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Maria Rifqi-Berger DESS TSI Raisonnement flou Variables linguistiques et propositions floues Variables linguistiques Proposition floue générale Implication floue Raisonnement Flou Modus ponens classique Modus ponens généralisé Application du Modus ponens généralisé

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Page 1: Maria Rifqi-BergerDESS TSI Raisonnement flou Variables linguistiques et propositions floues Variables linguistiques Proposition floue générale Implication

Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Raisonnement flou

Variables linguistiques et propositions floues Variables linguistiques Proposition floue générale Implication floue

Raisonnement Flou Modus ponens classique Modus ponens généralisé

Application du Modus ponens généralisé

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Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Variable linguistique Une variable linguistique est représentée par un triplet

(V, XV, TV) V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...) XV : univers des valeurs prises par V ( ,...)ℝ TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV,

utilisés pour caractériser V. Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune,

Jeune, Agé})

1

0Age

Très-jeune Jeune Agé

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Maria Rifqi-Berger DESS TSI

Proposition floue

Proposition floue élémentaire : qualification « V est A » d'une variable linguistique (V, X

V, T

V)

Par exemple: « Age-personne est jeune » Proposition floue générale : composition de propositions floues élémentaires de variables linguistiques qui peuvent être distinctes Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B » p.f.e. de (W, XW, TW),

Exemples de proposition floue générale : « V est A et W est B »« V est A ou W est B »

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Proposition classique : valeur de vérité {0, 1} (FAUX ou VRAI)

Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble flou à valeurs dans [0,1]

Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction d'appartenance de A

Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA

Valeur de vérité p d'une proposition floue générale : agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque proposition floue élémentaireLe type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...)

Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB) Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB)

Valeur de vérité d’une proposition floue

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Règle de production : lien particulier (implication) entre 2 propositions floues« V est A W est B » est lue « si V est A alors W est B »« V est A » est la prémisse« W est B » est la conclusionPar exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas »

Valeur de vérité de l'implication « V est A W est B » : évaluée par une fonction implicative fI : X x Y [0,1]

x X, y Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))

est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à l'implication classique quand les propositions sont classiques.

Implication floue

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Principales fonctions d'implication floue

fI(x, y) = (

A(x),

B(y))

-

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Logique classique vs Logique floue

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Modus ponens de la logique classiqueRègle: Prémisse ConclusionObservation: Prémisse-observéeDéduction: Conclusion

Modus ponens : règle de déduction pour inférer de la connaissanceRègle: H est humain H est mortelObservation: Socrate est humainDéduction: Socrate est mortel

Mode de raisonnement classique

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Modus ponens généralisé : extension du MP aux propositions floues

Soient (V, XV, T

V) et (W, X

W, T

W) deux variables linguistiques

Règle floue: V est A W est B

fA

fB

Observation floue: V est A'

fA'

Déduction: W est B'

fB'

fA, f

B, et f

A' sont connus, on recherche la valeur de f

B'(y), y Y

Mode de raisonnement flou

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Règle floue « V est A W est B » Implication x X, y Y, f

I(x,y)= (f

A(x), f

B(y))

Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est A' » pour construire la conclusion B'

Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de [0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner f

I et f

A'T est une t-normeT est liée à f

I pour que le MPG soit compatible avec le modus

ponens classique. On a, pour tout y Y :

fB' = sup

x X T(f

I(x,y), f

A'(x))

Modus ponens généralisé

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Une règle

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Plusieurs règles

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Exemple d’un système de règles floues

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Max-Min inférence : exemple

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Max-Min inférence : autre exemple

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Exemples d'opérateurs de MPG

Zadeh : u,v [0,1], T(u,v) = min(u,v)Utilisé avec les implications de Mamdani, Larsen,...

Lukasiewicz : u,v [0,1], T(u,v) = max(u+v-1,0)Utilisé avec les implications de Lukasiewicz, Reichenbach, Mamdani, Larsen,...

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Applications du modus ponens généralisé

Commande floue : ensemble de règles floues + entrée numérique + sortie numérique Contrôle flou de processus Phase de défuzzification nécessaire

Systèmes experts flous : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue Raisonnement flou, inférence de connaissances Pas de défuzzification

Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues + entrée floue + sortie floue B' est à B ce que A' est à A ressemblance (A,A') doit être la même que

ressemblance(B,B')

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Imprécisions et incertitudes Théorie des sous-ensembles flous

Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans ») ou vague (« jeune »)

traitement dans un même cadre des connaissances numériques et des connaissances symboliques

Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme imprécisions et incertitudes ce qui est très généralement lié : « je suis sûr que nous

sommes en fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement 17h30 »

De plus, un raisonnement basé sur des connaissances imprécises engendre souvent des incertitudes « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h

quelle est la certitude que je puisse l'avoir? »

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Théorie des possibilités

Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous-ensembles flous : But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague,

en introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes sur les connaissances.

