les clefs des énigmes mathématiques

AUX ÉDITIONS « LES CLEFS DU SAVOIR »

Dans la même collection, de Benoît Dubuis :• JejoueaveclesSciencesdelavie

(illustrations Rachel Chevrier, Préface du Prof. Luc Montagnier, Prix Nobel 2008)

• «J’innove»Commentgérersoninnovation:del’idéeaumarché(illustrations PECUB ; Préface de Doris Leuthard, Conseillère fédérale ; Elmar Schnee, CEO Merck Serono ; Patrick Aebischer, Président EPFL et Jean-Dominique Vassalli, Recteur de l’Université de Genève)

• Papa,jeseraibiotechnologiste(illustrations PECUB, Préface du Prof. Werner Arber, Prix Nobel 1978). Disponible en version Fr, GB, D, J, Esp.

En bande dessinée :• Numberone-Tome1«TheHealthValley»

(scénario : Benoît Dubuis - dessins : Olivier Ferra), 2011 (Disponible en version Fr, GB)

• Numberone-Tome2«Relocation»(scénario : Benoît Dubuis - dessins : Olivier Ferra), 2013

• Aparaître:Numberone-Tome3«Next».Parutiondébut2014(scénario : Benoît Dubuis - dessins : Olivier Ferra)

Les Clefs des énigmes mathématiques

Augustin Genoud

1

NOUS SOMMES TOUS DES « AMATHEURS »Ilestétonnantque les jeuxmathématiquessoientautantprisés,sachantcombien lamatièreestredoutéeparnombred’adultes(quis’enorgueillissentdeleuraversion!).C’estuneénigme…logique.

Plusieursraisonsexpliqueraientceparadoxalengouement:ledésirdecomprendre,lasatisfactiondevoirfonctionnerses«petitescellulesgrises»,ledéfisportifàrelever,l’étonnement de dévoiler une vérité cachée… Tout cela est résumé dans la phrasesibylline«aimerlesmathématiques».

Et ce goût pour les problèmes « ludiques » existe, du petit écolier au plus grandmathématicien.J’aieu lachancedepartagerundîneravecdeuxmédaillésField (lamédailleFieldest,pour faire simple, l’équivalentduprixNobelenmathématiques),AlainConnesetMaximKontsevich.Audébutdurepas,MaximKontsevichposaà lacantonade une question mathématique d’énoncé simple comme celles présentéesdans ce livre (peut-être un peu plus délicate,mais guère). Les convives, une demi-douzaine,lanotèrent,maisAlainConnes,toutenparticipantàlaconversationgénérale,émaillasonrepasderemarquesconcernantlarésolutiondeceproblèmeetn’eutdecessed’entrouverlasolution,qu’ilexposacomplètementaudessert,avecévidemmentdesgénéralisationspossibles.

L’intérêtdesplusgrandspourlesquestionslespluspetitesest-ilsiétonnant?Ou,sinousreformulonslaquestion:existe-t-ildepetitesmathématiques?Lediagnosticestbien difficile car nombre de recherches actuelles résultent de l’approfondissementd’unequestiontellequecellesprésentéesdanscelivre.

Ainsi l’analysediophantienne,larechercheopérationnelleetbeaucoupdequestionsdegéométriesontissuesd’unpetitexercice,d’une«amusette».

Éditorial

Philippe BoulangerFondateur et ancien directeur de la revue Pour la Science

Prix d’Alembert 2006 de la Société Mathématique de France

Tousdroitsdetraduction,dereproductionetd’adaptationstrictementréservéspourtouspays.

www.clefs-du-savoir.com

Les Clefs des Énigmes MathématiquesPremièreédition

©2013,lesClefsduSavoirCP76,CH-1015Lausanne978-2-9700593-6-3(CDS,LesClefsdesÉnigmesMathématiques,FR2013)

ImpressumDirectionartistique:messaggio,GenèveCetalbumaétéimpriméparnaturaprint,surunpapierissudeforêtsgéréesdurablement.

