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Exercice 13
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Effectuer le changement de variables
u=x+y+z, v=y+z, w=zRéponse
Exercice 16
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Intégrales multiples - Réponses
Exercice 1 - Réponse
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On passe en coordonées cylindriques
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On passe en coordonées sphériques
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Réduction des matrices carrées
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Peut-on diagonaliser la matrice :
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Trouver la réduite de Jordan de A
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Exercice 10
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Réduction des matrices carrées - Réponses
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Applications linéaires - Réponses
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Matrices - Réponses
Exercice 1 - Réponse
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Déterminants - Réponses
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Système différentiels
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Système différentiels - Réponses
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Equations différentielles 2ème ordre
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Equations différentielles 2ème ordre - Réponse
Exercice 1 - Réponse
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Equations différentielles 1er ordre
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Exercice 8
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Equations différentielles 1er ordre - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
Exercice 8 - Réponse
Exercice 9 - Réponse
Raccordement en 0 Continuité en 0
Continuité de la dérivée en 0
Conclusion
Exercice 10 - Réponse
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Intégrales généralisées
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Intégrales généralisées - Réponses
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Intégrale d'une fonction continue
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Intégrale d'une fonction continue - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
par encadrement
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Utilisons la relation sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
Exercice 7 - Réponse
Exercice 8 - Réponse
Les deux bornes de cette int?rale tendent vers 0
On applique la seconde formule de la moyenne
Exercice 9 - Réponse
Domaine de d?inition
D?iv?
Limite en 0
Limite en l'infini
Exercice 10 - Réponse
Exercice 11 - Réponse
Exercice 12 - Réponse
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Intégrales simples
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Exercice 1
Calculer les primitives suivantes :
Réponse
Exercice 2
Calculer les primitives suivantes :
Réponse
Exercice 3
Calculer les primitives suivantes :
Réponse
Exercice 4
Calculer les primitives suivantes :
Réponse
Exercice 5
Calculer les primitives suivantes :
Réponse
Exercice 6
Calculer les primitives suivantes :
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Exercice 7
Calculer les primitives suivantes :
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Exercice 8
Calculer les primitives suivantes :
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Exercice 9
Calculer les primitives suivantes :
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Exercice 10
Calculer les primitives suivantes :
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Exercice 11
Calculer les primitives suivantes :
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Exercice 12
Calculer les primitives suivantes :
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Exercice 13
Réponse
Exercice 14
Réponse
Exercice 15
Réponse
Exercice 16
<font size=%2
Intégrales simples - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
RAPPEL
Primitivation par parties:
N'introduire la constante qu'à la fin du calcul
On intègre une seconde fois par parties en posant toujours u égal au polynôme pour abaisser son degré
Exercice 6 - Réponse
La fonction est transcendante et sa dérivée est algébrique.
On intègre par parties en posant u égal au logaritme.
La fonction est transcendante et égale à sa dérivée.
On intègre par parties en posant u égal à l'exponentielle.
On intègre une seconde fois par parties
Exercice 7 - Réponse
On intègre par parties deux fois de suite et "dans le même sens" par exemple
On intègre une seconde fois par parties
Equation permettant d'obtenir le résultat
On peut également procéder par dérivation puis par identification.
