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Effet de survitesse en proche paroi en dispersion thermique en milieu granulaire

Denis Maillet , Benoît Fiers, Christian Moyne

LEMTA – Nancy-Université & CNRS – Vandoeuvre-lès-Nancy

Journée SFT - Caractérisation thermique et échelle d'observation – Paris – 30 septembre 2010

2

1. Dispersion thermique dans un milieu poreux homogèneet modèle à 1 température

2. Effet de survitesse et dispersion hétérogène en proche paroi

3. Modèle de couche débitante

4. Caractérisation des effets thermiques de survitesse

Plan

Quelle température est modélisée/mesurée ? → échelle d’observation

Quelle technique inverse de caractérisation thermiq ue ?→ estimation bayésienne


Thomas Metzger (2002)(eau/billes de verre)

Amélie Testu (2005)(air/billes de verre

+support catalyseur/N2)

Benoît Fiers (2009)(air/billes de verre)

3


1. Dispersion thermique : milieu poreux homogène et modèle à 1 température

4

Prise de moyenne = réduction physique de modèle

V.E.R = Volume Elémentaire Représentatif

SYSTEME

P

Structure hétérogène :D/L << 1

(macrostructure)

L

Ts

Tf

d

D

P

P’

V.E.R. : d/D << 1(microstructure)

Distributions métériaux/fluidelocales hétérogène

milieu poreuxhomogène

(mais anisotrope )

)( Dx uλ)( Dy uλ

fcρ

tcρ

Du

chgmt d’échelle

zoom


5

volumique enthalpie volumetric

Hff Tcp =⇒= ρ

totalevolumiquechaleur

)-(1 )()()(

)(

spfptp

tpp

ccc

cc ff

ρρρ

ρρ

εε +==⇒=

Définition de la température moyenne enthalpique : tpH cT /H )(ρ=

( )∫=D,PV

'PV'PfDPV

Pf )(d)(),(

1)(Opérateur de prise

de moyenne:

porositéεχ =⇒= ff

0)(:Solid1)(:Fluide == PP χχ

DarcydevitesseDff uu =⇒=d

V.E.R.

β

σTβ

Tσ

f

s

V.E.R.

V (P, D)

P

P’

dV (P’ )


6

)(2

2

2

2

t,y,xsxT

ucyT

xT

tT

c fyxt +∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂ ρλλρ

coefficients dedispersion thermique :

dependent de u

chaleur volumiquedu fluide

Vitesse de Darcy

chaleur volumiquetotale

source thermique

• Ecoulement piston dans direction x : u = uDx (champ T : 2D)

• cas d’un écoulement 3 D

Equation de la chaleur du modèle à une température

( ) ( ) ( ) sTcTt

Tc HDfpH

Htp +∇−∇∇=

∂∂

.. uρρ λλλλ

tenseur dedispersion

sourceadvection vitesse de Darcy


7

70and13012for

12602110 451451

.PrRe

Re.Pe. .

f

eq.

f

eq

f

x

=<<

+=+=λ

λλ

λλλ

• Correlations pour les coefficients de dispersion th ermique

Lit granulaire: billes de verre monodisperses + écoulement d’air

Inversion de signaux de thermocouples (modèle analytique, point source)

70and13012for

0.113406

Re07880406Re

.PrRe

Pe.

..BA yyf

y

=<<+=

+=+=λλ

Pe = Re Pr

u


8

y/d

εmin = εcore= 0.365

Porositieslocal ε(y)/averaged εnw , εcorecore

Porositieslocal ε(y)/averaged εnw , εcorecore

εmin = εcore= 0.365

5770,nw =ε

4870,nw =εεcore= 0.365

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

u(y)

/u∞

y/d

Re = 8Re = 15Re = 22Re = 30Re = 40Re = 50Re = 63

δ/d

y/d

a – Porosité: proche paroi consolidée (ordre)

b – Porosité: proche paroi non consolidée (désordre)

( )∫=D,PV

'PV'PfDPV

Pf )(d)(),(

1)(

V.E.R. = moyennage sur volume :

S.E.R. = Moyennage sur surface

( )∫=DPS

PAPfDPA

Pf,

)'(d)'(),(

1)(

2. Effet de survitesse: dispersion hétérogène en proche paroi

u(y

)/u c

ore

3950,nw =εcouche procheproche paroi:

compacité maxi.

Simulation:écoulement en couches

(loi d’Ergun modifiée):Darcy

+ Forsheimer+ Brinkmanε (y), avs (y)

3650,core =ε

y/d

9


xT

y(ucyT

yyx

Ty

tT

yc fyxt ∂∂−

∂∂

∂∂+

∂∂=

∂∂

))( )( )(2

2

ρλλρ

0at0

a0andas0

0 in)((0)

==∞+→→∞±→→

==∂∂−

tT

ysTxT

yt,xxT

elecx ϕλ

( ) )()( - )()( tHxHxHWt,xelec l−=ϕ

)

022

2

=−∂∂

T~

ky

T~

01222

2

=

++−

∂∂

T~uc

ipc

y

T~

yyy

x αλ

ρλρα

λλ

Modèle milieu poreux continu → homogène: )(;)()( yx yyyu λλ⇒

Equation de la chaleur: température moyenneenthalpique dans un milieu poreux continu (S.E.R.)

