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LES NOMBRES

Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Les différentes formes de calcul


Programme de Cinquième : Partie 2 « Nombres et calculs »

Toutes les activités numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, automatisé ou réfléchi, calcul posé, emploi d’une calculatrice.

Plusieurs objectifs :- prévoir des ordres de grandeur,- opérer en conservant l’écriture fractionnaire,- utiliser le vocabulaire approprié.


Programme de Quatrième : Partie 2 « Nombres et calculs »

La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) a pour objectifs :

- la maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées,- l’acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres,- la réflexion et l’initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un nombre suivant la situation.


Les formes de calcul

Calcul automatisé Calcul réfléchi

Calcul mentalRésultats mémorisés

Procédures automatiséesRésultats ou procédures reconstruites

Calcul papier-crayonTechniques opératoires (calcul posé)

Procédures reconstruites

Calcul machine Calculs usuelsProcédure adaptée / type de machine


Nous nous intéressons ici au calcul mental.


Le calcul mental est

• utile au quotidien

• indispensable pour acquérir des automatismes

• indispensable pour un calcul posé

• un moyen de vérification de calcul

• une aide à la mise en place de relations entre calculs et raisonnement

• nécessaire pour acquérir des représentations mentales de certaines notions


Quels types de travaux en calcul mental ?

• calculs élémentaires : techniques opératoires.

• enrichissement des conceptions numériques des élèves.

• « calcul exact » – « calcul approché » : approximations, ordres de grandeurs…

• utilisation des propriétés de l’algèbre pour le traitement mental de calculs divers.


• mémorisation des formules (algébriques, géométriques, liées aux grandeurs, ...)

• mémorisation de situations d’apprentissage qui ont donné naissance à de nouvelles techniques ou a de nouvelles notions : faciliter les images mentales

• utilisation du vocabulaire

• utilisation de la calculatrice à bon escient.


Des problèmes en calcul réfléchiDes exemples en Cinquième

1) Léa collectionne des timbres. Elle en possède 140. Elle en donne 20 %. Combien lui reste-t-il de timbres ?

2) Simplifier la fraction suivante

3) Combien faut-il de carrés de 10 centimètres de côté pour recouvrir un carré de 30 centimètres de côté ?

4) Combien y a-t-il de tiers dans 15 unités ?

5) 3 cm + 65 mm =

6) Vrai ou faux ? a) La somme de trois quarts et de un huitième est supérieure à 1.

b) La somme de deux entiers négatifs est toujours négative.


7) Quel nombre dois-je ajouter à -23 pour obtenir 12 ?

8) Que vaut x dans l’équation : 3x = 17 ? (Le but est de revenir à la définition du nombre a/b)

9) On divise un nombre par 7. Le quotient est 4 et le reste 5. Quel est ce nombre ?

10) Alain a mangé un quart du gâteau, sa soeur Béatrice a mangé le tiers du reste. Qui en a mangé le plus ?

11) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 2 et par 3.

12) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 3 mais pas par 5.

13) Marie possède x euros. Jean en possède deux fois plus. Combien ont-ils d’euros à eux deux ?


1) Que vaut le carré de 6 ôté du carré de 8 ?

2) Un carré a une aire de 81 cm2, combien mesure son périmètre ?

3) Quel est le quotient de 62 par 32 ?

4) Que vaut 3a - 2b si a = 5 et b = 4 ?

5) Résoudre les équations 3 x = 7 ; 8 x = 60 (L’objectif est de faire appel à la définition du nombre a/b)

6) Vrai ou faux ?a) Le quotient de deux entiers de signes contraires est toujours positif.b) Lorsqu’on double la mesure d’un angle aigu on obtient la mesure d’un angle obtus.c) La somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3.d) Il existe des nombres dont le carré est égal à leur double.e) Le carré d’un entier pair est divisible par 4.

