mathematiques et billard · a atteindre un point donné (matérialisé par une autre bille, ou...

MATHEMATIQUES ET BILLARD

MARC PICOT, LUC PICOT, DAVID BOUTRY

Si vous donnez le pouvoir a des enfants, ne vous etonnezpas de vous retrouver sous la domination des appetits pri-maires, sous le despotisme de la consommation immediate,la dictature de l’instant, la tyrannie d’un eternel present ;maintenant que dire lorsqu’on donne le pouvoir - non plusaux enfants eux-memes - mais a leurs jouets ?

Laboratoire de catastrophe generale.Maurice G. Dantec

Avant propos

A la lecture de ce texte, si vous decidez d’amener une classe dans unesalle de billard, il faut vous attendre a un certain nombre de raillerieset de sarcasmes de la part de votre entourage.

Vos collegues d’abord, penseront que vous souhaitez passer du bontemps, et que se rendre une demi-journee dans une salle de billard estun bon moyen de s’attirer la sympathie des eleves et donc de se la coulerdouce. Les souvenirs des parties de billard au cafe du coin, remontantau lycee, referont surface et chacun ira de son petit commentaire surles boissons que vous ecluserez a la buvette pendant que vos elevesjoueront.

Votre hierarchie ensuite, ne comprendra surement pas l’interet pe-dagogique d’une telle seance et hesitera a chambouler les emplois dutemps et debloquer des moyens pour satisfaire ce qu’elle considereracomme une lubie. Il n’y aura pas de commentaire deplace comme avecvos collegues, mais vous sentirez un regard soupconneux peser sur vosepaules chaque fois que vous croiserez votre principal.

Votre famille enfin, qui ne vous a jamais vu jouer au billard - d’ailleursvous arrivez a peine a frapper correctement dans une bille - et se de-mandera ce que vous allez faire dans cette galere.

Dans ces conditions, peu importe les arguments. Vous pourrez vousdemener tant que vous voudrez pour essayer de convaincre que vousn’allez pas au billard pour vous amuser mais bien pour travailler, per-sonne ne vous croira. Personne ne se rendra compte egalement que la

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2 MARC PICOT, LUC PICOT, DAVID BOUTRY

gestion des eleves est plus difficile en terrain inconnu, que vous se-rez stresses a l’idee que certains provoquent des incidents et que vouspasserez votre temps a courir de table en table pour tenter de faireprogresser l’activite. Inutile de vous justifier, vous ne ferez que vousegarer dans les volutes d’une logorrhee de toujours plus alambiquee.

Finalement, les seuls qui vous soutiendront dans ce projet, seront leseleves, persuades qu’ils passeront une demi-journee a jouer au billardet seront a mille lieues de penser qu’ils feront des mathematiques.

Pourtant, ce sont bien de mathematiques dont il s’agit, et memede mathematiques comme ils n’en ont a jamais vues et comme il n’enverront probablement jamais plus ailleurs. Alors, a la question, toutesces railleries valent-elles la peine qu’on se demene pour realiser cettesequence ? la reponse est definitivement oui, meme si vous sortez epuisesd’une telle aventure.

Le billard est un lieu sans egal pour redecouvrir la notion de droites,pour apprehender les angles, les tangentes, les spheres pour apprendrea conjecturer, a verifier un resultat, ou au contraire, l’invalider. Pourtoutes ces raisons, et bien d’autres encore, proposer une activite billardpeut etre fait dans toutes les classes du college et contribuera sinon areconcilier les eleves avec la geometrie, a se sentir mieux avec elle.

MATHEMATIQUES ET BILLARD 3

1. Rencontre avec un billard

1.1. Format du billard. Un billard est un rectangle dont la longueurest le double de la largeur 1. Il existe differentes tailles de billard, maisle format est reste le meme. Cette constatation peut etre faite avecles plus petits, on pourra alors proposer de retrouver les rectanglesrepresentants des billards parmi une famille de rectangles (Voir Fiche1 en annexe).

1.2. Les mouches. Si on regarde le bord du billard, on verra que desreperes (appeles mouches) sont places a intervalle regulier. Il y a 7mouches sur la longueur et 3 sur la largeur. Demander de placer lesmouches sur un billard vierge est un exercice qui posera probleme aplus d’un eleve et qui nous a plonge dans un etat de grande perplexite.

Certains commencent par mesurer la longueur qui separe deux mouches(de 30 a 36 cm selon les modeles) sur le billard puis tentent de la re-

porter sur leur feuille. Evidemment, ils se rendent compte que cet ecartest bien trop grand, mais souvent, bien que conscients de l’impossibilitede leur demarche, ils persistent dans cette voie ou abandonnent toutsimplement.

