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Mathématiques 5 - Sciences Naturelles

Enseignant – John Pham

Cahier de notes : Lieux Géométriques et Coniques

Collège Régina Assumpta

Année scolaire 2013-2014

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Table des Matières

1. Les Lieux Géométriques .....................................................................................................................3

2. Les Coniques ......................................................................................................................................5

3. Le Cercle .............................................................................................................................................8

3.1 Cercle centré à l'origine ................................................................................................................9

3.2 Cercle centré en (h,k) ................................................................................................................ 11

3.3 Droite tangente au cercle .......................................................................................................... 14

3.4 Le cercle et les inéquations ....................................................................................................... 17

3.5 Exercices .................................................................................................................................... 19

4. L’Ellipse ............................................................................................................................................ 24

4.1 Vocabulaire ................................................................................................................................ 25

4.2 Propriétés .................................................................................................................................. 26

4.3 L’ellipse centrée à l’origine ........................................................................................................ 27

4.4 Trouver l'équation de l'ellipse ................................................................................................... 28

4.5 Les inéquations .......................................................................................................................... 30

4.6 Exercices .................................................................................................................................... 31

5. La Parabole ...................................................................................................................................... 36

5.1 Vocabulaire ................................................................................................................................ 37

5.2 Paraboles dont le sommet est à l’origine .................................................................................. 38

5.3 Paraboles dont le sommet est en (h,k) ..................................................................................... 40

5.4 Inéquations ................................................................................................................................ 42

5.4 Exercices .................................................................................................................................... 43

6. L’Hyperbole ..................................................................................................................................... 50

6.1 Vocabulaire ................................................................................................................................ 51

6.2 Hyperbole centrée à l’origine .................................................................................................... 52

6.3 Hyperbole centrée en (h,k) ........................................................................................................ 54

6.4 Inéquations ................................................................................................................................ 55

6.5 Exercices .................................................................................................................................... 56

7. Résumé ............................................................................................................................................ 60

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1. Les Lieux Géométriques

Définition: Ensemble de points ayant une propriété métrique

commune, c’est-à-dire une propriété qui concerne les

concepts de mesures et de distance.

Exemple 1: Une médiatrice est un lieu géométrique où l’ensemble des

points est à égale distance entre 2 points. Si nous prenons un

point P sur la médiatrice, il sera alors à égale distance des

points A et B. Ainsi, d(P,A) = d(P,B). Ce lieu géométrique est

lié au concept de distance.

Exemple 2: Un cercle est un lieu géométrique, car l’ensemble des points

sur le cercle est à une même distance d’un point fixe, le centre.

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EXERCICES

1- Nomme deux points qui sont à égale distance des points (5,1) et (-

3,-6).

2- Trouve l’équation du lieu d’un point qui est à égale distance des

deux points (2,7) et (8,3)

3- Nomme 5 points qui sont à exactement 4 unités de l’origine.

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2. Les Coniques

Définition : Dans le sens des coniques, le lieu

géométrique s'agit d'une forme créée par la

coupe d'un plan avec deux cônes

superposés (un cône de révolution).

Équation générale : Ax²+By²+ Cxy+Dx+Ey+F=0 (pas pour ce cours)

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0

Équation canonique : Forme d’équation qui est plus pratique pour

l’analyse de la conique. Elle est différente pour chaque conique.

Exemple 1 : Trouve la forme générale de la droite d’équation y= 3x+ 2.

y= 3x+2 3x –y + 2 =0

Exemple 1 : Trouve la forme générale de l’équation

y= (x-3)(x+5)

- -

On désigne 4 types de courbes que l’on appelle sections coniques :

Cercle : le plan est parallèle à la base du cône

Ellipse : le plan ne coupe qu’un seul des deux cônes

et ne passe pas par la base de cône.

Parabole : le plan ne coupe qu’un seul des deux

cônes et passe par la base de ce cône

Hyperbole : le plan coupe les deux cônes.

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EXERCICES

1- Écris sous la forme générale l’équation ayant comme paramètre :

A= 2, B=4, C= 10, D= 0 et E = -5

2- Trouve l’équation générale d’une droite passant par les points

(-1,10) et (3,6)

3- Écris ces équations sous sa forme générale.

a. (x+3)2 + y2 = 625

b. (x-1)(x+1)+y(y+3) = -15

c. (x-5)2 + y - 3 = 21

4- Quelle conique a un plan qui coupe deux cônes?