Incertitudes non-probabilistes sur des événements : impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de réalisation. « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? » Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et

c'est même assez certain. »

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Soit un ensemble de référence fini X On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X

(on parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement est possible.

Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de possibilité définie sur P(X), l'ensemble des parties de X, à valeur dans [0,1], telle que:

(∅)=0, et (X)=1 (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B))

Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité est égale à 1.

Mesure de possibilité

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Mesure de possibilité : propriétés

Une mesure de possibilité vérifie: (A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B)) En particulier, l'occurrence simultanée de 2

événements possibles peut être impossible Monotonie relativement à l'inclusion des

parties de X Si A B alors (A) ≤ (B)

A P(X), max((A), (Ac)) = 1 A P(X), (A) + (Ac) ≥ 1

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Mesure de nécessité

Une mesure de possibilité fournit une information sur l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour décrire l'incertitude existante sur cet événement (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps:

indétermination complète sur la réalisation de A. On attribue à chaque événement un coefficient

évaluant à quel point la réalisation de cet événement est certaine.

Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que :

N(∅)=0, et N(X)=1 ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B))

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Mesure de nécessité : propriétés

Une mesure de nécessité vérifie: (A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B))

Monotonie relativement à l'inclusion des parties de X Si A B alors N(A) ≤ N(B)

A P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0 A P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1

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Relations possibilité / nécessité

Une mesure de nécessité N peut être obtenue à partir d'une mesure de possibilité par : A P(X), N(A) = 1 - (Ac)

Plus un événement A est affecté d'une grande nécessité, moins son complémentaire Ac est possible.

On a de plus: A P(X), (A) ≥ N(A) A P(X), max((A), 1-N(A))=1

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Distribution de possibilité

Une mesure de possibilité est totalement définie si on attribue un coefficient de possibilité à toute partie

de X. si on indique un coefficient seulement aux parties

élémentaires de X, une partie quelconque étant l'union de parties élémentaires.

Une distribution de possibilité est une fonction définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que : supxX (x) = 1

A partir d 'une distribution de possibilité , on construit une mesure de possibilité : A P(X), (A) = supxA (x)

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Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles ordinaires de X

Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance préalable donnée sur X.

Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.

On évalue alors la possibilité de B relative à A par :

(B; A)= supxX min (fB(x), fA(x))

(B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X peut appartenir à la fois à A et à B.

Possibilité de sous-ensemble flou

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Nécessité de sous-ensemble flou

Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.

On évalue alors la nécessité de B relative à A par : (B; A)= 1- (Bc; A)= inf

xX max (f

B(x), 1-f

A(x))

N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus dans A.

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Exemple On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur

l'espace des vitesses. Une moto roule à env. 100km/h. Questions:

Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide?

Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »?

90 100 110

1

0km/h

Rapide~100 km/h

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Exemple : possibilité et nécessité(env.100; Rapide)= sup

xX min (f

env.100(x), f

Rapide(x)) = 0,6

(env.100; Rapide)= infx

X max (f

env.100(x), 1-f

Rapide(x))= 0

1 Rapide~100 km/h

90 100 110

1

0km/h

Rapide~100 km/h

90 100 1100

km/h

0,6

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Apprentissage non supervisé

Étant donné un ensemble d'exemples (des points dans un plan, ...)

On ne connaît pas de classe à associer aux exemples

Il faut découvrir des classes, faire des regroupements d'éléments similaires

Clustering = construction de paquets

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Méthodes de C-moyennes

Une des plus anciennes méthodes de clustering existantes (1967). Algorithme des C-means.

Partition d'une population Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple à une

classe L'algorithme :

1. Sélection de c points (au hasard) : centroïdes.2. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche (distance).

Constitution de clusters.3. Calcul de nouveaux centroïdes : on prend la moyenne, composante par

composante, pour tous les exemples d'un cluster.4. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les clusters.