D’autres, ou les precedents apres un long moment de reflexion, comptentle nombre de mouche sur un cote, par exemple 7, et divisent la longueurcorrespondante sur leur dessin par 7. Ils reportent alors le resultattrouve sur leur feuille jusqu’a la derniere mouche qui sort du cadredu billard. L’etonnement qui en decoule et les reactions qui suiventpeuvent etre qualifies d’inquietants. Aucun eleve ne remet en causesa methode, et tous effectuent des aller-retours entre leur feuille et lebillard pour recompter encore et encore le nombre de mouches, pour re-commencer la division puis reporter plus precisement le resultat trouve.Ce blocage peut durer toute la seance si le professeur n’intervient pas.

1Nous parlons du rectangle delimite par le bord des bandes.


Personne ne pense a compter le nombre d’intervalles, ou plus simple-ment, personne ne voit qu’une des mouches est au milieu de la longueur(ou de la largeur) puis que pour placer les autres, il suffit de partagera nouveau en deux et encore en deux.

Ces observations nous laissent a penser que la dialectique objet-representation est une vraie difficulte. En classe, les eleves sont habituesa travailler sur des representations d’objets (les ont-ils deja vus ?). Cettepremiere rencontre avec le billard oblige a une mise a distance de larepresentation par rapport a l’objet. Il est clair que trop d’eleves n’ontpas compris que le dessin n’est pas l’objet. Ce probleme du passage del’objet a sa representation, ou l’inverse, va nous poursuivre au fil desactivites.

Placer les mouches sur un billard vierge est un piege qui peut pertur-ber fortement la seance. Si vous proposez ce probleme, vous prenez lerisque de passer le temps imparti dans la salle de billard a le resoudre,il est a ce moment preferable de le reprendre en classe et d’utiliser lebillard pour des activites plus specifiques a celui-ci.

1.3. Le but du jeu. Le billard francais 2 se joue avec trois billesidentiques au point de vu de la taille (62mm) et du poids. Deux desbilles sont blanches l’autre est rouge. Pour differencier les deux billesblanches, l’une d’elle est marquee d’un point 3.

Le jeu se joue a deux, chacun devant avec sa bille (une des deuxblanches) toucher les deux autres. L’ordre dans lequel les deux autresbilles sont touchees est sans importance, la bille du joueur peut egalementrebondir sur une ou plusieurs bandes avant le contact ou entre lescontacts des deux autres billes. Si le joueur reussit, il marque un pointet rejoue.

S’il rate, en ne touchant qu’une des deux billes par exemple, c’est al’autre joueur de realiser le contrat a partir de la configuration laisseepar son adversaire.

La partie se termine quand un des joueurs a marque 100, 200 voire500 points selon les niveaux. Certains joueurs sont tellement forts qu’ilsarrivent a remplir le contrat en une fois. Dans ce cas, l’adversaire a« un droit de reponse », mais doit a son tour faire le meme nombrede points sans erreur. En cas d’egalite, on rejoue un nombre de pointsdetermines jusqu’a ce qu’on arrive a departager les joueurs. Il est clairqu’a ce niveau, le jeu se resume plus a une guerre des nerfs qu’a desexploits techniques.

2Les activites proposees sont presentees avec un billard francais, elles s’adaptentsans probleme a n’importe quel type de billard.

3Pour une meilleur differenciation, nous remplacerons une des deux billesblanches par une jaune.


2. Premiers pas avec un billard

2.1. Prise en main. Il ne faut pas perdre de vue que la seance dans lasalle de billard est un cours de mathematiques, les eleves doivent doncrespecter les regles imposees par le professeur et suivre les consignes desactivites proposees. Il se peut qu’une personne du club que vous occu-perez donne gentiment des conseils de jeux, il faut alors vous montrerferme (tout en restant poli) et faire comprendre que le but n’est pasd’apprendre a jouer au billard mais bien de faire des mathematiques.

On commence par une prise en main du materiel, en donnant lesconsignes elementaires pour que chacun puisse jouer : position du corps,tenue de la queue, mouvement pour propulser la bille.

Afin de faciliter cette etape, on imposera et ce pendant toute laseance, que la bille jouee soit pres d’un bord afin d’eviter que les elevesse couchent trop sur le billard (ce qui en soit n’est pas tres grave) etsoient moins precis dans leurs gestes 4.

La queue doit rester horizontale, elle est tenue d’une main commeun cartable. On pose l’extremite de la queue sur le bord du billard etla main restee libre vient se poser sur cette extremite, la queue passantentre l’index et le majeur. La bille est frappee par le procede 5 au-dessus du centre, sur le grand diametre vertical (sinon, la bille recevrade l’effet soit a gauche, soit a droite). On decouvre ainsi le « roulementnaturel » (rotation de la bille le long d’un grand cercle vertical, versl’avant) ; du fait des frottements dus au drap, une bille qui ne rencontreaucun obstacle finira toujours par rouler naturellement, quel que soitl’effet donne initialement.

Il arrive souvent qu’un ou deux eleves vous contredisent car ils ontdeja joue et « savent » comment tenir une queue de billard ou ont dejafrappe des billes situees au centre du billard. Nous vous invitons a vousreferer au debut de cette section pour savoir qu’elle attitude adopteravec ces graines de champions.

Cette prise en main dure environ 15 minutes, chaque eleve est invitea atteindre un point donne (materialise par une autre bille, ou unequille) avec sa bille.

