les mouvements sur la sphère. définitions: le grand-cercle = intersection d’un plan passant par...

Les mouvements sur la Sphère

Définitions: le Grand-Cercle

= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

Définitions: le Grand-Cercle

= intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère...

Définitions: le Petit-Cercle

... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère


Définitions: le Repère Géocentrique

La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par:

- r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km.

- l: la latitude = angle entre le vecteur position du point et le plan équatorial.

- f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S.

Pôle Nord

0°

90° (E)-90°ou 270°

(r,l,F)

f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Estl: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sudN.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)

Quelques outils

Trigonométrie Sphérique


Nota: la somme + + a b g est toujours supérieure à 180°


Formule des sinus:


Formule des cosinus:


Aire du triangle sphérique e

Soit par les angles au sommet:

Soit par les longueurs des côtés:

Nota: l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S

s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère.

Trigonométrie Sphérique - Applications

1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ?

2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ?

3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?


Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W



dd = 80.6° ≈ 8960 km

Formule des cosinus:



dd = 80.6° ≈ 8960 km

Formule des sinus:

Az

Az = 41.2° (W)

Chemin le plus court = arc de grand-cercle = OrthodromieChemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie

http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie

Orthodromie

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

Loxodromie

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

Produit Scalaire

r

Produit Scalaire

r

Vecteur position a

Produit Scalaire

r

Vecteur position a

Vecteur position b

Produit Scalaire

r

Vecteur position a

Vecteur position b

Produit scalaire a.b

d’où:

Produit Vectoriel

Vecteur position a

Vecteur position b

Produit vectoriel a L b (ou a x b)

Déplacement sur la sphère

A

BComment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ?

??

Ce mouvement peut-il être rectiligne ?

Déplacement sur la sphère

A

B

Tout déplacement sur une sphère est une rotation

En aucune manière... il s’agit d’une rotation.

A

B

A

B


Pôle d’Euler

Angle d’Euler

C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse.

A

B


Pôle d’Euler

Angle d’Euler

A

BRemarques:• la rotation d’Euler est une rotation finie• elle décrit le mouvement le plus court de A à B• elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B

(pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...).

??

Cosinus directeurs

a = angle avec l’axe Xb = angle avec l’axe Yg = angle avec l’axe Z

Changement de repère

Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)



l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe Xl12 = " " " Yl13 = " " " Z

O xyz

x’ l11

l12

l13

Que l’on peut réécrire:

lij=cosaij




l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe Xl22 = " " " Yl23 = " " " Z

O xyz

x’ l11

l12

l13

y’ l21

l22

l23


lij=cosaij





l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe Xl32 = " " " Yl33 = " " " Z

O xyz

x’ l11

l12

l13

y’ l21

l22

l23

z’ l31

l32

l33


lij=cosaij


Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)



l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe Xl32 = " " " Yl33 = " " " Z

O xyz

x’ l11

l12

l13

y’ l21

l22

l23

z’ l31

l32

l33


C’est la matrice de transformation [TM]


Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pourcoordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’):

ou:

P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

ou:


On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée:

P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’)

et:

À noter:

Rotation 2D

Rotation 3D

Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

Rotation 3D – règle du trièdre direct


Rotation 3D

Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z


à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) :

Rx( )q tourne l'axe Y vers l'axe Z, Ry( )q tourne l'axe Z vers l'axe X et Rz( )q tourne l'axe X vers l'axe Y.

Rotation 3D

Rotation Eulérienne

Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes

q



- étape 1:Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec:

- Z’ aligné sur le Pôle d’Euler- X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’- Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’)

Dans ce repère, le point P a pour coordonnées:

P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

ou:

q



- étape 2:

Effectuer la "rotation 2D" autour de Z’ en utilisant Rz(q):

à ce stade, le point P’ a pour coordonnées dans le repère (X’,Y’,Z’):

P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)

ou:

q



- étape 3:

Revenir au repère Géocentrique (X,Y,Z) en multipliant P’(x",y",z") par la matrice de transformation transposée:

P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz( ) q * [TM] * P(x,y,z)

Soit:

q


Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne est le produit de 3 tenseurs:

[TM]T Rz( ) q [TM]


125 Ma

Ce sont ces rotations qui sont à la base des reconstructions dans le passé...

... le stade suivant étant de déterminer les paramètres de rotation ... !!

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