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Mathematiques pour les RTModules M1, M2 et M3

Cyrille SICLET, [email protected] BARAS, [email protected] GERBAUX, [email protected]

IUT Departement Reseaux & Telecommunications

Version 2012b

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Mathematiques pour les RT, Modules M1, M2 et M3

mailto:[email protected]



Les nombres complexes Polynomes Fractions rationnelles

Module 1

Fondamentaux d’algebre et detrigonometrie

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M1. - Les Maths en RT

Objectif

Maitriser les outils mathematiques utiles pour les reseaux et les telecoms.

Les modules

M1 (S1) : Fondamentaux d’algebre et de trigonometrie

M2 (S1) : Fondamentaux d’analyse

M3 (S1) : Calcul integral et equations differentielles

M4 (S2) : Transformations de Laplace et de Fourier

M5 (S2) : Series et series de Fourier

M6 (S3) : Mathematiques pour le traitement du signal numerique

MC1 (S4) : Algebre lineaire (PE)

MC2 (S4) : Probabilites (PE)

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M1. - Module M1, Fondamentaux d’algebreet de trigonometrie

Volume horaire :

27 heures17 seances de cours-td (17 × 1h30),1 DS (1 × 1h30)

Evaluation

Controle continu : coeff 1+ 1 a 2 controles courts par semaine portant sur des exercices-types corriges lors

des seances precedentes+ 8 controles sur 2,5 points

Devoir surveille final : coeff 3

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1 Les nombres complexesUn peu d’histoireAlgebre des nombres complexesApplication a la geometrie : interpretation geometriqueApplication a la geometrie : transformations du plan et lieugeometriqueApplication a la trigonometrieApplication a l’electricite

2 Polynomes

3 Fractions rationnelles

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M1. 1.1. - Un peu d’histoire

ecole italienne (Cardan, Bombelli), autour de 1570 ;

introduits pour resoudre les equations du troisieme degre x3 + px + q = 0

x =3

√−q

2+

√q2

4+

p3

27+

3

√−q

2−√

q2

4+

p3

27

Exemple 1 (Equation x3 − x = 0 (avec p = −1 et q = 0))

Solution evidente : 0, pourtant la formule precedente ne marche pas :q2

4 + p3

27 = −1/27 < 0, mais si on admet l’existence de√−1, on retrouve

bien x = 0 :

x =3

√√− 1

27+

3

√−√−1

27

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M1. 1.2.1. - Ensemble des complexes C

Definition 2 (Ensemble des complexes C)

C est l’ensemble des couples (x , y) ∈ R×R muni de deux lois decomposition internes (notees + et ·) definies par :

loi d’addition sur C : ∀(x , y) ∈ C et ∀(x ′, y ′) ∈ C,(x , y) + (x ′, y ′) = (x + x ′, y + y ′) ;

loi de multiplication sur C : ∀(x , y) ∈ C et ∀(x ′, y ′) ∈ C,(x , y) · (x ′, y ′) = (xx ′ − yy ′, xy ′ + yx ′)⇒ en particulier, (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) ;

x est appele partie reelle et y est appele partie imaginaire.On utilise en general l’ecriture commune : z = x + jy ou j est lecomplexe defini par j = (0, 1) ; on peut alors parler de z comme unnombre complexe. On note : x = Re{z} et y = Im{z}.

Remarques :

Les reels sont des cas particuliers des complexes

Les nombres complexes de la forme (0, y) avec y quelconque sont appelesdes imaginaires purs

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M1. 1.2.1. - C, un corps commutatif

Propriete 3 (Addition dans C)

Soient (x , y), (x ′, y ′), (x ′′, y ′′) trois complexes. L’addition :

1 est commutative : (x , y) + (x ′, y ′) = (x ′, y ′) + (x , y) ;

2 est associative :((x , y) + (x ′, y ′)

)+ (x ′′, y ′′) = (x , y) +

((x ′, y ′) + (x ′′, y ′′)

);

3 possede un element neutre (0, 0) ;

4 definit l’oppose de (x , y) comme etant (−x ,−y).

Remarques : Soient (a, b) et (α, β) deux complexes.

On dit que (a, b) est un element neutre de l’addition si pour toutcomplexe (x , y), on a (a, b) + (x , y) = (x , y).

L’addition possede un unique element neutre (a, b) = (0, 0).

On dit que (α, β) est un oppose du complexe (x , y) lorsque(α, β) + (x , y) = (a, b) ou (a, b) est l’element neutre de la loi d’addition(c’est-a-dire (0, 0)).

Tout nombre complexe possede un oppose unique.

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M1. 1.2.1. - C, un corps commutatif

Propriete 4 (Multiplication dans C)

Soient (x , y), (x ′, y ′), (x ′′, y ′′) trois complexes. La multiplication :

1 est commutative : (x , y) · (x ′, y ′) = (x ′, y ′) · (x , y) ;

2 est associative :((x , y) · (x ′, y ′)

)· (x ′′, y ′′) = (x , y) ·

((x ′, y ′) · (x ′′, y ′′)

);

3 possede un element neutre (1, 0) ;

4 definit l’inverse de (x , y) comme etant (x

x2 + y 2,− y

x2 + y 2) ;

5 est distributive sur l’addition :(x , y) · ((x ′, y ′) + (x ′′, y ′′)) = ((x , y)·(x ′, y ′)) + ((x , y)·(x ′′, y ′′)).

Remarques :

Toutes ces proprietes font de C un corps commutatif.

On dit que (α, β) est l’inverse du complexe (x , y) lorsque(α, β).(x , y) = (1, 0) ou (1, 0) est l’element neutre de la loi demultiplication.

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M1. 1.2.1. - Module et conjugue

Definition 5 (Module)

Soit z = (x , y) un complexe. Le module de z , note |z |, est defini par :

|z | =√

x2 + y 2.

Remarque : lorsque z est un reel, le module est la valeur absolue.

Definition 6 (Conjugue)

Le conjugue de z est le nombre complexe note z ou z∗ defini parz = z∗ = x − jy = (x ,−y)

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M1. 1.2.1. - Module et conjugue

Propriete 7 (Module et conjugue)

Soient z = (x , y), z1 = (x1, y1) et z2 = (x2, y2) trois nombres complexes.Alors :

1 |z1z2| = |z1||z2| et

∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

2 Inegalite triangulaire :∣∣|z1| − |z2|

∣∣ ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

3 x = Re{z} = Re{z∗} =z + z∗

2et y = Im{z} = − Im{z∗} =

z − z∗

2j

4 zz∗ = |z |2

51

z=

z∗

|z |26 (z1 + z2)∗ = z∗1 + z∗2

7 (z1z2)∗ = z∗1 z∗2

8

(z1

z2

)∗=

z∗1z∗2

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M1. 1.2.2. - Exercices-types

Exercice 1.1. Exercice-type :

Soit z =(1 + 2j)(2− j)

1− j.

1 Calculer z , c’est-a-dire ecrire z sous la forme x + jy ou l’on identifieraclairement la partie reelle x et la partie imaginaire y de z .

2 Donner le module et le conjugue du complexe precedent.

Memes questions pour z =(1− j)(1 + j)

2− j.

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M1. 1.2.2. - Exercices-typesExercice 1.2. Manipulations de complexe : Ecrire les complexes suivants sousla forme x + jy :

1 z1 = (1 + 2j)2, z∗1 et |z1| ; (resultats : z1 = −3 + 4j , z∗1 = −3− 4j et|z1| = 5) ;

2 z2 = j7, z∗2 et |z2| ; (resultats : z2 = −j , z∗2 = j et |z2| = 1) ;

3 z3 = (2− 3j)(1− j), z∗3 et |z3| ; (resultats : z3 = −1− 5j , z∗3 = −1 + 5j et|z3| =

√26) ;

4 z4 =2− 3j

1− j, z∗4 et |z4| ; (resultats : z4 = 2, 5− 0, 5j , z∗4 = 2, 5 + 0, 5j et

|z4| =√

262

) ;

5 z5 = (4 + 3j)3, z∗5 et |z5| ;

6 z6 =1

5 + 3j, z∗6 et |z6| ;

7 z7 =3 + 2j

3− 2j, z∗7 et |z7|.

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M1. 1.2.2. - Exercices de TD

Exercice 1.3. Demonstration de proprietes de cours : Demontrer toutes lesassertions de la propriete 7. Par la suite, elles pourront etre utilisees sans lesredemontrer.

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Exercice 1.4. Puissance de complexe : Soient n ∈ N et z = x + jy ∈ C.

Montrer que Re{zn} =

n/2∑p=0

C2pn (−1)pxn−2py 2p et

Im{zn} =

(n−1)/2∑p=0

C2p+1n (−1)pxn−2p−1y 2p+1.

On rappelle la formule du binome de Newton : pour tous complexes a et b,

(a + b)n =n∑

k=0

Cknak bn−k avec Ck

n =n!

k!(n − k)!et k! =

k∏l=1

l = 1× 2× . . .× k.

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M1. 1.3. - Interpretation geometrique

Soit z = x + jy un complexe de partie reelle x et de partie imaginaire y .

Interpretation affine : on peut definir le point M(z) du plan avec zl’affixe du point M comme le point de coordonnees cartesiennes (x , y) ;

Interpretation vectorielle : on peut definir le vecteur ~u(z) du plan avec zl’affixe du vecteur comme le vecteur reliant l’origine au point decoordonnees (x , y)

Le module de z s’interprete alors comme : r = |z | = ||−−→OM|| = ||~u||

L’argument de z est l’angle avec l’axe (O, x) :

θ = arg{z} =

(−→Ox ,−−→OM) =

(−→Ox ,−→u )

Le module et l’argument de z vont servir de coordonnees polaires aupoint M ou au vecteur ~u du plan : (r , θ)

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M1. 1.3. - Argument d’un nombre complexe

Definition 8 (Argument d’un complexe non nul)

Soit z = x + jy un complexe non nul. Alors : ∃!θ ∈]− π, π] tel quez = |z | (cos θ + j sin θ). Ce nombre (reel), note arg{z}, est appele

argument de z . Il est tel que tan(θ) =y

xavec :

si x > 0, θ ∈]−π

2, π

2

[et θ = arctan

(yx

)si x < 0 et y ≥ 0, θ ∈

]π2, π]

et θ = arctan(

yx

)+ π

si x < 0 et y < 0, θ ∈]−π,−π

2

[et θ = arctan

(yx

)− π

si x = 0, θ = π2

si y > 0 et θ = −π2

si y < 0

Remarque : arctan(

yx

)+ π et arctan

(yx

)− π designent le meme angle, a

2π pres. Par commodite, on pourra alors simplement utiliserθ = arctan

(yx

)+ π lorsque x < 0 sans se preoccuper du signe de y .

Definition 9 (Notation exponentielle d’un complexe)

Soit z un complexe de module |z | et d’argument θ. Alors z se note sousla forme exponentielle z = |z |e jθ.

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M1. 1.3. - Proprietes de l’argument

Propriete 10 (Argument d’un nombre complexe)

Soient z1 et z2 deux nombres complexes. Alors, a 2π pres :

arg{z1z2} = arg{z1}+ arg{z2} ;

arg{z1/z2} = arg{z1} − arg{z2} ;

arg{1/z1} = − arg{z1} ;

arg{z∗1 } = − arg{z1}.

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M1. 1.3. - Rappel : Reperage d’un point duplan

Un point M du plan se repere par :

ses coordonnees cartesiennes(x , y)

ses coordonnees polaires (r , θ)x

y

M(z)

x

yrθ

Le changement de coordonnees s’effectue de la facon suivante :

Coordonnees polaires −→ cartesiennes : x = r cos(θ) et y = r sin(θ)

Coordonnees cartesiennes −→ polaires : r =√

x2 + y 2 et

θ =

arctan

(yx

)si x > 0;

arctan(

yx

)+ π si x < 0;

π2

si x = 0 et y > 0;

−π2

si x = 0 et y < 0.

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Exercice 1.5. Exercice type : Soit z = 2− j .

1 Representer z graphiquement ;

2 Donner la forme polaire de z .

Meme questions pour z = −5 + 3j .

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Exercice 1.6. Exercice-type : Determiner le module et l’argument (en degres eten radians) des nombres complexes suivants, et representez-les graphiquement :

1 z1 = −1− j 2 z2 = 3− j 3 z3 = −2 + 4j 4 z4 =√

3 + j

5 z5 = −2 + j√

12 6 z6 = −4 + 4j 7 z7 = 3− 3j

Elements de reponse : |z1| =√

2, arg(z1) = −135 degres = − 3π4

radians ;

|z2| =√

10, arg(z2) = − 180π

arctan( 13) degres = − arctan( 1

3) rad ; |z3| = 2

√5,

arg(z3) = 180− 180π

arctan(2) degres = π − arctan(2) radians

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Exercice 1.7. Notation exponentielle : Determiner la notation exponentielle desnombres complexes suivants :

1 z8 = (−j)18 2 z9 = (1 + j)−23 3 z10 = (−√

3 + j)51

4 z11 =1 + j

√3√

3 + j5 z12 = 1 + cosϕ+ j sinϕ 6 z13 = (1 + j tanϕ)2

Exercice 1.8. Resolution d’equation : Resoudre dans C les equations :

1 z5 + 1− j = 0 2 z5 − (−1 + j)−1 = 0

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Exercice 1.9. Module et argument : Determiner le module et l’argument ducomplexe z tel que z = (1 + j)n + (1− j)n, avec n ∈ Z.

Exercice 1.10. Module et argument : Soit z = e jθ. Determiner le module etl’argument du complexe Z defini par : Z = z2 + z .

Exercice 1.11. Resolution d’equation : Resoudre dans C l’equation

z2 =√

3 + j , en deduire l’expression exacte de cos( π

12

)et sin

( π12

).

Exercice 1.12. Resolution d’equation : Resoudre dans C l’equationz2 − (8 + 6j)z + 15 + 30j = 0, la methode de resolution des equations dusecond degre a coefficients reels restant valable pour les coefficients complexes.

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M1. 1.4.1. - Transformations du plan

Theoreme 11 (Translation)

Soit z1 (respectivement z2) l’affixe du vecteur ~u1 (respectivement ~u2) etdu point M1 (respectivement M2) du plan. Alors :

Le vecteur ~u = ~u1 + ~u2 est d’affixe z = z1 + z2 ;

Le point M tel que−−→OM =

−−→OM1 +

−−→OM2 est d’affixe z = z1 + z2 ;

Plus generalement le point A(a), translate du point B(b) par latranslation de vecteur ~u(u), est d’affixe a = b + u ;

x

y

~u 1(z

1)

~u2 (z

2 )

~u(z)

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M1. 1.4.1. - Transformations du plan

Theoreme 12 (Symetries)

Soit z un complexe, affixe du point M. Alors :

Le point M ′(z ′), symetrique de M par rapport a l’axe des abscisses(O, x), est d’affixe z ′ = z∗ ;

Le point M ′′(z ′′), symetrique de M par rapport a l’origine, est d’affixez ′′ = −z.

x

y

\

•M(z)

•M ′(z∗)

\

•M ′′(−z)

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M1. 1.4.2. - Produit scalaire

Definition 13 (Produit scalaire)

Soient ~u1 et ~u2 deux vecteurs du plan, d’affixes respectives z1 = x1 + jy1

et z2 = x2 + jy2. Alors le produit scalaire de ~u1 et ~u2, noteindifferemment 〈~u1, ~u2〉 ou ~u1.~u2, est le nombre reel defini par :

Definition geometrique : 〈~u1, ~u2〉 = ||~u1|| ||~u2|| cos( (~u1, ~u2)

).

Definition analytique : 〈~u1, ~u2〉 = x1x2 + y1y2 ;

Definition avec les nombres complexes : 〈~u1, ~u2〉 = Re{z∗1 z2}.

Rappels :

Deux vecteurs ~u et ~v sont dits colineaires s’ils existent un reel λ non nultel que ~u = λ~v

Deux vecteurs ~u et ~v sont dits orthogonaux si 〈~u, ~v〉 = 0

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M1. 1.4.3. - Lieu geometrique

Definition 14 (Lieu geometrique)

Le lieu geometrique est l’ensemble des points (ou de maniereequivalente leurs affixes complexes) satisfaisant une condition donnee.

Exemple 15 (Des lieux geometriques : les droites, les cercles, lesdisques, ...)

Soient a, b et u trois nombres complexes. Alors :

1 La droite passant par le point A(a) et de vecteur directeur ~u(u) estd’equation parametrique D = {z ∈ C/z = a + λu, λ ∈ R} ;

2 La droite passant par le point A(a) et de vecteur normal ~u(u) estd’equation D = {z ∈ C/Re{(z − a)∗u} = 0} ;

3 La droite passant par les points A(a) et B(b) est d’equationparametrique D = {z ∈ C/z = a + λ(b − a), λ ∈ R} ;

4 Le cercle de centre A(a) et de rayon R est : C = {z ∈ C/|z − a| = R} ;

5 Le disque ouvert de centre A(a) et de rayon R est :D = {z ∈ C/|z − a| < R}.

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M1. 1.4.4. - Exercices-types du CC3

Exercice 1.13. Equation de droite : Determiner l’equation de la droite D :

1 passant par le point M(1, 2) et de vecteur directeur ~u(1,−1).

2 passant par le point M(1, 2) et de vecteur normal ~u(1,−1).

3 passant par les points M(1, 2) et N(−1, 1).

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M1. 1.4.4. - Exercices-types du CC3

Exercice 1.14. Equation de droite : Determiner les equations des droites :

1 passant par les points A(1, 2) et B(−1, 0) ; (solution : x − y + 1 = 0) ;

2 passant par M(1, 1) et de vecteur normal ~u(1, 2) ; (solution :x + 2y − 3 = 0)

3 passant par M(1, 1) et de vecteur directeur ~u(1, 2) ; (solution :2x − y − 1 = 0) ;

4 mediatrice du segment [AB] avec A(1, 2) et B(−1, 0) (rappel : lamediatrice de [AB] est la droite orthogonale a la droite (AB) passant parle milieu du segment [AB]) ;

5 passant par A(1, 2) et perpendiculaire a la droite (AB) avec B(−1, 0).

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Exercice 1.15. Equations de droite dans le plan : Soient M1(x1, y1) etM2(x2, y2) deux points du plan et soit ~u(α, β) un vecteur. Determinerl’equation de la droite :

1 passant par M1 et de vecteur directeur ~u ;

2 passant par M1 et de vecteur normal ~u ;

3 passant par M1 et M2 ;

4 mediatrice du segment [M1M2] ;

5 passant par M1 et perpendiculaire a la droite (M1M2).

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Exercice 1.16. Droites dans le plan : Soient D et D′ deux droites d’equationscartesiennes respectives ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c ′ = 0 et soit P(xP , yP )un point du plan.

1 A quelle condition D et D′ sont-elles paralleles ?

2 A quelle condition D et D′ sont-elles orthogonales ?

3 Quelle est la distance de P a la droite D ?

Exercice 1.17. Lieu geometrique : Determiner l’ensemble des affixessatisfaisant les relations :

1 Im(z) > 1 2 Re(z) ≥ 12

3 0 ≤ arg(z) ≤ π4

4 |2z − 3| > 3

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M1. 1.5.1. - Exponentielle d’un complexe

Notation : exp(jθ) pour exp(jθ) = cos θ + j sin θ

Origine : developpement en serie entiere (cf. M5 ) de exp(x) donne par

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ ...+

xp

p!+ ... =

+∞∑n=0

xn

n!

Ecriture sous forme polaire : z = r . exp(jθ) = r cos θ + jr sin θ

Theoreme 16 (Formules d’Euler)

Soit θ ∈ R. Alors : cos θ =e jθ + e−jθ

2et sin θ =

e jθ − e−jθ

2j

Cas general : exp(x + jy) = exp(x) (cos y + j sin y)

Les proprietes de l’exponentielle restent vraies dans C notammentexp(z1 + z2) = exp(z1) exp(z2) et exp(nz) = (exp(z))n

Theoreme 17 (Formule de Moivre)

Soient θ ∈ R et n ∈ Z. Alors (cos θ + j sin θ)n = cos nθ + j sin nθ

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M1. 1.5.2. - Rotations

Theoreme 18 (Rotations)

Soit B le point du plan d’affixe b = xb + jyb = rb exp(jθb).

La rotation de centre 0 et d’angle θ transforme le point B en le point B ′

d’affixe b′ = xb′ + jyb′ = rb exp(j(θb + θ)) avec b′ = b exp(jθ),xb′ = xb cos(θ)− yb sin(θ) et yb′ = xb sin(θ) + yb cos(θ).

La rotation de centre A(a) et d’angle θ transforme le vecteur−→AB(b − a)

en le vecteur−−→AB ′(b′ − a) avec b′ − a = (b − a). exp(jθ)), autrement dit

b′ = a + (b − a) exp(jθ), xb′ = xa + (xb − xa) cos(θ)− (yb − ya) sin(θ) etyb′ = ya + (xb − xa) sin(θ) + (yb − ya) cos(θ)

x

y

rb •B(b)

θb

•A(a)

θ

r b

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M1. 1.5.3. - Rappels de trigonometrie : cercletrigonometrique et proprietes de base

Propriete 19 (Trigonometriede base )

Soit x un reel.

Relation fondamentale :cos2 x + sin2 x = 1

(cos x , sin x)

cos x

sin x

x

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Soit x un reel.

sin(−x) = − sin x ;cos(−x) = cos x ;tan(−x) = − tan x

(cos x , sin x)

(cos x ,− sin x)

x−x

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Soit x un reel.

sin(π/2− x) = cos x ;cos(π/2− x) = sin x ;tan(π/2− x) = 1/ tan x

(cos x , sin x)

(sin x , cos x)

x

π2 − x

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Soit x un reel.

sin(π

2+ x)

= cos x ;

cos(π

2+ x)

= − sin x ;

tan(π

2+ x)

= − 1

tan x

(cos x , sin x)

(− sin x , cos x)

x

π2 + x

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Soit x un reel.

sin(π + x) = − sin x ;cos(π + x) = − cos x ;tan(π + x) = tan x

(cos x , sin x)

(− cos x ,− sin x)

xπ + x

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Soit x un reel.

sin(π − x) = sin x ;cos(π − x) = − cos x ;tan(π − x) = − tan x

(cos x , sin x)(− cos x , sin x)

xπ − x

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Soit x un reel.

Pour tout entier relatif n,cos(nπ + x) = (−1)n cos x ;sin(nπ + x) = (−1)n sin x ;tan(nπ + x) = tan x

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M1. 1.5.4. - Rappels de trigonometrie : anglesremarquables

Angle θ 0π

6(30◦)

π

4(45◦)

π

3(60◦)

π

2(90◦)

sin(θ) 01

2

√2

2

√3

21

cos(θ) 1

√3

2

√2

2

1

20

tan(θ) 0

√3

31

√3 +∞

x

y

0◦

30◦

60◦90◦

120◦

150◦

180◦

210◦

240◦

270◦300◦

330◦

360◦

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

(√3

2 ,12

)(√

22 ,√

22

)(

12 ,√

32

)

(−√

32 ,

12

)(−√

22 ,√

22

)(− 1

2 ,√

32

)

(−√

32 ,− 1

2

)(−√

22 ,−

√2

2

)(− 1

2 ,−√

32

)

(√3

2 ,− 12

)(√

22 ,−

√2

2

)(

12 ,−

√3

2

)

(−1, 0) (1, 0)

(0,−1)

(0, 1)

30 / 354



M1. 1.5.5. - Formules d’addition, desoustraction et de duplication

Theoreme 20 (Addition et soustraction en trigonometrie)

Soient a, b ∈ R. Alors :

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

cos(a− b) = cos a cos b + sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(a− b) = sin a cos b − cos a sin b

tan(a + b) =tan a + tan b

1− tan a tan b

tan(a− b) =tan a− tan b

1 + tan a tan b

Theoreme 21 (Duplication en trigonometrie)

Soit a ∈ R. Alors :

cos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1− 2 sin2 a

sin(2a) = 2 sin a cos a

tan 2a =2 tan a

1− tan2 a

31 / 354



M1. 1.5.6. - Formules de linearisation et defactorisation

Theoreme 22 (Linearisation en trigonometrique)


cos2 a =1 + cos(2a)

2; cos a cos b =

1

2cos(a + b) +

1

2cos(a− b)

sin2 a =1− cos(2a)

2; sin a cos b =

1

2sin(a + b) +

1

2sin(a− b)

Theoreme 23 (Factorisation en trigonometrie)


sin a + sin b = 2 sin

(a + b

2

)cos

(a− b

2

);

sin a− sin b = 2 sin

(a− b

2

)cos

(a + b

2

)cos a + cos b = 2 cos

(a + b

2

)cos

(a− b

2

);

cos a− cos b = −2 sin

(a + b

2

)sin

(a− b

2

)32 / 354



M1. 1.5.7. - Definitions des fonctionstrigonometriques reciproques

Definition 24 (Arc cosinus)

Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [0, π] tel que cos(θ) = x .On l’appelle l’arc cosinus du nombre x : θ = arccos(x).

Definition 25 (Arc sinus)

Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [−π/2, π/2] tel quesin(θ) = x . On l’appelle l’arc sinus du nombre x : θ = arcsin(x).

Definition 26 (Arc tangente)

Soit x ∈ R. Il existe un unique angle θ ∈]− π/2, π/2[ tel que tan(θ) = x .On l’appelle l’arc tangente du nombre x : θ = arctan(x).

33 / 354



M1. 1.5.7. - Proprietes des fonctionstrigonometriques reciproques

Theoreme 27 (Fonctions trigonometriques reciproques)

Soit x ∈ R. Alors :

sin(arcsin(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;

cos(arccos(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;

tan(arctan(x)) = x ;

sin(arccos x) = cos(arcsin x) =√

1− x2 si x ∈ [−1, 1] ;

arcsin x + arccos x = π2

si x ∈ [−1, 1] ;

arctan(x) + arctan(1

x) =

π

2si x 6= 0 ;

sin(arctan x) =x√

1 + x2;

cos(arctan x) =1√

1 + x2.

34 / 354




Exercice 1.18. Exercice-type : Soit z = 2 exp(j(π2

+ π3

)).

1 Representer graphiquement z .

2 Donner la partie reelle et la partie imaginaire de z .

Memes questions pour z = − exp(j(π2− π

6)), puis pour z = 3 exp(j(π

4− π)).

35 / 354




Exercice 1.19. : Exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos θ et sin θ.

Exercice 1.20. : Exprimer cos4(θ) et sin4(θ) en fonction de cos(nθ) etsin(nθ), avec n ∈ N.

36 / 354



M1. 1.5.8. - Exercices de TDExercice 1.21. Demonstration de proprietes : Demontrer en utilisant lesformules d’Euler que :

1 sin(−x) = − sin x 2 cos(π/2− x) = sin x 3 sin(π/2 + x) = cos x

4 sin(π + x) = − sin x 5 cos(π − x) = − cos x 6 cos(nπ + x) = (−1)n cos x

7 sin(nπ + x) = (−1)n sin x 8 tan(nπ + x) = tan x

Exercice 1.22. Demonstration de formules trigonometriques : Demontrer que :

1 cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b 2 sin(a− b) = sin a cos b − cos a sin b

Exercice 1.23. : Soit M le point du plan de coordonnees polaires (r , θ). Quelleest la longueur de l’arc de cercle AM avec A de coordonnees polaires (r , 0) ?

