m1 poly td modules 1 2 base (1)

7/22/2019 M1 Poly TD Modules 1 2 Base (1)

http://slidepdf.com/reader/full/m1-poly-td-modules-1-2-base-1 1/35

Université René Descartes LMD Sciences de la Vie et de la SantéUFR Biomédicale, M1 de Santé Publique

45 rue des Saints-Père, 75 006 Paris Spécialité Biostatistique

M1

BIOSTATISTIQUE I

Bases : Probabilités, Estimation et Tests.

Exercices et problèmes

C. Huber



1

Semaines 1 et 2

Probabilités, probabilités conditionnelles,

indépendance, formule de Bayes.

Fonction de répartition, espérance et variance d'une variable aléatoire réelle.

Rappels de cours :

Définition d'une probabilité conditionnelle

La probabilité de B étant supposée différente de 0, on appelle probabilité de A conditionné par B, que l'onnote P(A/B), le rapport :

P(A∩B)

P(A/B) = _________ .P(B)

On peut donc écrire :

P(A↔B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A) .

Formule de BayesCette formule, aussi appelée "théorème de la probabilité des causes", permet de renverser un

conditionnement.P(B/A)

P(A/B) = P(A) ___________________________ .

P(B/A) P(A) + P(B/Ac) P(Ac)

Elle est valable dès que P(B) est différent de 0.

Définition de l'Indépendance On dit que A et B sont indépendants si

(1) P(A∩B) = P(A) P(B)

C'est équivalent à (2) et à (3) :

(2) P(A/B) = P(A)

(3) P(B/A) = P(B)

Définition de la Fonction de répartition F d'une variable aléatoire réelle X en un point x C'est la probabilité pour qu'e cette variable aléatoire X soit inférieure ou égale à x :

F(x) = P(X ≤ x) On la note souvent f.r. .

Définition de l'Espérance L'espérance, ou moyenne, d'une variable aléatoire réelle X est notée E(X) ou EX . Si X est discrète et vaut

x j avec la probabilité p j, pour j variant de 1 à k, alors

k E(X ) = ∑ p j x j

j =1

M1_TD_sem_1_2.doc 1/4 C. Huber



2

Si X est continue et admet f comme densité de probabilité

EX = x f(x) dx

-∞

+∞

Changement d'origine et d'unité E (aX + b) = a E(X ) + b .

Variance

Var (X ) = E [ (X-EX)2] = E(X2) - (EX)2

Ecart-type

σ (X) = Var ( X )

Changement d'origine et d'unité

Var (aX + b) = a2 Var X

Variable centrée réduite associée à X : X* :

X - EX

X * = _______

σ (X)

Alors : E(X* ) = 0 et Var (X* ) = 1.

Définition d'un échantillon : Soit X1, X2, ..., Xn des variables indépendantes et de même loi . On dit

que (X1,..., Xn ) est un échantillon de taille n ou un n - échantillon de la variable X1 .

Xn =X1 + ... + X

n

est appelée moyenne de l'échantillon. ou moyenne empirique. Si E(X1) = µ et var(X1) = σ2 , alors

E(Xn) =1n

n∑i=1

E (Xi) =

Var (Xn) = 1

n2

n

∑i=1

Var (Xi) = σ2

n

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Exercices

1. Chasse au canard

Trois chasseurs tirent sur un canard. Chacun a la probabilité 1/3 de l'atteindre et ils sont indépendants. Quelleest la probabilité que le canard soit atteint ?

2. Pari




3

Une urne est pleine de billes de bois (B) ou de verre (V) de couleur rouge (R) ou noire (N). Les 2/3 des billessont rouges, le reste noir. La moitié des billes rouges sont en bois, ainsi que le quart des noires. Vous devez plonger la main dans l'urne et parier sur la couleur. Que faites vous?

3 Américanisme

Les Anglais et les Américains orthographient le mot rigueur , respectivement rigour et rigor . Un homme

ayant pris une chambre dans un hôtel parisien a écrit ce mot sur un bout de papier. Une lettre est prise au hasarddans ce mot, c''est une voyelle. Or 40% des anglophones de l'hôtel sont des Anglais et 60% des Américains.Quelle est la probabilité que l'auteur du mot soit anglais ?

4. Alcootest :

Un laboratoire a mis au point un alcootest et décide d'en vérifier la crédibilité . Les résultats obtenus sont lessuivants :

- 2% des personnes contrôlées par la police sont effectivement en état d'ébriété.- 95 fois sur 100 l'alcootest s'est révélé positif alors que la personne était réellement en état d'ébriété.- 5 fois sur 100, l'alcootest s'est révélé positif, alors que la personne n'était pas en état d'ébriété.

a) Quelle est la probabilité que l'alcootest donne une indication correcte ? b) Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement en état d'ébriété lorsque l'alcootest est positif ?

5. Au café

Cinq filles et cinq garçons s'assoient le long du comptoir d'un café sur les dix tabourets situés côte à côte. Onsuppose qu'ils se placent au hasard. Quelle est la probabilité qu'ils se trouvent ainsi placés :

a) toutes les filles côte à côte ? b)parfaitement alternés ?

On distinguera deux cas :1) Un comptoir en long (ou formant éventuellement un coin).2) Un comptoir circulaire.

6. Espérance et espérance conditionnelle

On lance deux dés équilibrés. Quelle est l'espérance (autrement dit la moyenne) de la somme des deuxnombres montrés par les deux dés ? Quelle est la fonction de répartition correspondante ? Mêmes questionssachant que l'un au moins des deux dés montre un 6. Cette deuxième espérance est appelée une espéranceconditionnelle; de même, cette deuxième f.r. est appelée fonction de répartition conditionnelle.

Facultatifs :

7. Enquête

On a utilisé la méthode suivante pour estimer le nombre des personnes de plus de 50 ans dans une villedont la population s'élève à 100 000 âmes. Elle consiste, pour l'expérimentateur, à enregistrer le pourcentage desgens de plus de 50 ans, lors de ses déplacements dans la rue. L'expérience s'étend sur quelques jours. Discuter cette méthode. Vous paraît elle convenable ?

A titre d'indication, on notera p la vraie proportion des gens de plus de 50 ans dans cette ville, q1 la

proportion du temps qu'une personne de 50 ans ou plus passe dans la rue et q2 le même paramètre pour les

moins de 50 ans. Quelle est la grandeur que la méthode employée estime en réalité ? Cette estimation convientelle pour p ? D'autres éléments pourraient ils entrer en jeu ?

8. Particules (BOLTZMAN , BOSE-EINSTEIN et FERMI-DIRAC )

I On considère n particules identiques supposés discernables en physique classique. C'est à dire qu'on peut lesnuméroter, puis, au moins en principe, suivre la trajectoire de chacune d'elles. Supposons que les particules puissent être réparties entre k états physiques distincts, le nombre de particules dans chacun des états

pouvant être quelconque. C'est l'hypothèse de la statistique de Boltzman.a) Combien y a-til de répartitions possibles ? b) Combien y a-t-il de répartitions possibles telles qu'il yait n1 particules dans l'état 1, n2 particules dans

l'état 2, .., nk particules dans l'état k ?

II En mécanique quantique, les particules sont indiscernables. C'est la statistique de Bose-Einstein.Reprendre alors les questions précédentes.




4

III On suppose maintenant que k ≥ n et qu'il ne peut pas y avoir plus d'une particule dans chacun des états.C'est la statistique de Fermi-Dirac. Reprendre les questions dans ces conditions.(On commencera par supposer les particules distinguables, puis indistinguables).

c) En supposant les particules réparties 'au hasard 'dans les k états, dire, dans chacune des conditions précédentes si les différentes répartitions possibles sont équiprobables.




1

Semaines 3 et 4

Lois de probabilité usuelles pour une variable

aléatoire réelle.

Rappels de cours :

1 - Lois normales N (µ, σ2):

Définition : loi normale réduite N(0,1)Z suit la loi normale N(0,1), ou loi normale réduite, si elle a pour densité

ϕ(z) = 12π

e - z

2

2 , z ∈ IR .

