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matemáticas i. algoritmo. cou [sm]

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Libro de matemáticas de COU de la editorial SM del año 1995.Autores:J. R . Vlzmanos,M. Anzola.

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    fO!Ogr~l\os:=~~p=:~~~(F(, Cootdir>ocinlkniu:s.ntioqo~Vkqou.-M

  • J. R . Vlzmanos M. Anzola

    algoritmo matemticas 11 cou

  • HAN PASAOOSill'llliiOs DUOI QUIII'IIIl.IC.
  • 4.1irtemasdee

  • 11. Umn~ de fundan~ 1l.Continuidail 13. Oer~adas y drrerendal~ il 14. fuiKion~ der~abl~: propiedad~ ~al~ y global~

    15.funcion~derivabl~:monotonia ycuNatura 16.1 ntegral~indefinida; 17.1ntegraldefinida 18.ApliCl!ionesdelaintegraldefinida

  • Hirtoria de las matemticas CD l. Sirtemas de ewaciones lineales. Mtodo de Gauss 411 2. Matrices CD /; J.Determinantes 1 CD 4.Sirtemasdeewacioneslineales e

  • l4j0 lSOO so lbOO jO 1

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    tossisletMde~~enwirodall!$riMs me.>da5de~COillpOOPI1!1'5pued

  • Un~~mm~ndosinc6gniu

  • ......,_ unoislemlde~t'l,.,..,tod.loOUl!ducioo'les. [S~IfqutU~~!epuedefeoHerMondot'lcompo!bW.

    Pwrt5Ciflotr ~~n oimomol\lyqoei\Ktr t.,nslorrna0or..stn!.s ~ ~tJ~ t.m. IHinc6gnila!queenespejodas. En t1'te pre!!SI!utiiunlosrnl-!odo:lde

  • I EI s-..dt~_.;a,

    ~ .. ~

    Dossistema'leqtJivolentesdeblonteOO"elmismonr.merodeincg nilatiorles,ellistema resultnteoo.olamellteeseq~lerue.11il1iciol , linoque.,.,esentia eselrrismc.

    Criteriosdeequivall'flcia Lmai~deoq

  • Siauoaecu.acindeunsistemase le wnwo se le""ta otrecu.Kin~inie.11otdtc~uitse,sinoloson..pic.ando_,poirercrittrio. Laelirninandeiocgnita
  • l#frif~~Merapco-l: Ll~lt~ OOtr

  • Cwndcalca~unaincgitaporreducOOn.&taresulta serunomerofrailriocin"acional,. + )' 12 Por-~: -l&+ l"Y -40 PorS~

    SUmM1do 59 -26

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    rrile>M pai

  • fr.Vill!f{ISofO.IIiOJl. ~r~hrm. ""' ~;t)I.JJ -IoK\ finilw!Vift.o.lul t! _ ..

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  • S6tomodedoo-~ -~:~ !~ = - 1 ~ l z -S dedonde z -+

    Sus!ittlifno

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  • Jetttitrc.dooo/l$011~1$. _,_..,pollic "'1)15 .. 1r.ly'>I.Mio~

    ~brrUI-"'""""""'ob:ll.-"'quo llobllsido .......... ptxf""''k '~"""'"'bjo....,_,.

    ~o/lollo:Mipltob

    :".:: .. ~.::. ~~"rhJ~ .. ~

    Ecuaciones dependientes LOsaiterio:s~~P"'miteoarooiroquila

  • il Enfl~oistemi:~ ~: ~ ~ = ! 7 + 8y .. , 0. + 0)10 -t..~te.

    nesE,JE,..

    SitnllfiV.temadoe~lintlllesu~uacin~ pendedellsrestantes.puedesuprimiov.y~V.te!NII5IJI. linte es equivilltnl~ ~ dado

  • Algu110Svects.enlos$i$tenu!opare o , b ..... l:.l'f\ - .~P"'~""'qvei)O* del1torMtromo.aiofcw!quioeotibleono

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    s 19 Han.tmro.rnoros,~quoel~es igu.llocb....,el"9'f'ldorMiamillddtlttroorc,q;t

    lalUI'I'IIdoiJ!gUndoy~- .. igu.llllprimeroflli> 1. j (pi~ stlt'Stl el fE9Yidcdfla !LWI'I.I do! p:ir.fto CM eltftMO,el ..... bdo015

    S 22 Kol.lo""ral"""'clotmcifm.wbi...OO'I'Jf ...,..,_9 , que~del~dadostlor!'8Mor .. untrobojadorprod"'"10rnesO< dt trpOAy9meiOlclolipolEn 10Mor11produ:e 8

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    s 20 C*ulartmrol""'"'""""""""'"ll>~ s 26 u...tm~rtS~t>ntmrrinalcoom!!10ldt :~~=esla!UNdtlololrO!dos; ~ r--,--,--,--,.,-,

    blel~esigu.ll olamilld dol~rM~

  • s 27 a.no~Matndiloocwolosdoloshijos,iiiiJI!IO lludodesdtllllrtlpellOI'IMII"il""lo 100 tlenorio!,(~docod.IO!>Icit>O"""'""l ~lo(!)~.

  • s 39 tre.....,......,,..ns~.s..s. dosdeionNqt,OtCIIMdo>di!OI'OJplltidtii!XWONfeli.

    48 t:~os'Pblde~n.Jr1Jw-wr.. obttnolrdalf""iudodtdndodOJ.HIIorl

  • 51 Ellillemi {~:; : 1 tientdo5~2yl1Esc.cmd.letllormadtrelsirstl ~soiJI:il:r,delsilterT'IIl

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  • ~eRt~tifulld:l~deA~ ~plll'rirlera.ezmCUolltad:lrNgiro,~e"

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    Ustunu~l Ur~~li!.t.o~tsu n COI"jo.mtcde..,;mtlosdispueltO

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    pondiffites l !o> columnas, !lldecir,de>de1~7 l.ltabto""~ A(I,l)~ indiclroetombi>oono:ldsui)jnd.:e~laq ..... ....Vdoodctioltodc-'" pdi!oMoolosli:M.

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    MatrlztraUe

  • MltrirantiJimtriu.Se llmaMit!Od.lmotrizcu.trodolilqw .. --~.Como~dedb,lld ... mpollle .....

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    Suma y difem~Cii de mattis

    lJIUINdfmillri=esU1119fl'll'l .. iulrtdii!~Sllmide~ Enlos~tesejemplosri'OWMilOI~WO

  • l'roductode.,..tcesporunnUmtro

    E l prOOuctodt\lf\nUmerorealpor~nt~ectodo~m.o!1lo!spc:tn'neros!Nies;

    4 (1,2,3)((,8,12) 5 (\,3,5,7,9, ... )(5,15,25,35, 45, ... )

    6. { -~! :) . (~ ~ ~! z:) Gene!Jmndoetos~ .. obtlentlll~doMOOn;

    EJ producto de ul'\l m;rttA (I.) porunnme

  • En..._onr..U .. otNIKIU!IIdDI!Iproducloi!SQialrdedos ~

    Si(>;yly!l'.y'}""'dos'o'Kielmde ll',l!l pn>ductoHUI~ se delintdt!siguionltmodo;

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    (l,y,z) (>;',)",Z') M't'f'lt U' Aderr'lsdelioiMe.parcp..ot -~ESIIS~IMIInll~deP"f!W'I!Ia dendr>lo

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    AnlohteMtrelas

  • Okulodelri1f190porelrMtododeGauss

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    -- todoslos~posiblt

  • Ejercidos. resUeltos 1 \, Enddeutrolodt ................ te6t

  • El fllimerQ de Jmaodos olltl'l\idQ> ol desarrollar un detlt f ,, f ,. FJ " k det(f,. F~ FJ

    I S~ I S/\3 1 ' 1 ~~~~ 1 1 o 1 1 0 Esupropedodptm"desac.or iLJOfdeldet'-"lTlinantelosfac-toresoomunesa todo

  • l'rof)ledadesyv~~losdettnnin.lntH . SiperrnutMMWifi
  • 9. Siaunafilao~umna deunamatricuaod r;>

  • UiWnclo~IH~1,9y10dtl_.odo onwrior , dooundot.........,~,.pueeMI!arotroque ..... ;,,.;,.

    moytll qiH!toclodrlio dW. goMiprtncl~

    El~drrtduclnucjldorwPQIItl""""""awdolloi~~~..a.a.-drlf9U'IdooiMlrordrrl.yoque """"~CIItulordftaorNnlt.

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    1 ~ 00 "'-~--~""""' .. 1 pendt dt otr~ puede suprimirse, y el~,""" mutt.nto 11> equN.Mtmeold.do.

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    [:::e::::: :: 1.!1!5oMr\o~>'J .. fulci6ndtL l.CilaU

  • s 17 ~m..._..lilgrlzal.ludP

    se~l!l-llPUedeserCOI'I'IPflibleyd!WIIWIIdollflled!~li!tD*III~ podetr..ndtmucNI~l

    s 26 Seturl!isi!O!ItdeftlllKKll'eJtrailn\t Ml

  • l.lfolo*'nraHOO!inagfnobreOOaenooord!rrador,utizadilen rl clepMepara~W ~de.b!a!Je.w.flarJenadormMar/cuef(J'deUIIccmdorp.iia5ll~most,.,,O.i> fotmaen~WchoMaspamdtlcuerpofutJOOnan~o!ltliiSCOOOU,)jjiaapmdt/mdor.

