mathématiques du premier semestre, deuxième année licence

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Université Paul Sabatier, FSI, Toulouse Année 2016-2017

Mathématiques du premier semestre, deuxièmeannée

Licence Sciences, FSI Mention MathématiquesUE Analyse Réelle 1 : Code APOGE ’EDMAM3C1’

Année 2016-2021(Responsable de cette édition : Claude A. Roche )

Table des matières

1 Convergence des suites 51.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Séries numériques 192.1 Définition et convergence de séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.2 Les restes d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.3 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.4 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.5 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Étude de la convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Comparaison de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Règle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.4 Règle de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.5 Comparaison d’une série et d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.6 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.7 Convergence commutative d’une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Étude de la semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Convergence simple par la règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Produit de Cauchy de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.1 Définition générale du produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.2 La somme du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes . . 30

2.5 Compléments hors programme : Séries doubles, produits infinis . . . . . . . . . . . . 312.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Intégrales généralisées 393.1 Rappels sur l’intégration usuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Définition et convergence d’intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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4 TABLE DES MATIÈRES

3.2.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.4 Intégrales généralisées de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Étude de la convergence et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.3 Convergence absolue par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.4 Quelques intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.5 Convergence simple par la règle d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Ce polycopié se veut un guide de cours et un support pour trouver facilement quelques dévelop-pements de détails qui n’auront pas trouvé place dans le cours.

Il est le résultat d’une évolution suivant les programmes et gouts de l’équipe pédagogique. Cetteédition est sous la responsabilité de Claude Roche.

La bibliographie utile est nombreuse. Surtout en exercices avec solutions détaillées.Je veux mentionner :E. Azulay, M. Messeri et M. Serfati. Exercices de Mathématiques, Vol 3. Sedes, Paris 1972.Pour un bon cours :Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, coll. ń Méthodes ż, Paris, 1968 (1re édition),

broché, 22 cm (ISSN 0588-2303)Gérard Boudaud, Mathématiques pour la physique. Diderot, Paris 1996 (ISBN 2-84134-077-5)E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux, Cours de Mathématiques spéciales. Vol.. Masson, Paris

1993.Jean-Marc Monier, Cours de Mathématiques. Vol. 2. Dunaud, Paris 1994.

Chapitre 1

Convergence des suites

1.1 Définitions

On rappelle que si E est un ensemble, une suite d’éléments de E est la donnée d’une applicationN → E : i 7→ xi où, en général, on n’utilise pas la notation x : N → E qui donnerait pour lei-ème terme de la suite la notation x(i) quand la pratique veut que l’on note xi. En général lessuites ont pour nom x, ou (xn)n∈N, ou (xn)∞n=0, ou (xn)n et xn est dit son terme général. Parexemple : (sinn)n est un nom correct pour une suite de nombres réels, on aurait pu l’appeler u,posant un = sinn. Une autre : (in)n est le nom d’une suite de nombres complexes de module 1. Leparamètre n est vu comme un temps discret, ordonné, et le mot suite est en général réservé à unensemble de données indexé par un temps discret. On ne représente jamais le graphe d’une suite,mais on marque les divers points qu’elle atteint dans la représentation graphique de E , quitte ànoter l’indice qui lui correspond. Cette modélisation de la notion de suite par une application peutservir pour départager des litiges. Par exemple, il est très important de ne pas confondre une valeura qui est valeur de la suite pour un nombre fini, ou infini de n.

Signalons que l’on peut définir l’ensemble de valeurs d’une suite (xi)i comme l’image de cetteapplication : V al((xi)i) = y ∈ E | ∃i ∈ N, y = xi. Les points de l’ensemble des valeurs, peuventêtre ’atteints’ pour plusieurs indices différents.

Nous noterons K la donnée du corps des réels R ou celui des nombres complexes C. Et l’onessayera, par les notations, de laisser entrevoir des concepts et des preuves qui sont identiques dansdes contextes plus généraux. Ainsi, par exemple, la distance entre deux nombres réels a, b ∈ Rsera notée d(a, b) = |a− b| et l’on utilisera la même notation pour la distance entre deux nombrescomplexes. Si le disque ouvert de rayon ρ > 0, et centre a est noté Dρ(a), le disque fermé sera notéDρ(a), et l’on gardera la même notation pour sa trace sur R lorsque l’on travaille avec des nombresréels seulement. Ce sont des intervalles.

Par moments, en notant |·| la norme euclidienne de Rp, on utilisera exactement la même notation.Mais peux de vecteurs apparaitrons dans ce texte, et souvent les suites seront numériques, c’est-à-dire à valeurs dans E = K.

Il est facile (exercice) de démontrer que si E est un K-espace vectoriel, l’ensemble des suites devecteurs de E est un K-espace vectoriel, avec l’addition et multiplication par un scalaire définie par(xn)n + λ(yn)n = (cn)n avec, pour chaque n, cn := xn + λyn.

Dans le cas où E = K, l’on peut définir la multiplication des suites : (xn)n.(yn)n = (cn)n avec,

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6 CHAPITRE 1. CONVERGENCE DES SUITES

pour chaque n, cn := xnyn.

Définition 1.1.1 Une suite de nombres réels ou complexes (xn)n est dite bornée, s’il existe unnombre réel, K tel que |xn| ≤ K pour tout indice n; ( V al((xi)i) ⊂ DK(0) ).

Une suite de nombres réels (xn)n est dite croissante si p < q =⇒ xp ≤ xq, elle est strictementcroissante si p < q =⇒ xp < xq, elle est décroissante, si (−xn)n est croissante, elle est monotone,si elle est croissante ou décroissante. De plus, elle est majorée s’il existe M ∈ R, xn ≤M, minoréesi −xn est majorée.

Ces concepts n’ont aucun sens pour les suites de nombres complexes.Une suite de nombres réels ou complexes (xn)n est dite convergente s’il existe un nombre ` ∈ K

qui vérifie :∀ε > 0 ∃N ∈ N, n ≥ N =⇒ |xn − `| < ε.

Ce nombre, lorsqu’il existe, est dit la limite de la suite. On note ce fait par limn→+∞ xn = ` oupar xn → ` (car lorsqu’il s’agit de suites, n → +∞ peut être sous entendu, s’il n’y a pas d’autreslettres, paramètres, qui puissent servir d’indice pour la suite.)

Une suite de nombres réels ou complexes (yn)n est dite extraite de la suite (xn)n s’il existe uneapplication strictement croissante N→ N : k 7→ nk telle que ∀k, yk = xnk .

On remarquera que l’on pourrait considérer une suite ne commençant que pour un indice n0

autre que 0 et la noter (xn)∞n=n0, ou (xn)n0 . Son premier terme est xn0 , son deuxième xn0+1 et

ainsi de suite. Dans ce premier chapitre nous n’en ferons pas usage de ce cas, puisque il suffit dele considérer comme suite extraite de la suite ’complète’ (xn)n par n 7→ n + n0. Souvent l’on veutconsidérer la suite (xn)∞n=n0

parce qu’il y a un sens naturel, par exemple une formule, liant n à lavaleur de xn et que ce sens n’existe pas pour des valeurs inférieurs à n0. (Par exemple une divisionpar 0.) Les n0 premiers termes de la suite ’complète’ (xn)n devront être alors arbitrairement fixés(et 0 est une valeur souvent utile).

Proposition 1.1.1 1. Si une suite converge, sa limite est unique.2. Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente, et la limite est la même.3. Toute suite réelle croissante majorée est bornée et convergente. Toute suite réelle décroissante

minorée est bornée et convergente.4. Si ∀n, xn ≤ yn ≤ zn sont trois suites réelles, (xn)n et (yn)n convergentes, avec `1, `2 ∈ R,

limn→+∞ xn = `1, limn→+∞ zn = `2alors si on sait que `1 = `2 on peut en déduire que (yn)n est convergente, et limn→+∞ yn = `1;(Gendarmes,)

5. Par contre, dans les mêmes conditions, si on sait cette fois-ci que, limn→+∞ yn = `3, onpeut en déduire que `1 ≤ `3 ≤ `2. (Les experts de la Gendarmerie.)

6. Si xn ≤ yn sont des suites réelles, et on a (xn)n croissante, (yn)n décroissante, et yn−xn → 0,alors les deux suites convergent vers le même nombre ` qui vérifie, xn ≤ ` ≤ yn (∀n). (Suitesadjacentes.)

7. Donnés I un intervalle, x∗ ∈ I, et f : I → R une fonction continue au point x∗. Si xn ∈I, xn → x∗ alors f(xn)→ f(x∗).

8. Donnés Ω ⊂ Rp, f : Ω → Rq continue au point P0 = (p1, p2, . . . , pp) intérieur de Ω, alorssi l’on a p suites (x

(i)n )n avec x(i)

n −→n→+∞

pi ( c’est-à-dire, une suite de points convergent

1.1. DÉFINITIONS 7

vers P0) alors les composantes de f((x(1)n , x

(2)n , . . . , x

(p)n )) convergent respectivement vers les

composantes f(P0). En particulier somme et produit de suites convergentes est convergent,et les suites de nombres complexes convergent si et seulement si leurs composantes le font.

Ces affirmations, sauf éventuellement la première, fonctionnent souvent comme critère de conver-gence, on ne les démontrera pas dans ce rappel. Mais l’on introduit la notion de ’suites de Cauchy’qui fonctionne un peu comme un critère de convergence, du moins au niveau théorique ; indispen-sable pour comprendre la convergence des séries, et souvent très sommairement traité en premièreannée ; nous détaillons.

Définition 1.1.2 Une suite numérique (xn)n, xn ∈ K est dite de Cauchy, si

∀ε > 0 ∃N p ≥ N, q ≥ N =⇒ |xp − xq| < ε.

Une partie U de K est dite complète, si toute suite de Cauchy dont l’ensemble des valeurs estinclus dans U, est convergente et sa limite est un élément de U.

Nous admettons que la condition ci-dessus est de difficile interprétation. Elle indique que ’la suiteest ramassée sur elle-même’. Mais quelques exemples montrent son intérêt. Montrons d’abord, quec’est une sorte de critère de convergence, dont l’avantage est que pour l’exprimer, nous n’avons pasbesoin de connaître la valeur de la limite, contrairement à la définition de suite convergente.

Proposition 1.1.2 Une suite convergente est de Cauchy.

Preuve. Soit (xn)n une suite convergente et notons ` ∈ K sa limite. Prenons ε > 0, par la définition deconvergence, nous pouvons prendre N ∈ N (qui sera, dans la pratique d’autant plus grand que ε est petit),qui vérifie : si n ≥ N, |xn − `| < 1

2ε.

Tentons d’utiliser ce même N dans la condition de Cauchy : soient p, q ∈ N, tels que p ≥ N, q ≥ N.Pour majorer |xp − xq| on utilise l’inégalité triangulaire, ’en passant par’ `,

|xp − xq| = |xp − `+ `− xq| ≤ |xp − `|+ |`− xq| <1

2ε+

1

2ε = ε.

On a bien démontré aisément que la suite vérifie la condition de Cauchy, avec l’astuce d’utiliser un 12ε dans

la définition de la limite.

Ainsi, une manière de démontrer qu’une suite n’est pas convergente, est de démontrer que cen’est pas une suite de Cauchy.

Exemple 1.1.1 Introduisons les nombres harmoniques Hs = 1 + 12 + 1

3 + · · · + 1s , et étudions la

suite des nombres réels positifs (Hs)s.

Considérons, p, q ∈ N, et quitte à permuter, on considère q ≥ p, q = p + m, ainsi, on a p,m ∈ N,qui est une donnée équivalente.

Puisque, visiblement Hs est croissante en s,

|Hp−Hq| = Hq−Hp = (1+1

2+

1

3+· · ·+ 1

p+m)−(1+

1

2+

1

3+· · ·+ 1

p) =

1

p+ 1+

1

p+ 2+· · ·+ 1

p+m.

Il y a m termes, tous plus grands que 1p+m ,

mp+m ≤ |Hp −Hq|.


Or, si m > p, mp+m > 1

2 . Autrement dit, q > 2p =⇒ 12 ≤ |Hp −Hq|. La suite ne peut-être de

Cauchy. En effet, si pour un 0 < ε < 12 on pouvait prendre N tel que pour deux quelconques

p, q ≥ N, on avait, |Hp − Hq| < ε ; on aurait pour p = N,m = p + 1, (q = 2N + 1), les deux12 ≤ |Hp −Hq| < ε, ce qui est impossible (car on avait ε < 1

2 ).La suite est strictement croissante, elle n’est pas convergente, c’est donc une suite non bornée.

Clairement, Hs → +∞.

Définition 1.1.3 Soit donnée une suite réelle (xn)n, on notera limn→+∞ xn = +∞ lorsque pourchaque K ∈ R, il existe N ∈ N, N ≤ n =⇒ K < xn. On écris aussi xn → +∞.

De même, limn→+∞ xn = −∞ lorsque limn→+∞(−xn) = +∞. On écris aussi xn → −∞.Dans ces deux cas, la suite n’est pas convergente. Elle n’a pas de limite, sinon une limite-infinie.Pour les suites de nombres complexes, (zn)n, zn ∈ C, on pourra dire que “zn va à l’infini” lorsque

|zn| → +∞. (Mais nous n’écrirons pas zn →∞.)

Lemme 1.1.1 Soit donnée une suite réelle croissante, de deux choses l’une, ou elle est majorée,c’est le cas lorsqu’elle est convergente, ou elle est non majorée et sa limite est +∞.

Si (an)n est une suite réelle décroissante,

(an)n converge ⇐⇒ (an)nest minorée,

an → −∞ ⇐⇒ (an)nest non minorée.

Évidemment, les affirmations pour les suites décroissantes s’obtiennent, en considérant la suiteopposée, à partir de celles concernant les suites croissantes.

