Les nombres décimaux et les fractions : - fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ; - nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près.

CM1 CM2

Fractions Fractions

- Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs.

- Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. - Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.

Nombres décimaux Nombres décimaux

- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/100ème). - Savoir : . les repérer, les placer sur une droite graduée, . les comparer, les ranger, . les encadrer par deux nombres entiers consécutifs, . passer d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement.

- Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème). - Savoir : . les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence, . les comparer, les ranger, . produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001... - Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près.

Compétences évaluées au cours de l'évaluation 2010 au CM2

Ecrire et nommer des nombres entiers, décimaux et des fractions

Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement

Comparer, ranger, encadrer des nombres

Reconnaître les multiples des nombres d'usage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50

Les attendus à l'évaluation CM2 2011

Ecrire et nommer des nombres entiers, décimaux et des fractions Item 65 : Ecrivez vingt-huit unités et sept centièmes Ecrivez trente-cinq centièmes Ecrivez trois dixièmes Réussite : 47,11%

Passer d'une écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement Item 66 : Entoure la fraction égale à 6,02

Réussite : 64,86% Item 67 :

Entoure le nombre à virgule égal à

3,10 0,3 0,03 30,00 3,0 3,00 Réussite : 58,88% Item 68 :

Ecris sous la forme de nombre à virgule

Réussite : 27,71%

Comparer, ranger, encadrer des nombres Item 69 : Compare les deux nombres placés sur chaque ligne en utilisant à chaque fois le symbole qui convient : < (plus petit que), > (plus grand que), = (égal) 13150 1350 180,5 185 0,6 1,2 Réussite : 50,32%

Types de nombres à l’école primaire

Types de nombres Exemples Commentaires

Les nombres entiers naturels

235 Il existe aussi des entiers négatifs (collège)

Les nombres rationnels

Décimaux 4,25 2 ½

Ce sont des nombres rationnels qui

s’expriment sous la forme

ici, et

Le nombre de chiffres après la virgule est fixe

Fractionnaires

Ce sont des rationnels qui n’arrêtent pas de répéter leurs chiffres après la virgule 0,333…. 0,285714285714285714285714…

Les nombres irrationnels

π

Ils ne peuvent pas s’écrire sous la forme

d’une fraction du type mais ils ont un

développement décimal illimité 1,4142135623730950488016887242097 3,1415926535897932384626433832795

A quoi sert le nombre décimal ? • Historiquement, il est apparu avec l'avènement de l'imprimerie. • Il permet d'écrire d'une autre manière une fraction décimale. • Il sert à donner une valeur approchée d'une mesure (principalement en sciences). • Il apporte une précision en fonction de son nombre de décimales. • Il permet d'appréhender qu'entre deux entiers il y a d'autres nombres ; une infinité de nombres.

Aspect historique

Vers 3000 avant J.C., dans la région de Sumer apparaissent les premières représentations de

fractions pour des cas particuliers : 1/120 ; 1/60 ; 1/30 ; 1/10 ; 1/5.

Au IIIème millénaire avant J.C., en Egypte, les scribes représentent les fractions de type 1/n

(fractions unitaires).

Toutes les fractions sont ainsi exprimées comme une somme de fractions unitaires :

= + +

Au Vème siècle avant J.C., les grecs apportent des progrès non négligeables à l’écriture fractionnaire

des nombres et ils effectuent des calculs fractionnaires compliqués. Pour eux, un nombre est

nécessairement associé à une grandeur géométrique. Leur conception de nombre rationnel

s’accorde ainsi à un rapport de longueurs.

On retrouve ensuite des écritures fractionnaires, en Inde, au Xème siècle après J.C.

Chez les arabes, au Xème siècle le rapport de deux longueurs prend le statut de nombre avant qu'en

1427, Al Kashi (1380 ; 1430), astronome de Samarkand, donne une définition des fractions

décimales, expose leur théorie et montre comment décomposer toute fraction en somme de

fractions décimales.

En Occident, au XIVème siècle, le mathématicien français Nicole Oresme (1325 ; 1382) empreinte la

notation des fractions avec barre due aux arabes. Et dans son ouvrage, il définit pour la première

fois les termes ≪numérateur≫ et ≪dénominateur≫.

En 1585, Simon Stevin (1548 ; 1620) publie un écrit dans lequel il privilégie les fractions décimales,

liées à la numération de position indienne pour se rapprocher de la notation actuelle… mais sans la

virgule encore : 89o532. Il donnera naissance aux nombres décimaux dont l’écriture en ligne sera

plus commode pour les calculs et qui se démocratiseront avec l'imprimerie.

Plus tard cette notation évoluera pour devenir 89o532, puis 89.532 et enfin 89,532. La virgule serait

due a l’écossais John Neper (1550 ; 1617), l’inventeur des logarithmes.