_____________________

5- Vrai ou faux

a. Un cercle est toujours une ellipse ____________

b. Une ellipse est toujours un cercle ____________

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3. Le Cercle

Définition : Lieu géométrique des points équidistants d'un point fixe appelé

centre. Du point de vue des coniques, il est obtenu par

l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est

parallèle à la base du cône.

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3.1 Cercle centré à l'origine

L'équation canonique d'un cercle centré à l'origine, de rayon r est :

x2 +y2 =r 2

L'équation générale d'un cercle centré à l'origine, de rayon r est :

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0

Où A = B et C=D=0

Exemple 1 : Trouve l’équation du cercle centré à l’origine et passant par le

point (4,0)

Rayon : r=4

Équation : x2 +y2 = 4 2

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Exemple 2 : Trouve l’équation générale du cercle centré à l’origine et

ayant un diamètre de 10 unités.

Exemple 3 : Trouve l’équation de ce cercle :

- -

3.2 Cercle centré en (h,k)

Si on effectue une translation selon les paramètres h et k sur le cercle

centré à l’origine, sa nouvelle équation canonique sera :

(x − h)2 + (y – k)2 =r2

Pour son équation générale:

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0

Où A=B

Exemple 1 : Un cercle dont l'équation canonique est de

(x - 3)² + (y + 2)² = 9 est un cercle dont le centre se trouve

au point (3, -2) et le rayon de ce cercle est 3. Remarque que le

cercle passe aussi par les points

(0,-2), (3,1), (6,-2) et (3,-5).

Exemple 2 : Quelle est l’équation canonique du cercle suivant?

Quelle est son équation générale?

- -

Pour passer de la forme canonique à la forme générale du cercle, il

suffit de décomposer les carrés et de ramener la formule égale à zéro.

Exemple 3 : Modifie cette équation en forme générale

(x - 3)² + (y + 1)²=49

(x² - 6x + 9) + (y² + 2y + 1) = 49

x² + y² - 6x + 2y + 10 = 49

x² + y² - 6x + 2y + 10 - 49 = 0

x² + y² - 6x + 2y - 39 = 0


(x+4)2 + (y-2)2 =25


(x-6)2 + (y+9)2 =30

- -

Pour passer de la forme générale à la forme canonique du cercle, il faut

faire la complétion du carré. Cette complétion du carré consiste à fabriquer

deux trinômes carrés parfaits (un pour x et un pour y) et ensuite les

factoriser.

Exemple 6 : Modifie cette équation en forme canonique

x2 + y2 -6x -2y + 1 = 0

x2 -6x +____ y2 - 2y += -1 + ____ + ____

Nous connaissons la forme Ax2 + Bx + c = 0. Pour trouver le

terme constant C pour former un trinôme carré parfait, on

prend la valeur de B, on la divise par 2 et on élève ce nombre

au carré. (B/2)2

Pour les termes en x, (-6/2)2 = 9

Pour les termes en y, (-2/2)2 = 1

Important, si on ajoute une valeur à gauche de l’équation, on

doit aussi l’ajouter à droite de l’équation pour conserver

l’égalité.

x2 -6x + 9 y2 - 2y + 1 = -1 + 9 + 1

(x-3)2 + (y-1)2 = 9

Exemple 7 : x² + y² - 6x + 2y - 39 = 0

Exemple 8 : 2x2 + 2y2 +24x -12y + 4 = 0

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3.3 Droite tangente au cercle

Définition : Une droite tangente au cercle est une droite qui touche le cercle

en un seul point. Le rayon issu du point de tangence est

toujours perpendiculaire à cette tangente.

Rappel 1 : Deux droites perpendiculaires ont des pentes inverses et de

différents signes.

Ainsi,

Si y1 = m1x+b1 , y2 = m2x+b2 , m1 * m2 = -1

Alors y1 et y2 forment un angle droit

Rappel 2 : Soit 2 points du plan cartésien: (x1, y1) et (x2, y2)

Point milieu :

Distance entre deux points : d(A,B)= √

où A=(x1,y1) et B=(x2,y2)

Distance entre un point et une droite : D = | |

√

où (x1,y1) sont les coordonnées du point et y=ax+b est la formule de la droite

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Exemple 1 : Détermine l’équation de la tangente

1) Trouvons le centre du cercle : (2, 1)

2) Trouvons la pente du segment PW.