On pose à priori le résultat sous la forme
On dérive
et on identifie
Exercice 8 - Réponse
Exercice 9 - Réponse
m impair m pair
p impair t= sinx ou t=cosx t= sinx
p pair t=cosx linearisation(Euler)
Exercice 10 - Réponse
On intègre par parties
Exercice 11 - Réponse
Exercice 12 - Réponse
VOIR LE CHAPITRE FRACTIONS RATIONNELLES
on décompose en éléments simples les fractions rationnelles
Exercice 13 - Réponse
Exercice 14 - Réponse
Exercice 15 - Réponse
Exercice 16 - Réponse
Exercice 17 - Réponse
Exercice 18 - Réponse
Exercice 19 - Réponse
Exercice 20 - Réponse
Exercice 21 - Réponse
Exercice 22 - Réponse
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Développements limites
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DL faible et DL fort
Formes indéterminées
Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Réponse
Exercice 4
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
Exercice 7
Réponse
Exercice 8
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Exercice 9
Réponse
Exercice 10
Réponse
Exercice 11
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Exercice 12
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Exercice 13
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Exercice 14
Réponse
Exercice 15
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Exercice 16
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Exercice 17
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Exercice 18
Réponse
Exercice 19
Réponse
Exercice 20
Réponse
Exercice 21
Réponse
Exercice 22
Réponse
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Développements limites - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Au vosinage de 0
D'apr? la formule de MacLaurain
alors
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
Exercice 8 - Réponse
Exercice 9 - Réponse
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Exercice 11 - Réponse
Exercice 12 - Réponse
Exercice 13 - Réponse
Exercice 14 - Réponse
Exercice 15 - Réponse
Exercice 16 - Réponse
Exercice 17 - Réponse
Exercice 18 - Réponse
Exercice 19 - Réponse
Exercice 20 - Réponse
Exercice 21 - Réponse
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Les suites numériques
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Suites arithmético-géométriques
Suites récurrentes linéaires du second ordre à coefficients
constats
Suites homographiques
Suites récurrentesun=f(un-1)
Exercice 1
Etudier la monotonie des suites et
Réponse
Exercice 2
Montrer que la suite définie par est majorée et minorée.
Réponse
Exercice 3
Réponse
Exercice 4
Calculer les limites des suites définies par leur terme général dans chacun des cas suivants :
Réponse
Exercice 5
Calculer les limites des suites définies par leur terme général dans chacun des cas suivants :
Réponse
Exercice 6
Calculer :
Réponse
Exercice 7
Réponse
Exercice 8
Etudier les suites suivantes :
Réponse
Exercice 9
Etudier les suites suivantes :
Réponse
Exercice 10
Etudier la convergence de la suite définie par :
Réponse
Exercice 11
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 12
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 13
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 14
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 15
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 16
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 17
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 18
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 19
Etudier la suite définie par :
Réponse
Exercice 20
Etudier la suite définie par :
Réponse
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Les suites numériques - Réponses
Exercice 1 - Réponse
RAPPEL Si la suite est d?inie de fa?n explicite sous la forme avec f continue sur .
alors
f strictement croissante implique la suite est strictement croissante f strictement d?roissante implique la suite est strictement d?roissante.
On ?udie la fonction f qui x associe
On a donc f est croissante. La suite u est croissante.
On ?udie la fonction g qui x associe
On a donc g est d?roissante. La suite v est d?roissante.
REMARQUE
voir au paragraphe Suites Num?iques les suites r?urrentes lin?ires du premier ordre de la forme .
Exercice 2 - RéponseRAPPELS
Pour majorer un quotient de nombres positifs, on majore le num?ateur, et on minore le d?ominateur
Soit A une partie non vide de l'ensemble des nombres r?ls
A est major? s'il existe un nombre r?l M (ind?endant de n) tel que quel que soit x appartenant A Si M est un majorant de A, tout nombre r?l est aussi un majorant de A
On majore d'abord le num?ateur
On minore le d?ominateur (si possible) par un terme que l'on pourra simplifier avec le num?ateur
La suite est donc major? par
Donc le majorant trouv 1/2 est le plus petit de tous les majorants.
La suite est donc minor? par m=0.Exercice 3 - Réponse
La suite est major? par 1 et nous n'avons pas trouv par cette m?hode le plus petit de tous les majorants.
Exercice 4 - RéponsePour tout entier k compris entre 1 et n
Pour une valeur de k donn? entre 1 et n, puisque la fonction f est strictement d?roissante :
On fait la somme de n termes depuis k=1 jusqu' k=n
En appliquant le th?r?e du "sandwich" (ou des gendarmes)
On fait la somme de 2n termes depuis k=1 jusqu' k=2n (il y a donc 2n termes)
On fait la somme de termes depuis k=1 jusqu' k= (il y a donc termes)
Exercice 5 - RéponsePour tout entier k compris entre 1 et n
Etudions la fonction la d?iv?
?ant positive, la fonction ?ant croissante.
