m ethodes d’adaptation pour la simulation num eriquefrey/cours/upmc/nm491.pdf{ lelong-ferrand j.,...

Pascal Frey

Méthodes d’adaptationpour la simulationnumérique

Notes du cours de M2Mathématiques de la modélisation, UPMC

25 février 2010

Page: 1 date/time: 25-Feb-2010/17:25

Introduction

Dans les disciplines scientifiques, la simulation est une méthode qui permetd’analyser théoriquement les résultats d’une action sur un élément réel, sansnécessairement réaliser cette action. De ce point de vue, la simulation rem-place l’expérimentation. Dans Wikipédia, on trouve les définitions suivantes.”On appelle modèle un élément, analogique ou numérique, dont le compor-tement vis-à-vis d’un phénomène est similaire à celui de l’élément à étudier.Les sorties sont les éléments que l’on veut étudier. Les entrées, paramètres etcontraintes sont les éléments dont la variation influe sur le comportement dumodèle ; on appelle entrée ceux qui sont commandés par l’expérimentateur,paramètres ceux que l’opérateur choisit de fixer et contraintes ceux quidépendent d’éléments extérieurs. On appelle simulation l’ensemble constituépar un modèle, les ordres d’entrée, les paramètres et contraintes, et lesrésultats obtenus.”

La simulation numérique repose sur la représentation d’un phénomènepar un modèle composé d’équations et permet d’en étudier le fonctionne-ment (actuel et futur) et les propriétés. Il ne s’agit pas de représenter le réelmais de se comporter comme dans la réalité, avec l’éventualité ultime d’uneperte de référent que Jean Baudrillard assimile à un vide du sens, donnant lareprésentation pour une réalité. ”À l’horizon de la simulation, non seulementle monde réel a disparu mais la question de son existence même n’a plus desens”.

Mais modéliser mathématiquement un phénomène requiert une connais-sance approfondie de celui-ci, qui suppose une analyse et une compréhensionpréalable de son fonctionnement. Cette démarche implique souvent plusieursdisciplines. Beaucoup de modèles qui nous intéressent sont constitués d’uneéquation aux dérivées partielles (EDP) ou d’un système d’EDP. Il est fon-damental de connâıtre les hypothèses sur lesquelles ce modèle repose etd’identifer précisément le domaine dans lequel il s’applique. À cette étape demodélisation succède une étape d’analyse mathématique qui vise à démontrerl’existence et l’unicité d’une solution au problème posé, ainsi que sa stabi-lité par rapport aux conditions initiales, aux conditions aux limites et aux


4

paramètres du modèle. Dans ce cas uniquement, le problème sera considérécomme bien posé (au sens d’Hadamard) et on pourra s’attacher à en ca-ractériser, par exemple au sens de la régularité, et à en calculer la solution.La simulation numérique, s’attachera ensuite à calculer des approximations decette solution puisque pour la plupart des modèles, aucune solution analytiquen’est connue. L’analyse numérique vise à sélectionner une méthode d’approxi-mation en fonctions de critères mathématiques (convergence, consistance, sta-bilité, estimation d’erreur), mais sans négliger pour autant des considérationsinformatiques où la notion de coût calcul le dispute à la notion de précisionnumérique.

Algorithmemathématique numérique(maths, physique..)

Modèle

(4)(3)(2)(1)

AnalyseAnalyse

Fig. 0.1. Du modèle mathématique à la simulation numérique, une approche mul-tidisciplinaire.

Dans ce cours, on se concentre autour des aspects de pré et de post-traitement de la châıne de simulation numérique et notamment autour ducontrôle de l’erreur d’approximation u−uh dans le cas d’EDP admettant uneformulation variationelle, i.e., lorsque la solution u est solution du problème

Trouver u ∈ X tel que a(u, v) = l(v), pour tout v ∈ X

où X est un espace de Hilbert, a(·, ·) une forme bilinéaire sur X ×X et l(·)une forme linéaire sur X. La solution approchée uh est souvent obtenue parla résolution d’un problème approché

Trouver uh ∈ Xh tel que a(uh, vh) = l(vh), pour tout vh ∈ Xhoù Xh est un sous-espace de X de dimension finie.

Ces notes contiennent tous les résultats et méthodes présentés dans le cours(parfois sous forme condensée). Elles sont organisées sous la forme de 12 leçonset seront mises à jour et corrigées au fil de l’exposé. Tous les commentaires etremarques peuvent être adressés à [email protected].


5

Bibliographie

sur l’analyse réelle et fonctionnelle.

– Brézis H., Analyse fonctionnelle, Masson, Paris, (1991).– Maury B., Analyse fonctionnelle. Exercices et problèmes corrigés, coll.

Mathématiques à l’Université, Ellipses, Paris, (2004).– Saxe K., Beginning Functional Analysis, Springer, New York, (2001).– Sonntag Y., Topologie et analyse fonctionnelle, Ellipses, Paris (1997).– Yosida K., Functional Analysis, 6th ed., Springer-Verlag, (1980).

sur la géométrie différentielle.

– Audin M., Géométrie, EDP Sciences, (2006).– Do Carmo M., Differential geometry of curves and surfaces, Prentice-

Hall, (1976).– Lelong-Ferrand J., Arnaudies J.M., Cours de mathématiques. Tome 3 :

géométrie et cinématique, Dunod Université, (1977).– Pressley A., Elementary differential geometry, Springer, (2001).

sur l’analyse des équations aux dérivées partielles.

– Bernardi C., Maday Y., Rapetti F., Discrétisations variationnelles desproblèmes elliptiques, Springer, (2004).

– Evans L.C., Partial differential equations, AMS, (2002).– Godlewski E., Raviart P.-A., Numerical approximation of hyperbolic sys-

tems of conservation laws, Applied Mathematical Sciences, 118, Sprin-ger, (1996).

– Raviart P.A., Thomas J.M., Introduction à l’analyse numérique deséquations aux dérivées partielles, Masson, (1983).

sur le calcul scientifique et les méthodes numériques.

– Allaire G., Analyse numérique et optimisation, Editions de l’Ecole Po-lytechnique, (2005).

– Danaila I., Joly P., Kaber S.M., Postel M., Introduction au calcul scien-tifique par la pratique, Dunod, Paris, (2005).

– Dumas L., Modélisation à l’oral de l’agrégation, Calcul scientifique, El-lipses, Paris, (1999).

– Lucquin B., Pironneau O., Introduction au calcul scientifique, Masson,(1997).

– Lucquin B., Equations aux dérivées partielles et leurs approximations,coll. Mathématiques à l’Université, Ellipses, Paris, (2004).

– Mohammadi B., Saiac J.-H., Pratique de la simulation numérique, Du-nod, Paris, coll. Industrie et technologie, (2003).


6

– Quarteroni A., Valli , Numerical approximation of partial differentialequations, 23, Springer Series in Computational Mathematics, SpringerVerlag, (1997).

– Rappaz J., Picasso M., Introduction à l’analyse numérique, Presses po-lytechniques et universitares romandes, Lausanne, (1998).

– Sainsaulieu L., Calcul scientifique. Cours et exercices corrigés, Dunod,Paris, (2000).

sur la méthode des éléments finis.

– Ciarlet P., La méthode des éléments finis : de la théorie à la pratique.tome 1, concepts généraux, Les Presses de l’ENSTA, Paris, (2009).

– Ciarlet P.G., The Finite Element Method for Elliptic Problems, SeriesStudies in Mathematics and its Applications, North-Holland, (1978),réimpression SIAM Classics in Applied Mathematics, 40, SIAM, (2002).

– Ern A., Aide mémoire des éléments finis, coll. l’Usine nouvelle, Dunod,Paris, (2005).

– Ern A., Guermond J.-L., Eléments finis : théorie, applications, mise enœuvre, coll. Mathématiques et Applications, 36, Springer, Heidelberg,(2002).

sur le maillage, l’estimation d’erreur et l’adaptation.

– Fortin M., Estimation a posteriori et adaptation de maillages, Revueeuropénne d’éléments finis, 9(4), (2000).

– Frey P., George P.L., Maillage. Application aux éléments finis, HermèsScience, Paris, (2000).

– George P.L., Borouchaki H., Triangulation de Delaunay et maillage,Hermès, (1997).

sur la résolution de systèmes linéaires.

– Ciarlet P.G., Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’opti-misation, Masson, Paris, (1982).

– Golub G.H., van Loan C.F., Matrix computations, The John HopkinsUniversity Press, Baltimore, 3rd edition, (1983).

– Greenbaum A., Iterative Methods for Solving Linear Systems, SIAM,Philadelphia, (1997).

– Lascaux P., Théodor R., Analyse numérique matricielle appliquée à l’artde l’ingénieur, 2 tomes, Masson, Paris, (1987).

sur la visualisation scientifique.

– Domik G., A tutorial on scientific visualization, Technical report, Uni-versity of Colorado, (1993).

– Foley J.D., van Dam A., Fundamentals of interactive computer graphics,Addison-Wesley, Reading, MA, (1983).


7

– Gallagher R.S. et al., Computer visualization. Graphics techniques forscientific and engineering analysis, CRC Press, (1994).

– Hege H.C., Polthier K., Mathematical Visualization Algorithms. Appli-cations and Numerics, Springer-Verlag, Berlin, (1998).

– Nielson G., Hagen H., Müller H., Scientific visualization - Overview,methodologies and techniques, IEEE Computer Society Press, (1997).

– Thalmann D., Scientific visualization and graphic simulation, Wiley,(1990).


Table des matières

1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 La méthode des éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7 Géométrie différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Triangulations et maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1 Définitions et terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Triangulations de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Triangulation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Triangulations anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5 Triangulations de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Triangulations particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Adaptation de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Visualisation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


1

Quelques rappels

Dans ce chapitre, on rappelle brièvement, c’est-à-dire sans les démontrer,les résultats d’analyse et de géométrie utiles à la compréhension des no-tions développées dans les chapitres suivants. Les démonstrations peuventêtre trouvées dans les ouvrages mentionnés en introduction.

1.1 Analyse fonctionnelle

Dans le cours, on considère comme domaine d’étude un ouvert borné deRd avec d = 2 ou d = 3, notés Ω, de frontière ∂Ω et on suppose une certainerégularité géométriqe de Ω.

Définition 1.1.1. Un ouvert Ω de Rd est dit lipschitzien (ou à frontière lip-schitzienne) s’il est borné et qu’il existe une famille finie de boules ouvertes(Bj)j=1,...,n telle que ∂Ω ⊂

⋃nj=1Bj et que chaque Bj est associée à un

système de coordonnées cartésiennes orthonormées xj = (xj1, . . . , xjd) de telle

sorte qu’en tout point p de ∂Ω il existe rj > 0

Bj = {x ∈ Rd, ‖x− p‖ ≤ rj}et une fonction, appelée carte locale, ψj : Rd−1 → R lipschitzienne telle que

Ω ∩Bj = {x = (x1, . . . , xd) ∈ Bj , xd < ψj(x1, . . . , xd−1)} .Cela signifie que l’ouvert Ω est borné et que la frontière peut être vue loca-lement comme le graphe d’une fonction lipschitzienne. Ou encore, qu’au voi-sinage de tout point sur la frontière, celle-ci peut être localement paramétréepar une fonction lipschitzienne, le domaine Ω se trouvant localement d’un seulcôté de la frontière.