3) La pente de la tangente t est 3/2 (en utilisant m1 * m2 = -1)

L’équation est y = 3/2 x + b

4) Utilisons le point (-1, 3) pour trouver le paramètre b.

5) Réponse : L’équation de la tangente du cercle au point p est :

y= 3/2 x + 9/2

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Exemple 2 : Détermine l’équation de la tangente t au cercle :

(x - 2)2 + (y + 3)2 = 52 au point de tangence : P ( -2, 3)

Exemple 3 : Sachant qu’on a un cercle qui un rayon de √68 cm et qui a son centre

au point (-6,-8), détermine l’équation de la tangente t au point (-4,0).

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3.4 Le cercle et les inéquations

La région délimitée par un cercle et dont l'inéquation est (x − h)2 + (y – k)2 <

r2 signifie que les points situés à l'intérieur vérifient l'inéquation.

La région délimitée par un cercle et dont l'inéquation est (x − h)2 + (y – k)2 > r2

signifie que les points situés à l'extérieur vérifient l'inéquation.

Note : Comme il n'y a pas d'égalité dans l'inéquation, le cercle est dessiné

en pointillés. Dans le cas où il y aurait un symbole ≤ ou ≥, le cercle serait

tracé avec une ligne pleine.

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Exemple 1 : (x−2)2 + (y – 4)2 < 4

l'ensemble solution sera tous les points situés à l'intérieur

d'un cercle centré au point (2, -4) dont le rayon est 2.

Exemple 2 : Dessine cette région : (x−3)2 + (y – 1)2 > 16

Exemple 3 : Donnes l’inéquation d’un cercle ayant un diamètre de 12

unités et centré au point (5,8).

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3.5 Exercices

1- Détermine l’équation du cercle dont les extrémités d’un diamètre ont

pour coordonnées (-2,3) et (4,1)

2- Indique les coordonnées du centre du cercle et détermine le rayon

du cercle.

a) (x-6)2 +(y-4)2 = 49

b) (x+2)2 +y2 = 36

c) x2 +y2 = -20

d) 2x2 +2y2 - 98=0

3- Détermine l’équation du cercle dont les extrémités d’un diamètre ont

pour coordonnées (-1,2) et (3,2)

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4- Deux projectiles sont lancés à partir des points A(4,3) et (4,-3) selon

des trajectoires rectilignes et tangentes au cercle d’équation

x2 +y2 = 25. Ces projectiles se déplacent à la même vitesse et font

collision au point d’impact X. Quelles sont les coordonnées du point

d’impact X?

5- Détermine les équations des tangentes au cercle x2 +y2 = 40 :

a. Au point (2,6) :

b. Ayant une pente égale à 3.

c. Représente ce cercle et ces deux tangentes sur un plan

cartésien

- -

6- Lorsqu’un vaisseau spatial V quitte son orbite circulaire autour de la

planète Mars, il poursuit une trajectoire rectiligne tangente à la

trajectoire qu’il quitte. Détermine l’équation de la trajectoire si le

centre de la planète Mars est au point (6,4) et que le vaisseau était

au point (5,7).

7- Trouve l’équation du cercle centré à l’origine qui est tangent à la

droite dont l’équation est y=2x-5

8- Dessine l’inéquation correspondant à la région à l’intérieur

seulement d’un cercle centré à (-2,2) et passant par le point (1,2).

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9- En 1913, le physicien danois Niels Bohr a publié un modèle de la

structure de l’atome d’hydrogène qui décrit ce dernier comme un

noyau chargé négativement, qui se déplace sur une orbite circulaire

autour du noyau. Inspirée par ce modèle, une chimiste veut

bombarder un atome d’hydrogène de particules alpha afin de

provoquer une collision avec l’électron. Si l’on représente

l’installation de la chimiste dans un plan cartésien gradué en

picomètre ( 1 picomètre = 10-12 mètres), voici ce que l’on

obtiendra :

- Le centre du noyau de l’atome est situé à (75,55)

- Le noyau a un rayon de 1 picomètre

- La distance séparant l’électron de la surface du noyau

est de 52 picomètres

- Les particules alpha suivent une trajectoire rectiligne

décrite par l’équation x+y=183

Détermine les coordonnées du ou des points où la collision est

possible.

