loi de comportement
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Lois de Comportements, Elasticité
Un Nom…
RobertRobertRobertRobert HookeHookeHookeHooke, (18 juillet 1635 -3 mars 1703) à Londres, est undes plus grands scientifiques expérimentaux du XVIIe siècle(physicien, astronome, naturaliste, ingénieur).
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 2/29
Lois de comportements?Il s’agit de définir le lien entre les grandeurs cinématiques (vecteurs déplacements –tenseur des déformations) et les grandeurs dynamiques (tenseurs des contraintes) –notion de dualité.
Pour le solide indéformable, la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6 ddls
Elastique, viscoélastique, hyperélastique,… plastique, élastoviscoplastique,….
Pour le solide indéformable, la donnée des efforts extérieurs déterminent les 6 ddlsinconnus du mouvement.
Pour le solide déformable, on a beaucoup plus d’inconnues (vecteur déplacement,tenseur des déformations, tenseurs des contraintes).
Le problème de fermeture se résout par la donnée d’une Loi de Comportement –spécificité matériaux constituants les solides déformables – grande diversité.
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 3/29
Les lois de comportements ? Le problème de fermeture en mécanique des solides déformablesconsiste à compléter les lois universelles (lois de conservations,équilibre,…)
Les inconnues: t, ui (i=1..3), Eij - eij et vijLes inconnues:
On dispose des équations suivantes:
Equation de conservation (1):
Equations d’équilibre (3):
Définition des déformations - HPP (6):
Il manque 6 équations pour fermer le problème posé – La loi de
t, ui (i=1..3), Eij - eij et vij
eij = 2
1
2x j
2ui +2xi
2u jc mt
2t22
2ui - fic m-2x j
2v ij= 0
2t
2t+ div t v^ h= 0
Il manque 6 équations pour fermer le problème posé – La loi decomportement.
La loi de comportement est une loi non universelle – 6 relations entreles grandeurs dynamiques et les grandeurs cinématiques
2x j 2xi
c m
vij , ui, Fij, Lij, eij, ....
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 4/29
Plan
Les lois de comportements
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
Les constantes élastiques
Dimensionnement du solide déformable
ElastodynamiqueElastodynamique
Equations de Navier et de Beltrami
Synthèse
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 5/29
Les lois de comportementsPrincipaux comportements
Elasticité – viscosité – plasticité: constituent des comportements de
Tx
F
Tx
F
Tx
F
F = kTx F = hT oxF = F0sign T ox^ hT ox ! 0
Elasticité – viscosité – plasticité: constituent des comportements debases - ces comportements sont associables: elastoplasticité,viscoplasticité, élastoviscoplasticité…Exemple: Viscoélasticité – Modèle de Maxwell
T ox = T oxressort + T oxpatin =k
oF+
hF
F t^ h= k e- hk t-s^ h
t
y T oxds = L T ox^ hModèle généralisable en 3D:
Principe du déterminisme, de l’action locale et théorie du 1er gradient:
TxF
F t^ h= k e- ht-s^ h
-3
y T oxds = L0#s# t
T ox^ hS x, t^ h= L
0#s# t,Y!X0
U Y,s^ h^ hS x, t^ h= L
0#s# t
U X,s^ h,F X,s^ h^ h P X, t^ h= L0#s# t
C X,s^ h^ hMSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 6/29
Les lois de comportements – Les essais
Les essais de baseLes essais de baseLes essais de baseLes essais de base
Matériaux dont le comportement est insensible à la vitesse de sollicitation
• Essai de traction, ou essai d’écrouissage• Essai sous chargement cyclique, ou essai de fatigue
é àMatériaux dont le comportement est sensible à la vitesse de sollicitation
• Essai à contrainte constante, ou essai de fluage
• Essai à déformation constante, ou de relaxation
Autres essaisAutres essaisAutres essaisAutres essais
Essais sous chargement multiaxial
Traction–torsionTraction–torsionPression interne ou externe
Essais en flexion
Essais de fissuration
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 7/29
Les lois de comportements – Observations Observations:
Zone de comportement caractérisée par des déformations réversibles
Zone de comportement caractérisée par des déformations irréversibles
Zones d’importance très inégale (nature matériau, traitement,…)
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 8/29
Les lois de comportements – Observations
Matériau elasto-plastiqueà forte composante plastique
(Acier doux, duralumin)
Matériau elasto-plastiqueà faible composante plastique(Acier alliés, alliage de titane)
ExpérimentalementMSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU
Matériau fragile(verre, céramiques)
9/29
Le comportement élastique est le plus simple – le modèle convient pourles matériaux à comportement élastoplastique ou viscoplastique en deçà
d’un seuil de plasticité.
