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  • Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

    M315 : Analyse numérique et approximation

    Notes de cours par Clément Boulonne

    L3 Mathématiques 2008 - 2009

  • Table des matières

    Objectifs et plan de cours 4 0.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.2 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.3 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1 Approximation par des fonctions splines 5 1.1 Rappel sur l’interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.1 Existence et unicité du polynôme d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Formule de Lagrange du polynôme d’interpolation . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Base de Newton - Différences divisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Formule de l’erreur d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Quelques problèmes d’interpolation polynômiale . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2 Fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Splines cubiques interpolants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Propriété extremale des splines de degré impair . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 La base des B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Estimation de l’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Courbes splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    1.7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.2 Courbe ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7.3 Courbes fermés périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7.4 Algorithme d’évaluation de De Boor-Cox . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2 Approximation au sens des moindres carrés 29 2.1 Meilleure approximation dans un espace normé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1 Premiers résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.2 Unicité de la meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.2 Meilleure approximation dans un espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Algorithme de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Approximation à une précision donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3 Polynômes orthogonaux et formules de quadrature 37 3.1 Quelques propriétés des polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Exemples de familles de polynômes orthoognaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Formule de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.3.1 Formules de quadrature interpolatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Méthodes composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.3 Formules de quadrature de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    2

  • 3

    4 Approximation en norme uniforme 50 4.1 Réduction de l’erreur d’une approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Caractérisation de la meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3 Algorithme de calcul de Remez (exchange algorithm) . . . . . . . . . . . . . . . 53

  • Objectifs et plan de cours

    0.1 Objectifs → Approximation de fonctions, courbes surfaces, intégrales. → Définir en quel sens on considère l’approximation. → Donner les algorithmes pour construire les approximations. → Estimation d’erreurs. → Définir les espaces où on cherche l’approximation.

    0.2 Plan 1) Approximation de fonctions et de courbes par des fonctions splines (polynomial par mor-

    ceaux). Algorithmes de calcul, estimations d’erreurs. 2) Meilleure approximation dans l’espace normé, les espaces d’Hilbert, au sens des moindres

    carrés. 3) Polynômes orthogonaux. Application au calcul d’intégrales. 4) Meilleure approximation uniforme (L∞), existence, unicité, caractérisation de la meilleure

    approximation. Algorithme de calcul.

    0.3 Bibliographie 1) Philip J. Davis : Interpolation and Approximation, Dover Publications, 1976 2) M.J.D Powell : Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, 1981 3) Jean-Pierre Demailly : Analyse numérique et équations différentielles, Grenoble Sciences,

    2006 4) Carl de Boor : A Practical Guide to Splines

    4

  • Chapitre 1

    Approximation par des fonctions splines

    1.1 Rappel sur l’interpolation polynomiale Etant données x0, x1, ..., xn ∈ R distincts et les valeurs f(x0), f(x1), ..., f(xn). Il existe un et

    un seul polynôme pn de degré ≤ n tel que :

    pn(xi) = f(xi), i = 0, ..., n

    1.1.1 Existence et unicité du polynôme d’interpolation On aura donc :

    pn(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn

    Les conditions d’interpolation se resument par la résolution du système linéaire suivant : 1 x0 x20 · · · xn0 1 x1 x21 · · · xn1 ... ... . . . 1 xn x2n · · · xnn

     ︸ ︷︷ ︸

    Matrice de Vandermonde

     a0 a1 ... an

     =  f(x0) f(x1)

    ... f(xn)

     ︸ ︷︷ ︸

    n+1 équations à n+1 inconnus

    (∗)

    Soit : ∆ = detA =

    ∏ 0≤j

  • 6 Chapitre 1. Approximation par des fonctions splines

    1.1.2 Formule de Lagrange du polynôme d’interpolation La formule de Lagrange du polynôme d’interpolation est la suivante :

    pn(x) = n∑ j=0

    f(xj)lj(x)

    avec : lj(x) =

    n∏ i=0,i 6=j

    (x− xi) (xj − xi)

    pour j = 0, ..., n

    On appelle (l0, ..., ln) la base de Lagrange. Les lj (j = 0, ..., n) suivent la propriété suivante : Propriété 1.1.1. lj(xk) = δjk.