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10- Une droite est tangente à un cercle au point (a,b). Cette droite

passe par le point (24,2). Si l’équation du cercle est (x+2)2 + (y-3)2

= 36, quelles sont les coordonnées du point de tangence (a,b)?

- -

4. L’Ellipse

Définition : Une ellipse est un lieu géométrique de tous les points dont la

somme des distances de ces points à deux points fixes, appelés

foyers, est constante. Dans le sens de conique, l’ellipse est

obtenue par l'intersection d'un plan avec exactement un cône

lorsque ce plan traverse de part en part le cône. Le cercle est

alors un cas particulier de l'ellipse (lorsque le plan de coupe est

parallèle à la base du cône).

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4.1 Vocabulaire

Foyers : L'ellipse possède 2 points importants qu'on appelle les foyers. Les

foyers se trouvent toujours sur le grand axe. L'autre axe se

nomme l'axe conjugué.

Distance focale : distance entre les deux foyers

Centre de l’ellipse : point milieu du segment joignant les 2 foyers.

Axe transversal (Axe focal) : droite qui passe par les foyers et qui touche

les deux extrémités de l’ellipse

Grand axe : segment de l’axe transversal qui relie les deux sommets.

Axe conjugué : droite perpendiculaire à l’axe transversal passant par le centre.

Petit axe : segment de l’axe conjugué qui relie les deux sommets.

Sommet : chacune des intersections de l’ellipse avec ses axes.

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4.2 Propriétés

Valeur a : demi-longueur horizontale de l’ellipse.

Valeur b : demi-longueur verticale de l’ellipse.

Valeur c : distance entre le foyer et le centre de l’ellipse et donc la demi

distance focale

Ellipse horizontale : Si a > b

Ellipse verticale : Si a < b

Cercle : Si a = b

Par Pythagore, on obtient que :

- Pour l’ellipse horizontale : a2 = b2 + c2

- Pour l’ellipse verticale : b2 = a2 + c2

- -

4.3 L’ellipse centrée à l’origine

À l’origine, si les foyers sont sur l’axe des x, alors la somme des distances entre un point P situé sur l’ellipse et ses deux foyers est égale à 2a. Par contre, si les foyers sont sur l’axe des y, la somme des distances entre un point M situé sur l’ellipse et ses deux foyers est égale à 2b.

L'équation canonique d'une ellipse centrée à l'origine (dont les sommets se retrouvent en (-a, 0), (a, 0), (0, -b) et (0, b)) est de:

Et l'équation générale est :

Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 Où

- -

4.4 Trouver l'équation de l'ellipse

Pour trouver l’équation d’une ellipse centrée à l’origine, il faut connaître deux des trois valeurs a, b et c.

On sait que : D(P, F) + D(P, F’) = 2a pour une ellipse horizontale D(P, F) + D(P, F’) = 2b pour une ellipse verticale

Ainsi, on peut obtenir la troisième valeur par Pythagore :

a2 = b2 + c2 pour l’ellipse horizontale

b2 = a2 + c2 pour l’ellipse verticale

Exemple 1 : Cherche l'équation d'une ellipse dont les coordonnées des extrémités du grand axe sont (-12,0) et (12,0) dont la distance focale est de 14 unités.

a : demi-longueur du grand axe

a =

=

= 12

c : demi-distance focale

c=

= 7

Centre de l’ellipse : point milieu entre les deux

extrémités du grand axe = origine(0,0)

b : par pythagore, on sait que a2 = b2 + c2

b= √ √ √ √

L'équation canonique de cette ellipse est donc :

- -

Exemple 2 : Cherche l'équation d'une ellipse dont les coordonnées des sommets sont (0,5) et (0,-5) dont le grand axe mesure 16 unités.

Exemple 3 : Cherche l'équation de cette ellipse :

- -

4.5 Les inéquations

Une région délimitée par une ellipse et dont l'inéquation est

signifie que les points situés à l'intérieur vérifient l'inéquation.

Une région délimitée par une ellipse et dont l'inéquation est

signifie que les points situés à l'extérieur vérifient l'inéquation.

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4.6 Exercices

1- Détermine l’équation de l’ellipse dont la somme des distances aux

points A et B est de 30cm. Les coordonnées des points A et B sont

respectivement de (-11,4) et (7,4)

2- Détermine l’équation de la plus grande ellipse dans un rectangle de

28 cm par 22 cm.