37 / 354



M1. 1.5.8. - Exercices de TDExercice 1.24. : Demontrer que (cos x + sin x)2 + (cos x − sin x)2 = 2.

Exercice 1.25. : Soit f (x) = 2 sin2 x − 3 sin x + 2. Montrer quef (x) = f (π − x).

Exercice 1.26. : Soit f (x) = 3 cos2 x −5 cos x + 7. Montrer que f (x) = f (−x).

Exercice 1.27. : Soit f (x) = a cos2 x + b cos x sin x + c sin2 x + d . Montrerque f (x) = f (π + x).

Exercice 1.28. : Soit f (x) = sin3 x + cos3 x − sin x − cos x . Montrer quef (x) = f (π

2− x).

Exercice 1.29. : Resoudre les equations suivantes :

1 sin x =1

22 sin 5x = sin 3x 3 sin x = sin

(π4− 2x

)38 / 354



M1. 1.6. - Application a l’electricite : circuitsRLC en regime harmoniqueDans un probleme d’electricite, on a generalement affaire avec :

une tension : u(t) = U0 cos(ωt + ϕu) = Re{U0e jϕu e jωt}une intensite : i(t) = I0 cos(ωt + ϕi ) = Re{I0e jϕi e jωt}

En utilisant les complexes, on peut definir :

Tension/intensite complexe U = U0e jϕu et I = I0e jϕi amplitudescomplexes de la tension et de l’intensite

impedance complexe : Z =U

I= R + jX avec R la resistance et X la

reactance

bobine, inductance L : u = Ldi

dt⇒ u(t) = −LωI0 sin(ωt + ϕi ) et U = ZI

avec Z = jLω

condensateur, capacite C : i = Cdu

dt⇒ i(t) = −CωU0 sin(ωt + ϕu) et

U = ZI avec Z =1

jCω

39 / 354



1 Les nombres complexes

2 PolynomesAlgebre polynomialeEquations algebriques

3 Fractions rationnelles

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M1. 2.1.1. - Definitions

Definition 28 (Polynome)

Un polynome est une fonction de la variable complexe x a valeurs dansC de la forme :

P :

C → C

x 7→ p0 + p1x + . . .+ pnxn =n∑

k=0

pk xk

On le note P = p0 + p1X + . . .+ pnX n =n∑

k=0

pk X k

Notation : C[X ] est l’ensemble des polynomes complexes a une variable.Remarque : Tous les termes de la forme pk X k dont appele monome depuissance k .

Definition 29 (Degre d’un polynome)

Le degre d’un polynome P est le nombre note deg(P) defini par :

si P = 0, deg(P) = −∞ ;

si P 6= 0, deg(P) = max ({n ∈ N/pn 6= 0}).40 / 354



M1. 2.1.2. - Addition de polynomes

Definition 30 (Addition de polynomes)

L’addition est la transformation definie par :C[X ]× C[X ] → C[X ]

(P,Q) 7→ P + Q =+∞∑k=0

(pk + qk )X k

Propriete 31 (Addition de polynomes)

Soient P,Q ∈ C[X ]. deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q))

(C[X ],+) est un groupe a commutatif

a. Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associativeadmettant un element neutre et, pour chaque element de l’ensemble, un elementsymetrique.

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M1. 2.1.2. - Multiplication de polynomes

Definition 32 (Multiplication de polynomes)

La multiplication est la transformation definie par :C[X ]× C[X ] → C[X ]

(P,Q) 7→ P.Q =+∞∑k=0

(k∑

l=0

pl qk−l

)X k

Propriete 33 (Multiplication de polynomes)

Soient P,Q ∈ C[X ]. Alors deg P.Q = deg P + deg Q

(C[X ],+, ·) est un anneau a commutatif

a. Un anneau est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication qui se com-portent comme suit : A muni de l’addition est un groupe commutatif, la multiplicationest associative, distributive par rapport a l’addition, et elle possede un neutre.

Exemple 34 (Un produit de polynomes)

Soient P = X 2 + 2X + 3 et Q = X − 1. P.Q = X 3 + X 2 + X − 3.

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M1. 2.1.3. - Division polynomiale

Theoreme 35 (Division euclidienne (polynomiale))

Soient A ∈ C[X ] et B ∈ C[X ] \ {0}. Alors : ∃!(Q,R) ∈ C[X ]× C[X ] telque A = BQ + R avec deg R < deg B. A est appele dividente, Bdiviseur, Q quotient et R reste.

Exemple 36 (Une division euclidienne)

X 2 + 2X + 3︸︷︷︸A

= (X − 1︸︷︷︸B

)(X + 3︸︷︷︸Q

) + 6︸︷︷︸R

car

X 2 + 2X + 3 = X (X − 1) + 3X + 3 et 3X + 3 = 3(X − 1) + 6 soit :X 2 + 2X + 3 X − 1−(X 2 − X ) X + 3

3X + 3−(3X − 3)

6

43 / 354



M1. 2.1.3. - Division suivant les puissancescroissantes

Theoreme 37 (Division suivant les puissances croissantes a l’ordrep)

Soient A ∈ C[X ] \ {0}, B ∈ C[X ] \ {0} avec B(0) 6= 0, et p ∈ N∗. Alors∃!(Q,R) ∈ C[X ]× C[X ] tel que A = BQ + X p+1R avec deg Q ≤ p.

Exemple 38 (Pour des polynomes de degre p = 2)

1 + 2X + 3X 2︸︷︷︸A

= (1− X︸︷︷︸B

)(1 + 3X + 6X 2︸︷︷︸Q

) + 6︸︷︷︸R

X 3 car

1 + 2X + 3X 23 1− X−(1− X ) 1 + 3X + 6X 2

3X + 3X 2

−(3X − 3X 2)6X 2

−(6X 2 − 6X 3)6X 3

44 / 354




Exercice 1.30. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la divisioneuclidienne de 2X 3 − X 2 + X − 3 par X + 4.

Exercice 1.31. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la divisionsuivant les puissances croissantes a l’ordre 2 de X 4 + X 2 + 1 par X + 1.

45 / 354




Exercice 1.32. Exercice-type : Effectuer la division euclidienne de A par B, puissuivant les puissances croissantes a l’ordre 2 et a l’ordre 3, avec :

1 A = X 3 + X − 1 et B = X + 1 2 A = X 3 + X − 1 et B = 2X + 1

3 A = X 4 − 1 et B = X − 1 4 A = X 2 + X + 1 et B = X − 1

5 A = X 2 + 2X + 1 et B = X + 1 6 A = X 3 + 3X 2 + 3X + 1 et B = X 2 + 2X + 1

7 A = X 4 + X + 1 et B = X + 1

Reponses : 1 Q = X 2 − X + 2, R = −3, Q2 = −1 + 2X − 2X 2, R2 = 3,

Q3 = −1 + 2X − 2X 2 + 3X 3, R3 = −3 ; 2 Q = X 2/2− X/4 + 5/8,R = −13/8, Q2 = −1 + 3X − 6X 2, R2 = 13, Q3 = −1 + 3X − 6X 2 + 13X 3,

R3 = −26 ; 3 Q = X 3 + X 2 + X + 1, R = 0, Q2 = 1 + X + X 2, R2 = −1 + X ,Q3 = 1 + X + X 2 + X 3, R3 = 0

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Exercice 1.33. : Effectuer la division euclidienne de A par B, puis suivant lespuissances croissantes a l’ordre 2 et a l’ordre 3, avec :

1 A = X 5 − X 4 + X 3 + 1 et B = X 2 + 1 ;

2 A = X 7 − 5X 6 + 3X 4 + 2X 2 + X − 1 et B = X 3 + X + 1 ;

3 A = X 8 + 3X 6 − 2X 5 + 2X 3 − X + 2 et B = 2X 2 − X + 1.

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Exercice 1.34. : On cherche a approcher la fonction f (x) =1

1− xpar un

polynome au voisinage de x = 0. L’objet de cet exercice est de montrercomment le faire en utilisant la division suivant les puissance croissante.

1 Determiner le quotient et le reste de la division suivant les puissancecroissante a l’ordre 2 de 1 divise par 1− X .

2 En deduire que f (x) peut se mettre sous la formef (x) = 1 + x + x2 + x2ε(x) avec ε(x) une fonction que l’on explicitera.

3 En deduire que f (x) peut etre approximee au voisinage de x = 0 par unpolynome p(x) que l’on explicitera.

4 Deduire de 2 les valeurs des limites suivantes : limx→0

f (x)− 1

2x;

limx→0

f (x)− 1− x

x3; lim

x→0

f (x)− 1− x

3x2.

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Exercice 1.35. :

Soit n ∈ N. Montrer que

X n+1 − 1 = (X − 1)

(n∑

k=0

X k

)= (X − 1)(X n + . . .+ 1).

Soit p ∈ N. En deduire que X 2p+1 + 1 = (X + 1)

(2p∑

k=0

(−1)k X k

).

Exercice 1.36. : Soit n ∈ N. Calculer la division euclidienne de X n+1 + 1 parX − 1.

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M1. 2.2.1. - Equations algebriques

Definition 39 (Equations algebriques, racine, ordre de multiplicite)

Une equation algebrique est une equation du type P(x) = 0. Onappelle zero ou racine d’une equation algebrique tout element x0 ∈ C telque P(x0) = 0. Chaque zero (ou racine) possede un ordre demultiplicite : cet ordre est le nombre l ∈ N∗ tel que :

∃Q ∈ C[X ] tel que P = (X − x0)l Q ;

∀A ∈ C[X ], P 6= (X − x0)k A pour k > l , k entier.

Definition 40 (Derivee)

Soit P = p0 + p1X + p2X 2 + ...+ pnX n. La derivee du polynome P est lepolynome P ′ donne par : P ′ = p1 + 2p2X + ...+ npnX n−1.

Propriete 41 (Racine d’un polynome)

x0 ∈ C est racine (ou zero) d’ordre l du polynome P ∈ C[X ] ssi x0 estracine (ou zero) de P, P ′,..., P(l−1), mais pas de P(l).

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M1. 2.2.2. - Factorisation d’un polynome

Theoreme 42 (Theoreme de d’Alembert)

Tout polynome de C[X ] de degre superieur ou egal a 1 admet au moinsune racine (ou zero) complexe (eventuellement reelle).

Lemme 43 (Consequences)

Tout polynome P de C[X ] de degre n ≥ 1 admet exactement n racines xp

(ou zero) complexes (en comptant autant de fois les racines que leur ordrede multiplicite).

Factorisation d’un polynome : soient xp les racines du polynome P ayantchacune un ordre de multiplicite αp. Alors :P = pn(X − x1)α1 ...(X − xp)αp .

Factorisation d’un polynome a coefficients reels :P = pn(X−x1)α1 ...(X−xk )αk (X 2−2r1 cos θ1+r 2

1 )β1 ...(X 2−2rl cos θl +r 2l )βl .

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M1. 2.2.3. - Racine enieme de l’uniteProbleme

Chercher les racines enieme de l’unite, c’est chercher les complexes z telsque zn = 1

Theoreme 44 (Racine enieme de l’unite)

En posant z = r .exp(jθ), on a : z est solution du probleme ssi r = 1 et

θ =2kπ

navec k ∈ Z. Il y a donc n solutions.

Demonstration.

Il suffit d’egalant les modules de z et de 1 et les arguments de z et de1.

Applications

1 Racine enieme d’un nombre complexe a = % exp(jϕ) : les solutions sont

z = n√% exp

(jϕ+ 2kπ

n

)2 Racines de az2 + bz + c = 0, avec a, b, c complexes : z est racine ssi(

z − b

2a

)2

=b2

4a2− c

a=

b2 − 4ac

(2a)2. On est donc amene a chercher les

racines carrees de b2 − 4ac

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Exercice 1.37. : Donner les racines cinquiemes de l’unite.

Exercice 1.38. : Donner les racines cubiques de −1.

Exercice 1.39. : Calculer les racines :

1 5iemes de 1 2 4iemes de -1 3 cubiques de j

4 carrees de −j 5 5iemes de 1 + j 6 5iemes de√

3 + j

Reponses : 1 ωk = exp(j 2kπ5

), avec 0 ≤ k ≤ 4 ; 2 ωk = exp(j (2k+1)π4

), avec

0 ≤ k ≤ 3 ; 3 ωk = exp(j (2k+1/2)π3

), avec 0 ≤ k ≤ 2

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Exercice 1.40. : Resoudre dans C :

1 (1 + z)n = (1− z)n 2 z5 + 1− j = 0

3 z5 − (−1 + j)−1 = 0 4 1 + z + z2 + · · ·+ zn = 0

Exercice 1.41. : Determiner les racines, eventuellement complexes, despolynomes :

1 X 4 − X 2 − 1 = 0 ;

2 X 4 + X 3 − X − 1 = 0 ;

3 X 4 − 3X 3 + 4X 2 − 3X + 1 = 0 ;

4 X 5 + 4X 4 + 5X 3 + X 2 − 2X − 1 = 0 ;

5 X 5 − 2X 4 − X 3 + 3X 2 − 1 = 0.

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Exercice 1.42. : Un dromadaire herita d’un terrain carre a brouter dont lasurface etait inferieure d’une seule longueur de baton a celle de son cote. Ilcreva de faim... Pourquoi ?

Exercice 1.43. : Le nombre d’or est la proportion, definie initialement engeometrie, comme l’unique rapport entre deux longueurs telles que le rapportde la somme des deux longueurs (a + b) sur la plus grande (a) soit egal a celuide la plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-a-dire lorsque (a + b)/a = a/b.Le decoupage d’un segment en deux longueurs verifiant cette propriete estappele par Euclide decoupage en extreme et moyenne raison. Le nombre d’orest maintenant souvent designe par la lettre φ en l’honneur du sculpteurPhidias qui l’aurait utilise pour concevoir le Parthenon. (source : wikipedia).Calculer le nombre d’or.

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1 Les nombres complexes

2 Polynomes

3 Fractions rationnellesAlgebre des fractions rationnellesDecomposition en Elements Simples (DES) de premiere espece apoles simplesDecomposition en elements simples de premiere espece a polesmultiplesDecomposition en elements simples de seconde espece

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Definition 45 (Fractions rationnelles)

Une fraction rationnelle est une fonction de la variable complexe x avaleurs dans C de la forme :

F :

C → C

x 7→ P(x)

Q(x)=

p0 + p1x + . . .+ pnxn

q0 + q1x + . . .+ qk xk

On la note F =p0 + p1X + . . .+ pnX n

q0 + q1X + . . .+ qk X k.

Notation : l’ensemble des fractions rationnelles est note C(X )

Propriete 46 (Egalite de deux fractions rationnelles)

Soient F1 = P1/Q1 et F2 = P2/Q2 deux fractions rationnelles. Alors :F1 = F2 lorsque P1Q2 = P2Q1.

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M1. 3.1.2. - Addition de fractions rationnelles

Definition 47 (Addition de fractions rationnelles)

L’addition de deux fractions rationnelles est une loi de compositioninterne sur C(X ) definie par : C(X )× C(X ) → C(X )(

P1

Q1,

P2

Q2

)7→ P1

Q1+

P2

Q2=

P1Q2 + Q1P2

Q1Q2

Propriete 48 (Addition de fractions rationnelles)

(C(X ),+) est un groupe commutatif.

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M1. 3.1.2. - Multiplication de fractionsrationnelles

Definition 49 (Multiplication de fractions rationnelles)

La multiplication de deux fractions rationnelles est une loi de compositioninterne sur C(X ) definie par : C(X )× C(X ) → C(X )(

P1

Q1,

P2

Q2

)7→ P1P2

Q1Q2

Propriete 50 (Multiplication de fractions rationnelles)

(C(X ),+, ·) est un corps commutatif.

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M1. 3.1.3. - Poles et zeros

Definition 51 (Fraction irreductible)

Soit F = PQ ∈ C(X ). On dit que F est irreductible si les polynomes P et

Q n’ont pas de racines communes.

Definition 52 (Pole)

Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible. Les zeros (ou racines) de Q

sont appelees les poles de F . On dit qu’un pole est d’ordre α si c’est uneracine d’ordre α de Q.

Definition 53 (Zero)

Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible. Les zeros (ou racines) de P

sont appelees les zeros de F . On dit qu’un zero est d’ordre α si c’est uneracine d’ordre α de P.

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M1. 3.2.1. - Preambule : pourquoi decomposeren elements simples ?

Exemple de probleme

Question : Trouver une primitive d’une fonction f (x).Methode : decomposer f (x) en une somme de fractions plus simples.

Exemple 54 (Trouver une primitive de f(x) =1

x2 + x)

Comme f (x) = 1x − 1

x+1 , on en deduit une primitiveF (x) = ln |x | − ln |x + 1|

Exemple 55 (Trouver une primitive de g(x) =x5 + 2x4 + x3 + 1

x3 + 2x2 + x)

Comme g(x) = x2 +1

x− 1

(x + 1)2− 1

x + 1, alors une primitive est

G (x) = x3

3 + ln |x |+ 1x+1 − ln |x + 1|.

Ces fractions plus simples sont appelees elements simples de premiereespece.

Question

Comment decomposer une fraction en elements simples en general ?

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M1. 3.2.2. - Partie entiere d’une fractionrationnelle

Theoreme 56 (Partie entiere d’une fraction rationnelle)

Soit F = PQ ∈ C(X ). ∃!(E ,R) ∈ C(X )× C(X ) tel que F = E +

R

Qavec

deg(R) < deg Q. E est appele partie entiere de F

Exemple 57 (Des parties entieres)

1 La partie entiere de G =X 5 + 2X 4 + X 3 + 1

X 3 + 2X 2 + Xvaut X 2 et

G = X 2 +1

X 3 + 2X 2 + X;

2 Celle de F =1

X 2 + Xvaut 0 et F = 0 +

1

X 2 + X.

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M1. 3.2.2. - Partie entiere d’une fractionrationnelle

Demonstration.

Determinons la partie entiere E de F : F = E +R

Q⇐⇒

{P = EQ + RF = P

Q

Theoreme 58 (Partie entiere d’une fraction rationnelle)

La partie entiere E de F = PQ est le quotient de la division euclidienne de

P (autrement dit le numerateur de F ) par Q (le denominateur de F ). Deplus, R est reste de la division euclidienne de P par Q.

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M1. 3.2.3. - Decomposition en elementssimples de premiere espece a poles simples

Definition 59 (Elements simples de premiere espece simple)

On appelle elements simples de premiere espece simple toute fraction du

type1

(X − x0)avec x0 ∈ C.

Propriete 60 ()

Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible de partie entiere E et de

poles simples x1, ..., xp. Alors, F peut s’ecrire de maniere unique sous laforme :

F = E +a1

X − x1+

a2

X − x2+ · · ·+ ap

X − xp

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M1. 3.2.3. - Methodes de decomposition

Methodologie 61 (Methodes de Decomposition en ElementsSimples (DES) de premiere espece simple)

Soit F = PQ ∈ C(X ) la fraction a decomposer.

1 Calculer la partie entiere (division euclidienne de P par Q) pour obtenirF = E + P1

Q

2 Factoriser Q (calcul des zeros et de leur ordre de multiplicite)

3 Decomposer P1Q

en elements simples de premiere espece en utilisant l’unedes methodes 62, 64 ou 66

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M1. 3.2.3. - Methode par identification

Methodologie 62 (Methode par identification)

On identifie la fraction rationnelle de depart et sa DES en remettant lestermes de la decomposition sur le meme denominateur.

Exemple 63 (DES de F =1

X2 + X)

F possede 2 poles simples x1 = 0 et x2 = −1 donc F =1

X (X + 1). Le

degre du numerateur est plus petit que celui du denominateur, donc lapartie entiere est nulle (E = 0) et F peut s’ecrire sous la forme :

F =a

X+

b

X + 1. On a donc F =

a(X + 1) + bX

X (X + 1)=

(a + b)X + a

X (X + 1). On

en deduit que a + b = 0 et a = 1. D’ou b = −1 et F =1

X− 1

X + 1.

Remarque : Avec cette methode, on peut aboutir a la resolution d’unsysteme d’equations lineaires qui peut etre long a etudier.

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M1. 3.2.3. - Methode par prise de valeurs

Methodologie 64 (Methode par prise de valeurs)

On evalue la fraction rationnelle et sa decomposition pour des valeurssimples (X = 0,X = 1, . . .) en nombre suffisant pour aboutir a unsysteme d’equations lineaire a resoudre.


X2 + X)

On a F =a

X+

b

X + 1. Comme F (1) =

1

2= a +

b

2et

F (2) =1

6=

a

2+

b

3, d’ou le resultat en resolvant un systeme de deux

equations a deux inconnues.

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M1. 3.2.3. - Methode pour des racines simples

Methodologie 66 (Methode pour des racines simples)

Si les racines de Q sont simples (c’est-a-dire d’ordre 1), alors :

F = E +a1

X − x1+ · · ·+ ap

X − xp. Pour obtenir le coefficient al avec

l ∈ J1, pK, il suffit de calculer F (x).(x − xl ) pour x = xl .

Demonstration.

F .(X − xl ) = al + (X − xl )

E +∑k 6=l

ak

X − xk

︸︷︷︸

=0 pour X =xl

= al pour X = xl

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M1. 3.2.3. - Exemple


X2 + X)

On a F =a

X+

b

X + 1. Par cette methode, on obtient immediatement

que a = [F × X ]|X =0 = 1 et b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1.

Remarque : si les racines de Q sont multiples : section suivante ! !

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M1. 3.2.4. - Exemple 1

Exemple 68 (DES de F =X3 − 2X + 1

X4 − 3X3 + X2 + 3X− 2)

x0 = 1 est un pole et un zero de F , on peut donc simplifier F par X − 1

(par la division euclidienne) et obtenir : F =X 2 + X − 1

X 3 − 2X 2 − X + 2. Les

valeurs 1, −1 et 2 sont des poles de F , mais pas des zeros. On en deduitque F ainsi simplifiee est maintenant irreductible et que :

F =X 2 + X − 1

(X − 1)(X + 1)(X − 2). Le numerateur de F est de degre

strictement inferieur a celui de son denominateur, donc la partie entierede F est nulle et F peut se decomposer en elements simples de premiere

espece sous la forme : F =a

X − 1+

b

X + 1+

c

X − 2avec (methode 64)

a = [F × (X − 1)]|X =1 = −1/2, b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1/6 etc = [F × (X − 2)]|X =2 = 5/3. Finalement :

F =−1/2

X − 1+−1/6

X + 1+

5/3

X − 2.

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M1. 3.2.4. - Exemple 2

Exemple 69 (DES de F =X2 + X + 1

X2 − 3X + 2)

Les poles de F sont x0 = 1 et x1 = 2, mais ce ne sont pas des zeros de F .Donc F est irreductible. De plus le degre du numerateur est egal a celuidu denominateur, donc la partie entiere de F est un polynome de degre 0(une constante non nulle). Pour la trouver, on peut effectuer la divisioneuclidienne du numerateur par le denominateur et constater que lequotient obtenu vaut 1 et que le reste vaut 4X − 1, d’ou :

F = 1 +4X − 1

(X − 1)(X − 2). On en deduit que le DES de F est de la

forme : F = 1 +a

X − 1+

b

X − 2avec (methode 64)

a = [F × (X − 1)]|X =1 =[X − 1 + 4X−1

X−2

]|X =1

= −3 et

b = [F × (X − 2)]|X =2 =[X − 2 + 4X−1

X−1

]|X =2

= 7.

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M1. 3.2.4. - Exemple 3

Exemple 70 (DES de F =X3 + 1

X− 1)

Ici, F ne comporte qu’un seul pole simple x0 = 1 qui n’est pas un zero deF . Donc la fraction est irreductible et la decomposition s’obtient enfaisant simplement la division euclidienne de X 3 + 1 par X − 1. Lequotient obtenu vaut X 2 + X + 1 et le reste vaut 2, d’ou :

F = X 2 + X + 1 +2

X − 1.

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Exercice 1.44. Exercice-type : Decomposer en elements simples la fraction

rationnelle F (X ) =1

(X + 2)(X − 1).

Exercice 1.45. Exercice-type : Decomposer en elements simples la fraction

rationnelle F (X ) =X

(X + 2)(X − 1).

Exercice 1.46. Exercice-type : Decomposer en elements simples les fractionsrationnelles suivantes :

11

(X + 1)(X − 1)2

1

(X + 1)(X − 2)3

X

(X + 1)(X − 2)4

X 2 + 1

X − 3

5X 3 + 1

X − 16

X 2 + X + 1

X 2 − 3X + 27

X + 1

X 2 − 1

Reponse : F1 =−1/2

X + 1+

1/2

X − 1; F2 =

−1/3

X + 1+

1/3

X − 2; F3 =

1/3

X + 1+

2/3

X − 2

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Exercice 1.47. : Decomposer en elements simples de premiere espece lesfractions rationnelles suivantes :

11

X 3 + 12

1

(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4)

3X + 1

(X − 1)(X + 2)(X + 3)4

1

(X − x1)(X − x2) . . . (X − xn)

Exercice 1.48. : Trouver une primitive des fonctions suivantes :

1 f (x) =x

(x + 1)(x + 2);

2 f (x) =x2 + x + 1

(x + 1)(x − 1);

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Exercice 1.49. : Soit f la fonction definie par f (x) =2x2

x2 − 1− 3

x2 + x − 21 Determiner l’ensemble de definition de f ;

2 Factoriser les polynomes x2 − 1 et x2 + x − 2 ;

3 Determiner un denominateur commun aux fractions rationnelles2x2

x2 − 1et

3

x2 + x − 2puis ecrire f (x) sous la forme d’une fraction rationnelle notee

g(x)

h(x);

4 Determiner une racine simple du polynome g(x).

5 Simplifier l’ecriture de f (x) et resoudre l’equation f (x) = 0.

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Exercice 1.50. : Quatre cubes ont respectivement pour aretes, mesurees encentimetres, x , x + 1, x + 2 et x + 3, ou x est un nombre entier naturel.Determiner x pour que le contenu des trois cubes d’aretes x , x + 1 et x + 2remplisse exactement le cube d’arete x + 3 .

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M1. 3.3. - Decomposition en elements simplesde premiere espece generale

Definition 71 (Elements simples de premiere espece generale)

Ce sont les fractions du type1

(X − x0)n

Propriete 72 ()

Soit F = PQ ∈ C(X ) une fraction irreductible de partie entiere E et de

poles x1, ..., xp d’ordres respectifs α1, ..., αp. Alors, F peut s’ecrire demaniere unique sous la forme :

F = E +a1,1

X − x1+

a1,2

(X − x1)2+ · · ·+ a1,α1

(X − x1)α1

+a2,1

X − x2+

a2,2

(X − x2)2+ · · ·+ a2,α2

(X − x2)α2

+ · · · +ap,1

X − xp+

ap,2

(X − xp)2+ · · ·+ ap,αp

(X − xp)αp

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M1. 3.3. - Methodes de decompositionefficaces generales...

Methodologie 73 (Methodes de decomposition efficaces generales)

1 calculer la partie entiere (division euclidienne de P par Q) ⇒ F = E + P1Q

2 factoriser Q (calcul des zeros et de leur ordre de multiplicite)

3 decomposer P1Q

en elements simples de premiere espece en utilisant :

si les racines de Q sont simples, la methode 74si les racines de Q sont multiples, la methode 76sinon, la methode 78

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M1. 3.3. - ... lorsque les racines de Q sontsimples

Methodologie 74 (Methodes de decomposition efficaces generaleslorsque les racines de Q sont simples)

Si les racines de Q sont simples (d’ordre 1), alors

F = E +a1

X − x1+ · · ·+ ap

X − xp. Il suffit de calculer F .(X − xl ) pour

X = xl pour obtenir al .


