mathematiques annales brevet senegal

63

Upload: amadzz

Post on 05-Jul-2015

2.283 views

Category:

Documents


20 download

TRANSCRIPT

Page 1: Mathematiques Annales Brevet Senegal

�������

����

������������������ ������������������������

��������� �� �����������������

Page 2: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������

�� ����

�����

�����������������������

���������������������������

����������������������

!�"�#����������$�����%&� �'("(

)�*����#������������� ������������������� ������� �����

(���������������������

'+�' �#��������$�����%&� �'((�

)�*����#������������������������������������ ������������������ ������,

'!��������������������

'-�'(�#������$�����%&� �'((�

)�*����#����������� ������������ ������������ ���������������� ������,

�+��������������������

�'��!�#������$�����%&� �'((!

)�*����#���������!�������������"#������ !���������$��������� ���������������������,

�-��������������������

�.��(�#������$�����%&� �'((.

)�*����#����������������������� ���������������� ���������� ����,

�+��������������������

�'����#������$�����%&� �'(("

)�*����#�%����� ������������������������� !������������$�������������������

���������

� ��������������������

�!��"�#������$�����%&� �'(((

)�*����#����������������� !������������"�������� �&�����������������������

�� ���������$�����������'������������������������

�(����������������� ���

+� !�#������$�����%&� ��++�

)�*����#��������������$������������������������������"#��������������#����"�������

���!�� ������������

-����������������� ���/'��0����1

.�!'�#������$�����%&� ��++!/'��0����1

)�*����#����������������� !������������"�������� �&�����������������������$��(����

� ���������������������������� ���������"#������ !�������

!������������������� ���/�����0����1

!��!!�#�������$�����%&� ��++!/�����0����1

)�*����#����������� ������������!�������������'"%�

!-��������������2����������������3�4�������4��*��

!.��������������$�����3������������4��

!"���������������������5�����������������������������4��

!(��������������)��4���������������

-+��������������)��4�����3���

Page 3: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������

�6�7)�������

����3������������������8������4���9��:��5��������4�����������������������������4������

��;��������������5�4����;�44�����������4��<�����45�:����=�3��������5��44������������>�;��:

���3�4���������3�����;����,� �����4���������������>������������������������

������������������������>�������������3����������������������������3�������4�

�����������������5��*���*��������������������,�����;;��=�4��3���������3�����������

����������;�����������4���=��:�3��������=������;�����5�:�4�3������������3�������������

�����4���;���4���>����4����,

�4�3����������3���4���������3����������49���������4*������������������������������

4�������������3��?����=�3������������>�4����4������������������33�������,�2�������4����

3����4�����;�����:�*��5�44�����������>�4����4�������;���5������45�4*���>��3���������4��

��������������,

����4��=��4�������;���4�����������3�4���3�����������45�:�������������3��;����������3���

��<�����9�����%&� ,

�������4*����3�����������������������������%&� ����3������3�������8�����*�������������

3����������>�45������4��������������������������������4��34������������*��,

$�������=��5������8�����>����;�����������������������������������������4����������

���4�������,

��;��=�<����������3����������3��;���3�=��������������������8�;�����������3���:���

�3�������3���������4�,

@5���*������3���3���4�3�����������������4���3���:���:��4*����������������������:��:�����

���3��3���������������4��34������������*����������������:���;��������������������

������3�������4�,

@5���*��������������������8�����������4�����>�45���4��������<5����������>�4����4���,

����������

����$����

��;�������� ����������������$� � �����A��%�44�� ��3B������C0�

������������������� �

�9��� �0�

��;�������� �����������������93����4����$���������C��7D

������������������3��������>�45����3������� ����4�������;����*��

$����3��#

�����4#3�;;��+E������4,3��

Page 4: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������

�D� �7�2C�%&� �F������7�2��'("(!���"��

#�$%����������������

&' (��)��� �)��������*��� ��� ����+ ��� �������� �)�� ��� �������� �,����*��� �� ���)����� �

�,�-)�����./01�2��

&'����) �� ��������3��)�� �����-)�������)���������������������,����*���� ��

���)������)�)�� ��������������

/1��� /4���

/1��� /4���

�&' �� )�������� ��� ���)����� � �� -)������ 5 ����� �,����*��� � �� ���)����� �

�,���-)�����./06���

����������

&'!���7��7������� �7�������78#�#�

�������������������������������������������������������√√√√ /6�����)���+��������/������+����*�"��7 ������� 96�9�9��

:����*������ �*���� � �7������� �7�

&'�5����)���; 6√√√√�50��; 4√√√√�50�5:� )��� ���-)����������� �����5)�������)����*���7��� ��������,���,

�)������8

�,2√√√√�6.√√√√��,2√√√√�4.√√√√�<��8���-)�������&'�� &'������ ���� ������

##�6%�=��(�#��6�����>*�

:���)�����*)�� ,)����>�����3����*�;=+)+�5�

=� ��������������;6 +�5���;6 +6�5�

&'(��)������������)�������� ������ )�������*�"� �� ������?*����� �

������=��������� ������ )�����:�*�"� ������������������ ������)����

&5�������-)���-)� �)����;�+:+�+�5���)�������"���

�&5���)��������")�)�$ )������������������)������"��;�+:+�+�5�

=����� ��ππππ2�+.�.&5:����*�����,�-)����� ���*� �������∆∆∆∆ )��"*���[[[[��]]]]��&5(��)������������)�-)��������@;�965�����������A∆∆∆∆���������">���%��*�����

�/������&'+���&' ���

&' ��� &' ���

�&' ����&' ���

�/������ &' ���.&' ���

&' ����&'����

!�3�*�+���

Page 5: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!

�B���<:C����6!�!!#=<:����

�=��#%�

����������D��$�$��'

'GH� )����� ��33����������� ���� �=� ���� �� ����� ���� �� 45������4�� ��� ��4������� �

45��������� :I�F�(�J�+,������� �:I�F�(�J�+ ��������;�3������ :I�F�(�����

⇔���������� :I�J�( ���������45��������������

⇔����������� � (

& = /�:��1/�:K�1�J�+,

⇔������������ �L L

� �& �� &= = −

2������������������������∅∅∅∅:�������������������� �M

� �

= − :����������������������� �M

� �

= − �

�∉������

�− ∉ �� ������������

�∈�������

�− ∈ ���

�∈�������

�− ∈ ��

�GH�������������3��3�����������������������������������������45������4������

��4��������������������������,

/1��� /4���

/1��� /4���

/1���

⇔� �:N�

⇔� ��:N�

/1���

⇔� �:��

⇔� ��:��

/4���

⇔� �:N���

⇔� ��:N���

/4���

⇔� �:������

⇔� ��:�����

�∞ ���

�K∞ �∞ ����

�K∞ �∞ �����

�K∞ �∞ ���

�K∞

������������������M�

−∞ ��������������M

+∞ ��������������

M�

−∞ − ��������������M

− +∞

�GH� ��� ���4������ 4��� ���4����� �� 4�� ��������� �1� ����� 45������4�� �� ��� ��4������� �

45����������� :I���(���+,

��������������������������������� :I���(���+

⇔� /�:�F��1�/�:�K��1�����

��������������:�F�����+ /�'1 ������������������:�F�����+ /��1

⇔����������:�K�����+��������/��1������C ���:�K�����+ /� 1

�5����������� :I���(���+�3������>���:��9��*����5�������������������,

�5������4�������4����������9��*������������J�'�∩ ���,

Page 6: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������-

�5������4�������4����������9��*��������������J���∩ � �,

�5������4�������4���������45����������� :I���(���+�������J���∪ ����

��J�/�'�∩ ��1�∪ /���∩ � 1�

��J�

M�

−∞ − ∪�M

+∞

�D��$�$����#'GH������;�4��;��3������;��������;�#�������������������������

�����������������������������������������������������:������������������� � �& −

$�43�4�=�����44����:������=�4�������������;������4����M�����M�+�M�!,

;/�1�J � � � ' '× − = = ;/�1�J�'

;/��1�J � / �1 � (× − − = − ���������� ;/��1��5�:��������

;/+1�J � + � �× − = − ���������� ;/+1��5�:��������

;/!1�J � ! � .× − = ;/!1�J .

2��������4������������;����������;;������;����������:�F���O�+,

2��3�;������;���������:�O��

�,

�������������;����������;�����������;�J��M

+∞

�GH��1�$�43�4��/����√��1I������/��K�√��1I/���� � 1IJ��I����/�1 � K�

��������������J�.��� � �������������������������������������������������������������������������/���� � 1IJ�.��� �

/��K � 1IJ��I�K��/�1 � K�

��������������J�.�K� � ����������������������������������������������������������������������/��K � 1IJ�.�K� �

�12�������4�������������3�������1������3���������4�;���������4���5����%5

���������#

��������������5J�� . �− �������������%5J�� . �+

�5J�� . �− �J� �/� �1−

$��3�����4�������������� � �,���������������������������������������������� �� �= �������P�+

����3�4��3��������4���3����������� � , �� �= − �����N�+

/�1I�����J� �P����4�����P� �

/ � 1I�J�� 5�Q����� � �P�+

����3��34������#� �/� �1− J���� � ��������������������5�J����� �

%5J�� . �+ J �/� �1 � �+ = + ���������������������������������������%5�J�� � �+

��,��0�� �)���,������������4*��

Page 7: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������.

2��������4��������5�����*������������/������=�����=�������1�=

��������4������������/����M��1����%�/���M����1,

�����'GH�)��������4��3�43�4�4���3�����������������$���������������4���9�������

3����������4���3�����������������2��������������4������4����������3�����%$,�����$�/:$M�9$1����2�/:2M�921

��/�1�J�$��4������J��$,

�/��1�������������������������������������������������������������������������:$���J������ ������������������������������������������$

������������������������������������������������������������������������������9$��:$�J�� �

���J��$�⇔ $

����������������������������9$�J�� ��

���%$�/�1�J�2��4���%$�J��2,

��������:$�:% ��K� ���

%$ %$ %$

��������9$�9%�������������������������������������K� �����������������������+

�������:2�:����������������������������:2K�

�2 �2

�������92�9� 92��

:2K��J� :2�J�� �

%$�J��2�⇔ ⇔ 2

92���J�+������������������������92�J�������������������������������������

����G1� ���������4�������4����/�=�2=�$=�%�1���������3����4��

%$�J��2��4���/�=�2=�$=�%�1�����������44�4������,

������������%����%$���������������:�#

��������:%�:������������������������������K� +

�% �% �%

�������9%�9� �����������������������������������-

+ / -1 + + + +× + − × = + = ���3��%����%$���������������:,�

/�=�2=�$=�%�1�����������44�4����������������/�=�2=�$=�%�1���������3����4�

�%����%$���������������:

�G1�)�����4��4�����������3�34��3�3���3�������3����4���/�������������

/����������π�J��=' �1,��J)������� π×

������*�����3�34��3�3���3������4��4��������4�����3����4�,

$�43�4����4��������4���$����3����4�,� �/ 1 / 1" � " ��" & & � �= − + −

7%�#���������3�43�4���$�������4������4������*������9�����������4�������4���3����4���%$,� �/� �1 / � �1 '- �- !� � '��" = + + − − = + = =

* �" π= ×

Page 8: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������"

� '� �=' * = × �������������������������������������������������������������������������������������� -=�" '�* =

G�1�2��������45�����������4��������3��/∆1�����������[�$]��/�1�J�$��4���������4����4������[�$],���������3��/∆1�����������[�$]���������3�����,����� /:�M91������������/∆1�#�� �����$���������������:,

�����������: �:$�:� ���������������K�

� �$ ����$ �$

9 9$�9� �������������������������������������������-

� �����$���������������:�⇔� :�F�-9�J�+

/∆1�#� :�F�-9�J�+

!G1�)�����4����4�����������4���������R/���M��'�1������������>�/∆1R / 1∈ ∆ ��4��� ��F�-/�'1�J�+,

����4�����45��������� ��K�-�J�+������������,

����� ��K�-�J�+

⇔�����������J�- �

�− = − ��J�

�−

6��3��4��;������������5�44����������������4��������/�44���5��������������1,

Page 9: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������(

�D� �7�2C�%&� ��������7�2��'((�

������4

�������������� !"!����������3����*����:�;��3���������49�S����;�������;����������������#

;/:1�J�:I���:���������/:1��J�'�F��:

'G1�$�43�4��4�����4��'�J�;�/ " 1������J���/ � 1

�G1��H��$�43�4��4����4��J��;�/ " 1��K���/ � 1

�������H�2����������3����������5���4�����+=+'���3���������#

���� �'= ' �N� � �N�'= '!

