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M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS

Modèle de Régression Linéaire Multiple

Exercice 1 : (IHET SC2011)

Pendant 23 ans, on a relevé sur une parcelle de terre agricole les rendements de la culture de blé

(symbolisé 𝒀), la température moyenne (variable 𝑿𝟏) et le niveau des précipitations (variable 𝑿𝟐).

L’ajustement de ce modèle conduit aux résultats suivants :

𝒚 𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟐𝒙𝒊𝟏 −𝟎, 𝟑𝟓𝟎𝒙𝒊𝟐 + 𝟐𝟕,𝟑 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐… , 𝟐𝟑 ; 𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕 ; 𝑺𝑪𝑻 = 𝒚𝒊 −𝒚 𝟐𝟐𝟑

𝒊=𝟏

= 𝟑𝟏𝟕,𝟒𝟔

On donne, en plus

𝑿′𝑿 −𝟏 =

𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟗 −𝟎, 𝟎𝟖 −𝟎, 𝟑

𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟓 𝟎,𝟎𝟐𝟎, 𝟐

1) Déduire l’estimateur de 𝝈𝟐.

2) Déduire les variances des estimateurs 𝜷𝟏 et 𝜷𝟐 (les coefficients associés à 𝒙𝟏 et 𝒙𝟐

respectivement).

3) Effectuer les tests de significativité individuelle de 𝜷𝟏 et 𝜷𝟐 , sachant que le 𝒕-tabulé

est 𝒕𝟓% 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟐.

4) Peut-on affirmer que le coefficient de la température est deux fois plus élevé que celui des

précipitations, en valeur absolue ?

Exercice 2 : (ISG SP2008)

On considère le modèle de régression multiple :

𝒚𝒊 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝒌𝒙𝒊𝒌

𝑲

𝒌=𝟏

+ 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏,𝟐 … , 𝒏

1)



2

a) Mettre le modèle sous forme matricielle en fonction du vecteur 𝒊 = 𝟏,𝟏,…𝟏 ′ et de la

matrice 𝑿 = 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ,…𝒙𝑲

b) Donner l’expression du vecteur 𝜷 estimateur MCO de 𝜷 en fonction de 𝑴𝟎 et 𝒊, où 𝑴𝟎 est

la matrice qui transforme les observations en écarts par rapport aux moyennes des

colonnes de la matrice 𝑿.

2) Dans la régression précédente le calcul du vecteur 𝜷 𝒄 revient à régresser la variable 𝒀 centrée

par rapport aux variables explicatives 𝒙𝟏 ,𝒙𝟐 , …𝒙𝑲 centrées dans le cadre d’un modèle linéaire

sans constante.

a) Est-ce qu’on obtient le même résultat si seule la variable 𝒀 est centrée ?

b) Est-ce qu’on obtient le même résultat si uniquement les variables explicatives sont

centrées ?

Exercice 3: (ISG SP2008)

On considère le modèle de régression multiple avec constante : 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝝃 . On procède à la

transformation suivante des variables explicatives: 𝒁 = 𝑿𝑻 , où 𝑻 est une matrice inversible.

1) Donner l’expression des vecteurs des résidus de la régression de 𝒀 sur 𝑿 et de 𝒀 sur 𝒁

respectivement 𝒆𝟏 = 𝑴𝑿𝒀 et 𝒆𝟐 = 𝑴𝒁𝒀

2) Que peut-on conclure quant à la qualité d’ajustement des deux régressions

3) Quel est le lien entre ce résultat et le problème de changement d’unité de mesure des variables

Exercice 4: (ISG SC2006)

On considère deux modèles de production :

𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝒆𝜷𝟏 𝒙𝒕𝒊𝜷𝒊𝒆𝝃𝒕

𝒌

𝒊=𝟐

𝑴𝟐 : 𝒚𝒕 = 𝜶𝟏 + 𝜶𝒊𝒙𝒕𝒊

𝒌

𝒊=𝟐

+ 𝜻𝒕

Où 𝒚 est la production, et les 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐,𝟑… , 𝒌 sont les facteurs de production.

1) Déterminer 𝜼𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑… , 𝒌 selon le

modèle 𝑴𝟏

2) Déterminer 𝜹𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐,𝟑… , 𝒌 selon le

modèle 𝑴𝟐. Commenter

3) Donner le modèle 𝑴𝟑 qui correspond à la forme log-linéaire du modèle 𝑴𝟏.



