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Math´ ematiques pour les RT Modules M1, M2 et M3 Cyrille SICLET, [email protected] Cl´ eo BARAS, [email protected] Luc GERBAUX, [email protected] Version 2012b Table des mati` eres Module 1 Fondamentaux d’alg` ebre et de trigonom´ etrie 2 1 Les nombres complexes 2 1.1 Un peu d’histoire ......................................... 2 1.2 Alg` ebre des nombres complexes ................................. 2 1.3 Application ` a la g´ eom´ etrie : interpr´ etation g´ eom´ etrique ................... 4 1.4 Application ` a la g´ eom´ etrie : transformations du plan et lieu g´ eom´ etrique .......... 6 1.5 Application ` a la trigonom´ etrie .................................. 8 1.6 Application ` a l’´ electricit´ e .................................... 12 2 Polynˆ omes 12 2.1 Alg` ebre polynomiale ....................................... 12 2.2 ´ Equations alg´ ebriques ...................................... 14 3 Fractions rationnelles 16 3.1 Alg` ebre des fractions rationnelles ................................ 16 3.2 ecomposition en ´ El´ ements Simples (DES) de premi` ere esp` ece ` a pˆ oles simples ....... 17 3.3 ecomposition en ´ el´ ements simples de premi` ere esp` ece ` a pˆ oles multiples .......... 20 3.4 ecomposition en ´ el´ ements simples de seconde esp` ece .................... 21 Module 2 Fondamentaux d’analyse 23 4 en´ eralit´ es sur les fonctions 23 4.1 efinitions ............................................. 23 4.2 Catalogue de fonctions ...................................... 27 4.3 Op´ erations sur les fonctions ................................... 32 4.4 Exercices ............................................. 36 5 Continuit´ e 37 5.1 efinition ............................................. 37 5.2 Domaine de continuit´ e (pour les poursuites d’´ etudes longues) ................ 38 5.3 Exercices (pour les poursuites d’´ etudes longues) ........................ 39 1

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Mathematiques pour les RT

Modules M1, M2 et M3

Cyrille SICLET, [email protected] BARAS, [email protected] GERBAUX, [email protected]

Version 2012b

Table des matieres

Module 1 Fondamentaux d’algebre et de trigonometrie 2

1 Les nombres complexes 21.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Algebre des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Application a la geometrie : interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Application a la geometrie : transformations du plan et lieu geometrique . . . . . . . . . . 61.5 Application a la trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Application a l’electricite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Polynomes 122.1 Algebre polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Equations algebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Fractions rationnelles 163.1 Algebre des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Decomposition en Elements Simples (DES) de premiere espece a poles simples . . . . . . . 173.3 Decomposition en elements simples de premiere espece a poles multiples . . . . . . . . . . 203.4 Decomposition en elements simples de seconde espece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Module 2 Fondamentaux d’analyse 23

4 Generalites sur les fonctions 234.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Catalogue de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Operations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Continuite 375.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Domaine de continuite (pour les poursuites d’etudes longues) . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Exercices (pour les poursuites d’etudes longues) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1

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6 Derivation 396.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.4 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.5 Reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.6 Derivees a l’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7 Comportements asymptotiques 547.1 Limites en l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.2 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.3 Branches asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Comportements locaux 638.1 Limites en un point a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648.2 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668.3 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9 Synthese : Etude de fonctions 749.1 Techniques d’etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Module 3 Calcul integral et equations differentielles 75

10 Calcul integral 7510.1 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.2 Integrales propres dites integrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7910.3 Integrales (impropres) generalisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11 Equations differentielles 9311.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.2 Equations differentielles du 1er ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9611.3 Equation differentielle du 2eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.4 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Module 1

Module 1 — Fondamentaux d’algebre et de trigonometrie

M1.1

1 Les nombres complexes

1.1 Un peu d’histoire

• ecole italienne (Cardan, Bombelli), autour de 1570 ;• introduits pour resoudre les equations du troisieme degre x3 + px+ q = 0

x =3

√−q

2+

√q2

4+p3

27+

3

√−q

2−√q2

4+p3

27

Exemple 1 (Equation x3 − x = 0 (avec p = −1 et q = 0)). Solution evidente : 0, pourtant la formule

precedente ne marche pas : q2

4 + p3

27 = −1/27 < 0, mais si on admet l’existence de√−1, on retrouve bien

x = 0 :

x =3

√√− 1

27+

3

√−√−1

27M1.2

1.2 Algebre des nombres complexes

1.2.1 Definitions

1.2.1.A Definition de l’ensemble des complexes C

Definition 2 (Ensemble des complexes C). C est l’ensemble des couples (x, y) ∈ R×R muni de deuxlois de composition internes (notees + et ·) definies par :• loi d’addition sur C : ∀(x, y) ∈ C et ∀(x′, y′) ∈ C, (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′) ;• loi de multiplication sur C : ∀(x, y) ∈ C et ∀(x′, y′) ∈ C, (x, y) · (x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + yx′)⇒ en particulier, (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) ;

x est appele partie reelle et y est appele partie imaginaire.On utilise en general l’ecriture commune : z = x+ jy ou j est le complexe defini par j = (0, 1) ; on peutalors parler de z comme un nombre complexe. On note : x = Re{z} et y = Im{z}.

Remarques :• Les reels sont des cas particuliers des complexes• Les nombres complexes de la forme (0, y) avec y quelconque sont appeles des imaginaires purs M1.3

1.2.1.B C, un corps commutatif

Propriete 3 (Addition dans C). Soient (x, y), (x′, y′), (x′′, y′′) trois complexes. L’addition :

1. est commutative : (x, y) + (x′, y′) = (x′, y′) + (x, y) ;

2. est associative :((x, y) + (x′, y′)

)+ (x′′, y′′) = (x, y) +

((x′, y′) + (x′′, y′′)

);

3. possede un element neutre (0, 0) ;

4. definit l’oppose de (x, y) comme etant (−x,−y).

Remarques : Soient (a, b) et (α, β) deux complexes.• On dit que (a, b) est un element neutre de l’addition si pour tout complexe (x, y), on a

(a, b) + (x, y) = (x, y).• L’addition possede un unique element neutre (a, b) = (0, 0).• On dit que (α, β) est un oppose du complexe (x, y) lorsque (α, β) + (x, y) = (a, b) ou (a, b) est

l’element neutre de la loi d’addition (c’est-a-dire (0, 0)).• Tout nombre complexe possede un oppose unique. M1.4

Propriete 4 (Multiplication dans C). Soient (x, y), (x′, y′), (x′′, y′′) trois complexes. La multiplication :

1. est commutative : (x, y) · (x′, y′) = (x′, y′) · (x, y) ;

3

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Module 1

2. est associative :((x, y) · (x′, y′)

)· (x′′, y′′) = (x, y) ·

((x′, y′) · (x′′, y′′)

);

3. possede un element neutre (1, 0) ;

4. definit l’inverse de (x, y) comme etant (x

x2 + y2,− y

x2 + y2) ;

5. est distributive sur l’addition : (x, y) · ((x′, y′) + (x′′, y′′)) = ((x, y)·(x′, y′)) + ((x, y)·(x′′, y′′)).

Remarques :• Toutes ces proprietes font de C un corps commutatif.• On dit que (α, β) est l’inverse du complexe (x, y) lorsque (α, β).(x, y) = (1, 0) ou (1, 0) est l’element

neutre de la loi de multiplication. M1.5

1.2.1.C Module, argument et conjugue

Definition 5 (Module). Soit z = (x, y) un complexe. Le module de z, note |z|, est defini par :

|z| =√x2 + y2.

Remarque : lorsque z est un reel, le module est la valeur absolue.

Definition 6 (Conjugue). Le conjugue de z est le nombre complexe note z ou z∗ defini parz = z∗ = x− jy = (x,−y)

M1.6

Propriete 7 (Module et conjugue). Soient z = (x, y), z1 = (x1, y1) et z2 = (x2, y2) trois nombrescomplexes. Alors :

1. |z1z2| = |z1||z2| et

∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ =|z1||z2|

2. Inegalite triangulaire :∣∣|z1| − |z2|∣∣ ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

3. x = Re{z} = Re{z∗} =z + z∗

2et y = Im{z} = − Im{z∗} =

z − z∗2j

4. zz∗ = |z|2

5.1

z=

z∗

|z|26. (z1 + z2)∗ = z∗1 + z∗2

7. (z1z2)∗ = z∗1z∗2

8.

(z1z2

)∗=z∗1z∗2

M1.7

1.2.2 Exercices

1.2.2.A Exercices-types du CC1Exercice 1.1. Exercice-type :

Soit z =(1 + 2j)(2− j)

1− j .

1. Calculer z, c’est-a-dire ecrire z sous la forme x+ jy ou l’on identifiera clairement la partie reelle x et la partieimaginaire y de z.

2. Donner le module et le conjugue du complexe precedent.

Memes questions pour z =(1− j)(1 + j)

2− j .

M1.8

Exercice 1.2. Manipulations de complexe : Ecrire les complexes suivants sous la forme x+ jy :

1. z1 = (1 + 2j)2, z∗1 et |z1| ; (resultats : z1 = −3 + 4j, z∗1 = −3− 4j et |z1| = 5) ;

2. z2 = j7, z∗2 et |z2| ; (resultats : z2 = −j, z∗2 = j et |z2| = 1) ;

3. z3 = (2− 3j)(1− j), z∗3 et |z3| ; (resultats : z3 = −1− 5j, z∗3 = −1 + 5j et |z3| =√

26) ;

4. z4 =2− 3j

1− j , z∗4 et |z4| ; (resultats : z4 = 2, 5− 0, 5j, z∗4 = 2, 5 + 0, 5j et |z4| =√262

) ;

4

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Module 1

5. z5 = (4 + 3j)3, z∗5 et |z5| ;

6. z6 =1

5 + 3j, z∗6 et |z6| ;

7. z7 =3 + 2j

3− 2j, z∗7 et |z7|.

M1.9

1.2.2.B Exercices de TDExercice 1.3. Demonstration de proprietes de cours : Demontrer toutes les assertions de la propriete 7. Par la suite,elles pourront etre utilisees sans les redemontrer.

M1.10

Exercice 1.4. Puissance de complexe : Soient n ∈ N et z = x+ jy ∈ C. Montrer que

Re{zn} =

n/2∑p=0

C2pn (−1)pxn−2py2p et Im{zn} =

(n−1)/2∑p=0

C2p+1n (−1)pxn−2p−1y2p+1.

On rappelle la formule du binome de Newton : pour tous complexes a et b, (a+ b)n =

n∑k=0

Cknakbn−k avec

Ckn =n!

k!(n− k)!et k! =

k∏l=1

l = 1× 2× . . .× k.

M1.11

1.3 Application a la geometrie : interpretation geometrique

Soit z = x+ jy un complexe de partie reelle x et de partie imaginaire y.• Interpretation affine : on peut definir le point M(z) du plan avec z l’affixe du point M comme le

point de coordonnees cartesiennes (x, y) ;• Interpretation vectorielle : on peut definir le vecteur ~u(z) du plan avec z l’affixe du vecteur

comme le vecteur reliant l’origine au point de coordonnees (x, y)

• Le module de z s’interprete alors comme : r = |z| = ||−−→OM || = ||~u||• L’argument de z est l’angle avec l’axe (O, x) : θ = arg{z} =

(−→Ox,−−→OM) =

(−→Ox,−→u )

• Le module et l’argument de z vont servir de coordonnees polaires au point M ou au vecteur ~u duplan : (r, θ) M1.12

Definition 8 (Argument d’un complexe non nul). Soit z = x+ jy un complexe non nul. Alors :∃!θ ∈]− π, π] tel que z = |z| (cos θ + j sin θ). Ce nombre (reel), note arg{z}, est appele argument de z.

Il est tel que tan(θ) =y

xavec :

• si x > 0, θ ∈]−π2 , π2

[et θ = arctan

(yx

)• si x < 0 et y ≥ 0, θ ∈

]π2 , π

]et θ = arctan

(yx

)+ π

• si x < 0 et y < 0, θ ∈]−π,−π2

[et θ = arctan

(yx

)− π

• si x = 0, θ = π2 si y > 0 et θ = −π2 si y < 0

Remarque : arctan(yx

)+ π et arctan

(yx

)− π designent le meme angle, a 2π pres. Par commodite, on

pourra alors simplement utiliser θ = arctan(yx

)+ π lorsque x < 0 sans se preoccuper du signe de y.

Definition 9 (Notation exponentielle d’un complexe). Soit z un complexe de module |z| et d’argumentθ. Alors z se note sous la forme exponentielle z = |z|ejθ. Toutes les proprietes des exponentielles reelles(cf. section M2 4.2.2.C) restent vraies dans C.

M1.13

Propriete 10 (Argument d’un nombre complexe). Soient z1 et z2 deux nombres complexes. Alors, a2π pres :• arg{z1z2} = arg{z1}+ arg{z2} ;• arg{z1/z2} = arg{z1} − arg{z2} ;• arg{1/z1} = − arg{z1} ;• arg{z∗1} = − arg{z1}.

5

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Module 1

M1.14

Un point M du plan se repere, comme presente figure 1, par :• ses coordonnees cartesiennes (x, y)• ses coordonnees polaires (r, θ)

x

y

M(z)

x

yrθ

Figure 1 – Coordonnees cartesiennes (x, y) et polaires (r, θ) d’un point M du plan.

Le changement de coordonnees s’effectue de la facon suivante :• Coordonnees polaires −→ cartesiennes : x = r cos(θ) et y = r sin(θ)

• Coordonnees cartesiennes −→ polaires : r =√x2 + y2 et θ =

arctan

(yx

)si x > 0;

arctan(yx

)+ π si x < 0;

π2 si x = 0 et y > 0;

−π2 si x = 0 et y < 0.M1.15

1.3.1 Exercices

1.3.1.A Exercices-types du CC2Exercice 1.5. Exercice type : Soit z = 2− j.

1. Representer z graphiquement ;

2. Donner la forme polaire de z.

Meme questions pour z = −5 + 3j.

M1.16

Exercice 1.6. Exercice-type : Determiner le module et l’argument (en degres et en radians) des nombres complexessuivants, et representez-les graphiquement :

1 z1 = −1− j 2 z2 = 3− j 3 z3 = −2 + 4j 4 z4 =√

3 + j

5 z5 = −2 + j√

12 6 z6 = −4 + 4j 7 z7 = 3− 3j

Elements de reponse : |z1| =√

2, arg(z1) = −135 degres = − 3π4

radians ; |z2| =√

10, arg(z2) = − 180π

arctan( 13)

degres = − arctan( 13) rad ; |z3| = 2

√5, arg(z3) = 180− 180

πarctan(2) degres = π − arctan(2) radians

M1.17

1.3.1.B Exercices de TDExercice 1.7. Notation exponentielle : Determiner la notation exponentielle des nombres complexes suivants :

1 z8 = (−j)18 2 z9 = (1 + j)−23 3 z10 = (−√

3 + j)51

4 z11 =1 + j

√3√

3 + j5 z12 = 1 + cosϕ+ j sinϕ 6 z13 = (1 + j tanϕ)2

Exercice 1.8. Resolution d’equation : Resoudre dans C les equations :

1 z5 + 1− j = 0 2 z5 − (−1 + j)−1 = 0

M1.18

Exercice 1.9. Module et argument : Determiner le module et l’argument du complexe z tel quez = (1 + j)n + (1− j)n, avec n ∈ Z.

6

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Module 1

x

y

~u 1(z1)

~u2 (z

2 )

~u(z)

Figure 2 – Translation dans le plan.

x

y

\

•M(z)

•M ′(z∗)

\

•M ′′(−z)

Figure 3 – Translation dans le plan.

Exercice 1.10. Module et argument : Soit z = ejθ. Determiner le module et l’argument du complexe Z defini par :Z = z2 + z.

Exercice 1.11. Resolution d’equation : Resoudre dans C l’equation z2 =√

3 + j, en deduire l’expression exacte de

cos( π

12

)et sin

( π12

).

Exercice 1.12. Resolution d’equation : Resoudre dans C l’equation z2 − (8 + 6j)z + 15 + 30j = 0, la methode deresolution des equations du second degre a coefficients reels restant valable pour les coefficients complexes.

M1.19

1.4 Application a la geometrie : transformations du plan et lieugeometrique

1.4.1 Transformations du plan

Theoreme 11 (Translation). Soit z1 (respectivement z2) l’affixe du vecteur ~u1 (respectivement ~u2) etdu point M1 (respectivement M2) du plan. Alors (cf. figure 2) :• Le vecteur ~u = ~u1 + ~u2 est d’affixe z = z1 + z2 ;

• Le point M tel que−−→OM =

−−−→OM1 +

−−−→OM2 est d’affixe z = z1 + z2 ;

• Plus generalement le point A(a), translate du point B(b) par la translation de vecteur ~u(u), estd’affixe a = b+ u ;

M1.20

Theoreme 12 (Symetries). Soit z un complexe, affixe du point M . Alors (cf. figure 3) :• Le point M ′(z′), symetrique de M par rapport a l’axe des abscisses (O, x), est d’affixe z′ = z∗ ;• Le point M ′′(z′′), symetrique de M par rapport a l’origine, est d’affixe z′′ = −z.

M1.20

1.4.2 Produit scalaire

Definition 13 (Produit scalaire). Soient ~u1 et ~u2 deux vecteurs du plan, d’affixes respectivesz1 = x1 + jy1 et z2 = x2 + jy2. Alors le produit scalaire de ~u1 et ~u2, note indifferemment 〈~u1, ~u2〉 ou

7

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Module 1

~u1.~u2, est le nombre reel defini par :

• Definition geometrique : 〈~u1, ~u2〉 = ||~u1|| ||~u2|| cos( (~u1, ~u2)

).

• Definition analytique : 〈~u1, ~u2〉 = x1x2 + y1y2 ;• Definition avec les nombres complexes : 〈 ~u1, ~u2〉 = Re{z∗1z2}.Rappels :• Deux vecteurs ~u et ~v sont dits colineaires s’ils existent un reel λ non nul tel que ~u = λ~v• Deux vecteurs ~u et ~v sont dits orthogonaux si 〈~u,~v〉 = 0 M1.21

1.4.3 Lieu geometrique

Definition 14 (Lieu geometrique). Le lieu geometrique est l’ensemble des points (ou de maniereequivalente leurs affixes complexes) satisfaisant une condition donnee.

Exemple 15 (Des lieux geometriques : les droites, les cercles, les disques, ...). Soient a, b et u troisnombres complexes. Alors :

1. La droite passant par le point A(a) et de vecteur directeur ~u(u) est d’equation parametriqueD = {z ∈ C/z = a+ λu, λ ∈ R} ;

2. La droite passant par le point A(a) et de vecteur normal ~u(u) est d’equationD = {z ∈ C/Re{(z − a)∗u} = 0} ;

3. La droite passant par les points A(a) et B(b) est d’equation parametriqueD = {z ∈ C/z = a+ λ(b− a), λ ∈ R} ;

4. Le cercle de centre A(a) et de rayon R est : C = {z ∈ C/|z − a| = R} ;

5. Le disque ouvert de centre A(a) et de rayon R est : D = {z ∈ C/|z − a| < R}.M1.22

1.4.4 Exercices

1.4.4.A Exercices-types du CC3Exercice 1.13. Equation de droite : Determiner l’equation de la droite D :

1. passant par le point M(1, 2) et de vecteur directeur ~u(1,−1).

2. passant par le point M(1, 2) et de vecteur normal ~u(1,−1).

3. passant par les points M(1, 2) et N(−1, 1).

M1.23

Exercice 1.14. Equation de droite : Determiner les equations des droites :

1. passant par les points A(1, 2) et B(−1, 0) ; (solution : x− y + 1 = 0) ;

2. passant par M(1, 1) et de vecteur normal ~u(1, 2) ; (solution : x+ 2y − 3 = 0)

3. passant par M(1, 1) et de vecteur directeur ~u(1, 2) ; (solution : 2x− y − 1 = 0) ;

4. mediatrice du segment [AB] avec A(1, 2) et B(−1, 0) (rappel : la mediatrice de [AB] est la droite orthogonalea la droite (AB) passant par le milieu du segment [AB]) ;

5. passant par A(1, 2) et perpendiculaire a la droite (AB) avec B(−1, 0).

M1.24

1.4.4.B Exercices de TDExercice 1.15. Equations de droite dans le plan : Soient M1(x1, y1) et M2(x2, y2) deux points du plan et soit ~u(α, β)un vecteur. Determiner l’equation de la droite :

1. passant par M1 et de vecteur directeur ~u ;

2. passant par M1 et de vecteur normal ~u ;

3. passant par M1 et M2 ;

4. mediatrice du segment [M1M2] ;

5. passant par M1 et perpendiculaire a la droite (M1M2).

M1.25

Exercice 1.16. Droites dans le plan : Soient D et D′ deux droites d’equations cartesiennes respectivesax+ by + c = 0 et a′x+ b′y + c′ = 0 et soit P (xP , yP ) un point du plan.

8

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Module 1

x

y

rb •B(b)

θb

•A(a)

θ

r b

Figure 4 – Rotation de centre O et d’angle θ

1. A quelle condition D et D′ sont-elles paralleles ?

2. A quelle condition D et D′ sont-elles orthogonales ?

3. Quelle est la distance de P a la droite D ?

Exercice 1.17. Lieu geometrique : Determiner l’ensemble des affixes satisfaisant les relations :

1 Im(z) > 1 2 Re(z) ≥ 12

3 0 ≤ arg(z) ≤ π4

4 |2z − 3| > 3

M1.26

1.5 Application a la trigonometrie

1.5.1 Exponentielle d’un nombre complexe

• Notation : exp(jθ) pour exp(jθ) = cos θ + j sin θ

• Origine : developpement en serie entiere (cf. M5 ) de exp(x) donne par

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ ...+

xp

p!+ ... =

+∞∑n=0

xn

n!

• Ecriture sous forme polaire : z = r. exp(jθ) = r cos θ + jr sin θ

Theoreme 16 (Formules d’Euler). Soit θ ∈ R. Alors : cos θ =ejθ + e−jθ

2et sin θ =

ejθ − e−jθ2j

• Cas general : exp(x+ jy) = exp(x) (cos y + j sin y)• Les proprietes de l’exponentielle restent vraies dans C notamment exp(z1 + z2) = exp(z1) exp(z2) et

exp(nz) = (exp(z))n

Theoreme 17 (Formule de Moivre). Soient θ ∈ R et n ∈ Z. Alors (cos θ + j sin θ)n

= cosnθ + j sinnθM1.27

1.5.2 Rotations

Theoreme 18 (Rotations). Soit B le point du plan d’affixe b = xb + jyb = rb exp(jθb).• La rotation de centre 0 et d’angle θ transforme le point B en le point B′ d’affixeb′ = xb′ + jyb′ = rb exp(j(θb + θ)) avec b′ = b exp(jθ), xb′ = xb cos(θ)− yb sin(θ) etyb′ = xb sin(θ) + yb cos(θ). Cette transformation est illustree figure 4.

• La rotation de centre A(a) et d’angle θ transforme le vecteur−−→AB(b− a) en le vecteur

−−→AB′(b′ − a)

avec b′ − a = (b− a). exp(jθ)), autrement dit b′ = a+ (b− a) exp(jθ),xb′ = xa + (xb − xa) cos(θ)− (yb − ya) sin(θ) et yb′ = ya + (xb − xa) sin(θ) + (yb − ya) cos(θ)

M1.28

1.5.3 Cercle trigonometrique et proprietes de base

Propriete 19 (Trigonometrie de base (cf. figure 5)). Soit x un reel.• Relation fondamentale : cos2 x+ sin2 x = 1• sin(−x) = − sinx ; cos(−x) = cosx ; tan(−x) = − tanx• sin(π/2− x) = cosx ; cos(π/2− x) = sinx ; tan(π/2− x) = 1/ tanx

9

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Module 1

(cosx, sinx)

cosx

sinx

x

(cosx, sinx)

(cosx,− sinx)

x−x

(cosx, sinx)

(sinx, cosx)

x

π2 − x

(cosx, sinx)

(− sinx, cosx)

x

π2 + x (cosx, sinx)

(− cosx,− sinx)

xπ + x (cosx, sinx)(− cosx, sinx)

x

π − x

Figure 5 – Trigonometrie.

• sin(π

2+ x)

= cosx ; cos(π

2+ x)

= − sinx ; tan(π

2+ x)

= − 1

tanx• sin(π + x) = − sinx ; cos(π + x) = − cosx ; tan(π + x) = tanx• sin(π − x) = sinx ; cos(π − x) = − cosx ; tan(π − x) = − tanx• Pour tout entier relatif n, cos(nπ + x) = (−1)n cosx ; sin(nπ + x) = (−1)n sinx ; tan(nπ + x) = tanx

M1.29

1.5.4 Angles remarquables

Les angles remarquables sont donnes table 1 et figure 6.

Angle θ 0π

6(30◦)

π

4(45◦)

π

3(60◦)

π

2(90◦)

sin(θ) 01

2

√2

2

√3

21

cos(θ) 1

√3

2

√2

2

1

20

tan(θ) 0

√3

31

√3 +∞

Table 1 – Angles remarquables.

M1.30

1.5.5 Formules d’addition, de soustraction et de duplication

Theoreme 20 (Addition et soustraction en trigonometrie). Soient a, b ∈ R. Alors :• cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b• cos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin b• sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b• sin(a− b) = sin a cos b− cos a sin b

• tan(a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a tan b

• tan(a− b) =tan a− tan b

1 + tan a tan b

Theoreme 21 (Duplication en trigonometrie). Soit a ∈ R. Alors :• cos 2a = cos2 a− sin2 a = 2 cos2 a− 1 = 1− 2 sin2 a• sin(2a) = 2 sin a cos a

• tan 2a =2 tan a

1− tan2 aM1.31

10

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Module 1

x

y

0◦

30◦

60◦90◦

120◦

150◦

180◦

210◦

240◦

270◦300◦

330◦

360◦

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

(√32 ,

12

)(√

22 ,√22

)(

12 ,√32

)

(−√32 ,

12

)(−√22 ,√22

)(− 1

2 ,√32

)

(−√32 ,− 1

2

)(−√22 ,−

√22

)(− 1

2 ,−√32

)

(√32 ,− 1

2

)(√

22 ,−

√22

)(

12 ,−

√32

)

(−1, 0) (1, 0)

(0,−1)

(0, 1)

Figure 6 – Angles remarquables.

1.5.6 Formules de linearisation et de factorisation

Theoreme 22 (Linearisation en trigonometrique). Soient a, b ∈ R. Alors :

• cos2 a =1 + cos(2a)

2; cos a cos b =

1

2cos(a+ b) +

1

2cos(a− b)

• sin2 a =1− cos(2a)

2; sin a cos b =

1

2sin(a+ b) +

1

2sin(a− b)

Theoreme 23 (Factorisation en trigonometrie). Soient a, b ∈ R. Alors :

• sin a+ sin b = 2 sin

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

); sin a− sin b = 2 sin

(a− b

2

)cos

(a+ b

2

)• cos a+ cos b = 2 cos

(a+ b

2

)cos

(a− b

2

); cos a− cos b = −2 sin

(a+ b

2

)sin

(a− b

2

)M1.32

1.5.7 Rappels sur les fonctions trigonometriques reciproques

Definition 24 (Arc cosinus). Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [0, π] tel que cos(θ) = x. Onl’appelle l’arc cosinus du nombre x : θ = arccos(x).

Definition 25 (Arc sinus). Soit x ∈ [−1, 1]. Il existe un unique angle θ ∈ [−π/2, π/2] tel quesin(θ) = x. On l’appelle l’arc sinus du nombre x : θ = arcsin(x).

Definition 26 (Arc tangente). Soit x ∈ R. Il existe un unique angle θ ∈]− π/2, π/2[ tel quetan(θ) = x. On l’appelle l’arc tangente du nombre x : θ = arctan(x).

M1.33

Theoreme 27 (Fonctions trigonometriques reciproques). Soit x ∈ R. Alors :• sin(arcsin(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;• cos(arccos(x)) = x si x ∈ [−1, 1] ;• tan(arctan(x)) = x ;

• sin(arccosx) = cos(arcsinx) =√

1− x2 si x ∈ [−1, 1] ;• arcsinx+ arccosx = π

2 si x ∈ [−1, 1] ;

11

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Module 1

• arctan(x) + arctan(1

x) =

π

2si x 6= 0 ;

• sin(arctanx) =x√

1 + x2;

• cos(arctanx) =1√

1 + x2.

M1.34

1.5.8 Exercices

1.5.8.A Exercices-typesExercice 1.18. Exercice-type : Soit z = 2 exp(j(π

2+ π

3)).

1. Representer graphiquement z.

2. Donner la partie reelle et la partie imaginaire de z.

Memes questions pour z = − exp(j(π2− π

6)), puis pour z = 3 exp(j(π

4− π)).

M1.35

1.5.8.B Exercices de TDExercice 1.19. : Exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos θ et sin θ.

Exercice 1.20. : Exprimer cos4(θ) et sin4(θ) en fonction de cos(nθ) et sin(nθ), avec n ∈ N.

M1.36

Exercice 1.21. Demonstration de proprietes : Demontrer en utilisant les formules d’Euler que :

1 sin(−x) = − sinx 2 cos(π/2− x) = sinx 3 sin(π/2 + x) = cosx

4 sin(π + x) = − sinx 5 cos(π − x) = − cosx 6 cos(nπ + x) = (−1)n cosx

7 sin(nπ + x) = (−1)n sinx 8 tan(nπ + x) = tanx

Exercice 1.22. Demonstration de formules trigonometriques : Demontrer que :

1 cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b 2 sin(a− b) = sin a cos b− cos a sin b

Exercice 1.23. : Soit M le point du plan de coordonnees polaires (r, θ). Quelle est la longueur de l’arc de cercleAM avec A de coordonnees polaires (r, 0) ?

M1.37

Exercice 1.24. : Demontrer que (cosx+ sinx)2 + (cosx− sinx)2 = 2.

Exercice 1.25. : Soit f(x) = 2 sin2 x− 3 sinx+ 2. Montrer que f(x) = f(π − x).

Exercice 1.26. : Soit f(x) = 3 cos2 x− 5 cosx+ 7. Montrer que f(x) = f(−x).

Exercice 1.27. : Soit f(x) = a cos2 x+ b cosx sinx+ c sin2 x+ d. Montrer que f(x) = f(π + x).

Exercice 1.28. : Soit f(x) = sin3 x+ cos3 x− sinx− cosx. Montrer que f(x) = f(π2− x).

Exercice 1.29. : Resoudre les equations suivantes :

1 sinx =1

22 sin 5x = sin 3x 3 sinx = sin

(π4− 2x

)M1.38

12

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Module 1

1.6 Application a l’electricite

Dans un probleme d’electricite, on a generalement affaire avec :• une tension : u(t) = U0 cos(ωt+ ϕu) = Re{U0e

jϕuejωt}• une intensite : i(t) = I0 cos(ωt+ ϕi) = Re{I0ejϕiejωt}En utilisant les complexes, on peut definir :• Tension/intensite complexe U = U0e

jϕu et I = I0ejϕi amplitudes complexes de la tension et de

l’intensite

• impedance complexe : Z =U

I= R+ jX avec R la resistance et X la reactance

• bobine, inductance L : u = Ldi

dt⇒ u(t) = −LωI0 sin(ωt+ ϕi) et U = ZI avec Z = jLω

• condensateur, capacite C : i = Cdu

dt⇒ i(t) = −CωU0 sin(ωt+ ϕu) et U = ZI avec Z =

1

jCω M1.39

2 Polynomes

2.1 Algebre polynomiale

2.1.1 Definitions

Definition 28 (Polynome). Un polynome est une fonction de la variable complexe x a valeurs dans Cde la forme :

P :

C → C

x 7→ p0 + p1x+ . . .+ pnxn =

n∑k=0

pkxk

On le note P = p0 + p1X + . . .+ pnXn =

n∑k=0

pkXk

Notation : C[X] est l’ensemble des polynomes complexes a une variable.Remarque : Tous les termes de la forme pkX

k dont appele monome de puissance k.

Definition 29 (Degre d’un polynome). Le degre d’un polynome P est le nombre note deg(P ) definipar :• si P = 0, deg(P ) = −∞ ;• si P 6= 0, deg(P ) = max ({n ∈ N/pn 6= 0}).

M1.40

2.1.2 Lois d’addition et de multiplication

Definition 30 (Addition de polynomes). L’addition est la transformation definie par :C[X]× C[X] → C[X]

(P,Q) 7→ P +Q =

+∞∑k=0

(pk + qk)Xk

Propriete 31 (Addition de polynomes). • Soient P,Q ∈ C[X]. deg(P +Q) ≤ max(deg(P ),deg(Q))• (C[X],+) est un groupe 1 commutatif

M1.41

Definition 32 (Multiplication de polynomes). La multiplication est la transformation definie par :C[X]× C[X] → C[X]

(P,Q) 7→ P.Q =

+∞∑k=0

(k∑l=0

plqk−l

)Xk

Propriete 33 (Multiplication de polynomes). • Soient P,Q ∈ C[X]. Alors degP.Q = degP + degQ

1. Un groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative admettant un element neutre et, pourchaque element de l’ensemble, un element symetrique.

13

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Module 1

• (C[X],+, ·) est un anneau 2 commutatif

Exemple 34 (Un produit de polynomes). Soient P = X2 + 2X + 3 et Q = X − 1.P.Q = X3 +X2 +X − 3.

M1.42

2.1.3 Division polynomiale

Theoreme 35 (Division euclidienne (polynomiale)). Soient A ∈ C[X] et B ∈ C[X] \ {0}. Alors :∃!(Q,R) ∈ C[X]× C[X] tel que A = BQ+R avec degR < degB. A est appele dividente, B diviseur,Q quotient et R reste.

Exemple 36 (Une division euclidienne). X2 + 2X + 3︸ ︷︷ ︸A

= (X − 1︸ ︷︷ ︸B

)(X + 3︸ ︷︷ ︸Q

) + 6︸︷︷︸R

car

X2 + 2X + 3 = X(X − 1) + 3X + 3 et 3X + 3 = 3(X − 1) + 6 soit :

X2 + 2X + 3 X − 1−(X2 −X) X + 3

3X + 3−(3X − 3)

6M1.43

Theoreme 37 (Division suivant les puissances croissantes a l’ordre p). Soient A ∈ C[X] \ {0},B ∈ C[X] \ {0} avec B(0) 6= 0, et p ∈ N∗. Alors ∃!(Q,R) ∈ C[X]× C[X] tel que A = BQ+Xp+1R avecdegQ ≤ p.

Exemple 38 (Pour des polynomes de degre p = 2). 1 + 2X + 3X2︸ ︷︷ ︸A

= (1−X︸ ︷︷ ︸B

)(1 + 3X + 6X2︸ ︷︷ ︸Q

) + 6︸︷︷︸R

X3

car1 + 2X + 3X23 1−X−(1−X) 1 + 3X + 6X2

3X + 3X2

−(3X − 3X2)6X2

−(6X2 − 6X3)6X3

M1.44

2.1.4 Exercices

2.1.4.A Exercices-typeExercice 1.30. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la division euclidienne de 2X3 −X2 +X − 3 parX + 4.

Exercice 1.31. Exercice-type : Donner le quotient Q et le reste R de la division suivant les puissances croissantes al’ordre 2 de X4 +X2 + 1 par X + 1.

M1.45

Exercice 1.32. Exercice-type : Effectuer la division euclidienne de A par B, puis suivant les puissances croissantes al’ordre 2 et a l’ordre 3, avec :

1 A = X3 +X − 1 et B = X + 1 2 A = X3 +X − 1 et B = 2X + 1

3 A = X4 − 1 et B = X − 1 4 A = X2 +X + 1 et B = X − 1

5 A = X2 + 2X + 1 et B = X + 1 6 A = X3 + 3X2 + 3X + 1 et B = X2 + 2X + 1

7 A = X4 +X + 1 et B = X + 1

Reponses : 1 Q = X2 −X + 2, R = −3, Q2 = −1 + 2X − 2X2, R2 = 3, Q3 = −1 + 2X − 2X2 + 3X3, R3 = −3 ;

2 Q = X2/2−X/4 + 5/8, R = −13/8, Q2 = −1 + 3X − 6X2, R2 = 13, Q3 = −1 + 3X − 6X2 + 13X3,

R3 = −26 ; 3 Q = X3 +X2 +X + 1, R = 0, Q2 = 1 +X +X2, R2 = −1 +X, Q3 = 1 +X +X2 +X3, R3 = 0

M1.46

2. Un anneau est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication qui se comportent comme suit : A muni del’addition est un groupe commutatif, la multiplication est associative, distributive par rapport a l’addition, et elle possedeun neutre.