3- Définis si le point (4,3) appartient à la région de ces ellipses.

a.

b.

c.

d.

e.

- -

4- Détermine l’inéquation de la région à l’intérieur de l’ellipse verticale

dont le petit axe mesure 6 cm et dont le grand axe est de trois fois

plus grand que le petit axe.

5- Le bassin d’une piscine municipale est en forme elliptique. Lorsqu’il

est représenté dans un plan cartésien, son équation générale est

25x2 + 49y2 - 60. Quelle est la forme canonique de cette équation.

6- L’écran d’un ordinateur affiche une ellipse centrée à l’origine dont le

grand axe mesure 20 cm et le petit axe 6 cm. Détermine les

coordonnées des foyers de cette ellipse.

7- Un terrain d’athlétisme est de forme elliptique. La longueur du grand

axe est de 200m. La distance entre les foyers est de 160m. Quelle

est la longueur du petit axe?

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8- Le tablier d’un pont est soutenu par une arche de forme elliptique.

La largeur de l’arche est de 48m et sa hauteur de 20m. Le sommet

du mât d’un voilier est à 6 m au-dessus du niveau de l’eau. À quelle

distance minimale de l’extrémité de l’arche le voilier peut-il passer?

9- La somme des angles entre chaque point du contour de la base de la

tente d’un cirque et les pieds de deux mâts qui la soutiennent est de

50m. La largeur de la base est 30m. Quelle distance sépare les deux

mâts?

10- Un engin spatial voyage sur une trajectoire rectiligne décrite

par l’équation y=3x. Cet engin veut se poser sur une planète dont

l’orbite est donnée par l’équation 9x2 + 4y2 – 36 = 0. Si l’engin se

pose sur la planète sans changer de direction, à quelle distance la

planète se trouve-t-elle du foyer le plus proche de son orbite? (Les

axes sont gradués en milliers de km.)

- -

11- La distance focale d’une ellipse, centrée à l’origine, est de

10cm et son grand axe, qui est situé sur l’axe des abscisses, mesure

12cm.

a. Quelle est l’équation définissant cette ellipse

b. Le point (5,-25) appartient-il à la région extérieure délimitée

par cette ellipse?

12- L’excentricité d’une ellipse est le rapport entre la distance

séparant les deux foyers et le grand axe de symétrie. Ainsi, on dit

qu’une ellipse dont l’excentricité nulle est un cercle. L’orbite de la

Terre autour du Soleil est une ellipse. Le demi grand axe de l’ellipse

mesure 149 597 888km et son demi petit axe 149 577 000km.

Quelle est l’excentricité de l’orbite de la Terre?

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13- Construit autour des années 70 après Jésus-Christ, le Colisée

de Rome est un amphithéâtre ayant la forme d’une ellipse. Le grand

axe mesure 188 mètres et le petit axe 156 mètres. La piste de

l’arène est également en forme d’ellipse et a le même centre que le

colisée. Les dimensions de son grand axe et de son petit axe sont

respectivement de 86m et de 54m. Aux deux extrémités de l’arène

se trouvent les portes où entraient les gladiateurs. Ces portes sont-

elles situées aux foyers de l’ellipse du Colisée?

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5. La Parabole

Définition : Une parabole est le lieu d’un point à égale distance d’un point fixe, appelé foyer, et d’une droite fixe, appelé directrice. Du point de vue des coniques, la parabole est l'intersection d'un plan avec un cône lorsque le plan est parallèle à une des génératrices du cône. Si on prend un point sur la parabole, la distance de ce point au foyer sera égale à la distance de ce point à la directrice (voir distance entre 2 points et distance entre un point et une droite à la section 3.3). La distance entre le foyer et le sommet de la parabole est donc la même que la distance entre la directrice et le sommet.

- -

5.1 Vocabulaire

Foyer : Point fixe qui est à égale distance avec la directrice

Directrice : Droite qui est à égale distance avec le foyer

Sommet : point milieu entre le foyer et le point de la directrice touchant

l’axe de la parabole

Distance focale : Distance entre le foyer et le sommet

- -

5.2 Paraboles dont le sommet est à l’origine

Parabole ouverte vers la droite. Le foyer est en(c,0) L'équation de la directrice est x=-c L'équation canonique est y² = 4cx Avec c>0

Parabole ouverte vers la gauche Foyer est en (-c,0) L'équation de la directrice est x=c L'équation canonique est y² = -4cx.