3

Sur la base d’un échantillon de 𝟒𝟓 observations, on a estimé ce modèle 𝑴𝟑 par la méthode des

moindres carrés pour le cas de deux facteurs de productions : 𝒙𝟐 le capital et 𝒙𝟑 le travail. Les résultats

sont :

𝜷 𝒄 = 𝟎,𝟕𝟓𝟎,𝟑𝟎

, 𝑺𝑪𝑹 = 𝟐𝟓 , 𝝈 𝜷 𝒄𝟐 = 𝟏𝟎−𝟒 𝟏𝟓 −𝟓

𝟏𝟎

4) Donner le tableau d’analyse de la variance

5) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse que l’élasticité capital est égale à l’élasticité travail

6) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse des rendements d’échelle constants


On veut expliquer la variation des rendements des actions des entreprises cotés à la bourse.

On dispose du tableau suivant :

𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

𝒀 = 𝑹𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 16 7 14 29 22 22 21 12 19 20 12 14 13 10 22 11 18 16 15 7

𝑿𝟐 = 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒆𝒔 9 2 7 32 18 14 16 3 12 15 3 4 9 0 13 4 15 19 8 2

𝑨𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒏𝒂𝒏𝒄𝒆 à 𝒍’𝑬𝒕𝒂𝒕∗ O N N O N N O N O O N O O N O N O N O N

𝑺𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅’𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒕é 𝐬𝟏 𝐬𝟑 𝐬𝟐 𝐬𝟑 𝐬𝟐 𝐬𝟐 𝐬𝟏 𝐬𝟐 𝐬𝟐 𝐬𝟏 𝐬𝟐 𝐬𝟐 𝐬𝟏 𝐬𝟐 𝐬𝟐 𝐬𝟏 𝐬𝟏 𝐬𝟑 𝐬𝟏 𝐬𝟑

∗ O: L’Etat est actionnaire à l’entreprise N : L’Etat n’est pas actionnaire

Ce tableau est résumé par les données suivantes :

𝒙𝒊𝟐

𝟐𝟎

𝒊=𝟏

= 𝟐𝟎𝟓 ; 𝒙𝒊𝟐𝟐

𝟐𝟎

𝒊=𝟏

= 𝟑𝟐𝟓𝟕 ; 𝒙𝒊𝟐𝒚𝒊

𝟐𝟎

𝒊=𝟏

= 𝟒𝟎𝟑𝟓 ; 𝒚𝒊

𝟐𝟎

𝒊=𝟏

= 𝟑𝟐𝟎 ; 𝒚𝒊𝟐

𝟐𝟎

𝒊=𝟏

= 𝟓𝟕𝟐𝟒

Total des rendements des entreprises dont l’Etat est actionnaire =187

Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔𝟏 =114

Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔𝟐 =147

Total des dividendes des entreprises dont l’Etat est actionnaire =133

Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔𝟏 =76

Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔𝟐 =74

1) Donner les spécifications économétriques et interpréter économétriquement les paramètres des

modèles suivants :

a) 𝑌 est exprimée en fonction d’une dummy référant à l’appartenance à l’Etat.



4

b) 𝑌 est exprimée en fonction des variables dummy référant aux secteurs d’activité.

c) 𝑌 est exprimée en fonction des dividendes et des dummy référant à l’appartenance à

l’Etat et à l’appartenance aux différents secteurs d’activité

2) Donner les matrices 𝑿′𝑿 et 𝑿′𝒀 relatives à chacun des modèles spécifiés.

3) Estimer les paramètres du premier modèle.

4) On a estimé le modèle :

𝒚 𝒊 = 𝟒,𝟗𝟐 + 𝟎,𝟔𝟗𝒙𝒊𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟔𝑫𝒊 + 𝟐,𝟔𝟒𝑫𝒊𝟏 + 𝟐, 𝟔𝟒𝑫𝒊𝟐 ;𝒐ù

𝑫𝒊 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′𝑬𝒕𝒂𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 à 𝒍′𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

𝑫𝒊𝟏 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔𝟏 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

𝑫𝒊𝟐 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔𝟐 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

a) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises dont l’Etat est

actionnaire ou non ? Justifier votre réponse.

b) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises du secteur 𝒔𝟏 ou 𝒔𝟐 ?

Justifier votre réponse.

c) Déterminer les rendements estimés de l’action d’une entreprise qui appartient au

secteur 𝒔𝟑, dont l’Etat n’est pas actionnaire et dont les dividendes sont de 52.