>> éditorial

32

Table des matières

ÉDITORIAL................................................................................................................................1

INTRODuCTION......................................................................................................................4

PERSONNAGES.......................................................................................................................6

REMERCIEMENTS....................................................................................................................8

NOTES.......................................................................................................................................9

A. Allerduplussimpleaupluscompliqué...........................................................................10

B. JeuxdeNim.......................................................................................................................14

C. Relationsproportionnellesetinversementproportionnelles....................................... 20

D. Logigrammes.....................................................................................................................24

E. Âges,annéesetsommesd’argent...................................................................................28

F. Cryptarithmes.....................................................................................................................32

G. Équationsdiophantiennes............................................................................................... 36

H. Comptages........................................................................................................................ 40

I. Vitesses.............................................................................................................................. 44

J. Objetspivotantlelongd’autresobjets.......................................................................... 48

K. Géométrie......................................................................................................................... 54

L. Longueurs,airesetvolumes............................................................................................ 58

M. Dénombrements............................................................................................................... 62

N. Probabilités....................................................................................................................... 66

O. Menteurs,JustesetRoublards.........................................................................................70

P. Échanges............................................................................................................................76

Q. Traversées.......................................................................................................................... 80

SOLuTIONS........................................................................................................................... 85

RÉFÉRENCES........................................................................................................................178

POuRACCOMPAGNERVOSRÉFLExIONS......................................................................181

>> table des matières

Ainsi, les problèmes de parcours optimisant une somme, par exemple la longueurtotaledestrajetsparcourus,sontl’objetderecherchestrèsactuelles.Ilsfontpartiedesproblèmesoù laprogrammation semble facile,maisoù lenombredecaspossiblesdevientvitesigrandquelaméthoded’examendechaquecasesthorsdeportéedesordinateurs,parfoisàjamais.Cesprolongementsfontquelesmathématiquessontunescience vivante qui a pour but de trouver des méthodes de calcul plus adaptées,notammenten informatique.Cettedémarche répondà laquestion souventposée :quefontlesmathématiciens?

Desurcroît,nulnesaitquellesmathématiquesserontimportantes,etlesbranchesdesmathématiques les plus éloignées de la vie courante se révèlent quelquefoisindispensables.GodefroyHardy(1877-1947),legrandspécialisteanglaisdelathéoriedesnombres,clamait:«Jen’aijamaisfaitquelquechosed’”utile”».Ilnepouvaitplusse tromper: aujourd’hui la théorie des nombres, sa spécialité, est au centre de laconception des codes secrets, notamment le code de notre carte bleue. Lesmathématiquessontunapprofondissementdelaréalitéetcelle-ciressurgitlàoùonnel’attendpas.

Laprogressiondans lesquestionsposéesdans l’ouvrage,encourage : lesexercicessimplesmettentenconfiance.Fortdesespremierssuccès,lelecteursaitalorspasseràdesquestionspluscomplexes,et,cefaisant,découvreuneméthode,unethéorieetéventuellementuneformuleentrevueàpartirdecasparticuliers.Quandlacuriositéestpiquée, le désir est de la satisfaire et, connaissant l’existence de divers domainesmathématiques,lelecteurchoisirad’approfondirceluiquiluioffreleplusd’attraitenpoursuivantd’autreslectures.

Aussi,tellelaconsommationd’unedroguebénéfique,lapratiquedesjeuxmathéma-tiquesentraîneaccoutumanceetdépendance.Accoutumance, car le lecteurende-manderatoujourspluspourvoirlesmultiplesaspectsd’unequestion,dépendancecaril lui faudrasondéfiquotidien.LemathématicienprolifiqueJohnHortonConwaysemetenjambechaquejourenrésolvantunpuzzleproposéparundesesamis.Puisilpoursuitsesrecherches.

Il est étonnant, presque déraisonnable, les exemples de ce livre en témoignent,qu’autant de situations soientmathématisables. Lamathématisation d’une situationapporteunéclairagenouveau,uneréflexioninattenduequiguidenosdécisions.Etlaconnaissance de la boîte à outils mathématiques amènera le lecteur à analysermathématiquementcertainesquestions:ildépassera,cefaisant,lesquestionsqu’onluiposepourdéciderdesquestionsqu’ilsepose,certainementlesplusintéressantesàsesyeux!

Nousvivonslapassionquel’ancienprofesseurAugustinGenoudexprimedanssonouvrage.Ilsavaitcertainementfairerespirer,parcesexemples,desprogrammesdemathématiquessouventbiencontraignantsetlimités.Nousaurionsaimésêtredesesélèves.