X2 + X)

On a vu que F =a

X+

b

X + 1. On obtient immediatement que

a = [F × X ]|X =0 = 1 et b = [F × (X + 1)]|X =−1 = −1.

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M1. 3.3. - ... lorsque les racines de Q sontmultiples

Methodologie 76 (Methodes de decomposition efficaces generaleslorsque les racines de Q sont multiples)

Si les racines de Q sont multiples, on effectue une division suivant lespuissances decroissantes.


X2(X + 1))

On a F =a1

X+

a2

X 2+

b

X + 1et 1 = (a1X + a2)(X + 1) + X 2b

(multiplication par X 2(X + 1)). Donc :

Q = a1X + a2 est le quotient de la division suivant les puissancescroissantes a l’ordre 1 de 1 par X + 1, R = b = reste

il suffit donc de poser cette division pour obtenir les coefficients de ladecomposition, soit a1 = −1, a2 = 1 et b = 1 : 1 = (1− X )(1 + X ) + X 2.

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M1. 3.3. - ... dans le cas general

Methodologie 78 (Methodes de decomposition efficaces generalesdans le cas general)

On suppose que z0 est un pole d’ordre n de la fraction rationnelle F = PQ .

Alors F =P

(X − z0)nQ1= E +

a1

X − z0+ · · ·+ an

(X − z0)n+

P1

Q1avec Q1

un polynome dont z0 n’est pas un zero. Par multiplication de l’egaliteprecedente par (X − z0)nQ1, on obtient :P =

(a1(X − z0)n−1 + · · ·+ an

)Q1 + (X − z0)n (EQ1 + P1). Posons

maintenant Y = X − z0, on obtient alors :P(Y ) =

(a1Y n−1 + · · ·+ an

)Q1(Y ) + Y n (E (Y )Q1(Y ) + P1(Y )). D’ou

a1Y n−1 + · · ·+ an est le quotient de la division suivant les puissancescroissantes a l’ordre n − 1 de P(Y ) par Q1(Y ). Il suffit de poser cettedivision pour calculer les coefficients al pour 1 ≤ l ≤ n.

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M1. 3.3. - Exemple

Exemple 79 (DES de F =(X2 + 1)2

(X− 1)6)

Le degre du numerateur est 4 et du denominateur 6, donc la partieentiere de F est nulle. F possede un seul pole x0 = 1 d’ordre 6 et estirreductible et F peut s’ecrire sous la forme :

F =a1

X − 1+

a2

(X − 1)2+

a3

(X − 1)3+

a4

(X − 1)4+

a5

(X − 1)5+

a6

(X − 1)6

On pose Y = X − 1. Alors, le polynomea1Y 5 + a2Y 4 + a3Y 3 + a4Y 2 + a5Y + a6 est egal au quotient de ladivision suivant les puissances croissantes a l’ordre 5 deF (Y )× Y 6 = ((Y + 1)2 + 1)2 = Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4 par 1,c’est-a-dire Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4. On en deduit alors immediatementque a1 = 0, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 8 et a6 = 4, d’ou :

F =1

(X − 1)2+

4

(X − 1)3+

8

(X − 1)4+

8

(X − 1)5+

4

(X − 1)6

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M1. 3.4. - Elements simples de seconde espece

Probleme

Decomposition des fractions rationnelles dans R : dans R un polynomese factorise sous la forme :

P = a(X − x1)α1 . . . (X − xk )αk (X 2 + p1X + q1)β1 . . . (X 2 + pl X + ql )βl

avec x1, . . . , xk les racines reelles d’ordre α1, . . . , αk , respectivement, deP, et p2

m − 4q2m < 0 pour 1 ≤ m ≤ l et

n = α1 + · · ·+ αk + 2(β1 + · · ·+ βl ). Donc la DES de premiere especepas toujours possibles dans R

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M1. 3.4.1. - Elements simples de secondeespece

Definition 80 (Elements simples de seconde espece)

Ce sont les fractions de la forme :aX + b

(X 2 + pX + q)n

Definition 81 (DES de 1ere et 2de espece)

La decomposition en elements simples de premiere et de secondeespece d’une fraction F est de la forme :

F = E +a1,1

X − x1+ · · ·+ a1,α1

(X − x1)α1+

+ak,1

X − xk+· · ·+ ak,αk

(X − zk )αk+

c1,1X + d1,1

X 2 + p1X + q1+· · ·+ c1,β1 X + d1,β1

(X 2 + p1X + q1)β1+· · ·+

cl,1X + dl,1

X 2 + pl X + ql+ · · ·+ cl,βl X + dl,βl

(X 2 + pl X + ql )βl

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M1. 3.4.2. - Methode de DES

Methodologie 82 (DES de 2de espece)

Les coefficients de la DES de seconde espece sont calcules :

comme pour la decomposition en elements simples de premiere espece, enprocedant par identification ou par prise de valeurs

d’une maniere generale : il faut effectuer la decomposition dans C, puisregrouper les termes conjugues pour n’obtenir que des termes reels. Onaboutit alors a la decomposition en elements simples de deuxieme espece.

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X3 + 1)

La partie entiere de F est nulle et F possede un pole reel x0 = −1. Ladivision euclidienne de X 3 + 1 par X + 1 donne : X 3 + 1 = (X + 1)(X 2 −X + 1). F possede donc deux autres poles complexes z1 et z∗1 egaux a12 ± j

√3

2 mais aucun zero. F peut donc se decomposer en elements simplesde 1ere espece sur C, mais seulement de 2de espece sur R :

F =a

X + 1+

b

X − z1+

b∗

X − z∗1=

a

X + 1+

cX + d

X 2 − X + 1

avec a = F .(X + 1)|X =−1 = 13 et b = F .(X − z1)|X =z1

= 1(z1+1)(z1−z∗1 ) =

2−3+3j

√3

= − 1+j√

36 .

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X3 + 1)

D’ou :

F =1/3

X + 1+

−(1 + j√

3)/6

X − (1/2 + j√

3/2))+−(1− j

√3)/6

X − (1/2− j√

3/2=

1/3

X + 1+

cX + d

X 2 − X + 1

Par identification, on obtient alors que c = b + b∗ = 2 Re(b) etd = −(bz∗1 + b∗z1 = −2 Re(bz∗1 )), soit finalement c = −1/3 et

d = −2 Re(− 1+j

√3

61−j√

32

)= 1

6 Re((1 + j√

3)(1 − j√

3)) = 23 . Et fi-

nalement :

F =1/3

X + 1+

(−1/3)X + 2/3

X 2 − X + 1

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Exercice 1.51. Exercices-types : Decomposer en elements simples

F (X ) =1

(X + 2)3(X − 1).

Exercice 1.52. Exercices-types : Decomposer en elements simples

F (X ) =X

(X + 2)3(X − 1).

Exercice 1.53. Exercices-types : Decomposer en elements simples de premiereespece les fractions rationnelles suivantes :

11

X (X − 1)22

1

(X − 1)2(X + 1)3

X

(X − 1)3

4X

(X − 2)25

X + 1

(X − 1)36

1

(X − 1)4

Reponses : F1 = 1X

+ 1(X−1)2 − 1

X−1; F2 = 1/4

X +1+ 1/2

(X−1)2 − 1/4X−1

;

F3 = 1(X−1)3 + 1

(X−1)2 ) ;

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Exercice 1.54. DES : Decomposer en elements simples de premiere et secondeespece les fractions rationnelles suivantes :

1(X 2 + 1)2

(X − 1)62

1

(X − 1)23

X 3 − 2X + 1

X 4 − 3X 3 + X 2 + 3X − 24

X + 1

X 2(X − 1)2

51

(X − 1)(X 2 + 1)26

X 4 + 1

X 4 + X 2 + 17

X 3

(X 2 + 1)38

X

(X 2 − 1)2(X 2 + X + 1)

Exercice 1.55. : Trouver une primitive des fonctions suivantes :

1 f (x) =x2 + x + 1

x2(x + 1);

2 f (x) =x7

(x + 1)2(x − 1).

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Generalites sur les fonctions Continuite Derivation Comportements asymptotiques Comportements locaux Synthese : Etude de fonctions

Module 2

Fondamentaux d’analyse

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4 Generalites sur les fonctionsDefinitionsCatalogue de fonctionsOperations sur les fonctionsExercices

5 Continuite

6 Derivation

7 Comportements asymptotiques

8 Comportements locaux

9 Synthese : Etude de fonctions

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M2. 4.1.1. - Fonctions

Definition 84 (Fonction reelle de la variable reelle)

Une fonction f reelle de la variable reelle est une relation qui relie unreel x au plus un reel y . L’element y se note f (x). On la note :

f :

{R −→ R

x 7−→ y = f (x)

Definition 85 (Image et antecedent)

• y = f (x) est l’image de x par f

• x est un antecedent de y = f (x) par f

Exemple 86 (La fonction carre)

f :

{R −→ R

x 7−→ x2 avec y = f (x) = x2.

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M2. 4.1.2. - Ensembles

Definition 87 (Ensemble de definition Df)

Df est le sous-ensemble de R constitue par les x qui ont une et uneseule image par f : Df = {x ∈ R/f (x) existe }

Definition 88 (Ensemble image If)

L’ensemble forme par les images de tous les elements x de Df par f estappele ensemble image If : If = {f (x) ∈ R/x ∈ Df }

Definition 89 (Ensemble d’etude Ef)

Ef est l’ensemble des points en lesquels il convient d’etudier la fonction.C’est un sous-ensemble de Df .

Exemple 90 (Fonction carre)

f :

{R −→ R

x 7−→ x2 . Df = R, If = R+ car un carre est toujours ≥ 0

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M2. 4.1.3. - Graphe geometrique

Definition 91 (Graphegeometrique Gf de f)

Gf est l’ensemble des pointsM(x , y) du plan P, d’abscisse x etd’ordonnee y = f (x) avec x variantdans Df . On le noteGf = {M (x , f (x)) ∈ P/x ∈ Df }.

Exemple 92 (La fonction cube)

f :

{R −→ R

x 7−→ x3

1 2x

1

2

y = f (x) Gcube

a

M(a, a3) a3

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M2. 4.1.4. - Regle de definition et variablemuette

Definition 93 (Regle de definition)

La regle de definition de f est l’expression de l’image y de x par f enfonction de x , autrement dit l’expression de f (x) en fonction de x .

Remarque : Dans la regle de definition, x est une variable muette

Pour calculer l’image de n’importe quel reel toto, il suffit d’utiliser laregle de definition en remplacant x par toto

Exemple 94 (Une regle de definition)

Si f (x) =x + 2

3x2 − 5, alors f (toto) =

toto + 2

3toto2 − 5.

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M2. 4.1.4. - Fonction definie par morceaux

Definition 95 (Fonction definie par morceaux)

Une fonction f de la variable x peut etre definie par plusieurs regles dedefinition, dependantes des valeurs prises par x

Exemple 96 (Valeur absolue(abs))

|x | =

{x , si x ≥ 0 (Regle 1)−x , si x < 0 (Regle 2)

avec :

• |3| = 3 car 3 ≥ 0

• | − 4| = −(−4) car −4 < 0 (cequi donne bien 4)

0 1x

1

y

y= −

x y=

x

Gabs

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M2. 4.1.4. - Fonction parametree

Definition 97 (Fonction parametree)

Une fonction f peut etre definie en fonction d’un parametre P ; sa reglede definition est souvent notee fP (x).Par rapport a la variable x , P est constant !

Exemple 98 (Fonction porteΠT(x) de parametre T)

ΠT (x) =0 , si x < −T

21

T, si − T

2≤ x <

T

2

0 , siT

2≤ x

.

0 1x

1

y

G pour T = 12

G pour T = 2

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M2. 4.1.5. - Parite

Definition 99 (Fonctionpaire)

f est paire ssi pour toutx ∈ Df , −x ∈ Df etf (−x) = f (x)

Corollaire 100 (Fonctionpaire)

Le graphe d’une fonctionf paire est symetrique, desymetrie axiale par rapporta la droite (Oy)

Ef = {x ∈ Df /x ≥ 0}

Exemple 101 (Fonction carre)

f (x) = x2 est une fonction paire

x

M(x , f (x))

−x

M ′(−x , f (x))f (x)

0 1x

1

y

x2

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M2. 4.1.5. - Impaire

Definition 102 (Fonctionimpaire)

f est impaire ssi pour toutx ∈ Df , −x ∈ Df etf (−x) = −f (x).

Corollaire 103 (Fonctionimpaire)

Le graphe d’une fonctionimpaire est symetrique, desymetrie centrale parrapport au point O(0, 0)

L’ensemble d’etudedevientEf = {x ∈ Df /x ≥ 0}

Exemple 104 (Fonction cube)

f (x) = x3 est une fonction impaire

0 1x

1

y = f (x) Gcube

−x

M(−x ,−f (x)) −f (x)

x

M(−x ,−f (x))f (x)

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M2. 4.1.5. - t-periodicite et periode T

Definition 105 (Fonctiont-periodique)

Soit t ∈ R. f estt-periodique si et seulementsi pour tout x ∈ Df ,x + t ∈ Df etf (x + t) = f (x)

Definition 106 (Perioded’une fonction)

La periode T de f est leplus petit reel positif nonnul tel que, pour toutx ∈ Df , f (x + T ) = f (x)

Exemple 108 (cos(x))

Elle est periodique de periode 2π et2π-periodique, 4π-periodique, ...,26π-periodique, ...

0 π 2π 3π−π−2π−3π

1

x

y

Gcos

x

M(x , f (x))f (x)

x

M ′(x + T , f (x))

T = 2π

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M2. 4.1.5. - t-periodicite et periode T

Corollaire 107 (Fonctionperiodique)

Le graphe d’une fonctionperiodique de periode Tpresente un motif serepetant regulierement lelong de l’axe des abscissesa intervalle T

L’ensemble d’etude Ef

peut etre tout intervallede longueur egale a laperiode T

Exemple 108 (cos(x))

Elle est periodique de periode 2π et2π-periodique, 4π-periodique, ...,26π-periodique, ...

0 π 2π 3π−π−2π−3π

1

x

y

Gcos

x

M(x , f (x))f (x)

x

M ′(x + T , f (x))

T = 2π

97 / 354



M2. 4.1.6. - Exercices

Exercice 2.1. Parite, Imparite : Determiner si les fonctions suivantes sontpaires, impaires, ou ni paires ni impaires ; preciser alors le domaine d’etude :

1 f (x) =√

x2 + 1 2 f (x) =1

x − 13 f (x) =

3x5 − 7x3 + x

4x2 + 1

Exercice 2.2. Calcul de periode :Determiner la periode et le domaine d’etude des fonctions suivantes :

1 f (x) = sin(2x) 2 f (x) = sin2(2x)

3 f (x) = cos

(3πx

4

)4 f (x) = tan

(3x

4

)

98 / 354




Exercice 2.3. Decomposition de fonctions en paire et impaire (pour lespoursuites d’etudes longues) : Montrer que toute fonction f definie sur R peutse decomposer en la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Onpourra etudier les deux fonctions g et h definies en fonction de f par :

g(x) =f (x) + f (−x)

2et h(x) =

f (x)− f (−x)

2.

99 / 354



M2. 4.2.1. - Catalogue des fonctions ”simples”

f Regle de definition f (x) Df If Symetrie

Po

lyn

om

e

Constante c R R paire Lycee

Identite Id(x) = x R R impaire Lycee

Affine ax + b R R Lycee

Monome xn R Rpaire si n pair

impaire si n impair

M1

Polynome (iale) a0 + a1x + ...+ anxn R R M1

Racine carree√

x R+ R+ Lycee

Fra

ctio

n Inverse1

xR∗ R∗ impaire Lycee

Fraction

rationnelle

b0 + b1x + ...+ bM xM

a0 + a1x + ..+ aN xN

{x ∈ R/

N∑n=0

anxn 6= 0

}depend

des poles

M1

100 / 354



M2. 4.2.1. - Catalogue des fonctions ”simples”

f Regle de definition f (x) Df If Symetrie

Tri

go

no

met

rie

Sinus sin(x) R [−1; 1] 2π-periodique M1

Cosinus cos(x) R [−1; 1] 2π-periodique M1

Tangente tan(x) =sin(x)

cos(x)R \

{π2

+ kπ, k ∈ Z}

R π-periodique M1

ArcSinus arcsin(x) = asin(x) [−1; 1][−π

2;π

2

]impaire M1

ArcCosinus arccos(x) = acos(x) [−1; 1] [0;π] M1

ArcTangente arctan(x) = atan(x) R]−π

2;π

2

[impaire M1

100 / 354



M2. 4.2.2. - Racines n-iemes

Definition 109 (Racines n-ieme)

Ce sont les fonctions definies par

f (x) = n√

x = x1n avec n ∈ N∗,

autrement dit, f (x) est le reel dontla puissance n est x ; dans R, cenombre est unique !Leurs domaines sont :

si n est : pair impair

Df R+ R

If R+ R

0 1x

1

y√

x (n = 2)

5√

x (n = 5)

101 / 354



M2. 4.2.2. - Proprietes

Theoreme 110 (Manipulation des exposants et les operandes)

Soient x ∈ R+ et y ∈ R+∗ .

n·m√x = n

√(m√

x)⇔ x

1n·m =

(x

1m

) 1n

nm√

x = n√

(xm)⇔ xmn = (xm)

1n

n√

(x · y) = n√

x · n√

y ⇔ (x · y)1n = x

1n · y

1n

n

√x

y=

n√

xn√

y⇔(

x

y

) 1n

=x

1n

y1n

Attention

Soient x , y ∈ R+.

n+m√

x 6= n√

x + m√

x ⇔ x1

n+m 6= x1n + x

1m

n√

(x + y) 6= n√

x + n√

y ⇔ (x + y)1n 6= x

1n + y

1n

102 / 354



M2. 4.2.2. - Logarithme neperien (dit a base e)

Definition 111 (Logarithme neperien)

f (x) = ln(x) = loge(x), dont les domaines sont : Df = R∗+, If = R.

0 1x

1

y

ln(x)

e ≈ 2.71

103 / 354




Theoreme 112 (Proprietes de calcul mathematiques)

Soient x , y ∈ R+∗ .

ln(x .y) = ln(x) + ln(y)

ln

(x

y

)= ln(x)− ln(y)

ln (xy ) = y ln(x)

Attention

Soient x , y ∈ R+∗ .

ln (x + y) 6= ln(x) + ln(y)

1

ln(x)6= − ln(x)

104 / 354



M2. 4.2.2. - Logarithme a base 10

Definition 113 (Logarithme a base 10)

Le logarithme a base 10 est le logarithme neperien amplifie du facteur

constant1

ln(10): f (x) = log10(x) =

ln(x)

ln(10)

Proprietes

Memes domaines que ln : Df = R∗+, If = R

Valeurs particulieres : log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(10n) = n

Memes proprietes de calcul que ln

Meme allure graphique que ln avec une courbe ”‘ecrasee”’ d’un facteur1

ln(10)

105 / 354



M2. 4.2.2. - Applications

Application 1 : l’echelle logarithmique

Elle amplifie les variations proches de 0 et attenue les grandes variations ;en reduisant la dynamique des mesures, elle est tres souvent utilisee enelectronique et en telecoms.

Exemple 114 (L’echelle logarithmique).

0 1 2 3 401 10 100 1000

−∞ +∞

−∞ +∞LogarithmiqueLinéaire106 / 354




Exemple 115 (Diagramme de Bode en electronique : Filtrepasse-bas RC)

Ce filtre a pour gain G 2 = f (w) =1√

1 + (w/RC )2

106 / 354




Application 2 : Puissance en decibel

PdB = 10 log10(Plineaire)

Exemple 116 ()

La puissance sonore

PdB P

Murmure 40 dB 104

Poids lourd 90 dB 109

Ratio ≈ 2 ≈ 105

107 / 354



M2. 4.2.2. - Exponentielle (dite a base e)

Definition 117 (Exponentielle (dite a base e))

C’est la fonction inverse de ln definie par f (x) = exp(x) = ex . Sesdomaines sont : Df = R, If = R∗+.

0 1x

1

y

exp(x)

e ≈ 2.71

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Theoreme 118 (Propriete de calculs mathematiques)

Soient x , y ∈ R.

exp (x + y) = exp(x).exp(y)

exp(x · y) = (exp(x))y = (exp(y))x

exp(−x) =1

exp(x)

Attention

Soient x , y ∈ R. exp(x) + exp(y) 6= exp(x + y)

109 / 354



M2. 4.2.2. - Exponentielle de base a

Definition 119 (Exponentielle de base a)

C’est une exponentielle dont l’abscisse x est dilatee d’un facteur ln(a) etdefinie par : f (x) = ax = ex ln(a) avec a ∈ R∗+.

Proprietes

Memes domaines que l’exponentielle

Proprietes de calculs mathematiquesdeduites de celles de exp et de ln

Cas particulier

Lorsque a = 1, on retrouve la fonctionconstante x 7→ 1 0 1

x

1

y

(0.4)x

(1.2)x

(2.3)x

110 / 354



M2. 4.2.2. - Monomes de puissances reelles

Definition 120 (Monomes de puissances reelles)

f (x) = xα = exp(α ln(x)

)= eα ln(x) avec α ∈ R, sur les domaines :

Df = R∗+, If = R∗+.

Proprietes

Proprietes de calculs mathematiquesdeduites de celles de exp et de ln

Cas particuliers

Lorsque α = 0, f est la fonction constantex 7→ 1

Lorsque α = 1, f est la fonction identitex 7→ x 0 1

x

1

y

x0.4

x1.2x2.3

111 / 354




Exercice 2.4. Logarithme a base a : On considere la fonction logarithme abase a ou a est un parametre choisi dans R∗+, notee fa et est definie pour tout

x ∈ R∗+ par fa(x) =ln(x)

ln(a). Calculer les images suivantes :

1 fa(1) 2 fa(a.x) 3 fa(ex ) 4 fa(ax ) 5 f3(x) 6 fa2 (x) 7 fa3 (a4)

Exercice 2.5. Une fonction definie par morceaux : Soit la fonction

f :

R → R

x 7→

{e2x − ex , si x ≤ 0

x23 − x

15 , si x > 0

. Calculer les images suivantes :

1 f (0) 2 f

(1

3

)3 f (3) 4 f (ln(3))

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M2. 4.3. - Assemblage usuel de fonctions

Assemblage de fonctions

En assemblant deux fonctions u et v , on peut construire une troisiemefonction f , definie par

1 sa regle de definition f (x) qui dependra de u(x) et v(x)

2 son domaine de definition Df qui dependra des domaines de definition Du

et Dv voire parfois des domaines image Iu et Iv

3 son domaine image If

Le graphe Gf de f se deduit de transformation sur les graphes Gu et Gv .

113 / 354



M2. 4.3.1. - Somme

Definition 121 (Somme)

La somme de u et v , notee f = u + v , est la fonction definie par∀x ∈ Df , f (x) = u(x) + v(x) et dont le domaine de definition estDf = Du ∩ Dv .

+u

vx f (x)

Du Iu

Dv Iv

u(x)

v(x)

f

Df If

Exemple 122 (f(x) = cos(x) + x)

Somme de u(x) = cos(x) etv(x) = x

1 2x

1

2

y

Gcos

GidGcos+id

cos(x)

x

cos(x) + x

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M2. 4.3.1. - Somme

Cas particulier

Lorsque l’une des fonctions est une fonction constante, la somme devientune translation verticale.

Exemple 123 (f(x) = cos(x) + 2)

Somme de u(x) = cos(x) et la fonction constante v(x) = 2

π 2πx

1

2

y

Gcos

Gcos+2

cos(x)

cos(x) + 2

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M2. 4.3.2. - Produit

Definition 124 (Produit)

Le produit de u et v , note f = u.v , est la fonction definie par∀x ∈ Df , f (x) = u(x).v(x) et dont le domaine de definition estDf = Du ∩ Dv .

∗u

vx f (x)

u(x)

v(x)

Du Iu

Dv Ivf

Df If

Exemple 125 (f(x) = x cos(x))

Produit de u(x) = cos(x) etv(x) = x

1 2x

1

2

y

Gcos

Gid

Gcos∗id

cos(x)

x

x cos(x)

116 / 354



M2. 4.3.2. - Produit

Cas particulier

Lorsque l’une des fonctions est une fonction constante, le produit devientune amplification.

Exemple 126 (f(x) = 2 cos(x))

Produit de u(x) = cos(x) et la fonction constante v(x) = 2

π 2πx

1

2

y

Gcos

G3cos

cos(x)

2 cos(x)

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M2. 4.3.3. - Composee

Definition 127 (Composee Terminale )

La composee de u par v , notee f = v ◦ u (lu ”‘v rond u”’ ou ”‘u suivie dev”’), est la fonction definie par ∀x ∈ Df , f (x) =

(v ◦ u

)(x) = v

(u(x)).

Son domaine de definition est : Df = {x ∈ Du/u(x) ∈ Dv}.

u vx f (x)u(x) = y v(y)

Du Iu Dv Iv

f

Df If

Exemple 128 (Fonction puissance f(x) = xα = eα ln(x))

C’est la composee de u(x) = α ln(x) avec v(y) = ey

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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Dilatation

Cas particulier : Dilatation

f : x 7→ v(λx) (avec λ ∈ R+) est la composee de u(x) = λx par v . C’estla dilatation de la fonction v par le facteur λ. Graphiquement,

on etire Gv le long de l’axe des abscisses si 0 < λ < 1.

on contracte Gv le long de l’axe des abscisses si 1 < λ.

Exemple 129 (f(x) = cos(3x) et g(x) = cos(

x3

))

π 2πx

1

y

cos(x)

cos(3x)

cos(x/3)

contraction dilatation

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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Retard etavance

Cas particulier : Retard

La fonction f : x 7→ v(x − r) (avec r un parametre reel positif) est lacomposee de u(x) = x − r par v . C’est la version retardee de lafonction v par r . Graphiquement, on translate horizontalement le grapheGv de r vers la droite.

Exemple 130 (f(x) = ΛT(x− 3) et g(x) = ΛT(x + 2))

0 T/2−T/2

x

1

y

ΛT (x − 3)ΛT (x + 2) ΛT (x)

retardavance

120 / 354



M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Retard etavance

Cas particulier : Avance

La fonction f : x 7→ v(x + r) (avec r un parametre reel positif) est lacomposee de u(x) = x + r par v . C’est la version avancee de la fonctionv par r . Graphiquement, on translate horizontalement le graphe Gv de rvers la gauche.

Exemple 130 (f(x) = ΛT(x− 3) et g(x) = ΛT(x + 2))

0 T/2−T/2

x

1

y

ΛT (x − 3)ΛT (x + 2) ΛT (x)

retardavance

120 / 354



M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Inverse,quotient

Cas particulier : Inverse f =1

u

C’est la composee de u par la

fonction x 7→ 1

x. f est appelee

l’inverse de u et definie par

f (x) =1

u(x)sur

Df = {x ∈ Du/u(x) 6= 0}.

Cas particulier : Quotient f =u

v

C’est le produit de la composee de1

vet de u. f est appelee quotient

de u par v et est definie par

∀f (x) =u(x)

v(x)sur

Df = {x ∈ Du ∩ Dv/v(x) 6= 0}.