Le seuil correspond à une limite d’élasticité – dimensionnement.
Les comportements viscoélastique se ramènent aux comportements
Les lois de comportements
élastiques par transformations.
DDDDéfinitionfinitionfinitionfinition:::: un milieu est dit élastique si l’état de contrainte actuel estentièrement déterminé par le gradient de la transformation à l’instantactuel et non par son histoire passée :
La fonctionnelle mémoire se réduit à une simple fonction. Le
S x, t^ h= LX0
F X, t^ h^ hLa fonctionnelle mémoire se réduit à une simple fonction. Lecomportement ne dépend pas de la vitesse de sollicitation. La forme dela loi dépend à priori de la configuration de référence choisie .
Autre écriture possible:
la loi d’élasticité peut s’écrire avec le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff II et du tenseur droit de déformation de Cauchy–Green.
X0
P X, t^ h= LX0
C X, t^ h^ h
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Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
Cas HPP:
Le comportement élastique classique est définit par une relation linéaireentre contraintes et déformations – Existence d’un potentiel élastique.
Le comportement élastique linéaire est homogène s’il est indépendant
S X, t^ h= LX0
E X, t^ h^ h
vij =2eij
2w w Potentiel élastique
Le comportement élastique linéaire est homogène s’il est indépendantdu point:
Cette loi peut inclure les effets thermiques (Thermoélasticité linéaire):
Sans contraintes résiduelles et effet thermique, cette loi se met sous la
S = S0 +K:ES0
Contraintes résiduelles
KTenseur des modules
d’élasticité
S = S0 +K:E+RT cTSans contraintes résiduelles et effet thermique, cette loi se met sous la suivante:
Loi de Hooke - Notation indicielle:
Soit 81 coefficients du tenseur d’ordre 4 intervenant dans la loi –matériaux anisotropes.
S = K:E E = S:S avec S = K-1
S = K:E, vij = Kijklekl
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 11/29
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
La symétrie des tenseurs des déformations et des contraintes:
Le tenseur de rigidité se réduit à 36 coefficients :
Hypothèse thermodynamique – Le tenseur d’élasticité est symétrique:
Kijkl = Kijlk et Kijkl = K jikl
K = K
Le tenseur d’élasticité se réduit à 21 coefficients indépendants–Notation de VoigtVoigtVoigtVoigt :
Kijkl = Kklij
v11
v22
v33
Z]]]]
_bbbb
K11
K12
K13
K12
K22
K23
K13
K23
K33
K14
K24
K34
K15
K25
K35
K16
K26
K36
RSSSS
VWWWW
e11
e22
e33
Z]]]]
_bbbbv33
v23
v31
v12
[
\
]]
]]]
`
a
bb
bbb
=K13
K14
K15
K16
K23
K24
K25
K26
K33
K34
K35
K36
K34
K44
K45
K46
K35
K45
K55
K56
K36
K46
K56
K66
T
SSSSSS
X
WWWWWW
e33
c23 = 2e23
c31 = 2e31
c12 = 2e12
[
\
]]
]]]
`
a
bb
bbb
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 12/29
Cas linéaire, élastique, homogène et isotropeDans le cas orthotrope, le tenseur d’élasticité se réduit à 9 coefficientsindépendants:
v11
v22
v33
v
Z
[
]]]]
_
`
bbbb=
K11
K12
K13
0
K12
K22
K23
0
K13
K23
K33
0
0
0
0
K
0
0
0
0
0
0
0
0
RSSSSS
VWWWWW
e11
e22
e33
c = 2e
Z
[
]]]]
_
`
bbbb
Dans le cas isotrope le tenseur d’élasticité se réduit à 2 coefficientsindépendants:
v23
v31
