les nouveaux programmes du cycle 2 circonscription de...

Les nouveaux programmes du cycle 2

Circonscription de Bayonne

Mercredi 8 mars 2017

Apprentissages numériques au cycle des

apprentissages fondamentaux CP-CE1-CE2

Patrick Gibel ESPE d’Aquitaine

[email protected]

Conférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 1

PLAN de la conférence

PARTIE I

Les nouveaux programmes 2016

PARTIE II

Exemple de séquence sur l’appropriation et la

maîtrise des différentes représentations du

nombre au cycle 2

PARTIE III

Exemple de séquence sur le calcul en ligne.

La numération travaillée dans le contexte de la

monnaie


Partie I

I.1 Les nouveaux programmes 2016

Cap sur 6 compétences majeures


Les 6 compétences majeures travaillées en mathématiques

Pour permettre à l'élève la construction

d'un savoir vivant et fonctionnel.

Chercher

Modéliser

Représenter Raisonner

Calculer

CommuniquerReprésenter


La compétence majeure chercherCHERCHER DES INFORMATIONS DANS UNE SITUATION POUR FAIRE

« SENS »

Extraire d’un document les informations utiles, les reformuler, les

organiser, les confronter à ses connaissances.

CHERCHER A ELABORER UNE PROCEDURE DE RESOLUTION

Faire des essais, tâtonner

Accepter de ne pas avoir connaissance dès le début de l’activité

des savoirs mathématiques nécessaires à la résolution de la

situation.

Conserver la trace de ses essais

Interpréter ses essais en lien avec la situation mathématique

Organiser sa démarche en orientant ses essais, en hiérarchisant ses

essais

Le développement de cette compétence nécessite de laisser le temps

nécessaire aux élèves Conférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 5

La compétence majeure représenterA. DONNER A VOIR LES OBJETS MATHEMATIQUES

Etablir des liens entre différents registres qui traduisent différentes représentations

(écriture chiffrée, écriture littérale, décomposition additive, dessin, désignation

orale, etc…).

L’accès aux représentations des objets nécessite la possibilité d’une

utilisation des REFERENTS (traces écrites individuelles et collectives

construites AVEC les élèves).

B. REPRESENTER UNE SITUATION MATHEMATIQUE EN VUE DE REPONDRE A LA

CONSIGNE DE L’ACTIVITE

Réaliser un dessin, une figure, un schéma, arbre de calculs

Accepter de ne pas produire directement la solution attendue*

Conserver la trace de ses représentations

Interpréter la représentation en lien avec la situation mathématique

Organiser sa démarche en s’appuyant sur la représentation produite

Le développement de cette compétence nécessite de laisser le temps nécessaire

aux élèves Conférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 6

La compétence majeure modéliser

CHOISIR L’OUTILLAGE MATHEMATIQUE ADEQUAT POUR

REPONDRE A LA SITUATION

Utiliser des outils mathématiques pour résoudre des

problèmes concrets, portant sur des grandeurs et leurs

mesures.

Réaliser que certains problèmes relèvent de situations

additives, d’autres de situations multiplicatives, de

partages ou de groupements;


La compétence majeure raisonner

RAISONNER DANS LE CADRE D’ UNE SITUATION MATHEMATIQUE EN VUE DE REPONDRE A LA CONSIGNE DE L’ACTIVITE

Anticiper le résultat d’une manipulation, d’un calcul ou d’une mesure.

Planifier des essais/organiser sa démarche

Envisager différentes possibilités

Tenir compte d’éléments divers (argument d’autrui, , résultats d’une expérience, sources internes ou externes à la classe, etc.) pour modifier son jugement

Le développement de cette compétence nécessite de

laisser le temps nécessaire aux élèves


La compétence majeure calculer

Calculer avec des nombres entiers, mentalement ou à

la main ou en ayant recours à des instruments, de

manière exacte ou approchée en utilisant des

stratégies adaptées aux nombres en jeu.

Contrôler la vraisemblance de ses résultats


La compétence majeure communiquer

Communication orale

Communication écrite

- Écrit de recherche

- Ecrit solution

- Ecrit de référence

Utiliser le langage naturel et le langage mathématique

(ses différents registres) pour expliciter des démarches,

formuler des procédures, argumenter des raisonnements.


Partie I

I.2 Classification des activités

proposées aux élèves dans le

domaine de la numération.