14

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Module 1

2.1.4.B Exercices de TDExercice 1.33. : Effectuer la division euclidienne de A par B, puis suivant les puissances croissantes a l’ordre 2 et al’ordre 3, avec :

1. A = X5 −X4 +X3 + 1 et B = X2 + 1 ;

2. A = X7 − 5X6 + 3X4 + 2X2 +X − 1 et B = X3 +X + 1 ;

3. A = X8 + 3X6 − 2X5 + 2X3 −X + 2 et B = 2X2 −X + 1.

M1.47

Exercice 1.34. : On cherche a approcher la fonction f(x) =1

1− x par un polynome au voisinage de x = 0. L’objet

de cet exercice est de montrer comment le faire en utilisant la division suivant les puissance croissante.

1. Determiner le quotient et le reste de la division suivant les puissance croissante a l’ordre 2 de 1 divise par 1−X.

2. En deduire que f(x) peut se mettre sous la forme f(x) = 1 + x+ x2 + x2ε(x) avec ε(x) une fonction que l’onexplicitera.

3. En deduire que f(x) peut etre approximee au voisinage de x = 0 par un polynome p(x) que l’on explicitera.

4. Deduire de 2 les valeurs des limites suivantes : limx→0

f(x)− 1

2x; limx→0

f(x)− 1− xx3

; limx→0

f(x)− 1− x3x2

.

M1.48

Exercice 1.35. :

• Soit n ∈ N. Montrer que Xn+1 − 1 = (X − 1)

(n∑k=0

Xk

)= (X − 1)(Xn + . . .+ 1).

• Soit p ∈ N. En deduire que X2p+1 + 1 = (X + 1)

(2p∑k=0

(−1)kXk

).

Exercice 1.36. : Soit n ∈ N. Calculer la division euclidienne de Xn+1 + 1 par X − 1.M1.49

2.2 Equations algebriques

2.2.1 Definitions et proprietes

Definition 39 (Equations algebriques, racine, ordre de multiplicite). Une equation algebrique estune equation du type P (x) = 0. On appelle zero ou racine d’une equation algebrique tout elementx0 ∈ C tel que P (x0) = 0. Chaque zero (ou racine) possede un ordre de multiplicite : cet ordre est lenombre l ∈ N∗ tel que :• ∃Q ∈ C[X] tel que P = (X − x0)lQ ;• ∀A ∈ C[X], P 6= (X − x0)kA pour k > l, k entier.

Definition 40 (Derivee). Soit P = p0 + p1X + p2X2 + ...+ pnX

n. La derivee du polynome P est lepolynome P ′ donne par : P ′ = p1 + 2p2X + ...+ npnX

n−1.

Propriete 41 (Racine d’un polynome). x0 ∈ C est racine (ou zero) d’ordre l du polynomeP ∈ C[X] ssi x0 est racine (ou zero) de P , P ′,..., P (l−1), mais pas de P (l).

M1.50

2.2.2 Factorisation d’un polynome

Theoreme 42 (Theoreme de d’Alembert). Tout polynome de C[X] de degre superieur ou egal a 1admet au moins une racine (ou zero) complexe (eventuellement reelle).

Lemme 43 (Consequences). • Tout polynome P de C[X] de degre n ≥ 1 admet exactement n racinesxp (ou zero) complexes (en comptant autant de fois les racines que leur ordre de multiplicite).

• Factorisation d’un polynome : soient xp les racines du polynome P ayant chacune un ordre demultiplicite αp. Alors : P = pn(X − x1)α1 ...(X − xp)αp .

• Factorisation d’un polynome a coefficients reels :P = pn(X − x1)α1 ...(X − xk)αk(X2 − 2r1 cos θ1 + r21)β1 ...(X2 − 2rl cos θl + r2l )

βl .M1.51

15

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Module 1

2.2.3 Racine enieme de l’unite

ProblemeChercher les racines enieme de l’unite, c’est chercher les complexes z tels que zn = 1

Theoreme 44 (Racine enieme de l’unite). En posant z = r.exp(jθ), on a : z est solution du probleme

ssi r = 1 et θ =2kπ

navec k ∈ Z. Il y a donc n solutions.

Demonstration. Il suffit d’egalant les modules de z et de 1 et les arguments de z et de 1.

Applications

1. Racine enieme d’un nombre complexe a = % exp(jϕ) : les solutions sont z = n√% exp

(jϕ+ 2kπ

n

)2. Racines de az2 + bz + c = 0, avec a, b, c complexes : z est racine ssi(

z − b

2a

)2

=b2

4a2− c

a=b2 − 4ac

(2a)2. On est donc amene a chercher les racines carrees de b2 − 4ac

M1.52

2.2.4 Exercices

2.2.4.A Exercices-typeExercice 1.37. : Donner les racines cinquiemes de l’unite.

Exercice 1.38. : Donner les racines cubiques de −1.

Exercice 1.39. : Calculer les racines :

1 5iemes de 1 2 4iemes de -1 3 cubiques de j

4 carrees de −j 5 5iemes de 1 + j 6 5iemes de√

3 + j

Reponses : 1 ωk = exp(j 2kπ5

), avec 0 ≤ k ≤ 4 ; 2 ωk = exp(j (2k+1)π4

), avec 0 ≤ k ≤ 3 ; 3

ωk = exp(j (2k+1/2)π3

), avec 0 ≤ k ≤ 2

M1.53

2.2.4.B Exercices de TDExercice 1.40. : Resoudre dans C :

1 (1 + z)n = (1− z)n 2 z5 + 1− j = 0

3 z5 − (−1 + j)−1 = 0 4 1 + z + z2 + · · ·+ zn = 0

Exercice 1.41. : Determiner les racines, eventuellement complexes, des polynomes :

1. X4 −X2 − 1 = 0 ;

2. X4 +X3 −X − 1 = 0 ;

3. X4 − 3X3 + 4X2 − 3X + 1 = 0 ;

4. X5 + 4X4 + 5X3 +X2 − 2X − 1 = 0 ;

5. X5 − 2X4 −X3 + 3X2 − 1 = 0.

M1.54

Exercice 1.42. : Un dromadaire herita d’un terrain carre a brouter dont la surface etait inferieure d’une seulelongueur de baton a celle de son cote. Il creva de faim... Pourquoi ?

Exercice 1.43. : Le nombre d’or est la proportion, definie initialement en geometrie, comme l’unique rapport entredeux longueurs telles que le rapport de la somme des deux longueurs (a+ b) sur la plus grande (a) soit egal a celui dela plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-a-dire lorsque (a+ b)/a = a/b. Le decoupage d’un segment en deux

16

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Module 1

longueurs verifiant cette propriete est appele par Euclide decoupage en extreme et moyenne raison. Le nombre d’or estmaintenant souvent designe par la lettre φ en l’honneur du sculpteur Phidias qui l’aurait utilise pour concevoir leParthenon. (source : wikipedia). Calculer le nombre d’or.

M1.55

3 Fractions rationnelles

3.1 Algebre des fractions rationnelles

3.1.1 Definition

Definition 45 (Fractions rationnelles). Une fraction rationnelle est une fonction de la variablecomplexe x a valeurs dans C de la forme :

F :

C → C

x 7→ P (x)

Q(x)=p0 + p1x+ . . .+ pnx

n

q0 + q1x+ . . .+ qkxk

On la note F =p0 + p1X + . . .+ pnX

n

q0 + q1X + . . .+ qkXk.

Notation : l’ensemble des fractions rationnelles est note C(X)

Propriete 46 (Egalite de deux fractions rationnelles). Soient F1 = P1/Q1 et F2 = P2/Q2 deuxfractions rationnelles. Alors : F1 = F2 lorsque P1Q2 = P2Q1.

M1.56

3.1.2 Loi d’addition et de multiplication

Definition 47 (Addition de fractions rationnelles). L’addition de deux fractions rationnelles est une loide composition interne sur C(X) definie par : C(X)× C(X) → C(X)(

P1

Q1,P2

Q2

)7→ P1

Q1+P2

Q2=P1Q2 +Q1P2

Q1Q2

Propriete 48 (Addition de fractions rationnelles). (C(X),+) est un groupe commutatif.M1.57

Definition 49 (Multiplication de fractions rationnelles). La multiplication de deux fractionsrationnelles est une loi de composition interne sur C(X) definie par : C(X)× C(X) → C(X)(

P1

Q1,P2

Q2

)7→ P1P2

Q1Q2

Propriete 50 (Multiplication de fractions rationnelles). (C(X),+, ·) est un corps commutatif.M1.58

3.1.3 Poles et zeros

Definition 51 (Fraction irreductible). Soit F = PQ ∈ C(X). On dit que F est irreductible si les

polynomes P et Q n’ont pas de racines communes.

Definition 52 (Pole). Soit F = PQ ∈ C(X) une fraction irreductible. Les zeros (ou racines) de Q sont

appelees les poles de F . On dit qu’un pole est d’ordre α si c’est une racine d’ordre α de Q.

Definition 53 (Zero). Soit F = PQ ∈ C(X) une fraction irreductible. Les zeros (ou racines) de P sont

appelees les zeros de F . On dit qu’un zero est d’ordre α si c’est une racine d’ordre α de P .M1.59

17

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Module 1

3.2 Decomposition en Elements Simples (DES) de premiere espece a polessimples

3.2.1 Pourquoi

Exemple de problemeQuestion : Trouver une primitive d’une fonction f(x).Methode : decomposer f(x) en une somme de fractions plus simples.

Exemple 54 (Trouver une primitive de f(x) =1

x2 + x). Comme f(x) = 1

x − 1x+1 , on en deduit une

primitive F (x) = ln |x| − ln |x+ 1|

Exemple 55 (Trouver une primitive de g(x) =x5 + 2x4 + x3 + 1

x3 + 2x2 + x). Comme

g(x) = x2 +1

x− 1

(x+ 1)2− 1

x+ 1, alors une primitive est G(x) = x3

3 + ln |x|+ 1x+1 − ln |x+ 1|.

Ces fractions plus simples sont appelees elements simples de premiere espece.

QuestionComment decomposer une fraction en elements simples en general ?

M1.60

3.2.2 Partie entiere d’une fraction rationnelle

Theoreme 56 (Partie entiere d’une fraction rationnelle). Soit F = PQ ∈ C(X).

∃!(E,R) ∈ C(X)× C(X) tel que F = E +R

Qavec deg(R) < degQ. E est appele partie entiere de F

Exemple 57 (Des parties entieres). 1. La partie entiere de G =X5 + 2X4 +X3 + 1

X3 + 2X2 +Xvaut X2 et

G = X2 +1

X3 + 2X2 +X;

2. Celle de F =1

X2 +Xvaut 0 et F = 0 +

1

X2 +X.

M1.61

Demonstration. Determinons la partie entiere E de F : F = E +R

Q⇐⇒

{P = EQ+RF = P

Q

Theoreme 58 (Partie entiere d’une fraction rationnelle). La partie entiere E de F = PQ est le quotient

de la division euclidienne de P (autrement dit le numerateur de F ) par Q (le denominateur de F ). Deplus, R est reste de la division euclidienne de P par Q.

M1.62

3.2.3 Methodes de DES de premiere espece a poles simples

Definition 59 (Elements simples de premiere espece simple). On appelle elements simples de premiere

espece simple toute fraction du type1

(X − x0)avec x0 ∈ C.

Propriete 60. Soit F = PQ ∈ C(X) une fraction irreductible de partie entiere E et de poles simples

x1, ..., xp. Alors, F peut s’ecrire de maniere unique sous la forme :

F = E +a1

X − x1+

a2X − x2

+ · · ·+ apX − xp

M1.63

Methodologie 61 (Methodes de Decomposition en Elements Simples (DES) de premiere especesimple). Soit F = P

Q ∈ C(X) la fraction a decomposer.

1. Calculer la partie entiere (division euclidienne de P par Q) pour obtenir F = E + P1

Q

2. Factoriser Q (calcul des zeros et de leur ordre de multiplicite)

18

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Module 1

3. Decomposer P1

Q en elements simples de premiere espece en utilisant l’une des methodes 62, 64ou 66

M1.64

Methodologie 62 (Methode par identification). On identifie la fraction rationnelle de depart et saDES en remettant les termes de la decomposition sur le meme denominateur.

Exemple 63 (DES de F =1

X2 +X). F possede 2 poles simples x1 = 0 et x2 = −1 donc

F =1

X(X + 1). Le degre du numerateur est plus petit que celui du denominateur, donc la partie

entiere est nulle (E = 0) et F peut s’ecrire sous la forme : F =a

X+

b

X + 1. On a donc

F =a(X + 1) + bX

X(X + 1)=

(a+ b)X + a

X(X + 1). On en deduit que a+ b = 0 et a = 1. D’ou b = −1 et

F =1

X− 1

X + 1.

Remarque : Avec cette methode, on peut aboutir a la resolution d’un systeme d’equations lineaires quipeut etre long a etudier. M1.65

Methodologie 64 (Methode par prise de valeurs). On evalue la fraction rationnelle et sadecomposition pour des valeurs simples (X = 0, X = 1, . . .) en nombre suffisant pour aboutir a unsysteme d’equations lineaire a resoudre.

Exemple 65 (DES de F =1

X2 +X). On a F =

a

X+

b

X + 1. Comme F (1) =

1

2= a+

b

2et

F (2) =1

6=a

2+b

3, d’ou le resultat en resolvant un systeme de deux equations a deux inconnues.

M1.66

Methodologie 66 (Methode pour des racines simples). Si les racines de Q sont simples (c’est-a-dire

d’ordre 1), alors : F = E +a1

X − x1+ · · ·+ ap

X − xp. Pour obtenir le coefficient al avec l ∈ J1, pK, il suffit

de calculer F (x).(x− xl) pour x = xl.

Demonstration. F.(X − xl) = al + (X − xl)

E +∑k 6=l

akX − xk

︸ ︷︷ ︸

=0 pour X=xl

= al pour X = xl

M1.67

Exemple 67 (DES de F =1

X2 +X). On a F =

a

X+

b

X + 1. Par cette methode, on obtient

immediatement que a = [F ×X]|X=0 = 1 et b = [F × (X + 1)]|X=−1 = −1.

Remarque : si les racines de Q sont multiples : section suivante ! ! M1.68

3.2.4 Exemples

Exemple 68 (DES de F =X3 − 2X + 1

X4 − 3X3 +X2 + 3X − 2). x0 = 1 est un pole et un zero de F , on peut

donc simplifier F par X − 1 (par la division euclidienne) et obtenir : F =X2 +X − 1

X3 − 2X2 −X + 2. Les

valeurs 1, −1 et 2 sont des poles de F , mais pas des zeros. On en deduit que F ainsi simplifiee est

maintenant irreductible et que : F =X2 +X − 1

(X − 1)(X + 1)(X − 2). Le numerateur de F est de degre

strictement inferieur a celui de son denominateur, donc la partie entiere de F est nulle et F peut se

decomposer en elements simples de premiere espece sous la forme : F =a

X − 1+

b

X + 1+

c

X − 2avec

(methode 64) a = [F × (X − 1)]|X=1 = −1/2, b = [F × (X + 1)]|X=−1 = −1/6 et

c = [F × (X − 2)]|X=2 = 5/3. Finalement : F =−1/2

X − 1+−1/6

X + 1+

5/3

X − 2.

M1.69

19

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Module 1

Exemple 69 (DES de F =X2 +X + 1

X2 − 3X + 2). Les poles de F sont x0 = 1 et x1 = 2, mais ce ne sont pas des

zeros de F . Donc F est irreductible. De plus le degre du numerateur est egal a celui du denominateur,donc la partie entiere de F est un polynome de degre 0 (une constante non nulle). Pour la trouver, onpeut effectuer la division euclidienne du numerateur par le denominateur et constater que le quotient

obtenu vaut 1 et que le reste vaut 4X − 1, d’ou : F = 1 +4X − 1

(X − 1)(X − 2). On en deduit que le DES de

F est de la forme : F = 1 +a

X − 1+

b

X − 2avec (methode 64)

a = [F × (X − 1)]|X=1 =[X − 1 + 4X−1

X−2

]|X=1

= −3 et

b = [F × (X − 2)]|X=2 =[X − 2 + 4X−1

X−1

]|X=2

= 7.

M1.70

Exemple 70 (DES de F =X3 + 1

X − 1). Ici, F ne comporte qu’un seul pole simple x0 = 1 qui n’est pas un

zero de F . Donc la fraction est irreductible et la decomposition s’obtient en faisant simplement ladivision euclidienne de X3 + 1 par X − 1. Le quotient obtenu vaut X2 +X + 1 et le reste vaut 2, d’ou :

F = X2 +X + 1 +2

X − 1.

M1.71

3.2.5 Exercices

3.2.5.A Exercices-types

Exercice 1.44. Exercice-type : Decomposer en elements simples la fraction rationnelle F (X) =1

(X + 2)(X − 1).

Exercice 1.45. Exercice-type : Decomposer en elements simples la fraction rationnelle F (X) =X

(X + 2)(X − 1).

Exercice 1.46. Exercice-type : Decomposer en elements simples les fractions rationnelles suivantes :

11

(X + 1)(X − 1)2

1

(X + 1)(X − 2)3

X

(X + 1)(X − 2)4X2 + 1

X − 3

5X3 + 1

X − 16

X2 +X + 1

X2 − 3X + 27

X + 1

X2 − 1

Reponse : F1 =−1/2

X + 1+

1/2

X − 1; F2 =

−1/3

X + 1+

1/3

X − 2; F3 =

1/3

X + 1+

2/3

X − 2

M1.72

3.2.5.B Exercices de TDExercice 1.47. : Decomposer en elements simples de premiere espece les fractions rationnelles suivantes :

11

X3 + 12

1

(X + 1)(X + 2)(X + 3)(X + 4)

3X + 1

(X − 1)(X + 2)(X + 3)4

1

(X − x1)(X − x2) . . . (X − xn)

Exercice 1.48. : Trouver une primitive des fonctions suivantes :

1. f(x) =x

(x+ 1)(x+ 2);

2. f(x) =x2 + x+ 1

(x+ 1)(x− 1);

M1.73

Exercice 1.49. : Soit f la fonction definie par f(x) =2x2

x2 − 1− 3

x2 + x− 2

1. Determiner l’ensemble de definition de f ;

2. Factoriser les polynomes x2 − 1 et x2 + x− 2 ;

20

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Module 1

3. Determiner un denominateur commun aux fractions rationnelles2x2

x2 − 1et

3

x2 + x− 2puis ecrire f(x) sous la

forme d’une fraction rationnelle noteeg(x)

h(x);

4. Determiner une racine simple du polynome g(x).

5. Simplifier l’ecriture de f(x) et resoudre l’equation f(x) = 0.

M1.74

Exercice 1.50. : Quatre cubes ont respectivement pour aretes, mesurees en centimetres, x, x+ 1, x+ 2 et x+ 3, oux est un nombre entier naturel. Determiner x pour que le contenu des trois cubes d’aretes x, x+ 1 et x+ 2 remplisseexactement le cube d’arete x+ 3 .

M1.75

3.3 Decomposition en elements simples de premiere espece a poles multiples

Definition 71 (Elements simples de premiere espece generale). Ce sont les fractions du type1

(X − x0)n

Propriete 72. Soit F = PQ ∈ C(X) une fraction irreductible de partie entiere E et de poles x1, ..., xp

d’ordres respectifs α1, ..., αp. Alors, F peut s’ecrire de maniere unique sous la forme :

F = E +a1,1

X − x1+

a1,2(X − x1)2

+ · · ·+ a1,α1

(X − x1)α1

+a2,1

X − x2+

a2,2(X − x2)2

+ · · ·+ a2,α2

(X − x2)α2

+ · · · +ap,1

X − xp+

ap,2(X − xp)2

+ · · ·+ ap,αp(X − xp)αp

M1.76

Methodologie 73 (Methodes de decomposition efficaces generales). 1. calculer la partie entiere(division euclidienne de P par Q) ⇒ F = E + P1

Q

2. factoriser Q (calcul des zeros et de leur ordre de multiplicite)

3. decomposer P1

Q en elements simples de premiere espece en utilisant :• si les racines de Q sont simples, la methode 74• si les racines de Q sont multiples, la methode 76• sinon, la methode 78

M1.77

Methodologie 74 (Methodes de decomposition efficaces generales lorsque les racines de Q sontsimples). Si les racines de Q sont simples (d’ordre 1), alors (cf section precedente)

F = E +a1

X − x1+ · · ·+ ap

X − xp. Il suffit de calculer F.(X − xl) pour X = xl pour obtenir al.

Exemple 75 (DES de F =1

X2 +X). On a vu que F =

a

X+

b

X + 1. On obtient immediatement que

a = [F ×X]|X=0 = 1 et b = [F × (X + 1)]|X=−1 = −1.M1.78

Methodologie 76 (Methodes de decomposition efficaces generales lorsque les racines de Q sontmultiples). Si les racines de Q sont multiples, on effectue une division suivant les puissancesdecroissantes.

Exemple 77 (DES de F =1

X2(X + 1)). On a F =

a1X

+a2X2

+b

X + 1et 1 = (a1X + a2)(X + 1) +X2b

(multiplication par X2(X + 1)). Donc :• Q = a1X + a2 est le quotient de la division suivant les puissances croissantes a l’ordre 1 de 1 parX + 1, R = b = reste

• il suffit donc de poser cette division pour obtenir les coefficients de la decomposition, soit a1 = −1,a2 = 1 et b = 1 : 1 = (1−X)(1 +X) +X2.

M1.79

21

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Module 1

Methodologie 78 (Methodes de decomposition efficaces generales dans le cas general). On supposeque z0 est un pole d’ordre n de la fraction rationnelle F = P

Q . Alors

F =P

(X − z0)nQ1= E +

a1X − z0

+ · · ·+ an(X − z0)n

+P1

Q1avec Q1 un polynome dont z0 n’est pas un

zero. Par multiplication de l’egalite precedente par (X − z0)nQ1, on obtient :P =

(a1(X − z0)n−1 + · · ·+ an

)Q1 + (X − z0)n (EQ1 + P1). Posons maintenant Y = X − z0, on

obtient alors : P (Y ) =(a1Y

n−1 + · · ·+ an)Q1(Y ) + Y n (E(Y )Q1(Y ) + P1(Y )). D’ou

a1Yn−1 + · · ·+ an est le quotient de la division suivant les puissances croissantes a l’ordre n− 1 de

P (Y ) par Q1(Y ). Il suffit de poser cette division pour calculer les coefficients al pour 1 ≤ l ≤ n.M1.80

Exemple 79 (DES de F =(X2 + 1)2

(X − 1)6). Le degre du numerateur est 4 et du denominateur 6, donc la

partie entiere de F est nulle. F possede un seul pole x0 = 1 d’ordre 6 et est irreductible et F peuts’ecrire sous la forme :

F =a1

X − 1+

a2(X − 1)2

+a3

(X − 1)3+

a4(X − 1)4

+a5

(X − 1)5+

a6(X − 1)6

On pose Y = X − 1. Alors, le polynome a1Y5 + a2Y

4 + a3Y3 + a4Y

2 + a5Y + a6 est egal au quotient dela division suivant les puissances croissantes a l’ordre 5 deF (Y )× Y 6 = ((Y + 1)2 + 1)2 = Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4 par 1, c’est-a-dire Y 4 + 4Y 3 + 8Y 2 + 8Y + 4.On en deduit alors immediatement que a1 = 0, a2 = 1, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 8 et a6 = 4, d’ou :

F =1

(X − 1)2+

4

(X − 1)3+

8

(X − 1)4+

8

(X − 1)5+

4

(X − 1)6M1.81

3.4 Decomposition en elements simples de seconde espece

ProblemeDecomposition des fractions rationnelles dans R : dans R un polynome se factorise sous la forme :

P = a(X − x1)α1 . . . (X − xk)αk(X2 + p1X + q1)β1 . . . (X2 + plX + ql)βl

avec x1, . . . , xk les racines reelles d’ordre α1, . . . , αk, respectivement, de P , et p2m − 4q2m < 0 pour1 ≤ m ≤ l et n = α1 + · · ·+ αk + 2(β1 + · · ·+ βl). Donc la DES de premiere espece pas toujourspossibles dans R

M1.82

3.4.1 Definitions

Definition 80 (Elements simples de seconde espece). Ce sont les fractions de la forme :aX + b

(X2 + pX + q)n

Definition 81 (DES de 1ere et 2de espece). La decomposition en elements simples de premiereet de seconde espece d’une fraction F est de la forme :

F = E +a1,1

X − x1+ · · ·+ a1,α1

(X − x1)α1+

+ak,1

X − xk+ · · ·+ ak,αk

(X − zk)αk+

c1,1X + d1,1X2 + p1X + q1

+ · · ·+ c1,β1X + d1,β1(X2 + p1X + q1)β1

+ · · ·+

cl,1X + dl,1X2 + plX + ql

+ · · ·+ cl,βlX + dl,βl(X2 + plX + ql)βl

M1.83

3.4.2 Methodologies

Methodologie 82 (DES de 2de espece). Les coefficients de la DES de seconde espece sont calcules :• comme pour la decomposition en elements simples de premiere espece, en procedant par identification

ou par prise de valeurs• d’une maniere generale : il faut effectuer la decomposition dans C, puis regrouper les termes

conjugues pour n’obtenir que des termes reels. On aboutit alors a la decomposition en elementssimples de deuxieme espece.

M1.84

22

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Module 1

3.4.3 Exemple

Exemple 83 (DES de F =1

X3 + 1). La partie entiere de F est nulle puisque le degre de son numerateur

est plus petit que celui de son numerateur et F possede un pole reel x0 = −1. La division euclidienne deX3 + 1 par X + 1 donne : X3 + 1 = (X + 1)(X2 −X + 1). F possede donc deux autres poles complexes

conjugues z1 et z∗1 egaux a 12 ± j

√32 mais aucun zero. F peut donc se decomposer en elements simples

de 1ere espece sur C, mais seulement de 2de espece sur R :

F =a

X + 1+

b

X − z1+

b∗

X − z∗1=

a

X + 1+

cX + d

X2 −X + 1

avec a = F.(X + 1)|X=−1 = 13 et b = F.(X − z1)|X=z1 = 1

(z1+1)(z1−z∗1 )= 2−3+3j

√3

= − 1+j√3

6 . D’ou :

F =1/3

X + 1+

−(1 + j√

3)/6

X − (1/2 + j√

3/2))+

−(1− j√

3)/6

X − (1/2− j√

3/2=

1/3

X + 1+

cX + d

X2 −X + 1

Par identification, on obtient alors que c = b+ b∗ = 2 Re(b) et d = −(bz∗1 + b∗z1 = −2 Re(bz∗1)), soit

finalement c = −1/3 et d = −2 Re(− 1+j

√3

61−j√3

2

)= 1

6 Re((1 + j√

3)(1− j√

3)) = 23 . Et finalement :

F =1/3

X + 1+

(−1/3)X + 2/3

X2 −X + 1M1.85

3.4.4 Exercices

3.4.4.A Exercices-types

Exercice 1.51. Exercices-types : Decomposer en elements simples F (X) =1

(X + 2)3(X − 1).

Exercice 1.52. Exercices-types : Decomposer en elements simples F (X) =X

(X + 2)3(X − 1).

Exercice 1.53. Exercices-types : Decomposer en elements simples de premiere espece les fractions rationnellessuivantes :

11

X(X − 1)22

1

(X − 1)2(X + 1)3

X

(X − 1)3

4X

(X − 2)25

X + 1

(X − 1)36

1

(X − 1)4

Reponses : F1 = 1X

+ 1(X−1)2

− 1X−1

; F2 = 1/4X+1

+ 1/2

(X−1)2− 1/4

X−1; F3 = 1

(X−1)3+ 1

(X−1)2) ;

M1.86

3.4.4.B Exercices de TDExercice 1.54. DES : Decomposer en elements simples de premiere et seconde espece les fractions rationnellessuivantes :

1(X2 + 1)2

(X − 1)62

1

(X − 1)23

X3 − 2X + 1

X4 − 3X3 +X2 + 3X − 24

X + 1

X2(X − 1)2

51

(X − 1)(X2 + 1)26

X4 + 1

X4 +X2 + 17

X3

(X2 + 1)38

X

(X2 − 1)2(X2 +X + 1)

Exercice 1.55. : Trouver une primitive des fonctions suivantes :

1. f(x) =x2 + x+ 1

x2(x+ 1);

2. f(x) =x7

(x+ 1)2(x− 1).

M1.87

23

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Module 2

Module 2 — Fondamentaux d’analyse

M2.88

4 Generalites sur les fonctions

4.1 Definitions

4.1.1 Fonction

Definition 84 (Fonction reelle de la variable reelle). Une fonction f reelle de la variable reelle est unerelation qui relie un reel x au plus un reel y. L’element y se note f(x). On la note :

f :

{R −→ R

x 7−→ y = f(x)

Definition 85 (Image et antecedent). • y = f(x) est l’image de x par f• x est un antecedent de y = f(x) par f

Exemple 86 (La fonction carre). C’est la fonction f :

{R −→ R

x 7−→ x2avec y = f(x) = x2.

M2.90

4.1.2 Ensembles

Definition 87 (Ensemble de definition Df ). L’ensemble de definition Df de f est le sous-ensemblede R constitue par les x qui ont une et une seule image par f : Df = {x ∈ R/f(x) existe }

Definition 88 (Ensemble image If ). L’ensemble forme par les images de tous les elements x de Df parf est appele ensemble image If : If = {f(x) ∈ R/x ∈ Df}

Definition 89 (Ensemble d’etude Ef ). L’ensemble d’etude Ef est l’ensemble des points en lesquelsil convient d’etudier la fonction. C’est un sous-ensemble de Df .

Exemple 90 (Fonction carre). C’est la fonction f :

{R −→ R

x 7−→ x2. Elle se caracterise par : Df = R,

If = R+ car un carre est toujours positif (ou nul)M2.91

4.1.3 Graphe geometrique

Definition 91 (Graphe geometrique Gf de f). Le graphe (geometrique) Gf de f est l’ensemble despoints M(x, y) du plan P, d’abscisse x et d’ordonnee y = f(x) avec x variant dans Df . On le noteGf = {M (x, f(x)) ∈ P/x ∈ Df}.

Exemple 92 (La fonction cube). C’est la fonction f :

{R −→ R

x 7−→ x3dont le graphe Gcube est

donne figure 7.M2.92

4.1.4 Regles de definition

Definition 93 (Regle de definition). La regle de definition de f est l’expression de l’image y de xpar f en fonction de x, autrement dit l’expression de f(x) en fonction de x.

Remarque : Dans la regle de definition, x est une variable muettePour calculer l’image de n’importe quel reel toto, il suffit d’utiliser la regle de definition en remplacantx par toto

Exemple 94 (Une regle de definition). Si f(x) =x+ 2

3x2 − 5, alors f(toto) =

toto + 2

3toto2 − 5.

M2.93

24

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Module 2

1 2x

1

2

y = f(x) Gcube

a

M(a, a3) a3

Figure 7 – Graphe de la fonction cube

4.1.4.A Fonction definie par morceaux

Definition 95 (Fonction definie par morceaux). Une fonction f de la variable x peut etre definie parplusieurs regles de definition, dependantes des valeurs prises par x

Exemple 96 (Valeur absolue (abs)). |x| ={x , si x ≥ 0 (Regle 1)−x , si x < 0 (Regle 2)

avec :

• |3| = 3 car 3 ≥ 0• | − 4| = −(−4) car −4 < 0 (ce qui donne bien 4)

0 1x

1

y

y= −x y

=x

Gabs

Figure 8 – Graphe de la fonction valeur absolue

M2.94

4.1.4.B Fonction parametree

Definition 97 (Fonction parametree). Une fonction f peut etre definie en fonction d’un parametreP ; sa regle de definition est souvent notee fP (x).Par rapport a la variable x, P est constant !

Exemple 98 (Fonction porte ΠT (x) de parametre T). C’est la fonction

ΠT (x) =

0 , si x < −T

21

T, si − T

2≤ x < T

2

0 , siT

2≤ x

dont des graphes sont donnes figure 9 pour differentes valeurs de

T .M2.95

Ce parametre peut s’apparenter a une variable globale en informatique.

4.1.5 Symetries graphiques

4.1.5.A Parite

Definition 99 (Fonction paire). Une fonction f est paire si et seulement si pour tout x ∈ Df ,−x ∈ Df et f(−x) = f(x)

25

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Module 2

0 1x

1

y

G pour T = 12

G pour T = 2

Figure 9 – Graphe de la fonction porte

Corollaire 100 (Fonction paire). • Le graphe d’une fonction f paire est symetrique, de symetrieaxiale par rapport a la droite (Oy)

• L’ensemble d’etude devient Ef = {x ∈ Df/x ≥ 0}

Exemple 101 (Fonction carre). f(x) = x2 est une fonction paire comme l’illustre la figure 10.

x

M(x, f(x))

−x

M ′(−x, f(x))f(x)

0 1x

1

y

x2

Figure 10 – Graphe de la fonction paire carre avec sa symetrie d’axe (Oy).

Demonstration. f(x) = x2 est paire, car son domaine de definition est R donc est symetrique parrapport a 0, autrement dit pour tout x ∈ Df , −x ∈ Df et pour x ∈ Df , on a :f(−x) = (−x)2 = (−1)2.x2 = x2 = f(x).

M2.96

4.1.5.B Imparite

Definition 102 (Fonction impaire). Une fonction f est impaire si et seulement si pour tout x ∈ Df ,−x ∈ Df et f(−x) = −f(x).

Corollaire 103 (Fonction impaire). • Le graphe d’une fonction impaire est symetrique, de symetriecentrale par rapport au point O(0, 0)

• L’ensemble d’etude devient Ef = {x ∈ Df/x ≥ 0}

Exemple 104 (Fonction cube). f(x) = x3 est une fonction impaire comme l’illustre la figure 11

Demonstration. f(x) = x3 est impaire, car son domaine de definition est R donc est symetrique parrapport a 0, autrement dit pour tout x ∈ Df , −x ∈ Df et pour x ∈ Df , on a :f(−x) = (−x)3 = (−1)3 x3 = −x3 = f(x).

M2.97

26

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Module 2

0 1x

1

y = f(x) Gcube

−x

M(−x,−f(x)) −f(x)

x

M(−x,−f(x))f(x)

Figure 11 – Graphe de la fonction impaire cube avec sa symetrie centrale de centre O(0, 0)

4.1.5.C Periodicite

Definition 105 (Fonction t-periodique). Soit t ∈ R. Une fonction f est t-periodique si et seulementsi pour tout x ∈ Df , x+ t ∈ Df et f(x+ t) = f(x)

Definition 106 (Periode d’une fonction). La periode T de f est le plus petit reel positif non nultel que, pour tout x ∈ Df , f(x+ T ) = f(x)

Corollaire 107 (Fonction periodique). • Le graphe d’une fonction periodique de periode T presenteun motif se repetant regulierement le long de l’axe des abscisses a intervalle T

• L’ensemble d’etude Ef peut etre tout intervalle de longueur egale a la periode T

Exemple 108 (cos(x)). Elle est periodique de periode 2π et 2π-periodique, 4π-periodique, ...,26π-periodique, ... comme l’illustre la figure 12.

0 π 2π 3π−π−2π−3π

1

x

y

Gcos

x

M(x, f(x))f(x)

x

M ′(x+ T, f(x))

T = 2π

Figure 12 – La fonction cos, periodique de periode 2π, avec un motif entre [−π;π] se repetantregulierement le long de l’axe des abscisses.

M2.98

4.1.6 Exercices

Exercice 2.1. Parite, Imparite : Determiner si les fonctions suivantes sont paires, impaires, ou ni paires ni impaires ;preciser alors le domaine d’etude :

1 f(x) =√x2 + 1 2 f(x) =

1

x− 13 f(x) =

3x5 − 7x3 + x

4x2 + 1

Exercice 2.2. Calcul de periode :Determiner la periode et le domaine d’etude des fonctions suivantes :

27

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Module 2

1 f(x) = sin(2x) 2 f(x) = sin2(2x) 3 f(x) = cos

(3πx

4

)4 f(x) = tan

(3x

4

)

M2.99

Exercice 2.3. Decomposition de fonctions en paire et impaire (pour les poursuites d’etudes longues) : Montrer quetoute fonction f definie sur R peut se decomposer en la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. On

pourra etudier les deux fonctions g et h definies en fonction de f par : g(x) =f(x) + f(−x)

2et

h(x) =f(x)− f(−x)

2.

