MA311 - Calculo III

Primeiro semestre de 2020

Turma B – Curso 51

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 4: Revisao das 3 primeiras aulas.

O comeco

Encontrar a solucao y(x) de{y ′(x) = f (x , y),

y(x0) = y0,(1)

e equivalente a encontrar uma funcao y(x) com

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f (s, y(s)) ds,

para x num certo intervalo I contendo x0.

O sistema (??) se chama PVI: Problema de Valor Inicial.

O comeco

Encontrar uma funcao y(x) com

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f (s, y(s)) ds

e equivalente a encontrar ponto fixo do operador L : C → C dado

por

L(y)(x) = y0 +

∫ x

x0

f (s, y(s)) ds.

Teorema (Teorema de Picard, detalhes na aula 02)

Se f (x , y) e contınua e fy (x , y) e contınua, entao para cada

(x0, y0) existe unica solucao do PVI y ′(x) = f (x , y(x)) com

y(x0) = y0.

Classificacao

A equacao diferencial pode ser classificada como:

# ordinaria/parcial

# linear/nao-linear

# quanto a ordem

Que tal produzir alguns exemplos de EDOs para cada um dos

tipos?

Classificacao

Exemplo

Uma famosa equacao diferencial parcial nao-linear de segunda or-

dem cuja solucao vale 1 milhao de dolares.

∆ e o Laplaciano.

https: // www. claymath. org/ sites/ default/ files/ navierstokes. pdf

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + ay(t) = b

# Se o lado esquerdo fosse da forma (µ(t)y(t))′, poderıamos

resolver rapidamente.

# Para tentar colocar o lado esquerdo neste formato,

multiplicamos a equacao toda por uma funcao µ(t), obtendo

µ(t)y ′(t) + aµ(t)y(t) = bµ(t).

# Bom, querıamos que o lado esquerdo fosse

(µ(t)y(t))′ = µ(t)y ′(t) + µ′(t)y(t),

# Comparando os termos, precisamos que µ′(t) = aµ(t), ou

seja, µ(t) = eat .

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + ay(t) = b

# A equacao fica

eaty ′(t) + aeaty(t) = beat .

que pode ser escrita como(eaty(t)

)′= beat ,

o que integrando da

eaty(t) = b

∫eat dt + c.

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + ay(t) = b

# Finalmente chegamos em

y(t) =1

eatb

∫eat dt +

c

eat,

e resolvendo a integral obtemos

y(t) =b

a+

c

eat,

onde c e a constante de integracao.

# Se for um PVI, aplicando a condicao y(x0) = y0 obteremos o

valor especıfico de c.

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + ay(t) = b

Exemplo

Resolva o PVI y ′ = 7y + 1, y(0) = 1.

Multiplicando por µ(t) ficamos com

µ(t)y ′(t)− 7µ(t)y(t) = µ(t).

Gostarıamos que fosse algo do tipo

µ(t)y ′(t) + µ′(t)y(t) = µ(t),

entao vamos escolher µ′(t) = −7µ(t), o que implica

µ(t) = e−7t .

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + ay(t) = b

Exemplo

Resolva o PVI y ′ = 7y + 1, y(0) = 1.

Assim a equacao fica

e−7ty ′(t)− 7e−7ty(t) = e−7t ,

que pode ser escrita como(e−7ty(t)

)′= e−7t .

Integrando e fazendo as devidas algebrizacoes, obtemos

y(t) = −1

7+

c

e−7t.

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + ay(t) = b

Exemplo

Resolva o PVI y ′ = 7y + 1, y(0) = 1.

Aplicando a condicao inicial y(0) = 1 ficamos com

1 = y(0) = −1

7+ c ,

o que nos da c = 8/7. Logo a solucao do PVI e

y(t) = −1

7+

8

7e−7t.

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

A funcao µ(t) se chama fator integrante. O bom? Ela funciona em

situacoes bem mais gerais. Por enquanto vamos aplicar o metodo

para resolver equacoes do tipo

y ′(t) + a(t)y(t) = b(t), (2)

que generalizam um pouco o exemplo anterior: antes os

coeficientes de y ′, y eram constantes, agora poderao depender de t.

A deducao e a motivacao sao as mesmas de antes (mais detalhes

no slide da aula 02). A expressao final para a solucao de (??) fica

y(t) = exp

(−∫

a(t) dt

)·∫ [

b(t) · exp(∫

a(t) dt

)]dt

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + a(t)y(t) = b(t)

Exemplo

Resolva o PVI y ′ + 3y = cos(t), y(0) = 1.

# Mult. por µ(t): µ(t)y ′(t) + 3µ(t)y(t) = cos(t)µ(t)

# Gostarıamos que fosse: µ(t)y ′(t) + µ′(t)y(t) = cos(t)µ(t)

# Devemos escolher µ′(t) = 3µ(t), ou µ(t) = e3t .

# A eq. fica: e3ty ′(t) + 3e3ty(t) = cos(t)e3t .

# Simplificando temos(e3ty(t)

)′= cos(t)e3t .

# Algebrismo: y(t) =3 cos(t) + sen(t)

10+

c

e3t

Equacoes diferenciais ordinarias lineares de primeira ordem

y ′(t) + a(t)y(t) = b(t)

Exemplo

Resolva o PVI y ′ + 3y = cos(t), y(0) = 1.