Elaboration des référents pour

enseigner la numération au C2


Proposition de classification des situations

d’apprentissage selon leur nature

1. Les problèmes et les situations-problèmes

2. Les exercices et activités d’entraînement notamment le

calcul mental (restitution de résultats mémorisés,réinvestissements de procédures de calculs en ligne déjàtravaillées,…)

3. Les activités en lien avec le calcul en ligne ou calculraisonné/calcul réfléchi

4. Les activités de « structuration » des connaissances etdes savoirs/institutionnalisation des connaissances et dessavoirs conduisant à la production d’écrits de référence


Nature des éléments du répertoire didactique

liés à l’apprentissage des nombres

Vocabulaire lié à la notion enseignée (désignations orales etécrites des nombres, des propriétés mathématiques,…)

Représentations matérielles et représentationssymboliques : Rendre accessible liens entre le milieumatériel et les différentes écritures mathématiquesassociées au formalisme mathématique

Techniques de décomposition, recomposition d’un nombre,Utilisation raisonnée/réfléchie des outils-référents- la bande numérique,

- le tableau des nombres, - la droite numérique- le tableau de numération

Propriétés mathématiques des nombres associées au système décimal


Le tableau des nombres ou

comment étudier les nombres selon

leur « famille » d’appartenance 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99


Exemple de tableau de

numération au CP


Tableau de numération au CE1

Lien avec le contexte de sa réalisation pour donner du sens aux

groupements réalisés dans le cadre de la séquence sur les

fourmillions Période 3 du CE1


1000 100 10 1

3 3 4 6

Tableau de numération au CE2


Apprentissage de la numération-

Dialectique outil-objet

Champs d’utilisations

Désignations

usuelles

Convention

d’écriture

Propriétés

mathématiques

OBJET OUTIL

Vocabulaire


Calcul posé

Calcul mental

Calcul en ligne

Résolution de problèmes

(scolaires, vie quotidienne, etc.)

instrumenté

PARTIE I

I.3 Programmes 2016- Focus sur

« Nombres et calculs »


Nombres et calculs

La connaissance des nombres entiers et du calcul est un objectif majeur du cycle 2.

Elle se développe en appui sur les quantités et les grandeurs, en travaillant selon

plusieurs axes.

Des résolutions de problèmes contextualisés : dénombrer des collections, mesurer

des grandeurs, repérer un rang dans une liste, prévoir des résultats d’actions portant

sur des collections ou des grandeurs (les comparer, les réunir, les augmenter, les

diminuer, les partager en parts égales ou inégales, chercher combien de fois l’une est

comprise dans l’autre, etc.).

Ces actions portent sur des objets tout d’abord matériels puis évoqués à l’oral

ou à l’écrit ; le travail de recherche et de modélisation sur ces problèmes permet

d’introduire progressivement les quatre opérations (addition, soustraction,

multiplication, division).

L’étude de relations internes aux nombres : comprendre que le successeur d’un

nombre entier c’est « ce nombre plus un », décomposer/recomposer les nombres

additivement, multiplicativement, en utilisant les unités de numération (dizaines,

centaines, milliers), changer d’unités de numération de référence, comparer, ranger,

itérer une suite (+1, +10, +n), etc.Conférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 20

L’étude des différentes désignations orales et/ou écrites : nom dunombre ; écriture usuelle en chiffres (numération décimale deposition) ; double de, moitié de, somme de, produit de ; différencede, quotient et reste de ; écritures en ligne additives/soustractives,multiplicatives, mixtes, en unités de numération, etc.

L’appropriation de stratégies de calcul adaptées aux nombres et auxopérations en jeu. Ces stratégies s’appuient sur la connaissance defaits numériques mémorisés (répertoires additif et multiplicatif,connaissance des unités de numération et de leurs relations, etc.) etsur celle des propriétés des opérations et de la numération. Le calculmental est essentiel dans la vie quotidienne où il est souventnécessaire de parvenir rapidement à un ordre de grandeur durésultat d’une opération, ou de vérifier un prix, etc.

Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leursrelations est le fondement de la compréhension des nombres entiers etce champ numérique est privilégié pour la construction de stratégies decalcul et la résolution des premiers problèmes arithmétiques.


Les programmes 2016

Nombres et calculs

Attendus de fin de cycle

- Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner,

repérer, comparer.

- Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers.

- Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul.

- Calculer avec des nombres entiers.

Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leursrelations est le fondement de la compréhension des nombres entierset ce champ numérique est privilégié pour la construction destratégies de calcul et la résolution des premiers problèmesarithmétiques.


Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer

Dénombrer, constituer et comparer des collections.

Utiliser diverses stratégies de dénombrement.

Procédures de dénombrement

(décompositions/recompositions additives ou

multiplicatives, utilisations d’unités intermédiaires :

dizaines, centaines, en relation ou non avec des

groupements).