�G1������4����4���J '

�, �����������������5�3��������4��;����� ( ����3����∈∈∈∈�T�����

∈�#

��� !"!��#����3����*��4��;��3�������49�S���;��;��������#

�������/:1�J�/��:��� � 1I�K���/��:��� � �1/�'�K� � �1�K�/�'�K� � �1�I

'GH� ����������/:1������4��3���5�����49�S��,

�GH��������������=�45���������#� / 1� & �F�.�J�+,

�GH������B�4��;��3������;���������������#�B�/:1�J / 1� & F�',

�H�������44������������=�B������44������;��3�����4�������U

�H�������44������������=�B������44������;��3������;;����U

3H������������������������B����������*�����������/��=���=�<�1,

���$������������

��� !"!�����

'G1�$��������4�������4���3����4������=�����4������������������4�������������#

�%�J"�3������$�J�-�3�,

�G1�$�43�4��%$������3��/�%$1,

�G1��4�3��4�������� ���4������ �J'

��%,

G1�������44*4��>�/%$1������������ �3�����/�$1����7,

������1�$������4������������%

�+����

�,

�"�,

��1���������������7�J'

��$,

��� !"!������4���4��������������>������*������������/�=��=�<�1,

'G1�$��������4��������/∆∆∆∆��5���������:�F��9�K�-�J�+,�G1��4�3��4������������3���������/�!�M�"1,�@����;����������5���������������������

�4��������������%∆∆∆∆��3���������4���������,�G1������%�4����������3���������/'�M�� 1=�3�43�4��4���3�����������&���4�����

V��W,

G1�2����������������%�������9������������������>�/∆∆∆∆�#

Page 10: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'+

�D� �7�2C�%&� �������7�2��'((�

$����0�

�������������� !"!��������3����*����:�;��3���������49�S����;�������;����������������#

;/:1�J�:I���:���������/:1��J�'�F��:,

'G1�$�43�4��4�����4��'�J�;�/ " 1������J���/ � 1

;�/ " 1�J� �/ "1 " " " " � �− = − = − ' " � �= −

��/ � 1�J�'����√� ���������������������������������������������������������������������J�'����√��G1��H��$�43�4��4����4��J��;�/ " 1�K���/ � 1,

�J�'�K��

� /" � �1= − �K�/'���� � 1

� ( �= − ��������������������������������������������������������������������������������� ( �= −

��H�2����������3����������5���4�����+=+'���3���������#�'= ' �N� � �N�'= '!�,

������'= ' �N� � �N�'= '!

� ×'= '!�N�� × � �N�� ×'= ' �������������������������������45�����4����3������������

�������!=--�N�� � �N���!=-!-�����������������������������������������������������4���4�������������

��(���!=--�N�(��� � �N(���!=-!-�������������������������������������������������������;,

��������=� �N�(��� � �N��=��

��������=� �N��N��=��!��������������������������������������������������������4�����J��=�!�F��=�� �J�+=+'

�G1������4����4���J '

�,� �����������������5�3��������4��;����� ( ����3��∈∈∈∈T�����∈�

��J/" � �1/' � �1" � � ' �

� �' " .' � �

− +−= = = −

− −−

�� � �= − ��J��������������������J��

��� !"!��#����3����*��4��;��3�������49�S������;��������#

�������/:1�J�/�:���√�1I�K��/�:���√�1/'�K�√�1�K�/'�K�√�1I'GH� ����������/:1������4��3���5�����49�S��,

��/:1�J�/�:��� � 1I�K��/�:��� � 1/'�K� � 1�K�/'�K� � 1I

��������J�V/�:��� � 1K�/'�K� � 1WI

��������J�/�:��� � �K�'�K� � 1I

���J�/�:�K�'1I ��������������������������������������������������������������/:1�J�/�:�K�'1I

�GH��������������=�45��������� / 1 . +� & − = #

������������ / 1 . +� & − =

��⇔�������� ' . +& + − =

��⇔�������� ' .& + =

���⇔��:�K�'J.�����:�K�'J���.

Page 11: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������''

����⇔��:�J�-�����:�J���"

����⇔���:�J������:�J���

�GH������B�4��;��3������;���������������#�B�/:1�J� / 1 '� & −

�H�������44������������=�B������44������;��3�����4�������U

�H�������44������������=�B���������;��3������;;����U

B�/:1�J� / 1 '� & −

�����/ 1 � ' '- & &= + −

���������:�K�'�O�+#�B/:1�J��:�K'�F�'

��������:O'

�− �#�B/:1�J��:���4��=��B���������;��3�����4������,

����B���������;��3�����4����������������:∈�����4�����:

+∞−∈ M�

'

���������:�K'X��+�#�B/:1�J����:���'�F�'

��������:X�'

�− �#�B/:1�J����:�F����4��=��B���������;��3������;;���,

����B���������;��3������;;�������������:∈�����4�����:

−∞−∈�

'M

3H������������������������B����������*�����������/��=���=�<�1

Page 12: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'�

���$������������

��� !"!�����'G1�$��������4�������4���3����4������=�����4������������������4�������������#

�%�J"�3������$�J�-3�,���������3����:��������������3�4���������,

��������4�3��4��������%���4����

=����%�J"�3�����4��������$���4������$�J�-�3�,

�G1�$�43�4��%$������3����%$%$I�J��%I�K��$I

3���%$�J+"

�+J� "=+

'+

"=

%$I�J�- �K��-

%$I�J�'++

%$�J�'+����������������%$�J�'+�3���������������������������������������3���%$�J�+="

�G1��4�3��4�������� ���4������ �J'

��%,

G1�������44*4��>�/%$1������������

3�����/�$1�����7,

����������4���������� [ ]�+ ���������

����������4��,

/6��������!(1

�1�$������4������������%

�+����

�,

�"�,

�=� ����%�������4����������3�����

�=�7����$�������4����������3�����������������4�������������%

�+J

�,

�"�����/�)���*�����)��4*�1,

/%$1�HH�/ 71

��1���������������7�J'

��$

� �J'

��%���3�

�%

�+J�

'

Page 13: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'�

���%

�+J

�,

�"

2��3��,

�"J'

�������5�Q������������7�J

'

��$

��� !"!������4���4��������������>������*������������/�=��=�<�1

'G1�$��������4�������/∆∆∆∆��5���������:�F��9�K�-�J�+���3���������:�������� ����7������������>

/∆∆∆∆�#: �F��9 �K�-�J�+

���: �J�+��4���9 �J��

:7�F��97�K�-�J�+

���97�J�+��4���:7�J���-

/∆1���������3����4�����������3��������� /+�M�1����7/��-�M+1,

�G1��4�3��4������������3���������/!�M"1,�@����;����������5���������������������

�4��������������%∆∆∆∆��3���������4���������,$�43�4����:��F��9��K�-�,

+�F��/+1�K�-�J�-�P�+

2��3�4�������4��������������/∆1�3���������4��������������4��4�����������4������������4�����:�F��9�K�-�P�+,

����<����;�������4�����������5��������������>�3�������4��=��4���;;���������������4��

3�������������������;���������45�����4����:�F��9�K�-�P�+,

��!�F��/"1�K�-�J���!�F�'-�K�-

������������J��F��'�K�-

����������������������J���'!

��'!��5����������������>�+=���3����5����������������������4��������������/∆1�3��������4���������,

Page 14: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'

�G1������%�4����������3���������/�'�M�� �1=�3�43�4��4���3�����������&���4�����

V��W,! '

�� �

" �

� �

� +.

� +.

& &&

� ��

+ − += = = −

+ −= = =

����������������������������������������������R�/����M��1

G1�2����������������%�������9������������������>�/∆∆∆∆�# �����������/�%1�����������3�4����>�/∆1��������R����������������/∆1,��/��M'1����������3������3������4�������/∆1�#�:�F��9�K�-�J�+

'K!������������������-

�% ����������������%

� �"�����������������'�

6��;���������4����3���������4����3�����%���������������:,

�×-�K�'× /�'�1�J�'����'�

������������������������J�+

6��;���������4��������R�/����M��1�����������>�/∆1,�������×��K�-�J�����F� �K�-

���������������������J���-�K�-

���������������������J�+

R�����4����4������V�%W

/∆1�⊥�/�%1 /∆1�����4��������3����V�%W

R∈/∆125�Q������%�������9������������������>�/∆1,

Page 15: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'!

�D� �7�2C�%&� �F�������7�2��'((�

������4

������������ !"!���

'1��3���45�:����������'� .!(�� " �(�) '(� �������4��;������'�* ( �M

���������������:���4����5�����������,

�1�$�43�4��4����4��������������45�:�����������������#

���'�� �

� �

& &

& &

−−

���+,- ���'���. �

��� !"!���

����������������:���4�����4���9��*�������:�����������>���:���3��������������

�*��$�/�$�01�'��

�1��$�/�$��*�'��

2��������4�����4�����������������4��3���4��/��M��'1��������4��������3���9��*��,

����4�3������3���9��*�������������4�����4��������������������������I�4���9��*��

��������������.�*��$�/�$�01�'��

����������� � ��(�/�'��

������������C���4����������������>������*�����������/+=�������=�������<�1

�4�3������3���4���4�����������=�%=�$����������4����3��������

�%.���0�2����2��%��0�2�.���2���%3�0�2�4���������������������4����4������V�%W,

$�43�4��4��������3����%�M��$����%$��������������4�������4���%$������3����4�,

�����Y�4����<�3�������������4���������4�������/���

$�43�4��%Y�M�$Y�M�����Y�/������4�����4����4��������������������4�������4���3����4�,1

1������%5���$5����3���������4�����<��������������:�����������%����$����45�:�

/+��=�<��1,

�1��*5!-5� �+/

+"��6�

Z

Z Z

+ 0

+ "#

�1� ��������3���3����������45�����������3��34�������Y�����������>�45�:��/�=������1,

Page 16: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'-

�D� �7�2C�%&� �������7�2��'((�

$����0�

���������

��� !"!���

'1��3���45�:����������'�� .!(�� " (�) '(� ������4��;���

�����'�* ( ,�/���������������:���4����5�����������1,

.! � �! ! �= × = ������������������������������������������������7!,8+,9� �)0�2��4��6��:�#

" � '- �= × = �����������������������������������������������)0�'�� �!×

'(� � - " �= × = ����������������������������������������������4�'�� �×

��'�� ! �× �(�� �× �(�) " �× ������������������������������:��'�� -�×

��'�'+ � �(�'- � �(�!- �

��'�"� � *�'�4����������������������1�'��

�1�$�43�4��4����4��������������45�:�����������������#

���'� � �

� �

& &

& &

−−

���+,- ���'���. � #

����:�J���� � �#�$�J� �/� �1 � /� �1

� /� �1 �/� �1

− − −−

− − −

( )( ) � -

�'-�!