Tous les domaines considérés dans le cadre de ce cours seront (au moins)lipschitziens, à l’exception de l’espace Rd tout entier. On peut mentionner,par exemple, les polygones en dimension 2 et (presque tous) les polyèdres en


12 1 Quelques rappels

dimension 3. En revanche, un domaine dont la frontière présente des pointsde rebroussement, des points cuspides ou un domaine avec des fissures n’estpas un ouvert lipschitzien.

Notation

On note n le vecteur normal unitaire sur la frontière ∂Ω, dirigé versl’extérieur du domaine Ω.

On peut aussi définir des domaines plus réguliers que les ouverts lipschit-ziens, à partir de la définition précédente.

Définition 1.1.2. On dit que l’ouvert Ω est de classe Cm,1 si les fonctions ψjsont de classe Cm, dont les dérivées partielles d’ordre m sont lipschitziennes.

On remarque qu’un ouvert lipschitzien correspond donc au cas m = 0. Enoutre, on observe que la normale n est continue si m ≥ 1, mais ne l’est pas sila frontière présente un point anguleux.

On rappelle ensuite que D(Ω) est l’espace des fonctions f de classe C∞,définies et indéfiniment dérivables dans Ω, et à support compact dans Ω.C’est-à-dire que pour chaque fonction f ∈ D(Ω), il existe un compact K ⊂ Ωtel que f est nulle en dehors de K.

Pour tout 1 ≤ p < ∞, on note Lp(Ω) l’espace des classes de fonctions vmesurables telles que ∫

Ω

|v(x)|pdx < ∞ .

Lorsque p =∞, l’espace L∞(Ω) est l’espace des classes de fonctions v mesu-rables telles que

sup essx∈Ω

|v(x)| < ∞ ,

avec sup essx∈Ω

f(x) = inf{M ≥ 0, |f(x)| ≤M p.p. dans Ω} .

C’est un espace de Banach, muni de la norme

‖v‖0,p,Ω =(∫

Ω

|v(x)|pdx)1/p

,

et pour p =∞‖v‖0,∞,Ω = sup ess

x∈Ω|v(x)| .

Cet espace est séparable pour 1 ≤ p

1.1 Analyse fonctionnelle 13

Définition 1.1.3. D(Ω̄) est l’espace des restrictions à Ω̄ des fonctions deD(Rd).Ainsi, si Ω est borné, l’espace D(Ω̄) est C∞(Ω̄), différent dans ce cas de D(Ω).Mais on note que D(Rd) c’est D(Rd).

Il n’est pas nécessaire de mâıtriser la topologie naturelle de D(Ω) pourétudier des EDP. On rappelle néanmoins le résultat suivant.

Proposition 1.1.1. Une suite (ϕn) de fonctions de D(Ω) converge vers unefonction ϕ ∈ D(Ω) si et seulement si

1. il existe un compact K ⊂ Ω tel que le support de ϕn est inclus dans K,pour tout n,

2. pour tout multi-indice α, ∂αϕn −→ ∂αϕ uniformément sur K ; i.e., lesdérivées de tous les ordres de ϕn convergent uniformément sur K vers lesdérivées correspondantes1 de ϕ.

On rappelle que la longueur d’un multi-indice α = (α1, . . . , αd) ∈ Nd estdonnée par |α| = ∑di=1 αi et que

∂αg =∂|α|g

∂xα11 ∂xα22 . . . ∂x

αdd

.

On s’intéresse maintenant à la notion de distribution. De même, il n’estpas nécessaire de connâıtre la topologie de cet espace dual de D(Ω).Définition 1.1.4. L’espace des distributions D′(Ω) est l’espace des fonction-nelles linéaires et continues pour la topologie ci-dessus de D(Ω).On peut citer les exemples de distributions suivants

– la masse de Dirac δa pour a ∈ Ω :

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈δa, ϕ〉 = ϕ(a) ,

– la distribution Tf pour f dans L1loc(Ω)2 :

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈Tf , ϕ〉 =∫Ω

f(x)ϕ(x)dx .

On note 〈·, ·〉 le produit de dualité entre D′(Ω) et D(Ω). Ainsi, on a lapropriété suivante.1 Noter que l’uniformité ne porte pas sur l’ordre des dérivées.2 On note L1loc(Ω) l’espace des classes de fonctions f telles que

∀ϕ ∈ C∞c (Ω), ϕf ∈ L1(Ω) .



Proposition 1.1.2. Une forme linéaire T sur D(Ω) est une distribution siet seulement si pour toute suite ϕn ∈ D(Ω) qui converge vers ϕ au sens deD(Ω), on a :

〈T, ϕn〉 → 〈T, ϕ〉 .Deux distributions T1 et T2 sont égales si

pour tout ϕ ∈ D(Ω), 〈T1, ϕ〉 = 〈T2, ϕ〉 .Par analogie, on aura une propriété de convergence sur les suites de distribu-tions dans l’espace D′(Ω).Proposition 1.1.3. Une suite de distributions Tn converge vers une distri-bution T au sens de D′(Ω) si et seulement si pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a

〈Tn, ϕ〉 → 〈T, ϕ〉 .Ainsi, la convergence dans L2(Ω) entrâıne la convergence au sens des distri-butions, mais la réciproque est fausse.

On identifie les fonctions localement intégrables, donc toutes les fonctionsLp, les fonctions continues, à des distributions.

Proposition 1.1.4. L’application ι : L1loc(Ω)→ D′(Ω) définie par

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈ι(f), ϕ〉 =∫Ω

f(x)ϕ(x)dx ,

est une injection continue.

Théorème 1.1.2. Deux fonctions f et g de L1loc(Ω) définissent la même dis-tribution Tf = Tg si et seulement si elles sont égales presque partout. On peutalors identifier f et Tf et on note

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈f, ϕ〉 = 〈Tf , ϕ〉 =∫Ω

f(x)ϕ(x) dx .

Alors, en identifiant L2(Ω) à son dual, on a les relations

D(Ω) ⊂ L2(Ω) = (L2(Ω))′ ⊂ D′(Ω) .On voit donc que les distributions généralisent la notion de fonction et que

le produit de dualité 〈·, ·〉 généralise la notion de produit scalaire de L2(Ω).L’un des avantages de la théorie des distributions est lié au fait que

l’opération de dérivation est toujours définie et que toute distribution a toutesses dérivées qui sont des distributions. Prenons T ∈ D′(Ω), on définit sadérivée, notée ∂T/∂xi par

∀ϕ ∈ D(Ω),〈∂T

∂xi, ϕ

〉= −

〈T,

∂ϕ

∂xi

〉.


1.1 Analyse fonctionnelle 15

Cette définition s’étend aux dérivées d’ordre supérieur. Soit α = (α1, . . . , αd)un multi-indice de longueur |α| = ∑di=1 αi. On définit ∂αT = ∂|α|T∂xα11 ...∂xαdd par

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈∂αT, ϕ〉 = (−1)|α|〈T, ∂αϕ〉 .En particulier, la forme linéaire définie par

∀ϕ ∈ D(Ω),〈∂T

∂xi, ϕ

〉= −

〈T,

∂ϕ

∂xi

〉est une distribution. De plus, si T est une fonction de classe C1(Ω), alors sadérivée partielle au sens des distributions cöıncide avec sa dérivée partielle ausens classique. En effet, soit f une fonction de C1(Ω). On peut écrire

∀ϕ ∈ D(Ω),〈∂f

∂xi, ϕ

〉= −

〈f,∂ϕ

∂xi

〉= −

∫Ω

f∂ϕ

∂xidx =

∫Ω

∂f

∂xiϕdx ,

en remarquant que ϕ est à support compact dans Ω. Ainsi, la distribution∂f/∂xi cöıncide avec la dérivée usuelle.

L’application T 7→ ∂T/∂xi est continue de D′(Ω) dans D′(Ω).Théorème 1.1.3. Si T ∈ D′(Ω), alors ∂αT est une distribution pour toutmulti-indice α.

Lemme 1.1.1. Si Tj → T dans D′(Ω), alors pour tout multi-indice α,∂αTj → ∂αT dans D′(Ω).Autre exemples

– Considérons la masse de Dirac δa et dérivons

∀ϕ ∈ D(Ω),〈∂δa∂xi

, ϕ

〉= −

〈δa,

∂ϕ

∂xi

〉= − ∂ϕ

∂xi(a) ,

donc ∂δa/∂xi est la distribution qui à ϕ associe −∂ϕ/∂xi(a).– Considérons la fonction de Heaviside H dans R définie par

H(x) = 1 si x ≥ 0 et H(x) = 0 si x < 0 ,sa dérivée au sens des distributions est définie par

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈H ′, ϕ〉 = −〈H,ϕ′〉 = −∫ ∞

0

ϕ′(x) dx = ϕ(0) = 〈δ0, ϕ〉 ,

ce qui montre, qu’au sens des distributions, la dérivée de H est la massede Dirac, H ′ = δ0.



1.2 Espaces fonctionnels

Les espaces fonctionnels de Hölder ou de Sobolev sont particulièrementadaptés à l’analyse des équations aux dérivées partielles ; ils fournissent lecadre adéquat pour la recherche des solutions.

Définition 1.2.1. L’espace de Sobolev Hm(Ω), pour tout entier m, est définicomme la complétion de l’espace linéaire des fonctions de classe C∞(Ω̄), parrapport à la norme

‖v‖Hm(Ω) = ∑|α|≤m

∫Ω

|∂αv(x)|21/2 .

Les fonctions des espaces Hm(Ω) admettent des dérivées, au sens des distri-butions, d’ordre |α| ≤ m qui sont dans Hm−|α|(Ω). On observe que l’espaceHm(Ω) se compose des fonctions v ∈ L2(Ω) telles que ∂αv ∈ L2(Ω) pour toutmulti-indice |α| ≤ m, i.e.,

Hm(Ω) = {v ∈ L2(Ω) , ∂αv ∈ L2(Ω) , 0 ≤ |α| ≤ m} .Ces espaces sont des espaces de Hilbert pour le produit scalaire défini par

∀u ∈ Hm(Ω),∀v ∈ Hm(Ω), (u, v)Hm(Ω) =∑|α|≤m

∫Ω

∂αu ∂αv ,

et la norme associée ‖ · ‖Hm(Ω). L’espace Hm(Ω) est complet puisque l’espaceL2(Ω) l’est. De plus, pour m > s, il existe une injection continue Hm(Ω) ⊂Hs(Ω).

Ainsi, H1(Ω) = {v ∈ L2(Ω), ∇v ∈ L2(Ω)d}, où ∇v est pris au sens desdistributions. Le produit scalaire sur H1(Ω) est défini par

∀u ∈ H1(Ω),∀v ∈ H1(Ω), (u, v)H1(Ω) = (u, v) + (∇u,∇v) ,

où (·, ·) désigne le produit scalaire de L2(Ω) ou L2(Ω)d. La norme associéeest donc

∀u ∈ H1(Ω), ‖u‖H1(Ω) =(‖u‖2L2(Ω) + ‖∇u‖2L2(Ω)

)1/2= (u, u)1/2H1(Ω) .

