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Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 1/34 Matemáticas Discretas TC1003 Inducción Matemática Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes ITESM

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Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 1/34

Matemáticas DiscretasTC1003

Inducción MatemáticaDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 2/34

Inducción Matemática: Historia

Inducción Matemática es unmétodo de prueba relativa-mente reciente: el primer usoconocido lo hizo el sacerdo-te italiano Francesco Mauroli-co (1494-1575) en su publica-ción “Arithmeticorum libri duo”(1575).

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 3/34

Inducción Matemática: Historia

En el siglo 17 tanto Piere deFermat como Blaise Pascal uti-lizaron inducción matemáticapara hacer demostraciones.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 4/34

Inducción Matemática: Historia

En 1883 Augustus De Morganfue el primero que describió elproceso cuidadosamente y lenombró inducción matemática.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/34

Inducción Matemática: Idea Intuitiva

Suponga una fila interminablede fichas de dominó.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 5/34

Inducción Matemática: Idea Intuitiva

Suponga una fila interminablede fichas de dominó. Supon-ga que las fichas están estra-tegicamente colocadas de talforma que si cualquiera caye-ra hacia adelante tumbaría lasiguiente ficha hacia adelan-te. (Paso Inductivo) Supongatambién que la primera fichacae hacia adelante.(Base In-ductiva)¿Qué pasará con las fichas dedominó?¡Caerán todas!

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 6/34

Inducción Matemática: Formulación

Suponga que una propiedad (fórmula,desigualdad, condición etc) P(n) que está definidapara los enteros apartir de un entero fijo a (Paran = a, para n = a + 1, para n = a + 2, . . . ) Supongaque las dos siguientes afirmaciones son ciertas:■ P(a) es verdadero.■ Para cualquier entero k mayor o igual que a:

Si P(k) es cierto, entonces P(k + 1) es cierto.

Entonces la afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P(n)

es verdadera.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 7/34

Inducción Matemática: El Método

Para demostrar que es verdadera una afirmación:

Para todos los enteros n ≥ a, P(n)

Pruebe que:■ Paso 1 (Base Inductiva): P(a) es verdadero.■ Paso 2 (Paso Inductivo): Muestre que para

cualquier entero k ≥ a . . .◆ suponiendoque P(k) es verdadera (Hipótesis

inductiva)◆ entonces muestreque P(k + 1) también es

verdadera.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 8/34

Inducción Matemática: Ejemplo 1

Suponiendo como válidas las reglas de derivación

ddx

x = 1

y que

ddx

( f (x) · g(x)) = g(x) ·ddx

f (x) + f (x) ·ddx

g(x)

Demuestre que para todo entero n ≥ 1

ddx

xn= n xn−1

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 9/34

DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La fórmula quedebemos demostrar para n = 1 queda:

ddx

x1= 1 x1−1

es decir,ddx

x = 1

pero esto es uno de los datos que tenemos en elproblema. Por tanto, la afirmación es cierta paran = 1.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 10/34

Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:

ddx

xk= k xk−1

Mostremos que entonces se cumple:

ddx

xk+1= (k + 1) xk+1−1

= (k + 1) xk

(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemoscon el lado izquierdo de la igualdad que queremosdemostrar y hagamos un truco matemático:

ddx

xk+1=

ddx

(

xk· x)

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 11/34

Si tomamos como f (x) = xk y como g(x) = x yutilizamos como probada al fórmula dada al iniciodel problema tenemos´:

ddx

xk+1=

ddx

(

xk· x)

= xddx

xk+ xk d

dxx

Por la hipótesis inductiva ddx xk= k xk−1, entonces

tenemos que la igualdad anterior queda:

ddx

xk+1= x

ddx

xk+ xk d

dxx = x·k xk−1

+ xk· 1

Si hacemos álgebra en el lado derechoobtenemos:

ddx

xk+1= (k + 1) xk

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 12/34

Que era la fórmula que debíamos demostrar. Portanto hemos probado que si d

dx xk= k xk−1 es

verdadera, entonces ddx xk+1

= (k + 1) xk es tambiénverdadera.Es decir, hemos probado el paso inductivo.Por haber probado la base inductiva y el pasoinductivo, el principio de inducción matemáticadice que la afirmación es cierta:

Para todo entero n ≥ 1,ddx

xn= n xn−1

.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 13/34

Inducción Matemática: Ejemplo 2

Demuestre que para enteros n ≥ 3:

2n + 1 ≤ 2n

DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 3. La desigualdadque debemos demostrar para n = 3 queda:

2 · 3+ 1 ≤ 23

es decir, 7 ≤ 8, pero esto es verdadero. Por tanto,la afirmación es cierta para n = 3.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 14/34

Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 3 cualquierase cumple:

2k + 1 ≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

LHS = 2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar)Trabajemos con el lado izquierdo de ladesigualdad que queremos demostrar:

LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 15/34

Por la hipótesis inductiva 2k + 1 ≤ 2k y como parak ≥ 3, 2 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = 2 (k + 1)+ 1 = 2k + 1+ 2 ≤ 2k+ 2 ≤ 2k

+ 2k

Por tanto, hemos probado que

2 (k + 1)+ 1 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k

= 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:

Para cualquier entero n ≥ 3, 2n + 2 ≤ 2n

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 16/34

Note que en la demostración anterior hemoshecho uso de lo siguiente:■ Si A ≤ B, entonces A +C ≤ B +C.■ Si A ≤ B y B ≤ C, entonces A ≤ C.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 17/34

Inducción Matemática: Ejemplo 3

Demuestre que para enteros n ≥ 4:

n2≤ 2n

DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 4. La desigualdadque debemos demostrar para n = 4 queda:

42≤ 24

es decir, 16≤ 16, pero esto es verdadero. Portanto, la afirmación es cierta para n = 4.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 18/34

Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 4 cualquierase cumple:

k2≤ 2k

Mostremos que entonces se cumple:

LHS = (k + 1)2 ≤ 2k+1

(La desigualdad anterior se debe probar)Trabajemos con el lado izquierdo de ladesigualdad que queremos demostrar:

LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 19/34

Por la hipótesis inductiva k2≤ 2k y como para

k ≥ 4 ≥ 3, 2k + 1 ≤ 2k, lo anterior queda:

LHS = (k + 1)2 = k2+ 2k + 1 ≤ 2k

+ 2k + 1 ≤ 2k+ 2k

Por tanto, hemos probado que

(k + 1)2 ≤ 2k+ 2k= 2 · 2k

= 2k+1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:

Para cualquier entero n ≥ 4, n2≤ 2n

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 20/34

Inducción Matemática: Ejemplo 4

Demuestre que para enteros n ≥ 1:

1+ 2+ · · · + n =k∑

i=1

i =n(n + 1)

2

DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La igualdad quedebemos demostrar para n = 1 queda:

1∑

i=1

i = 1 =1 · (1+ 1)

2= 1

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 21/34

Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:

k∑

i=1

i =k(k + 1)

2

Mostremos que entonces se cumple:

LHS =k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 1+ 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

(La igualdad anterior se debe probar)

LHS =k+1∑

i=1

i =

k∑

i=1

i

+ k + 1

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 22/34

Por la hipótesis inductiva∑k

i=1 i = k(k+1)2 lo anterior

queda:

LHS =k+1∑

i=1

i =

k∑

i=1

i

+ k + 1 =k(k + 1)

2+ k + 1

Haciendo álgebra tenemos:

k(k + 1)2

+ k + 1 =k(k + 1)+ 2(k + 1)

2=

(k + 1)(k + 2)2

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 23/34

Por tanto, hemos probado que

k+1∑

i=1

i =(k + 1)(k + 2)

2

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:

Para cualquier entero n ≥ 1,n∑

i=1

i =n(n + 1)