M2.100

4.2 Catalogue de fonctions

4.2.1 Fonctions ”simples”

Les fonctions simples sont listees table 2.

f Regle de definition f(x) Df If Symetrie

Poly

nom

e

Constante c R R paire Lycee

Identite Id(x) = x R R impaire Lycee

Affine ax+ b R R Lycee

Monome xn R Rpaire si n pair

impaire si n impair

M1

Polynome (iale) a0 + a1x+ ...+ anxn R R M1

Racine carree√x R+ R+ Lycee

Fra

cti

on Inverse

1

xR∗ R∗ impaire Lycee

Fraction

rationnelle

b0 + b1x+ ...+ bMxM

a0 + a1x+ ..+ aNxN

{x ∈ R/

N∑n=0

anxn 6= 0

}depend

des poles

M1

Tri

gon

om

etr

ie

Sinus sin(x) R [−1; 1] 2π-periodique M1

Cosinus cos(x) R [−1; 1] 2π-periodique M1

Tangente tan(x) =sin(x)

cos(x)R \

{π2

+ kπ, k ∈ Z}

R π-periodique M1

ArcSinus arcsin(x) = asin(x) [−1; 1][−π

2;π

2

]impaire M1

ArcCosinus arccos(x) = acos(x) [−1; 1] [0;π] M1

ArcTangente arctan(x) = atan(x) R]−π

2;π

2

[impaire M1

Table 2 – Catalogue de fonctions simples

M2.101

Rappels : notations ensemblistes• R+ signifie l’ensemble des reels (R) dont on ne garde que les valeurs positives ou nulles (+),

autrement dit [0; +∞[• R∗ signifie l’ensemble des reels (R) auxquels on retire la valeur nulle (∗), autrement dit

]−∞; 0[∪]0; +∞[)

4.2.2 Fonctions ”avancees”

4.2.2.A Racines n-iemes

Definition 109 (Racines n-ieme). Ce sont les fonctions definies par f(x) = n√x = x

1n avec n ∈ N∗,

autrement dit, f(x) est le reel dont la puissance n est x ; dans R, ce nombre est unique !Elles se lisent : ”‘racine n-ieme de x”’ ou ”‘x (a la) puissance 1 sur n”.Leurs graphes sont donnes figure 13.

28

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Module 2

Leurs domaines sont :

si n est : pair impair

Df R+ R

If R+ R

0 1x

1

y√x (n = 2)

5√x (n = 5)

Figure 13 – Graphe des fonctions racines n-ieme

M2.102

Theoreme 110 (Manipulation des exposants et les operandes). Soient x ∈ R+ et y ∈ R+∗ .

• n·m√x = n

√(m√x)⇔ x

1n·m =

(x

1m

) 1n

• nm

√x = n

√(xm)⇔ x

mn = (xm)

1n

• n√

(x · y) = n√x · n√y ⇔ (x · y)

1n = x

1n · y 1

n

• n

√x

y=

n√x

n√y⇔(x

y

) 1n

=x

1n

y1n

AttentionSoient x, y ∈ R+.

• n+m√x 6= n

√x+ m

√x⇔ x

1n+m 6= x

1n + x

1m

• n√

(x+ y) 6= n√x+ n√y ⇔ (x+ y)

1n 6= x

1n + y

1n

M2.103

4.2.2.B Logarithmes

4.2.2.B.a Logarithme neperien (dit a base e)

Definition 111 (Logarithme neperien). Le logarithme neperien est la fonctionf(x) = ln(x) = loge(x), dont les domaines sont : Df = R∗+, If = R.

M2.104

Theoreme 112 (Proprietes de calcul mathematiques). Soient x, y ∈ R+∗ .

• ln(x.y) = ln(x) + ln(y)

• ln

(x

y

)= ln(x)− ln(y)

• ln (xy) = yln(x)

AttentionSoient x, y ∈ R+

∗ .• ln (x+ y) 6= ln(x) + ln(y)

• 1

ln(x)6= − ln(x)

M2.105

29

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Module 2

0 1x

1

y

ln(x)

e ≈ 2.71

Figure 14 – Graphe du logarithme neperien

4.2.2.B.b Logarithme a base 10

Definition 113 (Logarithme a base 10). Le logarithme a base 10 est le logarithme neperien amplifie du

facteur constant1

ln(10): f(x) = log10(x) =

ln(x)

ln(10)

Proprietes• Memes domaines que ln : Df = R∗+, If = R

• Valeurs particulieres : log10(1) = 0, log10(10) = 1, log10(10n) = n• Memes proprietes de calcul que ln

• Meme allure graphique que ln avec une courbe ”‘ecrasee”’ d’un facteur1

ln(10)M2.106

Application 1 : l’echelle logarithmiqueElle amplifie les variations proches de 0 et attenue les grandes variations ; en reduisant la dynamiquedes mesures, elle est tres souvent utilisee en electronique et en telecoms.

Exemple 114 (L’echelle logarithmique). Elle est representee figure 15.

0 1 2 3 401 10 100 1000

−∞ +∞

−∞ +∞LogarithmiqueLinéaireFigure 15 – L’echelle lineaire et l’echelle logarithmique

Exemple 115 (Diagramme de Bode en electronique : Filtre passe-bas RC). Ce filtre a pour gain

G2 = f(w) =1√

1 + (w/RC)2

represente figure 16.

M2.107

Application 2 : Puissance en decibelPdB = 10 log10(Plineaire)

Exemple 116. La puissance sonore

PdB P

Murmure 40 dB 104

Poids lourd 90 dB 109

Ratio ≈ 2 ≈ 105M2.108

4.2.2.C Exponentielles

30

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Module 2

Figure 16 – Gain d’un passe-bas sur une echelle lineaire (a gauche) et une echelle logarithmique (adroite)

4.2.2.C.a Exponentielle (dite a base e)

Definition 117 (Exponentielle (dite a base e)). L’exponentielle a base e est la fonction inverse de lndefinie par f(x) = exp(x) = ex. Ses domaines sont : Df = R, If = R∗+. Son graphe est donne figure 17.

0 1x

1

y

exp(x)

e ≈ 2.71

Figure 17 – Graphe de la fonction exponentielle

M2.109

Theoreme 118 (Propriete de calculs mathematiques). Soient x, y ∈ R.• exp (x+ y) = exp(x).exp(y)• exp(x · y) = (exp(x))

y= (exp(y))

x

• exp(−x) =1

exp(x)

AttentionSoient x, y ∈ R. exp(x) + exp(y) 6= exp(x+ y)

M2.110

4.2.2.C.b Exponentielle de base a

Definition 119 (Exponentielle de base a). C’est une exponentielle dont l’abscisse x est dilatee d’unfacteur ln(a) et definie par : f(x) = ax = ex ln(a) avec a ∈ R∗+. Des exemples de graphes pour differentesvaleurs de a sont donnes figure 18.

Proprietes• Memes domaines que l’exponentielle• Proprietes de calculs mathematiques deduites de celles de exp et de ln (cf. theoreme 112 et 118)

Cas particulierLorsque a = 1, on retrouve la fonction constante x 7→ 1

M2.111

31

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Module 2

0 1x

1

y

(0.4)x

(1.2)x

(2.3)x

Figure 18 – Graphe de quelques expontielles a base a

4.2.2.D Monomes de puissances reelles

Definition 120 (Monomes de puissances reelles). Generalisation des monomes xn (ou n est un entier)a des puissances dans R, ils sont definis par : f(x) = xα = exp

(α ln(x)

)= eα ln(x) avec α ∈ R, sur les

domaines : Df = R∗+, If = R∗+. Des exemples de graphes pour differentes valeurs de α sont donnesfigure 19.

ProprietesProprietes de calculs mathematiques deduites de celles de exp et de ln (cf. theoreme 112, et 118)

Cas particuliers• Lorsque α = 0, f est la fonction constante x 7→ 1• Lorsque α = 1, f est la fonction identite x 7→ x

0 1x

1

y

x0.4

x1.2x2.3

Figure 19 – Graphe de quelques puissances reelles

M2.112

4.2.3 Exercices

Exercice 2.4. Logarithme a base a : On considere la fonction logarithme a base a ou a est un parametre choisi dans

R∗+, notee fa et est definie pour tout x ∈ R∗+ par fa(x) =ln(x)

ln(a). Calculer les images suivantes :

1 fa(1) 2 fa(a.x) 3 fa(ex) 4 fa(ax) 5 f3(x) 6 fa2(x) 7 fa3(a4)

Exercice 2.5. Une fonction definie par morceaux : Soit la fonction f :

R → R

x 7→

{e2x − ex , si x ≤ 0

x23 − x

15 , si x > 0

.

Calculer les images suivantes :

1 f(0) 2 f

(1

3

)3 f(3) 4 f(ln(3))

32

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Module 2

M2.113

4.3 Operations sur les fonctions

Assemblage de fonctionsEn assemblant deux fonctions u et v, on peut construire une troisieme fonction f , definie par

1. sa regle de definition f(x) qui dependra de u(x) et v(x)

2. son domaine de definition Df qui dependra des domaines de definition Du et Dv voire parfois desdomaines image Iu et Iv

3. son domaine image If

Le graphe Gf de f se deduit de transformation sur les graphes Gu et Gv.M2.114

4.3.1 Somme

4.3.1.A Definition

Definition 121 (Somme). La somme de u et v, notee f = u+ v, est la fonction definie par∀x ∈ Df , f(x) = u(x) + v(x) et dont le domaine de definition est Df = Du ∩Dv.

Exemple 122 (f(x) = cos(x) + x). Somme de u(x) = cos(x) et v(x) = x dont le graphe est donnefigure 20.

1 2x

1

2

y

Gcos

GidGcos+id

cos(x)

x

cos(x) + x

Figure 20 – Somme de cos et de l’identiteM2.115

4.3.1.B Cas particulier : translation verticale

Cas particulierLorsque l’une des fonctions est une fonction constante, la somme devient une translation verticale.

Exemple 123 (f(x) = cos(x) + 2). Somme de u(x) = cos(x) et la fonction constante v(x) = 2 dont legraphe est donne figure 21.

M2.116

4.3.2 Produit

4.3.2.A Definition

Definition 124 (Produit). Le produit de u et v, note f = u.v, est la fonction definie par∀x ∈ Df , f(x) = u(x).v(x) et dont le domaine de definition est Df = Du ∩Dv.

Exemple 125 (f(x) = x cos(x)). Produit de u(x) = cos(x) et v(x) = x dont le graphe est donne figure 22.M2.117

33

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Module 2

π 2πx

1

2

y

Gcos

Gcos+2

cos(x)

cos(x) + 2

Figure 21 – Somme de cos et de la fonction constante 2

1 2x

1

2

y

Gcos

Gid

Gcos∗idcos(x)

x

x cos(x)

Figure 22 – Produit de cos et de l’identite

4.3.2.B Cas particulier : Amplification

Cas particulierLorsque l’une des fonctions est une fonction constante, le produit devient une amplification.

Exemple 126 (f(x) = 2 cos(x)). Produit de u(x) = cos(x) et la fonction constante v(x) = 2 dont legraphe est donne figure 23.

π 2πx

1

2

y

Gcos

G3cos

cos(x)

2 cos(x)

Figure 23 – Produit de cos et de la fonction constante 3

M2.118

4.3.3 Composee

4.3.3.A Definitions

Definition 127 (Composee Terminale ). La composee de u par v, notee f = v ◦ u (lu ”‘v rond u”’ ou”‘u suivie de v”’ ), est la fonction definie par ∀x ∈ Df , f(x) =

(v ◦ u

)(x) = v

(u(x)). Son domaine de

definition est : Df = {x ∈ Du/u(x) ∈ Dv}.

RemarqueLa composition met en cascade (chaınage) les fonctions u puis v en utilisant l’image de la premiere

fonction (u) comme argument pour la seconde (v). C’est l’equivalent du pipe en Unix I1 !

34

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Module 2

Exemple 128 (Fonction puissance f(x) = xα = eα ln(x)). C’est la composee de u(x) = α ln(x) avecv(y) = ey

M2.119

4.3.3.B Composees usuelles

4.3.3.B.a Dilatation

Cas particulier : DilatationLa fonction f : x 7→ v(λx) (avec λ ∈ R+) est la composee de u(x) = λx par v. C’est la dilatation de lafonction v par le facteur λ. Graphiquement,• on etire Gv le long de l’axe des abscisses si 0 < λ < 1.• on contracte Gv le long de l’axe des abscisses si 1 < λ.

Exemple 129 (f(x) = cos(3x) et g(x) = cos(x3

)). f est la dilatation de v(x) = cos(x) d’un facteur λ = 3

et g d’un facteur λ = 1/3, dont les graphiques sont donnes figure 24.

π 2πx

1

y

cos(x)

cos(3x)

cos(x/3)

contraction dilatation

Figure 24 – Dilatations du cos

M2.120

4.3.3.B.b Retard et avance

Cas particulier : RetardLa fonction f : x 7→ v(x− r) (avec r un parametre reel positif) est la composee de u(x) = x− r par v.C’est la version retardee de la fonction v par r. Graphiquement, on translate horizontalement legraphe Gv de r vers la droite.

Cas particulier : AvanceLa fonction f : x 7→ v(x+ r) (avec r un parametre reel positif) est la composee de u(x) = x+ r par v.C’est la version avancee de la fonction v par r. Graphiquement, on translate horizontalement legraphe Gv de r vers la gauche.

Exemple 130 (f(x) = ΛT (x− 3) et g(x) = ΛT (x+ 2)). ΛT (x) etant la fonction triangle de largeur T , fest la version retardee de ΛT (x) d’un retard r = 3 et g la version avancee d’une avance r = 2, dont lesgraphiques sont donnes figure 25.

M2.121

4.3.3.B.c Inverse, quotient, fraction rationnelle

Cas particulier : Inverse f =1

u

C’est la composee de u par la fonction x 7→ 1

x. f est appelee l’inverse de u et definie par f(x) =

1

u(x)sur Df = {x ∈ Du/u(x) 6= 0}.

Cas particulier : Quotient f =u

v

35

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Module 2

0 T/2−T/2x

1

y

ΛT (x− 3)ΛT (x+ 2) ΛT (x)

retardavance

Figure 25 – Retard et avance sur la fonction triangle

C’est le produit de la composee de1

vet de u. f est appelee quotient de u par v et est definie par

∀f(x) =u(x)

v(x)sur Df = {x ∈ Du ∩Dv/v(x) 6= 0}.

Exemple 131 (Fraction rationnelle M1 ). Les fractions rationnelles telles que f(x) =1 + x+ 2x2

1− 3xsont

des quotients.M2.122

4.3.3.B.d Reciproque

Cas particulier : Composees de exp et lnOn a exp(ln(x)) = ln(exp(x)) = x. Attention : exp(ln(x)) est definie sur R+

∗ , tandis que ln(exp(x)) estdefinie sur R.

Cas particulier : Composees de racine carre et carre

On a√

(x2) = |x| et(√x)2

= x. Attention :√

(x2) est definie sur R, tandis que (√x)

2est definie sur

R+.M2.123

4.3.4 Resume

La table 3 resume les differentes operations possibles sur les fonctions et les domaines de definitioninduits.

Fonction f Definition f(x) Df

Somme f = u+ v f(x) = u(x) + v(x)

Df =Du ∩Dv

Difference f = u− v u(x)− v(x)

Produit f = u.v u(x).v(x)

Amplification

par λ (∈ R)f = λu f(x) = λu(x)

Inverse f =1

uf(x) =

1

u(x)Df = {x ∈ Du/u(x) 6= 0}

Quotient f =u

vf(x) =

u(x)

v(x)Df = {x ∈ Du ∩Dv/v(x) 6= 0}

Composee f = v ◦ u f(x) = v(u(x)

)Df = {x ∈ Du/u(x) ∈ Dv}

Dilatation

par λ (∈ R)f(x) = u(λx) Df = Du

Table 3 – Synthese des operations sur les fonctions

M2.124

36

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Module 2

4.4 Exercices

4.4.1 Exercices-type

Methodologie 132 (Calcul du domaine de definition). 1. Identifier les fonctions usuelles presenteset indiquer leur domaine de definition

2. Identifier le (ou les) assemblage(s) de fonctions et leur ordonnancement pour la construction de lafonction

3. Appliquer les regles d’assemblage (donnees table 3) pour les assemblages identifies

Exercice 2.6. Exercice type : Soient u(x) = 1− x+ x2 et v(x) =1

1 + x. Donner l’expression de u ◦ v et v ◦ u en

fonction de x et determiner le domaine de definition de chacune.

Exercice 2.7. Exercice type : Determiner l’ensemble de definition de f(x) =x− 2

3x2 − 2x+ 1et

g(x) =√x2 − 3x+ 2 +

1

x.

M2.125

4.4.2 Exercices de TD

Exercice 2.8. Ensemble de definition d’un produit : Determiner l’ensemble de definition de la fonction de la variable

reelle x definie par f(x) =1 + x2

x. Reponse : Df = R∗.

Exercice 2.9. Ensemble de definition d’une composee : Determiner l’ensemble de definition de la fonction de lavariable reelle x definie par f(x) = 3

√x− 5. Reponse : Df = [5; +∞[.

Exercice 2.10. Composition : On considere les trois fonctions f , g et h de la variable reelle x definies par :

a f(x) = 2x+ 1, b g(x) = 1− x2, c h(x) =x

x+ 1. Donner la regle de definition des fonctions composees

suivantes (en fonction de x) :

1 f ◦ g 2 g ◦ 1

f3 h ◦ g ◦ f 4 g ◦ h ◦ f

M2.126

Exercice 2.11. Domaine de definition : Determiner le domaine de definition des fonctions suivantes :

1 f(x) =1 + 2x+ x4

x2 + 2x− 32 f(x) = ln(x− 2) +

1

x− 13 f(x) = tan(x) + cos(x)

4 f(x) = cotan(x) =1

tan(x)5 f(x) =

x2 + 3

1− |x| 6 f(x) =√x2 + 2x+ 3

7 f(x) =√

(x− 2)(x+ 1) 8 f(x) =

√x− 2

x+ 19 f(x) =

1√x2 − x− 2

10 f(x) =1√

x4 − x211 f(x) =

cos(x)

1 + sin(2x)12 f(x) =

√2 cos(x)− 1

M2.127

Exercice 2.12. Du graphique a la regle de definition : Donner la regle de definition des fonctions suivantes, partant deleur graphe. Dans chaque cas, la fonction sera definie par morceaux et on se limitera aux morceaux indiques sur legraphe.

1 Dent de scie

0 T 2T−Tx

1

y

37

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Module 2

2 Signal triangulaire

0 T−Tx

1

y

M2.128

Exercice 2.13. De la regle de definition aux graphiques : Tracer le graphe des fonctions suivantes en utilisant lesregles d’assemblage de fonction :1 f(x) = U(x)− U(x− T ) ou T est un parametre reel strictement positif

2 f(x) = xU(x)− 2(x− 1)U(x) + (x− 2)U(x− 2)Dans les deux cas, U designe l’echelon unite.

Exercice 2.14. Resolution d’equations avec des logarithmes :Resoudre les equations suivantes :

1 ln(3x2 − x) = ln(x) + ln(2) 2 ln(|x− 1|)− 2 ln(|x+ 1|) = 0

M2.129

5 Continuite

5.1 Definition

5.1.1 Notion

Notion de continuiteLa continuite est le fait de pouvoir ”tracer le graphe geometrique d’une fonction sans lever le stylo” ; lacourbe representative ”ne saute pas” d’un point a un autre.La continuite indique l’absence de discontinuite ou de rupture dans le graphe.

Applications• Pas d’applications directes• Utile pour plusieurs theoremes importants (existence d’une reciproque)

RemarqueElle s’illustre principalement par son contraire : les discontinuites.

M2.130

5.1.2 Definition (pour les poursuites d’etudes longues)

Definition 133 (Continuite en un point). Soit f une fonction de la variable reelle et a un point de sondomaine de definition Df .

1. f est continue en a si et seulement si limx→a

f(x) = f(a).

2. f est continue a droite de a si et seulement si limx→a+

f(x) = f(a).

3. f est continue a gauche de a si et seulement si limx→x−0

f(x) = f(a).

Remarques• Une fonction f , qui n’est pas definie en un point a (autrement dit pour laquelle f(a) n’existe pas),

n’est jamais continue en a.• On se reportera a la partie 7 et 8 pour la definition et le calcul des limites.

Definition 134 (Continuite sur un intervalle I). Une fonction f est continue sur un intervalle I si elleest continue en tout point a de l’intervalle I.

Theoreme 135 (Image d’un intervalle). L’image d’un intervalle par une fonction continue est unintervalle.

38

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Module 2

5.1.3 Exemples

5.1.3.A Une fonction non continue

Definition 136 (Echelon unite (ou Fonction de Heaviside) en electronique). L’echelon unite est

defini par : U(x) =

1 si x > 01/2 si x = 00 sinon

. C’est est une fonction non continue en 0 mais continue en tout

point x 6= 0. Son graphe est donne figure 26 : le symbole ( indique que le point n’appartient pas a lacourbe ; a l’inverse le symbole • indique que le point appartient a la courbe.

1 2

1

x

y

GU

Figure 26 – Graphe de l’echelon unite

M2.131

5.1.3.B Prolongement par continuiteLorsqu’une fonction f n’est pas definie en un point fini a, mais qu’elle admet la meme limite finie L ena par valeurs inferieures et par valeurs superieures (autrement dit lorsque lim

x→a+f(x) = lim

x→a−f(x) = L),

on peut deduire de f une autre fonction f qui, elle, est continue en a en imposant que f(x) = f(x) pour

tout x 6= a et surtout que f(a) = L. Cette fonction f est appelee prolongement par continuite de f .La plus connue des fonctions prolongees par continuite est le sinus cardinal.

Definition 137 (Sinus cardinal). Le sinus cardinal note sinc et tres utilise en telecoms est defini par :

sinc(x) =

{sin(x)

xsi x 6= 0

1 si x = 0. C’est une fonction prolongee par continuite en 0. Son graphe est donne

figure 27.

0 π 2π 3π 4π−π−2π−3π−4π

1

x

y

Gsinc

Figure 27 – Graphe de la fonction sinus cardinal

M2.132

Remarque

On peut aussi voir le sinus cardinal defini par sinc(x) =sin(πx)

πxsi x 6= 0 et sinc(0) = 1. Les proprietes

restent inchangees ; seule la courbe est dilatee d’un facteur π.

5.2 Domaine de continuite (pour les poursuites d’etudes longues)

Definition 138 (Domaine de continuite). Le domaine de continuite d’une fonction f , note Cf , estl’ensemble forme par les reels x (de l’ensemble de definition Df ) en lesquels la fonction f est continue.

Pour determiner le domaine de continuite d’une fonction, on fait rarement appel a la definition de lacontinuite (def 133 et 134). On prefere (si cela est possible) ecrire f sous forme d’une suite d’operations(somme, produit, etc...) impliquant des fonctions usuelles dont on connaıt le domaine de continuite etutiliser les regles d’operations sur les fonctions.

39

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Module 2

Les domaines de continuite des fonctions usuelles (presentees section 4.2) sont les memes que leursdomaines de definition. Les regles de calcul du domaine de continuite pour un assemblage de fonctionssont les memes que celles pour le calcul du domaine de definition (resumees table 3) en remplacantchaque domaine de definition par le domaine de continuite.

5.3 Exercices (pour les poursuites d’etudes longues)

Exercice 2.15. Etude de continuite : On considere la fonction h definie par f(x) =|x− a|x− a pour un parametre a reel

quelconque.

1. Donner le domaine de continuite de h.

2. Peut-on prolonger la fonction f par continuite en a ?

Exercice 2.16. Continuite en un point : cas de la valeur absolue :

On considere la fonction f definie sur R par f(x) =|x|√x2 + 4

. Est-elle continue en 0 ?

M2.133

Exercice 2.17. Ensemble de continuite d’une fonction produit :Soient f et g les fonctions definies par :{

f(x) = x+ 2 si x ≥ 0f(x) = 1− x si x < 0

et

{g(x) = 1− x si x ≥ 0g(x) = x+ 2 si x < 0

1. Etudier la continuite des fonctions f et g et representer graphiquement chacune d’elles.

2. Determiner la fonction h = fg. Representer graphiquement h en tracant plusieurs points caracteristiques.

3. h est-elle continue en tout point de R ? Quelle conclusion peut-on en deduire ?

M2.134

Exercice 2.18. Ensemble de continuite :Donner l’ensemble de continuite des fonctions suivantes :

1 f(x) =2x− 3

x+ 52 f(x) =

2x+ |2x+ 5|5x− 1

3 f(x) =√x2 + 1−

√x2 − 1

M2.135

6 Derivation

La derivee d’une fonction permet de determiner comment une fonction varie quand la quantite dont elledepend (son argument) change. Plus precisement, son expression donne le rapport entre les variationsinfinitesimales de la fonction et les variations infinitesimales de son argument. Par exemple, la vitesseest la derivee d’une fonction exprimant le deplacement d’un objet par rapport au temps, etl’acceleration est la derivee, par rapport au temps, de la vitesse.

6.1 Derivation

6.1.1 Derivabilite en un point

6.1.1.A Notion

Definition 139 (Nombre derive de f en a). Le nombre derive d’une fonction f de la variable reelle x

en a est le nombre reel note f ′(a) oudf

dx(a) egal a la pente de la tangente a Gf au point

M(a, f(a)

). Il traduit la vitesse de variation instantanee de la courbe en a.

Theoreme 140 (Equation de la tangente en a). La tangente au graphe de f Gf au point A(a, f(a)) estd’equation y = f ′(a) (x− a) + f(a)

40

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Module 2

0 1x

1

y

Gf

A(a, f(a))

y =

df

dx(a

)(x− a

) +f(a)Tangente

Figure 28 – Illustration du nombre derivee f ′(a) comme pente de la tangente a Gf au point (a, f(a))

M2.136

Remarques

• La notation f ′(a) est la notation mathematique. La notationdf

dx(a) est la notation differentielle tres

souvent utilisee en physique car elle presente l’avantage d’indiquer (grace au dx) quelle est la variablede derivation consideree pour f (ici x). Toutes deux indiquent bien que le nombre derivee depend dupoint a

• Attention : dans la notationdf

dx, df n’est pas le produit de d et f mais un symbole insecable qui

denote la differentielle de f . Idem pour dx.

6.1.1.B Definition (pour les poursuites d’etudes longues)Soit f une fonction reelle de la variable reelle.

Definition 141 (Taux de variation). On appelle taux de variation de f entre les reels x1 et x2 de

Df la quantite Tf (x1, x2) =f(x2)− f(x1)

x2 − x1. Graphiquement, le taux de variation Tf (x1, x2) est la pente

de la secante (droite orientee) passant par les deux points du graphe : M(x1, f(x1)) et M(x2, f(x2)).

Definition 142 (Derivabilite en un point, Nombre derive). f est derivable en un point a de Df s’il

existe un reel A et une fonction ε tel que Tf (x, a) =f(x)− f(a)

x− a = A+ ε(x) avec limx→a

ε(x) = 0. A est le

nombre derive de f en a. On le note A = f ′(a).

RemarqueCette definition donne egalement le developpement limite de f a l’ordre 1 :f(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) + (x− a)ε(x), c’est a dire une approximation de la fonction f au voisinage dea sous la forme d’un polynome de degre 1 (ici f(a) + f ′(a) (x− a) )et d’un reste (ici (x− a)ε(x)). Lesdeveloppements limites seront etudies dans la partie 8.

Theoreme 143. f est derivable en a si et seulement si limx→a

f(x)− f(a)

x− a existe et admet une valeur

finie A. Dans ce cas, son nombre derive en a est f ′(a) = A.

6.1.1.C Exemples de non derivabiliteIl existe des fonctions qui ne sont pas derivables en certains points a.

Exemple 144 (Partie superieure). C’est la fonction x 7→ dxe, ou dxe est l’entier directement superieur ouegal a x ; en informatique, elle s’appelle ceil. Son graphe est donne figure 29. Elle n’est pas continue entout point a entier (c’est a dire a = k avec k ∈ Z), donc n’est pas non plus derivable.

M2.137

Exemple 145 (Non derivabilite suite a une inflexion dans le graphe). La fonction f(x) = 1/3 ∗ |x|+ x2

dont le graphe est donne figure 30 est definie et continue en 0 mais n’est pas derivable en 0, car ellepresente une inflexion en 0 a cause de la valeur absolue : il y a donc une tangente a droite et unetangente a gauche.

41

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Module 2

1 2

1

2

x

y

Figure 29 – Partie entiere, une fonction non derivable en tout point entier.

0 1x

1

yGf

Tgte gauchey = − 1

3 x

Tgte droite

y =13x

Figure 30 – Inflexion dans le graphe.

Demonstration. (Pour les poursuites d’etudes longues). Soit x ∈ R+∗ (donc |x| = x) . Le taux

d’accroissement entre les points 0 et x est : Tf (0, x) =f(x)− f(0)

x− 0=

13x+ x2

x=

1

3+ x. Donc

limx→0+

Tf (0, x) =1

3. Soit maintenant x ∈ R−∗ donc |x| = −x. Cette fois,

Tf (x, 0) =f(0)− f(x)

0− x =−(13 (−x) + x2

)−x = −1

3+ x. Donc lim

x→0−Tf (x, 0) = −1

3. Ainsi,

limx→0+

Tf (0, x) 6= limx→0−

Tf (x, 0) ; il n’y a donc pas de nombre derive unique en 0.

M2.138

6.1.1.D Exercices (pour les poursuites d’etudes longues)Exercice 2.19. Derivabilite en 0 : Montrer que la fonction definie sur R par f(x) = x

√|x| est derivable en 0 et

calculer son nombre derive en 0.

M2.139

6.1.2 Derivee

6.1.2.A Definitions

6.1.2.A.a Ensemble de derivabilite

Definition 146 (Ensemble de derivabilite Bf ). L’ensemble de derivabilite Bf d’une fonction f estl’ensemble des points x de Df en lesquels f est derivable.

Theoreme 147 (De la derivabilite a la continuite). Une fonction derivable sur l’ensemble Bf estforcement continue sur Bf , autrement dit Bf ⊂ Cf .

42

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Module 2

Rappels : notations ensemblistesL’inclusion d’un ensemble A dans un ensemble B, notee A ⊂ B, signifie que tous les points a de A sontdans B (par contre, il peut exister des points b de B qui ne sont pas dans A)

Remarques• La continuite n’implique pas necessairement la derivabilite (cf. exemple 145)• Avant de calculer une derivee, il faut systematiquement determiner l’ensemble de derivabilite

M2.140

6.1.2.A.b Derivee

Definition 148 (Fonction derivee ou Derivee). La derivee de f , notee f ′ oudf

dx, est la fonction qui a

tout x ∈ Bf associe le nombre derive en x. Elle est definie par :

f ′ :

{Bf → R

x 7→ f ′(x)ou

df

dx:

{Bf → R

x 7→ df

dx(x)

Remarques

• La encore, la notation differentielledf

dxa l’avantage d’indiquer la variable de derivation x (via le dx) ;

tout ce qui ne depend pas de cet variable est constant pour (vue de) x.• L’ensemble de derivabilite de f est le domaine de definition de f ′ : Bf = Df ′

M2.141

6.1.2.B Derivees usuellesLa table 4 presentent les ensembles de derivabilite et les derivees des fonctions usuelles. M2.142

6.1.2.C Derivees d’assemblage de fonctionsLes ensembles de derivabilites et les derivees des assemblages usuels de fonctions sont donnes table 5.

RemarqueLes regles pour determiner l’ensemble de derivabilite sont les memes que celles pour determinerl’ensemble de definition. Par contre, les ensembles ”de depart” (les ensembles de derivabilite desfonctions usuelles dont on part pour creer une fonction plus complexe ne sont pas necessairement lesmemes que les ensembles de definition) !

M2.143

6.1.2.D Exercices

6.1.2.D.a Exercices-types

Methodologie 149 (Calculer l’ensemble de derivabilite et la derivee de f). 1. Ecrire l’assemblagede fonctions usuelles qui constitue f ;

2. Ecrire l’ensemble de derivabilite et la derivee de chaque fonction usuelle identifiee ;

3. Utiliser les regles de calcul pour les ensembles de derivabilites et la derivee des assemblagesidentifies.

Exercice 2.20. Exercice type : Ensemble de derivabilite et calcul de derivee : Calculer l’ensemble de derivabilite et laderivee des fonctions suivantes :

1 f(x) =1

2

x2 + 3

1− x 2 g(x) =1

4

1

1 + x+ (x− 2)(x+ 3) 3 h(x) = ln

(1− e−x

)M2.144

43

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Module 2

f f(x) Bf Derivee f ′(x)P

oly

nom

e

Constante c R 0 ♥

Identite Id(x) = x R 1

Affine ax+ b R a

Monome xn (n ∈ N∗) R nxn−1 ♥

Polynome a0 + a1x+ ...+ anxn R a1 + 2a2x

1 + ...+ nanxn−1

Racine carree√x R+

∗1

2√x

Inverse1

xR∗ − 1

x2

Tri

gon

om

etr

ie

Sinus sin(x) R cos(x) ♥

Cosinus cos(x) R − sin(x) ♥

Tangente tan(x) =sin(x)

cos(x)R \

{π2

+ kπ, k ∈ Z} 1

cos2(x)= 1 + tan2(x)

ArcSinus arcsin(x) = arcsin(x) ]− 1; 1[1√

1− x2♥

ArcCosinus arccos(x) = arccos(x) ]− 1; 1[ − 1√1− x2

ArcTangente arctan(x) = arctan(x) R1

1 + x2♥

Racine n-ieme n√x = x

1n (n ∈ N∗) R+

∗1

nx

1n−1

Logarithme neperien ln(x) R+∗

1

x♥

Logarithme a base 10 log10(x) R+∗

1

x ln(10)

Exponentielle exp(x) = ex R exp(x) ♥

Exponentielle a base a ax R ln(a)ax

Puissances reelles xα R∗+ αxα−1

Table 4 – Ensemble de derivabilite et derivee des fonctions usuelles.

6.1.2.D.b Exercices de TDExercice 2.21. Ensemble de derivabilite et calcul de derivee : Determiner l’ensemble de derivabilite puis calculer laderivee des fonctions suivantes :

1 f(x) = 4x3 − 3x− 1 2 f(x) =x

4− 1

33 φ(s) =

3

s

4 h(z) = (1− z)3(1 + 2z) 5 p(x) = 2x− 3− 1

x6 s(t) =

(t+ 1)2

t2 + 1

7 f(x) =x3

x2 − 18 f(x) =

3√x2 + 1 9 f(x) =

√x+ 1

x− 1

10 f(x) =sin(x)− cos(x)

sin(x) + cos(x)11 f(x) = tan

(sin(x)

)12 f(x) =

1

cos(√x)

13* f(x) = 2(2− x) +1

4

x

x+ 214 f(x) =

√1 + x

1− x215 f(x) = tan2 (x3)

16 y(x) = xx 17 fa(x) = xxa

18 g(x) = ln (log10(x))

44

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Module 2

Fonction f Bf f ′(x)

Somme u+ v Bu ∩Bv u′(x) + v′(x)

Opposee −u Bu −u′(x)

Difference u− v Bu ∩Bv u′(x)− v′(x)

Amplification λu (λ ∈ R) Bu λu′(x)

Produit u.v Bu ∩Bv u′(x).v(x) + u(x).v′(x)

Inverse1

u{x ∈ Bu/u(x) 6= 0} − u′(x)(

u(x))2

Quotientu

v{x ∈ Bu ∩Bv/v(x) 6= 0} u′(x).v(x)− u(x).v′(x)(

v(x))2

Puissance un Bu nu′(x)un−1(x)

Composee u ◦ v {x ∈ Bu ∩Bv/u(x) ∈ Bv} v′(x)u′(v(x)

)Table 5 – Ensemble de derivabilite et derivee des assemblages de fonctions usuelles.

M2.145

Exercice 2.22. Ensemble de derivabilite et calcul de derivee : Calculer l’ensemble de derivabilite et derivee de la

fonction f : x 7−→ tan

(1

x

).

Exercice 2.23. Calcul de derivees : Donner l’ensemble de derivabilite et calculer les derivees (ou les differentielles) desfonctions suivantes :

1 y(x) = arcsin (ln |2x|) 2 y(x) = arcsin

(1− x1 + x

)3 y(x) = arcsin

(x+ a

1− ax

)

M2.146

Exercice 2.24. Tangente en 0 : Donner l’equation de la tangente en 0 a la courbe d’equation y =

√x3

x− 1.

Exercice 2.25. Systemes dynamiques : L’etude des systemes dynamiques du 1er ordre amene souvent a travailler avec

la fonction de la variable reelle t : V (t) = V0e−tτ , ou τ est la constante de temps fixee. Montrer que la tangente a la

courbe de V (t) en un point M0 d’abcisse t0 quelconque coupe l’axe des temps au point t0 + τ .