Repérer un rang ou une position dans une file ou sur une

piste.

Faire le lien entre le rang dans une liste et le nombre

d’éléments qui le précèdent.

Relation entre ordinaux et cardinaux.

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres

entiers, en utilisant les symboles =, ≠, <, >.

Egalite traduisant l’équivalence de deux désignations

du même nombre.

Ordre.

Sens des symboles =, ≠, <, >.

Dénombrer des collections en les

organisant et désigner leur

nombre d’éléments (écritures

additives ou multiplicatives,

écritures en unités de

numération, écriture usuelle).

Une importance particulière est

accordée aux regroupements par

dizaines, centaines, milliers.

Les comparaisons peuvent porter

sur des écritures usuelles ou non :

par exemple comparer 8+5+4 et

8+3+2+4 en utilisant que 5=3+2 et

en déduire que les deux nombres

sont égaux.


Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers

Utiliser diverses représentations des nombres (écritures en chiffres et en

lettres, noms à l’oral, graduations sur une demi-droite, constellations sur

des dés, doigts de la main…).

Passer d’une représentation à une autre, en particulier associer les noms

des nombres à leurs écritures chiffrées.

Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et

des écritures arithmétiques.

Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers)

et leurs relations (principe décimal de la numération en chiffres).

Valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un

nombre (principe de position).

Noms des nombres.

Les connaissances de la numération

orale sont approfondies par un travail

spécifique à partir des « mots-

nombres ».

Utiliser des écritures en unités de

numération (5d 6u, mais aussi 4d 16u

ou 6u 5d pour 56).

Itérer une suite de 1 en 1, de 10 en 10,

de 100 en 100.

Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée,

ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine.

Associer un nombre ou un encadrement à une grandeur en mesurant

celle-ci à l’aide d’une unité.

La demi-droite graduée comme mode de représentation des

nombres grâce au lien entre nombres et longueurs.

Lien entre nombre et mesure de grandeurs une unité étant choisie.

Graduer une droite munie d’un point

origine à l’aide d’une unité de

longueur.

Faire le lien entre unités de

numération et unités du système

métrique étudiées au cycle 2.Conférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 24

Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et le calcul

Résoudre des problèmes issus de situations de la vie

quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs

et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite

graduée…, conduisant à utiliser les quatre opérations.

Sens des opérations.

Problèmes relevant des structures additives

(addition/soustraction).

Problèmes relevant des structures multiplicatives, de

partages ou de groupements (multiplication/division).

Modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures

mathématiques.

Sens des symboles +, −, ×, :

Étudier les liens, entre :

- addition et soustraction

- multiplication et division.

Distinguer les problèmes relevant

des structures additives des

problèmes relevant de structures

multiplicatives.

Organisation et gestion de données

Exploiter des données numériques pour répondre à des

questions.

Présenter et organiser des mesures sous forme de

tableaux.

Modes de représentation de données numériques :

tableaux, graphiques simples, etc.

Ce travail est mené en lien avec

« Grandeurs et mesures » et

« Questionner le monde ».


Calculer avec des nombres entiers

Mémoriser des faits numériques et des procédures.

Tables de l’addition et de la multiplication.

Décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100,

compléments à la dizaine supérieure, à la centaine

supérieure, multiplication par une puissance de 10, doubles

et moitiés de nombres d’usage courant, etc.

Répondre aux questions :

7 × 4 = ? ; 28 = 7 × ? ; 28 = 4 × ?, etc.

Utiliser ses connaissances sur la

numération :

« 24×10, c’est 24 dizaines, c’est 240 ».

Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant

son ordre de grandeur.

Addition, soustraction, multiplication, division.

Propriétés implicites des opérations :

2+9, c’est pareil que 9+2,

3×5×2, c’est pareil que 3×10.

Propriétés de la numération :

« 50+80, c’est 5 dizaines + 8 dizaines, c’est 13 dizaines, c’est

130 »

« 4×60, c’est 4×6 dizaines, c’est 24 dizaines, c’est 240 ».

Traiter des calculs relevant des quatre

opérations, expliciter les procédures

utilisées et comparer leur efficacité.

Pour calculer, estimer ou vérifier un

résultat, utiliser divers supports ou

instruments : les doigts ou le corps,

bouliers ou abaques, ficelle à nœuds,

cailloux ou jetons, monnaie fictive,

double règle graduée, calculette, etc.


Calcul mental : calculer

mentalement pour

obtenir un résultat exact

ou évaluer un ordre de

grandeur.