On veut identifier les facteurs qui déterminent les rendements des actions sur le marché financier. On

considère les variables

𝒀 = 𝑳𝒏 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝒍′𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 ,𝑿𝟐 = 𝑳𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒕𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒖 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒕

𝑿𝟑 = 𝑳𝒏(𝒑𝒓𝒐𝒇𝒊𝒕𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖é𝒔)

On dispose des statistiques relatives à 30 firmes du secteur 𝑨 et 30 firmes du secteur 𝑩 qu’on utilise

pour estimer les modèles :

𝑴𝑨 : 𝒀𝑨 = 𝑿𝑨𝜷𝑨 + 𝝃𝑨

𝑴𝑩 : 𝒀𝑩 = 𝑿𝑩𝜷𝑩 + 𝝃𝑩

1) Les résultats d’estimations du modèle 𝑴𝑨 sont :

𝑴 𝑨 ∶ 𝒚 𝒊 = −𝟔,𝟎𝟓 𝟑,𝟎𝟎

−𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒊𝟐 𝟑,𝟕𝟎

+ 𝟏, 𝟎𝟓𝒙𝒊𝟑 𝟐,𝟔𝟎

; 𝒊 = 𝟏,𝟐 … , 𝟑𝟎

𝝈 𝑨𝟐 = 𝟎,𝟐𝟕 ; 𝑹𝑨

𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟓



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Les valeurs entre parenthèses sont les 𝒕 de Student

a) Juger la validité statistique et économique du modèle 𝑴 𝑨

b) Quelle est l’effet sur les rendements d’une augmentation de 𝟓% des profits distribués

c) Tester l’hypothèse que la variation des rendements est exactement proportionnelle à la

variation des profits distribués

2) On utilise les données du secteur 𝑨 et du secteur 𝑩 ensemble pour estimer les modèles :

𝑴𝟏 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏,𝟐… , 𝟔𝟎

𝑴𝟐: 𝒚𝒊 = 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐𝒙𝒊𝟐 + 𝒃𝟑𝒙𝒊𝟑 + 𝒃𝟒𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐… , 𝟔𝟎

𝒐ù 𝑫𝒊 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒊𝒓𝒎𝒆 i 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝑨𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

a) L’estimation du modèle 𝑴𝟏 donne 𝑹𝑴𝟏

𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟎. Tester au risque de 𝟓% la stabilité des

paramètres entre les secteurs, sachant que :

𝒚𝒊 − 𝒚 𝟐𝟐𝟑

𝒊=𝟏

= 𝟏𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑹𝑩 = 𝟔

b) L’équation estimée du modèle 𝑴𝟐 est :

𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒊 = −𝟒,𝟎𝟓 𝟑,𝟎𝟎

− 𝟎,𝟕𝟓𝒙𝒊𝟐 𝟑,𝟕𝟎

+ 𝟎, 𝟖𝟕𝒙𝒊𝟑 𝟐,𝟔𝟎

− 𝟎,𝟔𝟎𝑫𝒊 𝟑,𝟑𝟎

; 𝒊 = 𝟏, 𝟐… , 𝟔𝟎

Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student

i. Est-ce que les rendements dépendent du secteur d’activité

ii. Comparer ce résultat avec celui de la question 2)-a)

iii. Est-ce que les investisseurs préfèrent le secteur 𝑨 ou 𝑩, justifier votre réponse

Exercice 7: (ISG SC2006)

Sur la base des données mensuelles allant de janvier 1991 à décembre 2000, on a estimé les modèles :

𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒕𝟐 + 𝜷𝟑𝒙𝒕𝟑 + 𝜷𝟒𝒙𝒕𝟒 + 𝝃𝒕

𝑴𝟐: 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒕𝟐 + 𝜷𝟑𝒙𝒕𝟑 + 𝜷𝟒𝒙𝒕𝟒 + 𝜷𝟓𝒙𝒕𝟓 + 𝜷𝟔𝒙𝒕𝟔 + 𝜻𝒕

On obtient : 𝝈 𝑴𝟏

𝟐 = 𝟐, 𝟓𝟓 , 𝑺𝑪𝑹𝑴𝟐= 𝟏𝟏𝟎

𝑺𝒂𝒄𝒉𝒂𝒏𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝒚𝒕 − 𝒚 𝟐𝟏𝟐𝟎

𝒕=𝟏

= 𝟐𝟏𝟎𝟎

1) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴𝟏

2) Calculer le part des variables 𝒙𝟓 et 𝒙𝟔 dans l’explication du modèle 𝑴𝟐

3) Est-ce que l’ajout de ces variables améliore la qualité d’ajustement du modèle



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4) Tester au risque de 𝟓% si cette amélioration est significative.