De plus, l’on sait déjà qu’une suite croissante majorée est convergente. Pour la réciproque, ilfaut juste se souvenir que dans le cas croissant, la limite est la borne supérieure de l’ensemble devaleurs, qui est donc majoré.

Lorsque la limite est +∞, c’est clair que la suite ne peut être majorée. Enfin, si une suitecroissante (an)n n’est pas majorée, pour chaque K ∈ R, il existe un indice N, tel que K < aN .Mais la croissance donne qu’à partir de celui-ci, c’est aussi vrai pour tous, n ≥ N =⇒ an > K, etla limite est +∞.

1.2 Suites extraitesConsidérer des suites extraites d’une suite donnée est un outil puissant pour l’étude de leur com-

portement. Donnons-en quelques exemples dans cette section et la suivante, obtenant des résultatsessentiels.

Soit donnée une suite réelle (an)n. Si elle est majorée , pour chaque k ∈ N l’ensemble an / n ≥k est non vide majoré et a donc une borne supérieure dans R, notons-là :

ωk = supan / n ≥ k,

et considérons la suite réelle (ωk)k. On a

an / n ≥ k + 1 ⊂ an / n ≥ k =⇒ ωk ≥ ωk+1,

et cette suite est décroissante.De manière similaire l’on introduit, pour une suite minorée (an)n, la suite αk = infan / n ≥ k.

C’est une suite de nombres réels croissante.

1.2. SUITES EXTRAITES 9

Définition 1.2.1 Soit (an)n une suite de nombres réels, on pose limn→+∞an = lim supn→+∞

an = +∞

si (an)n n’est pas majorée.Si (an)n est majorée, on pose limn→+∞an = lim supn→+∞ an = limn→+∞ ωn.

On posera aussi , limn→+∞an = lim infn→+∞ an = −∞ si (an)n n’est pas minorée.Et si (an)n est minorée, on pose limn→+∞an = lim infn→+∞ an = limn→+∞ αn.Ce sont les limites supérieures et inférieures de la suite respectivement.

Ainsi, pour toute suite de nombres réels nous avons les éléments de R ∪ −∞,+∞ : limn→+∞anet limn→+∞an. Si l’on a montré l’existence des limites des suites (αk)k et (ωk)k mentionnées, cequi est fait dans la proposition suivante.

Proposition 1.2.1 Soit (an)n une suite réelle bornée, notant m,M, tels que ∀n,m ≤ an ≤M.

1. La suite (ωk)k est décroissante minorée par m. On a m ≤ limn→+∞an ≤M.

2. La suite (αk)k est croissante majorée par M. On a pour tout k, αk ≤ ωk, et

m ≤ αk ≤ limn→+∞an ≤ limn→+∞an ≤ ωk ≤M.

3. Si λ ∈ R, λ > 0, limn→+∞(λan) = λlimn→+∞an; limn→+∞(λan) = λlimn→+∞an

4. Si λ < 0, limn→+∞(λan) = λlimn→+∞an; limn→+∞(λan) = λlimn→+∞an

5. Si (bn)n est une deuxième suite bornée, limn→+∞an + limn→+∞bn ≤ limn→+∞(an + bn);

6. et limn→+∞(an + bn) ≤ limn→+∞an + limn→+∞bn.

Preuve.1. Puisque pour chaque n, m ≤ an ≤ M,m ≤ ωk ≤ M, et la suite (ωk)k est décroissante bor-

née, convergente. L’encadrement m ≤ limk→+∞ ωk ≤ M persiste et de plus pour chaque s, m ≤limk→+∞ ωk ≤ ωs ≤M .

2. L’argument pour αk, est similaire, avec évidemment αk = infan / n ≥ k ≤= supan / n ≥ k =ωk.

3. Si 0 < λ, nous avons λ infan / n ≥ k = infλan / n ≥ k ainsi que λ supan / n ≥ k =supλan / n ≥ k (exercice). Le résultat est alors évident.

4. Il suffit de l’établir pour λ = −1, et ensuite utiliser l’affirmation précédente. Or pour toute partiebornée non vide A ⊂ R, l’on a (exercice) inf(−A) = − supA, et le résultat s’en suit.

5. Pour établir ce point, on précisera un peu les notations ci-dessus. Notons pour une suite (cn)n, αk(cn) =infcn / n ≥ k et ωk(cn) = supcn / n ≥ k.Il suffit donc d’établir pour chaque k, αk(an) + αk(bn) ≤ αk(an + bn) et passer à la limite pourconclure.Fixons k, il suffit de prouver que le nombre αk(an) + αk(bn) est un minorant pour l’ensembleam + bm / m ≥ k, pour que ce nombre soit plus petit ou égal que le plus grand de ces minorants :αk(an + bn).

Soit m ≥ k, nous avons αk(an) ≤ am, (α minore) et aussi αk(bn) ≤ bm, et l’on conclus que αk(an)+αk(bn) ≤ am+bm. Le nombre αk(an)+αk(bn) est bien un minorant de l’ensemble am+bm / m ≥ k.

6. Ici on établit de manière similaire (exercice) pour chaque k, ωk(an + bn) ≤ ωk(an) +ωk(bn), et enpassant à la limite, on a finit le preuve de la proposition.


Pour être surs de ne pas écrire ces inégalités à l’envers, il suffit de considérer l’exemple dessuites : an = (−1)n et bn = (−1)n+1, Clairement leurs limites inférieures sont toutes deux égalesà −1, leurs limites supérieures 1, et comme la somme est la suite nulle, elle a limite supérieure etinférieure nulles, −2 < 0 < 2! On a bien

limn→+∞an+limn→+∞bn ≤ limn→+∞(an+bn) ≤ limn→+∞(an+bn) ≤ limn→+∞an+limn→+∞bn.

Théorème 1.2.1 Soit (an)n une suite réelle.1– (an)n converge si et seulement si lim inf

n→+∞an = lim sup

n→+∞an et sont finies.

2– Il existe une suite extraite de (an)n qui a pour limite le nombre lim infn→+∞

an

3–Il existe une suite extraite de (an)n qui a pour limite le nombre lim supn→+∞

an

Corollaire 1.2.1 an → ` ⇐⇒ lim infn→+∞

an = lim supn→+∞

an = `.

Preuve. Pour le corollaire, supposons donc la suite réelle convergente, vers sa limite ` ∈ R, le Théorème1.2.1 permet de savoir que la suite a une suite extraite convergent vers la limite supérieure, cette limite estdonc ` parce que les suites extraites d’une suite convergente, on la même limite (1.1.1). Il en va de mêmepour la limite inférieure : ` = `.

Si ` = +∞, la suite n’est pas majorée, lim supn→+∞ an = ` par définition. Détaillons la preuve delim infn→+∞ an = +∞. Si K ∈ R est donné, il existe N ∈ N, ∀n ≥ N, an > K, ainsi αn ≥ αN ≥ K, et l’ona αn → +∞.

Lorsque ` = −∞, la preuve est similaire (exercice).Réciproquement, clairement αk ≤ ak ≤ ωk pour tout k, et l’on est dans un cas de suites adjacentes.

Ce Théorème est admis. La preuve qui suit est un complément utile à l’étudiant intéressé, il estrédigé en caractères plus petits, et fait appel à un développement .

Lemme 1.2.1 Soit (an)n une suite réelle bornée.1– Pour chaque ε > 0, l’ensemble d’indices I+

ε = n / an ≤ lim inf an − ε est fini.2– Pour chaque ε > 0, l’ensemble d’indices J−ε = n / an ≥ lim sup an + ε est fini.3– Pour chaque ε > 0, les ensembles d’indices Iε = n / d(an, lim inf an) < ε et Jε = n / d(an, lim sup an) <

ε sont, tous deux, infinis.

Détaillons la démonstration de ce lemme très important. Pour 1. À contrario, si pour un ε0 > 0 on avaitque I+

ε0 est infini, c’est un sous-ensemble de N infini, alors, pour chaque N ∈ N,∃kN ∈ I+ε0 , kN > N. Or

akn ≤ lim inf an − ε0 entraine que αkN ≤ lim inf an − ε. Ainsi l’on a

∃ε0,∀N,∃k > N, |αk − lim inf an| ≥ ε0.

Mais cela veut dire que (αk)k ne peut converger vers lim inf an, ce qui est une contradiction. Elle provientd’avoir supposé qu’il existait un ε0 > 0 avec I+

ε0 infini, ces ensembles sont toujours finis.Pour le point 2 l’argument est similaire, laissé en exercice (utile !).Pour établir le point 3, raisonnons encore par réduction à l’absurde. Supposons que pour ε0 > 0 on a

Iε0 fini, et posons s = max Iε0 qui est un nombre naturel. Pour chaque N ∈ N, considérons k = N + s+ 1,

1.3. COMPLÉTUDE 11

naturel strictement plus grand que N et s, ce n’est donc pas un élément de Iε0 : | lim inf an− ak| ≥ ε0. Enparticulier,

αk ≤ ak ≤ lim inf an − ε0, |αk − lim inf an| ≥ ε0.Mais ceci empêche que la limite de (αk)k soit lim inf an, ce qui est absurde. Clairement Iε doit être toujoursinfini.

La preuve pour Jε étant similaire, elle est laissée au lecteur achevant ainsi la preuve de ce lemme.Pour une suite non majorée, on peut introduire J−ε = n / an− ε ≥ lim sup an qui est clairement vide,

et Jε = n / an ≥ 1ε. Exercice, montrer que Jε est alors infini. Traiter aussi le cas des suites non minorées.

Le comportement des ensembles d’indices pour lesquels la suite viens ’frapper’ près de lim inf (ou lim sup)nous attire l’attention sur un concept nouveau et important.

Définition 1.2.2 Un point x est dit valeur d’adhérence de la suite (an)n si pour chaque ε > 0, l’ensembled’indices Iε(x) = n ∈ N / d(x, an) < ε est infini.

Le troisième point du lemme précédent nous précise que pour les suites bornées, leur limites supérieures etinférieures, sont bien des valeurs d’adhérence de la suite.

La fin de la preuve du théorème 1.2.1 sera corollaire de la proposition suivante.

Proposition 1.2.2 1– Si (ank )k est une suite extraite de (an)n qui converge, sa limite est une valeurd’adhérence de la suite (an)n.

2– Si x est valeur d’adhérence de la suite (an)n, il existe une suite extraite (ank )k dont la limite est x.

Quand à savoir si l’on doit dire que +∞ est une valeur d’adhérence d’une suite non majorée, on peut dupoint de vue des suites extraites, mais il est préférable de s’abstenir et le traiter séparément.

Un corollaire immédiat, qui caractérise les valeurs d’adhérence, est :

Corollaire 1.2.1 Les valeurs d’adhérence (finies) d’une suite sont les mêmes que les limites de ses suitesextraites convergentes.

La preuve de la proposition est facile. Pour 1. Soit donnée la suite (ank )k suite extraite de (an)n. et notons` sa limite, ank −→

k→+∞`. Soit donné, ε > 0, et K ∈ N, tel que ∀k ≥ K, d(ank , `) < ε.

L’ensemble d’indices Iε(`) contient les indices nk à partir de k = K, ce qui fait un ensemble infini (cark 7→ nk est strictement croissante, dont injective). Le point ` est bien une valeur d’adhérence de la suite(an)n.

Pour deux c’est plus délicat, on construira par récurrence une suite extraite, de la suite donnée (an)n,sachant que x est une de ces valeurs d’adhérence.

Amorçons, anodinement par n0 = 0, et supposons trouvés les 0 < n1 < n2 < · · · < nk−1 tels que pour1 ≤ i ≤ k − 1, d(ani , x) < 1

i.

Puisque I 1k

(x) est infini, il contient un indice strictement plus grand que nk−1; on en prend un, et on lenote nk. Par récurrence l’on obtient une suite k 7→ ank avec nk−1 < nk et d(ak, x) < 1

k. C’est clairement une

suite extraite de (an)n et c’est aussi clair qu’elle converge avec x pour limite. La preuve de la propositionet aussi pour le Théorème est achevée.

On a laissé au soins du lecteur de prouver que si une suite de nombres réels n’est pas majorée, elle aune suite extraite dont le limite est +∞. Et si elle n’est pas minorée, elle a une suite extraite de limite −∞.

Avec ces nouveaux outils, on en vient à observer que la suite (an)n converge vers ` si et seulement sipour chaque voisinage V de `, l’ensemble des indices n pour lesquels an /∈ V est fini.

1.3 ComplétudeThéorème 1.3.1 (Complétude de R.) Toute suite réelle de Cauchy est convergente.


Ainsi R est complet, C est complet, tout espace vectoriel normé sur K de dimension finie estcomplet

Tout fermé de R est complet.

Commençons la démonstration par un petit lemme très général.

Lemme 1.3.1 Toute suite de Cauchy est bornée.

Preuve. Soit (xn)n une suite de Cauchy. Pour ε = 1 > 0 il existe N tel que p, q ≥ N =⇒ d(xp, xq) ≤ 1.

Le nombre K = maxd(xN , xs) / s = 0, 1, 2, . . . , N + 1 est bien un nombre réel, car il s’agit dumaximum d’un nombre fini de nombres réels.

Montrons que toute la suite est dans un rayon de K autour du point xN .Soit s un indice quelconque. Si s ≤ N, évidemment d(xN , xs) ≤ K et si s > N, on peut le prendre pour

q = s, en prenant p = N, et (par Cauchy) l’on a : d(xs, xN ) < ε = 1.

Toute la suite est dans un rayon K autour d’un même point. La suite est bornée, ce qu’il fallaitdémontrer.

Théorème 1.3.2 (Bolzano) Toute suite réelle bornée, admet une suite extraite convergente.

Ceci est un fait difficile et fondamental, mais le travail fait dans la section précédente le rend facile.En effet, il suffit de savoir qu’il existe une suite extraite qui converge vers la limite supérieure de lasuite. Ainsi, c’est un corollaire du Théorème 1.2.1.