Exemple 131 (Fraction rationnelle M1 )

Les fractions rationnelles telles que f (x) =1 + x + 2x2

1− 3xsont des

quotients.

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M2. 4.3.3. - Composees usuelles : Reciproque

Cas particulier : Composees de exp et ln

On a exp(ln(x)) = ln(exp(x)) = x . Attention : exp(ln(x)) est definie surR+∗ , tandis que ln(exp(x)) est definie sur R.

Cas particulier : Composees de racine carre et carre

On a√

(x2) = |x | et(√

x)2

= x . Attention :√

(x2) est definie sur R,

tandis que(√

x)2

est definie sur R+.

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M2. 4.3.4. - Resume

Fonction f Definition f (x) Df

Somme f = u + v f (x) = u(x) + v(x)

Df = Du∩Dv

Difference f = u − v u(x)− v(x)

Produit f = u.v u(x).v(x)

Amplification

par λ (∈ R)f = λu f (x) = λu(x)

Inverse f =1

uf (x) =

1

u(x)Df = {x ∈ Du/u(x) 6= 0}

Quotient f =u

vf (x) =

u(x)

v(x)Df = {x ∈ Du ∩ Dv/v(x) 6= 0}

Composee f = v ◦ u f (x) = v(u(x)

)Df = {x ∈ Du/u(x) ∈ Dv}

Dilatation

par λ (∈ R)f (x) = u(λx) Df = Du

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M2. 4.4.1. - Exercices type

Methodologie 132 (Calcul du domaine de definition)

1 Identifier les fonctions usuelles presentes et indiquer leur domaine dedefinition

2 Identifier le (ou les) assemblage(s) de fonctions et leur ordonnancementpour la construction de la fonction

3 Appliquer les regles d’assemblage pour les assemblages identifies

Exercice 2.6. Exercice type : Soient u(x) = 1− x + x2 et v(x) =1

1 + x.

Donner l’expression de u ◦ v et v ◦ u en fonction de x et determiner le domainede definition de chacune.

Exercice 2.7. Exercice type : Determiner l’ensemble de definition de

f (x) =x − 2

3x2 − 2x + 1et g(x) =

√x2 − 3x + 2 +

1

x.

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M2. 4.4.2. - Exercices de TDExercice 2.8. Ensemble de definition d’un produit : Determiner l’ensemble de

definition de la fonction de la variable reelle x definie par f (x) =1 + x2

x.

Reponse : Df = R∗.

Exercice 2.9. Ensemble de definition d’une composee : Determiner l’ensemblede definition de la fonction de la variable reelle x definie par f (x) = 3

√x − 5.

Reponse : Df = [5; +∞[.

Exercice 2.10. Composition : On considere les trois fonctions f , g et h de lavariable reelle x definies par : a f (x) = 2x + 1, b g(x) = 1− x2,

c h(x) =x

x + 1. Donner la regle de definition des fonctions composees

suivantes (en fonction de x) :

1 f ◦ g 2 g ◦ 1

f3 h ◦ g ◦ f 4 g ◦ h ◦ f

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Exercice 2.11. Domaine de definition : Determiner le domaine de definition desfonctions suivantes :

1 f (x) =1 + 2x + x4

x2 + 2x − 32 f (x) = ln(x − 2) +

1

x − 13 f (x) = tan(x) + cos(x)

4 f (x) = cotan(x) =1

tan(x)5 f (x) =

x2 + 3

1− |x | 6 f (x) =√

x2 + 2x + 3

7 f (x) =√

(x − 2)(x + 1) 8 f (x) =

√x − 2

x + 19 f (x) =

1√x2 − x − 2

10 f (x) =1√

x4 − x211 f (x) =

cos(x)

1 + sin(2x)12 f (x) =

√2 cos(x)− 1

126 / 354



M2. 4.4.2. - Exercices de TDExercice 2.12. Du graphique a la regle de definition : Donner la regle dedefinition des fonctions suivantes, partant de leur graphe. Dans chaque cas, lafonction sera definie par morceaux et on se limitera aux morceaux indiques surle graphe.

1 Dent de scie

0 T 2T−Tx

1

y

2 Signal triangulaire

0 T−Tx

1

y

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Exercice 2.13. De la regle de definition aux graphiques : Tracer le graphe desfonctions suivantes en utilisant les regles d’assemblage de fonction :1 f (x) = U(x)− U(x − T ) ou T est un parametre reel strictement positif

2 f (x) = xU(x)− 2(x − 1)U(x) + (x − 2)U(x − 2)Dans les deux cas, U designe l’echelon unite.

Exercice 2.14. Resolution d’equations avec des logarithmes :Resoudre les equations suivantes :

1 ln(3x2 − x) = ln(x) + ln(2) 2 ln(|x − 1|)− 2 ln(|x + 1|) = 0

128 / 354



4 Generalites sur les fonctions

5 ContinuiteDefinitionDomaine de continuite (pour les poursuites d’etudes longues)Exercices (pour les poursuites d’etudes longues)

6 Derivation




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M2. 5.1.1. - Notion de continuite

Notion de continuite

La continuite est le fait de pouvoir ”tracer le graphe geometrique d’unefonction sans lever le stylo” ; la courbe representative ”ne saute pas”d’un point a un autre.La continuite indique l’absence de discontinuite ou de rupture dans legraphe.

Applications

Pas d’applications directes

Utile pour plusieurs theoremes importants (existence d’une reciproque)

Remarque

Elle s’illustre principalement par son contraire : les discontinuites.

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M2. 5.1.3. - Exemples : Echelon unite

Definition 136 (Echelon unite (ou Fonction de Heaviside) enelectronique)

L’echelon unite est defini par : U(x) =

1 si x > 01/2 si x = 00 sinon

. C’est est

une fonction non continue en 0 mais continue en tout point x 6= 0.

1 2

1

x

y

•

GU

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M2. 5.1.3. - Exemples : le sinus cardinal

Definition 137 (Sinus cardinal)

Le sinus cardinal note sinc est defini par :

sinc (x) =

{sin(x)

xsi x 6= 0

1 si x = 0. C’est une fonction prolongee par

continuite en 0.

0 π 2π 3π 4π−π−2π−3π−4π

1

x

y

Gsinc

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M2. 5.3. - Exercices pour les poursuitesd’etudes longues

Exercice 2.15. Etude de continuite : On considere la fonction h definie par

f (x) =|x − a|x − a

pour un parametre a reel quelconque.

1 Donner le domaine de continuite de h.

2 Peut-on prolonger la fonction f par continuite en a ?

Exercice 2.16. Continuite en un point : cas de la valeur absolue :

On considere la fonction f definie sur R par f (x) =|x |√

x2 + 4. Est-elle continue

en 0 ?

132 / 354




Exercice 2.17. Ensemble de continuite d’une fonction produit :Soient f et g les fonctions definies par :{

f (x) = x + 2 si x ≥ 0f (x) = 1− x si x < 0

et

{g(x) = 1− x si x ≥ 0g(x) = x + 2 si x < 0

1 Etudier la continuite des fonctions f et g et representer graphiquementchacune d’elles.

2 Determiner la fonction h = fg . Representer graphiquement h en tracantplusieurs points caracteristiques.

3 h est-elle continue en tout point de R ? Quelle conclusion peut-on endeduire ?

133 / 354




Exercice 2.18. Ensemble de continuite :Donner l’ensemble de continuite des fonctions suivantes :

1 f (x) =2x − 3

x + 52 f (x) =

2x + |2x + 5|5x − 1

3 f (x) =√

x2 + 1−√

x2 − 1

134 / 354




5 Continuite

6 DerivationDerivationDifferentielles (pour les poursuites d’etudes longues)Application : Sens de variationApplication : Probleme d’optimisationApplication : ReciproqueDerivees a l’ordre n




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M2. 6.1.1. - Derivabilite en un point a

Definition 139 (Nombre derive def en a)

Le nombre derive d’une fonction fen a est le nombre reel note f ′(a)

oudf

dx(a) egal a la pente de la

tangente a Gf au point M(a, f (a)

).

Theoreme 140 (Equation de latangente en a)

y = f ′(a) (x − a) + f (a)

135 / 354



M2. 6.1.1. - Exemples de non derivabilite

Exemple 144 (Partie superieure)

C’est la fonction x 7→ dxe, ou dxe est l’entier directement superieur ouegal a x ; en informatique, elle s’appelle ceil . Elle n’est pas continue entout point a entier (c’est a dire a = k avec k ∈ Z), donc n’est pas nonplus derivable.

1 2

1

2

x

y

•

•

•

•

•

136 / 354



M2. 6.1.1. - Exemples de non derivabilite

Exemple 145 (Non derivabilite suite a une inflexion dans le graphe)

La fonction f (x) = 1/3 ∗ |x |+ x2 est definie et continue en 0 mais n’estpas derivable en 0, car elle presente une inflexion en 0 a cause de la valeurabsolue : il y a donc une tangente a droite et une tangente a gauche.

0 1x

1

y

Gf

Tgte gauchey = − 1

3 x

Tgte droite

y =13x

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M2. 6.1.1. - Exercices pour les poursuitesd’etudes longues

Exercice 2.19. Derivabilite en 0 : Montrer que la fonction definie sur R parf (x) = x

√|x | est derivable en 0 et calculer son nombre derive en 0.

138 / 354



M2. 6.1.2. - Ensemble de derivabilite

Definition 146 (Ensemble de derivabilite Bf)

L’ensemble de derivabilite Bf d’une fonction f est l’ensemble despoints x de Df en lesquels f est derivable.

Theoreme 147 (De la derivabilite a la continuite)

Une fonction derivable sur l’ensemble Bf est forcement continue sur Bf ,autrement dit Bf ⊂ Cf .

Remarques

La continuite n’implique pas necessairement la derivabilite (cf.exemple 145)

Avant de calculer une derivee, il faut systematiquement determinerl’ensemble de derivabilite

139 / 354



M2. 6.1.2. - Derivee

Definition 148 (Fonction derivee ou Derivee)

La derivee de f , notee f ′ oudf

dx, est la fonction qui a tout x ∈ Bf

associe le nombre derive en x . Elle est definie par :

f ′ :

{Bf → R

x 7→ f ′(x)ou

df

dx:

{Bf → R

x 7→ df

dx(x)

140 / 354



M2. 6.1.2. - Fonctions derivables usuelles

f f (x) Bf Derivee f ′(x)

Po

lyn

om

e

Constante c R 0 ♥

Identite Id(x) = x R 1

Affine ax + b R a

Monome xn (n ∈ N∗) R nxn−1 ♥

Polynome a0 + a1x + ...+ anxn R a1 + 2a2x1 + ...+ nanxn−1

Racine carree√

x R+∗

1

2√

x

Inverse1

xR∗ − 1

x2

141 / 354





Tri

go

no

met

rie

Sinus sin(x) R cos(x) ♥

Cosinus cos(x) R − sin(x) ♥

Tangente tan(x) =sin(x)

cos(x)R \

{π2

+ kπ, k ∈ Z} 1

cos2(x)= 1 + tan2(x)

ArcSinus arcsin(x) = arcsin(x) ]− 1; 1[1√

1− x2♥

ArcCosinus arccos(x) = arccos(x) ]− 1; 1[ − 1√1− x2

♥

ArcTangente arctan(x) = arctan(x) R1

1 + x2♥

141 / 354





Racine n-ieme n√

x = x1n (n ∈ N∗) R+

∗1

nx

1n−1

Logarithme neperien ln(x) R+∗

1

x♥

Logarithme a base 10 log10(x) R+∗

1

x ln(10)

Exponentielle exp(x) = ex R exp(x) ♥

Exponentielle a base a ax R ln(a)ax

Puissances reelles xα R∗+ αxα−1

141 / 354



M2. 6.1.2. - Domaine de derivabilite et deriveed’un assemblage de fonctions

Fonction f Bf f ′(x)

Somme u + v Bu ∩ Bv u′(x) + v ′(x)

Opposee −u Bu −u′(x)

Difference u − v Bu ∩ Bv u′(x)− v ′(x)

Amplification λu (λ ∈ R) Bu λu′(x)

Produit u.v Bu ∩ Bv u′(x).v(x) + u(x).v ′(x)

Inverse1

u{x ∈ Bu/u(x) 6= 0} −

u′(x)(u(x)

)2

Quotientu

v{x ∈ Bu ∩ Bv/v(x) 6= 0}

u′(x).v(x)− u(x).v ′(x)(v(x)

)2

Puissance un Bu nu′(x)un−1(x)

Composee u ◦ v {x ∈ Bu ∩ Bv/u(x) ∈ Bv} v ′(x)u′(

v(x))

Remarque

Les regles pour determiner l’ensemble de derivabilite sont les memes quecelles pour determiner l’ensemble de definition.

142 / 354




Methodologie 149 (Calculer l’ensemble de derivabilite et la deriveede f)

1 Ecrire l’assemblage de fonctions usuelles qui constitue f ;

2 Ecrire l’ensemble de derivabilite et la derivee de chaque fonction usuelleidentifiee ;

3 Utiliser les regles de calcul pour les ensembles de derivabilites et la deriveedes assemblages identifies.

Exercice 2.20. Exercice type : Ensemble de derivabilite et calcul de derivee :Calculer l’ensemble de derivabilite et la derivee des fonctions suivantes :

1 f (x) =1

2

x2 + 3

1− x

2 g(x) =1

4

1

1 + x+ (x − 2)(x + 3)

3 h(x) = ln(1− e−x)

143 / 354




Exercice 2.21. Ensemble de derivabilite et calcul de derivee : Determinerl’ensemble de derivabilite puis calculer la derivee des fonctions suivantes :

1 f (x) = 4x3 − 3x − 1 2 f (x) =x

4− 1

33 φ(s) =

3

s

4 h(z) = (1− z)3(1 + 2z) 5 p(x) = 2x − 3− 1

x6 s(t) =

(t + 1)2

t2 + 1

7 f (x) =x3

x2 − 18 f (x) =

3

√x2 + 1 9 f (x) =

√x + 1

x − 1

10 f (x) =sin(x)− cos(x)

sin(x) + cos(x)11 f (x) = tan

(sin(x)

)12 f (x) =

1

cos(√

x)

13* f (x) = 2(2− x) +1

4

x

x + 214 f (x) =

√1 + x

1− x2 15 f (x) = tan2 (x3)16 y(x) = xx 17 fa(x) = xxa

18 g(x) = ln (log10(x))

144 / 354




Exercice 2.22. Ensemble de derivabilite et calcul de derivee : Calculer

l’ensemble de derivabilite et derivee de la fonction f : x 7−→ tan

(1

x

).

Exercice 2.23. Calcul de derivees : Donner l’ensemble de derivabilite et calculerles derivees (ou les differentielles) des fonctions suivantes :

1 y(x) = arcsin (ln |2x |) 2 y(x) = arcsin

(1− x

1 + x

)3 y(x) = arcsin

(x + a

1− ax

)

145 / 354




Exercice 2.24. Tangente en 0 : Donner l’equation de la tangente en 0 a la

courbe d’equation y =

√x3

x − 1.

Exercice 2.25. Systemes dynamiques : L’etude des systemes dynamiques du1er ordre amene souvent a travailler avec la fonction de la variable reelle t :V (t) = V0e

−tτ , ou τ est la constante de temps fixee. Montrer que la tangente

a la courbe de V (t) en un point M0 d’abcisse t0 quelconque coupe l’axe destemps au point t0 + τ .

146 / 354



M2. 6.3.1. - Sens de variation

Definition 150 (Sens de variation)

Soient deux reels a et b d’un intervalle I de Df avec a < b. f est :

croissante sur I ssi f (a) ≤ f (b)

strictement croissante sur I ssi f (a) < f (b)

Exemple 151 (Dent de scie)

0 1x

1

y

croi

ssan

ce

a

b

f (a)

f (b)

147 / 354



M2. 6.3.1. - Sens de variation

Definition 150 (Sens de variation)

Soient deux reels a et b d’un intervalle I de Df avec a < b. f est :

decroissante sur I ssi f (a) ≥ f (b)

strictement decroissante sur I ssi f (a) > f (b)

Exemple 151 (Dent de scie)

0 1x

1

y

decroissance

a b

f (a)

f (b)

147 / 354



M2. 6.3.2. - Formule des accroissements finis

Theoreme 152 (Formule des accroissements finis)

Soit f une fonction continue sur [a; b] et derivable sur ]a; b[. Il existe au

moins un reel c ∈]a; b[ tel quef (b)− f (a)

b − a= f ′(c).

Corollaire 153 (Sens de variation et derivee)

Le sens de variation d’une fonction f est donne par signe de la derivee :

Si pour tout x ∈ I f ′(x) ≥ 0 alors f est croissante sur I

Si pour tout x ∈ I f ′(x) ≤ 0, f est decroissante sur I

148 / 354



M2. 6.3.2. - Rappel : Etude de signe

Tableau de signe

L’etude du signe de la derivee f ′ se fait (principalement) par un tableaude signe. Ce tableau suppose que f ′ soit ecrite sous forme d’uneexpression factorisee ! ! !

Exemple 154 (Un tableau de signe)

g(x) = (x − 3)(x − 1) v.s. g(x) = (x − 3) + (x − 1)

149 / 354



M2. 6.3.2. - Tableau de variation

Tableau de variation

Le sens de variation et l’etude de signe se resument dans un tableau devariation.

Exemple 155 (Fonction f(x) = x2 − 6x + 1)

de tableau de variation :

x

f ′(x)

f (x)

−∞ 3 +∞

− 0 +

+∞+∞

−8−8

+∞+∞

150 / 354




Methodologie 156 (Analyse du sens de variation)

1 Determiner l’ensemble de derivabilite de f ;

2 Calculer sa derivee f ′ et etudier son signe en fonction de x sur sonensemble de derivabilite ;

3 Tracer le tableau de variation, en deduisant le sens de variation du signede la derivee.

Exercice 2.27. Exercice type : Sens de variation : Etudier le sens de variationdes fonctions suivantes :

1 f (x) = 2x − 1− ln(x) 2 g(x) = 12(x − 6) exp

(−1

4x

)

151 / 354



M2. 6.3.3. - ExercicesExercice 2.28. Sens de variation : Etudier le sens de variation de la fonctionf (x) = (x − 2)3.

Exercice 2.29. Etude de fonctions : Etudier le sens de variation des fonctionsde la variable reelle x definies par :

1 f (x) =√|x2 + 4x + 5| 2 g(x) =

3x

x + 33 y(x) = xx 4 y(x) = x (x/a)

Exercice 2.30. Bac S 1996, et oui ! :

1 On considere la fonction φ definie sur R+ par : φ(x) =x

1 + x− ln(1 + x).

Montrer que φ est decroissante sur R+. En deduire le signe de φ(x) pourtout x ≥ 0.

2 Soit la fonction f definie par f (t) = e−t ln(1 + et). Etudier a l’aide de lafonction φ les variations de f .

152 / 354



M2. 6.4.1. - Probleme d’optimisation

Definition 157 (Probleme d’optimisation)

C’est un probleme physique cherchant a determiner lesconditions/configurations d’un systeme qui sont optimales au sens d’unefonction f (x) (fonction de cout ou d’un critere de performance).L’optimisation recherche :

la valeur maximum M ou minimum m de la fonction ;

la valeur optimale xopt de x permettant de atteindre le maximum ou leminimum.

Exemple 158 (Chiffre d’affaire C d’une appli Iphone en fonction dutemps t de mise en vente)

Ce chiffre d’affaire est donne par C (t) = 5t − 0.1t3 ; c’est la fonction decout. L’optimisation serait la recherche du chiffre maximum Cmax et letemps topt qui permet d’atteindre ce maximum

153 / 354



M2. 6.4.1. - Probleme d’optimisation

Definition 157 (Probleme d’optimisation)

C’est un probleme physique cherchant a determiner lesconditions/configurations d’un systeme qui sont optimales au sens d’unefonction f (x) (fonction de cout ou d’un critere de performance).L’optimisation recherche :

la valeur maximum M ou minimum m de la fonction ;

la valeur optimale xopt de x permettant de atteindre le maximum ou leminimum.

Exemple 159 (Accidents de la route A en fonction du nombre deradar r)

Le nombre d’accident est donne par A(r) = 20000− 10r 2 ; c’est lafonction de cout. L’optimisation serait la recherche du nombre d’accidentminimum Amin et le nombre de radar ropt qui permet d’atteindre ceminimum

153 / 354



M2. 6.4.2. - Extrema

Definition 160 (Extremum)

Pour un intervalle I donne, la fonction f admet :

un minimum m sur I ssi pour tout x de I , f (x) ≥ m ;

un maximum M sur I ssi pour tout x de I , f (x) ≤ M.

Definition 161 (Extremumabsolu/local)

Si I = Df , l’extremum est absolu ;

Sinon, il est local.

Exemple 162

(f(x) = e−x(1

2+ x3))

0 1x

1

y

Gf

Mglobal

Mlocal

mlocal

154 / 354



M2. 6.4.2. - Recherche d’extrema

Theoreme 163 (Extrema)

Une fonction f , derivable au voisinage d’un point a, admet un extremumvalable sur un voisinage de a si sa derivee f ′ s’annule en a (c’est a diref ′(a) = 0) et change de signe au voisinage de a ; la nature de l’extremumdepend des sens de variation.

Remarques

Si f est decroissante pour x < a et f est croissante pour x > a,l’extremum est un minimum.

Si f est croissante pour x < a et f est decroissante pour x > a,l’extremum est un maximum.

155 / 354



M2. 6.4.3. - Exercice type

Exercice 2.31. Exercice type : Optimisation : Determiner l’optimum de la noteN du DS de Maths en fonction du temps de revision t, donne parN(t) = 3t − 0.1t3.

”Toute ressemblance avec des situations reellesou ayant existees serait fortuite”

156 / 354




Exercice 2.32. Deux nombres : On considere deux nombres a et b dont lasomme vaut 12. Trouver ces deux nombres pour que : 1 la somme de leur

carre soit minimale, 2 le produit de l’un et du carre de l’autre soit maximal,

3 le produit de l’un et du cube de l’autre soit maximal.

Exercice 2.33. Proximite de deux voitures : Deux rues se coupent a angle droiten un point P. L’une a la direction !nord-sud, l’autre est-ouest. Une voiturevenant de l’ouest passe en P a 10h a la vitesse constante de 20 km/h. Aumeme instant, une autre voiture, situe a 2 km au nord du croisement, se dirigevers le sud a 50 km/h. A quel moment ces deux voitures sont-elles les plusproches l’une de l’autre (a vol d’oiseau) et quelle est cette distance minimale ?

157 / 354




Exercice 2.34. Cuisine : On considere une boıte de conserve cylindrique dehauteur h et de rayon R.

1 On dispose d’une surface de metal S limitee pour construire la boıte deconserve de taille S = 400π cm2. Comment choisir le rayon R et lahauteur h de la boıte pour que son volume V soit maximal ?

2 On souhaite maintenant construire une boıte de volume V0 donne et fixe.Comment choisir le rayon R et la hauteur h pour que la surface de metal a

utiliser soit minimale ? On exprimera la solution en fonction du rapporth

R.

Memes questions avec une casserole.

158 / 354



M2. 6.5.1. - Notion d’injection, de surjection,de bijection

Injection : f est injective ssi les images de 2 elements differents de Df

sont differentes

Surjection : g est surjective ssi tout element de l’ensemble image Ig

possede au moins un antecedent par g (dans Dg )

Bijection : h est bijective ssi tout element de l’ensemble image Ih possedeun unique antecedent par h ⇒ h admet une fonction reciproque h−1

•Valla

•Delnondedieu

•Chollet

•Vedel

•Benkoula

Df

• Communication

• Unix

• Python

• Reseaux

If

159 / 354





sont differentes




•Valla

•Delnondedieu

•Chollet

•Vedel

•Benkoula

Df

• Communication

• Unix

• Reseaux

If

159 / 354





sont differentes




•Valla

•Delnondedieu

•Chollet

•Vedel

Df

• Communication

• Unix

• Python

• Reseaux

If

159 / 354



M2. 6.5.1. - Bijection

Definition 164 (Bijection)

Une fonction f est une bijection (ou est bijective) de l’intervalle I(sous-ensemble de Df ) vers l’intervalle J (sous-ensemble de If ) ssi pourtout y ∈ J, l’eq. y = f (x) admet une unique solution x .Cela signifie que : pour tout x ∈ I , il existe un unique element y ∈ J (∃!y ∈ J) tel que y = f (x)

Theoreme 165 (Condition necessaire et suffisante)

Pour etre une bijection sur l’intervalle I , f doit etre derivable a etstrictement monotone sur I .

a. en fait, continue

160 / 354



M2. 6.5.1. - Intervalle

Theoreme 166 (Image d’un intervalle par une fonction bijective)

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I , alors f estune bijection de I vers l’intervalle J = {f (x)/x ∈ I} = f (I ). Enparticulier,

si f est strictement croissante, et I = [a, b] alorsJ = f ([a, b]) = [f (a), f (b)] ;

si f est strictement decroissante, et I = [a, b] alorsJ = f ([a, b]) = [f (b), f (a)].

Exemple 167 (La fonction carre)

La fonction carre f : x 7→ x2, continue sur R, est strct. ↘ surR− =]−∞; 0] et strct. ↗ sur R+. Donc f est une bijection de R− vers

f (R−), avec f (R−) =

[f (0), lim

x−→−∞f (x)

[= [0; +∞[ et f est une autre

bijection de R+ vers f (R+) avec

f (R+) =

[f (0); lim

x→+∞f (x)

[= [0; +∞[. Il existe donc deux uniques

solutions a l’equation f (x) = a (avec a un reel positif et non nulquelconque). Comme a ∈ [0; +∞[= f (R−) = f (R+), la premieresolution appartient a R− et la seconde appartient a R+ .

160 / 354



M2. 6.5.2. - Fonction reciproque

Definition 168 (Fonction reciproque)

Soit f une fonction bijective d’un intervalle I dans un intervalle J. g estla fonction reciproque (ou inverse) de f ssi :

1 g est definie en tout point de J ;

2 pour tout x ∈ Df , y = f (x)⇔ x = g(y).

La reciproque g de f sur I est unique. Elle est notee g = f −1.

Remarques

Une fonction f dont le sens de variation change sur R admet unereciproque sur chaque intervalle de variation !

Ne pas confondre f −1 et1

f.

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M2. 6.5.2. - Proprietes de la reciproque

Theoreme 169 (Sens de variation)

f −1 est strictement monotone sur f (I ) et de meme sens de variation quela fonction f .

Theoreme 170 (Proprietes calculatoires)

La composee de f −1 et de f est l’identite :(f −1 ◦ f )(x) = (f ◦ f −1)(x) = x.

La reciproque de la reciproque de f est f :(f −1)−1

(x) = f (x).

Exemple 171 (Des reciproques usuelles)

exp et ln sur R∗+.

x → xn et x → n√

x sur R+.

162 / 354



M2. 6.5.2. - Proprietes de la reciproque

Theoreme 172 (Graphe)

Dans un repere orthonorme, les graphes Gf (de f ) et Gf−1 (de f −1) sont

symetriques par rapport a la 1ere bissectrice du plan, c’est a dire la droited’equation y = x.

Exemple 173 (Graphes def et f−1)

f (x) = x4 et sa reciproquesur R+ f −1(x) = x1/4

0 1x

1

y

x4

x4

x14

x

M(x , y)

M ′(y , x)

.