���

�'��� �'-

�� �

��� �

+−

−=

×−

−+××−=

−−="

�'� -

�'-�!

+−

��� !"!�������������������:���4�����4���9��*�������:�����������>���:���3���������������#

����*��$�/�$�01�'��

����1��$�/�$��*�'��2��������4�����4�����������������4��3���4��/��M��'1��������4��������3���9��*��,���3���4��/��M���'1�������4���������9��*����4��=������#

����*�(���$�01�'�� ��������4�3��:���������9������'

����1�(���$��*�'�� ����4�����:����������,

����4�����3���9��*���#

��*�(���$�01�'��������������⇔⇔⇔⇔���������% �× ��������*�(���$�01�'������������⇔⇔⇔⇔ ��*�(��$��01�'��

��1�(���$��*�'���������������������������/ × ����$��*�(���(��1�'��������������������.���*�(���(��3�1�'��

����<�������������>������=������������#

�����.�K���J�+

⇔⇔⇔⇔��������1'�.)�����������������4�[����������45��������������������9��*���#

��������������*�(���$�01�'��

�����⇔⇔⇔⇔��*�(���(�0×)�'�������⇔⇔⇔⇔�����������*�(��3�'�������⇔⇔⇔⇔�������������������*�'�.��3

Page 17: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'.

⇔� *�'�.:

����4�3������3���9��*�������������4�����4��������������������������I�4���9��*��

������������.�*��$�/�$�01�'��

���������� � ��(�/�'��

������4�[��������������4������4���=�4���9��*����������#

��'":�F�9�K��!�J�+������������⇔⇔⇔⇔����������4��$�/�'�.��0��������� � ��(�/�'�� ������������������� � ��(�/�'��

����<�������������>�������3�����:����������=������������#

������������/'"�K� � ���'�.���

�⇔⇔⇔⇔�������������������������'��'"

��

+

������4�3��4����4�����:�����45���������������������������9�#

�������� ��'"

��×

+

−�(�/�'��

��⇔⇔⇔⇔���������������������������/�'���.� ��'"

��×

+

��⇔⇔⇔⇔����������������������������/�'��'"

�����!

+

++

��⇔⇔⇔⇔ /�'��'"

��!!

+

+

������������

'1�C���4����������������>������*�����������/�=���=�<��1,

�4�3������3���4���4�����������=�%����$����������4����3��������

�%.���0�2����2��%��0�2�.���2���%3�0�2�4���������������������4����4��������%��

$��3�����4���3�������������4��������%��'=! '=!

+� �

� / �1+

� �

� +

� +

& &

� �

+ − += =

+ + −= =

2��3�4����������3���������/+�M�+1�������4��������%��

25�Q�4����������������4��������%��

Page 18: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'"

�1�$�43�4��4��������3����%�M��$����%$��������������4�������4���%$������3����4�,

� �

� � � �

/ 1 / 1

/-=! '=!1 /" �1 /"1 /-1 - �- '++ '+

" � " ��" & & � �

�"

= − + −

= + + − = + = + = =

� �

� �

/ 1 / 1

/-=! '=!1 /" �1 !I '+I '�! ! !

" + " ++" & & � �

+"

= − + −

= − + + = + = =

�����%�J�!�������������������������������$�J�'+���������������������������%$�J�! !

������������%IK�$IJ%$I�/�3�������������*������9������1

�%IJ�!M��$IJ'++M�%$IJ'�!,

�%IK�$IJ'�! �%IK�$IJ%$I��4����%$�������������4���3����4������,

%$J'�!

�1������Y�4����<�3�������������4���������4�������/����,

$�43�4��%Y�M�$Y�M�����Y�/������4�����4����4��������������������4�������4���3����4�,1

%Y×%$�J��%I��4���%Y�J���+

+"

%Y�J��! !

!! ! != = ���������������������������������������%Y�J� !

$Y�J�%$�F�%Y

$Y�J�! ! �� ! J� ! ��������������������������������������$Y�J� !

� �

� � �

/ 1 / 1

/'=! '=!1 / � �1 � / 1I �! !

+ � + ��+ & & � �

�+

= − + −

= + + − − = + − = =

Page 19: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������'(

�YI�J�%Y×$Y

�Y�J� � / !1 � != �����������������������������������������Y�J�� !

1������%5���$5����3���������4�����<��������������:�����������%����$����45�:��/+=<��1

�1�$�43�4�+/

+"��6�

Z

Z Z

+ 0

+ "�#

+/

+"'

! '

!! !=

Z

Z Z

+ 0

+ "'

� '

'+ !=

�1� ��������3���3����������45�����������3��34�������Y�����������>�45�:��/�=���1+/

+"

'

!= /%%51�HH�/�Y1

Z

Z Z

+ 0

+ "''

!

%5�������4����<������������4���%����/�=�<�1=��4���/%%51�HH�/�=���1

/%%51�HH�/�Y1 /�Y1�HH�/�=���1

/%%51�HH�/�=���1

��∈�/�Y1

��∈�/�=���1 /�Y1�J�/�=���1�5�Q�Y∈�/�=���1/�Y1�HH�/�=���1

Page 20: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������+

�����������������������������������D� �7�2C�%&� �F������7�2��'((!������4

����;�������������<���

��� !"!������%��+69�

'GH����3����*�������������[�%]�����4�����=��������������������������� ����4��=

���(����'�����,

�GH��%$�������������4�=��������������5�4��:��������������Y���4�����=��(�=��(=��'��#

������4�������=���4������[�%]�=������������Y�����������������[�$]�, ,15>8��# %)�+69�

��������3S��������4���������������������������4��3�34�������3��������������������������������9�����J��,���������3������������4��>���,

'G1�$�43�4�����;��3���������4����4������3S��,

�G1������)���������������3���4��3�34�M�3�43�4�����������=���4���4�����=���45���4�

��),

�G1�7�\���������3������3��������4��3�34����������,$�43�4�����;��3���������4����4�������45��������4����4���9��������4�*������������

����������7�\�,

����;�����������<�����

��� !"!��������������������%��+69�

��������4������������4���9��*���/�1��;�������#

�����������.�/�$��'���������������%��

%���������$�/��(���'����������%��

� ��������.����(��/��(�:�'�������%�������������������������������������,�����4��������������>������*����������4

/�=��=�@1,

,15>8������������%�3+69�� ���3����*��4����:�������������������#

�/:1�J�/'!:�K�'+1/�:�K�!1�F�/'�:�K�"1/�.:�K��1�F�!�/(:�I�K�-:�1���

������������%/:1�J�/.:�K�'"1I���/�:�K�'1I

'G1�&�3�������/:1������%/:1

�G1����3����*��45�:���������/:1��;���������/:1�J/ 1

/ 1

� &

+ &,

�G1�����4�;���45�:���������/:1,

G1��������4�����������������������#��/:1�J�+�M�?�%���''

�#

$�43�4��4����4����:�3�������/ � 1�/�������3�4��������������1,������������

��4�������3����>�'+�����������;��������/ � 1���3���������'�����<<<<� � �<<<<�����0#

Page 21: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������'

�D� �7�2C�%&� �������7�2��'((!

$����0�

����;�������������<���

��� !"!������%��+69�

'GH����3����*�������������[�%]�����4�����=��������������������������� ����4��=

���(����'�����,

����4������[�%]��4������J��%�,�����������������������������������������������������������J����% ��K� %�J� ��K����K� ��K��%���/��4��������$���4��1������������K��%�J�+

�����������������J�� ��K�/����K��%1

�����������������J�� � ��K� %�J��� �

�GH��%$�������������4�=��������������5�4��:��������������Y���4�����=��(�=��(=��'��#

������4�������=���4������[�%]=������������Y�����������������[�$]�,����4������[�%]��4���Y��K�Y%�J���Y��,����������=��(�=��(=��'��

�����⇔�����������Y��K�Y$�J�����������������������������������������������������Y$�J�Y��K��$

�����⇔�����Y��K�Y��K��$�J��������������������������������������������Y��K�Y��J���Y�

�����⇔�������������Y��K��$�J��

⇔� ��������������Y��J��$

⇔� ���������������Y�J��$

2��3�4�����������=�Y����$�������4����������3�����,

25�Q�Y�∈[�$]�,

,15>8��# %)�+69�

��������3S��������4���������������������������4��3�34���������3�������������9����J��,���������3������������4��>���,

'G1�$�43�4�����;��3���������4����4������3S��,

����������4����4������3S��,�����������������������������

��������L L

���� �� (�� /������×=

�L L���� �� (�� � π= ×

��������� �� �

� �

� � �π π× ×= = ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������*

�/������ �=

�����������

�π= ���������������������������������������������������������*������������

Page 22: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������

�G1������)���������������3���4��3�34�M�3�43�4�����������=���4���4�����=���45���4�

��),

)����������������3�34�=���3��)�J��,

$�43�4����4���������������)�������5���3����?���������),

��)�������������4���3����4������=��4��������)0�

0�= ,

�����)�'

� �

�= = J�+=!

�5�:�������4�����4������������#

+= ""�N������)�N�+=! +

����-GN������)�N�����.G

2��3���)�J��-G�>�'G��*������;���,

�G1�7�\���������3������3��������4��3�34������,$�43�4�����;��3���������4����4�������45��������4����4���9��������4�*������������

����������7�\�

��������������������������������������

� \

������� ���������������

�������������������������������� \ ����������

���������������������������������������� �7�J��

7 ���7 �

�����������4����4������4���9��������������������������7�\�,

������L L

���� �� (�� /������×= �L L � � ����� �� (�� � � �= × =

������ �� �

� �

� � �×= = �/������ �=

�������

�=

�����������45��������4����4���9��������4�*�����������������������7�\�,

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����� L L L���� �� (�� ���� ��� ����= + ������������������������������������

L �

�� ,$���� ��� ����

×= ×

���4�� �!G �-G �.G �"G

�������� += -- +�= "" +=! + +=!��

Page 23: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������

���������

$�43�4������,�������������������������������������������7�������������������������������������7�����������������������������������

����3�4��3�43�4����5������,

��7�������������4���3����4�������#���I�J��7I���7�I

7��J��

�7��J� ��

��@�'�*@�.��

� I

�=

���'��

��I�J���I�K���I

��I�J�I ( I

I� �

� ��+ =

���J�� �

� � �L - I

� �

� ����� ��� ���� �

×= × =

×

L L � I���� �� (�� �=

�����J�-�I�K���I�J�"�I ������J�"�I

����;�����������<�����

��� !"!��������������������%��+69�

��������4������������4���9��*���/�1��;�������#

�����������.�/�$��'���������������%��

%���������$�/��(���'����������%��

� ��������.����(��/��(�:�'�������%���������9���45���������/'1���������4�����4�3������45���������/�1����/�1�#

2��/'1������#�9�J�:���'

2����/�1������#��:�F�/:�F�'1�K���J�+

���������3��������������>�������3���������:,

��������������:�F�/�:�F�'1�K���J�+

⇔� �:�F�:�K�'�K���J�+

⇔� ��������������:�K���J�+

⇔� ��������������������:�J���

$�43�4����9�����45���������9�J�:�F�'�������4�[����:����F��,

9�J�����F�'

9�J���

6��;��������:�J�������9�JF� ����;�����45���������/�1,

�,$ �=

Page 24: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������

��/���1�K��/��� 1�K�(�J���F�'��K�(

J���(�K�(

J�+���3��������F� ����;�����45���������/�1,

����9��*���/�1���������4�������������#�4��3���4��/����M��� 1,

�����������������������������������,�����4��������������>������*����������4

/�=��=�@1,

��������������/'1�M�/�1����/�1������3�44��

�����������������3������������������

���������3��������

/F���M�F� 1,

,15>8������������%�3+69����3����*��4����:�������������������#

�/:1�J�/'!:�K�'+1/�:�K�!1�F�/'�:�K�"1/�.:�K���1�F�!�/(:�I�K�-:�1���

%/:1�J�/.:�K�'"1I���/�:�K�'1I

'G1�&�3�������/:1������%/:1

�/:1�J�/'!:�K�'+1/�:�K�!1�F�/'�:�K�"1/�.:�K���1�F�!�/(:�I�K�-:�1

�/:1�J�!/�:�K��1/�:�K�!1�F� /�:�K��1/�.:�K���1�F�!×�:×/�:�K���1

�/:1�J�/�:�K��1[�!/�:�K�!1�F� /�.:�K���1�F�!��:]�/:1�J�/�:�K��1/��!:�K��!�K��":���"F�'!:1

�/:1�J�/�:�K��1/�":�K�'.1

%/:1�J�/.:�K�'"1I���/�:�K�'1I

%/:1�J�[/.:�K�'"1���/�:�K�'1]�× �[/.:�K�'"1�K�/�:�K�'1]%/:1�J�/.:�K�'"�K�:���'1× �/.:�K�'"���:�K�'1

%/:1�J�/":�K�'.1/-:�K�'(1

�G1����3����*��45�:���������/:1��;���������/:1�J�/ 1

/ 1

� &

+ &,�����4�;���45�:���������/:1,

/� �1/" '.1/ 1

/" '.1/- '(1

& &� &

& &

+ +=

+ +

Page 25: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������!