On achève la démonstration du théorème de complétude à l’aide d’un lemme très général, carune suite de Cauchy est bornée.

Lemme 1.3.2 Une suite de Cauchy admettant une suite extraite convergente est convergente. Salimite est la même.

Preuve. Soit (xn)n une suite de Cauchy, et supposons, que la suite extraite (xnk )k soit convergente, notons` sa limite. Montrons que ` est la limite de la suite (xn)n.

Pour cela, soit 0 < ε et soit, d’après la condition de Cauchy, un N tel que si, p, q ≥ N l’on ait|xp − xq| < ε/2.

Par ailleurs, la suite k 7→ xnk est convergente, de limite `, il existe alors,K tel que si k ≥ K, |xnk−`| <ε/2.

Comme la suite de nombres naturels k 7→ nk est strictement croissante, l’on aura, nk ≥ k. Ainsi, enprenant N ′ = maxN,K, l’on a :

pour chaque n ≥ N ′ ≥ N, nN′ ≥ N ′ qui est plus grand ou égal que N, et que K on en conclut, par latriangulaire :

|xn − `| ≤ |xn − xnN′ |+ |xnN′ − `| <ε

2+ε

2.

Ce qui prouve que la suite (xn)n converge, et que sa limite est la même que celle de la suite extraite.

La preuve de la complétude de R est ainsi achevée. La cheville ouvrière est le Théorème deBolzano, que l’on peut aussi démontrer par dichotomie directement sans lim sup .

Pour le ’rabiot’, il nous faut rappeler qu’une partie U de K est dite ouverte si pour chaque u ∈ Uil existe ρ > 0, tel que |x − u| < ρ =⇒ x ∈ U. Puis, qu’une partie est dite fermée dans K, si soncomplémentaire dans K est une partie ouverte.

1.3. COMPLÉTUDE 13

Lemme 1.3.3 Si une suite est convergente et à valeurs dans une partie fermée F de K, sa limiteest nécessairement un élément de F.

En effet, si xn → `, si ` ∈ K\F, qui est un ouvert, il existe ρ > 0, tel que |x− `| < ρ =⇒ x ∈ K\F.Mais la suite étant convergente, il existe aussi N tel que |xN − `| < ρ ainsi on se trouve quexN ∈ K \F contrairement à notre hypothèse : tous les éléments de la suite (xn)n sont des élémentsde F. Cet absurde provient d’avoir supposé que ` n’était pas un élément de F. L’unicité de la limitepermet de conclure, que les limites des suites convergentes n’échappent jamais un fermé.

Ainsi, une suite de Cauchy d’un fermé, est convergente (comme suite de K) et puisque sa limiteest dans le même fermé, c’est une suite convergente du fermé, et ainsi, les fermés de K sont aussicomplets.

Les suites de nombres complexes.D’une suite de nombres complexes, on tire deux suites de nombres réels, les parties réelles, et

imaginaires respectivement : si zs ∈ C, zs = xs + iys, xs = Re zs, ys = Im zs, avec les symbolesstandard pour partie réelle et partie imaginaire.

Remarquons pour un nombre complexe quelconque z

max|Re z|, | Im z| ≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z|.

(Ceci est un avatar de la relation || · ||∞ ≤ || · || ≤ || · ||1, dans R2 lorsque l’on identifie C à R2, carle module d’un nombre complexe est bien la norme euclidienne du vecteur formé de sa partie réellesuivie de sa partie imaginaire.)

Lemme 1.3.4 Une suite de nombres complexes est convergente si et seulement si, les suites desparties réelles et imaginaires convergent. La limite est le nombre complexe dont la partie réelle estla limite de la suite des parties réelles et la partie imaginaire est la limite de la suite des partiesimaginaires.

Une suite de nombres complexes est de Cauchy, si et seulement si les suites des parties réelleset imaginaires sont chacune des suites de Cauchy.

Si une suite (us)s, us ∈ K converge, la suite (|us|)s converge aussi, et sa limite est le module dela limite de (us)s.

Preuve. Puisque pour chaque nombre complexe ` = `x+i`y; `x, `y ∈ R, nous avons pour une suite complexezs = xs + iys;xs, ys ∈ R,

max|xs − `x|, |ys − `y| ≤ |zs − `| ≤ |xs − `x|+ |ys − `y|.

Si 0 < ε est donné, et la suite (zs)s converge vers `, il existe N, tel que si p ≥ N, |zp − `| < ε. Lepremier membre de l’inégalité ci-dessus indique qu’à partir de cet N, nous avons, |xp − `x| < ε, la suite(xs)s converge et sa limite est `x. De manière similaire, ys → `y, s→ +∞.

Réciproquement, si les parties réelles et imaginaires (xs)s et (ys)s convergent, en notant `x, `y leurslimites, et en formant le nombre complexe ` = `x+ i`y, nous avons : |zs− `| ≤ |xs− `x|+ |ys− `y| → 0 s→+∞. Ceci montre que la suite (zs)s converge et que ` est sa limite.

Pour l’affirmation sur les suites de Cauchy, on écrira

max|xp − xq|, |yp − yq| ≤ |zp − zq| ≤ |xp − xq|+ |yp − yq|.

La rédaction de cet argument, qui est similaire au précèdent est laissé en exercice.


Enfin, si us → ` puisque | |us|−|`| | ≤ |us−`|, il est facile, pour chaque ε > 0, de prendre un N adéquat,et voir que (|us|)s converge et que sa limite est |`|.

On aurait pu dire directement que la fonction réelle d’une variable complexe z 7→ |z| est continue etconclure. En fait, la deuxième inégalité triangulaire ci-dessus montre que cette fonction est Lipschitziennede rapport 1. C’est plus fort que la continuité, plus facile à exploiter.

Ceci achève la preuve de la complétude de C.La situation pour une espace vectoriel normé de dimension finie quelconque est la conséquence de

l’affirmation : ‘Toutes les normes d’une evn de dimension finie sont équivalentes’ que l’on admettra.Ensuite, en travaillant sur Rp avec la norme de votre choix : || · ||1, || · ||2 ou || · ||∞, on procèdecomme pour C. On n’en dira pas plus.

Ce Théorème important étant établi, montrons une situation dans laquelle il se montre particu-lièrement puissant. Le cas des suites définies par récurrence. Ce n’est pas un exercice de mathéma-tiques pures, presque tous les algorithmes de résolution numérique d’équations de la physique sontbasés sur cette idée.

Définition 1.3.1 Soient E,F des K-espaces vectoriels normés, U ⊂ E, et f : U → F une applica-tion. On dira que f est K-Lipschitzienne, s’il existe 0 < K ∈ R tel que

||f(x)− f(y)|| ≤ K||x− y||, x,y ∈ U.

On dira que f est strictement contractante, si E = F, et on peut choisir ce nombre K, vérifiant0 < K < 1.

L’inégalité triangulaire nous dit que la norme : x 7→ ||x|| est toujours 1-Lipschitzienne.Dans le cas des fonctions réelles, nous savons que le théorème des valeurs intermédiaires nous

dit qu’une fonction dérivable sur un intervalle, dont la valeur absolue de la dérivée est strictementmajorée par un nombre K < 1, en tout point, vérifie une telle condition de ’strictement contractan-te’. En effet, si I est un intervalle réel, et f : I → R une fonction dérivable, telle qu’il existe K < 1tel que ∀ξ ∈ I, |f ′(ξ)| ≤ K; si x, y ∈ I, |f(x)− f(y)| = |f ′(c)| |x− y| pour un c entre x et y, ainsi,avec |f ′(c)| < K, l’on a bien que |f(x)− f(y)| < K|x− y|.

C’est aussi la cas d’une application linéaire f : Rn → Rn lorsque sa matrice M (en basescanoniques) vérifie |||M ||| < 1, car on a (admis)

||MX −MY || = ||M(X − Y )|| ≤ |||M ||| ||X − Y ||.

Un procédé de résolution numérique d’un problème, consistera à fabriquer un espace vectorielnormé, et une application, de sorte que la suite définie par récurrence, à partir d’une amorce assezanodine, nous donne des vecteurs approximants de notre solution, la solution sera un point fixe denotre application.

Proposition 1.3.1 Soit I un intervalle réel, x∗ ∈ I, et f : I → R une fonction strictementcontractante. Supposons que f(I) ⊂ I. Alors, la suite définie par récurrence :

xn+1 = f(xn), x0 = x∗,

est bien définie, elle converge, sa limite ` vérifie f(`) = `.

1.4. ASYMPTOTIQUE 15

Preuve. Puisque f(I) ⊂ I et x∗ ∈ I, clairement les éléments xn sont tous bien définis et sont des élémentsde l’intervalle I. Cette hypothèse est souvent la plus difficile à vérifier dans la pratique !

Pour la convergence, il suffira de prouver que c’est une suite de Cauchy. Commençons par constater|xp+1 − xp| = |f(xp)− f(xp−1)| ≤ K|xp − xp−1|. Et par récurrence : |xp+1 − xp| ≤ Kp|x1 − x0|.

L’astuce ici est de faire une énorme triangulaire, en passant par tous les indices intermédiaires :

|xp+m − xp| = |xp+m − xp+m−1 + xp+m−1 − xp+m−2 + · · ·+ xp+1 − xp| ≤

≤ |xp+m − xp+m−1|+ |xp+m−1 − xp+m−2|+ · · ·+ |xp+1 − xp| ≤≤ (Kp+m−1 +Kp+m−2 + · · ·+Kp)|x1 − x0|.

Il vient ensuite, l’identité remarquable (1 +K +K2 + · · ·+Km−1)(1−K) = 1−Km.Elle nous donne Kp+m−1 +Kp+m−2 + · · ·+Kp = Kp 1−Km

1−K .

Or Kp 1−Km1−K ≤ Kp 1

1−K car 0 < K < 1, m ≥ 0. D’où

|xp+m − xp| ≤ Kp 1

1−K |x1 − x0|.

On constate maintenant, que (sachant 0 < K < 1 =⇒ Kp → 0, (p→ +∞),) la quantité Kp 11−K |x1 −

x0| est plus petite qu’un ε > 0 choisi arbitrairement, dès que p est assez grand ; ainsi, il existe N tel queq ≥ p ≥ N, (m = q − p) |xq − xp| < ε. La suite est de Cauchy, elle converge.

Si ` est la limite, |f(`)−`| = |f(`)−f(xp)+xp+1−`| ≤ |f(`)−f(xp)|+ |xp+1−`| ≤ K|`−xp|+ |xp+1−`|.le dernier membre tend vers 0 avec p. Le nombre positif ou nul |f(`)− `| est majoré par une suite qui tendvers 0, c’est le nombre nul, f(`) = `.

Ce procédé de construction de suites par récurrence est une source d’exemples de suites dont ona (en général) pas une formule explicitant la valeur de chaque terme en fonction de l’indice.

1.4 AsymptotiquePour calculer des limites, comparer des comportements de suites, il est utile de bien connaitre

quelques exemples. Le maitre mot du livre de Jean Dieudonné, ’Calcul infinitésimal’ estMajorer, minorer, calculer.Et recommencer, jusqu’à reconnaitre des termes, dont on sait par ailleurs le comportement.Nous adopterons la notation de Landau pour comparer des quantités. Pour les fonctions :

Définition 1.4.1 (Notation de Landau) Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b[⊂ R ∪+∞.

1. On dit que f(x) ∈ O(g(x)) (ou f(x) = O(g(x))) quand x→ b− si

∃M > 0 ∃c ∈ [a, b[ tels que ∀x ∈ [c, b[ |f(x)| ≤M |g(x)| .

2. On dit que f(x) ∈ o(g(x)) (ou f(x) = o(g(x))) quand x→ b− si

∀ε > 0 ∃c ∈ [a, b[ tel que ∀x ∈ [c, b[ |f(x)| ≤ ε |g(x)| .

3. On dit que f(x) ∼ g(x) quand x→ b− si

|f(x)− g(x)| = o(f(x)) quand x→ b−.


Lorsque limx→b− g(x) = 0 et f(x) = o(g(x)) on dira que f est infiniment petit devant g lorsquex→ b−. Et si f(x) ∼ g(x) on dira que ce sont des infiniment petits équivalents.

Si limx→b− g(x) = +∞ et f(x) ∼ g(x) on dira que ce sont des infiniment grands équivalents, dumême ordre.

Définition équivalente :

Définition 1.4.2 (Notation de Landau) Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b[.1. On dit que f(x) = O(g(x)) quand x → b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au

voisinage de b et q est bornée au voisinage de b.2. On dit que f(x) = o(g(x)) quand x → b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au

voisinage de b et limx→b− q(x) = 0.3. On dit que f(x) ∼ g(x) quand x→ b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au voisinage

de b et limx→b− q(x) = 1.

Pour démontrer l’équivalence, on pose

q(x) =

f(x)/g(x) si g(x) 6= 0,

0 si g(x) = 0

dans (1) et (2), et

q(x) =

f(x)/g(x) si g(x) 6= 0,

1 si g(x) = 0

dans (3).Si f(x) ∼ g(x) quand x → b−, alors au voisinage de b à gauche on a 0 ≤ |g(x)| ≤ 2 |f(x)|

et 0 ≤ |f(x)| ≤ 2 |g(x)|, et donc f(x) = O(g(x)) et g(x) = O(f(x)) quand x → b−. On a aussif(x) = g(x) + o(g(x)) et g(x) = f(x) + o(f(x)).

Des définitions similaires sont utiles pour les limites lorsque x → a+, mais nous ne détaillonspas car pour les suites nous nous intéressons au cas b− = +∞.

Évidemment on adoptera les définitions pour les suites :

Définition 1.4.3 (Notation de Landau) Soient (xn)n et (yn)n deux suites numériques1. On dit que xn = O(yn) quand n→ +∞ si

∃M > 0 ∃N tels que ∀n ≥ N |xn| ≤M |yn| .