Avec c>0

Parabole ouverte vers le bas Foyer est en (0,-c) L'équation de la directrice est y=c L'équation canonique est x² = -4cy. Avec c>0

Parabole ouverte vers le haut Foyer est en (0,c) L'équation de la directrice est y=-c L'équation canonique est x² = 4cy. Avec c>0

- -

Exemple 1 : Trouve l’équation de la parabole dont le sommet est à l’origine et dont le foyer est à (5,0).

Parabole ouverte vers la droite. Foyer = (c,0) = (5,0) c=5 L'équation de la directrice est x=-c= -5 L'équation canonique est y² = 4cx = -20x Avec c>0

Exemple 2 : Trouve l’équation de cette parabole

Exemple 3: Trouve l’équation de cette parabole

- -

5.3 Paraboles dont le sommet est en (h,k)

Les paramètres (h,k) déterminent le sommet de la parabole.

Équations canoniques :

Ouverte vers la droite sera : (y - k)² = 4c(x - h)

Ouverte vers la gauche sera: (y - k)² = -4c(x - h)

Ouverte vers le bas sera : (x - h)² = -4c(y - k)

Ouverte vers le haut sera : (x - h)² = 4c(y - k)

Exemple 1: Cherche l'équation de la parabole dont le sommet est (6,1) et dont le foyer est (8,1). On sait que la parabole est orientée vers la droite et que la distance entre le foyer et le sommet est de 2 Donc c=2. L'équation de cette parabole est donc de (y - 1)² = 8(x - 6)

Exemple 2: Pour l'équation (y - 2)² = -16(x + 3), trouve les coordonnées du sommet, l'équation de l'axe de symétrie, les coordonnées du foyer et l'équation de la directrice.

- -

Exemple 3: Trouve l'équation de cette parabole :

Rappel : Formule canonique de la fonction quadratique

(parabole ouverte vers le haut)

y= a(x - h) ² + k

(y-k) = a(x - h) ²

En le comparant avec la formule canonique de la conique, on voit que

(x - h)² = 4c(y - k)

(y - k) = (x - h)²/4c

(y-k) = a(x - h) ² = (x - h)²/4c

Ainsi, a =

et donc c =

- -

5.4 Inéquations

Les inéquations pour l’intérieur de la parabole sont :

Exemple : (x - h)² 4c(y - k)

Et les inéquations pour l’extérieur de la parabole sont :

Exemple : (x – h)² 4c(y - k)

Inéquation (x- h)2 < 4c(y-k)

Inéquation (x- h)2 < -4c(y-k)

Inéquation (y - k)2 < 4c(x - h)

Inéquation (y - k)2 < -4c(x - h)

Inéquation (x- h)2 > 4c(y-k)

Inéquation (x- h)2 > -4c(y-k)

Inéquation (y - k)2 > 4c(x - h)

Inéquation (y - k)2 > -4c(x - h)

- -

5.4 Exercices

1- Quelle est l’équation ou l’inéquation de ces paraboles :

a)

b)

c)

- -

2- Trouve l’équation de la parabole si :

a) Le foyer est au point (-5,4) et le sommet est à (-1,4)

b) Le foyer est au point (-1, -3) et le sommet est à (-1,4)

c) La directrice est y= -12 et le sommet est à (-3,-5)

d) La directrice est x= 4 et le sommet est à (-3,-5)

e) Le foyer est au point (-2,7) et la directrice est y=2

f) Le foyer est au point (-2,7) et la directrice est x=3

- -

3- Compléter le tableau pour les paraboles

Équation canonique

de la parabole

Équation

générale

Coordonnée

du sommet

Coordonnée

du foyer

Équation de

l’axe de

symétrie

Équation de

la directrice

y – x-

y x

y²+12x+14y+13=0

x²-6x-2y-3=0

- -

4- Les phares de véhicules sont en forme de parabole. Le principe d’un

phare repose sur une propriété de la parabole, soit qu’un rayon

lumineux, dont la source est située au foyer de la parabole, est dévié

en un rayon perpendiculaire à la directrice de la parabole. Ainsi, en

plaçant une ampoule au foyer d’un phare en forme de parabole, on

obtient un ensemble de rayons lumineux tous parallèles. Une

compagnie produisant des phares pour automobile veut fabriquer un

modèle ayant une profondeur de 8cm et une largeur de 12cm. À

quelle distance du fond du phare l’ampoule devrait-elle être placée?