On peut définir une semi-norme sur H1(Ω)

∀u ∈ H1(Ω), |u|H1(Ω) = ‖∇u‖L2(Ω) ,et plus généralement sur tout espace Hm(Ω)

∀u ∈ Hm(Ω), |u|Hm(Ω) = ∑|α|=m

‖∂αu‖2L2(Ω)

1/2 .Page: 16 date/time: 25-Feb-2010/17:25

1.2 Espaces fonctionnels 17

On observe alors que

∀u ∈ Hm(Ω), ‖u‖Hm(Ω) =(‖u‖2Hm−1(Ω) + |u|2Hm(Ω)

)1/2.

Les espaces Hm permettent d’évaluer la régularité d’une fonction, qui cor-respond au nombre maximal de fois où la fonction est dérivable, au sens desdistributions, avec ses dérivées dans L2(Ω).

Le résultat de densité suivant (non trivial) a des conséquences importantes.

Théorème 1.2.1. D(Ω̄) est dense dans H1(Ω).Il permet en effet de définir la trace des fonctions de H1(Ω) sur la frontière∂Ω. Le résultat suivant donne une indication sur les valeurs aux bord desfonctions de D(Ω̄).Lemme 1.2.1. On suppose que Ω est borné, de frontière ∂Ω de classe C1.Alors, il existe un opérateur linéaire continu γ0 : H1(Ω) → L2(∂Ω), appeléopérateur trace, tel que

∀u ∈ H1(Ω) ∩ C0(Ω̄), (γ0u)(x) = u(x), ∀x ∈ ∂Ω,et il existe une constante C > 0 telle que

∀u ∈ H1(Ω), ‖u‖L2(∂Ω) ≤ C ‖u‖H1(Ω) .L’opérateur γ0 nest pas défini pour des fonctions de L2. L’application γ0u estappelée la trace de u sur ∂Ω. Cette application n’est pas surjective et parcourtun sous-espace strict de L2(∂Ω).

On peut aussi démontrer la formule de Green pour les fonctions de H1(Ω)grace à la densité de D(Ω̄) dans H1(Ω)

∀u ∈ H1(Ω),∀v ∈ H1(Ω),∫Ω

u∂v

∂xidx = −

∫Ω

v∂u

∂xidx+

∫∂Ω

uvni dσ ,

où ni représente la ième composante de n.

Définition 1.2.2. L’espace H10 (Ω) est défini comme

H10 (Ω) = {v ∈ H1(Ω), γ0v = 0} .On observe alors que si Ω est lipschitzien, H10 (Ω) 6= H1(Ω). Mais si Ω = Rdalors H10 (Rd) = H1(Rd).

Théorème 1.2.2. L’espace D(Ω) est dense dans H10 (Ω).La semi-norme | · |H1(Ω) est une norme sur H10 (Ω) équivalente à la norme‖ · ‖H1(Ω), ce qui se traduit encore par l’inégalité suivante.Théorème 1.2.3 (Inégalité de Poincaré). On suppose que Ω est bornédans une direction. Alors, il existe une constante C telle que

∀v ∈ H10 (Ω), ‖v‖L2(Ω) ≤ C ‖∇v‖L2(Ω) ,



et on est amené à prendre la semi-norme | · |H1(Ω) comme norme sur H10 (Ω).On note H−1(Ω) le dual de H10 (Ω) qui est un espace de Hilbert pour la

norme duale

‖f‖H−1(Ω) = supv∈H10 (Ω)

〈f, v〉|v|H1(Ω) ,

où les crochets désignent la dualité entre H−1(Ω) et H10 (Ω). Comme D(Ω)est dense dans H10 (Ω), les fonctions de H

−1(Ω) peuvent être identifiés à desdistributions, ce qui justifie la notation 〈·, ·〉 ; H−1(Ω) est alors un espace dedistributions. Ainsi, si v ∈ L2(Ω), alors ∇v ∈ H−1(Ω)d.Théorème 1.2.4. L’espace D(Ω̄) est dense dans Hm(Ω), pour m ≥ 2.Ce résultat permet de définir les traces d’ordre supérieur des fonctions deHm(Ω) sur ∂Ω. Par exemple, la dérivée normale γ1v ∈ L2(∂Ω) sur ∂Ω

∀v ∈ H2(Ω), γ1v = ∂v∂n

= ∇v · n .

Par analogie avec γ0, l’application γ1 n’est pas définie pour les fonctions deH1(Ω). On a alors la formule de Green pour le Laplacien

∀u ∈ H2(Ω),∀v ∈ H1(Ω),∫Ω

∆uv dx = −∫Ω

∇u · ∇v dx+∫∂Ω

∂u

∂nv dσ .

(1.1)On note Pk, pour k ≥ 0, l’espace des polynômes à d variables de degré

total ińferieur ou égal à k. Alors, comme Ω est supposé borné, pour m entieron a Pk ⊂ Hm(Ω) et on peut donc définir l’espace quotient Hm(Ω)/Pk quiest un espace de Hilbert pour la norme quotient

‖f‖Hm(Ω)/PK = infp∈Pk‖f + p‖Hm(Ω) .

Et on énonce alors le résultat suivant.

Théorème 1.2.5 (Deny-Lions). On suppose que Ω est lipschitzien et connexe.Alors, pour tout k ≥ 0 entier, il existe une constante C telle que

∀v ∈ Hk+1(Ω)/Pk, ‖v‖Hk+1(Ω)/Pk ≤ C |v|Hk+1(Ω) .

L’hypothèse sur la connexité de Ω est liée au fait que dans le cas contraire,les polynômes ne sont pas les mêmes dans chaque composante connexe de Ω.

On introduit maintenant les espaces de Sobolev dans Lp. Pour 1 ≤ p ≤ ∞et m un entier positif, l’espace de Sobolev Wm,p(Ω) se compose des fonctionslocalement intégrables u telles que pour tout multi-indice |α| ≤ m, ∂αu existe,au sens des distributions, dans Lp(Ω), i.e.,

Wm,p = {u ∈ Lp(Ω) , ∂αu ∈ Lp(Ω) , |α| ≤ m} ,


1.3 Formulation variationnelle 19

muni des normes

‖u‖Wm,p(Ω) = ∑|α|≤m

‖∂αu‖pLp(Ω)

1/p = ∑|α|≤m

∫Ω

|∂αu|p dx1/p

‖u‖Wm,∞(Ω) =∑|α|≤m

‖∂αu‖L∞(Ω) .

Les espaces Wm,p(Ω) sont des espaces de Banach. Dans le cas p = 2, on noteWm,2(Ω) = Hm(Ω), pour tout m ≥ 0 ; c’est un espace de Hilbert pour leproduit scalaire

∀u ∈ Hm(Ω),∀v ∈ Hm(Ω), (u, v)Hm(Ω) =∑|α|≤m

(∂αu, ∂αv)L2(Ω) .

La notation ‖ · ‖m,Ω est parfois utilisée pour désigner la norme sur Hm. Ainsi,comme W 0,p(Ω) = Lp(Ω), la notation ‖ · ‖0,p,Ω remplace parfois la norme Lpet devient ‖ · ‖0,Ω pour L2.

On observe que les fonctions C∞ à support compact sont dans Wm,p(Ω)et on note Wm,p0 (Ω) l’adhérence de D(Ω) dans Wm,p(Ω), pour p


où ∂u∂n = ∇u · n est la dérivée normale de u. C’est ici que l’hypothèse d’undomaine lipschitzien sert, puisqu’alors cette normale extérieure n est définieen presque tout point de ∂Ω et la formule de Green a un sens. En supposantque la fonction v s’annulle au bord, on obtient ainsi∫

Ω

∇u · ∇v =∫Ω

fv .

Remarquons que cette équation conserve un sens lorsque la fonction u n’estque de classe C1.

On peut donc introduire l’espace V = {v ∈ C1(Ω), v|∂Ω = 0} et écrire quetoute solution de (1.2) est aussi solution du problème sous forme variationnelle

Trouver u ∈ V, tel que a(u, v) = l(v), pour tout v ∈ V , (1.3)

où a(·, ·) est une forme bilinéaire sur V × V et l une forme linéaire sur Vdéfinies respectivement par

a(u, v) =∫Ω

∇u · ∇v = 〈∇u,∇v〉L2(Ω) et l(v) =∫Ω

fv = 〈f, v〉L2(Ω) .

Nous verrons que la formulation variationnelle permet d’obtenir un résultatd’unicité pour le problème (1.2). Il est en effet équivalent de montrer que u = 0si f = 0. En prenant u = v dans l’équation, on obtient ∇u = 0 qui permet,grâce à l’hypothèse u|∂Ω = 0, de conclure que u est constante et nulle.

Néanmoins, il faut également s’assurer que toute solution u suffisamentrégulière de la formulation variationnelle du problème (1.3) est aussi solutiondu problème initial (1.2). Ainsi, si on suppose que la fonction est u de classeC2(Ω) solution de (1.3), on obtient par la formule de Green

∀v ∈ V,∫Ω

∆uv = −∫Ω

fv,

d’où on déduit −∆u = f , par exemple en invoquant un argument de densitéde V dans L2(Ω).

On considère maintenant un problème variationnel plus abstrait. Soit Vun espace de Hilbert sur R, de norme ‖·‖V , d’espace dual noté V ′ et de normeduale ‖ · ‖V ′ définie par

∀f ∈ V ′, ‖f‖V ′ = supv∈V,v 6=0

f(v)‖v‖ .

On pose alors le problème abstrait, en supposant donné l dans V ′,

Trouver u ∈ V tel que ∀v ∈ V, a(u, v) = l(v) , (1.4)

où a(·, ·) est une forme bilinéaire sur V × V .


1.3 Formulation variationnelle 21

Théorème 1.3.1 (Lax-Milgram). On suppose que V est une espace deHilbert et que les formes a et l vérifient les hypothèses suivantes

1. a est continue sur V × V : il existe une constante M telle que∀u ∈ V,∀v ∈ V, |a(u, v)| ≤M ‖u‖V ‖v‖V ;

2. a est V -elliptique (ou coercive) : il existe une constante α > 0 telle que

∀v ∈ V, a(v, v) ≥ α‖v‖2V ;

3. l est continue : il existe une constante C telle que

∀v ∈ V, |l(v)| ≤ C ‖v‖V .

Alors, il existe une unique solution u au problème (1.4) qui vérifie l’estimationa priori

‖u‖V ≤ 1α‖l‖V ′ ,

i.e., l’application u 7→ l est un isomorphisme de V sur V ′.Un espace de Hilbert s’identifie à son dual. Il est n’eanmoins plus pertinentd’introduire un opérateur continu de V dans V ′ et d’écrire, pour f ∈ V ′,

a(u, v) = 〈Au, v〉V ′,V et l(v) = 〈f, v〉V ′,V ,avec 〈·, ·〉V ′,V le produit de dualité entre V ′ et V . On a alors l’écriture va-riationnelle Au = f dans V ′ et A est un isomorphisme d’après le théorème1.3.1.

Remarquons que si la forme a est symétrique, toute solution u de (1.3) estsolution du problème de minimisation

Trouver u ∈ V tel que J(u) = infv∈V

J(v)

où J est la fonctionnelle

∀v ∈ V, J(v) = 12a(v, v)− l(v) .

Il est possible de vérifier qu’alors la propriété de V -ellipticité est équivalenteà la propriété de α-convexité

J

(v + w

2

)≤ J(v) + J(w)

2− α

8‖v − w‖2V .

Une propriété intéressante est que tout fonction α-convexe continue sur unespace de Hilbert atteint un unique minimum.