2

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 24/34

Inducción Matemática: Ejemplo 5

Suponga una sucesión de números a1, a2, a3,. . . que cumplen la siguientes reglas:■ Regla 1: a1 = 1, y■ Regla 2: an+1 = 2an + 1 para n ≥ 1.Pruebe que la fórmula para los números an paran ≥ 1 es:

an = 2n− 1

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 25/34

DemostracionDe acuerdo al principio de inducción matemáticadebemos demostrar:Base inductiva:Que la afirmación es veradera para el primero deesos enteros. En este caso n = 1. La igualdad quedebemos demostrar para n = 1 queda:

a1 = 21− 1 = 1

pero esto es verdadero por la regla 1. Por tanto,la afirmación es cierta para n = 1.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 26/34

Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:

ak = 2k− 1

Mostremos que entonces se cumple:

ak+1 = 2k+1− 1

(La igualdad anterior se debe probar) Trabajemoscon el lado izquierdo de la igualdad que queremosdemostrar: por la regla 2:

ak+1 = 2ak + 1

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 27/34

Por la hipótesis inductiva ak = 2k− 1 lo anterior

queda:

ak+1 = 2ak + 1 = 2(2k− 1) + 1 = 2k+1

− 1

Por tanto, hemos probado que

ak+1 = 2k+1− 1

Esto es justo la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera:

Para cualquier entero n ≥ 1, an = 2n− 1

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 28/34

Inducción Matemática: Ejemplo 6

Considere el programa:SD(A,n,x)variable A array of floatvariable n integervariable x floatif (n = 1) then[a] return(A[1])else[b] return(A[n] + x*SD(A,n-1,x))end ifend proc

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 29/34

Afirmación para n ≥ 1:

SD(A, n, x) =∑n

i=1 A[i]xn−i

= A[n] + A[n − 1] x1+ · · · + A[1] xn−1

y su ejecución se realiza con 2(n − 1) FLOPs.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 30/34

DemostracionBase inductiva:Debemos demostrar que para n = 1 el programaregresa :

1∑

i=1

A[i] x1−i= A[1] x1−1

= A[1].

Pero esto es verdadero, pues el programa paran = 1 sale por la línea [a] entregando esto.Además, como no realiza ninguna operación depunto flotante se coincide con la fórmula para elnúmero de FLOPs invertidos: 2 (1− 1) = 0. Portanto, la afirmación es cierta para n = 1.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 31/34

Paso inductivo:Supongamos que para un entero k ≥ 1 cualquierase cumple:

SD(A, k, x) =k∑

i=1

A[i]xk−i

Y que lo hace con 2(k − 1) FLOPs. Mostremos queentonces se cumple:

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

y que lo hace en 2(k + 1− 1) = 2k FLOPs.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 32/34

Revisemos la ejecución del programa paran = k + 1: Como k ≥ 1 entonces k + 1 , 1. Por lotanto, el programa ejecuta la línea [b] entregando:

SD(A, k + 1, x) = A[n] + x × SD(A, k, x)

Por la hipótesis inductiva:

SD(A, k + 1, x) = A[n] + x ×k∑

i=1

A[i]xk−i

Por propiedades matemáticas lo anterior queda:

SD(A, k + 1, x) = A[n] +k∑

i=1

A[i]xk+1−i=

k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 33/34

Además, haciendo en conteo de las operacionesrealizadas■ la llamada recursiva requerirá 2(k − 1) FLOPs, y■ la línea [b] requerirá aún dos FLOPs más: una

suma y una multiplicación.Es decir, que el número de operacionesinvolucradas serán

2(k − 1)+ 2 = 2k

Esto es exactamente lo que se quería demostrar.

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HistoriaHistoriaHistoriaIdeaFormulacionMetodoEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6

Inducción Matemática Matemáticas Discretas - p. 34/34

Por tanto, hemos probado que bajo la hipótesisinductiva, validez de lo afirmado para n = k, elprograma ejecutado para n = k + 1 entrega

SD(A, k + 1, x) =k+1∑

i=1

A[i]xk+1−i

y lo hace en 2(k + 1− 1) FLOPs. Lo que esexactamente la afirmación para n = k + 1. Portanto, hemos probado el paso inductivo. Por elprincipio de inducción matemática la afirmación esverdadera para enteros n ≥ 1.