Philippe BoulangerFévrier 2013

>> éditorial

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Introduction

Pour résoudre une énigme, du papier et de quoi écrire suffisent presque toujours.Quelquespagesenfind'ouvragevoussontd'ailleursréservéesàceteffet.Parfois, ilfautégalementunecalculatricecapabled’effectuerlesopérationsdebase,unerègle,un compas et une équerre. Il faut souvent explorer différentes pistes et parfoisabandonnerlarecherchependantuncertaintemps.uneidéepeutjailliràtoutmomentetentoutesoccasions,quecesoitdurantuneréunionennuyeuse–çaexiste–,danssavoiture,enfaisantdusport,danssonlit.Sivosrecherchesvousconduisentàfairedenombreuxetfastidieuxcalculs,ilyafortàparierquevousn’avezpasprislameilleurevoiequiconduitàlasolution.Danstouteénigme,ilpeutyavoirplusieurssolutionsouuneseuleouaucune.S’ilyenaplusieurs,ilfautlestrouvertoutes,mêmesicelan’estpasprécisédansladonnée.

Certaines énigmes de cet ouvrage sont de mon invention, d’autres sont inspiréesd’énigmesrencontréesicioulà,enfin,quelques-unesontétéreproduitestellesquejelesaidécouvertesauhasarddemeslectures.J’airenoncéàciterlenomdesauteurscarilm’a paru tout simplement impossible de les connaître véritablement étant donnéqu’unemêmeénigme,ousaversion légèrementdifférente,peutêtretrouvéeendemultiplesendroits,souslenomdedifférentsauteurs.Cependant,vousdécouvrirezenfind'ouvragequelquesréférencesquivouspermettrontd’orientervosrecherchesversdenombreusesautresénigmes.

Dans le prolongement de cet ouvrage, j’ai créé un site:www.jeuxmath.ch. Vous ytrouverezd’autresénigmesainsiquediversescuriositésmathématiques.Vouspourrezaussimetransmettretoutesvosremarques.

Avant de vous lancer dans la résolution des énigmes, lisez encore attentivement lapartieNotesquisuit.

Jevoussouhaitebeaucoupdeplaisiràrésoudrelesénigmesdecetouvrage,etàendécouvrirlesClefs.

Augustin Genoud

uneénigmeestunjeud’espritconsistantàfairedécouvrirdessolutionsaumoyend’uncertainnombred’indices.Commel’indiqueletitredecetouvrage,lesindicessonticidenaturemathématiqueetlogique.Iln’yapasdepiègesdanslesdonnées.Touteslesénigmespeuventêtrerésoluespardesraisonnementsexigeantpatience,intuition,lo-gique,ingéniositéetopiniâtreté.

uneénigmeestqualifiéedebellelorsquel’énoncéestprécis,clair,concis,amusant.Elledoitégalementsusciterdelacuriosité,cettecuriositéquivanouspousseràvouloirlarésoudre.Sienplus,sarésolutionpassepardescheminsquinenécessitentpasl’uti-lisationdesmathématiquestraditionnelles,alorsonpeutdirequec’estunemagnifiqueénigme.Parfois,labeautéd’uneénigmen’apparaîtqu’aumomentoùonessaiedelarésoudre.

Ilexistedesquantitésdelivres,revuesetsitestraitantdesénigmesmathématiques.Cetouvrageal’ambitiond’apporterquelquechosedenouveaudanslesensquelesénigmesontétéregroupéesparthèmes,et,auseindecesthèmes,lesénigmesappa-raissent dans un ordre croissant de difficultés. Dans chaque thème, les premièresénigmespeuventêtreabordéesvers10ansetlesdernièresnepourrontêtrerésoluesquepar les plus chevronnésqui découvriront parfois des astucesquasiment jamaisétudiées dans les cours traditionnels demathématiques. une solution détaillée estdonnéepourchacunedes161énigmes.Ilestconseillédedébuterchaquethèmeparlesénigmes lesplusfacilesafindebiensaisir le lienet laprogressiondesdifficultésentrelesénigmesd’unmêmethème.Chacuns’arrêteraaumomentoùl’énigmepropo-séeluisembleratropdifficileàrésoudre.Ilpourralareprendrequelquesmois,voirequelquesannéesplustard.

Essayeztoujoursderésoudrelesénigmesavantd’allervoir lessolutionscar,nel’ou-blions jamais, le véritableplaisir consisteà rechercher les solutionsetnonpasà lesconnaître.

Ilexisteuneinfinitéd’énigmes.Ellesnepeuventpastoutesêtreclasséesdansundesthèmesdecetouvragetantledomaineestvasteetvarié.C’estcequifaitlabeautédeceloisir intelligent,captivantet ludique.Toutefois, larésolutiond’uneseuleénigme,quelsquesoientsadifficultéetsondomaine,vousferaprogresserlentementpeut-êtremaissûrementetvouspermettrad’enrésoudred’autres,deplusenplusdifficiles.