La fonction de répartition correspondante sera notée Φ :

Φ (z) = P(Z Š z) = ϕ(t) dt− ∞

z

Loi normale quelconque N (µ, σ2) :

Si X suit la loi normale N(µ,σ2) , ce qu'on note X ~ N(µ,σ2), X se comporte comme µ + σ Z :

P(X ≤ x) = P(µ + σZ ≤ x) = P(Z ≤(x-µ)/σ ) = Φ [(x−µ) / σ]

Propriété :X et Y indépendantes

X ~ N(µ, σ2) X + Y ~ N (µ+µ', σ2 + σ'2)

Y ~ N(µ', σ'2)

2 - Lois de Poisson π (λ)

Définition

X suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0, notée π (λ), si

λk

P (X = k) = e - λ __ k = 0, 1, 2,...k! λ paramètre > 0

( 0! = 1 par définition).

Moyenne et varianceE (X) = Var (X) = λ .

propriétéX et Y indépendantes

X ~ π (λ) ⇒ X+Y ~ π (λ+µ)

Y ~ π (µ)

3 - Lois binomiales B (n,p)

On a un n échantillon X1,X2,..,Xn dont chaque élément suit la loi de Bernoulli de paramètre p (0≤ p≤1) ,notée b(p) :




2

1 avec la probabilité p ,

Xi =

0 avec la probabilité q = 1 - p .

Sn est la statistique qui représente la somme des "succès" :

Sn = X1 + X2 + .. + Xn

n !

P (Sn = j ) = _______ p j qn-j , j = 0,1,2,....n .

j! (n- j) !

Espérance et variance :ESn = np ,

Var (Sn) = npq .

Approximation normale des lois binomiales Lorsque n tend vers l'infini , Sn se comporte comme une variable normale de moyenne sa moyenne

np et de variance sa variance npq :

P(Sn ≤ k) ≅ P(np + npq Z ≤ k)

où Z ~ N(0,1).En pratique, on admet l'approximation dès que np et nq sont ≥ 5.

Approximation normale d'une somme

Plus généralement, si Sn est la somme de n v.a. indépendantes Xi de même loi , de moyenne µ et d'écart-

type σ , lorsque n tend vers l'infini , Sn se comporte comme une variable normale de moyenne sa moyenne

nµ et de variance sa variance nσ2

P(Sn ≤ k) ≅ P( nµ + σ n Z ≤ k)

En pratique, si Xi a une loi continue, on admet que l'approximation est valable dès que n ≥ 30.

Approximation de Poisson des lois binomialesSi Sn est une variable binomiale B(n,p) telle que p soit petit et n grand, la loi de Sn ne dépend (presque

plus) que du produit np, ce qui fait que la loi de Sn est pratiquement la même que l'on ait fait 10 observations

d'un phénomène de probabilité 1/10 (np = 1) ou 100 observations d'un phénomène de probabilité 1/100 (np =1 aussi)

Plus précisément, si n tend vers l'infini et np reste constant, ce qui revient à ce que p tende vers 0 quand ncroît, on a l'approximation de Poisson suivante pour la loi binomiale :

(np)k

P(Sn = k) ≅ --------- e-npk!

En pratique on utilisera la règle suivante :

Pourvu que p ≤ 0,1 et 1 ≤ np < 10on remplacera la loi binomiale B(n,p) par la loi ci-dessus qu'on appelle la loi de Poisson de paramètre np.

Quelle approximation choisir ? Lorsque np est compris entre 5 et 10, on a droit aux deux approximations, normale et de Poisson, mais bien

sûr, celle de Poisson est d'autant meilleure, et donc préférable, que p est plus proche de 0.

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@




3

Exercices1. Capacité respiratoire

La quantité d'air (en litres) rejetée par un sujet sain lors d'une expiration forcée, est une variable aléatoire

X qui est supposée normale N( µ= 1,65, σ2 = 0,5). La capacité respiratoire d'un sujet est mesurée par laquantité d'air Y rejetée lors de deux expirations forcées successives espacées de 2 minutes. On suppose que lesdeux résultats sont indépendants. Quelle est la loi de Y? Quelle est la probabilité que la capacité respiratoired'un sujet sain dépasse 4 litres?

2. Accidents

Le nombre d'accidents touchant un individu lors d'une année donnée est une variable aléatoire de Poissond'espérance l . On suppose que cette espérance varie en fonction des personnes et qu'elle vaut 2 pour 60% de la population et 3 pour les 40% restants. On choisit une personne au hasard. Quelle est la probabilité qu'au coursd'une année elle n'ait aucun accident ? qu'elle en ait 3 ?Quelle est la probabilité conditionnelle qu'elle ait trois accidents une année, sachant qu'elle n'en a pas eul'année précédente ?

3. Footballeurs

La capacité respiratoire de sujets normaux, de sexe masculin, âgés de 20 à 30 ans est supposée obéir à une

loi normale de moyenne 3,5 litres et de variance 1.On tire au hasard dans la population des joueurs de football âgés de 20 à 30 ans, 100 sujets dont on

mesure la capacité respiratoire. Onze d'entre eux ont une capacité respiratoire qui dépasse 4,64 l.Si on considère que la capacité respiratoire de ces joueurs obéit à la loi précédente, quelle était la

probabilité que 11 de ces joueurs ou davantage aient une capacité respiratoire supérieure à 4,64 litres ?

4. Tolérance à l'aspirine

Des études ont été faites sur des médicaments contenant de l'aspirine pour essayer de réduire l'intoléranceobservée chez certaines personnes. Le but de l'expérimentation décrite est de décider s'il faut ou non remplacer le médicament habituel A par un nouveau B.

Le médicament A a une probabilité connue πο d'intolérance, égale à 0,20. On administre B à un

échantillon de 64 sujets et on observe une proportion po d'incidents.

Quelle est la loi de nPo si B provoque le même taux d'incidents que A ? Pouvez vous en donner uneapproximation ? En déduire la loi de Po, sa moyenne et sa variance.

Exercices facultatifs :

5. Loi de Pascal (ou binomiale négative) B-(k,p)

On suppose que X est une variable de Bernoulli b(p), de probabilité de succès p et que l'on fait Nobservations indépendantes X1, ..., X N jusqu'à ce que l'on ait obtenu exactement k succès. Le nombre

d'observations nécessaires N est aléatoire et a pour loi de probabilité la loi de Pascal (ou binomiale négative)

de paramètres p ∈ [0 ; 1] et k entier, notée B-(k,p). Ce type de modèle est celui que l'on emploie par exempleen expérimentation biologique lorsqu'on étudie l'apparition ou non de certains troubles sur des cobayes soumis

à des conditions particulières : on fait des observations jusqu'à ce que l'on observe un certain nombre, fixé àl'avance d'animaux présentant ces troubles.1) Quelles sont les valeurs possibles de N ? Calculer P(N = n), pour n entier positif.2) Calculer l'espérance de N. On rappelle que

1k 1i t)(1

1

j

jk 1 +

∞

= −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++ ∑ jt

3) Lorsque p est très petit, et pour éviter que la valeur de N ne soit trop grande et donc l'expérience trop longueet trop coûteuse, on se limite en général à l'observation du premier succès, c'est à dire à k = 1. Que vaut dansce cas la loi de N ? son espérance ? sa variance ?

6. Loi hypergéométrique H (N,M,n)




4

Le personnel d'une entreprise soumis à un risque professionnel comprend N personnes parmi lesquelles Msont atteintes d'une certaine maladie. On a décidé d'observer n personnes prises au hasard parmi les N. Parmielles, m sont atteintes. On dit que m est la réalisation d'une v.a.r. X dont la loi est appelée la loihypergéométrique H(N,M,n). Calculer la probabilité p(m∧Ν,Μ,n) = P(X = m). (On pourra montrer que

p ( m ⎮ Ν,Μ,n ) =

M N

N - Mn - m

Nn

si max (0,M+n - N) Š m Š min ( M , n )

et 0 sinon).




1

Semaine 5

Couple de variables aléatoires.Régression.

Rappels de cours :

Espérance d'une somme

E(aX+bY) = a EX + b EY .

En particulier, E (X+Y) = EX + EY et E(aX) = a EX .