Ainsi, à la lumière de ce cadre fonctionnel, en reprenant la formulationvariationnelle (1.3) du problème (1.2), on définit une norme sur V



‖v‖V = ‖∇v‖L2 ,

telles que les propriétés de continuité et de V -ellipticité sont satisfaites parla forme a. La continuité de la forme l(v) = 〈f, v〉L2 résulte de l’inégalité dePoincaré. On aboutit alors aisément aux inégalités

|l(v)| ≤ ‖f‖L2‖v‖L2 ≤ C ‖f‖L2‖v‖V ,

où C est la constante de Poincaré. Bref, il semble que le théorème (1.3.1) per-mette de conclure à l’existence d’une unique solution au problème. Ce seraithélas aller trop vite en besogne. En effet, l’espace V muni de la norme définieci-dessous n’est pas un espace complet. Pour remédier à cette inconsistance,on travaille alors avec l’espace de Sobolev V = H10 (Ω) et toutes les hypothèsedu théorème (1.3.1) sont maintenant satisfaites.

Si le second membre n’est pas régulier, par exemple f ∈ H−1(Ω), il estinutile de chercher une solution classique au problème du Laplacien, d’oùl’idée de cherche u dans H1(Ω) et donc dans H10 (Ω) puisque u|∂Ω = 0. Laformulation variationnelle

Trouver u ∈ H10 (Ω) tel que ∀v ∈ H10 (Ω), (∇u,∇v) = 〈f, v〉 ,

est équivalente à chercher u dans H1(Ω), solution du problème avec f ∈H−1(Ω). Le théorème (1.3.1) fournit l’existence d’une unique solution u (pourM = 1 et α = 1) telle que

|u|H1(Ω) ≤ ‖f‖H−1(Ω) .

L’opérateur −∆ est un isomorphisme de H10 (Ω) sur H−1(Ω). On peut étendrece résultat au cas d’un second membre plus régulier.

Théorème 1.3.2. On suppose que Ω est de classe C1,1 ou est un polygone(polyèdre) convexe. Alors l’opérateur −∆ est un isomorphisme de H2(Ω) ∩H10 (Ω) sur L

2(Ω).

1.4 Approximation variationnelle

On s’intéresse à un problème pour lequel on connâıt une formulation varia-tionnelle dans un espace de Hilbert V . Une méthode d’approximation interne ,ou méthode de Galerkin, consiste à chercher une approximation de la solutiondans un sous-espace de Hilbert Vh ⊂ V . Le paramètre h est un paramètre dediscrétisation destiné à tendre vers 0 et pour chaque h on suppose que Vh estun sous-espace de dimension finie de V . On définit un problème variationnelapproché par substitution de V par Vh

Trouver uh ∈ Vh tel que ∀vh ∈ Vh, a(uh, vh) = l(vh) . (1.5)


1.4 Approximation variationnelle 23

Naturellement, la dimension finie est une façon de discrétiser le problème, elleest qualifiée d’interne car Vh est un sous-espace de V .

Notons Nh la dimension de Vh et désignons par (ϕj)j=1,...,Nh une base deVh. La solution uh se décompose alors

uh =Nh∑j=1

uh,jϕj ,

et (1.5) est un système linéaire carré de dimension Nh dont les inconnues sontles composantes uh,j de uh dans la base, qui s’écrit

a(uh, ϕi) =Nh∑j=1

uk,ja(ϕj , ϕi) = l(ϕi) , 1 ≤ i ≤ Nh .

Soit Ah la matrice et bh le second membre de ce système qui s’écrit AhUh = bh,avec Uh = (uh,j)j=1,...,Nh), bh = (l(ϕj)j=1,...,Nh) et (Ah)i,j = a(ϕj , ϕi). Lamatrice Ah est appelée la matrice de rigidité du problème.

L’ellipticité de la forme bilinéaire entrâıne l’existence d’une unique solutiondu problème approché. Néanmoins, cette hypothèse est trop forte, puisqu’endimension finie, il suffit que pour tout vh de Vh, a(uh, vh) = 0 entrâıne vh = 0.Mais l’un des intérêt de la méthode d’approximation interne est qu’elle fournitune estimation d’erreur d’approximation optimale, qui est exprimée par lelemme suivant.

Lemme 1.4.1 (Céa). On suppose que les hypothèse du théorème (1.3.1)de Lax-Milgram sont satisfaites. Alors il existe une unique solution uh auproblème approché (1.5) et la matrice Ah est inversible. En outre, on a l’es-timation d’erreur

‖u− uh‖V ≤ Mα

infvh∈Vh

‖u− vh‖V ,

et, dans la cas où la forme a(·, ·) est symétrique

‖u− uh‖V ≤(M

α

)1/2inf

vh∈Vh‖u− vh‖V .

Ce qui signifie que l’erreur d’approximation du problème (1.4) est du mêmeordre que l’erreur d’approximation de V par Vh.

Ce qui distingue le problème approché (1.5) du problème continu (1.4)c’est le choix de l’espace Vh. Il s’agit donc de trouver un espace Vh de di-mension raisonnable pour approcher V avec une bonne précision, puisqueNh → ∞ lorsque h → 0, ce qui conduit à des systèmes de grande dimen-sion. D’autre part, on s’attache à trouver des espaces Vh pour lesquels lescoefficients a(ϕj , ϕi) de Ah et l(ϕi) de bh soient faciles à calculer. CommeAh est de grande dimension, il est important qu’elle soit creuse (contenantpeu d’éléments non nuls) et bien conditionnée, pour faciliter la résolution dusystème linéaire. La méthode des éléments finis répond à ces requis.



1.5 La méthode des éléments finis

En pratique, l’espace V est un espace de fonctions définies sur un ouvertΩ de Rd et les formes a et l sont composées d’intégrales des fonctions et deleurs dérivées. Le principe de la méthode des éléments finis est de décomposerΩ en une partition, appelée maillage ou triangulation, noté Th, et l’espaced’approximation Vh est constitué de fonctions polynomiales par morceaux surchaque élément T de Th. À nouveau, le paramètre h représente la taille de ladiscrétisation

h = maxT∈Th

diam(T ) .

Plusieurs raisons concourent au succès de cette méthode– les conditions aux limites sont intégrées dans l’espace V ,– l’analyse d’erreur s’inscrit dans le cadre variationnel général,– la partition du domaine Th en éléments finis simples offre plus de sou-

plesse pour traiter le cas de domaines à frontières complexes.

Nous consid́erons la forme la plus élémentaire de la méthode, dans laquelleles éléments T ∈ Th sont des simplexes et les fonctions des polynômes. Plusgénéralement, un élément fini générique se définit localement par la donnéed’un triplet (T, VT , ΣT ) où T est un simplexe3 non dégénéré, VT un espacevectoriel de dimension finie M de fonctions définies sur T à valeurs réelleset ΣT est un espace de formes linéaires indépendantes (ψi)i=1,...,M dont ledomaine de définition contient VT .

Définition 1.5.1. Le triplet (T, VT , ΣT ) est dit unisolvent si et seulement sil’application VT → RM , v 7→ (ψ1(v), . . . , ψM (v)) est un isomorphisme. On ditque ce triplet est un élément fini de Lagrange.

Le triplet (T, VT , ΣT ) est tel que pour tout ensemble deM scalaires (αi)i=1,...,M ,il existe un unique p ∈ VT tel que

∀1 ≤ i ≤M, ψi(p) = αi .Les formes linéaires de ΣT sont appelées les degrés de liberté de l’élémentfini. L’unisolvence permet de munir VT d’une base (ϕi)i=1,...,M associée auxformes de ΣT par les relations

∀ 1 ≤ j ≤M, ψi(ϕj) = δi,j ,et tout v ∈ ΣT s’écrit

v =M∑i=1

ψi(v)ϕi .

De même, on définit l’opérateur d’interpolation IT associé à ΣT , i.e., soit YTl’ensemble de définition des formes linéaires de ΣT , pour tout v ∈ YT3 En théorie une partie compacte et connexe de Rd d’intérieur non vide.


1.5 La méthode des éléments finis 25

IT (v) =M∑i=1

ψi(v)ϕi .

On observe que IT (v) est l’unique élément de VT tel que

∀ 1 ≤ i ≤M, ψi(IT (v)) = ψi(v) ,et on dit alors que IT (v) interpole v sur VT et on a

∀p ∈ VT , IT (p) = p .Pour s’assurer de l’unisolvence, il suffit de vérifier l’une des deux propriétés

– si v ∈ VT est telle que ψi(v) = 0 pour tout i = 1, . . . ,M alors v = 0 ;– pour tout vecteur (y1, . . . , yM ), il existe v ∈ VT telle que ψi(v) = vi.

Pour un simplexe T , on peut définir trois paramètres géométriques importants– le diamètre hT qui est la longueur du plus grand côté de T ;– la rondeur ρT , qui est le diamètre de la boule inscrite de T ;– l’excentricité σT = hTρT qui mesure la non-dégénérescence de T .

Dans beaucoup de résutats d’approximation, on considère une famille de tri-angulations (Th)k>0.Définition 1.5.2. La famille (Th)k>0 est dite régulière si et seulement si ilexiste une constante C telle, pour tout T ∈ Th et pour tout h > 0,

σT ≤ C .En dimension deux, cela signifie qu’il existe θ0 > 0 tel que tous les angles destriangles vérifient θ ≥ θ0.Définition 1.5.3. La famille (Th)k>0 est dite quasi-uniforme si et seulementsi il existe une constante c > 0 telle que, pour tout T ∈ Th et pour tout h > 0,

ch ≤ ρT ≤ hT ≤ h .On observe que toute famille quasi-uniforme est régulière.

Dans notre cas, l’espace VT est l’espace des polynômes de degré totalinférieur à k

VT = Pk = Vect{xα11 . . . xαdd , 0 ≤ |α| ≤ k} ,de dimension

dim(Pk) =1d!

(k + 1)(k + 2) . . . (k + d) .

En principe, le simplexe T = (a0, . . . , ad) est représenté par les coordonnéesbarycentriques (λi)i=0,...,d de ses sommets. On rappelle que pour tout pointx ∈ Rd, il existe un unique vecteur (λi(x))i=0,...,d qui vérifie les équations

x =d∑i=0

aiλi(x), etd∑i=0

λi(x) = 1 .



Ce qui permet de déduire que

T = {x ∈ Rd, 0 ≤ λi(x) ≤ 1, i = 0, . . . , d} .

Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées barycentriques estune transformation affine. L’ensemble des formes linéaires ΣT est défini aumoyen du treillis principal d’ordre k de T

Σk ={x ∈ Rd, λi(x) ∈ {0, 1

k,

2k, . . . , 1}

},

en observant que Σ1 correspond aux sommets du simplexe. Les degrés deliberté correspondent aux valeurs aux points de Σk

ΣT = {v 7→ v(γ), γ ∈ Σk} .

La propriété d’unisolvence permet d’introduire les fonctions de base ϕi etl’interpolant IT qui s’expriment à partir des coordonnées barycentriques

– si k = 1, on trouve les fonctions λi associées aux ai, qui cöıncident avecles degrés de liberté ;

– si k = 2, on trouve les fonctions quadratiques 2λi(λi − 1/2) pour lesdegrés associés aux sommets et les fonctions 4λiλj pour les degrés as-sociés aux milieux (ai + aj)/2 des arêtes.