2. On dit que (xn)n = o((yn)n) quand n→ +∞ si

∀ε > 0 ∃N tel que ∀n ≥ N |xn| ≤ ε |yn| .

3. On dit que xn ∼ yn quand n→ +∞ si

|xn − yn| = o(xn) quand n→ +∞.

Lemme 1.4.1 Soient f et g deux fonctions définies sur [a,+∞[ a ∈ R. Considérons les suitesdéfinies par xn = f(n) et yn = g(n) qui sont définies à partir de n0, premier entier dans [a,+∞[.

1. Si f(x) = O(g(x)) lorsque x→ +∞, alors xn = O(yn) lorsque n→ +∞.

1.4. ASYMPTOTIQUE 17

2. Si f(x) = o(g(x)) lorsque x→ +∞, alors xn = o(yn) lorsque n→ +∞.3. Si f(x) ∼ g(x) lorsque x→ +∞, alors (xn) ∼ (yn) lorsque n→ +∞.

La preuve est immédiate.Pour la suite, on omettra n→ +∞ dans le cas des suites. Puis on observera que xn = O(1) veut

dire que la suite est bornée, et que xn = o(1) veut dire que la suite converge vers 0.L’algèbre élémentaire de ces relations, dites asymptotiques, n’est pas difficile à établir, énnonçons

celles qui concernent l’équivalence à l’infini.

Proposition 1.4.1 Soient (xn)n, (yn)n, (zn)n et (tn)n des suites numériques, n→ +∞.1. (xn) ∼ (yn), et (zn)n ∼ (tn)n =⇒ (xnzn)n ∼ (yntn)n;

2. (xn) ∼ (yn), (zn)n ∼ (tn)n et, yn ≥ 0, tn ≥ 0 =⇒ (xnzn)n ∼ (yntn)n;

3. p ∈ N∗, (xn) ∼ (yn)n =⇒ (xn)n ∼ (ypn)n;

4. s’il existe N tel que xn 6= 0, si n ≥ N, (xn)n ∼ (yn)n =⇒ ( 1xn

)n ∼ ( 1yn

)n;

5. s’il existe N tel que xn > 0, si n ≥ N, (xn)n ∼ (yn)n =⇒ (xαn)n ∼ (yn)αn, pour α ∈ R;

6. (xn)n = o(yn), (yn)∼(zn)n =⇒ (xn)n = o(zn);

7. (xn) ∼ (yn), zk → +∞, zk ∈ N =⇒ (xzk)k ∼ (yzk)k;

8. xn − yn = o(1) ⇐⇒ (exn)n ∼ (eyn)n;

9. xn = o(yn) =⇒ (xn)n ∼ (xn + yn)n;

La source la plus sûre de relations asymptotiques est sans doute le théorème de Taylor. Signalons :

e1n − 1 ∼ ln(1 +

1

n) ∼ sin

1

n∼ sinh

1

n∼ tan

1

n∼ th

1

n∼ arcsin

1

n∼ argsin

1

n∼ arctan

1

n∼ 1

n.

(1 +1

n)α − 1 ∼ α

n; 1− cos

1

n∼ 1

2n2...etc

Chapitre 2

Séries numériques

2.1 Définition et convergence de séries numériques

2.1.1 Définitions de baseSoit (an)n une suite de nombres réels ou complexes. Dans le premier chapitre nous nous sommes

intéressés à l’opération ‘prendre la limite’. Elle n’est pas toujours définie (pour les suites n’ayantpas de limite), mais faisais intervenir l’ensemble de la suite. Dans ce chapitre nous nous intéressonsà une autre opération très naturelle à tenter. Additionner tous les éléments de la suite. C’est-à-dire,nous nous intéressons au sens à donner à la somme infinie

+∞∑n=n0

an.

On découvre de suite que quelque soit sa définition, la valeur devra être très dépendante des quelquespremiers termes, car l’on devra respecter

n0 < n1, =⇒ (an0+ an0+1 + · · ·+ an1−1) +

+∞∑n=n1

an =

+∞∑n=n0

an.

Définition 2.1.1 Soit (an)n une suite numérique (complexe). Alors la somme formelle∑n=n0

anest dite une série numérique. La suite (an)n est la suite de ses termes. Ce n’est rien d’autre quela suite elle même, plus l’information que l’on se propose d’étudier la somme, et ce à partir de sonn0-ième terme. L’on écrira

∑an succinctement, si ce dernier point est remis à plus tard, et l’on

considère des sommes à partir de n0 = 0.On dira que la série est réelle, si ses termes sont des nombres réels.

Exemple 2.1.1∑

1 est une série, ce sera une série divergente, la somme de tous ses termes nepeut être un nombre.

∑( 1

3 )n est une série, et l’on aura∑+∞n=n0

( 13 )n = 3

2×3n0

Définition 2.1.2 Soit∑an une série. Alors sa suite associée (An)n est définie par An =

∑nk=0 ak

pour n > 0. On l’appellera aussi sa suite des sommes partielles associée. Si l’on s’intéresse à∑n=n0

an ; alors sa suite des sommes partielles à partir de n = n0 associée (A∗n)n=n0est définie

par A∗n =∑nk=n0

ak pour n > n0.

19

20 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES

Le symbole A∗ est choisit pour attirer l’attention sur le fait que la suite de sommes partielles estcalculée à partir d’un indice autre que 0. Nous avons An = An0−1 +A∗n, si n ≥ n0.

La donnée de la suite associée détermine complètement la série, car an = An −An−1.

Définition 2.1.3 Soient∑an une série et (An)n sa suite des sommes partielles associée. Alors

on dit que∑an converge si (An)n converge, et dans ce cas on définit la somme de la série

∑an

par+∞∑n=0

an = limn→+∞

An.

Si la suite (An)n ne converge pas, on dira que la série diverge.Si la série

∑an diverge, mais limn→+∞An existe (et alors obligatoirement on a que c’est une

série réelle et limn→+∞An ∈ −∞,+∞) on définit∑+∞n=0 an = limn→+∞An.

En effet, le seul cas où l’on a définit une limite pour une suite qui n’est pas convergente, est la casréel, avec limite infinie.

Ainsi :∑an est une suite avec une information. Pour chaque N, AN =

∑Nn=0 an est un nombre.

Et (lorsqu’il existe)∑+∞n=0 an est aussi un nombre. On peut écrire,

+∞∑n=0

an = limN→+∞

N∑n=0

an.

On dira que deux séries∑an et

∑bn sont de même nature si elles sont simultanément toutes

deux convergentes, ou toutes deux divergentes. Leurs nature est alors définie comme étant soit‘convergentes’ soit ‘divergentes’. Lorsque leur nature est divergente, mais leur somme est définie,c’est-à-dire ±∞, il est utile de préciser, le cas échéant : ‘les séries sont de même nature, divergentesvers +∞ ’. Souvent, lorsqu’une série est divergente, mais on sait que sa suite de sommes partiellesassociées a plusieurs valeurs d’adhérence, on dis que c’est une série oscillante. Ce sont des façonsde parler bien commodes.

Exemples 2.1.1∑∞n=0 0 = 0,

∑∞n=0 1 = +∞,

∑∞n=0

12n = 2. La série la plus importante sera pour

nous,∑rn pour r ∈ K, dite série géométrique, une section ultérieure les décrit.

Lemme 2.1.1 Quelque soit la façon de définir les premiers termes : a0, a1, . . . , an0−1, les séries∑an et

∑n=n0

an sont de même nature. Et on a

+∞∑n=0

an = An0−1 +

+∞∑n=n0

an

avec la convention ±∞+ α = ±∞, pour tout α ∈ R.

Ce qui est clair par la formule AN = An0−1 +A∗N .

Remarque 2.1.1 De façon similaire, on peut définir des séries∑fn, où les fn sont des éléments

d’un espace vectoriel muni d’une norme.Lorsqu’il s’agit d’un espace vectoriel de dimension finie le traitement se fait ‘composante à

composante’ et il ne présentera pas de difficultés, une fois que l’on aura bien compris les relationsentre les séries de nombres complexes, et les séries des parties réelles et imaginaires associées.

2.1. DÉFINITION ET CONVERGENCE DE SÉRIES NUMÉRIQUES 21

Dans ce texte, on mentionnera à l’occasion des résultats non évidents sur les séries de matrices,si importantes dans les applications et aux équations différentielles et à l’analyse numérique. Cesont des affirmations ‘hors programme’.

Dans ce chapitre nous étudions les séries numériques. Plus tard nous regarderons des séries defonctions, et ce sera les seuls cas d’espaces de dimension infini que l’on abordera cette année.

Proposition 2.1.1 (Linéarité) Si séries∑an et

∑bn convergent, alors pour tous λ, µ ∈ C la

série∑

(λan + µbn) converge et (∀n0)∞∑

n=n0

(λan + µbn) = λ

∞∑n=n0

an + µ

∞∑n=n0

bn.

À nouveau, clair car la suite des sommes partielles associée à∑

(λan+µbn) n’est autre que (λA∗N +µB∗N )N , et l’on a la linéarité de la limite des suites.

Corollaire 2.1.1 Si∑an converge mais

∑bn diverge, alors

∑(an + bn) diverge.

Attention. La série∑

(an + bn) peut être convergente, même si∑an et

∑bn divergent. Par

exemple,∑

2n et∑

( 12n − 2n) divergent, mais leur somme, converge, sa somme est 2.

Proposition 2.1.2 (Comparaison des sommes) Si deux séries réelles∑an et

∑bn convergent,

et si pour tout n ≥ n0, an ≤ bn, alors∞∑

n=n0

an ≤∞∑

n=n0

bn.

Proposition 2.1.3 (Convergence d’une série complexe) Une série complexe∑an converge

si et seulement si les séries∑

Re(an) et∑

Im(an) convergent toutes les deux, et dans ce cas∞∑

n=n0

an =

∞∑n=n0

Re(an) + i

∞∑n=n0

Im(an).

En effet, notons AN =∑Nn=0 an; BN =

∑Nn=0 Re(an); CN =

∑Nn=0 Im(an). Nous avons BN =

Re(An) et CN = Im(AN ). La proposition affirme donc que la suite (AN )N est convergente si etseulement si ses paries réelle et imaginaires convergent, auquel cas la limite de (AN )N à pour partieréelle la limite de (BN )N et pour partie imaginaire la limite de (CN )N . Mais cela est bien le caspour toute suite de nombres complexes !

2.1.2 Les restes d’une sérieDéfinition 2.1.4 Si

∑an est une série convergente, alors son reste à l’indice n ≥ 0 est la somme

de la série (convergente) :∑+∞k=n ak. Ainsi Rn =

∑+∞k=n ak est pour chaque n un nombre (comme

justifié dans la proposition qui suit) et Rn)n est la suite des restes de la série∑an.

Bien entendu, on ne peut définir la suite des restes d’une série divergente.

Proposition 2.1.4 (Les restes d’une série convergente) Soit∑an une série convergente

et soit pour tout n ≥ 0, Rn =∑+∞k=n ak. Alors Rn est bien défini, et

limn→∞

Rn = 0.


Preuve. Soit A la somme de∑+∞n=0 an et (AN )N la suite associée. Notons R(n)

M =∑Mk=n ak la suite associée

à la série∑k=n ak. Pour N assez grand et n fixé, nous avons AN = An−1 +R

(n)N c’est-à-dire

N∑k=0

ak =

n−1∑k=0

ak +

N∑k=n

ak.

Le terme An−1 ne dépend pas de N, on peut calculer la limite, lorsque N → +∞, et obtenir, que Rn est biendéfinit, puis l’égalité numérique : A = An−1 +Rn, valable pour chaque n > 0. Puisque limn→+∞An−1 = A,

on a A = A+ limn→+∞Rn, ainsi limn→+∞Rn existe et sa valeur est 0.

2.1.3 Critère de Cauchy

Définition 2.1.5 On dit que la série∑an vérifie le critère de Cauchy si

∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que ∀p ≥ N ∀q ≥ p on a

∣∣∣∣∣q∑

n=p

an

∣∣∣∣∣ ≤ ε.Autrement dit, la série

∑an satisfait le critère de Cauchy si et seulement si la suite associée

(An)n, An =∑nk=0 ak, est une suite de Cauchy. Comme une suite numérique converge si et seule-

ment si elle est de Cauchy, on en déduit la preuve du théorème suivant.

Théorème 2.1.1 (Critère de Cauchy) Une série numérique∑an est convergente si et seule-

ment si elle vérifie le critère de Cauchy.

Dans le cas de divergence, on ne peut avoir d’autres renseignements, divergence vers l’infini, ouoscillation. En faisant p = q = n on a

Corollaire 2.1.2 Une condition nécessaire pour que la série∑an converge est que limn→∞ an = 0.

Définition 2.1.6 Une série∑an est dite grossièrement divergente si la condition limn→∞ an = 0

n’est pas satisfaite.

Exemple 2.1.2 La série harmonique∑

1n diverge car pour tout n ≥ 1,

∑2nk=n+1

1k ≥

12 .

2.1.4 Convergence absolue

Définition 2.1.7 Une série∑an (réelle ou complexe) est dite absolument convergente si et seule-

ment si la série∑|an| converge.

Théorème 2.1.2 (Convergence absolue implique convergence) Si∑an converge absolument,

alors elle converge et pour tout n0, ∣∣∣∣∣∞∑

n=n0

an

∣∣∣∣∣ ≤∞∑

n=n0

|an| .

2.2. ÉTUDE DE LA CONVERGENCE ABSOLUE 23

Preuve. L’inégalité triangulaire ∣∣∣∣∣q∑

n=p

an

∣∣∣∣∣ ≤q∑

n=p

|an|

permet de déduire que∑an vérifie le critère de Cauchy dès que c’est le cas pour

∑|an|. Avec p = n0 et

q = N, la continuité du module (valeur absolue) permet, par un passage à la limite, N → +∞, d’obtenirl’importante majoration de l’énoncé.