Définition de la covariance de X et Y :

cov (X,Y) = E [(X - EX) (Y - EY)] = E(XY) - EX . EY .

Définition du coefficient de corrélation ρ (X,Y)

ρ(X ,Y) =co v(X,Y)

σ(X) σ(Y)

Variance d'une somme

Var (X + Y) = VarX + VarY + 2 E [ (X - EX) (Y - EY)] = VarX + VarY + 2 cov(X,Y)

Var(aX) = a2 VarX

Si X et Y sont indépendantes : cov (X,Y) = 0 et doncVar(X+Y) = VarX + VarY .

Mais si Cov (X, Y) = 0, X et Y ne sont pas forcément indépendantes.Par contre, pour des variables normales, indépendance et covariance nulle sont équivalents.

Droite de régression On cherche la droite y = ax + b la "plus proche" de Y au sens des moindres carrés :

E [(Y - (aX + b))2] minimum

On trouvecov (X,Y)

y - EY = __________ (x - EX)

σ2 (X)

qui peut aussi s'écrire : x − E ( X )

σ ( X ) = ρ ( X ,Y )

y − E (Y )

σ (Y )

M1_TD_sem_5.doc 1/3 C. Huber



2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Exercices

1. Datation par le carbone 14

Le carbone radioactif 14C est produit dans l'atmosphère par l'effet des rayons cosmiques sur l'azote atmosphérique.

Il est oxydé en 14C02 et absorbé sous cette forme par les organismes vivants qui, par suite, contiennent un certain

pourcentage de carbone radioactif par rapport aux carbone 12C et 13C qui sont stables.On suppose que, lorqu'un organisme meurt, ses échanges avec l'atmosphère cessent et que la radioactivité due au

carbone 14C décroît suivant une loi exponentielle :

(*) A = Ao e- λ t

λ étant une constante positive, t étant le temps exprimé en années et A étant la radioactivité exprimée en nombre dedésintégrations par minute et par gramme de carbone.

Un étalonnage de la méthode a été réalisé par l'analyse de troncs de très vieux arbres, des Séquoias géants et des pins aristaca. Par un prélèvement effectué sur le tronc, on peut obtenir son âge t, en années en comptant le nombre desanneaux de croissance et sa radioactivité A en mesurant le nombre de désintégrations. On a ainsi obtenu :

t 500 1000 2000 3000 4000 5000 6300A 14.5 13.5 12.0 10.8 9.9 8.9 8.0

La relation (*) entre t et A ne peut pas être vérifiée exactement par toue les couples de valeurs ainsi mesurées, mais ellel'est en principe aux erreurs de mesure aléatoires près.

Comment proposez vous d'évaluer les constantes Ao et λ ?

(On pourra penser à faire une régression de ln(A) sur t).

2. Taux d'alcoolUne étude du taux d'alcool dans le sang, exprimé en milligrammes par litre, au cours de l'autopsie de victimes

d'accidents de la circulation a consisté à faire un prélèvement dans la jambe (x) et dans le coeur (y). Les résultats ontété les suivants :Cas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 27 28 35 39 44 54 65 68 72 75y 39 31 36 50 44 49 70 84 80 82

Cas 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20x 84 84 83 96 138 149 150 153 176 180y 78 91 83 98 139 155 143 154 182 185

Cas 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

x 180 187 205 230 249 250 265 265 272 286y 187 195 208 228 249 256 269 277 290 502

Quelle est la droite de régression de y par rapport à x ? et celle de x par rapport à y ? Laquelle de ces deux droitesvous paraît présenter le plus d'intérêt ? Analyser les résidus correspondants. On pourra calculer la droite de régressionde y par rapport à x en ôtant tour à tour chacun des trente sujets et prévoir, pour celui-ci y connaissant x. Les prévisionsainsi obtenues sont elles bonnes ? Cette méthode, appelée le jacknife, permet de se rendre compte de la qualité de larégression.

3. Affections respiratoires

L'une des mesures qui sont faites lors de l'investigation des affections respiratoires est celle du volume expiratoiremoyen par seconde, appelé Vems. Sur 8 sujets tirés au sort parmi la population saine d'âge compris entre 30 et 35 ans,on a mesuré la taille, T,. en mètres et le Vems, V, en litres par seconde, et obtenu les résultats suivants :

Sujet 1 2 3 4 5 6 7 8T 1,85 1,72 1,51 1,62 1,60 1,80 1,75 1,68




3

V 4,5 3,6 2,7 3,1 3,6 4,4 4,3 3,8Tracer la fonction de répartition empirique du Vems, et tracer la droite de régression observée de V par rapport à T.Un neuvième sujet survient qui mesure 1,70 m. Quel Vems peut on prévoir pour lui ? En fait son Vems est de 4 litres.Quelle erreur a-t-on commise ?




1

Semaine 6

Estimation.

Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance.

Rappels de cours :

1 Estimation ponctuelle :

Estimateur d'un paramètre t : c'est une fonction des observations (aléatoire par conséquent)qui est une évaluation de t. Il est sans biais si sa moyenne est égale à t quel que soit t, etconvergent (ou consistant) s'il tend vers t quand le nombre des observations tend vers l'infini.Si le paramètre t est la moyenne ou la variance d'une variable X, on a des estimateurs trèssimples : la moyenne empirique (observée) et la variance (presque) empirique :

Estimateur sans biais de µ :

n

X

X

n

1i

i∑==

En particulier l'estimateur d'une proportion p, qui est la moyenne d'une variable de Bernoulli

b(p), est la proportion observée notée po.Estimateur sans biais de σ2 :

1-n

) X (X

S

n

1i

2

i

2

∑=

−

=

Dans les autres cas, on utilise une méthode très générale appelée le "maximum devraisemblance":

On écrit la probabilité des observations comme fonction du (ou des) paramètre(s) t et onestime t par la (ou les) valeur (s) qui rend(ent) maximum cette probabilité.

2 Estimation par intervalle de confiance :

La confiance est la probabilité avec laquelle l'intervalle couvre la vraie valeur du paramètre.On veut que cette probabilité soit proche de 1.

On la note 1 - α, avec α petit. En général α est de l'ordre de 0,05 ou moindre.

Pour une proportion p : proportion observée po plus ou moins un terme qui dépend de la

confiance 1 - α que l'on veut pouvoir accorder à l'intervalle

p1 ; p2 = p 0 - p0 q0

n

z1-α / 2 ; p 0 + p0 q0

n

z1-α/ 2

M1_TD_sem 6.doc 1/3 C. Huber



2

Dans cette expression, z1 - α est le 1 - α quantile de la loi N(0,1) : P(Z ≤ z1 - α) = 1 - α

La confiance est la probabilité avec laquelle l'intervalle couvre la vraie valeur de p.De même pour une moyenne :

µ1 ; µ 2 = xn -s

nz1− α/2 ; xn +

s

nz1− α/2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Exercices

1.Gaz nocif

Dans l'atmosphère, le taux d'un gaz nocif, pour un volume donné, suit une loi normale d'espérance µ et de

variance σ2 . On effectue n prélèvements conduisant aux valeurs x1, x2, ..., xn.

a) On sait que σ2 = 100, mais on ne connaît pas µ. Sur n = 10 prélèvements, on a trouvé une valeur moyenne de

48. Donner un intervalle de confiance pour µ ◊ à 95 %. Même question avec un coefficient de confiance de99% .

b) On ne connaît pas σ2 en fait mais on a fait cette fois 50 prélèvements et observé une moyenne égale à 51 et

une variance empirique S2 égale à 100. Répondre aux mêmes questions.c) Sous les mêmes conditions qu'en b), répondre aux mêmes questions lorsqu'on a observé 200 prélèvements aulieu de 50, sans faire de calcul.

2. Fonction de répartition empirique

Si Fn est la fonction de répartition empirique associée à un n-échantillon d'une v.a.r. X de f.r. F, montrer que

Fn(x) est, pour tout x, un estimateur sans biais de F(x). Quelle est la variance de cet estimateur ? Est il

consistant?