En fait, les eleves ont deja commence a faire des mathematiques etcette prise en main est l’occasion de redecouvrir les notions de segmentet de droite. En effet, pour que la bille jouee choque la bille visee il fautqu’elle parcourt le segment defini par les deux billes.

4Il ne faut cependant pas craindre de craquer le tapis, passer sous celui-ci avecla queue de billard fait partie des legendes urbaines.

5Le procede est une rondelle de cuir collee au bout de la queue de billard, poureviter le derapage au moment ou la bille est frappee.


Ainsi, pour reussir le coup, la queue de billard doit etre placee dansle prolongement de ce segment, c’est a dire sur la droite definie par lesdeux billes.

Redecouvrir ces notions peut paraıtre anodin, mais c’est surementla premiere fois qu’elles sont vues de cette facon. Ici on apprehende ladroite avec son corps et il est legitime de se demander si cette droiteest la meme que celle qu’on represente sur une feuille. Il est egalementinteressant de remarquer que les eleves faibles en geometrie sont lesmemes qui ont de la difficulte a se positionner pour viser le point choisi(independamment des difficultes liees a la manipulation de la queue).Enfin, il est amusant de constater que la definition d’une droite par lebillard se rapproche de celle donnee dans Les Elements :

Une ligne droite est celle qui est placee de maniere egale par rapportsaux points qui sont sur elle 6.

Ici, la droite est definie comme cet objet globalement invariant partranslation, translation que l’on observe avec la queue puis la bille ; etquand on voit cette definition operer, on est en droit de se demandersi Euclide n’etait pas un joueur de billard.

2.2. La loi du rebond. Apres cette prise en main, les eleves sontrepartis par groupes de 4 a 8, selon le nombre de billards et on proposeun premier exercice d’observation : la bille se deplace en ligne droitejusqu’a ce qu’elle rencontre un obstacle, il s’agit alors de dessiner latrajectoire d’une bille posee a un endroit precis (impose ou non) etfrappee dans une direction precise (Voir Fiche 2 en annexe).

La notion de reperage fonctionne a plein, et passer de la realite audessin, ou inversement du dessin a la realite peut etre une source dedifficultes, les mouches s’averent, dans ce cas, utiles.

Pour effectuer les dessins demandes, Le probleme de la modelisationse pose, meme si les eleves n’en sont pas conscients.

Ici, les billes peuvent etre assimilees a des points et on pourra negligercertains effets dus aux frottements (hormis le fait que la bille finira pars’arreter) ainsi que la contraction de la bande lors du choc.

On pourra, a contrario, faire varier d’autres parametres comme laforce de frappe et voir que cela n’influe pas sur la trajectoire 7 de labille, mais seulement sur la distance qu’elle parcourt.

6Euclide, Les Elements. Traduction et commentaires de Bernard Vitrac, editionPUF, 1990

7Il faut etre prudent avec cette affirmation, car en general lorsqu’on tape fort,on se montre moins precis et on donne de l’effet a la bille (en tapant a droite ou agauche du centre) ce qui evidemment change la trajectoire des le premier rebond.


Le but de cet exercice est d’amorcer une premiere reflexion sur laloi du rebond et permet d’amener le deuxieme exercice qui consiste aprevoir la trajectoire de la bille apres le rebond (Fiche 3 en annexe).

En depit du premier exercice, il n’est pas rare de rencontrer un cer-tain nombre d’idees recues ou de theories farfelues en ce qui concernecette loi 8.

La plus repandue d’entre elles (que l’on retrouve a chaque seance) estcertainement la loi du rebond perpendiculaire : la trajectoire apres lerebond est perpendiculaire a la trajectoire avant ce rebond. Cette loi estevidemment fausse, il suffit pour s’en convaincre de frapper une billesur une trajectoire perpendiculaire a une bande et constater qu’elle nesuit pas, mais alors pas du tout la bande apres le rebond.

Mais on pense rarement cet exemple, et on privilegie lors des essais,des coups dont la trajectoire d’incidence est proche de 45 , ce qui donne,dans ce cas, un rebond a 90 .

Invalider ce resultat est un travail tres interessant a mener sous formede debat.

Une autre theorie que l’on retrouve assez souvent pourrait s’appelerla theorie de mouches.

8Ces « theories » ont ete observees aussi bien chez les enfants que chez les adultesque nous avons rencontre lors de differents stages.


Certainement traumatises par leur placement, certains pensent queles mouches sont utiles pour prevoir la trajectoire de la bille apres lerebond. Apres tout, ils ne se surement pas fatigues pour rien. . .

Malheureusement pour eux, les idees avancees se revelent presquetoutes fausses.

Sur la figure ci-dessus, on a represente une des theories qui consistea compter le nombre de mouches qu’il y a entre la bille et le point vise.Sur le trace noir, on compte deux mouches, donc la bille ira 2 mouchesplus loin. Dans ce cas, le raisonnement est correct. Il ne l’est plus avecle trace rouge, pour lequel on compte cinq mouches que l’on reporte enfaisant le tour du billard (la mouche 7 est parfois oubliee) pour arriversur la mouche 10.

