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Grand N n 71, pp. 61 84, 2003 61

O PLACER LE TRSOR ?

Magali CARCEL

Professeure des coles 26 Epinouze

Marlne SERME

Professeure des coles 26 Mercurol

Introduction

En mathmatiques, la rsolution de problmes est aujourdhui considre comme centrale dans les apprentissages ; elle a pour but principal de faire construire et approprier des

connaissances nouvelles par les lves comme des outils1 de solution. Dans lactivit de

rsolution de problmes, les connaissances nouvelles ne sont pas les seules engages par

les lves car, de faon plus ou moins spontane, ils mobilisent leurs connaissances

anciennes. Celles-ci se sont constitues partir de situations scolaires, mais aussi partir

de situations qui ne sont pas des situations denseignement et o ils ont eu loccasion de dvelopper ces connaissances travers les schmes mis en place.

Dans sa thorie des champs conceptuels, Grard VERGNAUD (1990) dcrit la composition

des schmes2 et en arrive des caractristiques essentielles, les invariants opratoires

( concept-en-acte et thorme-en-acte ). Pour lui, un concept-en-acte est un

concept (objet ou prdicat) implicitement tenu pour pertinent et un thorme-en-acte est

une proposition [implicitement] tenue pour vraie ou encore un ensemble de relations

saisies et utilises par le sujet en situation de rsolution de problmes, tant entendu que

cela ne signifie pas pour autant quil est capable de les expliciter ou de les justifier. (VERGNAUD, 1981, p. 220).

titre dexemple, VERGNAUD prsente la srie de calculs faite par un lve pour rsoudre un problme et ajoute : En procdant ainsi, les lves appliquent le thorme :

f(x+x)= f(x)+f(x)

La matire de cet article est issue du mmoire professionnel que nous avons ralis lors de notre anne de

stage lIUFM de Valence comme professeures des coles (PE2). Nous remercions tout particulirement

Henri-Claude ARGAUD qui nous a soutenues et conseilles tout au long de notre recherche, ainsi que

Annabelle TALLARON-ROUX qui nous a permis de mener cette squence dans sa classe.

N.D.L.R : Ce travail sinscrit dans les perspectives dessines dans le travail de thse de Henri-Claude

ARGAUD (1998). 1 Rgine DOUADY appelle connaissance outil , une connaissance utile pour rsoudre un problme

(DOUADY, 1986). 2 VERGNAUD appelle schme l'organisation invariante de la conduite pour une classe de situations

donne et il ajoute : cest dans les schmes quil faut rechercher les connaissances-en-acte du sujet,

cest--dire les lments cognitifs qui permettent laction du sujet dtre opratoire. (VERGNAUD, 1990,

p. 136)

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Cest un thorme en acte , car il est rarement explicit, et cest aussi une production inventive des lves car un tel thorme ne leur a jamais t enseign. (ibid., p. 221).

Ainsi, il apparat que lacception thorme-en-acte est compose, dune part, de thorme , en principe une proposition vraie de la thorie mathmatique, dautre part, de en acte , cest--dire dune traduction de ce thorme en actions, en rfrence aux schmes que le sujet dveloppe dans la rsolution. Les concepts-en-acte qui

constituent des briques indispensables la construction des propositions peuvent tre

ventuellement errons. Les thormes-en-acte peuvent tre vrais ou faux.

Dans les articles cits, VERGNAUD illustre son propos par des exemples dinvariants opratoires essentiellement pris dans le domaine numrique. Or, il savre que les lves en mettent de nombreux en uvre dans leurs activits gomtriques ; il est vraisemblable quils sont induits par la frquentation et lobservation de configurations spatiales particulires de lespace matriel au hasard des situations rencontres lcole et hors de lcole.

Voici un exemple de thorme-en-acte en gomtrie.

Des lves de CM1 doivent reproduire une face de polydre qui a la forme dun triangle isocle. Les contraintes rendent la reproduction par simple trac du contour impossible.

Disposant comme habituellement d'une bote outil contenant rgles, querres, compas,

ficelles, papier-calque, ils procdent ainsi :

reproduction de la base, le segment , et reprage du milieu, trac de la droite perpendiculaire (AB) et passant par ce milieu, reprage du point C sur cette droite, une distance de A gale celle du ct

AC du triangle (au compas),

contrle des longueurs des cts du triangle obtenu.

A

B

C

Nous avons t surprises de voir les lves de CM1 effectuer une telle construction. Une

premire question est alors venue : comment la connaissance associe sest-elle constitue ? Comme il savrait que cette connaissance navait fait lobjet daucun enseignement antrieur dans lcole, nous pouvions seulement rpondre : les lves taient capables, dans la rsolution du problme, de mobiliser une connaissance implicite, de

dvelopper un thorme-en-acte que nous rfrons au thorme mathmatique suivant :

Tout point de la droite perpendiculaire un segment en son milieu est

quidistant des extrmits de ce segment.

Remarquons que cette connaissance nest quune partie dun thorme plus gnral qui tablit un lien dquivalence entre deux relations : une relation dgalit (de longueurs ou de distances) et, soit une relation dincidence (lappartenance dun point une droite particulire, la mdiatrice), soit la perpendicularit ((MI) perpendiculaire (AB), I tant le

milieu de ) :

Soient A, B et C trois points du plan :

CA = CB si et seulement si C appartient la mdiatrice de .

proposition (1) proposition (2)

Dans la suite, nous appellerons ce thorme : thorme de la mdiatrice.

Cette connaissance sest-elle constitue partir de lobservation par llve dobjets de lespace environnant dont beaucoup prsentent des axes de symtrie dans leurs lments plans : btiments, logos... ? Ou bien, plutt, a-t-elle t dtermine par un travail antrieur

dont nous navons pas connaissance ?

Nous avons pens que ce thorme-en-acte pouvait exister chez un assez grand nombre

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d'lves. Du fait que son rfrent thorique est un thorme vrai, une seconde question s'est

alors pose : est-il possible de commencer l'apprentissage de la proprit caractristique de

la mdiatrice lcole lmentaire ?

Ces questions nous ont amenes laborer une situation visant dvelopper le

thorme-en-acte vrai (suppos prsent chez la plupart des lves de CM) en tant quoutil de rsolution dun problme, et faire voluer les formes dexpression 3 selon lesquelles les lves pourraient le mobiliser.