Calculer mentalement

- sur les nombres 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 en lien avec la monnaie

- sur les nombres 15, 30, 45, 60, 90 en lien avec les durées.

Résoudre mentalement des problèmes arithmétiques, à données numériques

simples

Utiliser les propriétés des opérations, y compris celles du type 5×12 = 5×10 +

5×2.

Calcul en ligne : calculer

en utilisant des écritures

en ligne additives,

soustractives,

multiplicatives, mixtes.

Exemples de stratégies de calcul en ligne :

5×36 = 5×2x18 = 10x18 = 180

5×36 = 150 + 30 = 180

5×36u = 15d + 30u = 15d + 3d = 180u

Utiliser des écritures en ligne du type 21 = 4×5 + 1 pour trouver le quotient et le

reste de la division de 21 par 4 (ou par 5).

Calcul posé : mettre en

œuvre un algorithme de

calcul posé pour

l’addition, la soustraction,

la multiplication.

L’apprentissage des techniques opératoires posées (addition, soustraction,

multiplication) se fait en lien avec la numération et les propriétés des

opérations.


PARTIE I Les nouveaux programmes 2016

I.4 Aspect positionnel et aspect décimal

de notre système de numération


Aspect positionnel et aspect décimal du

nombre Frédérick Tempier numérationdécimale.free.fr

Il s’agit ici de passer d’une écriture

en unités de numération (unités,

dizaines, centaines, milliers) à

l’écriture en chiffres.

Cet élève juxtapose les chiffres dans

l’ordre dans lequel ils sont donnés.

Il a compris qu’il y avait un lien entre

le nombre d’unités de chaque ordre

et les chiffres composant le nombre

mais ne sait pas comment associer les

deux.

Production de Théo élève de CE2


L’aspect positionnel du nombre


Production d’Elsa, élève de CE2

Même si l’aspect position de la numération semble compris par Élisa (réussite àl’exercice 3), cela ne semble par suffire, pour réussir l’exercice 5.

Si on considère par exemple « 5 centaines + 12 dizaines + 3 unités = … », pourréussir cette tâche il faut non seulement savoir associer chaque unité à son rang(aspect position de la numération), mais aussi savoir que 10 dizaines = 1centaine, et donc que 12 dizaines = 1 centaine + 2 dizaines. Ainsi, enajoutant cette centaine aux 5 centaines de départ, on obtient 6 centaines + 2dizaines + 3 unités que l’on peut écrire 623. L’autre savoir en jeu concernedonc les relations entre les unités de numération1 (en particulier, ici, 10dizaines = 1 centaine).Conférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 31

Aspect décimal de la numération

Aspect décimal de la numération (ou relations entre unités) :

10 unités d’un certain rang sont égales à une unité du rang

supérieur.

1 dizaine = 10 unités,

1 centaine = 10 dizaines, donc 1 centaine = 100 unités

1 millier = 10 centaines, donc 1 millier = 100 dizaines et

1 millier = 1000 unités.


PARTIE II

Exemple de séquence sur

l’appropriation et la maîtrise des

différentes représentations

du nombre au cycle 2

Expérimentation dans la classe de Valérie Darbas

Ecole Bouillerce-PAU


• La prise en compte du questionnement de

l’enseignante de CP;

• L’élaboration conjointe d’une ingénierie

s’appuyant sur un cadre théorique la Théorie

des Situations Didactiques (TSD) de Brousseau

et respectant les conditions et les contraintes

liées à la classe de l’enseignante et à ses choix

didactiques antérieurs.

A. Une recherche menée en collaboration

avec l’enseignante


Compte-tenu des difficultés rencontrées par lesélèves dans le domaine de la numération, quellesactivités convient-il faire vivre aux élèves de CP (enpériode 5) afin qu’ils acquièrent les compétences etles savoirs relatifs à la compréhension de notresystème de numération ?

La question dans le domaine de

l’enseignement/apprentissage formulée

par l’enseignante


Quelle ingénierie didactique convient-il de

développer afin de travailler à la fois l’aspect

positionnel et l’aspect décimal (en termes de

liens entre les groupements) de notre

numération pour permettre aux élèves de CP

de percevoir les LIENS entre les différentes

représentations du nombre ?

Analyse didactique


Quelle séquence convient-il de mettre en œuvre avec lesélèves de CP pour évaluer et renforcer

1. leur(s) interprétation(s) de l’écriture chiffrée usuelle d’unnombre (représentation symbolique).

2. Leur capacité à établir un lien entre une collection d’objets(représentation(s) matérielle(s)) et l’écriture chiffrée usuelleassociée (représentation symbolique).