M2.147

6.2 Differentielles (pour les poursuites d’etudes longues)

La notion de differentielle est tres utilisee dans le calcul d’approximation en physique. Elle generalise lecalcul de la derivee, leve les ambiguıtes sur la variable par rapport a laquelle la derivee est calculee etfacilite grandement l’expression de la derivee de la composee.En physique, on s’interesse souvent a l’evolution d’une quantite f dependante d’une variable x autourd’un point (a, f(a)) : par exemple, l’evolution de la charge d’un condensateur (fonction de l’intensite ducourant) autour d’un point d’equilibre (obtenu par exemple lorsque le condensateur est completementcharge) lorsqu’on doit faire face a une petite diminution de l’intensite du courant. Plus particulierement,le physicien souhaite connaıtre la variation engendree sur la quantite f par une petite variation de lavariable x voire la vitesse de cette variation. La variation de la variable x autour du point a est noteeδx = x− a. La variation engendree sur la quantite f est notee δf = f(x)− f(a). En general, cesvariations sont supposees infiniment petites. Pour interpreter ces variations, reprenons l’interpretationgeometrique du taux d’accroissement et de la derivee, en s’appuyant sur le graphe donne figure 31.

45

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Module 2

Figure 31 – Interpretation graphique de la derivee et de la differentielle

Autour du point M0 d’abscisse a et d’ordonnee f(a), introduire une petite variation δx sur a revient adeplacer le point d’etude de la quantite f en M1 d’abscisse x = a+ δx et d’ordonneey = f(x) = f(a) + δf . Le rapport entre la variation δf et la variation δx qui l’a provoquee n’est autreque le taux d’accroissement Tf (a, x), defini par les mathematiques. En effet, ce taux d’accroissement estla pente de la droite liant M0(a, f(a)) au point M1(x, f(x)). On a alors : δf = Tf (a, x)δx.Les mathematiciens disposent eux aussi d’une formalisation de ces petites variations. Une tres petitevariation, dite infiniment petite, de la variable x est notee dx et appelee differentielle de x. Ladifferentielle est une quantite algebrique (qui peut donc etre quantifiee). La variation engendree sur fpar dx est appelee differentielle de f , notee df , et est definie au point a par : df = f ′(a)dx. Cettevariation de f , dependant de la derivee f ′, est donc graphiquement liee a la tangente au graphe de f aupoint M0(a, f(a)) et d’equation y = f ′(a)(x− a) + f(a). Considerant le point M2 dont l’abscisse x estdistante de celle de M0 de la quantite dx, l’ecart separant l’ordonnee de M2 et celle de M0 est doncdf = f ′(a)dx.Les formalismes du physicien et du mathematicien ne sont pas sans lien : si l’on fait tendre la petitevariation physique δx vers 0, autrement dit on rapproche x de a, δx tend vers l’infiniment petit dx. Dememe le taux d’accroissement Tf (a, x) tend (par definition) vers la derivee au point a, f ′(a). Donc, enreprenant les equations precedentes, la variation physique sur f , δf , tend vers la differentielle de f , df ,en a.En pratique, le physicien assimile souvent les petites variations physiques a la differentielle, pourpouvoir beneficier de cet outil mathematique tres puissant. Finalement, en assimilant δf a df , ilremplace l’etude de la courbe de f au point a par l’etude de la tangente au graphe f au point a. Ilobtient ainsi un resultat certes approche, mais dont l’erreur est d’autant plus petite que les variationsautour du point le sont.

Exercice 2.26. Differentielles et variations : On considere un carre de cote a, dont la surface en fonction de a estnotee S(a) = a2. Par suite d’une variation de temperature, on suppose que a varie d’une petite quantite 3 notee δa.

1. Calculer sa nouvelle surface S(a+ δa), la variation absolue de son aire δS = S(a+ δa)− S(a) et la variation

relativeδS

S, en fonction de a et de δa.

2. Calculer la differentielle dS de S(a) puisdS

S.

3. Que neglige-t-on en assimilant la variation,δS

Sa la differentielle

dS

S(infiniment petite) ?

Meme questions pour le volume V (r) d’un ballon de rayon r.

3. Attention δa est un symbole pour representer la petite variation sur a ; ce n’est pas δ × a ! !

46

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Module 2

6.3 Application : Sens de variation

6.3.1 Definition

Definition 150 (Sens de variation). Soient deux reels a et b d’un intervalle I de Df avec a < b. Lafonction f est :• croissante sur I si et seulement si f(a) ≤ f(b)• strictement croissante sur I si et seulement si f(a) < f(b)• decroissante sur I si et seulement si f(a) ≥ f(b)• strictement decroissante sur I si et seulement si f(a) > f(b)

Exemple 151 (Dent de scie). Son graphe est donne figure 32.

0 1x

1

y

croi

ssan

ce

a

b

f(a)

f(b)

0 1x

1

y

decroissance

a b

f(a)

f(b)

Figure 32 – La dent de scie : une fonction avec des portions croissantes (figure de gauche) et des portionsdecroissantes (figure de droite).

M2.148

6.3.2 Sens de variation et signe de la derivee

6.3.2.A Formule des accroissements finis

Theoreme 152 (Formule des accroissements finis). Soit f une fonction continue sur [a; b] et derivable

sur ]a; b[. Il existe au moins un reel c ∈]a; b[ tel quef(b)− f(a)

b− a = f ′(c).

Corollaire 153 (Sens de variation et derivee). Le sens de variation d’une fonction f est donne parsigne de la derivee :• Si pour tout x ∈ I f ′(x) ≥ 0 alors f est croissante sur I• Si pour tout x ∈ I f ′(x) ≤ 0, f est decroissante sur I

M2.149

Remarque (pour les poursuites d’etudes longues)La fonction f est strictement croissante (respectivement strictement decroissante) si f ′(x) > 0(respectivement f ′(x) < 0 ) ou si f ′(x) ≥ 0 (respectivement f ′(x) ≤ 0 ) et l’ensemble des reels de I telque f ′(x) = 0 ne contient aucun intervalle ouvert non vide.

6.3.2.B Tableau de variation

Tableau de signeL’etude du signe de la derivee f ′ se fait (principalement) par un tableau de signe. Ce tableau supposeque f ′ soit ecrite sous forme d’une expression factorisee ! ! !

Exemple 154 (Un tableau de signe). g(x) = (x− 3)(x− 1) v.s. g(x) = (x− 3) + (x− 1)M2.150

Tableau de variationLe sens de variation et l’etude de signe se resument dans un tableau de variation.

Exemple 155 (Fonction f(x) = x2 − 6x+ 1). Cette fonction est de tableau de variation :

47

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Module 2

x

f ′(x)

f(x)

−∞ 3 +∞

− 0 +

+∞+∞

−8−8

+∞+∞

M2.151

6.3.3 Exercices

6.3.3.A Exercices-type

Methodologie 156 (Analyse du sens de variation). 1. Determiner l’ensemble de derivabilite de f ;

2. Calculer sa derivee f ′ et etudier son signe en fonction de x sur son ensemble de derivabilite ;

3. Tracer le tableau de variation, en deduisant le sens de variation du signe de la derivee.

Exercice 2.27. Exercice type : Sens de variation : Etudier le sens de variation des fonctions suivantes :

1 f(x) = 2x− 1− ln(x) 2 g(x) = 12(x− 6) exp

(−1

4x

)M2.152

6.3.3.B Exercices de TDExercice 2.28. Sens de variation : Etudier le sens de variation de la fonction f(x) = (x− 2)3.

Exercice 2.29. Etude de fonctions : Etudier le sens de variation des fonctions de la variable reelle x definies par :

1 f(x) =√|x2 + 4x+ 5| 2 g(x) =

3x

x+ 33 y(x) = xx 4 y(x) = x(x/a)

Exercice 2.30. Bac S 1996, et oui ! :

1. On considere la fonction φ definie sur R+ par : φ(x) =x

1 + x− ln(1 + x). Montrer que φ est decroissante sur

R+. En deduire le signe de φ(x) pour tout x ≥ 0.

2. Soit la fonction f definie par f(t) = e−t ln(1 + et). Etudier a l’aide de la fonction φ les variations de f .

M2.153

6.4 Application : Probleme d’optimisation

6.4.1 Notion

Definition 157 (Probleme d’optimisation). C’est un probleme physique cherchant a determiner lesconditions/configurations d’un systeme qui sont optimales au sens d’une fonction f(x) (fonction de coutou d’un critere de performance).L’optimisation recherche :• la valeur maximum M ou minimum m de la fonction ;• la valeur optimale xopt de x permettant de atteindre le maximum ou le minimum.

Exemple 158 (Chiffre d’affaire C d’une appli Iphone en fonction du temps t de mise en vente). Cechiffre d’affaire est donne par C(t) = 5t− 0.1t3 ; c’est la fonction de cout. L’optimisation serait larecherche du chiffre maximum Cmax et le temps topt qui permet d’atteindre ce maximum

Exemple 159 (Accidents de la route A en fonction du nombre de radar r). Le nombre d’accident estdonne par A(r) = 20000− 10r2 ; c’est la fonction de cout. L’optimisation serait la recherche du nombred’accident minimum Amin et le nombre de radar ropt qui permet d’atteindre ce minimum

M2.154

48

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Module 2

6.4.2 Extrema

6.4.2.A Definitions

Definition 160 (Extremum). Pour un intervalle I donne, la fonction f admet :• un minimum m sur I si et seulement si pour tout x de I, f(x) ≥ m ;• un maximum M sur I si et seulement si pour tout x de I, f(x) ≤M .

Definition 161 (Extremum absolu/local). • Si I = Df , l’extremum est absolu ;• Sinon, il est local.

Exemple 162 (f(x) = e−x(1

2+ x3)). Cette fonction dont le graphe est donne figure 33 presente :

• un maximum absolu Mglobal ≈ 1.4 atteint en xopt ≈ 3 et valable sur R ;• un maximum local Mlocal ≈ 0.65 atteint en xopt ≈ −0.4 et valable sur ]−∞; 1] ;• un minimum local mlocal ≈ 0.4 atteint en xopt ≈ 0.5 et valable sur [−0.5; 6].

0 1x

1

y

Gf

Mglobal

Mlocal

mlocal

Figure 33 – Maxima et minima.M2.155

6.4.2.B Notations (pour les poursuites d’etudes longues)

NotationsSoit M un extremum de la fonction f , atteint en la valeur xopt et valable sur l’intervalle I. On note :• si M est un maximum : M = arg max

x∈If(x) et xopt = arg max

x∈If(x) ;

• si M est un minimum : M = arg minx ∈ If(x) et xopt = arg minx∈I

f(x).

6.4.2.C Recherche d’extrema

Theoreme 163 (Extrema). Une fonction f , derivable au voisinage d’un point a, admet un extremumvalable sur un voisinage de a si sa derivee f ′ s’annule en a (c’est a dire f ′(a) = 0) et change de signeau voisinage de a ; la nature de l’extremum depend des sens de variation.

Remarques• Si f est decroissante pour x < a et f est croissante pour x > a, l’extremum est un minimum.• Si f est croissante pour x < a et f est decroissante pour x > a, l’extremum est un maximum.

M2.156

6.4.3 Exercices

6.4.3.A Exercices typesExercice 2.31. Exercice type : Optimisation : Determiner l’optimum de la note N du DS de Maths en fonction dutemps de revision t, donne par N(t) = 3t− 0.1t3.

M2.157

49

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Module 2

6.4.3.B Exercices de TDExercice 2.32. Deux nombres : On considere deux nombres a et b dont la somme vaut 12. Trouver ces deux nombrespour que : 1 la somme de leur carre soit minimale, 2 le produit de l’un et du carre de l’autre soit maximal, 3 leproduit de l’un et du cube de l’autre soit maximal.

Exercice 2.33. Proximite de deux voitures : Deux rues se coupent a angle droit en un point P . L’une a ladirection !nord-sud, l’autre est-ouest. Une voiture venant de l’ouest passe en P a 10h a la vitesse constante de 20km/h. Au meme instant, une autre voiture, situe a 2 km au nord du croisement, se dirige vers le sud a 50 km/h. Aquel moment ces deux voitures sont-elles les plus proches l’une de l’autre (a vol d’oiseau) et quelle est cette distanceminimale ?

M2.158

Exercice 2.34. Cuisine : On considere une boıte de conserve cylindrique de hauteur h et de rayon R.

1. On dispose d’une surface de metal S limitee pour construire la boıte de conserve de taille S = 400π cm2.Comment choisir le rayon R et la hauteur h de la boıte pour que son volume V soit maximal ?

2. On souhaite maintenant construire une boıte de volume V0 donne et fixe. Comment choisir le rayon R et lahauteur h pour que la surface de metal a utiliser soit minimale ? On exprimera la solution en fonction du

rapporth

R.

Memes questions avec une casserole.

M2.159

6.5 Application : Reciproque

6.5.1 Bijection

6.5.1.A Notion de bijection• Injection : f est injective si et seulement si les images de 2 elements differents de Df sont differentes• Surjection : g est surjective si et seulement si tout element de l’ensemble image Ig possede au moins

un antecedent par g (dans Dg)• Bijection : h est bijective si et seulement si tout element de l’ensemble image Ih possede un unique

antecedent par h ⇒ h admet une fonction reciproque h−1 M2.160

6.5.1.B Definition

Definition 164 (Bijection). Une fonction f est une bijection (ou est bijective) de l’intervalle I(sous-ensemble de Df ) vers l’intervalle J (sous-ensemble de If ) si et seulement si pour tout y ∈ J , l’eq.y = f(x) admet une unique solution x.Cela signifie que : pour tout x ∈ I, il existe un unique element y ∈ J (ce qui se note en mathematique∃!y ∈ J) tel que y = f(x)

Theoreme 165 (Condition necessaire et suffisante). Pour etre une bijection sur l’intervalle I, f doitetre derivable 4 et strictement monotone sur I.

M2.161

6.5.1.C Image d’un intervalle par une fonction bijective

Theoreme 166 (Image d’un intervalle par une fonction bijective). Si f est continue et strictementmonotone sur un intervalle I, alors f est une bijection de I vers l’intervalle J = {f(x)/x ∈ I} = f(I).En particulier,• si f est strictement croissante, et I = [a, b] alors J = f([a, b]) = [f(a), f(b)] ;• si f est strictement decroissante, et I = [a, b] alors J = f([a, b]) = [f(b), f(a)].

Exemple 167 (La fonction carre). La fonction carre f : x 7→ x2, continue sur R, est strictementdecroissante sur R− =]−∞; 0] et strictement croissante sur R+. Donc f est une bijection de R− vers

f(R−), avec f(R−) =

[f(0), lim

x−→−∞f(x)

[= [0; +∞[ et f est une autre bijection de R+ vers f(R+)

4. en fait, continue

50

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Module 2

avec f(R+) =

[f(0); lim

x→+∞f(x)

[= [0; +∞[. Il existe donc deux uniques solutions a l’equation

f(x) = a (avec a un reel positif et non nul quelconque). Comme a ∈ [0; +∞[= f(R−) = f(R+), lapremiere solution appartient a R− (et est unique) et la seconde appartient a R+ (et est unique).

M2.161

6.5.2 Fonctions reciproques

6.5.2.A Definition

Definition 168 (Fonction reciproque). Soit f une fonction bijective d’un intervalle I dans un intervalleJ . g est la fonction reciproque (ou inverse) de f si et seulement si :

1. g est definie en tout point de J ;

2. pour tout x ∈ Df , y = f(x)⇔ x = g(y).

La reciproque g de f sur I est unique. Elle est notee g = f−1.

Remarques• Une fonction f dont le sens de variation change sur R admet une reciproque sur chaque intervalle de

variation !

• Ne pas confondre f−1 et1

f.

M2.162

6.5.2.B Proprietes de la reciproque

Theoreme 169 (Sens de variation). f−1 est strictement monotone sur f(I) et de meme sens devariation que la fonction f .

Theoreme 170 (Proprietes calculatoires). • La composee de f−1 et de f est l’identite :(f−1 ◦ f)(x) = (f ◦ f−1)(x) = x.

• La reciproque de la reciproque de f est f :(f−1

)−1(x) = f(x).

Exemple 171 (Des reciproques usuelles). • exp et ln sur R∗+.• x→ xn et x→ n

√x sur R+.

M2.163

Theoreme 172 (Graphe). Dans un repere orthonorme, les graphes Gf (de f) et Gf−1 (de f−1) sont

symetriques par rapport a la 1ere bissectrice du plan, c’est a dire la droite d’equation y = x.

Exemple 173 (Graphes de f et f−1). f(x) = x4 et sa reciproque sur R+ f−1(x) = x1/4 ont un graphesymetrique par rapport a la droite d’equation y = x comme le montre la figure 34.

0 1x

1

y

x4

x4

x14

x

M(x, y)

M ′(y, x)

Figure 34 – Le graphe de deux fonctions reciproques est symetrique, suivant une symetrie axiale d’axela 1ere bissectrice du plan

.M2.164

51

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Module 2

0 π 2π−π−2π

1

π

x

y

Gcos

Gacos

Figure 35 – Graphe du cos, du cos restreint et de arccos..

6.5.2.C Reciproques usuelles en trigonometrie

6.5.2.C.a Cosinus et arccosinus

Definition 174 (Fonction arccos). arccos (ou acos) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans[0;π] qui a tout x associe l’angle θ dont le cos vaut x (cos(θ) = x). C’est la reciproque de la fonction coslorsque son domaine de definition est restreint a [0;π]. Son graphe est donne figure 35.

M2.165

0 π 2π−π−2π

1

π/2

x

y

Gsin

Gasin

Figure 36 – Graphe du sin, du sin restreint et de arcsin..

Definition 175 (Fonction arcsin). arcsin (ou asin) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeurs dans[−π/2;π/2] qui a tout x associe l’angle θ dont le sin vaut x (sin(θ) = x). C’est la reciproque de lafonction sin lorsque son domaine de definition est restreint a [−π/2;π/2]. Son graphe est donnefigure 36.

M2.166

Definition 176 (Fonction arctan). arctan (ou atan) est la fonction definie dans [−1; 1] et a valeursdans ]− π/2;π/2[ qui a tout x associe l’angle θ dont le tan vaut x (sin(θ) = x). C’est la reciproque de lafonction tan lorsque son domaine de definition est restreint a ]− π/2;π/2[. Son graphe est donnefigure 37.

M2.167

6.5.3 Exercices

6.5.3.A Exercices types

Methodologie 177 (Montrer qu’une fonction est la reciproque d’une autre). Montrer queg(f(x)) = f(g(x)) = x

52

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Module 2

0 π 2π−π−2π

1

2

3

4

5

x

y Gtan

Gatan

Figure 37 – Graphe de tan, de tan restreint et de arctan..

Exercice 2.35. Exercice type : Reciproque : Montrer que g(x) = 1 + x est la reciproque de f(x) = x− 1 sur R.

Methodologie 178 (Determiner une reciproque). 1. Etudier la continuite et le (ou les) sens devariation de f .

2. Poser y = f(x) et inverser l’equation pour avoir x = g(y). Alors g = f−1.

Exercice 2.36. Exercice type : Reciproque : Montrer que f(x) = (x+ 1)1/3 + 2 admet une reciproque (sur unintervalle que l’on precisera) et donne l’expression de sa reciproque.

M2.168

6.5.3.B Exercices de TDExercice 2.37. Composition de fonctions trigonometriques : Simplifier et representer graphiquement les fonctionssuivantes :

1 x 7→ arccos (cos(x)) 2 x 7→ cos (arccosx) 3 x 7→ arctan(tan(x)) 4 x 7→ tan (arctan(x))

Exercice 2.38. Reciproque : Determiner la (ou les) reciproques de f(x) =x− 1

x+ 2.

Exercice 2.39. Reciproque : On considere la fonction f de la variable x, definie sur l’intervalle [1; +∞[ par :

f(x) = x+√x2 − 1. 1 Montrer que f admet une reciproque f−1 sur [1; +∞[. 2 Montrer que cette reciproque est

la fonction g(x) =x2 + 1

2x.

M2.169

Exercice 2.40. Reciproque : On considere les deux fonctions f et g de la variable reelle x definies par :

f(x) =x2

1 + x2et g(x) = x− 2

√x+ 1. Pour chacune de ces fonctions, 1 montrer qu’elle possede deux intervalles de

monotonie, puis 2 expliciter la fonction inverse relative a chacun de ces intervalles.

Exercice 2.41. Resolution d’equations avec des fonctions puissances :Determiner les racines de l’equation : x(x

x) = (xx)x.

M2.170

6.6 Derivees a l’ordre n

6.6.1 Definition

Definition 179 (Derivee seconde). Si f est derivable sur Bf et si sa derivee f ′ est elle-meme derivablesur Bf de derivee (f ′)′, on dit que f est derivable a l’ordre 2 sur Bf et (f ′)′ est appelee la derivee

53

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Module 2

seconde. On la note f ′′ ou f (2) oud2f

dx2.

En generalisant a l’ordre n :

Definition 180 (Derivabilite a l’ordre n (n ∈ N∗)). Une fonction f est derivable a l’ordre n sur B sitoutes ses derivees d’ordre inferieur a n existent et sont derivables sur B. La derivee a l’ordre n de f ,

notee f (n) oudnf

dxn, est alors :

f (n)(x) =

n fois︷ ︸︸ ︷(...(

(f ′)′...)′)′

(x)

M2.171

Remarque : dans la notation differentielled2f

dx2, dx2 n’est pas le produit de d et x2 ; de meme d2f n’est

pas le produit de d2 et f ! Ce sont deux symboles insecables.

6.6.2 Application : Convexite et concavite (pour les poursuites d’etudes longues)

Definition 181 (Convexite, concavite). • Une fonction f est convexe sur un intervalle I si son graphesur I est ”tourne vers le haut” : pour tous points A et B de ce graphe, le segment [AB] est situeentierement au-dessus du graphe Gf ; de meme pour tout point A, la tangente a Gf en A est au dessusdu graphe. Formellement, f est convexe ssi ∀x, y ∈ I et ∀t ∈ [0, 1], on a :f (tx+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y).

• A l’inverse, f est concave sur I lorsque son graphe est ”tourne vers le bas” : pour tous points A et Bde ce graphe, le segment [AB] est situe entierement en dessous du graphe ; de meme pour tout pointA, la tangente a Gf en A est en dessous du graphe. Formellement, f est concave ssi ∀x, y ∈ I et∀t ∈ [0, 1], on a : f (tx+ (1− t)y) ≥ tf(x) + (1− t)f(y).

Theoreme 182 (Convexite, concavite). Soit f est derivable a l’ordre 2 sur un intervalle I.• si ∀x ∈ I on a f ′′(x) ≥ 0, alors f est convexe• si ∀x ∈ I on a f ′′(x) ≤ 0, alors f est concave

Exemple 183 (Une fraction rationnelle tantot concave, tantot convexe). La fonction f(x) = 1+x2

1−3x est

concave sur]−∞; 1

3

[et convexe sur

]13 ; +∞

[, comme l’illustre son graphe donne figure 38.

1x

1

y

Gf concave

Gf convexeTgte en −1

Tgte en 0.8

Figure 38 – Graphe d’une fonction concave sur]−∞; 1

3

[(partie du graphe en pointille) et convexe sur]

13 ; +∞

[(partie du graphe en trait plein)

6.6.3 Exercices

6.6.3.A Exercices typesExercice 2.42. Exercice type : Derivee 3ieme : Calculer la derivee 3-ieme de :

1 f(x) = ln(x) 2 g(x) = ex(1 + x2)

M2.172

54

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Module 2

6.6.3.B Exercices de TDExercice 2.43. Derivee d’une solution classique d’equations differentielles : Soit y la fonction de la variable x definiepar y(x) = a cos(ωx) + b sin(ωx) avec a, b et ω trois constantes.

1. Calculer (si elles existent) les deriveesdy

dxetd2y

dx2.

2. Former une relation entre y etd2y

dx2independantes de a et de b.

Exercice 2.44. Derivees et differentielles n-ieme : Soit la fonction y de la variable reelle x definie par y(x) = tan(x).Exprimer les 5 premieres derivees de y en fonction de y(x) et montrer que :

dy5

dx5= 16 + 136y2(x) + 240y4(x) + 120y6(x)

Pour faciliter la lecture des equations, on pourra ecrire y(x) sous la forme y.

M2.173

Exercice 2.45. Derivee a l’ordre n de la fonction inverse (pour les poursuites d’etudes longues) :Montrer par recurrence que :

1. la fonction inverse f : x 7→ 1

xest derivable une infinite de fois sur R∗

2. sa derivee n-ieme vaut f (n)(x) = (−1)nn!

xn+1, ou n! est la factorielle de n definie pour tout entier naturel

n ∈ N par :

n! =

{1 , si n = 01× 2× ...× (n− 1)× n , si n > 0 (produit de tous les entiers de 1 a n)

.

M2.174

Exercice 2.46. Differentielles et equations differentielles :Pour une fonction y(x) definie pour tout x tel que |x| ≤ 1, on fait le changement de variable x = cos(t) avec0 ≤ t ≤ π.

1. Exprimerdy

dxen fonction de t et de

dy

dt.

2. En utilisant la methode precedente, exprimerd2y

dx2en fonction de t,

dy

dtetd2y

dt2.

3. Que devient, par ce changement de variable, l’equation differentielle suivante :

(1− x2)d2y

dx2− xdy

dx+ y = 0.

M2.175

Exercice 2.47. Vers les equations differentielles : Resoudre l’equation differentielle x2y′′ + xy′ + y = 0 portant sur lafonction y de la variable x, en faisant le changement de variable x = et.

M2.176

7 Comportements asymptotiques

7.1 Limites en l’infini

7.1.1 Notion de comportement asysmptotique

7.1.1.A Notions

Exemple 184 (La fonction inverse). Plus x augmente (autrement dit x tend vers +∞), plus f(x) serapproche de 0 par valeurs superieures comme l’illustre la figure 39 ; on dit que lim

x→+∞f(x) = 0+

M2.177

Definitions 185 (Comportements asymptotiques). • Le comportement asymptotique d’une fonction fde la variable x est la ”direction” de f lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞

55

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Module 2

limx→+∞

f(x) = 0+

ε

A

1x

1

y

Ginv

Figure 39 – Graphe de la fonction inverse avec focus en +∞

• Elle prend la forme d’une limite L qui peut etre un nombre ∈ R (et on parle de limite finie) ou uninfini +∞ ou −∞ (et on parle de limite infinie)

• La limite L peut etre atteinte ou approchee par la fonction, en arrivant par valeurs inferieures (L−)ou superieures (L+).

On la note :lim

x→+∞f(x) = lim

+∞f = L ou lim

x→−∞f(x) = lim

−∞f = L

M2.178

7.1.1.B Limite finie en l’infini

Cas d’une limite L reelle finie en +∞lim

x→+∞f(x) = lim

+∞f = L

Exemple 186 (Fonction inverse). limx→+∞

1

x= 0 (cf. figure 39)

M2.179

Cas d’une limite L reelle finie en −∞lim

x→−∞f(x) = lim

−∞f = L

Exemple 187 (Exponentielle). limx→−∞

exp(x) = 0 (cf. figure 40)

limx→−∞

f(x) = 0

ε

A

0 1x

1

y

exp(x)

Figure 40 – La limite 0 en −∞ de la fonction exponentielle

M2.180

Cas d’une limite L par valeurs superieures en ∞limx→∞

f(x) = L+ signifie que pour x proche de ∞, f(x) tend vers L avec f(x) ≥ L

Cas d’une limite L par valeurs inferieures en ∞limx→∞

f(x) = L− signifie que pour x proche de ∞, f(x) tend vers L avec f(x) ≤ L

Exemple 188 (Fonction inverse). limx→−∞

1

x= 0− et lim

x→+∞

1

x= 0+ (cf. figure 41)

M2.181

56

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Module 2

{lim

x→+∞f(x) = 0+

f(x) > 0

ε

A

{lim

x→−∞f(x) = 0−

f(x) < 0

ε

A

1x

1

y

Ginv

Figure 41 – Limites asymptotiques de la fonction inverse

7.1.1.C Limite infinie en l’infini

Cas d’une limite +∞ en +∞lim

x→+∞f(x) = lim

+∞f = +∞, ce qui implique que f(x) > 0 pour x suffisamment grand

Exemple 189 (Valeur absolue). limx→+∞

|x| = +∞ (cf. figure 42)

RemarqueIdem pour une limite en −∞ et pour une limite −∞

limx→+∞

f(x) = +∞

A

B

0 1x

1

yGabs

Figure 42 – La fonction valeur absolue : Cas d’une limite +∞ en +∞M2.182

7.1.2 Definitions (pour les poursuites d’etudes longues)

Definition 190 (Limite finie en l’infini). Soit L ∈ R.• limx→+∞

f(x) = lim+∞

f = L si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si x > A alors |f(x)− L| < ε. Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche de L que l’onveut a la condition de prendre x suffisamment grand.

• limx→+∞

f(x) = lim+∞

f = L+ si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si x > A alors 0 ≤ f(x)− L < ε.• limx→+∞

f(x) = lim+∞

f = L− si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si x > A alors 0 ≤ L− f(x) < ε.• limx→−∞

f(x) = lim−∞

f = L si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour

x ∈ Df : si x < −A, alors |f(x)− L| < ε. Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche de L quel’on veut a la condition de prendre x suffisamment petit.

• limx→−∞

f(x) = lim−∞

f = L+ si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour

x ∈ Df : si x < −A, alors 0 ≤ f(x)− L < ε.• limx→−∞

f(x) = lim−∞

f = L− si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour

x ∈ Df : si x < −A, alors 0 ≤ L− f(x) < ε.

Remarqueε est la lettre grecque habituellement choisie pour designer de ”petites” quantites.

57

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Module 2

Definitions 191 (Limites infinies en l’infini). Soit f une fonction de la variable reelle x.• limx→+∞

f(x) = lim+∞

f = +∞ si et seulement si pour tout B > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour

x ∈ Df : si x > A, alors f(x) > B. Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi grand que l’on veut a laseule condition de prendre x suffisamment grand.

• limx→−∞

f(x) = lim−∞

f = +∞ si et seulement si pour tout B > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si x < −A, alors f(x) > B• limx→+∞

f(x) = lim+∞

f = −∞ si et seulement si pour tout B > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si x > A, alors f(x) < −B• limx→−∞

f(x) = lim−∞

f = −∞ si et seulement si pour tout B > 0, il existe un reel A > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si x < −A, alors f(x) < −B

7.2 Calcul de limites

7.2.1 Limites asymptotiques des fonctions usuelles

Les limites asymptotiques (en +∞ et −∞) des fonctions usuelles sont resumees table 6.

Fonction f(x) Limite en −∞ Limite en +∞

Constante c c c

xn (n ∈ N∗)+∞ si n pair

−∞ si n impair+∞

n√x = x

1n

n.d. 5 si n pair

−∞ si n impair+∞

Inverse1

x0− 0+

ln(x) n.d. +∞

exp(x) 0+ +∞

sin(x), cos(x), tan(x) p.d.l. 6 p.d.l.

arctan(x) −π2

+ π

2

Table 6 – Limites asymptotiques usuelles ; les abreviations signifient n.d.=non defini, p.d.l.=pas delimite.

M2.183

7.2.2 Operations sur les limites

Etant donnee deux fonctions u et v dont on connaıt les limites, on peut determiner - grace a differentstheoremes - les limites des fonctions somme, difference, amplification, produit et quotient. Les resultatsde ces theoremes utilisent la fonction signe :

Definition 192 (Fonction signe). La fonction signe est une fonction de la variable reelle definie par

sign(x) =

1 , si x > 00 , si x = 0−1 , si x < 0

7.2.2.A Limites d’une somme, d’une amplification, d’un produit, d’un quotientLes limites asymptotiques en +∞ des differents assemblages de fonctions sont donnees table 7 pourλ ∈ R∗ et s un signe (egal a +1 ou −1)

RemarqueResultats identiques lorsque la limite est asymptotique en −∞

M2.184

58

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Module 2

lim+∞

u lim+∞

v lim+∞

λu lim+∞

u+ v lim+∞

u.v lim+∞

u

v

Fin

ie-F

inie Lu Lv λLu Lu + Lv LuLv

LuLv

Lu 0+ λLu Lu 0 sign (Lu)∞Lu 0− λLu Lu 0 −sign (Lu)∞0 0 0 0 0 FI

Fin

ie-I

nfi

nie s∞ Lv sign(sλ)∞ s∞

sign(sLv)∞ si Lv 6= 0

FI si Lv = 0sign

(s

Lv

)∞

Lu s∞ λLu s∞sign(sLu)∞ si Lu 6= 0

FI si Lu = 00

Infi

nie

-In

fin

ie +∞ +∞ sign(λ)∞ +∞ +∞ FI

−∞ −∞ −sign(λ)∞ −∞ +∞ FI

+∞ −∞ sign(λ)∞ FI −∞ FI

−∞ +∞ −sign(λ)∞ FI −∞ FI

Table 7 – Operations sur les limites asymptotiques avec λ ∈ R∗ et s un signe (egal a +1 ou −1) ;l’abreviation FI indique une forme indeterminee.

7.2.2.B Limites d’une composee

Theoreme 193 (Limite d’une composee). Si limx→+∞

u(x) = L (avec L un reel ou +∞ ou −∞) alors

limx→+∞

(v ◦ u)(x) = limx→+∞

v (u(x)) = limy→L

v(y)

Remarque : Le resultat est identique lorsque x→ −∞ M2.185

7.2.2.C Bilan des formes indeterminees

Theoreme 194 (Les classiques Terminale ).�� ��(+∞) + (−∞)

��

��∞

∞�� ��0.∞

��

��0

0

Theoreme 195 (Les nouvelles).�� ��1∞

�� ��∞0

M2.186

7.2.2.D Exercices

7.2.2.D.a Exercices-types

Methodologie 196 (Calcul de limites asymptotiques). 1. Identifier les fonctions usuelles et donnerleurs limites ;

2. Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles puis calculer la limite de proche en procheen utilisant les regles sur les limites ;

3. En cas de forme indeterminee :• Quelques astuces (cf TD) ;• Utiliser des outils plus puissants, comme l’equivalence ou les developpements limites.

Exercice 2.48. Exercice type : Limites : Determiner les limites suivantes : 1 limx→+∞

x3 ln(x) 2 limx→+∞

e−x

x

M2.187

59

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Module 2

7.2.2.D.b Exercices de TDExercice 2.49. Limites : Calculer lim

x→+∞f(x) et lim

x→−∞f(x) pour les fonctions f suivantes :

1 f(x) = 2x2 + x+ 1 2 f(x) =arctan(x)

|x− 3| 3 f(x) = x2 − x3

Exercice 2.50. Limites avec forme indeterminee de type ∞ - ∞ : Calculer limx→+∞

f(x) et (si elle existe) limx→−∞

f(x)

pour les fonctions f suivantes :

1 f(x) =√x2 + 1−

√x2 − 1 2 f(x) =

√x2 + 2x− x 3 f(x) =

√|x|+ 2−

√|x|

|x|4 f(x) = ln(x)− ln(x+ 1) 5 f(x) = ln(x2 + 1)− 2 ln(x)

M2.188

7.2.3 Relations d’ordre (pour les poursuites d’etudes longues)

Si l’on sait comparer une fonction u(x) a une autre v(x) dont on connaıt la limite, on peut dans certainscas deduire la limite de u. Ce sont les relations d’ordres enoncees ainsi :

Theoreme 197 (Relation d’ordre en +∞). Soient deux fonctions u et v definies sur R. Pour tout xsuffisamment grand (i.e. tendant vers +∞),

1. si u(x) ≥ v(x) et lim+∞

v = +∞, alors lim+∞

u = +∞,

2. si u(x) ≤ v(x) et lim+∞

v = −∞, alors lim+∞

u = −∞,

3. si |u(x)− l| ≤ v(x) et lim+∞

v = 0, alors lim+∞

u = l.

Theoreme 198 (Relation d’ordre en −∞). Soient deux fonctions u et v definies sur R. Pour tout xsuffisamment proche de −∞,

1. si u(x) ≤ v(x) et lim−∞

v = −∞, alors lim−∞

u = −∞,

2. si u(x) ≥ v(x) et lim−∞

v = +∞, alors lim−∞

u = +∞.

3. si |u(x)− l| ≤ v(x) et lim−∞

v = 0, alors lim−∞

u = l.

Theoreme 199 (Theoreme du gendarme). Soient trois fonctions u, v et w, definies sur R et adesignant indifferemment un reel fixe, +∞ ou −∞. Si u(x) ≤ v(x) ≤ w(x) et lim

au = lim

aw, alors

limau = lim

av = lim

aw.

Exercice 2.51. Limites avec les relations d’ordre : Calculer la limite de la fonction f(x) =(2 + cos(x)

)x en +∞.

Correction : Cette limite n’est pas immediate car cos(x) n’a pas de limite en +∞. Par contre, on sait que pour toutreel x, −1 ≤ cos(x) ≤ 1, donc 1 ≤ 2 + cos(x) ≤ 3. Des lors que x devient assez grand (notamment x devient positif),on deduit en multipliant l’inegalite precedente par x que x ≤ f(x) ≤ 3x. Comme les deux fonctions x 7−→ x etx 7−→ 3x tendent vers +∞ en +∞, alors par relation d’ordre, f(x) aussi : lim

+∞f = +∞.