Des problèmes en calcul réfléchiDes exemples en Quatrième


Calcul mental à la maison. Un exemple de fiche auto-corrigée

Classe de cinquième


Calcul mental et calcul littéral

1) Si x = 5, calculer 3x ; 4x ; -6x ; 7 + x ; x/2 + x ; 5x – 2,4

2) Si a = -3 et b = 2, calculer ab ; b – a ; 5a + 3b ; 2b – 4b

3) Le labyrinthe

Entrée

Sortie (par le bas)


Programme 1 : Programme 2 :

1. Choisir un nombre décimal

2. Le multiplier par 5

3. Ajouter 7 au produit obtenu

4. Soustraire le nombre de départ

5. Ajouter 3 à la différence obtenue

6. Annoncer le résultat

1. Choisir un nombre décimal

2. Le multiplier par 2

3. Ajouter 5 au produit obtenu

4. Multiplier la somme obtenue par 2

5. Annoncer le résultat

4) Programmes de calcul


a. Faire fonctionner les deux programmes avec les nombres 1 puis 2 puis 3.

b. Que peut-on conjecturer ? Cette conjecture est-elle vraie ?

c. J’ai trouvé 118 avec les deux programmes. Quel nombre ai-je choisi au départ ?

(On peut envisager un travail avec le tableur pour répondre aux questions)


Calcul mental : périmètre et aire

1) Calculer l’aire et le périmètre de chacun des triangles ABC suivants quand cela est possible.

2) Calculer l’aire et le périmètre du parallélogramme suivant.


Les écritures fractionnairesdu cycle 3 au collège


Programme Cycle 3

La fraction est liée au partage, au fractionnement d’une grandeur.

Le partage des longueurs peut se faire

• par pliage

• à l’aide d’un réseau de droites parallèles équidistantes.


Partage en 3 parties égales

Partage en 5 parties égales

Programme Cycle 3


est lu « sept tiers » et évoque ce qui est obtenu en partageant l'unité en 3 parties égales et en reportant 7 de ces parts.

unité

Programme Cycle 3


Les fractions donnent du sens aux nombres décimaux.

En partageant le mètre comme unité :2,405 m = 2 m + 4 dm + 5 mm = 2 m + 405 mm

Programme Cycle 3

On prépare l'approche du nombre :

On encadre une fraction simple par deux entiers consécutifs.


est un nombre.

On part d’une situation problème, par exemple :

On souhaite partager un segment de longueur 7 cm en 3 morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d’un morceau ?

La longueur d'un morceau est « le tiers de sept ».

Programme Sixième


Programme SixièmeMais pourquoi « le tiers de sept » est-il égal à « sept tiers » ?

1 unité

7 unités

sept tiers le tiers de sept


Les nombres en écriture fractionnaire permettent notamment de résoudre certains problèmes de proportionnalité là où les nombres décimaux ne suffisent pas tout en gardant les mêmes procédures de traitement (généralisation du « nombre de fois »)

4 kg 12 kg

15 € ?

3

3

Programme Sixième


10 kg 12 kg

7,23 € ?

Nombre qui, multiplié par 10, donne 12 1,2 ou

Programme Sixième


7 kg 12 kg

15,47 € ?