������������4�;����/:1=�3��3�����4�����4������:�����4�����44����/:1��5�������

�;����,�$�����4���������3�44�����������4����4������������,

����4���������3�4��45���������/":�K�'.1�/-:�K�'(1�J�+,

����������/":�K�'.1/-:�K�'(1�J�+

⇔�":�K�'.�J�+����-:�K�'(�J�+

⇔�'.

"& = − ����

'(

-& = −

����'.

"& ≠ − ����

'(

-& ≠ − �#������������������������������������������������

� �/ 1

- '(

&� &

&

+=+

�1��������4�����������������������#��/:1�J�+�M�?�%���''

��#

�/:1�J�+�⇔�� �

+- '(

&

&

+=

+������������������������������������������/:1�J�

'

��⇔�

� � '

- '( �

&

&

+=

+

����'.

"& ≠ − ����

'(

-& ≠ − �#

��������� �

+- '(

&

&

+=

+������

� � '

- '( �

&

&

+=

+

⇔��:�K���J�+�������������������������������������������������������������⇔��/�:�K��1J�-:�K�'(

⇔�:�J��

�− �����������������������������������������������������������������⇔������-:�K� �J�-:�K�'(

����������������������������������������������������������������������������������⇔������������+:�J�'!

���4������������4�

1�$�43�4��4����4����:�3�������/ � 1�/�������3�4��������������1,������������

��4�������3����>�'+�����������;��������/ � 1���3���������'�����<<<<� � �<<<<�����0#

� � �/ �1

- � '(�

+=

+

����������������4�4������������������������#

/� � �1/- � '(1 �- !. � '� � �"/ �1

.� �-'/- � '(1/- � '(1�

+ − − + −= =

−+ −

������������������������������������ ! �

/ �1�"(

�+

=

��3������/� � 1�>�'+����*�#

������������������'= ' �N � N�'= '!

������������������-�=-��N� ! � N�-�=-.!

������������������-!=-��N���K� ! � N�-!=-.!

�������������������+=��.+N� ! �

�"(

+��N�+=��.�

���������������������+=��.N��/� � 1�N�+=��"

! � � � ! �/ �1

�"( �"(�

− − += =−

Page 26: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������-

?�% � ��'�����)�A���.��+ >9�+* �B7C*-6

����������

�������������������4����3������5���������3������������������3����������#

'1� ����������3�����������������������������3�3�4���

�1� ��3���������45�����3������������������������������������'�-+++�&�������

��4���������4�������������������M�������#

����������������G1���������������������4�������4

��G1������:���4��������4����,���������

������%$���������4���3����4���������4������%�J�"3������$J �3�,

$�43�4��%$������;��������;����,

'1� �����Y�4����<������������4��������/%$1

�� ���������%��J�%Y�:�%$�����$

���J�$Y�:�%$,

�� $�43�4��%Y,�$Y�������Y,

�1� ������44*4��>�4�������/�Y1������������$�3�����/�%1�����,�$�43�4������������

������$,

�1� $�43�4������,�;��������;�����3���4*������������

/�=��=�@1����������*�����4��=�4�����������/� �M� 1=�%�/�(�M��-1�M�$�/'�M�'1����2�/-�M�(1,

'1� 2�����4���3���������������3������%�����$������4���������������4���%$,

�1� \��44������4��������������4��*���%$2�U�@����;���4��������,

�1� ���������4����������/��M�"1������9���������������������>�/%$1,

$������ �����3�

������

0����4 �����3�

����

�4����

]���������

4����3�����

�+] +] �!] !]

����������� ��.������������::)

�7D7E*5

Page 27: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������.

�D� �7�2C�%&� ��������7�2�'((.

$����0�����������

�������������������4����3������5���������3������������������3����������#

$������ �����3�

������

0����4 �����3�

����

�4����

]���������

4����3�����

�+] +] �!] !]

'1� ����������3�����������������������������3�3�4����#

������"*E *88��9�8".!" !-5*" �

�1���3���������45�����3������������������������������������'�-+++�&�������� �

4���������4������������������=�������#

�1���������������������4�������4

$������ �����3�

������

0����4 �����3�

����

�4���� )���4

]��

�������4��

�3�����

�+] +] �!] !] '++]

��3����

����4����

! G .�G !G (G '"+G

Page 28: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������"

���������������4���4���3�����#'�-+++ '++

�++++�+

×= &

��������������������4�������4�#� �++++ +

'-"+++'++

×= &

��1������:���4��������4����^

��������������������4����4�����#�'-"+++

�'+++"= &

�����:���4��������4����������4���#��'+++

!++ �= &

���������

������%$���������4���3����4���������4������%�J�"3�������$J �3�,

'1�$�43�4��%$������;��������;�����#

$�43�4����%$���3����������%$�������������4�

�3����4������,

%$I�J�%I�K�$I�/)���*������9������1 ������4�����4������*������9������,

%$I�J�'-K-

%$I�J�"+��������������������������������"+J'-:!

%$�J� !

%$�J� ! 3�

�1������Y�4����<������������4��������/%$1�#

�����������������%��J�%Y�:�%$�����$

���J�$Y�:�%$,�$�43�4��%Y=�$Y�������Y,

��++/

+"=

�" '-

! !+/ = = �������������������������������������������������������

'- !

!+/ = 3�

�+ �"�/

+"

×=

$������ �����3�

������

0����4 �����3�

����

�4����

]���������

4����3�����

�+] +] �!] !]

!

!"/ ��=

� �

! !

�""/

+"= = =

Page 29: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������(

" "

! !�/

×= = �����������������������������������������������������

" !

!�/ ��=

�1� ������44*4��>�4�������/�Y1������������$�3�����/�%1�����,�$�43�4������������

������$,

�$��������������4���3����4�����$,

������4��������4�����������������$����

4�������4���$%,

������4���#

�$I�J����%

���J��+

�" �

���J� �"

=

�������������������������������J��3�

�$I�J���I�K�$I

�$I�J��I�K� I

�$I�J'"

�$��J �� ��������������������������������������������������$��J �� �3�

1�$�43�4�������,&��������;�����3���4*���#

��

��

��� ====

�"

�"� ������������������������������������������

����� =�

����������

/�=��=�@1����������*�����4��,���/� �M� 1=�%�/�(�M��-1=�$/'�M��'1����2/-�M(1�������������������4��,

'1�2�����4���3����������������3������%�����$������4���������������4���%$

���������(K ����! 'K(�������������������������'+

�% �% %$ %$

���������-� ��������������������������������'+�����������������������������'K- !

'K ��!

�$���������������������������������$

���������'� ���������������������������������!

$�43�4����4��������3S�����������4���%$,

!!'�!�!'++!'+

�!!+�!�!1!/!

!!'�!'++�!1'+/1!/

��

��

��

==+=+=

==+=−+=

==+=−+−=

+"

�"

�+

�������������%�J�%$�M��4����%$�������������4�����3*4��������������3���4�%,

�1\��44������4��������������4��*���%$2�U�@����;���4��������,

'�- �!

2$ 2$

�����������������'�( �'+

�%�J�2$��4����%$2�����������44�4������,

Page 30: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������+

�%$2�����������44�4������ �4����%$2��������4������,

�%�J�%$�

�1� ���������4���������/��M�"1������9���������������������>�/%$1�,

$�43�4����$�����%�,

!!'�! '�'1-"/1(�/

�!!+ ('1'"/1'�/

��

��

==+=+−++=

==+=+−+−=

+�

"�

�$�J�$���4���$�����������>�4��������3����V��W������/%$1�����4��������3����V��W

�%�J�%���4���%�����������>�4��������3����V��W 5�Q�������4���9��������������

������>�/%$1,

����������

���������������9������������3��������3��������������������������3�_����+�+++�&,�4��

�3���������������9���������������4���

!���3�44�����������,��5�4������������4���

�3�������=��4�4�����������.�+�&������;;�3����4����3���,

$�43�4��4��������������3����������3��3��,���������

'1� ����������J� '�' ���� ''� K -� �� "' ,��3����������4��;������K�� � �/�=������3

����������������4���;�1,

�1� �����%�/:1�J�:��F�'�K�/:�K�.1�/��:�F�1

�1� &�3������%/:1

�1� 2���4����=�����=������������%/:1

����%�/:1

�1� �����45�:����������/:1�J

/:�'1�/:�K�.1

�1� ����4��4��3��������5�:�����3������/:1����4������4�;��

�1� $�43�4����/:1�����:�J� � ����:�J���'����������

4�������������������������������������#

�,� /�%$21�����������*8���3����4���������V�%W����V2$W���4������%�J�-�3�=

����������������2$�J� �3������2�J���3�,�$�43�4��45������3�����*8�

�,� �C����9��������������������������4�����*8���%$2�����������������J

"3�,�&��������;������������

��3����4������������%����3�43�4���%,�$�43�4�������%�

3,� C���4�������3�������4���9������%$2�����44*4������>����������%$2�>��

'�

�������������/>���������1����3���������3���������4���3�����V��W=�V�%W=�V�$W

���V�2W�����=�@=�R�����

'1� $���4���������;����������3����4����������4����3������@R�

����������� ��.������������::4

�7D7E*5

Page 31: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������'

�1� ����������

�1

�+= �������������@,

�1� $�43�4��4����4������4���9�����/�%$2�1,

��������4����4������4���9�����/�@R��1,

�D� �7�2C�%&� �������7�2��'(("

$����0�����������

���������������9������������3��������3��������������������������3�_����+�+++�&,�4��

�3���������������9���������������4���

!���3�44�����������,��5�4������������4���

�3�������=��4�4�����������.�+�&������;;�3����4����3���,

$�43�4��4��������������3����������3��3��,

�����:�4��������������3�����������������,

�����������9�����3����������������9�������;��3�������:�������4��#�9J

,!

&

:�K�

,!

& J�++++��.�+

('.�"+

!& =

:�J'.�"+ !

(-++(

×= :�J(-++&

9�J�(-++

.-"+!× = 9�J�.-"+&

���������

����������J� '�' ���� ''� K -� �� "' ,

'1��3����������4��;������K�� � �/�=������3�����������������4���;�1,

��J� '�' ���� ''� K -� �� "' ,

��J�''F��: . �K�� . �F�(

��J����! . ��J������������J���!������3�J�.

