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Manipuler les nombres réels

I. Les ensembles de nombresI.1. Construction des ensembles

• Un entier naturel est un nombre entier qui est positif, l’ensemble des entiers

naturels est noté ℕ .

• Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif,

l’ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ .

• Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffre après la

virgule, l’ensemble des nombres décimaux s’écrit D

• Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’un quotient ab

avec a un

entier et b un entier non nul. L’ensemble des nombres rationnels est notéℚ

• L’ensemble des nombres réels est noté ℝ . C’est l’ensemble de tous les

nombres que nous utiliserons en classe de seconde

On remarquera que les ensembles sont inclus les uns dans les autres comme le montre le schéma, et donc on pourra écrire :

ℕ⊂ℤ⊂D⊂ℚ⊂ℝ

1) A partir des définitions proposées, placez chacun des nombres suivants dans le bon ensemble :2 ; 4,5 ; 9 ; −1

9; √(2) ; 1,8 ; −5 ; 2

3; 14

2) Compléter les … dans les expressions mathématiques suivantes :8. ..ℚ 12,5…ℕ −3,9…ℤ √3…ℚ Π…D

Maths Seconde séq1 «Nombres et calculs» chap 1 «Manipuler les nombres réels»

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3) Complétez le schéma suivant par au moins 3 nombres pour chaque sous-ensemble.

I.2. Les nombres décimaux

Pour exprimer mathématiquement le fait qu’un nombre décimal a un nombre fini de chiffre après la virgule on écrira :

• Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme a

10n

où a est un entier relatif et n un entier naturel.

4) Écrire les décimaux suivants sous la forme a

10n :

• 2,23• -481,68• 0,000104• 68• -437,534• 1/4

Point méthode : Pour montrer qu’un nombre est un décimal, il faut le mettre sous la forme a

10n

5) Les nombres suivants sont-ils décimaux ?12550

5

1+ 23

Démonstration : Montrons que 1/3 n’est pas un nombre décimal.

Si 1/3 était un nombre décimal, nous serions capable de l’écrire sous la formea

10navec a un nombre entier. C’est à dire qu’on aurait 1

3= a

10n


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Avec le produit en croix, cela revient à écrire :

a=10n

310n n’est pas divisible par 3 car d’après le critère de divisibilité par 3:

1+0+0+0+...+0=1

Comme 10n n’est pas divisible par 3, le nombre 10n

3n’est pas un entier.

On se retrouve dans la situation suivante :

a=10n

3

est un entier n’est pas un entier

Un entier ne peut pas être égal à un nombre qui ne l’est pas, cette situation est absurde !En supposant que 1/3 est un nombre décimal on aboutit à une absurdité, donc 1/3 n’estpas un nombre décimal.

CQFD

Ce type de raisonnement est appelé démonstration par l’absurde.

I.3. Les nombres rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme pq

où p et q sont

des entiers.

6) Sur une droite judicieusement graduée, placer les nombres rationnels suivants :13

; 43

; −23

; 53

; −53

Démonstration : Montrons que √2 n’est pas un nombre rationnel

Si √2 était un nombre rationnel on pourrait trouver des valeurs entières de p et q telles que √2= p

q. En choisissant ces entiers premiers entre eux, la fraction p

q

est irréductible.

√2= pq

√2∗q=p2∗q ²=p ²


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p² est visiblement un multiple de 2, donc pairOr si p² est pair alors p est pair et peut s’écrire p=2*k où k est un entier

2∗q ²=(2k )²2∗q ²=4∗k ²q ²=2k ²

q² est donc pair, alors q est pair aussi.

p et q sont tous les deux pairs et ne sont donc pas premiers entre eux. La fraction n’était pas irréductible ! C’est absurdeEn supposant que √2 est un nombre rationnel on aboutit à une absurdité, donc √2est irrationnel.