    Ll:siw!qutm.tffi1llli!~pallf5dtlwerpoSf:Mdetrmq;milfCOO'OIffm~dactXrl l'ilf.i> en furo:>ndtl~dtlar.l>ra

  • ..

    ..

    An\e5dedar llodoefrici6nab5trK\ildt~I:',r')]+(x', f(>;)'l+((ic',y')+((,y')j. l. Coomutotivo: (>.y)+(x'y') (x',y')+(\'/1 l . EiementO MUtro:E>.y.z) (b.l:y,b)

  • E:.p)+

    + [{>',"(,>')+(>:', '(,z")). 2. COM"Iutaliva : (>:,y,z)+(>',"(,z')(>',y' . z')+(>:.y, z)

    J. ~tonMro:EJ y(>',, .:, ..... ',.) son Iguales ~..,....,. rilic.Jx, .t",,., ,, ... ,:o:, x'~ \

    Eneste_cor;t,Jmostdefinen lo '"""'Y producto por rt\)m,) + [((,. x',, .... x'J + (X',, t'~ .. .. "I'J]

    2. CoM>utativa: (x,,x,, ... , xJ+C.:,.x'._ .... x'J C.:,.x, . .... FJ +(x,x, . .... o.)

    l . Elementoneutro:Es(O,O . ... ,O),yaque (x, ,x,, .. .. o.)+(O, O, .. . ,O) (x,.x, ..... >J

    4. ElementoopuestO: Todoelemeoto(x,,x,, ... ,J

  • Eniosconjuntosnumtn
  • Ejtomplo$dttspIOI!flgtOmt!rlocomconli'iic.l,CIOdeu...lr.>nd6nporunrw.lmlrOrN. l.EI~delosnmerosoompltjos.conltsope

  • EnunespadovtPropiedade'ldelolsignos

    4. u -( + YI u - v. ~. U - (-) U + V, 6. 1:;(- u) - lu. 7. '(- k)u -lu. l. H:Jt- u) lu

    Propiedadessimplifk;~tivas

    10. l.u l:-. ~ u v si(,OO. 11. u = k h~ u ,o o l..o ~raode.,tos pro>itdade!., l!ciio,apartitdelos ocilopropitdodesdt~~deespaoi'O!Ctorill

    VNmos, como ejemplo. la demostracin delasseisltinspropiedade'l

    6.k l-u)+k u ll-u + u) k O O, Uegc kl-lll "'P

  • ~tlepklaoectoriolrM R',yti~W for modoporlos'oOKtOt8CUJalfraf'l~el ....... eldocir W {(t.y,OI/.,yE ~} .

    \ , bun~roo\Oidodr R',Jpioo:.todol~os6enis,,.~-.llslor.lo "'~Pan,.;, l.LI-cl!~conlirl.laffl l .,OIII,.,.(Otlliw(l'll 3. Sp

  • Un vector u de V e< comblnadn llnNI de 10' ""'!Die< u,. u,, u,, .. .. u,. de v, ~ P:presaow ~!l

    u , u, +o, u, t ,, u, + ... +,_u,. siendo 1, , ~ .... '- ..:;meros reoles

    A

  • Subetpacioengendritdo

    SoN S {u,. ub u>-~ u.}..., COf'4umO dtoectores de V,y'f!il L(S) el~drtodAIISCOII'b!\Kiones~qutpodrlnosllateconlos n "'CCIreonmiam.e.decr.

    L(S) {a, u,+ a, u,~ a, u,~ ... +.._ u,.) L{S) eonlls~..OO.....de V es un ~YK!Oriol. yoque - ~S.fl'lll drdo$

    ~~~~~ u.. -.. u,.se

  • l.lll""""'llt"""""-.....,.._,. ..,. ,.,_llln. l.lll'"""'"'llt--~ ....... -ligodo.

    Dependencia e independencia line~l de vectores

    Un oonji.Jntodevectores es ~nulmenttdtptnditdo!

  • 1. Estulior lodependon(1,2.ll \0.1, l)+11(1,0,\) IU.llat+ll.lli+N

    [ 1 - 2\ + ~ ,_, JJI;+b

    o _ _..Kilol.rl.,..,..t - 2yh -J.~Ptgoll-11.2.ll ll!llotro!cb;en~a-dldol

    ~--i. Domo:ltllfcueel .. !N\mentt indeperdlftl1e. (nl'ftao, ~lllcemol

  • Con~sde Y definicicindedependencii eindependenllinNI

    v.rr...~llgo.noomullldl:a~quew'* ILQndtlod!fnallndt~eindopondfncioli-eol.

    I .Todo

  • s...v .... espoo~y a ..,.~toclt~ deV.Seclice- l esunobo .. cltVsi .. ~ltsoiguienlftconclii:XIr-..:

    - les"".n-....,.odorcltV. - les~~

    1. Todo~~leii V,t'nlirnenlll~ido.II"'"""'WIIbow.

    l.TQd.,.ltst>.sftdeWifiiiiii"IOespiiOO'ffdarill_,ol.....,.. ....._. ......_ (l_clt'-bostl.

    :::se>~e6!nrromui!Mio~~tnewnll6olo~defi..

    DirMnsinde un~~

    SNV\IIIespoo.ectorillfini\omtnwtr'9'f;ht;lo;M .. ""' dimtnli6n dol f1oP'O ~ 11 nmt

  • Si~'""PP

  • Ccrcsiclonmool'i..poOo.ectorill ll' yl'iespodo~ lt' yurlll opbt;in l do lt' ... R', dolir!id.J,pOfejtmpb,dl'iwguienll!modo:

    f(:q.zl(o,y) h'-~ l coruM!.!opcrldontsl~ .. d.dr.

    -COI'IHI'WlltiP'tdxlodt~oW~nimeootNipOfun..aot.

    ~-l[(>r,y,I) + t, yl Kf(o. y, z) All'ln~li:lbrNrfn'!OI Iplluclonesli neolel.

    SelnVyV'dosespaocios-*"rwlel yf lllll.p;c. cindeVenV';~daquell api!Qd6nl8llnNi sl

    f(u +wl f(u} +f(.,..,..a ,odo u y wdtV f(k u)kf(u) ~ -odo u do!Vytodo k deR

    Alasp~Q

  • lnteBeecindesubesm:ios

    ~nW,yW,do:!subes;>ociosrw!e>delt,elcor;untodeloo;""". tOifldeltqutpert~simuiW...mente,w,yaW,'tllamo

    lntenecdndeW,yW, y,..~u.w w, n w,

    L.aint!'ociosdeltesotrowbeW,nw, 1 w,+w~ b) DMia!ditntnsOor.tldtkii...,.OOS~w .. w.w,nw,

    yW, +W~

    1) W,nW, ((O,O,Z)/IE~) W, + W1 (!>,y, Z){~p E~~

    bl dinW, 2,pqow1Nb.HodoW,os:(00.1.01.00.0,11) 6tnW1 2,1"~"""bo!ociPW,os:((l,Q,QJ,(Il, Q,I)) HdeW, nw,os: HO.o. t))

  • -............... ~ 1 Doo!b!wctortsi1 (1, l)yV (3, 1 ~ o)lmor'-"-~!ttm:nlirwalnliMIIdi!:yY, b)Ewb~iiyVSMiit'>Nimeott~

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    s S OtttrrninMioll'llnidroyb'*lq.oee'-(1, 4,a,b)se.ooonbinarqutfco:mMlUNtll!tde R'.

    b)Holor~COOI'den>dl,-I-2. t ,~++ll ' .. .. (1, ~ + l, J. E!ah ;, oon>:l mmba;ociln inell a.;,y;, sierldo ~ unodolo!vakmc.ial13dos.

    s 16 ~or qoe ~ U yVsondos>Kto

  • S 22 DolmriM~>Mmil(I.I.Ol.iIO.I.-1!. W !2.-. -,.i l1.1.bl.ll,;;,,!t, .. ru.. u. u,. ... iiJ 1 s, .. ;,,u~ u,. '" U,). O, b, + r, O) ~~~~o.l-(1,1,-2,1)~

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    - ru+; : iiet.V e F)'""tr.~~de R' f'tob.lrq.>tlo!corf,o'rt0$! {1tnlo-do ll' lfputde~

    dofomloi:W.acomo'"""de'-"'deftQ!J'OdeG.

    S 39 Se.lfl.l'llpb:ilnde ll' on ROeC!olidiP" fql b-)J. Etudinde~U!llplicci6nlneoi.

    S 40 S.. f ur~~,pblndt ll' on R tle6riidaP" fj),~ f'. !!tllf

  • S 41 ~ondnlupbo6nldl' t' ., ll:' dlfrillo p;r~r.llll.abulilr~! ...... _....~ne~~.

    s 42 ~aiO'IIdl!llucb:if.,ldl' t' ., t' dadlp;r :lllr+r.r.O).!ruior~le....,~

    43 ~bmorl!odi'

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    s 11 Juoncompr4butoc6dtpotioy6dtpolcoy~'698m,SIMdoribon62820"A1#SboJtiasdt potillyldtpoko,yManii!IS124""pcwll>.noasdtpolioy8dtpolco.ICuM11D..,10bu'..~

  • ~~-.;,.,--.....-~

    ' _;'Jeeoblervolru\moloslfi:lulan!Md!>skilfdesplalansvcueq:>J,pll ~cmelfildeCCIIWrres!