    1.1.3 Base de Newton - Différences divisées Notation. Notons par [x0, x1, ..., xk]f le coefficient dominant du polynôme pk (qui interpole f aux points x0, ..., xk), c’est-à-dire :

    [x0, ..., xk]f = k∑ j=0

    xj∏ i=0,i 6=j xj − xi

    [x0, ..., xk]f est appelé différence d’ordre k de f . Si on considère pk − pk−1, c’est un polynôme de degré ≤ k.

    pk(xi)− pk−1(xi) = 0, i = 0, ..., k − 1 Le coefficient dominant est [x0, x1, ..., xk]f est :

    (pk − pk−1)(x) = k−1∏ i=0

    (x− xi)[x0, x1, ..., xk]f ⇒ pk(x) = pk+1(x) + [x0, ..., xk]f k−1∏ i=0

    (x− xi)

    Par réccurence : pn(x) = f(x0) +

    n∑ k=1

    ( [x0, x1, ..., xk]f

    k∏ i=0

    (x− xi) )

    La formule précédente est appelée la formule de Newton. La base de Newton est la suivante : (x− x0), (x− x0)(x− x1), ..., (x− x0)(x− x1)...(x− xn)

    Calcul recursif des différences divisées

    [x0]f = f(x0)[x0, x1, ..., xk]f = [x1,...,xk]f−[x0,...,xk−1]fxk−x0 On a :

    [xi]f = f(xi)

    Démonstration. Voir M206 II-1.5.

    pk(x) = (x− x0)qk−1(x)− (x− xk)pk−1(x)

    xk − x0 qk−1 est le polynôme d’interpolation aux points x1, ..., xk.

  • Chapitre 1. Approximation par des fonctions splines 7

    1.1.4 Formule de l’erreur d’interpolation Theorème 1.1.2. Soient x, x0, ..., xn ∈ [a, b] et f ∈ Cn+1([a, b]). Alors ∃ξx ∈] min(x, xi),max(x, xi)[ tel que :

    f(x)− pn(x) = 1

    (n+ 1)!Πn+1(x)f (n+1)(ξx)

    avec : Πn+1(x) =

    n∏ i=0

    (x− xi)

    Démonstration. Voir M206 II-1.6. Elle est bassée sur le théorème de Rolle.

    1.1.5 Quelques problèmes d’interpolation polynômiale L’erreur d’interpolation dépend du choix des abscisses et de la régularité de la fonction.

    Exemple 1.1.1. Si on choisit des abscisses équidistribuées dans [a, b], c’est-à-dire :

    xj = a+ jh, h = b− a n

    On peut montrer que :

    |f(x)− pn(x)| =≤ hn+1

    n+ 1 maxx∈[a,b] |f (n+1)(x)| ≤ ε

    → on obtient de bonnes approximation si f est "suffisament" régulière. Problème. f ∈ C([a, b])\C1([a, b]) Exemple 1.1.2. On peut prendre comme abscisses les :

    xi = cos ( 2i+ 1

    2n+ 2π ) , i = 0, ..., n

    Les xi representent les racines des polynômes de Tchebychev1. Un polynôme de degré élevé présent souvent des oscillations qui peuvent provoquer des

    erreurs de grand module (phénomène de Runge). Exemple 1.1.3. On considère : f(x) = 1

    x2+1 , x ∈ [−1, 1]

    1Tn(cos(x)) = cos(nx)

  • 8 Chapitre 1. Approximation par des fonctions splines

    La courbe en rouge représente la fonction f(x), la courbe bleue est le polynôme interpolateur de degré 5 et la courbe verte est le polynôme interpolateur de degré 9. L’approximation est de plus en plus mauvaise.

    Donc : pour une fonction regulière et des points équidistants, |f(x)−pn(x)| ne converge pas vers 0 et n’est pas bornée pour certains x.

    Pour remédier à ce type de problème, on va chercher l’approximation dans une autre classe de fonctions : fonctions splines.

    On considère une partition de l’intervalle [a, b] :

    a = t0 < t1 < ... < tn = b

    et on va construire s telle que : • ∀j ∈ 1, ..., n, sj = s|[lj ,lj+1] ∈ Pk (espace des polynômes de degré ≤ k). • s ∈ Cm([a, b]) pour m le plus grand possible

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