ACT2025 - Cours 4

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Quatrième cours

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Rappel:

• Escompte composé

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Rappel:

• Escompte composé

• Escompte simple

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Rappel:

• Escompte composé

• Escompte simple

• Taux nominal d’intérêt

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Rappel:

• Escompte composé

• Escompte simple

• Taux nominal d’intérêt

• Taux nominal d’escompte

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Rappel:

• Escompte composé

• Escompte simple

• Taux nominal d’intérêt

• Taux nominal d’escompte

• Équivalence de taux

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Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i(m) .

Rappel:

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Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d(m) .

Rappel:

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L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes

en calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable dans un an ou encore

Rappel:

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en calculant la valeur accumulée par 1 dollar après un an.

Rappel:

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Exemple 1:

Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.

(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

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Exemple 1:

Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.

(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

(b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?

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Solution: (a)

Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i(2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois.

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Solution: (a)

Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est i(2) = 6%, c’est-à-dire (6/2)% = 3% par six mois.

Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est d(4) = 9%, c’est-à-dire (9/4)% = 2.25% par trois mois.

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Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.

Solution: (a)

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Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.

Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois.

Solution: (a)

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Le montant accumulé après les deux premières années est12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $

Solution: (a)

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Le montant accumulé après les deux premières années est12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $

Le montant accumulé après les trois dernières années est13506.11 (1 - 0.0225)-12 = 17747.17 $

Solution: (a)

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Le montant accumulé après les deux premières années est12000(1 + 0.03)4 = 13506.11 $

Le montant accumulé après les trois dernières années est13506.11 (1 - 0.0225)-12 = 17747.17 $

Solution: (a)

Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.

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Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et deux ans et les soustraire l’un de l’autre. Nous aurons ainsi le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année.

Solution: (b)

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Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est

12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $

Solution: (b)

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Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est

12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $

Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est

12000(1.03)4= 13506.11 $

Solution: (b)

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Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est

12000 (1.03)4(0.9775)-4 = 14945.54 $

Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est

12000(1.03)4= 13506.11 $

Solution: (b)

Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est14945.54 - 13506.11 = 1439.43 $

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Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt):

Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel.

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Notons la fonction d’accumulation par A(t). Alors le taux instantané de l’intérêt est défini

Taux instantané de l’intérêt (ou force de l’intérêt): (suite)

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Exemple 2:

Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire

a(t) = (1 + it)

Alors la force de l’intérêt sera

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Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire

a(t) = (1 + i)t

Alors la force de l’intérêt sera

Exemple 3:

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Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante.

Remarque 1:

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Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation.

Remarque 2:

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Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet, nous pouvons montrer que

Remarque 2:

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De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale:

Remarque 2: (suite)

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Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire x = pour tout x, nous obtenons que

Remarque 3:

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Dans une situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire x = pour tout x, nous obtenons que

Remarque 3:

Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé!

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En fait, nous obtenons que

e = (1 + i)

où i est le taux d’intérêt composé équivalent au taux instantané d’intérêt .

Remarque 3: (suite)

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Exemple 4:

Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané d’intérêt de 5% par année.

Quel montant doit-il investir aujourd’hui?

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Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt = 5%.

Solution:

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Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt = 5%.

Solution:

Nous avons vu que la fonction de capitalisation est

a(t) = et .

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Nous voulons calculer la valeur actuelle de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt = 5%.

Solution:

Conséquemment la fonction d’actualisation esta-1(t) = e-t .

Nous avons vu que la fonction de capitalisation est

a(t) = et .

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De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui

10000 e-(0.05)7 = 7046.88 $.

Solution: (suite)

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Soit un taux instantané de l’intérêt constant Pour chaque m > 0, désignons par i(m): le taux nominal d’intérêt équivalent à , alors

Proposition 1:

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Remarque 4:

Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’intérêt i(m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’intérêt demeure

i(m)/m

par période de capitalisation.

Nous allons illustrer ceci dans l’exemple suivant.

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Exemple 5:

Si 5000 $ est placé au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé à tous les 4 ans, alors calculons le montant accumulé après 5 ans.

Dans ce cas, une année correspond à (1/4) = 0.25 d’une période de capitalisation. Donc nous avons le taux nominal d’intérêt

i(1/4) = 6%.

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Exemple 5: (suite)

Le taux d’intérêt par période de capitalisation (i.e. par 4 ans) est

6/(0.25) % = 24%.

Il faut noter aussi que 5 ans est 1.25 période de capitalisation. Donc le montant accumulé après 5 ans sera

5000(1.24)1.25 = 6542.55 $

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Remarque 5:

Il est possible que le nombre m soit plus petit que 1 dans la définition du taux nominal d’escompte d(m). Ceci signifie que m période de capitalisation est égale à une année. Dans ce cas, le taux d’escompte demeure

d(m)/m

par période de capitalisation.

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CHAPITRE IIPrincipes de base

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La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé.

Principe de base:

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Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison.

Conséquence du principe de base:

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Définition:

L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée

l’équation de valeur.

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La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même date de comparaison

Définition de l’équation de valeur:

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Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans.

Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

Exemple 6:

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Prenons au départ comme date de comparaison t = 0. Le taux d’intérêt par période de 6 mois est

i(2)/2 = (10/2) % = 5%

Solution:

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Solution: (suite)

Le diagramme d’entrées et sorties est

Alors l’équation de valeur est

7000 + 4000(1.05)-4 + 3000(1.05)-6 = X(1.05)-10

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Si nous avions pris comme date de comparaison: la fin de la cinquième année (i.e t = 10 semestres), alors le diagramme d’entrées et sorties serait

Solution: (suite)

et l’équation de valeur serait

7000(1.05)10 + 4000(1.05)6 + 3000(1.05)4 = X

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Peu importe l’équation utilisée, nous obtenons que Béa remboursera le prêt en versant

X = 20409.16 $

Solution: (suite)

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Nous pouvons comparer les équations de valeur pour ces deux dates, nous avons

Solution: (suite)

7000 + 4000(1.05)-4 + 3000(1.05)-6 = X(1.05)-10 et

7000(1.05)10 + 4000(1.05)6 + 3000(1.05)4 = X

Celles-ci sont différentes que par la multiplication d’un même facteur, à savoir la première équation par (1.05)10.

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Il est nécessaire de fixer une date de comparaison, mais ce choix n’aura pas d’incidence sur le résultat dans le cas de

l’intérêt composé.

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Nous reprenons le même prêt que celui de l’exemple 5, sauf que Béa remboursera ce prêt par trois versements égaux au montant de Y dollars, le premier après 3 ans et demi, le second après 4 ans et demi et le dernier après 5 ans.

Déterminer Y si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

Exemple 7:

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Prenons comme date de comparaison: t = 7 périodes de capitalisation (i.e. après 3 ans et demi). Le taux d’intérêt par période de 6 mois est

i(2)/2 = (10/2) % = 5%

Solution:

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Solution: (suite)

Le diagramme d’entrées et sorties est

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Alors l’équation de valeur est

7000(1.05)7 + 4000(1.05)3 + 3000(1.05)

| |

Y + Y(1.05)-2 +Y(1.05)-3

Solution: (suite)

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De cette équation, nous obtenons que Y = 6362.70 $.

Si nous comparons le total des versements effectués par Béa pour chacun des deux exemples précédents, nous obtenons

Solution: (suite)

3Y = 19088.10 $ < 20409.16 $ = X

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Ceci ne devrait pas nous surprendre parce que le remboursement plus rapide de son prêt fait en sorte que Béa

versera moins d’intérêt à Alex!