Le sujet est compos de 4 exercices indpendants. Le candidat doit traiter fous /es exercices.

Dans chaque exercice, le candidat peut admeftre un rsultat prcdemment donn dans Ie texte pouraborder les quesfions suivantes, condition de I'indiquer clairement sur Ia copie.

Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou nonfructueu se, qu' il aura dveloppe.

ll est rappel que la qualit de la rdaction, la claft et Ia prcision des raisonnements seront pr'ses encompte dans I'apprciation des copres.

BACCALAURAT GNRAL

SESSION 2013

MATHUNTIQUES

Srie ES/L

Dure de l'preuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L)

ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE

Les calculatrices lectroniques de poche sont autorises,

conformment la rglementation en vigueur.

Avant de composer, le candidaf s'assurera que le sujet compofte 6 pages numrotes de 1/6 6/6.

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rEXBRCICE 1 (5 points)Commun tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire choix multiples.Pour chaque question, une seule des quatre rponses proposes est correcte.(Jne rponse juste rapporte 1 point ; une rponse fausse ou l'absence de rponse ne rapporte ni n'enlve depoint.Reporter sur Ie sujet le numro de la question ainsi que la rponse choisie. Aucune iustification n'estdemande.

On considre la fonction f dfinie sur R par : f (x) = 1s-x.

1. L'image f(ln?)de ln2parlestgale :a) ln 2 b) -ZlnZc)2tn2 d1)tnz

2. / est drivable sur R et on note / ' sa fonction drive. Alors, pour tout nombre rel x, on a :r'@)=e-, Df '@) =-e-xc) f'(x) = (1 - x)e-' d) f'(x) = (1 + x)e-'

3. L'quation rduite de la tangente la courbe de la fonction f au point d'abscisse 0 est :a\y=Zx b\Y:x-tc)y=x d)Y=Zx-I

4. La fonction / est :a) concave sur [0 ; 1]c) convexe sur [0 ; *oo[

5. L'intgrale Ii f fa* est gale :a) e-5

e-zc)--e

b) concave sur [0 ; +oo[d) convexe sur [0 ; 1]

b)sd)1

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EXERCICE 2 (5 points)Candidats de ES n'ayant pas suivi I'enseignement de spcialit et candidats de L

Une agence de voyage propose des formules week-end Londres au dpart de Paris pour lesquelles letransport et l'htel sont compris. Les clients doivent choisir entre les deux formules : < avion + htel > ou< train + htel > et peuvent complter ou non leur formule par une option < visites guides >.

Une tude a produit les donnes suivantes :

o 40o des clients optent pour la formule < avion + htel > et les autres pour la formule < train + htel > ;. parmi les clients ayant choisi la formule < train + htel >>, 50yo choisissent aussi l'option < visites

guides >;

o 12%o des clients ont choisi la formule < avion + htel >> et l'option < visites guides >.

On interroge au hasard un client de I'agence ayant souscrit une formule week-end Londres. On note :

A I'vnement : le client interrog a choisi la formule < avion + htel > ;Z l'vnement : le client interrog a choisi la formule < train + htel > ;V l'vnement: le client interrog a choisi l'option < visites guides >.

1. a) Quelle est la probabilit de l'vnement : le client interrog a choisi la formule < avion + htel > etl'option < visites guides > ?

b) Calculer la probabilitP,q(y).c) Reprsenter cette situation l'aide d'un arbre pondr.

2. a) Montrer que la probabilit pour que le client interrog ait choisi l'option < visites guides > est gale0,42.

b) Calculer la probabilit pour que le client interrog ait pris I'avion sachant qu'il n'a pas choisi l'option. Arrondir le rsultat au millime.

3. L'agence pratique les prix (par personne) suivants :Formule < avion + htel > : 390

Formule : 510

Option < visites guides > : 100

Quel montant du chiffre d'affaires I'agence de voyage peut-elle esprer obtenir avec 50 clients quichoisissent un week-end Londres ?

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EXERCICE 3 (5 points)Commun tous les candidats

La production des perles de culture de Tahiti est une activit conomique importante pour la PolynsieFranaise.

Les montants raliss I'exportation des produits perliers de 2008 2011 sont donns dans le tableausuivant, en milliers d'euros :

l. Montrer que le taux d'volution annuel moyen des montants l'exportation des produits perliers dePolynsie entre 2008 et 201 I est

- 8,060/o arrondi au centime.

On admet pour la suite de I'exercice, que la production continuera baisser de I % par an partir de201 1.

2. On considre I'algorithme suivant :Saisir un nombre positif P

Affecter la valeur 0 la variable N {initialisation}Affecter la valeur 63 182 U {initialisation}TantqueU> P

Affecter la valeur N + 1 NAffecter la valeur 0,92 xU U

Fin de Tant que

Affecter la valeur N + 2011 N

Afficher N

Si on saisit P = 50000 en entre, qu'obtient-on en sortie par cet algorithme ? Interprter ce rsultat dansle contexte de la production de perles.