  • Vtctorfijo t n tl tspacio

    Se llam.lvector fijo delespaOoun~e~~mentoorifntadoDil"f(ci6nde un WICI:orfijo

    Se ..... direul6ndel-iiil.ldn

  • Mntidodtunvector

    S...,. sentido dei_Ai .. Mntidodo-orridodeY reo sentidoORndctitntn t. mMu direco6nybs M remo! By 0pert1m ..aones ...... litnen todos el tro6dulo 9YI CitO y Id ~quete-YmismoditKci6nysentido.

    Vectores equipolentes

    Oo!VKtotoslijosnonulosMN'y~-equlpolt-ntes sitimen elrnWnom6c!ulo. Y mismodirecnytlmkmooentido.

    SiMyJiS...,~u~tesoei!IO'ibtMA - JiS TOibbsi'ICIOre!.fijo< ..... _~...,. .. decir.

    M - 81 - ~ ... bll~deoquipolen

  • - .. -.-di/ -JiiKio,..ONuniroito~estntantedte>te-torquetienesuorigtner.lllputl\00

  • Entl~deki!.~W>rftdei~V"-delinir dao operaCian......,. rJterJv. !~llimldi loOOM. ,on-. ( IO.~II'O.IItiplico

  • t.P"b - ..... """"'loln> "'lqlfl:o>nohtot.loi>toqueej(OI"IjoJnto V' conlasoperKiooesd.dil> 6 un O>)O(io~.--tidcNbl.at., V' dooigunos:obtener""re>ultado~tobwl5doV'etoformada>portresW!Ctoresy,en~. ejespaoc>YKtoriai V' esdoaimensinl

    1 "" ~""'".'"' ~~,~-"" 1 fonnan unab.JsedeV' 1 lc>si'K!Omoon !ine.Jirnentelnd~ientH

    fnefecto,yaqut~unodoellos,.puaiofaponor..,cornbi .....o6nlineiol doio.n.QUO

    ; . (OX! . [OX')+tx'XJ iOX'l+ IOi!l tm"I+I0'1'!+1a:z'J>

  • TlfSI'KIOiesnoi'!Uios1noOJ!>Ianarioe do! V'; portont~.ei~ V'es M dlmensin3

    lade$

  • L , . ;.; .
  • ~1 :00~~~ ~: ~pr= :~~; g ~ ~~~ ~ mdulo rpor

  • presinan~liticadelproductoesalar

    s...B \u,.U,.UJuoabaU,+;,+ li7J(l'U,+{ii,+z'iiJ

    . ... ,ii,ii,)+IC(\u,,)+Xl''\u,iiJ+y:

  • I.Dol. fn ti!Nngulooqui.lterodtido6m,~~!ldotnLI~rIOIjunll,,.

    4. ClkuiMoltrlbljo...wdo ~ ~!utruT (2Hw, 1Hw, IHw)tn ~direcci6o1 il (3m. 4 m. 5m), tnuno t..>O!OfiOtiOm'lll

    T T il llttw,JHw.I!Woj (3m. 4m.5rrl l Jjuioltl 4 ~ + 1 5]uliol lljuios

    S. HalarLoproo,-eo:i6ndol-0 (l, l. l)l

  • YohtmosmlOqot JI1;1'Qf lMl10:

    1 ....... ~~-"'"'""""" ...... .... 1 du

  • t . En..,.~ortonom'lollio

  • Definicindeproducto vectorial

    El producto vtoria l dedos-.ectoreslibreseV',~ ; .. otroWo: Vo /\ V,y que"'

    obtitnedelI ~u-:-V'l - x> yoomo Bii .. ~ producto de la base por la anura del para lelograrnoOACB, ..,tieoeque:el mdulodelvectorprrxluctovec

    toMide y"V.,.igt~alali""'deiF"'rlelogramoquetienl! por ladoklo'I!Ctore5yY

    1 rN del parale logramo OACB ,. I x ii 1

  • MlkOI'In'Utatw.: U~ ; . -l;~ii). ~=~kJ ~;- ru~V1-u~~~.

    l. :=~ .. ~ ~-!':;)': (r~~ +Tx"Wl~ 11 ....... de &presl6naMiiticadelproductovectorial

    S. B- (,,T."> ....... baw Oltl:liiOm'lll de V', - to.. y, l} y ; .(X',y',r'}dosvectore.,bdoliir;lel't

    $IxYI -~\fi5i 1S.~

    Dldll'oWI:-.c-oou~oI llloaolo!< ..... -,... ...

    ~o!otoDIIo!aNa.

    "'

  • @ ~~.y, zl. v (>;',y'. z') y w ((, '(, z") tres vector"' ~bres del espacio; aplt-

    l)resiooesar.a l:ti

  • Propiedadesdetproductombcto

    1. u.;.WJ .. V,W.l IW.ii.V! 2. t,W,VJ - rV.ii,W] - tW.V.) - -; [,V.W} l . ~~~ ... WJ O si, y slo ,.;. , V, W son linealmente d"'""' 4. ,,lW. cWI atxr.V.W s. I + '.V.W .. ,V,WJ + u.V.Wl L>demcstrciodeestaspropiedadesesinmtdiata,,partirde lll definki6ndeproductomixlo,ode~expr~i6n nalitica .

    EJ!~i~i5~e5ireit0~~-=-----t ~=~f. r: ~-o.o, .. o,t,o1r - ro.o.tl.l'llollllr

    ti. j, ~ T-(x f llrtli. j. f 1

    ~q.>tstltllll ~-..:irno!1dola.bod.~figuri

  • -Oto!.IPf~.W;,p;rtmsdo"' ~pcac""""""'..,*-.,r 51Mer,~.,,8JI,..oln.W ~.llltnol~r"""'""' *"-*~~

    &11600!llb'lil"""*"pa pm.... .... ~--~ "'

    t.ap.rop;~funda"""'tal delosl'l'NeiVKtorVde V',~eunodellenguaje"'bastantelrecuentecoolundirel~ alln (E',V',f) cor:el.:oniontosubyate E'., '

    l.a dimenn del~alin"'lamismaq""lidimensindel ~vectoriol=>Ciodo.En~.ladimen.i6ndelespacio afin E' !S l.

    Seloma.Utemaderefe afindel espacio E' alparRjQ,B). donde OesunpurrtoarbitrarioqueseeligecornoorigenyB es unabase delespacio"''!ctt

  • Haci.o ~ ar.o lOO.nt"' deCristc sureMGrtU,;geoo.

    EnlosEiemen!O$, EIKiides r.~Joi6ff1Una!Oiaobrtodo!losroIIOII'IientOSsobregeomt'W;ocumiJiadosdesdela~de lalesdo Mileto (64deCristo)hastadossiglosyml'diode.pus

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    el""mo.l A. 8.Cy0p.lrotp.Jt!Sttn~l

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    !os!SteiTIJ3dr~~~.~~ltt~NoX~n!saistenles!flltr pu'lfO$,recQf,rJ~ros.~~S!temldr~e3~ltt~~dr,_

    S~df/!libqurdr~Wndis.-sfli~~~~t-rrMros.

  • --~-dr-tsil.-1

    Porgeometrlaelemerltal.~bemotudio

    analltko..gnlas..:uiOIIelimplkitasde'lar..:taquedetetminan

    Elv..:tordir..:onalde!arecta r enquese(Ortanes , ,xii,

  • ~p.IRIOdelortcto~obafntdoindo J,y Q z unvolor

  • Hu dep,nosparalelos

    SiiiOIIdMl..,UiodeeculiOlwlgeroec+III'-+Cz+D"'O lospllrlosp.trllleloslllmismo5011delllom-.

    A>t-+By+Cl+K O, K E A

    $e ...... hudotpiM>ospHIItlol ll conjuntodepbnos !*Miosl-dldo.

    Eltwozdtpllnosquedl~por .... p&.nocu-. quitldtlmismo. Suecui

  • 1. Estudi.lf~posi6nrelativodolosMnos plono! !t cortool e1 uN rect;l, QUf e'l ~""'ti do soi\IOrlt'!de\lI-l. HollariosfIOilooincidentel.

    ~- Hoftorloewaci6rrojojplonoquepos.rp::lfoii'Jmo.o.(1,1,1)yeo~ roldealplanol-Sy + z-S O.

    [j~de\~do;lanos' Pfl'altios.-;

    3 - I +T +K " O ~K I Pt

  • ner!'sideremoo;treo;pla=a, ~~~dadosporsusU~ge

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    M. (, :. ~) M' r:. :. ~ g,) \A S"C" \A S"C" IY Segnklsvaloreo;clelosrangosdeMyM',se~tanlossi

    g.uier1teo;U.OS

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    comn y~ cortan en~ !OONndo un triedro. El punto tomn a los ~reo;ptaooseseiW

  • .H) Losplonosson distiniOI ,torOOIIMII!IlUIIIIrec!J(figwll), lb) Dosdo~plln~son colncklf'lll~ ,.t otroloscorto (fi.

    g. rab).