3. Leur capacité à relier entre elles différentes représentations dunombre

Symboliques (écriture chiffrée usuelle 56, écrituresadditives

50+6 ou 10+10+10+10+10+6, écriture mixte 5d et 6u)

Matérielles (collections d’objets structurées, nonstructurées)

Schéma représentant la structure des collections

Ecriture littérale cinquante-six

Désignation orale

Les questions à l’étude dans le domaine de la

didactique des mathématiques


Construction conjointe de la séquence

Elaboration d’un dispositif pour observer les

comportements et les procédures des élèves et

effectuer l’analyse didactique

Processus d’échanges et de régulation entre les

séances

Analyse didactique des raisonnements des élèves,

des acquisitions, des difficultés, des obstacles

Les étapes de la réalisation


Origine de la séquence: Elle a été conduite et filmée, àl’école Bouillerce, à Pau dans la classe de CP de V.Darbas PEMF.

Finalité pour l’enseignante: mettre en œuvre uneséquence visant à évaluer et renforcer lesconnaissances et les savoirs des élèves relatifs à lacompréhension du système décimal.

Aménagement matériel de la séquence : utilisation dumatériel utilisé lors de la séquence précédente, lesfourmillions, enrichi par la présence d’autresmatériels.

B. La séquence objet d’étudeOrigine, place dans la progression et enjeux

didactiques de la séquence étudiée


Place de la séquence étudiée dans la progression

de l’enseignant

Les différents domaines de la progression numérique del’enseignante (Ermel Apprentissages numériques auCP, Hatier)

1. Les nombres pour mémoriser

2. Les nombres pour anticiper et calculer

3. Les nombres pour apprendre à chercher

4. Connaissance des nombres


Septembre-octobre novembre-décembre Janvier-février-mars Avril-mai-juin-juillet

Les nombres

pour

mémoriser

Stratégies pour le

dénombrement

Situation fondamentale

cardinale

Situation fondamentale

ordinale

Situation ordinale :

Les nombres

pour

apprendre à

chercher

Lecture d’image Situation de

recherche :

Résolution de

problèmes

Les nombres

pour

anticiper et

calculer

Situations visant la

mise en œuvre de

stratégies de calculs

additifs et soustractifs :

Surcomptage,

recomptage

Introduction des

écritures additives :

Comparaison

d’écritures additives :

cibles

Calculs

additifs :arbre de

calculs

Situation

fondamentale calcul

additif et soustractif

Techniques

d’additions

Algorithme usuel

Entraînement au

calcul posé

Soustraction

Connaître

les nombres

Etude globale :

Construction et

utilisation de la bande

numérique.

Réalisation de

collections (sachets)

associées à la bande

numérique.

(matérialisée)

Etude locale

Etude locale

Etude des nombres de

1 à 10

(décompositions

additives)

Etude détaillée des

nombres de 10 à 20

Etude détaillée des

nombres de 20 à 30

Etude globale :

Etude globale

Construction du

tableau des nombres

de1 à 100

Etude locale

Etude détaillée, par

familles, des

nombres de 30 à 69.

Suites arithmétiques

(de 2 en 2, de 5 en

Etude locale

Les nombres de 70

à 100

Etude globale

Jeu de

communication :

codage et

décodage


Finalité de la séquence :Dénombrer un grand nombre d’objets, par une méthode qui soit à la fois fiable (qui puisse être vérifiée), rapide, efficace et produire l’écriture chiffrée du nombre d’éléments de la collection.

.

Objectifs de la séquence :

◦ Rencontrer une grande collection d’objets.◦ Utiliser les groupements par 10 pour organiser le dénombrement d’une

grande collection.◦ Construire les relations entre 10, 100, 1000.◦ Découvrir la récursivité des groupements.◦ Vivre une situation de référence qui donne du sens à la lecture des

nombres à 3 et 4 chiffres.

Compétences générales :◦ Déterminer la valeur de chacun des chiffres composant l’écriture d’un

nombre entier, en fonction de sa position.◦ Donner diverses décompositions d’un nombre en utilisant 10, 100, 1000.◦ Associer la désignation orale et la désignation écrite (écriture

chiffrée)des nombres.

Activité les fourmillions (Ermel CP**/CE1)


Matériel : collection de haricots, sachets, gobelets,

Modalité: travail en groupes

Méthode utilisée pour le dénombrement de la collection

-Répartition de la collection entre les différents groupes;

-Réalisation des groupements de 10 haricots, les placer dans un sachet;

-Réaliser des groupements de 10 sachets, les placer dans un gobelet; Identifier ce nouveau groupement comme une « centaine »;

-Réaliser des groupements de 10 gobelets, identifier ce nouveau groupement comme étant un millier.