# Usando a condicao inicial:

1 = y(0) =3 cos(0) + sen(0)

10+

c

e0=

3

10+ c ⇒ c =

7

10

# Solucao do PVI:

y(t) =3 cos(t) + sen(t) +

7

10e3t

10.

# Que tal testar se esta funcao satisfaz mesmo y ′+ 3y = cos(t)?

Equacoes de Bernoulli

y ′(t) + P(t)y(t) = Q(t)yn(t)

# Mult. por y−n: y−n(t)y ′(t) + P(t)y1−n(t) = Q(t)

# Mud. var. w(t) = y1−n(t): w ′(t) = (1− n)y−n(t)y ′(t)

# Obtemos:1

1− nw ′(t) + P(t)w(t) = Q(t)

# Agora e so usar a tecnica do fator integrante e obter a solucao.

Exemplo

Resolva a EDO

y ′ + y = cos(t)y2

e obtenha a solucao

y(t) =2

2cet + cos(t)− sen(t).

Equacoes separaveis e equacoes exatas

Atencao!

Nao estou incluindo aqui a discussao que fizemos sobre formas

diferenciais. Consulte os slides da aula 03. Aqui vamos assumir

que todos ja temos o super poder de multiplicar diferenciais.

Aprendemos tambem a resolver dois tipos importantes de equacoes

diferenciais: as equacoes separaveis, da forma

y ′ =f (x)

g(y), g(y) 6= 0,

e as equacoes exatas, da forma

N(x , y)y ′(x) + M(x , y) = 0, My = Nx .

Equacoes separaveis e equacoes exatas

y ′ =f (x)

g(y), g(y) 6= 0

# Passando para formas diferenciais, podemos reescrever a

equacao como

g(y) dy − f (x) dx = 0.

# Obtendo primitivas G (y) de g(y) e F (x) de f (x), temos que

G (y)− F (x) = constante.

# Logo a solucao y(x) da equacao diferencial satisfaz

G (y(x))− F (x) = constante.

Equacoes separaveis e equacoes exatas

y ′ =f (x)

g(y), g(y) 6= 0

Exemplo

Resolva o PVI y ′ = −x3/(y + 1)2, y(0) = 0.

# Forma diferencial equivalente: (y + 1)2 dy + x3 dx .

# A solucao y(x) satisfaz

x4

4+

(y + 1)3

3= constante.

# Da condicao inicial: 0 +1

3= c .

# A solucao do PVI e a curva

x4

4+

(y + 1)3

3=

1

3.

Equacoes separaveis e equacoes exatas

N(x , y)y ′ + M(x , y) = 0, My = Nx

Atencao!

E preciso um bom comportamento das funcoes envolvidas para

isto funcionar. Tome cuidado no caso de funcoes com baixa reg-

ularidade. Veja o slide da aula 3 para detalhes.

# Se a equacao for exata teremos My = Nx .

# O potencial V (x , y) satisfaz M = Vy e N = Vx .

# Neste caso N(x , y) dy + M(x , y) dx = 0 e exata e pode ser

integrada.

# As solucoes sao

V (x , y(x)) = constante.

Equacoes separaveis e equacoes exatas

N(x , y)y ′ + M(x , y) = 0, My = Nx

Exemplo

Resolva a EDO y ′ = −3e3xy − 2x

e3x.

# Forma diferencial equiv: (3e3xy − 2x)dx + e3xdy = 0.

# Esta forma e do tipo N(x , y),dy + M(x , y) dx = 0, com

My = Nx .

# O potencial V e V (x , y) = e3xy − x2.

# As solucoes sao da forma

y =c + x2

e3x, c constante.

Bonus: equacoes homogeneas

O que fazer quando temos uma equacao da forma

y ′ =ax + by

cx + dy

com cx + dy 6= 0?

# Aparentemente ela nao se adequa a nenhum dos outros

metodos..

# Nao esta na forma padrao das EDs lineares de primeira ordem,

nao e exata, nao e separavel.

# E se usarmos uma mudanca de coordenadas?

Bonus: equacoes homogeneas

y ′ =αx + βy

γx + δy

# Forma diferencial equivalente:

(γx + δy) dy − (αx + βy) dx = 0.

# Mud. de var. y(t) = u(t)x(t).

# Entao dy = u dx + x du.

# A forma diferencial fica

(γx + δu x) (u dx + x du)− (αx + βu x) dx = 0.

# Dividindo por x ficamos com

(γ + δu) (u dx + x du)− (α + βu) dx = 0.

Bonus: equacoes homogeneas

y ′ =αx + βy

γx + δy

# Organizando obtemos

x(γ + δu)du − (α + βu − γu − δu2) dx = 0.

# Dividindo novamente por x ficamos com

(γ + δu)du − α + βu − γu − δu2

xdx = 0.

ouγ + δu

α + βu − γu − δu2du =

1

xdx .

Bonus: equacoes homogeneas

y ′ =αx + βy

γx + δy

γ + δu

α + βu − γu − δu2du =

1

xdx

Chegamos ate uma equacao separavel! Esta mesma mudanca de

variavel serve para varios tipos de equacoes.

ExercıcioResolva a EDO

y ′ =2x + y

5x − 3y.

Final da aula 04/parte 1.