Nombre qui, multiplié par 7, donne 12

Programme Sixième


Les égalités à trous

a) 4 …… = 20

b) …… 7 = 7

c) 16 …… = 432

d) 15 …… = 48

e) 5 …… = 2

f) …… 2 = 1

g) 0 …… = 3

h) 3 …… = 4

Évaluation diagnostique en Cinquième


a) 4 …… = 20

b) …… 7 = 7

c) 16 …… = 432

d) 15 …… = 48

e) 5 …… = 2

f) …… 2 = 1

g) 0 …… = 3

h) 3 …… = 4

Utilisation des tables : 100%

Réponse exacte : 85 %



a) 4 …… = 20

b) …… 7 = 7

c) 16 …… = 432

d) 15 …… = 48

e) 5 …… = 2

f) …… 2 = 1

g) 0 …… = 3

h) 3 …… = 4

Recours à la division : 35 %

Essais successifs : 25 %

Pas de réponse : 25 %

Réponse exacte (3,2) : 20 %

« Le nombre n’existe pas » : 25 %




a) 4 …… = 20

b) …… 7 = 7

c) 16 …… = 432

d) 15 …… = 48

e) 5 …… = 2

f) …… 2 = 1

g) 0 …… = 3

h) 3 …… = 4

Réponse juste (quotient fractionnaire) : 0 %

Impossible : 55 %




Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA.

Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ?

Quelle égalité peut-on déduire du travail précédent ?

3 ? = 4 …

Une remédiation


Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA.

Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ?

Quelle égalité peux-tu déduire du travail précédent ?

3 ? = 4 …

Réponse juste :

(avec 3 bonds, elle tombe « sur le point d’abscisse 4 » ): 85 %

Un quart des élèves écrivent l’égalité 3 OA = 4

…Il reste à déterminer OA ….

…Et à conclure : 3 = 4 (1 élève pense à l’écriture fractionnaire)

Une remédiation


Pour favoriser la réussite

la technique de multiplication d’un nombre entier par un nombre décimal :

le raisonnement sur le dernier chiffre

l’ordre de grandeur

multiplication par un nombre plus petit que 1

Exemple

Le concept d’égalité

Valeur exacte et valeur approchée d’un nombre


Addition de nombres en écriture

fractionnaire


Étape

Complète l’égalité

Les élèves eux-mêmes vont démontrer, dès le début de l’apprentissage, que l’intuition première (additionner les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble) est incorrecte.


Calcule

12 : 3 + 6 : 2

11 : 3 + 7 : 3

7 : 3 + 10 : 6

• Changer de stratégies selon les calculs proposés.• Extension de la règle de distributivité de la multiplication

sur l’addition à la division :Pour tous les nombres a, b et k avec k 0

a : k + b : k = (a + b) : kD’où une remarque sur la nécessité d’avoir la division par un même nombre.

Étape


Fraction proportion


En cinquième

Une écriture fractionnaire peut être utilisée pour désigner une proportion.

Les écritures 6/10 0.6 .6 0,6 60% sont rencontrées pour désigner cette fréquence : elles permettent d'insister sur les diverses écritures d'un même nombre et de préciser leurs utilisations.

exprime la relation entre une partie d'une population et la population totale (lien avec la fréquence statistique).

Exemple: la proportion de filles dans le collège est


1er exemple d’exercice : Le collège de la ville voisine a un effectif de 735 élèves. 315 d'entre eux sont demi-pensionnaires. Le dernier bulletin du conseil général annonce que « 3 élèves sur 7 sont demi-pensionnaires ». Que penser de cette affirmation ?Dans un autre collège de 645 élèves, seulement 129 élèves sont demi-pensionnaires. Comment sera traduite cette information dans le bulletin ?

• Découverte de la notion de proportion• Nombres en écriture fractionnaire égaux• Écriture d'une proportion à partir de la donnée d'effectifs

En cinquième


2e exemple d’exercice : Voici trois situations. Auxquelles peut-on associer la

proportion 2 sur 3 ?

1) Dans la classe, 2 élèves sur 3 habitent à moins de dix minutes du collège.

2) Dans la classe, 2 filles et 3 garçons sont inscrits à l’UNSS.

3) Dans la classe, 16 élèves sont demi-pensionnaires et 8 sont externes.

En cinquième


3e exemple d’exercice :Le principal du collège a montré aux parents d'élèves le diagramme circulaire suivant concernant la première langue vivante des élèves de cinquièmes.Alexandre dit : « Trois élèves sur quatre font allemand en LV1»Béatrice dit : « 25% des élèves de 5ème font allemand en LV1»Carole dit : « La fréquence des élèves qui font anglais en LV1 est 0,75 »David dit : « La proportion d'élèves qui font anglais en LV1 est »Que peut-on penser de ces quatre affirmations ?