-Effectuer le lien entre la collection structurée et l’écriture chiffrée correspondante.


Activité de décodage (émetteurs) et de codage (récepteurs)

Le jeu de communication

Binôme émetteur Binôme récepteur

67

-

-

Ecriture chiffrée

proposée au

binôme

Collection réalisée

par les préparateurs

Ecriture chiffrée

produite par

les récepteursConférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 44

Répertoire

de

représentations

Répertoire

de

décisions

Répertoire

d’actions

Modélisation du fonctionnement du

répertoire didactique de l’élève

en situation d’apprentissage


Les compétences majeures travaillées



Représenter

Raisonner

Communiquer

Calculer


C. Le déroulement prévu

SEANCE 1

Phase 1 : phase de dévolution du jeuConsigne : Les préparateurs vont découvrir dans l’enveloppe un nombre,

écrit en chiffres. Ils vont devoir réaliser, à partir du matériel à leur disposition,

la collection d’haricots correspondant au nombre figurant dans l’enveloppe.

Pour cela ils devront utiliser une méthode fiable, efficace et rapide. Pendant

ce temps les récepteurs feront la fiche que je leur distribuerai.

Ensuite lorsque les préparateurs auront réalisé la collection qu’ils placeront

dans la boîte, ils la porteront aux récepteurs de leur équipe sans rien leur

dire. Ces derniers, arrêteront leur activité sur fiche et devront, à partir de la

collection réalisée, écrire le nombre de haricots correspondant sur une petite

feuille. Attention les récepteurs n’auront pas beaucoup de temps pour

écrire le nombre en utilisant l’écriture chiffrée usuelle.

L’équipe aura gagné si le nombre écrit par les récepteurs est le même que

celui écrit sur la feuille reçue par les préparateurs.


Phase 2 : Phase d’action pour les préparateurs

Les préparateurs de chaque équipe découvrent dans

l’enveloppe le nombre de haricots de la collection à réaliser ». Ils

doivent ensuite, en utilisant le matériel à disposition, trouver une

procédure fiable, rapide et efficace afin de produire cette

collection.

L’autre binôme réalise sur fiche un travail sur la numération.

Phase 3 : Transmission de la collection dans la boîte

Phase 4 : Phase d’action pour les récepteurs Les préparateurs

portent aux récepteurs la collection placée dans la boîte et

retournent à leur place pour travailler à leur tour sur la fiche.

Les récepteurs doivent trouver une stratégie pour déterminer le

nombre total de haricots et ensuite écrire sur une feuille ce

nombre.

Phase 5 : Phase de validation


« A priori ne renvoie pas à une position dans le temps par

rapport à l’histoire de la recherche mais à une réflexion

d’ordre épistémologique prenant en compte la situation

générale et non la situation spécifique qui sera réalisée.

Cette analyse doit mettre en évidence divers phénomènes

qui peuvent se produire, en particulier dégager les grandes

classes de résolution et les conditions qui les engendrent par

l’étude des variables de la situation. » (A. Bessot & C.

Comiti, 1985)

A. Bessot, C. Comiti (1985), Un élargissement du champ de fonctionnement de

la numération: étude didactique du processus, Recherches en Didactique des

Mathématiques, 6, 305-346, La Pensée Sauvage, Grenoble.

D. Analyse a priori de la situation


Analyse a priori de la situation de jeu

1) Sur le plan mathématique :

• Nature de la réponse attendue (émetteur-récepteur)

• Procédures attendues présentées de façon détaillée et

construites à partir du répertoire didactique de la classe

2) Sur le plan didactique

a) Fonction de la situation dévolue aux élèves

b) Procédures de résolution envisagées (procédures

valides, procédures erronées) émetteurs/récepteurs

c) Principales variables didactiques de la situation

d) Difficultés envisagées, difficultés prévisibles

e) Dispositif de validation envisagé


1) Sur le plan mathématique : Nature de la réponse attendue : Pour les élèves « émetteurs » c’est-à-dire jouant le rôle de préparateurs, la stratégie attendue, est la structuration de la collection par la réalisation des groupements par 10. Compte-tenu du choix des variables didactiques et des pré requis (fourmillions), cette procédure est la seule pertinente, fiable et efficace. La réponse attendue pour les « récepteurs » est l’écriture chiffrée (usuelle) du nombre d’éléments de la collection. Procédures attendues présentées de façon détaillée et construites à partir du répertoire didactique de la classe. Les préparateurs devront effectuer des groupements par dix, de manière à rendre visible la structuration de la collection c’est-à-dire les groupements correspondants aux dizaines et aux unités ou éventuellement aux centaines, dizaines et unités. La récursivité des groupements doit être apparente.