3. Fabricant de tissuUn fabricant de tissu essaye une nouvelle machine. Il fabrique des échantillons de 10 mètres et compte le

nombre de défauts par échantillon. Ayant examiné n = 126 échantillons, il a trouvé les résultats suivants :

Nombre de défauts : j Nombre d'échantillons : n j

0 44

1 49

2 24

3 7

4 2

a) Quel modèle suggérez vous pour représenter ce phénomène ? (On pourra calculer la moyenne et la varianceempiriques).

b) Donner l'estimateur du maximum de vraisemblance de la moyenne.c) Donner un intervalle à 99% de confiance pour cette moyenne.

4. Rhumatismes inflammatoires

On distingue deux grandes classes de rhumatismes selon qu'ils sont inflammatoires (RI) ou non. Sur ungroupe de 220 malades atteints de rhumatismes, on en a observé 167 RI . A quelles conditions la proportion pode RI observée peut elle être considérée comme un bon estimateur de la proportion p de RI dans la populationgénérale ?. On supposera que ces conditions ont été effectivement remplies. Donner alors un intervalle deconfiance au risque 1% pour p.

A partir d'une réaction sérodiagnostique, on effectue un dosage du facteur immunoconglutinine. C'est unevariable aléatoire notée X chez les RI et X' chez les autres (car X' peut avoir une loi de probabilité différente decelle de X). On résume les résultats obtenus ainsi :

Σ x = 420 ; Σ x2 = 1 400 ; Σ x' = 104 ; Σ x'2 = 292 .

Donner un intervalle de confiance de coefficient de confiance 0,03 pour µ = EX et pour µ' = EX'. A votre




3

avis, est il probable que le facteur dosé ait la même loi chez les patients atteints de RI et chez les autres?




1

Semaines 7 et 8

Tests d'ajustement.

Rappel de cours :F0 étant une loi complètement spécifiée, et (X1,..Xn) un n-échantillon, de loi F, on se demande si

H0 : F + F0

H1 : F ≠ F0

Si X est une variable discrète (ou discrétisée), on peut employer un test du chi deux, et si la

variable est continue, un test de Kolmogorov-Smirnov

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Exercices

1.Gaz nocif

Dans l'atmosphère, le taux d'un gaz nocif, pour un volume donné, suit une loi normale d'espérance µ et devariance σ2 . On effectue n prélèvements conduisant aux valeurs x1, x2, ..., xn.

a) On sait que σ2 = 100, mais on ne connaît pas µ. Sur n = 10 prélèvements, on a trouvé une valeur moyenne de 48.Peut on admettre que la loi de ce taux est normale N(50,100) au risque 5% ?

Peut on conclure, avec un risque de 5% que µ est inférieure à 50 , qui est le seuil tolérable admis ?Peut on donner cette conclusion au risque 1% ? et au risque 10% ?

b) On ne connaît pas σ2 en fait mais on a fait cette fois 50 prélèvements et observé une moyenne égale à 48 et une

variance empirique S2 égale à 100. Répondre aux mêmes questions.

c) Sous les mêmes conditions qu'en b), répondre aux mêmes questions lorsqu'on a observé 200 prélèvements au lieu

de 50. Peut on obtenir ce résultat sans faire de nouveaux calculs ?

2. Fonction de répartition empirique

Si Fn est la fonction de répartition empirique associée à un n-échantillon d'une v.a.r. X de f.r. F, montrer que

Fn(x) est, pour tout x, un estimateur sans biais de F(x). Quelle est la variance de cet estimateur ? Est il consistant ?

3. Fabricant de tissu

Un fabricant de tissu essaye une nouvelle machine. Il fabrique des échantillons de 10 mètres et compte le nombrede défauts par échantillon. Ayant examiné n = 126 échantillons, il a trouvé les résultats suivants :

Nombre de défauts : j Nombre d'échantillons : n j

0 44

1 49

2 24




2

3 7

4 2

Peut on considérer que la loi du nombre de défauts pour 10 mètres de tissu est une loi de Poisson de paramètre égal à1 ? Effectuer un test et conclure.

4. Rhumatismes inflammatoires

On distingue deux grandes classes de rhumatismes selon qu'ils sont inflammatoires (RI) ou non. Sur un groupe de220 malades atteints de rhumatismes, on en a observé 167 RI .On sait que, dans la population générale, les trois quarts des rhumatismes sont de type RI. Peut on considérer qu'il enest de même dans la population d'où a été tiré cet échantillon ? Avec quel risque ?

A partir d'une réaction sérodiagnostique, on effectue un dosage du facteur immunoconglutinine. C'est unevariable aléatoire notée X chez les RI et X' chez les autres (car X' peut avoir une loi de probabilité différente de cellede X). On résume les résultats obtenus ainsi :

Σ x = 420 ; Σ x2 = 1 400 ; Σ x' = 104 ; Σ x'2 = 292 .

Sachant que XC et X' suivent une loi normale, pPeut on considérer que X et X' suivent la même loi ?




Semaine 8

Tests d'ajustement.

Rappels de cours

On fait un test d'ajustement lorsqu'on se demande si la loi d'une variable X est une loi donnée par avance. Ce sont donc des tests de comparaison à une loi théorique.

Test de Kolmogorov-Smirnov pour un échantillon:

Il est valable pour n'importe quelle variable réelle X. La loi théorique est donnée par safonction de répartition Fo :

Ho : P(X ≤ x ) = Fo(x)Statistique du test D = sup | Fn- Fo |

D est le maximum de la valeur absolue de la différence entre la fonction de répartition Fothéorique, sur laquelle on veut faire l'ajustement, et la fonction de répartition observée Fn .

Test du chi2 d'ajustement:

Il est valable pour une variable X ayant un nombre fini r de modalités, notées 1, 2, .... r:

Ho : P(X = 1) = pl , P(X = 2) = p2 , .... P(X = r) = pr valeurs théoriques données

E 2 = ∑ (Ni - n pi) 2

npi

E2 est l'écart relatif entre les effectifs observés Ni et les effectifs moyens npi attendus sous

Ho. E 2

suit (approximativement) une loi du chi 2 à (r - 1) degrés de liberté (ddl) pourvu queles effectifs attendus soient supérieurs ou égaux à 5.

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Exercices

1. souriceauxOn dispose d'un lot de 500 souriceaux, et on se demande si ce lot est bien standard au

point de vue de la taille. En effet, la loi de la taille adulte de ce type de souris, élevées dansdes conditions normales est connue. C'est en principe une loi normale de moyenne 10 et devariance 0,09 si la taille est mesurée en centimètres.a) Pouvez vous donner un intervalle qui contienne la taille adulte d'une souris standard avecune probabilité de 95% ?

b) Un échantillon de 6 sujets, tirés au hasard dans ce lot, atteint la taille suivante à l'âge

adulte12,4 13,0 9,8 10,5 14,2 11,9



Peut on considérer que ce lot est bien standard ?

2. Calories et mortalité infantile

Le tableau suivant donne, pour plusieurs pays, le nombre moyen de calories absorbées par personne et par jour ainsi que le taux de mortalité infantile :

Pour chaque pays, x désigne le nombre de calories par personne et par jour, pour mille, et y letaux de mortalité, pour 1000.

Pays par jour pourl,000 Pays par jourpour 1000x y x y

Argentina 2,730 98.8 Iceland 3,160 42.4Australia 3,300 39.1 India 1,970 161.6Austria 2,990 87.4 Ireland 3,390 69.6Belgium 3,000 83,1 Italy 2,510 102,7Burma 2,080 202.1 Japan 2,180 60.6Canada 3,070 67.4 New Zealand 3,260 32.2Ceylon 1,920 182.8 Norway 3,160 40.5Chile 2,240 240.8 Netheriands 3,010 37.4Columbia 1,860 155.6 Poland 2,710 139.4Cuba 2,610 116.8 Sweden 3,210 43.3Deninark 3,420 64.2 Switzerland 3,110 45.3Egypt 2,450 162.9 U.K. 3,100 55.3France 2,880 66.1 U.S.A. 3,150 53.2Germany 2,960 63.3 Uruguay 2,380 94.1Greece 2,600 113.4

Peut-on considérer que chacune des deux variables X et Y, a une distribution normale ? (Onidentifiera, pour tester ces hypothèses, l'espérance et la variance de X et de Y à leursestimateurs usuels respectifs).