Cette situation a donn lieu une squence des six sances conduite dans une classe

compose de 11 lves de CM 1 et de 11 lves de CM 2.

Nous allons dabord prsenter la situation, en nous attachant dcrire les lments qui peuvent avoir une influence sur le dveloppement du thorme : le choix, dabord, dun contexte de jeu, avec les conditions de mise en place de la rgle du jeu, puis celui de

plusieurs problmes autour desquels sarticule la squence4. Aprs cette analyse a priori, nous donnerons une description dtaille de lorganisation des sances avec leur droulement effectif. Enfin, lanalyse des comportements des lves et de leur volution permettra de rendre compte des apprentissages raliss.

La situation et son appropriation par les lves

Un choix gnral

La situation a t construite autour du problme gnral suivant :

Produire5 un point T gale distance de deux points P et C donns

C

P

T

Le thorme de la mdiatrice devant avoir le caractre outil pour le problme, la

proposition (1) savoir TC = TP doit tre ralise au moyen de la proposition (2). Les contraintes doivent donc tre telles que les lves ne puissent obtenir le point T

directement laide des distances TP et TC, via la ralisation de la condition TP = TC = d. La rsolution du problme sous ces contraintes produire T pose des difficults notables, en particulier :

lexistence de plusieurs relations en jeu non indpendantes que les lves devront articuler travers le dveloppement du thorme-en-acte (TP = TC pour le point T

cherch, IP = IC pour le milieu de [PC], (IT) perpendiculaire (PC)) ;

lexistence de plusieurs points solutions, contraire la rgle du contrat didactique usuel selon laquelle un problme nadmet le plus souvent quune solution.

La situation a t contextualise pour deux raisons essentielles : faciliter lappropriation du

3 Nous prciserons plus loin ce que nous entendons par le terme gnrique forme dexpression .

4 Pour laborer cette situation, nous avons pris appui sur des lments de la thorie des situations (pour une

prsentation, voir MARGOLINAS, 1993). 5 Produire pouvant tre pris dans plusieurs sens : tracer (ou dessiner) soi-mme, faire tracer par un

autre

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problme et disposer dun moyen de faire accder les lves aux relations en jeu dans le thorme en acte sans avoir les expliciter. Le contexte cherch devait ainsi porter en

lui-mme la relation produire (TC = TP), cest--dire que les faits du contexte devaient faire apparatre comme allant de soi la relation dgalit de distances TC = TP.

De la complexit du rel pour le choix dun contexte

Le choix d'un contexte adapt au problme n'a pas t facile. Il devait bien videmment

permettre de confronter les lves une configuration spatiale correspondant celle du

thorme que lon voulait faire mobiliser. Mais cette seule condition ne suffisait pas ; il existe en effet des caractristiques propres au contexte qui peuvent entrer en compte et le

rendre inappropri aux objectifs poursuivis. Expliquons pourquoi.

Dans un premier temps, en rfrence l'article Le jeu du bret 6, le choix a t fait de

choisir le contexte de ce jeu (lgalit des distances du bret lquipe 1 et lquipe 2 devant aller de soi pour que le jeu soit quitable) et de mettre en place une variante dans

laquelle on pouvait retrouver la configuration spatiale recherche. Contrairement aux

activits proposes dans larticle cit, o les problmes reposant sur le jeu sont poss partir de dessins, le choix a t fait de jouer effectivement lors de la sance initiale car une

situation de jeu vcue devait amliorer la prise de sens. Le droulement a t le suivant :

le bret (un seul pour les deux quipes) nest pas situ sur la ligne de dpart des deux quipes, mais plac de la faon suivante :

joueurs

Bret

cases de dpart

des joueurs

les joueurs passent dans un ordre dfini au pralable, depuis un point de dpart fixe

(case de dpart),

chaque coup, aprs le signal du dpart, il sagit, pour chaque joueur, de rapporter le bret dans sa case sans tre touch par ladversaire.

Ce choix semblait pertinent puisque les conditions de mise en place du jeu font intervenir

les relations mises en jeu dans le thorme (galit des distances du bret aux joueurs et

appartenance la mdiatrice du segment form par les points reprsentant le dpart des

quipes).

Une sance dEPS a donc t consacre ce jeu, avec un objectif caractre mathmatique implicite : Faire apparatre que le jeu est quitable sil y a galit des distances et que dans le cas contraire, il ne lest pas . Pour cela, lors de certaines parties, le bret a t plac, de faon nettement perceptible, plus

prs dune quipe que de lautre, avec le souhait que les lves ragissent propos de lquit du jeu.

6 Activits gomtriques en 6 et 5, IREM-CRDP de Grenoble, 1987, p. 215

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Or, il sest avr que lquipe ainsi favorise ntait pas ncessairement la gagnante. En effet, la rgle du jeu permet de dvelopper des stratgies compensant lingalit des distances, ce qui na pas manqu7. Les lves nont donc jamais contest lemplacement du bret.

Le lien entre jeu quitable et conditions de jeu ne pouvant tre tabli par ce jeu

effectif, il a fallu changer le contexte en inventant un nouveau jeu, liminant ces

interactions entre joueurs.

Lentre dans le contexte du jeu de lle au trsor

De nouveau, toujours dans le but daider les lves sapproprier le problme et, en particulier, de leur permettre de prendre conscience de la ncessit de satisfaire lgalit des distances relatives aux points de dpart des deux quipes pour que la partie soit

quitable, deux quipes ont t constitues (des Pirates et des Corsaires) et se sont

affrontes lors dune sance dEPS. Deux quipes (les Pirates et les Corsaires) saffrontent en relais, pour rapporter, le plus vite possible, les lingots (un pour chaque lve) dun trsor situ comme suit :

Lquipe la plus rapide est dclare gagnante.

Cette fois, les lves ont ragi rapidement lorsque le trsor ntait pas plac mme distance des points de dpart deux quipes. Les propos des lves ( Cest pas juste ! Cest plus prs des Pirates ! ) ont t appuys et reformuls plusieurs reprises par

lenseignante ( Oui, ce nest pas juste, ce nest pas quitable ). Le mot quitable a ainsi t introduit et de plus :

lexpression jeu quitable tait claire pour tous les lves, et associe lgalit des distances PT et CT ( Si le trsor est au milieu des deux quipes, le jeu est quitable ),

lexpression jeu non quitable tait, elle, associe plus prs dune quipe que de lautre .