Une methode correcte, et que l’on a pu observer, serait de continuera compter les mouches en dehors du billard, en imaginant par exempleque l’on ajoute un billard a la suite de celui sur lequel on joue. . . pardon,sur lequel on fait des maths.

Les enonces possibles de la loi du rebond (la vraie) sont difficiles aformaliser avec les eleves. Deux propositions reviennent souvent :

(1) L’angle de la trajectoire avec la bande avant le rebond est egala l’angle de la trajectoire avec la bande apres le rebond.

(2) La trajectoire apres le rebond est symetrique a la trajectoireavant le rebond par rapport a la perpendiculaire passant par le


point de contact avec la bande. Ce qui revient a dire, en langage

expert que l’angle d’incidence (I) est egal a l’angle de reflexion

(R).

En sixieme, ou meme avant, il n’est pas etonnant que ces proprietessoient difficiles a formaliser etant donne le peu de connaissance a dispo-sition sur les angles. Pour la deuxieme definition, le mot perpendiculairea de la difficulte a sortir, les eleves lui preferent souvent l’expression« tout droit », ne comprenant pas le manque de precision de cette pro-position. La plupart du temps, on entend des phrases du type :« cequ’il y a par la, ca doit etre la meme chose de l’autre cote ».

Le probleme qui se pose ensuite est de construire l’angle de reflexionen connaissant l’angle d’incidence 9. Sur le billard, l’utilisation de ga-barits permet la manipulation des angles sans avoir recours au rappor-teur 10, ces gabarits peuvent etre utilises ensuite sur le dessin montrantainsi que la taille des cotes ne change pas l’angle qu’ils definissent. Onpeut enfin proposer de construire ces reports d’angle avec un compas.La fiche 4 (en annexe) permet de controler la comprehension de ce quia ete fait.

L’interet de cette activite reside en les aller-retours entre le billardet le dessin, entre la manipulation et la formalisation, ce qui permetd’introduire la notion d’angle en lui donnant du sens.

9Si on privilegie la premiere proposition, c’est le meme probleme en passant auxcomplementaires.

10L’utilisation d’un rapporteur est ici prematuree, il est preferable, conformementaux programmes de sixieme d’introduire les angles avant leurs mesures.


3. La bandaison papa, ca ne se commande pas11

Les activites presentees ci-dessous sont prevues a partir de la qua-trieme et necessitent la connaissance de la loi du rebond.

3.1. Le point bande avant. Cet exercice est directement inspire dujeu. Les joueurs sont confrontes au probleme suivant : les deux billes atoucher sont l’une a cote de l’autre, mais la bille jouee ne peut pas lesfrapper directement, comme illustre sur la figure ci-dessous :

Si la bille blanche choque directement la jaune, celle-ci fera rouler larouge et le contact blanche-rouge aura peu de chance de se produire, amoins d’un heureux hasard.

Mais, si le but est de remporter un match, il vaut mieux laisser lemoins de place possible au hasard ; l’idee est donc de viser un point dela bande de facon a ce qu’apres le rebond, la bille blanche se dirige versles deux autres billes selon une trajectoire plus favorable. il faut donc

11G.Brassens, Fernande,1972


etre capable de situer ce point (Fiche 5 en annexe).

Ici encore, les theories fausses foisonnent. L’une d’elles vient du faitque la plupart des essais se font dans un cas particulier : les billes sontplacees sur une droite parallele a une bande. Le point de vise se situealors au milieu des projetes orthogonaux des billes sur la bande.

Pour invalider cette assertion, on propose un cas plus general puison demande pourquoi la methode fonctionne dans un cas et pas dansl’autre, enfin on va plus loin en demandant a quelle(s) condition(s) lamethode est-elle efficace ? Le travail de l’eleve n’est pas gache pour au-tant, le fait qu’il ait etait actif dans sa demarche de recherche et qu’ilait reinvesti un certain nombre de connaissance (comme les mediatricespar exemple) est deja un grand pas dans le processus de la demarchescientifique, et finalement il importe peu qu’une solution complete soitelaboree. Lui soumettre ce contre-exemple permet de montrer que lareponse proposee n’est que partielle et lance en meme temps de nou-velles pistes a explorer.

Pour les plus refractaires affirmant contre vents et marees que lamethode est correcte, et que si le point n’est pas fait, c’est de la fautea Voltaire, on peut proposer un cas extreme : celui ou les billes sontproches de bandes opposees.


La theorie vole en eclat, et aux sceptiques, s’il en reste (certaine-ment des mauvais joueurs), qui affirment qu’un point pareil se jouedirectement, on pourra expliquer qu’une conjecture doit pouvoir severifier dans n’importe quel cas et que ces cas extremes sont d’excel-lents moyens, trop souvent oublies, de voir si on se trompe ou pas.