CQFD

II. Intervalles de ℝ

II.1. Notation

L’ensemble des nombres réels tels que 1≤x≤5 peut se représenter sur une droite graduée par :

Cet ensemble est un intervalle et se note [1 ;5]Par exemple, 4 appartient à cet intervalle et on note alors 4∈[1;5]en revanche, −3∉[1;5 ] et 0∉[1 ;5 ]

II.2. Intervalles ouverts et fermés

Intervalle ouvert : Les deux crochets sont tournés vers l’extérieur, les bornes ne sontpas inclues dans l’intervalle.

Exemple : ]1;4[ contient tous les réels compris entre 1 et 4 sauf 1 et 4

Intervalle fermé : Les deux crochets sont tournés vers l’intérieur, les bornes sont inclues dans l’intervalle.

Exemple : [1;4] contient tous les réels compris entre 1 et 4 y compris 1 et 4


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7) Représenter l’intervalle et le nombre sur une même droite graduée avant de préciser si le nombre appartient ou non à l’intervalle.

Nombre a Intervalle I Droite graduée a∈I ?

1 [1;5[

12 ]-∞;10]

-4 [-5 ;6]

3 [0;3]

-3 ]-2 ;0]

-15 ]-∞;12[

12 [-15 ; +∞[

8) Compléter le tableau suivant

Inéquation Intervalle Droite graduée1≤x≤4

]-5 ; -2]

[0;7[x≥4

x≤0

−8≤x≤−2

[0;2[

II.3. Réunion et intersection

On considère deux intervalles I et J tels que :


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Intersection : L’intersection des ensembles I et J est composé de tous les éléments appartenant à I et à J et se note I∩J

Ici I∩J=[−2 ;4 ]

Réunion : La réunion des ensembles I et J est composé de tous les éléments appartenant au moins à I ou à J (ou les deux) et se note I∪J

Ici U∪J=[−6 ;9]

9) Pour chaque cas, déterminer I∩J et I∪J

• I=[-5 ;-2[ et J=[-4;6]• I=]-∞;4] et J=[-5 ; +∞[• I=]6 ; +∞[ et J=[-4 ; +∞[• I=]-4 ; 7] et J=]-∞ ; 2[• I= ]-5;3[ et J=[3 ; +∞[• I= ]-5;3[ et J=]3 ; +∞[

10) Écrire de la façon la plus simple possible :

11) Compléter comme dans l’exemple


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III. Valeur absolueIII.1. Définition

La distance de deux réels a et b est la distance entre les points A et B d’abscisses respectives a et b sur la droite graduée des réels.

Si a<b

Si a>b

Cette distance se note |a−b| , se lit « valeur absolue de a-b » et vaut :• b-a si a<b• a-b si a>b

12) Soient A et B deux points d’abscisses a et b d’une droite graduée. Calculer la distance AB.

• a=-1 et b=5• a= 3/4 et b= -3/2• a=-1,4 et b=-5,2

13) Écrire les quantités suivantes sous forme d’une distance entre deux réels.• |x−3|• |x|• |Π−x|• |x−(−4)|• |x+5|• |x+√2|

III.2. Propriété

L’intervalle [a−r ;a+r ] est l’ensemble des réels x tels que |x−a|≤r

Explication sur la droite des réels :


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Si la distance entre x et a est plus petite que r alors x∈[a−r ;a+r ] , et réciproquement.

14) Caractériser à l’aide d’une inégalité faisant intervenir une valeur absolue les intervalles suivants :

• [5 ;10]• [−7,5 ;−6,5]• [∏−1;∏+1]

15) Déterminer l’ensemble des réels x vérifiant l’égalité donnée :

• |x−2|=3• |x−4|=2• |x−(−1)|=5• |x+4|=0• |x+3|=2• |x|=2

16) Déterminer l’ensemble des réels vérifiant l’inégalité donnée :

• |x−2|≤1• |x+5|≤2• |x|≤0,01


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