7.2.4 Equivalence en l’infini

Les equivalences sont un outil mathematique puissant, particulierement utiles pour lever des formesindeterminees dans le calcul de limite.

7.2.4.A Definitions

Definition 200 (Equivalence en ∞). Deux fonctions f et g sont equivalentes au voisinage de a(avec a = +∞ ou a = −∞) si et seulement si u(x) = g(x) (1 + ε(x)) avec lim

x→aε(x) = 0. On le note :

f ∼ag ou f(x) ∼

x→ag(x)

Remarque : Deux fonctions equivalentes ont une meme limite !

Theoreme 201 (Equivalence et limite). Si f ∼ag alors lim

x→af(x) = lim

x→ag(x)

M2.189

60

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Module 2

7.2.4.B Equivalences usuelles

Theoreme 202 (Equivalent d’un polynome). Un polynome P (x) = anxn + ...+ a1x+ a0 un polynome

de degre n (avec an 6= 0) est tel que P (x) ∼x→±∞

anxn

Exemple 203 (Equivalent de P (x) = 3x4 − 2x = 3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0). P (x) ∼x→+∞

3x4 et

P (x) ∼x→−∞

3x4

Theoreme 204 (Equivalent d’une fraction rationnelle). Une fraction rationnelle F (x) =P (x)

Q(x)avec

P (x) = anxn + ...+ a1x+ a0 de degre n et Q(x) = bmx

m + ...+ b1x+ b0 de degre m admet pourequivalent le quotient des equivalents de P (x) et Q(x).

Exemple 205 (Equivalent de F (x) =P (x)

Q(x)=

3x4 − 2x

6x3 + 4x2 + 1=

3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0

6x3 + 4x2 + 0x+ 1).

F (x) ∼x→±∞

3x4

6x3M2.190

7.2.4.C Operations sur les equivalents

Operations sur les equivalents• On peut multiplier, inverser, diviser des equivalents• On ne peut pas ajouter, soustraire ou composer des equivalents, sauf cas tres particulier

Theoreme 206 (Operations sur les equivalences). Soient f1, f2, g1 et g2 quatre fonctions telles quef1 ∼

+∞g1 et f2 ∼

+∞g2 et λ ∈ R∗. Alors :

• λf1(x) ∼x→+∞

λf2(x)

• 1

f1(x)∼

x→+∞

1

f2(x)

• f1(x)

g1(x)∼

x→+∞

f2(x)

g2(x)• f1(λx) ∼

x→+∞g1(λx)

RemarqueIdem en −∞

M2.191

7.2.4.D Exercices

7.2.4.D.a Exercices-types

Exercice 2.52. Exercice type : Equivalents : Calculer limx→+∞

1 +x2 − 1

2x2 + 1.

M2.192

7.2.4.D.b Exercices de TDExercice 2.53. Limites de fractions rationnelles : Calculer les limites en +∞ et en −∞ des fonctions f suivantes :

1 f(x) =7x+ 3

4x2 − 3x+ 132 f(x) =

2x− 3

x+ 53 f(x) =

2x+ |2x+ 5|5x− 1

M2.193

61

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Module 2

7.2.5 Croissance comparee

7.2.5.A Definition

Theoreme 207 (Regles de croissance comparee). On a limx→+∞

ln(x)

xα= 0 et lim

x→+∞

ex

xα= +∞ (avec

α ∈ R∗+). On dit que : ln << xα << ex en +∞ comme l’illustre la figure43.

Exercice 2.54. Exercice type : Limites asymptotiques : Determiner limx→+∞

ln(x)ex

x12

.

0 1 2 3 4 5x

10

20

30

40

50

y

x 7→ ln(x)

x 7→ x2

x 7→ ex

Figure 43 – ¡¡ln croit moins vite que les puissances, qui croissent moins vite que l’expo vers +∞¿¿

M2.194

7.2.5.B Exercices de TDExercice 2.55. Limites avec croissance comparee : Determiner les limites quand x tend vers +∞ et lorsqu’elle existe,lorsque x tend vers −∞, des fonctions f suivantes :

1 f(x) =ex

x2 + 12 f(x) = x3 − 2x 3 f(x) = (x+ 1)e−x 4 f(x) =

e2x − x2

e2x+1

5 f(x) =3x

x46 f(x) =

√x+ 1e−3x 7 f(x) =

e1+x2

x2 ln(x)8* f(x) =

10x√x2 + 1

M2.195

Exercice 2.56. Accroissements finis (pour les poursuites d’etudes longues) : Cet exercice utilise la formule desaccroissements finis donnee par : pour toute fonction f continue sur [a, b], pour h = b− a, il existe un reel θ (avec0 < θ < 1) tel que f(a+ h) = f(a) + hf ′(a+ θh).Determiner la valeur prise par θ lorsque la fonction f est definie par :

1 f(x) = αx2 + βx+ γ 2 f(x) = ex

Calculer, dans chacun des cas, la limite de θ quand l’ecart h tend vers 0.

M2.196

Exercice 2.57. Serie harmonique (pour les poursuites d’etudes longues) :Cet exercice utilise la formule des accroissements finis donnee par : pour toute fonction f continue sur [a, b], pourh = b− a, il existe un reel θ (avec 0 < θ < 1) tel que f(a+ h) = f(a) + hf ′(a+ θh).

1. Donner un encadrement de ln(a+ h) et l’appliquer lorsque a = 1 et h =1

nou n ∈ N∗.

2. En deduire un encadrement de ln(n+ 1)− ln(n), ln(n)− ln(n− 1), et ainsi de suite jusqu’a ln(2)− ln(1).

3. Deduire aussi un encadrement de un = 1 +1

2+

1

3+ ...+

1

n.

4. Quelle est la limite de un quand n tend vers l’infini.

M2.197

62

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Module 2

7.3 Application : Branches asymptotiques

Lors du trace du graphe d’une fonction f , une branche infinie apparaıt des lors que l’une au moins descoordonnees x ou y = f(x) tend vers l’infini. La question est alors de savoir ”comment” le graphe tendvers l’infini, notamment s’il suit une direction (un axe) particuliere. L’etude des branches asymptotiquesou branches infinies est donc indispensable a l’etude du comportement global d’une fonction, et facilitela representation graphique. Elle est essentiellement liee a un calcul de limites asymptotiques.Un premier exemple, vu au lycee, est les asymptotes verticales au point a (avec a un reel) : cesasymptotes se produisent lorsque la fonction f tend vers l’infini en ce point particulier a. Ainsi, silimaf = ±∞, alors la droite verticale d’equation x = a est une asymptote verticale du graphe de f . On

se reportera a la partie 8 pour le calcul de limites en un point.Dans cette partie, on va s’interesser aux branches de la fonction lorsque x tend vers +∞ ou −∞.

7.3.1 Definitions

ObjectifsEvaluer ”comment” une fonction f(x) tend vers +∞ lorsque x→ +∞, autrement dit quelle est sadirection dominante parmi :

1. les droites (0x), (0y)

2. les droites de la forme y = ax+ b

3. les branches de la forme y = ax2 guidees par une droite

0 1 2 3 4x

5

10

15

20

y

f(x) = 3 + x+ 1x

Asymptote y = x+ 3 0 2 4 6 8x

−5

5

10

y

f(x) = x2 + ln(x)

Branche y = x2

Figure 44 – Un exemple de droite asymptotique (a gauche) et de branche parabolique (a droite)

M2.198

7.3.2 Methodologie

Les etapes du calcul des asymptotes et des branches paraboliques lorsque x tend vers +∞ est donneefigure 45.

RemarqueResultats identiques lorsque x→ −∞

M2.199

7.3.3 Exercices

7.3.3.A Exercices-typesExercice 2.58. Exercice type : Asymptotes : Determiner la branche asymptotique en +∞ et en −∞ :

g(x) =x2 + 2x− 2

x− 2.

M2.200

63

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Module 2

limx→∞

f(x) =?

Asymptotehorizontaley = L

L ∈ R

limx→∞

f(x)

x=?

±∞

Brancheparaboliquede direction

(0x)

0

Brancheparaboliquede direction

(0y)

±∞

limx→∞

f(x)− ax =?

a ∈ R∗

Asymptoteoblique

y = ax + b

b ∈ R

Brancheparaboliquede directiony = ax

±∞

Figure 45 – Methodologie pour le calcul des asymptotes et branches asymptotiques

7.3.3.B Exercices de TD

Exercice 2.59. Asymptotes : Determiner le comportement asymptotique de f(x) =5x2 + 3x− 2

x+ 2en +∞.

Exercice 2.60. Branches asymptotiques : Determiner les branches asymptotiques des fonctions suivantes :

1* f(x) =1

2

x2 + 3x− 1

x+ 32* f(x) = 2(2− x) +

1

4

x

x+ 2

M2.201

Exercice 2.61. Etude d’un schema electronique :On considere le montage suivant :

R1 ≡ xi1

R2 ≡ 3

R1 ≡ xi2

ou R1 sont deux resistances de x Ohms et R2 une de 3 Ohms.

1. Exprimer la resistance equivalente du circuit, notee R, en fonction de x.

2. Etudier les variations de R en fonction de x, ainsi que les branches infinies (on envisagera la possibilite d’uneasymptote en l’infinie). Tracer la courbe C de R pour x variant entre 0 et 6 Ohms.

3. A partir de quelle valeur de x la difference

∣∣∣∣R− (1

2x+

3

4

)∣∣∣∣ est-elle inferieure a 1/100 ? En deduire une valeur

approchee de R lorsque x = 120 Ohms.

M2.202

8 Comportements locaux

On s’interesse maintenant a l’analyse du comportement local d’une fonction f de la variable reelle x,c’est a dire aux variations de f(x) lorsque x est a proximite (au voisinage) d’une valeur reelle a fixee.

64

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Module 2

8.1 Limites en un point a

8.1.1 Notion de comportement local

8.1.1.A Notion

limx→0+

f(x) = +∞

η

B

1x

1

y

Ginv

Figure 46 – La fonction inverse, cas d’une limite +∞ en 0 par valeurs superieures

Exemple 208 (Fonction inverse). Lorsque x→ 0 (par valeurs superieures), f(x) croit indefiniment ; ondit que lim

x→0+f(x) = +∞ comme l’illustre la figure 46.

M2.203

Definitions 209 (Comportement local). • Le comportement local d’une fonction f de la variable x estla ”‘direction”’ de f lorsque x tend vers a, soit des deux cotes, soit par valeurs inferieures (a−), soitpar valeurs superieures a+.

• Elle prend la forme d’une limite L qui peut etre un nombre ∈ R ou un infini ±∞.• La limite L peut etre atteinte ou approchee par la fonction, en arrivant par valeurs inferieures (L−)

ou superieures (L+).On la note : lim

x→af(x) = lim

af = L

RemarqueTres souvent a = 0

M2.204

8.1.1.B Limite finie en un point

Cas d’une limite finie L ∈ R en a ∈ Rlimx→a

f(x) = limaf = L

Exemple 210 (Sinus cardinal). limx→0

sinc(x) = limx→0

sin(x)

x= 1 comme l’illustre la figure 47

limx→0

f(x) = 1

η

ε

0 π 2π 3π−π−2π−3π

1

x

y

Gsinc

Figure 47 – La fonction sinus cardinal, de limite 1 en 0

M2.205

65

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Module 2

8.1.1.C Limite infinie en un point

Cas d’une limite +∞ en un point a ∈ Rlimx→a

f(x) = limaf = +∞

Exemple 211 (f(x) =1

|x| ). de limite +∞ lorsque x→ 0 (cf. graphe donne figure 48)

limx→0

f(x) = +∞

η

B

1x

1

y

G1/|x|

Figure 48 – La fonction valeur absolue, de limite 0 en 0

M2.206

8.1.1.D Valeurs superieures ou inferieures

1. Si x→ a+, alors x→ a et x ≥ a2. Si x→ a−, alors x→ a et x ≤ a

De meme, pour L ∈ R1. lim

x→af(x) = L+, alors f(x)→ L et f(x) ≥ L

2. limx→a

f(x) = L−, alors f(x)→ L et f(x) ≤ LM2.207

8.1.2 Definitions (pour les poursuites d’etudes longues)

Definition 212 (Limites en un point). Soit f une fonction de la variable reelle x, a ∈ R un point etL ∈ R.• limx→a

f(x) = limaf = L, si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un reel η > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si 0 < |x− a| < η alors |f(x)−L| < ε. Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi proche de Lque l’on veut a la seule condition de prendre x suffisamment voisin de a.

• limx→a

f(x) = limaf = +∞, si et seulement si pour tout B > 0, il existe un reel η > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si 0 < |x− a| < η, alors f(x) > B. Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi grand que l’onveut a la seule condition de prendre x suffisamment voisin de a.

• limx→a

f(x) = limaf = −∞, si et seulement si pour tout B > 0, il existe un reel η > 0 tel que pour tout

x ∈ Df : si 0 < |x− a| < η, alors f(x) < −B. Autrement dit, on peut rendre f(x) aussi petit que l’onveut a la seule condition de prendre x suffisamment voisin de a.

Interpretation graphique de la definition des limitesPrenons l’exemple d’une limite finie L en un point a (cf. graphe du sinus cardinal figure 47). On estassure que tous les points du graphe Gf , c’est a dire les points M(x, f(x)) au voisinage du point (a, L)se trouvent a l’intersection de deux tuyaux :I le premier, vertical, represente les points du plan dont l’abscisse x est distante de a d’au plus η (a

gauche comme a droite de a), c’est a dire tel que 0 < |x− a| < η,I le second, horizontal, represente les points du plan dont l’ordonnee y est distante de l d’au plus ε (en

dessous comme au dessus de l), des que l’on a pu trouver un η satisfaisant, c’est a dire tel que|f(x)− l| < ε.

66

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Module 2

Valeurs superieures ou inferieuresDans les definitions precedentes, on fait tendre x vers a indifferemment par valeurs superieures a a (adroite de a) ou par valeurs inferieures a a (a gauche de a). On peut limiter la facon de faire tendre xvers a :I soit aux valeurs superieures de a (a la partie a droite de a dans le tuyau) ; on parlera alors de limite

par valeur superieure, notee limx→a+

f(x), et dont les definitions effectives sont :

– limx→a+

f(x) = l si et seulement si ∀ε > 0,∃η > 0 tel que ∀x ∈ Df si 0 < x− a < η alors |f(x)− l| < ε

– limx→a+

f(x) = +∞ si et seulement si ∀B > 0,∃η > 0 tel que ∀x ∈ Df si 0 < x− a < η alors f(x) > B

– limx→a+

f(x) = −∞ si et seulement

si ∀B > 0,∃η > 0 tel que ∀x ∈ Df si 0 < x− a < η alors f(x) < −BI soit aux valeurs inferieures de a (a la partie a gauche a dans le tuyau) ; on parlera alors de limite

par valeur inferieure, notee limx→a−

f(x) et definie par :

– limx→a−

f(x) = l si et seulement si ∀ε > 0,∃η > 0 tel que ∀x ∈ Df si 0 < a− x < η alors |f(x)− l| < ε

– limx→a−

f(x) = +∞ si et seulement si ∀B > 0,∃η > 0 tel que ∀x ∈ Df si 0 < a− x < η alors f(x) > B

– limx→a−

f(x) = −∞ si et seulement

si ∀B > 0,∃η > 0 tel que ∀x ∈ Df si 0 < a− x < η alors f(x) < −BCes definitions etant relativement complexes et donc peu utilisables en pratique, nous allons etreamenes a definir un ensemble d’outils pour pouvoir calculer la limite des fonctions.

8.2 Calcul de limites

Le calcul des limites locales utilise plusieurs theoremes dans lesquels le point d’etude a est quasisystematiquement 0. Pour etudier la fonction en un point autre que 0 on procede en general a unchangement de variable.

8.2.1 Limites locales en 0 des fonctions usuelles en 0

Les limites des fonctions usuelles f(x) lorsque x tend vers 0 sont donnees table 8.

Fonction f(x) Limite en 0 Fonction f(x) Limite en 0

Constante c c sin(x) 0

Puissance xn (n ∈ N∗) 0 cos(x) 1

Racine carree√x 0+ tan(x) 0

Inverse1

x

+∞ si x→ 0+

−∞ si x→ 0−arcsin(x) 0

Log neperien ln(x) −∞ pour x→ 0+ arccos(x)π

2

Exponentielle ex 1 arctan(x) 0

Table 8 – Limites des fonctions usuelles en 0M2.208

8.2.2 Operations sur les limites

Remarques• Memes theoremes que pour les comportements asymptotiques (cf section 7.2.2)• Memes formes indeterminees

M2.209

8.2.2.A Exercices

67

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Module 2

8.2.2.A.a Exercices-types

Exercice 2.62. Exercice type : Limite locale : Calculer limx→0

tan(x)

2 + 1x

.

M2.210

8.2.2.A.b Exercices de TDExercice 2.63. Limites en 0 : Calculer les limites en 0 des fonctions f suivantes :

1 f(x) =arctanx

|x− 3| 2 f(x) =√x2 + 1−

√x2 − 1 3 f(x) =

2x− 3

x+ 54 f(x) =

2x+ |2x+ 5|5x− 1

5 f(x) =|x(x− 1)| ln(x)

x3

M2.211

8.2.3 Equivalence en 0

8.2.3.A Rappel

Equivalence en 0Deux fonctions f et g sont equivalentes au voisinage de 0 si elles sont egales au voisinage de 0 a unepsilon pres. Leurs graphes se tangentent et elles ont la meme limite en 0. On le note : f(x) ∼

x→0g(x)

Exemple 213 (Equivalent de tan). tan(x) ∼x→0

x : on voit bien sur la figure 49 que la fonction x 7→ x

tangente la fonction tan au voisinage de 0 ; par contre, plus x s’eloigne de 0, moins tan(x) et x sontproches.

0 π/2x

2

y tan(x)

x

Figure 49 – Equivalence de tangente et l’identite au voisinage de 0

M2.212

8.2.3.B Equivalences usuelles en 0Les equivalences usuelles au voisinage de 0 sont donnees pour un α ∈ R+∗ table 9.

RemarqueMeme application au calcul de limites que pour les comportements asymptotiques, meme operationslicites

M2.213

8.2.3.C Exercices-typesExercice 2.64. Exercice type : Limites via equivalences : Calculer :

1 limx→0

tan(x)

x2 lim

x→0

(1 + x)13 − (1− x)

13

x

M2.214

68

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Module 2

(1 + x)α ∼x→0

1 + αx (1− x)α ∼x→0

1− αx1

(1− x)α∼x→0

1 + αx1

(1 + x)α∼x→0

1− αx

ln(1 + x) ∼x→0

x ln(1− x) ∼x→0−x

sin(x) ∼x→0

x cos(x) ∼x→0

1

tan(x) ∼x→0

x ax ∼x→0

1 + x ln(a)

arcsin(x) ∼x→0

x arctan(x) ∼x→0

x

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + ... + a0 ∼x→0

le monome aixi de plus

petit degre tel que ai soit non nul

F (x) =P (x)

Q(x)∼x→0

le quotient des equivalents de P (x) et Q(x)

Table 9 – Equivalents usuels lorsque x au voisinage de 0 et pour tout α ∈ R+∗

8.2.4 Calcul de limite en a reel non nul

8.2.4.A Changement de variablePartant de n’importe quel reel a, on peut toujours se ramener en 0 en utilisant un changement devariable (en abrege CV 7).

Theoreme 214 (Changement de variable (CV)). Etant donnee une variable x tendant vers a et unevariable t choisie de sorte que x = u(t) et t = v(x) avec u et v deux fonctions, alors :limx→a

f(x) = limt→b

f (u(t)) avec b = limx→a

v(x)

Remarquev n’est autre que la reciproque de u (v = u−1) vu section 6.5.

Methodologie 215 (CV pour un calcul de limx→a

f(x)). 1. Poser le cv x = u(t) et inverser le cv pour

obtenir t = v(x) ;

2. Reecrire l’expression de f(x) en fonction de t en remplacant, dans la regle de definition de f , tousles x par v(t), pour obtenir f(v(t)) ;

3. Calculer b = limx→a

v(x) ;

4. Conclure que limx→a

f(x) = limt→b

f (u(t)).

M2.215Exercice 2.65. Exercice type : Changement de variable : Calculer les limites suivantes en utilisant les changements de

variables proposes : 1 limx→+∞

(1 +

1

x

)x �

�y =

1

x2 lim

x→−22(2− x) +

1

4

x

x+ 2

�� ��y = x+ 2

M2.216

8.2.4.B Changements de variable usuels

Theoreme 216 (Changements de variable usuels). Les CV usuels sont :• limx→a

f(x) = limy→0

f(y + a)�� ��y = x− a

�� ��x = y + a

• limx→a

f(x) = limy→0

f(a− y)�� ��y = a− x

�� ��x = a− y

• limx→0+

f(x) = limy→+∞

f

(1

y

) �

�y =

1

x

�x =

1

y

• limx→0−

f(x) = limy→−∞

f

(1

y

) �

�y =

1

x

�x =

1

y

M2.217

7. Attention : ne pas le confondre avec l’abreviation de convergence aussi note CV mais dans un autre contexte

69

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Module 2

8.2.4.C Exercices de TDExercice 2.66. Changements de variable : Determiner les limites suivantes en faisant les changements de variablesproposes :

1 limx→1

x2 + 3x− 4

2x2 − x− 1

�� ��u = x− 1 2 limx→2+

1

x− 2ln

(1 +

1

x− 2

) �� ��u = x− 2

3 limx→2−

1

x− 2ln (x− 1)

�� ��u = 2− x 4 limx→+∞

x tan

(1

x

) �

�u =

1

x

5 limx→+∞

x3 ln

(x+ 1

x

) �

�u =

1

x6* lim

x→+∞

(1 +

1

x

)x �

�u =

1

x

M2.218

8.3 Developpements limites

Le developpement limite (en abrege DL) d’une fonction f au voisinage d’un point a est une reecriturede l’expression f(x) lorsque x est au voisinage de a (c’est a dire x ≈ a) sous la forme d’un polynome etd’un reste.Ce DL est tres utile pour le physicien lorsqu’il veut faire l’approximation d’une fonction : il remplace lafonction par le polynome et omet le reste (a condition que l’erreur commise par cette approximationsoit negligeable/tolerable).On peut definir le DL d’une fonction en n’importe quel point a de son domaine de definition.Neanmoins, dans la pratique, on utilise generalement le DL au point 0 (puisque partant d’un point a,on peut toujours effectuer un changement de variable pour se ramener en 0 en utilisant le memeprincipe que pour les limites). Nous nous limiterons donc a ce cas de figure.

8.3.1 Definitions

8.3.1.A Principe

PrincipeLes DLs permettent d’approcher de plus en plus precisement et localement (pour x autour de a)l’image f(x) par un polynome P (x).Un DL aura un ordre qui indique le degre d’approximation de la fonction f .

RemarqueEn general, a = 0 ; sinon, on effectue un changement de variable pour se ramener en 0.

Exemple 217 (DLs de tan en 0). • tan(x) ∼0x : l’equivalent en 0 est aussi le DL a l’ordre 1

• tan(x) = x+x3

3+ x3ε(x) : DL a l’ordre 3 avec un polynome de degre 3

• tan(x) = x+x3

3+

2x5

15+ x5ε(x) : DL a l’ordre 5 avec un polynome de degre 5

RemarqueLes DLs sont incrementales avec l’ordre

M2.219

Definition 218 (DL a l’ordre n). Le developpement limite a l’ordre n au voisinage de 0 d’unefonction f prend la forme d’un polynome a coefficients reels Pn(x) = a0 + a1x+ ...+ anx

n de degre auplus egal a n, de sorte que pour tout x proche de 0, il existe une fonction ε telle quef(x) = Pn(x) + +xnε(x) avec limx→0 ε(x) = 0.

M2.220

8.3.1.B Formule de Taylor-Young

Theoreme 219 (Formule de Taylor-Young pour les DLs en 0). Une fonction f derivable n fois auvoisinage de 0 admet un DL unique, donne par :

f(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 + ...+

f (n)(0)

n!xn + xnε(x)

70

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Module 2

ou la factorielle de n est definie par : n! =

{1× 2× ...× (n− 1)× n , si n 6= 01 , si n = 0

et ε est une

fonction telle que limx→0

ε(x) = 0.

Exercice 2.67. Exercice type : DL avec Taylor-Young : Donner le DL de ex a l’ordre 5.

M2.221

Theoreme 220 (Decrementer l’ordre d’un DL). Pour passer d’un DL a l’ordre n a un DL a un ordrem inferieur, il suffit de tronquer le polynome a l’ordre m, c’est a dire d’effacer toutes les puissances dex de degre superieur a m.

Exemple 221 (DL a l’ordre 3 de ex). Sachant ex = 1 + x+x2

2+x3

6+x4

24+

x5

120+ x5ε(x) (DL a l’ordre

5), alors ex = 1 + x+x2

2+x3

6+ +x3ε(x) a l’ordre 3

M2.222

8.3.1.C Negligeabilite (pour les poursuites d’etudes longues)Les DLs utilisent en realite la notion de negligeabilite et de fonction negligeable ainsi definie :

Definition 222 (Negligeabilite). Une fonction f est dite negligeable devant le monome xn (avec

n ∈ N) au voisinage de 0 (note V0) si f est definie sur V0 et si limx→0

f(x)

xn= 0. On note alors :

∀x ∈ V0, f(x) = o (xn), avec o(xn) se lisant ”petit ’o’ de xn”.

Dans le DL, o(xn) = +xnε(x).Les o(xn) ont des proprietes cruciales pour comprendre comment se manipulent les DLs :

Theoreme 223. Au voisinage de 0, tout monome de type f(x) = xm (avec m ∈ N∗) est negligleabledevant xn (avec n ∈ N∗) a condition que m > n. Autrement dit : xm = o(xn) avec m ≥ nTheoreme 224. La somme d’une fonction f negligeable devant xm (avec m ∈ N∗) et d’une fonction gnegligeable devant xn (avec n ∈ N∗ tel que m ≥ n) est negligeable devant xn, autrement dito(xm) + o(xn) = o(xn)

Demonstration. En effet, limx→0

f(x) + g(x)

xn= limx→0

(f(x)

xmxm

xn+g(x)

xn

). Or

f(x)

xmtend vers 0 (par

negligence de f devant xm,xm

xntend vers 0 car m > n et

g(x)

xntend vers 0 par negligence de g devant

xn. Doncf(x) + g(x)

xntend bien vers 0 lorsque x tend vers 0.

Theoreme 225. Plus generalement, pour m et n entier positif non nul, o(xm) + o(xn) = o(xp) avecp = min(m,n)

Theoreme 226. Dire qu’une fonction f est telle que f(x) = o(1) (autrement dit des f negligeablesdevant le monome constant x0 = 1) signifie simplement que la fonction f(x) tend vers 0 lorsque x tendvers 0.

Demonstration. Il suffit d’appliquer la definition de la negligence, qui dit que f(x) = o(1) si et

seulement si limf(x)

1= 0 !

Theoreme 227. Si f est une fonction negligeable devant le monome xm (i.e. f(x) = o(xm)), alorsf(x)xn (avec m ≥ n) est negligeable devant xm+n : (x)xn = o(xm)xn = o(xm+n)

Theoreme 228. Si f est une fonction negligeable devant le monome xm (i.e. f(x) = o(xm)), alorsf(x)

xn(avec m ≥ n) est negligeable devant xm−n (et devant 1 si n = m) :

f(x)

xn=o(xm)

xn= o(xm−n)

Theoreme 229. Si une fonction f est negligeable devant xn, alors −f est aussi negligeable devant xn,de sorte que : o(xn) = −o(xn)

L’information de signe pour un o() n’a donc pas d’importance ! Attention donc a ne pas ecrire queo(xn)− o(xn) est egal a 0 ; bien au contraire, o(xn)− o(xn) = o(xn) !

71

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Module 2

Definition 230 (Developpement limite a l’ordre n au voisinage de 0). Une fonction f admet undeveloppement limite a l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe un polynomePn(x) = a0 + a1x+ ...+ anx

n de degre au plus egal a n (avec a0, a1, ..., an des coefficients reels) tel que :f(x) = Pn(x) + o (xn) ou o(xn) designe une fonction (non specifiee ici) negligeable devant xn. S’il existece DL est unique et est donne par la formule de Taylor-Young.

8.3.1.D Interpretations (numeriques et graphiques)

8.3.1.D.a Interpretation numerique Approximer la valeur de la fonction f(x) par le polynomePn(x) a l’ordre n revient a commettre une erreur sur f(x), cette erreur etant plus petite que(negligeable devant) xn. Autrement dit, l’erreur commise en approximant f(x) est d’autant plus petiteque x est proche de 0 et que l’ordre n est grand, comme l’illustre la table 10.

Exemple 231 (DL de ex). cf. table 10.

x 0.1 0.01

Valeur exacte ex 1.10517091 1.010050167

DL a l’ordre 1 1 + x 1.1 1.01

DL a l’ordre 2 1 + x+x2

2!1.105 1.01005

DL a l’ordre 3 1 + x+x2

2!+x3

3!1.105166 1.01005016

DL a l’ordre 4 1 + x+x2

2!+x3

3!+x4

4!1.105170 1.0100501670

Table 10 – Erreur commise sur l’approximant de ex par son DL en fonction de l’ordre du DL et de lavaleur de x

M2.223

8.3.1.D.b Interpretation graphique

Exemple 232 (f(x) =1

1 + x). f(x) admet pour DL a l’ordre n :

f(x) = Pn(x) = 1− x+ x2 − x3 + ...+ (−1)nxn + xnε(x) avec :• P0(x) = 1• P1(x) = 1− x• P2(x) = 1− x+ x2

• P3(x) = 1− x+ x2 − x3represente figure 50.

M2.224

8.3.2 Calculs de DL

8.3.2.A DLs usuelsLes developpements limites usuels sont donnees table 11. M2.225

8.3.2.B Operations sur les DLsConsiderons deux fonctions u et v dont on connaıt les DL en 0 a l’ordre n, on peut deduire les DLs detoutes combinaisons des fonctions u et v en appliquant des regles precises presentees ci-dessous.

8.3.2.B.a DL d’une somme

Theoreme 233 (DL d’une somme). Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x) + v(x) = Sn(x) avec Sn(x) = Pn(x) +Qn(x) + xnε(x) tronque a l’ordre n.

Exercice 2.68. Exercice type : DL d’une somme : Determiner le DL a l’ordre 3 de f(x) = cos(x) + sin(x).

M2.226

72

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Module 2

0 1x

1

y

f(x) =1

1 + x

0−0.5 0.5

x

1

y

f(x) =1

1 + xP1(x)

P2(x)

P3(x)

Figure 50 – Comparaison graphique d’une fonction et de ses DLs : des que x s’approche de 0, les DLstangentent de mieux en mieux la courbe de f

8.3.2.B.b DL d’un produit

Theoreme 234 (DL d’un produit). Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x).v(x) = Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) = Pn(x).Qn(x) tronque a l’ordre n.

Exercice 2.69. Exercice type : DL d’un produit : Determiner le DL a a l’ordre 2 de f(x) = ex. cos(x).

M2.227

8.3.2.B.c DL d’un quotient

Theoreme 235 (DL d’un quotient). Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(x)

v(x)= Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) obtenu par division polynomiale suivant les puissances croissantes de

Pn(x) par Qn(x) tronque a l’ordre n.

Exercice 2.70. Exercice type : DL d’un quotient : Determiner le DL a l’ordre 2 de f(x) =ln(1 + x)

cos(x).

M2.228

8.3.2.B.d DL d’une composee

Theoreme 236 (DL d’une composee). Soient u(x) = Pn(x) + xnε(x) et v(x) = Qn(x) + xnε(x). Alorsu(v(x)

)= Sn(x) + xnε(x) avec Sn(x) = Pn(Qn(x)) tronque a l’ordre n.

Exercice 2.71. Exercice type : DL d’une composee : Determiner le DL a l’ordre 2 de :

1 f(x) = ln(1 + sin(x)) 2 g(x) = ln(1 + 3x) 3 h(x) = sin(−2x)

M2.229

8.3.2.C Exercices de TDExercice 2.72. DL d’une somme : Determiner le DL a a l’ordre 3 de u(x) + v(x) lorsque u(x) = ex et v(x) = sin(x).

Exercice 2.73. DL d’un produit : Determiner le DL a l’ordre 2 de u(x).v(x) avec u(x) = ex et v(x) = sin(x).

73

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Module 2

f(x) ∼0

Pn(x) du DL a l’ordre n

(1 + x)α 1 + αx 1 + αx+ ...+α(α− 1) . . . (α− n+ 1)

n!xn + xnε(x)

1

1 + x1− x 1− x+ x2 − x3 + . . .+ (−1)nxn + xnε(x)

ln(1 + x) x x− x2

2+x3

3+ . . .+

(−1)n+1

nxn + xnε(x)

ex 1 + x 1 + x+x2

2+x3

6+ . . .+

xn

n!+ xnε(x)

sin(x) x x− x3

6+

x5

120− . . .+ (−1)p

(2p+ 1)!x2p+1 + x2p+1ε(x)

cos(x) 1 1− x2

2+x4

24− . . .+ (−1)p

(2p)!x2p + x2pε(x)

tan(x) x x+x3

3+

2x5

15+ x5ε(x)

arcsin(x) x x+x3

6+

3x5

8+ x5ε(x)

arctan(x) x x− x3

3+

x5

120+ x5ε(x)

Table 11 – DLs usuels

Exercice 2.74. Calcul de DLs : Donner le developpement limite en 0 a l’ordre 2 des fonctions de la variable xsuivantes :

1sin(x)

1 + x22

1

1 + sin(x)3 tan2(x) 4

ln(1 + x)

1 + x5 sin

(π4

+ x)

6 sinc(x) =sin(πx)

πx7 xex 8

x

1− ex

M2.230

8.3.3 Applications : Limites

8.3.3.A DL et limites

Theoreme 237 (DL et limite). Si une fonction f admet un DL en 0 a l’ordre n de la forme Pn(x) ouPn(x) est un polynome de degre n, alors : lim

x→0f(x) = lim

x→0Pn(x)

Exercice 2.75. Exercice type : Limite : Calculer la limite en 0 de f(x) =ln(1− x)

x.

M2.231

8.3.3.B Exercices de TDExercice 2.76. Calcul de limites : Calculer les limites quand x tend vers 0 des fonctions suivantes, en utilisant les DLsusuels :

1 f(x) =x− arcsin(x)

x− sin(x)2 f(x) =

x2 sin(x)

x− sin(x)3 f(x) =

√2x+ 1−

√x+ 1

x

4 f(x) =1− e−x

2

1− cos(x)5 f(x) =

ax − bx

x6 f(x) =

ln (cos(ax))

ln (cos(bx))

ou a et b sont deux parametres reels strictement positifs.

Exercice 2.77. Calcul de limites (DS 2008) : Calculez les limites suivantes :

1 limx→+∞

3√

1 + x3 − (1 + x) 2 limx→±∞

x23(1+ 1x ) 3 lim

x→0

1

xln

(ex − 1

x

)

74

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Module 2

M2.232

Exercice 2.78. Limites (pour les poursuites d’etudes longues) :Calculer les limites suivantes :

1 limx→+∞

x ln

(x+ 1

x− 1

)2 lim

x→1

ln(x)√x− 1

3 limx→1

x− (n+ 1)xn+1 + nxn+2

(1− x)2

4 limx→1

cos(πx/2)

x− 15 lim

x→±∞x(

21/x − 1)

6 limx→0±

x(

21/x − 1)

7 limn→+∞

(n+ 1

n

)n8 lim

x→+∞

cos(π2x)

x− 19 lim

x→1

xn − 1

x− 1

M2.233

9 Synthese : Etude de fonctions

Objectif de l’etude de fonctionTracer le graphe de la fonction sans calculatrice

M2.234

9.1 Techniques d’etude de fonctions

Methodologie 238 (Etude d’une fonction). 1. Determiner l’ensemble d’etude ;

2. Determiner le tableau de variation sur l’ensemble d’etude ;

3. Etudier les branches asymptotiques de l’ensemble d’etude ;

4. Etudier quelques comportements locaux (dependant du tableau de variation) ;

5. Tracer le graphe.M2.235

9.2 Exercices

Exercice 2.79. Exercice type : Extrait du DS 2008-2009 :

Etudier la fonction f(x) = x

(x2 − 1

6x2 − 4

).

1. Ensemble de definition et de derivabilite (1 pts).

2. Etude de la parite (0.5 pts) et ensemble d’etude (0.5 pts).

3. Derivee de f (2 pts).

4. Sens de variation (on pourra au besoin poser u = x2) (2 pts).

5. Limite de f en +∞ (1 pts)

6. limx→

(√2√3

)− f(x) et limx→

(√2√3

)+f(x) (2 pts) avec

�u = x−

√2√3

.