Dans la pratique, on fait appel à un simplexe de référence, noté T̂ , qui apour sommets les points

â0 = (0, 0, . . . , 0), et les points âi = (0, . . . , 1, . . . , 0), ∀i = 1, . . . , d .

Soit T un simplexe non-dégénéré, il existe alors une unique transformationaffine AT qui envoie âi sur ai, pour tout i = 0, . . . , d, donc une seule matriceinversible BT de Md(R) qui permet d’écrire

AT (x) = a0 +BTx ,

dont la ième colonne est donnée par les coordonnées de ai = a0. On utilise latransformation AT pour transporter une quantité de T vers T̂ . Ainsi

x̂ = A−1T (x) = B−1T (x− a0) ⇔ x = AT (x̂)

et on remarque que les coordonnées barycentriques sont laissées invariantespar la transformation affine

λ̂i(x̂) = λi(x) .

L’espace des polynômes de degré k est invariant par AT et on peut écrire

VT̂ = Pk = V̂T .


1.5 La méthode des éléments finis 27

Donc, les interpolants vérifient l’identité

IT̂ (v̂(x̂)) = IT (v(x))

qui peut se comprendre comme une relation de commutation entre le transportd’une fonction par AT et son interpolation

IT (v) ◦AT = IT̂ (v ◦AT ) .On a le résultat suivant.

Proposition 1.5.1. On note ‖ · ‖ la norme euclidienne de Rd et la normematricielle subordonnée. On a les relations

|T | = |det(BT )| |T̂ | = |det(BT )|d!

.

ainsi que

‖BT ‖ ≤ hTρT̂, et ‖B−1T ‖ ≤

hT̂ρT

.

On a aussi des formules relatives à la transformation des dérivées

∇x̂v̂(x̂) = (BtT∇xv) ◦AT (x̂), et ∇xv(x) = ((BtT )−1∇x̂v̂) ◦A−1T (x) .Lemme 1.5.1. Si v ∈ Hm(T ) alors v̂ ∈ Hm(T̂ ) et il existe une constante C1telle que

∀ v ∈ Hm(T ), |v̂|Hm(T ) ≤ C1 ‖BT ‖m |det(BT )|−1/2|v|Hm(T ) .

Si v̂ ∈ Hm(T̂ ), alors v ∈ Hm(T ) et il existe une constante C2 indépendantede T telle que

∀ v̂ ∈ Hm(T̂ ), |v|Hm(T ) ≤ C2 ‖B−1T ‖m |det(BT )|1/2|v̂|Hm(T̂ ) .

Dans le cas du laplacien, le lemme de Céa (1.4.1) fournit une estimationd’erreur dans la norme de l’espace de Hilbert V utilisé dans la formulationvariationnelle qui vérifie les hypothèses du théorème de Lax-Milgram (1.3.1).On sait que si u ∈ H2(Ω), on a alors l’estimation

minvh∈Vh,0

‖u− vh‖L2 ≤ ‖u− Ih(u)‖L2 ≤ C h2|u|H2 ,

mais on ne sait rien dire de ‖u− uh‖L2 . Le résultat suivant va nous aider.Lemme 1.5.2 (Aubin-Nitsche). On suppose que Ω est un polygone oupolyèdre convexe. L’approximation uh de la solution de (1.3) par la méthodede Galerkin dans Vh,0 des éléments finis de Lagrange Pk vérifie

‖u− uh‖L2 ≤ C h ‖u− uh‖H10 ,où C est une constante indépendante de h et de u.



1.6 Systèmes linéaires

Nous avons vu que la méthode de Galerkin conduit à un système linéairede la forme

AhUh = bh

qui fournit la solution d’une formulation variationnelle dans la base deséléments finis. Bien qu’une méthode directe d’inversion (Gauss, factorisationLU, etc,.) puisse être envisagée dans le cas d’une matrice de petite taille, onprivilégie généralement une meéthode itérative pour les systèmes de grandetaille. En effet, les méthodes directes sont efficaces et produisent la solutionexacte (en négligeant les erreurs d’arrondis) du système. Néanmoins, elles re-quièrent une taille mémoire importante pour stocker la matrice Ah, qui estprincipalement creuse. Les méthodes itératives tirent parti de la nature creusede Ah, et la préservent, et mettent uniquement en jeu des produits matrice-vecteur. Ces algorithmes calculent une sequence (U (k)h )k≥1 de solutions ap-prochées à partir d’une donnée initiale U (0)h . Ces valeurs convergent vers lasolution Uh du problème AhUh = bh lorsque k tend vers ∞.

Puisqu’on considère un système linéaire, on peut penser construire uneséquence de la forme

U(k+1)h = BU

(k)h + c, k ≥ 0, pour tout U (0)h . (1.6)

Lemme 1.6.1. Une méthode itérative de la forme (1.6) converge vers la solu-tion Uh du système AhUh = bh, pour toute donnée initiale U

(0)h si et seulement

si ρ(B) < 1, où ρ(B) est le rayon spectral de B.

La méthode du gradient (ou méthode de Richardson) consiste à résoudre l’al-gorithme

U(k+1)h = U

(k)h + α(bh −AhU (k)h , k ≥ 1, pour tout U (0)h , (1.7)

avc α > 0. On a un résultat de convergence de la méthode. Supposons lamatrice Ah symétrique définie positive.

Lemme 1.6.2. Soient (λi)i=1,...,Nh les valeurs propres réelles de Ah et onsuppose que λi > 0 pour tout i = 1, . . . , Nh. Alors, la méthode du gradientconverge si et seulement si le paramètre α est tel que 0 < α < 2/λmax.De plus, la paramètre optimal αopt qui minimise le rayon spectral de la matriced’itération ρ(M−1N), pour M = α−1I et N = (α−1I −Ah) est donné par

αopt =2

λmin + λmax, et ρopt =

λmax − λminλmin + λmax

=κ(Ah)− 1κ(Ah) + 1

.

Cette méthode correspond à un algorithme de gradient à pas fixe pour laminimisation de la fonctionnelle

J(Vh) =12〈AhVh, Vh〉 − 〈bh, Vh〉 .


1.7 Géométrie différentielle 29

On observe que Uh est un point fixe de l’itération (1.7). Il est intéressant deconsidérer l’erreur Eh = Uh − U (k)h , en effet on a

E(k+1)h = (I − αAh)E(k)h = · · · = (1− αAh)k+1E(0)h .

Pour toute norme discrète ‖ · ‖, on a ainsi

‖E(k)h ‖ ≤ ρk‖Uh‖ ,

et le facteur de réduction ρ est donné par

ρ = max(1− αλmin, αλmax − 1) .

D’autres méthodes itératives conduisent à de meilleures performances, parexemple la méthode de gradient conjugué fournit le facteur de réduction sui-vant

ρ =

√κ(Ah)− 1√κ(Ah) + 1

.

En pratique, on note que le nombre de conditionnement κ(Ah) = λmax/λminindique la complexité de la résolution numérique, il contrôle le nombre depas de l’agorithme nécessaires pour obtenir une précision donnée. Ainsi parexemple

Lemme 1.6.3. Dans le cas de la résolution de l’équation du laplacien par laméthode des éléments finis Pk, pour une famille régulière de triangulations,on a

κ(Ah) ≥ c h−2 ,et si la famille est quasi-uniforme, alors on a

κ(Ah) ≤ Ch−2 .

Il est courant d’observer une dégradation du nombre de conditionnement lorsd’un raffinement du maillage. C’est pourquoi des méthodes permettant depréconditionner les systèmes linéaires ont été développées.

1.7 Géométrie différentielle

Cette discipline vise à appliquer les outils du calcul différentiel à l’étudede la géométrie. On s’intéresse à quelques propriétés affines et métriques descourbes et surfaces de Rd, en particulier à la nature géométrique de la dérivéeseconde, qui caractérise la courbure. On rappelle ici le caractère naturel dequelques notions de base de la géométrie différentielle des courbes et surfaces.



Courbes paramétrées de Rd.

Définition 1.7.1. Une courbe paramétrée de classe Ck est la donnée d’uneapplication f de classe Ck d’un intervalle ouvert I =]a, b[ de R dans l’espaceaffine Rd. L’image de f est appelée la courbe géométrique associée. Un arcfermé est l’image d’un intervalle fermé [a, b] ⊂ I par f .Deux courbes paramétrées f : I → Rd et g : J → Rd représentent la mêmecourbe s’il existe un difféomorphisme σ : J → I tel que g = f ◦ σ, appelé unchangement de paramètre. L’application σ préserve l’orientation si σ′(t) > 0.

La variable t est appelée le paramètre de la courbe. Un point t0 ∈ I estrégulier si le vecteur f ′(t0) 6= 0 et singulier (ou stationnaire) sinon. Unecourbe paramétrée est régulière si l’application f est une immersion, c’est-à-dire si f ′(t) 6= 0 pour tout t ∈ I. En tout point régulier f(t0), le vecteur f(t0)est tangent à la courbe, la droite affine passant par f(t0) et dirigée par f ′(t0)est appelée la tangente à la courbe paramétrée au point f(t0) (Fig. 1.1).

Fig. 1.1. Tangente en un point à la courbe α et vecteur vitesse (d’après [O’Neill]).

On peut interpréter cette définition géométriquement, en imaginant uneparticle se déplaçant le long de la trajectoire f , sa position au temps t corres-pondant à f(t). La vitesse de la particule au temps t est donnée par

f ′(t) =df

dt(t) = lim

∆t→0

f(t+∆t)− f(t)∆t

.

Par exemple, pour p 6= 0, q ∈ Rd, la courbe paramétrée f : R → Rd, telleque f(t) = tp + q est régulière et définit une droite. Par ailleurs, la courbeparamétrée f : R→ R3, décrite par

f(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), avec a2 + b2 6= 0 ,définit un cercle de rayon a > 0 dans le plan xy lorsque b = 0, et une hélicedans le cas général (Fig. 1.2).

Position d’une courbe plane f par rapport à sa tangente.

On suppose k ≥ 2. On développe simplement f au voisinage d’un pointrégulier t0 (tel que f ′(t0) 6= 0) par une formule de Taylor



Fig. 1.2. Une courbe de R2 : α : R → R2, définie par α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4). Unecourbe de R3, l’hélice (d’après [doCarmo]).

f(t) = f(t0) + (t− t0)f ′(t0) + 12(t− t0)2f ′′(t0) + o((t− t0)2) .

On déduit alors que si f ′(t0) et f ′′(t0) sont deux vecteurs indépendants, lacourbe est située d’unseul côté de sa tangente, au voisinage de t0. Elle estcontenue dans le demi-plan défini par la tangente et contenant f ′′(t0). Enrevanche, si f ′(t0) et f ′′(t0) sont colinéaires, si k ≥ 3 et si par exemple f ′′′(t0)est indépendant de f ′(t0) on peut poursuivre le développement

f(t) = f(t0)+(t−t0)f ′(t0)+ 12(t−t0)2f ′′(t0)+

16

(t−t0)3f ′′′(t0)+o((t−t0)3) ,

de sorte que la courbe traverse sa tangente, et présente un point d’inflexion.

Propriétés métriques des courbes.

L’espace affine est maintenant supposé euclidien (et orienté). Donc, onsait que la direction de la tangente en un point à une courbe paramétrée estgéométrique, car elle ne dépend pas du paramétrage. Par contre, le vecteurtangent dépend du paramétrage choisi. Il est donc intéressant de chercher unparamétrage qui donne un vecteur tangent unitaire en tout point.