Ce probleme est en fait un exercice classique de quatrieme que l’onpeut trouver sous la forme suivante :

Un jardinier veut arroser ses salades, mais doit d’abord puiser del’eau dans la riviere voisine. Ou doit-il se servir pour que son trajetsoit minimum?

Il s’agit bien du meme probleme car une bille en etat de roulementnaturel realise toujours le trajet minimum pour se rendre d’un point aun autre, y compris lorsqu’elle rebondit.

Des lors, la resolution est aisee : le plus court chemin entre deuxpoints etant la ligne droite, on symetrise le point a atteindre par rap-port a la bande, puis on trace la droite passant par la bille visee et lesymetrique, elle coupe la bande au point cherche.

Les proprietes de conservation de la symetrie justifient qu’en ce pointl’angle d’incidence est egal a l’angle de reflexion.

Pour les plus tetus, voulant absolument une solution avec des pro-jetes orthogonaux, nous proposons la methode de Willy Hopp, un an-cien champion du monde, decrite dans son livre sur le billard.


Pour trouver le point a viser en bande avant, tracer les perpendicu-laires a la bande passant par A et par B. Elles coupent la bande en A’ eten B’. Les droites (AB′) et (A′B) se coupent en I. La perpendiculaireabaissee de I sur la bande donne le point cherche T.

Les droites (AA′) et (BB′) sont paralleles, d’apres le theoreme deThales, on a :

IA

IB′ =IA′

IB=

AA′

BB′

Soit B′′ le symetrique de B par rapport a la bande. (AB′′) coupe(A′B′) en T.

On utilise a nouveau le theoreme de Thales :

TA

TB′′ =TA′

TB′ =AA′

B′B′′

Puisque B′B′′ = BB′, on en deduit que les six rapports sont egaux,et notamment IA′

IB= TA′

TB′ .D’apres la reciproque du theoreme de Thales, les droites (IT ) et

(BB′) sont paralleles, et donc, (IT ) et (A′B′) sont perpendiculaires.

Le point T est bien le projete orthogonal de I sur la bande, et, d’apresles constructions de B′′ et de T, c’est bien le point du plus court trajetdemande.

3.2. Deux bandes avant. C’est le meme probleme que precedemment,sauf qu’il est necessaire de faire deux bandes avant de toucher les deuxbilles (fiche 6 en annexe).


Dans l’exemple ci-dessus, le point direct est tres difficile, car il fautfroler la bille rouge et esperer que la bille blanche ne soit pas trop devieede la trajectoire pour toucher la jaune.

Tenter un point bande avant est egalement difficile, quelque soit labande, a cause de la position des deux billes : on risque de n’en toucherqu’une et faire partir la seconde. Le plus raisonnable ici est de toucherdeux bandes de facon a ce que la bille blanche arrive sur les deux autresselon une trajectoire plus favorable.

Evidemment, la methode precedente se generalise et on trouve lepoint a atteindre en effectuant deux symetries par rapport aux bandes.

Malheureusement, dans la pratique, cette methode n’est pas efficace,n’oublions pas que le joueur est seul et qui lui est interdit de marquer


des reperes. Nous en proposons donc une deuxieme, equivalente, maisplus facile a mettre en œuvre dans le jeu. Elle consiste a prendre lemilieu M de la distance entre la bille jouee et le point a atteindre, ladirection cherchee est alors la droite (OM), O etant le coin du billard.

Justifions d’abord que les droites (AI) et (BJ) sont paralleles (Aet B representent les points de depart et d’arrivee de la bille jouee,I et J sont les points de contacts avec les bandes). A’ et B’ sont lessymetriques respectifs de A et B par rapport aux droites (OI) et (OJ),ou O est le coin du billard, et J’ le point d’intersection des droites (OJ)et (AI).

Les droites (AA′) et (JJ ′) sont paralleles, les angles alternes-internes

A′AI et IJ ′J sont donc egaux.

Par symetrie, les angles IAA′ et IA′A sont egaux. Ainsi, les angles

alternes-internes AA′I et J ′JI sont egaux a JJ ′I.

Enfin, Les angles IJJ ′ et B′JE (E est le milieu de [BB′]) sont egaux

car opposes par le sommet, et les angles B′JE et EJB sont egaux carsymetriques.

Il en resulte que les angles correspondants AJ ′J et BJE sont egaux,les droites (AI) et (BJ) sont donc paralleles.

Notons a present K le milieu de [OM ], et montrons que les pointsO, K et M sont alignes.

ABJI est un trapeze, les droites (KM) et (IA) sont donc paralleles.Dans le triangle rectangle OIJ , K est le milieu de l’hypotenuse, Le

triangle OKI est donc isocele de sommet principal K. Or, KOI =

DIA′ = DIA, ou D est le milieu de [AA′]. Il en resulte que les angles


correspondants AID et KOI sont egaux, les droites (OK) et (IA) sontdonc paralleles.

Par suite, (OK) et (KM) sont paralleles, car toutes deux parallelesa (AI), il s’en suit que les points O, K et M sont alignes. La direction(OM) est donc celle cherchee.