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M2. 6.5.2. - Cosinus et Arccosinus

0 π 2π−π−2π

1

π

x

y

Gcos

Gacos

.

Definition 174 (Fonction arccos)

arccos (ou acos) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans[0;π] qui a tout x associe l’angle θ dont le cos vaut x (cos(θ) = x). C’estla reciproque de la fonction cos lorsque son domaine de definition estrestreint a [0;π].

164 / 354



M2. 6.5.2. - Sinus et Arcsinus

0 π 2π−π−2π

1

π/2

x

y

Gsin

Gasin

.

Definition 175 (Fonction arcsin)

arcsin (ou asin) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans[−π/2;π/2] qui a tout x associe l’angle θ dont le sin vaut x (sin(θ) = x).C’est la reciproque de la fonction sin lorsque son domaine de definitionest restreint a [−π/2;π/2].

165 / 354



M2. 6.5.2. - Tangente et Arctangente

0 π 2π−π−2π

1

2

3

4

5

x

y Gtan

Gatan

.

Definition 176 (Fonction arctan)

arctan (ou atan) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans]− π/2;π/2[ qui a tout x associe l’angle θ dont le tan vaut x(sin(θ) = x). C’est la reciproque de la fonction tan lorsque son domainede definition est restreint a ]− π/2;π/2[.

166 / 354




Methodologie 177 (Montrer qu’une fonction est la reciproqued’une autre)

Montrer que g(f (x)) = f (g(x)) = x

Exercice 2.35. Exercice type : Reciproque : Montrer que g(x) = 1 + x est lareciproque de f (x) = x − 1 sur R.

Methodologie 178 (Determiner une reciproque)

1 Etudier la continuite et le (ou les) sens de variation de f .

2 Poser y = f (x) et inverser l’equation pour avoir x = g(y). Alors g = f −1.

Exercice 2.36. Exercice type : Reciproque : Montrer que f (x) = (x + 1)1/3 + 2admet une reciproque (sur un intervalle que l’on precisera) et donnel’expression de sa reciproque.

167 / 354




Exercice 2.37. Composition de fonctions trigonometriques : Simplifier etrepresenter graphiquement les fonctions suivantes :

1 x 7→ arccos (cos(x)) 2 x 7→ cos (arccos x) 3 x 7→ arctan(tan(x)) 4 x 7→ tan (arctan(x))

Exercice 2.38. Reciproque : Determiner la (ou les) reciproques de

f (x) =x − 1

x + 2.

Exercice 2.39. Reciproque : On considere la fonction f de la variable x , definie

sur l’intervalle [1; +∞[ par : f (x) = x +√

x2 − 1. 1 Montrer que f admet

une reciproque f −1 sur [1; +∞[. 2 Montrer que cette reciproque est la

fonction g(x) =x2 + 1

2x.

168 / 354




Exercice 2.40. Reciproque : On considere les deux fonctions f et g de la

variable reelle x definies par : f (x) =x2

1 + x2et g(x) = x − 2

√x + 1. Pour

chacune de ces fonctions, 1 montrer qu’elle possede deux intervalles de

monotonie, puis 2 expliciter la fonction inverse relative a chacun de cesintervalles.

Exercice 2.41. Resolution d’equations avec des fonctions puissances :Determiner les racines de l’equation : x (xx ) = (xx )x .

169 / 354



M2. 6.6.1. - Derivees a l’ordre n

Definition 179 (Derivee seconde)

Si f est derivable sur Bf et si sa derivee f ′ est elle-meme derivable sur Bf

de derivee (f ′)′, on dit que f est derivable a l’ordre 2 sur Bf et (f ′)′ est

appelee la derivee seconde. On la note f ′′ ou f (2) oud2f

dx2.

En generalisant a l’ordre n :

Definition 180 (Derivabilite a l’ordre n (n ∈ N∗))

Une fonction f est derivable a l’ordre n sur B si toutes ses deriveesd’ordre inferieur a n existent et sont derivables sur B. La derivee a

l’ordre n de f , notee f (n) oudnf

dxn, est alors :

f (n)(x) =

n fois︷︸︸︷(...(

(f ′)′...)′)′

(x)

170 / 354




Exercice 2.42. Exercice type : Derivee 3ieme : Calculer la derivee 3-ieme de :

1 f (x) = ln(x) 2 g(x) = ex (1 + x2)

171 / 354




Exercice 2.43. Derivee d’une solution classique d’equations differentielles : Soity la fonction de la variable x definie par y(x) = a cos(ωx) + b sin(ωx) avec a, bet ω trois constantes.

1 Calculer (si elles existent) les deriveesdy

dxet

d2y

dx2.

2 Former une relation entre y etd2y

dx2independantes de a et de b.

Exercice 2.44. Derivees et differentielles n-ieme : Soit la fonction y de lavariable reelle x definie par y(x) = tan(x). Exprimer les 5 premieres derivees dey en fonction de y(x) et montrer que :

dy 5

dx5= 16 + 136y 2(x) + 240y 4(x) + 120y 6(x)

Pour faciliter la lecture des equations, on pourra ecrire y(x) sous la forme y .

172 / 354




Exercice 2.45. Derivee a l’ordre n de la fonction inverse (pour les poursuitesd’etudes longues) :Montrer par recurrence que :

1 la fonction inverse f : x 7→ 1

xest derivable une infinite de fois sur R∗

2 sa derivee n-ieme vaut f (n)(x) = (−1)n n!

xn+1, ou n! est la factorielle de n

definie pour tout entier naturel n ∈ N par :

n! =

{1 , si n = 01× 2× ...× (n − 1)× n , si n > 0 (produit de tous les entiers de 1 a n)

.

173 / 354




Exercice 2.46. Differentielles et equations differentielles :Pour une fonction y(x) definie pour tout x tel que |x | ≤ 1, on fait lechangement de variable x = cos(t) avec 0 ≤ t ≤ π.

1 Exprimerdy

dxen fonction de t et de

dy

dt.

2 En utilisant la methode precedente, exprimerd2y

dx2en fonction de t,

dy

dtet

d2y

dt2.

3 Que devient, par ce changement de variable, l’equation differentiellesuivante :

(1− x2)d2y

dx2− x

dy

dx+ y = 0.

174 / 354




Exercice 2.47. Vers les equations differentielles : Resoudre l’equationdifferentielle x2y ′′ + xy ′ + y = 0 portant sur la fonction y de la variable x , enfaisant le changement de variable x = et .

175 / 354




5 Continuite

6 Derivation

7 Comportements asymptotiquesLimites en l’infiniCalcul de limitesApplication : Branches asymptotiques



176 / 354



M2. 7.1.1. - Notion de comportementsasymptotiques

Exemple 184 (La fonction inverse)

Table de valeurs

x f (x) =1

x1 1

10 0.1100 0.01

1000 0.001... ...

106 10−6 limx→+∞

f (x) = 0+

ε

A

1x

1

y

Ginv

Plus x augmente (autrement dit x tend vers +∞), plus f (x) serapproche de 0 par valeurs superieures ; on dit que lim

x→+∞f (x) = 0+

176 / 354



M2. 7.1.1. - Limites

Definitions 185 (Comportements asymptotiques)

Le comportement asymptotique d’une fonction f de la variable x est la”direction” de f lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞Elle prend la forme d’une limite L qui peut etre un nombre ∈ R (et onparle de limite finie) ou un infini +∞ ou −∞ (et on parle de limite infinie)

La limite L peut etre atteinte ou approchee par la fonction, en arrivant parvaleurs inferieures (L−) ou superieures (L+).

On la note :

limx→+∞

f (x) = lim+∞

f = L ou limx→−∞

f (x) = lim−∞

f = L

177 / 354



M2. 7.1.1. - Limite finie en +∞

Cas d’une limite L reellefinie en +∞

limx→+∞

f (x) = lim+∞

f = L

Exemple 186 (Fonctioninverse)

limx→+∞

1

x= 0

limx→+∞

f (x) = 0+

ε

A

1x

1

y

Ginv

178 / 354



M2. 7.1.1. - Limite finie en −∞

Cas d’une limite L reellefinie en −∞

limx→−∞

f (x) = lim−∞

f = L

Exemple 187(Exponentielle)

limx→−∞

exp(x) = 0 limx→−∞

f (x) = 0

ε

A

0 1x

1

y

exp(x)

179 / 354



M2. 7.1.1. - Limite finie en ∞ par valeurssuperieures ou inferieures

Cas d’une limite L par valeurssuperieures en ∞lim

x→∞f (x) = L+ signifie que pour x

proche de ∞, f (x) tend vers L avecf (x) ≥ L

Cas d’une limite L par valeursinferieures en ∞lim

x→∞f (x) = L− signifie que pour x

proche de ∞, f (x) tend vers L avecf (x) ≤ L

Exemple 188(Fonction inverse)

limx→−∞

1

x= 0− et

limx→+∞

1

x= 0+

{lim

x→+∞f (x) = 0+

f (x) > 0

ε

A

{lim

x→−∞f (x) = 0−

f (x) < 0

ε

A

1x

1

y

Ginv

180 / 354



M2. 7.1.1. - Limite infinie en +∞

Cas d’une limite +∞ en +∞lim

x→+∞f (x) = lim

+∞f = +∞, ce qui implique que f (x) > 0 pour x

suffisamment grand

Exemple 189 (Valeurabsolue)

limx→+∞

|x | = +∞

Remarque

Idem pour une limite en −∞et pour une limite −∞

limx→+∞

f (x) = +∞

A

B

0 1x

1

yGabs

181 / 354



M2. 7.2.1. - Limites des fonctions usuelles Œ

Fonction f (x) Limite en −∞ Limite en +∞

Constante c c c

xn (n ∈ N∗)+∞ si n pair

−∞ si n impair+∞

n√x = x1n

n.d. 1 si n pair

−∞ si n impair+∞

Inverse1

x0− 0+

ln(x) n.d. +∞

exp(x) 0+ +∞

sin(x), cos(x), tan(x) p.d.l. 2 p.d.l.

arctan(x) −π

2

+ π

2

−

1. non defini2. pas de limite

182 / 354



M2. 7.2.2. - Operations algebriques sur leslimitesPour λ ∈ R∗ et s un signe (egal a +1 ou −1),

lim+∞

u lim+∞

v lim+∞

λu lim+∞

u + v lim+∞

u.v lim+∞

u

v

Fin

ie-F

inie

Lu Lv λLu Lu + Lv LuLvLu

Lv

Lu 0+ λLu Lu 0 sign (Lu)∞Lu 0− λLu Lu 0 −sign (Lu)∞0 0 0 0 0 FI

Fin

ie-I

nfi

nie s∞ Lv sign(sλ)∞ s∞

sign(sLv )∞ si Lv 6= 0

FI si Lv = 0sign

(s

Lv

)∞

Lu s∞ λLu s∞sign(sLu)∞ si Lu 6= 0

FI si Lu = 00

Infi

nie

-In

fin

ie +∞ +∞ sign(λ)∞ +∞ +∞ FI

−∞ −∞ −sign(λ)∞ −∞ +∞ FI

+∞ −∞ sign(λ)∞ FI −∞ FI

−∞ +∞ −sign(λ)∞ FI −∞ FI

Remarque

Resultats identiques lorsque la limite est asymptotique en −∞183 / 354



M2. 7.2.2. - Limites et composees

Theoreme 193 (Limite d’une composee)

Si limx→+∞

u(x) = L (avec L un reel ou +∞ ou −∞) alors

limx→+∞

(v ◦ u)(x) = limx→+∞

v (u(x)) = limy→L

v(y)

Remarque : Le resultat est identique lorsque x → −∞

184 / 354



M2. 7.2.2. - Bilan sur les formes indeterminees

Theoreme 194 (Les classiques Terminale )�� (+∞) + (−∞)

��

��∞

∞�� 0.∞

��

��0

0

Theoreme 195 (Les nouvelles)�� 1∞�� ∞0

185 / 354




Methodologie 196 (Calcul de limites asymptotiques)

1 Identifier les fonctions usuelles et donner leurs limites ;

2 Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles puis calculer lalimite de proche en proche en utilisant les regles sur les limites ;

3 En cas de forme indeterminee :

Quelques astuces (cf TD) ;Utiliser des outils plus puissants, comme l’equivalence ou lesdeveloppements limites.

Exercice 2.48. Exercice type : Limites : Determiner les limites suivantes :

1 limx→+∞

x3 ln(x) 2 limx→+∞

e−x

x

186 / 354




Exercice 2.49. Limites : Calculer limx→+∞

f (x) et limx→−∞

f (x) pour les fonctions f

suivantes :

1 f (x) = 2x2 + x + 1 2 f (x) =arctan(x)

|x − 3| 3 f (x) = x2 − x3

Exercice 2.50. Limites avec forme indeterminee de type ∞ - ∞ : Calculerlim

x→+∞f (x) et (si elle existe) lim

x→−∞f (x) pour les fonctions f suivantes :

1 f (x) =√

x2 + 1−√

x2 − 1 2 f (x) =√

x2 + 2x − x

3 f (x) =

√|x |+ 2−

√|x |

|x | 4 f (x) = ln(x)− ln(x + 1)

5 f (x) = ln(x2 + 1)− 2 ln(x)

187 / 354



M2. 7.2.4. - Equivalence en ∞ et limites

Definition 200 (Equivalence en ∞)

Deux fonctions f et g sont equivalentes au voisinage de a (aveca = +∞ ou a = −∞) ssi u(x) = g(x) (1 + ε(x)) avec lim

x→aε(x) = 0. On

le note : f ∼a

g ou f (x) ∼x→a

g(x)

Remarque : Deux fonctions equivalentes ont une meme limite !

Theoreme 201 (Equivalence et limite)

Si f ∼a

g alors limx→a

f (x) = limx→a

g(x)

188 / 354



M2. 7.2.4. - Equivalences usuelles en ±∞

Theoreme 202 (Equivalent d’un polynome)

Un polynome P(x) = anxn + ...+ a1x + a0 un polynome de degre n (avecan 6= 0) est tel que P(x) ∼

x→±∞anxn

Exemple 203 (Equivalent deP(x) = 3x4 − 2x = 3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0)

P(x) ∼x→+∞

3x4 et P(x) ∼x→−∞

3x4

189 / 354



M2. 7.2.4. - Equivalences usuelles en ±∞

Theoreme 204 (Equivalent d’une fraction rationnelle)

Une fraction rationnelle F (x) =P(x)

Q(x)avec P(x) = anxn + ...+ a1x + a0

de degre n et Q(x) = bmxm + ...+ b1x + b0 de degre m admet pourequivalent le quotient des equivalents de P(x) et Q(x).

Exemple 205 (Equivalent de

F(x) =P(x)

Q(x)=

3x4 − 2x

6x3 + 4x2 + 1=

3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0

6x3 + 4x2 + 0x + 1)

F (x) ∼x→±∞

3x4

6x3

189 / 354



M2. 7.2.4. - Operations sur les equivalences

Operations sur les equivalents

On peut multiplier, inverser, diviser des equivalents

On ne peut pas ajouter, soustraire ou composer des equivalents, sauf castres particulier

Theoreme 206 (Operations sur les equivalences)

Soient f1, f2, g1 et g2 quatre fonctions telles que f1 ∼+∞

g1 et f2 ∼+∞

g2 et

λ ∈ R∗. Alors :

λf1(x) ∼x→+∞

λf2(x)

1

f1(x)∼

x→+∞

1

f2(x)

f1(x)

g1(x)∼

x→+∞

f2(x)

g2(x)

f1(λx) ∼x→+∞

g1(λx)

Remarque

Idem en −∞190 / 354



M2. 7.2.4. - Exercices types

Exercice 2.52. Exercice type : Equivalents : Calculer limx→+∞

1 +x2 − 1

2x2 + 1.

191 / 354




Exercice 2.53. Limites de fractions rationnelles : Calculer les limites en +∞ eten −∞ des fonctions f suivantes :

1 f (x) =7x + 3

4x2 − 3x + 132 f (x) =

2x − 3

x + 53 f (x) =

2x + |2x + 5|5x − 1

192 / 354



M2. 7.2.5. - Croissance comparee

Theoreme 207 (Regles de croissance comparee)

On a limx→+∞

ln(x)

xα= 0 et lim

x→+∞

ex

xα= +∞ (avec α ∈ R∗+). On dit que :

ln << xα << ex en +∞

On dit que ln croit moins vite queles puissances, qui croissent moinsvite que l’expo vers +∞

Exercice 2.54. Exercice type : Limitesasymptotiques : Determiner

limx→+∞

ln(x)ex

x12

.

0 1 2 3 4 5x

10

20

30

40

50

y

x 7→ ln(x)

x 7→ x2

x 7→ ex

193 / 354




Exercice 2.55. Limites avec croissance comparee : Determiner les limites quandx tend vers +∞ et lorsqu’elle existe, lorsque x tend vers −∞, des fonctions fsuivantes :

1 f (x) =ex

x2 + 12 f (x) = x3 − 2x 3 f (x) = (x + 1)e−x

4 f (x) =e2x − x2

e2x+15 f (x) =

3x

x46 f (x) =

√x + 1e−3x

7 f (x) =e1+x2

x2 ln(x)8* f (x) =

10x

√x2 + 1

194 / 354




Exercice 2.56. Accroissements finis (pour les poursuites d’etudes longues) :Cet exercice utilise la formule des accroissements finis donnee par : pour toutefonction f continue sur [a, b], pour h = b − a, il existe un reel θ (avec0 < θ < 1) tel que f (a + h) = f (a) + hf ′(a + θh).Determiner la valeur prise par θ lorsque la fonction f est definie par :

1 f (x) = αx2 + βx + γ 2 f (x) = ex

Calculer, dans chacun des cas, la limite de θ quand l’ecart h tend vers 0.

195 / 354




Exercice 2.57. Serie harmonique (pour les poursuites d’etudes longues) :Cet exercice utilise la formule des accroissements finis donnee par : pour toutefonction f continue sur [a, b], pour h = b − a, il existe un reel θ (avec0 < θ < 1) tel que f (a + h) = f (a) + hf ′(a + θh).

1 Donner un encadrement de ln(a + h) et l’appliquer lorsque a = 1 et h =1

nou n ∈ N∗.

2 En deduire un encadrement de ln(n + 1)− ln(n), ln(n)− ln(n− 1), et ainside suite jusqu’a ln(2)− ln(1).

3 Deduire aussi un encadrement de un = 1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n.

4 Quelle est la limite de un quand n tend vers l’infini.

196 / 354



M2. 7.3.1. - Application : Asymptotes etbranches paraboliques

Objectifs

Evaluer ”comment” une fonction f (x) tend vers +∞ lorsque x → +∞,autrement dit quelle est sa direction dominante parmi :

1 les droites (0x), (0y)

2 les droites de la forme y = ax + b

3 les branches de la forme y = ax2 guidees par une droite

197 / 354



M2. 7.3.1. - Application : Asymptotes etbranches paraboliques

Asymptotes

0 1 2 3 4x

5

10

15

20

y

f (x) = 3 + x + 1x

Asymptote y = x + 3

Branches paraboliques

0 2 4 6 8x

−5

5

10

y

f (x) = x2 + ln(x)

Branche y = x2

197 / 354



M2. 7.3.2. - Methodologie

limx→∞

f (x) =?

Asymptotehorizontale

y = L

L ∈ R

limx→∞

f (x)

x=?

±∞

Brancheparaboliquede direction

(0x)

0


(0y)

±∞

limx→∞

f (x)− ax =?

a ∈ R∗

Asymptoteoblique

y = ax + b

b ∈ R


y = ax

±∞

Remarque

Resultats identiques lorsque x → −∞

198 / 354




Exercice 2.58. Exercice type : Asymptotes : Determiner la branche

asymptotique en +∞ et en −∞ : g(x) =x2 + 2x − 2

x − 2.

199 / 354




Exercice 2.59. Asymptotes : Determiner le comportement asymptotique de

f (x) =5x2 + 3x − 2

x + 2en +∞.

Exercice 2.60. Branches asymptotiques : Determiner les branchesasymptotiques des fonctions suivantes :

1* f (x) =1

2

x2 + 3x − 1

x + 32* f (x) = 2(2− x) +

1

4

x

x + 2

200 / 354



M2. 7.3.3. - Exercices de TDExercice 2.61. Etude d’un schema electronique :On considere le montage suivant :

R1 ≡ xi1

R2 ≡ 3

R1 ≡ xi2

ou R1 sont deux resistances de x Ohms et R2 une de 3 Ohms.

1 Exprimer la resistance equivalente du circuit, notee R, en fonction de x .

2 Etudier les variations de R en fonction de x , ainsi que les branches infinies(on envisagera la possibilite d’une asymptote en l’infinie). Tracer la courbeC de R pour x variant entre 0 et 6 Ohms.

3 A partir de quelle valeur de x la difference

∣∣∣∣R − (1

2x +

3

4

)∣∣∣∣ est-elle

inferieure a 1/100 ? En deduire une valeur approchee de R lorsquex = 120 Ohms.

201 / 354




5 Continuite

6 Derivation


8 Comportements locauxLimites en un point aCalcul de limitesDeveloppements limites


202 / 354



M2. 8.1.1. - Notion de limites en un point a(avec a ∈ RExemple 208 (Fonction inverse)

Table de valeurs

x f (x) =1

x1 1

0.1 100.01 100... ...

1.10−6 106

limx→0+

f (x) = +∞

η

B

1x

1

y

Ginv

Lorsque x → 0 (par valeurs superieures), f (x) croit indefiniment ; on ditque lim

x→0+f (x) = +∞

202 / 354




Definitions 209 (Comportement local)

Le comportement local d’une fonction f de la variable x est la”‘direction”’ de f lorsque x tend vers a, soit des deux cotes, soit parvaleurs inferieures (a−), soit par valeurs superieures a+.

Elle prend la forme d’une limite L qui peut etre un nombre ∈ R ou uninfini ±∞.

La limite L peut etre atteinte ou approchee par la fonction, en arrivant parvaleurs inferieures (L−) ou superieures (L+).

On la note : limx→a

f (x) = lima

f = L

Remarque

Tres souvent a = 0

203 / 354



M2. 8.1.1. - Limite finie en un point a

Cas d’une limite finie L ∈ R en a ∈ Rlimx→a

f (x) = lima

f = L

Exemple 210 (Sinus cardinal)

limx→0

sinc (x) = limx→0

sin(x)

x= 1

limx→0

f (x) = 1

η

ε

0 π 2π 3π−π−2π−3π

1

x

y

Gsinc

204 / 354



M2. 8.1.1. - Limite infinie en un point a

Cas d’une limite +∞ enun point a ∈ Rlimx→a

f (x) = lima

f = +∞

Exemple 211 (f(x) =1

|x|)

de limite +∞ lorsque x → 0

limx→0

f (x) = +∞

η

B

1x

1

y

G1/|x|

205 / 354



M2. 8.1.1. - Limites par valeurs superieures ouinferieures

1 Si x → a+, alors x → a et x ≥ a

2 Si x → a−, alors x → a et x ≤ a

De meme, pour L ∈ R1 lim

x→af (x) = L+, alors f (x)→ L et f (x) ≥ L

2 limx→a

f (x) = L−, alors f (x)→ L et f (x) ≤ L

206 / 354



M2. 8.2.1. - Limites en 0 des fonctions usuelles

Fonction f (x) Limite en 0 Fonction f (x) Limite en 0

Constante c c sin(x) 0

Puissance xn (n ∈ N∗) 0 cos(x) 1

Racine carree√

x 0+ tan(x) 0

Inverse1

x

+∞ si x → 0+

−∞ si x → 0−arcsin(x) 0

Log neperien ln(x) −∞ pour x → 0+ arccos(x)π

2Exponentielle ex 1 arctan(x) 0

207 / 354



M2. 8.2.2. - Operations algebriques sur leslimites

Remarques

Memes theoremes que pour les comportements asymptotiques

Memes formes indeterminees

208 / 354




Exercice 2.62. Exercice type : Limite locale : Calculer limx→0

tan(x)

2 + 1x

.

209 / 354




Exercice 2.63. Limites en 0 : Calculer les limites en 0 des fonctions f suivantes :

1 f (x) =arctan x

|x − 3| 2 f (x) =√

x2 + 1−√

x2 − 1

3 f (x) =2x − 3

x + 54 f (x) =

2x + |2x + 5|5x − 1

5 f (x) =|x(x − 1)| ln(x)

x3

210 / 354



M2. 8.2.3. - Rappel sur la notion d’equivalence

Equivalence en 0

Deux fonctions f et g sontequivalentes au voisinage de 0 sielles sont egales au voisinage de 0 aun epsilon pres. Leurs graphes setangentent et elles ont la memelimite en 0. On le note :f (x) ∼

x→0g(x)

Exemple 213 (Equivalent de tan)

tan(x) ∼x→0

x

0 π/2x

2

y tan(x)

x

211 / 354



M2. 8.2.3. - Equivalences usuelles en 0Pour tout x au voisinage de 0 et α ∈ R+∗

(1 + x)α ∼x→0

1 + αx (1− x)α ∼x→0

1− αx

1

(1− x)α∼

x→01 + αx

1

(1 + x)α∼

x→01− αx

ln(1 + x) ∼x→0

x ln(1− x) ∼x→0−x

sin(x) ∼x→0

x cos(x) ∼x→0

1

tan(x) ∼x→0

x ax ∼x→0

1 + x ln(a)

arcsin(x) ∼x→0

x arctan(x) ∼x→0

x

P(x) = anxn + an−1xn−1 + ...+ a0 ∼x→0

le monome ai xi de plus petit

degre tel que ai soit non nul

F (x) =P(x)

Q(x)∼

x→0le quotient des equivalents de P(x) et Q(x)

Remarque

Meme application au calcul de limites que pour les comportementsasymptotiques, meme operations licites

212 / 354



M2. 8.2.3. - Exercices types

Exercice 2.64. Exercice type : Limites via equivalences : Calculer :

1 limx→0

tan(x)

x2 lim

x→0

(1 + x)13 − (1− x)

13

x

213 / 354



M2. 8.2.4. - Limites en a 6= 0 d’une fonction f

Theoreme 214 (Changement de variable (CV))

Etant donnee une variable x tendant vers a et une variable t choisie desorte que x = u(t) et t = v(x) avec u et v deux fonctions, alors :limx→a

f (x) = limt→b

f (u(t)) avec b = limx→a

v(x)

Methodologie 215 (CV pour un calcul de limx→a

f(x))

1 Poser le cv x = u(t) et inverser le cv pour obtenir t = v(x) ;

2 Reecrire l’expression de f (x) en fonction de t en remplacant, dans la reglede definition de f , tous les x par v(t), pour obtenir f (v(t)) ;

3 Calculer b = limx→a

v(x) ;

4 Conclure que limx→a

f (x) = limt→b

f (u(t)).