C lasses de c inquièm es - LV1

LV1 A llem and

LV1 Angla is

• Lecture et interprétation d'un diagramme circulaire.• Différentes écritures d'une fréquence (décimale, proportion, %).

En cinquième


Introduction :Les nombres relatifs

À partir du travail du groupe didactique de l’IREM d’Aquitaine

Brochure Entrées dans l’algèbre 6e et 5e, 2007


Ie siècle : les Chinois utilisaient les négatifs pour des problèmes de comptabilité.

XVe siècle : apparition des négatifs en Occident avec Nicolas Chuquet ; utilisés comme auxiliaires de calcul dans les résolutions d’équations.

Fin du XIXe siècle : En Occident, les négatifs ont un statut de nombre.

Aperçu historique


Différents contextes

Contextes concrets : recettes et dépenses, gains et pertes, températures, altitudes, chronologie, ascenseur…

Contexte de repérage : -3 est une variation

Contexte interne aux mathématiquesOn résout des équations.

-3 est un repère indiquant un état


Il paraît plus fécond d’envisager une approche plus théorique de ces nouveaux nombres, par exemple, comme le suggère le commentaire du programme de cinquième en cherchant des nombres qui rendent la soustraction toujours possible.

Varier les situations pour aborder les différents contextes.

Extrait du document d’accompagnement – Les nombres au

collège – Décembre 2006


Exemple d’introductionÉtape : Établir que

(a + b) – c = a + (b – c)

Exercice 1 : « Margot va à la librairie, elle achète deux articles : un cahier à 2,75 € et un livre à 8,25 €. Le libraire lui fait une réduction de 0,50 € sur le prix du livre. »Calculer le prix total que Margot doit payer de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne.

Exercice 2 : Calculer la longueur AC de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne.


Complète les pointillés7 + … = 11

28 + …. = 85194 + … = 251

37 + … = 376 + … = 4

Exemple d’introductionÉtape : Introduction du nombre -2

comme convention pour 0 – 2

Cela permet de réactiver la soustraction et la visualisation suivante…


Illustration de la résolution à l’aide de la demi-droite graduée ; la soustraction est perçue comme un déplacement vers la gauche.

On arrive alors naturellement à la droite graduée.


La dernière égalité 6 + … = 4Réponses des élèves : Impossible, 4/6, -2 mais aussides élèves proposent de remplacer les pointillés par 4 – 6 ou par 2 – 4, ou 0 – 2

car 6 + (4 – 6) = (6 + 4 ) – 6 = 10 – 6 = 46 + 4 – 6 = 4 6 + 2 – 4 = 46 + 0 – 2 = 4

D’où 4 – 6 = 2 – 4 = 1 –3 = ….. = 0 – 2

Le professeur explique alors que le nombre 0 – 2 sera désormais noté -2.


Définition : Le nombre qui ajouté à 6 donne 4 est le nombre (4 – 6).

Exercice :

Écrire plusieurs égalités à trous ayant -2 comme solution.

Notation : ce nombre est noté -2. Vocabulaire : -2 est un nombre négatif.Remarque : -2 = 0 – 2 = 1 – 3 = 4 – 6 = ….On a alors 6 + (-2) = 4


On redonne des additions à trous avec une solution positive ou négative, en variant la place du trou, et on glisse parmi ces exercices, l’égalité : …. + 5 = 0

Définition : Deux nombres sont opposés quand leur somme vaut zéro.

Exemple : -5 + 5 = 5 + (-5) = 0

Les deux nombres 5 et -5 sont opposés.

Remarque : En plaçant les points d’abscisse -5 et 5, des remarques sont faites sur la symétrie de ces points.