>> introduction>> introduction

ValentineUne fleur bleue qui n'aspire qu'à l'évasion dans la lecture

LouisLe prétentieux imbuvable et assez inévitable

Fiston et AugustinLe fils de Louis et son maître d’école

MargotteLa psychorigide qui aime moins les poèmesque les hommes forts

Ils vont vous accompagner!

ArthurSon époux, qui se veut poète, artiste alors que sa Margotte cherche à le convertir en vrai homme

les figurants

Découvrez le livre qui bouleversa la quiétude de Valentine, Louis, Benoît, Margotte et Arthur. Leur vie en fut transformée, et leur destin ?

BenoîtLe révolutionnaire impatient, si vous le voyez, assurez-vous qu'il ne s'agit pas de son ombre

et...

par Rachel Chevrier

76 >> les personnages>> les personnages

98 >> notes

Notes

> Cesnotessontdestinéesessentiellementàceuxdontl’écolen’estplusqu’unlointainsouvenir.

> Lesignedelamultiplicationseratoujoursnotéparunpoint.Exemple:3.7=21.

> Lesymbole⇒ signifieils’ensuitoudoncouparconséquent.JesuisValaisan⇒jesuisSuisse(jesuisvalaisan,doncjesuisSuisse).

> Chiffre:enmathématiques,iln’existeque10chiffres:0,1,2,3,4,5,6,7,8et9.

> Nombre:touslesnombrespeuventêtreécritsàpartirdes10chiffresindiquésci-dessus.324;–12,85;–4456;0,879;etc.sontdesnombres.7estàlafoisunchiffreetunnombre.

> Corde:c’estunsegmentreliantdeuxpointsquelconquesd’uncercle.

> Cercle:c’estl’ensembledespointssituésàégaledistanced’unpointdonné.L’intérieurducerclen’appartientpasaucercle.

> Disque:c’estunesurfacelimitéeparuncercle.Lecercleappartientaussiaudisque.

> N = nombres entiers naturels.C’estl’ensembledetouslesnombresentierspositifs:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,etc.

> Z = nombres entiers relatifs.C’estl’ensembledetouslesnombresentiers,négatifsetpositifs:…,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,etc.

> PGDC:plusgranddiviseurcommun.PGDC(18;24;42)=6.

> Triangle isocèle:c’estuntrianglequiaaumoinsdeuxcôtésisométriques.

> Croquis:c’estundessinsurlequelleslongueurset/oulesanglesn’ontpasforcémentlesbonnesmesures.

corde

cercle

disque

>> remerciements

Merciàtouslespassionnésd’énigmesmathématiquesetlogiquesquiontacceptéderelirediversespartiesdecetouvrageetquim’ontfaitpartdeleursprécieusesremarques: Jérôme Gavin, Bernard Aymon, Ginette Genoud, Virginie Bühler,MichelCombe,GuyGenoud,LiseGilgien,YvesBarmazetAlainRossier.

MerciàMonsieurPhilippeBoulanger,anciendirecteurdelarédactiondumagazine«PourlaScience»,quiaacceptédepréfacercelivre.

Merci àMadame Rachel Chevrier qui a su se jouer demes énigmes dans sesillustrations.

MerciàMonsieurBenoîtDubuis,pourlaconfiancequ’ilm’atémoignéeetquiarendupossiblel'éditiondecetouvrageauxéditions«Lesclefsdusavoir».

Pourpoursuivrel'aventureavecl'auteurdecelivre: www.jeuxmath.ch

quoi ?un livre d’énigmes

mathématiques?

Le livre, Margotte et ArthurArthur,j’ai un cadeaupour vous !

cela ferade vous

un homme,PARDI !

oh ouicela

vous siedsi bien

1110

Énigme A1 .................................................................................................... solution p.86

> Lesold’unesallerectangulaireestrecouvertde20carreaux,tousidentiques,commeindi-quésurlafigureci-dessous.Alasuited’unesecoussesismique,tous lescarreauxtraver-sésparunedesdiagonalesducarrelagesesontfissurés.

> Combiendecarreauxfissurésfaudra-t-ilremplacer?


> Lesold’unesalle rectangulaireest recouvertdecarreaux, tous identiques.Onencompte10surlalongueuret8surlalargeur.Alasuited’unesecoussesismique,touslescarreauxtraversésparunedesdiagonalesducarrelagesesontfissurés.