Ceci peut fonctionner comme un critère de convergence, et justifie pleinement l’attention que l’onportera aux séries à termes positifs. Par exemple

∑ (−1)nn

2n converge, car elle converge absolument.Sa somme, à partir de 1, est inférieure ou égal à 1. Quelle est sa valeur ?

2.1.5 Séries à termes positifs

Une série numérique est dite à termes positifs, si ses termes sont tous des nombres réels positifsou nuls.

Théorème 2.1.3 (Convergence de séries positives) Une série à termes réels positifs convergesi et seulement si la suite associée est majorée, et dans ce cas la somme de la série est la bornesupérieure de la suite associée.

La série est divergente si et seulement si AN → +∞. La divergence d’une série à termes positifsest toujours vers +∞.

Corollaire 2.1.3 Soient∑an et

∑bn deux séries à termes positifs. Alors la série somme

∑(an+

bn) converge si et seulement si les deux séries∑an et

∑bn convergent.

2.2 Étude de la convergence absolue

2.2.1 Comparaison de deux séries

Théorème 2.2.1 (Comparaison par majoration) Soient∑an et

∑bn deux séries à termes

réels. Si∑bn converge et s’il existe n0 tel que pour tout n ≥ n0, 0 ≤ an ≤ bn, alors

∑an converge.

Preuve. Soient (An)∞n=n0et (Bn)∞n=n0

le suites associées à partir de n = n0 de∑an et

∑bn respectivement.

Alors, puisque l’on somme des termes positifs, ce sont des suites croissantes et ∀n ≥ n0, An ≤ Bn.

Corollaire 2.2.1 (Comparaison par O) Soient∑an et

∑bn deux séries. Si

∑bn converge

absolument et si an = O(bn), n→∞, alors∑an converge absolument.

Preuve. Soient M et N tels que ∀n ≥ N , |an| ≤M |bn|. Comme∑|bn| converge,

∑M |bn| converge aussi,

et donc, par le théorème précédent,∑|an| converge.

Corollaire 2.2.2 (Comparaison par équivalence) Soient∑an et

∑bn deux séries à termes

positifs. Si an ∼ bn, n→∞, alors∑an et

∑bn sont de même nature.


Preuve. De l’équivalence asymptotique nous déduisons an = O(bn) et bn = O(an), n → ∞. Puisque laconvergence absolue pour des suites à termes positifs coïncide avec la convergence, c’est bien un corollaireimmédiat.

Proposition 2.2.1 (Convergence absolue d’une série complexe) Une série complexe convergeabsolument si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire toutes les deux convergentabsolument.

Preuve. Si z ∈ C, alorsmax

|Re z| , |Im z|

≤ |z| ≤ |Re z|+ |Im z| .

2.2.2 Séries géométriques

Définition 2.2.1 Toute série complexe de la forme∑qn, q ∈ C, (en utilisant ici la convention

00 = 1), est dite série géométrique.

Proposition 2.2.2 (Somme d’une série géométrique) Si |q| ≥ 1, alors la série∑∞n=0 q

n di-verge (grossièrement). Si |q| < 1, alors la série converge et

∞∑n=0

qn =1

1− q.

Preuve. Dans le cas |qn| ≥ 1 le terme général ne converge pas vers 0, la divergence est grossière. Pour q 6= 1et pour tout N ≥ 1,

N−1∑n=0

qn =1− qN

1− q .

Ceci permet, par passage à la limite, de prouver la convergence dans le cas |q| < 1, et de calculer la sommeà partir de 0.

Remarque 2.2.1 Puisque∑Nn=n0

qn = qn0∑N−n0

n=0 qn, on en déduit, pour |q| < 1,

+∞∑n=n0

qn =

qn0

+∞∑n=0

qn.

Dans les deux sections suivantes on énonce deux critères de convergence, obtenus par la compa-raison à une série géométrique. Leur usage constant leur donne le nom de ”règles”.


2.2.3 Règle de Cauchy

Rappel :

lim infn→∞

an = limn→∞

infk≥n

ak = supn

infk≥n

ak,

lim supn→∞

an = limn→∞

supk≥n

ak = infn

supk≥n

ak.

Pour toute suite (an), lim infn→∞ an et lim supn→∞ an existent comme éléments de [−∞,∞], etlim infn→∞ an ≤ lim supn→∞ an. Enfin, si limn→∞ an existe, alors lim infn→∞ an = lim supn→∞ an =limn→∞ an.

Théorème 2.2.2 (Règle de Cauchy) Soit∑an une série numérique. On pose

λ = lim supn→∞

|an|1/n .

Alors

1. si λ < 1, la série∑an converge absolument,

2. si λ > 1, la série∑an diverge grossièrement.

Preuve. (1) Supposons λ < 1. Soit µ < 1 tel que λµ < 1. Soit N tel que ∀n ≥ N |an|1/n ≤ µ. Alors ∀n ≥ N|an| ≤ µn et l’on peut majorer la série qui nous intéresse par une série géométrique convergente.

(2) Supposons λ > 1. Il existe une suite extraite (donnée par k 7→ nk) de (|an|1/n)n dont la limite est λ.Soit K tel que ∀k ≥ K |ank |

1/nk ≥ 1. Alors ∀k ≥ K |ank | ≥ 1, la suite (|an|)n ne peut converger vers 0.

2.2.4 Règle de d’Alembert

Théorème 2.2.3 (Règle de d’Alembert) Soit∑an une série numérique vérifiant an 6= 0 pour

tout n ≥ n0. Posons

L = lim supn→∞

|an+1||an|

, l = lim infn→∞

|an+1||an|

.

Alors

1. si L < 1, la série∑an converge absolument,

2. si l > 1, la série∑an diverge grossièrement.

Preuve. (1) Supposons L < 1. Soit µ tel que L < µ < 1. Soit N tel que ∀n ≥ N|an+1||an| ≤ µ. Alors en

multipliant ces inégalités, on démontre par récurrence sur n, ∀n ≥ N |an| ≤ |aN |µn−N = |aN |µN

µn. On peutmajorer la série qui nous intéresse par une série géométrique convergente.

(2) Supposons λ > 1. Soit N ≥ n0 tel que ∀n ≥ N|an+1||an| > 1. Alors par récurrence sur n, ∀n ≥ N

|an| ≥ |aN | > 0.


2.2.5 Comparaison d’une série et d’une intégralePour ce paragraphe, il faudra se rapporter à l’appendice.1– Pour un rappel de la définition de l’intégrale de Riemann et de ces propriétés.2– La définition de la convergence de l’intégrale impropre, ou généralisée :∫ +∞

a

f(x)dx = limX→+∞

∫ X

a

f(t)dt.

L’avantage des intégrales, par rapport aux séries, est que lorsque l’on peut calculer explicitementune primitive, l’on aura

F ′ = f =⇒∫ +∞

a

f(x)dx = limX→+∞

F (X)− F (a),

chose qu’il serait difficile à mettre en oeuvre pour le calcul des sommes des séries.

Théorème 2.2.4 (Comparaison avec une intégrale) Soit f : [n0,∞[→ R monotone.Alors la série

∑f(n) et l’intégrale

∫ +∞n0

f(t) dt sont de même nature.Si f est positive et que l’intégrale

∫ +∞n0

f(t) dt converge, alors pour tout n > n0,∫ +∞

n

f(t) dt ≤+∞∑k=n

f(k) ≤∫ +∞

n−1

f(t) dt.

Preuve. Il suffit d’étudier le cas où limx→∞ f(x) = 0. Quitte à multiplier par −1, sans perte de généralité,supposons que f est décroissante. Si en un point elle est strictement négative, puisqu’elle décroit, sonintégrale diverge. Et comme ses valeurs aux points entiers qui suivent sont séparés de zéro, la série divergegrossièrement. Considérons le cas f positive.

Pour x ∈ [n, n + 1], n ≥ n0, on a f(n + 1) ≤ f(x) ≤ f(n). Donc pour tous p ≥ n0 et q ≥ p tel quep, q ∈ Z, on a (par comparaison des aires entre les fonctions en escalier, ce qui se vois dans une représentationgraphique)

0 ≤q+1∑

n=p+1

f(n) ≤∫ q+1

p

f(t) dt ≤q∑

n=p

f(n).

Ceci permet de relier le critère de Cauchy pour les intégrales (des fonction décroissantes positives) avec lecritère de Cauchy pour les séries.

La deuxième affirmation s’en déduit car une fonction monotone positive dont l’intégrale∫ +∞n0

f(t)dt

converge est obligatoirement décroissante et l’on peut passer aux limites dans l’inégalité ci-dessus.

2.2.6 Séries de RiemannDéfinition 2.2.2 Toute série de la forme

∑∞n=1

1nα , où α ∈ R, est dite série de Riemann.

Proposition 2.2.3 (Convergence d’une série de Riemann) La série de Riemann∑∞n=1

1nα

converge si et seulement si α > 1.

Preuve. Comparaison avec l’intégrale∫∞

1dttα. La convergence ou divergence de cette intégrale est aisée,

puisqu’on la calcule à l’aide d’une primitive.


2.2.7 Convergence commutative d’une sérieRappel : une permutation d’un ensemble X est une bijection de X sur lui-même.

Définition 2.2.3 Soit∑+∞n=0 an une série numérique (ou plus généralement une série à termes dans

un espace vectoriel normé). On dit que∑+∞n=0 an est commutativement convergente si et seulement

si pour toute permutation σ de N, la série∑+∞n=0 aσ(n) converge.

Ici ce n’est pas seulement le premier terme que l’on somme mais c’est aussi l’ordre de sommationqui est mis en valeur. Dès le début du chapitre l’ordre de sommation a été maintenu fixe, sans lementionner.

Théorème 2.2.5 (Convergence commutative de séries absolument convergentes) Une sé-rie numérique

∑+∞n=0 an est commutativement convergente si et seulement si elle est absolument

convergente, et dans ce cas

∑aσ(n) est absolument convergente, et

+∞∑n=0

aσ(n) =

+∞∑n=0

an pour toute permutation σ : N→ N.

Ce théorème sera admis. Détaillons la plus utile des implications, pour les étudiants les plus motivés.Supposons que

∑an soit absolument convergente. Montrons que l’on peut sommer ses termes

dans un ordre indifférent et toujours obtenir la même somme. Pour cela fixons un nouvel ordre desommation : σ : N→ N bijective.

Notons∑+∞n=0 |an| = M ∈ R pour l’ordre initial et posons Nσ(n) = maxk≤n σ(k).

Par simple dénombrement, on constate que Nσ est croissante et vérifie ∀n, n ≤ Nσ(n). Comme

n∑k=0

|aσ(k)| ≤Nσ(n)∑l=0

|al| ≤M, ∀n.

Donc la série∑+∞k=0 aσ(k) est absolument convergente. Pour sa somme il faut calculer.

Si pour k ≥ 0, l’on a σ(k) > Nσ(n), l’indice σ(k) ne figure pas parmi les Nσ(n) premiers nombresnaturels. Ainsi, il est clair que Nσ(n) < I = l ∈ N / ∃k ≥ 0, l = σ(k); σ(k) > Nσ(n) = l ∈N / ∃k ≥ 0, l = σ(k) \ l ∈ N / l > Nσ(n), d’où, pour tout N > Nσ(n),∣∣∣∣∣∣

N∑k=0

aσ(k) −Nσ(n)∑l=0

al

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣N∑

s∈I,s=0

as

∣∣∣∣∣∣ ≤N∑

s∈I,s=0

|as| ≤N∑k=n

|aσ(k)|,

or cette dernière est majorée par ≤+∞∑k=n

|aσ(k)| → 0, n→ +∞, car c’est le reste d’une série

absolument convergente.Mais limn→+∞

∑Nσ(n)l=0 al existe, car

∑an est convergente, et cette limite est la somme ` de

notre série, ainsi pour ε > 0 donné, n assez grand pour que 0 ≤∑+∞k=n |aσ(k)| < ε/2, pour chaque

N > Nσ(n), on a ∣∣∣∣∣N∑k=0

aσ(k) − `

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣∣N∑k=0

aσ(k) −Nσ(n)∑l=0

al

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣Nσ(n)∑l=0

al − `

∣∣∣∣∣∣ ,


qui est plus petit que ε, dès que N est assez grand.La valeur de la somme de la série permutée est bien toujours la même.La réciproque est plus difficile, pour une réduction à l’absurde nous supposons que l’on a une

série commutativement convergente qui ne soit pas absolument convergente. L’absurde provien-dra de trouver une permutation particulière, pour laquelle la série permutée ne converge pas. Orconstruire une permutation de N est toujours difficile. Mais l’idée est simple ; nous construisons unepermutation de N telle que la suite de sommes partielles ne soit pas convergente. En étudiant, partieréelle et partie imaginaire, séparément on peut poursuivre le raisonnement avec une série réelle.

Pour la construction de la permutation, il est plus aisé de poursuivre un but, ainsi l’on démontreun joli résultat qui est un peu plus fort :

“Si une série réelle convergente n’est pas absolument convergente, pour chaque couple de nombresréels µ < λ il existe une permutation σ de sorte que lim infN

∑Nk=0 aσ(k) = µ et lim supN

∑Nk=0 aσ(k) =

λ.”Le procédé est le suivant, on additionne des termes positifs jusqu’à dépasser λ, ensuite on

enchaine en sommant des termes négatifs, jusqu’à passer en dessous de µ, et l’on recommence avecdes termes positifs pour passer au dessus de λ, et ainsi de suite.

Si l’on s’assure de toujours prendre les premiers indices qui n’ont pas été utilisés, on aura bienune permutation de N. Évidemment il y a un secret de construction qui est de savoir que lorsqueune série réelle est convergente mais non pas absolument convergente, alors, le terme général vavers zéro, mais tant la somme de ses termes positifs comme la somme de ses termes négatifs sontdivergentes, non oscillantes. C’est un joli exercice, abstrait, que de mettre ces arguments en forme.