Autrement dit, les lves se sont appropri la condition dquit du jeu et ont compris que toutes les positions du trsor ne sont pas quivalentes quant lquit. Le jeu a permis de ne pas formuler la relation produire en tant que telle.

La situation mathmatique mise en place par la suite prend appui sur ce jeu et sa rgle.

7 Si le joueur le plus prs du bret tait effectivement bien le premier lattraper, le second joueur nen tait

pas pour autant ls ; sa tche pour gagner se trouvait simplement modifie : il pouvait alors couper la

trajectoire-retour de lautre joueur, afin de le toucher. Le plus souvent, la victoire revenait ce second

joueur.

P

Trsor (T)

C

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Problmes et variables de la situation : analyse a priori

Nous avons invent une situation gnrale, la situation de lle au trsor , o des

Pirates (P) et des Corsaires (C) imaginaires ont dcouvert un trsor (T) sur une le. Plutt

que de se battre, ils dcident de jouer : lquipe gagnante remportera le trsor. Malheureusement, ils ne parviennent pas se mettre daccord sur lemplacement du trsor pour la partie. Ils demandent donc aux lves de les aider.

Nous avons spcifi ces demandes par trois problmes distincts :

Problmes

1 Les emplacements des deux quipes tant donns, dterminer une position quitable

pour le trsor.

2 Les emplacements des deux quipes tant donns, et des positions pour le trsor tant

proposes, ces positions sont-elles quitables ?

3 Dcider sil existe une seule position pour le trsor, ou plusieurs.

Examinons ici quelques lments thoriques permettant de dcrire les caractristiques de

cette situation et les choix faits : les problmes mathmatiques, les procdures de

rsolution, les variables didactiques.

Les problmes mathmatiques

La situation du jeu de lle au trsor se formalise donc ainsi : trois variables-points : T, P et C une relation : T est la mme distance de P et de C et sa complmentaire : la

distance de P T est diffrente de la distance de C T .

Les problmes proposs relvent de deux types :

type 1 : problme de production produire un point

Problme P1 : les points P et C tant donns, produire un point T vrifiant la

relation, dans une zone donne.

produire la valeur de vrit dune relation Problme P2 : les points P et C tant donns ainsi quun ensemble de points, quels sont les points pour lesquels la relation est vraie et ceux pour lesquels elle ne lest pas ?

type 2 : problme de jugement

Problme P3 : On considre deux assertions : Il existe un unique point T, tel que PT = CT

Il existe beaucoup de points T tels que PT = CT

Choisir lassertion vraie. Il sagit donc de dcider du vrai entre deux noncs a priori contradictoires.

Les principales variables didactiques

Nous avons cherch faire voluer les procdures vers la mobilisation du thorme en tant

quoutil de rsolution, ainsi que les formes dexpression , en modifiant les valeurs des deux principales variables didactiques.

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Variable 1 : le rapport entre les distances PT et CT et la longueur des outils disponibles pour lvaluation des distances

Soit les distances PT et CT sont infrieures la longueur des diffrents outils ; dans ce cas, les procdures sappuyant sur les cts PT et CT sont ralisables : le passage par la mdiatrice nest pas particulirement favoris.

Soit, au contraire, elles lui sont suprieures ; les conditions sont alors plus favorables au dveloppement du thorme-en-acte.

CP

T

M

M est le milieu de [PC]

Autrement dit, cette premire variable serait donc telle que, suivant ses valeurs, il pourrait

y avoir ou non, mobilisation du thorme en acte.

Plutt que de changer le contenu de la bote outils dont les lves disposent, et ainsi

risquer un effet de contrat , nous avons prfr jouer sur les distances PT et CT, afin de

modifier le rapport entre ces distances et la longueur des outils (sances 3 et 4).

Variable 2 : le domaine des objets

Cette variable peut prendre diffrentes valeurs. Les objets sur lesquels travaillent les lves

au cours de notre squence relvent :

du domaine spatial : le mso-espace ou le micro-espace du domaine thorique .

Nous avons fait voluer les valeurs de cette variable, conjointement aux types de

problmes, de la manire suivante :

dans un premier temps, les lves ont rsoudre des problmes de production dans le domaine spatial, dans le mso-espace (problme 2 dans les sances 1 et 2), puis dans le

micro-espace (problme 1 en sance 3, problme 2 en sance 4 , nouveau problme 2

en sance 5) ;

dans un second temps, ils sont confronts au problme 3 de jugement, dans le domaine thorique (sance 6).

Ainsi, le changement de valeur de cette variable (passage des objets thoriques), joint

un changement de type de problme (passage un problme de jugement), cre une

rupture. Ceci devrait amener les lves mobiliser le thorme en tant quargument, compte tenu du fait que la situation devient thorique . En effet, ils nont alors ni produire un dessin, ni contrler des relations spatiales ; ils doivent expliciter des relations

thoriques et les justifier en utilisant des formes du thorme comme arguments et en

sappuyant sur des dessins, des schmas main leve, fonds sur la situation de rfrence qui est spatiale.

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Les productions attendues

Les procdures de rsolution

Problme P1

P1.1 : Essais : choix de la position dun point (par la perception visuelle notamment) suivi du contrle

de distances et choix ventuel de nouvelle position (pas de dveloppement du thorme).

P1.2 : Trac darcs de cercle (au compas ou avec des fils suivant les contraintes de la situation) de

mme rayon et de centres P et C avec placement du point lintersection.

P1.3 : Dveloppement du thorme-en-acte : production dun point comme appartenant la

perpendiculaire [PC] passant par son milieu.

Problme P2

P2.1 : Comparaison directe ou mesure des distances PT et CT.

P2.2 : Dveloppement du thorme : trac de la mdiatrice et vrification de lappartenance ou non du

point celle-ci.

Problme P3

Le problme de jugement P3 est comme P2 un problme de recherche de valeur de vrit mais il sen

distingue parce quil faut dcider de la valeur de vrit de propositions utilisant notamment le thorme-

en-acte en question.