On fait la somme de n termes depuis k=1 jusqu' k=n
et en divisant chaque membre par n
En appliquant le th?r?e du "sandwich" (ou des gendarmes)
et
On fait la somme de 2n termes depuis k=1 jusqu' k=2n (il y a donc 2n termes)
On fait la somme de termes depuis k=1 jusqu' k= (il y a donc termes)
Exercice 6 - RéponseOn d?ompose la fraction rationnelle en ??ents simples:
Les termes disparaissent comme "des dominos"
Exercice 7 - Réponse
En utilisant la formule du bin?e de Newton, on a :
Puisque tous les termes sont positifs.
Exercice 8 - RéponseCe sont des suites arithm?ico-g?m?riques
a)
Utilisons le th?r?e du point fixe
une limite (si elle existe) l est l'une des solutions de l'?uation
On effectue la diff?ence membre membre des deux pr??entes ?uations
la suite est une suite g?m?rique de raison -2/5 et de premier terme
Exercice 9 - Réponse
L'?uation du point fixe n'admet pas de solution r?lle, la suite n'admet pas de limite
Appliquons le th?r?e du point fixe
les seules solutions possibles sont est constante et tous les termes
de la suite sont ?aux 1 (resp -6)
Pour que la suite existe, on doit avoir
Si cette condition est v?ifi?, posons
La suite est une suite g?m?rique de raison -2/5
conclusion
Exercice 10 - Réponse
En conclusion
Exercice 11 - Réponse
Exercice 12 - Réponse
est stable par f
L'?uation du point fixe admet une seule solution l=2
f est croissante sur I
la suite est croissante et major? par 2; elle converge et
la suite est d?roissante et minor? par 2; elle converge et
la suite est constante et ?ale 2 Exercice 13 - Réponse
le tableau de variation de la fonction montre que est stable par f
l'?uation du point fixe conduit
f admet deux points fixes
f est croissante donc est monotone
la suite est croissante et major? par 1/2
la suite converge vers un r?l
Exercice 14 - RéponseOn montre par r?urrence
L'?uation du point fixe
posons
la fonction est strictement croissante
donc l'?uation admet une solution et une seule par dichotomie, on montre que
f est donc d?roissante sur I
Le tableau de variation de la fonction f montre que : donc f est contractante
Ecrivons l'in?alit des accroissements finis
Ecrivons la relation pr??ente l'ordre (n-1)
puis pour n=0
En faisant le produit membre membre de ces n relations, on obtient
La suite converge vers l
Exercice 15 - RéponseTous les termes de la suite sont positifs
est stable par f
l'?uation du point fixe conduit
Cette ?uation n'admet qu'une seule solution l=1 sur I La fonction f est d?roissante sur I, on forme donc qui est croissante sur I
l'?uation du point fixe conduit
les deux suites extraites de rang pair et de rang impair ayant la m?e limite V=W la suite de
terme g??al est convergente
Exercice 16 - RéponseTous les termes de la suite sont positifs
le tableau de variation de la fonction montre que est stable par f
l'?uation du point fixe conduit
posons
la fonction est strictement croissante
donc l'?uation admet une solution et une seule par dichotomie, on montre que
La fonction f est d?roissante sur I, on forme donc qui est croissante sur I
l'?uation du point fixe conduit
?uation qui admet trois solutions dans I
les deux suites extraites de rang pair et de rang impair ayant des limites diff?entes la suite de terme g??al est divergente: elle n'admet pas de limiteExercice 17 - Réponse
le tableau de variation de la fonction montre que est stable par f
l'?uation du point fixe conduit
La fonction f est d?roissante sur I, on forme donc qui est croissante sur I
l'?uation du point fixe conduit
les deux suites extraites de rang pair et de rang impair ayant la m?e limite V=W
la suite de terme g??al est convergente
Exercice 18 - Réponse
le tableau de variation de la fonction montre que est stable par f
l'?uation du point fixe conduit
La fonction f est d?roissante sur I, on forme donc qui est croissante sur I
l'?uation du point fixe conduit
les deux suites extraites de rang pair et de rang impair ayant des limites diff?entes
la suite de terme g??al est divergente: elle n'admet pas de limite
Exercice 19 - Réponse
Exercice 20 - Réponse
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Séries numériques - Réponses
Exercice 1 - Réponse
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Calculer la limite suivante :
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Exercice 4
Calculer la limite suivante :
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Exercice 5
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Exercice 6
Etudier la continuité de la fonction :
Réponse
Exercice 7
Peut-on prolonger par continuité les fonctions f et g définies sur par :
Réponse
Exercice 8
Déterminer le prolongement par continuité de la fonction f définie sur par :
Réponse
Exercice 9
Réponse
Exercice 10
Réponse
Exercice 11
Réponse
Exercice 12
Réponse
Exercice 13
Réponse
Exercice 14
Réponse
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Fonctions : limite-continuité - Réponses
Exercice 1 - Réponse
On multiplie et on divise par chacune des quantit? conjugu?s
Exercice 2 - Réponse
On multiplie et on divise par chacune la quantit conjugu?