4. Boules et billes

4.1. La fin du modele ponctuel. Nous avons remarque, avec le pointbande avant, que nous avions tendance a laisse de cote les cas extremes,et nous en avons (volontairement) laisse un de cote : celui des trajec-toires rasantes 12.

Le point semble a priori facile au vu de nos connaissances, mais ilest impossible si on applique la methode donnee precedemment et ce acause de l’epaisseur des billes.

Dans ce cas, le point vise et l’endroit ou la bille touche la bandesont totalement differents et invalident la modelisation ponctuelle quenous avions fait pour ce probleme (Fiche 7 en annexe). Ce qui etaitnegligeable pour les incidences fortes, ne l’est plus pour les incidencesfaibles.

Avant de resoudre notre probleme, observons le billard de plus pres.On y verra pres des bandes (a 31 mm exactement, c’est a dire la moitiedu diametre d’une bille), une ligne d’usure. Les centres des billes nepeuvent pas s’aventurer au dela de cette ligne et ils ne pourront doncjamais atteindre le point vise. Ainsi, pour realiser le point bande avanten incidence rasante, il faut prendre le symetrique des billes par rapporta la ligne d’usure.

12Cette situation est suggeree dans la fiche 5, meme si on peut choisir l’autrebande.


Le modele ponctuel a vecu, vive le modele ponctuel ! Les billes ne sontpas de vulgaires points, mais bel et bien des boules dont le diametrene peut etre neglige plus longtemps. Et meme si cela complique le jeu,en nous forcant, par exemple, a prendre nos symetriques par rapport acette satanee ligne d’usure alors que c’etait si simple par rapport a labande 13, ca le pimente et le rend plus passionnant.

4.2. Des billes choquees. Jusqu’a present, nous nous sommes interessesa la trajectoire de la bille uniquement lorsqu’elle rencontrait une bande,nous allons maintenant voir ce qui se passe lors du contact entre deuxbilles et nous allons commencer par le choc « en plein ».

Comme son nom l’indique le choc « en plein » consiste a frapper labille en visant son centre (Fiche 8 en annexe).

Lors de ce coup, les billes A (la bille jouee) et B (la bille choquee)ne sortent pas de la droite definie par leur centre. La bille B se deplaceselon la trajectoire definie par le joueur, ce qui peut changer ce sont lesmouvements de la bille A selon les facons dont on la joue.

Jusqu’a present nous avions frappe la bille de facon a ce qu’elle sedeplace naturellement (legerement au dessus du centre). Dans ce caset dans les cas ou on frappe la bille sur sa partie haute, les deux billesiront dans le meme sens apres le choc, c’est a dire que la bille A suivrala bille B, sans pour autant se devier de la droite.

13bien que ce soit mathematiquement identique, prendre le symetrique par rap-port a la ligne d’usure plutot que par rapport a la bande, est quelque peu perturbantdans la pratique


Si on frappe la bille A « plein centre », celle-ci se deplacera en etatde glissement 14 (sans rouler) et donnera la totalite de son energie a labille B. Au moment du choc, la bille A stoppera donc net alors quela bille B suivra la trajectoire avec la vitesse de la bille A au momentdu choc. C’est ce qu’on appelle dans le monde de la petanque, « uncarreau 15 ».

Enfin, si on frappe la bille A dans sa partie basse, celle-ci aura unmouvement de rotation inverse par rapport au mouvement naturel, etreviendra donc en arriere apres le choc. C’est l’effet « retro ».

14A cause des frottements, l’etat de glissement ne peut etre obtenu que sur desdistances courtes.

15Il est possible qu’a la lecture de ces lignes, nos amis pastagophiles se mettenta creer des activites mathematiques et petanque. Nous, les bierologues, sommesobliges de travailler dans des lieux abrites a cause des conditions climatiques denotre plat pays.


Apres ces observations, on peut proposer le jeu de la fiche 9 pours’entraıner a la visee « en plein ».

La deuxieme visee particuliere a laquelle nous allons nous interesserest en quelque sorte l’inverse de la visee « en plein », et s’appelle la visee« finesse ». Elle consiste a viser la bille B tout en voulant la rater, lebut etant que les billes A et B soient de part et d’autre de direction aupoint de contact. Ainsi, La bille B ne bouge pas et la bille A poursuitson chemin sans etre deviee.

Rater une bille est tres facile, mais la jouer « finesse » est tres difficilecar dans la pratique, on a toujours tendance a la frapper plus quenecessaire (la peur de rater sans doute).

L’interet dans la visee « en finesse » reside dans la configuration geo-metrique de la situation et de l’exercice qui en decoule, c’est a diretrouver la trajectoire de la bille jouee puis dessiner les billes au mo-ment du contact (Fiche 10 en annexe).

Nous proposons deux solutions pour cette construction : on remarque,pour la premiere, que les billes A et B sont symetriques par rapport aumilieu de celles-ci, soit I ce milieu.