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    El~l!lll&fSincom~ble.Por~~(MI l.~u~pllonos :son poraleo.ptrt~no

  • Hazdepla1>0ssecantu

    Sidospi.>I>Md..X..porsus- ~,.oortoner>~ff

  • 1 . ~ 11pllici6n delos~j!llrlos:

    [ +)y + 2l O

    b - , + ! o ._ - 5y - l: O laecuoont>cll'kl>p!MmbrNn lll' sisltol'oi~Utgo"' ...... ~U.II\WIIdek>!....m.n...ei

    - (~ -! :) 4-S-J

    C+ Jy + 2z D

  • PO!geonwollflet'rlentll,.,....quotllllposicion8drr;;:.yplt-JIDinod~"'"'

    - I"KUyplfnoSantn: wnenunpuntoentamn; - I"KUy plfnoparolftos: nouenenningiIIpuntoencomiln; - recto contenida en el plano: todo! los puntos de~ re

  • c-.:z. Rqo(A.I) 2 y~.,- J

    EliBieml~~.tmll!'l~ro-~punl

  • S t.IWirllpurr~oJdt~dtlo!KI.I - l!. y l\ +1.

    conllp!lnol>:+1y - 11z - 5 " 0 ~los...,.,...llo >.r. z enlotn11611di!P....,,.ob!in

    61+1(3!+1)-m-s-O Qt .. l U.~lill-dt~t~;n'l6,10,)j.

    S l.Eswdiorloposi6notlotiwodt loreodoi'CI'Io!.,.-A(1,),2},11(l.0,1)yC(1,4,)j. !JIO.IIICI!wllillplnfl

    dlt!A0l)Z)-O Q21 +y--lO ~los~O. >.r. enloiO.IIICilwldllplnltobtleno

    61-2+t+ 2 -lt-30l:ilt"f

    '(+. ~ t) 1'1:11'...-o,lo.-yo!plono-.

    l. IWirlopOsici6ndtlore

  • Pllrgeomnll .................... ""''""po.ocii:IN5dedoii!IW!I ~elfiPKIOSOI'I:

    -~- -Uilpunll>flloylos cb llimostor~SKiflte.s...:r.lolr.-.o;deM1M'seW....Ios ~USOS.tuj0etudiosemuc.olo

  • ~ A _ -

    Expresi6nanalitica: formap.aramtrica

    ,_.,. r: y y,+bt [1] , .. , ,t ct .. , ... , s: y y,+b's z z,tc'5

    , (l, b,c);, (a' , b',o1;M - !>;-,) Seg0013depoodenciao r>Odelos>toresU.. ..)'.~-~--0!.01. Rango(ii~,) 2 y rango{u,. ,.A;A;") J

    ro'ta~~:~~~~la~~~ .. ~~ plooo, luegose cruun

    Caso2. Rango(ii,.ii,J - 1 y rango{;, ii;.A;A;) 2

    w:~::.:.~~.:l~~.~:~~~ mi>moplaooy se(orUn

    Caso3. 1t!ngo(,.ii,J !yrango(,.ii,.l;A:J 2

    eo~,:;(u.~~ ~~=-~~""~o~r:;::=,.~.:;:; son paralelas ydistir1to.

    C..so4.Rango(ii,.W,J !yrango{u,.ii,.A;A;J I

    ~~=.~~:"'~~~..,:,~~= El puntooomndeOO.rKWquo,.corun(caso2),.obtiene

    rtsaMeroo ~ sisttrN formado ~ igualar lo$ valores de o, y, z d~ las -~paramuitasdeombaorectas;

    t:alculodoslos,...,.,.,detys,,.susit!J)'ecwlq

  • - ' -,.. r. r l - t r ~ y - ls z t +ll '"'lf6s

    Dtiiiiii

  • .,.......,...-.......~ s 1 '*"'~clolort puotosll(l,O,I).EQ,I,I) yC(l:, -I,D).&:m.N (Or!V)~clodo>plorm.

    s 7 ~1orS 12 Dm13!rKtll

    r.T - ~-+ ~{~=~~:=: = ~ o)Esrudiar..,posiOOo~

    s 13 ~~~b~qutillrtaauiguir""'wo .......

    r.{~:~~~ : ~ " "'"+6 ;".;.,i..l

  • s 14 IW.-IOII
  • s 25 ~ll~>o~C~tnd!lp~MoqupJ~Npoo .tO.l,-iyflpneioollflllno

  • s 37 s..ap~orm~

    [a:-, -1 -o ji.b+)J-51+160 -r: l:!'- -o dondo~ .... oAnolro.,_.qut,...,poii .. CI!fiO oobrdokl,didaplorm- .... ->lllt>.

    ~.,,.. ... JIIfllbopionosCIII'Ufldos odolc~NrJrwiordoLrO~dotll-por~

    S 38 -~~do~~.a~""'~~:~~""'ll IU'.III1.1.1l.,paklu1,..., .._ .-~ - -o ' ""'"" ..... """"'""""QIIP~tf!N

    T-f-+ s 39 tbo.r.r ..,::na.....,o~~~..._,_ posici6n101ol .. doboplooo$

    [ ~~:~: ::: -r:J+I 6.J+t s 40 $teiig01110brtboojii~(J(.Olo-.~-~-1!

  • 52 Sitrepltnoi!CII'It*s~wam

  • 111 iil.

  • . L 7 --

    HingulocMdosrKt.oo~"'oru.nryJeid-de 1Ds in9ulosquefOITMnendplano~dtlttmi..., .

    El '119ula dt doo rectas qu. M cruran r ~ se defi"" 1(;,-oJ-

  • 1 ~ IN "' 'I 1

  • El~ngOOdeOO.planos_.ntes y~es !!l menoteleloguloele W!Cior1!5.

    Seon .. y i';.lo! I'KiorOI normal .. cle to. pjai"IO:I ~y 11. respecti-vamente . ~!!l""'tldoclelo!I'Kior.,

  • .. :A>t+B)oCz+O O ~: A' + s~ + C'z +O' " o

    entonceslos"'!Cto.-efiOtfl'lales

  • El """'lo cltu,..te(t;1 r y~~np1Mo e;gu.lalinguloque lormoiiiiCtl r mnll feclir'.queellpooreW6ndellfeclo r

    ~e~p,no . SHn,""Wdef~dell!eclfryii,unWdef,..,.,.. ~~.Sfgnol.emidodtlcls'~Kttlte.losir>gulos{tal~ W..Json~talio$o~\lriOI.

    ~' ! ' ... ' ..... ....,.

    ;;:_fio.l.bslnybs(r:-orly~son compiemenurios; l"" -(t:'"orl cos~ Enllfi9.l,bs6ngllos!-;f[rGson wpltmerrurioo. ~

    Mll(r:-11~-~llcM!~I presl6nvecloria l

    .. ~-,t.~~~por~r(A.Jr

    1

    ~ -- E:& Mnlr.orl lcos(u..o\J I ;;, .I .l 111 C-oolln

  • Expresi6nanalltica

    ~~Y l~l, a :Ax+By + Cz+D O

    ii, (~. b, el y i\. (1>.. B, 0 Sus!iruyendoonlafnnuial1lseobtier'le

    cuandolarecta r.xej>iano .. "':"9"ndadosporotrasecuadones

  • r.T-~-T 8-IIOIII'IIIdllpllnoa;,-u,J.-1~ 8-

  • SiAyB"""dos"'"'tOSdelfti'ID.II d~ e..lf: 2. i.o""-i-dollj!IIIIOI'(I.l. l) ~ OIIUAdollojtduiiJCioous7. llllr -~diiiUIIOA

    ll'""'*'"""'~tll!o:ll:l,-pOr~ AkO.Ill

  • Si unpuntopt

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    l.o~IOJiarcomojnado:i

  • -~: ~(HI) I'J r:r:n-~

    = 1:1:+,.~-100 .....

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    .I.H.U. .0.-l..-Zl AD.l..I~;,H.l.ll yllb'doliol.lmdod!~dillnu-dai-....N

    6-J-JI J - l-l .-r.olo,J~)(~Ji',.lll. (~-~- !llTJ

    Sl...e:AAO.lt.O,I. I~,IJ-1,-I.

  • ~bdelparalelogramo Sea ASCO un por~lebjr~mo: w~r>do .... to.l> Jo iruerp5 t CkrlolollrsOoltringolo

  • Volumend~paraleleppedo ~'!..P"!~cuyn ariswon~>'MkA.det., rninanlos-..AE. 7'l.yA.O:on lain~cl.lproduclomili las a>order.odndelos~A..9, CyDdelpo~oleleplpedo oon AIJ.,, y,, J. 9:,. Yo t.), ei i'Oiumer1 V ,;..,e didopOr

    1- - - v - c~e~QiB.AC.AB'I i l -"'''- y,>,-z. .. -ll,y,-J, l,-Z,

    ....,; .ic.: Volumendeltetraedro Ob>tel"' la f>OIJmen,V,deU11tetr..edro,poe:'Ok!men cl.l po~llo!ltp!pedcwn$1rUido!Obre >U>.mt.s.