- -

5- L’arche Gateway est l’emblème de la ville de Saint Louis en Missouri

aux États-Unis. La hauteur de cette structure de forme parabolique

semble plus grande que la largeur à sa base. Il s’agit en fait d’une

erreur de perception, car la hauteur de l’arche et la largeur à sa base

est de la même mesure, soit de 192m. À partir de ce renseignement,

détermine à quelle hauteur se situe le foyer de l’arche Gateway.

6- Une comète C décrit une trajectoire parabolique dont le foyer est

l’étoile E. Sachant que la comète est la plus proche de l’étoile

lorsqu’elle atteint le sommet de la parabole, quelle est la distance la

plus courte entre la comète et l’étoile si l’équation de la trajectoire est

y2 - 8y – 48x +400 = 0?

7- Un chanteur est placé au foyer d’une parabole d’équation x2 – 6x – 8 y

– 7 = 0 . Quelles sont les coordonnées du foyer de cette parabole?

- -

8- Un miroir parabolique est un miroir dont tous les rayons incidents

parallèles à l’axe de la parabole sont réfléchis à travers le foyer. Si l’on

représentait un tel miroir dans le plan cartésien, le sommet de la

parabole est situé au point (3,6) et le foyer au point (1,6). Quelle est

l’équation de cette parabole?

9- Un chasseur s’exerce au tir à la carabine sur des pigeons d’argile. La

trajectoire de vol des pigeons forme une parabole d’équation :

(x - 35)² = -40(y - 18) tandis que la trajectoire d’une balle tirée par la

carabine suit la forme d’une droite. Sachant que la balle est tirée à

l’origine sur le plan cartésien, calculez l’angle que forme la trajectoire

de la balle avec l’horizontale si le chasseur a tiré sur le pigeon lorsqu’il

était au plus haut de son vol.

- -

10- Le propriétaire d’un minigolf veut construire un trou pour lequel il

serait impossible de manquer son coup si la trajectoire de la balle est

parallèle aux plus longs côtés de la partie rectangulaire du terrain. Pour

y arriver, il voudrait utiliser la propriété suivante de la parabole : tout

rayon lumineux perpendiculaire à la directrice de la parabole est dévié

vers le foyer de cette dernière. Le trou de minigolf aura la forme

représentée ci-dessous. Le rectangle mesurera 1,6m sur 3,2m et le

trou se trouvera à 30cm de l’extrémité droite. Le propriétaire aimerait

savoir quelle doit être la longueur totale du terrain. Déterminez cette

longueur en lui expliquant votre réponse.

- -

6. L’Hyperbole

Définition : lieu géométrique des points dont la différence des distances du

point aux 2 foyers est constante. Dans le sens des coniques,

c’est l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan, le plan

interceptant les deux branches du cône. Une hyperbole est

constituée de deux branches disjointes. Bien que l'illustration

ci-contre montre un plan vertical, tout angle plus faible que

celui des génératrices du cône est acceptable.

* Sur le schéma de droite, cela signifie que la distance MF moins la distance MF' est toujours distance constance. Cette distance est en fait la distance entre les 2 sommets de l'hyperbole.

- -

6.1 Vocabulaire

Hyperbole horizontale : les foyers sont sur l'axe des abscisses

Hyperbole verticale : les foyers sont sur l'axe des ordonnées

Valeur a : demi-distance entre les 2 sommets de l'hyperbole horizontale

Valeur b : demi-distance entre les 2 sommets de l’hyperbole verticale

Valeur c : aide à trouver la coordonnée des foyers se trouve à l'aide de Pythagore, c'est-à-dire a² + b² = c² .