7. DL a l’ordre 1 de f(x) au voisinage du point x = 0 (1 pts).

8. Equation de l’asymptote au graphe de la fonction f en +∞ (1 pts).

9. Graphe de f (sachant

√2

3= 0.81)

M2.236

Exercice 2.80. Etude de fonction (DS 2005) :

Soit la fonction f(x) = Arctan

(x+ 1

x

). Donner le domaine de definition de f . Calculer sa derivee et donner les

limites quand x tend vers ±∞, 0− et 0+. Tracer grossierement son graphe.

M2.237

75

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Module 3

Module 3 — Calcul integral et equations differentielles

M3.238

10 Calcul integral

Le processus d’integration est en quelque sorte l’etape inverse de la derivation. Il permet d’accumulerles valeurs d’une fonction (ou d’un signal) sur un intervalle donne ; il est tres souvent utilise enelectronique ou en telecommunications pour des calculs d’energie.

10.1 Primitive

10.1.1 Definitions

10.1.1.A Primitives

Definition 239 (Primitive). Soit f une fonction reelle de la variable reelle, definie et continue surl’intervalle [a; b]. Une primitive de la fonction f est une fonction F de la variable x definie de [a; b]sur R tel que : pour tout x ∈ [a; b], F ′(x) = f(x).

Exemple 240 (Primitives de la fonction inverse). F (x) = − 1

x2est une primitive de la fonction inverse

f(x) =1

x

Corollaire 241. Une primitive F de f sur [a; b] est necessairement derivable sur [a; b] et de deriveeF ′(x) = f(x) sur [a; b]

M3.239

Notation (pour les poursuites d’etudes longues) : Une primitive de f est notee F =

∫f =

∫f(t)dt ou

F (x) =

∫ x

f(t)dt ou t est une variable muette appelee variable d’integration. Il faut bien faire

attention a ne pas utiliser le meme nom pour la variable definissant F (ici x) et pour la variabled’integration (ici t), au risque de faire des erreurs dans les calculs.Exercice 3.1. Exercice type : Primitives : Soit f une fonction. Donner une primitive F de f ′.

Theoreme 242 (Primitive et derivee). • Une primitive de la derivee de f est f autrement dit uneprimitive de f ′ est f .

• La derivee d’une primitive de f est f autrement dit F ′ = f .M3.240

10.1.1.B Condition d’existence d’une primitive

Theoreme 243 (Th. de Darboux : CNS 8 d’existence d’une primitive). Pour qu’une fonction fadmette une primitive F sur l’intervalle [a; b], il faut qu’elle soit continue sur [a; b].

Rappel M2Une fonction f derivable sur [a; b] est necessairement continue ; elle admettra donc une primitive sur[a; b].

M3.241

10.1.1.C Une infinite de primitivesDans la suite, f designe une fonction reelle de la variable reelle continue sur un intervalle [a; b].

Theoreme 244 (Ensemble des primitives de f). f possede en fait une infinite de primitives, toutesdefinies a une constante c pres, appelee constante d’integration. Les primitives de f forment doncun ensemble des fonctions note

{x 7→ F (x) + c/c ∈ R

}. Cet ensemble se lit ”l’ensemble des fonctions

qui a x associe F (x) + c tel que c soit une constante reelle”.

8. Condition necessaire et suffisante

76

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Module 3

Demonstration. Soit F1 une primitive de f sur [a; b]. Alors la fonction F2 definie par F2(x) = F1(x) + c(avec c constante reelle quelconque) est aussi une primitive de f sur [a; b]. En effet, par definition d’uneprimitive, F1 est derivable sur [a, b] avec F ′1(x) = f(x). Or F2 est derivable sur [a, b] (comme somme deF1 et de la fonction constante c toutes deux derivables sur [a, b]) et pour tout x de [a, b] ,F ′2(x) = (F1(x) + c)′ = F ′1(x) = f(x) (car une constante est de derivee nulle). Donc, commeF ′2(x) = f(x), F2 verifie bien la definition d’une primitive de f .

Exemple 245 (Primitives de l’exponentielle). Toutes les primitives de la fonction f(x) = ex sont lesfonctions ex + c avec c une constante reelle quelconque.

M3.242

10.1.1.D Une unique primitive dont le graphe passe par un point donne

Theoreme 246 (Une seule primitive pour une condition de valeur donnee). Il n’existe qu’une seule etunique primitive de f dont la valeur en un point x0 est y0 : c’est la fonction F qui satisfait au systeme

d’equations :

{F ′ = fF (x0) = y0

.

Trouver LA primitive QUIConnaissant une primitive F1 de f , trouver l’unique primitive F2 de f dont la valeur en x0 est y0consiste a trouver l’unique valeur de la constante d’integration c telle que y0 = F1(x0) + c. Cette uniquevaleur est copt = y0 − F1(x0). F2 est donc definie pour tout x ∈ [a, b] parF2(x) = F1(x) + copt = F1(x) +

(y0 − F1(x0)

).

Exercice 3.2. Exercice type : La primitive : Trouver la primitive de ex qui s’annule en 2.

M3.243

10.1.1.E Resume

Une question de vocabulaireAttention donc au vocabulaire employe : Pour une fonction f , admettant une primitive F :• Toutes les primitives de f sont toutes les fonctions de la forme F + c avec c la constante

d’integration• La primitive de f qui vaut y0 en x0 est la seule fonction F +

(y0 − F (x0)

)• Une primitive de f est par exemple F + 2Ces primitives ne sont valables que sur un intervalle I ou la fonction f est continue (ou au moinsderivable).

M3.244

10.1.2 Calcul de primitives

Calculer une primitive est une operation delicate ; elle consiste en premier lieu a utiliser des tables deprimitives usuelles qu’il faut connaıtre par coeur puis a exploiter des regles d’assemblage de fonctions.

10.1.2.A Primitives des fonctions usuellesLes primitives des fonctions usuelles sont listees table 12 . Elles s’obtiennent simplement en relisant letableau des derivees usuelles a l’envers.

Rappel : Notation ensemblisteN \ {0, 1} signifie l’ensemble des entiers naturels (N) prive des valeurs 0 et 1 : c’est donc l’ensemble{2, 3, 4, 5, ...,+∞}. De meme, R \ {−1} est l’ensemble des reels (R) prives de la valeur −1.

M3.245

10.1.2.B Operations sur les fonctionsComme pour les derivees, on peut deduire la primitive d’une fonction f en l’ecrivant d’abord comme unassemblage de deux fonctions (plus simples) u et v, dont on connait les primitives (respectivement) U etV , puis en utilisant les regles de calcul pour les assemblages de fonctions. Attention tout de meme aufait que les regles pour les primitives ne sont pas les memes que pour les derivees (il y en a moins).Soient u une fonction de primitive U , v une fonction de primitive V et λ ∈ R∗. La table 13 donne lesregles de calcul d’une primitive de f lorsque f est un assemblage simple des fonctions u et v.Exercice 3.3. Exercice type : Primitives : Trouver toutes les primitives de :

77

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Module 3

Fonction f(x) Primitives F (x) Validite

Constante k (avec k ∈ R) kx+ c R Terminale

Inverse1

xln |x|+ c R∗ Terminale

Pu

issa

nce

Monome xn (avec n ∈ N) F (x) =xn+1

n+ 1+ c R Terminale

Racine n-ieme n√x = x

1n (avec n ∈ N∗) x

1n+1

1n + 1

+ c R+

Puissance d’inverse1

xn= x−n (avec n ∈ N \ {0, 1}) 1

(1− n)xn−1R∗ Terminale

Puissance xα (avec α ∈ R \ {−1}) xα+1

α+ 1+ c R∗+

Exp

o Exponentielle ex ex + c R Terminale

Expo. a base a ax = ex ln(a) (avec a ∈ R+∗ )

ax

ln(a)+ c R

Tri

gon

om

etr

ie

Cosinus cos(x) sin(x) + c R Terminale

Sinus sin(x) − cos(x) + c R Terminale

1 + tan2(x) tan(x) + c R M2

− 1√1− x2

arccos(x) + c ]− 1; 1[ M2

1√1− x2

arcsin(x) + c ]− 1; 1[ M2

1

1 + x2F (x) = arctan(x) + c R M2

Table 12 – Primitives des fonctions usuelles

1 f(x) =2

x+ 3x 2 g(x) = e3x +

1

5cos(2x)

M3.246

Si f peut s’ecrire comme la derivee d’un produit, d’un quotient ou d’une composee faisant intervenir lesfonctions u et v, on peut aisement donner une primitive de f grace au theoreme 242. Ce procede estdonne table 14.

Exercice 3.4. Exercice type : Primitive de fractions rationnelles : Donner toutes les primitives de f(x) =2x+ 2

x2 + 2x+ 2.

M3.247

10.1.3 Techniques pour le calcul de primitives

10.1.3.A Cas general

Methodologie 247 (Recherche de primitives de f dans le cas general). 1. Reconnaıtre les fonctionsusuelles dans f et donner une de leur primitive

2. Reconnaıtre l’assemblage de fonctions utilisees (somme, derivee, amplification, composee, ...)

3. Integrer en utilisant les tables en n’oubliant pas la constante d’integration

Exercice 3.5. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :

1 f(x) = 2x(1 + x2)2 2 P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + a4x4

3 f(x) = 2 cos(3x) + 5 sin(1

5x)

78

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Module 3

Fonction f(x) Primitives

Somme f(x) = u(x) + v(x) F (x) = U(x) + V (x) + c

Difference f(x) = u(x)− v(x) F (x) = U(x)− V (x) + c

Amplification f(x) = λu(x) F (x) = λU(x) + c

Homothetie f(x) = u(λx) F (x) =1

λU(λx) + c

Table 13 – Primitives pour un assemblage usuel f de fonctions u et v dont les primitives sont respecti-vement U et V , avec λ ∈ R∗

Derivee Fonction f(x) Primitives

d’un produit f = (u.v)′ f(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x) F (x) = u(x).v(x) + c

d’un quotient f =(uv

)′f(x) =

u(x)′v(x)− u(x)v(x)′

v(x)2F (x) =

u(x)

v(x)+ c

d’une composee f = (u ◦ v)′ f(x) = v′(x)u′(v(x)

)F (x) = u

(v(x)

)+ c

Table 14 – Primitives d’une fonction f lorsqu’elle s’ecrit comme une derivee faisant intervenir les fonc-tions u et v.

M3.248

10.1.3.B Cas particulier ou f contient des fonctions trigonometriques

Methodologie 248 (Recherche des primitives de f lorsque f contient des fonctions trigonometriques).Lineariser la fonction en somme de cos et de sin (a la puissance 1) puis appliquer la methodologie 247(cas general)

Exercice 3.6. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :

1 f(x) = sin2(x) 2 g(x) = cos2(x) 3 h(x) = cos(3x) sin(2x)

M3.249

10.1.3.C Cas particulier ou f est une fraction rationnelle

Methodologie 249 (Recherche des primitives de f lorsque f est une fraction rationnelle avec des elements simples de 1ere espece (poles simples) et de certain 2eme espece). 1.

Si f =u′

u, alors F (x) = ln |u(x)|+ c

2. Si f =u′

un(avec n ∈ N∗), alors F (x) =

1

1− n1

un−1(x)+ c

3. Si f =u′v − uv′

v2, alors F (x) =

u(x)

v(x)

4. Sinon, autrement dit dans tous les autres cas, decomposer f en elements simples M1 , pour

obtenir une expression de la forme : f(x) = P (x) +A

x− a +B2x+ b

x2 + bx+ cavec P (x) un

polynome. Trouver ensuite une primitive de chacun des termes :• le polynome P (x) en utilisant la methodologie 247 (cas general)

• les elements simples de typeA

x− a ayant pour primitive A ln∣∣x− a∣∣

79

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Module 3

• les elements simples de type B2x+ b

x2 + bx+ cayant pour primitive B ln

∣∣x2 + bx+ c∣∣

puis ajouter toutes les primitives obtenues.M3.250

Exercice 3.7. Exercice type : Primitives : Donner toutes les primitives de :

1 f(x) = 5x− 1

x2 + x− 62 g(x) =

x3 + x+ 1

x2 + 1

M3.251

10.1.3.D Exercices de TDExercice 3.8. Calcul de primitive : Pour chacune des fonctions f suivantes, donner toutes les primitives F (x) de f etl’ensemble de definition des primitives, en utilisant les regles d’operations sur les fonctions :

1 f(x) = 2x3 + 5x2 − 4x+ 1 2 f(x) =x+ 1√x

3 f(x) = 2x(x2 + 1

)24 f(x) =

(x2 + 1

)35 f(x) =

1

(x+ 1)56 f(x) =

sin(x)

cos2(x)

7 f(x) = ex(x+ 1) 8 f(x) = (x2 + 1) sin(x3 + 3x− 3) 9 f(x) =x+ 3√

x2 + 6x+ 7

10 f(x) =x2 + 2x+ 2√

x3 + 3x2 + 6x+ 111 f(x) =

cos(x)√9− sin2(x)

12 f(x) = x√

1 + x2

M3.252

Exercice 3.9. Primitives de fractions rationnelles : Trouver une primitive des fractions rationnelles suivantes :

1 f(x) =x+ 1

x2 + 12 f(x) =

x2 + x+ 1

x2 − 3x+ 23 f(x) =

x3 + 1

x− 1

4 f(x) =1

x2(x2 − 3x+ 2)5 f(x) =

1

(x− 1)(x2 + 1)6 f(x) =

x+ 3

x+ 2

7 f(x) =5x− 12

x(x− 4)

M3.253

10.2 Integrales propres dites integrales de Riemann

10.2.1 Integrales (propres)

10.2.1.A Definitions

10.2.1.A.a Une aire algebrique

Definition 250 (Integrale de f de a a b). Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b].L’integrale de f de a a b est l’aire algebrique (signee) de la surface dite ”sous” le graphegeometrique Gf de f entre les droites d’equation x = a et x = b. Elle correspond a l’aire de la surfacedelimitee par les 4 points : A1(a, 0), A2(a, f(a)), B2(b, f(b)) et B1(b, 0) illustree figure 51. Lorsque cettesurface est balayee dans le sens horaire, l’integrale est positive ; sinon, elle est negative. On la note∫ b

a

f ou

∫ b

a

f(x)dx. f est alors appele integrande.

Remarques

Dans la notation

∫ b

a

f(x)dx,

• dx designe la differentielle de x, autrement dit une petite variation de x. dx est un symbolemathematique a part entiere et n’est pas d× x.

• x est la variable d’integration. C’est une variable muette qu’on peut remplacer par n’importe quel

autre nom de variable, par exemple t ou u : on a donc

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(t)dt =

∫ b

a

f(u)du.

M3.254

80

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Module 3

Gf

A1(a, 0)

A2(a, f(a))

B2(b, f(b))

B1(b, 0)

∫ b

a

f(x)dx

x

y

Figure 51 – Integrale

∫ b

a

f comme aire sous la courbe

10.2.1.A.b Approximation de l’integrale par une somme de rectanglesSupposons qu’on dispose de n mesures de la fonction : f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn−1) aux points x0,x1, x2, ..., xn−1 regulierement espaces d’une distance δx = x1 − x0 ≈ b−a

n dans l’intervalle [a; b]. Enelectronique et en telecommunications, on parle d’un echantillonnage de la fonction a la periode δx (ou

a la frequence1

δx) : les points x0, x1, x2, ..., xn−1 sont les instants d’echantillonnage tandis que les

valeurs f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn−1) sont les echantillons. En mathematiques, l’ensemble{x0, x1, x2, ..., xn−1} est appele subdivision de l’intervalle [a; b].

Gf

x0

f(x0)

f(x

0)δx

δx

x1

f(x1)

f(x

1)δx

δx

x2

f(x2)

f(x

2)δx

δx

x3

f(x3)

f(x

3)δx

δx

xn−1

f(xn−1)

f(xn−1)δx

δx

...

a b

x

y

Figure 52 – L’integrale approchee (par valeur inferieure) par l’aire de n rectangles

On peut alors approcher ce qu’illustre la figure 52 l’aire sous la courbe Gf entre x = a et x = b ou

autrement dit

∫ b

a

f(x)dx, par l’aire de n rectangles, chacun etant de largeur δx et de hauteur l’une des

mesures de la fonction :

f(x0)δx+ f(x1)δx+ f(x2)δx+ ...+ f(xn−1)δx ≈∫ b

a

f(x)dx

M3.255

On peut meme parler d’approximation par valeur inferieure car l’aire grise des rectangles est plus petiteque l’aire rouge de l’integrale : pour etre mathematiquement precis, on pourrait remplacer le symbole ≈

81

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Module 3

par ≤.En utilisant le symbole mathematique de sommation 9, et qui se lit somme pour i variant de 0 an− 1 des termes f(xi)δx, cette equation se reecrit :

n−1∑i=0

f(xi)δx ≈∫ b

a

f(x)dx

Lorsqu’on fait tendre n vers +∞ (et lorsque la fonction f est integrable), alors :• le nombre de mesures de la fonction f(x0), f(x1), ..., f(xn−1) devient infini, autrement dit, on

exploite toutes les valeurs f(x) prises par la fonction f dans l’intervalle [a; b]• l’intervalle separant les points de mesures δx devient tres petit et tend vers 0 : la difference δx tend

vers la differentielle dx (variation infiniment petite sur x)

• l’erreur commise dans l’approximation de l’aire

∫ b

a

f(x)dx par la somme de rectangles devient de plus

en plus petite et tend vers 0 : on dit que la somme

n−1∑i=0

f(xi)δx converge vers

∫ b

a

f(x)dx

On a donc :

limn→+∞

n−1∑i=0

f(xi)δx =

∫ b

a

f(x)dx

Conclusions• Une integrale est la somme de toutes les valeurs f(x) que prend la fonction f entre x = a et x = b

ponderees par la quantite infiniment petite dx.• Dans le calcul d’une integrale, il faudra systematiquement prendre en compte la regle de definition

qui s’applique pour f dans l’intervalle d’integration [a; b].M3.256

Exercice 3.10. Exercice type : Integrale d’une porte : Calculer l’integrale

∫ 5

−5

Π2(x)dx ou ΠT designe la fonction

porte de la largeur T

M3.257

10.2.1.A.c Integrabilite au sens de Riemann (pour les poursuites d’etudes longues)L’approximation precedente, faite par valeur inferieure car les rectangles sont places sous la courbe,peut aussi se faire par valeur superieure comme l’illustre la figure 53 : il s’agit cette fois de considerer lesn mesures de la fonctions f(x1), f(x2), ..., f(xn−1), f(xn) aux points x1, x2, ... xn distants les uns desautres de δx puis les n rectangles de largeur δx et de hauteur l’une des mesures de la fonction. On aalors : ∫ b

a

f(x)dx ≤ f(x1)δx+ f(x2)δx+ ...+ f(xn−1)δx+ f(xn)δx

En utilisant le symbole de sommation, on obtient le resultat suivant :

Definition 251 (Integrabilite au sens de Riemann). En utilisant les approximations par valeurinferieure et superieure d’une integrale, on a pour toutes fonctions f :

n−1∑i=0

f(xi)δx ≤∫ b

a

f(x)dx ≤n∑i=1

f(xi)δx

f est dite integrable au sens de Riemann sur [a; b] si et seulement si lorsque n→ +∞ les sommesn−1∑i=0

f(xi)δx et

n∑i=1

f(xi)δx convergent vers la meme limite L. Cette limite L est

∫ b

a

f(x)dx.

9. qui sera tres utilise a partir du M5

82

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Module 3

f(x

1)δx

δxf

(x2)δx

δx

f(x

3)δx

δx

f(x

4)δx

δx

f(xn)δx

δx

...

a b

Gf

f(x1)f(x2)

f(x3)f(x4)

f(xn)

x

y

Figure 53 – L’integrale approchee (par valeur superieure) par l’aire de n rectangles

10.2.1.B Calcul d’integrales

Definition 252 (Integrale (propre)). Soit f une fonction continue sur [a; b] ayant pour primitive lafonction F sur [a; b]. Alors f est integrable sur [a; b] et son integrale entre a et b est le nombre reel :∫ b

a

f(x)dx =[F (x)

]ba

= F (b)− F (a)

Remarques :

• La valeur de l’integrale

∫ b

a

f(x)dx ne depend pas de la constante d’integration c choisie pour definir

une primitive F de f .

• Le terme[F (x)

]ba

est une expression/notation mathematique designant la difference F (b)− F (a) ;cette expression represente un nombre reel.

• On peut facilement calculer l’integrale de f entre a et b si on dispose d’une primitive F de f .N’oubliez pas cependant que cette integrale (par definition) est aussi la ”somme” de toutes les valeursf(x) prises par f lorsque x varie entre a et b. La regle de definition utilisee pour f(x) dans le calculde l’integrale est donc celle valable pour x ∈ [a; b]. M3.258

Exercice 3.11. Exercice type : Integrales : Calculer :

1

∫ 2

1

sign(x)dx 2

∫ −1

−2

|x|dx

Exercice 3.12. Exercice type : Integrales : Montrer que pour toute fonction f continue au voisinage d’un reel a,∫ a

a

f(t)dt = 0

M3.259

10.2.1.C Applications

Definition 253 (Grandeurs physiques en electronique). Soit une tension U(t) fonction du temps t.

• La valeur moyenne de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est : Umoy =1

b− a

∫ b

a

U(t)dt

• La valeur efficace 10 de U(t) entre l’instant t = a et l’instant t = b est : Ueff =

√1

b− a

∫ b

a

U2(t)dt

10. valeur de la tension continue qui provoquerait une meme dissipation de puissance que U(t) si elle etait appliquee auxbornes d’une resistance

83

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Module 3

Exercice 3.13. Exercice type : Tension en electronique : Soit la tension U(t) = U0 sin(2πωt) variable au cours du

temps t avec T =1

ωet ω deux constantes reelles. Donner la valeur moyenne puis la valeur efficace de U(t) sur [0;T ].

M3.260

10.2.1.D Fonctions integrales (pour les poursuites d’etudes longues)Les primitives F (x) d’une fonction f peuvent se definir directement a partir des integrales enchoisissant pour borne d’integrale la variable x les definissant. C’est la notion de fonction integrale.Cette fonction permet aussi de mesurer les variations de l’integrale (donc de l’aire sous la courbe Gf ) enfonction de l’une de ces bornes.

Definition 254 (Fonction integrale). Soit f une fonction continue de [a; b] dans R et x0 ∈ [a; b]. Lafonction integrale est la fonction definie par :

F :

[a; b] → R

x 7→∫ x

x0

f =

∫ x

x0

f(t)dt

F est l’unique primitive de f qui s’annule en x0. Cette fonction est definie, continue et derivable sur[a; b], avec pour tout x ∈ [a; b], F ′(x) = f(x).

Exemple 255 (Fonction integrale de la fonction inverse). ln(x) =

∫ x

1

1

tdt pour x > 0 est LA primitive

ou de maniere equivalente la fonction integrable de x 7→ 1

xsur R+

∗ qui s’annule en 1.

Theoreme 256 (Sens de variation de la fonction integrale). Soit I un intervalle de [a; b]. Le sens devariation de F est donne par le signe de f :• si, pour tout x ∈ I f(x) ≥ 0, alors F est croissante ;• si, pour tout x ∈ I f(x) ≤ 0, alors F est decroissante.

Demonstration. C’est l’application directe de la formule des accroissements finis vue au M2 .

10.2.2 Proprietes des integrales propres

Soient trois points a, b, c reels (fixes ou variables) et f une fonction integrable sur un intervalle incluanta, b et c.

Theoreme 257 (Relation de Chasles).

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx autrement dit, l’aire

sous la courbe Gf de a a b est la somme de l’aire sous la courbe de a et c plus celle de c a b.

Remarque : La relation de Chasles est valable meme si c < a ou c > b

Theoreme 258 (Inversion des bornes).

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx

Exercice 3.14. Exercice type : Chasles : Calculer

∫ 2

0

(Π2(x) + x)dx.

M3.261

Theoreme 259 (Integrale et symetrie graphique). • Si la fonction f est paire, alors∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx.

• Si la fonction f est impaire, alors

∫ a

−af(x)dx = 0.

• Si la fonction f est periodique de periode T , alors

∫ a+T

a

f(x)dx =

∫ T

0

f(x)dx =

∫ T2

−T2f(x)dx.

Exercice 3.15. Exercice type : Periode : Calculer

∫ 5π

cos(x)dx.

M3.262

84

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Module 3

10.2.3 Techniques d’integration

Dans cette section, on s’interesse aux methodes qui, connaissant une fonction f definie et continue sur

l’intervalle [a; b] permettent de calculer I =

∫ b

a

f(x)dx, avec a, b deux reels fixes ou variables.

Methodologies

1. Rechercher une primitive F de f puis calculer F (b)− F (a).

2. Utiliser une integration par partie pour se ramener a la methodologie precedente.

3. Effectuer un changement de variable pour se ramener a la methodologie precedente.M3.263

10.2.3.A Recherche de primitives

Methodologie 260 (Recherche de primitives).

∫ b

a

f(x)dx se calcule en trouvant une primitive F de f

puis en evaluant[F (x)

]ba

= F (b)− F (a). F est recherchee avec les methodologies 247, 248 et 249, dejavues pour le calcul de primitive et qui se resument de la sorte :• f = assemblage de fonctions usuelles ⇒ tables des primitives usuelles et operations sur les fonctions• f = fonctions trigonometriques ⇒ Linearisation• f = fraction rationnelle simple

→ mettre f en relation avec duu′

u, du

u′

unou du

u′v − uv′v2

puis integrer

→ sinon, faire une DES 11 de f puis integrer lesA

x− a et2x+ b

x2 + bx+ cM3.264

10.2.3.A.a Exercices-typesExercice 3.16. Exercice type : Integrales : Calculer :

1

∫ 2

1

dt

1 + t22

∫ 2

1

1

x2(x+ 1)dx

M3.265

10.2.3.A.b Exercices de TDExercice 3.17. BTS Groupement B 2003 : Soit f la fonction definie par f(x) = (2x+ 3)e−x.

1. Montrer que f admet une primitive sur R.

2. Montrer qu’une primitive de f sur R est la fonction F definie par : F (x) = −(2x+ 5)e−x.

3. Montrer que

∫ 12

0

f(x)dx = 5− 6e−12 .

M3.266

Exercice 3.18. Calcul d’integrales : Calculer les integrales suivantes :

1

∫ 1

0

(6x2 − 5)(2x3 − 5x+ 1)dx 2

∫ 2

−2

|x2 + 2x− 3|dx 3

∫ π/4

0

tan(x)dx =

4

∫ π/4

0

tan2(x)dx 5

∫ 2π

−2π

| sin(t)|dt 6

∫ e2

e

1

t ln(t)dt

M3.267

Exercice 3.19. BTS Groupement E 2002 : Soit f et h deux fonctions definies sur l’intervalle [0; 5] par :

f(x) =1

4(x3 − 9x2 + 24x) et h(x) = −x2 + 6x.

1. Etudier et representer graphiquement les fonctions f et h sur l’intervalle [0; 5].

2. En notant Gf et Gh les graphes geometriques de f et h, intuitez la position relative de Gf et Gh dans le plan.Justifier ensuite votre reponse par le calcul.

3. Calculer l’aire S de la partie du plan comprise entre les deux graphes. On donnera une valeur exacte.

M3.268

11. Decomposition en elements simples

85

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Module 3

10.2.3.B Integration Par Partie (IPP)L’integration par partie est une technique particulierement utile lorsqu’on cherche a integrer unproduit de deux fonctions qui ne serait pas une composee.

Theoreme 261 (Integration par partie). Si la fonction f a integrer s’ecrit f(x) = u′(x)v(x) avec u, vdeux fonctions definies et derivables sur [a; b] et de derivees respectives u′ et v′ elles-meme continues sur[a; b] alors la formule de l’integration par partie consiste a ecrire :

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

u′(x)

u(x)

v(x)

v′(x)

dx =[u(x) · v(x)

]ba−∫ b

a

u(x)v′(x)dx

M3.269

Methodologie 262 (IPP). 1. Chercher u′ et v tels qu’on puisse ecrire f(x) = u′(x)v(x) ;

2. Determiner une primitive u de u′ ;

3. Calculer la derivee v′ de v ;

4. Appliquer la formule de l’IPP

∫ b

a

f(x)dx =[u(x) · v(x)

]ba−∫ b

a

u(x)v′(x)dx et calculer[u(x) · v(x)

]ba

puis integrer

∫ b

a

u(x)v′(x)dx avec les differentes methodologies.

M3.270

Choix des fonctions u′ et v de l’IPPCe choix est arbitraire et requiert de la pratique et de l’intuition. Cependant, l’idee principale est que∫ b

a

u(x)v′(x)dx soit plus facile a calculer que

∫ b

a

u′(x)v(x)dx : on aura donc souvent tendance a choisir :

• comme terme u′(x), les fonctions trigonometriques, les exponentielles ;• comme terme v(x), les polynomes, les logarithmes.

M3.271

10.2.3.B.a Exercices-typesExercice 3.20. Exercice type : IPP : Calculer avec une IPP :

1

∫ 2

1

(2x+ 1)exdx 2

∫ 3

1

x cos(x)dx

M3.272

10.2.3.B.b Exercices de TDExercice 3.21. IPP : Calculer les integrales suivantes en faisant une integration par partie :

1

∫ π

0

x sin(x)dx 2

∫ b

a

xα ln(x)dx avec 0 < a < b et α > 1

3

∫ 1

0

ln(x+

√x2 + 1

)dx 4

∫ 0

a

xe−xdx avec a ∈ R

Exercice 3.22. IPP : Soit t ∈ R+∗ fixe. Calculer les integrales suivantes en utilisant une IPP :

1

∫ t

0

e2x(3x2 + 1)dx 2

∫ t

0

e−x(x3 + 5x2)dx 3

∫ t

0

ln(x2 + 1)dx

4

∫ t

1

x2 ln(x)dx 5

∫ t

0

arctan(x)dx

M3.273

86

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Module 3

10.2.3.C Le Changement de Variable (CV)

Theoreme 263 (Le changement de variable). Soit f(x) une fonction integrable sur [a; b] et l’integrale

I =

∫ b

a

f(x)dx. On pose�� ��x=u(t) ou u est une fonction de la variable t qui est :

• definie et derivable sur [α;β] de derivee u′(t) =dx

dttelle que dx = u′(t)dt ;

• monotone sur [α;β] donc ayant une reciproque u−1 telle que t = u−1(x) ;• telle que u(α) = a et u(β) = b et donc telle que α = u−1(a) et β = u−1(b).Alors :

I =

∫ b

a

f( x ) dx =

∫ β

α

f(

u(t))u′(t)dt

M3.274

Methodologie 264 (CV). 1. Poser le CV�� ��x=u(t) et l’inverser pour avoir

�� ��t = u−1(x) ;

2. Regle de definition : reecrire la regle de definition de f(x) en remplacant l’ancienne variable xpar la nouvelle t ;

3. Calcul des bornes�� ��α et

�� ��β : calculer ce que vaut t lorsque x = a, puis lorsque x = b ;

4. Calcul de la differentielle�� ��dx = u′(t)dt : en interpretant x comme une fonction de t, calculer

u′(t) =dx

dtautrement dit la derivee x′ de x par rapport a t ; en deduire dx en fonction de dt ;

5. Appliquer la formule du CV, puis continuer le calcul de l’integrale avec les methodologies du cours.M3.275

Exercice 3.23. Exercice type : CV : Calculer

∫ 1

0

exp(√x)dx en faisant le CV

�� ��t =√x .

M3.276

Choix du CVEn general, le CV est suggere par l’enonce ; sinon , la table 15 donne les CVs usuels pour le calcul de∫ b

a

f(x)dx en fonction de l’expression de f(x).

f(x) de la forme Changement de variable (CV)√1− x2 x = cos(t) ou x = sin(t)

1

x2 + 1x = tan(t)

ex + α

ex + βx = ln(t)

√a2x+ bx+ c Ecrire a2x+ bx+ c sous la forme

a2(x+α)2+β2 puis t =a

β(x+α)

Table 15 – Changements de variable usuelsM3.277

10.2.3.C.a Exercices-typesExercice 3.24. Exercice type : CV : Calculer a l’aide d’un CV les integrales suivantes :

1

∫ 1

0

√1− x2dx avec

�� ��x = cos(t) 2

∫ 1

12

1

x3e

1x dx avec

�t =

1

x

3

∫ 1

0

1

x2 + x+ 1/2dx avec

�t = x+

1

2puis

�� ��u = 2t

M3.278

87

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Module 3

10.2.3.C.b Exercices de TDExercice 3.25. CV : Calculer les integrales suivantes en faisant le changement de variable suggere :

1

∫ 1/2

0

arcsin(x)√1− x2

dx avec�� ��x = sin(u) 2

∫ 1

0

1

3x2 + 2dx avec

�u =

√32x

3

∫ 1

0

3x− 1

x2 − 2x+ 5dx avec

�� ��u = 12(x− 1) 4

∫ 1

0

ex√e2x − 1

dx avec�� ��u = ex

5

∫ 1

0

ex + 1

e2x + 1dx avec

�� ��u = ex 6

∫ 1

1/4

√x

x2 + xdx avec

�� ��u =√x

7

∫ 1

1/4

x+ 1√xdx avec

�� ��u =√x 8

∫ 3

2

1

x ln(x)dx avec

�� ��u = lnx

9

∫ a

0

1

3 + e−xdx avec

�� ��u = ex et a ∈ R+∗ 10

∫ a

0

1√1 + ex

dx avec�� ��u =

√1 + ex et a ∈ R+

M3.279

10.3 Integrales (impropres) generalisees

10.3.1 Definitions

10.3.1.A Problematique

On cherche a calculer

∫ b

a

f(x)dx lorsque :

1. f n’est pas definie ou continue sur tous les points de [a; b]

2. f n’est definie que sur ]a; b] avec f non definie en a

3. f n’est definie que sur [a; b[ avec f non definie en b

4. l’intervalle d’integration est [a; +∞[ ou est ]−∞; b]

Exemple 265 (Des integrales impropres). •∫ 1

−1sinc(x)dx alors que sinc n’est pas definie en 0

•∫ 0

−1

1

xdx alors que

1

xtend vers l’infini lorsque t→ 0 et donc que l’aire sous la courbe est

intuitivement infinie

• En Telecommunications, TEB =1√

2πσ2b

∫ +∞

0

exp

(− x2

2σ2b

)dx, le TEB etant le taux d’erreur

binaire, autrement dit le nombre de bits errones sur le nombre de bits total transmis sur une ligne detransmission bruite

M3.280

10.3.1.B Integrale impropre

Definition 267 (Integrale impropre ou generalisee). Soient a un reel, b un reel ou un infini (+∞ ou−∞) et f une fonction definie et continue sur [a; b[.

• Si limT→b

∫ T

a

f(x)dx existe et vaut une valeur reelle finie I (c’est a dire une valeur 6=∞), on dit que la

fonction f est integrable de a a b. Alors l’integrale impropre (ou generalisee) notee

∫ b

a

f(x)dx

existe et vaut I.

• Si limT→b

∫ T

a

f(x)dx n’a pas de valeur reelle finie (par exemple vaut +∞), alors on dit que f n’est pas

integrable. Alors l’integrale impropre (ou generalisee) notee

∫ b

a

f(x)dx n’existe pas et n’a pas de

valeur.• b est appele la borne a risque

M3.281

88

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Module 3

10.3.1.C Bornes a risques

Methodologie 268 (Comment identifier la (ou les) borne(s) a risque ?). Dans l’integrale

∫ b

a

f(x)dx,

1. Etudier la derivabilite (continuite) de f sur l’intervalle d’integration ([a; b]) : si f n’est pasderivable (continue) en differents points de l’intervalle d’integration, ces points sont des bornes arisque.

2. Si l’intervalle d’integration inclut un infini (−∞, +∞), cet infini est une borne a risque.

3. Dans tous les autres cas, l’integrale ne presente pas de borne a risque. Ce n’est pas une integralegeneralisee mais une integrale propre. On se reportera alors la section 10.2 pour le calcul del’integrale.