  • St.tocritJirlolCIIKi6ndolpltm~porQu:rtosA(0.2. - 2~ 11(3.2.1)yQl.l.2)yg~g.Wa........,.,doltttul!droiP'flirMI""' Qptanco

  • DETERMINACINDERECJASYPI.ANOS

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  • NGUtoSPARALELISMO-ORTOGONAUDAD

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  • DISTANCIAS-REAS-VOlMENES

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  • 19 lillorlocisln:iolllftio>rtIO

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    S 28 Dilculirll,.,..on""tiwoeloopllt>""l";,.. t .. 'lll"loo ...... ei(I,O(l

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  • 51 Porell"'ntomed'!OI ...,perpendiwlores.IPorquJ

    61 PorunpootoPflllfrio 68 S.M""

  • ~~~-~.....;t.,dtun~pll'illlol'llytuyodslaroolori910:1!111lo.loolll~lloy1 b)CIIcJirolp.I'IIO'dlelf!IMoqutestlrN!protnodleiOI'igln.

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    yoiP'-r.o+r+- - O.holof~ocuac;,df~IICII\~ ........ dtriCibrt.

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    C~10 MIDI TALES DE M!LEio L\S PIRMIDES -... - ... _....,_~ ....... --.. -............... .fiiDO .... --...... ~ .. IoaooH olgiOO. Qo

  • LA CAPACIDAD MATEMTICA ' DE LAS ABEJAS Lao-~-~---oo..-.cano,.....,..loo~dt-~., .. -.,_.,ao--.. -- ........ -------~ ....... - ... ..--..--

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  • """w w-.. Jil6doolt,_""""""' llit>i~,. l'isua l .......,e l.o dependencio..,ve~variable< x y,lo.Comioneinsi1t'lonloirnpofur>eiadtlagr/Qdt

    unalurrin.~quedauf\Oin~>N>rpiday~q""l.l frlol'llpresiOn~.Nofoc.., lo tcua

  • - Did;l l.t abt!!'l ~ fituraodj!.w.

    11 --11

    11 .

  • Larelaciorec:aO'>'miefl10rectillneo vie
  • Expre9f!lldosf1119Modoes~nos

  • -- J., ,

    ' 1 gi!WJ fltWI C~dr--...., _.J; gMa-dr f(gll.

    11 11

    TOO.sl3sfuncionnqueamosutiiwonO>toOJ""puedenfor ""rse panirdou riOS ~ fundones elementalnutiliz~......., cuantosn\lodossimple>a

  • - Elproducto deur.afuntinporun nmt"rO r~l ..,un uso partioolar delpeions.>iconveniroos queeln-meror~l a reprl"''nt.l t.lmbinla funclncorutante d~onid.o por l(x) o: a.

    - Pra quepueda definirsela lundnreciprocar'"' necesario que la fund6n directa l "" biyo-ctiva o biunivoectriz d-tl prlmeryter1 l.o5~que~~,.,.. - o . . .. s . - -s. Por tanto.elclominioe R- {0,5. - S}

    2. ~los luoone5 IW 2< + t y gW >!,hallul., lundones ~tosg o lyf g. ib. + W 4Wn de fui"ICioresno "'-"'!I"Mai.OOO'IITklt.lM. l. Halar lafuntinttd~del\>) 2>: + 5

    y b+ 5 ~ -7 l

  • 11

    11

    Simetrla respKto del origen. Funciones impares

    Cons~lag'(-x,-y)

    Unafuncin l essi rntric.iltMpKtodolorigen cuando par~ todo df{- x) - 100 L>ectO~origenrecibel\el

    nomb

  • t c..ntraiundolo~uacin~~-~~~teOefilj. 6n:

    URil fl.ond6n l es JimttbmpK~odel eje de~ cuandol'l"'todo dd dominio seW..

    f(->.} f(.tHf'-r-rw.M9o .. ....,.. dlft-4~->J--wn-l(j,lulgoesT!plf. rJ ~->JCC!(-IO}rosf(JJ,~espor

    ~ ~->l (-1)'-2(-1)1 -t-U f(o),lutgoespa~

  • Ammudo """oncomr-conftnmtnosquewreptenperi6-11Qmen~e.

    Por*"""",oi~amosdmoimoeNodellllol no~def. '- flt~rt --6diusmftimpc>rtAnt,....,'-

  • Couswperiores e lnferiores.Acolacin

    ~a.s $ig.,;e,tesli.Jnonesyws gcios:

    Rg . 1.lo5"*'.

    ci6n-~o9lolosquel'.

  • Ertremos. Miolimoyminimoabsolutos

    Flg. 1. l.os!II'rltrOS-J,-2..-t ... .,050tltWsinferior!Sde~ ll.wDin.liii>IifiVodettsauslnlerioreesel.-o.

    ENCOII,.....,. utremolnlerior de~funln flg. 2. ,............,._3.-2..-t,~Ooon~a~Tb&lo:uoinforioloes

    dllliu'lcXrlSectrtrN;~nleriorestlc:eo,qwlo....., r.u.:;, ..... o.EnmtC&tOtltx!llfnOnlerior ..........

    mlnimo~o.~t mlnimo. Flg. l.Uiuncitl~~dt.:o.dtcW.tieotromo~

    ::~.;'::,.~Oyloatunza..,mfi"'toopunw.:losde

    ~ ConsdMmoo'""'IHsiguiomr>t....donesy..,.gr.lb.

    alllll Flg. t. !.os ,;meros 3, l. t ..... o 1011 cow superiores de~

    h.wlan.ml~~~m~dol.olccwsuperiore~ .. fl Emccta,..lii'N utrtmosuperiot delofunln

    Flg. 2. \.os!nM;I13,2,t, .. ~OoonwnWrlcous"4'(('CCff$ dllafl.ncin.Ele>tre'II0"4'ff''IO'e5tiCfiO,CJI.Iflo. arwlofunci6n81xO. Eni!Sirtasoflt

  • _. 1 ,..brl~:l~ lt l>:l - v'T-1i 4 1>:1 -!Dg(.'-ol)

    ~>:~ -+ ... . !11 1>:1 (!1111 ( + ... . 4 1>:1 ""'"""'' 4 1>:1 ( .. -!il+til

    9 Elt\.dorlolinwlrlodelolfun:nos altWr+.,, bll>:l .. +cou :IOQII(DfpMrml el l&ll'olbUtlporilldial~lo ...

  • S 15 Apndolllim&>y~.....-.11< .....

    ., ...... b ,y .. l-lo lo.iri!OI'IIUiperWosl

    S 16 llujorportro.:.nla~!clldtla~....OO. . J'" ...,.~TI IIIJ..,I

  • S 25 li~illnytt1gerplodtlo ll!loop!mnplosiiiii('O.EnloeOGIIofiiNI-.... .. .,...ll

    .... .. ~.lrolna>n ... oolocidocldtll ....... Al """"'fiiiiOIIO,""nooil ... ~nuno oolocidocldel&~l.ioni!NdA cl iAifoi ...... lki .. ~I.Aifoihln

    pooclocrilll~

    s 29 ffb'loqu;.,.~., ... coct.o;_iNY dl!olllmod!lo-...,llbe~eoooprorlodtglllllliNo dt9o"ll!o.BP'in!ro'*18000XI1erll'lo.~CO

  • 33 IE!(Ut.todeciqutUI\I l iii'Illloitnoo.do porf(llbttJ

    lt10ll'le:10o~decirlii.n;:;DnZ. + !l

    34 AIIO .... fjo,d!l-oo.uh!! beltp..e:I!Jlmr:&pcn~spar ... fuooallol t().otb'oonft-parowri:loiiOt:lkiiiiiDIJ

    ,!; Mlib~...-iX

  • Elare

  • 1 -'-1' '' fOO - ? 1 l.6

    11 Poflaizquimla(21

    1 - 1' ' ' f>l-o? 1 1

    ldeaintuitivadelimitedeu1111 funci6n

    1 Con~ Lo fuocinfW

  • Sinm restriogimc;rs a e\'UJatlafund6nenpuntossiludos a la~uierdadex Z obtendr""""'l"""' pro>:irna a l,mientras Qutsi(onsideramcrs(lrOcamentelosplJntosala d!'fedwr -' """ltadoserla2 .Estosvalo

  • .,., .... /lti6-I}IIJ.

    ~~r:.-::-___ ,......, . ...... _loor ..... 111011, .... ~

    .,...~ .... -,. '--...-""""' .. -

    Ul'lffuo'ltinfW~Imh l ~clpumo u.oipao lollo......olndevalores ._,. udeldclrllftoquelfngolpm

    llmu.lo._.jndeloovalores~ftSin~parallo ~~~~uiatndlolimlteo wpropltcllllts deloo"'""""'no .. opiulllflldtinnpors.a-...,..,,_quo,.trrw:~Nnqwutkinl'ntis~k> O,t.ol ...

    O< 1-ul

  • !l>l-1 1 'sus un

    Apl!ti"dt.P,~p!ll!ll~l*~blliUCflin(:,J~'Ii!nllool, loi.UIOI~-~hodoJ.~

    ~(:i+l+ 1)7

    - " ,. ~ flol ---+ ! 10.01 ~0Jrolll -

    lQmwdD ..... aliO'Ilo.----~~~,...,., ....... OIM" 6o- .,.~'O>"*""C1110!1DNio~\l!l'fiCJnlo!OIIcn

    ftol ~- ~ (lr!ewquelofln:ilrltsim!lria~dllr:lo~

    J.C..... IIhilo doiW li+;+l,,_+-.

