a ∈ ℤ et b∈ ℤ ∗ ?

Méthode- On met l'entier a sous la forme a = qb + r , avec impérativement 0⩽r < ∣b∣ .- L'entier positif r est alors le reste cherché.

Pourquoi ? Théorème du cours : Pour tout entier a et b *, il existe un unique couple ∈ℤ ∈ℤd'entiers relatifs (q ; r) tels que : a = bq + r ET 0⩽r <∣b∣ .q est appelé quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.

Exemple 1Déterminer le reste de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants :1) a = 51 et b = 13 ; 2) a =− 145 et b = 31 ;3) a =− 576 et b =− 138 .

Solution

43


1) On a 51 = 13×3 + 12 . Comme 0⩽12 < 13 , le reste demandé est 12.

2) On a − 145 = 31×(− 4) + 21 . 0⩽21 < 31 , donc le reste de la division euclidienne de − 145 par 31 est 21.

3) On a − 576 =− 138×5 + 114 . 0⩽114 <∣− 138∣ soit 0⩽114 < 138 . Le reste de la division euclidienne de− 576 par − 138 est donc 114.

Attention : on a aussi − 576 =− 138×4 − 24 . Mais -24, entier négatif, ne peut, par définition de la division euclidienne, être un reste. D'où la solution proposée.

Exemple 2Soit m = 42 n + 193 où m∈ ℕ et n∈ ℕ .a) Déterminer le reste de la division euclidienne de m par 42.b) Déterminer le reste de la division euclidienne de m par 7.

Solutiona) On remarque que 193 > 42 . 193 ne peut donc pas être le reste de la division euclidienne de m par 42.Mettons m sous la forme m = nq + r où 0⩽r < 42 .On a m = 42 n + 193 ; or 193 = 4×42 + 25 . Donc m = 42 n + 4×42 + 25Soit m = 42(n + 4) + 25 .Le reste cherché est 25 car 0⩽25 < 42 .

b) Écrivons m sous la forme m = 7q + r où 0⩽r < 6 .On a m = 42 n + 193 ; comme 42 = 7×6 et 193 = 7×27 + 4 , on a m = 7×6n + 7×27 + 4 m = 7(6n + 27) + 4 .m est sous la forme m = 7q + 4 avec 0⩽4 < 7 .On en déduit que le reste de la division euclidienne de m par 7 est 4.

Exemple 3Déterminer le reste de la division euclidienne de 5n + 19 par n + 3 , oùn∈ ℕ .

SolutionOn a 5n + 19 = 5(n + 3) + 4 .- Si 0⩽4 < n + 3 , ce qui est équivalent à n > 1 , alors 4 est le reste cherché.-Si n = 1 , alors 5n + 19 = 24 et n + 3= 4 . Or 24 = 4×6 + 0 .Le reste est donc 0.-Si n = 0 , 5n + 19 = 19 et n + 3= 3 .De l'égalité 19 = 3×6 + 1 et du fait que 1 < 3 , on déduit que le reste est 1.

Exemple 4

44


Montrer que tout entier naturel n s'écrit sous la forme 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3 ou 5k+4 avec k .∈ℕ

SolutionEffectuons la division euclidienne dans de n par 5. On obtient :ℕn = 5k + r avec 0⩽r < 5 et k .∈ℕ

Les différentes valeurs possibles pour le reste r sont donc : 0, 1, 2, 3 ou 4.Par conséquent, suivant les valeurs de r, celles de l'entier n peuvent être :

• n = 5k si r = 0 ;• n = 5k + 1 si r = 1 ;• n = 5k + 2 si r = 2 ;• n = 5k + 3 si r = 3 ;• et enfin, n = 5k + 4 , si r = 4 .

Remarque : on montre, en procédant de la même façon, que tout entier naturel n s'écrit 2k ou 2k+1 ou encore 3k, 3k+1 ou 3k+2 ou encore 4k, 4k+1, 4k+2 ou 4k+3 etc …

Compétence 2 ***Comment montrer qu'un entier naturel r est le reste de la division euclidienne de a par b ?

MéthodeOn montre que a = qb + r ET que 0⩽r < b , q .∈ℤ

Pourquoi ? Définition-Théorème du cours : Pour tout entier a et b *, il existe un ∈ℤ ∈ℤunique couple d'entiers relatifs (q ; r) tels que : a = bq + r ET 0⩽r <∣b∣ .q est appelé quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b.

ExempleVrai ou faux ?a) Si m = 3n + 11 , alors 11 est le reste de la division euclidienne de m par 3.b) Si a = 11b + 3 , alors 3 est le reste de la division euclidienne de a par b.c) Si c = 11 d + 3 , alors 3 est le reste de la division euclidienne de c par11.d) Si a = 7b − 4 , alors -4 est le reste de la division euclidienne de a par 7.

Solutiona) L'égalité m = 3n + 11 est sous la bonne forme (a = bq + r) . Mais, commeon n'a pas 11 < 3 , la proposition est fausse.

b) Ici aussi, la forme est bonne. Ne connaissant pas b, la condition 3 < b n'est pas nécessairement vraie (on peut bien avoir b = 2 ). Donc faux.