M3.282

10.3.1.D Exercices

10.3.1.D.a Exercices-typesExercice 3.26. Exercice type : Bornes a risque d’integrales impropres : Identifier la ou les bornes a risques dans lesintegrales suivantes :

1

∫ +∞

0

1√xdx 2

∫ +∞

0

x

x2 + x+ 1dx

M3.283

10.3.1.E Exercices de TDExercice 3.27. Bornes a risques : Pour chacune des integrales suivantes, preciser (si elles existent) les bornes arisques :

1

∫ +1

0

1√xdx 2

∫ +∞

1

1√xdx 3

∫ π2

π4

tan(π

2− x)dx

4

∫ +1

−1

exp(arctan(x))

xdx 5

∫ +∞

1

1

tsin

(1

t

)dt 7

∫ +∞

0

et

t2dt

8

∫ +∞

0

x

(x2 + x+ 1)ndx avec n ∈ N∗

M3.284

10.3.2 Existence d’integrales impropres (pour les poursuites d’etudes longues)

Dans toute la suite, on supposera qu’il n’y a qu’une borne a risque, la borne superieure b (quitte autiliser Chasles et le theoreme d’inversion des bornes).

10.3.2.A Conditions d’existence lorsque la borne a risque est un reel

Theoreme 269 (Condition necessaire d’existence d’une integrale impropre lorsque la borne a risque best un reel). Soit f une fonction definie et continue sur [a; b[ avec b un reel. Si lim

x→bf(x) existe et vaut

une valeur reelle finie (autrement dit si f est prolongeable par continuite en b), alors f est integrablesur [a; b[.

Remarque : Il existe des fonctions telles que limx→b

f(x) =∞ et telles que f est integrable sur [a; b[. Pour

demontrer l’integrabilite de es fonctions, il faut utiliser des theoremes plus puissants que nous verronspar la suite.

89

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Module 3

10.3.2.B Conditions necessaires et suffisantes d’existence lorsque la borne a risque est ∞

Theoreme 270 (Condition necessaire d’existence d’une integrale impropre lorsque la borne a risque est∞). Soit f une fonction definie et continue sur son intervalle d’integration.

• Pour que

∫ +∞

a

f(x)dx existe, il faut que limx→+∞

f(x) = 0.

• Pour que

∫ −∞a

f(x)dx existe, il faut que limx→−∞

f(x) = 0

Dans la pratique, ce theoreme s’utilise avec sa contre-apposee, c’est a dire dans ”l’autre sens” : si l’on

peut montrer que limx→∞

f(x) 6= 0, alors on deduit tout de suite que

∫ ∞a

f(x)dx n’existe pas. Il n’est alors

pas necessaire de calculer

∫ ∞a

f(x)dx.

Exemple 271 (Des integrales generalisees qui n’existent pas).

∫ +∞

1

x dx,

∫ +∞

1

2dx n’existent pas car la

fonction x 7→ x et la fonction constante x 7→ 2 ne tendent pas vers 0 lorsque x tend vers la borne arisque +∞.

Remarque : Attention ce theoreme n’est pas valable lorsque la borne a risque est un reel fini, commel’illustre l’exemple suivant.

Exemple 272 (Contre-exemple). I =

∫ 1

0

1√xdx (de borne a risque 0) existe alors que lim

x→0

√x = +∞ 6= 0

10.3.2.C Conditions d’existence lorsque la borne a risque est un reel ou un ∞

10.3.2.C.a Theoreme de comparaison

Theoreme 273 (Comparaison). Soit a ∈ R et b la borne a risque reelle finie ou ±∞. Si f(x) ∼x→b

g(x),

alors

∫ b

a

f(x)dx et

∫ b

a

g(x)dx sont de meme nature, c’est a dire soit toutes deux divergentes, soit toutes

deux convergentes.

Grace a ce theoreme, il suffit de comparer (au sens de l’equivalence), au voisinage de la borne a risque,la fonction f(x) a integrer a une fonction usuelle dont on connait les proprietes d’integrabilite. Troisintegrales (Riemann, Bertrand, exponentielle) sont usuellement utilisees dans ce contexte :

10.3.2.C.b Integrales de Riemann

Theoreme 274 (Integrales de Riemann). Les integrales de Riemann consistent a integrer les fonctions

de la forme1

xαavec α ∈ R et existent dans les configurations resumees table 16.

Borne a risque 0 :

∫0

1

xαdx Borne a risque +∞ :

∫ +∞ 1

xαdx

si α < 1 existe n’existe pas

si α = 1 n’existe pas n’existe pas

si α > 1 n’existe pas existe

Table 16 – Integrales de Riemann et conditions d’existence en fonction de la borne a risque

Exercice 3.28. Exercice type : Existence d’integrales impropres : Analyser l’existence de :

1

∫ +∞

2

x2 + 3x+ 1

x4dx 2

∫ 1

0

ln(1 + x)

x2dx

90

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Module 3

Correction : 1 La fonction f(x) =x2 + 3x+ 1

x4est definie et continue sur R∗ donc en tout point de l’intervalle

d’integration [2; +∞[.

∫ +∞

2

x2 + 3x+ 1

x4dx est donc une integrale generalisee de borne a risque, la borne superieure

b = +∞. Comme f(x) ∼x→+∞

x2

x4=

1

x2, alors f(x) est equivalente au voisinage de la borne a risque b = +∞ a

l’integrande d’une integrale de Riemann de la forme1

xαavec α = 2. Puisque α = 2 et b = +∞, l’integrale de

Riemann existe ; donc par comparaison,

∫ b

2

f(x)dx existe.

2 La fonction f(x) =ln(1 + x)

x2dx est definie et continue sur ]− 1; +∞[\{0} donc sur l’intervalle d’integration ]0; 2]

sauf en le reel 0.

∫ 1

0

ln(1 + x)

x2dx est donc une integrale generalisee de borne a risque, la borne inferieure b = 0.

Comme f(x) ∼x→0

x

x2=

1

x, alors f(x) est equivalente au voisinage de la borne a risque b = 0 a l’integrande d’une

integrale de Riemann de la forme1

xαavec α = 1. Puisque α = 1 et b = 0, l’integrale de Riemann n’existe pas ; donc

par comparaison,

∫ 2

b

f(x)dx n’existe pas.

10.3.2.C.c Integrales de Bertrand

Theoreme 275 (Integrales de Bertrand). Les integrales de Bertrand consistent a integrer les fonctions

de la forme1

xα logβ(x)avec α, β ∈ R entre un reel positif non nul et +∞.

∫ +∞ 1

xα logβ(x)dx existe si

et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

10.3.2.C.d Integrales exponentielles

Theoreme 276 (Integrales exponentielles). Les integrales exponentielles consistent a integrer les

fonctions de la forme

∫eλxdx avec λ ∈ R entre un reel et la borne a risque +∞.

∫ +∞

0

eλxdx existe si

et seulement si λ < 0.

Exercice 3.29. Exercice type : Existence d’integrales impropres : Analyser l’existence de

∫ +∞

2

axdx avec a > 0.

Les differentes etapes pour analyser l’existence d’une integrale impropre sont resumees figure 54.

10.3.2.D ExercicesExercice 3.30. Existence d’integrales generalisees : Analyser l’existence des integrales generalisees de l’exercice 27.

10.3.3 Calcul d’integrales impropres

10.3.3.A Methodologie

Methodologie 277 (Calcul d’une integrale impropre

∫f(x)dx). 1. Determiner la (ou les)

borne(s) a risques dans l’intervalle d’integration avec la methodologie 268.

2. Decouper l’integrale (avec Chasles et le theoreme d’inversion des bornes) en somme d’integrales

ayant une seule borne a risque de la forme

∫ b

a

f(x)dx avec b une des bornes a risques, puis

analyser chaque terme

∫ b

a

f(x)dx comme suit :

3. (Pour les poursuites d’etudes longues) Montrer l’existence de

∫ b

a

f(x)dx et en cas d’existence :

91

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Module 3

Borne a risque b dans

∫ b

a

f(x)dx ?

limx→b

f(x) =?

b = ±∞

limx→b

f(x) =?

b ∈ R

f(x) ∼x→b

g(x)?

avec g(x) Riemann, Bertrand, Expo

= 0 ±∞

∫ b

g(x)dx existe ?

L’integralen’existe pas

6= 0

Non

L’integraleexiste

∈ R

Oui

Figure 54 – Synthese des etapes pour montrer l’existence d’une integrale generalisee.

4. Calculer

∫ b

a

f(x)dx en :

• Posant T un reel quelconque dans [a; b[, puis calculer F (T ) =

∫ T

a

f(x)dx avec les outils

classiques sur les integrales propres (methodologies 260, 262, 264)• Calculant la limite quand T → b de F (T )

• La limite trouvee est

∫ b

a

f(x)dx : elle doit etre reelle si l’integrale existe, sinon elle sera ∞

5. Ajouter tous les resultats d’integrales pour obtenir

∫f(x)dx

M3.285

10.3.3.B Exercices

10.3.3.B.a Exercices-typesExercice 3.31. Exercice type : Integrales impropres : Calculer :

1 I =

∫ +∞

1

1

10xdx 2

∫ +∞

1

1

x(x+ 1)dx

M3.286

10.3.3.B.b Exercices de TDExercice 3.32. Calcul d’integrales generalisees : Calculer en suivant les indications proposees :

1

∫ +∞

1

1

x(x+ 1)dx 2

∫ +∞

−∞

1

1 + x2dx

3

∫ +∞

1

x ln(x)

(1 + x2)2dx

�� ��IPP 4

∫ +∞

1

arctan(x)

x2dx

�� ��IPP

5

∫ +∞

−∞

1

(|x|+ 1)3dx 6

∫ +∞

0

x5

x12 + 1dx

�� ��u = x6

7

∫ +∞

1

1

x2 + 2x+ 2dx

�� ��u = x+ 1 8

∫ +∞

0

1

(ex + 1)(e−x + 1)dx

�� ��u = ex

9

∫ +∞

0

1

(x+ 1)2(x+ 2)2dx 10

∫ +∞

1

ln(x)

(1 + x)3dx

�� ��IPP

92

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Module 3

M3.287

10.3.3.B.c Exercices (pour les poursuites d’etudes longues)

Exercice 3.33. Concours DUT-BTS 2010 : QCM : On veut calculer : pour tout u > 0 F (u) =

∫ 1

u

2x ln(x)

(x2 + 1)2dx (en

faisant une IPP et en decomposant la fraction obtenue), puis limu→0

F (u). On pose G(u) =

∫ 1

u

dx

x(x2 + 1). Quelles sont

les affirmations vraies parmi :

1 F (u) =ln(u)

(u2 + 1)2+G(u) 2 ∀x ∈ R∗, 1

x(x2 + 1)= − 1

x+

x

x2 + 1

3 G(u) =1

2ln(u2 + 1)− ln(u)− ln(2)

24 F (u) =

u2 ln(u)

u2 + 1+

1

2ln(u2 + 1)− ln(2)

2

5 limu→0

F (u) = − ln(2)

2

Exercice 3.34. Concours DUT-BUT 2009 : QCM :

Question 1 : Soient X ∈]− 2, 1[ et l’integrale I(X) =

∫ X

2/3

1

1− x

(1− x2 + x

)1/3

dx. En faisant le changement de

variable t =

(1− x2 + x

)1/3

, on obtient l’integrale I(X) = J(T ) =

∫ T

t1

g(t)dtou t1 et T sont deux reels a determiner.

Quelles affirmations sont vraies parmi :

1 x =1− 2t3

1 + t32 dx =

−6t2

(1 + t3)2dt 3 t1 =

1

2

4 T =

(1−X2 +X

)1/3

5 g(t) =1

1 + t36 g(t) = − 1

t+ 1+

t− 2

t2 − t+ 1

Question 2 : On se propose maintenant de calculer, par les techniques d’integration classiques, la quantite J(T ) puisd’en deduire lim

X→2I(X) = A et lim

X→1I(X) = B. Quelles affirmations sont vraies parmi :

1 Une primitive de1

t2 − t+ 1est arctan

(2t− 1√

3

)2 Une primitive de

ln(t− 2)

t2 − t+ 1est

1

2ln(t2 − t+ 1)−

√3 arctan

(2t− 1√

3

)3 On a J(T ) =

1

2ln

(2T 2 − T + 1

(T + 1)2

)−√

3 arctan

(2T − 1√

3

)4 A existe et vaut

ln(3)

2− π√

3

2

5 A existe et vautln(3)

2+π√

3

6

Exercice 3.35. Concours ATS 2010 : Soient deux reels positifs a et p avec p > 0.

1. Sachant que sin(ax) = Im(eiax), montrer que

∫ +∞

0

e−px sin(ax)dx =a

a2 + p2.

2. On pose f(a, p) =a

a2 + p2.

(a) Soit F (p) =

∫ π/2

0

f(

sin(θ), p)dθ. En posant t =

cos(θ)√1 + p2

, montrer que F (p) = G(p)

∫ b

a

dt

A− t2 en

precisant G(p) et les bornes a, b de l’integrale.

(b) Determiner A et B tels que pour tout reel different de +1 et −1,1

1− t2 =A

1− t +B

1 + t

(c) En deduire par integration la valeur de F (p).

93

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Module 3

11 Equations differentielles

11.1 Generalites

11.1.1 Definitions

11.1.1.A Equations differentielles

Definition 278 (Equation differentielle (equa diff, ED)). Une equation differentielle (ED) est :

1. une equation mathematique (E) ;

2. dont l’inconnue est une fonction y de la variable reelle t a valeurs reelles ;

3. liant l’inconnue y a ses derivees y′, y′′, ... y(n) (generalement notees avec la notation differentielledy

dt,d2y

dt2, ...,

dny

dtn) et des fonctions connues de la variable t.

Exemple 279 (Des equations differentielles). • dy

dt= 2y ou de maniere equivalente y′ = 2y

• d5y

dt5+

1

1 + t2y = sin(t) ou de maniere equivalente y(5) +

1

1 + t2y = sin(t)

M3.288Remarques :• L’avantage de l’ecriture differentielle de la derivee est de preciser la variable de la fonction inconnue y

(la variable etant t dans les exemples 279) ; sinon, on peut generalement la deviner d’apres lesvariables utilisees dans l’ED.

• Le choix de la variable t est souvent fait en physique pour designer le temps ; on aurait aussi bien puprendre la variable x des mathematiciens.

Definition 280 (Ordre d’une ED). L’ordre d’une ED de la fonction y est le rang de la derivee de y derang le plus eleve apparaissant dans l’ED.

Exemple 281 (Des ED et leurs ordres). • tdydt

= 3 est une ED d’ordre 1

• md2y

dt2+ ky = mg est une ED d’ordre 2

• ky = mg est une ED d’ordre 0M3.289

11.1.1.B Origine des equations differentiellesLes ED sont souvent le resultat de la mise en equation d’un probleme physique.

Exemple 282 (Un probleme de mecanique Terminale ). Comme l’illustre la figure 55,• y designe la position d’un mobile de masse m en fonction du temps t : c’est une fonction de t.• La vitesse du mobile est y′ et son acceleration est y′′

• Loi de Newton :∑ ~Fext = m~aG soit

�� ��mg + ky = my′′ ou de maniere equivalente

�mg + ky = m

d2y

dt2

• Objectif du probleme : Trouver y(t)M3.290

Exemple 283 (Un probleme d’electronique E1 ). Comme l’illustre la figure 56,• UC designe la tension aux bornes du condensateur C en fonction du temps t

• L’intensite traversant C est i =dq

dtou q est la charge et vaut q = CUC

• Loi d’additivite des tensions : E = UR + UC donc

�E = RC

dUCdt

+ UC

• Objectif du probleme : Trouver UC(t)M3.291

11.1.2 Etre solution d’une equation differentielle

Definition 284 (Une solution d’une ED). Pour etre solution d’une ED (E), y doit etre une fonctionverifiant l’equation differentielle.

94

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Module 3

k

m

~F = −ky

~P = mg

Figure 55 – En mecanique : la position d’un mobile, retenu par un ressort, notee y et fonction du temps,est solution d’une ED

E

R

CUC(t)

i

Figure 56 – En electronique : la tension aux bornes d’un condensateur notee U et fonction du temps,est solution d’une ED.

Exemple 285. Pour etre solution de

�dy

dt= 2y , y doit etre une fonction de t verifiant l’ED c’est a dire

que pour un reel t quelconque, l’evaluation de la partie gauche de l’egalite et de la partie droite del’egalite donne le meme resultat (souvent fonction de t).

M3.292

Exercice 3.36. Exercice type : Etre une solution : Soit l’ED (E)

Nom

mg + ky = md2y

dt2

Equation

avec m, g et k trois

constantes reelles. Montrer que 1 la fonction definie par y(t) = t2 n’est pas solution, mais que 2 la fonction definie

par y(t) = cos

(√k

mt

)+ sin

(√k

mt

)+mg

kest solution.

M3.293

11.1.3 Pas une mais des solutions a une ED

Theoreme 286 (L’espace vectoriel des solutions d’une ED). Soit une ED (E) de la fonction y et soienty1 et y2 deux fonctions solutions de (E). Alors, quel que soit le reel α, la fonction y1 +αy2 est aussi une

solution de (E). On dit que les solutions d’une ED forment un espace vectoriel de fonctions (cf. MC1 ).

Demonstration. Preuve par l’exemple en resolvant l’exercice suivant.

Exercice 3.37. Exercice type : Des solutions : Soit l’ED (E)

Nom

E = RCdy

dt+ y

Equation

admettant pour solution les deux

fonctions y1 et y2. Soit α ∈ R. Montrer que y3 = y1 + αy2 est aussi solution de (E).

ConclusionUne ED admet generalement une infinite de fonctions solutions.

M3.294

95

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Module 3

11.1.4 Resoudre une equation differentielle

Definition 287 (Resolution/Integration d’une ED). Resoudre une ED / Integrer une ED, c’esttrouver TOUTES les fonctions y solutions de l’ED.

Theoreme 288 (Famille de fonctions solutions). Les solutions d’une ED forment une famille defonctions : c’est un ensemble de fonctions fλ(t) parametrees par un (ou plusieurs) parametresappeles degres de liberte et notes ici λ pouvant prendre n’importe quelle valeur dans R. Cette familleest notee F = {y(t) = fλ(t)/λ ∈ R}.Definition 289 (Solution generale). A la valeur des parametres λ pres, les fonctions y(t) = fλ(t)solutions ont toutes la meme regle de definition formant la solution generale de l’ED.

Remarque : En general, les solutions d’une ED auront autant de degres de liberte que l’ordre de l’ED. M3.295

Exemple 290 (Famille de fonctions exponentielles). Cette famille est : F ={

y(t) = eλt

Regle de def

/λ ∈ R}

.

Elle est parametree par un degre de liberte λ.La regle de definition (parametree) des fonctions de cette famille est : y(t) = eλt.Les fonctions y(t) = et, y(t) = e3t, y(t) = e

t2 appartiennent a cette famille.

En tracant plusieurs de ces fonctions, on obtient un faisceau de courbes comme l’illustre la figure 57..

0 1x

1

y

exp(t)

exp(t/3)

exp(2t)

Figure 57 – Quelques fonctions de la famille des exponentielles, avec pour degre de liberte λ les valeurs2, 1 et 1/3.

M3.296

11.1.5 Resoudre une equation differentielle avec des conditions limites

Les EDs peuvent etre associees avec un certain nombre de conditions, appelees Conditions Limites(CL), imposant que le graphe de la fonction passe par certains points particuliers.

Exemple 291 (Des CL avec t0, t1, α, β ∈ R). • y(t0) = α et y′(t1) = β• y(t0) = α et y(t1) = β

Definition 292 (Resoudre/integrer l’ED avec des CL). Resoudre une ED (E) avec des CL consiste aresoudre un systeme d’equations formees par l’ED (E) et les CL. Il s’agit alors de trouver les fonctions ysolutions de l’ED ET des CL.

Exemple 293 (Une ED avec CL).

{(E) y′ = 2y(CL) y(2) = 0

.

Methodologie 294 (Resoudre une ED (E) avec les CL). 1. Trouver toutes les fonctions y(t)solutions de l’ED (E) ;

2. Trouver, parmi les fonctions solutions identifiees, celle(s) qui verifient les CL.M3.297

Remarque : Les CL sont parfois appeles conditions initiales lorsqu’elles portent sur le point t = 0.

Theoreme 295 (Th. de Cauchy : LA solution d’une ED et des CL). Lorsque les conditions limites(CL) sont fournies en nombre suffisant, on peut trouver parmi les fonctions solutions d’une ED,s’ecrivant sous la forme parametree y(t) = fλ(t) avec λ ∈ R, LA ET LA SEULE fonction solutionde l’ED et des CI.Ce probleme revient a trouver la (les) valeurs du parametre λ qui verifie les CLs.

Remarque : En general, il y aura autant de CL que l’ordre de l’ED, garantissant que le probleme n’aqu’une et une seule fonction solution. M3.298

96

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Module 3

11.1.6 Exercice type

Exercice 3.38. Exercice type : CL :

1. Soit une ED (E) dont les solutions forment la famille F ={y(t) = eλt/λ ∈ R

}. Trouver la fonction y solution

de l’ED (E) et de la CL donnee par : y(0) = 1.

2. Soit maintenant une ED (E ′) dont les solutions forment la famille F ={y(t) = αeλt/α, λ ∈ R

}. Trouver la

fonction y solution de l’ED (E ′) et des CLs donnees par : y(0) = 1 et y′(1) = e.

M3.299

Dans ce module, ne seront etudiees que certaines ED du 1er ordre et du 2eme ordre, dont on va definirles particularites et les methodes de resolution.

11.2 Equations differentielles du 1er ordre

11.2.1 Definition

Definition 296 (ED du 1er ordre). Une equation differentielle du 1er ordre est une equation

fonctionnelle comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa deriveedy

dt(ou y′), et des

fonctions connues de t.

Exemple 297 (Une ED du 1er ordre). 2dy

dt+ 3y = ln(t)

Remarques :• Une solution y d’une ED du 1er ordre sur un intervalle I est necessairement derivable sur I.• Parmi les ED du 1er ordre, on denombre : 1/ Les ED a variables separees, 2/ Les ED lineaires, 3/ Les

ED affines M3.300

11.2.2 ED du 1er ordre a variables separees (pour les poursuites d’etudes longues)

Les ED du 1er ordre a variables separees sont frequentes en physique. Elles se resolvent en interpretantla fonction inconnue y (de la variable t) comme une variable, en separant la variable y et la variable tchacune d’un cote de l’ED et en appliquant un simple calcul d’integrale a l’equation. Cette technique deresolution est tres prisee par les physiciens ou les electroniciens en ecole d’ingenieur.

11.2.2.A Definition

Definition 298 (ED du 1er ordre a variables separees de la forme). Les ED du 1er ordre avariables separees de la fonction y de la variable t sont les equations (E1) de la forme�� ��f(y)dy = g(t)dt ou f et g sont deux fonctions.

Remarque : Elles s’obtiennent en reecrivant systematiquement la derivee y′ avec sa notation

differentielledy

dtet en interpretant

dy

dtcomme le quotient des deux termes dy et dt (respectivement la

differentielle de y et le differentielle de t telles que definies au M2 ).

Exemple 299 (Une ED a variables separees). y′ = cos(t)y2 ⇔ 1

y2

f(y)

dy = cos(t)

g(t)

dt

11.2.2.B Solutions

Theoreme 300 (Solutions d’une ED a variables separees). Les solutions d’une ED a variables separees

(E1) sont les fonctions y(t) verifiant l’equation�� ��F(y(t)

)= G(x) + λ ou F et G sont respectivement une

primitive de f et g et λ un degre de liberte pris dans R.

Remarques :• λ correspond simple a la constante d’integration qui vient du calcul des primitives F et G.• λ peut etre determine des lors qu’une CL est associee a l’ED.

97

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Module 3

11.2.2.C Methodologie

Methodologie 301 (Resoudre une ED du 1er ordre a variables separees). 1. Identifier le type d’ED

et l’ecrire sous la forme�� ��f(y)dy = g(t)dt ;

2. Identifier les fonctions f et g ;

3. Determiner une primitive F de f et G de g ;

4. Ecrire la solution generale sous la forme�� ��F(y(t)

)= G(x) + λ avec λ ∈ R, puis manipuler

l’equation pour isoler y(t) a gauche de l’egalite et obtenir ainsi l’expression generale des solutionsen fonction du degre de liberte λ ;

5. Si 1 CI est imposee, remplacer les donnees fournies par la CI dans la solution generale et resoudrel’eq. pour determiner λ.

11.2.2.D Exercices de TDExercice 3.39. ED du 1er ordre a variables separees : Trouver toutes les solutions de l’ED impliquant la fonction y dela variable t donnee par : (E) y′ + y2 sin(t) = 0. Donner ensuite la solution de l’ED (E) verifiant la condition limite�� ��y(0) = 1 .

Exercice 3.40. ED a variables separables : Resoudre y′ = exp(x+ y) en separant les variables.

M3.301

11.2.3 ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants

11.2.3.A Definition

Definition 302 (ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants). Les ED lineaires du 1er ordre acoefficients non constants de la fonction y de la variable t sont les equations (E2) de la forme�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = 0 avec a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t.

Elles peuvent aussi s’ecrire sous la forme

�dy

dt= p(t)y avec p(t) = − b(t)

a(t)une fonction de la variable t.

M3.302

Exemple 303 (Des ED). •√t2 + 1

a(t)

dy

dt+ t

b(t)

y = 0

0

est une ED lineaire du 1er ordre et peut se

reecrire sous la formedy

dt= − t√

t2 + 1

p(t)

y

• ydy

dt

non lineaire

= 0 est une ED du 1er ordre mais pas lineaire

• dy

dt+ ty = 2

6= 0

est une ED du 1er ordre mais pas lineaire

M3.303Remarque (pour les poursuites d’etudes longues) : Les ED lineaires du 1er ordre sont une formeparticuliere des ED a variables separees. On peut donc les resoudre avec la methodologie 301.

11.2.3.B Solutions

Theoreme 304 (Solution generale d’une ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants). Lessolutions d’une ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants (E2) forment la famille de

fonctions�� ��F =

{y(t) = λ exp

(P (t)

)/λ ∈ R

}ou P (t) est une primitive de p(t).

98

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Module 3

Demonstration. (pour les poursuites d’etudes longues) Ecrivons l’ED sous la formedy

dt= p(t)y. En

interpretantdy

dtsous la forme du quotient de la differentielle dy (de y) par la differentielle dt (de t), on

deduit quedy

y= p(t)dt. Puis en integrant l’equation (cote gauche par rapport a y vu ici comme une

variable et cote droit par rapport a t), on obtient

∫1

ydy =

∫p(t)dt, soit ln |y| = P (t) + c ou P (t) est

une primitive de p(t) et c designe la constante d’integration (reelle). Ainsi |y(t)| = eP (t)+c soity(t) = ±eceP (t). Lorsque c balaie l’espace des reels, ±ec balaie egalement l’espace des reels(l’exponentielle ayant pour domaine image R+ et le signe ± assurant aussi bien des valeurs positivesque negatives). Ainsi en posant λ = ±ec avec λ un reel, on deduit que les solutions de l’ED sont bien dela forme y(t) = λ exp

(P (t)

).

Remarque : λ pourra etre determine des lors qu’1 CL sera donnee. M3.304

11.2.3.C Methodologie

Methodologie 305 (Resoudre une ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants sans CL). 1.Verifier que l’ED est lineaire du 1er ordre a coefficients non constants et l’ecrire sous la forme�

�dy

dt= p(t)y ;

2. Identifier la fonction p(t) et determiner une de ses primitives P (t) ;

3. Deduire du th. que les solutions sont�� ��y(t) = λ exp

(P (t)

)avec λ un degre de liberte reel

quelconque.

Methodologie 306 ( Resoudre une ED lineaire du 1er ordre a coeff. non constants avec CL ). 1.Trouver, avec la methodologie 305, la solution generale de l’ED dependante du degre de liberte λindetermine ;

2. Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pour obtenir une equationdependante de λ ;

3. Resoudre cette equation pour determiner λ.M3.305

11.2.3.D Exercices

11.2.3.D.a Exercices-typesExercice 3.41. Exercice type : ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants : 1 Resoudre l’ED (E) de la

fonction y(t) donnee par√tdy

dt+ y = 0. Donner ensuite 2 la solution de cette meme ED verifiant la CL

�� ��y(0) = 1 ,

puis 3 la solution verifiant�� ��y(0) = 0 .

M3.306

11.2.3.D.b Exercices de TDExercice 3.42. ED lineaire : Donner l’ensemble des solutions des equations differentielles suivantes portant sur la

fonction y de la variable t puis la solution verifiant la condition limite�� ��y(0) = 1 . On pensera a chaque fois a specifier

le type de l’ED et a detailler les etapes de la methodologie utilisee pour les resoudre.

1 (1 + t2)y′ − ty = 0 2 (t+ 1)dy

dt+ (t− 1)y = 0 3 ty′ + 2y = 0

M3.307

11.2.4 ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants

11.2.4.A Definition

99

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Module 3

Definition 307 (ED lineaire du 1ere ordre a coefficients constants). Les ED lineaires du 1er ordre a

coefficients constants de la fonction y de la variable t sont les equations (E3) de la forme

�a

dy

dt+ by = 0

avec a une constante reelle non nulle et b une constante reelle.M3.308

Exemple 308 (Des ED). • 5a

dy

dt−b

y = 0

0

est une ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants.

• t

6= Cte

dy

dt− y = 0 est une ED lineaire du 1er ordre mais pas a coefficients constants.

• dy

dt− y = 2

6= 0

est une ED du 1er ordre a coefficients constants mais pas lineaire.

Remarques :• Les ED lineaires du 1er ordre a coefficients constants sont des cas particuliers des ED lineaires du 1er

ordre a coefficients non constants car elles sont bien de la forme

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = 0 avec a(t) = a et

b(t) = b des fonctions constantes.• Pour les poursuites d’etudes longues : on peut donc les resoudre en utilisant la methodologie 305 des

ED lineaire du 1er ordre a coefficients non constants, voire la methodologie 301 des ED du 1er ordre avariables separees. M3.309

11.2.4.B Solutions

Definition 309 (Equation caracteristique). L’equation caracteristique (EC) associee a une EDlineaire a coefficients constants est une equation polynomiale de la variable x obtenu enremplacant :

1. les derivees de y (par exempledny

dtn) par le monome de degre egal a l’ordre de la derivee (ici xn)

2. et y par 1

Exemple 310 (Des EC). • L’ED ad3y

dt3+ b

d1y

dt1+ cy = 0 a pour EC

�� ��ax3 + bx1 + c 1 = 0

• L’ED ad1y

dt1+ by = 0 a pour EC

�� ��ax1 + b 1 = 0

Remarques :• Les racines de l’EC vont intervenir dans les solutions de l’ED.• Les EC ne sont valables que pour des ED a coefficients constants ! M3.310

Theoreme 311 (Solutions generales d’une ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants). Une ED

lineaire du 1er ordre a coefficients constants (E3) de la forme

�a

dy

dt+ by = 0 admet une EC de la forme�� ��ax+ b = 0 .

Les solutions de cette ED forment la famille�� ��F =

{y(t) = λ exp

(x0t)/λ ∈ R

}ou x0 = − b

aest la

racine (reelle) de l’EC associee a l’ED (E3).

Remarques : en physique, x0 est appele coefficient d’amortissement. M3.311

11.2.4.C Methodologies

Methodologie 312 (Resoudre une ED lineaire du 1er ordre a coeff. constants sans CL). 1. Verifier

que l’ED est lineaire du 1er ordre a coeff. constants et l’ecrire sous la forme

�a

dy

dt+ by = 0 ;

2. Ecrire l’EC associee et trouver sa racine x0 ;

3. Deduire les solutions sous forme�� ��y(t) = λ exp

(x0t)

avec λ reel quelconque.

100

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Module 3

Methodologie 313 (Resoudre une ED lineaire du 1er ordre a coeff. constants avec CL). 1.Trouver, avec la methodologie 312, la solution generale de l’ED dependante du degre de liberte λindetermine ;

2. Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pour obtenir une equationdependante de λ ;

3. Resoudre cette equation pour determiner λ.M3.312

11.2.4.D Exercices-typesExercice 3.43. Exercice type : ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants : Resoudre l’ED (E) de la fonction

y(t) donnee par y′ − y = 0. Donner ensuite la solution de cette meme ED verifiant la CL�� ��y(0) = 1 , puis la solution

verifiant�� ��y′(0) = 1 .

M3.313

11.2.5 ED affine du 1er ordre

11.2.5.A Definitions

Definition 314 (ED affine du 1er ordre). Les ED affines du 1er ordre de la fonction y de la variable t

sont les equations (E4) de la forme

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t) avec :

• a(t) et b(t) deux fonctions de la variable t ;• d(t) une fonction de la variable t differente de la fonction nulle.

M3.314

Exemple 315 (Des ED du 1er ordre). • 1

a(t)

dy

dt+ t

b(t)

y = 2− 4t2

d(t)

est une ED affine du 1er ordre

• dy

dt+ ty = 0

non 6= 0

n’est pas une ED affine mais une ED lineaire

• ydy

dt

non lineaire

= 2− 4t2 n’est pas une ED affine (ni lineaire)

M3.315

11.2.5.B Solutions

Theoreme 316 (Solutions d’une ED affine du 1er ordre). Les solutions d’une ED affine du 1er ordre

(E4) forment la famille�� ��F = {y(t) = yg,λ(t) + yp(t)/λ ∈ R} ou :

1. yg,λ(t) est la solution generale de l’ED homogene associee a l’ED affine. Cette ED

homogene, egalement appelee ED sans second membre et notee (E4), est definie par :�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = 0 . Elle s’obtient en remplacant le terme d(t) de l’ED affine (E4) par 0. C’est

une ED lineaire du 1er ordre. Elle se resout donc avec les methodologies 305 et 312 (voire pour lespoursuites d’etudes longues avec la methodologie 301) suivant sa nature (lineaire a coeff. nonconstants, lineaire a coeff. constants ou a variables separees). yg,λ(t) depend du degre de liberte λavec λ ∈ R.

2. yp(t) est une solution particuliere de l’ED affine

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t) (cette fois avec le 2d

membre d(t)).

Remarques :• Les solutions d’une ED affine du 1er ordre ne dependent que d’un seul degre de liberte λ,

eventuellement fixe par les CL.• N’importe quelle fonction tant qu’elle est solution de l’ED affine fonctionne pour la solution

particuliere yp(t). M3.316

101

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Module 3

11.2.5.C Recherche d’une solution particulierePour trouver la solution generale y(t) d’une ED affine, on a deja vu comment trouver la solutiongenerale yg,λ(t) de l’ED homogene associee a l’ED affine ; reste a trouver une solution particuliere yp(t)

pour finir de resoudre l’ED affine

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t) . Il y a 3 techniques :

1. Verification d’une solution suggeree ou d’une solution evidente ;

2. Observation des fonctions coefficients ;

3. Methode de Lagrange (dite methode de variation de la constante).M3.317

11.2.5.C.a Technique 1 : Verification d’une solution suggeree

Methodologie 317 (Recherche d’une solution particuliere a une ED affine par verification d’unesolution suggeree). Evaluer la partie gauche et droite de l’ED en remplacant la fonction recherchee ypar la solution suggeree et verifier que l’egalite gauche/droite est obtenue.

Exercice 3.44. Exercice type : Resoudre l’equation (t+ 1)dy

dt+ y = − 1

t2. On pourra montrer qu’une solution

particuliere de cette equation est yp(t) =1

t.

M3.318

11.2.5.C.b Technique 2 : Observation des (fonctions) coefficients

Methodologie 318 (Recherche d’une solution particuliere a une ED affine par observations des fonctions coefficients). 1.Lorsque a(t), b(t) et d(t) sont des constantes, la solution particuliere peut etre recherchee sous la

forme d’une fonction constante�� ��yp(t) = Cte , la valeur de la constante etant choisie pour que

cette fonction soit solution de l’ED.

2. Lorsque d(t) est un polynome, la solution particuliere yp(t) peut etre recherchee sous la formed’un polynome.

Le degre du polynome est (en general) choisi pour etre le maximum entre l’ordre de l’ED et ledegre du plus haut monome present dans l’ED ; les coefficients du polynome sont a determinerpour que le polynome recherche soit solution de l’ED.

3. Lorsque d(t) est defini par des fonctions trigonometriques, autrement dit, de la formed(t) = α cos(ωt) + β sin(ωt), la solution particuliere peut etre recherchee sous la forme�� ��yp(t) = θ cos(ωt) + µ sin(ωt) . La pulsation ω se lit directement sur la fonction-coefficient d(t),

tandis que les coefficients θ et µ sont a determiner pour que yp(t) soit solution de l’ED.M3.319

Exercice 3.45. Exercice type : Resoudre les ED suivantes :

1dy

dt+ 2y = 3 2

dy

dt+ 2y = 2− 4t2 3

dy

dt+ 2y = − sin(t)

M3.320

11.2.5.C.c Technique 3 : Methode de variation de la constante

Theoreme 319 (Methode de variation de la constante ou de Lagrange). Soit yg,λ(t) = λ exp(P (t)

)l’expression de la solution generale de l’ED homogene associee a l’ED affine (E4)�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = d(t) avec λ une constante reelle et P (t) une fonction (qu’on rappelle etre une

primitive de p(t) = − b(t)a(t)

).