1

Semaines 9 et 10

Mise en évidence de liaisons.

Tests d'homogénéité ou d'indépendance.

Rappels de cours :

A Tests d'homogénéité pour deux échantillons d'une variable continue :

Etant donnés deux échantillons, on fait un test d'homogénéité lorsqu'on veut savoir si on peut considérer les deux échantillons comme provenant d'une même population : c'est l'hypothèse Ho .

Test de Wilcoxon :C'est un test d'homogénéité très puissant pour comparer deux échantillons d'une variable continue. On

ordonne les deux échantillons dans leur ensemble, on remplace chaque observation par son rang et onnote W la somme des rangs de l'un des deux échantillons. C'est une valeur numérique wo .Sous

l'hypothèse Ho , W a une loi qu'on peut calculer. Si P(W≤ wo) (ou P(W ≥ wo suivant l'alternative à

laquelle on s'intéresse) est très petit (< 0,05 en général) on rejette Ho. On peut soit calculer directement la

loi de W, soit la lire dans une table.

Test de la médiane : Si les deux échantillons proviennent de la même population, ils ont en particulier, la même médiane : Onles ordonne dans leur ensemble, on calcule la médiane globale et on regarde comment ils se situent par rapport à elle, ce qui donne un tableau de 4 nombres. Ce test n'est pas très puissant et n'est utilisé que lors

d'une flagrante différence entre les deux échantillons.

Test de comparaison de moyennes : En particulier, si les deux échantillons proviennent de la même population, ils ont aussi la mêmemoyenne. En général, on ne connaît pas la loi de la moyenne, mais si n est assez grand, cette loi est presque normale et on peut donc utiliser cette approximation :

B Tests d'indépendance pour un couple de variables :

Etant donné un échantillon d'un couple de variables, (X,Y), on fait un test d'indépendance lorsqu'on veutsavoir si on peut considérer les deux variables comme indépendantes : c'est l'hypothèse Ho .

Test du chi deux : valable pour un tableau de contingence croisant deux variables ayant toutes les deuxun nombre fini de modalités :

Sous l'hypothèse Ho d'indépendance de X et Y :

P (X = i, Y = j) = P (X = i) . P (Y = j)soit pij = pi . p. j

On fonde le test sur la statistique

( N ij − N i. N . j / N )2

N i. N . j / N ∑

qui suit une loi proche de celle du χ2 à (r - 1) (k -1) degrés de liberté, pourvu que les dénominateursni. p.j soient tous supérieurs à 5 (si ce n'est pas le cas, on regroupe plusieurs classes).




2

Test de Spearman : valable pour un couple de variables continues dont on veut savoir si elles sont liées. On ordonne séparément les X entre eux et les Y entre eux et chaque sujet i a un rang R i en X et un rang

Si en Y. Dans le cas où X et Y sont indépendantes, le coefficient de corrélation de (R,S), appelé

coefficient de corrélation de Spearman , est proche de 0 et a une loi de probabilité qui ne dépend que dunombre n des observations. Cette loi est tabulée pour les petites valeurs de n, et on utilise uneapproximation normale pour les grandes.

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Exercices

1. Fumée de papier à cigarette et cancer du poumon Une expérience a été menée dans le but de mettre en évidence un éventuel effet de la fumée de

papier à cigarette sur la génèse du cancer du poumon. Au cours de cette expérience, 74 souris ont étéutilisées, dont 36 ont servi de contrôle. Les 38 souris expérimentales ont été placées dans la cageexpérimentale et les 36 souris de contrôle dans la cage de contrôle de la machine à fumer. La machine produisait la fumée de 108 papiers à cigarette par jour, six jours par semaine et cela pendant un an.

A la fin de l'expérience, les animaux furent sacrifiés. Il y avait 13 tumeurs parmi les souris

expérimentales et 11 parmi les témoins. L'auteur conclut : "Il existe une très légère prépondérance dunombre des tumeurs chez les souris expérimentales par rapport aux souris témoins, et cette prépondérancen'est pas significative si l'on en fait une analyse statistique ...Les résultats de cetteexpérience indiquent que le papier à cigarette a peu ou pas d'effet sur la génération de cancer du poumon chez les souris albinos".a) Faire l'analyse statistique appropriée pour vérifier la première de ces deux conclusions.b) Etes-vous d'accord avec la deuxième conclusion de l'auteur ?

2. Calories et mortalité infantile (suite)

On reprend les données sur la mortalité infantile et les calories. a) Tracer dans un plan x0y le diagramme représentatif de ces pays. Le résultat obtenu suggère-t-ill'existence d'une liaison entre les deux variables considérées ?

Effectuer un test et conclure.b) pouvez-vous, des résultats précédents, déduire qu'un apport important de calories peut réduire lamortalité infantile ?

3. Souris infectées par des larves On s'intéresse à l'effet d'une dose faible de cambendazole sur les infections des souris par la

Trichinella Spiralis. 16 souris ont été infectées par un même nombre de larves de Trichinella et ensuiteréparties au hasard entre deux groupes. Le premier groupe de 8 souris a reçu du cambendazole, àraison de 10 mg par kilo, 60 heures après l'infection. Les 8 autres souris n'ont pas reçu de traitement.Au bout d'une semaine, toutes les souris ont été sacrifiées et le nombre suivant de vers adultes ont étéretrouvés dans les intestins :

Souris non traitées 514

556

629,5

6311

6813

7114

7515

7916Souris traitées 441 472 493 535 577 608 629,5 6712

Que peut-on conclure au sujet d'une éventuelle efficacité du cambendazole, dosé à10 mg / kg, pour letraitement des infections des souris par la Trichinella Spiralis ? (en indice : les rangs).

4. Souriceaux (suite) On se demande s'il existe une relation entre la longueur de la queue et celle du corps d'un souriceau

élevé dans des conditions normales d'éclairement. On tire au sort huit souris adultes élevées dans desconditions d'éclairement normal, et on mesure pour chacune d'elles, le corps et la queue, obtenant ainsiles résultats suivants :

Longueur du corps 11,6 12,4 10,9 11,2 12,1 11,8 13,1 12,5Longueur de la queue 10,4 10,1 9,7 9,9 10,8 11,0 12,1 11,7

Peut on considérer, au vu de ces données, que la queue est d'autant plus longue que la souris est plusgrande ? On proposera un test et on justifiera la conclusion obtenue.




1

Semaines 11 et 12

Tests de comparaison de k échantillons.

Rappels de cours :

Deux cas peuvent se produire selon que les échantillons sont liés ou non.

A Echantillons indépendants.

Test de la médiane généralisée : Valable pour k échantillons indépendants d'une

variable continue, pas nécessairement de la même taille. Chacun des k échantillons est partagé en deux effectifs par cette médiane commune : ceux qui sont au-dessus et ceuxqui sont au-dessous. Ces deux effectifs devraient être du même ordre. On est doncamené à faire un test du chi 2 avec probabilité théorique 1/2.

Test de Kruskal-Wallis : Valable pour k échantillons indépendants d'une variable continue, pas

nécessairement de la même taille. On ordonne toutes les valeurs dans leur ensemble ( n en tout) et onremplace chaque observation par son rang : 1 pour la plus petite, 2 pour la suivante, etc.., n pour la plusgrande. A chacun des k échantillons, on fait ensuite correspondre son score obtenu comme la somme desrangs des observations qui le composent : soit Rj ce score. La statistique de Kruskal-Wallis est ainsidéfinie :

K − W = j12

n(n + 1)

R j

2

n j =1

k

∑ − 3(n + 1)

Cette statistique suit à peu près une loi du chi 2 à k-1 ddl.

B Echantillons liés.

Test de Cochran: Valable pour k échantillons binaires liés. Contrairement à ce qui se passe pour Kruskal-Wallis ou la médiane généralisée, les k échantillons ont cette foistous la même taille, la liaison entre eux étant par exemple due à ce que les observationssont faites sur un même sujet et on a n sujets. Les données étant rangées dans n lignes etk colonnes, la statistique de Cochran est

∑ ∑

∑

= =

=

−

−

=n

1i

n

1i

2

2k

j )GG(

ii

1 j

L Lk

1)-k(k

Q

où les Li sont les totaux de lignes, G j. les totaux de colonnes et G la moyenne des G j.