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
RAPPEL
Exercice 8 - Réponse
Utilisons la formule du bin?e de Newton :
Apr? simplification :
Lorsque x tend vers z?o, tous les termes comprenant x ?ev une puissance positive disparaissent
On peut prolonger par continuit la fonction en posant :
Exercice 9 - Réponse
RAPPEL
Exercice 10 - Réponse
Exercice 11 - Réponse
Exercice 12 - Réponse
Exercice 13 - Réponse
Exercice 14 - Réponse
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Dérivées - Différentielles
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Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Réponse
Exercice 4
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
Exercice 7
Réponse
Exercice 8
Réponse
Exercice 9
Réponse
Exercice 10
Réponse
Exercice 11
Réponse
Exercice 12
Réponse
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Dérivées - Différentielles - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Rappel
Exercice 6 - Réponse
Rappel
On utilise la formule de Leibniz donnant la d?iv? ni?e d'un produit
La formule de Leibniz ne comporte que 3 termes (propri? de nilpotence)
Exercice 7 - Réponse
Rappel
Formule d'Euler
Exercice 8 - Réponse
Exercice 9 - Réponse
Exercice 10 - Réponse
Continuit en 0
f est prolongeable par continuit en 0 en posant f(0)=0
d?iv? en 0
Le prolongement par continuit de f en 0 est d?ivable en 0 d?iv? sur
f'est continue sur
f admet donc un prolongement de classe Exercice 11 - Réponse
Exercice 12 - Réponse
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Formule de Taylor
Rappel de cours
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Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Réponse
Exercice 4
Montrer que :
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
Exercice 7
Soit f une fonction dérivable, à un ordre aussi élevé qu'il sera utile.
En précisant dans chaque cas les hypothèses sur f, calculer :
Réponse
Exercice 8
Réponse
Exercice 9
Réponse
Exercice 10
Réponse
Exercice 11
Réponse
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Formule de Taylor - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Utilisons le th?r?e des accroissements finis avec :
il existe au moins une valeur
Exercice 5 - Réponse
RAPPEL
On applique la formule des accroissements finis la fonction
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
Exercice 8 - Réponse
Exercice 9 - Réponse
Exercice 10 - Réponse
Exercice 11 - Réponse
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LA RECURRENCE
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Rappel de cours
Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Réponse
Exercice 4
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
Exercice 7
Réponse
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La recurrence - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
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Fonctions trigonomètriques réciproques
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Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Réponse
< 4>
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
Exercice 7
Réponse
Exercice 8
Réponse
Exercice 9
Réponse
Exercice 10
Réponse
< 11>
Réponse
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Fonctions trigonomètriques réciproques - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
Exercice 8 - Réponse
Exercice 9 - Réponse
Exercice 10 - Réponse
Exercice 11 - Réponse
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Fonctions hyperboliques
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Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Réponse
Exercice 4
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
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Fonctions hyperboliques - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
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SERIES ENTIERES
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Rappel de cours
Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Réponse
Exercice 4
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
Exercice 7
Réponse
Exercice 8
Réponse
Exercice 9
Réponse
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Séries entières - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
Exercice 8 - Réponse
Exercice 9 - Réponse
Exercice 10 - Réponse
Exercice 11 - Réponse
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SUITES DE FONCTIONS
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Rappel de cours
Exercice 1
Réponse
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Réponse
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Exercice 4
Réponse
Exercice 5
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Exercice 6
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Suites de fonctions - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
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SERIES DE FOURIER
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Rappel de cours
Rappels de cours
Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
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Exercice 4
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Exercice 5
Réponse
Exercice 6
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Exercice 7
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Exercice 8
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Séries de Fourier - Réponses
Exercice 1 - Réponse
Exercice 2 - Réponse
Exercice 3 - Réponse
Exercice 4 - Réponse
Exercice 5 - Réponse
Exercice 6 - Réponse
Exercice 7 - Réponse
Exercice 8 - Réponse
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Le binome de Newton
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Exercice 1
Réponse
Exercice 2
Réponse
Exercice 3
Voir généralisation exercice 7Réponse
Exercice 4
Réponse
Exercice 5
Réponse
Exercice 6
Réponse
Exercice 7
Réponse
Exercice 8
Réponse
Exercice 9
Réponse
Exercice 10
Réponse
Exercice 11
Réponse
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Polynomes
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Exercice 1
Effectuer la division suivant les puissances décroissantes du polynôme
par le polynôme
Trouver les quatre coefficients réels a,b,c et d de la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F :
Réponse
Exercice 2
Vérifier que l'équation admet deux racines complexes conjuguées.
