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ACTIONS par Moreno Andreatta

Math’n’pop :géométrie et symétrie au service de la chansonLes premiers théoriciens « modernes » de la musique sont également des mathématiciens : Mersenne et Euler ont proposédes représentations géométriques de l’espace tonal. Ces der-nières permettent de capturer de façon naturelle les propriétésde symétrie de certaines successions harmoniques.

Qu’ont en commun une chansonde Paolo Conte, telle Madeleine,la pièce Easy Meat de l’inclas-

sable Frank Zappa et le morceau Shakethe Disease, tube des années 1980 dugroupe pop Depeche Mode ? Bien qu’évi-demment très lointaines d’un point de vuestylistique, ces pièces partagent en réa-lité une même préoccupation en ce quiconcerne l’organisation harmonique ou,plus exactement, la façon avec laquelleles accords consonants majeurs et mineursse déploient dans l’espace tonal. Pourmettre en évidence ces similitudes, nousallons nous appuyer sur une représentationgéométrique des accords, dont les ori-gines lointaines remontent à Euler.

Quand Mersenne et Eulers’intéressent à la musique

En effet, c’est dans la seconde moitié duXVIIIe siècle que le mathématiciensuisse propose de considérer les noteset les tonalités comme des points d’un

espace bidimensionnel, une représen-tation géométrique qu’il appelle le « spe-culum musicum ». En opposition à lareprésentation circulaire, introduite parMarin Mersenne plus d’un siècle aupa-ravant, Euler considère l’espace tonalcomme engendré par deux axes repré-sentant les intervalles à partir desquelstout intervalle peut être calculé. Ondécouvrira par la suite, grâce au déve-loppement de la théorie des groupes et,notamment, au théorème de décompo-sition de Sylow, que les deux repré-sentations sont de facto équivalentes,le groupe cyclique d’ordre 12 (c’est-à-dire le cercle) étant isomorphe au toreen tant que produit des sous-groupesd’ordre 3 et 4 respectivement (voir lafigure suivante).Les lecteurs « aficionados » de Tangenteayant déjà une certaine familiarité avecla représentations circulaire des structuresmusicales (voir le hors-série Maths etMusique par exemple), nous allons uti-liser surtout le second type d’espace

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géométrique, auquel le cercle sera sou-vent associé afin de montrer commentces deux espaces de hauteurs permet-tent de capturer de façon naturelle les pro-priétés de symétrie de certaines successionsharmoniques. Pour s’en rendre compte,commençons par analyser le refrain deShake the Disease du groupe DepecheMode (Mute Records, 1985) à l’aide desdeux représentations géométriques.Ce refrain est constitué de quatre accords

qui se répètent cycliquement en déployantde multiples symétries. Une premièretransformation, en rouge, est celle reliantdeux accords (ré mineur et fa mineur) ayanten commun une note (le fa). Une trans-formation similaire est celle, en bleu,reliant les deux accords majeurs (ré bémolmajeur et si bémol majeur) ayant la mêmenote fa en commun. La transformationverte, ainsi que celle permettant de clorele cycle, est de nature différente car ellechange la nature de l’accord (d’un accordmineur à un accord majeur, ou d’unaccord majeur au premier accord mineurde la séquence harmonique). Dans lesdeux cas, l’accord et son transformé ontdeux notes en commun et la troisième noteest transformée dans sa symétrique parrapport à un axe de réflexion corres-pondant à l’un des diamètres du cercle.Cette symétrie, reliant les accords de famineur et ré bémol majeur (ainsi que sibémol majeur et ré mineur), est l’unedes trois transformations permettant depasser d’un accord majeur à un accordmineur (ou vice versa) tout en gardant deuxnotes inchangées. Dans la tradition ana-lytique américaine, inspirée des travauxde l’Allemand Hugo Riemann, ces troistransformations s’appellent le parallèle(opérateur indiqué par P), le relatif (R)et le leading tone (L). Elles sont déployées

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ARTS ET MATHS

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Deux représentations géométriqueséquivalentes : la représentations

circulaire et le « speculum musicum »d’Euler, à l’origine du Tonnetz

(à droite). Les représentations circu-laires et le Tonnetz sont réalisées,

respectivement, à l’aide del’environnement de programmation

OpenMusic et du logiciel Hexachord.

Transformations géométriques à la base durefrain de Shake the Disease du groupeDepeche Mode. La progressionharmonique, constituée de cinq accords,est formalisée à l’aide de la représentationcirculaire (à gauche) et du Tonnetz(à droite). Dans les deux cas on voitapparaître clairement des symétries entrele premier et le dernier accord, ainsiqu’entre le deuxième et le troisième. Cesdeux symétries miroir correspondent à lamême transformation néo-riemannienne,appelée L (comme « leading tone »).

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dans dans une portion du réseau de notessuivant :

On peut montrer que le « groupe néo-riemannien » engendré par ces trans-formations opère sur l’espace des triadesconsonantes de façon simplement tran-sitive. De plus, cette action est en rap-port de « dualité » avec celle du groupediédral qui opère, lui aussi, de façonsimplement transitive sur le même espaced’accords consonants.