2) Sur le plan didactique

a) La situation de jeu est une situation d’action au sens de

TSD, elle vise un réinvestissement des connaissances et des

savoirs acquis lors des séquences précédentes

(fourmillions), cependant ce qui diffère c’est que les

élèves vont devoir décider des stratégies à adopter et

prendre conscience de leur adéquation ou de leur

inadéquation.

Pour l’enseignant celle-ci peut être considérée comme une

situation d’évaluation formative.


b) Procédures de résolution envisagées (valides et erronées)

Procédures envisagées pour les préparateurs

Procédure de dénombrement un à un sans réalisation de groupements.

Procédure de dénombrement par paquets de dix sans que les groupements ne

soient apparents.

Procédures de réalisation de groupements autres que des groupements par 10.

Procédure de réalisation de groupements par 10 apparents et matérialisés.

Procédures envisagées pour les récepteurs

Dénombrement de la collection non structurée par un comptage un à un des

éléments

Réalisation des groupements et dénombrement des paquets de dix et des

haricots restants

Dénombrement des paquets de 10 (apparents et matérialisés), dénombrement

des haricots isolés, traitement des informations et production de l’écriture

chiffrée correspondante.

Comptage de dix en dix des groupements (par 10) réalisés et ensuite

surcomptage des haricots pour obtenir le nombre total.


c) Principales variables didactiques de la situation

- Le matériel à disposition ,

- Le temps laissé aux binômes émetteurs et récepteurs pour

réaliser la tâche dévolue ,

- Le nombre total d’éléments de la collection


d) Difficultés envisagées, difficultés prévisibles

Concernant les émetteurs : difficultés dans la lecture et

l'interprétation du nombre écrit en chiffres.

Difficultés dans la réalisation de la collection

d'haricots.(dénombrement,…)

Concernant les récepteurs : Difficultés dans le dénombrement des

collections si celles-ci ne sont pas structurées, et codage de ces

collections avec un nombre en écriture chiffrée.

Difficultés de passage de la numération orale à la numération écrite.

(confusion)

La suite des nombres de 10 en 10 n'est pas stabilisée surtout après 70.

(entre Soixante-neuf et quatre-vingt-dix-neuf les règles de la

numération orale ne sont pas les mêmes que de un à soixante)

e) Dispositif de validation envisagé


Procédures mises en œuvre par les émetteurs (phase 2)

Procédures mises en œuvre par les récepteurs (phase 4)

D. Analyse a postériori de la séquence


A l’issue de la séance 1

Les résultats à l’issue du premier jeu

Equipe 1

Rouge

Equipe 2

Verte

Equipe 3

Blanche

Equipe 4

Bleue

Ecritures 97 1005 88 90 78 66 148 49

Procédures

Mises en

œuvre par

les

émetteurs

E:

réalisations

de 8 paquets

de 10

haricots de 1

paquet de 9

haricots

et 7 haricots

isolés

E: Réalisation

de la collection

par

dénombrement

un à un

E

Réalisation

de 7 paquets

de 8

haricots.

E:

Réalisation

d’une boîte

de 1, de 4

sachets de

10 et de 8

haricots

isolés


Elaboration de la séance 2

Explicitez les choix didactiques qui s’offrent à l’enseignant:

Les différentes situations

Le choix des variables didactiques et leurs justifications

Le déroulement

La séance 2


Phase 1 : phase de rappel

Phase 2 : situation de communication (interne augroupe)

Phase 3 : Phase d’action pour les préparateurs

Phase 3 : Transmission de la collection

Phase 4 : Phase d’action pour les récepteurs Lespréparateurs portent aux récepteurs la collectionplacée dans la boîte et retournent à leur place pourtravailler à leur tour sur la fiche.

Les récepteurs doivent trouver une stratégie pourdéterminer le nombre total de haricots et ensuiteécrire sur une feuille ce nombre.

Phase 5 : Phase de validation

Déroulement de la séance 2


Phase de validation du deuxième jeu

Equipe 1

Rouge

Equipe 2

Verte

Equipe 3

Blanche

Equipe 4

Bleue

Ecritures 79 79 94 94 87 90 126 106

Procédures

mises en

œuvre par

les

émetteurs

E:

réalisations

de 7 paquets

de 10

haricots

et 9 haricots

isolés

E: Réalisation

de 9 paquets

de 10 et 4

haricots isolés

E: Réalisation

de 9 paquets

de 10

E: Réalisation

d’un gobelet

de 10

sachets, de

2 sachets de

10 et de 6

haricots

isolésConférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 60

Ces deux premières séances permettent à l’enseignant de:

-Prendre conscience du répertoire de représentationdes élèves-émetteurs (interprétation de l’écriturechiffrée);

-Prendre conscience des difficultés des élèves-récepteurs relatives au traitement des collections;

-Percevoir l’évolution des procédures des élèvescomme indice de l’apprentissage.