2.3 Étude de la semi-convergence

2.3.1 Convergence simple par la règle d’Abel

Souvent on dira qu’une série est semi-convergente lorsqu’elle est convergente mais non absolu-ment convergente. On dira que l’on étudie la convergence simple, lorsque l’on étudie la convergencesans s’intéresser à la convergence absolue. Ce n’est absolument pas une forme nouvelle de conver-gence. Pour les séries de fonctions on verra que ce mot : ‘simple’ est réservé à une définitionparticulière, qui n’a rien à avoir avec le sens que l’on donne ici.

Lemme 2.3.1 (Transformation d’Abel) Soient (an)∞n=n0et (bn)∞n=n0

deux suites numériques.Posons Bn =

∑n−1k=n0

bk pour n > n0 et Bn0= 0. Alors pour tous p ≥ n0 et q ≥ p, on a :

q∑n=p

anbn =

q∑n=p

an(Bn+1 −Bn) =

q∑n=p

(an − an+1)Bn+1 − apBp + aq+1Bq+1.

C’est un calcul immédiat, qu’il faut faire soi-même. Le lire ici, ne servirait à rien.

Théorème 2.3.1 (Règle d’Abel) Soient (an)∞n=n0et (bn)∞n=n0

deux suites numériques qui véri-fient les trois conditions suivantes :

1. la suite (∑nk=n0

bk)∞n=n0est bornée,

2. la série∑+∞n=n0

|an − an+1| converge,3. limn→∞ an = 0.

2.3. ÉTUDE DE LA SEMI-CONVERGENCE 29

Alors la série∑+∞n=0 anbn converge.

Preuve. Utiliser le critère de Cauchy et la transformation d’Abel.Posons Bn =

∑n−1k=n0

bk pour n > n0 et Bn0 = 0. Posons M = supn≥n0|Bn|, Rn =

∑∞k=n |ak − ak+1|

pour tout n ≥ n0. Alors, par la transformation d’Abel, pour tous p ≥ n0 et q ≥ p on a :q∑

n=p

anbn =

q∑n=p

(an − an+1)Bn+1 − apBp + aq+1Bq+1,∣∣∣∣∣q∑

n=p

anbn

∣∣∣∣∣ ≤ RpM + |ap|M + |aq+1|M −→p→∞,q≥p

0.

Remarque 1 Clairement, la condition “∑∞n=n0

|an − an+1| converge” est entrainée par la condition“(an)∞n=n0

est monotone” (au vu de la troisième condition). Elle est souvent utilisée et bien plusfacile à vérifier.

2.3.2 Séries alternéesDéfinition 2.3.1 On appelle série alternée toute série de la forme

∑∞n=n0

(−1)nan ou de la forme∑∞n=n0

(−1)n+1an avec an ≥ 0 pour tout n ≥ n0.

Théorème 2.3.2 (Test de convergence pour les séries alternées) Soit (an)∞n=n0une suite

réelle monotone telle que limn→∞ an = 0. Alors la série alternée∑∞n=n0

(−1)nan converge, etpour tout n ≥ n0, ∣∣∣∣∣

∞∑k=n

(−1)kak

∣∣∣∣∣ ≤ |an| .Preuve. C’est facile d’appliquer la règle d’Abel. Mais dans ce cas, c’est plus simple de constater que notant(AN )N la suite associée des sommes partielles, le couple des suites ((A2N )N , (A2N+1)N ) est un couple desuites adjacentes. Ce qui assure la convergence.

Pour la très importante majoration des restes, quitte à manipuler le signe, on peut supposer que 0 ≤ anest une suite décroissante et que n0 est pair. Ainsi

A2N−1 ≤ A2N+1 ≤∞∑

k=n0

(−1)kak ≤ A2N+2 ≤ A2N .

Si n = 2N,∣∣∑∞

k=n(−1)kak∣∣ = |

∑∞k=n0

(−1)kak −An−1| ≤ |A2N −A2N−1| = |an|. Pour n = 2N + 1, c’estsimilaire.

On en déduit que la différence entre la somme d’une série alternée réelle et la valeur d’une sommepartielle (c’est-à-dire son reste) est majoré par par la valeur absolue du premier terme délaissé, quand lesvaleurs absolues de ses termes forment une suite monotone.

Souvent les Théorèmes de Taylor nous fournissent des séries alternées, pour certaines valeurs dela variable nous sommes en conditions d’appliquer ce critère. La majoration ci-dessus nous permettrade donner des valeurs approchées des fonctions transcendantes, avec un contrôle de l’erreur.


2.4 Produit de Cauchy de deux séries

2.4.1 Définition générale du produit de Cauchy

Définition 2.4.1 Soient∑∞n=0 an et

∑∞n=0 bn deux séries numériques (complexes). Alors le pro-

duit de Cauchy, ou la série produit, de ces deux séries est la série∑∞n=0 cn où pour tout n ≥ 0,

cn =∑nk=0 akbn−k.

C’est sans doute un drôle de produit. Il n’est pas lié aux termes de la série qui figure dans le Lemmed’Abel (dit, lui, produit de Hadamard).

On peut, pour ce produit, utiliser comme deuxième facteur, une série à valeurs, dans un espacevectoriel.

2.4.2 La somme du produit de Cauchy de deux séries absolument conver-gentes

Lemme 2.4.1 (Produit de séries positives convergentes) Soient∑∞n=0 an et

∑∞n=0 bn deux

séries positives convergentes. Alors leur produit de Cauchy∑∞n=0 cn converge (absolument) et

∞∑n=0

cn =

( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

).

Preuve. Posons

An =

n−1∑k=0

ak, Bn =

n−1∑n=0

bk, Cn =

n−1∑n=0

ck

pour tout n ≥ 1. Posons aussi

A =

∞∑n=0

an = limn→∞

An = supn∈N

An,

B =

∞∑n=0

bn = limn→∞

Bn = supn∈N

Bn.

Alors pour tout n ≥ 1,Cn ≤ AnBn ≤ C2n−1.

Donc la suite croissante (Cn)∞n=0 est majorée par AB. Soit C = limn→∞ Cn. Alors C ≤ AB ≤ C. DoncC = AB.

Théorème 2.4.1 (Produit de séries absolument convergentes) Soient∑∞n=0 an et

∑∞n=0 bn

deux séries absolument convergentes. Alors leur produit de Cauchy∑∞n=0 cn converge absolu-

ment et∞∑n=0

cn =

( ∞∑n=0

an

)( ∞∑n=0

bn

).

2.5. COMPLÉMENTS HORS PROGRAMME : SÉRIES DOUBLES, PRODUITS INFINIS 31

Preuve. Soit∑∞n=0 c

′n le produit de Cauchy de

∑∞n=0 |an| et

∑∞n=0 |bn|, c’est-à-dire c

′n =

∑nk=0 |akbn−k|

pour tout n ≥ 0. Cette série converge par le lemme précédent.Pour tout n ∈ N, |cn| ≤ c′n. En particulier, la série

∑∞n=0 cn converge absolument.

Posons

An =

n−1∑k=0

ak, Bn =

n−1∑n=0

bk, Cn =

n−1∑n=0

ck,

A′n =

n−1∑k=0

|ak| , B′n =

n−1∑n=0

|bk| , C′n =

n−1∑n=0

c′k

pour tout n ≥ 1. Posons aussi

A =

∞∑n=0

an = limn→∞

An, A′ =

∞∑n=0

|an| = limn→∞

A′n,

B =

∞∑n=0

bn = limn→∞

Bn, B′ =

∞∑n=0

|bn| = limn→∞

B′n,

C′ =

∞∑n=0

c′n = limn→∞

C′n.

Alors, par le lemme, C′ = A′B′.Pour tout n ≥ 1,

|AnBn − Cn| ≤ A′nB′n − C′n.

En passant à la limite n→∞, on trouve que C = AB.

2.5 Compléments hors programme : Séries doubles, produitsinfinis

Dans cette brève section, réservée aux étudiants les plus motivés, nous abordons deuxsujets. D’abord la somme des séries indexées avec deux entiers, et en général, indexées par autrechose que l’ensemble des entiers naturels. Puis le sens qu’il faut donner à un produit infini de nombrecomplexes. Nous nous contenterons de décrire les définitions et les toutes premières définitions, etce dans les cas absolument convergents.

Remarquons tout d’abord qu’une série∑an est absolument convergente si et seulement si, il

existe ` tel que pour tout ε > 0, il existe un ensemble fini Iε ⊂ N, tel que pour tout ensemble fini Jle contenant (Iε ⊂ J), ∣∣∣∣∣∑

n∈J|an| − `

∣∣∣∣∣ < ε.

Nous observons que l’ordre de sommation ne joue aucun rôle. Il faut insister dans le rôle desensembles finis, car sur eux seulement on sait indexer des opérations algébriques.

Définition 2.5.1 Une suite numérique double (an,m)n,m est la donnée d’une application N×N→K. La série double

∑an,m est la donnée de la suite double des ses termes, avec l’objet d’étudier sa

somme.


La série double est dite absolument convergente s’il existe une bijection N → N × N, k 7→ j(k)telle que la série

∑aj(k) est absolument convergente. La somme de la série double est la somme de

la série∑aj(k) :

+∞∑n=0,m=0

an,m =

+∞∑k=0

aj(k).

Cette définition semble présenter une difficulté majeur tant les bijections de N sur N × N sontnombreuses et difficiles à comprendre. Un premier lemme démontre que cette définition de conver-gence ne dépend pas du choix de bijection et donne une caractérisation plus simple.

Lemme 2.5.1 La série numérique double∑an,m est absolument convergente si et seulement si

il existe K ∈ R,

∀N, ∀M,

N∑n=0

M∑m=0

|an,m| ≤ K.

Quelque soit la bijection N → N × N, k 7→ T (k), la série∑aT (k) est absolument convergente. La

somme∑+∞k=0 aT (k) ne dépends pas du choix de la bijection.

Preuve. Supposons que∑an,m est absolument convergente et que, dans la définition, k 7→ j(k) est donnée

telle que la série∑aj(k) est absolument convergente. On peut prendre K =

∑+∞k=0 |aj(k)|. En effet, si N,M

sont donnés, I = [0, N ]× [0,M ] ∩ N× N étant fini, il existe L tel que I ⊂ j([0, L] ∩ N). Ainsi

N∑n=0

M∑m=0

|an,m| ≤L∑k=0

|aj(k)| ≤ K.

La réciproque n’est pas plus difficile. Pour chaque L ∈ N, il existe N = M tel que tous les j(k) soientdans le carré [0, N ]× [0, N ] pour k = 0, 1, . . . , L. Ainsi,

L∑k=0

|aj(k)| ≤N∑n=0

N∑m=0

|an,m| ≤ K

pour le K donné en hypothèse.La deuxième affirmation découle de la convergence commutative des séries absolument convergentes,

Théorème 2.2.5. En effet, se donner une bijection N → N × N, k 7→ T (k) consiste à modifier une bijectiondonnée : N → N × N, k 7→ j(k) à l’aide d’une permutation σ de N. En effet σ = j−1 T, et T = j σ. Deplus

∑+∞k=0 aT (k) apparait alors comme la sommation de la série

∑+∞k=0 aj(k) à l’aide de la permutation de

N, σ. Ces diverses sommes d’une série absolument convergence donnent le même résultat.

De manière similaire, on admettra que l’on peut montrer que les restes d’une série doubleabsolument convergente sont aussi petits que l’on veut, dans le sens précis suivant :

Pour chaque ε > 0 donné, il existe N ′,M ′ tels que

∀N ≥ N ′,∀M ≥M ′,

∣∣∣∣∣+∞∑

n=0,m=0

an,m −N∑n=0

M∑m=0

an,m

∣∣∣∣∣ < ε.

Exemple 2.5.2 Nous avons+∞∑

n=0,m=0

1

2n3m=

+∞∑l=0

l∑p=0

1

2l3l−p.


L’application (0, 0) 7→ 0, (0, 1) 7→ 1, (1, 0) 7→ 2, (0, 2) 7→ 3, (1, 1) 7→ 4, (2, 0) 7→ 5, . . . en descendantles diagonales, définit une bijection. L’inverse nous permet de sommer notre série

∑1

2n3m avec laformule du deuxième membre.

Il reste à justifier la convergence absolue, pour donner un sens aux nombres, le Lemme précédentdémontrant l’égalité. Or

∑Mm=0

12n3m = 1

2n3(1−(1/3)M+1)

2 ≤ 12n

32 , ainsi

∑Nn=0

∑Mm=0

12n3m ≤ 3.

Théorème 2.5.3 (Fubini des séries doubles) Soit∑an,m une série double absolument conver-

gente. Alors, pour chaque n fixé la série∑an,m est convergente. De même pour chaque m fixé, la

série∑an,m est convergente.

De plus on a+∞∑

n=0,m=0

an,m =

+∞∑n=0

+∞∑m=0

an,m

=

+∞∑m=0

+∞∑n=0

an,m

.

On peut le voir comme un Théorème d’intervertissement de limites,

limN→+∞

limM→+∞

N∑n=0

M∑m=0

an,m = limM→+∞

limN→+∞

N∑n=0

M∑m=0

an,m.

et le jeu pour le prouver, est de passer par le concept de ‘limite double’.

Preuve. La majoration menée dans l’exemple nous inspire, soit donné K, comme dans le Lemme, majoranttoute somme des modules des termes pris dans un rectangle d’indices. Soit n fixé, indice d’une ligne (enpensant aux termes d’une série double comme aux éléments d’une matrice doublement infinie) nous avons

∀N,N∑m=0

|an,m| ≤M∑k=0

M∑m=0

|ak,m| ≤ K, pour M = max(n,N).

Ce qui prouve que les termes d’une même ligne, sont les termes d’une série absolument convergente. Unraisonnement similaire montre qu’il en va de même pour les colonnes.