Les outils de lexpression

Pour justifier leurs productions, aussi bien lors de phases de recherche sur leur feuille-

rponse que lors de phases de bilan, les lves peuvent utiliser divers outils

dexpression pouvant aller du geste au langage gomtrique.

Gestes

dsignant les cts du triangle et voquant les distances PT et CT,

dsignant une droite et traduisant sa perpendicularit au segment [PC ],

dsignant le milieu du segment [PC] et les distances le sparant de P et de C.

Langage usuel et contextualis

- pour dsigner les points : le trsor, les Pirates, les Corsaires - pour dsigner la mdiatrice : trait, ligne - pour dsigner le milieu : milieu, centre, trop prs/loin de telle quipe, - pour dsigner la perpendicularit : droit, vertical, pench

- pour formuler le thorme : Si le trsor est sur cette ligne droite, bien au milieu, la partie sera quitable. Sinon, ce nest pas quitable.

Langage gomtrique, relativement dcontextualis

- pour dsigner la mdiatrice : La droite passant par le milieu et perpendiculaire, - pour formuler le thorme : Tous les points de cette droite sont la mme distance des deux

quipes.

Figuration matrielle dlments gomtriques participant tant au dveloppement du

procd de rsolution qu lexpression de la rponse

- des lments matriels (fil tendu, ),

- des traces au sol dans le mso-espace et des dessins (rsultat dune construction) dans le micro-espace lors des problmes de production,

- des croquis ou des schmas ( main leve) lors des problmes thoriques, en tant quargument.

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Les activits mathmatiques

Pour la dure de la squence, les lves sont par groupes htrognes de trois. Sauf pour la

sance 6, ils ont disposition leur bote outils dont le contenu est le suivant : compas,

rapporteur, bandelette de papier, double-dcimtre, querre, ficelle de 10 cm, cordelette de

10 m. Cette cordelette est retire ds la sance 3. Les plans ventuellement donns seront

prsents au fur et mesure dans les activits.

Sance 1

Objectif

tablir des critres de validit ( perception visuelle, mesurage, appartenance la mdiatrice etc.)

pour un point-trsor donn, dans le mso-espace.

Matriel

des plots numrots matrialisant les points-trsors situs moins de 10 m des points de dpart des

quipes, aucun ntant situ de manire quitable,

des croix, traces au sol, symbolisant les emplacements de dpart des quipes,

une bote outils contenant, entre autres, une cordelette de 10 m,

une feuille de route : un tableau dans lequel les groupes notent, pour chaque plot, sil est quitable

ou non, en expliquant pourquoi.

Problme

Problme 2

Cette sance a lieu dans la cour de lcole. Cependant, les lves sont dabord runis dans la classe, o la consigne leur est communique par le biais dun message des Pirates et des Corsaires :

Nous avons trouv un trsor ; pour savoir qui il va revenir, nous avons

dcid de jouer au jeu de lle au trsor. Lquipe gagnante le remportera.

Malheureusement, nous narrivons pas nous mettre daccord sur

lemplacement du trsor, pour que le jeu soit quitable. Nous vous proposons

plusieurs positions. Pouvez-vous nous aider en nous disant lesquelles sont

quitables ?

Merci pour votre aide.

Le Capitaine Crochet

Les lves se rendent alors dans la cour, groupe aprs groupe, avec leur feuille de route et

leur bote outils. Lenseignante leur donne alors les informations concernant le remplissage de la feuille et leur prsente le dispositif (plots, croix).

Lors de la phase de recherche, certains groupes comparent les deux cts du triangle,

soit en comptant le nombre de pas, soit laide de la cordelette. Dautres mettent en uvre des connaissances relevant du thorme de la mdiatrice, soit sans effectuer de vrification, soit en vrifiant par le recours au mesurage des cts du

triangle :

groupes 1 et 6 : Dans ces groupes, un lve se place sur lemplacement du trsor valider. Il visualise mentalement la mdiatrice, dlimitant ainsi deux zones de chaque ct de celle-ci.

Ensuite, il dtermine, lil, la zone dans laquelle se situe le trsor. groupe 2 :

Un lve se place prs du trsor valider. Il se dplace jusquau segment [PC] selon une direction revenant projeter le point-trsor sur [PC], et trace le point projet. Il

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mesure, laide de pas, les distances sparant ce point de P et de C ; il les compare et conclut.

groupe 4 : Ils vrifient le point 2, qui leur parat quitable, par comparaison des longueurs PT et

CT, laide de la cordelette. Puis ils valident ou invalident les autres points de manire perceptive, selon quils sont aligns ou non avec ce premier point et le milieu du segment [PC].

Le bilan collectif se fait en deux temps. Un premier, en classe, o sont compars les

rsultats des groupes. Un second, sur le terrain, pour valider laide dun dcamtre les diffrentes positions. Cette validation par mesurage met en vidence un manque de

prcision des procdures mettant en uvre des connaissances relatives au thorme. Nous verrons quainsi ces procdures pourront tre remises en cause par la suite

Sance 2

Objectifs

construire dans le mso-espace un point mme distance de deux autres,

constater lexistence et lalignement de plusieurs points-solutions dans diffrentes zones.

Matriel

des croix traces au sol pour lemplacement des joueurs,

des zones traces au sol (en sorte que tout point de la mdiatrice de [PC] dans ces zones soit

moins de 10 m des dparts des quipes),

une bche,

des plots,

la bote outils comprenant toujours la cordelette de 10 m.

Sur le terrain le dispositif est le suivant :

P

C

z4

z1

z2

z3

z5

z6

Problme

Problme 2

Tout comme dans la sance 1, la classe reoit un message du Capitaine Crochet :

Nous vous remercions pour laide que vous nous avez apporte. Comme vous avez pu le

constater, aucune position ne permettait de jouer. Nous avons de nouveau besoin de vous

pour nous indiquer une position quitable.

Encore merci.