Effectuer la division suivant les puissances décroissantes du polynôme par le polynôme .
Trouver les quatre coefficients réels a,b,c et d de la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle F :
Réponse
Exercice 3
Effectuer la division suivant les puissances croissantes à l'ordre h=1 du polynôme par le polynôme .
Trouver les trois coefficients réels de la décomposition en éléments simples
de la fraction rationnelle F :
Réponse
Exercice 4
Soit le polynôme
Calculer P(1) puis P(2).
En déduire la factorisation du polynôme P(X) dans .Réponse
Exercice 5
Calculer P(1+i)
En déduire les solutions de P(z)=0.Réponse
Exercice 6
Montrer que le polynôme admet une racine double.
En déduire la décomposition en produit de polynômes irréductibles dans .
Réponse
Exercice 7
Montrer que le polynôme admet une racine double.En déduire la décomposition en produit de polynômes irréductibles dans .
Réponse
Exercice 8
Factoriser, en produits de polynômes irréductibles dans le polynôme .
Réponse
Exercice 9
Déterminer l'ordre de multiplicité de la racine 1 du polynôme
.
Réponse
Exercice 10
.
Réponse
Exercice 11
a et b étant des nombres réels, déterminer tous les polynômes de de la forme
ayant un zéro d'ordre de multiplicité égal à 3.
Factoriser dans les polynômes obtenus.Réponse
Exercice 12 (difficile)
Déterminer pour que le polynôme
ait une racine quadruple.
Réponse
Exercice 13
Trouver les racines de P(X) sachant que la différence de deux d'entre elles vaut 1.Réponse
Exercice 14
Trouver les racines de P(X) sachant que le produit de deux d'entre elles vaut 2.Réponse
Exercice 15
Déterminer .
Dans ce cas résoudre l'équation.Réponse
Exercice 16
(cet exercice n'est pas au programme des IUT ni des BTS)
Factoriser le polynôme :
Réponse
Exercice 17
(cet exercice n'est pas au programme des IUT ni des BTS)
Factoriser le polynôme :
Réponse
Exercice 18
(cet exercice n'est pas au programme des IUT ni des BTS)
Factoriser le polynôme :
Réponse
Exercice 19
(cet exercice n'est pas au programme des IUT ni des BTS)
Réponse
Exercice 20
(cet exercice n'est pas au programme des IUT ni des BTS)
Réponse
Exercice 21
(cet exercice n'est pas au programme des IUT ni des BTS)
Réponse
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Polynomes - Réponses
Exercice 1 - Réponse
On effectue la division euclidienne (ou division suivant les puissances d?roissantes) de A(x) par B(x) on ?rit la preuve de la division
On divise les 2 membres de l'?alit pr??ente par (x-1), on obtient :
Soit a=1 b=1 c=3 d=-2
Exercice 2 - Réponse
a=2 b=-2 c=1 d=1Exercice 3 - Réponse
On effectue la division suivant les puissances croissantes l'ordre h=1 on ?rit la preuve de la division
On divise les 2 membres de l'?alit pr??ente par , on obtient :
Exercice 4 - Réponse
Le trin?e du second degr est discriminant n?atif. La d?omposition en produits de polyn?es irr?uctibles sur le corps des r?ls est ainsi eff?tu?.