:Q ~ chi2(k-1)ddl .




2

Test de Friedman : Valable pour k échantillons liés d'une variable ordinale. Comme pour Cochran, on a un tableau rectangulaire à n lignes et k colonnes. En supposant queles k modalités à comparer apparaissent en colonne, à l'intérieur de chaque ligne dutableau, on ordonne les valeurs par ordre croissant et on remplace chacune d'elles par son rang. On compte ensuite les scores de chaque colonne : R i est la somme des

éléments de la colonne i. La statistique de Friedman vaut alors :

Fr 2

=12

nk (k + 1) Ri

2

i =1

k

∑ − 3n(k + 1)

Cette statistique a une loi approximativement chi 2 à k-1 degrés de liberté.

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

Exercices

1.Vote

Lors de sondages préélectoraux, on a demandé à 15 personnes quel serait leur vote audeuxième tour au cas où l'actuel favori F serait opposé à l'un ou l'autre des autrescandidats possibles : A, B ou C. Leur réponse est ainsi codée : 1 s'ils votent pour F, 0dans le cas contraire. Les résultats sont les suivants.

Candidat opposé au favori

A B C

1 0 0 03 0 1 04 0 1 0

5 1 0 07 1 1 18 0 1 09 1 1 010 0 0 011 1 1 112 0 1 113 1 1 014 1 1 015 1 1 1

Peut on dire que le vote pour ou contre F dépend du candidat auquel F est opposé?

2.Bureaux paysagers

Dans des bureaux paysagers d'une grande tour de la Défense, on se demande si lacouleur des parois, murs et petites cloisons de séparation, joue un rôle sur le niveausonore. Dans ce but, on fait l'expérience suivante : 7 couleurs différentes sont choisies

pour les murs et cloisons, bleu pâle, céladon, rouge vif, bleu foncé, vert foncé, jaune vif et finalemeet elles nt fond blanc à pois rouges (à faible densité de pois) .

Les bureaux sont organisés et occupés de la même façon sur tous les points excepté latonalité générale du décor.Les niveaux sonores mesurés dans chacun des bureaux (10 bleu clair, 8 céladon, etc..)

sont les suivants :




3

bleu cl. vert cl. rouge v. bleu f. vert f. jaune v. à pois

1 38.5 40.2 54.2 48.9 50.3 62.7 43.02 40.5 39.0 49.8 47.7 49.1 66.2 39.6

3 42.5 44.0 64.8 51.2 51.4 57.0 41.64 42.8 37.6 57.2 52.7 57.4 59.8 38.65 38.7 38.1 57.9 56.3 46.5 57.7 46.16 38.8 45.6 59.4 50.3 47.3 63.57 43.6 41.2 60.3 51.1 50.7 58.78 35.5 36.9 60.9 49.3 60.39 42.2 59.9 45.8 59.2

10 38.5 61.1 50.211 56.9

Tester l'hypothèse qu'il n'y a aucune influence de la couleur des cloisons sur le niveau

sonore des bureaux.Ces données suggèrent elles une interprétation conduisant à une conclusion pratique ?

3.Publicité

Dans le but de mieux vendre un magazine, quatre différents types de publicité sonttestés sur des kioques de différents quartiers. Le premier type consiste à placer devant lekioque une affiche publicitaire contenant une illustration provocante, les trois autresconsistent à offrir un cadeau d'accompagnement : un poster, une disquette, ou un CDrom. On a cinq quartiers différents, notés Qi , pour i = 1 à 5. L'augmentation des ventes

est la suivante :

Quartiers

I II III IV V

Affiche 27 59 44 13 103 poster 18 38 31 8 80disquette 21 50 40 12 95CD 23 48 42 14 98

4.Acuité auditive

Pour tester une éventuelle dépendance de l'acuité auditive par rapport au degré

d'éclairement, on mesure cette acuité par un score de 0 à 100 sur 10 sujets soumis à deséclairements décroissants. On obtient les résultats suivants :

Niveau d'Eclairement

1 0.5 0.25 0

1 75 69 70 982 42 63 73 993 78 57 73 704 55 79 64 74

5 56 60 81 666 53 75 84 91




4

7 40 50 94 668 73 79 85 769 51 85 72 73

10 55 55 79 90

Y a-t-il ou non une influence du niveau d'éclairement sur l'acuité auditive ?




1

Semaines 13 et 14

Problèmes de révision

1. Dénombrement de globules rougesLe résultat d'un dénombrement de globules rouges sur les 500 cases d'un

hématimètre est donné ci-dessous :

X = i le nombre de 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N

globules d'une case

ni = nombre de cases 13 41 90 112 100 66 45 22 9 1 1 500

ayant i globules

On donne Σ x2 = Σ ni i2 = 8 114 .

I -1) Calculer la moyenne observée m du nombre X de globules par case et

la variance observée s2 de X.2) Construire l'intervalle de confiance à 5 % de µ, la moyenne théorique.

3) Si l'on suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre µ, calculer µ0

l'estimation de µ par le maximum de vraisemblance. Comparer avec lerésultat du 1).

4) (ne nécessite pas d'avoir résolu le 3)). Quel estimateur peut-on donner de µ ?Quelles sont les propriétés de cet estimateur ?

II -

1) Si l'on admet que pour un sujet sain µ = 4. Formuler complètement le test

permettant de savoir, au risque α, si les résultats obtenus peuvent provenir d'un sujet sain.

2) On décide de rejeter l'hypothèse µ = 4 si la moyenne observée m ∈ [m1, m2]où m1 et m2 sont définies par

Prob [m ∈ (m1, m2) | µ = 4] = 5 %

Quelles sont vos conclusions ?

3) Si le nombre X de globules par case suit une loi de Poisson et si on admet que

µ = 4, la répartition théorique moyenne du nombre de globules est donnée

par




2

X = i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

r i

9,1 36,6 73,3 97,7 97,7 78,1 52,1 29,8 14,9 6,6 2,7 1,4

où r i est le nombre (moyen) de cases ayant i globules.

Peut-on admettre au risque de 5 % que les résultats observés initialement sontceux d'un sujet sain ?

4) Comparez aux résultats du II - 2) et commentez.

III - Pour confirmer les résultats de la numération globulaire obtenue pour ce sujet onrecommence l'expérience une semaine après. Pour ce deuxième prélèvement on

ne compte que le nombre de cases sans globules. On obtient alors les résultatssuivants :

X 0 21 Nbre total de cases

1er prélèvement 13 487 500

2ème prélèvement 19 481 500

La proportion de cases vides est-elle la même pour ces deux prélèvements ?

2. Délai d'apparition d'une maladieOn suppose que le délai X d'apparition d'une maladie après la mise en contact

avec un milieu polluant est une variable aléatoire dont la loi admet la densitéf (x) = a.exp (-ax) si x ≥ 0

= 0 si x < 0

1) Quelle est la fonction de répartition F (x) de cette variable au point x ?

2) Calculer EX et Var (X).

3) Sur n sujets indépendants, on a mesuré le délai d'apparition de la maladie, obtenant

un délai moyen d'apparition M = (X1 + ... +Xn) / n. Que valent l'espérance EM et lavariance V(M) de M ?

4) Sur n = 100 sujets, on a observé un délai moyen d'apparition de 21 jours avec unécart type empirique de 5 jours. peut on en déduire un intervalle de confiance aurisque 3 % pour le paramètre inconnu a ?

5) Reprendre le problème en supposant cette fois que la loi de X est la loi uniformesur le segment [0 a]




3

3. Diabète infantileUne revue médicale a récemment publié le tableau ci-dessous à la suite d'une enquête

sur le diabète infantile. Les 269 patients examinés ont été tirés au hasard de la population Pdediabétiques ainsi définie : d'une part il fallait que le diabète se soit déclaré chez le sujet avantqu'il n'ait atteint l'âge de 15 ans, d'autre part que la durée d'évolution de la maladie, c'est à direle temps écoulé entre la date d'apparition du diabète et la date de l'enquête, soit supérieure à15 ans. Sur les 269 sujets observés, 115 sont des hommes et 154 des femmes.