On peut définir la longueur d’un arc de la courbe f : I → Rd entre lespoints f(a) et f(b) comme la limite des longueurs euclidiennes des lignespolygonales inscrites dans l’arc, lorsque le maximum de la longueur de chaquesegment de la ligne tend vers 0. Ainsi, soit S l’ensemble des subdivisions de[a, b], pour toute subdivision σ = (t0, . . . , tp) de S on pose

lσ =p∑i=1

‖f(ti)− f(ti−1)‖ .



Si l’ensemble des nombres Lσ pour σ dans S est majoré, on dit que f estun arc rectifiable et on appelle longueur de f , notée l(f), la borne supérieuredes nombres Lσ.

Soit f : I → Rd une courbe régulière de classe C1. On considère un pointt0 ∈ I et on définit pour tout t ∈ I, le difféomorphisme ϕ de classe C1 de Isur J = ϕ(I) tel que

t 7→ ϕ(t) =∫ tt0

‖f ′(u)‖ du . (1.8)

La fonction ϕ permet de définir un changement de paramétrisation par lalongueur d’arc. L’application g = f ◦ ϕ−1 est un autre paramétrage de lamême courbe qui vérifie la propriété

‖g′(s)‖ = 1 , ∀ s ∈ J .Le paramètre s s’appelle abcisse curviligne ou paramétrage par la longueurd’arc, puisqu’on a

s2 − s1 = ϕ(t2)− ϕ(t1) =∫ t2t1

‖f ′(t)‖ dt ,

qui correspond à la définition de la longueur de l’arc de g(s1) à g(s2). Ainsi,la fonction ϕ définie par la relation (1.8) fournit l’unique paramétrage par lalongueur d’arc tel que g(0) = f(t0) et g′(s) = λf ′(t) avec λ > 0.

Lemme 1.7.1. La longueur de l’arc de courbe de f(t1) à f(t2) est indépendantede la paramétrisation de cet arc.

Proposition 1.7.1. Toute courbe régulière f : I → Rd peut être paramétréepar la longueur d’arc. Ainsi, il existe un changement de variable ϕ : J → Itel que ‖(f ◦ ϕ)′(s)‖ = 1, pour tout s ∈ J .

La caractéristique extrinsèque la plus simple d’une courbe est sa cour-bure. Mais cette propriété peut aussi être décrite de manière intrinsèque, sansaucune référence à un espace de plongement.

Soit f : I → Rd une courbe paramétrée par la longueur d’arc. La fonctionvectorielle t : s 7→ f ′(s) est appelée la fonction vecteur unitaire tangent à f etle vecteur tangent associé au point s est un vecteur unitaire que l’on note t(s).L’hyperplan passant par f(s) et orthogonal au vecteur t(s) est dit normal àf au point défini par s.

Définition 1.7.2. La fonction scalaire k, définie sur I par

k(s) = ‖f ′′(s)‖est appelée la fontion courbure de f . En un point régulier s de f , le nombrek(s) associé ne dépend pas du paramétrage, k(s) est appelée la courbure de fau point défini par s. La courbure k(s) est nulle si et seulement si f(s) est unpoint d’inflexion.



En tout point où k(s) 6= 0 , on peut définir sur I la fonction vectorielle n :s 7→ f ′′(s)/k(s). Cette fonction vérifie ‖n(s)‖ = 1 et la relation ‖f ′(s)‖2 = 1implique par dérivation que f ′(s) · f ′′(s) = 0 soit encore t(s) · n(s) = 0 pourtous s ∈ I. Le vecteur n(s) est donc un vecteur orthogonal à t(s), appelévecteur normal en s à f .

Cas d’un plan orienté.

On suppose le plan euclidien orienté. Soit f une courbe plane orientée declasse Ck, k ≥ 2, paramétrée par la longueur d’arc. Le vecteur tangent est levecteur unitaire t(s) = f ′(s). On peut définir le vecteur normal n(s) commel’unique vecteur unitaire tel que t(s), n(s) soit une base orthonormée directede R2. En dérivant la relation ‖t(s)‖2 = 1, on voit qu’il existe un scalaire k(s)tel que

t′(s) = k(s)n(s) (1.9)

que l’on appelle la courbure algébrique de la courbe au point de paramètre s.On observe qu’un changement d’orientation du plan ou de la courbe f changek(s) en son opposé. Comme t(s) · n(s) = 0, on obtient en dérivant, l’égalité

t′(s) · n(s) + t(s) · n′(s) = 0et comme ‖n(s)‖2 = 1, on voit que n′(s) est colinéaire à t(s) et donc que

n′(s) = −k(s)t(s) . (1.10)Les relations (1.9) et (1.10) sont appelées les formules de Frénet pour lacourbe f . Le signe de la courbure fournit une indication précieuse sur la po-sition de la courbe. La courbure k(s) est positive quand la courbe est situéelocalement dans le demi-plan défini par la tangente et contenant le vecteurn(s). On introduit, quand k(s) 6= 0, le nombre ρ(s) = 1/k(s) qui définit lerayon de courbure et le centre de courbure défini par C(s) = f(s) + ρ(s)n(s).Le cercle de centre C(s) et de rayon ρ(s) est dit osculateur, car il approcheau mieux la courbe en f(s).

Une courbe fermée du plan est une courbe régulière paramétrée f : [a, b] ⊂I → R2 telle que α et toutes les dérivées cöıncident en a et b

f(a) = f(b), f ′(a) = f(b), f ′′(a) = f ′′(b), . . .

Elle est dite simple si elle n’a pas d’auto-intersection, i.e., si pour tous t1, t2 ∈[a, b[, t1 6= t2, alors f(t1) 6= f(t2). Une telle courbe simple fermée du plandélimite une région du plan appelée l’intérieur de la courbe (théorème deJordan). Cette notion, connue déjà des Grecs, a donné lieu à un problèmeisoparamétrique qui a abouti au premier théorème de géométrie différentielle :Parmi toutes les courbes simples fermées du plan de longueur donnée l, quelleest celle qui borde la région de plus grande aire ? Si les Grecs connaissaientla réponse, il fallut néanmoins attendre Weierstrass (1870) pour obtenir unepreuve formelle.



Théorème 1.7.1 (inégalité isoparamétrique). Soit une courbe simplefermée du plan de longueur l et soit A l’aire de la région délimitée par cettecourbe. Alors on a

l2 − 4πA ≥ 0 ,et le seul cas d’égalité est celui d’un cercle.

Courbes de R3.

On suppose l’espace affine euclidien R3 orienté et on considère une courbef paramétrée de lasse Ck, k ≥ 3, paramétrée par la longueur d’arc. On rappelleque le vecteur unitaire tangent t(s), a normale unitaire n(s) et la courbure ksont les fonctions définies respectivement par

t(s) = f ′(s), n(s) =f ′′(s)‖f ′′(s)‖ , et k(s) = ‖f

′′(s)‖ . (1.11)

Pour chaque s ∈ I, le plan défini par les vecteurs unitaires tangent t(s) etnormal n(s) est appelé le plan osculateur en s à la courbe f . Le repère deSerret-Frénet (f(s), t(s), n(s), b(s)) est le repère orthonormal direct de R3défini par les relation (1.11) et par le vecteur

b(s) = t(s) ∧ n(s)

appelé vecteur binormal en s. La quantité ‖b′(s)‖ mesure la vitesse de chan-gement des plans osculateurs par rapport au plan osculateur en s. On peutmontrer que le vecteur b′(s) est colinéaire à n(s), et on peut écrire

b′(s) = τ(s)n(s)

où la fonction scalaire τ(s) est appelée la torsion de la courbe f . Les dérivéest′(s) = k(s)n(s), b′(s) = τ(s)n(s) exprimées dans la base (t(s), n(s), b(s))donnent la courbure k(s) et la torsion τ(s) et renseignent sur le comportementlocal de la courbe f au voisinage de s. On a ainsi

n′(s) = b′(s) ∧ t(s) + b(s) ∧ t′(s) = −τ(s)b(s)− k(s)t(s) .

Les trois relations suivantes

t′(s) = k(s)n(s) , n′(s) = −k(s) t(s)−τ(s) b(s) , b′(s) = τ(s)n(s) . (1.12)

sont les formules dites de Fŕenet. Le plan bt (resp. nb) est le plan rectifiant(resp. normal). Comme pour les courbes planes, on introduit lorsque k(s) 6= 0,l’inverse ρ(s) = 1/k(s) de la courbure est appelé le rayon de courbure en s.Par analogie, le nombre θ(s) = 1/τ(s) est appelé rayon de torsion de la courbef en s.



Fig. 1.3. Repère local de Frénet en dimension trois et deux (d’après [doCarmo]).

Théorème 1.7.2 (théorie locale des courbes). Soient les fonctions diffé-rentiables k(s) > 0 et τ(s), s ∈ I. Alors il existe une courbe paramétréerégulière f : I → R3 telle que s, k(s) et τ(s) correspondent à la longueurd’arc, à la courbure et à la torsion de f , respectivement. Supposons qu’uneautre courbe g vérifie les mêmes propriétés de courbure et torsion aux pointscorrespondant à la même abcisse curviligne, alors il existe une isométrie ϕ deR3 (de déterminant positif) qui envoie une courbe sur l’autre.

À partir d’une courbe f : I → R3 (pas nécessairement paramétrée par lalongueur d’arc), il est possible d’obtenir une courbe g : J → R3 paramétréepar la longueur d’arc et qui admet la même trace que f . Ce résultat per-met d’étendre tous les concepts locaux introduits ci-dessus au cas de courbesrégulières de paramétrage arbitraire.

Avant de passer au cas des surfaces, il est intéressant de s’arrêter à l’étudede la forme locale des courbes. Soit f : I → R3 une courbe paramétrée parla longueur d’arc sans point singulier d’ordre 1 (point pour lequel f ′′(s) = 0).On peut écrire un développement de Taylor au voisinage de s0 = 0

f(s) = f(0) + sf ′(0) +s2

2f ′′(0) +

s3

6f ′′′(0) +R ,

avec lims→0R/s3 = 0. À l’aide des formules précédentes, f ′(0) = t, f ′′(0) = knet

f ′′′(0) = (kn)′ = k′n+ kn′ = k′n− k2t− kτb ,et on obtient alors

f(s)− f(0) =(s− k

2s3

3!

)t+(s2k

2+s3k′

3!

)n− s

3

3!kτb+R .

En prenant un repère Oxyz d’origine s(0) avec t, n, s les vecteurs unitaires,on a alors



x(s) = s− k2s3

6+Rx ,

y(s) =k

2s2 +

k′s3

6+Ry ,

z(s) = −kτ6s3 +Rz ,

où R = (Rx, Ry, Rz). Ces relations constituent la forme canonique locale de fau voisinage de s = 0. Il est intéressant d’analyser les projections de la tracede f dans les plans tn, tb et nb. On peut en effet donner une interprétation ausigne de la torsion (Fig. 1.4). Enfin, on peut mentionner que le plan osculateuren s est la position limite du plan défini par la droite tangente en s et le pointf(s+ h), lorsque h→ 0.

Fig. 1.4. Interprétation du signe de la torsion (négative-positive, [doCarmo]).

Surfaces de R3.