Une progression harmonique nettementplus complexe est celle utilisée parFrank Zappa dans la partie instrumen-tale de la pièce Easy Meat (Mud Shark,1980). Il s’agit d’une progression qui com-porte seize accords au total et qui peutse décomposer comme une répétitiond’une même cellule de quatre accords.Chaque cellule déploie ainsi la même suc-cession de transformations néo-rie-manniennes, dont on lassera commeexercice au lecteur le soin d’en établirl’expression comme produit des trans-formations de base P, R et L. Les quatreparcours dans le Tonnetz sont indiquésci-dessous.On a la même impression de forte res-semblance entre des blocs d’accords àl’écoute de certaines chansons de PaoloConte. C’est sans doute le cas de Made-leine (Ariola International, 1981), unechanson dans laquelle la progressionharmonique de l’introduction, répétéeplusieurs fois tout au long de la chanson,est également composée de quatre blocsde quatre accords chacun. Les trois pre-miers blocs sont la répétition, transpo-sée d’un intervalle de trois demi-tons(T3), de la même progression d’accords.Le dernier bloc, constitué de cinq accords,déploie des nouvelles trajectoires dansl’espace jusqu’à l’accord final permet-tant de « boucler la boucle » et revenirainsi à l’accord de départ. La suite com-plète dʼaccords est représentée dans lafigure en haute de la page suivante :

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ACTIONS Math’n’pop

Les trois transformations P (comme« parallèle »), R (comme « relatif »)

et L (comme « leading tone »)permettant de passer d’une triade

majeure à une triade mineureayant avec l’accord de départ deux

notes en commun.

Progression harmonique dans la pièceEasy Meat de Frank Zappa, vue commeune série de transpositions (d’une tiercemineure descendante T–3) d’une mêmecellule (en rouge).Les quatre cellules correspondentdonc à la même trajectoire dansle Tonnetz (les différences n’étantqu’apparentes à cause de la structuretoroïdale du Tonnetz).

Le musicologue Hugo Riemann(1849–1919), contemporain dumathématicien Bernhard Riemann.

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En regardant (ou plutôt en écoutant)plus attentivement la progression har-monique à la base de la Madeleine, ons’aperçoit d’une deuxième propriétéremarquable de cette progression, àsavoir celle de réaliser un recouvrementde lʼespace chromatique avec des trans-positions dʼune même triade consonante.Autrement dit, dans lʼespace potentiel desdouze accords majeurs, le musicien atrouvé un chemin harmonique lui per-mettant de passer par presque tous lesaccords (à lʼexception de lʼaccord de famajeur), en minimisant, en quelque sorte,le nombre de répétitions dʼun accorddéjà utilisé. Cʼest un exemple dʼutilisa-tion dʼune propriété qui rappelle le carac-tère hamiltonien et qui peut être explicitéeen utilisant le Tonnetz comme espace etles opérateurs P, L et R comme symé-tries. En effet, comme on l’a vu, le Ton-netz est beaucoup plus riche car dessymétries permettent de lier, de mul-tiples façons, un accord majeur avec desaccords mineurs ayant, avec l’accordde départ, deux notes en commun.Quel serait l’équivalent de la propriétéobservée dans la chanson de Paolo Contedans l’espace potentiel des vingt-quatreaccords majeurs et mineurs ? Une telledémarche, que l’on qualifiera d’oumu-pienne et même d’oumupopienne, poursouligner le caractère « pop » des réa-lisations musicales, nous a permis de

réaliser Aprile (voir en encadré), unevéritable « chanson hamiltonienne » surun texte du poète italien décadent GabrieleD’Annunzio (1863–1938).

La chanson Aprile utilise, dans les par-ties instrumentales uniquement, troiscycles hamiltoniens distincts dont ledébut est anticipé dans la suite d’ac-cords utilisés dans la section introduc-tive du morceau :

Le premier cycle hamiltonien est repré-senté ci-dessous en notation musicaletraditionnelle et en indiquant le cheminà l’intérieur du Tonnetz :

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Progression harmonique à la base de lachanson Madeleine de Paolo Conte, vuecomme une série de transpositionsd’une tierce mineure ascendante (T3)d’une même cellule de quatre accords(cellule en rouge). Les derniers cinqaccords de la progression,correspondants à la cellule en violet,déploient une trajectoire spatialecomplètement différente, leur fonctionétant celle de permettre un retour à latonalité initiale.

Progression harmonique utilisée dans la section introductivedu morceau Aprile, sur un texte du poète Gabriele

D’Annunzio. Cette progression est composée de deux suitesde cinq accords dont le jeu de symétries internes saute

aux yeux dans le Tonnetz.