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C-moyennes: étape 1

X

XX

X

X

O

XX

XX

O

X

X

X

X

O X

X

X

X

X

X

X

X

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C-moyennes: étape finale

X

X

XX

X

X

X

XX

XX

X

X

X

X

X

XX

X

X

X

X

X

X

O

O

O

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Méthodes des C-moyennes: Inconvénients

Problèmes de prise en compte des variables non-numériques (nécessité de posséder une mesure de distance) Traduction en valeurs numériques Construction de matrices de distances

Problème du choix du nombre de centroïdes c Problème du choix de la normalisation dans le

calcul de la distance (même poids pour chaque composante) Pondération, normalisation, agrégation

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Méthode des C-moyennes floues

Généralisation de l'algorithme des C-moyennes Partition floue des données Fonctions d'appartenance aux clusters

Problématique : trouver une pseudo-partition floue et les centres des clusters associés qui représente le mieux la structure des exemples. Utilisation d'un critère permettant de mesurer les

associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à l'extérieur Index de performance

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Rappels

Pseudo-partition floue Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A

1,

A2,..,A

n} de X tel que:

xX,

C-partition floue Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P

={A1, A

2,..,A

c} de c sous-ensembles flous tels que :

1)(1

xAn

ii

c

kkic

c

iki nxAixAXx

11

)(0,et 1)(,

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C-moyennes floues

Soit X={x1, x

2, ..., x

n} un ensemble de données où chaque x

k peut être un

vecteur: xk=(x

k1, x

k2,...,x

kp)

Étant donné une c-partition floue P= {A1, A

2,..,A

c}, les c centres v

1, v

2,..., v

c

associés à chaque cluster flou sont calculés par :

Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance. v

i: centre du cluster flou A

i Moyenne pondérée des données de A

i

Le poids d'une donnée xk est la puissance mième de son degré

d'appartenance à Ai.

n

i

mki

k

n

i

mki

ic

xA

xxAvi

1

1

)(

)(,

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Soit la c-partition floue P= {A1, A

2,..,A

c}, son

indice de performance est défini par:

Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la

distance entre xk et v

i

Plus Jm(P) est faible, meilleure est P

Index de performance d'une partition floue

2

1 1

)()( ik

n

k

c

i

mkim vxxAPJ

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Algorithme de Bezdek (1981)

Algorithme d'optimisation d'une partition floue: algorithme des c-moyennes floues (Fuzzy c-means).

Hypothèses: C connu, On possède une distance (mesure), Un réel m ]1,+∞[ est donné, Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt).

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Algorithme de Bezdek Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0). Etape 2: Calculer les c centres v

1(t), v

2(t),...,v

c(t) pour P(t) grâce à (1)

Etape 3: Mise à jour de P(t) pour construire P(t+1): xk X,

Si alors

si pour quelque iI ℕc , alors on définit

pour iI par tout nombre réel >0 tel que:

et on définit pour tout iℕc-I

Etape 4: Comparer P(t) et P(t+1)

Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2. On a :

(distance entre les partitions)

ct

ik ivx , 0)(

c

j

n

tjk

tik

kt

ivx

vxxA

1

1

1

1

2)(

2)(

)1( )(

0)( tik vx )()1(

kt

i xA

0)()1( k

ti xA

Ii

kt

i xA 1)()1(

)()( max)()1(

,

)1()(k

tik

ti

ki

tt xAxAPPcc

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Construction de clusters flous – Exemple

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Construction de clusters flous – Résultat final

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Arithmétique floue - Intervalles et nombres flous

Un sef F est convexe si (x, y)RxR, z [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y)) Propriété équivalente au fait que toute –coupe

de F est une partie convexe de R. Quantité floue : sef normalisé de R. Intervalle flou : quantité floue convexe Nombre flou : intervalle flou de fonction

d’appartenance semi-continue supérieurement et de support compact.

a bm

1

R0

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Addition floue

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Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (1)

Quantité floue I dont la fonction d’appartenance dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2 fonctions L er R telles que : L(0)=R(0)=1 L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0 R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0 I=(m,m’,a,b)LR

' si '

' si 1

si

)(

mxb

mxR

mxm

mxa

xmL

xf I

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Arithmétique floue – Intervalles flous de type L-R (2)

Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR avec m=m’.

Fonctions L et R particulières : L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles flous trapézoïdaux ou des nombres flous triangulaires.

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Arithmétique floue – Opérations sur les L-R

I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors : -I=(-m’,-m,b,a)RL I J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR I J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R

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Fonction appliquée à un nombre flou