Alors l’ED (E4) admet une solution particuliere de la forme�� ��yp(t) = λ(t) exp

(P (t)

)avec λ(t) est

une fonction de la variable t derivable.

La fonction λ(t) est d’ailleurs une primitive de −d(t)

a(t)exp

(− P (t)

).

102

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Module 3

Demonstration. Soit yp(t) = λ(t)eP (t) avec P (t) une primitive de la fonction p(t) = − b(t)a(t)

et λ(t) une

fonction derivable de la variable t. La fonction yp(t) admet pour deriveedyp(t)

dt= y′p(t) = λ′(t)eP (t) + λ(t)P ′(t)eP (t) avec P ′(t) = p(t) = − b(t)

a(t)(par definition des primitives).

Donc, yp(t) est une solution (particuliere) de l’ED affine si et seulement si a(t)dypdt

+ b(t)yp = c(t) si et

seulement si a(t)[λ′(t) + λ(t)P ′(t)

]eP (t) + b(t)λ(t)eP (t) = c(t) si et seulement

si a(t)[λ′(t)− b(t)

a(t)λ(t)

]eP (t) + b(t)λ(t)eP (t) = c(t) si et seulement si a(t)λ′(t)eP (t) = c(t) si et seulement

si λ′(t) = − c(t)a(t)

e−P (t). En choisissant pour fonction λ(t) une primitive de − c(t)a(t)

e−P (t), la fonction

yp(t) = λ(t)eP (t) est donc bien solution (particuliere) de l’ED affine.M3.321

Methodologie 320 (Recherche d’une solution particuliere a une ED affine par la methode de variationde la constante). Connaissant yg,λ(t) = λ exp

(P (t)

)la solution generale de l’ED homogene associee a

l’ED affine,

1. poser yp(t) = λ(t) exp(P (t)

)en remplacant λ par une fonction inconnue λ(t) ;

2. remplacer y(t) par yp(t) dans l’ED affine pour rechercher une seconde (autre) ED portant sur lafonction λ(t) ;

3. resoudre l’ED portant sur λ(t) ;

4. conclure sur la solution particuliere.

Exercice 3.46. Exercice type : Methode de Lagrange : Resoudre l’EDdy

dt+ 2y = 2e−t.

M3.322

11.2.5.D Synthese : methodologies

Methodologie 321 (Resoudre une ED affine du 1er ordre sans CL). 1. Introduire l’ED homogene�

�a(t)

dy

dt+ b(t)y = 0 associee a l’ED affine ; identifier son type (parmi ED lineaire a coefficients

constants, ED lineaire a coefficients non constants et pour les poursuites d’etudes longues ED avariables separees) puis la resoudre en utilisant la methodologie adequate (312, 305 ou 301) pourtrouver la solution generale yg,λ(t) = λ exp

(P (t)

);

2. Determiner une solution particuliere yp(t) de l’ED affine en utilisant :• la methodologie 317 de verification d’une solution ;• la methodologie 318 d’observations des coefficients ;• la methodologie 320 de variation de la constante ;

3. Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutions obtenues en (1) et (2).M3.323

Methodologie 322 (Resoudre une ED affine du 1er ordre avec CL). 1. Trouver la solutiongenerale de l’ED affine du 1er ordre en utilisant la methodologie 321 et dependante d’un degre deliberte λ variant dans R ;

2. Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pour obtenir une equationdependante de λ ;

3. Resoudre cette equation pour determiner λ.M3.324

11.2.5.E Exercices

11.2.5.E.a Exercices-types

Exercice 3.47. Exercice type : On considere l’ED (1 + t2)dy

dt− ty = 1. Trouver toutes les solutions de cette ED, puis

la solution lorsqu’on impose la CL�� ��y(1) = 0 .

M3.325

103

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Module 3

11.2.6 Exercices de TD

Exercice 3.48. ED affine : On considere l’equation differentielle (E) donnee par ty′ − y = ln(t), ou y designe unefonction de la variable reelle, definie et derivable sur un intervalle ]0; +∞[ :

1. Quel est le type de l’equation differentielle (E) ?

2. Donner et resoudre, sur l’intervalle ]0; +∞[, l’equation differentielle homogene.

3. Verifier que la fonction h, definie pour tout reel t appartenant a l’intervalle ]0; +∞[ parh(t) = − ln(t)− 1 est une solution particuliere de l’equation (E).

4. Deduire des questions precedentes l’ensemble des solutions de (E).

5. Donner finalement la solution y(t) de (E) telle que y(1) = 0.

M3.326

Exercice 3.49. BTS 2005 : On considere l’equation differentielle (E) donnee par (1 + t)y′ + y =1

1 + t, ou y est une

fonction de la variable reelle t, definie et derivable sur ]− 1; +∞[ et y′ sa fonction derivee.

1. Demontrer que les solutions de l’equation differentielle (E0) definies par (1 + t)y′ + y = 0 sont les fonctions

definie par h(t) =k

1 + tou k est une constante reelle quelconque.

2. Soit g la fonction definie sur ]− 1; +∞[ par : g(t) =ln(1 + t)

1 + t. Demontrer que la fonction g est une solution

particuliere de l’equation differentielle (E).

3. En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E).

4. Determiner la solution f de l’equation differentielle (E) qui verifie la condition initiale f(0) = 2.

M3.327

Exercice 3.50. ED affine : On considere l’equation differentielle (E) donnee par (1 + t)y′ − y = ln

(1

1 + t

)ou y est

une fonction de la variable t, definie et derivable sur R+.

1. Quel est le type de l’equation differentielle (E) ?

2. Determiner les solutions de l’equation homogene associee a (E).

3. Soit h la fonction definie sur R+ par h(t) = ln(1 + t) + c ou c est une constante reelle. Determiner c pour queh soit une solution particuliere de (E).

4. En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E). Tracer rapidement le graphe de quelquessolutions.

5. Determiner la solution de (E) dont la courbe representative passe par l’origine du repere.

M3.328

Exercice 3.51. ED affine avec recherche de solutions particulieres par observation des coefficients : Resoudre lesequations differentielles portant sur la fonction y de la variable t suivantes :

1 y′ − 2y = t+ 1 2 y′ − 2y = cos(3t)

3 y′ + y = t2 + 3t− 1 4 y′ + y = 3 sin

(t

2

)

Exercice 3.52. Autour de la variation de la constante : Dans cet exercice, y designe une fonction de la variable reelle t.

1. Resoudredy

dt+ y = e2t

2. Resoudredy

dt+ y = e−t

3. Resoudredy

dt+ y = e2t + e−t + 1 + t en utilisant le principe de linearite des solutions

M3.329

Exercice 3.53. Un peu de mecanique : Un embrayage vient appliquer, a l’instant t = 0, un couple resistant constantsur un moteur dont la vitesse a vide est de 150 rad/s. On note ω(t) la vitesse de rotation du moteur a l’instant t. La

fonction ω(t) est solution de l’equation differentielle (E)1

200y′(t) + y(t) = 146, ou y designe une fonction derivable

de la variable reelle positive t.

104

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Module 3

1. Determiner la solution generale de l’ED (E). On cherchera une solution particuliere constante.

2. Sachant que ω(0) = 150, montrer que ω(t) = 146 + 4e−200t pour tout t ∈ [0,+∞[.

3. On note ω∞ = limt→+∞

ω(t). Determiner la perte de vitesse ω(0)− ω∞ due au couple resistant.

4. On considere que la vitesse du moteur est stabilisee lorsque l’ecart relatif

∣∣∣∣ω(t)− ω∞ω∞

∣∣∣∣ est inferieur a 1%.

Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse.

M3.330

Exercice 3.54. BTS Groupement A 2000 : Un systeme physique est regi par l’equation differentielle (E1) donnee pardv

dt+

1

RCv =

df

dt, ou v est une fonction de la variable t a determiner, R et C sont des constantes positives et f est la

fonction de la variable t connue.

Partie 1 : On suppose dans cette partie que la fonction f est definie pour tout reel t par f(t) =

{0 si t < 0V0 si t ≥ 0

ou

V0 est une constante reelle strictement positive (V0 > 0).

1. Calculerdf

dtpour t appartenant a ]−∞; 0[ puis resoudre l’ED (E1) sur ]−∞; 0[ avec la condition limite

v(0−) = limt→0−

v(t) = 0.

2. Calculerdf

dtpour t appartenant a ]0; +∞[ puis resoudre l’ED (E1) sur ]0; +∞[ avec la condition limite

v(0+) = limt→0+

v(t) = V0.

3. Etudier sur ]−∞; 0[∪]0; +∞[ les variations de la fonction v. Tracer la representation graphique de v enfonction de t pour t reel non nul. On pourra prendre pour realiser ce graphique RC = 1 et V0 = 2.

Partie 2 : La fonction echelon unite U est definie par U(t) =

{0 si t < 01 si t ≥ 0

. On suppose maintenant que la

fonction f est definie pour tout reel t par f(t) = V0

[U(t)−U(t− τ)

]ou τ est un reel strictement positif. Le systeme

est alors regi par l’equation (E2) donne par

�v(t) +

1

RC

∫ t

0

v(u)du = f(t) .

1. Montrer que la fonction v(t) =

0 si t < 0

V0e− tRC si 0 ≤ t < τ

V0e− τRC

(1− e−

t−τRC

)si t ≥ τ

est solution de l’equation (E2).

2. Calculer v(τ−) = limt→τ−

v(t) et montrer que v(τ−) < V0.

3. Montrer que le saut σ de la fonction v en t = τ , defini par σ = v(τ−)− v(τ), est egal a V0.

4. Etudier les variations de la fonction v pour t ≥ τ .

5. Donner l’allure de la representation graphique de v dans un repere orthonormal pour RC = 1, V0 = 2 et τ = 1.

M3.331

Exercice 3.55. Changement de variable dans une ED : Resoudre les equations differentielles de la fonction y suivantesen faisant le changement de variable propose (z(t) designant une fonction de la variable t) :

1 ty′ + t = 2t+ 3�� ��z(t) = ty(t) 2 ty′ − y = t

�� ��y(t) = tz(t)

M3.332

11.2.6.A Exercices (pour les poursuites d’etudes longues)Exercice 3.56. Changement de variable dans une ED : Resoudre l’equation differentielle (E) t y′ y = t2 + y2, ou ydesigne une fonction de la variable reelle t. On pourra poser y(t) = tu(t), ou u designe une fonction de la variablereelle t et deduire une equation differentielle sur la fonction u que l’on resoudra en utilisant la methodologie desequations a variables separees.

Exercice 3.57. Recherche de solutions particulieres par la methode de Lagrange : On veut resoudre l’equationdifferentielle : (E) (1 + x2)y′ − xy = (x+ 1)2 ou y designe une fonction de la variable x.

1. Donner toutes les solutions yg(x) de l’equation homogene associee a (E).

105

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Module 3

2. On s’interesse maintenant a la recherche d’une solution particuliere a l’equation differentielle(E1) (1 + x2)y′ − xy = αx+ β, ou α et β sont des constantes reelles.

(a) Donner une solution particuliere de cette equation en fonction de α et β.

(b) Deduire une solution particuliere de l’equation (1 + x2) y′ − x y = 2x+ 1. On notera y1(x) les solutionsobtenues.

3. On cherche maintenant une solution particuliere y2(x) de l’ED (E2) (1 + x2) y′ − x y = x2 en suivant leprincipe de la methode de variation de la constante.

(a) En cherchant y2(x) sous la forme y2(x) = z(x)√

1 + x2 avec z(x) est une fonction est de la variable x,

montrer que la fonction z doit satisfaire a l’equation : z′(x) =x2

(1 + x2)3/2.

(b) Montrer qu’une primitive de1√

1 + x2est ln(x+

√1 + x2).

(c) En integrant la relation de la question (a) avec une integration par partie (IPP), donner l’expression dez(x).

(d) Conclure sur la solution particuliere y2(x).

4. Montrer enfin que la fonction y3(x) = y1(x) + y2(x) est une solution particuliere de l’equation differentielle (E).

5. Deduire toutes les solutions de l’equation differentielle (E).

11.3 Equation differentielle du 2eme ordre

11.3.1 Definitions

Definition 323 (ED du 2eme ordre). Une equation differentielle du 2eme ordre est une equation

fonctionnelle comportant une fonction y inconnue de la variable t, sa derivee y′ =dy

dt, sa derivee

seconde y′′ =d2y

dt2et des fonctions connues de t.

Exemple 324 (Une ED de 2d ordre). td2y

dt2+ 3

dy

dt+ (1− t)y = cos(t)

Remarques :• Une solution y d’une ED du 2d ordre est necessairement derivable a l’ordre 2.• Les solutions de l’ED auront 2 degres de liberte λ et µ, qui pourront etre fixes par 2 CLs. M3.333

Definition 325 (Categories d’ED du 2eme ordre). On denombre differentes categories d’ED du 2emeordre, parmi lesquelles :

1. les ED lineaires (du 2eme ordre), qui sont les equations de la forme a(t)d2y

dt2+ b(t)

dy

dt+ c(t)y = 0 ;

2. les ED affines (du 2eme ordre), qui sont de la forme a(t)d2y

dt2+ b(t)

dy

dt+ c(t)y = d(t) ;

avec a(t), b(t), c(t), d(t) 4 fonctions telles que a(t) et d(t) ne soient pas nulles.

Remarque : Ici, on ne s’interesse qu’aux ED lineaires et affines du 2eme ordre a coefficientsconstants. Ce sont les EDs pour lesquelles a(t) = a = Cte (non le b(t) = b = Cte, c(t) = c = Cte maisd(t) une fonction (non nulle mais non necessairement constante) de t. M3.334

11.3.2 ED lineaire du 2eme ordre a coefficients constants

11.3.2.A Definitions

Definition 326 (ED lineaire du 2eme ordre a coeffs constants). Les ED lineaires du 2eme ordre a

coefficients constants sont les equations (E5) de la forme ad2y

dt2+ b

dy

dt+ c = 0 avec :

• a une constante reelle non nulle ;• b et c deux constantes reelles.

M3.335

106

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Module 3

Exemple 327 (Des ED). • 1a

d2y

dt2+ 2

b

dy

dt−3cy = 0

0

est une ED lineaire a coefficients constants.

• y

non lineaire

d2y

dt2+ 2

dy

dt= 0 n’est pas lineaire.

• d2y

dt2+ 2

dy

dt+ t2

6= Ctey = 0 n’est a coefficients constants.

• d2y

dt2+ 2

dy

dt+ 3y = 2

6= 0

n’est pas lineaire.

M3.336

Definition 328 (Equation caracteristique (EC) associee a une ED lineaire du 2eme ordre a coefficientsconstants). L’equation caracteristique associee a une ED lineaire du 2eme ordre a coefficients

constants (E5) est l’equation polynomiale de la variable x definie par�� ��ax2 + bx+ c = 0 .

Remarque : Les solutions de l’ED (E5) sont dependantes des solutions de l’EC (E6) (qui sont les

racines d’un polynome de degre 2) et donc du discriminant�� ��∆ = b2 − 4ac . M3.337

11.3.2.B Solutions

11.3.2.B.a Cas d’un discriminant strictement positif

Theoreme 329 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre a coefficients constants lorsque ∆ > 0).

Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac > 0 et admet deux racines reelles x1 =−b−

√∆

2aet

x2 =−b+

√∆

2a, les solutions de l’ED lineaire du 2eme ordre (E5) forment la famille de fonctions�� ��F =

{y(t) = λ exp (x1t) + µ exp (x2t) /λ, µ ∈ R

}.

Remarque : Les solutions sont dependantes de deux degres de liberte λ et µ qui pourront etre fixes al’aide de 2 CLs.Exercice 3.58. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes les solutions de l’ED

d2y

dt2+ 2

dy

dt− 3y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED lorsqu’on impose les 2 CL

�� ��y(0) = 0 et�� ��y′(0) = 1 ?

M3.338

11.3.2.B.b Cas d’un discriminant nul

Theoreme 330 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre a coeff. constants lorsque ∆ = 0). Lorsque

l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac = 0 et admet une unique racine reelle double x0 =−b2a

, les

solutions de l’ED lineaire du 2eme ordre (E5) forment la famille de fonctions�� ��F ={y(t) = (λ+ µt) exp (x0t) /λ, µ ∈ R

}.

Exercice 3.59. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes les solutions de l’ED

d2y

dt2+dy

dt+

1

4y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED lorsqu’on impose les 2 CL

�� ��y(0) = 0 et�� ��y′(0) = 1 ?

M3.339

11.3.2.B.c Cas d’un discriminant strictement negatif

Theoreme 331 (Solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre a coefficients constants lorsque ∆ < 0).Lorsque l’EC est de discriminant ∆ = b2 − 4ac < 0 et admet deux racines complexes

x1 =−b− i

√|∆|

2aet ρ2 =

−b+ i√|∆|

2a, les solutions de l’ED lineaire du 2eme ordre (E5) forment la

famille de fonctions�� ��F =

{y(t) = exp (τt) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) /λ, µ ∈ R

}avec τ = − b

2aet

107

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Module 3

ω =

√|∆|

2a. Cette famille peut egalement s’ecrire

�� ��F = {y(t) = λ exp(τt) cos (ωt+ φ) /λ, φ ∈ R} . Dans

la premiere expression, les deux degres de liberte definissant la famille de solutions sont λ et µ, tandisque dans la seconde expression, ce sont λ et φ.

Exercice 3.60. Exercice type : ED lineaire du 2eme ordre : 1 Trouver toutes les solutions de l’ED

d2y

dt2+dy

dt+ y = 0. 2 Quelle est la solution de l’ED lorsqu’on impose les 2 CL

�� ��y(0) = 0 et�� ��y′(0) = 1 ?

M3.340

Demonstration. Pour les poursuites d’etudes longues : Par analogie avec les ED lineaires du 1er ordre acoefficients constants, cherchons les solutions d’une ED lineaire du 2eme ordre a coefficients constantssous la forme y(t) = f(t)ext avec x une racine de l’EC associee a l’ED et f une fonction de la variable tderivable. Sachant que, dans ce cas, y′(t) = [f ′(t) + ρf(t)] ext et y′′(t) =

[f ′′(t) + 2xf ′(t) + x2f(t)

]ext,

alors y est solution de l’ED du 2eme ordre si et seulementsi[af ′′ + (2ax+ b)f ′ + (ax2 + bx+ c)f

]ext = 0. Comme ext 6= 0 (quel que soit t) et que x est racine de

l’EC donc que ax2 + bx+ c = 0. Alors cette equivalence revient a af ′′ + (2ax+ b)f ′ = 0. Cette derniereequation est une ED lineaire du 1er ordre a coefficients constants donc la fonction inconnue rechercheeest f ′(t) ; en utilisant la methodologie 312, on deduit que ces solutions sont donc de la forme

f ′(t) = λ exp

(−2ax+ b

at

)(puisque par definition d’une ED du 2eme ordre, le coefficient a n’est pas

nul). Reste a integrer cette solution pour obtenir f(t). Deux cas se presentent :

1. Si 2ax+ b 6= 0, alors une primitive de f ′(t) est f(t) = A exp

(−2ax+ b

at

)+B, avec A et B deux

constantes quelconques. Ainsi y(t) = f(t)ext = A exp

(−ax+ b

at

)+B exp (xt).

Dans ce cas precis, la condition 2ax+ b 6= 0 est equivalente dire que la racine x n’est pas − b

2adonc n’est pas la racine double donc que le discriminant ∆ = b2 − 4ac de l’EC est different de 0.

L’EC admet donc deux racines, la premiere etant x et la seconde n’etant autre que −ax+ b

a. Les

solutions de l’ED sont donc une somme d’exponentielles dilatees par les racines de l’EC chacuneetant ponderee par un des degres de libertes A et B (on parle de combinaison lineaire que l’on

reverra au module MC1 ).

Remarque : Lorsque les racines sont complexes, donc de la forme τ ± iω, alorsy(t) = A exp(τt+ iωt) +B exp(τt− iωt) puis y(t) =eτt [A cos(ωt) +Ai sin(ωt) +B cos(ωt)− iB sin(ωt)] = eτt [(A+B) cos(ωt) + i(A−B) sin(ωt)] ;y(t) est donc bien une combinaison lineaire de cos et de sin ponderee par une exponentielle.

2. Si 2ax+ b 6= 0 autrement dit x = − b

2aest la racine double de l’EC de discriminant ∆ = 0, alors

f ′(t) = λ donc f(t) = λt+ µ et y(t) = f(t)ext = (λt+ µ)ext avec λ et µ deux constantes reelles.

11.3.2.C Methodologies

Methodologie 332 (Resoudre une ED lineaire du 2eme ordre a coeffs constants sans CL). 1.Verifier que l’ED est lineaire du 2eme a coeffs constants et l’ecrire de la forme�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ c = 0 ;

2. Determiner l’EC associe puis calculer son discriminant ∆ et ses racines ;

3. Suivant le signe de ∆, deduire que les solutions generales de l’ED sont :• Si ∆ > 0, y(t) = λ exp (x1t) + µ exp (x2t) avec x1, x2 racines de l’EC ;• Si ∆ = 0, y(t) = (λ+ µt) exp (x0t) avec x0 racine de l’EC ;• Si ∆ < 0, y(t) = exp (τt) (λ cos(ωt) + µ sin(ωt)) avec τ ± iω racines de l’EC ;ou les deux degres de liberte λ et µ sont des reels quelconques.

M3.341

108

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Module 3

Methodologie 333 (Resoudre une ED lineaire du 2eme ordre a coeffs constants avec CL). 1.Trouver toutes les solutions de l’ED en utilisant la methodologie 332 dependantes des deux degresde liberte λ et µ ;

2. Remplacer les donnees fournies par les 2 CLs dans la solution generale pour obtenir un systemed’equations dont les inconnues sont λ et µ ;

3. Resoudre ce systeme pour trouver λ et µ et conclure sur la solution.M3.342

11.3.2.D ExercicesExercice 3.61. ED lineaires : Resoudre les ED suivantes, ou y est une fonction de la variable reelle t :

1 3y′′ + y′ − 4y = 0 2 y′′ + 2y′ + y = 0 3 y′′ + y′ + y = 0

M3.343

Exercice 3.62. ED lineaires : Resoudre les problemes suivants, ou y est une fonction de la variable reelle t :

1

−y′′ − y′ + 2y = 0y(0) = 0y′(0) = 1

2

y′′ + 2y′ + y = 0y(1) = −1y′(1) = 0

3

4y′′ + 4y′ + y = 0y(0) = 0y′(0) = 1

4

y′′ + ω2y = 0y(0) = 1

y′(

1

ω

)= 0

avec ω ∈ R 5

y′′ − y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

M3.344

11.3.3 ED affine du 2eme ordre a coefficients constants

11.3.3.A Definitions

Definition 334 (ED affine du 2eme ordre a coefficients constants). Les equations differentiellesaffines du 2eme ordre a coefficents constants sont les equations (E6) de la forme�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = d(t) avec :

• a une constante reelle non nulle ;• b et c deux constantes reelles ;• d(t) une fonction de la variable t differente de la fonction nulle.

M3.345

Exemple 335 (Des ED). • 2a

d2y

dt2−b

dy

dt+ 6

cy = t2 − 1

d(t)

est une ED affine du 2d ordre a coeffs

constants.

• y

non lineaire

d2y

dt2−t6= Cte

dy

dt+ 6y = 0

6= 0

n’est pas une ED affine du 2eme ordre a coeffs constants.

M3.346

11.3.3.B Solutions

Theoreme 336 (Solutions d’une ED affine du 2eme ordre a coefficients constants). Les solutions d’uneED affine du 2eme ordre a coefficients constants (E6) forment la famille�� ��F = {y(t) = yg,λ,µ(t) + yp(t)/λ, µ ∈ R} ou :

1. yg,λ,µ(t) est la solution generale de l’ED homogene associee a l’ED affine (E6). Cette ED

homogene, egalement appelee ED sans second membre et notee (E6) est definie par�

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = 0 . Elle s’obtient en remplacant le terme d(t) de l’ED affine (E6) par 0. C’est

une ED lineaire du 2eme ordre a coefficients constants qui se resout a l’aide de lamethodologie 332. yg,λ,µ(t) est dependante de 2 degres de liberte λ et µ (reels quelconques).

109

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Module 3

2. yp(t) est une solution particuliere de l’ED affine

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = d(t) (cette fois avec le 2d

membre d(t)). Cette solution peut etre recherchee avec les 2 meme techniques que les ED affine du1er ordre :• Methodologie 317 de verification d’une solution suggeree ou d’une solution evidente.• Methodologie 318 d’observation des fonctions coefficients.

Remarque : N’importe quelle fonction tant qu’elle est solution de l’ED affine fonctionne pour lasolution particuliere yp(t). M3.347

11.3.3.C Recherche d’une solution particuliere (pour les poursuites d’etudes longues)

Theoreme 337. Soit ay” + by′ + cy = P (t)ekt une equation differentielle affine du second ordre acoefficients constants, avec P un polynome et k un coefficient reel. L’equation caracteristique associee ason equation homogene est ax2 + bx+ c = 0.

1. Si k n’est pas racine de l’equation caracteristique, il existe une solution particuliere de la formeQ(t)ekt, ou Q est un polynome de degre egal au degre de P , autrement dit deg(Q) = deg(P ).

2. Si k est l’une des deux racines (simples) de l’equation caracteristique, il existe une solutionparticuliere de la forme Q(t)ekt, ou Q est un polynome tel que deg(Q) = deg(P ) + 1.

3. Si k est la racine double de l’equation caracteristique, il existe une solution particuliere de laforme Q(t)ekt, ou Q est un polynome tel que deg(Q) = deg(P ) + 2.

11.3.3.D Methodologies

Methodologie 338 (Resoudre une ED affine du 2eme ordre a coefficients constants sans CL). 1.

Verifier le type de l’ED et l’ecrire sous la forme

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = d(t) ;

2. Introduire l’ED homogene

�a

d2y

dt2+ b

dy

dt+ cy = 0 (associee a l’ED affine) puis la resoudre en

utilisant la methodologie 332 pour trouver la solution generale yg,λ,µ(t) ;

3. Determiner une solution particuliere yp(t) de l’ED affine en utilisant :• la methodologie 317 de verification d’une solution ;• la methodologie 318 d’observations des coefficients ;

4. Conclure sur toutes les solutions de l’ED en ajoutant les solutions obtenues en (1) et (2).M3.348

Methodologie 339 (Resoudre une ED affine a coefficients constants du 2eme ordre avec CL). 1.Trouver la solution generale de l’ED affine du 2eme ordre en utilisant la methodologie 321 etdependante de deux degres de liberte λ et µ variant dans R ;

2. Remplacer les donnees fournies par la CL dans la solution generale pour obtenir un systemed’equations dont les inconnues sont λ et µ ;

3. Resoudre ce systeme pour determiner λ et µ et trouver la solution.M3.349

11.3.3.E Exercices

11.3.3.E.a Exercices-typesExercice 3.63. Exercice type : ED affine du 2eme ordre : 1 Trouver toutes les solutions de l’ED

d2y

dt2+ 2

dy

dt− 3y = tet. On pourra rechercher une solution particuliere sous la forme P (t)et avec P (t) un polynome.

2 Quelle est la solution de l’ED lorsqu’on impose les 2 CL�� ��y(0) = 0 et

�� ��y′(0) = 1 ?

M3.350

110

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Module 3

11.3.3.E.b Exercices de TDExercice 3.64. BTS 2006 : On considere l’equation differentielle (E) donnee par y′′ − 3y′ − 4y = −5e−t, ou y estune fonction de sa variable t, definie et deux fois derivable sur R, y′ la fonction derivee de y et y′′ la fonction deriveeseconde de y.

1. Donner l’equation homogene associee a (E) et determiner ses solutions.

2. Soit h la fonction definie sur par h(t) = te−t. Demontrer que la fonction h est une solution particuliere del’equation differentielle (E).

3. En deduire l’ensemble des solutions de l’equation differentielle (E).

4. Determiner la solution f de l’equation differentielle (E) qui verifie les conditions initiales f(0) = 2 etf ′(0) = −1.

M3.351

Exercice 3.65. ED du 2d ordre : Soit l’ED (E) y′′ + 2y′ + 2y = sin(ωt) ou y designe une fonction de la variablereelle t et ω un reel non nul.

1. Ecrire et resoudre l’equation homogene associee a (E).

2. Montrer que (E) admet une solution particuliere de la forme y1(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), en trouvant lesvaleurs de a et b en fonction de ω.

3. Donner la solution generale de (E).

4. Trouver une solution qui verifie les conditions initiales suivantes : y(0) = 0 et y′(0) = 0. Tracer larepresentation graphique de la fonction solution dans le cas particulier ω = 2.

M3.352

Exercice 3.66. ED affines : Resoudre les problemes suivants, ou y est une fonction de la variable reelle t :

1

−y′′ − y′ + 2y = 1y(0) = 0y′(0) = 1

2

y′′ + y′ − 6y = −6t2 + 2t− 4y(0) = 0y′(0) = 1

3

4y′′ + 4y′ + y = 2(t− 4)e−t

y(0) = 1y′(0) = 0

M3.353

Exercice 3.67. Une ED affine avec second membre exponentiel : Resoudre l’ED y′′ − 2y′ + y = et. On pourrarechercher une solution particuliere sous la forme At2et avec A une constante reelle a determiner.

Exercice 3.68. Changement de variable : Resoudre l’ED ty′′ + (t+ 2)y′ + (t+ 1)y = 0 en faisant le changement devariable z(t) = ty(t) ou z(t) est une fonction de la variable t.

M3.354

11.3.3.F Exercices (pour les poursuites d’etudes longues)Exercice 3.69. Concours DUT-BUT 2009 : QCM :Question 1 : On note (E1) l’ED y′′(t)− 6y′(t) + 9y(t) = e3t et (E2) l’ED y′′(t)− 6y′(t) + 9y(t) = 9t2 − 3t+ 5.L’equation homogene associee : y′′(t)− 6y′(t) + 9y(t) = 0 est notee (H). Quelles affirmations sont vraies parmi :

1. Les solutions de (H) sont de la forme y(t) = Aer1t +Ber2t dans lequel r1 et r2 sont les solutions de l’equationcaracteristique x2 − 6x+ 9 = 0,

2. y(t) = (2t+ 3)e3t est une solution de (H),

3. (E1) a une solution unique qui est y(t) = t2e3t,

4. La seule solution de (E1) telle que y(0) = 1 et y′(0) = 1 est y(t) = (t2 − 2t+ 1)e3t,

5. Il existe des solutions de (E1) ayant pour limite 0 en +∞.

Question 2 : Quelles affirmations sont vraies parmi :

1. Il existe des polynomes de degre 3 solution de (E2),

2. y(t) = t2 + t+ 1 + (2t+ 3)e3t est une solution de (E2),

3. La solution generale de (E2) est y(t) = t2 + t+ 1 +Ae3t avec A constante reelle,

4. L’unique solution de (E2) verifiant y(0) = 1 et y′(0) = 1 est y(t) = t2 + t+ 1,

5. Il existe une unique solution de (E2) ayant pour limite 0 en −∞.

111

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Module 3

Exercice 3.70. Concours DUT-BUT 2009 : QCM :Question 1 : On note (E) l’ED y′′(t)− 4y′(t) + 4y(t) = 6te2t + et. L’equation homogene associee :y′′(t)− 4y′(t) + 4y(t) = 0 est notee (H). Quelles affirmations sont vraies parmi :

1. Toutes les solutions de (H) sont de la forme y(t) = ert et sont obtenues en prenant pour les r les solutions del’equation caracteristique x2 − 4x+ 4 = 0,

2. La solution generale (H) est y(t) = Ate2t +B avec A constante reelle ,

3. y(t) = te2t est une solution de (H),

4. La seule solution de (H) qui tende vers 0 en +∞ est la fonction nulle,

5. Il n’existe pas de fonction f solution de (H) telle que f(0) = 0 et f(1) = −1.

Question 2 : Si on pose dans (E) notee (F). Quelles affirmations sont vraies parmi :

1. L’ED obtenue est (F) z′′(t) = 6te2t + et,

2. Une solution particuliere de (F) est z(t) = t3 + e−t,

3. Il n’existe pas de solution de (E) nulle en 0,

4. La solution de (E) verifiant y(0) = y′(0) = 0 est y(t) = t3et + tet,

5. Toutes les solutions de (E) ont la limite +∞ quand t tend vers +∞.

11.4 Synthese

Les ED vues au M3 , leurs solutions et les differentes methodes pour les resoudre sont resumeesfigure 58. M3.355

112

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Module 3

Les

ED

du

M3

ED

du

1er

ord

re

avecy

etdy dt

ED

du

2d

ord

re

avecy,dy dt

etd2y

dt2

ED

avari

ab

les

sep

are

es

(pou

rsu

ites

d’e

tud

es)

ED

lin

eair

e(a

coeff

sn

on

con

stants

)

(E2)

a(t

)dy dt

+b(t)y

=0

Sol

uti

ongale

avec

met

hod.

305

:y(t

)=

λex

p( P(t

)) avecP

(t)

pri

mit

ive

dep(t

)=

−b(t)

a(t

)

Sol

uti

onav

ecC

Lav

ecm

ethod.

306

:so

lu-

tion

de

lam

ethod.

305

avecλ

det

erm

ine

pou

rver

ifier

laC

L

ED

affi

ne

(E4)

a(t

)dy dt

+b(t)y

=d(t

)

Sol

uti

ongale

avec

met

hod.

321

:y(t

)=

y g,λ

(t)

+y p

(t)

avec

:•y g,λ

(t)

solu

tion

gale

de

l’E

Dhom

ogen

eass

oci

eea(t

)dy dt

+

b(t)y

=0

(via

met

hod.

305

ou

312)•

y p(t

)so

luti

onpar

ticu

lier

ede

l’E

Daf-

fine

rech

erch

eeav

ec:

Met

hod.

317

:V

erifi

cati

ond’u

ne

solu

tion

pro

pose

e,M

ethod.

318

:O

bse

rvati

ondes

fonct

ions-

coeffi

cien

ts,

Met

hod.

320

:V

ari

ati

onde

laco

nst

ante

Sol

uti

onav

ecC

Lav

ecm

ethod.

322

:so

lu-

tion

de

lam

ethod.

321

avecλ

det

erm

ine

pou

rver

ifier

laC

L

ED

lin

eair

ea

coeff

scon

stants

(E3)

ady dt

+by

=0

Sol

uti

ongale

avec

met

hod.

312

:y(t

)=

λex

p( x 0t)

avecx0

solu

tion

de

l’E

Cax

+b

=0

Sol

uti

onav

ecC

Lav

ecm

ethod.

313

:so

lu-

tion

de

lam

ethod.

312

avecλ

det

erm

ine

pou

rver

ifier

laC

L

ED

lin

eair

ea

coeff

scon

stants

(E5)

ad2y

dt2

+bdy dt

+c

=0

Solu

tion

gale

avec

met

hod.

332

:et

ant

donnee

l’E

Cass

oci

eeax2

+bx

+c

=0

de

dis

crim

inant

∆,•

Cas

∆>

0:

y(t

)=

λex

p(x

1t)

exp

(x2t)

avec

x1,x

2so

luti

ons

reel

les

de

l’E

C•

Cas

∆=

0:y(t

)=

(λ+µt)

exp

(x0t)

avec

x0

solu

tion

de

l’E

C•

Cas

∆<

0:

y(t

)=

exp

(τt)

(λco

s(ωt)

sin

(ωt)

)av

ecτ±jω

solu

tion

sco

mple

xes

de

l’E

C

Solu

tion

avec

CL

avec

met

hod.

333

:so

luti

on

de

lam

eth

od

.332

avecλ

etµ

det

erm

ines

par

un

syst

eme

d’e

qu

atio

ns

pour

ver

ifier

les

2C

L

ED

affi

ne

(E6)

ad2y

dt2

+bdy dt

+cy

=d(t

)

Solu

tion

gale

avec

met

hod.

338

:y(t

)=

y g,λ,µ

(t)

+y p

(t)

avec•y g,λ,µ

(t)

so-

luti

on

gale

de

l’E

Dhom

ogen

eass

oci

ee

ad2y

dt2

+bdy dt

+cy

=0•y p

(t)

solu

tion

par-

ticu

lier

ede

l’E

Daffi

ne

rech

erch

eeav

ec:

Met

hod

.317

:V

erifi

cati

on

d’u

ne

solu

tion

pro

pose

e,M

eth

od.

318

:O

bse

rvati

on

des

fon

ctio

ns-

coeffi

cien

ts

Solu

tion

avec

CL

avec

met

hod.

339

:so

luti

on

de

lam

ethod.

338

avecλ

etµ

det

erm

ines

par

un

syst

eme

d’e

qu

ati

ons

pour

ver

ifier

les

2C

L

Figure 58 – Les ED du M3113