L’estimation du modèle 𝑴𝟐 sur la période janvier 1991 à décembre 1994 donne 𝑺𝑪𝑹𝟗𝟏/𝟗𝟒 = 𝟒𝟎

L’estimation du modèle 𝑴𝟐 sur la période janvier 1995 à décembre 2000 donne 𝑺𝑪𝑹𝟗𝟓/𝟎𝟎 = 𝟓𝟗

5) Tester au risque de 𝟓% la stabilité des paramètres de ce modèle.


On considère le modèle 𝑴𝟏 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐… ,𝟏𝟎𝟎 où

𝒀 = 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍; 𝑿𝟐 = 𝒆𝒙𝒑é𝒓𝒊𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒇𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏𝒏𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝑿𝟑 = 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒂𝒖 𝒅′𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏. Les

données relatives aux variables explicatives sont résumées par :

𝑿𝒄 ′𝑿𝒄 = 𝟔𝟑𝟗𝟎 −𝟐𝟐

𝟏𝟐𝟕 ; 𝑿𝒄 ′𝑿𝒄

−𝟏=

𝟎, 𝟏𝟓𝟔𝟔 𝟎, 𝟎𝟐𝟕𝟏𝟕, 𝟖𝟕𝟓𝟓

1) L’équation estimée du modèle 𝑴𝟏 est :

𝑴 𝟏 ∶ 𝒚 𝒊 = 𝟐𝟓𝟖,𝟓 𝟏𝟑,𝟎𝟏

+ 𝟏𝟕,𝟒𝒙𝒊𝟐 𝟏,𝟑𝟏

+ 𝟏𝟔𝟓,𝟗𝒙𝒊𝟑 𝟗,𝟐𝟗

; 𝒊 = 𝟏, 𝟐… , 𝟏𝟎𝟎

Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres

a) Donner une interprétation économique de la valeur estimée de 𝜷𝟏

b) Estimer la variance des résidus

c) Calculer le coefficient de détermination du modèle

2) Afin de tester l’existence d’une discrimination au niveau des salaires entre les hommes et les

femmes, on cherche à estimer le modèle :

𝑴𝟐 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑𝒙𝒊𝟑 + 𝜷𝟒𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐… , 𝟏𝟎𝟎 𝒐ù

𝑫𝒊 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒖 "𝒊"𝒆𝒔𝒕 𝒉𝒐𝒎𝒎𝒆 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

L’échantillon est composé de 60 hommes et 40 femmes. La valeur moyenne de 𝑿𝟐 chez les hommes est

𝑿 𝟐𝑯 = 𝟏𝟑 alors que pour les femmes la moyenne de 𝑿𝟐 est 𝑿 𝟐𝑭 = 𝟏𝟏. Pour 𝑿𝟑 les moyennes sont

𝑿 𝟑𝑯 = 𝑿 𝟑𝑭 = 𝟏,𝟕

a) Déterminer la matrice 𝑿′𝑿 associée au modèle 𝑴𝟐.

b) Tester l’existence d’une discrimination entre les hommes et les femmes, si l’équation

estimée du modèle 𝑴𝟐 est :

𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒊 = 𝟐𝟎𝟎,𝟗 𝟐𝟑,𝟏𝟕

+ 𝟏𝟔,𝟐𝒙𝒊𝟐 𝟏,𝟏𝟐

+ 𝟏𝟔𝟑,𝟖𝒙𝒊𝟑 𝟕,𝟖𝟖

+ 𝟏𝟏𝟑,𝟓𝑫𝒊 𝟏𝟖,𝟐𝟕

; 𝒊 = 𝟏,𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎

Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres

c) Cette discrimination, est-elle en faveur des hommes ou des femmes. Justifier votre

réponse.



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3) On suppose que vous disposez de toutes les observations ; proposez une autre méthode pour

tester l’existence de cette discrimination.