214 / 354




Exercice 2.65. Exercice type : Changement de variable : Calculer les limitessuivantes en utilisant les changements de variables proposes :

1 limx→+∞

(1 +

1

x

)x�

�y =

1

x2 lim

x→−22(2− x) +

1

4

x

x + 2

�� y = x + 2

215 / 354



M2. 8.2.4. - Changements de variable usuels

Theoreme 216 (Changements de variable usuels)

Les CV usuels sont :

limx→a

f (x) = limy→0

f (y + a)�� y = x − a

�� x = y + a

limx→a

f (x) = limy→0

f (a− y)�� y = a− x

�� x = a− y

limx→0+

f (x) = limy→+∞

f

(1

y

) �

�y =

1

x

�

�x =

1

y

limx→0−

f (x) = limy→−∞

f

(1

y

) �

�y =

1

x

�

�x =

1

y

216 / 354




Exercice 2.66. Changements de variable : Determiner les limites suivantes enfaisant les changements de variables proposes :

1 limx→1

x2 + 3x − 4

2x2 − x − 1

�� u = x − 1 2 limx→2+

1

x − 2ln

(1 +

1

x − 2

) �� u = x − 2

3 limx→2−

1

x − 2ln (x − 1)

�� u = 2− x 4 limx→+∞

x tan

(1

x

) �

�u =

1

x

5 limx→+∞

x3 ln

(x + 1

x

) �

�u =

1

x6* lim

x→+∞

(1 +

1

x

)x�

�u =

1

x

217 / 354



M2. 8.3.1. - Principe des DeveloppementsLimites (DLs)

Principe

Les DLs permettent d’approcher de plus en plus precisement etlocalement (pour x autour de a) l’image f (x) par un polynome P(x).Un DL aura un ordre qui indique le degre d’approximation de la fonctionf .

Remarque

En general, a = 0 ; sinon, on effectue un changement de variable pour seramener en 0.

218 / 354



M2. 8.3.1. - Principe des DeveloppementsLimites (DLs)

Exemple 217 (DLs de tan en 0)

tan(x) ∼0

x : l’equivalent en 0 est aussi le DL a l’ordre 1

tan(x) = x +x3

3+ x3ε(x) : DL a l’ordre 3 avec un polynome de degre 3

tan(x) = x +x3

3+

2x5

15+ x5ε(x) : DL a l’ordre 5 avec un polynome de

degre 5

Remarque

Les DLs sont incrementales avec l’ordre

218 / 354



M2. 8.3.1. - Developpement limite (DL) al’ordre n

Definition 218 (DL a l’ordre n)

Le developpement limite a l’ordre n au voisinage de 0 d’une fonctionf prend la forme d’un polynome a coefficients reelsPn(x) = a0 + a1x + ...+ anxn de degre au plus egal a n, de sorte quepour tout x proche de 0, il existe une fonction ε telle quef (x) = Pn(x) + +xnε(x) avec limx→0 ε(x) = 0.

219 / 354



M2. 8.3.1. - Formule de Taylor-Young

Theoreme 219 (Formule de Taylor-Young pour les DLs en 0)

Une fonction f derivable n fois au voisinage de 0 admet un DL unique,donne par :

f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + ...+

f (n)(0)

n!xn + xnε(x)

ou la factorielle de n est definie par :

n! =

{1× 2× ...× (n − 1)× n , si n 6= 01 , si n = 0

et ε est une fonction telle

que limx→0

ε(x) = 0.

Exercice 2.67. Exercice type : DL avec Taylor-Young : Donner le DL de ex al’ordre 5.

220 / 354



M2. 8.3.1. - Decrementer l’ordre

Theoreme 220 (Decrementer l’ordre d’un DL)

Pour passer d’un DL a l’ordre n a un DL a un ordre m inferieur, il suffitde tronquer le polynome a l’ordre m, c’est a dire d’effacer toutes lespuissances de x de degre superieur a m.

Exemple 221 (DL a l’ordre 3 de ex)

Sachant ex = 1 + x +x2

2+

x3

6+

x4

24+

x5

120+ x5ε(x) (DL a l’ordre 5),

alors ex = 1 + x +x2

2+

x3

6+ +x3ε(x) a l’ordre 3

221 / 354



M2. 8.3.1. - Interpretation numerique

Exemple 231 (DL de ex)

x 0.1 0.01

Valeur exacte ex 1.10517091 1.010050167

DL a l’ordre 1 1 + x 1.1 1.01

DL a l’ordre 2 1 + x +x2

2!1.105 1.01005


2!+

x3

3!1.105166 1.01005016


2!+

x3

3!+

x4

4!1.105170 1.0100501670

222 / 354



M2. 8.3.1. - Interpretation numerique etgraphique

Exemple 232 (f(x) =1

1 + x)

f (x) admet pour DL a l’ordre n :f (x) = Pn(x) = 1− x + x2 − x3 + ...+ (−1)nxn + xnε(x)

0 1x

1

y

f (x) =1

1 + x

0−0.5 0.5

x

1

y

f (x) =1

1 + xP1(x)

P2(x)

P3(x)

223 / 354



M2. 8.3.2. - Developpements limites usuels

f (x) ∼0

Pn(x) du DL a l’ordre n

(1 + x)α 1 + αx 1 + αx + ...+α(α− 1) . . . (α− n + 1)

n!xn + xnε(x)

1

1 + x1− x 1− x + x2 − x3 + . . .+ (−1)nxn + xnε(x)

ln(1 + x) x x − x2

2+

x3

3+ . . .+

(−1)n+1

nxn + xnε(x)

ex 1 + x 1 + x +x2

2+

x3

6+ . . .+

xn

n!+ xnε(x)

sin(x) x x − x3

6+

x5

120− . . .+

(−1)p

(2p + 1)!x2p+1 + x2p+1ε(x)

cos(x) 1 1− x2

2+

x4

24− . . .+

(−1)p

(2p)!x2p + x2pε(x)

tan(x) x x +x3

3+

2x5

15+ x5ε(x)

arcsin(x) x x +x3

6+

3x5

8+ x5ε(x)

arctan(x) x x − x3

3+

x5

120+ x5ε(x)

224 / 354



M2. 8.3.2. - DL d’une somme

Theoreme 233 (DL d’une somme)

Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x) + v(x) = Sn(x) avec Sn(x) = Pn(x) + Qn(x) + xnε(x) tronque al’ordre n.

Exercice 2.68. Exercice type : DL d’une somme : Determiner le DL a l’ordre 3de f (x) = cos(x) + sin(x).

225 / 354



M2. 8.3.2. - DLs d’un produit

Theoreme 234 (DL d’un produit)

Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x).v(x) = Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) = Pn(x).Qn(x) tronque a l’ordren.

Exercice 2.69. Exercice type : DL d’un produit : Determiner le DL a a l’ordre 2de f (x) = ex . cos(x).

226 / 354



M2. 8.3.2. - DLs d’un quotient

Theoreme 235 (DL d’un quotient)

Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x)

v(x)= Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) obtenu par division polynomiale

suivant les puissances croissantes de Pn(x) par Qn(x) tronque a l’ordre n.

Exercice 2.70. Exercice type : DL d’un quotient : Determiner le DL a l’ordre 2

de f (x) =ln(1 + x)

cos(x).

227 / 354



M2. 8.3.2. - DLs d’une composee

Theoreme 236 (DL d’une composee)

Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(v(x)

)= Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) = Pn(Qn(x)) tronque a l’ordre n.

Exercice 2.71. Exercice type : DL d’une composee : Determiner le DL a l’ordre2 de :

1 f (x) = ln(1 + sin(x)) 2 g(x) = ln(1 + 3x) 3 h(x) = sin(−2x)

228 / 354




Exercice 2.72. DL d’une somme : Determiner le DL a a l’ordre 3 deu(x) + v(x) lorsque u(x) = ex et v(x) = sin(x).

Exercice 2.73. DL d’un produit : Determiner le DL a l’ordre 2 de u(x).v(x)avec u(x) = ex et v(x) = sin(x).

Exercice 2.74. Calcul de DLs : Donner le developpement limite en 0 a l’ordre 2des fonctions de la variable x suivantes :

1sin(x)

1 + x22

1

1 + sin(x)3 tan2(x) 4

ln(1 + x)

1 + x5 sin

(π4

+ x)

6 sinc (x) =sin(πx)

πx7 xex 8

x

1− ex

229 / 354



M2. 8.3.3. - DL et limites

Theoreme 237 (DL et limite)

Si une fonction f admet un DL en 0 a l’ordre n de la forme Pn(x) ouPn(x) est un polynome de degre n, alors : lim

x→0f (x) = lim

x→0Pn(x)

Exercice 2.75. Exercice type : Limite : Calculer la limite en 0 de

f (x) =ln(1− x)

x.

230 / 354




Exercice 2.76. Calcul de limites : Calculer les limites quand x tend vers 0 desfonctions suivantes, en utilisant les DLs usuels :

1 f (x) =x − arcsin(x)

x − sin(x)2 f (x) =

x2 sin(x)

x − sin(x)3 f (x) =

√2x + 1−

√x + 1

x

4 f (x) =1− e−x2

1− cos(x)5 f (x) =

ax − bx

x6 f (x) =

ln (cos(ax))

ln (cos(bx))

ou a et b sont deux parametres reels strictement positifs.

Exercice 2.77. Calcul de limites (DS 2008) : Calculez les limites suivantes :

1 limx→+∞

3√

1 + x3 − (1 + x) 2 limx→±∞

x23(1+ 1x ) 3 lim

x→0

1

xln

(ex − 1

x

)

231 / 354




Exercice 2.78. Limites (pour les poursuites d’etudes longues) :Calculer les limites suivantes :

1 limx→+∞

x ln

(x + 1

x − 1

)2 lim

x→1

ln(x)√x − 1

3 limx→1

x − (n + 1)xn+1 + nxn+2

(1− x)2

4 limx→1

cos(πx/2)

x − 15 lim

x→±∞x(

21/x − 1)

6 limx→0±

x(

21/x − 1)

7 limn→+∞

(n + 1

n

)n

8 limx→+∞

cos(π2

x)

x − 19 lim

x→1

xn − 1

x − 1

232 / 354




5 Continuite

6 Derivation



9 Synthese : Etude de fonctionsTechniques d’etude de fonctionsExercices

233 / 354



M2. 9. - Objectif

Objectif de l’etude de fonction

Tracer le graphe de la fonction sans calculatrice

233 / 354



M2. 9.1. - Methodologie

Methodologie 238 (Etude d’une fonction)

1 Determiner l’ensemble d’etude ;

2 Determiner le tableau de variation sur l’ensemble d’etude ;

3 Etudier les branches asymptotiques de l’ensemble d’etude ;

4 Etudier quelques comportements locaux (dependant du tableau devariation) ;

5 Tracer le graphe.

234 / 354



M2. 9.2. - Probleme de syntheseExercice 2.79. Exercice type : Extrait du DS 2008-2009 :

Etudier la fonction f (x) = x

(x2 − 1

6x2 − 4

).

1 Ensemble de definition et de derivabilite (1 pts).

2 Etude de la parite (0.5 pts) et ensemble d’etude (0.5 pts).

3 Derivee de f (2 pts).

4 Sens de variation (on pourra au besoin poser u = x2) (2 pts).

5 Limite de f en +∞ (1 pts)

6 limx→

(√2√3

)− f (x) et limx→

(√2√3

)+f (x) (2 pts) avec

�

�u = x −

√2√3

.

7 DL a l’ordre 1 de f (x) au voisinage du point x = 0 (1 pts).

8 Equation de l’asymptote au graphe de la fonction f en +∞ (1 pts).

9 Graphe de f (sachant

√2

3= 0.81)

235 / 354



M2. 9.2. - Exercices de TD

Exercice 2.80. Etude de fonction (DS 2005) :

Soit la fonction f (x) = Arctan

(x + 1

x

). Donner le domaine de definition de f .

Calculer sa derivee et donner les limites quand x tend vers ±∞, 0− et 0+.Tracer grossierement son graphe.

236 / 354


Calcul integral Equations differentielles

Module 3

Calcul integral et equationsdifferentielles

236 / 354



10 Calcul integralPrimitiveIntegrales propres dites integrales de RiemannIntegrales (impropres) generalisees

11 Equations differentielles

237 / 354



M3. 10.1.1. - Notion de primitive

Definition 239 (Primitive)

Soit f une fonction reelle de la variable reelle, definie et continue surl’intervalle [a; b]. Une primitive de la fonction f est une fonction F dela variable x definie de [a; b] sur R tel que : pour tout x ∈ [a; b],F ′(x) = f (x).

Exemple 240 (Primitives de la fonction inverse)

F (x) = − 1

x2est une primitive de f (x) =

1

x

Corollaire 241 ()

Une primitive F de f sur [a; b] est necessairement derivable sur [a; b] etde derivee F ′(x) = f (x) sur [a; b]

237 / 354



M3. 10.1.1. - Primitive et derivee, deuxoperations inverses

Exercice 3.1. Exercice type : Primitives : Soit f une fonction. Donner uneprimitive F de f ′.

Theoreme 242 (Primitive et derivee)

Une primitive de la derivee de f est f .

La derivee d’une primitive de f est f .

238 / 354



M3. 10.1.1. - Condition d’existence d’uneprimitive

Theoreme 243 (Th. de Darboux : CNS a d’existence d’uneprimitive)

a. Condition necessaire et suffisante

Pour qu’une fonction f admette une primitive F sur l’intervalle [a; b], ilfaut qu’elle soit continue sur [a; b].

Rappel M2

Une fonction f derivable sur [a; b] est necessairement continue ; elleadmettra donc une primitive sur [a; b].

239 / 354



M3. 10.1.1. - DES primitives ...

Theoreme 244 (Ensemble des primitives de f)

f possede une infinite de primitives, toutes definies a une constante cpres, appelee constante d’integration. Les primitives de f forment doncun ensemble des fonctions note

{x 7→ F (x) + c/c ∈ R

}.

Demonstration.

Soit F1 une primitive de f sur [a; b]. Alors la fonction F2 definie parF2(x) = F1(x) + c (avec c constante reelle quelconque) est aussi uneprimitive de f sur [a; b].

Exemple 245 (Primitives de l’exponentielle)

Toutes les primitives de la fonction f (x) = ex sont les fonctions ex + cavec c une constante reelle quelconque.

240 / 354



M3. 10.1.1. - ... qui peuvent devenir LAprimitive QUI

Theoreme 246 (Une seule primitive pour une condition de valeurdonnee)

Il n’existe qu’une seule et unique primitive de f dont la valeur en unpoint x0 est y0 : c’est la fonction F qui satisfait au systeme d’equations :{

F ′ = fF (x0) = y0

.

Trouver LA primitive QUI

Connaissant une primitive F1 de f , trouver l’unique primitive F2 de fdont la valeur en x0 est y0 consiste a trouver l’unique valeur de laconstante d’integration c telle que y0 = F1(x0) + c . Cette unique valeurest copt = y0 − F1(x0). F2 est donc definie pour tout x ∈ [a, b] parF2(x) = F1(x) + copt = F1(x) +

(y0 − F1(x0)

).

Exercice 3.2. Exercice type : La primitive : Trouver la primitive de ex quis’annule en 2.

241 / 354



M3. 10.1.1. - Une question de vocabulaire

Une question de vocabulaire

Attention donc au vocabulaire employe : Pour une fonction f , admettantune primitive F :

Toutes les primitives de f sont toutes les fonctions de la forme F + cavec c la constante d’integration

La primitive de f qui vaut y0 en x0 est la seule fonction F +(y0−F (x0)

)Une primitive de f est par exemple F + 2

Ces primitives ne sont valables que sur un intervalle I ou la fonction fest continue (ou au moins derivable).

242 / 354



M3. 10.1.2. - Primitives des fonctions usuelles

Fonction f (x) Primitives F (x) Validite

Constante k (avec k ∈ R) kx + c R Terminale

Inverse1

xln |x |+ c R∗ Terminale

Pu

issa

nce

Monome xn (avec n ∈ N) F (x) =xn+1

n + 1+ c R Terminale

Racine n-ieme n√

x = x1n (avec n ∈ N∗) x

1n +1

1n + 1

+ c R+

Puissance d’inverse1

xn= x−n (avec n ∈ N \ {0, 1}) 1

(1− n)xn−1R∗ Terminale

Puissance xα (avec α ∈ R \ {−1}) xα+1

α + 1+ c R∗+

Exp

o Exponentielle ex ex + c R Terminale

Expo. a base a ax = ex ln(a) (avec a ∈ R+∗ )

ax

ln(a)+ c R

243 / 354



M3. 10.1.2. - Primitives des fonctions usuelles

Fonction f (x) Primitives F (x) Validite

Tri

go

no

met

rie

Cosinus cos(x) sin(x) + c R Terminale

Sinus sin(x) − cos(x) + c R Terminale

1 + tan2(x) tan(x) + c R M2

− 1√1− x2

arccos(x) + c ]− 1; 1[ M2

1√1− x2

arcsin(x) + c ]− 1; 1[ M2

1

1 + x2F (x) = arctan(x) + c R M2

243 / 354



M3. 10.1.2. - Operations sur les fonctions

Soient u une fonction de primitive U, v une fonction de primitive V etλ ∈ R∗.

Fonction f (x) Primitives

Somme f (x) = u(x) + v(x) F (x) = U(x) + V (x) + c

Difference f (x) = u(x)− v(x) F (x) = U(x)− V (x) + c

Amplification f (x) = λu(x) F (x) = λU(x) + c

Homothetie f (x) = u(λx) F (x) =1

λU(λx) + c

Exercice 3.3. Exercice type : Primitives : Trouver toutes les primitives de :

1 f (x) =2

x+ 3x 2 g(x) = e3x +

1

5cos(2x)

244 / 354



M3. 10.1.2. - Operations sur les fonctions

Si f peut s’ecrire comme la derivee d’un produit, d’un quotient ou d’unecomposee faisant intervenir les fonctions u et v , on peut aisement donnerune primitive de f .

Derivee Fonction f (x) Primitives

d’un produit f = (u.v)′ f (x) = u′(x)v(x) + u(x)v ′(x) F (x) = u(x).v(x) + c

d’un quotient f =(u

v

)′f (x) =

u(x)′v(x)− u(x)v(x)′

v(x)2F (x) =

u(x)

v(x)+ c

d’une composee f = (u ◦ v)′ f (x) = v ′(x)u′(v(x)

)F (x) = u

(v(x)

)+ c

Exercice 3.4. Exercice type : Primitive de fractions rationnelles : Donner toutes

les primitives de f (x) =2x + 2

x2 + 2x + 2.

245 / 354



M3. 10.1.3. - Techniques d’integration - Casgeneral

Methodologie 247 (Recherche de primitives de f dans le casgeneral)

1 Reconnaıtre les fonctions usuelles dans f et donner une de leur primitive

2 Reconnaıtre l’assemblage de fonctions utilisees (somme, derivee,amplification, composee, ...)

3 Integrer en utilisant les tables en n’oubliant pas la constante d’integration

Exercice 3.5. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :

1 f (x) = 2x(1 + x2)2 2 P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4

3 f (x) = 2 cos(3x) + 5 sin(1

5x)

246 / 354



M3. 10.1.3. - Techniques d’integration - Casparticulier 1

Methodologie 248 (Recherche des primitives de f lorsque fcontient des fonctions trigonometriques)

Lineariser la fonction en somme de cos et de sin (a la puissance 1) puisappliquer la methodologie 247 (cas general)


1 f (x) = sin2(x) 2 g(x) = cos2(x) 3 h(x) = cos(3x) sin(2x)

247 / 354



M3. 10.1.3. - Techniques d’integration - Casparticulier 2

Methodologie 249 (Recherche des primitives de f lorsque f est unefraction rationnelle )

1 Si f =u′

u, alors F (x) = ln |u(x)|+ c

2 Si f =u′

un(avec n ∈ N∗), alors F (x) =

1

1− n

1

un−1(x)+ c

3 Si f =u′v − uv ′

v 2, alors F (x) =

u(x)

v(x)

4 Sinon, decomposer f en elements simples M1 , pour obtenir

f (x) = P(x) +A

x − a+ B

2x + b

x2 + bx + cet integrer :

le polynome P(x)

les elementsA

x − aayant pour primitive A ln

∣∣x − a∣∣

les elements B2x + b

x2 + bx + cayant pour primitive B ln

∣∣x2 + bx + c∣∣

puis ajouter toutes les primitives obtenues.248 / 354





1 f (x) = 5x − 1

x2 + x − 62 g(x) =

x3 + x + 1

x2 + 1

249 / 354




Exercice 3.8. Calcul de primitive : Pour chacune des fonctions f suivantes,donner toutes les primitives F (x) de f et l’ensemble de definition desprimitives, en utilisant les regles d’operations sur les fonctions :

1 f (x) = 2x3 + 5x2 − 4x + 1 2 f (x) =x + 1√

x

3 f (x) = 2x(

x2 + 1)2

4 f (x) =(

x2 + 1)3

5 f (x) =1

(x + 1)56 f (x) =

sin(x)

cos2(x)

7 f (x) = ex (x + 1) 8 f (x) = (x2 + 1) sin(x3 + 3x − 3)

9 f (x) =x + 3√

x2 + 6x + 710 f (x) =

x2 + 2x + 2√x3 + 3x2 + 6x + 1

11 f (x) =cos(x)√

9− sin2(x)12 f (x) = x

√1 + x2

250 / 354




Exercice 3.9. Primitives de fractions rationnelles : Trouver une primitive desfractions rationnelles suivantes :

1 f (x) =x + 1

x2 + 12 f (x) =

x2 + x + 1

x2 − 3x + 2

3 f (x) =x3 + 1

x − 14 f (x) =

1

x2(x2 − 3x + 2)

5 f (x) =1

(x − 1)(x2 + 1)6 f (x) =

x + 3

x + 2

7 f (x) =5x − 12

x(x − 4)

251 / 354



M3. 10.2.1. - L’integrale comme airealgebrique

Definition 250 (Integrale de f de a a b)

Soit f une fonction continue sur unintervalle [a; b]. L’integrale de f de a a best l’aire algebrique (signee) de la surfacedite ”sous” le graphe geometrique Gf de fentre les droites d’equation x = a et x = b.

On la note

∫ b

a

f ou

∫ b

a

f (x)dx . f est alors

appele integrande.

Gf

A1(a, 0)

A2(a, f (a))

B2(b, f (b))

B1(b, 0)

∫ b

a

f (x)dx

x

y

Remarques

dx designe la differentielle de x , autrement dit une petite variation de x .

x est la variable d’integration. C’est une variable muette252 / 354



M3. 10.2.1. - Approximation de l’integrale parune somme de rectanglen mesures de la fonction : f (x0), f (x1), f (x2), ..., f (xn−1) aux points x0,x1, x2, ..., xn−1 espaces d’une distance δx = x1 − x0 ≈ b−a

n

Gf

x0

f (x0)f

(x0)δ

x

δx

x1

f (x1)

f(x

1)δ

x

δx

x2

f (x2)

f(x

2)δ

x

δx

x3

f (x3)

f(x

3)δ

x

δx

xn−1

f (xn−1)

f(x

n−

1)δ

x

δx

...

a b

x

y

f (x0)δx + f (x1)δx + f (x2)δx + ...+ f (xn−1)δx ≈∫ b

a

f (x)dx

253 / 354



M3. 10.2.1. - Approximation de l’integrale parune somme de rectangle

n−1∑i=0

f (xi )δx ≈∫ b

a

f (x)dx

Lorsqu’on fait tendre n vers +∞ (et f integrable), alors :

limn→+∞

n−1∑i=0

f (xi )δx =

∫ b

a

f (x)dx

Conclusions

Une integrale est la somme de toutes les valeurs f (x) que prend lafonction f entre x = a et x = b ponderees par la quantite infinimentpetite dx .

Dans le calcul d’une integrale, il faudra systematiquement prendre encompte la regle de definition qui s’applique pour f dans l’intervalled’integration [a; b].

254 / 354




Exercice 3.10. Exercice type : Integrale d’une porte : Calculer l’integrale∫ 5

−5

Π2(x)dx ou ΠT designe la fonction porte de la largeur T

255 / 354



M3. 10.2.1. - Integrale (propre)

Definition 252 (Integrale (propre))

Soit f une fonction continue sur [a; b] ayant pour primitive la fonction Fsur [a; b]. Alors f est integrable sur [a; b] et son integrale entre a et best le nombre reel :∫ b

a

f (x)dx =[

F (x)]b

a= F (b)− F (a)

Remarques :∫ b

a

f (x)dx ne depend pas de la constante d’integration c choisie pour F[F (x)

]b

aest une expression/notation mathematique

cette integrale (par definition) est aussi la ”somme” de toutes les valeursf (x) prises par f lorsque x varie entre a et b. La regle de definition utiliseepour f (x) dans le calcul de l’integrale est donc celle valable pourx ∈ [a; b].

256 / 354




Exercice 3.11. Exercice type : Integrales : Calculer :

1

∫ 2

1

sign(x)dx 2

∫ −1

−2

|x |dx

Exercice 3.12. Exercice type : Integrales : Montrer que pour toute fonction f

continue au voisinage d’un reel a,

∫ a

a

f (t)dt = 0

257 / 354



M3. 10.2.1. - Application de l’integration a laphysique

Definition 253 (Grandeurs physiques en electronique)

Soit une tension U(t) fonction du temps t.

La valeur moyenne de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est :

Umoy =1

b − a

∫ b

a

U(t)dt

La valeur efficace a de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est :

Ueff =

√1

b − a

∫ b

a

U2(t)dt

a. valeur de la tension continue qui provoquerait une meme dissipation de puissanceque U(t) si elle etait appliquee aux bornes d’une resistance

Exercice 3.13. Exercice type : Tension en electronique : Soit la tension

U(t) = U0 sin(2πωt) variable au cours du temps t avec T =1

ωet ω deux

constantes reelles. Donner la valeur moyenne puis la valeur efficace de U(t) sur[0; T ].

258 / 354



M3. 10.2.2. - Proprietes des integrales propres

Theoreme 257 (Relation de Chasles)∫ b

a

f (x)dx =

∫ c

a

f (x)dx +

∫ b

c

f (x)dx

Theoreme 258 (Inversion des bornes)∫ b

a

f (x)dx = −∫ a

b

f (x)dx

Exercice 3.14. Exercice type : Chasles : Calculer

∫ 2

0

(Π2(x) + x)dx .

259 / 354



M3. 10.2.2. - Proprietes de l’integrale propre

Theoreme 259 (Integrale et symetrie graphique)

Si la fonction f est paire, alors

∫ a

−a

f (x)dx = 2

∫ a

0

f (x)dx.

Si la fonction f est impaire, alors

∫ a

−a

f (x)dx = 0.

Si la fonction f est periodique de periode T , alors∫ a+T

a

f (x)dx =

∫ T

0

f (x)dx =

∫ T2

− T2

f (x)dx.

Exercice 3.15. Exercice type : Periode : Calculer

∫ 5π

3π

cos(x)dx .

260 / 354



M3. 10.2.3. - Techniques d’integration

Methodologies

1 Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b)− F (a).

2 Utiliser une integration par partie pour se ramener a la methodologieprecedente.

3 Effectuer un changement de variable pour se ramener a la methodologieprecedente.

261 / 354



M3. 10.2.3. - Methodologie : Recherche deprimitives

Methodologie 260 (Recherche de primitives)∫ b

a

f (x)dx se calcule en trouvant une primitive F de f puis en evaluant[F (x)

]ba

= F (b)− F (a). F est recherchee avec les methodologies 247,248 et 249, deja vues pour le calcul de primitive et qui se resument de lasorte :

f = assemblage de fonctions usuelles ⇒ tables des primitives usuelles etoperations sur les fonctions

f = fonctions trigonometriques ⇒ Linearisation

f = fraction rationnelle simple

→ mettre f en relation avec duu′

u, du

u′

unou du

u′v − uv ′

v2puis integrer

→ sinon, faire une DES a de f puis integrer lesA

x − aet

2x + b

x2 + bx + c

a. Decomposition en elements simples

262 / 354




Exercice 3.16. Exercice type : Integrales : Calculer :

1

∫ 2

1

dt

1 + t22

∫ 2

1

1

x2(x + 1)dx

263 / 354




Exercice 3.17. BTS Groupement B 2003 : Soit f la fonction definie parf (x) = (2x + 3)e−x .