71

Chaque groupe doit donc construire un point quil trace sur le sol, de manire ce que le jeu soit quitable, dans une zone dfinie. Au fur et mesure du passage des groupes, leur

zone est recouverte dune bche. Les zones tant accessibles depuis P et C par la cordelette, la procdure de production

dun point comme intersection darcs de cercles semble la plus adapte. Seul un groupe la met en place. Les autres procdent de la manire suivante : soit par

dtermination perceptive dune position approximative, quils rajustent en fonction du mesurage des distances P et C, soit par projection orthogonale pour vrifier un point

plac par essai (mobilisation du thorme) :

groupe 4 : Les lves reprent le milieu du segment [PC] en comptant les pas entre P et C. Ils

tendent la cordelette entre ce point et la zone, et forment un angle droit laide de lquerre (matrialisation de la mdiatrice par la cordelette).

groupe 6 :

Ils positionnent un point de manire approximative et le vrifient par projection sur le

segment [PC]. Ils ajustent leur point si le projet nest pas au milieu du segment. Notons quun groupe a utilis les extrmits de la frontire de la zone comme rfrence

8, et en a cherch le milieu.

Lors du bilan collectif, la bche est retire et des plots sont disposs sur les emplacements

dtermins par les groupes. Les points sont alors valids, un par un, par mesurage laide du dcamtre. Peu de points se rvlent alors quitables. Les enfants nayant aucun moyen de discuter les procdures, et pouvant discuter seulement le rsultat, les

procdures des groupes 4 et 6 sont alors implicitement discrdites.

Sance 3

La majorit des points construits dans la sance prcdente tant mal placs, lalignement na pas pu tre mis en vidence. Cest pourquoi, nous avons repris la question sous la forme du problme 1, en reprsentant la configuration du terrain de la sance 2, avec une

seule zone, identique pour tous les groupes.

Objectifs

- construire dans le micro-espace un point mme distance de deux autres,

- constater lexistence et lalignement de plusieurs points-solutions dans une mme zone.

Matriel

- une bote outils sans cordelette par groupe, un rtroprojecteur.

un transparent A4 par groupe

Problme : Problme 1

8 Dans le dispositif propos aux lves, la distance entre ces extrmits correspondait la distance PC ; cela a

sans doute induit leur procdure et aurait pu tre vit.

+

+ C

P

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Une affiche au tableau relate une nouvelle anecdote des Pirates et des Corsaires :

En nous rendant votre cole afin de nous partager le trsor, notre navire a t attaqu, et

nous avons chou sur une le !!! En voici le plan avec nos positions.

Merci de nous indiquer o placer le trsor dans la fort.

En esprant que cette fois sera la bonne,


Chaque groupe doit indiquer sur son transparent o placer le trsor dans la zone, pour que

le jeu soit quitable. La zone est dispose de manire tre accessible par les outils,

notamment par la rgle, ce qui ne ncessite pas la mobilisation du thorme.

Au cours de cette sance, la plupart des groupes mobilisent le thorme ; certains tracent

mme la mdiatrice :

groupe 2 :

Il trace le segment [PC], repre son milieu et trace la perpendiculaire [PC] passant

par le milieu, laide de lquerre. Il choisit un point sur cette droite et vrifie ensuite quil est quidistant de P et de C.

groupe 3 : Il trace successivement les perpendiculaires [PC] en P, en C et en son milieu, puis

choisit un point de cette troisime perpendiculaire et constate par la mesure que ce

point est quidistant de P et de C.

groupe 6 :

Il mesure le demi-segment [PC]. Puis il positionne la rgle en P, perpendiculairement

[PC], et fait coulisser lquerre le long de la rgle, jusqu la zone. Il reporte la mesure du demi-segment sur lquerre9.

9 Le point ainsi obtenu peut tre vu comme sommet dun rectangle : par construction, ce point appartient

bien la droite perpendiculaire [PC] passant par le milieu de [PC].

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groupe 7 :

Il repre le milieu du segment [PC] par mesurage, puis positionne la rgle

perpendiculairement, de manire approximative, en ce milieu. Il choisit un point le

long de la rgle.

Deux groupes procdent par essais pour construire un triangle isocle.

Notons quun groupe dveloppe une procdure inadapte qui sappuie sur les lments rectilignes du support

10.

Lors du bilan, les solutions sont valides par mesurage ; les points quitables sont entours

en rouge. Les transparents sont alors superposs afin dobserver lexistence et lalignement de plusieurs points-solutions. Une discussion sengage alors propos du plan renvoyer au Capitaine Crochet. Certains lves prennent conscience de la pluralit des positions

( On na qu envoyer tous les justes au Capitaine Crochet ), dautres remettent en cause la validation ( On a mal mesur, moi je dis que cest celui-l le juste ) pour ne proposer quun seul point.

Sance 4

Objectifs

mettre en uvre des critres de validit (perception visuelle, appartenance la mdiatrice) dun

point-trsor, dans le micro-espace,

adapter les critres aux positions des points.

Matriel

pour chaque groupe, le plan dune le en format A3 sur lequel figurent les emplacements des

Pirates et des Corsaires ainsi que plusieurs points-trsors de couleurs diffrentes. Certains peuvent

tre invalids lil, dautres ncessitent une procdure plus prcise. De plus, quelques-uns sont

inaccessibles par mesurage direct des longueurs PT et CT :

une bote outils par groupe

une feuille-rponse sur laquelle chaque groupe indique si chacun des trsors permet une partie

quitable ou non, et explique pourquoi.

Problme

Problme 2

10

Pour bloquer ces procds indirects, il convient de donner aux lves des supports sans lments

rectilignes (bords dcoups, zones quelconques, ...).

74

Comme prcdemment, la consigne est donne sous forme dun message affich au tableau :

Nous avons essay de placer le trsor selon vos indications. Nous ne sommes pas trs forts

en maths et navons pas russi nous mettre daccordVoil les positions que nous avons

trouves Aidez-nous !!!


Une phase de recherche permet aux groupes de dcider du caractre quitable ou non des

positions des diffrents points. Ils notent leurs rponses.

Beaucoup dlves ont contourn le problme engendr par la contrainte sur les outils qui ne permettaient pas, pour certains points, de mesurer les longueurs PT et CT. Ces

lves ont fait des reports de mesure entre les points-sommets ou ont mis leurs divers

instruments bout bout11. Notons quun groupe a invalid visuellement les points dont la

non-appartenance la mdiatrice tait vidente.

Seuls deux groupes ont mobilis le thorme :

groupes 2 et 3 : Ils tracent la mdiatrice de [PC] laide de lquerre, puis utilisent les implications (proposition 2) (proposition 1) et non (proposition 2) non (proposition 1) (cf. lintroduction) pour valider les diffrents points.