On s’intéresse maintenant à la notion de surface régulière dans R3. Demême qu’on a défini une courbe par une application différentiable d’un inter-valle ouvert de R dans l’espace affine Rd, on procède par analogie pour définirune surface, qui sera définie par des applications différentables f : U → R3d’un ouvert U de R2 dans l’espace affine R3. On désigne donc par U in ouvertde R2 et par (u, v) les points de U .

Définition 1.7.3. On appelle nappe paramétrée de classe Ck, k ≥ 1, uneapplication f : U → R3 de classe Ck.Les points (u, v) de U sont appelés paramètres de f . L’ensemble f(U) ⊂ R3est appelé le support de la nappe paramétrée. Deux nappes paramétrées (f, U)et (g, V ) sont dites équivalentes s’il existe un difféomorphisme ϕ : V → U declasse Ck tel que g = f ◦ ϕ. Une nappe géométrique de classe Ck est uneclasse d’équivalence. Les supports de deux nappes paramétrées équivalentescöıncident toujours.

Il est tentant d’appeler surface une partie de l’espace qui est, au voisinagede chacun de ses points, une nappe géométrique. Intuitivement, cela revientà considérer qu’une surface est un ensemble de points qui ressemble à une



portion de plan au voisinage de chacun de ses points. En outre, pour assurerl’existence d’un plan tangent en tout point de la surface, on va exiger de ladifférentielle df d’être injective en tout point. On rappelle que si f : U →R3, (u, v) 7→ (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)) définit une nappe de R3, la matricejacobienne de la nappe est la fonction matricielle (u, v) 7→

(∂fi∂u ,

∂fi∂v

)i=1,...,3

.

Définition 1.7.4. Une nappe géométrique définie par un paramétrage f :U → R3 est dite régulière si la différentielle de f en chaque point de U est derang 2 ( i.e., c’est le rang de la matrice jacobienne de f).

Il s’agit d’une propriété de la nappe géométrique et pas du paramétrage fchoisi.

Proposition 1.7.2. Pour que f soit de rang 2 au point (u, v) de U , il faut etil suffit que les deux vecteurs

∂f

∂u(u, v) et

∂f

∂v(u, v)

soient linéairement indépendants.

On considère le cône de révolution paramétré par f : R2 → R3, telle que(θ, z) 7→ (kz cos θ, kz sin θ, z). La matrice de la différentielle est alors

df(θ,z) =

−kz sin θ k cos θkz cos θ k sin θ0 1

qui est de rang 2 si z 6= 0. Ainsi, le sommet du cône (0, 0, 0) est un pointsingulier.

Parmi les représentations possibles d’une surface, on peut considérer leparamétrage cartésien suivant f : (x, y) 7→ (x, y, h(x, y)). Un tel paramétrageest toujours de rang 2 et est donc injectif. Il possède en outre la propriétéremarquable suivante : le sous-espace dfm(R2) engendré par ∂f/∂x et ∂f/∂yne contient jamais l’axe des z. On parle de représentation explicite de surfacedans ce cas. Le théorème suivant fournit une réciproque à ces remarques.

Théorème 1.7.3. Soit une nappe de classe Ck définie par un paramétragef : U → R3 et soit m un point de U tel que dfm soit de rang 2. Alors, ilexiste un voisinage V de m dans U et un système de coordonnées dans R3tels que la nappe paramétrée par f |V admette un paramétrage cartésien dansces coordonnées.

Remarquons que même si f est partout de rang 2 et injective, il est possibleque la nappe géométrique qu’elle définit n’ait pas de paramétrage cartésienglobal. Ainsi, dans le cas d’une sphère, il n’existe aucun plan de R3 tel que laprojection de S sur ce plan soit injective.

Une autre représentation usuelle d’une surface est de la définir commel’ensemble des points satisfaisant une équation :



Σ = {(x, y, z) ∈ R3, F (x, y, z) = 0} .

où F : R3 → (R) est une fonction. On parle alors de surface implicite.Proposition 1.7.3. Soit F : R3 → R une fonction de classe C1. Soit p =(x, y, z) un point tel que F (p) = 0 et tel que l’application linéaire (dF )p :R3 → R soit surjective. Alors, il existe un paramétrage qui fait d’un voisinagede p dans Σ une nappe régulière.

Ce résultat est une variante du théorème des fonctions implicites. On peutsupposer en effet que ∂Fz(p) 6= 0, en raison de la surjectivité de (dF )p, etl’équation F (x, y, z) = 0 se reśout au voisinage de p. Il existe un ouvert U deR2 et une fonction ϕ de classe C1 définie sur U tels que

((x, y) ∈ U et F (x, y, z) = 0) ⇔ z = ϕ(x, y) .

Ce qui fournit un paramétrage cartésien donc régulier de Σ au voisinage de p.

Soit f : U → R3 un paramétrage d’une nappe Σ de classe Ck. Le sous-espace dfm(R2) engendré ar les deux vecteurs ∂f/∂u et ∂f/∂v est le plantangent en m, lorsque la matrice de la différentielle dfm au point m = (u, v)est de rang 2. Ce plan ne dépend donc pas du paramétrage choisi. Si f estinjective et paramètre une nappe Σ et si p = f(m), on peut définir le plantangent à Σ en p par

TpΣ = dfm(R2) .

Il s’agit d’un plan vectoriel de R3 considéré comme affine en mettant l’origineen p.

Soit une courbe Γ de U avec son image f(Γ ) ⊂ Σ. Si t 7→ α(t) est unparamétrage de Γ dans U , la courbe f(Γ ) est paramétrée par f ◦ α et

(f ◦ α)′(t) = dfα(t)(α′(t)) .

Le vecteur tangent à f(Γ ) en f ◦α(t) est l’image par dfα(t) d’un vecteur α′(t)de R2. C’est un vecteur du plan tangent à Σ en f ◦ α(t). Ainsi, la tangenteà une courbe tracée sur Σ est dans le plan tangent. Réciproquenemt, toutedroite D de TpΣ est la tangente à l’image d’un arc tracé sur Σ. Ainsi, le plantangent en p est l’unique pan contenant les tangentes en p à toutes les courbestracées sur Σ.

Il est intéressant de regarder la position du plan tangent par rapport à lasurface. On a ainsi une propriété de contact à l’ordre 1.

Proposition 1.7.4. Soit Σ une nappe régulière définie par un paramétrageinjectif f : U → R3 et soit p0 = f(m0) un point de Σ. Le plan affine définipar l’équation ϕ(p) = 0 est le plan tangent à Σ en p0 si et seulement si auvoisinage de m0, on a

ϕ(f(m)) = o(‖m0m‖) .



Ce qui signifie que les points de la nappe Σ vérifient ”presque” l’équation duplan.

Supposons que le paramétrage soit C2. Au voisinage de p0 choisi commeorigine, on peut supposer que la surface Σ est définie par un paramétragecartésien, on a alors en p0, f(0, 0) = 0. Avec les notations introduites parMonge, pour les dérivées

p =∂f

∂x(0, 0) q =

∂f

∂y(0, 0)

on remarque que l’équation du plan tangent est en p0 = (0, 0) est z = px+qy,et si

r =∂2f

∂x2(0, 0) s =

∂2f

∂x∂y(0, 0) t =

∂2f

∂y2(0, 0)

alors, par développement de Taylor, on a au voisinage de 0

f(x, y) = px+ qy +12

(rx2 + 2sxy + ty2) + o(x2 + y2) ,

dans lequel le terme quadratique représente l’écart entre un point (x, y, f(x, y))de Σ et le point correspondant (x, y, ϕ(x, y) du plan tangent. Ainsi, la posi-tion de la surface par rapport à son plan tangent est décrite par la formequadratique

Q(x, y) = rx2 + 2sxy + ty2 ,

et la surface reste ou non du même côté de son plan tangent en 0 selon quef(x, y) − px − qy garde ou non un signe constant, donc selon que Q est oun’est pas définie :

1. si Q est définie (positive ou négative), donc si s2− rt < 0, la surface restedu même côté, le point p0 est dit elliptique ;

2. si Q est non dégénérée et change de signe, donc si s2− rt > 0, le point estdit hyperbolique ;

3. si Q est dégénérée non nulle, donc si s2 − rt = 0 (r, s, t non tous nuls), lepoint p0 est dit parabolique ;

Chapitre IX. Surfaces dans l’espace

bien sûr supposer que l’origine a été choisie en p0, c’est-à-dire que f(0, 0) = 0.Utilisons maintenant les notations traditionnelles dites de Monge

p =∂f

∂x(0, 0) q =

∂f

∂y(0, 0)

pour les dérivées premières, de sorte que l’équation du plan tangent en 0 estz = px + qy, et

r =∂2f

∂x2(0, 0) s =

∂2f

∂x∂y(0, 0) t =

∂2f

∂y2(0, 0)

pour les dérivées secondes, de sorte que la formule de Taylor à l’ordre 2 au voisi-nage de 0 s’écrit

f(x, y) = px + qy +12(rx2 + 2sxy + ty2) + o(x2 + y2).

Le terme quadratique représente la différence (à l’ordre 2) entre un point(x, y, f(x, y)) de la surface et le point correspondant (x, y, ϕ(x, y)) du plantangent. La position de la surface par rapport à son plan tangent est décrite àl’aide de la forme quadratique dérivée seconde de f en 0 :

Q(x, y) = rx2 + 2sxy + ty2,

et la surface reste ou non du même côté de son plan tangent (au voisinage de 0)selon que f(x, y)− px− qy garde ou non un signe constant, c’est-à-dire selon quela forme Q est ou n’est pas définie.

Figure 10 Figure 11

(1) Si Q est définie (positive ou négative), c’est-à-dire si s2 − rt < 0, alors lafonction f(x, y) − px − qy admet un extremum strict en 0, la surface reste dumême côté de son plan tangent. Le point p0 est dit elliptique (figure 10).

(2) Si Q est non dégénérée mais change de signe, c’est-à-dire si s2 − rt > 0, ily a des points de la surface arbitrairement proches de 0 de chaque côté du plantangent, le point p0 est dit hyperbolique (figure 11).

330

Chapitre IX. Surfaces dans l’espace

bien sûr supposer que l’origine a été choisie en p0, c’est-à-dire que f(0, 0) = 0.Utilisons maintenant les notations traditionnelles dites de Monge

p =∂f

∂x(0, 0) q =

∂f

∂y(0, 0)

pour les dérivées premières, de sorte que l’équation du plan tangent en 0 estz = px + qy, et

r =∂2f

∂x2(0, 0) s =

∂2f

∂x∂y(0, 0) t =

∂2f

∂y2(0, 0)

pour les dérivées secondes, de sorte que la formule de Taylor à l’ordre 2 au voisi-nage de 0 s’écrit

f(x, y) = px + qy +12(rx2 + 2sxy + ty2) + o(x2 + y2).

Le terme quadratique représente la différence (à l’ordre 2) entre un point(x, y, f(x, y)) de la surface et le point correspondant (x, y, ϕ(x, y)) du plantangent. La position de la surface par rapport à son plan tangent est décrite àl’aide de la forme quadratique dérivée seconde de f en 0 :

Q(x, y) = rx2 + 2sxy + ty2,

et la surface reste ou non du même côté de son plan tangent (au voisinage de 0)selon que f(x, y)− px− qy garde ou non un signe constant, c’est-à-dire selon quela forme Q est ou n’est pas définie.