Si on fait passer une droite tangente par le point M, cette droite sera aussi

la bissectrice de l'angle FMF'

- -

6.2 Hyperbole centrée à l’origine

L’équation canonique de l’hyperbole horizontale est :

L’équation canonique de l’hyperbole verticale est :

L’équation générale de l’hyperbole est :

Les équations des 2 asymptotes sont :

Exemple 1 : Trouve l’équation de l’hyperbole dont les sommets sont à

(0,-6) et à (0,6) et dont les foyers sont à (0,-11) et à (0,11)

Hyperboles horizontale puisque les deux foyers sont sur l’axe

des abscisse

a= demi-distance entre les 2 sommets de l'hyperbole

horizontale = 6

c= 11 (par les coordonnées des foyers)

a² + b² = c² b² = c² - a² = 11² - 6² = 85

L’équation de l’hyperbole sera donc :

Ax2 + By2 + C= 0 où A = b2 , B = a2 , C = -a2b2

- -

Exemple 2 : Trouve l’équation de l’hyperbole dont les foyers sont à (0,-5)

et à (0,5) et dont l’hyperbole passe par le point (2,-2)

Exemple 3: Un trophée a la forme d’une hyperbole. Le diamètre au centre du trophée mesure 8 cm. La hauteur du trophée mesure 24 cm. Le paramètre du foyer est c=12,645. Quelle est la largeur de l’ouverture du trophée?

- -

6.3 Hyperbole centrée en (h,k)

Pour l'hyperbole horizontale:

Pour l'hyperbole verticale:

Les paramètres h et k représentent le centre de l'hyperbole, soit l’intersection des asymptotes. Les équations des asymptotes sont :

- -

6.4 Inéquations

La région délimitée par une hyperbole qui contient les foyers est l’extérieur de

l’hyperbole et les inéquations sont :

et

La région délimitée par une hyperbole contient le centre est l’intérieur de l’hyperbole et

les inéquations sont :

et

- -

6.5 Exercices

1- Trouve l’équation des hyperboles si:

a. Les sommets sont à (0,-3) et à (0,3)

et les foyers sont à (0,-10) et à (0,10)

b. Les sommets sont à (4,0) et à (-4,0)

et les foyers sont à (9,0) et à (-9,0)

c. Les sommets sont à (0,-5) et à (0,5)

et les foyers sont à (0,-8) et à (0,8)

2- Une hyperbole a comme foyers les points (0, 11) et (0, -11). Si

l’hyperbole passe par le point (-30,11), quelle est l’équation de cette

hyperbole?

- -

3- Trouve l’équation de ces hyperboles.

a.

b.

c.

d.

e.

- -

4- Complète ce tableau sur l’hyperbole

Équation

canonique de l’hyperbole

Équation générale

Coordonnées

des deux sommets

Coordonnées des deux foyers

Équation des

deux asymptotes

-0.01x²+0.01y²-1=0

0.81x²-0.25y²-1=0

- -

5- Trouve l’équation définissant l’hyperbole dont l’axe focal est

horizontal, qui a pour sommets les foyers de l’ellipse d’équation :

et finalement qui a pour asymptotes les droites

d’équation y=3/2x et y=-3/2x

6- Une hyperbole d’équation

est croisée par deux droites

parallèles. L’une d’elles rencontre l’hyperbole aux points (-40,15√3)

et (25, 45/4). L’autre rencontre l’hyperbole en un point ayant -30

pour abscisse et a un zéro positif. Quelles sont les coordonnées du

second point de rencontre de cette droite avec l’hyperbole?

- -

7. Résumé

Conique Définition Vocabulaire Formule

Cercle

La distance entre un point et le centre est

égale au rayon.

Rayon Centre

Tangente

(x − h)2 + (y – k)2 =r2

Ellipse

Lieu dont la somme

des distances à deux points fixes, appelés

foyers, est constante (K). K = grand axe.

Foyer Petit Axe

Grand Axe Axe conjugué

Axe transversal Axe focal

Distance focale

Ellipse horizontale Ellipse verticale

Parabole

Lieu d’un point à égale distance du

foyer et d’une droite fixe, appelé

directrice

Foyer

Sommet Directrice

Distance focale

Ouvert vers la droite, gauche, le

bas, le haut

Ouverte vers la droite :

(y - k)² = 4c(x - h) Ouverte vers la gauche :

(y - k)² = -4c(x - h) Ouverte vers le bas : (x - h)² = -4c(y - k)

Ouverte vers le haut :

(x - h)² = 4c(y - k)

Hyperbole

Lieu d’un point dont

la valeur absolue de la différence des

distances à deux points fixes, appelés

foyers, est constante.

Foyer Hyperbole verticale Hyperbole horizontale

Asymptotes Sommet

Centre

Hyperbole horizontale:

Hyperbole verticale :

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