Lors de la mise en commun, les points sont examins un par un ; ceux pour lesquels les

groupes sont unanimes sont traits rapidement. Pour les autres, les diffrentes procdures

sont explicites et le mesurage effectif, laide dune rgle de 40 cm, permet de dpartager les groupes. Cela permet de mettre en valeur lefficacit des procdures des groupes 2 et

3, et de disqualifier les autres du fait de leur manque de rigueur.

Cette sance a permis aux lves de constater lexistence de plusieurs points quitables.

Sance 5

Cette sance reprend la situation de la sance 3. Mais les outils disposition sont tous

rendus insuffisants par la taille du support (format A3) et, plus particulirement, par la

distance entre la zone o placer le trsor et les positions des Pirates et des Corsaires, ce qui

doit amener les lves mobiliser le thorme.

11

Nous aurions pu bloquer cette procdure en la rendant coteuse pour un nombre beaucoup plus important

de points valider.

75

Objectif

construire dans le micro-espace un point T mme distance de deux autres (P et C), comme point

de la droite perpendiculaire au segment [PC] en son milieu.

Matriel

une bote outils par groupe

pour chaque groupe, le plan dune le en format A3 sur lequel figurent les positions des Pirates et

des Corsaires ainsi quune zone reprsentant la fort. Le segment [PC] est trac de sorte que le

reprage de son milieu soit possible laide dune mesure par report). La zone dans laquelle il faut

placer le trsor est inaccessible depuis P et C par les instruments.

Problme

Problme 1

Pour cette sance, la consigne est la suivante :

Les Pirates et les Corsaires ont dcid de placer, cette fois-ci, le trsor dans la fort de lle

dont voici le plan. Aidez-les.

Lors de la phase de recherche, seul un groupe a mis en place une procdure inadapte. La

majorit des groupes a mobilis le thorme, en passant par la droite perpendiculaire au

milieu de [PC] (sans forcment lavoir trace) ; beaucoup de constructions ont t juges inexactes aprs la validation, cause de difficults de manipulation des instruments. En

effet, pour tous les groupes, des problmes de manipulation des outils gomtriques, en

particulier de lquerre sont survenus ; des points construits partir dune procdure adapte mobilisant le thorme ont donc d tre invalids.

12

La mise en commun permet la validation des rponses des lves par mesurage laide de la rgle de 40 cm. Bien que certains points soient invalids, pour beaucoup dlves ce nest pas la procdure qui est remise en cause, mais la prcision dans la construction

graphique ( Le trait [la mdiatrice] nest pas bien droit ; il est pench ).

Sance 6

Objectifs

dcider de lunicit ou de la pluralit des points-solutions, justifier son choix.

Matriel

une feuille vierge et un feutre par groupe

Problme

Problme 3

12 Il apparat donc important quun travail sur les droites perpendiculaires et, en particulier, sur

lusage de lquerre soit men en amont de cette squence.

76

La consigne est dlivre travers le dialogue suivant :

Les Corsaires pensent qu'il n'y a qu'un seul emplacement possible pour le trsor. Les Pirates ne

sont pas d'accord et affirment qu'il y en a beaucoup. Qui a raison ?

Lors de cette sance, seuls deux groupes mobilisent le thorme. Les autres dveloppent

les arguments suivants : lautre jour [sance 4], il y avait trois points qui taient bons : alors il y en a beaucoup ; le mot beaucoup qui figure dans la consigne est alors

source de dbat ( Est-ce que trois cest beaucoup ? ) et loigne les lves du problme rsoudre.

D'autres ne tiennent pas compte du fait que le problme se rapporte une seule le et

considrent quil y a beaucoup de points puisquau moins un par le ; pour eux, chacune des sances prcdentes se droulaient sur une le diffrente et les affirmations des Pirates

et des Corsaires ont t considres comme se rapportant toutes ces les.

La phase collective est un dbat darguments qui savre sans validation possible13.

Analyses globales

Vers la mobilisation du thorme

Lors des trois premires sances bien que les outils aient t suffisants pour valuer les

distances PT et CT, la majorit des groupes dlves mobilise le thorme. Pour les deux sances suivantes, nous avons voulu amener progressivement les lves dvelopper le

thorme en modifiant la valeur de la variable 1 (rapport entre les distances PT et CT et la

longueur des outils) de telle sorte que les outils soient insuffisants pour employer des

procdures faisant intervenir les distances PT et CT.

Examinons le comportement des diffrents groupes au cours de la squence.

Longueur des outils PT Longueurs des

outils ou PT

Longueur des

outils PT

Sance 1 Sance 2 Sance 3 Sance 4 Sance 5

Groupe 1 Mobilisation Mobilisation

Groupe 2 Mobilisation Mobilisation Mobilisation Mobilisation

Groupe 3 Mobilisation Mobilisation Mobilisation


Groupe 5 Mobilisation

Groupe 6 Mobilisation Mobilisation Mobilisation Mobilisation


La variable didactique 1 semble tre efficace pour amener les lves dvelopper le

thorme. En effet, mme si quelques groupes le dveloppaient ds le dbut, cest lorsque nous modifions compltement la valeur de cette variable (sance 5) quil est dvelopp de manire quasi-unanime. Elle a donc permis ceux qui possdaient des connaissances

relatives au thorme, de les mettre en uvre en tant quoutil efficace pour rsoudre un problme et donc de les renforcer, en faisant le lien entre les deux membres du thorme.

Pour les autres14

, elle a permis de dcouvrir un nouvel outil.

13

Le problme a t donn rsoudre sur papier libre : les points P et C nont pas t donns. Ceci a pu tre

lorigine des dysfonctionnements observs.

77

Nous pouvons penser quen la conjuguant dautres variables telles que : le type despace dans lequel les lves doivent rsoudre le problme, le nombre de points valider (pour le

problme 2), son efficacit en serait renforce.

Toutefois, nous devons noter une difficult que le comportement du groupe 4 met bien en

vidence. A lissue de la sance 2, sa rponse a t invalide et ce groupe na plus mobilis le thorme par la suite. Or, ses rsultats dcoulaient des dispositifs matriels quil avaient utiliss dans le mso-espace avec limprcision qui sensuivait (comptage de pas, usage dune querre de dessin). On a l un phnomne dj manifeste lors du bilan de la sance 1 : les lves nayant pas les connaissances ncessaires pour discuter des procdures, la disqualification du rsultat met un discrdit implicite sur la procdure..