��1������%�/:1�J�:��F�'�K�/:�K�.1�/��:�F�1

����������1�&�3������%/:1

�%�/:1�J�:��F�'�K�/:�K�.1�/��:�F�1 �:�F��J��/:�F�'1

�%�/:1�J�/�:�F�'1/:K�'1�K��/:�K�.1�/�:�F'1 :I��'J�/�:�F�'1/:K�'1

�%�/:1�J�/�:�F�'1��/:K�'1�K��/:�K�.1� �/:�K�.1��������

Page 32: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������

�%�/:1�J�/�:�F�'1/�:K�'!1 �:K�'!�J���/:K�!1

���������%�/:1�J���/:�F�'1�/:K�!1

����������1�2���4����=�����=������������%/:1

%�/:1�J�/:�F�'1�/�:K�'!1������������������������������������������������4�����4��������������4���;�3�4�

%�/:1�J��:I�K'!:�F��:�F�'! �����������������������������>��������4��;����;�3������,

%�/:1�J��:I�K'�:F�'!

�1������45�:����������/:1�J�/ 1

/ '1/ .1

+ &

& &− +

�������������1�����4��4��3��������5�:�����3������/:1����4������4�;��

$��������5�:�����3��#

�/:1��:���������/:�'1�/:�K�.1≠ +����4�����45���������/:�'1�/:�K�.1J�+�������������4�����4��������4�����44����/:1��5�����

������,��������������������4�����4��������4�����44����/:1��:����,

�����/:�'1�/:�K�.1J�+

⇔:�F�'J+����:�K�.�J�+⇔:�J'����:�J���.�/:1��:������4�������:≠ '����:≠ ��.

����4�;�3������#

����:≠ '����:≠ ��.�#��/ !1

/ 1.

&� &

&

+=+

������������1$�43�4����/:1�����:�J� � ����:�J���'

����:�J� � �#��/ � !1

/ �1� .

�+

=+

(�

1�!���/�

1.�1/.�/

1.�1/!�/�

.�

1!�/�1�/

−−=

−+

−+=

+

+=�

.

((�-

.

((�-1�/

+=

−−=�

����:�J���'�#��/ ' !1 '�

/ '1 �' . -

�− +

− = = =− +

/ '1 �� − =

����������

4�������������������������������������#

�'1�/�%$21�����������*8���3����4���������V�%W����V2$W���4������%�J�-�3�=

�2$�J� �3������2�J���3�,�$�43�4��45������3�����*8�

�5���������*8���������������4��;���4��#L L

���� �� (�� �������×

�������������� ( ) / 1

�+ )" �)� �+")

+ ×=

( ) '! I� �+") ��=

( ) /- 1 �'!

�� �+")

+ ×= =

Page 33: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �����������������

��1�C����9��������������������������4�����*8���%$2�����������������J�"3�,

&��������;�����������������������������

��������������������������������������������������������������%

2���������������������������������$

�1���3����4������������%����3�43�4���%,�$�43�4�������%�

��%�������������4���3����4������,

�%IJ���I�K�%I

�%IJ�"I�K�-I

�%IJ�'++

�%J�'+���������������������������������������������������������������������������������������%J�'+�3�

����%��J "=+'+

"==

+�

������%�J�+="

� 1�C���4�������3�������4���9������%$2�����44*4������>����������%$2�>�'H�������������

���/>���������1����3���������3���������4���3�����V��W=�V�%W=�V�$W����V�2W�����=�@=�R�����,

$���4���������;����������3����4����������4����3������@R�

� @

��������������������������������������������������������������������������������������������������%

���������������������������������� R

2������������������������������$

�@R������������*8���3����4�,��4�����������3����������*8���%$2,

!1 �����������

�1

�+= �������������@,

�1 ��

�+ ��=

���

��� ��= ����������������������������������������������������������������

'

��� ��=

2��3�

� ��

� �

���1 ��

�+ �� ��= = =

�1

�+=

���������������������������������������������������� �1 ��=� � -

� ��1 �+

×= = =

Page 34: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������

-1$�43�4��4����4������4���9�����/�%$2�1,��������4����4������4���9�����/�@R��1,

���/�%$2�1J/ 1

� �+") ��×

���/�%$2�1�J'! "

+�

×= ��������������������������������/�%$2�1 � +��=

���/�@R��1�J��

× ����/�%$2�1

���/�@R��1�J�" +

''="!�.

×= ���/�@R��1�J� �''="!��

����������

���3����*��4����:�������������������#

�/:1�J�/:�F��1�/:�K�!1�F�/��F�:1�/��F�:1�K�:��F�

%/:1�J�:��F� :�K� �F�/�:�F�-1

'1� &�3�������/:1����%/:1,

�1� 2���4��������������/:1����%/:1,

�1� $�43�4����/+1������/ � 1,

�/:1

1� ������/:1�4������������;��������/:1�J

%/:1

�������44�����4������:=��/:1��5�������������U

2����������3���������4�;�������/:1,���������

���4��;���������������%�J�'"�M��Y�J�'��M������$%�J�!

�M�/�Y1�����4��������3�4����>

/%$1,

'1� $�43�4��4����4����:�3������$������%$ �

/%$�J�%Y�K�Y$1

�1� ������44*4��>�/%$1������������4���������

��V�%W���4�����%��J�-=�3�����/�$1����&,� �% �Y ���$

$�43�4���&,

����������

)�3�����3�34��/$1���3���������������*����%�J�-,

����� ������������3�34��/$1����4������� �J�-+G,

��������������� �>��/$1��3�����/�%1����7,

'1� \��44������4����������������4���� �=�7 �=�7� ,�U

����3�����������4��<����;���4��������,

�1� $�43�4�� 7,

����������� ��.������������:::

�7D7E*5

Page 35: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������!

�1� �������45��������������4������4����������3����� =

��3����4��������������4��*��� ��,

1� �������4��������������4�������������>��=�����������4������4��*��� ���������

�4������,�������������/�%1�����4�������3��3����45���4�� 7�,

����������� ��.������������:::

�������

����������

�����������3����*��4����:�������������������#

���������/:1�J�/:�F��1�/:�K�!1�F�/��F�:1�/��F�:1�K�:��F�

��������%/:1�J�:��F� :�K� �F�/�:�F�-1

'1� &�3�������/:1����%/:1,

���������/:1�J�/:�F��1�/:�K�!1�F�/��F�:1�/��F�:1�K�:��F� ��/��F�:1�J�K/:�F��1

���������/:1�J�/:�F��1�/:�K�!1�K�/:�F��1�/��F�:1�K�/:���1�/:�K�1

���������/:1�J�/:�F��1�V/:�K�!1�K�/��F�:1�K�/:�K��1W

���������/:1�J�/:�F��1�/:�K�'+1������������������������������������������������������������/:1�J�/:�F��1�/:�K�'+1

��������%/:1�J�:��F� :�K� �F�/�:�F�-1

��������%/:1�J�/�:�F���1�/:�F���1�F��/:�F��1

��������%/:1�J�/�:�����1�V/:�F��1����W

��������%/:1�J�/�:�F��1�/�:�F�!�1 %/:1�J�/�:�F��1�/�:�F�!�1

�1�2���4��������������/:1����%/:1,

����������/:1�J�/:�F��1�/:�K�'+1

����������/:1�J�:I�K�'+:�F��:�F��+

����������/:1�J�:I�K�":�F��+ ������������������������������������������������������������������/:1�J�:I�K�":�F��+

���������%/:1�J�/�:�F��1�/�:�F�!�1

���������%/:1�J�:I���!:�F��:�K�'+

���������%/:1�J�:I�F�.:�K�'+��������������������������������������������������������������������%/:1�J�:I�F�.:�K�'+

�1� $�43�4����/+1�����/√�1,��/�+�1�J�+I�K�":+�F��+

��/�+�1�J����+ ��������������������������������������������������������������������������������/�+�1�J����+

��/� � �1�J� ( )�� " � �++ −

Page 36: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������-

��/� � �1�J�� " � �+ '. " �+ − = − + �����������������������������������������������/� � �1�J� '. " �− +

1� ������/:1�4������������;��������/:1�J�/ 1

/ 1

� &

+ &,

������������44�����4������:=��/:1��5�������������U

��/�:�1��5�����������������%�/�:�1�J�+,

������%�/�:�1�J�+

⇔/�:�F��1�/�:�F�!�1�J�+

⇔�:�F���J�+�����:�F�!�J�+

⇔�:�J�������:�J�!

��/:1��5�����������������:�J�������:�J�!,

!1�2����������3���������4�;�������/:1,

��/�:�1�J/ �1/ '1

/ �1/ !1

& &

& &

− +

− −

���� �& ≠ ���� !& ≠ �#���/�:�1�J'+

!

&

&

+

−��/�:�1�J

'+

!

&

&

+

���������

���4��;�������������=��%�J�'"�M��Y�J�'��M������$%�J�

!,�/�Y1�����4��������3�4����>

/%$1,

'1� $�43�4��4����4����:�3������$������%$�/%$�J�%Y�K�Y$1

����$%�J�/

�"

�$�J�'� '� !

'! ���

!

�/

�"+

×= = = �������������������������������������������������$��������Y����������������������%

�$�J�'!

%YI�J��%I����YI Y$I�J��$I���YI

%YI�J�'"I���'�I Y$I�J�'!I���'�I

%YI�J�'"+ Y$I�J�"'

%Y�J�- ! Y$�J�(

%$�J�%YKY$�J�(�K�- ! �����������������������������������������%$�J�(�K�- !

�1� ������44*4��>�/%$1������������4������������V�%W���4�����%��J�-=�3�����/�$1����&,

3�43�4���&

�������������������������������������������������

�����������������������������������������&���������������������

Page 37: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������.

��������������������������������������$��������Y��������������������������%

������4����4������*�����)��4*��#

�=������%�������4�����

�=�&����$�������4��������������4��=��� ��

�" �+=

/�&1HH�/%$1

�� ��

�" �+= ��3��&�J�

�� �"

�+

×

�&�J�'� '!