45


c) On a c = 11 d + 3 . Comme 0⩽3 < 11 , on peut affirmer que 3 est le reste de la division euclidienne de c par 11. Donc proposition vraie.

d) On a la forme a = bq + r . De plus − 4 < 7 . Mais, attention, on n'a pas0⩽− 4 .

La condition 0⩽r n'étant pas remplie, le nombre −4 ne peut être le reste.

Compétence 3 *** Comment montrer que b divise a, avec a ∈ ℤ et b∈ℤ∗ ? (ou que b est un diviseur de a ou encore que a est un multiple de b)

Méthode 1 ***On montre que a = kb où k est un entier relatif.

Pourquoi ? Définition du cours : soit a et b . On dit que b divise a s'il existe k tel ∈ ℤ∗ ∈ ℤque a = kb .

Exemples1) Démontrer que 17 divise 323.2) Démontrer que n − 1 divise 7n2 − 5 n − 2 , n∈ ℤ et n≠1 .3) Démontrer que 2 n + 3 divise 12n2 + 16n − 3 , n∈ ℤ .

4) Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 5n + 7n + 2

soit un entier

relatif.5) Montrer que 9 divise 4n − 1− 3n pour tout n∈ ℕ .6) Montrer que 7 ne divise pas 3×71984 + 2 .

Solutions1) On a 323 = 19×17 . 323 est donc divisible par 17.

2) Montrons que 7n2 − 5 n− 2= K (n − 1) où K .∈ℤK Ne peut être que de la forme (an + b) avec a et b deux entiers relatifs.

Déterminons donc a et b tels que :7n2 − 5 n − 2 = (an + b )(n − 1) soit

= an2 − an + bn − b = an2 + (− a + b)n − b .Par identification des deux membres (en comparant les coefficients de n2 , n et la

constante réelle de part et d'autre de l'égalité) , on obtient :

46


{a = 7

− a + b =− 5

− b= − 2

soit a = 7 et b = 2 .

On a donc 7n2 − 5 n− 2= (n − 1)(7n + 2) .Comme 7n + 2 pour tout n , on peut affirmer que ∈ℤ ∈ℤ n − 1 divise7n2 − 5 n− 2 .

3) En procédant comme au b), on aboutit à :12n2 + 16n − 3= (2n + 3)(6 n − 1) .6n − 1 , donc ∈ℤ 2 n + 3 divise 12n2 + 16n − 3 .

4) La fraction 5n + 7n + 2

est entier relatif signifie que n + 2 divise 5n + 7 (on a

par exemple 183

qui est un entier mais pas 184

).

Déterminons donc tous les entiers relatifs tels que n + 2 divise 5n + 7 .Si le nombre n + 2 divise 5n + 7 , comme il divise aussi n + 2 , alors il divisetoute combinaison linéaire de 5n + 7 et n + 2 .n + 2 divise donc 1×(5 n + 1)− 5 (n + 2) = − 3 .

Les diviseurs de -3 sont : -3, -1, 1 et 3.On a donc n + 2 =− 3 ou n + 2 =− 1 ou n + 2 = 1 ou n + 2 = 3 soitn =− 5 ou n =− 3 ou n =− 1 ou n = 1 .

Réciproquement, si n =− 5 , n + 2 =− 3 divise 5n + 3=− 18 . De même pour n =− 3 , n =− 1 et n = 1 .Les valeurs cherchées de n sont donc -3, -1, 1 et 3.

5) Montrons que pour tout n∈ ℕ , " 9 divise 4n − 1 − 3n ".Pour cela, on utilise une démonstration par récurrence :- lorsque n = 0 , 4n − 1− 3n=40 − 1− 3×0= 0 et 9 divise 0 (en effet,

0 = 0×9 ). La proposition est donc vraie pour n = 0 .

- Soit k ∈ ℕ . Supposons que 9 divise 4k − 1− 3 k . Montrons que 9 divise alors 4k + 1 − 1− 3(k + 1) .On a 4k + 1 − 1− 3(k + 1)=4×4k − 1 − 3k − 3 = 4×4k − 3k − 4 = 4×4k −4 − 12 k + 9k (on s'est arrangé pour pouvoir

factoriser par 4 afin de faire apparaître 4 k− 1 − 3 k ).

On a donc 4k + 1 − 1 − 3(k + 1)=4 (4k − 1 − 3k ) + 9k .Or par hypothèse, 9 divise 4k − 1− 3 k . Mais comme 9 divise aussi 9k , on en déduit que 9 divise 4k + 1 − 1− 3(k + 1) .

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- La proposition étant vraie pour 0 et héréditaire, on peut conclure, grâce au principe de récurrence, qu'elle est vraie pour tout n .∈ ℕ

6) On a 3×71984 + 2=3×7×71983 + 2= 7(3×71983) + 2 .Comme 0⩽2 < 7 , le reste de la division euclidienne de 3×71984 + 2 par 7 est 2. Ce reste étant non nul, on peut affirmer que 7 ne divise pas 3×71984 + 2 .

Méthode 2 ***On montre que a ≡0 [b ] .

Pourquoi ?Définition de la congruence.

Exemple (voir compétence 19)

Compétence 4 ***Comment montrer que si d divise a et b alors d divise c ?

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