Remarque : La d?omposition en produits de polyn?es irr?uctibles sur le corps des complexes serait :
Exercice 5 - Réponse
RAPPEL Le polyn?e P est coefficients r?ls, s'il admet une valeur
Exercice 6 - Réponse
RAPPELLes polyn?es irr?uctibles de sont
les bin?es du premier degr les trin?es du second degr discriminant n?atif
Seules les valeurs 0 et 1 peuvent ?re racines doubles
Exercice 7 - Réponse
La seule racine r?lle du polyn?e d?iv? est 1
Le trin?e du second degr est discriminant n?atif.La d?omposition en produits de polyn?es irr?uctibles sur le corps des r?ls est ainsi eff?tu?.Exercice 8 - Réponse
RAPPEL
On utilise l'identit remarquable
Les quatre trin?es du second degr sont discriminant n?atif.La d?omposition en produits de polyn?es irr?uctibles sur le corps des r?ls est ainsi eff?tu?.Exercice 9 - Réponse
P(1)=0, alors 1 est au moins racine simple
1 est au moins racine double
1 est au moins racine triple
1 n'est pas racine d'ordre 4 et par cons?uent 1 est exactement racine triple. On peut donc
mettre , en facteurs.
Le polyn?e ?ant de degr 5, on peut ?rire
En d?eloppant et en identifiant, on obtient
Soit la factorisation Exercice 10 - Réponse
La condition divise ?uivaut est racine triple de l'?uation
1 est bien racine tripleExercice 11 - Réponse
Exercice 12 (difficile) - Réponse
Exercice 13 - Réponse
RAPPEL Soit les racines (non n?essairement distinctes) du polyn?es du troisi?e degr?
Les relations entre les coefficients du polyn?e et les racines sont :
L'?onc donne la condition suppl?entaire :
D'o le syst?e :
Les solutions sont :
Remarque : Ne pas oublier de v?ifier en effectuant le produit
Exercice 14 - Réponse
RAPPEL Soit les racines (non n?essairement distinctes) du polyn?es du quatri?e degr
On pose
Les relations entre les coefficients du polyn?e et les racines sont :
L'?onc donne la condition suppl?entaire :
On obtient successivement
La factorisation
Les racines sont
Remarque: le polyn?e est coefficients r?ls et les racines complexes sont bien deux deux conjugu?s.Exercice 15 - Réponse
RAPPEL: voir les formules de l'exercice pr??ent.
L'?onc donne la condition suppl?entaire
On obtient successivement
La factorisation
Les racines sont
Exercice 16 - Réponse
RAPPEL
Polyn?e coefficients entiers relatifs.
Ce produit n'est pas scind sur le corps des r?ls.
Par contre , est scind sur le corps des complexes.
Exercice 17 - Réponse
RAPPEL
Polyn?es dont les coefficients sont sym?riques
Exercice 18 - Réponse
RAPPEL
Polyn?es dont les coefficients sont antisym?riques
Exercice 19 - Réponse
Exercice 20 - Réponse
Exercice 21 - Réponse
Exercice 22 - Réponse
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NOMBRES COMPLEXES
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Exercices à télécharger au format pdf
Corrections à télécharger au format pdf
Rappel de cours
Exercice 1
Ecrire sous la forme a+bi les nombres complexes suivants :
Réponse
Exercice 2
Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants :
En déduire la forme exponentielle de ces nombres complexes.
Réponse
Exercice 3
Trouver le module et l'argument du nombre complexe :
Réponse
Exercice 4
Résoudre dans l'équation
En déduire les solutions dans de l'équation
Réponse
Exercice 5
Résoudre dans l'équation sachant que l'une des solutions est imaginaire pure.
Réponse
Exercice 6
Résoudre dans l'équation sachant que l'une des solutions est réelle.
Réponse
Exercice 7
Linéariser les polynômes trigonométriques suivants :
Réponse
Exercice 8
Trouver le module et l'argument des nombres complexes suivants :
Réponse
Exercice 9
Réponse
Exercice 10
Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que les points
d'affixes soient alignés.
Réponse
Exercice 11
Réponse
Exercice 12
Réponse
Exercice 13
Réponse
Exercice 14
Réponse
Exercice 15
Réponse
Exercice 16
Réponse
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