Pour prvoir les montants raliss l'exportation des perles de Tahiti, on modlise la situation par unesuite (urr). On note us le montant en2011, en milliers d'euros, etunle montant en2011* n, en milliersd'euros. On a donc us: 63 182 et on suppose que Ia valeur baisse tous les ans de 8olo.

a) Montrer que (urr) est une suite gomtrique dont on prcisera la raison.b) Exprimer, pour tout entier naturel n,lrn en fonction de n.c) Avec ce modle, quel montant peut-on prvoir pour I'exportation des produits perliers de Polynsie

Franaise en20l6 ? On anondira le rsultat au millier d'euros.

Calculer le montant cumul des produits perliers exports que l'on peut prvoir avec ce modle partirde 2011(comprise) jusqu' 2020 (comprise). On donnera une valeur approche au millier d'euros.

Entre

Traitement:

Sortie

3.

4.

Annes 2008 2009 2010 2011

Valeurs brutes des produits perliers (en milliers d'euros) 8t 29s 66 052 64 690 63 t82Source F (Institut de Polynsie Franaise

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EXERCICE 4Commun tous les candidats

On s'intresse une espce de poissons prsente dans deux zones diffrentes (zone I et zone 2) de laplante.

I tude de Ia zone I

On note X la variable alatoire qui chaque poisson observ dans la zone 1associe sa taille en cm.

Une tude statistique sur ces poissons de lazone 1 a montr que la variable alatoire Xsuit une loi normale de moyenne p etd'cart type o: 30. La courbe de la densitde probabilit associe X est reprsenteci-contre.

Par lecture graphique, donner lavaleur de p.

On pche un de ces poissons dans la zone l. Donner la probabilit, arrondie l0-2, d'avoir unpoisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.

Un poisson de cette espce de 1a zone 1 est considr comme adulte quand il mesure plus de120 cm.

On pche un poisson de I'espce considre dans la zone 1. Donner la probabilit, arrondie 10'2,de pcher un poisson adulte.

On considre un nombre fr strictement plus grand que la valeur moyenne p.Est-il vrai que P(X < k) < 0,5 ? Justifier.

B. tude de la zone 2

l. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d'une maladie. On prlve de faon alatoire unchantillon de 50 poissons de cette espce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sontmalades.

a) Calculer la frquence / de poissons malades dans l'chantillon.b) Dterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 o, de la proportion p de poissonsmalades dans toute la zone 2. On arrondira les bomes au millime.

2. Soit l'la variable alatoire qui, chaque poisson de I'espce considre de la zone 2, associe sataille en cm. On admet que la variable alatoire )'suit la loi normale de moyenne V' = 205 etd'cart type o': 40.

l.

)

3.

4.

13MAELPOl- PageSl6

7V

En comparant avec le graphique de la zone 1 donn la question 1 qui reprsente une loi normaled'carttype o = 30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous reprsente la densit de probabilit dela variable alatoire L Justifier la rponse.

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EXERCICE 2 (5 points)Candidats de la srie ES ayant suivi I'enseignement de spcialit

Les parties A et B sont indpendantes

Alors qu'une entreprise A possdait le monopole de l'accs intemet des particuliers, une entrepriseconcurrente B est autorise s'implanter.

Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accs B, l'entreprise A possde 90Yo dumarch et I'entreprise B possde le reste du march.

Dans cet exercice, on suppose que chaque anne, chaque internaute est client d'une seule entrepriseAouB.On observe partir de 2010 que chaque anne, 15% des clients de I'entreprise A deviennent des clients del'entreprise B, et l0 o des clients de I'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.

Pour tout entier naturel n, onnote a, la probabilit qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait sonaccs intemet fourni par l'entreprise A pour l'anne 2010 + n, et b, la probabilit pour que sonfournisseur d'accs en 2010 + n soit I'entreprise B.

On note Pn= (a, b,)lamatrice correspondant l'tat probabiliste de l'anne 2010 + re et on a ainsi as= 0,9et 6:0,1.

PARTIE A

1. Reprsenter cette situation par un graphe probabiliste.

2. a) Dterminer la matrice de transition M de ce graphe.

b) Montrer qu'en 2013, 1'tat probabiliste est environ (0,61 0,39).c) Dterminer l'tat stable P : (" b) de la rpartition des clients des entreprises A et B.Interprter le

rsultat.

PARTIE B

Lors d'une campagne de marketing l'entreprise B distribue un stylo ou un porte-cls ; il en cote 1'entreprise 0,80 par stylo et 1,20 par porte-cls distribu.A la fin de lajourne l'entreprise a distribu 550 objets et cela lui a cot 540 .

On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-cls distribus.

1. crire un systme traduisant cette situation.

(t r\2. MontrerquelesystmeprcdentestquivalentRxX:ToR: I letXetTsontdes[o,g 1,2)

matrices que l'on prcisera.

3. Rsoudre le systme 1'aide de la calculatrice. Interprter le rsultat.

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