Notons ln =

+∞∑m=0

an,m, cm =

+∞∑n=0

an,m, les sommes dont nous venons de justifier l’existence, puis

notons Ln =

+∞∑m=0

|an,m|, et Cm =∑+∞n=0 |an,m|, or |ln| ≤ Ln, |cm| ≤ Cm. Notons V la somme totale,

premier membre de l’identité de Fubini à établir.Dans la majoration

∣∣∣∑Nn=0

∑Mm=0 an,m

∣∣∣ ≤∑Nn=0

∣∣∣∑Mm=0 an,m

∣∣∣ ≤∑Nn=0

∑Mm=0 |an,m| ≤ K nous pouvons

passer à la limite en M,

limM→+∞

∣∣∣∣∣N∑n=0

M∑m=0

an,m

∣∣∣∣∣ ≤N∑n=0

∣∣∣∣∣ limM→+∞

M∑m=0

an,m

∣∣∣∣∣ =

N∑n=0

|ln| ≤ K,

Ce qui prouve que∑ln est absolument convergente. De manière similaire, l’on a que

∑cm est aussi

absolument convergente. Chacun des membres de l’identité de Fubini est ainsi bien défini.Pour prouver les égalités à V , commençons pour prendre ε > 0, considérons N ′,M ′ tels que |V −∑N

n=0

∑Mm=0 an,m| <

ε2, dès que N,M dépassent N ′,M ′ respectivement.

Prenons un N ≥ N ′ quelconque. Puisque, chacune des séries ln est absolument convergente, nous avonsaussi des estimations de restes, il existe pour chaque n = 0, 1, . . . , N un Mn tel que si S ≥Mn,

|ln −S∑

m=0

an,m| <ε

2N.


Ainsi, en considérant M∗ = maxMn / n = 0, 1, . . . , N,M ′,

∀M ≥M∗, n = 0, 1, . . . , N =⇒ |ln −M∑m=0

an,m| <ε

2N, et

∣∣∣∣∣N∑n=0

ln −N∑n=0

M∑m=0

an,m

∣∣∣∣∣ < ε

2,

Ainsi, pour chaque ε > 0, il existe N ′,M∗ tels que ∀N ≥ N ′,M ≥M∗,∣∣∣∣∣V −N∑n=0

ln

∣∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣∣V −

N∑n=0

M∑m=0

an,m

∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣N∑n=0

ln −N∑n=0

M∑m=0

an,m

∣∣∣∣∣ < ε.

Ceci prouve la première égalité de Fubini, la deuxième est similaire.

La théorie des séries doubles semi-convergentes est difficile, on n’en dira mot.On mentionne la notion de convergence absolue pour les séries indicées sur Z, qui a son impor-

tance.

Définition 2.5.2 Une série numérique∑n∈Z an est la donnée d’une application Z→ K : n→ an

dont on se propose de considérer la somme.La série est dite avoir une somme principale, si la série numérique

∑+∞n=0a−n+an est conver-

gente auquel cas sa somme est dite la valeur principale de la somme de la série indicée sur Z.Une série numérique indicée sur Z est dite sommable s’il existe ` ∈ K, tel que pour chaque ε > 0

il existe une partie finie Iε de Z, telle que∣∣∣∣∣∑n∈Iε

an − `

∣∣∣∣∣ < ε.

auquel cas le nombre ` est noté ` =∑+∞n=−∞ an.

Le terme sommable correspond en général à de la convergence commutative. On signale en exercice,la proposition

Proposition 2.5.1 Une série numérique indicée par Z est absolument convergente si et seulementsi, il existe K, tel que Pour tout N ∈ N,

∑Nn=−N |an| ≤ K.

Dans ces cas, la série∑a−n+an est convergente et sa somme est la somme de la série indicée

sur Z.De plus les deux séries

∑n≥0 an et

∑n≥0 a−n sont absolument convergentes et

+∞∑n=−∞

an =

+∞∑n=0

an +

+∞∑n=1

a−n.

Il faut prendre garde de ne pas compter deux fois, le terme a0.En guise de complément on peut mentionner que si l’on se donne une application Λ→ K : λ 7→ aλ

on peut la penser comme une sorte de suite très très généralisée, et tenter de concevoir la sommede tous ses termes. On dira d’une telle suite, que c’est une famille de nombres.

On est réduit à donner le définition suivante : La famille∑aλ est sommable, s’il existe ` ∈ K

tel que pour chaque ε > 0 il existe un ensemble fini Iε ⊂ Λ tel que∣∣∣∣∣∑λ∈Iε

aλ − `

∣∣∣∣∣ < ε.


Bien évidement le nombre ` sera dit la somme de cette expression, et l’on posera∑λ∈Λ

aλ = `.

Un lemme simple nous renseigne beaucoup.

Lemme 2.5.4 Soit (aλ)λ∈Λ une famille de nombre réels positifs ou nuls. Si la famille est sommable,alors seulement un nombre au plus infini dénombrable de ses membres est non nul.

On est ramenés aux séries absolument convergentes ! Il est clair que 0 ≤ ` = sup∑λ∈A aλ / A est fini et A ⊂

Λ.

Preuve. Supposons la famille sommable, et écrivons ` =∑λ∈Λ

aλ pour sa somme. Notons pour ε > 0, Jε =

λ ∈ Λ / aλ > ε, et J = λ ∈ Λ / aλ > 0. Si I est un ensemble à n éléments contenu dans Jε, Puisque

nε ≤∑λ∈I

aλ ≤ `,

n ≤ `/ε, et Jε ne peut avoir plus de `/ε éléments, en particulier, c’est un ensemble fini. Or J =

+∞⋃m=1

I 1m, est

réunion dénombrable de finis, il est dénombrable comme il fallait démontrer.

Enfin, mentionnons la notion de produit infini. Car si bien, donnée une suite numérique, en fairela somme de tous ses termes, est une opération naturelle. Cala nous a conduit à tout un chapitre deconsidérations. Faire le produit de tous ses termes, est tout aussi naturel. Et tout un autre chapitrepourrait être écrit à ce sujet.

La définition suivante est naturelle.

Définition 2.5.3 Soit donnée une suite numérique (an)n, an ∈ K. On dira que le produit infiniconverge et que P ∈ K est le produit infini de cette suite, si P 6= 0 et pour chaque ε > 0 donné, ilexiste N, tel que ∣∣∣∣∣

N∏n=0

an − P

∣∣∣∣∣ < ε.

Dans le cas contraire, on dira que le produit infini diverge.En cas de convergence on pose

∏+∞n=0 an = P.

La suite (PN )N , PN =∏Nn=0 an est dite suite associé des produits partiels.

Une condition nécessaire de convergence, facile est que an → 1.Par exemple, certes trivial, la suite constante (an)n, an = q ∈ K nous donne la suite associé des

produits partiels est PN = qN , ainsi le produit infini vaut 0 il diverge toujours sauf si q = 1.Une première remarque est : en écrivant an = ρne

θn√−1, on constate

N∏n=0

an =

N∏n=0

ρn

· ei

∑Nn=0 θn , N ≥ 0.

Visiblement, la convergence (à congruence modulo 2π) de la série des arguments, relève de lathéorie des séries. Par contre, les modules nous redonnent un produit de facteurs positifs. Étu-dions les produits infinis des suites réelles positives. Puisque dans ces produits, le moindre termenul, annule tous les produits partiels ultérieurs, on ne regardera que des suites réelles strictementpositives.


Théorème 2.5.5 Soit (an)n une suite de nombres réels strictement positifs. Écrivons bn = log(an)pour le logarithme népérien.

Le produit infini est convergent si et seulement si la série∑bn est convergente et

+∞∏n=0

an = e∑+∞n=0 bn

Trivialité manifeste à partir de la continuité du logarithme, l’exponentielle et de

log

(N∏n=0

an

)=

N∑n=0

log(an).

En fait, puisque log(1+x) ∼ x, la condition∑an−1 convergente, est équivalente à la condition

du théorème.Avec une bonne définition du logarithme pour les nombres complexes, la même condition peut-

être démontrée.On n’en dira pas plus.

2.6 Exercices

Exercice 2.1 Soient∑an et

∑bn deux séries à termes dans R∗+ vérifiant : ∃n0 ∈ N tel que pour

tout n ≥ n0 on a an+1

an≤ bn+1

bn. Montrer que :

1.∑bn converge =⇒

∑an converge.

2.∑an diverge =⇒

∑bn diverge.

Exercice 2.2 Étudier la nature de la série de Riemann

∞∑n=1

1

nα, α ∈ R,

puis de la série de Bertrand∞∑n=2

1

nα(ln(n))β, α, β ∈ R.

Exercice 2.3 Calculer la somme des séries

∞∑n=1

1

qn, q ∈ R∗+,

∞∑n=1

1

n(n+ 1).

Exercice 2.4 Étudier la nature (type de convergence ou de divergence) des séries numériques sui-vantes

∞∑n=1

an

nα,

∞∑n=1

1

n!,

∞∑n=1

an

n!,

∞∑n=1

1

nn,

∞∑n=1

n!

nn,

∞∑n=1

nn

(2n)!.

2.6. EXERCICES 37

Exercice 2.5 Montrer que la série de terme général

un =1

n+ ln(n)− ln(n+ 1)

converge. En déduire que la limite (appelée constante d’Euler)

limn→∞

(1 +1

2+ · · ·+ 1

n− ln(n))

existe.

Exercice 2.6 Étudier la nature des séries suivantes :1.∑∞n=1[n ln (1 + 1/n)− 2n/(2n+ 1)],

2.∑∞n=1

1n(lnn!) (indication : montrer que lnn! ∼ n lnn),

3.∑∞n=1

n!c

(2n)! , c > 0,

4.∑∞n=1(n sin 1/n)n

α

(indication : utiliser le fait que limn→∞

(n sin 1/n)n2

= e−16 ).

Exercice 2.7 Nature des séries de terme général un, n ≥ 1 :

un =(−1)n

n2 + (−1)n, un =

1 + (−1)n√n

n, un = (−1)n

√n ln

n+ 1

n− 1.

Exercice 2.8 Nature des séries de terme général un, n ≥ 1 :

un = ln

(1 +

(−1)n

n

), un = sin

(−1)n

n.

Exercice 2.9 Montrer que les séries de termes généraux (équivalentes !)

un =(−1)n√

n, vn =

(−1)n√n+ (−1)n

, n ≥ 1

ne sont pas de même nature.

Exercice 2.10 Montrer que le produit infini

∞∏n=0

cosx

2n

converge et calculer sa limite.

Exercice 2.11 Soit (an)n∈N une suite dans R+. Montrer que le produit infini∏∞n=0(1 + an)

converge si et seulement si la série∑∞n=0 an converge.

Chapitre 3

Intégrales généralisées

3.1 Rappels sur l’intégration usuelleSoit [a, b] un intervalle de R, −∞ < a < b < ∞. Une subdivision de [a, b] est une famille finie

(ai)0≤i≤n telle que a = a0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ an = b. Notons S[a, b] l’ensemble de toutes les subdivisionsde [a, b].

Soit f : [a, b]→ R, −∞ < a < b <∞. Pour chaque subdivision σ = (ai)0≤i≤n de [a, b], notons

Iσ(f) =

n∑i=1

[(ai − ai−1) inf

x∈[ai−1,ai]f(x)

]et

Jσ(f) =

n∑i=1

[(ai − ai−1) sup

x∈[ai−1,ai]

f(x)

].

Lemme 3.1.1 Si σ = (ai)0≤i≤n et τ = (bj)0≤j≤m sont deux subdivisions quelconques de [a, b], ona toujours Iσ(f) ≤ Jτ (f). Donc

supσ∈S[a,b]

Iσ(f) ≤ infσ∈S[a,b]

Jσ(f).

Définition 3.1.1 Une fonction f : [a, b]→ R est dite intégrable (au sens de Riemann) si

supσ∈S[a,b]

Iσ(f) = infσ∈S[a,b]

Jσ(f).

Dans ce cas on définit son intégrale (de Riemann, définie) sur [a, b] par∫ b

a

f(x) dxdéf= sup

σ∈S[a,b]

Iσ(f) = infσ∈S[a,b]

Jσ(f).

Propriétés de l’intégrale définie :

1. linéarité :∫ ba

(αf(x) + βg(x)) dx = α∫ baf(x) dx+ β

∫ bag(x) dx ;

39

40 CHAPITRE 3. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

2.∫ abf(x) dx = −

∫ baf(x) dx,

∫ aaf(x) dx = 0 ;

3. si f est intégrable sur [a, b] et sur [b, c], a < b < c, alors f est intégrable sur [a, c], et∫ caf(x) dx =

∫ baf(x) dx+

∫ cbf(x) dx ;

4. si f et g sont intégrables, alors fg est intégrable ;5. si f est intégrable et |f | ≥ c > 0, alors 1/f est intégrable.

Définition 3.1.2 (Continuité par morceaux) Une fonction f est continue par morceaux surun intervalle borné I si et seulement si f n’a qu’un nombre fini de points de discontinuité sur I etpossède les limites à droite et à gauche en ces points.

Théorème 3.1.1 (Les fonctions continues par morceaux sont intégrables) Toute fonctioncontinue par morceaux sur un intervalle borné est intégrable sur cet intervalle.

Théorème 3.1.2 (Premier théorème fondamental de l’analyse) Si f est continue sur unintervalle I, et a ∈ I, alors la fonction x 7→

∫ xaf(t) dt est une primitive de f sur I.

Théorème 3.1.3 (Second théorème fondamental de l’analyse) Si f est intégrable sur unintervalle [a, b] et admet une primitive F sur [a, b], alors∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Ce Théorème, dit ’Règle de Barrow’ dans la littérature anglo-saxonne, est le Théorème de Stokesle plus élémentaire. Il s’étend, moyennant des définitions appropriées, à plusieurs variables sous laforme de Théorème de Green-Riemann, ou formule de Gauss-Ostrogradsky. En une seule variable,par l’exercice de primitivation, il permet le calcul de certaines intégrales définies.