v12
[
\
]]]
`
a
bbb
=0
0
0
0
0
0
0
0
0
K44
0
0
0
K55
0
0
0
K66
T
SSSSS
X
WWWWW
c23 = 2e23
c31 = 2e31
c12 = 2e12
[
\
]]]
`
a
bbb
v11
v22
v
Z]]]]
_bbbb
K11
K12
K
K12
K11
K
K12
K12
K
0
0
0
0
0
0
RSSS
VWWW
e11
e22
e
Z]]]]
_bbbb
Avec:
v33
v23
v31
v12
[
\
]]
]]]
`
a
bb
bbb
=K12
0
0
0
K12
0
0
0
K11
0
0
0
0
K44
0
0
0
0
K44
0
0
0
0
K44
T
SSSSSS
X
WWWWWW
e33
c23 = 2e23
c31 = 2e31
c12 = 2e12
[
\
]]
]]]
`
a
bb
bbb
K11 = m+ 2n; K12 = m et K44 = n Coefficients de Lamém et n
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 13/29
Cas linéaire, élastique, homogène et isotrope
Dans le cas élastique, linéaire homogène et isotrope, la loi decomportement est (les termes de rigidités élastiques):
vij = m dij ekk + 2n eij
ekk = trace E^ h= e11 + e22 + e33
v11 = m e11 + e22 + e33^ h+ 2n e11
h
v = 2n e*
Cette loi s’inverse pour déduire les déformations à partir des contraintes(les termes de souplesses élastiques):
v12 = 2n e12
*
vkk = 3m+2n^ hekk
v = trace S^ h= v +v +v
eij =2n1 vij -
2n 3m+ 2n^ hm vkk dij
Les coefficients de Lamé (en Pa) ont un sens physique – sontmesurables à partir d’essais spécifique (traction,…).
vkk = trace S^ h= v11 +v22 +v33
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 14/29
Les constantes élastiques
Essai de Traction simple:x2
x1
v v
Définition: on définit le module d’Young et le coefficient de Poissonpar:
D’après la loi de comportement élastique:
S = v e1 7 e1 =
v0
0
0
0
0
0
0
0
> He1,e2,e3^ h
Loi de Comportement E =
eL
0
0
0
eT
0
0
0
eT
> H
o =-eL
eTE =eL
v
m nZD’après la loi de comportement élastique:
Il s’en suit:
eij =2n1 vij -
2n 3m+ 2n^ hm vkk dij
eL =2n1 v-
2n 3m+2n^ hm v=n 3m+2n^ h
m+nv
eT =-2n 3m+2n^ hm v
Z
[
\
]]
]]
E =m+ n
n 3m+ 2n^ h o =2 m+ n^ hm
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 15/29
Les constantes élastiquesEssai de glissement simple:
x2
x1-x x
x
-x
-x
-x
x
xx1
x2
c
Définition: on définit le module de Coulomb (de cisaillement) par:
D’après la loi de comportement élastique:
S = x e1 7 e2 + e2 7 e1^ h=0
x0
x0
0
0
0
0
> H E =
0
c 2
0
c 2
0
0
0
0
0
> H-x
G =cx
D’après la loi de comportement élastique:
Il s’en suit:
eij =2n1 vij -
2n 3m+ 2n^ hm vkk dij c 2 = x #1 2n
G = n
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 16/29
Les constantes élastiquesEssai de compression hydrostatique:
Définition: on définit le module de compressibilité par:
S = v e1 7 e1 + e2 7 e2 + e3 7 e3^ h=v0
0
0
v
0
0
0
v> H E =
e0
0
0
e0
0
0
e> H
K =v
D’après la loi de comportement élastique:
Soit en résumé:
eij =2n1 vij -
2n 3m+ 2n^ hm vkk dij3K = 3m+2n
G = n
K =3ev
E =m+ n
n 3m+ 2n^ h o =2 m+ n^ hm 3K = 3m+2n
Et:
Ecritures de la loi de comportement:
E =m+ n
^ h o =2 m+ n^ h 3K = 3m+2n
n = G =2 1 + o^ hE m =
1 - 2o^ h 1 + o^ hoE 3K =1- 2o^ hE
eij =E
1 + o vij -Eo vkk dij vij = m dij ekk + 2n eij
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 17/29
Les constantes élastiques
Hypothèse de stabilité thermodynamique:
Soit par définition:
Le cas incompressible:
Cas des Matériaux auxétiques:
K 2 0 et n 2 0
E 2 0 et - 1 1 o 121
o =21 K 3 3 div. u = ekk = trace E^ h= 0
Cas des Matériaux auxétiques:
o 1 0!!!!!