Les formes dexpression : quelle volution ?

Dans cette partie, nous allons nous intresser chacun des groupes, afin danalyser linfluence du changement de domaine dobjets (ou pour le domaine spatial, du changement despace) sur lvolution des formes dexpression utilises pour dvelopper le thorme. Notons que nous nous intressons ces formes dexpression seulement lorsque le thorme est dvelopp.

Groupe 1

Domaine des objets :

Mso-espace (sance 1)

gestes :

positionnements sur le terrain : un lve est plac sur le point T valider

direction des regards : llve en T regarde droit devant lui, pour visualiser

la position du projet de T

langage :

expressions contextualises : Le trsor est entre les 2 , Il est trop

gauche ,

traces : aucune


Micro-espace (sance 5)

gestes : aucun

langage :

langage usuel : On a trac une ligne

traces :

dessin de la mdiatrice

Domaine thorique ----------------

Les actions de ce groupe se sont prcises ; de la simple intuition perceptive, elles sont

devenues une succession de constructions, laide dinstruments gomtriques, quils ne verbalisent pas.

14

En particulier le groupe 5, qui ne mobilise le thorme qu partir de la sance 5 et pour lequel on suppose

donc quil sagit dune nouvelle connaissance.

78

Groupe 2


Mso-espace (sance 1)

gestes :

positionnements : un lve est plac sur le trsor valider et tourn vers la

ligne de dpart,

gestes : llve utilise ses bras comme viseurs ,

direction des regards : llve regarde droit devant lui,

dplacements : llve se dplace selon cette direction depuis le trsor

jusquau segment [PC] (quil visualise mentalement). Puis il mesure, en

comptant les pas, la distance entre lendroit o il se trouve et les deux

extrmits.

langage : usuel : Il faut marcher bien droit , L ya 4, et l y 3 .

traces : aucune


Micro-espace

(sances 3, 4, 5)

gestes : aucun

langage :

dbut de langage gomtrique et contextualis : Nous avons pris le

milieu entre les corsaires et les pirates, et nous avons mis lquerre : cela

tombait juste (ou : le point tait 2 mm ct) , Ceux qui sont sur

lquerre sont bons, les autres sont pas bons. Les points qui sont pas au

milieu, ils sont plus prs [dune quipe que de lautre] .

traces :

dessin de la mdiatrice :

Domaine thorique

gestes : aucun

langage :

langage usuel dcontextualis : Tous les points sur cette ligne, font la

mme distance .

traces :

79

Tout au long de la squence, ce groupe dveloppe le thorme. Cela se traduit, dabord, par de nombreuses actions (domaine spatial) prenant en compte toutes les caractristiques de la

mdiatrice, puis, par des formes dexpression de plus en plus labores. En effet, les constructions et les termes employs saffinent jusqu acqurir un statut de plus en plus thorique et limplication (proposition 2) (proposition 1) apparat comme lment de preuve lors du changement de domaine et de problme.

Groupe 3


Mso-espace

---------------------


Micro-espace

(sances 3, 4, 5)

gestes : aucun

langage :

langage usuel dcontextualis :

pour expliquer la construction : Jai trac deux lignes de manire

dlimiter une grande zone. Jai mesur le milieu et jai trac un trait .

pour justifier une erreur de prcision : Je sais, cest cause du trait : il

est pas trs direct .

langage contextualis :

pour conclure : On a constat que la distance tait la mme , L le

trsor est le mieux quitable, l il est trop vers les pirates .

traces :

dessin de la mdiatrice et des perpendiculaires [PC] en P et C.

Domaine thorique -----------------

Le thorme est exprim travers des constructions graphiques, compltes par des

expressions relevant dun langage non-expert. Remarquons quau cours de leur recherche, ces lves ont t amens exprimer (indirectement) le fait que : si un point nest pas mme distance de P et de C, alors il

nest pas sur la mdiatrice de [PC] (non (proposition 1) non (proposition 2)).

80

Groupe 4


Mso-espace

(sances 1 et 2)

gestes :

positionnement : sur la droite reliant un plot valid avec le milieu de [PC], face au segment,

direction du regard : droit devant soi, selon cette mme droite.

langage :

langage gomtrique dcontextualis : pour conclure : Est dans le bon alignement [ou non] ou Align entre

les deux plots du dpart , Il fallait prendre le milieu et lquerre pour faire un angle droit .

traces :

construction : il matrialise la mdiatrice par la ficelle, aprs avoir repr

le milieu (par comptage de pas), quil oriente laide de lquerre.


Micro-espace

---------------------

Domaine thorique ----------------------

Il est surprenant de voir surgir ds la sance 2, lors dactivits dans le mso-espace, un procd dans lequel le thorme apparat sous la forme dune construction matrialisant la mdiatrice en prenant en compte toutes ses proprits (droite, milieu, perpendicularit). Le

recours lquerre prouve que ce groupe raisonne dj sur des objets thoriques, ce qui est confirm par le langage quil utilise.

Groupe 5


Mso-espace

---------------------


Micro-espace (sance 5)

gestes : aucun

langage :

langage gomtrique :

pour expliquer la construction : On a pris le milieu et lquerre pour

faire un angle droit, on a trac un trait ,

langage contextualis :

pour conclure : Le trsor est l .

traces :


Domaine thorique

gestes :

dsignant un grand nombre de points solutions

langage :

langage usuel contextualis faisant rfrence des situations du mso-

espace : Cest une ligne verticale , Quand on a fait sur le stade, a

faisait une grande ligne , Le trsor peut tre l, l, l, l ; il y

aura toujours une course faire ! , Si on met le trsor sur la ligne, il y

a plusieurs points .

81

Domaine thorique

traces :

Le changement de domaine, joint au changement de type de problme, a eu pour effet de

les faire passer de lemploi dun vocabulaire relativement thorique lemploi dun vocabulaire contextualis. Nous supposons que la complexit de la sance 6 tait trop

importante pour eux : elle les a amens se rattacher aux situations dj rencontres et

donc recontextualiser .