1 Montrer que f admet une primitive sur R.

2 Montrer qu’une primitive de f sur R est la fonction F definie par :F (x) = −(2x + 5)e−x .

3 Montrer que

∫ 12

0

f (x)dx = 5− 6e−12 .

264 / 354




Exercice 3.18. Calcul d’integrales : Calculer les integrales suivantes :

1

∫ 1

0

(6x2 − 5)(2x3 − 5x + 1)dx 2

∫ 2

−2

|x2 + 2x − 3|dx

3

∫ π/4

0

tan(x)dx = 4

∫ π/4

0

tan2(x)dx

5

∫ 2π

−2π

| sin(t)|dt 6

∫ e2

e

1

t ln(t)dt

265 / 354




Exercice 3.19. BTS Groupement E 2002 : Soit f et h deux fonctions definies

sur l’intervalle [0; 5] par : f (x) =1

4(x3 − 9x2 + 24x) et h(x) = −x2 + 6x .

1 Etudier et representer graphiquement les fonctions f et h sur l’intervalle[0; 5].

2 En notant Gf et Gh les graphes geometriques de f et h, intuitez la positionrelative de Gf et Gh dans le plan. Justifier ensuite votre reponse par lecalcul.

3 Calculer l’aire S de la partie du plan comprise entre les deux graphes. Ondonnera une valeur exacte.

266 / 354



M3. 10.2.3. - L’Integration Par Partie (IPP)pour le produit de fonctions

Theoreme 261 (Integration par partie)

Si la fonction f a integrer s’ecrit f (x) = u′(x)v(x) avec u, v deuxfonctions definies et derivables sur [a; b] et de derivees respectives u′ etv ′ elles-meme continues sur [a; b] alors la formule de l’integration parpartie consiste a ecrire :

∫ b

a

f (x)dx =

∫ b

a

u′(x)

u(x)

v(x)

v ′(x)

dx =[u(x) · v(x)

]ba−∫ b

a

u(x)v ′(x)dx

267 / 354



M3. 10.2.3. - Methodologie : L’IPP

Methodologie 262 (IPP)

1 Chercher u′ et v tels qu’on puisse ecrire f (x) = u′(x)v(x) ;

2 Determiner une primitive u de u′ ;

3 Calculer la derivee v ′ de v ;

4 Appliquer la formule de l’IPP∫ b

a

f (x)dx =[u(x) · v(x)

]b

a−∫ b

a

u(x)v ′(x)dx et calculer[u(x) · v(x)

]b

a

puis integrer

∫ b

a

u(x)v ′(x)dx avec les differentes methodologies.

268 / 354



M3. 10.2.3. - Choix des fonctions de l’IPP

Choix des fonctions u′ et v de l’IPP

Ce choix est arbitraire et requiert de la pratique et de l’intuition.

Cependant, l’idee principale est que

∫ b

a

u(x)v ′(x)dx soit plus facile a

calculer que

∫ b

a

u′(x)v(x)dx : on aura donc souvent tendance a choisir :

comme terme u′(x), les fonctions trigonometriques, les exponentielles ;

comme terme v(x), les polynomes, les logarithmes.

269 / 354




Exercice 3.20. Exercice type : IPP : Calculer avec une IPP :

1

∫ 2

1

(2x + 1)ex dx 2

∫ 3

1

x cos(x)dx

270 / 354



M3. 10.2.3. - Exercices de TDExercice 3.21. IPP : Calculer les integrales suivantes en faisant une integrationpar partie :

1

∫ π

0

x sin(x)dx 2

∫ b

a

xα ln(x)dx avec 0 < a < b et α > 1

3

∫ 1

0

ln(

x +√

x2 + 1)

dx 4

∫ 0

a

xe−x dx avec a ∈ R

Exercice 3.22. IPP : Soit t ∈ R+∗ fixe. Calculer les integrales suivantes en

utilisant une IPP :

1

∫ t

0

e2x (3x2 + 1)dx 2

∫ t

0

e−x (x3 + 5x2)dx 3

∫ t

0

ln(x2 + 1)dx

4

∫ t

1

x2 ln(x)dx 5

∫ t

0

arctan(x)dx

271 / 354



M3. 10.2.3. - Methodologie : le Changementde Variable (CV)

Theoreme 263 (Le changement de variable)

Soit f (x) une fonction integrable sur [a; b] et I =

∫ b

a

f (x)dx. On pose�� x=u(t) ou u est une fonction de la variable t qui est :

definie et derivable sur [α;β] de derivee telle que dx = u′(t)dt ;

monotone sur [α;β] donc ayant une reciproque u−1 telle que t = u−1(x) ;

telle que u(α) = a et u(β) = b et donc telle que α = u−1(a) etβ = u−1(b).

Alors :

I =

∫ b

a

f ( x ) dx =

∫ β

α

f(

u(t))

u′(t)dt

272 / 354



M3. 10.2.3. - Methodologie du CV parl’exemple

Methodologie 264 (CV)

1 Poser le CV�� x=u(t) et l’inverser pour avoir

�� t = u−1(x) ;

2 Regle de definition : reecrire la regle de definition de f (x) en remplacantl’ancienne variable x par la nouvelle t ;

3 Calcul des bornes�� α et

�� β : calculer ce que vaut t lorsque x = a, puis

lorsque x = b ;

4 Calcul de la differentielle�� dx = u′(t)dt : en interpretant x comme une

fonction de t, calculer u′(t) =dx

dtautrement dit la derivee x ′ de x par

rapport a t ; en deduire dx en fonction de dt ;

5 Appliquer la formule du CV, puis continuer le calcul de l’integrale avec lesmethodologies du cours.

273 / 354




Exercice 3.23. Exercice type : CV : Calculer

∫ 1

0

exp(√

x)dx en faisant le CV�� t =√

x .

274 / 354



M3. 10.2.3. - Choix du CV

Choix du CV

En general, le CV est suggere par l’enonce ; sinon

f (x) de la forme Changement de variable (CV)√1− x2 x = cos(t) ou x = sin(t)

1

x2 + 1x = tan(t)

ex + α

ex + βx = ln(t)

√a2x + bx + c Ecrire a2x + bx + c sous la forme

a2(x +α)2 +β2 puis t =a

β(x +α)

275 / 354




Exercice 3.24. Exercice type : CV : Calculer a l’aide d’un CV les integralessuivantes :

1

∫ 1

0

√1− x2dx avec

�� x = cos(t)

2

∫ 1

12

1

x3e

1x dx avec

�

�t =

1

x

3

∫ 1

0

1

x2 + x + 1/2dx avec

�

�t = x +

1

2puis

�� u = 2t

276 / 354




Exercice 3.25. CV : Calculer les integrales suivantes en faisant le changementde variable suggere :

1

∫ 1/2

0

arcsin(x)√1− x2

dx avec�� x = sin(u) 2

∫ 1

0

1

3x2 + 2dx avec

�

�u =

√32x

3

∫ 1

0

3x − 1

x2 − 2x + 5dx avec

�� u = 12(x − 1) 4

∫ 1

0

ex

√e2x − 1

dx avec�� u = ex

5

∫ 1

0

ex + 1

e2x + 1dx avec

�� u = ex 6

∫ 1

1/4

√x

x2 + xdx avec

�� u =√

x

7

∫ 1

1/4

x + 1√x

dx avec�� u =

√x 8

∫ 3

2

1

x ln(x)dx avec

�� u = ln x

9

∫ a

0

1

3 + e−xdx avec

�� u = ex et a ∈ R+∗ 10

∫ a

0

1√1 + ex

dx avec�� u =

√1 + ex et a ∈ R+

∗

277 / 354



M3. 10.3.1. - Introduction aux integralesimpropres

On cherche a calculer

∫ b

a

f (x)dx lorsque :

1 f n’est pas definie ou continue sur tous les points de [a; b]

2 f n’est definie que sur ]a; b] avec f non definie en a

3 f n’est definie que sur [a; b[ avec f non definie en b

4 l’intervalle d’integration est [a; +∞[ ou est ]−∞; b]

Exemple 265 (Des integrales impropres)∫ 1

−1

sinc (x)dx alors que sinc n’est pas definie en 0∫ 0

−1

1

xdx alors que

1

xtend vers l’infini lorsque t → 0 et donc que l’aire

sous la courbe est intuitivement infinie

En Telecommunications, TEB =1√

2πσ2b

∫ +∞

0

exp

(− x2

2σ2b

)dx

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M3. 10.3.1. - Un exemple

Exemple 266 (Banques)

Vous empruntez 1 euro a un banquier avec le plan de remboursementsuivant :

1er mois : 110

euro

2eme mois : 1100

euro

3eme mois : 11000

euro

...

x-eme mois : 110x euro

Le banquier calcule combien de mois il vous faudrait pour rembourser ce1 euro ; et vous donne sa reponse : accepte-t-il votre proposition ?

279 / 354



M3. 10.3.1. - Integrale impropre

Definition 267 (Integrale impropre ou generalisee)

Soient a un reel, b un reel ou un infini (+∞ ou −∞) et f une fonctiondefinie et continue sur [a; b[.

Si limT→b

∫ T

a

f (x)dx existe et vaut une valeur reelle finie I (c’est a dire une

valeur 6=∞), on dit que la fonction f est integrable de a a b. Alors

l’integrale impropre (ou generalisee) notee

∫ b

a

f (x)dx existe et vaut I .

Si limT→b

∫ T

a

f (x)dx n’a pas de valeur reelle finie (par exemple vaut +∞),

alors on dit que f n’est pas integrable. Alors l’integrale impropre (ou

generalisee) notee

∫ b

a

f (x)dx n’existe pas et n’a pas de valeur.

b est appele la borne a risque

280 / 354



M3. 10.3.1. - Bornes a risques

Methodologie 268 (Comment identifier la (ou les) borne(s) arisque ?)

Dans l’integrale

∫ b

a

f (x)dx,

1 Etudier la derivabilite (continuite) de f sur l’intervalle d’integration([a; b]) : si f n’est pas derivable (continue) en differents points del’intervalle d’integration, ces points sont des bornes a risque.

2 Si l’intervalle d’integration inclut un infini (−∞, +∞), cet infini est uneborne a risque.

3 Dans tous les autres cas, l’integrale ne presente pas de borne a risque. Cen’est pas une integrale generalisee mais une integrale propre.

281 / 354




Exercice 3.26. Exercice type : Bornes a risque d’integrales impropres :Identifier la ou les bornes a risques dans les integrales suivantes :

1

∫ +∞

0

1√x

dx 2

∫ +∞

0

x

x2 + x + 1dx

282 / 354




Exercice 3.27. Bornes a risques : Pour chacune des integrales suivantes,preciser (si elles existent) les bornes a risques :

1

∫ +1

0

1√x

dx 2

∫ +∞

1

1√x

dx

3

∫ π2

π4

tan(π

2− x)

dx 4

∫ +1

−1

exp(arctan(x))

xdx

5

∫ +∞

1

1

tsin

(1

t

)dt 7

∫ +∞

0

et

t2dt

8

∫ +∞

0

x

(x2 + x + 1)ndx avec n ∈ N∗

283 / 354



M3. 10.3.3. - Calcul de l’integrale impropre

Methodologie 277 (Calcul d’une integrale impropre

∫f(x)dx)

1 Determiner la (ou les) borne(s) a risques dans l’intervalle d’integration

2 Decouper l’integrale en somme d’integrales

∫ b

a

f (x)dx avec b une des

bornes a risques

3 Calculer

∫ b

a

f (x)dx en :

Posant T un reel quelconque dans [a; b[, puis calculer F (T ) =

∫ T

af (x)dx

Calculant la limite quand T → b de F (T )

La limite trouvee est

∫ b

af (x)dx : elle doit etre reelle si l’integrale existe,

sinon elle sera ∞

4 Ajouter tous les resultats d’integrales pour obtenir

∫f (x)dx

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M3. 10.3.3. - Exercices-type

Exercice 3.31. Exercice type : Integrales impropres : Calculer :

1 I =

∫ +∞

1

1

10xdx 2

∫ +∞

1

1

x(x + 1)dx

285 / 354




Exercice 3.32. Calcul d’integrales generalisees : Calculer en suivant lesindications proposees :

1

∫ +∞

1

1

x(x + 1)dx 2

∫ +∞

−∞

1

1 + x2dx

3

∫ +∞

1

x ln(x)

(1 + x2)2dx

�� IPP 4

∫ +∞

1

arctan(x)

x2dx

�� IPP

5

∫ +∞

−∞

1

(|x |+ 1)3dx 6

∫ +∞

0

x5

x12 + 1dx

�� u = x6

7

∫ +∞

1

1

x2 + 2x + 2dx

�� u = x + 1 8

∫ +∞

0

1

(ex + 1)(e−x + 1)dx

�� u = ex

9

∫ +∞

0

1

(x + 1)2(x + 2)2dx 10

∫ +∞

1

ln(x)

(1 + x)3dx

�� IPP

286 / 354



10 Calcul integral

11 Equations differentiellesGeneralitesEquations differentielles du 1er ordreEquation differentielle du 2eme ordreSynthese

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M3. 11.1.1. - Equations differentielles

Definition 278 (Equation differentielle (equa diff, ED))

Une equation differentielle (ED) est :

1 une equation mathematique (E) ;

2 dont l’inconnue est une fonction y de la variable reelle t a valeurs reelles ;

3 liant l’inconnue y a ses derivees y ′, y ′′, ... y (n) (generalement notees avec

la notation differentielledy

dt,

d2y

dt2, ...,

dny

dtn) et des fonctions connues de la

variable t.

Exemple 279 (Des equations differentielles)

dy

dt= 2y ou y ′ = 2y

d5y

dt5+

1

1 + t2y = sin(t) ou y (5) +

1

1 + t2y = sin(t)

287 / 354



M3. 11.1.1. - Ordre d’une equationdifferentielle

Definition 280 (Ordre d’une ED)

L’ordre d’une ED de la fonction y est le rang de la derivee de y de rangle plus eleve apparaissant dans l’ED.

Exemple 281 (Des ED et leurs ordres)

tdy

dt= 3 est une ED d’ordre 1

md2y

dt2+ ky = mg est une ED d’ordre 2

ky = mg est une ED d’ordre 0

288 / 354



M3. 11.1.1. - Origine des ED

Exemple 282 (Un probleme de mecanique Terminale )

y designe la position d’un mobile de masse m en fonction du temps t

Loi de Newton :∑ ~Fext = m~aG soit

�� mg + ky = my ′′

Objectif du probleme : Trouver y(t)

k

m

~F = −ky

~P = mg

289 / 354



M3. 11.1.1. - Origine des ED

Exemple 283 (Un probleme d’electronique E1 )

UC designe la tension du condensateur C en fonction du temps t

L’intensite traversant C est i =dq

dtou q est la charge et vaut q = CUC

Loi d’additivite des tensions : E = UR + UC donc

�

�E = RC

dUC

dt+ UC

Objectif du probleme : Trouver UC (t)

E

R

CUC (t)

i

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M3. 11.1.2. - Etre solution d’une ED

Definition 284 (Une solution d’une ED)

Pour etre solution d’une ED (E), y doit etre une fonction verifiantl’equation differentielle.

Exemple 285 ()

Pour etre solution de

�

�dy

dt= 2y , y doit etre une fonction de t verifiant

l’ED c’est a dire que pour un reel t quelconque, l’evaluation de lapartie gauche de l’egalite et de la partie droite de l’egalite donne le memeresultat (souvent fonction de t).

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M3. 11.1.2. - Etre ou ne pas etre solution,c’est la question !

Exercice 3.36. Exercice type : Etre une solution : Soit l’ED

(E)

Nom

mg + ky = md2y

dt2

Equation

avec m, g et k trois constantes reelles. Montrer

que 1 la fonction definie par y(t) = t2 n’est pas solution, mais que 2 la

fonction definie par y(t) = cos

(√k

mt

)+ sin

(√k

mt

)+

mg

kest solution.

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M3. 11.1.3. - Pas une mais des solutions a uneED

Theoreme 286 (L’espace vectoriel des solutions d’une ED)

Soit une ED (E) de la fonction y et soient y1 et y2 deux fonctionssolutions de (E). Alors, quel que soit le reel α, la fonction y1 + αy2 estaussi une solution de (E). On dit que les solutions d’une ED forment un

espace vectoriel de fonctions (cf. MC1 ).

Exercice 3.37. Exercice type : Des solutions : Soit l’ED

(E)

Nom

E = RCdy

dt+ y

Equation

admettant pour solution les deux fonctions y1 et y2.

Soit α ∈ R. Montrer que y3 = y1 + αy2 est aussi solution de (E).

Conclusion

Une ED admet generalement une infinite de fonctions solutions.

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M3. 11.1.4. - Resoudre/Integrer une ED

Definition 287 (Resolution/Integration d’une ED)

Resoudre une ED , c’est trouver TOUTES les fonctions y solutionsde l’ED.

Theoreme 288 (Famille de fonctions solutions)

Les solutions d’une ED forment une famille de fonctions : c’est unensemble de fonctions fλ(t) parametrees par un (ou plusieurs)parametres appeles degres de liberte et notes ici λ pouvant prendren’importe quelle valeur dans R. Cette famille est noteeF = {y(t) = fλ(t)/λ ∈ R}.

Definition 289 (Solution generale)

les fonctions y(t) = fλ(t) solutions ont toutes la meme regle dedefinition formant la solution generale de l’ED.

Remarque : En general, les solutions d’une ED auront autant de degresde liberte que l’ordre de l’ED.

294 / 354



M3. 11.1.4. - Exemple de famille de fonctions

Exemple 290 (Famille defonctions exponentielles)

Cette famille est :F =

{y(t) = eλt

Regle de def

/λ ∈ R}

.

Elle est parametree par un degre deliberte λ.La regle de definition (parametree)des fonctions de cette famille est :y(t) = eλt .En tracant plusieurs de cesfonctions, on obtient un faisceau decourbes .

0 1x

1

y

exp(t)

exp(t/3)

exp(2t)

295 / 354



M3. 11.1.5. - Conditions limitesLes EDs peuvent etre associees avec un certain nombre de conditions,appelees Conditions Limites (CL), imposant que le graphe de lafonction passe par certains points particuliers.

Exemple 291 (Des CL avec t0, t1, α, β ∈ R)

y(t0) = α et y ′(t1) = β

y(t0) = α et y(t1) = β

Definition 292 (Resoudre/integrer l’ED avec des CL)

Resoudre une ED (E) avec des CL consiste a resoudre un systemed’equations formees par l’ED (E) et les CL. Il s’agit alors de trouver lesfonctions y solutions de l’ED ET des CL.

Exemple 293 (Une ED avec CL){(E) y ′ = 2y(CL) y(2) = 0

.

Methodologie 294 (Resoudre une ED (E) avec les CL)

1 Trouver toutes les fonctions y(t) solutions de l’ED (E) ;

2 Trouver, parmi les fonctions solutions identifiees, celle(s) qui verifient lesCL.

296 / 354



M3. 11.1.5. - Conditions limites : LA solution

Theoreme 295 (Th. de Cauchy : LA solution d’une ED et des CL)

Lorsque les conditions limites (CL) sont fournies en nombre suffisant,on peut trouver parmi les fonctions solutions d’une ED, s’ecrivant sous laforme parametree y(t) = fλ(t) avec λ ∈ R, LA ET LA SEULEfonction solution de l’ED et des CI.Ce probleme revient a trouver la (les) valeurs du parametre λ qui verifieles CLs.

Remarque : En general, il y aura autant de CL que l’ordre de l’ED,garantissant que le probleme n’a qu’une et une seule fonction solution.

297 / 354




Exercice 3.38. Exercice type : CL :

1 Soit une ED (E) dont les solutions forment la famille

F ={

y(t) = eλt/λ ∈ R}

. Trouver la fonction y solution de l’ED (E) et

de la CL donnee par : y(0) = 1.

2 Soit maintenant une ED (E ′) dont les solutions forment la famille

F ={

y(t) = αeλt/α, λ ∈ R}

. Trouver la fonction y solution de l’ED

(E ′) et des CLs donnees par : y(0) = 1 et y ′(1) = e.

298 / 354



M3. 11.2.1. - ED du 1er ordre

Definition 296 (ED du 1er ordre)

Une equation differentielle du 1er ordre est une equation fonctionnelle

comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa deriveedy

dt(ou

y ′), et des fonctions connues de t.

Exemple 297 (Une ED du 1er ordre)

2dy

dt+ 3y = ln(t)

Remarques :

Une solution y d’une ED du 1er ordre sur un intervalle I estnecessairement derivable sur I .

Parmi les ED du 1er ordre, on denombre : 1/ Les ED a variables separees,2/ Les ED lineaires, 3/ Les ED affines

299 / 354




Exercice 3.39. ED du 1er ordre a variables separees : Trouver toutes lessolutions de l’ED impliquant la fonction y de la variable t donnee par :(E) y ′ + y 2 sin(t) = 0. Donner ensuite la solution de l’ED (E) verifiant la

condition limite�� y(0) = 1 .

Exercice 3.40. ED a variables separables : Resoudre y ′ = exp(x + y) enseparant les variables.

300 / 354



M3. 11.2.3. - ED lineaire du 1er ordre acoefficients non constants

Definition 302 (ED lineaire du 1er ordre a coefficients nonconstants)

Les ED lineaires du 1er ordre a coefficients non constants de la fonctiony de la variable t sont les equations (E2) de la forme�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = 0 avec a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t.

Elles peuvent aussi s’ecrire sous la forme

�

�dy

dt= p(t)y avec

p(t) = −b(t)

a(t)une fonction de la variable t.

301 / 354



M3. 11.2.3. - Exemples

Exemple 303 (Des ED)

√t2 + 1

a(t)

dy

dt+ t

b(t)

y = 0

0

est une ED lineaire du 1er ordre et peut se

reecrire sous la formedy

dt= − t√

t2 + 1

p(t)

y

ydy

dt

non lineaire

= 0 est une ED du 1er ordre mais pas lineaire

dy

dt+ ty = 2

6= 0

est une ED du 1er ordre mais pas lineaire

302 / 354



M3. 11.2.3. - Solutions

Theoreme 304 (Solution generale d’une ED lineaire du 1er ordre acoefficients non constants)

Les solutions d’une ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants(E2) forment la famille de fonctions

�� F ={

y(t) = λ exp(P(t)

)/λ ∈ R

}ou P(t) est une primitive de p(t).

Remarque : λ pourra etre determine des lors qu’1 CL sera donnee.

303 / 354



M3. 11.2.3. - Methodologies de resolution

Methodologie 305 (Resoudre une ED lineaire du 1er ordre acoefficients non constants sans CL)

1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire sous la forme

�

�dy

dt= p(t)y ;

2 Identifier la fonction p(t) et determiner une de ses primitives P(t) ;

3 Deduire du th. que les solutions sont�� y(t) = λ exp

(P(t)

)avec λ un

degre de liberte reel quelconque.

Methodologie 306 ( Idem avec CL)

1 Trouver, avec la methodologie 305, la solution generale de l’EDdependante du degre de liberte λ indetermine ;

2 Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pourobtenir une equation dependante de λ ;

3 Resoudre cette equation pour determiner λ.

304 / 354




Exercice 3.41. Exercice type : ED lineaire du 1er ordre a coefficients nonconstants : 1 Resoudre l’ED (E) de la fonction y(t) donnee par√

tdy

dt+ y = 0. Donner ensuite 2 la solution de cette meme ED verifiant la

CL�� y(0) = 1 , puis 3 la solution verifiant

�� y(0) = 0 .

305 / 354




Exercice 3.42. ED lineaire : Donner l’ensemble des solutions des equationsdifferentielles suivantes portant sur la fonction y de la variable t puis la solution

verifiant la condition limite�� y(0) = 1 . On pensera a chaque fois a specifier le

type de l’ED et a detailler les etapes de la methodologie utilisee pour lesresoudre.

1 (1 + t2)y ′ − ty = 0 2 (t + 1)dy

dt+ (t − 1)y = 0 3 ty ′ + 2y = 0

306 / 354



M3. 11.2.4. - ED lineaire du 1er ordre acoefficients constants

Definition 307 (ED lineaire du 1ere ordre a coefficients constants)

Les ED lineaires du 1er ordre a coefficients constants de la fonction y de

la variable t sont les equations (E3) de la forme

�

�a

dy

dt+ by = 0 avec a

une constante reelle non nulle et b une constante reelle.

307 / 354





5a

dy

dt−b

y = 0

0

est une ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants.

t

6= C te

dy

dt− y = 0 est une ED lineaire du 1er ordre mais pas a

coefficients constants.dy

dt− y = 2

6= 0

est une ED du 1er ordre a coefficients constants mais pas

lineaire.

Remarques :

Les ED lineaires du 1er ordre a coefficients constants sont des casparticuliers des ED lineaires du 1er ordre a coefficients non constants

308 / 354



M3. 11.2.4. - Equation Caracteristique (EC)

Definition 309 (Equation caracteristique)

L’equation caracteristique (EC) associee a une ED lineaire acoefficients constants est une equation polynomiale de la variable xobtenu en remplacant :

1 les derivees de y (par exempledny

dtn) par le monome de degre egal a

l’ordre de la derivee (ici xn)

2 et y par 1

Exemple 310 (Des EC)

L’ED ad3y

dt3+ b

d1y

dt1+ cy = 0 a pour EC

�� ax3 + bx1 + c 1 = 0

L’ED ad1y

dt1+ by = 0 a pour EC

�� ax1 + b 1 = 0

Remarques :

Les racines de l’EC vont intervenir dans les solutions de l’ED.

309 / 354




Theoreme 311 (Solutions generales d’une ED lineaire du 1er ordrea coefficients constants)

Une ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants (E3) de la forme�

�a

dy

dt+ by = 0 admet une EC de la forme

�� ax + b = 0 .

Les solutions de cette ED forment la famille�� F ={

y(t) = λ exp(x0t)/λ ∈ R

}ou x0 = −b

aest la racine (reelle) de

l’EC associee a l’ED (E3).

Remarques : en physique, x0 est appele coefficient d’amortissement.

310 / 354




Methodologie 312 (Resoudre une ED lineaire du 1er ordre a coeff.constants sans CL)

1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire sous la forme

�

�a

dy

dt+ by = 0 ;

2 Ecrire l’EC associee et trouver sa racine x0 ;

3 Deduire les solutions sous forme�� y(t) = λ exp

(x0t)

avec λ reel

quelconque.

Methodologie 313 ( Idem avec CL)

1 Trouver, avec la methodologie 312, la solution generale de l’EDdependante du degre de liberte λ indetermine ;



311 / 354




Exercice 3.43. Exercice type : ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants :Resoudre l’ED (E) de la fonction y(t) donnee par y ′ − y = 0. Donner ensuite

la solution de cette meme ED verifiant la CL�� y(0) = 1 , puis la solution

verifiant�� y ′(0) = 1 .

312 / 354



M3. 11.2.5. - ED affine du 1er ordre

Definition 314 (ED affine du 1er ordre)

Les ED affines du 1er ordre de la fonction y de la variable t sont les

equations (E4) de la forme

�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t) avec :

a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t ;

d(t) une fonction de la variable t differente de la fonction nulle.