Ces deux premières séances permettent aux élèves de

-renforcer les différentes composantes de leurrépertoire didactique (représentation, décision,action, formulation)

-d’accéder aux critères de validité et de pertinence deleurs procédures.

Analyse des connaissances et des savoirs mobilisés par les

élèves lors des deux premiers jeux


Écriture chiffrée (écriture usuelle)

Décomposition additive usuelle

Ecriture additive associée aux

groupements

Ecriture littérale

Dessin de la collection faisant apparaitre

les groupements par 10

Dessin/schématisation de la collection à

partir d’un codage

Les différentes représentations d’un nombre

dans le système décimal au cours préparatoire


Sur le plan des apprentissages

-construction des connaissances et développement des

conceptions des élèves (aspects positionnel et décimal)

-évaluation, en situation, de la capacité des élèves à

réinvestir les procédures adéquates.

-analyse des acquisition des élèves par la mise en œuvre

d’une évaluation sommative et normative en CE1.

E. Les conclusions de l’étude


La richesse de la Théorie des situationsdidactiques qui permet

1. L’élaboration de séquences permettant laconstruction de connaissances et de savoirsfavorisant l’accès au sens de la numération

2. L’analyse a priori qui aide l’enseignant danssa gestion de la séquence

3. L’importance de l’analyse a priori qui permetde moduler la progression et d’analyser lescomportements et les procédures des élèves.

Les conclusions de l’étude


PARTIE III

Exemple de séquence sur le

calcul en ligne.

La numération travaillée dans le

contexte de la monnaie

Expérimentation dans la classe de Valérie Darbas

Ecole Bouillerce-PAU


A. Utiliser la monnaie au cycle 2

Domaines - Nombre et calcul /Grandeurs et

mesures

Mise en œuvre de procédures de calcul en ligne

(calcul réfléchi/raisonné)


Réflexion sur l’élaboration des situations

d’apprentissage

Cohérence et continuité : élaborer une progression

sur connaissances et usages de la monnaie.

Période 2 et période 3.

Décrire pour chaque étapes les référents produits

Construire une séquence relative au calcul d’une

somme à partir d’un porte-monnaie, séance de calcul

réfléchi.

Déterminer les modes de différenciation envisagés

pour chacune des séquences


B LES 4 PRINCIPALES ETAPES DE

LA PROGRESSION

Les différentes étapes de la progression.

1. Connaissance des pièces et des billets /échanges

2. Calcul d’une somme d’argent

3. Lien entre une « somme » et sa réalisation à partir de

pièces et de billets. Le jeu du marchand.

4. Acquérir des procédures de calcul réfléchi pour calculer

une somme de façon efficace, rapide et fiable


Les référents produits en amont

les suites arithmétiques et leurs usages


Les échanges


Les échanges (suite)


Échanges (suite)


Le calcul de la somme contenue

dans un porte-monnaie


Les compétences majeures travaillées



Représenter

Raisonner

Communiquer

Calculer


C. Différencier l’activité

DIFFÉRENCIATION PAR LES RESSOURCES DISPONIBLES ET

LES CONTRAINTES IMPOSÉES

1. UTILISATION D’UN RÉSERVOIR DE PIÈCES ET DE BILLETS

2. UTILISATION DES RÉFÉRENTS AFFICHÉS

3. CHOIX DE PORTE-MONNAIE DIFFÉRENTS ADAPTÉS,« VARIABLES DIDACTIQUES » IDENTIFIÉES

DIFFÉRENCIER PAR L’ORDRE DES TÂCHES A ACCOMPLIR


Garder la mémoire des procédures de

calcul réfléchi


Evolution des contenus A

Atelier 1A Atelier 4A




Evolution des contenues A

Atelier 7A

Atelier 8A

Atelier 9A


Evolution des contenus B


Atelier 1B

Atelier 2B

Atelier 3B

Atelier 4B

Atelier 5B

Atelier 6B

Evolution contenu atelier B

Atelier 7

Atelier 8

Atelier 9Conférence circonscription de Bayonne 8 mars 2017 80

MERCI de votre attention !


les nouveaux programmes du cycle 2 circonscription de...

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