Groupe 6


Mso-espace

(sances 1 et 2)

gestes :

positionnements : un enfant se place prs du trsor, les deux autres se

mettent sur les croix matrialisant les points de dpart des quipes,

gestes : lenfant sur le trsor utilise ses bras comme viseurs ,

direction du regard : celui-ci regarde dans la direction du projet

orthogonal T, puis balaye du regard le segment [PC] pour comparer

TP et TC.

langage :

langage usuel et contextualis : Il [le trsor] est plus de ce ct/plus prs

que l-bas , il est bon parce quil est parallle et Il nest pas bon

parce quil nest pas parallle .

traces : aucune


Micro-espace (sances 3 et 5)

gestes :

coulissement de lquerre le long de la rgle pour construire un point.

langage :

langage usuel : On a pris le milieu et trac un trait , On a mesur la

moiti .

traces :



Les constructions graphiques apparaissent suite au changement despace, mais le registre de langue reste courant.

82

Groupe 7


Mso-espace -----------------------


Micro-espace (sances 3 et 5)

gestes : aucun

langage :

langage usuel : On a trac un trait avec la rgle, bien au milieu

(sance 3), On a trac le milieu, on a pris lquerre pour tracer droit, et

on a mis le trsor en haut (sance 5).

traces :



Pour ce groupe, il ny a pas eu dvolution dans les formes dexpression utilises. On peut toutefois remarquer quil y a eu dveloppement du thorme en acte seulement pour la rsolution du problme 1 dans le micro-espace.

Globalement, les formes dexpression utilises dans le domaine spatial sont de lordre des actions physiques et des expressions orales relevant du langage usuel. Elles sont mme

parfois plus volues, par exemple le groupe 4 qui matrialise la mdiatrice dans le mso-

espace, en ayant le souci de respecter ses diffrentes caractristiques.

En revanche, la rupture cre par le changement de domaine, joint au changement de type

de problme, na pas eu leffet escompt sur lvolution des formes dexpression. Au contraire, nous pensons quelle a t trop importante (peut-tre est-elle intervenue trop tt ?) et quelle a donc constitu une difficult trop grande. Cela, ajout la difficult de dcontextualisation globale rencontre en fin de sance, a amen la plupart des lves

contourner le problme.

CONCLUSION

Le thorme que nous avons retenu comme objet d'apprentissage a t dvelopp en tant

qu'outil efficace par de nombreux lves ds le dbut de la squence. Cela nous a

confortes dans notre hypothse selon laquelle le thorme-en-acte pouvait tre outil de

rsolution d'un problme spatial dans lequel, plus particulirement, la variable 1 (rapport

entre les distances PT et CT et les longueurs des outils) pouvait tre significative, comme

nous lavons analys prcdemment. Ce dveloppement sest exprim de diffrentes manires, allant du geste la construction graphique, et du langage courant au langage

thorique. Cependant, si notre analyse a mis en vidence les formes mathmatiques du

thorme (thorme direct ou thorme rciproque) explicites de manire contextualise

au cours des phases collectives de bilan, elle ne nous a pas permis de conclure quant

celles mobilises (donc encore moins possdes) par les lves pour rsoudre les diffrents

problmes. En effet, ils peuvent :

utiliser une seule implication pour rsoudre le problme, mais justifier leur production par l'implication inverse,

ou, ce qui est plus probable, faire des allers-retours entre les deux propositions (galit de distances, appartenance la mdiatrice), ou leurs complmentaires (non-galit de

distances et non-appartenance la mdiatrice), mais n'en expliciter qu'une seule au

cours du bilan.

Il apparat donc que lensemble des connaissances des lves qui ont pu tre observes travers les formes dexpression employes est sans doute beaucoup moins riche que celui dont ils disposent rellement.

83

En consquence, la poursuite dun tel apprentissage (dveloppement par llve dun thorme-en-acte vrai dans la perspective de lapprentissage du thorme mathmatique correspondant dans la scolarit ultrieure) peut paratre intressant ds lcole primaire,

du moment que lon peut disposer de situations qui le permettent. Vis--vis des connaissances qui sy rattachent, un triple objectif peut tre vis les faire dvelopper en tant quoutils de rsolution de problmes en vue de leur donner

du sens, de leur faire acqurir un premier stade de validit et de les lier une situation

de rfrence,

tablir des liens logiques entre certaines dentre elles, les faire expliciter (sous certaines formes) et leur donner un statut local , cest dire

rattach quelques situations de rfrence et non encore gnralis).

Par ailleurs, la confrontation de llve diverses situations contextualises pour lesquelles la mme connaissance peut tre mobilise en tant quoutil pourrait permettre den tendre le domaine de validit. Des situations de formulation greffes sur les situations daction autour de ces contextes auraient pour but den faire voluer les formes dexpression, en vue de parvenir aux formes institutionnelles. Il sagit donc dun travail long terme, lexplicitation en termes institutionnels de la plupart de ces thormes relevant des programmes du collge. Il paratrait donc raisonnable de mener linstitutionnalisation lissue dune priode dapprentissage assez longue, cheval sur lcole lmentaire et le collge.

Lintrt port, tout particulirement en gomtrie, aux situations mathmatiques autour de thormes-en-acte vrais dvelopps par les lves est rcent, essentiellement parce que peu

sont identifis. Dun ct, reprer les thormes-en-acte est une tche difficile qui ne peut se faire que par lobservation des lves en situation ; dun autre ct, llaboration de situations dapprentissage adquates par le matre lest tout autant.

84

BIBLIOGRAPHIE

ARGAUD H.-C. (1998) Problmes et milieux a-didactiques, pour un processus

dapprentissage en gomtrie plane lcole lmentaire, dans les environnements papier-crayon et Cabri-gomtre. Thse de Didactique des Mathmatiques. Universit Joseph

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DOUADY R. (1986) Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Recherches en Didactique

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MARGOLINAS C. (1993) De limportance du vrai et du faux dans la classe de mathmatiques. Ed. La Pense Sauvage , Grenoble.

VERGNAUD G. (1981) Quelques orientations thoriques et mthodologiques des

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Mathmatiques, Vol. 2/2, pp. 215-230.

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Mathmatiques. Vol. 10/2-3, pp. 133-170.

lt truong quan niem [5]

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