En réalité, les 9 premières énigmes de cet ouvrage (A1 à A9) ne

constituent pas vraiment un thème. Elles servent à démontrer que pour

résoudre bon nombre d’énigmes il faut souvent aller du plus simple au plus compliqué. Une technique très pratique et peu

connue permettant de savoir si la relation liant deux ensembles est une

fonction polynomiale et, si c’est le cas, de trouver cette fonction présentée

dans la solution de l’énigme A7.

Énigmes A

>> aller du plus simple au plus compliqué

1312

Énigme A6 ...................................................................................................solution p.116

> AlineetDenisontgrandi(voirlesdeuxénigmesprécédentes).Aujourd’hui,c’estlejourdeleurmariage.126personnessontprésentes,mariéscompris.Chacuned’ellessaluetouteslesautres.

> Combiencelafait-ildepoignéesdemain,entout?

Énigme A7 .................................................................................................. solution p.125

> Axeladorelesprunes.Ilenaentreposéunegrandequantitéavecbeaucoupdesoin.

> Malheureusement,lesprunesontpourripetitàpetit.Aprèsunesemaine,uneseuleétaitpourrie.Après2semaines,toutescellesquiétaientàcôtédelapremièreprunepourrieontpourriégalement.Après3semaines,toutescellesquiétaientàcôtédesprunespourriesprécédemmentontaussipourri.Et ainside suite,pour toutes lessemainessuivantes.Al’énigmeA3,onvoitcommentlesprunesontétéentreposéesetdequellemanièreellesontpourri.

> Combienyavait-ildeprunespourriesaprès100semaines?


> Lesold’unesalle rectangulaireest recouvertdecarreaux, tous identiques.Onencompte260surlalongueuret143surlalargeur.Alasuited’unesecoussesismique,touslescarreauxtraversésparunedesdiagonalesducarrelagesesontfissurés.



> Centpointsontétémissurlebordd’undisque,demanièredistincte.Ontracetouteslescordesreliantles100pointsentreeux.

> Encombiendemorceaux,aumaximum,cescordesdivisent-ellesledisque?

>> aller du plus simple au plus compliqué 12


> Eloaneadorelesprunes.Elleenaentreposéune grande quantité, avec beaucoup desoin.

> Malheureusement, les prunes ont pourripetitàpetit.Aprèsunesemaine,uneseuleétaitpourrie.Après2semaines,toutescellesqui étaient à côté de la première prunepourrie ont pourri également. Après 3semaines,toutescellesquiétaientàcôtédesprunes pourries précédemment ont aussipourri. Et ainsi de suite, pour toutes lessemainessuivantes.

> Lesfiguresci-contremontrentcomment lesprunes ont été entreposées. Il y en abeaucoup plus mais on ne peut pas lesreprésentertoutes.Onyvoitlaprunepourrieaprès une semaine ainsi que les prunespourriesaprès la2èmesemaineetaprès la3èmesemaine.

> Combienyavait-ildeprunespourriesaprès6semaines?

Énigme A4 .................................................................................................. solution p.100

> Alinefêteses10ans.D’unseulcoup,ellesouffleles10bougiesdesongâteaupuislesmetdecôtécommeellel’afaitàchacundesesanniversaires.

> Combiena-t-elleaujourd’huidebougies,entout?


> Denisfêteses12ansaujourd’hui.Ilainvitéses10meilleurscopainspourmangerdescrêpes.Lorsqu’ilssequittent,chacunsaluetouslesautresd’unepoignéedemain.

> Combienya-t-ileudepoignéesdemain,entout?

>> aller du plus simple au plus compliqué

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Le livre, Arthur, Margotte et la poésie...

alors cesénigmesARTHUR?

Ah Margotte,quelle poésie

ça m'inspireun poème!

et si je fuyais comme un pleutre?

comment peut-on perdreson temps avec des

allumettes?

vous n'alleztout de même pas travestir les mathématiques

Arthur!

ké!?

un poème enpieds de nim

sortez faire

un tour

1514

Énigme B1 ..................................................................................................... solution p.86

> AlbertetBenoîtontposésurunetableuntasde5allumettes.Atourderôle,chacundoitenlever,danscetas,1ou2allumettes.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.

> Combiendoit-ilprendred’allumettesàsonpremiercoups’ilveutêtresûrdegagner?


> AlbertetBenoîtontposésurunetableuntasde7allumettes.Atourderôle,chacundoitenlever,danscetas,1ou2ou3allumettes.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.