Valeurs typiques:
Caoutchouc:
o b 1 3 2n , 3E/4 et K , E
o b 1 2 n , E/3 et K & E
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 18/29
Le dimensionnement des Solides
MSS tc 1- Mécanique des 19/29
Dimensionnement du Solide déformablePlusieurs types de critères peuvent être employés selon la nature desmatériaux (ductiles, fragiles, sensible à la vitesse, …).
Les critères de de dimensionnement s’expriment en fonction descontraintes (déformations) ou des énergies.
La détermination d’un critère est particulièrement délicate. Il n’existepas de critère universel qui intègre tous les résultats expérimentaux.pas de critère universel qui intègre tous les résultats expérimentaux.
la détermination des différentes limites élastiques associées auxdifférents essais fait appel à des machines d’essai plus ou moinssophistiquées qui peuvent être onéreuses.
On utilise des critères qui nécessitent très peu d’essais (1 ou 2) .
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 20/29
Deux critères courantsLe critLe critLe critLe critère de Von re de Von re de Von re de Von MisMisMisMisèssss
Ce critère est basé sur les constats sur un essai avec une compression isotrope.
Il n’y a aucune limite, le critère doit permettre de quantifier une énergie dedéformation qui ne dépende pas de la compression isotrope.
Par l’expérience, on peut montrer que le tenseur des contraintes et desdéformations, est purement sphérique. Les parties déviatoriques sont nulles.d formations, est purement sph rique. Les parties d viatoriques sont nulles.
L’idée associée au critère de Von Misès est donc de limiter l’énergie dedéformation élastique déviatorique (obtenue à partir des tenseurs déviateurs).
v1 -v2^ h2 + v2 -v3^ h2 + v3 -v1^ h2 # 2ve2
v11 -v22^ h2 + v22 -v33^ h2 + v33 -v11^ h2 +6 v122+v23
2+v31
2^ h# 2ve2
trace deviateur S^ h^ h2" , #32 ve
2
Ce critère, qui vérifie particulièrement bien le cas de la compressionhydrostatique, présente l’inconvénient d’être symétrique en traction et encompression.
Il ne permet pas de prendre en compte une différence entre la limite élastique en traction et la limite élastique en compression. Son principal intérêt réside dans sa simplicité d’usage.
^ h ^ h ^ h ^ h
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 21/29
Deux critères courants
Le critLe critLe critLe critère de re de re de re de TrescaTrescaTrescaTresca
Ce critère est basé sur une limitation du cisaillement en un point. Il revient enfait à limiter le rayon du plus grand des cercles de Mohr et de ce fait il estparticulièrement bien adapté à des sollicitations de cisaillement comme la torsiond’une poutre.
LeLeLeLe solidesolidesolidesolide resteresterestereste dansdansdansdans lelelele domainedomainedomainedomaine élastiquelastiquelastiquelastique tanttanttanttant quequequeque lalalala contraintecontraintecontraintecontrainte tangentielletangentielletangentielletangentiellemaximummaximummaximummaximum estestestest infinfinfinférieurerieurerieurerieure à uneuneuneune valeurvaleurvaleurvaleur ddddéterminterminterminterminéeeee parparparpar llll’essaiessaiessaiessai dededede tractiontractiontractiontraction
Son expression est simplement donné en contraintes principales ordonnées par laformule :
2
v1 -v3^ h# xe avec v1 $ v2 $ v3
x = S.n-v n # x x =ve
Comme pour le critère de Von Misès, on se trouve devant un critère simple à
définir et à mettre en œuvre mais qui ne permet pas de prendre en compte lacomplexité des différents résultats d’essais. En particulier, comme pour le critèreprécédent, on constate qu’il n’y a aucune limitation à une sollicitation de tractionisotrope, ce qui va à l’encontre de résultats expérimentaux.