Durée Nombre de Rétinopathies R 1 R 2 R 3d'évolution cas

15 < t ≤ 20 173 67 45 15 7

20 < t ≤ 25 58 32 17 12 3

t > 25 38 22 12 7 3

TOTAL 269 121 74 34 13

Les patients, comme on le voit sur le tableau, ont été répartis en 3 classessuivant que ladurée t d'évolution de la maladie se situe entre 15 et 20 ans, 20 et 25, ou dépasse 25 ans.Certains sujets sont atteints de rétinopathie (maladie de la rétine), d'autres pas. Ceux qui ensont atteints ont été répartis en trois catégories : R 1, R 2 et R 3 d'après la gravité de la

rétinopathie : R 1 si l'atteinte est légère, R 2 si elle est moyenne et R 3 si elle est forte.

a) - Tester, au seuil de signification de 2 %, l'hypothèse selon laquelle la population Pétudiée est composée d'autant d'hommes que de femmes. Pour quelles valeurs du seuil de

signification accepterait on cette hypothèse ?b) - Donner une estimation par un intervalle de confiance à 5 % de la proportion desmalades atteints de rétinopathie dans chacune des classes de duréed'évolution. Peut-on considérer que ce pourcentage croit significativement en même

temps que la durée d'évolution, au seuil de 5 % ?

c) - Parmi les sujets atteints de rétinopathie, la gravité de la rétinopathie dépend elle dela durée d'évolution du diabète ?

d) - 18 des patients figurant dans l'enquête présentent de l'hypertension artérielle (notéeH.T.A.). On a testé sur eux un nouveau médicament destiné à faire baisser la tension, etobtenu au bout de 40 jours de traitement les résultats suivants :

Numéro du 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 patientDifférence +1 +4 +5 -5 -1 +2 +8 -25 -12 -16 -9 -8 -18 -5 -22 -21 -15 -11

de tension

Peut-on considérer que ce traitement est efficace ? (On pourra pour cela tester au seuilde 5% l'hypothèse H0 selon laquelle le traitement n'a aucun effet).

4. Capacité respiratoire et pollution atmosphérique

Lors d'une étude destinée à mettre en évidence d'éventuelles relations entre lesaffections respiratoires et la pollution atmosphérique, on a obtenu les résultats suivants dans




4

des quartiers bien définis de quatre grandes villes françaises (*) :

Concentration Prévalenceen SO2 (UG / M3) des symptomes

respiratoires

Bordeaux B1 42 26, 2B2 37 27, 3B3 69 29, 3B4 47 26, 8

Lyon L1 88 31, 5L2 100 31, 2L3 56 29, 2L4 94 28, 4

Marseille M1 60 28, 2

M2 105 30, 2M3 120 27, 7M4 48 26, 6

Toulouse T1 32 25, 9T2 34 28, 7T3 13 26, 1

1) Peut on considérer que les deux villes de Bordeaux et de Lyon sont comparables en ce quiconcerne la pollution par le dioxyde de soufre ?

2) Ce tableau de données permet-il de conclure à l'existenced'une liaison entre la prévalencedes symptomes respiratoires et la concentration en dioxyde de soufre ?(Comme il serait trop long de décrire le protocole de l'enquête qui a permis de recueillir cesdonnées, on pourra supposer vérifiées les hypothèses qui permettent d'effectuer un test)

3) Le volume expiratoire moyen en une seconde, appelé Vems, est une quantité qui dépend dela taille et de l âge.Les mesures faites sur 8 individusadultes ont donné les résultats suivants

Individu Age (an) Taille (m) Vems (1 / s)

1 30 1. 85 4. 52 32 1. 72 3. 63 35 1. 51 2. 74 36 1. 62 3. 1

5 37 1. 6 3. 6

6 31 1. 80 4. 47 36 1. 75 4. 38 33 1. 68 3. 8

Un modèle de régression linéaire a été proposé pour la liaison entre le Vems et la taille,illustré par la figure suivante :




5

2.0

1.5 1.7 1.8 1.9

2.5

3.0

Taille en mètres

V.e.m.s. en litres/seconde

50-59 ans

40-49 ans30-39 ans

4) L'échantillon des 8 personnes interrogées parait-il être conforme à ce modèle, c'est à direVi = a . Ti + b + Zi

où V est la variable qui désigne le Vems, T la taille, et Z une variable Normale N (0; 0, 06) eti est l'indice désignant l'individu.

5) En fait, les 4 premières personnes ont été tirées au hasard d'une population soumise à une pollution atmosphérique significativement plus importante que les 4 autres. Ces données vous

permettent-elles de conclure à l'existence d'une liaison entre la pollution atmosphérique et leVems ?

6)Trois régions sont classées suivant la teneur de l'air en poussières, par ordre croissant (I, II,III), et on extrait dans chacune de ces régions un échantillon d'individus dont on mesure leVems; les valeurs du Vems sont subdivisées en quatre classes notées 1, 2, 3, 4 (1 correspondà un Vems très bas, 2 à un Vems bas, 3 à un normal,4 à un supérieur à la normale) :

Région I II IIIVems

1 12 23 422 54 73 673 124 102 85

4 10 7 8

Peut-on considérer qu'il existe une liaison significative entre la teneur de l'air en poussières etle V.e.m.s. ?

(*) D'après :Enquête du groupe coopératif PAARC, Bull. europ. Physiopath.respiratoire, 1980, 16,745 -767;1982,18, 87-99; 101 -116

5. Papillons




6

On étudie une variété de papillons qui se présentent sous l'une des trois couleurssuivantes : jaune, orange ou noir (1).

I. On a remarqué que dans les régions au climat rigoureux les papillons noirs semblaientêtre, en proportion, plus nombreux que dans les régions dont le climat est doux. On a doncobservé deux échantillons de ces papillons, l'un de 360 et l'autre de 180 papillons sous l'un etl'autre climats, et obtenu les résultats suivants :

papillons noirs oranges jaunes Totalrégion

climat doux 42 164 154 360climat rude 39 73 68 180

a) Tester, au niveau d = 2 %, l'hypothèse H0 selon laquelle la répartition des papillons entre

les trois couleurs est indépendante de la rigueur du climat.

b) Quelle autre hypothèse H'0 auriez-vous pu choisir de tester dans le but de vérifier si

effectivement les papillons noirs étaient proportionnellement plus nombreux dans les régionsfroides ? Indiquez les grandes lignes de la résoluton de ce nouveau problème de test de votrechoix.

II. Les trois couleurs possibles jaune, orange et noir, correspondent respectivement auxtrois génotypes aa Aa AA. Or les deux variétés allèles A et a du gène de coloration sont

réparties, dans la population des papillons, dans les proportions respectives θ et 1 - θ, où θ estun paramètre inconnu, strictement compris entre 0 et 1. De plus les croisements sont supposésavoir lieu au hasard. (Autrement dit pour former un papillon de génotype donné, tout se passe

comme si l'on effectuait deux tirages avec remise dans une urne contenant une proportion θ de A et 1 - θ de a).

a) Quelles sont, en fonction de θ, les probabilités p1, p2 et p3, pour qu'un papillon soit

respectivement noir, orange ou jaune ?

b) On tire au hasard n papillons et on désigne respectivement par X1, X2 et X3 le nombre de

ceux qui sont de génotype AA Aa et aa.On considère les évènements suivants :

E1 = {X1 = n1} ; E2 = {X2 = n2} ; E3 = {X3 = n3}

E12 = {X1 = n1, X2 = n2} = E1 E2E123 = {X1 = n1, X2 = n2, X3 = n3} = E12 E3 = E1 E2 E3

Calculer, en fonction de p1, p2 et p3, les probabilités suivantes :P(E1) , P(E2 / E1) , P(E12) , P(E3 / E12).

En déduire P(E123).

Voyez-vous une autre façon, plus directe, de calculer P(E123) ?