xxipyxTpyTttptyxTpyxT d)(exp),,(),,(~

d)(exp),,(),,(0 ∫∫

∞+

∞−

∞+−=−= αα

Transformation de Laplace Transformation de Fourier

10


ny

f

y

tn

y

xn

n

ucip

ckk

n

Lxx

αλ

ρλρα

λλ

παα

++=→

=→±=→∞±=

222

L/

diffusionanisotrope transitoire advection

Une couche (modèle milieu homogène):

( )( )( )

ny

nny

nyn

k/Z

ykk/

k/ykZ

λλ

λ

1

sinh1Z

)(2/tanh

3

1

=

=

=

∞

Impédances thermiques:

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Modèle tricouche (2 couches poreuses + paroi):

u'u > Redistribution du flux dans paroiEffet de survitesse :

Etude de sensibilité: trop de paramètres pour caractérisation couche proche paroi

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Modèle tricouche réduit (paroi + « canal proche paroi » + coeur):

Température de mélange (« bulk »)

y)t,y,x(TtyxT lb d1

),,(0 ayers3∫=δ

δ

),,( tyxTb

'''

1' 2red3 ucipc

Zfntnx δραδραδλ ++++++++

====

dispersionlongitudinale

stockage advection

00 1 h/R =

h/R 1=

δλeq

hh

2

0

≅

≅

dispersionlongitudinale

3. Modèle de couche débitante

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P3, P4, P6 peuvent être estimés !

• Modèle réduit tricouche: étude de sensibilité

P1 = δ, P2 = h, P3=(ρcp)f u/λy, P4 = (ρcp)’t δ, P5 = λx δ, P6 = (ρcp)f u’ δ

Paramètres « naturel s» :

proportional non proportional

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Raw measurements

Measurements with offset/drift corrections

u u

Experimentalthermograms

Measures brutes

Mesures corrigées(offset/dérive)

u u

Thermogrammesexpérimentaux


4. Caractérisation des effets thermiques de survitesse

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P1 = δ, P2 = h, P3=(ρcp)f u/λy, P4 = (ρcp)’t δ, P5 = λx δ, P6 = (ρcp)f u’ δ

recherché sansinfo à priori

estimés avecvaleur (nominale) a priori

connus(donnés)

connu(donné)

∑∑

∑ ∑

==

= =

−+−+

−+−+

−=

NTc

iii

y

NTc

iii

x

PP

m

k

NTc

iiikki

T

yyxx

PPPP

PPPy,x,tTTPPPS

1

2nom2

1

2nom2

2nom2

4

2nom2

3

1 1

2skknownsought

exp2knownsksoughtBayes

)(1

)(1

)44(1

)33(1

)),,;((1

),;,(

σσ

σσ

σ

vitesse à cœur u capacité proche paroi ρ ct

• Stratégie d’estimation bayésienne: 1 seul paramètre complètement libre u’

P3nom = P3(uanemometer) P4nom = P4(εMartin) xnom and ynom

σP3 = 20% P3nom σP4 = 5% P4nom σx = 2mm σy = 1mm

Minimisation Gauss-Newton sous-relaxée pour 4 TC bien choisis

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Inversion de 4 thermocouples : yi > δ = d/2 = 1 mm

u u

Très bons résidus de température = 1,2 éc. Type bruit de mesure σTtrue = 0.01 K


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0 10 20 30 40 50 60 702

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

Re

ω =

unw

/uco

re

Low near-wall porosity, continuous porosity profileHigh near-wall porosity, continuous porosity profileLow near-wall porosity, 2 averaged porosities (Martin)High near-wall porosity, 2 averaged porositiesMaximal near-wall porosity, Brinkman term addedExperimental pointsLinear interpolation

ω = -0.0483 Re + 5.4119R2 =0.9233

Minimum

Résultats globaux: - inversion des thermocouples- modélisation pertes de charge par loi de type Ergu n

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Imagerie de structure par Résonnance Magnétique Iucléai re (IRM)Wassim SALAMEH, Sébastien LECLERC1, Jean-Marie ESCA NYÉ, Didier STEMMELEN (Nancy-Université october 2009)

Variation de l’épaisseur de tranche (S.T.):

Images: fonction caractéristique (0 or 1) → porosité ε (r) calculée sur surface cylindrique

Eau + billes de verre: diamètre = 2 mm

Diameter interne de conduite : 16.5 mm

S.T.=1.5 mm S.T.=5 mm S.T.=10 mm S.T.=20 mm

L’ordre apparaît lorsqu’on augmente l’épaisseur de tranche (S.T.)


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Carte de porosité

- billes de polystyrène (d = 0,5 mm ) dans tube (diam.:16, 5 mm)

- voxels de:0.156 mm * 0.156 mm * 20 mm

(Master – IRM - FRJV)

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porosité ε (y)

vitesse de Darcy u (y)

Ecoulement d’eau: tube (diam.:16, 5 mm) billes de polystyrène (d = 0,5 mm )

(Master – IRM - FRJV)

y/d

u(c

m/s

)

Por

osité

ε(y

)


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● Application industrielle :

Optimisation chauffage/refroidissement réacteurs lit fixe

● Défi scientifique:

Modélisation de la condition d’interface milieu poreux/paroi solide

● Réponse par caractérisation: modèle réduit analytique + estimation bayésienne

- d’un coefficient h unique

à un modèle avec effet de survitesse (terme d’advection=redistribution)

● Perspectives:

Estimation expérimentale du rapport des vitesses u’/u par I.R.M.

Condition limite plus « comestible » pour numériciens ?

Conclusions and perspectives

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