x = S.n-vnn # xe xe =2ve
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 22/29
Elastodynamique(statique)Déterminer:
Déplacements-Déformations:
X2Xtd
2Xu
ui (i=1..3), eij et vij
eij =21
2x j
2ui +2xi
2u jc mDéterminer
Equation de champ:
Loi de comportement élastique…:
X
2X
ui et vij
t2t22
2ui - fic m-2x j
2v ij= 0 6 M ! X0
v = m d e +2n e
Conditions aux limites: sur le bord, 3 informations selon 3 directions
Efforts surfaciques imposés:
Déplacements imposés:
vij = m dij ekk +2n eij
T = S.n = td 6M ! Xtd
u = ud 6M ! Xu
====
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 23/29
Equations de Navier/BeltramiUn problème de Mécanique des Solides déformables (cas élastique,linéaire…) se résume:
^ h
eij =21
2x j
2ui +2xi
2u jc m 6 M ! X0
t2t22
2ui - fic m-2x j
2vij= 0 6 M ! X0
Z
[
]]]]
A ces relations il faut ajouter les conditions initiales du mouvement.
Problème difficile à traiter analytiquement – traitement numérique(Eléments finis,….).
ui,vij^ h: 2tc m
2x j
vij = m dij ekk + 2n eij 6 M ! X0
T = S.n = td 6 M ! Xtd
u = ud 6M ! Xu
[
\
]]]]
Deux schémas de résolutions possibles selon les variables retenues.
Schéma en déplacement si on élimine les contraintes – Equations deNavier.
Schéma en contraintes si on élimine les déplacements – Equations deBeltrami.
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 24/29
Equations de Navier/Beltrami
ui,vij^ h:
eij =21
2x j
2ui +2xi
2u jc m 6 M ! X0
t2t22
2ui - fic m-2x j
2vij= 0 6 M ! X0
vij = m dij ekk + 2n eij 6 M ! X0
T = S.n = td 6 M ! Xtd
u u 6M ! X
Z
[
]]]]
]]]]
Formulation en déplacement – Equations de Navier:
Formulation en contrainte – Equations de Beltrami:
u = ud 6M ! Xu\]]
m + 2n^ h grad div u^ h- n rot rot u^ h+ f = t2t22
2u
m+ n^ h grad div u^ h+ n Tu+ tf = t2t22
2u
Formulation en contrainte – Equations de Beltrami:
TS +1 + o1 grad grad trace S^ h^ h+
1 - oo t div tf^ h1 + t grad tf+ grad tf^ hT^ h= 0
avec tf = f-2t22
2u
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 25/29
Lois de Comportements – Elasticité -Synthèsedéplacements
u
eij =21
2x j
2ui +2xi
2u jc mLoi de comportement
Navier
Équilibre + CL
déformationseij
vij = m dij ekk +2n eij
Loi de comportement
contraintes
vij
déplacementsu Équilibre + CL
déformations
eij
contraintes
Loi de comportement
vij
Belrami
eij =2n1 vij -
2n 3m+ 2n^ hm vkk dij
Compatibilité
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 26/29
Constantes élastiques
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 27/29
Formulaire coordonnées cylindrique et sphérique
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU 28/29
Equations de NavierOn se propose de retrouver les équations de Navier – soit la 1ère
relation d’équilibre:Avec:
Soit:
t2t22
2u1 - f1c m-2x1
2v11 -2x2
2v12 -2x3
2v13 = 0
vij,j =2x j
2vij= m dij
2x j
2ekk + 2n2x j
2eij
v me 2ne ; v 2ne et v 2neSoit:
Avec l’équilibre:Et:
Soit:
Ou:
v11,1 = mekk,1 + 2ne11,1 ; v12,1 = 2ne12,1 et v13,1 = 2ne13,1
0 = tf1 - tc1 + mekk,1 +n 2e11,1 +2e12,2 +2e13,3^ h= 0
eij = 2
1
2x j
2ui +2xi
2u jc m et ekk = div u
0 = tf1 - tc1 + m div u^ h,1 + nTu1 + n
2x12
2x1
2u1 +2x2
2u2 +2x3
2u3c mOu:
Finalement (traitement des deux autres composantes)
MSS tc 1- Mécanique des Solides déformables – Comportements M. ICHCHOU
0 = tf1 - tc1 + m div u^ h,1 + nTu1 + n
2x12 div u^ h
0 = tf- tc+ m+ n^ hgrad div u^ h+ nTu
29/29