La direction cherchee est tangente aux deux billes, et pour des raisonsde symetries, cette tangente passe par I. Il reste donc a construire lecercle de diametre [AI], il recoupe le cercle definissant la bille A endeux points M et N. (MI) et (NI) sont les deux directions possiblespour une visee « finesse ».

La droite (MI) coupe la bille B en C (le point de contact), le centrede la bille A au moment du contact est defini par la droite (BC) et laparallele a la droite (MI) passant par A.


Pour la seconde solution, on trace le cercle de centre A de rayondouble de celui d’une bille. Puis on trace les tangentes a ce cercle pas-sant par A, ce sont les deux directions possibles. Tracer la bille aumoment du choc est ensuite enfantin.

Bien sur, il est possible de frapper les billes dans n’importe qu’elleposition comprise entre la visee « en plein » et la visee « finesse ». Lesbilles sont alors deviees de la trajectoire initiale, nous allons etudiercomment, en commencant par la trajectoire de la bille B.

4.3. Ou va la bille choquee ? Une des difficultes de cette activitevient de l’observation meme des resultats sur le billard, les billes etanttoujours en mouvement. Aussi, pour contourner cette obstacle, on com-mence par placer une deuxieme bille (la rouge sur l’illustration ci-dessous) a cote de la bille B. C’est cette bille qu’on frappera.


La bille rouge symbolise la bille A au moment du contact, l’avantageest qu’on peut la frapper n’importe ou, la trajectoire de la bille B n’ensera pas modifiee, tout se passant comme si on avait frappe directementla bille B selon la trajectoire « en plein » sur la rouge. On demandeaux eleves de dessiner ces trajectoires dans plusieurs situations (Fiche11 en annexe) puis d’emettre des conjectures. Cette activite est unenouvelle occasion pour construire des cercles tangents.

Le resultat attendu arrive assez facilement : La bille B suit la trajec-toire determine par les centres des billes A et B au moment du choc.

La fiche 12 permet de facon ludique de verifier si cette regle est as-similee.

La trajectoire de la bille blanche est plus difficile a prevoir et depend,on l’a vu avec la visee « en plein », de la facon dont elle est frappee.


Il existe cependant une visee particuliere que les joueurs affectionnent,c’est la visee « demi-bille ».

4.4. La visee demi-bille. Comme son nom l’indique, la visee « demi-bille » consiste suivre la direction tangente a la bille que l’on souhaiteatteindre. Ainsi, si on regarde le deplacement en etant situe sur la droitede visee, notre bille cachera exactement la moitie de la deuxieme :

Nous distinguerons trois cas, en fonction de la facon on frappe labille jouee. Le travail commun a ces trois cas est de construire la tra-jectoire de visee, puis de dessiner la bille jouee au moment du choc etenfin les billes dans une position apres le choc (fiches 13,14 et 15 enannexe). Bien sur une partie de ce travail a deja ete vu dans la partieprecedente : la bille B suit la trajectoire des centres au moment ducontact, c’est l’occasion de verifier que cette trajectoire ne depend pasde l’effet mis sur la bille A. Il reste a determiner la trajectoire de la bille.

Si la bille A est en etat de glissement, les lois de conservation d’energieassure que la bille A suit une trajectoire perpendiculaire a la droite descentres au moment du choc.


Dans ce cas, il est facile de trouver l’angle de deviation de la bille Apar rapport a la trajectoire initiale : le triangle CBT est rectangle enT, et le cote [BT ] est egale au double de l’hypotenuse [CT ]. Par suite,

le sinus de l’angle BCT est egal a 12, et donc BCT = 30 .

Nous en deduisons que la deviation de la bille A par rapport a latrajectoire initiale est de 60 .

Si la bille A est en etat de roulement,les lois de la physique nousdonne egalement sa reaction au moment du choc 16. La bille commencepar suivre une trajectoire parabolique avant, du fait des frottements,de retrouver une trajectoire rectiligne. La deviation est alors d’environ45 (un peu moins).

Enfin, si on joue un effet retro sur la bille A, elle commence paregalement suivre une trajectoire parabolique avant de retrouver la tra-jectoire rectiligne. Dans ce cas, la deviation est d’environ 90 17.

16Nous vous invitons a vous referer au livre de G.Coriolis, Theorie mathematiquedes effets du jeu de billard, Carilian-Goeury, 1835 pour plus detail sur ces lois quirelevent de la mecanique des corps. Vous pouvez egalement consulter le livre Billard,theorie des jeux de Regis Petit qui se veut une simplification du precedent.

17Le logiciel de simulation (BillInter170101) utilise a tendance a exagerer latrajectoire en effet retro. Dans la pratique, cet effet ne peut etre obtenu que sur depetites distances, et lors de ce coup, il faut frapper la bille suffisamment fort


Pour ces deux dernieres experiences, on se contente d’observationset peut etre de constructions. C’est sans doute une des premieres foisque les eleves de college seront confrontes a une parabole et bien qu’ha-bitues a des spectacles beaucoup impressionnants, leur etonnement seraperceptible.