Théorème 3.1.4 (Changement de variable) Soient I et J deux intervalles de R, φ : I → June application continûment dérivable et f : J → R une application continue. Alors, quels quesoient α, β ∈ I, on a : ∫ β

α

f(φ(x))φ′(x) dx =

∫ φ(β)

φ(α)

f(y) dy.

Preuve. Si F ′ = f , alorsd

dx

(F (φ(x))

)= f(φ(x)) · φ′(x).

Théorème 3.1.5 (Intégration par parties) Soient I un intervalle de R, et u et v deux fonc-tions I → R continûment dérivables sur I. Alors, quels que soient a, b ∈ I, on a :∫ b

a

u(t)v′(t) dt = u(b)v(b)− u(a)v(a)−∫ b

a

u′(t)v(t) dt.

Preuve.d

dx

(u(x)v(x)

)= u′(x)v(x) + u(x)v′(x).

3.2. DÉFINITION ET CONVERGENCE D’INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 41

3.2 Définition et convergence d’intégrales généralisées

3.2.1 Définitions de baseDéfinition 3.2.1 (Fonctions localement intégrables) Une fonction f à valeurs réelles est lo-calement intégrable sur un ensemble E ⊂ R si et seulement si pour tous a, b tels que [a, b] ⊂ E, fest intégrable sur [a, b].

Définition 3.2.2 Soit f une fonction à valeurs réelles localement intégrable sur un intervalle ]a, b[,où −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Soit x0 ∈]a, b[, et définissons la fonction F : ]a, b[→ R par

F (x) =

∫ x

x0

f(t) dt.

On dit que l’intégrale généralisée∫ baf(t) dt converge en a si et seulement si limx→a+ F (x) existe et

est finie, que∫ baf(t) dt converge en b si et seulement si limx→b− F (x) existe et est finie. Si l’intégrale

converge en a et en b, alors on définit sa valeur par∫ b

a

f(t) dt = limx→b−

F (x)− limx→a+

F (x).

Si une intégrale ne converge pas, on dit qu’elle diverge.

Définition 3.2.3 Une intégrale généralisé∫ baf(t) dt d’une fonction f à valeurs complexes converge

si et seulement si les intégrales∫ baRe(f(t)) dt et

∫ baIm(f(t)) dt convergent toutes les deux, et dans

ce cas la valeur est définie par∫ b

a

f(t) dt =

∫ b

a

Re(f(t)) dt+ i

∫ b

a

Im(f(t)) dt.

Toute fonction a priori sera à valeur complexe.

Théorème 3.2.1 (Intégrales usuelles comme généralisées) Si f est intégrable sur [a, b], alorselle est localement intégrable sur ]a, b[, et l’intégrale généralisée

∫ baf(x) dx converge et a la même

valeur que l’intégrale usuelle∫ baf(x) dx.

Théorème 3.2.2 Si −∞ < a < b < c ≤ ∞ et f est localement intégrable sur [a, c[, alors l’intégralegénéralisée

∫ caf(x) dx est de la même nature que l’intégrale

∫ cbf(x) dx, et si elles convergent, alors∫ c

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ c

b

f(x) dx.

3.2.2 Critère de CauchyThéorème 3.2.3 (Critère de Cauchy) Soit f : [a, b[→ R une fonction localement intégrable sur[a, b[. Alors l’intégrale généralisée

∫ baf(t) dt converge si et seulement si f vérifie la condition sui-

vante, dite critère de Cauchy :

∀ε > 0 ∃c ∈ [a, b[ tel que ∀x1, x2 ∈ [c, b[ on a∣∣∣∣∫ x2

x1

f(t) dt

∣∣∣∣ ≤ ε.


3.2.3 Convergence absolue

Définition 3.2.4 Une intégrale généralisée∫ baf(x) dx est dite absolument convergente si et seule-

ment si l’intégrale∫ ba|f(x)| dx converge.

Théorème 3.2.4 (Convergence absolue implique convergence) Si f est localement intégrablesur [a, b[ et l’intégrale généralisée

∫ baf(x) dx converge absolument, alors cette intégrale converge.

Théorème 3.2.5 (Intégrales généralisées de fonctions bornées) Si f est une fonction loca-lement intégrable et bornée sur un intervalle borné [a, b[, alors l’intégrale généralisée

∫ baf(x) dx

converge absolument.

3.2.4 Intégrales généralisées de fonctions positivesThéorème 3.2.6 (Intégrales généralisées de fonctions positives) Si f est une fonction lo-calement intégrable et positive sur ]a, b[, alors l’intégrale généralisée

∫ baf(x) dx converge si et

seulement si l’ensemble ∫ dcf(x) dx | c, d ∈]a, b[ est majoré, et dans ce cas∫ b

a

f(x) dx = supc,d∈]a,b[

∫ d

c

f(x) dx.

3.3 Étude de la convergence et calcul

3.3.1 Changement de variableThéorème 3.3.1 (Changement de variable) Soient φ : ]α, β[→ I une application continûmentdérivable et f : I → R une application continue. Posons

φ(α+)déf= lim

x→α+φ(x) et φ(β−)

déf= lim

x→β−φ(x).

Alors l’intégrale∫ φ(β−)

φ(α+)f(x) dx converge si et seulement si

∫ βαf(φ(t))φ′(t) dt converge. Si les inté-

grales convergent, alors leurs valeurs sont égales :∫ β

α

f(φ(t))φ′(t) dt =

∫ φ(β−)

φ(α+)

f(x) dx.

Preuve. Utiliser un changement de variable dans les intégrales usuelles et passer à la limite.

3.3.2 Intégration par partiesThéorème 3.3.2 (Intégration par parties) Soient u, v : ]a, b[→ R deux applications continû-ment dérivables (a < b). Supposons que limx→a+ u(x)v(x) et limx→b− u(x)v(x) existent et sontfinies. Posons

[u(x)v(x)]b−

a+déf= lim

x→b−u(x)v(x)− lim

x→a+u(x)v(x).

3.3. ÉTUDE DE LA CONVERGENCE ET CALCUL 43

Alors l’intégrale∫ bau(x)v′(x) dx converge si et seulement si

∫ bau′(x)v(x) dx converge, et si elles

convergent, alors ∫ b

a

u(x)v′(x) dx+

∫ b

a

u′(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]b−

a+ .

Preuve. Utiliser l’intégration par parties dans les intégrales usuelles et passer à la limite.

3.3.3 Convergence absolue par comparaisonThéorème 3.3.3 (Comparaison par majoration) Si f et g sont localement intégrables sur[a, b[, si pour tout x ∈ [a, b[, 0 ≤ f(x) ≤ g(x), et si

∫ bag(x) dx converge, alors

∫ baf(x) dx converge.

Définition 3.3.1 (Notation de Landau) Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b[.1. On dit que f(x) ∈ O(g(x)) (ou f(x) = O(g(x))) quand x→ b− si

∃M > 0 ∃c ∈ [a, b[ tels que ∀x ∈ [c, b[ |f(x)| ≤M |g(x)| .

2. On dit que f(x) ∈ o(g(x)) (ou f(x) = o(g(x))) quand x→ b− si

∀ε > 0 ∃c ∈ [a, b[ tel que ∀x ∈ [c, b[ |f(x)| ≤ ε |g(x)| .

3. On dit que f(x) ∼ g(x) quand x→ b− si

|f(x)− g(x)| = o(f(x)) quand x→ b−.

Définition équivalente :

Définition 3.3.2 (Notation de Landau) Soient f et g deux fonctions définies sur [a, b[.1. On dit que f(x) = O(g(x)) quand x → b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au

voisinage de b et q est bornée au voisinage de b.2. On dit que f(x) = o(g(x)) quand x → b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au

voisinage de b et limx→b− q(x) = 0.3. On dit que f(x) ∼ g(x) quand x→ b− si il existe q : [a, b[→ R telle que f = qg au voisinage

de b et limx→b− q(x) = 1.

Pour démontrer l’équivalence, on pose

q(x) =

f(x)/g(x) si g(x) 6= 0,

0 si g(x) = 0

dans (1) et (2), et

q(x) =

f(x)/g(x) si g(x) 6= 0,

1 si g(x) = 0

dans (3).Si f(x) ∼ g(x) quand x → b−, alors au voisinage de b à gauche on a 0 ≤ |g(x)| ≤ 2 |f(x)|

et 0 ≤ |f(x)| ≤ 2 |g(x)|, et donc f(x) = O(g(x)) et g(x) = O(f(x)) quand x → b−. On a aussif(x) = g(x) + o(g(x)) et g(x) = f(x) + o(f(x)).


Corollaire 3.3.1 (Comparaison par O) Si f et g sont localement intégrables sur [a, b[, si f(x) =

O(g(x)) quand x→ b−, et si∫ bag(x) dx converge absolument, alors

∫ baf(x) dx converge absolu-

ment.

Corollaire 3.3.2 (Comparaison par équivalence) Si f et g sont localement intégrables sur[a, b[ et positives au voisinage de b, et que f(x) ∼ g(x) quand x → b−, alors

∫ baf(x) dx et∫ b

ag(x) dx sont de même nature.

3.3.4 Quelques intégrales de référence

∫ ∞1

dx

xαconverge (en ∞) si et seulement si α > 1.

∫ 1

0

dx

xαconverge (en 0) si et seulement si α < 1.

∫ ∞0

ax dx converge (en ∞) si 0 ≤ a < 1 et diverge si a ≥ 1.

∫ 1

0

lnx dx = 1.

3.3.5 Convergence simple par la règle d’Abel

Théorème 3.3.4 (Règle d’Abel) Soient f : [a, b[→ R et g : [a, b[→ C localement intégrables sur[a, b[. Supposons que :

1. ∃M > 0 tel que ∀u ∈ [a, b[,∣∣∫ uag(x) dx

∣∣ ≤M ,

2. f est monotone, et

3. f(x) −→x→b−

0.

Alors∫ baf(x)g(x) dx converge.

Preuve. Sans perte de généralité, supposons que f est positive et décroissante.Soient u, v ∈ [a, b[, u < v, ε > 0. Choisissons une fonction en escalier φ : [u, v] → R positive et décrois-

sante telle que :

1. φ(u) = f(u),

2. sup[u,v]

|f − φ| ≤ ε

(sup[u,v] |g|) |v − u|.

Alors∣∣∫ vuf(x)g(x) dx−

∫ vuφ(x)g(x) dx

∣∣ ≤ ε.Soient (ak)0≤k≤n, (bk)1≤k≤n, (dk)1≤k≤n tels que :

1. u = a0 < · · · < an = v,

2. φ(x) = bk pour tout x ∈ [ak−1, ak], 1 ≤ k ≤ n,3. dk = bk − bk+1, bk = dk + · · ·+ dn pour 1 ≤ k ≤ n (si bn+1 = 0).

3.4. EXERCICES 45

Alors∫ v

u

φ(x)g(x) dx =∑

1≤k≤n

∫ ak

ak−1

φ(x)g(x) dx =∑

1≤k≤n

bk

∫ ak

ak−1

g(x) dx

=∑

1≤k≤n

bk(G(ak)−G(ak−1)) =

∑1≤k≤n

dkG(ak)

− b1G(a0)

=∑

1≤k≤n

dk(G(ak)−G(a0)).

Donc ∣∣∣∣∫ v

u

φ(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ ∑1≤k≤n

2dkM = 2b1M = 2f(u)M.

Alors pour tout ε > 0, ∣∣∣∣∫ v

u

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ 2f(u)M + ε.

D’où∣∣∣∣∫ v

u

f(x)g(x) dx

∣∣∣∣ ≤ 2f(u)M . Ce qui implique

∫ v

u

f(x)g(x) dx −→v>u→b−

0, car limu→b−

f(u) = 0.

Ainsi∫ baf(x)g(x) dx converge par le Critère de Cauchy.

3.4 Exercices

Exercice 3.1 Monter la divergence de :∫ ∞0

sinx dx,

∫ ∞0

sin2 x

xdx,

∫ 1

0

sinx

x2dx,∫ 1

0

dx

1− x1/2,

∫ ∞2

dx

x lnx.

Exercice 3.2 Convergence absolue :∫ ∞1

sinx

x2dx,

∫ 1

0

sin(1/t) dt,

∫ ∞0

2−xx4dx,∫ 1

0

dx

arccosx,

∫ ∞2

dx

x(lnx)2.

Exercice 3.3 Convergence simple (semi-convergence) :∫ ∞0

sin(x2) dx,

∫ ∞1

cosx

xdx.


Exercice 3.4 Étudier la convergence (α ∈ R)∫ ∞0

t ln t

(1 + t2)αdt,

∫ 1

0

dx

(tanx− x)α,

∫ 1

0

xα − 1

lnxdx,

∫ ∞0

cos(tα) dt.

Exercice 3.5 Montrer la convergence et calculer∫ +∞

−∞

dt

t2 + 2t+ 2,

∫ ∞0

dt

1 + t4,

∫ ∞0

t2 dt

1 + t4,

∫ π/2

0

√tan t dt.

Exercice 3.6 Montrer la convergence et calculer∫ ∞2

dx

x2 − 1,

∫ ∞0

dx

(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3),

∫ 5

4

dt√(t− 4)(5− t)

.

Exercice 3.7 Montrer la convergence et calculer∫ ∞0

ln t

1 + t2dt,

∫ 1

0

ln t√1− t

dt,

∫ ∞−∞

dx

(a+ x2)(b+ x2)(a, b > 0).

Exercice 3.8 Montrer que les intégrales suivantes convergent et les calculer par récurrence :

In =

∫ ∞0

tne−t dt, Jn =

∫ ∞0

dt

(1 + t2)n+1.

mathématiques du premier semestre, deuxième année licence

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