Figure 10 Figure 11

(1) Si Q est définie (positive ou négative), c’est-à-dire si s2 − rt < 0, alors lafonction f(x, y) − px − qy admet un extremum strict en 0, la surface reste dumême côté de son plan tangent. Le point p0 est dit elliptique (figure 10).

(2) Si Q est non dégénérée mais change de signe, c’est-à-dire si s2 − rt > 0, ily a des points de la surface arbitrairement proches de 0 de chaque côté du plantangent, le point p0 est dit hyperbolique (figure 11).

330

Fig. 1.5. Position d’une surface par rapport à son plan tangent (points elliptique ethyperbolique, d’après [Audin]).



4. si Q est nulle (avec r, s, t nuls), le point est dit planaire.

Considérons une nappe paramétrée f : U → R3. Un vecteur du plantangent s’écrit

w = a∂f

∂u+ b

∂f

∂v

et sa norme euclidienne est (en notant 〈·, ·〉 le produit scalaire euclidien)

‖w‖ = a2∥∥∥∥∂f∂u

∥∥∥∥2 + 2ab〈∂f∂u , ∂f∂v〉

+ b2∥∥∥∥∂f∂v

∥∥∥∥2 .Alors, si t 7→ c(t) = (u(t), v(t)) est une courbe tracée dans le domaine desparamètres, la longueur de la courbe correspondante 7→ f(u(t), v(t)) tracéesur la surface est

L(f ◦ c) =∫ √

u′(t)2∥∥∥∥∂f∂u

∥∥∥∥2 + 2u′(t)v′(t)〈∂f∂u , ∂f∂v〉

+ v′(t)2∥∥∥∥∂f∂v

∥∥∥∥2 dtLa forme quadratique dépendant de (u, v)

ds2 =∥∥∥∥∂f∂u

∥∥∥∥2 du2 + 2〈∂f∂u , ∂f∂v〉dudv +

∥∥∥∥∂f∂v∥∥∥∥2 dv2

est souvent appelée première forme fondamentale de la surface Σ en p. Leproduit scalaire euclidien de R3 définit, via f , un produit scalaire sur R2, c’estcette forme, en coordonnées. La matrice de cette forme quadratique dans labase canonique de R2 est une matrice symétrique

A =(E FF G

), E =

〈∂f

∂u,∂f

∂v

〉, etc.

Deux nappes sont dites isométriques si, par définition, elles ont mêmes E,Fet G.

Par extension, l’aire d’un domaine Ω tracé sur une nappe paramétréef : U → R3 est donnée par l’intégrale

A(Ω) =∫∫

Ω

∥∥∥∥∂f∂u ∧ ∂f∂v∥∥∥∥ dudv = ∫∫

Ω

√EG− F 2dudv ,

et ne dépend donc pas du paramétrage.On considère une nappe régulière Σ paramétrée par f : U → R3 et un

point p = f(m) de Σ. On introduit le vecteur unitaire normal n(p) en lechoisissant de même sens que le vecteur normal

∂f

∂u∧ ∂f∂v

.



Définition 1.7.5. Pour tous vecteurs X,Y du plan tangent TpΣ et pour toutpoint p de Σ, on définit la forme bilinéaire symétrique

IIp(X,Y ) = −〈Tpn(X), Y 〉 ,où Tpn est l’application linéaire tangente à n, qui est appelée seconde formefondamentale de la surface Σ au point p.

Si on fixe un vecteur unitaire X ∈ TpΣ et soit PX le plan engendré par Xet n(p). L’intersection de PX avec Σ est une courbe (plane) tracée sur Σà laquelle X est tangent. En particulier, comme PX peut être orienté par(X,n(p)), elle a une courbure algébrique, notée KX . Ceci permet de définirune application X 7→ KX qui associe à tout vecteur X ∈ TpΣ un nombre réel.Théorème 1.7.4 (Euler). Si tous les KX ne sont pas égax, il existe uneunique direction, représentée par un vecteur X1 (resp.X2), pour laquelle KXest minimale (resp. maximale). Les vecteurs X1 et X2 sont orthogonaux et onpeut écrire pour tout X ∈ TpΣ

KX = KX1 cos2 θ +KX2 sin

2 θ ,

où θ est l’angle entre X et X1.

Les directions de X1 et X2 sont appelées directions de courbure principales aupoint p. Les courbures KX1 et KX2 sont les courbures principales. La courburede Gauss (resp. courbure moyenne) en p est le déterminant (resp. la trace) deTpn et correspond au produit (resp. à la somme) des courbures principales.Les surfaces minimales sont des surfaces dont la courbure moyenne est partoutnulle.

Corollaire 1.7.1. Le point p est elliptique si et seulement si K(p) > 0, etest hyperbolique si et seulement si K(p) < 0.

Par définition de la courbure d’une courbe plane, IIp(X,X) est la courbureKX de la courbe découpée par la plan engendré par n(p) et X sur la surfaceΣ. Ainsi, dans le cas de la sphère unité (si n = Id) on a donc II(X,X)−‖X‖2,la courbure KX est identiquement égale à 1.

On dit que deux nappes paramétrées f : U → R3 et g : U → R3 sontisométriques lorsque pour tous vecteurs ξ, η ∈ R2 et tout point m de U on a

〈dfm(ξ), dfm(η)〉 = 〈dgm(ξ), dgm(η)〉 .Théorème 1.7.5 (Theorema egregium de Gauss). La courbure de Gaussd’une surface est invariante par isométrie locale.

On montre ainsi que la courbure s’écrit en termes de la première forme fon-damentale seule.

On peut aussi écrire la matrice de la seconde forme fondamentale dans labase canonique de R2

B =(L MM N

).



IX.3. Propriétés métriques des surfaces

Exemples IX.3.7– Dans le cas de la sphère unité, avec le choix d’orientation tel que n = Id, donc

II(X, X) = −‖X‖2, la courbure KX est identiquement égale à −1 et la courburede Gauss K(p) identiquement égale à 1.

– Dans le cas d’un plan, n est constante donc Tpn = 0 et la forme II estidentiquement nulle. La courbure KX est identiquement nulle.

– Dans le cas d’un cône ou d’un cylindre, l’application Tpn n’est pas nulle maisla forme quadratique IIp est dégénérée et la courbure KX est identiquement nulle(exercice IX.15).

Les directions de X1 et X2 sont appelées directions de courbure principalesau point p considéré. Les courbures KX1 et KX2 sont les courbures principales.Comme la courbure de Gauss en p est le déterminant de Tpn, on voit en calculantdans la base (X1, X2) qu’elle est le produit des courbures principales.

Voici une application : la courbure en p est liée à la position locale de la surfacepar rapport au plan tangent en p.

Corollaire IX.3.8. Le point p est elliptique si et seulement si K(p) > 0, hyperbo-lique si et seulement si K(p) < 0.

n

X1

X2

Figure 16

n

X1

X2

Figure 17

Démonstration. La courbure K(p) est strictement positive si et seulement si ladeuxième forme fondamentale est définie, c’est-à-dire si et seulement si la cour-bure KX est de signe constant. Ceci est équivalent à dire que toutes les courbesPX ∩ Σ sont situées (localement et strictement) du même côté de TpΣ (voir lesremarques VIII.2.3 et la figure 16).

337

Fig. 1.6. Caractérisation d’un point p de Σ par le signe de la courbure de GaussK(p) (d’après [Audin]).

Lemme 1.7.2. La courbure de Gauss s’exprime en coordonnées par la for-mule

K(u, v) =LN −M2EG− F 2 .


2

Triangulations et maillages

L’objectif de ce chapitre est de présenter les principes généraux de lagénération d’un maillage d’un domaine ouvert borné lipschitzien (et le plussouvent connexe) de Rd. On rappelle que dans ce cas, le domaine est situé d’unseul côté de sa frontière. Dans le cas d’un ouvert polygonal (resp. polyédrique),la frontière ∂Ω est constituée d’une union finie de segments (resp. polygones).Pour un tel domaine, la normale extérieure n est définie presque partout sur∂Ω, elle est discontinue aux sommets (resp aux sommets et aux arêtes) dupolygone (resp. polyèdre).

Dans la résolution d’une équation aux dérivées partielles par la méthodedes éléments finis, il est souvent mentionné que la qualité des résultats dépendfortement du maillage utilisé pour discrétiser le domaine Ω. Pour illustrernotre propos, considérons le domaine Ω = [0, 1[2\[ 12 , 1]2 ⊂ R2, et cherchonsune fonction u solution du problème de Poisson suivant

−∆u = f dans Ω et u|∂Ω = 0 .Pour obtenir la formulation faible, on procède classiquement par multiplierl’équation par une fonction test v et en ntégrant sur Ω, on obtient

−∫Ω

v∆u =∫Ω

fv .

Au moyen de la formule de Green (1.1), on obtient∫Ω

∇u · ∇v −∫∂Ω

v∂u

∂n,

où ∂u/∂n = Nablau·n est la dérivée normale de u. Bien entendu, la régularitéminimale requise pour donner un sens à cette formule est u, v ∈ H1(Ω) et onconsidère f ∈ L2(Ω). Le théorème de trace (Lemme 1.2.1) autorise à définirla valeur de u au bord du domaine et on cherche donc u ∈ H10 (Ω). Ainsi onaboutit au problème de trouver u ∈ H10 (Ω) tel que


44 2 Triangulations et maillages

Adaptation de maillage pour les éléments finis.

Jean-Marie Mirebeau, [email protected]

4 janvier 2010

Résumé

Lors de la résolution d’Equations aux Dérivées Partielles par la méthode des éléments finis, laqualité des résultats obtenus dépend fortement du maillage utilisé pour la discrétisation du domaine.Dans ce sujet nous nous restreignons à l’EDP la plus simple posée sur un domaine Ω ⊂ R2, −#f = ϕ sur Ω

f = 0 sur ∂Ω. (0.1)

nous la discrétisons à l’aide des éléments finis de degré 1. Le travail portera sur l’étude et la construc-tion d’un maillage permettant d’obtenir la meilleure approximation de la solution pour un coût entemps de calcul donné.

La partie §1 précise ces objectifs. Dans la partie §2 nous étudions l’optimisation de maillage dansle cadre des triangulations isotropes : les triangles sont contraints à ne pas être trop fins (Figure 1b).La partie §3 aborde l’optimisation anisotrope de maillage, un domaine de recherche encore largementouvert, où les formes des triangles ne sont plus contraintes (Figure 1c).

1 Motivations et objectifsPour fixer les idées nous choisissons le domaine Ω :=]0, 1[2\[ 12 , 1]2 ⊂ R2 qui est illustré sur la Figure 1Nous notons H = H10 (Ω), c’est un espace de Hilbert muni du produit scalaire et de la norme ci dessous

〈f, g〉 :=∫

Ω

∇f∇g et ‖f‖ :=√〈∇f,∇f〉 = ‖∇f‖L2(Ω). (1.2)

Nous supposons désormais que ϕ ∈ L2(Ω). Pour tout sous espace vectoriel fermé V de H on définitle problème

Pb1(V ) : trouver fV ∈ V tel que ∀g ∈ V, 〈fV , g〉 =∫

Ω

ϕg. (1.3)

Figure 1 – (a) Une solution du problème (0.1), (b) une triangulation isotrope et (c) une triangulationanisotrope qui lui sont adaptées.

1

Fig. 2.1. Une solution du problè

m ethodes d’adaptation pour la simulation num eriquefrey/cours/upmc/nm491.pdf{ lelong-ferrand j.,...

Documents