Exprimer P(E123) en fonction de θ.(2)

c) Sur un échantillon de n papillons dont n1 sont noirs, n2 oranges et n3 jaunes, on cherche à

estimer la valeur de θ. Donner, en fonction de n1, n2 et n3, l'estimateur du maximum de

vraisemblance de θ.

Application numérique :On se limite aux régions dont le climat est doux, et on utilise les données figurant dans




7

la première ligne du tableau de la question I.

III Une théorie conduit à donner à θ la valeur 1 / 3.

a) Tester l'hypothèse H0 : (θ = 1 / 3) au seuil de 10 %, en ce qui concerne les papillons qui

vivent dans les régions dont le climat est doux. A partir de quel seuil aurait-on rejeté H0 ?(Utiliser les données de la 1ère ligne du tableau I).

b) On s'est aperçu que l'excédent de papillons noirs dans les régions au climat rude, est dû aufait que les papillons jaunes et oranges semblent y survivre moins bien. Pour vérifier l'exactitude de cette remarque, on compare, dans ces régions, les durées de vie des papillonsnoirs et des autres.On fait 100 observations indépendantes sur la différence D entre la durée de vie d'un papillonnoir et d'un papillon d'une autre couleur, comparables en tous points (autre que la couleur) etsitués dans les mêmes conditions de vie. Ces 100observations (di) i = 1, ..., 100, mesurées en

jours, ont pour moyenne empirique m = Σ di / 100 = 10 jours , et s2

= Σ (di - m )2

/ 100 =16 pour variance empirique.

Tester au seuil de 5 % l'hypothèse H0 : la durée de vie de cette espèce de papillons est

indépendante de leur couleur, noir ou non, dans les régions au climat rigoureux.

c) On s'aperçoit, après coup, que les mesures de la différence D entre les durées de vie ont étéfaussées par l'appariement de telle sorte que l'échantillon de taille 100 (en fait200observations) n'est pas représentatif. Comme on n'a plus ni le temps, ni les moyens derecommencer l'expérience sous une forme comparable, on mesure les durées de vie de 10

papillons noirs et de 10 papillons d'une autre couleur, tirés au hasard et on obtient :

Papillons noirs 14 10 11 12 13 12 9 16 18 17Autres 8 17 9 10 12 11 14 7 8 13

Peut on conclure ?

(1) Les parties I, II et III sont indépendantes(sauf en ce qui concerne la question III a) qui nécessite le résultat de la question II a)).




8

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

PROBLEMES.

I. Marqueurs de la mucoviscidose

Il s'agit de savoir si une protéine qui fixe le calcium est perturbée lorsque le sujet est atteint de

mucoviscidose. Pour mettre en évidence une éventuelle différence, on utilise un complexe radioactif qui

provoque sur la protéine l'apparition de taches noires qu'on mesure au densitomètre après dépôt sur une

plaque de plastique. Sur chacune de ces plaques, on a trois protéines : une normale T , une appartenant à un

sujet faiblement atteint de mucoviscidose L et une appartenant à un sujet gravement atteint de mucoviscidose

G. Chaque plaque a ses caractéristiques et il est impossible de régler le temps de pause pour qu'il soit

toujours le même, aussi y a-t-il une influence de la plaque sur le résultat des mesures par le densitomètre. Les

résultats obtenus sont les suivants :

Protéines Plaque 1 Plaque 2 Plaque 3 Plaque 4 Plaque 5 Plaque 6

N 32 41 23 18 56 43

L 38 43 28 24 60 45

G 46 42 31 27 64 49

Peut on considérer que cette protéine est un marqueur de la mucoviscidose ? (Autrement dit, les trois

échantillons liés correspondant à N, L et G peuvent ils être considérés comme provenant d'une même

population ?).

II Longévité des nématodes

Dans le cadre de l'étude du vieillissement, le professeur Thomas Johnson a étudié, à l'université du Colorado,

la durée de vie des nématodes. La durée de vie de ces petits vers, qui deviennent adultes en trois jours, est

d'une vingtaine de jours en l'absence de toute intervention. Or un gène G1 a été identifié comme étant

potentiellement un "gène du vieillissement". Deux échantillons de nématodes ont été constitués : l'un n'asubi aucune intervention, et sur l'autre, on a désactivé le gène G1. On a ainsi obtenu les résultats suivants, où

les mesures Xi concernent le premier échantillon et les mesures Yi le second :

Sujet 1 2 3 4 5 6

X 23 19 21 20 18 22

Y 25 24 30 35 40 39

Ces mesures permettent elles de confirmer l'hypothèse que G1 pourrait être effectivement un gène du

vieillissement ?




9

III Régime basses calories

Toujours dans le cadre de l'étude du vieillissement, une expérience a été menée avec des

souris de laboratoire à qui l'on impose un régime plus ou moins riche en calories. A chaque

souris traitée correspond une dose D de calories ingérée chaque jour et une durée de vie X.

Comme un régime pauvre en calories, avec cependant une dose normale de protéines et de

vitamines, est supposé augmenter la durée de vie, la dose est mesurée en multiples d'une

dose standard et la durée de vie en mois. Les observations ont été les suivantes :

Sujet 1 2 3 4 5 6 7

D 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

X 26 30 28 35 38 41 39

Peut on considérer qu'il y a une liaison entre la longévité et la dose de calories absorbée ?

Justifier le test employé, donner son degré de signification, et commenter le résultat.

IV. Stage

A l'issue d'un stage dans une entreprise, pour sélectionner les candidats qui auront unemploi définitif, on leur fait passer un test qui comporte dix questions. Ces dix questions sontsupposées présenter la même difficulté, c'est à dire que, pour chaque candidat, la probabilité deréussite est en principe la même pour chacune des questions. Pour chaque candidat, 1 désigne laréussite et 0 l'échec.

L'épreuve a donné les résultats suivants :

n° du candidat Réponses aux questions

1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 02 1 1 0 0 0 0 0 0 0 03 1 1 1 1 1 1 0 0 1 04 1 0 0 1 1 1 0 1 0 05 0 1 1 1 0 0 1 0 0 06 1 1 1 1 1 1 0 0 1 07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0

1) Peut on considérer que les dix questions sont de même difficulté ?2)En fait, les cinq premières questions ont été posées par une même personne et les cinqdernières par une autre. Pourriez vous interpréter le résultat obtenu en 1) à l'aide d'un autretest ?

V Autoritarisme et conformismeDans le cadre d'une étude sociologique, on essaye d'établir, grâce à une enquête auprès

d'étudiants dans une université, s'il existe un lien entre le conformisme et l'autoritarisme.Pour cela on pose un certain nombre de questions sur les comportements considéréscomme préférables dans telle ou telle situation, et on obtient, pour chaque tudiant un scorede 'conformisme', selon l'échelle de Smith et un score d'autoritarisme, selon l'échelle de

Durand.Les résultats obtenus sur 1es 12 étudiants de l'enquête ont été les suivants :




10

Etudiant Score de conformisme Score d'autoritarisme1 42 822 46 98

3 39 874 37 405 65 1166 88 1137 86 1118 56 839 62 85

10 92 12611 54 10612 81 117

Quelle conclusion pouvez vous en tirer ?

VI Durée de survieTrois nouveaux traitements, notés A, B et C sont mis en compétition pour rallonger la

durée de survie de patients atteints de sida avéré. L'essai thérapeutique a lieu dans sixcentres hospitaliers de la communauté européenne.Un protocole a été établi pour harmoniser les conditions de l'hospitalisation entre les troiscentres mais il reste cependant des caractéristiques de chacun des centres, telles que par exemple le recrutement des patients, qui ne peuvent pas être rendues identiques pour l'ensemble des six.

Les observations concernent la durée de survie cumulée de 10 patients dans chaquecentre. Exprimées en nombre de mois, ces observations ont été les suivantes :

Traitements Centre 1 Centre 2 Centre 3 Centre 4 Centre 5 Centre 6

A 302 401 231 182 553 403

B 310 413 283 241 610 451

C 402 420 317 280 645 497

Pouvez vous faire un test de comparaison de ces trois traitements, en tenant compte del'influence possible de chacun des centres hospitaliers ?

m1 poly td modules 1 2 base (1)

Documents