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Les représentations géométriques dudeuxième cycle hamiltonien (ci-contre,en haut) ainsi que du cycle conclusif(ci-contre, en bas) montrent clairement

qu’il s’agit de chemins très différents,ayant cependant en commun les quatrepremiers accords

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ACTIONS Math’n’pop

Aprile (d’après Gabriele D’Annunzio)Socchiusa è la finestra, sul giardino. La fenêtre est entr’ouverte, sur le jardin.Un’ora passa lenta, sonnolenta. Une heure passe, lente, somnolente.Ed ella, ch’era attenta, s’addormenta Et elle, d’abord attentive, finit par s’endormir.A quella voce che già si lamenta, À cette voix qui là-bas se lamente,Che si lamenta in fondo a quel giardino. Qui se lamente au fond de ce jardin.

(Premier cycle hamiltonien)

Non è che voce d’acque su la pietra: Ce n’est qu’une voix d’eau sur la pierre,E quante volte, quante volte udita! Et combien de fois, combien de fois entendue !Quell’amore e quell’ora in quella vita Cet amour et cette heure s’abîment dans cette vieS’affondan come ne l’onda infinita Comme s’abîment dans l’onde sans finStretti insieme il cadavere e la pietra. Le cadavre et la pierre liés ensemble.

(Deuxième cycle hamiltonien)

Ella stende l’angoscia sua nel sonno. Elle détend son angoisse dans le sommeil.L’angoscia è forte, e il sonno è così lieve! Mais l’angoisse est forte, et le sommeil est si léger !(Par la luce d’april quasi una neve (La lumière d’avril ressemble presque à une neigeche sia tiepida.) qui serait tiède.)Ed ella certo deve soffrire, Et certes elle doit souffrir,Vagamente, anche nel sonno. Vaguement souffrir, aussi dans le sommeil.

(Troisième cycle hamiltonien)

Premier cycle hamiltonien utilisé dans la chanson Aprile,en représentation musicale traditionnelle et en tant

que chemin à l’intérieur du Tonnetz.

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ARTS ET MATHS

Hors-série n° 51. Esthétique et éthique Tangente 97

Références• Hamiltonian Cycles in the Topological Dual of the Tonnetz. Giovanni

Albini et Samuele Antonini, Proceedings of the Yale Mathematics andComputation in Music Conference, Springer, 2009.

• Neo-Riemannian Theory and the Analysis of Pop-Rock Music. Guy Capuzzo, Music Theory Spectrum 26 (2), 2004.

• De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis.Leonhard Euler, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 18, 1774.

• Maths et musique. Bibliothèque Tangente 11, 2010.• Planet. Modèle de Gilles Baroin :

www.youtube.com/user/MatheMusic4D• Hexachord. Logiciel de Louis Bigo : www.lacl.fr/~lbigo/recherche• OpenMusic. Langage de programmation :

repmus.ircam.fr/openmusic/home• Aprile (et autres expériences omoup(op)iennes) :

repmus.ircam.fr/moreno/music

Trois représentations géométriques alternatives du débutdu premier cycle hamiltonien utilisé dans Aprile, la première

à l’aide de la simple représentation circulaire (en OpenMusic)et les deux autres utilisant les visualisations proposées

par Gilles Baroin dans son modèle Planet (respectivementen deux et quatre dimensions).

Le chercheurGilles Baroin(à gauche) avecle théoricien de lamusique Thomas Noll.

©Éd

ouard

Thom

as

La figure ci-contre, enfin, donne troisreprésentations géométriques alterna-tives du début du premier cycle hamil-tonien utilisé dans Aprile, la première àl’aide de la simple représentation cir-culaire, et les deux autres en utilisantles visualisations proposées par GillesBaroin dans son modèle Planet (en deuxet quatre dimensions).Le caractère hamiltonien de tous cestrois cycles et le type de transformationsgéométriques utilisées, permettant depasser de façon « lisse » d’un accord àl’accord successif en gardant deux notesen commun, maintiennent l’auditeurdans une attente constante de l’accord quiva suivre. Au même temps, l’auditeur al’impression d’une progression harmo-nique extrêmement « lisse », dans laquellechaque accord est lié à l’accord suivantpar ce qu’on appelle en jargon musicalune « conduite parcimonieuse des voix »(minimal voice leading). Le lecteur pourravérifier que les trois cycles hamiltoniensutilisés ne peuvent pas être décompo-sés en sous-cycles, ce qui leur donneune sorte de complexité maximale par rap-port à d’autres cycles hamiltoniens quiconstituent le catalogue, bien connu, detous les cycles hamiltoniens possiblesdans le Tonnetz. L’impression que plu-sieurs auditeurs ont à l’écoute de cettechanson est ainsi celle d’une variété har-monique maximale qui s’accompagne,cependant, d’un sentiment de continuitédans la progression. Les maths, ellessont là, mais (à bien les écouter) elles ontpeut-être fini par laisser la place à lamusique… ce qui n’est pas non plus unemauvaise chose !

M. A.

Ci-contre, en haut : Deuxième cyclehamiltonien d’Aprile. En bas :Troisième et dernier cycle hamiltonienutilisé dans la coda instrumentalede la chanson Aprile.

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