'+'"

×= �&�J�'+

����������

)�3�����3�34��/$1���3������������*����%�J�-�3�,

����� ������������3�34��/$1����4������� �J�-+G,

��������������� �>��/$1��3�����/�%1����7,

'1� \��44������4����������������4���� �=�7 �=�7� �U

����3�����������4��<����;���4��������,

���J��9�� ���J�� ���3�� ��������������4�����3*4��������������3���4��,

� �J��9��

�� �J�-+G���3�� ��K� ���J�'�+G

���� ��J� ���J�-+G

����3����������#��� ��������������4������4����4

/�7 �1�������������������3�34����� ���3�/�7 �1⊥ /� ��1

25�Q�#�7 ��������������4���3����4�����

Page 38: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������"

7 ����������������4���3����4����� =�4��3�34��3�3���3���>�3�������4��������3����

4����������/3�����J�� �����∈V7�W�1

���3����������#�� �J��7

25�Q�#�7� �������������4�����3*4��������������3���4��,

�1� $�43�4�� 7,

7 I�J�7�I���� I

7 I�J�-I����I

7 I�J��!

7 �J�! ��������������������������������������������������������������������7 �J�!�3�

�1� �������45��������������4������4����������3����� =

��3����4��������������4��*��� ��,

�� /���1�J����4���� �J����5�Q�� �������������44�4������,

� �������������44�4������

� �J��������������������������������������������4����������� ����������4������,

1� �������4��������������4�������������>��,� ���������4������4��*��� ���������

������4������,�������������/�%1�����4�������3��3����45���4�� 7�,

Page 39: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������(

��������4�������������>�����3����J���

���J�������������J�� ���3�� �������������44�4������

� �J���

� �������������44�4��������������4������������� ����������4������

� �J� �

� ����������4���������3�������4���9���������� ����������>�/��1,

7���������������9�����������������>�/��1,/�7∈�/��1�1

���3����������#�/7 1����/7�1�������9������������������>�/��1

���3��34������#�/�%1�����4�������3��3����45���4�� 7�,

����������� ���$����������������

�7D7E*5

�#�!6"F"679�D-87 "?-�9

������������ ���3����*��4����:�������������������#

Y/:1�J� /:�K � 1��F� �√��/:�K � 1�K��

0/:1�J�/�:�K � 1�

'1��2���4����=����������������Y/:1����0/:1 ����������������������/'��1

�1� ������������;�3������������Y/:1� �����������/'��1

�1� ��������\/:1�J�√Y/:1���������������1�������45���������\/:1�J�� �

�1��������45���������\/:1�J��

������������/'=!��1

31�2���������*����������4�/�=��=�<�1=����������\/:1,�������������������/'=!��1

����������� ������4����3������������������4������������������������������������

4���5������������������Q�4���������9���������'�=!,

7���������+ - " ( '� '! :

7�����5�4*��� - ( '! ( '! '"

'1� $�43�4��:=�4�����44������������������4�����3������,� /'��1

�1� $�������5�4*�����������������������������4��>�'��U /+=!��1

�1� \��4�����4�����3�����������4*����������������4���'!�U /+=!��1

Page 40: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� +

1� 2��������4������������� /+=!��1

!1� $��������4����������3�3�4������4������,��=!�/'=!��������4������4��=�'���

����4�������1

��#�!6"F"679�E7,876 "?-�9������������ C��������������������:����4�3��������������4��4��������44����5���

�������������3����������,��4���������������:���*4���#

�� 4����*4��'�#���4��;����5������3���3S��������4����������4������������44*4��

��������3����������+�3�����'+�3�����9���,

�� �����*4����#���4��;����5������3����9���������4������������44*4����������

3������3S���������3��;�� +�3������+�3�,

������:���*4��������������������!+�3�

'1�����������3��������*4�

�1���3���������4����*4��4����������4������:�����4���4����3������������

45���������=����8�4��>�;����4������3���:,&�����*4����/'��1�M�;��,���*4����/'���1�F�6�4,���*4��'�/�=!����1�M�6�4,���*4����/�=!����1�M�3���:�<����;���/'���1

����������� ���3����*����������4���%$���4������%�J�!�3��M���$�J�-�3�����%$�J�.

3�,��������4����4������V%$W,

'1� $��������0=�4��3���������������������4���%$, /+=!��1

�1� ��3���������0��K�0%�K�0$��J��=���������������������������� ��

�4��=

�����# ���K�� %��K� $��J���� 0 /'=!��1

Page 41: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� '

����������� ��.����������������

�������

�.�!6"F"679�D-87 "?-�9��'1� 2���4����=���������������

Y/ & 1�J� / & �K � 1��F� � � �/ & K � 1�K���������������������4������4��;���4�

( )� � ��� ( � �( (+ = + +

��������J / �& K� & � K�1�F� � � & � ×�K���������������/ & �K� � 1��J �& K� & √�K�

��������J �& K" & � K'��F� � � & �(������������������������������4������4��������������#

��������J �& K & � K���������������������������������������������F� � � �/ & K � 1��J�F� � � & � �

��������4����������3����3����������#

Y/ & 1�J� �& K & � K�

��������4����������3���3����������#

Y/ & 1�J��K & � K �&

0/:1�J�/� & �K� � 1�� �������������������������������������������������������

������4������4��;���4�� ( )� � ��� ( � �( (+ = + +

��������J �& K & � K������������������������������������������/�:�K� � 1��J �& K & � K�

��������4����������3����3����������#

0/ & 1�J� �& K & � K�

��������4����������3���3����������#

0/ & 1�J��K & � K �&

�1�������������;�3������������Y/:1�#

��������������������Y/ & 1����0/ & 1������4���`���;���������,

���3����������#��Y/ & 1�J�0/ & 1

25�Q�����������������#��Y/ & 1�J��/� & �K� � 1�

����������������������������Y/ & 1�J��/� & �K� � 1�/� & �K� � 1

�������1���������\/:1�J�√Y/:1�#\/:1�J� ( )�� �& + J� � �& + �������������������������������������������4����4��;���4�� �� �=

\/:1�J� � �& +

�������1��������45���������\/:1�J���√��#������ � �& + J�� � �� ������4����4��;���4��#

⇔��� � � � L L � � � �& �� &+ = + = − ������������������� L L� ( � ( �� � (= ⇔ = = −

�������� � � L L � � �& �� &⇔ = = −

� � �L L

� �& �� &⇔ = = −

Page 42: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� �

���������1��������45���������\/:1�J��

��#

������� � �& + J�

���������⇔ � �� � L L � �

� �& �� &+ = + = −

⇔ � �� � L L � �

� �& �� &= − = − −

⇔ � � � � � �L L

- -& �� &− − −

= =

31�2���������*����������4�/�=��=�<1=����������\/:1�#,

���������\/:1�J� � �& +

�������������� & �K�√�P+��4���\/:1�J�� �& + �������������������������������� & �K�√�P+�⇔�:�P�

�−

�������������� & �K�√�N+��4���\/:1�J� � �&− − ������������������������������ & �K�√�N+�⇔�:�N��

�−

�������������� & �K�√�J+��4���\/:1�J�+������������������������������������������� & �K�√�J�+⇔�:�J��

�−

����������D� 79-87������������������ �,-9�C, 8��B��6*15�*-��

�������������

M�

−∞ − �#\/:1�J� � �&− −

������������:�J��

�− ����#�\/:1�J�+

������������M

− +∞ �#�\/:1�J�� �& +

�������������������������������#

������������

M�

−∞ − �#��9�J� � �&− −

������������:�J��

�− ����#�9�J�+

������������M

− +∞ �#��9�J� � �& +

�����������������: −∞ �������������

�− +∞

��������������\/:1 � �&− − ��������+���������� � �& +

Page 43: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� �

����������� ������4����3������������������4������������������������������������

4���5������������������Q�4���������9���������'�=!,

7���������+ - " ( '� '! :

7�����5�4*��� - ( '! ( '! '"

'1� $�43�4��:=�4�����44������������������4�����3�������#

���������- - " ( ( '! '� ( '! '! '"

'�=!- ( '! ( '! '"

&× + × + × + × + × + ×=

+ + + + +�������������������������������-K.�K'�!K'+"K��!K'":J'�=! .�×

�����������������������������������������������������������!.-K'":J(++

������������������������������������������������������������������������:J'"

����������1�$�������5�4*�����������������������������4��>�'��U

���������5�4*���������������������������������4��>�'������ �,

��1�\��4�����4�����3�����������4*����������������4���'!�U

���������5�4*����������������4���'!�����! ,

������3�������������3�!

'++ .!.�× = ]

1�2��������4��������������#

�������������������4���-�����4���.

��������������������������4���>�'�,

����������������3����4��>�'�,

!1�$��������4����������3�3�4������4�������#

7�����5�4*��� - ( '! ( '! '"

���4�� �+G !G .!G !G .!G (+G

������������������������ ����

�� ��

�� ��

�� ��

�� ���

�� ���

�� ���

7���������+ '� '! '"

7�����5�4*��� ( '! '"

�;;�3��;��3���4�� ( � �

Page 44: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������

��#�!6"F"679�E7,876 "?-�9

������������ C��������������������:����4�3��������������4��4��������44����5���

�������������3����������,��4���������������:���*4���#

�� 4����*4��'�#���4��;����5������3���3S��������4����������4������������44*4��

��������3����������+�3�����'+�3�����9���,

�� �����*4����#���4��;����5������3����9���������4������������44*4����������

3������3S���������3��;�� +�3������+�3�,

������:���*4��������������������!+�3�

'1�����������3��������*4�

�+�3���������

����������� +�3����������������������������������������������������������������������������������������

@ !+�3�

)��3�������������������������������!+�3� )��3

���9���� �+�3� �5 ��3S�� ��������������������'+3�

���������������������������������������5 ������������������5��� �5

����@5

������ �����

��������9���� 3S��

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������5�������������������5������������������������������������������������������������5�������������������5

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�1���3���������4����*4��4����������4������:�����4���4����3�������������45���������=

���8�4��>�;����4������3���:�#

��������4����4���������3���3S���/��������3����9����1=����4����4������3S��

�����/�����4���9����������1��������4����4����������3S���/�����4��������9����1,

������������

Page 45: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� !

$�43�4�����4���������3���3S���#

$�43�4����4��������B�����3�����#�BJZ Z '+ '

�+ �

0 �

0�= =

�� '

"= ���� �� �-= ����

������������������ '

"− ����

�������������� .

"���� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������

0� 0�π × ×=

��J�+�3�

��������������.

" �

0� 0�π × ×= × ��J�:!+�3�J'++�3�

���. �+ '++ �!+++

" � �

π π× ×= × = ����������������������������������������������� ��!+++

���π

=

$�43�4�����4���������3���4���9�����#

$�43�4����4��������B�����3�����#�BJZ Z Z Z Z �+ '

+ �

0 � �� � 1

0� �� �1= = = =

�� '

"= ���� �� �-= ����

������������������ '

"− ����

�������������� .

"���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������

�1 0�×=

����@J� +�3�

��������������.

" �

�1 0�×= × ����J�:!+�3�J'++�3�

���. + '++ ' +++

" � �

×= × = ��������������������������������������������������������������� �' +++

���=

���3��������4�����:���4����������:���*4��=��4������?������4����*4���������4��

�3��������,����������� ���3����*����������4���%$���4������%�J�!�3��M���$�J�-�3�����%$�J�.

3�,��������4����4������V%$W,

'1� $��������0=�4��3���������������������4���%$�#

���3��������������0�����4������������3����

���������������,

Page 46: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� -

�1���3���������0��K�0%�K�0$��J��=������������#���������������� ����4��=

���� ���K�� %��K� $���J����� 0

��������0��K�0%�K�0$��J��

⇔�0 K� �K0 K %K0 K $�J��

⇔��0 K� �K %K $�J��

⇔ �K %K $�J����0 ��������������������������������������������������������������0 J 0

⇔�� �K %K $�J�� 0

Page 47: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� .

�D� �7�2C�%&� �F�������7�2���++!

������4�/'��0��C��1

�:�3�3��'

��������4����:�������������������#

;/:1�J�/��:�F�!�1I���/�:�F�'1I�����/:1�J�:I�K�/�:�K�'1/!�F�:1�F�!

