Les polyèdres suivis des solides dans l’espace

Créé à partir de documents de Jean-Marc Schlenker, Université Toulouse III

David Rolland, formateur IUFM et professeur Ecole Normale Mixte

Qu’est-ce qu’un polyèdre ?

Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets.

Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques.Certains polyèdres réguliers sont connus

depuis toujours : le tétraèdre (4 faces,4 sommets),

l'octaèdre (8 faces, 6 sommets).le cube (6 faces, 8 sommets),

Pythagore et le dodécaèdrePythagore (569-475 avant JC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens.

Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales.On lui attribue la découverte d'un nouveau polyèdre régulier, le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets).Le dodécaèdre a acquis pour les pythagoriciens une importance symbolique.

On en déduit un autre polyèdre régulier : l'icosaèdre (20 faces, 12 sommets).

Platon et les polyèdres réguliers

Les polyèdres réguliers ont eu une influence considérable dans l'antiquité grecque.Pour Platon (427-347 avant JC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers :

Le cube, avec la terre,

le tétraèdre, avec le feu,

l'octaèdre, avec l'air,

l'icosaèdre, avec l'eau.

Le dodécaèdre, lui, sert à l'arrangement final de l'univers.

Ces cinq polyèdres réguliers sont appelés les solides de Platon.

tétraèdre

Cube ou hexaèdre

octaèdre

dodécaèdre icosaèdre

Ces formes se retrouvent dans la nature, notamment dans certains minéraux, les cristaux.

Les solides de Platon

Euclide et la première classificationEuclide (325-265 avant JC) est le plus connu des mathématiciens antiques,

Auteur des Eléments, première tentative de formalisation des mathématiques.Le résultat final en est la classification des polyèdres réguliers : il n'y en a que 5.

C'est le premier résultat de classification de l'histoire.

ArchimèdeArchimède (287-212 avant JC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque.

Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers :les sommets sont identiques, les faces des polygones réguliers (pas identiques).

Il les classifie : il y a deux familles infinies,

et 13 autres polyèdres.·

Prismes et anti-prismes

Les 13 polyèdres semi-réguliers

Malheureusement, le traité d'Archimède sur les polyèdres semi-réguliers a été perdu.

Les peintres et les polyèdres

Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer (1471-1528).Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales,par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli (1445-1517),illustrée par Léonard de Vinci.Dürer donne aussi une nouvelle description des polyèdres, sous forme de dépliage.

Képler et les polyèdres non convexes

La classification d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler (1571-1630).

Képler achève d'abord la classification des polyèdres semi-réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimède.

Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes,et découvre deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes.

Cette liste sera complétée par Poinsot (1777-1859), qui retrouve les deux polyèdres de Képler et en découvre deux autres.

La classification des polyèdres réguliers est achevée, deux millénaires après Euclide !

Les principaux solides vus à l’école primaire

Figure Patron

I/ LE CUBE

Il existe 11 patrons différents d’un cube.

c

c

c

- le volume V de ce cube vaut :

c3V =

Si on note c la longueur de l’arête d’un cube, alors :

- la diagonale AG a pour mesure …………….

Figure Patron

II/ LE PARRALLELEPIPEDE RECTANGLE OU « PAVE »

A

G

L

h

l

Face de droite

Face de derrière

Face de devant

Produit des trois dimensions

Si on note L, l et h les dimensions respectives du pavé droit, alors : - la diagonale AG a pour mesure…………….

- le volume V de ce pavé vaut :

=V =

Figure Patron

III/ LE CYLINDRE

h

O

O’ r

Face supérieure

face latérale

Face inférieure

2

Si on note r = OA le rayon du cercle de base et h=OO’ la hauteur du cylindre, alors :- l’aire A du cylindre vaut :

A =

- le volume V du cylindre vaut :

V = =

Figure Patron

IV/ LE CONE

=360.r/ll

Si on note h la hauteur du cône et r le rayon du cercle de base, alors :

- le volume V du cône vaut :

V =

Figure Patron

V/ LE TETRAEDRE

Si on note h la hauteur du tétraèdre et B l’aire de sa base, alors : - le volume V du tétraèdre vaut

V =

Figure Patron

VI/ LA PYRAMIDE à BASE CARREE

base

Si on note c le côté du carré de base et h la hauteur de la pyramide, alors : - le volume V du la pyramide vaut :

V = = C².h

Figure Patron

VII/ LE PRISME DROIT

h

base

Base x hauteur

B x h

Si on note h la hauteur du prisme et B l’aire de sa base, alors :

- le volume V du prisme vaut :

V = =

Figure Patron

VIII/ LA SHERE ET LA BOULE

Si on note r le rayon de la sphère, alors :

- L’aire A de la sphère est égale à :

A =

- Le volume V de la boule est égale à :

V =

IX. Quelques patrons d’autres solides

X. Propriétés des solides de Platon

Figure

Nom

Faces

Sommets

Arêtes

Angles faces

Tétraèdre Cube Octaèdre DodécaèdreIcosaèdre

4 triangles équilatéra

ux

6 carrés 8 triangles équilatéra

ux

12 pentagones

réguliers

20 triangles

équilatéraux4 8 206 12

126 303012

70°32’ 90° 138°11’116°34’109°29’

Fin du diaporama

créé par David ROLLAND, formateur I.U.F.M. et professeur de l’Ecole Normale Mixte de la Polynésie française