313 / 354




Exemple 315 (Des ED du 1er ordre)

1

a(t)

dy

dt+ t

b(t)

y = 2− 4t2

d(t)

est une ED affine du 1er ordre

dy

dt+ ty = 0

non 6= 0

n’est pas une ED affine mais une ED lineaire

ydy

dt

non lineaire

= 2− 4t2 n’est pas une ED affine (ni lineaire)

314 / 354




Theoreme 316 (Solutions d’une ED affine du 1er ordre)

Les solutions d’une ED affine du 1er ordre (E4) forment la famille�� F = {y(t) = yg ,λ(t) + yp(t)/λ ∈ R} ou :

1 yg,λ(t) est la solution generale de l’ED homogene associee a l’EDaffine, egalement appelee ED sans second membre et notee (E4), definie

par :

�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = 0 . Elle se resout donc avec les methodologies

305 et 312 suivant sa nature (lineaire a coeff. non constants, lineaire acoeff. constants ). yg,λ(t) depend du degre de liberte λ .

2 yp(t) est une solution particuliere de l’ED affine

�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t)

Remarques :

Les solutions ne dependent que d’un seul degre de liberte λ,eventuellement fixe par les CL.

N’importe quelle fonction solution de l’ED affine fonctionne pour yp(t).

315 / 354



M3. 11.2.5. - Comment trouver une solutionparticuliere de l’ED ?

Pour trouver la solution generale y(t) d’une ED affine, on a deja vucomment trouver la solution generale yg ,λ(t) de l’ED homogene associeea l’ED affine ; reste a trouver une solution particuliere yp(t) pour finir de

resoudre l’ED affine

�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t) . Il y a 3 techniques :

1 Verification d’une solution suggeree ou d’une solution evidente ;

2 Observation des fonctions coefficients ;

3 Methode de Lagrange (dite methode de variation de la constante).

316 / 354



M3. 11.2.5. - Technique 1 : Verification d’unesolution suggeree

Methodologie 317 (Recherche d’une solution particuliere a une EDaffine par verification d’une solution suggeree)

Evaluer la partie gauche et droite de l’ED en remplacant la fonctionrecherchee y par la solution suggeree et verifier que l’egalitegauche/droite est obtenue.

Exercice 3.44. Exercice type : Resoudre l’equation (t + 1)dy

dt+ y = − 1

t2. On

pourra montrer qu’une solution particuliere de cette equation est yp(t) =1

t.

317 / 354



M3. 11.2.5. - Technique 2 : Observation descoefficients

Methodologie 318 (Recherche d’une solution particuliere a une EDaffine par observations des fonctions coefficients)

1 Lorsque a(t), b(t) et d(t) sont des constantes, la solution particuliere

est une fonction constante�� yp(t) = C te , la valeur de la constante etant

choisie pour que cette fonction soit solution de l’ED.

2 Lorsque d(t) est un polynome, la solution particuliere yp(t) est unpolynome.

Le degre du polynome est choisi pour etre le maximum entre l’ordre del’ED et le degre du plus haut monome present dans l’ED ; les coefficientsdu polynome sont a determiner pour que le polynome recherche soitsolution de l’ED.

3 Lorsque d(t) est defini par des fonctions trigonometriques, autrementdit, de la forme d(t) = α cos(ωt) + β sin(ωt), la solution particuliere est�� yp(t) = θ cos(ωt) + µ sin(ωt) . La pulsation ω se lit directement sur la

fonction-coefficient d(t), tandis que les coefficients θ et µ sont adeterminer pour que yp(t) soit solution de l’ED.

318 / 354




Exercice 3.45. Exercice type : Resoudre les ED suivantes :

1dy

dt+ 2y = 3 2

dy

dt+ 2y = 2− 4t2 3

dy

dt+ 2y = − sin(t)

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M3. 11.2.5. - Technique 3 : Methode devariation de la constante ou de Lagrange

Theoreme 319 (Methode de variation de la constante ou deLagrange)

Soit yg ,λ(t) = λ exp(P(t)

)l’expression de la solution generale de l’ED

homogene associee a l’ED affine (E4)

�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t) avec λ

une constante reelle et P(t) une fonction (qu’on rappelle etre une

primitive de p(t) = −b(t)

a(t)).

Alors l’ED (E4) admet une solution particuliere de la forme�� yp(t) = λ(t) exp(P(t)

)avec λ(t) est une fonction de la variable t

derivable.

La fonction λ(t) est d’ailleurs une primitive de −d(t)

a(t)exp

(− P(t)

).

320 / 354



M3. 11.2.5. - Methodologie

Methodologie 320 (Recherche d’une solution particuliere a une EDaffine par la methode de variation de la constante)

Connaissant yg ,λ(t) = λ exp(P(t)

)la solution generale de l’ED

homogene associee a l’ED affine,

1 poser yp(t) = λ(t) exp(P(t)

)en remplacant λ par une fonction inconnue

λ(t) ;

2 remplacer y(t) par yp(t) dans l’ED affine pour rechercher une seconde(autre) ED portant sur la fonction λ(t) ;

3 resoudre l’ED portant sur λ(t) ;

4 conclure sur la solution particuliere.

Exercice 3.46. Exercice type : Methode de Lagrange : Resoudre l’EDdy

dt+ 2y = 2e−t .

321 / 354



M3. 11.2.5. - Conclusion : Resoudre une EDaffine du 1er ordre

Methodologie 321 (Resoudre une ED affine du 1er ordre sans CL)

1 Introduire l’ED homogene

�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = 0 associee a l’ED affine ;

identifier son type (parmi ED lineaire a coefficients constants, ED lineairea coefficients non constants ) puis la resoudre en utilisant la methodologieadequate (312, 305 ) pour trouver la solution generaleyg,λ(t) = λ exp

(P(t)

);

2 Determiner une solution particuliere yp(t) de l’ED affine en utilisant :

la methodologie 317 de verification d’une solution ;la methodologie 318 d’observations des coefficients ;la methodologie 320 de variation de la constante ;

3 Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutionsobtenues en (1) et (2).

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M3. 11.2.5. - Conclusion : Resoudre une EDaffine du 1er ordre

Methodologie 322 (Resoudre une ED affine du 1er ordre avec CL)

1 Trouver la solution generale de l’ED affine du 1er ordre en utilisant lamethodologie 321 et dependante d’un degre de liberte λ variant dans R ;



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Exercice 3.47. Exercice type : On considere l’ED (1 + t2)dy

dt− ty = 1. Trouver

toutes les solutions de cette ED, puis la solution lorsqu’on impose la CL�� y(1) = 0 .

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Exercice 3.48. ED affine : On considere l’equation differentielle (E) donnee party ′ − y = ln(t), ou y designe une fonction de la variable reelle, definie etderivable sur un intervalle ]0; +∞[ :

1 Quel est le type de l’equation differentielle (E) ?

2 Donner et resoudre, sur l’intervalle ]0; +∞[, l’equation differentiellehomogene.

3 Verifier que la fonction h, definie pour tout reel t appartenant al’intervalle ]0; +∞[ parh(t) = − ln(t)− 1 est une solution particuliere de l’equation (E).

4 Deduire des questions precedentes l’ensemble des solutions de (E).

5 Donner finalement la solution y(t) de (E) telle que y(1) = 0.

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Exercice 3.49. BTS 2005 : On considere l’equation differentielle (E) donnee

par (1 + t)y ′ + y =1

1 + t, ou y est une fonction de la variable reelle t, definie

et derivable sur ]− 1; +∞[ et y ′ sa fonction derivee.

1 Demontrer que les solutions de l’equation differentielle (E0) definies par

(1 + t)y ′ + y = 0 sont les fonctions definie par h(t) =k

1 + tou k est une

constante reelle quelconque.

2 Soit g la fonction definie sur ]− 1; +∞[ par : g(t) =ln(1 + t)

1 + t.

Demontrer que la fonction g est une solution particuliere de l’equationdifferentielle (E).

3 En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E).

4 Determiner la solution f de l’equation differentielle (E) qui verifie lacondition initiale f (0) = 2.

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Exercice 3.50. ED affine : On considere l’equation differentielle (E) donnee par

(1 + t)y ′ − y = ln

(1

1 + t

)ou y est une fonction de la variable t, definie et

derivable sur R+.

1 Quel est le type de l’equation differentielle (E) ?

2 Determiner les solutions de l’equation homogene associee a (E).

3 Soit h la fonction definie sur R+ par h(t) = ln(1 + t) + c ou c est uneconstante reelle. Determiner c pour que h soit une solution particuliere de(E).

4 En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E). Tracerrapidement le graphe de quelques solutions.

5 Determiner la solution de (E) dont la courbe representative passe parl’origine du repere.

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M3. 11.2.6. - Exercices de TDExercice 3.51. ED affine avec recherche de solutions particulieres parobservation des coefficients : Resoudre les equations differentielles portant surla fonction y de la variable t suivantes :

1 y ′ − 2y = t + 1 2 y ′ − 2y = cos(3t)

3 y ′ + y = t2 + 3t − 1 4 y ′ + y = 3 sin( t

2

)

Exercice 3.52. Autour de la variation de la constante : Dans cet exercice, ydesigne une fonction de la variable reelle t.

1 Resoudredy

dt+ y = e2t

2 Resoudredy

dt+ y = e−t

3 Resoudredy

dt+ y = e2t + e−t + 1 + t en utilisant le principe de linearite

des solutions

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M3. 11.2.6. - Exercices de TDExercice 3.53. Un peu de mecanique : Un embrayage vient appliquer, al’instant t = 0, un couple resistant constant sur un moteur dont la vitesse avide est de 150 rad/s. On note ω(t) la vitesse de rotation du moteur a l’instantt. La fonction ω(t) est solution de l’equation differentielle

(E)1

200y ′(t) + y(t) = 146, ou y designe une fonction derivable de la variable

reelle positive t.

1 Determiner la solution generale de l’ED (E). On cherchera une solutionparticuliere constante.

2 Sachant que ω(0) = 150, montrer que ω(t) = 146 + 4e−200t pour toutt ∈ [0,+∞[.

3 On note ω∞ = limt→+∞

ω(t). Determiner la perte de vitesse ω(0)− ω∞ due

au couple resistant.

4 On considere que la vitesse du moteur est stabilisee lorsque l’ecart relatif∣∣∣∣ω(t)− ω∞ω∞

∣∣∣∣ est inferieur a 1%. Calculer le temps mis par le moteur pour

stabiliser sa vitesse.

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M3. 11.2.6. - Exercices de TDExercice 3.54. BTS Groupement A 2000 : Un systeme physique est regi par

l’equation differentielle (E1) donnee pardv

dt+

1

RCv =

df

dt, ou v est une

fonction de la variable t a determiner, R et C sont des constantes positives etf est la fonction de la variable t connue.Partie 1 : On suppose dans cette partie que la fonction f est definie pour tout

reel t par f (t) =

{0 si t < 0V0 si t ≥ 0

ou V0 est une constante reelle strictement

positive (V0 > 0).

1 Calculerdf

dtpour t appartenant a ]−∞; 0[ puis resoudre l’ED (E1) sur

]−∞; 0[ avec la condition limite v(0−) = limt→0−

v(t) = 0.

2 Calculerdf

dtpour t appartenant a ]0; +∞[ puis resoudre l’ED (E1) sur

]0; +∞[ avec la condition limite v(0+) = limt→0+

v(t) = V0.

3 Etudier sur ]−∞; 0[∪]0; +∞[ les variations de la fonction v . Tracer larepresentation graphique de v en fonction de t pour t reel non nul. Onpourra prendre pour realiser ce graphique RC = 1 et V0 = 2.

Partie 2 : La fonction echelon unite U est definie par

U(t) =

{0 si t < 01 si t ≥ 0

. On suppose maintenant que la fonction f est definie

pour tout reel t par f (t) = V0

[U(t)− U(t − τ)

]ou τ est un reel strictement

positif. Le systeme est alors regi par l’equation (E2) donne par�

�v(t) +

1

RC

∫ t

0

v(u)du = f (t) .

1 Montrer que la fonction v(t) =

0 si t < 0

V0e−t

RC si 0 ≤ t < τ

V0e−τ

RC

(1− e−

t−τRC

)si t ≥ τ

est solution de l’equation (E2).

2 Calculer v(τ−) = limt→τ−

v(t) et montrer que v(τ−) < V0.

3 Montrer que le saut σ de la fonction v en t = τ , defini parσ = v(τ−)− v(τ), est egal a V0.

4 Etudier les variations de la fonction v pour t ≥ τ .

5 Donner l’allure de la representation graphique de v dans un repereorthonormal pour RC = 1, V0 = 2 et τ = 1.

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Exercice 3.55. Changement de variable dans une ED : Resoudre les equationsdifferentielles de la fonction y suivantes en faisant le changement de variablepropose (z(t) designant une fonction de la variable t) :

1 ty ′ + t = 2t + 3�� z(t) = ty(t) 2 ty ′ − y = t

�� y(t) = tz(t)

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M3. 11.3.1. - ED du 2eme ordre

Definition 323 (ED du 2eme ordre)

Une equation differentielle du 2eme ordre est une equationfonctionnelle comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa

derivee y ′ =dy

dt, sa derivee seconde y ′′ =

d2y

dt2et des fonctions connues

de t.

Exemple 324 (Une ED de 2d ordre)

td2y

dt2+ 3

dy

dt+ (1− t)y = cos(t)

Remarques :

Une solution y d’une ED du 2d ordre est necessairement derivable al’ordre 2.

Les solutions de l’ED auront 2 degres de liberte λ et µ, qui pourront etrefixes par 2 CLs.

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M3. 11.3.1. - Classification des ED du 2emeordre

Definition 325 (Categories d’ED du 2eme ordre)

On denombre differentes categories d’ED du 2eme ordre, parmilesquelles :

1 les ED lineaires (du 2eme ordre), qui sont les equations de la forme

a(t)d2y

dt2+ b(t)

dy

dt+ c(t)y = 0 ;

2 les ED affines (du 2eme ordre), qui sont de la forme

a(t)d2y

dt2+ b(t)

dy

dt+ c(t)y = d(t) ;

avec a(t), b(t), c(t), d(t) 4 fonctions telles que a(t) et d(t) ne soient pasnulles.

Remarque : Ici, on ne s’interesse qu’aux ED lineaires et affines du 2emeordre a coefficients constants. Ce sont les EDs pour lesquellesa(t) = a = C te (non le b(t) = b = C te, c(t) = c = C te mais d(t) unefonction (non nulle mais non necessairement constante) de t.

333 / 354



M3. 11.3.2. - ED lineaire du 2eme ordre acoeffs constants

Definition 326 (ED lineaire du 2eme ordre a coeffs constants)

Les ED lineaires du 2eme ordre a coefficients constants sont les equations

(E5) de la forme ad2y

dt2+ b

dy

dt+ c = 0 avec :

a une constante reelle non nulle ;

b et c deux constantes reelles.

334 / 354





1a

d2y

dt2+ 2

b

dy

dt−3

c

y = 0

0

est une ED lineaire a coefficients constants.

y

non lineaire

d2y

dt2+ 2

dy

dt= 0 n’est pas lineaire.

d2y

dt2+ 2

dy

dt+ t2

6= C te

y = 0 n’est a coefficients constants.

d2y

dt2+ 2

dy

dt+ 3y = 2

6= 0

n’est pas lineaire.

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M3. 11.3.2. - Equation caracteristique

Definition 328 (Equation caracteristique (EC) associee a une EDlineaire du 2eme ordre a coefficients constants)

L’equation caracteristique associee a une ED lineaire du 2eme ordre acoefficients constants (E5) est l’equation polynomiale de la variable x

definie par�� ax2 + bx + c = 0 .

Remarque : Les solutions de l’ED (E5) sont dependantes des solutionsde l’EC (E6) (qui sont les racines d’un polynome de degre 2) et donc du

discriminant�� ∆ = b2 − 4ac .

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Theoreme 329 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre acoefficients constants lorsque ∆ > 0)

Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0 et admet deux

racines reelles x1 =−b −

√∆

2aet x2 =

−b +√

∆

2a, les solutions de l’ED

lineaire du 2eme ordre (E5) forment la famille de fonctions�� F ={

y(t) = λ exp (x1t) + µ exp (x2t) /λ, µ ∈ R}

.

Remarque : Les solutions sont dependantes de deux degres de liberte λet µ qui pourront etre fixes a l’aide de 2 CLs.Exercice 3.58. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes

les solutions de l’EDd2y

dt2+ 2

dy

dt− 3y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED

lorsqu’on impose les 2 CL�� y(0) = 0 et

�� y ′(0) = 1 ?

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Theoreme 330 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre a coeff.constants lorsque ∆ = 0)

Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0 et admet une unique

racine reelle double x0 =−b

2a, les solutions de l’ED lineaire du 2eme

ordre (E5) forment la famille de fonctions�� F ={

y(t) = (λ+ µt) exp (x0t) /λ, µ ∈ R}

.

Exercice 3.59. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes


dt2+

dy

dt+

1

4y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED


�� y ′(0) = 1 ?

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Theoreme 331 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre acoefficients constants lorsque ∆ < 0)

Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0 et admet deux

racines complexes x1 =−b − i

√|∆|

2aet ρ2 =

−b + i√|∆|

2a, les

solutions de l’ED lineaire du 2eme ordre (E5) forment la famille de

fonctions�� F =

{y(t) = exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) /λ, µ ∈ R

}avec τ = − b

2aet ω =

√|∆|

2a. Cette famille peut egalement s’ecrire�� F = {y(t) = λ exp(τ t) cos (ωt + φ) /λ, φ ∈ R} .

Exercice 3.60. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes


dt2+

dy

dt+ y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED


�� y ′(0) = 1 ?

339 / 354




Methodologie 332 (Resoudre une ED lineaire du 2eme ordre acoeffs constants sans CL)

1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire de la forme

�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ c = 0 ;

2 Determiner l’EC associe puis calculer son discriminant ∆ et ses racines ;

3 Suivant le signe de ∆, deduire que les solutions generales de l’ED sont :

Si ∆ > 0, y(t) = λ exp (x1t) + µ exp (x2t) avec x1, x2 racines de l’EC ;Si ∆ = 0, y(t) = (λ+ µt) exp (x0t) avec x0 racine de l’EC ;Si ∆ < 0, y(t) = exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ ± iω racines del’EC ;

ou les deux degres de liberte λ et µ sont des reels quelconques.

340 / 354




Methodologie 333 (Resoudre une ED lineaire du 2eme ordre acoeffs constants avec CL)

1 Trouver toutes les solutions de l’ED en utilisant la methodologie 332dependantes des deux degres de liberte λ et µ ;

2 Remplacer les donnees fournies par les 2 CLs dans la solution generalepour obtenir un systeme d’equations dont les inconnues sont λ et µ ;

3 Resoudre ce systeme pour trouver λ et µ et conclure sur la solution.

341 / 354




Exercice 3.61. ED lineaires : Resoudre les ED suivantes, ou y est une fonctionde la variable reelle t :

1 3y ′′ + y ′ − 4y = 0 2 y ′′ + 2y ′ + y = 0 3 y ′′ + y ′ + y = 0

342 / 354




Exercice 3.62. ED lineaires : Resoudre les problemes suivants, ou y est unefonction de la variable reelle t :

1

−y ′′ − y ′ + 2y = 0y(0) = 0y ′(0) = 1

2

y ′′ + 2y ′ + y = 0y(1) = −1y ′(1) = 0

3

4y ′′ + 4y ′ + y = 0y(0) = 0y ′(0) = 1

4

y ′′ + ω2y = 0y(0) = 1

y ′(

1

ω

)= 0

avec ω ∈ R

5

y ′′ − y ′ + 2y = 0y(0) = 1y ′(0) = 0

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M3. 11.3.3. - ED affine du 2eme ordre a coeff.constants

Definition 334 (ED affine du 2eme ordre a coefficients constants)

Les equations differentielles affines du 2eme ordre a coefficentsconstants sont les equations (E6) de la forme�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = d(t) avec :

a une constante reelle non nulle ;

b et c deux constantes reelles ;

d(t) une fonction de la variable t differente de la fonction nulle.

344 / 354





2a

d2y

dt2−b

dy

dt+ 6

cy = t2 − 1

d(t)

est une ED affine du 2d ordre a coeffs

constants.

y

non lineaire

d2y

dt2−t

6= C te

dy

dt+ 6y = 0

6= 0

n’est pas une ED affine du

2eme ordre a coeffs constants.

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Theoreme 336 (Solutions d’une ED affine du 2eme ordre acoefficients constants)

Les solutions d’une ED affine du 2eme ordre a coefficients constants (E6)

forment la famille�� F = {y(t) = yg ,λ,µ(t) + yp(t)/λ, µ ∈ R} ou :

1 yg,λ,µ(t) est la solution generale de l’ED homogene associee a l’ED

affine notee (E6) et definie par

�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = 0 . Elle se resout

a l’aide de la methodologie 332. yg,λ,µ(t) est dependante de 2 degres deliberte λ et µ (reels quelconques).

2 yp(t) est une solution particuliere de l’ED affine�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = d(t) recherchee avec :

Methodologie 317 de verification d’une solution suggeree ou d’une solutionevidente.Methodologie 318 d’observation des fonctions coefficients.

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Methodologie 337 (Resoudre une ED affine du 2eme ordre acoefficients constants sans CL)

1 Verifier le type de l’ED et l’ecrire sous la forme�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = d(t) ;

2 Introduire l’ED homogene

�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = 0 (associee a l’ED

affine) puis la resoudre en utilisant la methodologie 332 pour trouver lasolution generale yg,λ,µ(t) ;

3 Determiner une solution particuliere yp(t) de l’ED affine en utilisant :

la methodologie 317 de verification d’une solution ;la methodologie 318 d’observations des coefficients ;

4 Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutionsobtenues en (1) et (2).

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Methodologie 338 (Resoudre une ED affine a coefficientsconstants du 2eme ordre avec CL)

1 Trouver la solution generale de l’ED affine du 2eme ordre en utilisant lamethodologie 321 et dependante de deux degres de liberte λ et µ variantdans R ;

2 Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pourobtenir un systeme d’equations dont les inconnues sont λ et µ ;

3 Resoudre ce systeme pour determiner λ et µ et trouver la solution.

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Exercice 3.63. Exercice type : ED affine du 2eme ordre : 1 Trouver toutes les

solutions de l’EDd2y

dt2+ 2

dy

dt− 3y = tet . On pourra rechercher une solution

particuliere sous la forme P(t)et avec P(t) un polynome. 2 Quelle est la

solution de l’ED lorsqu’on impose les 2 CL�� y(0) = 0 et

�� y ′(0) = 1 ?

349 / 354




Exercice 3.64. BTS 2006 : On considere l’equation differentielle (E) donneepar y ′′ − 3y ′ − 4y = −5e−t , ou y est une fonction de sa variable t, definie etdeux fois derivable sur R, y ′ la fonction derivee de y et y ′′ la fonction deriveeseconde de y .

1 Donner l’equation homogene associee a (E) et determiner ses solutions.

2 Soit h la fonction definie sur par h(t) = te−t . Demontrer que la fonctionh est une solution particuliere de l’equation differentielle (E).

3 En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E).

4 Determiner la solution f de l’equation differentielle (E) qui verifie lesconditions initiales f (0) = 2 et f ′(0) = −1.

350 / 354




Exercice 3.65. ED du 2d ordre : Soit l’ED (E) y ′′ + 2y ′ + 2y = sin(ωt) ou ydesigne une fonction de la variable reelle t et ω un reel non nul.

1 Ecrire et resoudre l’equation homogene associee a (E).

2 Montrer que (E) admet une solution particuliere de la formey1(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), en trouvant les valeurs de a et b enfonction de ω.

3 Donner la solution generale de (E).

4 Trouver une solution qui verifie les conditions initiales suivantes : y(0) = 0et y ′(0) = 0. Tracer la representation graphique de la fonction solutiondans le cas particulier ω = 2.

351 / 354




Exercice 3.66. ED affines : Resoudre les problemes suivants, ou y est unefonction de la variable reelle t :

1

−y ′′ − y ′ + 2y = 1y(0) = 0y ′(0) = 1

2

y ′′ + y ′ − 6y = −6t2 + 2t − 4y(0) = 0y ′(0) = 1

3

4y ′′ + 4y ′ + y = 2(t − 4)e−t

y(0) = 1y ′(0) = 0

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Exercice 3.67. Une ED affine avec second membre exponentiel : Resoudre l’EDy ′′ − 2y ′ + y = et . On pourra rechercher une solution particuliere sous la formeAt2et avec A une constante reelle a determiner.

Exercice 3.68. Changement de variable : Resoudre l’EDty ′′ + (t + 2)y ′ + (t + 1)y = 0 en faisant le changement de variablez(t) = ty(t) ou z(t) est une fonction de la variable t.

353 / 354



M3. 11.4. - Synthese

Les ED du M3

ED du 1er ordre

avec y etdy

dt

ED du 2d ordre

avec y ,dy

dtet

d2y

dt2

ED a variables separees (poursuitesd’etudes)

ED lineaire (a coeffs non constants)

(E2) a(t)dy

dt+ b(t)y = 0

Solution gale avec method. 305 : y(t) =λ exp

(P(t)

)avec P(t) primitive de p(t) =

−b(t)

a(t)

Solution avec CL avec method. 306 : solu-tion de la method. 305 avec λ determinepour verifier la CL

ED affine

(E4) a(t)dy

dt+ b(t)y = d(t)

Solution gale avec method. 321 : y(t) =yg ,λ(t) + yp(t) avec :• yg ,λ(t) solution gale de l’ED homogene

associee a(t)dy

dt+ b(t)y = 0 (via

method. 305 ou 312)• yp(t) solution particuliere de l’ED affinerecherchee avec :Method. 317 : Verification d’une solutionproposee,Method. 318 : Observation des fonctions-coefficients,Method. 320 : Variation de la constante


ED lineaire a coeffs constants

(E3) ady

dt+ by = 0

Solution gale avec method. 312 : y(t) =λ exp

(x0t)

avec x0 solution de l’EC ax +b = 0


ED lineaire a coeffs constants

(E5) ad2y

dt2+ b

dy

dt+ c = 0

Solution gale avec method. 332 : etantdonnee l’EC associee ax2 + bx + c = 0de discriminant ∆,• Cas ∆ > 0 : y(t) = λ exp (x1t) +µ exp (x2t) avec x1, x2 solutions reelles del’EC• Cas ∆ = 0 : y(t) = (λ + µt) exp (x0t)avec x0 solution de l’EC• Cas ∆ < 0 : y(t) =exp (τ t) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ ± jωsolutions complexes de l’EC

Solution avec CL avec method. 333 : so-lution de la method. 332 avec λ et µdetermines par un systeme d’equations pourverifier les 2 CL

ED affine

(E6) ad2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = d(t)

Solution gale avec method. 337 : y(t) =yg ,λ,µ(t) + yp(t) avec• yg ,λ,µ(t) solution gale de l’ED homogene

associee ad2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = 0

• yp(t) solution particuliere de l’ED affinerecherchee avec :Method. 317 : Verification d’une solutionproposee,Method. 318 : Observation des fonctions-coefficients

Solution avec CL avec method. 338 : so-lution de la method. 337 avec λ et µdetermines par un systeme d’equations pourverifier les 2 CL

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mathématiques pour les rt modules m1, m2 et m3 · 2012. 12. 3. · m1. 1.2.2. - exercices de td...

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