'G1�2���4����=���������������;/:1�����/:1,

�G1�&�3������;/:1�����/:1,

�G1�������/:1�/ 1/! -1

/! 1/ 1

& &

& &

− −=− −

�1� 2�����4��3��������5�:�����3�����/:1����������4�;����/:1,

�1� ��������������#� / 1 �� & = ,

�:�3�3���

���������5���39���3�;���������>�����34��������:��9����5��������#

���������#�'!+�&���������5���4��������/����������1����3���������������������4����+++�&,

����������#��!+�&�45�����5���4�����������������������,

'G1�����������:�4��������5�������������������������44�=��'/:1������/:1�4�����:����;��3�

3��������������3�����������:����������������=������������'/:1�J�'!+:�K��+++���

��/:1�J��!+:,

�G1�2��������`�����*��/�=��=�<�1�=�3��������4���������������������������������4�3������

�;;������'������,���������#'�3������'+++�&����45�:������������

����������������������������������������������'�3������������45�:��������3�����

�G1�2����������������������������4�������44����������45��������������4������������������

45��������������������3���������44�����4��3�43�4,

G1�����������3������������������������������:�34������5���������;;���������9������4�

4���`�����:�U

�:�3�3���

'G1��1�3�����������3�34��/���1���3�������������9��� �3�,������%��������:����������/���1������4�������������,

�4�3����������� ����/���1����4������ �J� �3�,

31� \��44������4���������������4��� ��U

1� ��������4����������45���4��%� ,

�G1�R�����4��������5������3�������4��������3�4����>�/�%1�����������������4�������/� 1,

�1� @����;�������� %�������������4���3����4�,

�1� ����������������3���%� �J�3���R��=�3�43�4���R����R�,

�G1����������Y�����4����<������������4��� ����/�%1,

�1� 3�43�4��3���%�����:�����*����;;������,������������������������������������������������

�1� �:�����%Y����;��3�������3���%�����������������I+%

+/�+

= ,

G1��4�3��4�������������4����������[� ]���4��������J���3�,

������44*4��>�/� 1��������������3�����4����������[��]����&,\��44������4���������������4����&�U �

�:�3�3�� ����������������������������Y

���3�������5����������4��;����5���3S��������4�����������������/����;�����3��

�����1�#��Y�J�'+�3��M��Y�J�'+�3��M�Y������4��3�������������������,

Page 48: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� "

'G1�$�43�4��4����4������3��3S��,

�G1����������3���������3��������:�����������5������������3���������������;���44�

3������'+�3����3S������>�'+++�&�4��;���44�,�$�43�4��4���������������4�,

�D� �7�2C�%&� �F�������7�2���++!

$����0��/'��0��C��1

�:�3�3��'

��������4����:�������������������#

;/:1�J�/��:�F�!�1I���/�:�F�'1I�����/:1�J�:I�K�/�:�K�'1/!�F�:1�F�!

'G1�2���4����=���������������;/:1�����/:1,

;/:1�J�/��:�F�!�1I���/�:�F�'1I

;/:1�J�/�(:I�F��+:�K��!�1���/ :I�F� :�K�'1

;/:1�J�(:I�F��+:�K��!��� :I�K� :���'

;/:1�J�!:I�F��-:�K�� � ��������������������������������������������������������;/:1�J�!:I�F��-:�K��

�/:1�J�:I�K�/�:�K�'1/!�F�:1�F�!

�/:1�J�:I�K�/'+:�F��:I�K�!���:1�F�!

�/:1�J�:I�K�'+:�F��:I�K�!���:�F�!

�/:1�J���:I�K�(:�F�+����������������������������������������������������������������������/:1�J���:I�K�(:�F�+

�G1�&�3������;/:1�����/:1,

;/:1�J�/��:�F�!�1I���/�:�F�'1I

;/:1�J�V/��:�F�!�1���/�:�F�'1WV�/��:�F�!�1�K�/�:�F�'1W

;/:1�J�/��:�F�!����:�K�'1�/��:�F�!�K��:�F�'1

;/:1�J�/�:�F� 1�/�!:�F�-�1�������������������������������������������������������������;/:1�J�/�:�F� 1�/�!:�F�-�1

�/:1�J�:I�K�/�:�K�'1/!�F�:1�F�!

�/:1�J�:I����!�K�/�:�K�'1/!�F�:1

�/:1�J�/:�F�!1/:�K�!1���/�:�K�'1/:�F�!1

�/:1�J�/:�F�!1�V�/:�K�!1���/�:�K�'1�W

�/:1�J�/:�F�!1�/:�K�!����:���'1

�/:1�J�/:�F�!1�/��:�K� �1���������������������������������������������������������������/:1�J�/:�F�!1�/��:�K� �1

�G1�������/:1�/ 1/! -1

/! 1/ 1

& &

& &

− −=− −

�1� 2�����4��3��������5�:�����3�����/:1����������4�;����/:1,

�/:1��:���������/!�F�:1/:�F� 1≠ +$��3�����4�����4������:�����4�����44���/!�F�:1/:�F� 1�J�+,

�������/!�F�:1/:�F� 1�J�+

⇔��!�F�:�J�+����:�F� �J�+

⇔��:�J�!����:�J�

2��3��/:1��:���������:≠ !����:≠

����:≠ !����:≠ �#��/:1�! -

!

&

&

−=−

�1� ��������������#� / 1 �� & = ,

���� / 1 �� & =

⇔ ! -�

!

&

&

−=

Page 49: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��������������� (

⇔ ! -�

!

&

&

−=

−����

! -�

!

&

&

−= −

�����! -

�!

&

&

−=

−��������������������������������������������

! -�

!

&

&

−= −

⇔�!:�F�-�J�'+�F��:����������������������������������������������������������⇔�!:�F�-�J���'+�K��:

⇔�.:�J�'- �������������������������������������������������������������⇔�:�J���

⇔���:�J�'-

.�����������������������������������������������������������������������⇔�:�J

�−

'-

.∈����M�

�− ∈����M�'-

.≠ !����

�− ≠ �

��J���'-

.�M

�−

�:�3�3���

���������5���39���3�;���������>�����34��������:��9����5��������#

���������#�'!+�&���������5���4��������/����������1����3���������������������4����+++�&,

����������#��!+�&�45�����5���4�����������������������,

'G1�����������:�4��������5�������������������������44�=��'/:1������/:1�4�����:����;��3�

3��������������3�����������:����������������=������������'/:1�J�'!+:�K��+++���

��/:1�J��!+:,

���������#�����:�������������������=�4����������3��������������#'!+:

�5�����������������;�:��>��+++

�����:���:������������������������#'!+:�K��+++ �'/:1�J�'!+:�K��+++

����������#�����:������=�4����������3��������������#�!+:

�����:���:������������������������#�!+:� ��/:1�J��!+:

�G1�2��������`�����*��/�=��=�<�1�=�3��������4���������������������������������4�3������

�;;������'������,���������#'�3������'+++�&����45�:������������

����������������������������������������������'�3������������45�:��������3�����

Page 50: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!+

�G1�2����������������������������4�������44����������45��������������4������������������

45��������������������3���������44�����4��3�43�4,

�5��������������4���������������>��������'!�������������������,

$��3�����4����4�����:�����4����44��'!+:�K��+++�N��!+:�,

�����'!+:����!+:��N����+++

⇔��++:�N����+++

⇔�:�P�'!

G1�����������3������������������������������:�34������5���������;;���������9������4�

4���`�����:�U

2��:�34������5���������;;��������������4���`�����:�����������'!�������������������,

�:�3�3���

'G1��1�3�����������3�34��/��1���3�������������9��� �3�,������%��������:����������/���1������4�������������,��4�3����������� ����/��1��4������ �J� �3�,

�1�\��44������4���������������4��� ��U

���J�� �J� �3����������J�� �J��

� �J� �3� �4���� ��������������4�

������4����4,

31� ��������4����������45���4��%� ,

%� ������ ����������4���������,��� �J�-+G

%� �J�'"+G���-+G

%� �J�'�+G

�������������������������������������������������������������������������������������������%� �J�'�+G

�G1�R�����4��������5������3�������4��������3�4����>�/�%1�����������������4�������/� 1,

�1� @����;�������� %�������������4���3����4�,

�∈/��1������������������������������������� %�������������4�

V�%W�����������*�����/��1������3����4����� ,

�1� ����������������3���%� �J�3���R��=

3�43�4���R����R�,

3���%� �J�%

�+J'

3���R���J���

�.J�

'

����3��R�J�����

�R�J��× �J�" �������������������R�J�"�3�

R�I�J��RI�����I

R�I�J�- �F�'-

R�I�J� "

R��J� � �����������������������������������R��J� � 3�

Page 51: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!'

�G1����������Y�����4����<������������4��� ����/�%1,

�1� 3�43�4��3���%�����:�����*����;;������,

2����4�������4��% Y��3����4�����Y,

3���%�J�+/

+%

2����4�������4��% ���3����4����� ,

3���%�J�+%

�+

�1� �:�����%Y����;��3�������3���%�����

�����������I+%

+/�+

= ,

3���%�J�+/

+%�4���%Y�J�% ×3��%

%Y�J�% ×3��%

%Y�J�% ×+%

�+

%Y�J��+%

�+����������������������������������%Y�J�

�+%

�+

G1��4�3��4�������������4����������[� ]���4��������J���3�,

������44*4��>�/� 1��������������3�����4����������[��]����&,�\��44������4���������������4���&�U

�=��=� �������4����������3�����

�=�&=���������4����������3������� �� ��

�% �� �%= = �/�)���*�����)��4*�1

/� 1�HH�/�&1�

�� ��

�% ��= = ��4�����&�J�

� � �

��× = × =

�&�J���3�

�� ��

�% �%= = ��4����&�J�

� � �

�%× = × =

�&�J���3�

���J��&�J��&�J���3���4�����&�������������4�

����4����4,

Page 52: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!�

�:�3�3��

���3�������5����������4��;����5���3S��������4�����������������/����;�����3��

������1�#��Y�J�'+�3��M��Y�J�'+�3��M�Y������4��3�������������������,

'G1�$�43�4��4����4������3��3S��,

6�4����J�L L

���� �� (�� ��������

6�4����J�I

/� �/π× ×

6�4����J�'++ '+ '+++

� �

π π× ×= ������������������������������=

6�4���� � �'+++

� ��� ��π π

= =

�G1����������3���������3��������:�����������5������������3���������������;���44�

3������'+�3����3S������>�'+++�&�4��;���44�,�$�43�4��4���������������4�,

����4����4��J� � �π × × ��J��Y�J��9��

$�43�4����4���������3����, � J����J��������3�

��I�J��YI�K��YI

��I�J�'+I�K�'+I

��I�J��++

���J�'+ �

����4����4��J� '+ '+ � '++ �π π× × =

����5����;���44��J�3S��×3S��

����5����;���44��J�'+×'+�J�'++

�����������;���44�����3��������J�L

L Z L

���� ��� ����

���� � �� �������

�����������;���44�����3��������J�'++ �

�'++

ππ=

����������π J��=' ��� � '= ' = =�������������#

�π ≈ = �((-����/4���a�����������4�>�b1

�N �π N�!

����3���������3������=�4�������������3��3����������������!�;���44��,

2�������������4��J�!×'+++&�J�!+++&,

Page 53: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!�

�D� �7�2C�%&� �F�������7�2���++!

������4�/�*���0��C��1

�:�3�3��'�#� ����

����������J��

� � -+,

'G1��3����������4��;����5����������������4�������������������������,

�G1���3����������= (�N - N��= !+=��������������3�������>�+='��*������4

� � -

�!

− +,

�:�3�3����#�-����

'G1�)�3����������4���%$����43�����������3��������4��������2���4����

�2�J�%$�F���%�,

�G1�$��������4��������&���4�����$&�J��%�F���$,

�G1�@����;�������%�����4����4��������������V2&W,

�:�3�3����#�'+�����/�'���������������1

��3�����3��3��������;;���������3��������,�2�������44�����������/61����;������/&1

�����<����;��,

�1� ���:����������4�������;��4���F�/��:1�����������;,

�1� ���4�������4���%$������3����4�����%��4���������J�3���$,

31�-+

'!�

= ,

1� (+α β+ = ° ��4���α ���� β ����������4���������,

�1� � � �/!!!!!!1 /������1 /""""""1+ = ,

;1� /�����F��1I�J����I�������K��I,

�1�"

!�����������4��������45���������"�F�!:I�J�+,

�1���������5���������9�J��:�K������������4����������/'�M!1,

�1� ���%$�J��2��4���V�$W����V%2W�����4���`�����4���,

<1� ����%�J�$2����/�%1HH�/$21��4����%�J�$2,

Page 54: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!

�D� �7�2C�%&� �F�������7�2���++!