    1-*'~r~la*lt~ qUIIo~hniDNI~ .. Noi~Un..n:.!o ..

    riPdots...-~do

  • lJ$~dtlos ....... dtblaanlsWI~Jitswo. pitdld!sdtloslmiledts...
  • Est.o:~r~""'~lsoetslpuedanaplk;melosteorernasantenoreso,enca>negatio'o, akularlodirtamonte $1 ello es posible. Como regiag

  • 11 11

    510..W.~- ........._. ...... - .. .. puodo

    ~pc ero uso >ntrario, l..1 picaci6o1 del teortma del ~mile de un cociente a la furcio1 flxl ~ero lda~.(!an:

    -~-~ - - ~~ - +oo b) tndetermir~~~nf

    la fr>dt terminacinfdefullmponr.ndoerofoctO

  • o)Lo indeterminacin%y "' - ., defunredoydMditndci.Jfunc;6nporlaex- x

    pre.irotro

    l arhno-Stmu~iplirla~c""!ugada l do!denomi~: l+y-=-;:;doestem

  • 11 Se~aconlftacj6nd0111mitft-~ ~~~~ "',forldonfs~

    ~f\11"106nnomi6o!Rd.i!*aO.~~

  • , .,:~ ~===:= ~ ~:.:.,""'"'"~~~~~-~ r~quetier>e..U~stl,man fuMioi\M oq uivalen f OosfuncionesfWy gWson oquivalentes enu.npunto 1 1 a >i .!llmitepreSinfigura facto equO-..,te> estdadaenelnwgtn.

    1. '!:-.1 - ~~~- 7 2. '!:~6>< - ~~~- 6

    l. '!~":!!" - ~~~ - 3 yaquesen12esequivalentea12ytg4xloes o 4x.

    e) Clculode l!~ 1 -:"' Parahallareste limite~tatenerono.oentalofnnulacleih!luiO

    oritadylaequwolenciodofundones;

    '~(~) ,~~)+) ~t-.dolaequi.-.lenadolasfundones ~m, f

    ,_,

    l(t + ~

    11

  • --1111

    l"""'ll,ooi:;orooool,ono...,.. "" ... ,....,.di ..... ..X.y =JIId'P'""9'-

    /91. 191 Fi9. 1. Allfndlor ~.II ... Mhll!ywlllfl)>imll.

    Stdatf1ll:;lfUiq""ll..a.oylesun.o aointotho-rl:ontll

    fl9. 2 Altl'rlfr +"'. ll\'lrilbO!yseapro>imoo O" Al t~ -.ll...n.bleywapro:ornoo O" ~entoncesq.ell~yOesUf'll aslntouho-

    flg. l . Alttndorxa .. .IIAiiabltyw.......,...t. Alttrode' ---11...-., .,._....-t

    t.r~~yles as.lntouohorironul l\iooioll~ t+'"l ~y -1 Ncilll lzqulerd& (-)

    t.""'IIY "' k esun~ oslnt0t.horizontalde lo funci6nf sitm~olguiiCidek>sliguient .. Nmi~

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    Lls~honronlaleode .... lurK;(wobiesque~wQi. aMnhtllandoollrmeon+o--:siestelrnle .. linitotigullll

    l;,ll~es y k.

    -Unafunci6n~comcmi>:imodososlntctas llorizool.lllesco"~~cad.ounodelos~on+y-.

    -Ligriliadellfuncilnpuodiea:Ntolo..mtotlho!Wntlle. unoo...mpntoo..No~enllmi)'Dtlodell:lfln:D. nt

  • 1111& Rg. t . .IJ~ x oO,,....,.qu.tomoyber'ldel+ .

    ~~e'II(Jrn

  • 11

    11 ~~ ... -......

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    . 11

    lkllrectil r quenoesl'li~!.OI,;~tienepor~ JM~C+n.m o' O.

    Obstt'\Qr lo1igur&.E~Ihor~ 00spultal..-.ble!ll'IJITOI-

    ~-- ~(o. .... +l\l,qUO!periii'IKt'lllorifodtlll,.,;ta. - P {l,l(x}),que ~enectall gr.lf'ICI6ell fu!'I06rl. , ,.., adfi.o l!lfd;d.o~ Of'l!Tifnto de enmnm P~ R ..

    l1f(x)- (""' + nii-IIW- mx- ni j Sitllt-...lor!ll~l< , ""'ormgo.m.~dtll~de1!1105h'tes.

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    r-:+2.,. 1+f Si- :!;, .. .mfi'-;z_,._, pqut f-o PMquetlcooontf' de dospoWIOflliosHIIOeserunounidbdiUPfnOI'aldeldenominador. Uno funci6nracionaltienell>into\llsoblituas$ielgradodelnu-

    mel. ~ ~lllnbmlobi:u.a

  • !1 c.lcW:'+6)

    ~ CAic!.Urlos~llrriit.

  • 11 c.m.urm..-lmilau:izor>iot.o-o. loe(l- 1111>1 - se'!'

    S 12 '~~~l 14 QI:Wrlo!lllnlllU$delrl~tost.r.onPs ~~po!lon

  • ~losgrbd.ios fLJf!:>n!SI(Q ." decitlititoeoIIO'->S~de~dr..IOO. \lllososlrno~cltlolsiguientos~ -

    Sta::nsideri~el~no"'Kiii' " 2.Enconilncioneii!IY"'!IfifiCOSidi'IWn ~re:t~ "~y~diti1ta!~re5p'Cia ...

    clidlrspcU:iontl.

    ~ermil\ll'l po!iQL>I'W..m;qu.

    .~~--1,\-2

    ZS JustiSyrsie>istel'l~irrr..:

    ~ - ~ =!o.~y~gr!icarno!1t:,)quttom!lolurKin =Oocioll.,.p

  • 37 bcriboiNfu'w:::lo.,.o._., o.1 yop_d>....,...,....op1.Sie..-...ot-.... ,_

    38 EmliiNVIIi&1CIII"'IilwOe1y q~~t10doilol ..... qlltllmf--'IUI1. JI.-

    IN~rjf;Q~"~/f!PU!!U

    39 DoiMooM'oOil~-~~~""*'(St -Mi"IOm!:n!II'IOf-...:iblperOirl ........ W.'IUI .... Iitw1

    40 Usf\ll:Q(ll>' r gW "H-1 'ljll~ ...... lbanll

    .... ~.:...-=~:..~!(ti- ~~:::::=~~-

    43 !~tewl.tll!urolnJidfdos.-"""""'Jbzoni

  • IJniprrneri~QUf-llsgr~fic.oldeflnio:>tsll!l Lo~.S.IMIOJk:e!QUetool'lil!l.

    Sist~"gPM~;!t ~ f{.o;+ h). HllxtUIImonW.st~"elinatmen!o,"ntocie~como de

    Olll...n.bif,(OIItllimbalo .i, demodoqut ,. .. r.yft

  • li~A~dtfiiOlnM,...Iundnpuedt~- ""~~~ o osi!M.~dtl'lllori():+N -IW.

    ~ T .. cto.-pOiitioo 11 EJ incrementcd.unafunn tiene.,YHilltsinterpr~. de

    ndiendodelf>qMtut!IO>dlelll'aomollllo"lotmdt....n.:i6nlltomw10,1cm(l'l"tiiJt:p:r-.

    .!.V(J +n)'- '/'l+lt'h+lltl'th'-"i h'h+lllh'th'

  • 11 11 o

    l..lide.lintu itivadecootir>uidad..,~UM~riKilln""""'dela funcil>n,lin...tlmbMcoiquerampan ligrAfocadelanWI\il

    PM~qveesto~""'tidovarnosa!IJponoariadOO ~a + n)- ~a) seap!'O)Iima a O, por.., se dico que la futxio1 fW -.'eswminuaen el poJnto< 2

    LIIigabmada enfun06n6el t~po~.Eipmoque,.. le correspordednlaat

    Esta si t~se~~menteron!!lsalto(!IJI! .....rualagrficaen t.

    l..loonbooid.>ddef entlpumoPsio,niftaQ

  • lo c!ellnil:nintuit;.,.quen.mo.dodo~ccn~nuidadputde"" nosme matl'!Titicamemeasl

    1 ~~y O 1 de dondt~~~~ +h)-~)1 0

    -,.q .. ~h- O, Pntneesx- Utilizarldolil~tsinanterior.,pooibledorlildelinici6nc!l'con~enunpuntoaportirdelllmilec!l'lil funcinen~;.,te,... !dOO .,irltel..,.ntoyaq""permiterei.JdonorambosconaplO>

    UMfur.cinos continua enunpunto~Wno ffmiteenl / .\ + "O.noe

  • Algu""'-....!Obre todopa,.demo>traooes,l!lt~teOJti. izarla!i9uientedefinici6ndtronti nllid.>dequ;..olentlad.!d.o. yqLJO tx;~~esntinu~ en el punto ~ c.oda nme
  • Siulll funci6n8con!'""'"" ""punto,ontn< .. ~lim Lasdos~propiedadt

  • 11 1-1S. Continuidadyoperadones Ln~confundonts~en dl oomo..

    u.do otrolunci6n conmu.en ~N~ enlomo~

  • Rtcordemo"'ttdol Kl

  • 11 11

    ,-{~: :: : ........... t ... m..