Exercice9: (ISG SP2007)

Soit le modèle de régression simple : 𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐… , 𝑻

1) Sur la base d’un échantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : I à 2005 : IV), on a estimé

par les MCO le modèle 𝑴𝟏. Les résultats d’estimation sont :

𝑴 𝟏 ∶ 𝒚 𝒕 = 𝟑𝟗,𝟎𝟓 𝟑,𝟎𝟎

−𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 𝟏,𝟑𝟏

; 𝒕 = 𝟏, 𝟐… , 𝟐𝟒

Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student

a) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴𝟏

𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔: 𝑭 =𝑺𝑪𝑬

𝑺𝑪𝑹 𝑻− 𝟐 = 𝝉𝜷𝟐

𝟐

b) Tester au risque de 𝟓% :

𝑯𝟎 :𝜷𝟐 = 𝟏𝑯𝟏 :𝜷𝟐 ≠ 𝟏

2) On donne 𝑿 = 𝟔𝟕 ;𝑽 𝑿 = 𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 = 𝟗𝟖𝟎

a) Estimer la variance des résidus 𝝈 𝟐

b) Déterminer les matrices 𝑿′𝑿 𝒆𝒕 𝑿′𝑿 −𝟏 associées au modèle 𝑴𝟏

c) Déterminer un intervalle de prévision au niveau 𝟗𝟓% pour 𝒚𝟐𝟓𝒑

sachant que 𝒙𝟐𝟓 = 𝟗𝟖

3) Pour examiner l’effet des saisons on utilise le modèle su ivant :

𝑴𝟐 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒕 + 𝜷𝟑𝑫𝟏𝒕 + 𝜷𝟒𝑫𝟐𝒕 + 𝜷𝟓𝑫𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏,𝟐… , 𝟐𝟒 ;𝒐ù

𝑫𝒋𝒕 = 𝟏 𝒔𝒊 t𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅 𝒂𝒖 𝒋𝒊è𝒎𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏

;𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒋 = 𝟏, 𝟐,𝟑

Les résultats d’estimations du modèle 𝑴𝟐 sont :

𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒕 = 𝟑𝟗,𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 −𝟑, 𝟑𝟓𝑫𝟏𝒕 + 𝟒, 𝟒𝟕𝑫𝟐𝒕 −𝟓𝟖,𝟖𝑫𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏,𝟐… , 𝟐𝟒

𝑹𝟐 = 𝟎,𝟖𝟑

a) Dresser le tableau d’analyse de la variance

b) Déterminer les valeurs prévisionnelles 𝒚 𝟐𝟕𝒑 𝒆𝒕 𝒚 𝟐𝟖

𝒑 pour le troisième et le quatrième

trimestre de l’année 2006, sachant que pour ces périodes les valeurs prévisionnelles de la

variable explicative 𝑿 sont respectivement 𝒙𝟐𝟕 = 𝟏𝟎𝟐 𝒆𝒕 𝒙𝟐𝟖 = 𝟏𝟎𝟓



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Exercice10: (ISG SC2007)

On considère le modèle : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝒊𝟐 + 𝜷𝟑𝒙𝒊𝟑 + 𝜷𝟒𝒙𝒊𝟒 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏,𝟐 … , 𝟑𝟔

1) Mettre le modèle sous forme matricielle, en spécifiant les dimensions de chaque élément

2) Donner l’équation du vecteur 𝜷 estimateur de 𝜷 =

𝜷𝟏

𝜷𝟐

𝜷𝟑

𝜷𝟒

par les MCO

3) Estimer par les MCO le vecteur 𝜷𝒄 =

𝜷𝟐

𝜷𝟑

𝜷𝟒

, on donne :

𝑿𝒄 ′𝑿𝒄 = 𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟐

𝟏𝟓 𝟓𝟐𝟎

, 𝑿𝒄 ′𝑿𝒄 −𝟏

= 𝟏𝟎−𝟐 𝟒𝟕 −𝟏𝟎 −𝟐𝟓

𝟗 𝟏𝟏𝟗

𝒆𝒕 𝑿𝒄′𝒀 = 𝟏𝟓𝟐𝟎𝟒𝟎

4) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle sachant que 𝑺𝑪𝑻 = 𝟐𝟎𝟎

5) Quelle est le part de la variance expliquée par la variable 𝑿𝟑

6) Comment peut-on tester l’hypothèse

𝑯𝟎 : 𝜷𝟐 = −𝟐𝜷𝟑 𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 + 𝜷𝟐 = 𝟎

; 𝒏𝒆 𝒇𝒂𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍

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