��������������������������������������������$����0��/�*���0��C��1

�:�3�3��'�#� ����

����������J�

� � -+,

'G1��3����������4��;����5����������������4�������������������������,

��J��

� � -+

�/� � -1 - - - -

( - !+/� � -1/� � -1

− − −= = =

− × −+ −

���������������������������������������������������������� � -

�!�− +=

�G1���3����������= (�N - N��= !+=��������������3�������>�+='��*���

��4� � -

�!

− +,

�= (�N - N��= !+�������������������������������������������������4���4���3����������������

�×�= (�N��× - N��×�= !+

.=� .�N�� - N�.=�!�����������������������������������������������<�����F���>�3�����������

����K�.=� .�N�����K�� - N�����K�.=�!

!=� .�N�����K�� - N�!=�!

!=� .

�!�N�

� � -

�!

− +N�

!=�!

�!���������������������������������������������3����������������!

!=� .

�!�N�

� � -

�!

− +N�

!=�!

�!

+=�'��N�� � -

�!

− +N�+=�'

��3�������>�+='��� � -

�!

− +��*��#���������+=��N�

� � -

�!

− +N�+=�

�:�3�3����#�-����

'G1�)�3����������4���%$����43�����������3��������4��������2���4����

�2�J�%$�F���%�,�2�J�%$�F���%�

�2�J�%��K��$�F���%�

�2�J���%���K��$

�2�J����%��K��$

�%�K%2�J����%��K��$

��������%2�J��$

- - � � -

!+ �!�

− − += =−

Page 55: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!!

�G1�$��������4��������&���4�����$&�J��%�F���$,$&�J��%�F���$

$&�J��$�K�$%�F���$

$&�J����$�K�$%

$%�K�%&�J�$��K�$%

%&�J�$�

�G1�@����;�������%�����4����4��������������V2&W,%&�J�$� 2%�J�%&��4���%�����4����4������V2&W,

2%�J�$�

�:�3�3����#�'+�����/�'���������������1

��3�����3��3��������;;���������3��������,�2�������44�����������/61����;������/&1

�����<����;��,

Page 56: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!-

�������� @����;�3������B1� ���:����������4�������;��4���F�/��:1����

������;,& ���:�������;=

�:�����������;

�/�:1�����������;

��41� ���4�������4���%$������3����4�����%

�4���������J�3���$,6 �����$������3���4���������

�1�-+

'!�

= ,6 -+ '! � '!

'!� � �

×= = =

�1� (+α β+ = ° ��4���α ����β ���������4���������,

& �� (+α β+ = ° ��4���α ����β ���������3���4���������

�1� � � �/!!!!!!1 /������1 /""""""1+ = , & �I�K��I�≠ /��K��1I

�1� /����F��1I�J����I�������K��I, & /����F��1I�J/�'1I× /��K��1IJ��IK���K��I

�1�"

!�����������4��������45��������

�"�F�!:I�J�+,

& "�F�!:I�J�+

!:IJ"

:IJ"

!

1� ��������5���������9�J��:�K��������

���4����������/'�M!�1,6 ����,0�5�������4�3�������;;����;���44�

����;/:1�J��:�K������������4���������

3���������'�����K�,

�1� ���%$�J��2��4���V�$W����V%2W�����4�

�`�����4���,6 �V�$W����V%2W������4���������4���5��

���44�4������,

�1� ����%�J�$2����/�%1HH�/$21��4��

�%�J�$2,& V�%1����V$21���������`���������

�;;�����,

Page 57: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!.

����������������<�G���<����������������������������������H

������������������������������������������������������/�%1HH�/2$1����/�21HH�/%$1

����������������������������������������������������������������������C

�%$2������������4��*����������I�$W����V%2W�����4���`�����4���������������%$2�����������44�4������

�����������������������������������������������������������������������C

�����������������������������������������������������������%J2$�����2�J%$

����������������<�G�����������������������������������H

�������������������������������������������������������������/�%1�⊥�/%$1����/%$1�⊥�/$21

��������������������������������������������������������������/$21�⊥�/�21��/�21�⊥�/�%1

���������������������������������������������������������������������������������C

Page 58: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!"

��%$2�����������44�4������������������������������������������������������������������������������%$2���������3����4�

������������������������������������������������������������������������������$J%2

����������������<�G���������������������������������H

���������������������������������������������������������������������%J�%$����%$J$2

�������������������������������������������������������������������$2J�2�����2J�%

�%$2�����������44�4������������������������������������C�����������������������������������������%$2��������4������

/�$1�⊥�/%21

����������������<�G�������������������������������H

��������������������������������������������������������������%$2���������3����4�

�%$2�����������44�4���������������������������������)��������������������������������%$2��������3��

��������������������������������������������������������������%$2��������4������

$�7�)�C$)��7�2��)���70���

�,DD*"99*D6�5�9�6 ,"9�!J679�

$�����������4�������4���%$���4������%�J���M��$�J3����%$�J��,

���3�����3�������3�����3S��

/�5�������4����41,�������3���

3�������=������3�������4������4�

3S���4���4���4���,

)�[����4��3S���V�%W���4��������,

������������5�4�������������5��

�������>�3�������4��#�4��������$,

�������=������3������3���3�34���

�������������9���3,����������$�������

3����3,

����������=���[��������3���3�34�����������%�������9���������3�����4�������

�3,�$�����:��3�������3���������������

$,

�,DD*"99*D6�5�9�B�-��!J679��6�-D�*DE5��$�����������4�������4���%$���4����

�%�J���M��$�J������%�$�J�α ,

Page 59: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������!(

���3�����3�������3�����3S����������4�,

)�[����4��3S���V�%W,

����������3��45���4��α /������4������4���������������������5���4�1,

���������������[����4��3S���V�$W���45���4��%�$,

�,DD*"99*D6�-D�!J67��6�B�-��*DE5�9�

$�����������4�������4���%$���4������%�J���M�%�$�Jα �����%$�J β ,������������5�4���������������4�

�������$�>�3�������4�,

���3�����3�������3��4��3S���V�%W��

4��������,

����������3��4�����������V�:1���44�

����%�:�Jα ���4�����������V%91���44�

���

�%9�J β ,����������$�����45������3�����������������V�:1����V%91,

Page 60: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������-+

��������G���������������������������������

�++5"!*6",D�B��6K7, >8��B���K*5>9�������3�������������V�%W���4���������/����������4������1

�>����������������������`���4������,

���������45�����������:�������=���

��3��������������,

)�[����4�����������I�:1���������3�4�

3�����=�����������������������`��

4����������4�����������I%91,

�������44*4���>�I%91��3�������4���������

V�%W�������������������4��,

�++5"!*6",D�B-�+,"D6�B�� �D!,D6 ��B�9�87B"*D�9��

����������������5��������=

�����������:�������� ����7

��4������� J 7,

����������������5�������7

�����������%=����������4�������

����4�����7%J%�,

������������5��������

����������� �3������%�����,

���������������%���� ������

��:����������������4���7�,

�44������3���������3���:���:

�����>��������4�����������,

���J�

��%,

Page 61: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������-'

������������������<��

����� ��� �� ���� ���

+ +=+++ +=+++ '=+++ (+

' +=+'. +=+'. !.=�( '=+++ "(

� +=+�! +=+�! �"=- +=++( ""

� +=+!� +=+!� '(=+" +=((( ".

+=+.+ +=+.+ ' =�+ +=((" "-

! +=+". +=+". ''= � +=((- "!

- +='+! +='+! (=!' +=((! "

. +='�� +='�� "=' +=((� "�

" +='�( +=' ' .=''! +=((+ "�

( +='!- +='!" -=�' +=("" "'

'+ +='. +='.- !=-.' +=("! "+

'' +='(' +='( !=' ! +=("� .(

'� +=�+" +=�'� =.+! +=(." ."

'� +=��! +=��' =��' +=(. ..

' +=� � +=� ( =+'' +=(.+ .-

'! +=�!( +=�-" �=.�� +=(-- .!

'- +=�.- +=�". �= ". +=(-' .

'. +=�(� +=�+- �=�.' +=(!- .�

'" +=�+( +=��! �=+." +=(!' .�

'( +=��- +=� �=(+ +=( - .'

�+ +=� � +=�- �=. . +=( + .+

�' +=�!" +=�"- �=-+! +=(� -(

�� +=�.! += + �= .! +=(�. -"

�� +=�(' += � �=�!- +=(�' -.

� += +. += ! �=� - +=(' --

�! += �� += -- �=' ! +=(+- -!

�- += �" += "" �=+!+ +="(( -

�. += ! +=! + '=(-� +="(' -�

�" += -( +=!�� '=""' +=""� -�

�( += "! +=!! '="+ +=".! -'

�+ +=!++ +=!.. '=.�� +="-- -+

�' +=!'! +=-+' '=-- +="!. !(

�� +=!�+ +=-�! '=-++ +=" " !"

�� +=! ! +=- ( '=! + +="�( !.

� +=!!( +=-.! '= "� +="�( !-

�! +=!. +=.++ '= �" +="'( !!

�- +=!"" +=.�. '=�.- +="+( !

�. +=-+- +=.! '=��. +=.(( !�

�" +=-'- +=."' '=�"+ +=."" !�

�( +=-�( +="'+ '=��! +=... !'

+ +=- � +="�( '='(� +=.-- !+

' +=-!- +="-� '='!+ +=.!! (

� +=--( +=(++ '=''' '=� - "

� +=-"� +=(�� '=+.� +=.�' .

+=-(! +=(-- '=+�- +=.'( -

! +=.+. '=+++ '=+++ +=.+. !

��� ���� �� ��� �����

Page 62: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������-�

���������������������������::

* *@ * *@ * *@ * *@� � �� ����� ��� ������ ��� ������

� � �� ����� ��� ������ ��� ������

� �� ���� ��� ���� ��� �����

� � �� ����� ��� ������ ��� �����

�� � ����� �� ������ �� ������

� �� �� ����� ��� ������ ��� �����

� �� �� ����� ��� ������ ��� �����

� � �� ���� ��� ���� ��� ����

� �� �� ���� ��� ����� ��� ����

� �� �� ���� ��� ������ ��� ������

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

�� � �� ��� ��� ���� ��� ����

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

� ��� � ���� �� ������ �� ������

�� ��� �� ���� ��� ������ ��� ������

�� ��� �� ���� ��� ����� ��� ������

�� ��� �� ��� ��� ������ ��� ������

�� �� �� ��� ��� ����� ��� �����

�� ��� �� ���� ��� ����� ��� ������

�� �� �� ���� ��� ���� ��� ������

�� � �� ���� ��� ���� ��� �����

�� � �� ���� ��� ���� ��� �����

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

� ��� � ���� �� ������ �� ������

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

�� �� �� ���� ��� ����� ��� �����

�� �� �� ���� ��� ����� ��� �����

�� ��� �� ���� ��� ������ ��� �����

�� ��� �� ����� ��� ������ ��� ������

�� ���� �� ���� ��� ���� ��� �����

�� ����� �� ����� ��� ������ ��� �����

� ����� � ����� �� ������ �� ������

�� ����� �� ����� ��� ������ ��� �����

�� ����� �� ����� ��� ����� ��� �����

�� ����� �� ����� ��� ������ ��� �����

�� �� �� ��� ��� ���� ��� ����

�� ����� �� ����� ��� ������ ��� ������

� ����� �� ����� �� ������ ��� ������

� ����� �� ����� �� ������ ��� �����

� ���� �� ��� �� ����� ��� �����

� ���� �� ���� �� ���� ��� �����

����� � ����� � ������ �� ������

� ����� �� ����� �� ������ ��� ������

� ����� �� ����� �� ������ ��� �����

� ����� �� ���� �� ������ ��� ������

� ���� �� ���� �� ����� ��� �����

� ���� �� ����� �� ������ ��� ������

Page 63: Mathematiques Annales Brevet Senegal

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������-