Exemple d’introductionÉtape : Nombres opposés


1) Effectuer les soustractions suivantes (on mélange les résultats positifs et les résultats négatifs).35 – 1723 – 48 on utilise (23 – 23) – (48 – 23) = 0 – 25 = - 2548 – 72 etc.

2) Effectuer les additions de nombres relatifs suivantes. additions dont le résultat est positif7 + (-4)12 + (-5)54 + (-29)-17 + 21 etc.

Exemple d’introductionÉtape : On opère avec certains

nombres relatifs


Exemple d’introductionÉtape : On opère avec tous les

nombres relatifs

Exemples :

-7 + 4 = -7 + (7 – 3) = (-7 + 7) – 3 = 0 – 3 = -3

9 + (-15) = 9 + (0 – 15) = (9 + 0) – 15 = 9 – 15 = -6

-5 + (-2) = -5 + (5 – 7) = (-5 + 5) – 7 = 0 – 7 = -7


Exercices niveau 5e

Les nombres relatifs


Exemples d’exercices

Lien avec d’autres disciplines.

Thèmes de convergence.


Exercice 1

Thème abordé : Mathématiques et Histoire

Objectifs : addition et comparaison de nombres relatifs, construction d’une droite graduée.


Un peu d’Histoire au travers d’une histoire d’âge…Vercingétorix a 12 ans en – 60.Thalès a 20 ans en – 604.Euclide a 30 ans en – 300.Platon a 13 ans en – 414.Jules césar a 1 an en – 100.Pythagore a 20 ans en – 560.Charlemagne a 48 ans en 800.Attila a 18 ans en + 413.Charles Martel a 25 ans en +710.Sénèque a 35 ans en – 10.

Exercice 1


1) À partir des phrases suivantes, retrouver les dates de naissance de ces hommes célèbres.

2) Parmi ces hommes célèbres, quels sont ceux nés avant Euclide ?

3) En quelle année, Pythagore a-t-il fêté ses 12 ans ?4) Construire une frise sur laquelle seront placées les dates de

naissance trouvées. Reproduire cette droite graduée pour que 1 cm corresponde à 50 ans et placer les évènements le plus précisément possible

5) Vérifier ensuite les réponses à la question 2.

Exercice 1


Thème abordé : Mathématiques et sécurité routière.

Objectifs : recherche d’écart entre des nombres relatifs et signification d’un symbole « - » ( ici, le symbole moins n’est pas celui propre aux nombres relatifs négatifs mais celui de la soustraction)

Exercice 2


Des chiffres qui font réfléchir :

Le risque des « deux-roues » est important, puisqu’il représente 51 % des 13-16 ans tués en deux-roues motorisé.

Dans cette tranche d’âge, le risque d’accident à cyclomoteur culmine à 16 ans . EX : 43 tués et 1 922 blessés en 2005.

Il y a 5 fois plus de risque d’accident à cyclomoteur qu’en voiture (à nombre de kilomètres parcourus égal).

Plus d' 1 jeune cyclomotoriste tué sur 10 ne portait pas de casque.

L’oubli du port du casque en cyclomoteur aggrave les blessures en cas d’accident.

Il est souvent sanctionné par les forces de l ‘ordre (Amende encourue : 38€) .

Exercice 2


Voici le nombre d’infractions de ce type répertoriés de 1995 à 2004.

1995 1996 1997 1998 1999

95 225 87 522 83 791 87 442 90 015

2000 2001 2002 2003 2004

78 556 77 777 78 161 80 116 72 568

Exercice 2


Voici ce que l’on peut trouver dans un article :

« l’évolution du bilan annuel a été – 7703 en 1996 et - 3731 en 1997 »

1) Par quels calculs peut-on trouver ces valeurs ?

2) Pourquoi utiliser un nombre relatif négatif dans la phrase ?

3) De la même manière, construire des phrases illustrant l’évolution en 1998 et 2004.

Exercice 2

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