    Ok

  • ~hor""'-hlblldodoolocontir;.idldd. un~flln,;;Onon Wl p.ln\O.~tr~ilhofld.~eltCOflai'IO ,

  • KMIWMntr..,~I!S-II'l/)frlt

    ~ .... =.~ ~U11881,lG:imot.n Tyelalorminimo.n---:

    la demostrKin de~teoremasehactendoopartl's a) Lafuntin l nt.!acctada ..,[a,b] b) El e

  • X'"

  • . ... ~

    b~quolllllfun6n O. Sjllfund6n .. onu ll ~el

    punto Jo " ~.el teoren'llquedaderrloslrldo. En CISO conttanc . II'IUnDffSIOiintftwlalllfurDntolnl'llllore

  • 5. Imagen de un lnte

  • ~ .... --~ 1 ~lo!>Untoidtdil:ne!lenlo!

    p.mtosquestildio:lon

    olfW ":-::+6 ..,. - b)f(x) - ~en l

    O

  • S 9 lhtoq..t....,..., ___ lo_...a,

    fWooy-;-i+y.-=-i-lVfl

    s 10 llodifreoelurnpoNIIII""'t.rliidod0

    s 11 5ig(otti

  • .~ .. ~ \lll$t~ ..... ,~,.,., ......... puraOOopoWrroaoiOIUrg

  • s 39 .l;b"~ttatmoiltkVMIDporopro~>orquo lo< grbiltf(JI) Iogq;(ld t~I! blcl~~dosU.X....noiOIIlp.Jid!wrlolo""""6tl"toiis1

    47 5i;:..,"""!un!ro"'"'"""onlo!ICIOMI, fiO.OI

  • ~ lit ... ti 1:1

  • Llr:le9oOkrr\111a1401

  • fsadevariacinmedlayvariaclndelafuncin

    t l.itasado..w..on deunafunci6nda unaprime,ounq.>enolo.uf~ l!tntementepredw f La tasadevari.>cinmediafinaeIW ,...+nlaflln

  • l , EIP!'fildt !NII'tn!t ts o.m..iodogr.ot,,.aqu>on~r810od""'" """"""'~ \! 1l

    2 . .1lultnt.oruno~(Uidroclodtcolx

  • biSe- ~ -dlll ~,.,.;oto,~'" "'"

    En lo!.!jemplos~nteiores~pareceo delo:lponto.La~f'(a) 2a,.poede

  • nosfornwos de escribirl~ deriv~ ltfl unp!.lnto

    Si~x -t h.onl

  • 11

    ......... _ .... pollp;!lb ,....~ ,.. ,, y,.

    -~

    Ll rU Ungentt como limite de seantes

    Enll/igKi6n(punto-pendiente)dtllrectitingen1ttnel I)UI1toP[i,ltlllts

    y - f(a) f(a) (~ - a)

  • U nonNIIUIIICUI'Mtn""puntO~IIIII perpendiallillll -~tndichoptlflto.

    5imym'l011111poreote~dodos-losYlCICmdir!

  • rll'+b.,unnmero.U. l""uaur.edeunlnlite.

    Siun~luncin f escle!Mbleenddornil"liodtll luocin es por~~~ luncin quouocio o cadIIrllefO

    ~ldeldorninio llderiv...Uentsepun!Q. [cjtafull

  • l\oe$toqwlo...n..di!Sell11Wdtloll$ldrvarilci6nmedill!l1 el :uniO .. podrmoseo'>SiderM!MnWnloesltnciodrhteslole'iii!S

    l

  • "Fh u

    41-b ~-l'lll ~ ,. .. ~ ........ oolr'.

    ~IAidt~deuNOful'lcin~puede~~ forlm.~pormediodel.o~.bl.loprorH

  • llerp

  • l. REGLAS DE DERIVAON 1. ~ or -r 'f 2.11-g)'t-g'

    6.19(1W}!'g'(!Wl t'W 1.(t"'l'W~

    11 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

    --'"'""'""'

    1. T1po poletldool o ......... 1) ~ .. o ' (hl oY.z7.- ov'i~

    Z. TJpologMtmial DL>. ~ ou-f

    0~ +~ O~ff~t o ..... orl-rlt DrrLI Oo'"LIt

    O!"~+~ _. ........

    . ,._

    .. ,. , . npo.,..... o,.. 1 ~ '.

    ..... 019 r .. (1+ > ~ r

    JK'ff _,_ ..

    1/

  • Eltodell~depondodoii

  • l . Tipopotencial

    ~ formilsimple:y"t.' Laileriwdade u .. potencildex"'igwlalexponen~poril ~t~NadaJiexpone

  • l T1pologaritmico

    Form111imple:r ~ r lov. La

  • l . T1poexponenci.ll

    fotmllslmpkye', y a' l.ldtrivodld.llfun6n_....a.lr .. iguojatlami5mo

    l.l~aclad.llfunci6nupc>IMMialr .. igu.alalami5mo funci6nporellogoritrnoneptriarl00.1abne.

    fotmllaompuHU : y e', y a' La cltrivadad.la funcit1 e"''))nee""(ilol t'.Siguolall miStlll

    funci6nplade!Nacladell!:l

  • Fundorles~ ~elnomt...~h.noonespo!~LI'S~w

    e;prtSMfl'llllooni , . ..,.. G decif,llbtieyeii!>)OI'Otll!eK>rtfuiiCII'6~

  • Osenf .o a.of f'

    4. Tiposeno

    l . Ol...,x 30..., lOlS

    2_ o 7 - +o,.ru +OlS

    l o ... (3x+1) cos(3+ 1) l lOlS(3x + l) ~ o..., (>;' + 1) 00$(1;' + l) h 2.o OlS(l;' + 1) S.O...,[Sx'+ 7 +1 ) CO$(Sr' + 7x + l)(10x + 7)

    6.0...,. 0(>M>:)' 3181'>rCO$

    l. Oson x' con' l>:' 3x'WJx' ~

    ' B. o .... (UJ - cos!bl-.

    1. o .... !..., >.l C0$~:) (1)$

    1D. ::;:::~:.~fOO (~)Onlt, ~tltde~funiJn .. .t!iempO

    11 . o ...,.,+ ,,) - OlS(oot + 4ol ~ wCO$(..: + ,,

  • 5. T"opocOHnO

    foo"m.!lmple: y cos U.~de COHnO IM esmenos...,.,de ..

    I> Fonnacompunt.o: y cosf

    t U~dti COHnOdeun~fund6n esigu.ll menosfl -""'"""deLo funcin por Loerivild.ldeta fu""in = o-( -) =(l-)H> - - 1.01cau 70cos 1 f-wrul - 1...,,

    2. DT TomuT r-.... d -T., ).0

  • 6_ Tipotangente

    .. formasimple: y. tg secantecuadradodex.

    "-~~-1 Dtgf=sec'ff'

    .. formacompuesta:y tg f unafundn esigu.a!alcuadr~ LidMvadadeiatan~ted~defivadadelafundn. delasecantede la fundnpo<

    cosxcos+senuen Dtg D:: - oo.' x

    . cos':;:n' ~'x sec' x = 1+tg' x

  • formacompwot., y w cotgl

    .. ~~~~":".:::e~~':'\.":!;.':': jocotgi ->W' I f' l """""

    D'-+,Y 71J+I'/(b+l)

    1. O

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  • 11

    11

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  • 11 ~~~~:.2~~

    tUlomemos., ~ estel!""to. Ll~delataogen~en(>, f(>:.))es

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  • Vilidudelrnttodo~on

    IQutCMdicionl!stitne""cumplirlofu..o6nonel~.,bl P,..i""lo~~lei~IIOb!er.rlflos~l..,..,los""M!P\inttllD>Ioslin911ft""~lalpri.-.,s~ ......... do-11~.

    Enlosfigur,.l),b),c)yd)lllo~comenundoloitt-porunodooios~dolinleMio.Ademislo~ido

    ~dlipotf"W .. ~pOIIMOneQitlol ,.._,..~JQnot..,~. Li~ambude wwuprimfr .. grifitlsloiUCeiiIII!I~Ii-.IOIN '{"""'l'llotilll,) llgnodof"W

    I.IWirolllgorilmodPilrol6odP-PIQie:tt""loriii:lrlllllllodl_hok .. A,Ioi:;n;ill\ l y"' dlriol$f1011

    ( - ~ ( + ~ ... ,- .. ---,;---,;-

    ,., ... , -;;-

    Eololobl.lolol-otdin--IOrlel. Bl'lb810

  • Tipodeindetenninacibn

    En ei capitulo 11 hoemo$ visto k:ll tip01 de ifldrtea la deri.oda""'"'mer~

    ~8 - ~:(>:~~K-+:~1) _ ~.:::;1 - + ~~= ~ 1~1 ~~ - + En 1_696. Gui.llaumefransoi_Ar>toiMdo L'H6pitai _ P

  • '!:* ~:f.i% Aqul u slmboiote lipodeifldettm'liMCin!:l~ :~tglade l'H6pital,put>toque .e redoxeaunodelo>~po

    A ~~ fW"'

    .... ~PI""'"'"" pritk,j O >(ll

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  • TOINI'Idolog.witmo!.~entmbo

  • 155. Ckular~ - ~ (+-Ul ~,} Q,~cu~ondolo.~d'JKU~terrs~J!ull~ .. -oo.C~Jtrondojlpkato:lo~ "9ll dol'llllpi!M. ri'!I.Ato

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  • ---A' 1 Sell..,~lllq.-"'llD.ISo

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  • S 14 C..W.unp.into~.'Itlmio [ l,l)!!!~qo.oe ~~~.U II CI.ffly t-t+l!Npor*illli ~~pcrk>lpunlos,i,(l.l)y!l(3,l0l-1Qut ~gorantWIII!Ii>ler'lciidtdiop.LOtQ)

    S 15 Comwobar~II'CI.IIT'Iplon lll hip61esi!~tIO!t~irlte'\Qio ~to. t ) .. m""" "' wm!)llque

    [F(1)- flOJI G'lt) [G( I) - G(O)[ - F'(~ 1QutldlruolrNiizaclos,dttermiNI~COI'JliO(tol l'rlieo1tode ll lunciniW!!!un!l110rnotieorigen.