Ce thème est consacré aux jeux de Nim, des jeux qui se jouent à

deux et qui, forcément, aboutissent à une fin. La recherche des tactiques

gagnantes est passionnante. Une partie théorique est donnée dans la

solution de l’énigme B4.

Énigmes B

>> jeux de Nim

1716 >> jeux de Nim

Énigme B7 ....................................................................................................solution p.127

> Deuxpionsnoirsetdeuxpionsblancssontplacés aux extrémités de deux colonnescomme sur la figure ci-contre. Chaquejoueur,àtourderôle,doitavanceroureculerundesespionsd’unnombrequelconquedecases (auminimumunecase), sanschangerde colonne. un pion ne peut pas occuperunecasedéjàprisenipasserpardessusunautre pion. Le premier joueur qui ne peutplus jouer a perdu. Cyprien joue avec lespions noirs et Jean avec les pions blancs.C’estCyprienqui commence. Il avance sonpionnoirjusqu’àlacased.

> QuelletactiquedoitalorsadopterJeanpourêtresûrdegagner?

Énigme B8................................................................................................... solution p.138

> un cavalier d’échecs se trouve initialementsurlacaseB5d’unéchiquiertraditionnelde8 cases sur 8 cases. Mais ce cavalier estparticulier car il ne peut faire que 4mouvements: monter verticalement de 2casesetsedéplacerd’unecaseversladroiteou vers la gauche ou se déplacerhorizontalementde2casesversladroiteetmonter ou descendre d’une case. Donc,depuislacaseB5,ilnepeutallerqu’enunedescasesx,y,zouw.Lecavaliernepeutpassortir de l’échiquier. Jules et Amandine ledéplacentàtourderôlejusqu’àcequ’undesdeuxnepuisseplusjouer.Lepremierjoueurqui nepeutplus jouer aperdu.C’est Julesquicommence.

> Comment doit-il jouer son premier couppourêtresûrdegagner?

87 x y6 z5 o4 w321

A B C D E F G H

� �

a l

b k

c j

d i

e h

f g


> NaomietClairejouentavecuntasde5piècesdemonnaie.Atourderôle,chacunedoit séparer un des tas en 2 tas comprenant un nombre différent de pièces. Lapremièrejoueusequinepeutplusjoueragagné.Chacunejoueàtourderôleetc’estNaomiquicommence.

> Quedoit-ellefaireàsonpremiercouppourêtresûredegagner?

Énigme B4 .................................................................................................. solution p.100

> AlbertetBenoîtontposésurunetableuntasde21allumettes.Atourderôle,chacundoitenlever,danscetas,1ou2ou3allumettes.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.


Énigme B5 ................................................................................................... solution p.108

> AlbertetBenoîtontdisposésurune table trois tasd’allumettes.un tascompte1seuleallumette,unautre2allumettesetledernier4allumettes.Atourderôle,chacundoitretirerdansundestasautantd’allumettesqu’ilsouhaitemaisauminimumuneallumette.Lepremierjoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.

> Quedoit-ilfaire,àsonpremiercoup,pourêtresûrdegagner?


> NaomietClairejouentavecuntasde6piècesdemonnaie.Atourderôle,chacunedoit séparer un des tas en 2 tas comprenant un nombre différent de pièces. Lapremièrejoueusequinepeutplusjoueragagné.Chacunejoueàtourderôleetc’estNaomiquicommence.

> Quedoit-ellefaireàsonpremiercouppourêtresûredegagner?

>> jeux de Nim

1918 >> jeux de Nim


> JérémieetSamuelontposésurunetable41pions.Chacun,àtourderôle,doitenprendre1ou2ou3ou4ou5.Levainqueurseraceluiquiauraunnombrepairdepions,lorsquetouslespionsaurontétéôtés.C’estJérémiequicommence.

> Combiendepionsdoit-ilprendreàsonpremiercouppourêtresûrdegagner?

Énigme B10 ...............................................................................................solution p.167

> AlbertetBenoîtontdisposésurunetablesixtasd’allumettes.untascompteuneseuleallumette,unautre2allumettes,unautre3allumettes,unautre4allumettes,unautre5allumettesetledernier6allumettes.Atourderôle,chacundoitretirerdansun des tas autant d’allumettes qu’il souhaitemais auminimum une allumette. Lejoueurquinepeutplusjoueraperdu.Albertcommence.Ilprendl’allumettequiestseuledansuntas.

> CommentdoitjouerBenoîtlecoupsuivantpourêtresûrdegagner?

>> jeux de Nim

les clefs des énigmes mathématiques

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