5. Le Billard, une terre de decouverte

Nous esperons avoir demontre, au fil de ces lignes, que le billard estun formidable terrain pour faire de la geometrie. Un terrain riche endecouverte, pour les notion qu’on y aborde et pour l’apprentissage duraisonnement, mais un terrain sans concession, ou l’experience invalideimpitoyablement les propositions fausses et meme un terrain sournois,car parfois l’experience invalide egalement des theories exactes, forcantainsi a une vigilance de tous les instants sur les domaines de validitede ces theories et sur leurs conditions initiales.

Nous sommes loin d’avoir epuises les possibilites du billard, et il resteune multitude de pistes a explorer. Le travail sur les paraboles peut cer-tainement s’aborder de facon plus poussee au lycee, et quand on voitles trajectoires que sortent les joueurs de billard artistique, on se ditque tout reste a faire.

Finalement mathematiques et billard sont intimement lies, a tel pointqu’on ne sait plus qui est au service de l’autre : le billard pour lageometrie ou la geometrie pour le billard ? car force est de constater quele billard est un lieu ou les interets des joueurs et des mathematiciensconvergent.


Fiche 1 :

Les rectangles ci-dessous representent-ils des billards ?


Fiche 2 :

Voici des billards avec une bille et des quilles. Positionner les objetssur le billard a leur place exacte. Viser une des quilles et dessiner latrajectoire obtenue sur le dessin avec le plus de precision possible.


Fiche 3 :

Sur le billard, placer la bille pres d’une bande, placer une quille quisera le point vise. Representer la situation sur le dessin.

Sur le dessin, prevoir la trajectoire ; controler en jouant.


Fiche 4 :

On a dessine des trajectoires de billes (suivre les fleches). Sont-ellescorrectes ? Expliquer.


Fiche 5 :

Pour chacune des situations proposees, trouver le point qu’il fautviser sur la bande pour faire la point.


Fiche 6 :

Exercice 1 : Ou doit-on viser pour faire le point en touchant deuxbandes avant ?

Exercice 2 : La bille est en A, elle arrive en B apres avoir toucheles bandes en I et J.

(1) Demontrer que les droites (AI) et (BJ) sont paralleles.

(2) M et K sont les milieux respectifs des segments [AB] et [IJ ].

(a) Demontrer que les droites (MK) et (AI) sont paralleles.

(b) Demontrer que les droites (OK) et (AI) sont paralleles.

(c) En deduire que les points O, K et M sont alignes.


Fiche 7

Pour chacune des situations ci-dessous, representer la bille 18 au mo-ment ou elle touche la bande et dans une position apres le rebond.

18La dimension des billes a ete volontairement exageree pour cet exercice.


Fiche 8

Exercice 1 : La bille A rencontre la bille B « en plein ». Observer etdessiner les billes au moment du contact, puis les directions des deuxbilles apres le choc.

Roulement naturel :

Glissement :

Retro :


Fiche 9

Placez la bille blanche pres de la bande a l’endroit de votre choix.La bille jaune doit abattre la quille. Expliquer ce qu’il faut faire poury arriver a coup (presque) sur.


Fiche 10

La bille A rencontre « en finesse » la bille B. Trouver la trajectoirede la bille, puis la dessiner au moment du contact.


Fiche 11

Exercice 1 : La bille A touche la bille rouge, collee a la jaune. Ouva la jaune ?

Exercice 2 :

(1) Placer une troisieme bille contre la bille jaune. Completer ledessin en expliquant la construction.

(2) Dessiner la trajectoire de la bille jaune apres le choc. Commentpeut-on prevoir le resultat. Expliquer.


Fiche 12

La bille blanche choque la bille jaune.Si la bille jaune passe entre les deux quilles bleues : 1 point.Si La bille jaune abat la quille rouge : 5 points.


Fiche 13

On a vise la bille jaune « demi-bille », la bille blanche est en etat deglissement.

(1) Construire la trajectoire puis dessiner la bille blanche au mo-ment du choc.

(2) La bille blanche suit une direction perpendiculaire a la droitedes centres, dessiner une position de chaque bille apres le choc.

(3) Demontrer que l’angle deviation de la bille blanche est de 60 .


Fiche 14

On a vise la bille jaune « demi-bille », la bille blanche est en etat deroulement.


(2) Dessiner la trajectoire de la bille blanche apres le choc.

(3) dessiner une position de chaque bille apres le choc.


Fiche 15

On a vise la bille jaune « demi-bille », la bille blanche a ete frappee« retro ».


(2) Dessiner la trajectoire de la bille blanche apres le choc.

(3) dessiner une position de chaque bille apres le choc.


References

1. Euclide, Les Elements. Traduction et commentaires de Bernard Vitrac, editionPUF,1990

2. G.Coriolis, Theorie mathematique des effets du jeu de billard, Carilian-Goeury,1835

3. R.Petit, Billard, theorie des jeux, Chiron, 2004

4. M.Masse, Cahier peagogique d’accueil et d’initiation a l’usage des animateursde clubs, FFB, 1996

mathematiques et billard · a atteindre un point donné (matérialisé par une autre bille, ou...

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