    S 21 ~II'Jfiade~lo.n:i6ny k:Ji1+>l-log(l->lonun!l1tomotlepunto O. (DOarrdlo

    del~.)

    s 22 HalareldewrolodtMIc.IIW ~.y !6lo si ., ra/2 COI'I1dtfWyf'(>l.l,pl'urlopor,W...jewa!Jn

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  • s 34 Utiizorol\l(ll!m>deRoloyeldeios~ ~fiOIproblrquo~ l ybson...:.n..mpoWM. ~e, ~ _,_, __ ,,_ , _.. oou-~+ - 1

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    SiwMioll~fl.nciCnenooem:mo l ~i!quior

  • s 44 C*ullrpotlllfl};adtl'M6pl.llb.,...a11e

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  • fllnclonesdeaeentesytitrictamentedeaedentes

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  • Puntos ~ los que puede existir mblmo O mlnimQ

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  • lospunlos(ieinfleWI11ienenonoornportmienlosimiarrespe
  • ... ~~-"""' -n-l,._..,oscll"tl'loOoln. !PI:

  • - Si r(a) > O,tntonniOde~W llJPOftt~em1tdtrivoo:Lodeordenln+l(jrnpl O,tntonvexo-cnuvo tn

    ~ Ejercicios resuclt'O'Sl 1. llllr.kxll'l'ltMdrinfleindeiW o'+l>'+l>.+t.

    ~~w - l>:'+ilo+l.M:Il&o + 6, rw - 6 !Jdfri00.1'"9""'"ftllet o - I:O, por!l~d! Ti!b.....tto ""''o

    ...... pJI!!O ... ~~-

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  • l'unntolt'(oi-Q Torogoo!O-f(.o)oO

    ~ I Ji::' r.t ?'~ f"

  • 1 Dc:otutoi~LJty ~ IW

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  • FUNCIONES; VAlOR ABSOlUTO, PARTE ENTERA Y SIGNO

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  • RJNC!ONESPOLJNMLCAS

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  • fiJNOONES LOGAAh"MICAS

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  • fUNCIONESTRIGONOMtfRICAS

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  • S 16 ESIUIM~~~anooidadl p.m!O$dt'1~)dolo!ligl..oioimoornlnimo,

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  • S 32 IN-~-tn...,rtedolp

  • S 47 Eouno~ ~Midoldllie'toun~Uton'lll,doebe ir de!doll.Wd"PIIst.IBOOIIPW!odoo

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  • 54 ttAbo;re;~yW!IO'IlileHJ~rw>o yg'(I.)>Oer~I\IO:riioCU!I.!i).f~~ile la!TmOICI:'idtl(ll+rpll

    59 ~I.Jru~.r!flp:i'!Qdt!Wrgucb.. !'f~np.rtDclriiltD!.n1EI~l bll!nlfurxin~clr t~cergrido~e~

    IA\Ir.wNoln\'llyolrltI'XM.!~cietl) 55 ln:i~n~~~~~r>Oen\IIJMvalo. !IM~dfcir;tdt~mcmnOelf(ll,sitl'al ~t~ s 60 Si~~segii'W:Iidtlll"lili.rldnl!leiJUI" i"imero!UinorUol tltirspos"tl4.i~~dt~g-lf.udtb

    S 56 IP.io'dP~f.ruMyq"'l'e Y'" a'e;Ru.np.rmenelq~.tlatieril'

  • - -

    i/l.lyiiN'I>lgef!mllarMarquoll'l!l1l!t'IZillloi?Pero_~,_~l;~quounapM!laM umG!maradenobesW>to.G.JRiroG.IileiMtimt'IOMetiOOCIII"est!~:

    c o00sbswerpo$en t/II!GbG!el'lronliJ~~ (\lllO.lOJ!/a~decal:ilpuede ~ei esp.xi;l~-flprrreo quo~pawdela ~(~o!lesp;ri.l(fundOOptini~Na)~.l!lri!iiiE'glriln.Htpprlcootmdldeestettm~

  • Primitiva:nota.ci6ndederivada$ Eolosc.pituloslnterioi"'"'N~'++>'- 3.

    ; Recordandolatablao:M!~da

  • Primitiva:notacindifertneial

    14

  • 80glo0.~f~o._, lr~fU-"'"" -lllrY7~- .. ~"""' !Odt!)o . .m. .. li/l: oSM ll ~ll-...,,. ., ..,.. ......... ,. ........

    _,__.~

    La if11eqrol indefiroido .. ""' fomib de funciones dependiel'll~ 1. HokUI'II>'irrj!Mfclof(>;) ~ bt(ll)'loi!itopollf"JJ tiu>IO !'( I , .. !Y~-porelorigfnl lolpMolimclo f iOIIde~fmnoF(>;) ~ -1+ C.ll.oello~~ primililo podidaposopc>"oip!OitoP(I.ll.rtiUIIo

    ~n ~ .,. J- , +e,

  • IMJ~tes~delli'~Wgrilil'lefonid.III001~ otirwnedimdelo~~quttoOn,llrglfb~es~1!$1Jones 6igualolod1-~delointegral6dedic:Msluncior>ts

    Utiliundolollblldei"tegrales.tOfiiPNri>oQUe Jd J2xa.+Jcos.d>: ,.+std Jld>t - J1411d>tl>+r;o,.

    Jor+MC'OI}rb. Jlx'J*'* "+tg Uo~cltewodco~~~~ mtododt ~Canoprincipo-~lon\illpolibltll~:

    -opliwdoll fl

  • Pa rautili.zarlalrmulasant~adewadametlteoonvierlepasar >

  • 2. Tipologaritrnic:o

    "' formltompuesta,y f

    ~ LIIW.tcogrll!~la derivadaoM .uNI\Ind6ndivkli

  • l. Tipo upontneial

    Fotm~simplt: y r!',y "

    ~tompo>HU: y 'll' f'.y' l'

    ~int~.!det.funcin~'ll' por!.cltrmdldoA uponenteesr!.

    U int"9roldell funcin .. pon-enc!.l ' por!."-"'odadoA ll

  • 1> Formo limpie: ~ (OS

    Llintegraldel toHnod.urYfunci6nporl

  • ; , Tipocoseno

    1> Fortn~~compu~u.:y ..nf f '

    fu~~::::::.::: ~;~~~:. por lo derivada de la 1 J sen f . f' dx - cos f 1

    l. J -II'+JidJ +J-~~' + l) b:* - +

  • 6. Tlpotangenle

    li-1 -~-[1 "" ' ... . ,,, 1

    1. J JK

  • 7. Tipocotangente

    ~ Form.ollmplf:y cosec'x

    tainttgr.!do ~nt.~dex ..,menosco~lt ...

    l> form.lcornpuost~:y cooec'l f'

    ta i MO!IJr~l de la cosec.nlt ~rido do liNO lundbn por t. derivaddt lfundbn a~!.couong~to de!.fu nci6n. J cosec'ff'dx

    E"ercici s

    t. J l

  • 8. Tipoarcoseno(=arcocoseno)

    I> Fonnasimplt: y -~

    ' I> Forrnocompuest.lo:y "'~

    t JYd> J~d> - ~r l. f~d> -J~dx - ~t

    ' l. J~.~ - Jvbd> - -(l>J ~ -~ J~~-~ 2f~~dx

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  • !l. TlpoaKoUnoente( -aKocotange-nte)

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  • 11 --

    11

    Sumassuperioreseinferiores

    Sellamil sumasuperior delalund6n f asociadaalapar006n P, ysedesig!lapor S(f,P),alsiguiemenitmerore.>l

    S(f,P) (1imaci6ro pore:o) m, +(X, -_!0)m1 +. +(x. -x..,)m, b{lr, - O!o-,)m.

    - Estasum.J corresporw:!eal~feil de los rtngulosinferiotes oimai!Q,alagrftc.adelafundn f.

    - EivalorobtenidoesunaaproOmacjOOpordefectodel.lreadd trapeomi>:tillneo

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    lnterv~los encajados: rea del recinto R(f, a, b) Si P,. P,. P., .... P~ ... es una sucesi6e depanicionesde [a. bl tales

    '"' P,CP,cP,c ... CP, C ... seobtiMototoocesunasucesio1de intel'

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  • llttMird.tiomom (18J'5.1f:lliti Mot!l!llti:o-~ .. -~~ ~~di!midopri '* "' """"'-

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